8 УДК 5643 Весці БДПУ Серыя 3 4 ДА Навічкова аспірант ІІІ года навучання механікаматэматычнага факультэта БДУ РАШЭННЕ МАТРЫЧНЫХ РОЗНАСНЫХ РАЎНАННЯЎ ПЕРШАГА ПАРАДКУ Ў БАНАХАВЫМ МОДУЛІ І БАНАХАВЫХ АЛГЕБРАХ У КАМУТАТЫЎНЫМ ВЫПАДКУ У водзіны Шматлікія даследаванні прысвечаны вывучэнню скалярных рознас x = { x x x }= xh Тут маецца на = ных раўнанняў са сталымі каэфіцыентамі пры гэтым звычайна выкарыстоўваецца метад заснаваны на дыскрэтным пераўтварэнні Лап збежнасці не паўстае ўвазе толькі зручная форма запісу i пытанне ласа Больш змястоўныя вынікі могуць быць Няхай мноства сталых ( )матрыц атрыманы алгебраічным метадам (гл напрыклад []) які падыходзіць таксама для над Праз K пазначым мноства матрыц раўнанняў са зменнымі каэфіцыентамі i заключаецца ў пераўтварэнні зыходнага рознас x = = з элементамі K Матрыцы нага раўнання да алгебраічнага раўнання ў некаторай алгебры ці модулі паслядоўнасцей з K уяўляюцца ў выгля фармальнага З дапамогай данага метаду ў [] рашаецца ступеневага шэрагу = h = аднароднае матрычнае рознаснае раўнанне першага парадку са зменнымі каэфіцыентамі Мно жанне ў K азначым па правіле ў алгебры ўсіх камплексназначных матрычных i i паслядоўнасцей K Мэтай данага артыкула з яўляецца знайсці рашэнні разглядаемага ( Y ) = x y здабытак x y K = ў [] аднароднага раўнання i адпаведнага яму ра зу меецца ў сэнсе згорткі неаднароднага ў больш вузкіх класах: банахавых алгебрах i Побач з K разгледзім алгебру K гіперпаслядоўнасцей паслядоўнасцей з канеч банахавым модулі най колькасцю ненулявых элементаў на < месцах з адмоўнымі нумарамі выгляду x = { x x r r x x }(падкрэслены Некаторыя алгебры i модулі паслядоўнасцей Няхай K элемент стаіць на нулявым месцы) з множаннем у выгля дыскрэтнай згорткі Фур е камутатыўнае колца паслядоўнасцей над полем выгляду x = { x} = x x = { } (падкрэслены элемент xy = yx = x y = y x = = = = стаіць на нулявым месцы) Множанне паслядоўнасцей x y K вызначым з дапамогай дыскрэтнай згорткі Лапласа [] гіперпаслядоўнасцей i адпаведную ёй алгебру K матрычных yx = Увядзём абазначэнні ( ) = ax x y x = = a колькасць розных уласных значэнняў Пазначым праз h = { } K матрыцы a для для кожнага x K маем < ρ( ) = ax hx = xh = h x = { x x x } = = h = hh h ={ } Элемент h = I ={ } грае ролю адзінкі Азначэнне калі i = x колца Паслядоўнасці з K можна запісаць у выгля фармальных ступеневых шэрагаў
Азначэнне Паслядоўнасць = { } назавём мажарантнай паслядоўнасцю для матрыцы K Норму ў азначым наступным чынам: = ( ) Для сталых матрыц T t = прымем T = ax t = Няхай Y T T T Y Y i T = T T Y = Y Y Мноства банахава алгебра ле вы (і правы) банахаў модуль над алгебрай У [3] азначана банахава адносна згорткі () алгебра ( ;] падмноства K такое што x A> : x A задаецца наступным чынам: x = x su x = Норма ў Азначэнне 3 калі i = x Нормай матрыцы у гэтым выпадку бум называць лік = ( ) Тэарэма Няхай Y T Y Y T T T = T T Y = i Y C Y C = 3 ζ( ) ζ дзэтафункцыя Рымана [3] Сцверджанне Калі мае простую структуру i TT diag T C = [ ] цэлыя не абавязкова розныя тады h = T diag h h T i ax ( ) = h T T Сцверджанне Калі то e h i мае месца ацэнка h e ex Матэматыка 9 Тэарэма 3 Аператар алгебраічнага інтэ г ра вання непарыўны ў банахавай алгебры i банахавым модулі і маюць месца ацэнкі Побач з алгебрамі i модулем разгледзім іх пашырэнні: алгебры i модуль матрычных гіперпаслядоў насцей элементаў з K Даныя алгебры i модуль з яўляюцца дапаможнымі для знаходжання рашэнняў матрычных рознасных раўнан няў i некаторых ацэнак норм рашэнняў Сут насць алгебраічнага метаду рашэння за ключаецца ў тым што рознасныя раўнанні зводзяцца да алгебраічных дыферэнцыяльных раўнанняў у даных пашыраных алгебрах i модулі а атрыманыя там рашэнні будуць належаць насамрэч зыходным прасторам i пры накладанні некаторых умоў на каэфіцыенты раўнанняў Тэарэма 4 Няхай Y T C T T Y Y Y = Y Y T = T T Сцверджанне 3 Калі C TT = diag[ ]= T C не абавязкова розныя тады h = T diag h h T h ax T T = h T T Тэарэма 5 Няхай Y T C T T Y Y Y = Y C Y T = T T C = 3 ζ( ) ζ дзэтафункцыя Рымана
3 Весці БДПУ Серыя 3 4 Прыналежнасць да мат рычнай паслядоўнасці ( E ) h i ацэнкі норм Калі i спраўджваюцца ацэнкі ( I h) ( I h) ρ ( ) Да таго ж I h i ў залежнасці ад значэнняў b спраўджваюцца формулы: Калі то = ( I h) I h C h () = I h ax C ( ) Калі то = ( I h) = ( ) h = ( I h) ( I h) 3 Калі < < то = C ρ ( ) ( ) ( I h) = h! ( I h) ( I h) ρ 4 Калі < ( ) то I h вызначаецца па формуле (5) i Разгледзім спачатку паслядоўнасці 3 3 ( I h) =h h h 3 ( I h) = I h h! ( ) h! Сцверджанне 4 < тады I h (3) (4) (5) (6) [ ] ( I h) ( I h) C ( ) [ ] ( ax C[ ] ) ρ = [ ] 5 Калі < ( ) Калі па формуле (5) і I h I h C (7) то I h вызначаецца ( ) [ ] [ ] ρ > то I h i спраўджваюцца формулы () (3) Для ( ) I h 3 Няхай [ ] = Пры b < ( I h) I h 3 Калі b то 3 Калі < b < g b то 33 Для b g b (8) i спраўджваюцца формулы () (3) I h маюць месца (5) (6) ( I h ) I h i вызначаецца па формуле Няхай матрыцы перастаўляльныя b b уласныя значэнні матрыцы b кратнасцей адпаведна g g ν уласныя значэнні матрыцы g кратнасцей ν адпаведна Карыстаючыся асноўнай формулай прывенай для азначэння функцый ад матрыц ([4 с 9]) i сцверджаннем 4 атрымаем неабходныя i дастатковыя ўмовы на ўласныя значэнні матрыц g b пры якіх E h i знойм адпаведныя ацэнкі норм Тэарэма 6 Матрычная паслядоўнасць E h ці : тады i толькі тады калі = < пры гэтым спраўджваецца формула ( E h = E h Z E h Z = ( E h) Z ) h = = I h ( E h) ( I hu ) U
() h ( I h) U = = ( E h) ( I h) U ω= t= ω ω ω ( t) h ( I h) Uω = i = ξ= = U i Z ξ далучаныя лікавыя матрыцы ([4 с 9]) Маюць месца ацэнкі норм: E h σ (9) E h Eh Z σ = σ= σ ( E h) U = U U ( ) ( E h) ( I ) h U = ω ω t ( I h) Uω ω= t= t I h t = вылічваюцца па а ( ) формулах (3) (4) (6) (8) у залежнасці ад канк рэтных значэнняў b : ( E h) ( E h) = σ σ= σ C( ) E h Z ( E h) σ ρ ( ) U = t ( ) U ρ t t= ( E h) ( I ) h U = ω ω t ( I h) Uω ω= t= () Матэматыка 3 I h t = вылічваюцца па ( ) t формулах (3) (4) (6) (8) у залежнасці ад канкрэтных значэнняў b 3 Аднароднае раўнанне Разгледзім матрычнае рознаснае раўнанне першага парадку ( A B) ( M L) = = () A B M L папарна камутуючыя мат рыцы з A { } = невядомая матрыцапаслядоўнасць Зададзім пачатковую ўмову = Рашэнне бум шукаць у алгебрах i Няхай T : diag = E A B = T h h T усе цэлыя (не абавязкова розныя) Тэарэма 7 Няхай уласныя значэнні матрыцы = A BM LE уласныя значэнні матрыцы = A M Калі M = то формула EA B = h ex A Lh C ( ) C тут i надалей адвольная дае рашэнне раўнання ў i 3 T T C ex A L ( ) ( ) = 4 C( ) C ax T T ex ( AL) Калі M калі = < то ра шэн не раўнання () у i існуе i = h E h C 4 C T T E h C T T E h ( ) = 4 C( ) ax ацэнкі ( E h) i ( E h) удакладняюцца формуламі (9) () у залежнасці ад канкрэтных значэнняў b 4 Неаднароднае раўнанне Разгледзім неаднароднае матрычнае рознаснае раўнан не першага парадку ( A B) ( M L) = Y = () A B M L папарна камутуючыя матрыцы з A { } = = невядомая матрыца
3 Весці БДПУ Серыя 3 4 паслядоўнасць з пачатковай умовай Ра шэнне бум шукаць у алгебры i мо дулі Y = { Y } = заданая матрыцапаслядоўнасць з адпаведных прастор Тэарэма 8 Няхай матрыца diag = E A B = T h h T T i яе ўласныя значэнні a уласныя значэнні матрыцы = A BM LE Вылучаюцца наступныя выпадкі: M = A = B Рашэнне раўнання з пачатковай умовай у банахавым модулі i банахавай алгебры A L ( ( Ye )) A Lh h = e A M = A B Рашэнне раўнання з пачатковай умовай у банахавым модулі i банахавай алгебры E A B A Lh A BE A Lh = h e A Ys EA B h e ( ) ( A Y ( E AB ) ) 6 ( ) A L e ( ax ) = ( C A Y ( E A B) ) 6 A L T T e C C T T ( ) I A Mh C I A Mh M A = B усе уласныя значэнні матрыцы = A M < Рашэнне раўнання з пачатковай умовай у банахавым модулі i банахавай алгебры E ( I A Mh) = A Y ( I A Mh) A ( I A Mh E ) Y C A ( I A Mh E ) Y EA B = h I A Mh A A BE A BE (( B A) h Yh ) ( I A Mh) 9 ( ) 9 ( ax ) = A ( ax ) = T T A I A Mh I A Mh B A Y C C( ) T T A I A Mh ( B ) ( ) = Ацэнкі ўдакладняюцца формуламі (9) () M A B усе уласныя значэнні матрыцы = A M < Рашэнне раўнання з пачатковай умовай у банахавым мо дулі i банахавай алгебры E E E C( ) Y ax I A Mh Вынікі У артыкуле даны агульныя ра шэнні аднароднага i неаднароднага рознасных матрычных раўнанняў першага парадку са зменнымі каэфіцыентамі ў алгебрах i модулі Прывены ацэнкі норм рашэнняў Літаратура Васильев ИЛ Разностные уравнения первого порядка с переменными коэффициентами в банаховых модулях последовательностей / ИЛ Васильев ДА Новичкова // Докл НАН Беларуси Т 56 С 5 9 Васільеў ІЛ Матрычнае аднароднае рознаснае раўнанне першага парадку са зменнымі каэфіцыентамі ў камутатыўным выпадку / ІЛ Васільеў ДА Навічкова // Вестн БГУ Серыя 4 С 83 87 3 Васільеў ІЛ Рознасныя раўнанні першага парадку ў ба нахавай алгебры / ІЛ Васільеў ДА Навічкова // Докл НАН Беларуси 3 3 Т 57 С 6 4 Гантмахер ФР Теория матриц / ФР Гантмахер М: ГИТТЛ 954 С 49 Suary The soutios of hoogeeous ad heteroogeeous differece atrix first order euatios with ariabe coefficiets i coutatie case i Baach agebras ad Baach odue are gie i the artice The soutios ors eauatios are gie Поступила в редакцию 44 г