. Định nghĩa Hàm biến. f : D M (, ) z= f( M) = f(, ) Miền ác định của hàm f(,) là miền VD: f : D HÀM NHIỀU BIẾN M (, ) z= f(, ) = D sao cho f(,) có nghĩa. Miền ác định của hàm f(,) là tập hợp những điểm M (, ) Vậ D là Đồ thị hàm số f(,) + Dsao cho z z z = z + + = ĐN Đường đẳng trị: là tập hợp các điểm M(,) sao cho f(,)=const. (hằng số) VD: f(, ) = + = :. Giới hạn và liên tục.. Khoảng cách giữa điểm, dã điểm. Cho điểm M(,), M(, thì dmm (, ) = ( ) + ( ) Cho dã điểm M(,, M(, ), M(, ),..., Mk( k, k) Dã điểm M k hội tụ đến M ký hiệu Mk M nếu dmk M k k (, ) (, ).. Lân cận tại một điểm Cho M(,, r>, BM (, r) = { M / dm (, M < r} lân cận của điểm M Đâ là dĩa tròn tâm tại M và bán kính là r (không lấ biên). M(, ), r>, B ( M, r) = { M / dmm (, ) r} : dĩa tròn lấ biên M(, ), r>, BM (, r) = { M / dm (, M) = r} Do đó B ( M, r) = B( M, r) + B( M, r)
.3. Giới hạn hàm biến. f : D M (, ) z= f( M) Hàm f(,) có giới hạn là a khi M tiến đến M ta viết f ( M ) a khi M M nếu ε >, δ > : M D, < dmm (, ) < δ f( M) a< ε Ký hiệu VD: Tính VD:Tính lim f(, ) = a lim 4 + lim( lim + )sin VD3: Tính + Chọn hai dã ( n, n) =, ;( n, n) =,, chuển về giới hạn một biến. n n n n.4. Liên tục tại một điểm. Hàm f(,) liên tục tại M(, nếu nó thỏa điều kiện Hàm f(,) ác định tại M(, lim (, ) (, f = f Hàm f(,) liên tục trên D nếu f(,) liên tục tại M(,, M D.5. Định lý Weirestrass: Cho E là tập Compact, E, f(,) liên tục trên E. Khi ấ. f(,) bị chặn trên E. f(,) đạt GTLN, GTNN trên E. M(, ), N(, ) E: f(, ) f(, ) f(, ) E compact nếu E đóng ( nếu E chứa biên của nó) E bị chặn (nếu có một hình tròn chứa nó E B(, R) VD: E= B = M dm (,) { / (, }
3. Đạo hàm-vi phân. 3.. Đạo hàm riêng. Cho hàm z= f(, ). Đạo hàm riêng của hàm f(,) theo biến tại M(, z f( +, ) f(, ) : ĐHR của f(,) theo biến. z f(, + ) f(, ) (, = (, = f (, = lim : (, = (, = f (, = lim ĐHR của f(,) theo biến. VD: f 3 (, ) = 3 + +. (, =?; (, =? = 6 + (, = = + = 3 3 (, 3 VD: VD3: f(, ) 3 3 = +. Tính (, ) =?; (, ) =? f = + e 3 (, ) ln( ). Tính (, ) =?; (, ) =? 3.. Hàm khả vi và vi phân toàn phần. Hàm f(,) được gọi là khả vi tại M(, nếu số gia hàm số được biểu diễn. f = z = A. + B. +Ο ( d), d = ( ) + ( ) Đại lượng: A. + B. = df (, :vi phân toàn phần cấp của hàm f(,) tại M(, Định lý: Nếu hàm z= f(, ) ác định trong lân cận của điểm M(, và các đạo hàm riêng f, f liên tục tại M(, thì f(, ) khả vi tại M(, và (, = A; (, = B Lúc đó df (, = A. + B. = f (,. d + f (,. d df = f. d + f. d df (, ) = f (, ). d + f (, ). d Vậ + VD: Tính vi phân cấp của hàm f(,) tại điểm (, với f (, ) = e. df (, =?
Ứng dụng vi phân tính gần đúng: f = A. + B. +Ο( d), f f (,. + f (,. f( +, + ) f(, f (,. + f (,. f( +, + ) f(, ) + f (, ). + f (, ). f(, ) f(, + f (,. + f (,. f( M) f( M + f ( M. + f ( M. f( M) f( M ) + df( M ) () VD: Tính gần đúng Xét hàm f(, ) 3 3 (, + (,99) 3 3 = +. Ta có: f f = f (, = Tính f = f (, = Tha vào công thức ấp ỉ () ta có: 3 3 (, + (,99) 3.3. Đạo hàm theo hướng Đạo hàm của hàm f(, ) theo hướng uu (, u) u = =..., =..., =..., =..., (, ) =... (vector đơn vị) tại M(, f ( + tu, + tu ) f (, ) t (, lim () t f( + t, f(, Nếu u(, ; u =, u = lim = (, : ĐHR theo t t f(, + t) f(, Nếu u(,); u =, u = lim = (, : ĐHR theo t t Định lý: Cho f(, ) khả vi tại M(, thì tại đó nó có đạo hàm theo mọi hướng uu (, u) và (, = (, u+ (, u (3) u Đặt f(, ) =, : gradient của hàm f(,), uu (, u) thì
(, ) = ( f(, ), u) (4) u Chứng minh: Vì hàm f(,) khả vi nên ta có: f = z = A. + B. +Ο( d) f ( + tu, + tu) f (, = (, tu+ (, tu +Ο( d) f ( + tu, + tu ) f (, ) = + t lim (, u (, u t (, = (, u+ (, u = f (, u+ f ( u, u VD:Tính đạo hàm của f(, ) = 3+ theo hướng u = i+ j tại M(,) f = 6 f (, ) = f 3 f (, ) 4 = + = u i j vv v (,) : vector đơn vị. + 5 5 = + = (,) (, ) = = =, u u 8 (, ) = (, ) v+ (, ) v =. + 4. = u 5 5 5 VD: f = e f = + 5 (, ). (,? f =... f (, =... f (, = (...,...) f =... f (, =... VD3: (, ) sin. (, )? f = e + f = 3.4. Đạo hàm riêng của hàm hợp a) z= f(, ); = t ( ); = t ( ) Ta có: z = z() t dz = z d + z d dz d d = z + z = z. t + z. t dt dt dt Do đó
VD: z = + ; = t ; = 3t Chú ý: z= f(, ); = ( ) dz = z. t + z. t (3.) dt dz = z. + z. (3.) d VD: z = + sin ; = b) z= f(, ); = uv (, ); = uv (, ) VD3: z = z. u + z. u u (3.3) z = z. v + z. v v (3.4) z= e = uv = u + v = uv = uv ; (, ), (, ). 3.5. Đạo hàm riêng của hàm ẩn. Định nghĩa: Phương trình F(,,z)= có thể ác định một hàm ẩn z= z (, ) với các điều kiện sau: Xác định, liên tục trong BM (, ε), M(,, z, ε > F(,, z = F, F, F z liên tục trong BM (, ε ) (,, ) Fz z thì F z = F z = F z F z VD: Cho z = + + z. Tìm dz=? Cách : Xem phương trình trên như là F(,,z)=z---z= F =... z =... F =... dz = z =... Fz =... Cách :Xem z=z(,),, là biến độc lập Lấ vi phân vế của phương trình z=++z
4. Đạo hàm riêng cấp cao, vi phân toàn phần cấp cao. 4.. Đạo hàm riêng cấp cao. Xét hàm z= f(, ). ĐHR cấp là ĐH của ĐHR cấp.xét các ĐHR cấp sau f = = f = z : lấ ĐHR theo lần. f = = f = z : lấ ĐHR theo trước, sau. f = = f = z :lấ ĐHR theo trước, sau. f = = f = z : lấ ĐHR theo lần. 3 VD: f(, ) = + + 4 f = 6 + 4 f = 3 + 4 + 4 Ta có: f = 6 + 8 + 4 = 3 3 f + 4 + 4 f = + 4 Định lý Schwarz (Đạo hàm hỗn hợp) Nếu trong một lân cận BM (, r ) của điểm M(, hàm z=f(,) có các đạo hàm hỗn hợp và các đạo hàm nà liên tục tại M(, thì f (, = f (, 4.. Vi phân toàn phần cấp cao. Cho z= f(, );, là biến độc lập, = d = C, = d = C; C, C : hằng số. Ta có: df (, ) = f (, ) d + f (, ) d : vi phân cấp ( ) ( ) d f(, ) d df(, ) d f( d, ) f( d, ) = = + : vi phân cấp
d ( f (, ) d) d ( f (, ) d) ( ) ( ) d ( f (, ) ). d d ( f (, ) ). d ( (, ) (, ) ) ( (, ) (, ) ) = + = d f (, ). d + d( d). f (, ) d + d f (, ). d + d( d). f (, ) d = + = f d + f d d + f d + f d d = f d + f dd + f (, ) d (, ) (, ) Do đó: (, ) =. +. =. + +. d f d d f d dd d f f f f d f d dd d (, ) =. + +. (, ) = f d + f dd + f d : vi phân cấp. d f n n Su ra: d f (, ) =. d +. d f : vi phân cấp n VD: Tìm vi phân toàn phần cấp của hàm z = f (, ) = 3 z = 4 z = 4 3 z = 3 z = 3 z = d f (, ) = z d + z dd + z d = 4d 6dd d 4.3. Công thức Talor Giả sử z= f(, ) có đạo hàm đến cấp n+ = f( +, + ) = f( + t., + t. ) = ϕ() t Nếu t= ϕ() = f( +, + ) = f(, ) t = ϕ( = f(, Vì ϕ () t có đạo hàm đến cấp (n+) nên theo Công thức Maclaurin ta có: ( n) ( n+ ) ϕ ( ϕ ( ϕ ( 3 ϕ ( n ϕ ( θt) n+ ϕ( t) = ϕ( + t+ t + t +... + t + t,!! 3! n! ( n+ )! ( < θ < ) Nếu t= thì ( n) ( n+ ) ϕ ( ϕ ( ϕ ( ϕ ( ϕ ( θt) ϕ() = ϕ( + + + +... + +,!! 3! n! ( n+ )! ( < θ < ) () Mặt khác:
ϕ( t) = f( + t., + t. ) = f(, ). ϕ () t = f. + f. = f. + f. = df (, ) ϕ ( = df (, ) t t [ ϕ () t ] d d f. t + f. t ϕ () t = = dt dt d d d f. + f. dt dt = = d ( f d + f d) = d( df (, )) = d f (, ) dt ( d f(, ϕ = Do đó: ϕ ( t) = d f(, ) ϕ ( = d f(, ) ( n) n ( n) n Tha vào () ta được công thức Talor ( n) ( n+ ) ϕ ( ϕ ( ϕ ( ϕ ( ϕ ( θt) ϕ() = ϕ( + + + +... + +,!! 3! n! ( n+ )! ( < θ < ) () ( n) ( n+ ) df(, d f(, d (, d ( + θ, + θ ) f(, ) = f(, + + +... + +!! n! ( n+ )! Vậ n k n+ d f(, d f( + θ, + θ ) f(, ) = + : Khai triển Talor k! ( n+ )! k = Nếu = ; = thì ta có khai triển Maclaurin. Khai triển Maclaurin: n k d f d f f(, ) = + k! ( n+ )! k = n+ (, ( θ, θ ) VD: Khai triển hàm f(, ) 3 = tại =, = đến cấp f (,) = Vi phân cấp 3 f = f (,) = df (,). 3. = + f 3 f (,) 3 = = Vi phân cấp 3 f = f (,) = f = 6 f (,) = 6 d f (,) =. +.. + 6 f 6 f (,) 6 = =
df (,) d f (,) f(, ) = f(,) + +!! f(, ) = = + ( ) + 3( ) + ( ) + 6( )( ) + 3( ) 3 BTVN:. Tính đạo hàm riêng cấp theo từng biến của các hàm sau. ( ) = + + Tính f f, ln( ). ( ) f(, ) = ln + +. Tính vi phân cấp của các hàm. z (, ) = ln sin = + z z = arctan ( ). 3. Tính Gradient của các hàm. z = + sin ( ). z (, ) = ( + e ) 4. Tính đạo hàm của hàm sau: f( uv, ) = u sin v, u= +, v= 5. Tính đạo hàm riêng cấp của các hàm sau. Tính f nếu f (, ) = sin. f nếu f (, ). = Tìm đạo hàm riêng cấp hai Cho hàm hai biến z ( ) z của hàm hai biến z = e + + sin. = ln. Tính z. 6. Tính vi phân cấp của các hàm. Tìm vi phân cấp hai của hàm hai biến z = e tại (,) M. Tìm vi phân cấp hai của hàm hai biến z = e
5. Cực trị hàm nhiều biến(cực trị tự do) 5. Điều kiện cần của cực trị ĐN cực trị: Điểm P(, _ cực tiểu nếu BP (, ε ) của P sao cho f(, f(, ) (, ) BP (, ε ) Tương tự cho cực đại f(, ) f(, Các điểm cực đại, cực tiểu gọi chung cực trị (, ) (, ) Điểm dừng: Điểm (, _ điểm dừng của f(, ) nếu f (, ) = f (, ) = Định Lý (ĐK cần có cực trị): Nếu hàm z= f(, ) có cực trị tại P(, thì tại P hàm số có các đạo hàm riêng =( Điểm dừng). 5. ĐK đủ của cực trị Định Lý: cho f(, ) ác định, liên tục và có đạo hàm riêng cấp liên tục trong lân cận của điểm dừng P(,. Đặt A= f ; (, ) B= f (, ); C = f (, ); = AC B - Nếu >, A< P (, là điểm cực đại của f(, ) - Nếu >, A> P (, là điểm cực tiểu của f(, ) - Nếu < thì P(, không là điểm cực trị của f(, ) VD: Tìm cực trị B: Tìm điểm dừng. 3 3 f (, ) = + 3 Giải hệ pt f = 3 3 = = = () 4 3 f = 3 3= 3 3= ( ) = () () () () = = = =,. Ta có điểm dừng P(,, P (,) B: Tìm cực trị từ điểm dừng, tính các đạo hàm riêng cấp f = 6, f = 3, f = 6 Tha từng điểm dừng vào các ĐHR cấp hai ta được các hằng số A, B, C
Với P (,, ta có A= f (, =, = (, = 3, B f C f = (, =, = 9< Kết luận: Điểm P (, Với P (,), A= f (,) = 6, Xét = 36 9 = 7 >, A > B f = (,) = 3, C f = (,) = 6, Kết luận: Điểm P (,) là điểm cực tiểu và f (,) = Chú ý: Để ác định (, là cực đại/ cực tiểu ta có thể ét d f (, ) = f (, ) d + f (, ) dd + f (, ) d bằng cách em d f như là một dạng toàn phương của biến, (, d d A B = B C = A > d f P > ( ) : cực tiểu = > = A < d f P < ( ) : cực đại = > < không ác định dấu P không là cực trị d f( P ) Tương tự cho hàm 3 biến f( z,, ) = w Điểm dừng f (,, z = f (,, z = M(,, z fz (,, z = điểm dừng d f ( M =. d +. d +. dz f z f f f f f f = ( M d + ( M d + ( M dz + ( M dd + ( M ddz + ( M ddz z z z = f ( M ) d + f ( M ) d + f ( M ) dz + f ( M ) dd + f ( M ) ddz + f ( M ) ddz zz z z
f ( M f ( M fz ( M Xét = f ( M f ( M fz ( M fz ( M fz ( M fzz ( M >, >, > d f( M ) > M cực tiểu 3 <, >, < d f( M ) < M cực đại 3 d f( M không ác định dấu f(, ) không đạt cực trị tại M VD : z 3 : + 4 + 4 7 z 6 4 3, = = = = = 3 z = + 4= = = Vậ ta có điểm dừng P(, ), P(, ) Xét các đạo hàm riêng cấp z = z = z = Với P (, ) ta có 3 z (, ) = z = d f = d + d > P z (, ) = (, ) (, ) (, ) Với P (, ) 3 ( 3 ) ( ) ( ) là điểm cực tiểu z, = z, (, ) ( = d f = d + d P, 3 3 3 ) là cực tiểu z, = 3 VD: Tìm cực trị của các hàm f(, ) = ( ) + ; f(, ) = ( ) ; f(, ) = + 4 4
6. Cực trị có điều kiện Định Nghĩa: Hàm f(, ) với đk ϕ (, )(có đồ thị ( δ )) đạt cực đại tại M(, nếu ϕ (, ) = + f(, ) f(, ) (, ) D ( δ ) (D lân cận của M(, ) + Định Lý (ĐK cần của cực trị có đk) Xét f(, ) với đk ϕ (, ) = thỏa các đk + f(,, ) ϕ (, ) = khả vi + ϕ (,, ϕ (, ) + f(, ) với đk ϕ (, ) = đạt cực trị tại M(,. Khi ấ f(, + λϕ(, = λ + = ϕ (, = :(*) f(, λϕ(, λ _nhân tử Lagrange Định Lý (ĐK đủ) Cho f(,, ) ϕ (, ) có đạo hàm riêng cấp liên tục trong lân cận M(, và thỏa (*). Xét L (,, λ) = f(, ) + λϕ(, ): hàm Lagrange Bước : L (, = L (, = (,, λ) ϕ (, = điểm dừng của hàm Lagrange Đưa hàm cực trị có điều kiện không điều kiện Bước : Xét d L(,, λ) = L (,, λ) d + L (,, λ) dd + L (,, λ) d dϕ(, = ϕ(, d+ ϕ(, d = (**) +Nếu +Nếu + Nếu dl λ ác định dương với (**) (,, ) dl λ ác định âm với (**) (,, ) dl λ không ác định dấu (,, ) M cực tiểu của f(, ) với đk ϕ (, ) = M cực đại của f(, ) với đk ϕ (, ) = M không là điểm cực trị của f(, )
VD : f(, ) = + đk: ϕ (, ) = + = Cách :Xét hàm Lagrange: L (, ) = + + λ( + ) B: Tìm điểm dừng của hàm Lagrange L = + λ = λ = = = L = + λ = λ = λ = λ = = = + = = Điểm P(,) là điểm dừng của hàm Lagrange ứng với λ = B: Xét dấu d L(,, ) với điều kiện d = d + d = ϕ ϕ ϕ Ta có: ϕ(, ) = + = dϕ = d + d = dϕ(,) = d + d = L L L = = = = = = L (,, ) L (,, ) L (,, ) Xét d L(,, ) = L (,, ) d + L (,, ) dd + L (,, ) d dϕ(,) = d + d = d L(,, ) = d + d d = d d L = d > (,, ) 4 Vậ f(, ) đạt cực tiểu tại M (,) với điều kiện ϕ (, ) = + = C: Tha = vào f = f = + = + = + (, ) ( ) ( ) 4 4 ( ) f ( ) = 4 4= =, f f ( ) = 4 () = 4> Hàm đạt cực tiểu tại =, = = và f min = VD: Tìm cực trị hàm z = với đk + = 8 L(, ) = + λ + 8
Giải hệ = ( I) = λ = + = 8 λ () λ λ = + = = 8 = L 4 λ = λ = λ = + = () = λ = λ ( ) = λ λ = L II L + = + = + = + = (3) 8 8 8 8 λ = ( III) = λ + = 8 λ () = λ (4). Tha = λ vào () ta được + ( λ ) = 4 λ = = 4 λ = ± +Giải hệ (I) = = = λ = hệ không có nghiệm_loại = (!) + = 8 + λ = =. Tha vào (3) ta được 4 + = = =± = = ± =± 8 ( ) Ta có điểm dừng M(, ), M(,) + λ = =. Tha vào (3) ta được 4 + = = =± = = ± =± 8 ( ) Ta có điểm dừng M3(,), M4(, )
L λ =, 4 L =, L = λ d L = λ d + dd + λd (5) 4 dϕ = d + d = (6) 4 Xét dấu dlm ( ) với đk (6) M (, ) d ( M ) = d d = d = d(*) * ϕ Tha (*) và λ = vào (5) Do đó z đạt cực tiểu tại M, zm ( ) = * ϕ d L = d + d d + d = d > M (,) d ( M ) = d + d = d = d(**) Tha (*) và λ = vào (5) Do đó z đạt cực tiểu tại M, zm ( ) = M λ ϕ 3 * 3 (,) d L = d + d d + d = d > = d ( M ) = d + d = d = d(***) Tha (***) và λ = vào (5) d L = d + d d d = d d d = d < 4 Do đó z đạt cực đại tại M 3, zm ( 3) = M z = zm ( ) = * 4 ma 4 7. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm trên miền đóng, bị chặn Tìm GTLN, GTNN trong miền G compact (đóng, bị chặn) + Nếu f đạt cực trị tại M trong G cực trị (tự do)
+ Nếu f đạt cực trị tại N trên biên G cực trị (có đk) Cách giải: + Tìm các điểm nghi ngờ có cực trị trong G.(các điểm dừng ( M, M, M 3) ) + Tìm các điểm nghi ngờ có cực trị trên biên G ( N, N ) So sánh f( M), f( M), f( M3), f( N), f( N ) tìm ma, min VD : z = ( ) trong miền giới hạn bởi =, =, + = 6 Trong G: z = 4 3 = (4 3 ) z = = ( ) 3 Vì tìm cực trị M(, bên trong G >, > z = = 4 3 = 4 3+ = M, G z = = = = Trên biên a/ OA = z = b/ OB = z = c/ AB : + = 6 Cách : L (,, λ) = ( ) + λ( + 6) L = 4 3 + λ = 4 (6 ) 3 (6 ) (6 ) + λ = 3 3 L = + λ = (6 ) + λ = + = 6 = 6 3 + + + λ = + = = = 48 48 4 3 λ = = 6 = 6 3 = 6 λ = λ = ; λ = 96. M(,6) _ λ =, N(4, ) _ λ = 96
f( M) = f(,6) =, f( N) = f(4,) = 8 Cách : Tha = 6 vào z = (6 )( ) = (6 )( 4) = 4 4 3 = = 6 z= 48= ( 4) = = 4 = M (,6), M 3 (4, ) zm ( ) = z, = 4 3 ( ) Ma, zm z( ) zm ( ) = z 4, = 8.6 = 8 Min z( OA) = z( OB) = ( ) =,6 =, VD : Tìm GTLN, GTNN của f(, ) = + trong D= {(, ): + } Tìm điểm dừng của hàm f trong D tức là f = = =, = D f 4 = = Tìm điểm dừng trên biên + = Xét L= + + λ( + ), + < M, thỏa + < L = + λ= () L = 4+ λ = () + = (3) Từ (): ( + λ) = =, λ = Từ (3): = =± M(,, M3(, : là điểm dừng () (3) 3 3 λ = 4= = = = =± 4 3 3 Ta có điểm dừng M4,, M5, f ( M ) = f, = = Min 4 4 ( ) f( M ) = f, =
3 ( ) f( M ) = f, = 3 3 3 6 9 f( M4) = f,. = + + = + = Ma 4 4 4 4 4 3 3 3 6 9 f( M5) = f,. = + + = + = 4 4 4 4 4 GTNN của f(, ) là đạt tại M 4 GTLN của f(, ) là 9 4 đạt tại M3, M 4 VD: z = + D = [,][, ] z = 4= = * Trong D: z = = = M (, D * Biên D: AB z z : = = = 4 = = BC z z M f : = = = = = (, (, = CD = z = + z = = = D : 4 (, ) AD z z M : = = = = = (, (, (, = A(, ) f(,) = B(, ) f(, ) = C(, ) f (, ) = 4 Ma D(, ) f(, ) = M (, f(, = M (, f (, = Min