VII. RETS E PLNOS NO ESPZO.- Ecuacións da recta Unha recta r no espao queda determinada por un punto, punto base, e un vector v non nulo que se chama vector director ou direccional da recta; r, v é a determinación linear da recta r. Se {O; e, e, e } é un sistema de referencia ortonormal, calquera punto X da recta r determina con un vector X tal que X=t v, tr Se a e son os vectores de posición dos puntos e X respectivamente, = a+x, é dicir = a + t v, tr ecuación vectorial de r Se,,,,, e v, v, v son as coordenadas ou compoñentes de, a, v respectivamente, aplicando a identificación estudada entre V e R, a ecuación vectorial transfórmase en:,, =,, + t v, v, v, = + t v = + t v = + t v ecuacións paramétricas de r espeando t e igualando, v v v ecuacións continuas de r, se v i hámanse coeficientes directores da recta r, ás compoñentes v, v, v do vector direccional v. Esta terna define unha dirección salvo que se trate do vector,,. Se separamos as igualdades das ecuación continuas en dúas ecuacións e agrupamos os termos nun membro, obtemos as ecuacións implícitas ou cartesianas da recta. Eercicios: determinación linear da recta r que pasa por dous puntos distintos e é r,. Se,, e,, obter as ecuacións paramétricas e as ecuacións continuas da recta que determinan.. Escribe un sistema de ecuacións paramétricas das seguintes rectas: a os eies de coordenadas b recta paralela ao eie OX e que pasa por,, 5 determinación linear dun elemento do espao recta, plano, superficie esférica, etc é o conunto mínimo de datos necesarios para que dito elemento quede determinado VII /
.- Ecuacións do plano Un plano α no espao, queda determinado mediante un punto e dous vectores u,v non nulos e non proporcionais que se chaman vectores direccionais do plano; α, u, v é a determinación linear do plano α. Se {O; e, e, e } é un sistema de referencia ortonormal, calquera punto X do plano α determina con un vector X tal que X=s u+t v, s, tr Se a e son os vectores de posición dos puntos e X respectivamente, = a+x, é dicir = a + s u + t v, s, tr ecuación vectorial de α Se,,,,,, u, u, u e v, v, v son as compoñentes de, a, u, v respectivamente, aplicando a identificación de V e R, a ecuación vectorial transfórmase en:,, =,, + s u, u, u + t v, v, v de onde, = + s u + t v = + s u + t v = + s u + t v ecuacións paramétricas de α Ou tamén: - = s u + t v - = s u + t v - = s u + t v é dicir u é combinación linear de u u e v v v u v e, polo tanto: u v u v ecuación en forma de determinante esenvolvendo polos elementos da primeira columna e operando, resulta: + + + = ecuación eral, cartesiana ou implícita O plano que pasa por tres puntos distintos e non aliñados,, ten como determinación linear,,. Eercicio: Se,,,,, e,, son tres puntos distintos e non aliñados, obter as ecuacións paramétricas e en forma de determinante do plano que determinan. No caso particular dun plano que corte ós tres eies en a,,,,b, e,,c, a partir da ecuación en forma de determinante se obtén: a b c ecuación segmentaria O plano definido por r, u e un punto eterior, ven determinado por α, u, VII / Matemáticas II XEOMETRÍ
RETS E PLNOS NO ESPZO Matemáticas II VII / Vector normal ou característico dun plano. ado un plano, o vector n=,, é perpendicular ao plano, é dicir, ortogonal a calquera vector contido no plano; recibe o nome de vector característico do plano, ou vector normal. En efecto, sean dous puntos P,, e P,, de P P n ou o que é o mesmo, n P P logo n π a que P P é paralelo ao plano. Se P,, é un punto de,,, X se verifica que PX n ecuación normal do plano on epresión analítica:,,,, sí un plano queda determinado por un punto P, punto base, e un vector n ortogonal ao plano. o par P, n chámase determinación normal do plano..- Posicións relativas de planos a Posicións relativas de dous planos Sean e * M M= aso : rgm = rgm* = Sistema compatible indeterminado, os planos son coincidentes por tratares de ecuacións proporcionais. aso : rgm = rgm* = Sistema compatible indeterminado, os planos se cortan ao longo dunha recta. aso : rgm = e rgm* = Sistema incompatible, os planos ao non ter ningún punto en común son paralelos. omo rgm=, = = = O conunto de tódolos planos paralelos a un dado recibe o nome de feie de planos paralelos e ven dado pola ecuación R K, K b Posicións relativas de tres planos Sean e * M M=
aso : rgm = rgm* = Sistema compatible determinado, eiste un único punto de intersección común ós tres planos: córtanse nun punto. a aso : rgm = e rgm* = Sistema incompatible, non eiste ningún punto común aos tres planos. - Os tres planos se cortan dous a dous formando unha superficie prismática. b - ous planos son paralelos e o terceiro corta a ambos segundo dúas rectas paralelas. c aso : rgm = rgm* = Sistema compatible indeterminado, os tres planos teñen unha recta en común. - Os tres planos son distintos. d - ous planos son coincidentes. e aso 4: rgm = e rgm* = Sistema incompatible, os planos non teñen ningún punto en común. - Os tres planos son paralelos. f - ous planos son coincidentes e o outro é paralelo a eles. g aso 5: rgm = rgm* = Sistema compatible indeterminado, os tres planos son coincidentes. h a b c d e f g h VII / 4 Matemáticas II XEOMETRÍ
hámase feie de planos ao conunto de planos que pasan por unha recta, recta que recibe o nome de aresta do feie. O feie queda determinado por dous planos distintos do mesmo. Se a recta ven dada pola intersección de dous planos, e, a ecuación do feie de planos que a contén é:,, R Se Se facendo / O feie estará determinado polas ecuacións e 4.- Posicións relativas dunha recta e dun plano Estudo analítico: oas ecuacións da recta r e do plano v v podemos formar un sistema de tres ecuacións con tres incógnitas. rang = rang * =, solución única, recta e plano secantes. rang = e rang * =, incompatible, recta e plano paralelos rang = rang * =, infinitas solucións, recta contida no plano. Estudo en forma paramétrica: v, Sean a recta de ecuacións r tv, tv, tv e o plano de ecuación. Substituíndo,, de r na ecuación do plano se obtén v v v t que é unha ecuación linear en t. aso : v v v o ser o seu coeficiente distinto de cero, pódese despear t, e a ecuación ten solución; recta e plano se cortan nun punto. aso : v v v e ecuación non ten solución a que non se pode despear t; recta e plano son paralelos. aso : v v v e ecuación ten infinitas solucións, unha para cada valor de t; recta contida no plano. 5.- Posicións relativas de dúas rectas Unha recta pode vir dada como intersección de dous planos. Neste caso, as ecuacións paramétricas da recta obtéñense resolvendo o sistema formado polas ecuacións erais dos dous planos que a definen. Se o que interesa e calcular o vector direccional da recta, calcúlase o produto vectorial dos vectores característicos ou normais dos planos que determinan a recta. RETS E PLNOS NO ESPZO Matemáticas II VII / 5
Estudo analítico: onsiderando as rectas como intersección de dous planos cada unha, formamos un sistema de catro ecuacións con tres incógnitas. rang = e rang * = 4, incompatible, rectas que se cruan non paralelas e sen punto en común rang = rang * =, solución única, rectas secantes rang = e rang * =, incompatible, rectas paralelas rang = rang * =, infinitas solucións, rectas coincidentes Estudo en forma paramétrica: Sean as rectas de determinacións lineais r, u e s, v aso : rangu,v =, rangu,v, = Os vectores u e v non son paralelos polo tanto as rectas pódense cruar ou cortar. omo rgu,v,=, os vectores non son coplanarios, as rectas non están no mesmo plano e polo tanto se cruan. aso : rangu,v = rangu,v, = omo no caso anterior, pódense cruar ou cortar. Xa que rangu,v,=, os vectores son coplanarios, as rectas están no mesmo plano coplanarias e se cortan. aso : rangu,v =, rangu,v, = Os vectores u e v son paralelos, logo as rectas tamén o son. omo rangu,v,=, non ten a dirección de u e v e as rectas non poden coincidir, polo tanto son paralelas e distintas. aso 4: rangu,v = rangu,v, = omo no caso anterior as rectas son paralelas. Xa que rgu,v,=, son coincidentes. 6.- Proeccións ortogonais. Puntos simétricos proección ortogonal dun punto P sobre unha recta r é outro punto Q que pertence á recta, e tal que o vector PQ é perpendicular ao vector director da recta. hámase proección ortogonal do punto P sobre o plano ao punto P que se obtén como intersección da recta r perpendicular a que pasa por P co plano. hámase proección ortogonal da recta r sobre o plano á recta r que se obtén como intersección do plano ' perpendicular a que pasa por r co plano. O simétrico dun punto P respecto doutro Q é un punto P tal que Q é o punto medio do segmento PP O simétrico dun punto P respecto dunha recta r é un punto P tal que a recta r pasa polo punto medio do segmento PP, e o vector PP e perpendicular á recta r. O simétrico dun punto P respecto dun plano é outro punto P tal que o plano pasa polo punto medio do segmento PP, e o vector PP é perpendicular ao plano. VII / 6 Matemáticas II XEOMETRÍ
EXERIIOS. char a ecuación dun plano que pasa polo punto,,, sendo o triángulo formado polas rectas en que corta aos planos coordenados, equilátero.. char o valor de t para que o plano t t t 4 sea paralelo á recta,,,,,,. char a ecuación do plano que pasa por,, 4 e pola recta intersección dos planos + + 5 + 6 + 4 + 4. Posición relativa dos planos a+-+=, +4a-=. eterminar, no caso a=, a ecuación do plano que pasa por,, e é perpendicular a ambos. 5. char as ecuacións da recta que pasa por,-, e é paralela ao plano -+= e ao determinado polos puntos,,,,,,,,-. 6. Obtéñanse as ecuacións da recta intersección do plano que pasa polos puntos,,,,,,,, co plano que sendo perpendicular a contén a = = +. 7. char a ecuación da recta que pasa polo punto,,, é paralela ao plano e está no mesmo plano que a recta. 8. a emostra que o triángulo de vértices,,4, 4,, e,4, é equilátero. b alcula a ecuación da recta que pasa pola orie e é perpendicular ao plano que contén ao triángulo. c alcula a ecuación dunha recta que pasa pola orie e é paralela ao plano que contén ao triángulo. 9. char a ecuación da recta r que define o feie de planos +m-+m++m=. alcular a recta s que pasa pola orie de coordenadas, é perpendicular a r e paralela ao plano =.. e tódalas rectas que pasan por -,, e cortan á recta 4 + r investigar se eiste algunha que pase por -4,,.. onsideremos os puntos P-,,, Q7,, 7 e R-4,, 5. Pídese: a emostra que son os vértices dun triángulo rectángulo e calcula a lonitude de cada cateto e a área do triángulo. b Obtén a ecuación eral do plano que os contén. a Obtén un punto T tal que P, Q, R e T sean os vértices dun rectángulo.. ividir o segmento,,, -,, en tres partes iguais mediante dous planos perpendiculares á recta. ar as ecuacións de ambos planos.. Sea p o punto,, -, p o punto simétrico de p respecto do plano -= e sea p o punto simétrico de p respecto do plano ++=. alcular a ecuación do plano que pasa polos puntos p, p e p. λ 4 4 4. adas as rectas r : λ ; s : 4 λ corta perpendicularmente. achar as ecuacións da recta que as = a + + 5. Estudar se para valores adecuados de a e b, as rectas ; = = = b ortogonais e coplanarias. ales serían ditos valores?. poden ser RETS E PLNOS NO ESPZO Matemáticas II VII / 7
+ 4 6. ados o punto M,-,-4, a recta r : e o plano de ecuación - - - 7 =, a Ecuación da recta que pasa por M, é paralela ao plano e corta á recta r. b Ecuación do plano que pasa por M, é paralelo a r e perpendicular ao plano. 7. Un triángulo ten vértices,,,,, e o terceiro vértice situado na recta =, =. alcular as coordenadas do terceiro vértice, sabendo que a área é /. -+ = 8. ada a recta r: e o plano π: + + - =, achar a ecuación dunha recta --4 = situada no plano, que pase polo punto P,, - e sea perpendicular a r. 9. ados os planos,, a Estudar a súa posición relativa b char o punto simétrico da orie de coordenadas respecto á recta intersección dos dous primeiros planos. c char a proección ortogonal da orie sobre o plano. alcular raoadamente a área do triángulo con vértices nos puntos de corte cos eies coordenados do plano de ecuación +-=5. alcular tamén o ortocentro pto. de corte das alturas de dito triángulo.. ados,,,,-,4, 6,-,6 e,,, probar que,, non determinan ningún plano. Por que? char, se fora posible, a ecuación do plano que pasa polos catro puntos dados.. ados os puntos,,,,, e,6,a, a char para que valores do parámetro a están aliñados. b char se eisten valores de a para os que, e son tres vértices dun paralelogramo de área e, en caso afirmativo, calculalos. c char a ecuación da recta que pasando pola orie, corte perpendicularmente á recta.. eterminar as posicións relativas, segundo os valores do parámetro R, dos planos, 5, 4. 4. ada a recta r de ecuacións t, t, t e a recta s de ecuacións,, pídese: a. Estudar a súa posición relativa b. char a ecuación dunha recta que pasa pola orie de coordenadas e sea perpendicular ás rectas dadas. 5. adas as rectas r ; s a Estudar a súa posición. b char a recta que corta a r e s e é paralela a t,,,,,, - 4 6. ada a recta r e os puntos,, e -,,, pídese: - a char as ecuacións en forma continua da paralela a r que pasa polo punto medio de. b char o punto de r tal que a súa distancia a sea mínima. 7. Probar que os planos a a e a a se cortan nunha recta r que pasa pola orie, calquera que sea o valor de a. char a posición relativa de r co plano a para os diferentes valores de a. / 8. adas as rectas r e s, dicir se eisten, e achar en cada caso: a O plano paralelo á recta s que contén á recta r. b O plano perpendicular a s que conteña a r. c recta de dirección perpendicular a ambas rectas que pasa pola orie. VII / 8 Matemáticas II XEOMETRÍ
-. 9. Se considera P,,- e a recta e o plano r ; π + -+ 4= alcular o punto, R, de corte de r e, a ecuación eral do plano determinado por P e r. ar a ecuación continua da recta s paralela a e perpendicular á recta r e que pasa por,,.. recta r e o plano teñen en común o punto P,-,. demais, r corta perpendicularmente a. Sábese tamén que o punto Q,, está en e que o vector v,, é un vector con orie nun punto de e etremo noutro punto de. Encontrar a ecuación da recta r.. Sea r a recta que pasa polo punto,, e ten como vector director o v=, -,.. char o punto P da recta r que está máis preto do punto 4, 7, 5. cha o cuarto vértice, Q, do paralelogramo con vértices consecutivos PQ. Podes especificar que tipo de paralelogramo é PQ?. Estudar, segundo os valores do parámetro, a posición relativa das rectas r e s. alcular o punto de intersección no caso de que se corten: r : ; s :.. Sea o tetraedro de vértices,,,,,,,, e,, a alcula a ecuación do plano que contén a cara e a do plano que contén a cara. b alcula as ecuacións de dúas alturas do tetraedro, a que pasa polo vértice e a que pasa polo vértice, respectivamente. c omproba que as dúas alturas anteriores se cortan nun punto P d omproba se a recta que une calquera vértice do tetraedro co punto P é perpendicular á cara oposta e é, polo tanto, unha altura do tetraedro 4. ada a recta r e o plano + - - 6 = 5 a eterminar o punto P intersección de r e e o punto R de que está máis preto ao punto Q6, -, - de r. b Ecuación da recta s determinada por P e R. c Área do triángulo que ten como vértices P, Q e R. 5. ada a recta r e o plano, achar un plano que conteña á recta r e corte ao plano nunha recta paralela ao plano OXY. 6. iscute e resolve, segundo os valores de m, a posición relativa dos seguintes planos, indicando : as figuras eométricas que determinan: : 5 6. : m 7. Encontrar a recta que pasa polo punto,,- e corta ás rectas de ecuacións t ; t 4 t 8. Encontrar a recta que pasa pola orie, está contida no plano de ecuación +-4= e é perpendicular á recta,. 9. alcula a sabendo que os planos a 7 5 e a 8 se cortan nunha recta que pasa por,, pero que non pasa por 6, -,. 4. onsidera os puntos,,,,,,,, e,,, calcula: a. O volume do tetraedro que determinan b. ecuación cartesiana ou implícita do plano que contén ao punto e é paralelo ao que contén ós puntos,,. RETS E PLNOS NO ESPZO Matemáticas II VII / 9
7 4. Se considera a recta r e o punto P,,. 4 a alcula a ecuación paramétrica do plano que é perpendicular á recta r e contén a P. b ada a recta s, cal é a posición relativa entre a recta s e o plano? c alcula cales son as coordenadas do punto Q da recta s que está máis preto á recta r. Xustifica a túa resposta 4. Sea a recta r a. Escribe a recta en forma paramétrica b. Para cada punto P de r, determina a ecuación da recta que pasa por P e corta perpendicularmente ao eie OZ 4. Sean e os puntos do espao de coordenadas =,,, =,,. Encontrar a ecuación paramétrica da recta que pasa por ditos puntos Eisten valores de r e s para os que o punto de coordenadas =, r+s, r-s pertena á recta calculada antes? En caso afirmativo, calcular os valores r e s. Raoar a contestación en caso negativo. 44. char as ecuacións dos planos que pasan polo punto -7,, - e tales que as proeccións perpendiculares da orie sobre ditos planos son puntos da recta,,, 4, t,,. t t 45. a emostra que L t e L se cortan nun punto. al é ese punto? t 4 t b Encontrar a ecuación do plano determinado por ditas rectas 46. Para cada valor de a, os puntos P=,, e =,, a son simétricos respecto dun plano. char, raoadamente, a ecuación de dito plano. En particular, encontrar o plano para a=. 47. Sea r a recta que contén ao punto P=, -, e que é perpendicular ao plano de ecuación 5. Encontrar a ecuación paramétrica de r. char de forma raoada a ecuación dun plano que conteña ao punto Q=,, e que non teña puntos comúns con r. É único dito plano? 48. Sea o plano : e o punto =5, -5, 4 a eterminar o punto simétrico de respecto de b char o volume da figura do espao limitado polo plano e os tres planos cartesianos 49. onsidera o triángulo que ten por vértices os puntos,,,,, - e, -, a Raoa se o triángulo é rectángulo b alcula a recta r que pasa por e é perpendicular ó lado c alcula a recta s que pasa polos puntos e d Se é o punto de corte das rectas r e s, calcula o módulo do vector e alcula a lonitude do lado f alcula o produto vectorial dos vectores e e comproba que o seu módulo é igual a h.b, sendo h o módulo do vector e b a lonitude do lado. 5. ous vértices consecutivos dun rectángulo están en P,, - e Q-,, e os outros dous vértices pertencen á recta r que pasa polo punto 4,, -5. Pídese: a char a ecuación da recta r e a do plano que contén ao rectángulo. b char as coordenadas dos outros dous vértices do rectángulo VII / Matemáticas II XEOMETRÍ
5. onsidera os planos de ecuacións :, : p p e : p onde p é un parámetro real. a Para que valores de p os tres planos se cortan nun único punto? cha este punto cando p=. b Hai algún valor de p que faga que a intersección común sea unha recta? Se é así, escribe a ecuación vectorial desa recta. c escribe a posición relativa dos tres planos cando p=/. 5. Sea r a recta que pasa pola orie de coordenadas e ten como vector director v4,,. char un punto P contido en dita recta, tal que se chamamos Q á súa proección sobre o plano :, o triángulo OPQ ten de área. 5. a s compoñentes de u, v e w nunha certa base de V son: u,,, v,,, w 4,,7 char nesa mesma base as compoñentes do vector u v / w b eterminar a posición relativa das seguintes rectas: 7 5 7 5 5 6 r r 7 7 5 54. adas as rectas r : e s : e o punto P=,, -, queremos encontrar a ecuación da recta que pasa por P e que corta a r e s. Para conseguilo: a etermina a ecuación eral ou cartesiana do plano que contén á recta r e ao punto P. b etermina o punto M, intersección do plano coa recta s. c etermina a ecuación da recta que pasa polos puntos P e M. d omproba que a recta achada no apartado anterior é a buscada. 55. Se considera o plano a a 4 e a recta r a eterminar os valores de a para os que a recta e o plano son paralelos. b Para a=, calcular a recta que pasa por P,, -, é paralela a e se apoia na recta r. 56. Se consideran os puntos =, -,, =,, e =,,. Se pide: a emostra que determinan un triángulo. b char os puntos de intersección do plano determinado por este triángulo cos eies de coordenadas. 57. char a ecuación do plano que pasa polo punto P=, -, 4 e é paralelo ás rectas 5 4 r e r 58. ados os puntos P=4,, e Q=,,, encontra os dous puntos, R e R, do plano tales que PQR e PQR son triángulos equiláteros. 59. Un plano determina sobre a parte positiva dos eies OX, OY e OZ tres segmentos de lonitudes, e 4 m, respectivamente. a che a ecuación do plano b che a ecuación da recta r que contén aos puntos,, e, 6, a e estude a posición relativa de e r segundo os valores de a. c Para o caso a=, ache o punto onde se cortan e r. 6. Sean e os puntos do espao, de coordenadas =, 4, +a, =-,,-a. Sábese que ditos puntos son simétricos respecto a un plano. char de forma raoada a ecuación de dito plano. RETS E PLNOS NO ESPZO Matemáticas II VII /
6. alcular a ecuación cartesiana da recta que contén aos puntos de coordenadas =,, a e =,,. Eiste algún valor de a tal que o punto,, pertena á recta? Raoar a resposta. 6. Sea a recta r definida por e sean os planos, de ecuación, e, de ecuación. cha a recta contida no plano, que é paralela ao plano e que corta á recta r. 6. ados o plano 5 4 e a recta r contida en, obter a recta s contida en que é perpendicular a r, e que pasa pola orie de coordenadas. 64. onsidérase a recta r definida por e a recta s definida por. cha a ecuación da recta perpendicular común a r e s. 65. onsidera o plano, a recta s e o punto =,, -. a cha unha ecuación eral do plano que pasa polo punto, é perpendicular a e ademais é paralelo á recta s. b eséase construír un cadrado que teña un vértice no punto e un lado sobre a recta s. etermina a lonitude dun lado do cadrado e as coordenadas do vértice que está na recta s e é consecutivo ao vértice. 66. Sean r e s dúas rectas do espao, cuas ecuacións, dependentes dun parámetro real b, son as b b seguintes: r : s : 5 b a Encontra o punto de corte da recta r co plano de ecuación e o punto de corte da recta s co mesmo plano. b alcula un vector dirección para cada unha das dúas rectas. c Estuda a posición relativa das dúas rectas en función do parámetro b. 67. ados os puntos O=,,, =4,4, e P=,,, pídese obter raoadamente: a ecuación da recta que pasa por e é perpendicular ao plano de ecuación b ecuación dun plano que cumpra as dúas condicións seguintes: Pase por P e por un punto Q da recta de ecuación 4 Sea perpendicular á recta que pasa por O e Q 5 68. adas as rectas: r : r' : determine a relación que debe a b eistir entre a e b para que: a r e r ' sean paralelas b r e r ' sean perpendiculares 69. onsidera os puntos =,, -, =,,, =,, e =,, m, onde m R. a etermina o valor do parámetro m para que os catro puntos sean coplanarios. b alcula o punto do plano máis preto ao punto VII / Matemáticas II XEOMETRÍ
7. Se consideran as rectas r e s dadas polas ecuacións: r s a a cha o valor do parámetro a para que r e s sean perpendiculares. b char a recta t paralela a r e que pasa polo punto de s cua ordenada é. 7. Sean P a, b, c e Q a, b, c dous puntos do plano. emostra que o vector PQ é perpendicular ao vector n,,. plica o resultado anterior para calcular a ecuación eral do plano que contén aos puntos P=,,, Q=-,, e R=,, 7. Se r é a recta que pasa polo punto P=, -, e ten como vector director,, -, eiste algún valor de a para o cal a recta r está contida no plano 4 a? En caso afirmativo, encontra o valor de a. En caso negativo, raoa a túa resposta. 7. Encontra a ecuación continua da recta que está contida no plano 4 e corta perpendicularmente á recta seguinte: r,, a b onde a, b R a etermina o valor dos parámetros a e b para que os planos se corten nunha recta r. b alcula unhas ecuacións paramétricas da recta r. c cha unha ecuación eral do plano que contén á recta r e que pasa polo punto Q,, 74. onsidera os planos 75. Estude, en función dos parámetros a e b, a posición relativa da recta r e o plano a b Para cada unha das posicións obtidas, diga como é o sistema formado polas tres ecuacións:,, a a b 76. eterminar a ecuación do plano que pasando polos puntos,, e,, corta ao eie OZ no punto,, c con c, tal que a área do triángulo vale 6 77. alcula a ecuación dunha recta r paralela ao plano que pasa polos puntos,,,,, e,, e ao plano de ecuación e que non está contida en ningún deles. 4 78. recta r de ecuación e a recta s que pasa polos puntos P,, e Q a,, se cortan nun punto. alcula o valor de a e o punto de corte. 79. a char o volume do tetraedro que ten un vértice na orie e os outros tres vértices nas interseccións das rectas: r, r, r co plano 7 4 5 b char a recta t que corta perpendicularmente a r4, r5 8. ados o plano 6 e a recta r a 4 a Encontra o valor do parámetro a R para que e r sean paralelos b Para o valor de a do apartado anterior, da a ecuación eral do plano ' que contén a r e é perpendicular a RETS E PLNOS NO ESPZO Matemáticas II VII /
VII / 4 Matemáticas II XEOMETRÍ