.7. VIDURINIŲ REIKŠMIŲ TEOREMOS, JŲ TAIKYMAI 7.. Ferm teorem. (Pierre de Fermt, 6-665, http://www-history.mcs.std.c.uk/~history/mthemticis/fermt.html). Jei fukcij, pibrėžt itervle I vidiime jo tške turi loklų mksimumą (r miimumą) ir tme tške fukcij yr diferecijuojm, ti f ( ) =. Įrodyms. Skykime, U yr tško plik, kurioje f f( ), U. Td f f( ), ki, > ir U, (7.) f f( ), ki < ir U. (7.) Dėl to, kd fukcij diferecijuojm tške, egzistuoj pršytų stykių elygybėse (7.) ir (7.) ribos ir jos lygios fukcijos išvestiei tške. Perėję šiose elygybėse prie ribos, gusime f ( ), f ( ) f ( ) =. 7.. Rolio teorem. (Michel Rolle, 65-79, http://www-history.mcs.std.c.uk/~history/mthemticis/rolle.html). Jei fukcij f tolydi uždrjme itervle [;b], diferecijuojm tvirjme itervle ( b ; ) ir f( ) = f( b), ti egzistuoj toks tšks cc, ( b ; ), kd f () c =. Įrodyms. Iš Vejerštrso teoremos išpluki, kd egzistuoj tokie cm, c M, kd f( cm) = if{ f; [ ; b]}, f( cm) = sup{ f; [ ; b]}. Jei bu tški cm, c M yr itervlo gli, ti fukcij yr pstovi. Td kiekvieme itervlo tške išvestiė yr lygi uliui. Jei bet vies iš tškų cm, c M yr itervlo viduje, ti remimės Ferm teorem ir gume, kd išvestiė tme tške yr ulis. 7.3. Užduotis. Sukostruokite kotrpvyzdžius Rolio teoremi, t.y. rskite tokis fukcijs, kurios eteki kokios ors (bet vieos!) teoremos sąlygos. Td ėr teisigs teoremos tvirtiims. 7.4. Lgržo teorem. (Joseph-Louis Lgrge, 736-83, http://wwwhistory.mcs.st-d.c.uk/~history/mthemticis/lgrge.html). Jei fukcij f tolydi uždrjme itervle [;b] ir diferecijuojm tvirjme itervle ( b, ; ) ti egzistuoj toks tšks cc, ( b ; ), kd f( b) f( ) = f ( c)( b ) (7.3) rb f( b) f( ) = f () c. (7.4) b Lgržo teorem yr lbi plčii tikoms mtemtiis istrumets. Išrišk (7.4) turi lbi iškią geometrię prsmę tške ( c; f( c )) liestiės posvyris yr lygus tkrpos, jugičios fukcijos grfiko glus, posvyriui (liestiė lygigreti ti tkrpi). Lgržo teorem krtis vdim bigtiių pokyčių teorem, es ji išreiški fukcijos pokytį rgumeto pokyčio ir išvestiės sdug. Įrodyms. Įrodymo idėj lbi pprst tliekm tiesiė fukcijos f trsformcij, kd ujoji fukcij tekitų Rolio teoremos sąlygs.
f( b) f( ) g = f ( ). (7.5) b Lbi legv suskičiuoti, kd g = gb = f( ) ir f( b) f( ) g () c = f () c =. b 7.5. Koši teorem. (Augusti Louis Cuchy, 789-857, http://www-history.mcs.std.c.uk/~history/mthemticis/cuchy.html). Jei fukcijos f, g tolydžios itervle [ b, ; ] diferecijuojmos itervle ( b, ; ) g pstovus žeklo visme itervle, ti egzistuoj tok tšks c iš itervlo vidus, kd f( b) f( ) f ( c) =. (7.6) gb g g ( c) Įrodyms. Įrodymo idėj toki pt, kip ir Lgržo teoremos įrodymo - kostruojme fukciją, tekičią Rolio teoremos sąlygs. f( b) f( ) F = f ( g g( )). (7.7) gb g Siūlu pbigti įrodymą ptiems. 7.6. Fukcijos mootoiškums. Jei fukcijos f išvestiė itervle I pstovus žeklo, ti fukcij tme itervle yr griežti mootoišk. Įrodyms. Skykime, f >,, I. Iš itervlo I pimkime du tškus,, <. Lgržo teorem teigi, kd tsirs toks c (, ), < c (, ) <, jog f( ) f = f ( c(, ))( ). (7.8) Jei išvestiė visur teigim, ti sdug, esti dešiiojoje lygybės (7.8) pusėje bus teigim. Td kirioji pusė bus teigims ir fukcij bus griežti didėjti. 7.7. Klusims. Skykime, fukcijos išvestiė yr pstovus žeklo, išskyrus vieą, du r bet kokį bigtiį skičių tškų, kuriuose ji lygi uliui. Ar glime teigti, jog fukcij yr griežti didėjti? Pgriėkite pvyzdį y = 3,!. 7.8. Liopitlio tisyklė(s). (Guillume Frçois Atoie Mrquis de L Hôpitl, 66-74, http://www-history.mcs.std.c.uk/~history/mthemticis/de_l Hopitl.html ). Jei fukcijos f, g tolydžios itervle ( b, ; ] diferecijuojmos itervle ( b, ; ) g pstovus žeklo visme itervle, lim f = lim g = ir f lim = A, (7.9) g ( ) ti f lim = A. (7.) g Įrodyms. Apibrėžkime fukcijs f ir g ppildomi tške =, suteikdmi biem fukcijom reikšmes lygis uliui. Td bi fukcijos bus tolydžios itervle [ b ; ] ir joms glėsime tikyti Koši teoremą:
f f f f( ) f ( c( ; )) = = =, (7.) g g g g g ( c ( ; )) či < c( ; ) <. Ki, >, ti ir c ( ; ). Todėl f f ( c( ; )) f lim = lim = lim = A. g g ( c ( ; )) g Mes įrodėme pprsčiusią Liopitlio tisyklės vritą. Sudėtigesi tveji, ki ribiis tšks yr begliis r fukcijų ribos begliės yr lbi gržii išgriėti V.Kbilos Mtemtiės lizės -oje dlyje 6-8 psl. Tčiu išku, kd svrbiusi sąlyg Liopitlio tisyklėse yr (7.9). 7.9. Pvyzdys. Apskičiuokime ribą + lim 3 +. Akivizdu, kd ptekitos pirmosios Liopitlio teoremos sąlygos. Tisyklė tikom tip: skičiuojme išvesties skitiklyje ir vrdiklyje; jei išvestiių stykio ribą mokme pskičiuoti, ti ji bus lygi ir fukcijų stykio ribi. 3 + 3 ( ) 3 lim lim + = + = lim =. 3 + + 3 3 ( + ) Tigi sąlygą (7.9) mes tikrime spręsdmi uždviį. 7.. Atvirkštiės fukcijos išvestiė. Skykime, fukcij f yr diferecijuojm itervle I ir išvestiė yr pstovus žeklo visme itervle. Td egziztuoj diferecijuojm tvirkštiė fukcij ir f ( y ) =,,, y = f f y y f I. (7.) Įrodyms. Skykime, f >,, I. Td fukcij yr griežti didėjti (teigiys 7.6) ir egzistuoj tvirkštiė fukcij f, pibrėžt itervle f( I ). Grfiis įrodyms. Fiksuokime tšką, I, ubrėžkime grfiko liestię tške ( ; y), y = f. Liestiės posvyris yr f ( ). Atvirkštiės fukcijos grfiks yr ts pts (!!!).Tme pčime tške grfiks turi tą pčią liestię. Tik tvirkštiės fukcijos epriklusoms kitmsis yr y, o priklusoms kitmsis yr. Todėl ir liestiės posvyrii į skirtigs koordities šis turėtų tekiti sąlygą posv y ( liest) =, (7.3) posv ( liest) či idekss reikštų posvyrį į bscisę, o y posvyrį į orditę. Jei perršysime posvyrius išvestiių klb, ti gusime sąlygą (7.). Aliziis įrodyms. f ( y) f ( y) ( f ) ( y) = lim (išvestiės pibrėžims) y y y y f ( f) f ( f( )) = lim (pkeičime y = f, y = f ; ki f f( ) y y, ti dėl f tolydumo) 3
= lim f ( ) f ( ) ( f ( f) =, f ( f( )) = ) = =. ( f ( ) ir f ( ) ) f f lim f 7.. Pvyzdžii.. Ntūrlusis logritms. Fukcij y = ep pibrėžt visoje tiesėje!, jos reikšmių sritis ep(!) = (; + ). Išvestiė y = ep >,,!. Tigi egzistuoj tvirkštiė fukcij f :(; + ) ( ; + ), kuri turi svo žymėjimą ir pvdiimą tūrlusis logritms f ( y) = l y. (7.4) Remitis teigiiu 7., pskičiuokime tvirkštiės fukcijos išvestię l y = ( l y) = ( ep ) ( y) = = =. ep ep y Arb pkeitę rgumetų žymėjimus, gume l =, >. (7.5) π π. Arktgets. Ngriėkime fukciją y = tg, < <. Fukcijos išvestiė ( tg ) = >. Vdisi, fukcij griežti didėjti. cos lim tg =, lim tg =+. π π Egzistuoj tvirkštiė, pibrėžt itervle ( ; + ), įgyjti reikšmes itervle π ; = tg ( y) = rctg y. Skičiuokime išvestię rctg ( y) = ( tg ) ( y) = = = cos = = tg + tg + y. cos Pkeiskime rgumetus rctg = ( rctg ) =,!. + (7.6) Ptys išveskite formules 3. Arksiuss. rcsi,. (7.7) 4. Arkkosiuss. rccos,. (7.8) 5. Arkkotgets. ( rcctg ),!. + (7.9) Jei ptiems eišei išvesti šių formulių, ti surskite js kokime ors vdovėlyje. 4
7.. Lipsiė fukcij. Apibrėžime l = ep( l ) = e,!, >. (7.) Ptikrikite, kd tip pibrėžt fukcij sutmp su įprst lipsie fukcij, ki p =, pq, ". Glime pskičiuoti išvestię q ( l ) ( l ) = e = e ( l ) = =. (7.) Ki = ", ti (7.) sutmp su geri žiom iš mokykliių likų formule. 7.3. Ki kurios klsikiės ribos.. lim ( + ). lim l( + ) 3. lim 4. lim + + Norėčiu pstebti, kd šių ribų sttuss ki kuriuose mtemtiės lizės vdovėliuose yr visiški kits, ei mūsų kurse. Šios ribos tei reikligos ekspoetiės ir su j susijusių fukcijų išvestiėms pskičiuoti. Mes ekspoetię fukciją pibrėžėme lbi kostruktyvii. Jos išvestię surdome tip pt esukii. Mes udosimės ekspoetiės ir kitų fukcijų išvestiėmis. Atidžii pžiūrėję į pirmąsis tris ribs, mtome, kd ti yr fukcijų y =, y = ( + ), y = l( + ) išvestiių tške = pibrėžimi. Todėl iškrt glime pršyti tskymus ( lim ) = = = l = = l. (7.) ( + ) lim = (( + ) ) = ( + ) = = =. (7.3) l( + ) lim = l ( + ) = =. = + = (7.4) Apskičiuokime pskutiiąją ribą lim + = lim ep l + + + (fukcijų pibrėžimi) l + ep lim = + (fukcijos y = ep tolydums) l( + u) = ep lim u u (pkeičime u = ) = ep() = e. (rib (7.4)) (7.5) Prdiėje riboje gli, es ir td u =. 5
7.4. Fisų mtemtik. Situciją fisų rikoje glim uskyti keletu prmetrų. Lbiusii priimts prmetrs relijme psulyje ti plūkų orm. Tčiu teoriiuose drbuose lbiusii tikom yr kit chrkteristik. Skykime, turime kupimo fukciją At (), prmetrs t tolydus, t.y. t [; + ). Skirtums At ( + h) At prodo bsoliutųjį kpitlo prieugį per liko trpą h, o stykis At ( + h) At - stykiį prieugį. Jei t =, ", o h =, ti ts stykis ir yr At () įprst plūkų orm liko mometu. Skykime, kd egzistuoj rib At ( + h) At lim = δ t. (7.6) h At () h Ji vdim plūkų gli (force of iterest). Jei kupimo fukcij uskyt formule At () = e δ t, ti δ( t+ h) δt δh At ( + h) At e e e lim = lim = lim = δ. (7.7) h () h δt At h e h h h Vdisi, plūkų gli yr pstovi ir lygi δ. Šiuo tveju glim pršyti sąryšį trp plūkų ormos ir plūkų glios A() = e δ = + i. (7.8) δ i = e ; δ = l( + i). (7.9) i Pirmoje kurso dlyje skičivome ribą sekos = +, ki i - omili plūkų orm buvo pstovi, o perskičivimų skičius eprėžti didėjo. Td effektyvioji plūkų orm i didėjo, didėjt, ir buvo surdm iš sąryšio i + i = +. (7.3) Dbr likykime, kd effektyvioji plūkų orm i ekit, o kit omilioji plūkų orm, kurią glim rsti iš sąryšio (7.3) i + i = +, i = ( ( + i) ). Iš ribos (7.) ir pgridiės ribų teoremos išpluki, kd ( ) + i lim i = lim + i = lim = l( + i). (7.3) Jei prisimisime sąryšį (7.9), ti gusime lim i = l( + i) = δ. (7.3) Jei kupimo fukcij At diferecijuojm, ti sąryšį (7.6) glim perršyti tip At ( + h) At A ( t) δ t = lim = = ( l At ). (7.33) At () h h At () 6