7. ELEMENTARNE FUNKCIJE

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "7. ELEMENTARNE FUNKCIJE"

ÉΘεοκλής Σπυρόπουλος
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Geodetski fkultet dr. sc. J. e-rkić Predvj iz Mtemtike 7. ELEMENTRNE FUNKIJE Među fukcijm koje su de formulom vžu ulogu imju tkozve elemetre fukcije. Pozvje svojstv elemetrih fukcij omogućit će lkše svldvje grdiv mtemtičke lize i rješvje mogih zdtk tehičke prirode. Rzmotrit ćemo ko prvo osove elemetre fukcije. Osove elemetre fukcije su:. poliomi. rciole fukcije. ekspoecijle fukcije. logritmske fukcije. opć potecij 6. trigoometrijske fukcije 7. ciklometrijske fukcije. Elemetre fukcije su fukcije koje se mogu doiti iz osovih elemetrih fukcij pomoću kočog roj ritmetičkih opercij ( - :) i kočog roj kompozicij elemetrih fukcij. Osim vedeih osovih ordit ćemo i sljedeće elemetre fukcije: 8. hiperole fukcije 9. re fukcije. lgerske fukcije su oe elemetre fukcije koje su de pomoću kompozicije rciolih fukcij potecirj s rciolim ekspoetom i s četri osove rčuske opercije. Trscedete fukcije su oe elemetre fukcije koje isu lgerske. Tu spdju ekspoecijle logritmske trigoometrijske ciklometrijske hiperole i re fukcije. Poliomi Poliomi su fukcije olik p L N i R i K i koeficijeti člov poliom poliom tog stupj p : R R p poliom ultog stupj tj. kostt 68

2 Geodetski fkultet dr. sc. J. e-rkić Predvj iz Mtemtike Pod ultočkom fukcije ul tj. f. Nultočke poliom f podrzumijevmo roj z koji fukcij poprim vrijedost p su oe vrijedosti od z koje je p ez dokz vodimo ek svojstv poliom: L. - Dv poliom po vrijli idetičo su jedk ko i smo ko su koeficijeti jedko visokih potecij međusoo jedki. - Svki se poliom -tog stupj može rstviti u produkt od lierih fktor: p ( )( ) L( ) gdje su ultočke tog poliom koje mogu iti reli i kompleksi rojevi. ko su eki od jh međusoo jedki govorimo o višestrukim ultočkm. Z komplekse ultočke vrijedi d dolze u pru tj. ko je i ultočk poliom od je i kojugiro kompleksi roj i ultočk tog poliom i im istu višestrukost. Primjer: Fktorizcij poliom. p ) ) p ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( i)( i) Rciole fukcije Rciole fukcije su fukcije olik f P gdje su P Qm Q m zjedičkih ultočk. i poliomi stupj odoso m koji emju < m prv rciol fukcij m dijeljejem rojik s zivikom fukciju možemo pisti u oliku poliom i prve rciole fukcije. Dome: Skup svih relih rojev osim ultočk poliom Q u ziviku. Kodome: R Nultočke fukcije su ultočke poliom u rojiku tj. rješej jeddže. m P Nultočke poliom u ziviku zivmo polovim rciole fukcije. Prem tome d li se rdi o jedostrukoj ili višestrukoj ultočki fukcije (polu) govorimo o ultočki (polu) prvog ili višeg red. Osim tog ultočke (polovi) fukcije mogu iti prog i eprog red oviso o tome dli im je krtost pr ili epr roj. 69

3 Geodetski fkultet dr. sc. J. e-rkić Predvj iz Mtemtike P Kko skicirti grf rciole fukcije f? Qm. Odrediti ultočke fukcije f. U okolii ultočke prog (eprog) red fukcij e mijej (mijej) predzk.. Odrediti polove fukcije f i u jim crtti vertikle prvce koje zovemo vertiklim simptotm fukcije.u okolii pol prog (eprog) red fukcij e mijej (mijej) predzk. Grfovi ekih rciolih fukcij: H L H L H L - - H L Rstv prcijle rzlomke Rstviti rciolu fukciju f P prcijle rzlomke zči prikzti je ko Qm i ( ) gdje je ( ) ( ) lier fktor ( ) kvdrti fktor s egtivom diskrimitom zroj jedostvih rciolih fukcij pr. poliom Q. m 7

4 Geodetski fkultet dr. sc. J. e-rkić Predvj iz Mtemtike Primjer: Rstvlje prcijle rzlomke. ) ( ) 6 6 fl sustv triju jeddži s tri epozice: 6 fl rješeje sustv: 7 9 fl rstv prcijle rzlomke: 7 9. ) D D D D D fl sustv četiriju jeddži s četiri epozice: D D D fl rješeje sustv: D fl rstv prcijle rzlomke:. Ekspoecijle fukcije Fukciju olik f > zovemo ekspoecijlom fukcijom ze. 7

5 Geodetski fkultet dr. sc. J. e-rkić Predvj iz Mtemtike Svojstv ekspoecijlih fukcij:. Dome: R;. Skup vrijedosti: Skup svih pozitivih relih rojev tj. R ; f f f tj. ;. ( ). ( f f : f ) tj.. f tj. ; 6. ; 7. ijekcij s R R ; 8. > f je strogo rstuć fukcij; 9. < < f je strogo pdjuć fukcij. ; Grfovi ekih ekspoecijlih fukcij: e J N J N Logritmske fukcije Iverzu fukciju ekspoecujle fukcije ze i ozčvmo f log >. Vrijedi: log g f log ( f ) tj. > ( g ) tj. log R. Svojstv logritmskih fukcij: g zovemo logritmskom fukcijom i z jihove kompozicije:. Dome: Skup svih pozitivih relih rojev tj. R ;. Skup vrijedosti: R; f f f log log log > ;. ( tj. ). f f - f tj. log log log > ;. f () tj. log ; 7

6 Geodetski fkultet dr. sc. J. e-rkić Predvj iz Mtemtike 6. f ( ) f tj. log log > ; 7. ijekcij s R R; 8. > f je strogo rstuć fukcij; 9. < < f je strogo pdjuć fukcij; log. log > >. log Ovu vezu logritm po rzličitim zm ćemo dokzti. Iz i log log i. Td je log log ( ) log log. tj. log log log odoso log odkle slijedi tvrdj. log. Iz prethode dokze jedkosti z slijedi Neke specijle ze: log. log ko je z pišemo log umjesto log i zovemo dekdski logritm. ko je z e pišemo l umjesto log i zovemo prirodi logritm. Vez dekdskih i prirodih logritm (prem.): l log l M l log e.... l l M l 989 Grfovi ekih logritmskih fukcij: e l log log log l l l Opć potecij Općom potecijom zivmo fukciju c f e e c l cl > c R. f : R R 7

7 Geodetski fkultet dr. sc. J. e-rkić Predvj iz Mtemtike N primjer: Grfovi fukcij i K. N. Grfovi fukcij N ko iverzih fukcij od. Trigoometrijske fukcije Sius Ozk: si si : R Grf: [ ] si π π π π π π 7

8 Geodetski fkultet dr. sc. J. e-rkić Predvj iz Mtemtike Svojstv:. si si tj. si je epr fukcij ( π ). si si k k Z tj. si je periodič fukcij s periodom π. si je surjektiv fukcij Kosius Ozk: cos cos : R Grf: [ ] cos π π π π π π Svojstv:. cos cos tj. cos je pr fukcij ( π ). cos cos k k Z tj. si je periodič fukcij s periodom π. cos je surjektiv fukcij. Tges Ozk: tg si tg cos cos π tg : R \ kπ k Z R Grf: tg π π π π π π Svojstv:. tg tg tj. tg je epr fukcij ( π ). tg tg k k Z tj. tg je periodič fukcij s periodom π. 7

9 Geodetski fkultet dr. sc. J. e-rkić Predvj iz Mtemtike Kotges Ozk: ctg cos ctg si si ctg R \ kπ k Z R Grf: : { } ctg π π π π π π π Svojstv:. ctg ctg tj. ctg je epr fukcij ( π ). ctg ctg k k Z tj. ctg je periodič fukcij s periodom π. Još ek vž svojstv trigoometrijskih fukcij.. si ± si cos ± cos si cos ± cos cos ± si si tg ± tg tg ( ± ) m tgtg ctg ctg m ctg( ± ) ctg ± ctg. si cos. si si cos cos cos si. 6. si si cos ( ) cos ( ) 7. cos cos cos ( ) cos ( ) 8. si cos si( ) si( ) 9. si si si cos. si si cos si dicioe formule 76

10 Geodetski fkultet dr. sc. J. e-rkić Predvj iz Mtemtike. cos cos cos cos. cos cos si si iklometrijske fukcije rkussius Promtrmo restrikciju fukcije f si itervl π π Si si π π : [ ]. π π : Fukcij Si je strogo rstuć ijekcij. Defiirmo jeu iverzu fukciju s: π π [ ] rcsi Si :. Grf fukcije rcsi π π Dkle si rcsi rcsi( si ) π π. Npome: Uočimo d je fukcij f si strogo mooto svkom od itervl π π kπ kπ k Z i d se svki od jih preslikv itervl [ ]. Dkle svkom i se od jih mogl defiirti pripd iverz fukcij i sve i te fukcije ile međusoo rzličite. 77

11 Geodetski fkultet dr. sc. J. e-rkić Predvj iz Mtemtike rkuskosius Promtrmo restrikciju fukcije f cos itervl [ π ] : os cos [ ]: [ π ] [ π ]. Fukcij os je strogo pdjuć ijekcij. Defiirmo jeu iverzu fukciju s: [ ] [ ] rccos os π :. Grf fukcije rccos π π Dkle [ ] cos rccos rccos cos π. Vrijedi pome ko i u prethodom slučju. rkustges Promtrmo restrikciju fukcije f tg itervl π π Tg tg π π R :. π π : Fukcij Tg je strogo rstuć ijekcij. Defiirmo jeu iverzu fukciju s: :. rctg Tg R π π Grf fukcije rctg πê πê 78

12 Geodetski fkultet dr. sc. J. e-rkić Predvj iz Mtemtike Dkle tg rctg R rctg tg π π. rkuskotges Promtrmo restrikciju fukcije f ctg itervl ( π ) : tg ctg ( ): ( π ) R. π Fukcij tg je strogo pdjuć ijekcij. Defiirmo jeu iverzu fukciju s: ( ) rc ctg tg R π :. Grf fukcije rcctg π Dkle ctg ( rcctg) R rcctg ctg π ) (. πê Hiperole fukcije Sius hiperoli Kosius hiperoli Ozk: sh Ozk: ch e e e e sh sh R R ch ch : R : [ ) Svojstv: Svojstv:. sh. ch. sh sh. ch ch ( ) tj. sh je epr fukcij tj. ch je pr fukcij. sh je strogo rstuć ijekcij.. ch strogo rste itervlu [ ) ch strogo pd itervlu ( ]. ch je surjektiv fukcij. 79

13 Geodetski fkultet dr. sc. J. e-rkić Predvj iz Mtemtike Grf fukcije sh : Grf fukcije ch : Tges hiperoli Kotges hiperoli Ozk: th Ozk: cth sh e e ch e e th cth ch e e sh e e th R cth : R \ R \ : {} [ ] Svojstv: Svojstv: ( ) h( ) cth. th th. ct tj. th je pr fukcij tj. cth je pr fukcij. th je strogo rstuć ijekcij.. cth je strogo pdjuć ijekcij. Grf fukcije th : Grf fukcije cth : Još ek svojstv hiperolih fukcij sh ± sh ch ± ch sh. dicioe formule ch( ± ) ch ch ± sh sh th ± th. th( ± ) ± thth 8

14 Geodetski fkultet dr. sc. J. e-rkić Predvj iz Mtemtike. cth( ) ± cth cth ± cth ± cth. ch sh. sh sh ch ch ch sh 6. th 7. th th cth 8. cth cth 9. sh sh ch( ) ch( ). ch ch ch( ) ch( ) re fukcije re fukcije su iverze fukcije hiperolih fukcij. re sius hiperoli Ozk: rsh rsh sh - : RöR Grf fukcije rsh : Izvod formule z rsh ko iverze fukcije od sh: e e e e sh e e e e e ( e ) ± ± 8

15 Geodetski fkultet dr. sc. J. e-rkić Predvj iz Mtemtike Logritmirjem posljedje jedkosti i odirom pozitivog predzk zog područj defiicije fukcije l slijedi ( l ) tj. rsh l( ) re kosius hiperoli. Ozk: rch f ch ije ijektiv (ijektiv) fukcij p ćemo promtrtu jeu Fukcij restrikciju itervl [ ) : h ch [ ) :[ ) [ ) Fukcij h je strogo rstuć ijekcij. Defiirmo jeu iverzu fukciju:. rch h :[ ) [ ). Grf fukcije rch : Izvod formule z rch ko iverze fukcije od h: e e e e h e e e e e ( e ) ± ± 8

16 Geodetski fkultet dr. sc. J. e-rkić Predvj iz Mtemtike Logritmirjem posljedje jedkosti i odirom pozitivog predzk zog područj defiicije fukcije h - tj. e e slijedi l tj. rch l. logo z h ch ( ] ( ] [ ) rch h :[ ) ( ] s rch l( ) : možemo defiirti jeu iverzu fukciju. re tges hiperoli Ozk: rth th : R ö (- ) rth th - : (- ) R Grf fukcije rth : Izvod formule z rth ko iverze fukcije od th: sh e e e e ch e e e e th e e ( ) ( ) e e e e e e e Logritmirjem posljedje jedkosti slijedi 8

17 Geodetski fkultet dr. sc. J. e-rkić Predvj iz Mtemtike l tj. rth l l re kotges hiperoli Ozk: rcth cth : R \{} ö R \[- ] rcth cth - : R \[- ]ö R \{} Izvod formule z rcth ko iverze fukcije od cth: <. ch e e e e sh e e e e cth e e e e e e e e e Logritmirjem posljedje jedkosti slijedi l tj. rcth l l >. Grf fukcije rcth : 8

Σχετικά έγγραφα

PREGLED DEFINICIJA I FORMULA ZA 2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 (pomagalo dozvoljeno na kolokviju)

PREGLED DEFINICIJA I FORMULA ZA KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE (pomglo dozvoljeo kolokviju) Opći pojmovi: I REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE VARIJABLE Nek su X, Y R Rel fukcij f : X Y je svko pridruživje koje svkom