Transcript

1 IZVOD FUNKCIJE Predpostvimo d je unkcij deinisn u nekom intervlu, i d je tčk iz intervl, iksirn. Uočimo neku proizvoljnu tčku iz tog intervl,. Ov tčk može d se pomer levo desno, p ćemo je zvti promenljiv tčk intervl,. Rzlik pokzuje promenu ili prirštj vrednosti nezvisno promenljive i njčešće se oeležv s Δ = Rzlik - predstvlj odgovrjuću promenu ili prirštj unkcije i oično se oeležv s Δ = - ili ko je unkcij oznčen s y= može se zpisti: Δ y= -. Evo kko i to izgledlo n slici: y y= Δy Količnik = nziv se srednjom ili prosečnom rzinom promene unkcije u intervlu [, ] Δ Rzmišljmo št će se dešvti kd se tčk priližv tčki? то јеst kd teži Ako t grničn vrednost postoji normlno je d nju uzmemo z rzinu promene unkcije u tčki. Brzin promene unkcije u tčki u mtemtici se nziv IZVOD unkcije i oeležv se s : ili s y. Dkle deinicij izvod je : + Δ lim Δ Δ =

2 Često se umesto tčke jednostvno stvlj p izvod ond glsi: = lim Δ + Δ Δ Rečim ov deinicij i glsil: Izvod unkcije jednk je grničnoj vrednosti količnik prirštj unkcije i prirštj nezvisno promenljive, kd prirštj nezvisno promenljive teži nuli. Geometrijsk interpretcij izvod y t s s B s y= A Posmtrjmo sečicu S koj prolzi kroz tčke A, i B,. U situciji kd se Δ smnjuje, odnosno se sve više priližv tčki, on sve mnje i mnje seče dtu krivu y= dok u jednom grničnom trenutku ne postne tngent t te krive! Δy Td količnik prirštj unkcije i prirštj nezvisno promenljive = Δ koeicijent prvc k, to jest tngens ugl koji tngent zklp s pozitivnim smerom ose. predstvlj

3 Dkle: VREDNOST PRVOG IZVODA U TOJ TAČKI JE : y = tgα =k. C=. = 3. = 4. n =n n- 5. = ln 6. e =e 7. log = 8. ln= ln 9. = TABLICA IZVODA. sin=cos. cos= - sin. tg= cos 3. ctg= sin 4. rcsin= 5. rccos= - 6. rctg= + 7. rcctg= - + PRAVILA ZA IZVODE. [c]=c Kd je konstnt vezn z unkciju, nju prepišemo tržimo izvod smo od unkcije. A kd je konstnt sm, izvod od nje je.

4 . [ ± g] = ± g Od svkog sirk tržimo izvod poseno. 3. uo v=uv+vu izvod proizvod u uv vu 4. = izvod količnik v v 5. [g]= [g] o g izvod složene unkcije Izvod unkcije u prmetrskom oliku Ako je unkcij zdt prmetrski =t i y=yt prvi izvod tržimo: y = y t t Izvod implicitno zdte unkcije Kd je unkcij y= zdt u implicitnom oliku F,y =, njen prvi izvod doijmo iz relcije: d F,y= d Izvodi višeg red y= y y=y drugi izvod je prvi izvod prvog izvod treći izvod je prvi izvod drugog izvod y n = y n- n-ti izvod je prvi izvod n--vog izvod Jednčin tngente Jednčin tngente n krivu y= u tčki,y u kojoj je unkcij dierencijiln, rčun se po ormuli: y y =

5 Jednčin normle Norml n krivu y= u tčki,y je prv normln n tngentu krive u toj tčki. Njen jednčin je : y y = Dierencijl Ako je unkcij y= dierencijiln u tčki, td je Δ y=y Δ + o Δ kd Δ Glvni deo y Δ prirštj Δ y vrednosti unkcije nzivmo dierencijlom unkcije y=. Specijlno z y = vži d je d = Δ = Δ = Δ, p je: dy = y d tj. dy y= d Osnovne teoreme dierencijlnog rčun Fermov teorem Nek je unkcij y= deinisn n odsečku [,] i nek u nekoj tčki c, im njveću ili njmnju vrednost. Ako postoji oostrni končn izvod c, ond je c = Druov teorem Ako unkcij y= im končn izvod u svkoj tčki odsečk [,], td unkcij y= z [,] uzim r jednom sve vrednosti između i 3 Rolov teorem Nek je unkcij y= deinisn i neprekidn n odsečku [,] i nek postoji končn izvod y= r n intervlu, i nek je =. Td postoji r jedn roj c,, tkv d je c = 4 Lgrnžov teorem Nek je unkcij y= deinisn i neprekidn n odsečku [,] i nek postoji končn izvod y= r u svkoj tčki n intervlu,. Td postoji r jedn roj c,, tkv d je :

6 c = 5 Košijev teorem Nek su unkcije i g deinisne i neprekidne n odsečku [,], nek postoje končni izvodi i g r n intervlu, i nek je g, z svko,. Td postoji r jedn roj c, tkv d je : c g c g g =