Cpitoll 2 Notite de crs NOTIUNI DE ALGEBRA BOOLEANA B Pricipil plicrii lgerei oolee i stdil circitelor de comttie Cotct deschis, ecl stis B; Cotct ichis, ecl pris B; Becl este o ctie de poiti cotctli; B(, L 2, L 2 {,}, B L 2 Vom cosider o mltime ormt di do elemete otte c si, cre st is cirele si. Mltime se ot c L 2. Vom deii i cest mltime do legi de compoitie: cojcti si disjcti +, precm si o plictie mit egtie si ott c.deiire celor do opertii si plictiei se ce coorm telli de mi jos, de si st do riile ilete *. Tel + Operti ott s + se citeste SAU si se meste i logic disjctie, ir i teori mltimilor reie, deseori se mi meste sm. Operti ott se mi ote si c si se citeste SI: i logic e se meste cojctie, ir i teori mltimilor itersectie s dese prods. Operti ott este eori ott c C; lteori e se ote c. si se citeste o s NU :i logic se meste egtie, ir i teori mltimilor complemetritte.
O lger oole este o mltime eid iestrt c do legi de compoitie otte c (SI, si (SAU, precm si c o plictie mltimii cosiderte i e issi, ott c (NU s NON, cre rmtorele proprietti: LATICE CU LATICE LATICE +. idempotet (ttologi: ; + + 2. comttiitte: ; ++ PRIM SI DISTRIBUTIVA 3. socitiitte: ( ( ; (+++(+ ULTIM 4. sortie: (+; +( ELEMENT 5.distritiitte: (+( +( ; +( (+ (+ 8. lege dlei egtii (iolti: 9. pricipil cotrdictiei: 6. eist elemet, mit prim elemet, c propriettile: ; + 7. eist elemet (elemetl etr, mit ltim elemet, c propriettile: ; +. pricipil tertli ecls: +. legile li De MORGAN: + ; +
Petr dipolii π se demostre o teorem cre rt c cti de lcr i dipol π c cotcte este cti geert de orml li de strctr. Seml re itelesl de motj i serie, ir cel de + motj i prlel. Petr clcl cti de lcr i dipol π iterpretm i ormlele de strctr edetermitele c riile L 2, ir semele -,, + c seme le ctiilor de do riile. Eempl petr dipoll di igrde mi jos orml de strctr este: R + ir cti de lcr se pote scrie: (, p[ (,, ( ], s (, + Fcti de lcr este dt de lorile; (, ; (, ; (, ; (, Dipol π c cotcte C do riile ire si cre prti mltimii L 2 se pot orm 2 2 4 comitii de lori. Eist deci tte ctii de 2 riile, cte comitii dierite de 4 cire eist, dic 2 4 6, s cm se rt i tell de mi jos. Tel 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5
Fctiile di tell 2. rmtorele semiictii: cti ero SI 2 INHIBARE 3 IDENTITATE 4 INHIBARE 5 IDENTITATE 6 + SAU EXCLUSIV 7 + SAU (INCLUSIV 8 + SAU-NU (NICI, NOR 9 + COINCIDENTA NU (NON + IMPLICARE 2 NU (NON 3 + IMPLICARE 4 + SI-NU (NAND 5 FUNCTIA UNU SI SAU + + + NANDSI - NU NICISAU - NU (NOR Echilet elemetelor SI, SAU, NU pri elemete NAND si NICI
Pe teoremelor de distritiitte se rt c, orice epresie, respecti orice ctie se pote pe s di rmtorele do orme: - orm orml disjcti (,, A +A 2 + +A m, de A i st cojctii de riile rte s erte; - orm orml cojcti (,, B B 2 B m, de B i st disjctii le riilelor egte s. Repreetre ctiilor logice s orm orml cojcti s disjcti este lt mod de preetre cestor pe lg cele mitite iite, si me: orm lgeric, tele de der s logigrme ( scgem logic. Plecd de l ormele ormle se pot otie ormele coice disjcti, respecti cojcti. Itr-o orm coic disjcti, costitit di reii de itersectii, iecre itersectie treie s coti tote riilele, pe cd itr-o orm cojcti, ce este costitit de prodse de reii, iecre reie cotie si e reie ttror riilelor. De eempl, iid dt: E + + c orm coic disjcti se otie stel: E ( c+ c + ( c+ c + c( + ( + c+ c+ c+ c+ + c+ c+ c+ c c+ c+ c+ c+ c+ c s orm coic cojcti: E + + c ( + + c ( + ( + ( + ( + ( + ( + + c ( + + c ( + + c + c Se oser, c ormele coice, i geerl, st miimle si deci pot i simpliicte. Epresiile simpliicte coti tote riilele si st chir ormele ormle. Se rt c: (,..., (,... L ( :.: L ( (,..., (,... + L ( +... + L ( 2 2 cre st ormele de iterpolre li Lrge si de disjcti,respecti cojcti se etide spr ttror celor 2 posiilitti de d diersilor i i (,, lorile s ir L i ( i i petr i i petr i C lte cite, ceste reltii sp c, costrire ormei disjctie li se ce coorm primei ormle i cre petr iecre li se otie
terme l ormei disjctie, ir i cl ormei cojctie dc petr iecre li se otie ctor l ei. Se demostre c, operti sigr este siciet petr ormre oricrei ctii de riile ilete. Petr costrcti ei se oloseste orml: ( ( ( L...,...,,..., ε semtore c ce orml cojcti. L costrire ctiei NICI se pote proced direct c orml de mi ss, tilid tel de der ctiei s reglile de clcl speciice. Priciplele regli de clcl st rmtorele: ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( k j i h g e d c ( ( ( ( ( (