CAPITOLUL VII ELEMENTE DE CALCUL VARIAŢIONAL

Transcript

1 CAPTOLUL V ELEMENTE E CALCUL VARAŢONAL Proleme geometrice şi mecice e clcl vriţiol cţiolă cţii misiile Clsificre etremelor fcţiolelor (etreme solte etreme reltive) Lemele fmetle le clclli vriţiol Vom efii oţiile e ză le clclli vriţiol pori e l ieile sgerte e câtev proleme e etremm clsice ) Prolem rchistocroei Prim prolemă e clcl vriţiol fost prolem rchistocroei U pct mteril M poreşte i A fără viteză iiţilă şi se mişcă s cţie grvitţiei pe rcl e cr AB cprisă îtr- pl verticl (fig) Prolem rchistocroei costă î rmătorele: itre tote crele etee ce esc pctele A şi B să se etermie cee pe cre pctl M jge i A î B î timpl cel mi scrt Vitez li M î fiecre pct l rcli AB este: s V g t Timpl î cre pctl mteril M escrie rcl AB v fi t e: T s V g () [] 87

2 eci timpl T ecesr c pctl mteril să jgă i A î B pe rcl () [] re epresi : T [ ] C [ ] g Spem că timpl este o fcţiolă e tip itegrlă cre epie e şi cre verifică coiţiile () () cţiol () re c omei e efiiţie fcţiile e clsă C [] cre trec pri pctele te A şi BAceste fcţii se mesc liii misiile î czl prolemei rchistocroei s triectorii optimle Prolem revie eci l etermi cr () C [] cre trece pri pctele A şi B petr cre fcţiol () i vlore miimă ) Prolem geoezicelor ie (S) o porţie eteă e sprfţă cărei ecţie s formă implicită este (z) ir rc e cră prţiâ sprfeţei (S) şi cre B (S) trece pri pctele A şi B e pe sprfţ A (S) (fig) Nmim cră geoezică sprfeţei orice rc e cră e pe ig sprfţ (S) ce relizeză miiml istţei itre oă pcte e pe sprfţă că () zz() [] z C [] st ecţiile prmetrice le i rc e cră e pe sprfţ (S) ce trece pri A şi B tci lgime rcli este tă e: () [ ()z() ] () z () 88

3 Î cest fel prolem geoezicelor costă î etermire fcţiilor () şi z() e clsă C [] cre să trecă pri A B şi să stisfcă ecţi sprfeţei eci (()z()) şi să relizeze miiml fcţiolei () cre epie e oă fcţii ecoscte () şi z() Mlţime liiilor misiile petr fcţiol () reprezită totlitte rcelor e cră e pe sprfţ (S) c tget cotiă şi cre trece pri pctele te A şi B ) Prolem sprfeţelor miime(plte) tă fii o cră simplă îchisă C sittă î spţil c trei imesii se cere să se etermie sprfţ eschisă (S) mărgiită e cestă cră şi cre re ri miimă ie Γpr O C pr O S şi zz() () ecţi sprfeţei (S) (fig) Ari sprfeţei (S) este tă e eglitte: z z () [ z] AS Avem e etermit fcţi zz() cre fce miimă itegrl () şi i vlorile zϕ() pe cr Γ frotier omeili ) Proleme e etremm coiţiot Cele trei eemple cosierte reprezită proleme tipice e clcl vriţiol (etremm ecoiţiot) O ltă clsă e proleme e clcl vriţiol o costitie prolemele e etremm coiţiot Prolem formei e echilir i fir gre fleiil şi ietesiil e lgime tă fit l cpete (fig) 89

4 Poziţi e echilir corespe czli câ orot cetrli e grette G re vlore miimă ie :() ecţi e echilir Atci: l () G (l - lgime AB ) l Prolem formei e echilir lăţişorli costă î etermire fcţiei () C [] cre să trecă pri pctele A şi B să verifice coiţi ` l şi să relizeze miiml fcţiolei () Prolem izoperimetrică Se cere cr plă îchisă e lgime l cre elimiteză omei mărgiit e rie mimă ie (t)(t) t [] ecţiile prmetrice le ei cre C Avem: () ()() () Coiţi c lgime crei C să fie l se scrie: (5) t l ir ri mărgiită e cestă cră este tă e itegrl: (6) A ( ) t Avem e etermit (t)(t) spse l coiţiile () () () () cre verifică (5) şi fc itegrl (6) mimă Î eemplele prezette mi ss s- ps prolem etremelor or itegrle cre epi e fcţiile cre itervi s seml e itegrre Astfel î priml eempl vem o itegrlă e form: (7) [ ] ) ( 9

5 î l oile : (8) [ z] ( z z ) ir î l treile : (9) [ ] ) ( efiiţie ie o mlţime e fcţii că fiecărei fcţii f fcem să-i corespă măr rel vom spe că vem o fcţiolă [f] efiită pe c vlori î R efiiţie Se meşte veciătte e oril N l fcţiei f mlţime fcţiilor f cre petr orice [] verifică ieglităţile: () f ( ) f ( ) < ε f ( ) f ( ) < ε ( ) ( ) f ( ) f ( ) < ε e ε> t efiiţie ifereţ δf ()f()-f () [] se meşte vriţi rgmetli fcţiolei [f] câ se trece e l fcţi f l fcţi f Î eemplele epse e mi ss m văzt că tote fcţiile mlţimii pe cre este efiită o fcţiolă [f] st lte î cosierre î prolem respectivă (e miim s mim) efiiţie Se mesc fcţii misiile îtr-o prolemă e etremm ei fcţiole [f] f cele fcţii i cre stisfc coiţiile splimetre impse e prolem respectivă Să precizăm ce se îţelege pri miml s miiml ei fcţiole ie [f] o fcţiolă efiită pe mlţime şi G mlţime fcţiilor misiile îtr-o prolemă e etremm fcţiolei [f] Eviet G efiiţie Se spe că [f] mite mim solt petr f G că petr orice fcţie f G vem: [f ] [f] 9

6 că petr orice fcţie f G vem: [f ] [f] tci se spe că f relezeză miim solt l fcţiolei [f] C şi petr etremele ei fcţii eori e itereseză etremele solte le ei fcţiole ci etremele reltive î cre oţie e veciătte jocă rol importt efiiţie Se spe că fcţiol [f] mite mim reltiv tre petr f G că eistă o veciătte e oril zero fcţiei f stfel îcât petr orice fcţie f G coţită î cestă veciătte [f ] [f] că cestă ieglitte re loc mi petr fcţiile f G sitte îtr-o veciătte e oril îtâi fcţiei f se spe că [f] mite petr f mim reltiv sl Alog se efiesc miimele reltive tri şi sle le fcţiei [f] Mimele şi miimele ei fcţiole se mesc etremele celei fcţiole Eviet orice etrem solt l ei fcţiole este şi etremm reltiv tre e semee orice etremm reltiv tre îeplieşte şi coiţiile i etremm reltiv sl Î cele ce rmeză vom etermi coiţii ecesre e etremm rltiv sl ceste fii coiţii ecesre şi petr etremm reltiv tre s petr etremm solt Petr stilire or stfel e coiţii vom tiliz oă teoreme jtătore cre se mesc lemele fmetle le clclli vriţiol LEMA (Lgrge) ie fcţi f C[] că () ( ) η ( ) f petr orice fcţie cotiă c erivt cotiă η C [] şi cre verifică coiţiile η() η() tci f() pe [] 9

7 emostrţie Să prespem că îtr- pct c [] m ve f(c) că c tci pe z cotiităţii rezltă f() Alog petr c e cee vom mite că f(c) c () Ptem cosier f(c)> (ltfel îmlţim c - relţi () eorece f C[] şi f(c)> rezltă că eistă itervll (αβ) α < c < β coţit î [] stfel îcât să vem : f()> (αβ) Cosierăm fcţi: ( α) η( ) 9 ( β ) ( α β ) ( α β ) Oservăm că η() stisfce coiţiile lemei (ϕ() η() şi η C []) şi f ( ) ( ) f ( ) ( α) ( β ) > β η eorece f()> petr (αβ) α eglitte oţită cotrzice eglitte () i lemă şi lem este stfel emostrtă LEMA ( Bois Rmo) ie fcţi cotiă g C[] că () ( ) η ( ) g petr orice fcţie η C [] cre verifică coiţiile η() η() tci g() este costtă pe itervll [] Pri comire celor oă leme oţiem o propoziţie e ză coţiâ cele oă leme şi cre se plică l ecere coiţiilor ecesre e etremm LEMA UNAMENTALĂ A CALCULULU VARAŢONAL ie fcţiile cotie fg C[] că f () [ ( ) η ( ) g( ) η ( ) ]

8 petr orice fcţie η C [] cre verifică coiţiile η() η() tci fcţi g este erivilă pe [] şi g () f() emostrţie Cosierăm fcţi ) f ( t) t ( Oservăm că ()f() şi eci: f ( ) η( ) η( ) ( ) η( ) ( ) ( ) η ( ) ( ) η ( ) C cest () evie: [ ) ( ) ] g( η ( ) Pe z lemei rezltă g()() costt e e g ()f() cţiole e form [ ] ) ( Coiţii ecesre e etrem Ecţi li Eler Coiţi li Legere Să cosierăm fcţiol : R () [ ] ( ) efiită pe mlţime liiilor misiile: { C [ ] / ( ) ( ) } e C ([ ] ) R [ ] 9 Vom etermi o coiţie ecesră e etremm reltiv petr fcţiile e clsă C [] ie () fcţi cre relizeză etremm reltiv petr () şi η() ritrră e clsă C [] c η() şi η() cţi: () Y() () αη() e α este prmetr mic î mol este o fcţie misiilă şi prţie ei veciătăţi e oril îtâi fcţiei () Îloci î () pe () cy() şi prespâ η() fiă oţiem o itegrlă î fcţie e prmetrl α:

9 [ ] [ ( ) αη ( ) ( ) αη ( ] α ) că () relizeză etremm reltiv l itegrlei î mlţime ttror fcţiilor misiile cest v trei să fie etremm reltiv şi î mlţime Y() oţite i () petr iferite vlori le li α Coiţi ecesră e etremm este () Oservăm că: { η ( } [ ] [ ( ) ( ) ] ( ) [ ( ) ( ) ] η ) e şi Ultiml terme pote fi itegrt pri părţi: [ η( ) ( )] ( ) η ( ) η( ) ( ) torită fptli că η() η() priml terme i memrl rept l eglităţi e mi ss este l eci coiţi () evie: () () ( ) ( ) η ( ) î cre fcţi () relizeză etremm l itegrlei () Eglitte () re loc petr orice η() C [] spsă coiţiilor η() η() C jtorl lemei ecem că fcţi () verifică ecţi: () ( ) ( ) Ecţi (5) se meşte ecţi li Eler corespzătore fcţiolei () şi se mi pote scrie şi s form: ( ) ; ; e Am oţit stfel rmătorl rezltt: Teoremă (Eler) că ( ) C [] şi că () relieză etremm reltiv l itegrlei [ ] ) ( î mlţime fcţiilor i cls 95

10 C [] cre stisfc coiţiile l limită () () tci () verifică ecţi li Eler () Oservţie Ecţi li Eler este o coiţie ecesră r sficietă petr fcţi () cre relizeză etremm l fcţiolei () efiiţie Orice cră itegrlă ecţiei li Eler (5) se meşte etremlă fcţiolei () chir că cest relizeză etremm l fcţiolei Coiţi li Legere Petr etermi tr etremli ei fcţiole rol importt îl jocă vriţi e oril oi : e δ [ ; η] [ P( ) η Q( ) η ] ( P ) Q( ) Oservăm că vriţi e oril oi este formă pătrtică î rport c η şi η Are loc: Teorem (Legere) [ ; η] δ e ici vem: Teorem (Legere) ie fcţiol [ ] ) ( efiită pe mlţime liiilor misiile C []() () Coiţi ecesră c lii etremlă () [] să relizeze miiml fcţiolei [] este c e- lgl etremlei să fie îepliită ieglitte: (5) ( ) Alog petr c lii etremlă () [] să relizeze miml fcţiolei [] este c e- lgl ei să fie îepliită ieglitte: (6) ( ) Oservţie Relţiile (5) şi (6) se oţi i δ [ ; η] s δ [ ; η] 96

11 cţiole coţiâ erivte e ori sperior Ecţi Eler Poisso Coiţi li Legere Eempl ie fcţiol : R () () [] ( ) efiită pe mlţime liiilor misiile: C ( ) ( ) { C [ ] / ( ) ( ) { } } e ([ ] ) R [ ] Î mlţime liiilor misiile se cere să se etermie fcţi C [] cre verifică l cpetele itervlli [] coiţiile: ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) { -} şi relizeză etreml fcţiolei () cţi c proprietăţile e mi ss verifică ecţi: () ( ) ( ) mită ecţi li Eler-Poisso emostrţi celor e mi ss se fce stfel: că () este o fcţie cre relizeză etremm reltiv î mlţime cre stisfce () tci () relizeză etremm reltiv şi î mlţime fcţiilor Y()()αη() e η() este o fcţie fiă i cls C [] lâ-se î pctele şi împreă c erivtele sle pâă l oril - iclsiv ir α este prmetr cre i vlori sficiet e mici î mol Îloci î () pe () c Y() se oţie o itegrlă fcţie e α : ( α) ( αη αη () αη cre v trei să iă etremm petr α Petr cest este ecesr c () Avem: () ) 97

12 e e tegrâ pri părţi oţiem: η () () [ η η η ( ) ] () () [ η ( ) ] η ( ) () () ( ) η ( ) () ( ) η ( ) ( ) ( ) ( ) η () () { } ( η () η () { }) eci: (5) () ( ) ( η() ) torită cestei eglităţi şi lemei coiţi () se rece l () şi eci este etermit Clclâ vriţi e oril oi δ [; η] se pote răt că petr c lii etremlă ( ) [ ] să relizeze miiml fcţiolei () este ecesr c e lgl ei să vem: (6) ( ) ( ) ( ) ir petr c lii etremlă () [] să relizeze miml fcţiolei () este ecesr c e- lgl ei să vem: (7) ( ) ( ) ( ) eglităţile (6) şi (7) reprezită coiţiile li Legere corespzătore fcţiolei () e- lgl etremlei () Eempl ie fcţiol [] ( ) misiile { C [] () () () () } " efiită pe mlţime liiilor Să se etermie lii misiilă cre relizeză etreml fcţiolei şi să se specifice tr cesti Avem şi ecţi Eler-Poisso v fi: 98

13 e e oţiem () c solţi geerlă A A A Costtele se etermiă i coiţiile ()() () () cee ce sigră c lii etremlă să fie o liie misiilă Oţiem: [] eorece ( ) > coiţi li Legere rtă că lii etremlă A relizeză miiml fcţiolei Se oţie mi [ ] 7 cţiole epizâ e mi mlte fcţii Sisteml Eler-Lgrge Coiţi Legere Eempl Să cosierăm fcţiol : R () [ ] ( ) efiită pe mlţime liiilor misiile: { C ] { } ( ) ( ) { } } [ şi C ([ ] ) R [ ] Î mlţime liiilor misiile se cere să se etermie fcţiile [ ] C şi cre verifică l cpete coiţiile l limită: () ) ( ) { } ( şi se relizeză etreml fcţiolei () Are loc rmătore Teoremă: că C ([ ] ) etreml fcţiolei () tci ele verifică ecţiile: şi fcţiile relizeză () { } 99

14 (() sisteml li Eler-Lgrge corespzător fcţiolei ()) form: Y emostrţie: Cosierăm o mlţime prticlră e fcţii misiile e ( ) ( ) α η ( ) [ ] { } e { } este sisteml e fcţii petr cre fcţiol () mite etremm reltiv η () st fcţii fite ritrre i cls C [ ] cre se leză î etremităţile şi ir α α α st prmetri c vlori mici î mol Îloci Y () î () oţiem: ( α α α ) ( αη α η α η αη α η ) cţi e mi ss e vriile v trei să mită etremm reltiv petr α α α Petr cest este ecesr c: eci α petr α α α α α η η { } tegrâ pri părţi şi ţiâ sem că η () η () oţiem: η ( ) { } olosi Lem se oţie sisteml () Oservţie: Orice solţie sistemli () se meşte etremlă fcţiolei () O etremlă prticlră este complet etermită pri coiţiile l limită () A ij ie ( ) o etremlă fcţiolei () şi fie ( ) i j { } i j Are loc Teorem (Coiţi Legere) Notăm pri:

15 () A A A A A A A A A A A A A A că : şi * (5) ( ) { } () > > > tci relizeză miim petr fcţiol () ir că * * * () > > > tci relizeză mim petr fcţiol () Vlore etremă fcţiolei î czrile () s () e mi ss v fi [ ] Eempl Să se etermie etreml fcţiolei şi tr li că : R [ z] [( ) ( z ) z] (z) C () z() z Sisteml Eler-Lgrge este : " z z" Solţiile st : C e z Ce C e C e C C cos C cos C si si şi i (z) oţiem C C C C ; eci lii etremlă ce relizeză etreml este tă e : si z -si Coiţiile li Legere st:

16 z şi i () rezltă că etreml z zz (si -si ) relizeză miim petr fcţiolă Vlore miimă se oţie şor: mi (si -si ) 5 cţiole etermite pri itegrle mltiple Ecţiile li Eler Ostrogrschi Eempl Petr şriţ eperii vom cosier fcţiol pritr-o itegrlă lă: () [] : R R efiită Se pe prolem etremelor cestei fcţiole î mlţime fcţiilor ( ) C () ce i vlori te pe frotier C omeili : () ( ) f ( ) C Are loc rmătore: Teoremă (Ostrogrschi) că C ( ) R ( ) şi lâ vlori ritrre ir () relizeză etremm reltiv l fcţiolei () î mlţime fcţiilor i cls C () cre verifică eglitte ( ) C f ( ) ; tci () este solţie ecţiei c erivte prţile: () ( ) ( ) e emostrţie: Vom cosier mlţime fcţiilor () U ( ) ( ) αη( ) e () este fcţi petr cre () mite etremm η C () ritrră şi η( ) C ir α este prmetr cre i vlori mici î mol că () re

17 etremm î mlţime fcţiilor misiile ceeşi propriette o v ve şi î mlţime () Petr cest este ecesr c itegrl: ( ) ( αη αη αη ) α să mită etremm petr α Coiţi ( ) se scrie ezvoltt: ( ) η η η tegrl referitore l ltimii oi termei se mi pote scrie: η η η η η olosi forml li Gree prim itegrlă i memrl rept se pote trsform îtr-o itegrlă pe frotier C omeili : evie: η η X η ( ) C eorece η ( ) c itegrl criliie este lă şi coiţi ( ) ( ) η( ) Acestă coiţie re loc î ipotezele lemei (î R ) e ici rezltă ecţi () şi teorem este emostrtă Oservţie: Ecţi () se meşte ecţi li Eler Ostrogrschi corespzătore fcţiolei () Orice solţie ecţiei () se meşte etremlă fcţiolei () chir că ce fcţie relizeză efectiv etremm l fcţiolei Aăgâ l ecţi () o coiţie l limită e form ( ) f ( ) se oţie o etremlă prticlră c Teorem li Ostrogrschi pote fi etisă petr o fţiolă e form:

18 [ ] Ω e R Ω Ecţi li Eler-Ostrogrschi v ve form: } { e Eempl Să se găsescă etreml fcţiolei: [ ] Ω e ( ) : Ω C ( ) { } : R Solţie: Ecţi li Eler Ostrogrschi corespzătore fcţiei este : () s ( / ) cre este ecţi li Lplce S- oţit prolem iterioră irichlet petr cerc Petr impe mi şor coiţi l limită vom trece l coorote polre: () si cos e e rezltă: ( / ) rctg Oservăm că: şi

19 5 Oţiem: () şi şi () şi Îloci () î ( / ) cest evie: (5) c coiţi l limită: (6) cos si cos Petr rezolvre prolemei (5) şi (6) vom folosi meto seprării vriilelor ; cătăm o solţie e form : (7) ( ) ( ) ( ) T R Oservăm că ( ) ( ) ( ) ( ) T R T R // / şi ( ) ( ) // T R Îloci î (5) oţiem: (8) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) // / // T R T R T R e e pri împărţire l ( ) ( ) T R oţiem: (9) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) T T R R R R // / // Memrl stâg l ecţiei (9) fii o fcţie mi e ir memrl rept fii o fcţie mi e eglitte lor este posiilă petr orice şi orice mi că cei oi memri ceeşi vlore costtă pe cre o otăm c λ ; i relţi (9) oţiem rmătorele ecţii:

20 // () T ( ) λt ( ) şi // / () R ( ) R ( ) λr( ) cţi căttă ( ) treie să fie perioică î rport c c perio ică să vem ( ) ( ) Petr cest T ( ) treie să fie perioică c perio Avem eci e găsit vlorile prmetrli rel λ petr cre ecţi () re solţii ele (prolem Strm - Lioville) perioice c perio Ecţi () este o ecţie ifereţilă liiră omogeă c coeficieţii costţi c ecţi crcteristică: r λ şi răăciile r ± λ Czl λ λ λ < Găsim T( ) C e Ce cre este o solţie epoeţilă relă şi c tre este perioică Czl λ Avem r r şi T ( ) A B Vom etermi A şi B stfel îcât T ( ) să fie perioică c perioă ică T( ) T ( ) A B ( ) şi eci T ( ) A (o costtă) solţie lă icceptilă A B B Czl λ > Ecţi crcteristică re răăciile complee cojgte r ±i λ şi eci solţi geerlă este T ( ) Acos λ Bsi λ i coiţi ( ) T ( ) şi i fptl că fcţiile si şi cos st perioice c perio T rezltă că: ( ) λ λ s λ e e: () λ { } eci solţi geerlă ecţiei () este: () T ( ) A cos B si { } C vlorile proprii () stfel oţite ecţi () evie: ( / // / ) ( ) R ( ) R( ) R Ecţi ( / ) este e tip Eler ; petr itegrre ei vom fce schimre e t vriilă e Oţiem: 6

21 R şi R / ( ) // ( ) e t e t R t R R t t // / Îloci R ( ) şi R ( ) ecţi ( / ) evie: ( // R ) R t cre este o ecţie ifereţilă liiră c coeficieţi costţi vâ ecţi crcteristică r c răăciile r ± şi solţi geerlă: () R ( ) C Petr prolem li irichlet iterioră treie să lăm eorece î cz cotrr petr şi eci solţi r fi mărgiită î origie eci s e form: (5) R ( ) C Am găsit stfel petr ecţi (5) solţiile : (6) ( ) R ( ) T ( ) { } (6 / ) ( ) ( A cos B si ) { } A A C şi B B C 7 Coform pricipili sprperii efectelor cătăm o solţie ( ) e (7) ( ) ( A cos B si ) Vom etermi coeficieţii A şi coiţi l limită (6): ( ) cos B stfel îcât ecţi (7) să verifice * * Oservăm că A A N { } B N eci solţi ( ) primeşte form:

22 8 (8) cos ) ( cţiol [ ] mite miim [ ] eorece ( ) > şi ( ) ( ) ( ) ) ( _ > Oservăm că cos si cos si si cos cos si cos si si si cos cos cos si cos si 6 6 s cos U eci (9) [ ] / cos mi e : / ( ) Relţi (9) se mi scrie: / / mi 8 cos si cos 8 e e 7 mi

23 6 Proleme izoperimetrice Etreme coiţiote le fcţiolelor Teorem li Eler Prolem li Lgrge Se meşte prolemă izoperimetrică prolem etermiării etremlelor ei fcţiole e form: () [ ] ( ) c coiţi l limită: () ( ) ( ) { } şi coiţiile splimetre: () G ( ) i { p} i i e p st p costte te Vom emi czl câ fcţiol este e form: () [ ] ( ) şi este tă o sigră coiţie splimetră: m (5) G ( ) cţiile G şi costt m st te Are loc rmătore: Teoremă (Eler) că fcţi C [ ] (6) ( ) ( ) şi verifică coiţiile l limită este o etremlă fcţiolei () şi verifică î pls coiţi (5) şi că () este o etremlă itegrlei (5) tci eistă o costtă λ stfel îcât () să fie o etremlă fcţiolei [ ] (7) K[ ] ( ) λg( ) emostrţie: Să cosierăm fmili e fcţii (8) ( α α ) ( ) αη ( ) α η ( ) Y 9

24 e () este etreml căttă η () şi η () st oă fcţii fie ritrre i C [] le l cpetele itervlli : (9) η () η () η () η () ir α şi α oi prmetri sficiet e mici î mol Îloci î itegrl (5) î locl fcţiei () fcţi Y( α α ) i (8) oţiem o itegrlă epizâ e α şi α : şi coiţi (5) evie ( α α ) G( αη α η αη α η ) () ( α ) m α Să rtăm că i cestă eglitte ptem scote pe α î fcţie e α Clclăm erivtele prţile le fcţiei ( α ) petr α α Avem: α ( ηig ηi G ) i {} α i tegrăm pri părţi ltiml terme şi ţiâ sem e (9) oţiem: α i () G G η ( ) i { } i că () este o etremlă itegrlei (5) tci : G G şi ptem lege fcţi η () stfel c α Ecţi () este verifictă e vlorile prticlre α α ( ) m eorece Y() stisfce (5) torită coiţiei coform teoremei referitore l fcţiile implicite α eistă o veciătte pctli α î cre ecţi () efieşte pe α c fcţie e α ir erivt α α î pctl α este: () α α α α

25 Relâ fmili e fcţii (8) cre epie cm e sigr prmetr α (eorece α este fcţie e α efiită pri ()) şi îloci î () oţiem o fcţie e α ( α ) ( αη α η αη α η ) cre treie să mită etremm petr α eci ( ) Avem: ( ) α α η η η η α α s itegrâ pri părţi ltiml terme şi ţiâ sem e (9)oţiem α ( ) η η α că îlocim e () ecem: α α c vlore s i () î cre fcem îlocirile te ( ) η λ G G η e η λ G G η Acestă eglitte se mi pote scrie: ( ) λg λg η ( ) Coiţi ( ) (lem fmetl) se rece l ( λg ) λg cre este chir ecţi li Eler corespzătore fcţiolei (7) Teorem este emostrtă Prolem li Lgrge Să cosierăm fcţiol:

26 () [ z] ( z z ) Prolem li Lgrge costă î etermire i rc e cră () ( ) z z( ) [ ] cre este sitt pe sprfţ: (5) G ( z) şi etremeză itegrl () Pctele A( z ) şi B( z ) ( ) prţi sprfeţei eci G( z ) şi G( z ) ptl că A şi B prţi crei se trce pri coiţiile l limită: (6) ( ) ( ) z( ) z z( ) z Are loc rmătore: Teoremă: (Lgrge) că sisteml e fcţii () este sistem etreml l fcţiolei () c coiţiile (5) şi (6) tci eistă o fcţie λ() stfel îcât sisteml () este sistem etreml l fcţiolei [ G] (7) K[ z] λ( ) 7 Proleme propse Să se etermie etremlele şi tr lor petr fcţiol: : R ) ) C [ ] [ 8 ] C ( ) [ ] [ e ] e [ ] ( ) ( ) e e

27 Să se etermie etremlele şi tr lor petr fcţiol R : ) [ ] ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) { } C e ) [ ] [ ] [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) { } sh C e Să se etermie etremlele şi tr lor petr fcţiol [ ] R z : ) [ ] [ ] ( ) ( ) ( ) 5 z z C z e z z z ) [ ] [ ] ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) { } z z C z e z

28 Să se etermie etreml fcţiolei : R [ ] ( ) ( ) ( ) { } Ω Ω Ω R şi C e 5 Să se etermie etremlele fcţiolei : R ) [ ] [ ] ( ) ( ) { } 6 c legtr C e ) [ ] [ ] ( ) ( ) { } e si c legtr C