Cap. IV Serii Fourier. 4.1 Serii trigonometrice. (1) Numărul T se numeşte perioadă pentru funcţia f ( x )., x D, x ± T D

Transcript

1 Cp. IV Serii Fourier 4. Serii trigoometrice Defiiţie: O fucţie f ( ) defiită pe o muţime ifiită D se umeşte periodică dcă eistă u umăr T stfe îcât: f ( ± T) = f ( ), D, ± T D () Număru T se umeşte periodă petru fucţi f ( ). Eempe:. f ( ) si =, este periodică, deorece T =, stfe îcât re oc ( ) si + = si,, +. f ( ) = tg, +, este periodică, deorece T =, stfe îcât re oc: ( ) tg + = tg, Defiiţie: O serie de fucţii de form: +, cos + b si + cos + b si + + cos + b si + = + + ( cos bsi ) () = se umeşte serie trigoometrică, ir costtee, coeficieţii seriei trigoometrice., b =,, se umesc Sumee prţie S ( ) e seriei trigoometrice sut combiţii iire de fucţiie, cos, si, cos, si,, fucţii cre formeză ş umitu sistem trigoometric.

2 Deorece termeii seriei sut fucţii periodice cu period, tuci dcă seri trigoometrică este covergetă, sum s S( ) este fucţie periodică cu period. ( ) S( ) S + =, Defiiţie: A dezvot o fucţie periodică f ( ) îtr-o serie trigoometrică îsemă să găsim o serie trigoometrică covergetă şi sum s să fie egă cu fucţi, Ortogoitte sistemuui trigoometric Defiiţii: f ( ) = S( ), Două fucţii f ( ) şi g( ) cotiue pe [, ] iterv, dcă: b ( ) g( ) d= Eempu: Fucţiie f ( ) = şi g( ) = sut ortogoe pe [,] b se umesc ortogoe pe cest f (3) deorece: 3 d= d= U sistem fiit su ifiit de fucţii ϕ ( ), ϕ ( ),, ϕ ( ) cotiue pe [, ] ϕ ( ), =,, se umeşte sistem ortogo pe cest iterv, dcă, cu m re oc: b, m b ϕm( ) ϕ ( ) d= (4) Teorem: Sistemu trigoometric, cos, si, cos, si,, cos, si,,. este ortogo pe itervu [ ] Demostrţie: si cos d = = cos si d = =

3 Cu formuee trigoometrice: cosα cos β = cos α β + cos α + β siα si β = cos( α β) cos( α + β) m,, m, vem: ( ( ) ( )) ( ) cos m cos d = ( cos( m ) + cos ( m + ) ) d = ( ) si ( + ) si m m = + = m m+ si m si d = ( cos( m ) cos( m + ) ) d = ( ) si ( + ) si m m = = m m+ Cu formu trigoometrică: siα cos β = si α β + si α + β m,, m, vem: Dcă m = ( ( ) ( )) si m cos d = ( si ( m ) + si ( m + ) ) d = ( ) cos( + ) cos m m = = m m+ si cos si cos d = d = = Deci sistemu trigoometric este ortogo pe [, ]. Remrcă: Dcă m =, itegree produseor fucţiior trigoometrice sut: + cos cos d = d = = si + =

4 cos si d = d = = si = 4. Serii Fourier petru o fucţie periodică cu period de f ( ). Vrem să ccuăm coeficieţii seriei trigoometrice,, b =,, fucţie Teorem : Dcă: ( ) = + ( cos + b si ) = f (5) şi seri di drept este uiform covergetă pe [, ] îtreg ă reă, tuci: Demostrţie: ( ) şi dtorită periodicităţii, pe = f cos d =,,, (6) b = f si d =,, (7) ( ) Cum termeii di seri (5) sut fucţii cotiue pe [, ] şi seri este uiform covergetă, tuci f ( ) este cotiuă, deci itegrbiă. Seri (5) pote fi itegrtă terme cu terme: f ( ) d = d + cos d + b si d = Îmuţim cu cos m seri (5): si cos f ( ) d= + b + = f ( ) d= = f d ( )

5 f m m m b m ( ) cos = cos + ( cos cos + cos si ) = Cum termeii seriei uiform covergete sut îmuţiţi cu o fucţie mărgiită, se obţie tot o serie uiform covergetă cre pote fi itegrtă terme cu terme. f ( ) cos md= cos md+ + cosm cos d + b cosm si d = Ţiâd cot de ortogoitte sistemuui trigoometric, vem: ( ) cos = cos f m d m d m f ( )cos md= m m = f ( ) cos m d Aog, îmuţim (5) cu si m, itegrăm de, şi obţiem şi coeficieţii b. Fie f ( ) o fucţie rbitrră, periodică cu period, şi itegrbiă pe [, ]. Nu ştim dcă f ( ) pote fi reprezettă c sum uei serii trigoometrice, dr cu formuee di teorem precedetă ccuăm şi b. Defiiţie: Seri trigoometrică: si + = ( cos + b ) (8) cu coeficieţii,, b defiiţi cu jutoru ui f ( ) cu formuee: = f cos d =,,, (9) ( ) b = f si d =,, () se umeşte serie Fourier fucţiei f ( ) şi, b se umesc coeficieţi Fourier. ( )

6 Fiecărei fucţii f ( ) itegrbie pe [, ] îi corespude o serie Fourier, f () ( ) + ( cos + b si ) = dică o serie trigoometrică cu coeficieţii ccuţi cu (9)-(). Dcă cerem fucţiei f ( ) să fie dor itegrbiă pe [, ], tuci î geer, u putem îocui semu di reţi () cu =. De eempu, î teori semeor, o fucţie f ( ) defiită umi pe [, ] deci eperiodică, trebuie să fie dezvottă îtr-o serie trigoometrică. Petru o stfe de fucţie se pote scrie o serie Fourier deorece coeficieţii (9)-() se ccueză pe [, ]. Dcă fucţi f ( ) este etisă pri periodicitte pe reă, tuci obţiem o F cre re period şi fucţie ( ) Fucţi ( ) F ( ) = f ( ), [, ] F se umeşte etesi periodică ui f ( ). Seri Fourier fucţiei F ( ) v fi idetică cu seri Fourier fucţiei f ( ) f v fi covergetă F ( ) v fi o etesie periodică ui f ( ) defiită pe [, ]. Dcă seri Fourier fucţiei ( ), tuci sum seriei, o fucţie periodică, reă. V fi suficiet să testăm covergeţ seriei Fourier umi petru fucţii periodice. 4.3 Codiţii suficiete petru dezvotre Fourier uei fucţii cu period Defiiţie: O fucţie f ( ) se umeşte mootoă pe porţiui pe itervu [ b],, dcă itervu pote fi împărţit cu u umăr fiit de pucte < < < < < b î subiterve (, ), (, ),, (,b), pe fiecre subiterv fucţi fiid mootoă, dică crescătore su descrescătore. Figur 4.

7 Eempe:. f ( ) = este mootoă pe porţiui pe reă, deorece itervu (, +) pote fi împărţit î două subiterve (,) şi (,+), pe primu iterv fucţi este descrescătore ir pe doie fucţi este crescătore.. f ( ) = cos este mootoă pe porţiui pe itervu [, ] fi împărţit î două subiterve (,) şi (,+ ), deorece itervu pote, pe primu iterv fucţi este crescătore ir pe doie fucţi este descrescătore. Observţie: Dcă fucţi f ( ) este mootoă pe porţiui şi mărgiită pe [ b] m f ( ) M, tuci cest pote ve umi discotiuităţi de speţ îtâi pe [ b],, dică,. Teorem : Dcă o fucţie periodică f ( ) cu period este mootoă pe porţiui şi mărgiită pe itervu [, ], tuci seri s Fourier este covergetă î fiecre puct itervuui. Sum seriei: S( ) = + ( cos + bsi ) = verifică: S( ) = f ( ) î puctee de cotiuitte ui f ( ) di (, + ). S( ) = ( f ( + ) + f ( ) ) î puctee de discotiuitte ui f ( ) di (, + ). S( ) = S( ) = ( f ( + ) + f ( ) ) () Eempe:. Fucţi f ( ) = cu period, îdepieşte pe itervu [, ] codiţiie di teoremă şi pote fi dezvottă î serie Fourier. +, Figur 4. Determiăm coeficieţii Fourier itegrâd pri părţi:

8 ( ) = ( ) d = = si = ( ) cos d ( ) d = = si = ( ) + si d = ( ) cos cos cos = = = =,, cos b = ( ) si d ( ) d = = Seri Fourier fucţiei dte este: cos = ( ) cos d = ( ) = cos( ) si = cos =, =,, si = + L cpetee itervuui [, ] îtâi, sum seriei este: ( ), (, ) =, î = şi = cre sut discotiuităţi de speţ S + = = = ( ) S( ). Dezvotţi fucţi: f ( ) î serie Fourier pe itervu (, ) ( ) [ ),, =,, +. Acestă fucţie îdepieşte codiţiie di teoremă. = f ( ) d f ( ) d f ( ) d = + =

9 = d d + = = si = cos d d = = si = si d = ( ) cos = cos = = =, =,3,5, = =,,4,6, Obţiem seri: cos b = si d d = = cos = + cos d = + ( ) ( ) cos = = =, =,, cos si si cos3 si 3 si 4 cos5 f ( ) = , ( ) L cpetee itervuui [, ] îtâi, sum seriei este:, î = şi = cre sut discotiuităţi de speţ S + = = = ( ) S( ) Figur 4.3

10 Î =, seri este: = Adică, sum seriei di prtez este: = Dezvotări Fourier petru fucţii pre şi impre Fucţi f :[, ], fucţii pre este simetric fţă de Oy. Fucţi f :[, ] > este pră dcă f ( ) = f ( ), [, ] > este impră dcă ( ) = ( ), [ ]. Grficu uei, f f,. Grficu uei fucţii impre este simetric fţă de origie O sistemuui de coordote. Eempe: f. ( ) = cos este pră pe [, ], deorece cos( ) = cos, [, ].. f ( ) = si este impră pe [, ], deorece si( ) = si, [, ] 3. f ( ) = u este ici pră ici impră pe [, ] ( ) = ( ) ( ) = +, [, ] f,. Fie f ( ) o fucţie cre îdepieşte ipotezee di teorem, prgrfu precedet (mootoie pe porţiui şi mărgiire pe [, ]), şi cre este pră pe [, ], dică f ( ) = f ( ), [, ]. Atuci, f f dică f ( )cos este fucţie pră. Şi f ( ) si ( ) f ( ) si dică f ( )si este fucţie impră. Coeficieţii Fourier i uei fucţii pre vor fi: ( ) cos( ) = ( ) cos, [, ] =, [, ] = f d= f d ( ) cos ( ) cos =,,, b = f d= ( ) si =,,

11 Î coseciţă, seriie Fourier e fucţiior pre coţi umi cosiusuri, dică u form: f ( ) = + cos (3) = Fie f ( ) o fucţie cre îdepieşte ipotezee di teorem, prgrfu precedet (mootoie pe porţiui şi mărgiire pe [, ] ), şi cre este impră pe [, ], dică f ( ) = f ( ), [, ]. Atuci, f f dică f ( )cos este fucţie impră. Şi dică f ( )si este fucţie pră. ( ) cos( ) = ( ) cos, [, ] ( ) si ( ) = ( ) si, [, ] f f Coeficieţii Fourier i uei fucţii impre vor fi: = f d= ( ) cos =,,, b = f d= f d ( ) si ( ) si =,, Î coseciţă, seriie Fourier e fucţiior impre coţi umi siusuri, dică u form: Eempe: ( ) = f = b si (4). Dezvotţi fucţi f ( ) = î serie Fourier pe itervu [, ]. Figur 4.4

12 Fucţi este mootoă pe porţiui şi mărgiită şi este o fucţie pră. Atuci seri Fourier re form: = + cos = Determiăm coeficieţii Fourier: 3 = d = 3 = 3 cos d d si = = = si = si d = 4 cos 4 cos cos = d d = = = 4 cos = 4 ( ), =,, Seri Fourier petru fucţi dtă este: cos = + 4 ( ) 3 Reţi (5) re oc [, ] = cos cos cos3 = (5), şi î = ± sum seriei coicide cu vorie fucţiei. Grficu fucţiei şi ce sumei seriei coicid. Figur 4.5

13 Î figur 4.5 m reprezett primee două sume prţie S şi S cre proimeză destu de bie fucţi. Observţie: Acestă serie Fourier permite determire sumeor uor serii umerice covergete. De eempu, petru =, vem Petru =, vem = = = = su = = 6. Dezvotţi fucţi f ( ) = î serie Fourier pe itervu (, ). Fucţi este mootoă pe porţiui şi mărgiită şi este o fucţie impră. Atuci seri Fourier re form: = b si Determiăm coeficieţii Fourier: = Seri Fourier petru fucţi dtă este: cos b = si d d = = cos cos = d = ( ) + = cos = ( ) =, =,, = ( ) = + si si si 3 si 4 = si

14 Acestă reţie re oc (, ) Figur 4.6. L ceste pucte sum seriei este S ( ) S( ) = ± sum seriei u coicide cu ( ) ( ) f ( ) f + + = = = = Î fr itervuui [, ] sum seriei repetă periodic ( ) f =. f =, î Î figur următore sut reprezette primee ptru sume prţie S, S, S 3 şi S 4. Covergeţ u este forte rpidă fucţie, î speci î propiere ui, ude fucţi u este cotiuă. Figur Dezvotre uei fucţii defiite pe [, ] î serie de siusuri su cosiusuri Fie f :, [ ] mărgiită şi mootoă pe porţiui. Dcă etidem defiiţi cestei fucţii îtr-o mieră pră su impră şi pe [,], tuci o putem dezvot î serie Fourier. Astfe, dcă defiim f ( ) pe [,] f ( ) = f ( ), tuci seri Fourier v fi u icompetă de cosiusuri. îtr-o mieră pră stfe îcât

15 Dcă defiim f ( ) pe [,] f ( ) = f ( ), tuci seri Fourier v fi u icompetă de siusuri. Î cocuzie, orice fucţie f ( ) defiită pe [ ] îtr-o mieră impră stfe îcât, pote fi dezvottă î serie de siusuri su de cosiusuri, dcă îdepieşte codiţiie de mărgiire şi mootoie pe porţiui. Eempu: Dezvotţi f ( ) =, [, ] cosiusuri. Dcă etidem f ( ) pe [,] mootoă pe porţiui. î serie Fourier de siusuri şi de îtr-o mieră pră, fucţi v fi mărgiită şi Figur 4.8 Seri Fourier v fi u de cosiusuri: = + cos = ( ) = ( ) d = = si = ( ) cos d ( ) d = = si si cos = ( ) + d = = = ( cos ) ( ( ) ) = 4, =,3,5, = =,, 4,6, 4 cos cos 3 cos 5 = , [, ]

16 Dcă etidem f ( ) pe [,] siusuri. îtr-o mieră impră, seri Fourier v fi u de Figur 4.9 = b si = cos b = ( ) si d ( ) d = = cos cos = ( ) d = = si si si 3 = , (, ] 4.6 Seriie Fourier petru fucţii cu periodă rbitrră Fie ( ) Fourier pe [, ] f o fucţie cu period,. Petru o dezvot îtr-o serie cu >, vom fce o schimbre de vribiă: t = (6) t Fucţi F() t = f v fi periodică î t cu period. Îtr-devăr, t t F( t+ ) = f ( t+ ) = f + = f = F() t Şi, fucţi pote fi dezvottă î serie Fourier pe [, ] :

17 ude: t F t f t b t = () = = + ( cos + si ) t = f cos t dt, =,,, t b = f si t dt, =,, Reveim vribi, dică îocuim t = şi dt = d şi obţiem: f ( ) = + cos + bsi = (7) = f ( ) cos d, =,,, (8) b = f ( ) si d, =,, (9) Observţie: Tote teoremee petru serii Fourier e fucţiior cu period sut vbie şi petru fucţiie cu period. Eempu: Dezvotţi î serie Fourier fucţi f ( ) = cu period pe itervu[, ]. Deorece fucţi este pră, seri re form: Figur 4. = + = cos = d = =

18 = cos d = d si si si d = = ( ) = cos = ( cos ) = ( ) 4, =,3,5, = =,,4,6, 3 5 cos cos cos 4 = , [, ] Propriette: Dcă f ( ) re period T şi este itegrbiă, tuci petru vem: + T T ( ) = ( ) f d f d (9) Cu te cuvite, itegr fucţiei pe u iterv de ugime T re ceeşi vore idiferet de poziţi itervuui pe reă. Geometric, dcă f ( ), tuci riie hşurte sut ege. Cz prticur: Dcă ( ) Figur 4. f re period T = şi =, tuci ( ) = ( ) f d f d

19 Eempu: f = si este periodică cu T =. Atuci vem: Fucţi ( ) 7 Am foosit impritte si d= si d= si d= Î coseciţă, coeficieţii Fourier petru o fucţie periodică f ( ) cu period pot fi ccuţi stfe: + = f ( ) cos d, =,,, + b = f ( ) si d, =,,