Teoria Circuitelor Electrice Aplicaţii V PROBEME REOVATE R7 În circuitul din fiura 7R se cunosc: R e t 0 sint [V] C C t 0 sint [A] Se cer: a rezolvarea circuitului cu metoda teoremelor Kirchhoff; rezolvarea circuitului cu metoda superpoziţiei; c ilanţurile puterilor Rezolvare: Fi 7R Prolema R7 Rezolvarea circuitelor de curent alternativ se face folosind reprezentarea în complex În complex elementele pasive de circuit sunt caracterizate de impedanţe iar sursele de enerie de fazori Schema în complex a acestui circuit este reprezentată în fiura 7Ra Fi 7Ra Schema echivalentă în complex --
Capitolul V Teoreme enerale Proleme propuse Pentru elementele pasive din circuit impedanţele se calculează astfel: R R C C C C Sursa de tensiune este reprezentată în complex de fazorul E 0 e 0 Sursa de curent este reprezentată în complex de fazorul 0 e 0 Grupând toate impedanţele după o latură într-o impedanţă echivalentă se oţine fiura 7R în care: şi C a Metoda teoremelor Kirchhoff R C Elementelede topoloie sunt: noduri laturi şi ucle necesare aplicării teoremelor lui Kirchhoff Fi 7R Aplicarea metodei ecuaţiilor Kirchhoff Se scrie teorema Kirchhoff pentru nodul A şi teorema Kirchhoff pentru uclele şi alese ca în fiura 7R Sistemul de ecuaţii oţinut este: T K A : T K : T K : 0 E U Se oţin: 0 Se trec aceste valori în domeniul timp şi se oţin: U 0 --
Teoria Circuitelor Electrice Aplicaţii -- [A] sin t t i ] [A sin t t i ] 0[V t u Metoda superpoziţiei Circuitul iniţial în complex conţine două surse ideale de enerie şi astfel vom avea două cazuri de rezolvat Cazul În acest circuit sursa ideală tensiune se pasivizează rămâne rezistenţa sa internă iar sursa ideală de curent este caracterizată de fazorul fi7rc Determinăm curenţii folosind relaţiile de la divizorul de curent: Oţinem: Fi 7Rc Cazul de la metoda superpoziţiei Pentru determinarea tensiunii U aplicăm teorema a doua a lui Kirchhoff pe ucla astfel: 0 : U K T Rezultă: U 0
Capitolul V Teoreme enerale Proleme propuse Cazul În acest circuit sursa ideală curent se pasivizează rămâne rezistenţa sa internă iar sursa ideală de tensiune este caracterizată de fazorul E fi7rd Fi 7Rd Cazul de la metoda superpoziţiei Aplicăm teorema a doua a lui Kirchhoff pe ucla astfel: T K : E Ţinem cont că Rezultă Se oservă că U Oţinem: U 0 Rezultatele finale se oţin suprapunând rezultatele din cele două cazuri studiate anterior Ţinem cont de sensurile mărimilor determinate în fiecare caz în parte faţă de sensurile din circuitul iniţial: U U U Astfel rezultatele finale sunt: U 0 Se poate oserva că rezultatele oţinute cu metoda superpoziţiei sunt identice cu cele oţinute cu metoda ecuaţiilor Kirchhoff c Bilanţurile puterilor Puterea activă consumată în circuit este: P c R 0 W Puterea reactivă consumată în circuit se determină astfel: Qc m m m 0 X X C 00 0 Puterea aparentă complexă enerată se calculează astfel: S E U 0 0 0 0 0 P Q var Extraem puterea activă enerată ca fiind: P ReS 0W puterea reactivă enerată: ms 0 var Q a fel şi pentru --
Teoria Circuitelor Electrice Aplicaţii Se oservă că P c P Qc Q Aşadar se verifică ilanţurile puterilor active şi puterilor reactive consumate respectiv enerate mplicit se verifică ilanţul puterilor aparente complexe consumate respectiv enerate: S S c R7 Se consideră circuitul din fiura 7R unde se cunosc: C C t sint [A] f 0 Hz Se cer: a rezolvarea circuitului cu metoda curenţilor ciclici; rezolvarea circuitului cu metoda potenţialelor la noduri; c ilanţurile puterilor R Rezolvare: Fi 7R Prolema R7 Rezolvarea circuitelor de curent alternativ se face folosind reprezentarea în complex În complex elementele pasive de circuit sunt caracterizate de impedanţe iar sursele de enerie de fazori fi7ra Fi 7Ra Schema echivalentă în complex Pentru elementele pasive din circuit impedanţele se calculează astfel: --
Capitolul V Teoreme enerale Proleme propuse R R C C C C Sursa de curent este reprezentată în complex de fazorul e Grupând toate impedanţele după o latură într-o impedanţă echivalentă se oţine fiura 7R în care: şi R a Pentru rezolvarea circuitului cu metoda curenţilor ciclici ecuaţiile enerale sunt: C C E E Fi 7R Aplicarea metodei curenţilor ciclici În care: E 0 şi Înlocuind în relaţiile anterioare şi rezolvând sistemul de ecuaţii oţinut rezultă Valorile intensităţilor curenţilor reali prin laturi se oţin din valorile curenţilor ciclici astfel: e e şi Scriind teorema Kirchhoff se poate oţine şi tensiunea la ornele sursei ideale de curent: U e Se face trecerea în domeniul timp: --
Teoria Circuitelor Electrice Aplicaţii i t sint [A] i t sint [A] u t sin t [V ] Aleem nodul 0 ca fiind nod de referinţă unde V 0 0 fi7rc Pentru rezolvarea circuitului cu metoda potenţialelor la noduri ecuaţia enerală este: V sc unde: sc Fi 7Rc Aplicarea metodei potenţialelor la noduri Înlocuind în relaţia anterioară şi rezolvând ecuaţia oţinută rezultă V uând fiecare latură în parte şi scriind căderile de tensiune pe fiecare element de V V 0 V V 0 circuit oţinem : Scriind teorema Kirchhoff pe ucla se oţine relaţia pentru tensiune de la ornele sursei ideale de curent: U Se face trecerea în domeniul timp: i t sint [A] i t sint [A] u t sin t [V ] c Bilanţurile puterilor Puterea activă consumată în circuit este: P c R W Puterea reactivă consumată în circuit se determină astfel: m Qc m m X X C X X C X Puterea aparentă complexă enerată se calculează astfel: S U P Q var -7-
Capitolul V Teoreme enerale Proleme propuse Extraem puterea activă enerată ca fiind: P ReS W puterea reactivă enerată: ms var Se oservă că P c P Qc Q Q a fel şi pentru Aşadar se verifică ilanţurile puterilor active şi puterilor reactive consumate respectiv enerate mplicit se verifică ilanţul puterilor aparente complexe consumate respectiv enerate: S S c R7 Pentru circuitul din fiura 7R se cunosc: e t 0 sin t [V] 00 mh e t 0 sin t [V] R R 0 Ω C 000 µf t sint [A] f 0Hz Se cer: a rezolvarea circuitului cu metoda teoremelor Kirchhoff; rezolvarea circuitului cu metoda curenţilor ciclici; c rezolvarea circuitului cu metoda potenţialelor la noduri; d ilanţurile puterilor Fi 7R Prolema R7 Rezolvare: Schema în complex a circuitului este cea din fiura 7Ra în care se consideră: f 00 0 0 R 0 0 0 R R 0 C 0 E e 0 C 0 0 E e 0 e R -8-
Teoria Circuitelor Electrice Aplicaţii Fi 7Ra Schema echivalentă în complex a rezolvarea circuitului cu metoda ecuaţiilor Kirchhoff Oservăm că avem noduri laturi iar numărul de ucle necesare metodei Kirchhoff este oţinut cu relaţia: B N fi7r Astfel se consideră sensurile alese ca în fiura 7R Fi 7R Aplicarea metodei ecuaţiilor Kirchhoff Sistemul aferent metodei este următorul: T K : 0 T K : 0 T K : 0 T K : R T K : R T K : U R C R C 0 E E -9-
Capitolul V Teoreme enerale Proleme propuse Rezolvând sistemul de ecuaţii se oţin: e şi în domeniul timp i t sint [A]; e şi în domeniul timp i t sint [A]; 0 e şi în domeniul timp i t sin t [A]; e şi în domeniul timp i t sint [A]; e şi în domeniul timp i t sint [A]; U 0 şi în domeniul timp u t 0 [V] rezolvarea circuitului cu metoda curenţilor ciclici Avem ucle astfel curenţi ciclici fi7rc Deoarece pe latura de indice avem o sursă ideală de curent aleem Fi 7Rc Astfel sistemul aferent metodei este: E E unde: 0 0 0 C R C R 0 R R E 0 0 E 0 R E E 0-0-
Teoria Circuitelor Electrice Aplicaţii Rezolvând sistemul oţinut rezultă că valorile curenţilor ciclici sunt: Valorile intensităţilor curenţilor reali prin fiecare latură se determină în funcţie de curenţii ciclici: iar în domeniul timp i t sint [A]; şi în domeniul timp i t sint [A]; şi în domeniul timp i t sin t [A]; şi în domeniul timp i t sin t [A]; şi în domeniul timp i t sin t [A] Aplicăm TK pentru ucla unde circulă curentul ciclic : T K : U 0 şi oţinem: U 0 deci u t 0 [V] R C c rezolvarea circuitului cu metoda potenţialelor la noduri Fi 7Rd Aleem nodul 0 ca fiind nod de referinţă unde V 0 0 Ecuaţiile enerale pentru metoda potenţialelor la noduri considerând notaţiile din fiura 7Rd sunt: V V V sc V V V V V V sc sc --
Capitolul V Teoreme enerale Proleme propuse în care: 0 R 0 R 0 0 R sc 0 E sc C R R 0 E E sc 0 R Înlocuind în relaţia anterioară şi rezolvând ecuaţia oţinută rezultă V 0 0 V 0 0 şi V 0 uând fiecare latură în parte şi scriind căderile de tensiune pe fiecare element de circuit oţinem: E V 0 V E V V V V V V V V 0 V V 0 0 R C R U Valorile intensităţilor curenţilor prin fiecare latură şi a tensiunii de la ornele sursei ideale de curent în domeniul timp sunt: i t sint [A] i t sint [A] i t sin t [A] i t sint [A] i t sint [A] u t 0 [V] d Bilanţurile puterilor Puterea activă consumată în circuit este: P c R R 0 W Puterea reactivă consumată în circuit se determină astfel: m Qc m m 0 var C X X X C Puterea aparentă complexă enerată se calculează astfel: S E E U 0 0 0 0 P Q Extraem puterea activă enerată ca fiind: P ReS 0 W a fel şi pentru puterea reactivă enerată: ms 0 var Se oservă că P c P Qc Q Q Aşadar se verifică ilanţurile puterilor active şi puterilor reactive consumate respectiv enerate mplicit se verifică ilanţul puterilor aparente complexe consumate respectiv enerate: S S c --