SÁCH HƯỚNG DẪN HỌC TẬP TOÁN CAO CẤP (A1) Ths. ĐỖ PHI NGA

SÁCH HƯỚNG DẪN HỌC TẬP TOÁN CAO CẤP A Biê soạ: TS. VŨ GIA TÊ Ths. ĐỖ PHI NGA

Giới thiệu ô học GIỚI THIỆU MÔN HỌC. GIỚI THIỆU CHUNG: Toá co cấp A là học phầ đầu tiê củ chươg trìh toá dàh cho sih viê các hó gàh thuộc hối ỹ thuật. Để học tốt ô Toá co cấp theo phươg thức Đào tạo từ ê cạh các học liệu: sách giáo trìh i ăg đĩ hìh... sách hướg dẫ cho gười học toá co cấp là rất cầ thiết. Tập sách hướg dẫ ày được iê soạ là hằ ục đích trê. Tập sách được iê soạ theo chươg trìh qui địh ă củ Bộ Giáo dục Đào tạo và theo đề cươg chươg trìh được Học việ Côg ghệ BC-VT thôg qu ă 4. Sách hướg dẫ học toá co cấp A á sát các giáo trìh củ các trườg đại học ỹ thuật giáo trìh dàh cho hệ chíh qui củ Học việ Côg ghệ BC- VT iê soạ ă và ih ghiệ giảg dạy hiều ă củ tác giả. Chíh vì thế tài liệu ày có thể dùg để học tập và th hảo cho sih viê củ tất cả các trườg các gàh đại học và co đẳg. Cách trìh ày trog sách thích hợp cho gười tự học đặc iệt phục vụ đắc lực trog côg tác đào tạo từ. Trước hi ghiê cứu các ội dug chi tiết gười đọc ê e phầ hướg dẫ củ ỗi chươg để thấy được ục đích yêu cầu chíh củ chươg đó. Trog ỗi chươg ỗi ội dug gười đọc có thể tự đọc và hiểu được cặ ẽ thôg qu cách diễ đạt và chứg ih rõ ràg. Su các chươg gười đọc phải tự trả lời được các câu hỏi ô tập. Nhờ các ví dụ ih hoạ được đư r từ đơ giả đế phức tạp gười đọc có thể coi đó là ài tập ẫu để tự giải các ài tập có trog tài liệu. Người đọc có thể tự iể tr đáh giá iế thức hả ăg thu hậ dự vào phầ hướg dẫ và đáp số được cug cấp ở hữg trg cuối sách. Cũg cầ hấ ạh rằg ội dug chíh củ toá co cấp là phép tíh vi phâ và phép tíh tích phâ à ề tảg củ ó là phép tíh giới hạ củ hà số. Chíh vì thế chúg tôi trìh ày há tỉ ỉ hi chươg đầu củ tài liệu để gười học tự đọc cũg có thể có được các iế thức vữg vàg để đọc tiếp các chươg su. Trog quá trìh tự đọc và học qu ạg tuỳ theo hả ăg tiếp thu học viê có thể chỉ cầ hớ các địh lý và ỏ qu phầ chứg ih củ ó.

Giới thiệu ô học Nhâ đây tác giả cũg lưu ý rằg ở ậc trug học phổ thôg củ ước t chươg trìh toá cũg đã o hà các iế thức về vi tích phâ. Tuy hiê các ội dug đó chỉ g tíh chất giới thiệu do lượg thời gi hạ chế do cấu tạo chươg trìh. Vì thế ếu hôg tự đọc ột cách ghiê túc các địh ghĩ địh lý cũg sẽ vẫ chỉ ắ được ột cách hời hợt và hư vậy rất gặp hó hă trog việc giải các ài tập toá co cấp. Sách gồ 5 chươg tươg ứg với học phầ gồ 6 đế 75 tiết: Chươg I: Giới hạ củ dãy số. Chươg II: Hà số ột iế số. Chươg III: Phép tíh vi phâ hà số ột iế số. Chươg IV: Phép tíh tích phâ. Chươg V: Lý thuyết chuỗi. MỤC ĐÍCH MÔN HỌC Học phầ ày sẽ cug cấp các iế thức về phép tíh vi tích phâ củ hà số ột iế số thực và phép tíh vi phâ củ hà hiều iế số. Nội dug củ học phầ tuâ thủ theo quy địh về học phầ Toá co cấp A củ Bộ GD-ĐT dàh cho các Trườg thuộc hối gàh côg ghệ.. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU MÔN HỌC Để học tốt ô học ày sih viê cầ lưu ý hữg vấ đề su : - Thu thập đầy đủ các tài liệu : Bài giảg: Toá co cấp A.Vũ Gi Tê Nguyễ Phi Ng Học việ Côg ghệ BCVT 5. Sách hướg dẫ học tập và ài tập: Toá co cấp A. Vũ Gi Tê Nguyễ Phi Ng Học việ Côg ghệ BCVT 5. Bài giảg điệ tử: Toá co cấp A. Học việ Côg ghệ BCVT 5. Nếu có điều iệ sih viê ê th hảo thê: Các tài liệu th hảo trog ục Tài liệu th hảo ở cuối cuố sách ày.

Giới thiệu ô học - Đặt r ục tiêu thời hạ cho ả thâ: Đặt r ục các ục tiêu tạ thời và thời hạ cho ả thâ và cố gắg thực hiệ chúg Cùg với lịch học lịch hướg dẫ củ Học việ củ ô học cũg hư các ô học hác sih viê ê tự đặt r cho ìh ột ế hoạch học tập cho riêg ìh. Lịch học ày ô tả về các tuầ học tự học trog ột ỳ học và đáh dấu số lượg côg việc cầ là. Đáh dấu các gày hi sih viê phải thi sát hạch ộp các ài luậ ài iể tr liê hệ với giảg viê. Xây dựg các ục tiêu trog chươg trìh ghiê cứu Biết rõ thời gi ghiê cứu hi ới ắt đầu ghiê cứu và thử thực hiệ cố địh hữg thời gi đó hàg tuầ. Suy ghĩ về thời lượg thời gi ghiê cứu để Tiết iệ thời gi. Nếu ạ ất quá hiều thì giờ ghiê cứu ạ ê e lại ế hoạch thời gi củ ìh. - Nghiê cứu và ắ hữg iế thức đề cốt lõi: Sih viê ê đọc qu sách hướg dẫ học tập trước hi ghiê cứu ài giảg ô học và các tài liệu th hảo hác. Nê hớ rằg việc học thôg qu đọc tài liệu là ột việc đơ giả hất so với việc truy cập ạg Iteret hy sử dụg các hìh thức học tập hác. Hãy sử dụg thói que sử dụg út đáh dấu dòg highlie er để đáh dấu các đề ục và hữg ội dug côg thức qu trọg trog tài liệu. 4- Th gi đầy đủ các uổi hướg dẫ học tập: Thôg qu các uổi hướg dẫ học tập ày giảg viê sẽ giúp sih viê ắ được hữg ội dug tổg thể củ ô học và giải đáp thắc ắc; đồg thời sih viê cũg có thể tro đổi thảo luậ củ hữg sih viê hác cùg lớp. Thời gi ố trí cho các uổi hướg dẫ hôg hiều do đó đừg ỏ qu hữg uổi hướg dẫ đã được lê ế hoạch. 5- Chủ độg liê hệ với ạ học và giảg viê: Cách đơ giả hất là th dự các diễ đà học tập trê ạg Iteret. Hệ thốg quả lý học tập LMS cug cấp ôi trườg học tập trog suốt 4 giờ/gày và 7 gày/tuầ. Nếu hôg có điều iệ truy hập Iteret sih viê cầ chủ độg sử dụg hãy sử dụg dịch vụ ưu chíh và các phươg thức truyề thôg hác điệ thoại... để tro đổi thôg ti học tập. 4

Giới thiệu ô học 6- Tự ghi chép lại hữg ý chíh: Nếu chỉ đọc hôg thì rất hó cho việc ghi hớ. Việc ghi chép lại chíh là ột hoạt độg tái hiệ iế thức ih ghiệ cho thấy ó giúp ích rất hiều cho việc hìh thàh thói que tự học và tư duy ghiê cứu. 7- Trả lời các câu hỏi ô tập su ỗi chươg ài. Cuối ỗi chươg sih viê cầ tự trả lời tất cả các câu hỏi. Hãy cố gắg vạch r hữg ý trả lời chíh từg ước phát triể thàh câu trả lời hoà thiệ. Đối với các ài tập sih viê ê tự giải trước hi th hảo hướg dẫ đáp á. Đừg gại gầ trog việc liê hệ với các ạ học và giảg viê để hậ được sự trợ giúp. Nê hớ thói que đọc và ghi chép là chì hoá cho sự thàh côg củ việc tự học! 5

Chươg : Giới hạ củ dãy số.. CHƯƠNG I: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ. MỤC ĐÍCH Trog hiều vấ đề lý thuyết cũg hư thực tế gười t phải ét hữg đại lượg à trog quá trìh iế thiê đại lượg đó lấy hữg giá trị rất gầ đế ột hằg số ào đấy. Trog quá trìh ày t gọi đại lượg đg ét là dầ đế hy có giới hạ là. Như vậy đại lượg có giới hạ là có thể đạt được giá trị và cũg có thể hôg o giờ đạt được giá trị điều ày trog quá trìh tì giới hạ hôg cầ qu tâ đế. Ví dụ:. Gọi là iê độ củ ột co lắc tắt dầ. Rõ ràg trog quá trìh do độg iê độ củ ó giả dầ tới và thực tế su hoảg thời gi ác địh co lắc dừg lại t ói rằg có giới hạ là trog quá trìh thời gi trôi đi.. Xét dãy số u có dạg u. Quá trìh tăg lê ãi thì u tăg dầ về số rất gầ. Nói rằg dãy số có giới hạ là hi tăg lê vô cùg. Giới hạ là ột hái iệ hó củ toá học. Khái iệ giới hạ được cho ởi từ gầ để ô tả địh tíh. Cò địh ghĩ chíh ác củ ó cho ởi cụ từ é hơ ε hoặc lớ hơ M để ô tả địh lượg sẽ được giới thiệu trog chươg ày. Khi đã hiểu được hái iệ giới hạ thì sẽ dễ dàg hiểu được các hái iệ đạo hà tích phâ. Bởi vì các phép toá đó đều uất phát từ phép tíh giới hạ. Trog ục thứ hất cầ hiểu được vi trò thực sự củ số vô tỉ. Nhờ tíh chất đầy củ tập số thực à gười t có thể iểu diễ tập số thực trê trục số - gọi là trục thực và ói rằg tất cả các số thực lấp đầy trục số. Nói hác đi có sự tươg ứg - giữ các số thực và các điể trê trục số. Cũg ê hậ ét được tập Q hôg có tíh đầy. Học viê cầ ắ chắc hái iệ trị tuyệt đối củ ột số thực và các phép tíh về ó. Trog ục thứ hi cầ hiểu được vi trò củ số phức về ặt lý thuyết cũg hư ứg dụg su ày trog ỹ thuật. Thực chất ột số phức z là ột tươg ứg - với cặp có thứ tự các số thực y. Cầ phải ắ vữg hái iệ 7

Chươg : Giới hạ củ dãy số odul và cgue củ số phức và các dạg iểu diễ số phức: dạg đại số dạg lượg giác dạg hà ũ. Từ đó có thể là thôg thạo các phép tíh trê tập C đặc iệt dùg côg thức Moivre trog các ứg dụg vào lượg giác. Trog ục thứ cầ ắ vữg hái iệ hội tụ có giới hạ và phâ ỳ củ dãy số. Nắ vữg các tíh chất: ị chặ hôg ị chặ đơ điệu củ dãy số. Nhờ vào các tíh chất ày à thiết lập được các điều iệ cầ điều iệ đủ để dãy số có giới hạ. Khái iệ dãy co củ ột dãy số cũg là ột hái iệ hó. Người học phải đọc ỹ địh ghĩ và cố gắg hìh dug để hiểu rõ hái iệ ày. Đôi hi sự hội tụ hy phâ ỳ củ ột dãy số có thể hậ iết hờ vào tíh chất củ vài dãy co. Đặc iệt phải ắ được hái iệ hi dãy ề hu để từ đó có hái iệ về các đoạ lồg hu được dùg trog chứg ih địh lý Bolzo-Weierstrss.. TÓM TẮT NỘI DUNG.. Số thực. Các tíh chất cơ ả củ tập số thực. Tất cả các số hữu tỉ và số vô tỉ tạo thàh tập hợp số thực. Kí hiệu tập số thực là R. Tập số vô tỉ là R\Q. Tíh chất : Tập R là ột truờg gio hoá với hi phép cộg và hâ: R... R R. R. c R c c. c c. R 4. R có phầ tử trug hoà đối với phép cộg là và đối với phép hâ là R.. 5. Phâ phối đối với phép cộg c R c c c c 6. Tồ tại phầ tử đối củ phép cộg R Tồ tại phầ tử ghịch đảo củ phép hâ 8

Chươg : Giới hạ củ dãy số R * R * R \ {}. Tíh chất : Tập R được ếp thứ tự toà phầ và đóg í đối với các số thực dươg.. R < hoặc hoặc >. c R c c R c R c c. R R R Tíh chất : Tập R là đầy theo ghĩ su đây: Mọi tập co X hôg rỗg củ R ị chặ trê trog R đều có ột cậ trê đúg thuộc R và ọi tập co hôg rỗg X củ R ị chặ dưới trog R đều có ột cậ dưới đúg thuộc R.. Tập số thực ở rộg Người t thê vào tập số thực R hi phầ tử í hiệu là và. Tập số thực ở rộg í hiệu là R và R R { } các phép toá và. qu hệ thứ tự được địh ghĩ hư su:. R. * *. R R { R > } 4. R * R * { R < } 5. R < c. Các hoảg số thực < Cho R và.trog R có chí loại hoảg su đây: 9

Chươg : Giới hạ củ dãy số [ ] được gọi là đoạ hy hoảg đóg ị chặ { R ; } } } } được gọi là hoảg ử đóg hoặc ử ở [ { } ] { R R < < ; ; được gọi là các hoảg ở [ { } ] { } { { } { R R R R R < < < < ; ; ; ; ; Các số thực gọi là các út củ hoảg. d. Giá trị tuyệt đối củ số thực Địh ghĩ: Giá trị tuyệt đối củ số thực í hiệu là ột số thực hôg â ác địh hư su hi hi Tíh chất. M R.. i i i i R R N y y R y * K 4. R * 5.

Chươg : Giới hạ củ dãy số i i i i R N y y R y * K 6. y y y Mi y y y M R y 7. y y R y e. Khoảg cách thôg thườg trog R Địh ghĩ: Khoảg cách trog R là áh ạ y y R R R d : Đó là hìh ảh trực qu về hoảg cách giữ điể và y trê đườg thẳg trục số thực R. Tíh chất. y y d. y d y d R y. z y d y d z d R z y 4. z y d z d y d R z y.. Số phức. Địh ghĩ: Cho ột số iểu diễ dưới dạg ziytrog đó gọi là ột số phức.tập các số phức í hiệu là C. R y i Gọi là phầ thực củ z í hiệu Rez y là phầ ảo củ zí hiệu là Iz y Gọi ôđu củ zí hiệu z ác địh ởi số thực hôg â r y z

Chươg : Giới hạ củ dãy số Gọi Acgue củ z í hiệu Argz ác địh ởi số thực Argz θ R; θ R; cosθ và z Như vậy Acgue củ z si hác hu Vậy số phức z có các dạg viết: z y θ si với z Z và Arg hôg ác địh.. z iy gọi là dạg chíh tắc hy dạg đại số củ số phức z.. z cosθ i siθ r gọi là dạg lượg giác củ số phức z.. Các phép toá trê tập C Phép so sáh ằg hu ' ' y y 4 R Phép lấy liê hợp Cho z iy ' iy ' ' ' y y iy C liê hợp củ zí hiệu z cho ởi z iy Phép lấy số phức đối Cho ziy Csố phức đối củ z í hiệu z đọc là trừ z được ác địh: Phép cộg -z --iy Cho z iyz iy tổg củ z và z í hiệu zz ác địh hư su: Phép hâ zz iyy Cho ziy và z iy tích củ z và z í hiệu z.z ác địh hư su: Phép trừ và phép chi z.z -yy iy y Là các phép tíh gược củ phép cộg và phép hâ z z' z z' z z" z z'. z" z' Phép luỹ thừcôg thức Movrờ Moivre Cho z r cosθ isiθ Z Gọi z là luỹ thừ ậc củ z. Bằg qui ạp dễ chứg ih được z r cos θ i si θ

Chươg : Giới hạ củ dãy số * Phép hi că ậc củ z C. * * Cho N z r cosθ i siθ. Gọi ς C là că ậc củ z í hiệu z ác địh hư su: ς z Φ Nếu gọi θ ρ r ρ ς và Φ Argς thì hy là Φ θ với.... Vậy số z có đúg că ậc đó là các số phức có dạg: r ρ và θ θ ς r cos i si... c. Áp dụg số phức vào lượg giác Khi triể Cho θ R N cos θ si θ tgθ *.Áp dụg côg thức Moivre và côg thức hị thức Newto cos θ isi θ cosθ isiθ. cos θ iểu diễ dưới dạg ột đ thức củ cos θ gọi đó là côg thức Cheyshev loại.. si θ ằg tích củ siθ với ột đ thức củ cos θ gọi là đ thức Cheyshev loại.. tg Tuyế tíh hoá Cho Vậy θ R p N C cos θ. i si θ si θ θ θ L cos θ Ctg Ctg 4 cosθ cosθ Ctg θ Ctg θ L cos θ θ 4 * p p p q cos θ si θ cos θ.si θ ω e i θ p p p p cos θ ω và i ω cosθ ω ω ω ω isiθ ω ω ω ω si p θ ω ω Sử dụg côg thức hị thức Newto và ét các trườg hợp su đây: p si θ

Chươg : Giới hạ củ dãy số. Trườg hợp * N p cos cos cos ` cos cos cos C C C C C C C θ θ θ θ θ ω ω ω ω θ L L cos si cos cos si C C C C C C θ θ θ θ ω ω ω ω θ L L.Trườg hợp N p C C C C C cos cos cos cos cos cos θ θ θ θ θ ω ω ω ω ω ω θ L L θ θ θ θ θ ω ω ω ω θ si si si si. si si C C i C i i C i L L Để tuyế tíh hoá θ θ q p.si cos trước hết tuyế tíh hoá từg thừ số su đó thực hiệ phép hâ rồi cùg tuyế tíh hoá các số hạg thu được. θ θ q p si cos.. Dãy số thực. Các hái iệ cơ ả củ dãy số thực Địh ghĩ Một dãy số thực là ột áh ạ từ N vào Rí hiệu: R N u : hy đơ giả hấtí hiệu u 4

Chươg : Giới hạ củ dãy số Với N ác địh u gọi là số phầ tử thứ củ dãyu thườg là ột iểu thức phụ thuộc vào gọi là phầ tử tổg quát củ dãychẳg hạ cho các dãy su đây: Sự hội tụ sự phâ ì củ dãy số. Dãy u hội tụ về R ếu ε > N N > u < ε Kí hiệu li rõ ràg u- hội tụ về. u. Dãy u hội tụ ếu có số R để li u. Dãy u phâ ì ếu ó hôg hội tụghĩ là: R ε > N N > u ε 4. Dãy u hậ là giới hạ ếu A > N > u > A Kí hiệu li u đôi hi ói rằg u tiế tới 5. Dãy u hậ - là giới hạ ếu Kí hiệu B < N > u < B. li u Dãy có giới hạ là hoặc - cũg gọi là phâ ỳ. Dãy số ị chặ. Nói rằg u ị chặ trê ởi số A R ếu N u A.. Nói rằg u ị chặ dưới ởi số B R ếu N u B.. Nói rằg u là dãy ị chặ ếu tồ tại M R so cho N u M. Tíh chất củ dãy hội tụ Tíh duy hất củ giới hạ Địh lí: Dãy u hội tụ về thì là duy hất Tíh ị chặ. Dãy u hội tụ thì ị chặ trog R.. Dãy u tiế đế thì ị chặ dưới.. 5

Chươg : Giới hạ củ dãy số. Dãy u tiế đế - thì ị chặ trê. Tíh chất đại số củ dãy hội tụ. u li u li.. li li u u.. u li v li u v li. 4. u li λ u λ li. 5. li u v ị chặ li v u. 6. li u li v li u v. 7. u li u li v li. v Tíh chất về thứ tự và guyê lý ẹp. Giả sử li l.khi đó u. Giả sử l và u > < u < li > có u. Giả sử dãy u v w thoả ã: > u v w và li u li w Khi đó li v 4. Giả sử > à v c. Tíh đơ điệu củ dãy số Dãy đơ điệu u và u. Dãy u tăg ếu N u u Dãy u tăg gặt ếu N u < u hi đó l li.khi đó li v.. Dãy u giả ếu N u u Dãy u giả gặt ếu N u > u.. Dãy u đơ điệu ếu ó tăg hoặc giả. Dãy u đơ điệu gặt ếu ó tăg gặt hoặc giả gặt Địh lí : 6

Địh lí : Dãy ề hu. Mọi dãy tăg và ị chặ trê thì hội tụ.. Mọi dãy giả và chặ dưới thì hội tụ. Chươg : Giới hạ củ dãy số. Dãy u tăg và hôg ị chặ trê thì dầ đế.. Dãy u giả và hôg ị chặ dưới thì dầ đế. Hi dãy u v gọi là ề hu hi và chỉ hi u tăg v giả và li v u Địh lí: Hi dãy ề hu thì hội tụ và có chug ột giới hạ l goài r N u u l v < v Hệ quả: Địh lí về các đoạ lồg hu Cho hi dãy thoả ã : N [ ] [ và li Khi đó tồ tại duy hất số d. Dãy co <... I l so cho [ ] { l} N Cho u từ các số hạg củ ó lập ột dãy ới Gọi u là ột dãy co củ u.chẳg hạ: u và u là các dãy co củ u u là các dãy co củ u ] u với < <...< u hôg phải là dãy co củ u vì số hạg u uất hiệ lầ ứg với Địh lí : Nếu u hội tụ về về R thì ọi dãy co củ ó cũg hội tụ Hệ quả: Để u hội tụ đế l điều iệ cầ và đủ là hi dãy co u và u đều hội đế l. Địh lí : Địh lí Bôzô VâyơtrseBolzo -Weierstrss: Từ ọi dãy u ị chặ đều có thể lấy r ột dãy co hội tụ 7

Chươg : Giới hạ củ dãy số. CÂU HỎI ÔN TẬP Câu. Số thực là gì? Nêu các tíh chất củ số thực. Câu. Số hữu tỉ có tíh đầy hôg? Cho ví dụ ih hoạ. Câu. Trục số là gì? Địh ghĩ các loại hoảg số thực. Câu 4. Trị tuyệt đối củ số thực là gì? Nêu các tíh chất củ ó. Câu 5. Số phức là gì? Tại so trục hoàh và trục tug có tê gọi là trục thực và trục ảo. Câu 6. Nêu các dạg số phức. Câu 7. Nêu các phép tíh số phức. Câu 8. Phép hi că số phức hác với phép hi că số thực ở chỗ ào? Câu 9. Dãy số thực là gì? Câu. Địh ghĩ sự hội tụ củ dãy số thực. Từ đó có thể địh ghĩ về sự hội tụ củ dãy số phức? Câu. Thế ào là dãy số ị chặ? Câu. Thế ào là dãy số đơ điệu? Câu. Dãy số hội tụ thì ị chặ có đúg hôg? Ngược lại dãy ị chặ có hội tụ hôg? Tại so? Câu 4. Các dãy hôg hội tụ có tíh chất đại số giốg hư các dãy hội tụ hôg? Câu 5. Nêu điều iệ để ột dãy đơ điệu hội tụ. Câu 6. Thế ào là hi dãy ề hu? Thế ào là các đoạ lồg hu? Nêu các tíh chất củ chúg. Câu 7. Thế ào là ột dãy co? Nếu dãy phâ ỳ thì các dãy co củ ó có phâ ỳ hôg? Câu 8. Phát iểu địh lý Bolzo-Weierstrss. Nếu dãy hôg ị chặ thì có thể lấy r ột dãy co củ ó hội tụ được hôg?.4 BÀI TẬP CHƯƠNG I SỐ THỰC: Câu. Chứg ih rằg là số vô tỉ. Câu. Giải các phươg trìh su với y z R. 8

Chươg : Giới hạ củ dãy số y z y z. 4y 8z - 4y - z. Câu. Tì cậ trê đúgcậ dưới đúg ếu tồ tại củ tập E su đây * trê R E { N }. Câu 4. Bằg địh ghĩ hãy chứg ih sự hội tụ củ các dãy cho ởi số hạg tổg quát tươg ứg và tì giới hạ củ chúg c u. u. 4 u. d u. 4 Câu 5. Tì giới hạ củ các dãy cho ởi số hạg tổg quát dưới đây.. c. d. Câu 6. Chứg ih sự hội tụ và ác địh giới hạ củ các dãy su cho ởi số hạg tổg quát tươg ứg.. c si. Câu 7. Cho ã điều iệ: c R và - 4c < u v là hi dãy số thực thoả liu u v cv Chứg ih li u liv.. Câu 8. Cho dãy với - Chứg ih hôg có giới hạ hữu hạ. Chứg ih li. Câu 9. Cho dãy với - > > trog đó - - - 9

Chươg : Giới hạ củ dãy số Chứg tỏ rằg > > N. Biểu diễ qu. c Tíh - và chứg tỏ rằg đơ điệu. Hãy tì li Câu. Chứg tỏ rằg các dãy su có giới hạ hữu hạ L. L.!! Câu. Chứg tỏ các dãy su có giới hạ là L. log log L log >. Câu. Tì giới hạ củ dãy su:.. c -. d > >. e g.. 5 > 5. Câu. Chứg ih rằg ột dãy đơ điệu có giới hạ ếu ó có ột dãy co có giới hạ. Câu 4. Chứg ih rằg ếu dãy co và hội tụ thì dãy hội tụ. Câu 5. Nếu Có thể thy số ởi số tự hiê > được hôg?. hữu hạ hy vô hạ.có thể ói gì về li.

Chươg : Giới hạ củ dãy số SỐ PHỨC Câu. Cho EFGH R ác địh ởi các hệ thức su: y E: y. F: y. y y G: - y y. H: y - -y. Chứg ih E F G H. Câu. Có tồ tại z z để thoả ã các điều iệ dưới đây hôg? C z z z z z z. Câu. Tì tất cả các y z C so cho y z Khác hu từg đôi ột yz y y z z z Câu 4. Giải hệ phươg trìh với ẩ y z C y z yz z y. Câu 5. Cho áh ạ : C C thoả ã R z z' C Chứg ih [ z z' z z' zz' z. z' z z z z z C z C Câu 6. Giải phươg trìh với ẩ số z C z 6z i Câu 7. Xác địh tập các số phức z C so cho z r z r R Câu 8. Với c C thoả ã cc và c. Chứg ih c Câu 9. Chứg ih z z' C. z z' z z' z z' Hằg đẳg thức hìh ìh hàh.. zz' z z' z z'. c. zz' z z' z z'. d. zz' z z' z z' i z iz' i z iz'. 4

Chươg : Giới hạ củ dãy số Câu. Cho hi u C * N z...z α... α R z α. u Câu. Chứg ih C C.Chứg ih z z.. Khi ào ảy r đẳg thức?. Câu. Cho cd C hác hu từg đôi ột so cho hữg số thuầ ảo. Chứg ih rằg d c cũg thuầ ảo. Câu. Xác địh tập hợp các điể M có toạ vị z thoả ã điều iệ:. z z. z. ir. z i Câu 4. Tíh Sup z z Câu 5. Với z R ẩ y R. Tì ghiệ củ hệ cos cos cos y si si si y Câu 6. Giải các phươg trìh su trê trườg số phức:. z - zcosθ θ R. d c và hi và chỉ. z - - iz -iz -i iết rằg phươg trìh có ột ghiệ thuầ ảo. Câu 7. Giải các phươg trìh với ẩ số yz y y 89.. y y 99 Câu 8. Chứg ih với. itgα itgα α R itgα. itgα. z z - cos α ếu z cos α. z C y y z z d c là

Chươg : Giới hạ củ dãy số Câu 9. Cho N * R tíh S cos. Câu. Với N R Z tíh các tổg: i. A e.. B A..5 HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ BÀI TẬP CHƯƠNG I SỐ THỰC Câu. Rút gọ về dạg toà phươg ằg phươg pháp Guss... z z z z R hoặc 6t t t t R. Câu. Khôg tồ tại IE SupE - ME Câu 4. ; ; c ; d 4 Câu 5. ; ; c ; d Câu 6. ; ; c ; Câu 7. Hãy iểu diễ t thức dưới dạg chíh tắc su đó sử dụg guyê lý ẹp. Câu 8. Dùg phươg pháp phả chứg. Chứg ih tăg và hôg ị chặ trê. Câu 9. Dùg qui ạp. c - Bằg qui ạp chứg ih: * Nếu < thì tăg và <. Qu giới hạ sẽ có * Nếu > thì giả và >. Qu giới hạ sẽ có * Nếu thì. Tó lại li hôg phụ thuộc tức là hôg phụ thuộc.

Chươg : Giới hạ củ dãy số Câu. Rõ ràg < và < L < >. Tươg tự Câu. > Câu. log Rõ ràg > * N t có iểu diễ và - Suy r : tăg và ị chặ trê ởi số. giả và ị chặ dưới ởi số. Lý luậ sẽ hậ được li Qui ạp sẽ hậ được dãy đơ điệu giả và ị chặ dưới ởi số suy r li t có 5 c Bằg qui ạp chứg ih được 5 < < goài r - Vậy đơ điệu giả và ị chặ dưới do đó li 5 d Bằg qui ạp chứg ih < và < 4 Đặt li e 4... - - - -... Bằg qui ạp chứg ih - -

Chươg : Giới hạ củ dãy số và Cộg liê tiếp - - [... ] - - - -.. li Rõ ràg > ằg qui ạp chứg ih được đơ điệu tăg < li 5 g 5. Suy r >. Vậy tồ tại li và suy r 5. SỐ PHỨC Câu. Đặt z iy y R y Câu. Khôg E F Câu. Khôg tồ tại. - y iy i y y y y y G H y y y z i z Câu 4. yz yz y z yz z y ---- Câu 5. Xét i i - - i ε i ε {±} Xét y Câu 6. z R iy iy iy ε iy Kiể tr z z hoặc z z thoả ã. 8 i 5

Chươg : Giới hạ củ dãy số Câu 7. z Câu 8. R ir c c c c c c c c Do tíh đối ứg suy r c Câu 9. Áp dụg: z C thì Câu. Qui ạp theo. Câu. Xét đươg với và hoặc đúg Xét : Đặt u z zz và các tíh chất củ phép lấy liê hợp. v u v u v Kí hiệu λ u v d v u. Bất đẳg thức đã cho tươg Vậy qui về λ d Chú ý rằg Red Re uv uv vì u v 4 Câu. T có d d c c c thuầ ảo d c thuầ ảo. Mặt hác t có số thuầ ảo s c cc c Suy r điều phải chứg ih. 4 Câu. Đườg trò tâ và á íh z z i Biểu diễ z z i z i d c d c d c Rez z -i y y 6

Câu 4. Câu 5. Chươg : Giới hạ củ dãy số Trục Oy và đườg trò tâ - á íh ỏ đi điể - cos cos y si si y y ± Z θ Câu 6. z e ±i Gọi z i là ghiệ thuầ ảo z -iz - iz - i z -i.[z -iz ] z i z { 7 4 ± 7 4 i} Câu 7. Đư về tươg đươg với 8 8 Đặt u y y y y 9 89 u y v y ω 5ω5ii iω 5iω 5 ω5ω 5i iiω5iω 5 - i trog đó ω e i 8 Suy r y z 4 8 7 4 ω ω 7 ω 6 ω e Câu 9. cos 4 cos cos i * Z thì S si * Z thì S {cos 4 si si Câu. A - cos cos si si Biế đổi tiếp A si cos si si 4} 7

Chươg : Giới hạ củ dãy số B si si si si 8

Chươg : Hà số ột iế số CHƯƠNG II: HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ. MỤC ĐÍCH Mọi vật ug quh t đều iế đổi theo thời gi. Chúg t có thể hậ thấy điều đó qu sự chuyể độg cơ học củ các vật thể: ô tô áy y; sự thy đổi củ các đại lượg vật lý: hiệt độ tốc độ gi tốc; sự iế độg ih tế trog ột ã hội: Giá cổ phiếu lãi suất tiết iệ... Tất cả các loại hìh đó được gá ột tê chug là đại lượg hy hà số ó phụ thuộc vào đối số ào đó chẳg hạ là thời gi. Xe ét hà số tức là qu tâ đế giá trị tíh chất và iế thiê củ ó. Việc đó đặt r hư ột hu cầu hách qu củ co gười và ã hội. Trog ục thứ hất củ chươg ày gười đọc cầ ắ vữg hà số và ý hiệu hà số. Lưu ý rằg áh ạ hy quy luật êu trog địh ghĩ có tíh tổg quát hôg hất thiết phải là ột côg thức giải tích trê hoảg ác địh củ ó. Nó có thể iểu thị ằg hiều côg thức trog các hoảg co củ tập ác địh hoặc ằg số hoặc ằg đồ thị. Nắ vữg các tíh chất củ hà số là điều vô cùg qu trọg. Chẳg hạ ếu hà chẵ hoặc lẻ trê hoảg - thì chỉ cầ ét trê hoảg hà tuầ hoà chu ỳ T chỉ cầ ét trê hoảg T T là có thể iết toà cảh củ hà số đó. Tíh chất ày củ hà số sẽ cò được e ét ở các chươg tiếp theo. Nhữg hà số thôg dụg là các hà số sơ cấp cơ ả là hà hữu tỉ luô luô được sử dụg trog các chươg su. Phải lưu ý đế tập giá trị củ các hà gược củ các hà lượg giác. Khi e ét các hà sơ cấp cơ ả là phải phác thảo được đồ thị củ chúg có hư thế chúg t ới thấy được đặc tíh củ hà số đặc iệt đặc tíh củ hà số ở lâ cậ và lâ cậ vô cùg hữg điể há gốc toạ độ. Trog ục thứ hi hái iệ giới hạ củ hà số là o hà hái iệ giới hạ củ dãy số thể hiệ qu địh ghĩ củ ó đặc iệt qu địh lý về ối liê hệ với dãy số. Nhớ lại rằg giới hạ là ột hái iệ hó ê các tíh chất củ hà có giới hạ các điều iệ cầ các điều iệ đủ phải hiểu chíh ác. Ngoài r cũg cầ phải lưu ý hái iệ giới hạ ột phí ởi vì các hà thườg được cho hôg phải luô luô dưới dạg sơ cấp. Tất cả các hái iệ 8

Chươg : Hà số ột iế số trê gười học phải ih hoạ được ằg đồ thị. Cuối cùg là các giới hạ đág hớ chúg được coi là các giới hạ đi cùg với chúg t suốt quá trìh học tập. Trog ục thứ lớp các vô cùg é vô cùg lớ được đề cập ột cách tự hiê ởi vì chúg có ối liê hệ trực tiếp với hà số có giới hạ. Hơ ữ trog các tíh toá thườg hy gặp các đại lượg ày. Cầ ắ được các so sáh vô cùg é vô cùg lớ ởi vì ó rất có ích trog quá trìh hử các dạg ất địh trog quá trìh đáh giá tíh gầ đúg và đặc iệt là cách ô tả su ày. Biết các vô cùg é hoặc vô cùg lớ tươg đươg thực sự đã có ỹ ăg ỹ ảo giải các ài tập su ày. Cuối cùg trog ục thứ tư chúg t đề cập đế ột lớp hà số đặc iệt qu trọg ởi vì ó luô luô uất hiệ trog toá co cấp A A : Hà số liê tục. Việc ô tả hìh học hà số liê tục tại liê tục ột phí tại liê tục trê hoảg trê đoạ []... là việc là vô cùg cầ thiết. Nó phả áh sự hiểu thấu đáo về tíh liê tục tíh giá đoạ củ hà số. Cũg hờ tíh chất log liê tục củ hà số à có thể hử được các dạg ất địh đặc iệt : v [ u ]. Khi đề cập đế hà liê tục trê ột đoạ í là phải ghĩ gy đế tíh trù ật tíh đạt được giá trị lớ hất và hỏ hất củ ó tíh liê tục đều. Nhữg tíh chất ày là cơ sở cho ài toá tì giá trị é hất lớ hất tì ghiệ gầ đúg củ phươg trìh đại số hy tíh hả tích củ ó.. TÓM TẮT NỘI DUNG.. Các hái iệ cơ ả về hà số. Các địh ghĩ cơ ả Địh ghĩ hà số Cho X là tập hôg rỗg củ R. Một áh ạ hà số ột iế số : X R từ X vào R gọi là ột X gọi là tập ác địh củ X gọi là tập giá trị củ. Đôi hi ý hiệu y X gọi là đối số y gọi là hà số. Hà chẵ lẻ Cho X đối ứg với tức là X X 9

Chươg : Hà số ột iế số Hà số chẵ hi và chỉ hi. Hà số lẻ hi và chỉ hi. Hà số tuầ hoà * Hà số gọi là tuầ hoà trê X ếu tồ tại τ R so cho thì τ X và τ. Số T dươg é hất trog các số τ gọi là chu ì củ hà số tuầ hoà. Hà số đơ điệu Cho với X.. Nói rằg tăg ếu và tăg gặt ếu. Nói rằg giả ếu X. X < <. X. và giả gặt ếu X < >.. Nói rằg đơ điệu ếu ó tăg hoặc giả. Nói rằg đơ điệu gặt ếu ó tăg gặt hoặc giả gặt. Hà số ị chặ. Hà số ị chặ trê trog X ếu tồ tại số A so cho : X A.. Hà số ị chặ dưới trog X ếu tồ tại số B so cho: X B. Hà số ị chặ trog X ếu tồ tại các số AB so cho: Hà số hợp X B A. Cho : X R và g: Y R với X Y gọi áh ạ X g : X R g Hy y g là hà số hợp củ hi hà và g.

Chươg : Hà số ột iế số * R Địh lí: Nếu g : X R ị chặ trê thì g cũg ị chặ trê và Sup g Sup Sup g X X. Nếu g : X R ị chặ trê và hôg â thì. g ị chặ trê và Sup. g Sup. Sup g X X. Nếu X R ị chặ trê và λ R thì λ ị chặ trê đồg thời : * Supλ. λ Sup X X. Để : X R ị chặ dưới điều iệ cầ và đủ là - ị chặ trê và hi đó I Sup Hà số gược Cho sog áh Áh ạ gược X X : X Y X Y R : Y X y X X gọi là hà số gược củ y Thôg thườg đối số í hiệu là hà số í hiệu là y vậy hà gược củ y là hà số y. Vì thế trê cùg ặt phẳg toạ độ y đồ thị củ hi hà số và là đối ứg hu qu đườg phâ giác củ góc phầ tư thứ I và III.. Các hà số thôg dụg Hà luỹ thừ Choα R. Hà luỹ thừ với số ũ α được í hiệu là P α là áh ạ từ * α vào R ác địh hư su R P α Nếu α > coi rằg P Nếu α coi rằg P Hà ũ cơ số * α * Xét R \ {}. Hà ũ cơ số í hiệu là ep là áh ạ từ R vào ác địh hư su: R ep R. Hà lôgrit cơ số * Xét R \ {}. Hà lôgrit cơ số í hiệu là log là áh ạ gược * y với áh ạ hư vậy y R R y log ep

Chươg : Hà số ột iế số Tíh chất củ hà số lôgrit. log. y R α R * log log log y log y log α α log log log y y *. R log log. log * 4. R log log Các hà số lượg giác Các hà số lượg giác: si cos tg cotg đã được ét ỹ trog chươg trìh phổ thôg trug học. Dưới đây chúg t chỉ hắc lại ột số tíh chất cơ ả củ chúg. Tíh chất: - si ác địh trê R là hà số lẻ tuầ hoà với chu ì T và ị chặ: si R - cos ác địh trê R là hà số chẵ tuầ hoà với chu ì T và ị chặ: cos R ỳ - tg ác địh trê R\{ Z } là hà số lẻ tuầ hoà với chu T và hậ giá trị trê hoảg. - cotg ác địh trê R\{ Z } là hà số lẻ tuầ hoà với chu ỳ T và hậ giá trị trê hoảg. Các hà số lượg giác gược - Hà rcsi là áh ạ gược củ si: [ ] Kí hiệu là rcsi:[ ]. Vậy t có: [ ] y y rcsi si y

Chươg : Hà số ột iế số - Hà rccos là áh ạ gược củ cos : [ ] [ ] í hiệu: rccos: [ ] [ ] [ ] y [ ] y rccos cos y - Hà ctg là áh ạ gược củ tg : R í hiệu: Vậy t có rctg : R R y y rctg tgy - Hà ccôtg là áh ạ gược củ cotg: R í hiệu: Vậy t có rc cot g : R R y y rc cot g cot gy Người t gọi hà số luỹ thừ hà số ũ hà số lôgrit các hà số lượg giác và các hà số lượg giác gược là các hà số sơ cấp cơ ả. Các hà hypeôlic thuậ - Hà sihypeôlic là áh ạ sh : R R ác địh hư su: R sh e - Hà côsihypeôlic là áh ạ ch : R R ác địh hư su: R ch e e e - Hà tghypeôlic là áh ạ th : R R ác địh hư su: R sh ch e e th * - Hà cotghypeôlic là áh ạ coth : R R ác địh hư su: Tíh chất: R * ch e coth sh th e - Shthcoth là các hà số lẻ cò ch là chẵ và R ch >

Chươg : Hà số ột iế số - p q R các hà hypeôlic thoả ã côg thức su đây: y ch sh Hypero iểu diễ th số sẽ là: cht y sht t R ch ch. ch sh. sh ; sh sh. ch sh. ch ch ch. ch sh. sh ; sh sh. ch sh. ch th th th ; th. th ch ch sh ch sh. sh sh. ch. th th th th. th th th. th ch ch ; sh ch. p chp chq ch q ch p chp chq sh p shp shq sh p shp shq ch Các hà hypeôlic gược p q q sh q ch q sh p q p q p q. Hà Acsihypeôlic là áh ạ gược củ sh : R R í hiệu: hylà Argsh : R R y R y Argsh shy ch [ ]. Hà Accôsihypeôlic là áh ạ gược củ : R í hiệu: Argch [ R tức là [ y R y Argch chy :. Hà Actghypeôlic là áh ạ gược củ th : R í hiệu: Argth : R tức là y R y Argth thy 4

Chươg : Hà số ột iế số * 4. Hà Accôtghypeôlic là áh ạ gược củ coth : R R \ [ ] í * hiệu: Argcoth : R \ [ ] R tức là R \ Đ thức hà hữu tỉ. và * [ ] y R y Arg coth coth y. Áh ạ P: X R được gọi là đ thức hi và chỉ hi tồ tại Nếu... R so cho X P i gọi là ậc củ đ thức í hiệu degp i i N. Áh ạ : X R được gọi là hà hữu tỉ hi và chỉ hi tồ tại hi đ thức PQ: Gọi X R degp<degq so cho P X Q Q P là hà hữu tỉ thực sự hi và chỉ hi: Q. Hà hữu tỉ tối giả là các phâ thức có dạg: A hoặc B C p q * Trog đó N p q A B C là các số thực và p 4q < Dưới đây t đư r các địh lí được chứg ih trog lí thuyết đại số Địh lí : Mọi đ thức ậc với các hệ số thực đều có thể phâ tích l β β r thừ số trog dạg: P α... α p q... p q Trog đó α i l là các ghiệ thực ội củ đ thức cò p q β R j j j với i l j... và i β j pj 4qj < ; j i j Địh lí : Mọi hà hữu tỉ thực sự đều có thể phâ tích thàh tổg hữu hạ các hà hữu tỉ tối giả. c. Hà số sơ cấp Địh ghĩ: Hà số sơ cấp là hữg hà số được tạo thàh ởi ột số hữu hạ các phép tíh cộg trừ hâ chi và các phép lấy hà hợp đối với các hà số sơ cấp cơ ả và các hằg số. l i 5

Chươg : Hà số ột iế số.. Giới hạ củ hà số. Khái iệ về giới hạ Địh ghĩ giới hạ T gọi δ lâ cậ củ điể R là tập Ω δ δ δ Gọi A- lâ cậ củ là tập ΩA A với A> và há lớ. Gọi B- lâ cậ củ là tập Ω B với B> và há lớ. Cho ác địh ở lâ cậ điể có thể hôg ác địh tại.. Nói rằg có giới hạ là B l hi dầ đế gọi tắt: có giới hạ là l tại ếu ε > Ω X Ω \ { } l ε. Nói rằg có giới hạ là η η < tại ếu { } A A > Ω X Ω \ >. Nói rằg có giới hạ là η η. tại ếu có giới hạ là tại. 4. Nói rằg có giới hạ là l tại ếu ε > Ω X Ω l < ε. A A 5. Nói rằg có giới hạ là l tại ếu ε > Ω X Ω l < ε. 6. Nói rằg có giới hạ là B B tại ếu A > Ω X Ω A. 7. Nói rằg có giới hạ là là tại. M M > tại 8. Nói rằg có giới hạ là ếu và chỉ ếu có giới hạ A > Ω X Ω A. 9. Nói rằg có giới hạ là M M > tại tại ếu hi và chỉ hi có giới hạ là tại Khi có giới hạ là l tại hoặc tại ± ói rằg có giới hạ hữu hạ tại hoặc tại rằg ó có giới hạ vô hạ. ±. Ngược lại có giới hạ là ± ói 6

Chươg : Hà số ột iế số Địh ghĩ giới hạ ột phí.. Nói rằg có giới hạ trái tại là l ếu ε > η > Ωη X < < η l < ε.. Nói rằg có giới hạ phải tại là l ếu ε > η > < < η l < ε. li Kí hiệu có giới hạ là l tại thườg là: li l hoặc Tươg tự có các í hiệu: li ; ± l li l Kí hiệu có giới hạ trái tại là l thườg dùg l Tươg tự li l Hệ quả: Điều iệ cầ và đủ để. Tíh chất củ hà có giới hạ. Sự liê hệ với dãy số li l là l. Địh lí: Để có giới hạ là l tại điều iệ cầ và đủ là ọi dãy u trog X hội tụ về thì li u l Tíh duy hất củ giới hạ Địh lí: Nếu Tíh ị chặ Địh lí: Nếu li l thì l là duy hất. li l thì ị chặ trog ột lâ cậ củ. Tíh chất thứ tự củ giới hạ và guyê lí ẹp. Địh lí : Cho li l. Khi đó:. Nếu c < l thì trog lâ cậ đủ é củ : c <. Nếu l < d thì trog lâ cậ đủ é củ : < d 7

Chươg : Hà số ột iế số. Nếu c < l < d thì trog lâ cậ đủ é củ : c < < d Địh lí : Cho li l hi đó. Nếu c trog lâ cậ củ thì. Nếu d trog lâ cậ củ thì c l l d. Nếu c d trog lâ cậ củ thì c l d Địh lí : Nguyê lí ẹp: Cho hà số g h thoả ã: g h trê X; li li h l Khi đó li g l Địh lí 4: Nếu trog lâ cậ củ có g và li thì: li g Các phép tíh đại số củ hà số có giới hạ Địh lí Trườg hợp giới hạ hữu hạ:. l l.. l và g l g l l 4. l λ. λl λ R 5. và g ị chặ trog lâ cậ củ. g 6. l và g l. g l. l 7. l và g l Địh lí Trườg hợp giới hạ vô hạ: l g l. Nếu và g trog lâ cậ củ thì g. Nếu và g > trog lâ cậ củ thì. g Giới hạ củ hà hợp Cho 8 và : X R g : Y R X Y

Chươg : Hà số ột iế số Địh lí: Nếu Giới hạ củ hà đơ điệu Địh lí : Cho và g y l y thì g l : R R hoặc R. Nếu ị chặ trê thì li Sup. Nếu hôg ị chặ trê thì li và là hà tăg. Địh lí : Nếu ác đị tại và tăg ở lâ cậ củ thì luô tồ tại ột giới hạ trái và ột giới hạ phải hữu hạ tại và: li c. Các giới hạ đág hớ si. li li si. li li e li c. li l li l d. Sự tồ tại giới hạ củ các hà sơ cấp Địh lí: Hà số sơ cấp ác địh tại thì li.. Đại lượg vô cùg é VCB và đại lượg vô cùg lớ VCL. Đại lượg VCB Địh ghĩ: Áh ạ α Hệ quả: Để tồ tại α : X R có thể là hoặc - gọi là đại lượg VCB tại ếu hư li l điều iệ cầ và đủ là hà số α l là VCB tại. Tíh chất đại số củ VCB: Dự vào tíh chất đại số củ hà có giới hạ hậ được tíh chất đại số củ các VCB su đây:. Nếu α i là các VCB tại thì tổg α tích cũg là VCB tại i... i i i α i 9

Chươg : Hà số ột iế số. Nếu α là VCB tại ị chặ trog lâ cậ củ thì là VCB tại. α. So sáh các VCB: Cho α β là các VCB tại.. Nếu thì ói rằg α là VCB cấp co hơ β tại í hiệu β α α oβ tại cũg ói rằg β là VCB cấp thấp hơ α tại. iệt α β. Nếu c thì ói rằg c thì ói rằg α β là các VCB gg cấp tại. Đặc α β là các VCB tươg đươg tại. Khi đó í hiệu α ~ β tại. Rõ ràg ếu α β gg cấp tại thì α ~ cβ tại.. Nếu γ o α thì ói rằg γ là VCB có cấp co hơ so với VCB α tại 4. Nếu γ ~ cα c thì ói rằg γ là VCB có cấp so với VCB α tại Hệ quả : Nếu γ ~ α β ~ β tại thì α α li li β β Hệ quả : Nếu α oβ tại thì α β ~ β tại. * Hệ quả : Qui tắc gắt ỏ VCB cấp co: Nếu α là VCB cấp thấp hất * trog số các VCB α i và β là VCB cấp thấp hất trog số các VCB i i i β tại. Khi đó: li. Đại lượg VCL i αi * α li * β β j j Địh ghĩ: Áh ạ A: X R gọi là đại lượgvcl tại ếu hư A hoặc có thể là hoặc. Hệ quả: Để A là VCL tại thì cầ và đủ là α là VCB tại. A Tíh chất củ VCL. Nếu A i i... là các VCL cùg dấu hy tại thì tổg A i là VCL g dấu đó tại. i 4

Chươg : Hà số ột iế số Nếu B i i... là các VCL tại thì tích B i là VCL tại. Nếu A là VCL tại và giữ guyê dấu tại và lâ cậ củ ó thì A. là VCL tại. So sáh các VCL Cho A B là các VCL tại i hy A B. Nếu thì ói rằg A là VCL cấp co hơ B tại B là VCL có cấp thấp hơ A tại A B. Nếu c thì ói rằg A B là VCL gg cấp tại. Đặc iệt c thì ói rằg A B là các VCL tươg đươg tại í hiệu A ~ B tại. Hệ quả : Nếu A ~ A B B ~ tại thì A A li li B B Hệ quả : Nếu A làvcl cấp co hơ B tại thì A B ~ A. * Hệ quả : Qui tắc gắt ỏ cácvcl cấp thấp: Nếu A là các CVL cấp * co hất trog số các VCL A i i... và B là VCL cấp co hất trog số các VCL B j j.....4 Sự liê tục củ hà số. Các hái iệ cơ ả Hà liê tục tại ột điể tại thì t có Ai * i A li li * B B j Cho : X R và X. Nói rằg liê tục tại ếu j Tức là li hy li li ε > η > : < η < ε 4

Chươg : Hà số ột iế số Hà liê tục ột phí tại Cho : X R X. Nói rằg hà liê tục ê trái tại ếu li Hà liê tục ê phải tại ếu Hệ quả: Để hà li liê tục tại điều iệ cầ và đủ là: Hà liê tục trê ột hoảg. Hà liê tục tại ọi điể tập X. X thì ói rằg ó liê tục trê. Hà liê tục trê hoảg ở và liê tục trái tại liê tục phải tại ói rằg ó liê tục trê [] Hà liê tục từg húc Hà : [ ] R R. * Nói rằg hà liê tục từg húc trê [ ] hi và chỉ hi N và [ ]... so cho < <... < và liê tục trê tất cả các hoảg ở i i i... và có giới hạ phải hữu hạ tại i có giới hạ trái hữu hạ tại i Điể giá đoạ củ hà số.. Nếu hôg liê tục tại ói rằg có điể giá đoạ tại. Nếu là điể giá đoạ và là các số hữu hạ thì gọi là điể giá đoạ loại củ hà số và gọi là ước hảy củ tại. Hệ quả: Nếu tăg giả ở lâ cậ điể hi đó liê tục tại hi và chỉ hi. Điều ày suy r từ địh lí củ hà số đơ điệu. h. Nếu là điể giá đoạ củ và hôg phải là điể giá đoạ loại thì ói rằg có điể giá đoạ loại tại. h 4

Chươg : Hà số ột iế số. Các phép toá đại số củ hà liê tục Địh lí : Cho g : X R. Nếu liê tục tại thì X λ R. Nếu g cùg liê tục tại thì liê tục tại. g. Nếu liê tục tại thì λ liê tục tại. liê tục tại. 4. Nếu g liê tục tại thì. g liê tục tại. 5. Nếu g liê tục tại và g thì g liê tục tại. Địh lí : Cho : X R; X g : Y R và X Y. Nếu liê tục tại và g y liê tục tại thì hà hợp g liê tục tại. Địh lý : Mọi hà số sơ cấp ác địh tại c. Tíh chất củ hà số liê tục trê ột đoạ Cho [ ] R : là liê tục <. Tíh trù ật củ hà số liê tục Địh lí : Nếu c để c thì liê tục tại. liê tục trê [ ] và. < thì tồ tại Địh lí : Nếu liê tục trê [ ] hi đó hậ giá trị trug gi giữ và ghĩ là: [ ] c [ ] c γ γ Tíh ị chặ củ hà số liê tục Địh lí : Hà số và hỏ hất trê [ ] Hệ quả: Nếu liê tục trê [ ] thì đạt được giá trị lớ hất ghĩ là: [ ] [ ] có M Trog đó M : [ ] R liê tục thì [ ] [ M ] R I M Sup [ ] [ ] 4

Chươg : Hà số ột iế số d. Tíh liê tục đều A. Địh ghĩ: Cho X R. Nói rằg liê tục đều trê Hệ quả: Nếu : X ếu ' " X : ' " < η ' " ε ε > η > < Địh lí Hâye Heie Nếu liê tục đều trê X thì liê tục trê X. liê tục trê đoạ đóg [ ]. CÂU HỎI ÔN TẬP R thì liê tục đều trê [ ]. Câu. Nêu các địh ghĩ về hà số chẵ lẻ tuầ hoà.các hà số tuầ hoà và đồg thời là chẵ; lẻ có tồ tại hôg? Cho ví dụ. Câu. Thế ào là hà số đơ điệu trog hoảg? Câu. Thế ào là hà số ị chặ trog hoảg? Câu 4. Thế ào là hà số hợp? Câu 5. Thế ào là hà số sơ cấp? Câu 6. Địh ghĩ giới hạ củ hà số. Câu 7. Nêu các tíh chất củ hà có giới hạ. Hà số ị chặ trog lâ cậ điể thì có giới hạ tại hôg? Câu 8. Nêu các phép tíh về hà số có giới hạ hữu hạ. Trog trườg hợp hà số hôg có giới hạ hữu hạ các phép tíh đó cò đúg hôg? Câu 9. Chứg ih các giới hạ si li li e. Câu. Thế ào là ột VCB? Một hằg số é o hiêu thì được coi là VCB? Vì so? Câu. Nêu các tíh chất đại số củ VCB. Câu. Tổg vô hạ các VBC có phải là vô cùg é hôg? Câu. So sáh các VCB: gg cấp tươg đươg cấp co hơ. Câu 4. Thế ào là ột VCL? Một hằg số lớ o hiêu thì có thể được e là VCL? Tại so? 44 Câu 5. Nêu ối qu hệ giữ VCB và VCL.

Câu 6. Nêu ối qu hệ giữ VCB và hà có giới hạ. Chươg : Hà số ột iế số Câu 7. Địh ghĩ hà liê tục tại ột điể []. Câu 8. Nêu các tíh chất củ hà số liê tục trê ột đoạ í. Tíh chất đó cò đúg hôg ếu đoạ hôg í? Câu 9. Nêu các phép toá đại số về hà liê tục..4 BÀI TẬP CHƯƠNG II. Câu. Cho hà số Arccoslg. Tíh Câu. Tì iề ác địh và iề giá trị củ các hà số:.. g c. h d.. Câu. Xét e hà số có chẵ hoặc lẻ hôg và phác hoạ đồ thị củ ó... c. g h d.. 4 Câu 4. Xét e hà số ào tuầ hoà và tì chu ì củ ó. si. g si c. h tg d. si. Câu 5. Tì hà gược củ các hà số su:. y. y < c. y c. Câu 6. Cho g : y R R R y lg. so cho { y }{ g g y } Chứg ih rằg có ít hất ột trog hi áh ạ là áh ạ hằg. Câu 7. Tì tất cả các áh ạ : R R. R si so cho: 45

Chươg : Hà số ột iế số. R c. y R y y d. y R y y y y e. y z R Câu 8. Giải phươg trìh Câu 9. Cho : 8 R R. y 544 R so cho. z. y. z t g gi gæt Chứg ih Câu. Tì các giới hạ. li 6 c. li 5 Câu. Tì các giới hạ giả gặt. d. li... li. li. li 4 Câu. Tì các giới hạ. α β li. Câu. Tì các giới hạ li α. β. si si tg li. li si c. cos.cos.cos li cos Câu 4. Tì các giới hạ d. cos li si cos. li 4 5 4. li 46

Chươg : Hà số ột iế số Câu 5. Tì các giới hạ. li. li c. li e. li si tg d. li cos. li [ si l si l ] g. α β e e li siα si β h. li > cot g i. li j.. l li l e e Câu 6. Tì các giới hạ su tg li si si. li cos. c. li si si...si dêu si li d. li Sg[ si ] Câu 7. Xét sự liê tục củ các hà số su:.. A 4 c. si N * d. si với hữu tỉ với vô tỉ với hữu tỉ e.. với vô tỉ với hữu tỉ với vô tỉ Câu 8. Chứg ih rằg ếu các hà và g liê tục thì các hà ϕ i ψ cũg là hà liê tục { g } { g } 47

Chươg : Hà số ột iế số Câu 9. Xét tíh liê tục củ hà hợp g và g ếu. Sg và g. Sg và g [ ] Câu. Tì tất cả các hà. liê tục tại và. liê tục tại và c. liê tục tại và thoả ã: R có R có R có Câu. Hà liê tục trê [ ] và chỉ hậ giá trị hữu tỉ và. Hãy tíh Câu. Cho và g là hi hà số liê tục trê [ ] và g tại ọi là hữu tỉ. Chứg ih g trê [ ] Câu. Chứg ih rằg ỗi phươg trìh đại số ậc lẻ có ít hất ột ghiệ thực Câu 4. *Chứg ih hà số tục đều trê Câu 5. *Chứg ih rằg hà số si liê tục trê hưg hôg liê liê tục và ị chặ trê hưg hôg liê tục đều trê Câu 6. *Chứg ih hà số hôg liê tục đều trê R Câu 7. *Chứg ih rằg ếu hữu hạ Si liê tục và ị chặ trê R hưg liê tục trê [ và tồ tại giới hạ li c thì. ị chặ trê [.. liê tục đều trê [ 48

Chươg : Hà số ột iế số Câu 8. *Chứg ih rằg hà số si. liê tục đều trê ỗi hoảg. hôg liê tục đều trê \ { } Câu 9. *Chứg ih rằg ếu hà thì liê tục đều trê Câu. *Cho đơ điệu ị chặ và liê tục trê là hà số tăg và liê tục trê [ ] thoả ã điều iệ. Lấy [ ] Chứg ih rằg tồ tại Câu. *Cho rằg tồ tại và ác địh dãy số với li * và * * g là các áh ạ liê tục củ [ ] lê chíh [ ]. Chứg ih để có g g [ ] Câu. *Tồ tại hy hôg hà liê tục Câu. *Cho Chứg ih rằg: v R \ Q h Q λ R và g : R. Nếu liê tục đều thì : víi Q víi R \ Q liê tục đều. R R thỏ ã. Nếu g liê tục đều thì λ g liê tục đều. c. Nếu liê tục đều và đều. > c so cho c thì liê tục d. Nếu g liê tục đều và tồ tại hà hợp thì liê tục đều..5 HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ BÀI TẬP CHƯƠNG II Câu.. ; ; Câu... R.. R c. ] g g ; [ ; d. ;] 49

Chươg : Hà số ột iế số Câu.. Hà chẵ. Hà hôg chẵ hôg lẻ c. Hà chẵ d. Hà hôg chẵ hôg lẻ. g Câu 4.. Tuầ hoà T. Tuầ hoà T c. Tuầ hoà T d. Khôg tuầ hoà. Câu 5.. y. y c. y d. y.. Câu 6. Giả sử tồ tại R so cho rõ ràg g g g R. Câu 7.. φ. c. thy liê tiếp d. c. c cost e. Câu 8.. y y y y y y Qui về X Y R X Y X Y S : Cho y z z y z y z y. Câu.. ;. ; c. 4 ; d. Câu.. ;. 5

Chươg : Hà số ột iế số Câu.. α β α β ;.. Câu.. cos ;. 4 Câu 4.. ;. ; c. 4 ; d. e e Câu 5.. ;. ; c. ; d. e. ;. ; g. ; h. l i. e ; j. ;. Câu 6.. ;. ; c. ếu vô tỉ. ếu hữu tỉ và thuộc Z hôg có giới hạ với cò lại. Câu 7.. liê tục trê R ; Câu 9... liê tục trê R với A4 liê tục trê R\{ } với A 4; c. liê tục trê R ; d. liê tục trê Z; e. liê tục tại ;. liê tục tại. g liê tục trê R g liê tục trê R\ { }. g liê tục trê R g liê tục trê R Chú ý: [] r r < Câu.. N Bằg qui ạp c cost R 5

Chươg : Hà số ột iế số. c c cost R Chứg ih ϕ ϕ ϕ ϕ trog đó ϕ c.. R ét ét > Do chẵ suy r R. Câu. Câu. φ. 5

Chươg : Phép tíh vi phâ hà số ột iế số CHƯƠNG III: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ. MỤC ĐÍCH Phép tíh vi phâ củ hà ột iế số gắ liề với phép tíh đạo hà củ hà số. Khái iệ đạo hà là ột trog hữg tư tưởg qu trọg hất củ giải tích. Trog chươg chúg t đã đặt vấ đề e ét hà số hưg vấ đề cốt lõi củ hà số là tốc độ iế thiê củ ó chư được ét đế. Nhờ vào hái iệ đạo hà gười t có thể hảo sát toà diệ ột đại lượg iế thiê. Khái iệ đạo hà gắ liề với các đại lượg vật lý: vậ tốc tại thời điể t củ ột vật chuyể độg hiệt dug củ vật thể ở hiệt độ t o cườg độ dòg điệv.v...; gắ liề với các hiệ tượg hoá học: tốc độ phả ứg hoá học ở thời điể t; gắ liề với các ài toá ih tế ã hội: vấ đề tăg trưởg ih tế phươg á tối ưu trog gio thôg trog sả uất ih doh v.v... Trog ục thứ hất củ chươg ày cầ phải ắ vữg địh ghĩ hà số hả vi thể hiệ qu việc tíh đạo hà củ hà số. Thực chất tíh đạo hà chíh là việc hử dạg ất địh. Phải ắ chắc quy trìh tíh đạo hà theo địh ghĩ. Lưu ý đế hái iệ đạo hà ột phí các điều iệ cầ điều iệ cầ và đủ để hà hả vi. Bê cạh đó cầ ắ được ý ghĩ hìh học cơ học củ đạo hà các phép tíh đại số củ hà có đạo hà điều ày cũg đã đề cập ở chươg trìh phổ thôg trug học. Cầ phải ắ vữg ý ghĩ và côg dụg phép tíh đạo hà củ hà hợp hà gược phép tíh đạo hà lôgrit. Nếu thuộc các phép tíh trê và các côg thức đạo hà củ các hà thôg dụg thì ọi ài toá tíh đạo hà đều có thể là hh và hôg hầ lẫ. Trog ục thứ hi vi phâ củ hà số là iểu hiệ địh lượg củ hà số hả vi cụ thể là phầ chíh ậc hất củ số gi hà số. Chíh vì thế gười t đã địh ghĩ tíh hả vi hờ vào sự tồ tại đạo hà. Điều ày hác hẳ so với hà số hiều iế số được e ét su ày. Đặc iệt côg thức gầ đúg củ số gi hà số hy được áp dụg vào các ài toá thực tiễ. Trog ục thứ cầ ắ vữg các phép tíh về đạo hà và vi phâ cấp co đặc iệt côg thức đạo hà cấp co củ ột tích côg thức Leiiz. Phải thuộc côg thức tíh các đạo hà cấp co củ các hà sơ cấp cơ ả: e si cos ởi vì su ày thườg uyê dùg đế các ết quả đó. 5

Chươg : Phép tíh vi phâ hà số ột iế số Trog ục thứ tư trước hết cầ hiểu ỹ về điều iệ cầ củ cực trị hi hà số hả vi. Các địh lý về giá trị trug ìh được hiểu theo ghĩ su đây : với hữg điều iệ hất địh củ hà số thì trog hoảg hở tồ tại điểξ ào đó éo theo giá trị ' ξ giá trị ày có tíh chất đặc iệt gọi chug là giá trị trug ìh. Đặc điể củ các địh lý ày là hôg chỉ rõ được số lượg điểξ cũg hư giá trị cụ thể củ ó. Khi học các địh lý ày ê đư r các phả ví dụ để thấy rằg chỉ cầ thiếu ột trog các giả thiết củ địh lý là ết luậ hôg cò đúg ữ. Mỗi địh lý đều có thể ih hoạ hìh học để iể tr lại iế thức về tíh chất củ hà số: hà số liê tục hà số hả vi. Phâ iệt côg thức số gi hữu hạ và côg thức số gi củ hà số iểu diễ hờ vào vi phâ củ hà số. Trog ục thứ ă hữg ứg dụg trực tiếp các địh lý về giá trị trug ìh và đạo hà cấp co được đư r. Trước hết cầ phâ iệt các hái iệ: đ thức Tylor côg thức Tylor củ hà số tại lâ cậ. Phải hớ và iết cách vậ dụg côg thức Mcluri củ các hà thôg dụg hi giải các ài toá tíh gầ đúg. Cuối cùg côg thức L Hospitl cho t điều iệ đủ để hử các dạg ất địh hoặc và đươg hiê các dạg ất địh hác su hi dùg phươg pháp lôgrit. Chíh vì thế quy tắc ày hôg phải là vạ ăg. Trog ục thứ sáu hữg ứg dụg củ hà số hả vi đặc iệt hà hả vi ậc co được trìh ày. Lưu ý rằg ả thâ tíh đơ điệu hy cực trị củ hà số được ô tả hôg ắt uộc hà số phải hả vi. Điều ày học sih thườg hy hầ lẫ. Tuy hiê hậ iết các tíh chất củ hà số sẽ đơ giả rất hiều hi iết rằg hà số hả vi. Trog ục thứ ảy gười học phải phâ iệt được hái iệ cực đại cực tiểu với hái iệ giá trị lớ hất giá trị é hất củ hà số. Cầ hớ là hà số hôg ị chặ dưới chặ trê thì hôg có giá trị é hất lớ hất. Ngoài r hà ị chặ thì chư chắc có được giá trị é hất và lớ hất. Chíh vì thế tíh liê tục trê ột đoạ í [] là điều qu trọg. Nắ được các ước để tì giá trị lớ hất giá trị é hất các giá trị đó thườg đạt được ở iê. Trườg hợp tập ác địh hôg phải đoạ í phải để ý đế giá trị củ ó ở sát iê ới giải quyết được ài toá. Cầ ý thức được rằg ài toá tì giá trị é hất giá trị lớ hất có ột vi trò rất lớ trog thực tế. Trog ục thứ tá hái iệ hà lồi lõ được đư r ột cách chíh ác hờ vào ất đẳg thức toá học liê qu đế giá trị hà số. Tuy hiê hi 54

Chươg : Phép tíh vi phâ hà số ột iế số hà hả vi thì điều iệ hậ iết đơ giả hơ hiều. Đặc iệt hà hả vi đế cấp hi thì chỉ để ý đế tíh đổi dấu củ đạo hà cấp hi à thôi. Người học chú ý đế điều iệ đủ để tì điể uố hi hà hả vi đế cấp hi. Trog ục thứ chí cho chúg t cách tì tiệ cậ củ đườg cog. Nê hớ rằg hôg thể có cùg tiệ cậ gg và tiệ cậ iê ở cùg ột phí. Để hậ iết tiệ cậ đứg phải đi tì các cực điể củ hà số. Để học tốt phầ ày phải ắ chắc cách hử các dạg ất địh. Trog ục cuối cùg gười học phải ắ vữg sơ đồ tổg quát để hảo sát và vẽ đồ thị hà số. Đây là dịp vậ dụg và tự iể tr các iế thức đã học ở phầ trê.. TÓM TẮT NỘI DUNG.. Đạo hà. Đạo hà tại ột điể Địh ghĩ đạo hà tại ột điể hữu hạ. X X h X R Cho. Nói rằg hả vi tại ếu tồ tại giới hạ h li h h Giới hạ ày thườg í hiệu Tỉ số đối số. h h Δ Δ Địh ghĩ đạo hà ột phí ' hy d d gọi là đạo hà củ tại gọi là tỉ số củ các số gi hà số và số gi. Cho X h X. Nói rằg hả vi phải tại ếu tồ tại giới hạ hữu hạ li h h h p ' Giới hạ ày í hiệu là gọi là đạo hà phải củ tại.. Cho X h X. Nói rằg hả vi trái tại ếu tồ tại giới hạ hữu hạ li h h h 55

Chươg : Phép tíh vi phâ hà số ột iế số t ' Giới hạ ày í hiệu là gọi là đạo hà trái củ tại.. Các phép tíh đại số củ các hà hả vi tại ột điể Địh lí : Cho và. g hả vi tại và g hả vi tại hi đó g' ' g'. λ R λ hả vi tại và λ ' λ. '.. g' '. g. g'. g hả vi tại và g 4. Nếu thì g hả vi tại và Địh lí : Đạo hà củ hà hợp. Cho X Y tại và g ' '. g. g' g X : X R g : Y R với. Nếu hả vi tại và g hả vi tại thì hà hợp hả vi go ' g'. '. : X R Địh lí : Đạo hà củ hà gược. Giả sử đơ điệu gặt và liê tục trê X hả vi tại X và '. Khi đó hà gược củ ' là : X R hả vi tại và ' c. Đạo hà trê ột hoảg áh ạ đạo hà go Địh ghĩ: Cho Kí hiệu áh ạ X R ': R hả vi tại ỗi điể ' R ' là áh ạ đạo hà hy đạo hà củ hy Các tíh chất d d Địh lí : Cho. Cũg ói rằg hả vi trê trê thườg í hiệu g : X R hả vi trê X tức là X hi đó.. g hả vi trê X và g' ' g'. λ R λ hả vi trê X và λ ' λ '. X và. g' ' g g'. g hả vi trê X 56

Chươg : Phép tíh vi phâ hà số ột iế số g 4. trê X thì g hả vi trê X và g ' ' g g X Y Địh lí : Cho R và g R. Nếu hả vi trê X và g hả vi trê thì hả vi trê go ' g' o X go X và ' Địh lí : Cho X R đơ điệu gặt trê ' trê X hi đó hả vi trê X và.. Vi phâ củ hà số. Địh ghĩ vi phâ tại ột điể R X Cho hả vi tại địh ởi côg thức Vậy d Xét hà số ' g' X hả vi trê X và ' X. Vi phâ củ tại í hiệu d ác d '. h là ột hà tuyế tíh củ h trê với h R R R Từ đó cũg thườg í hiệu Địh lí : Nếu ' vậy d. h d '. d X g R X và hả vi tại d. g d dg. d λ λd với λ R d thì.. g dg g d 4. d. Vi phâ trê ột hoảg R X g g g d dg hi g X Cho hả vi trê. Vi phâ củ hà số trê được ác địh theo côg thức d '. h với. Tươg tự hư địh lí trê t hậ được địh lí su đây. g Địh lí: Nếu hả vi trê thì trê hoảg đó cũg thoả ã các hê thức su.. d g d dg λ λ. d d 57

Chươg : Phép tíh vi phâ hà số ột iế số. d. g dg g d 4. d g g.. Đạo hà và vi phâ cấp co. Đạo hà cấp co Địh ghĩ g d dg hi g. Cho hả vi trê X ếu ' hả vi tại đạo hà cấp tại và í hiệu đạo hà đó là X thì ói rằg có. Tươg tự đạo hà cấp củ tại í hiệu là chíh là đạo hà củ hà tồ tại tại. ". Nói rằg hả vi đế cấp hy lầ trê * trê X N trog đó là đạo hà củ X hi và chỉ hi. Nói rằg hả vi vô hạ lầ trê X hi và chỉ hi hả vi lầ trê Địh lí X N. Su đây thườg í hiệu Cho thức su đây : * λ R N g g g. λ λ. X R hả vi lầ trê X hi đó trê X có các hệ g C g. gọi là côg thức Leiitz g 4. trê. Vi phâ cấp co Địh ghĩ X thì g. Nếu hả vi đế cấp tại hả vi lầ trê X X thì iểu thức. h gọi là vi d d phâ cấp tại í hiệu là. Vậy là hy d d h 58

Chươg : Phép tíh vi phâ hà số ột iế số. Nếu hả vi đế cấp trê X thì vi phâ cấp củ trê X được í hiệu là d X và ác địh theo côg thức su X d h d Địh lí: Nếu g hả vi đế cấp trê X thì hi đó. d g d d g. Với λ R d λ λd. d. g C g d 4. Nếu thì c. Lớp củ ột hà Địh ghĩ. d g g có vi phâ đế cấp. C. Cho N T ói thuộc lớp C í hiệu trê X. hả vi lầ trê X và liê tục trê X ếu. Nói rằg C trê X ếu hả vi vô hạ lầ trê X.. Nói rằg C trê X ếu liê tục trê Địh lí X. Địh lí : Nếu g C trê X thì g C X. trê λ C. trê g C. trê X λ R X 4. C g trê X hi g X C X Y Địh lí : Cho R và g R X Y. Nếu và g thuộc lớp thì go C trê X 59

Chươg : Phép tíh vi phâ hà số ột iế số..4 Các địh lý về giá trị trug ìh 6. Địh lí Phéc Fert Điể cực trị củ hà số R X Cho. Gọi hà số đạt cực trị đị phươg tại X hi và chỉ hi tồ tại Ω δ X để Ωδ thoả ã hoặc Trườg hợp thứ hất ảy r ói rằg đạt cực tiểu đị phươg tại trườg hợp su ói rằg đạt cực đại đị phươg tại. Nếu chỉ có trị đị phươg gặt tại. Địh lí Fert Địh lí: Nếu ' > <. Địh lí Rô Rolle Địh lí: Cho R [ ] hoặc ói rằg hà số đạt cực hả vi tại và đạt cực trị đị phươg tại thì thoả ã.. liê tục trê []. hả vi trê hi đó tồ tại c so cho ' c c. Địh lí số gi hữu hạ. địh lí Lgơrăg Lgrge Địh lí: Cho R [ ]. Liê tục trê [] thoả ã:. Khả vi trê hi đó tồ tại c so cho ' c d. Địh lí số gi hữu hạ suy rộg Địh lí CôsiCuchy Địh lí: Cho g R [ ] thoả ã:. g liê tục trê []. g hả vi trê g.. '

Chươg : Phép tíh vi phâ hà số ột iế số Khi đó tồ tại ' c c g g g' c so cho..5 Ứg dụg các địh lý về giá trị trug ìh Côg thức TyloTylor côg thức MclôrhMcLuri Địh ghĩ. Cho hà hả vi đế cấp tại X tức là C tại lâ cậ deg củ và có đạo hà cấp tại. Gọi đ thức với thoả ã điều iệ P là đ thức Tylor củ tại lâ cậ điể hy là phầ chíh qui củ hi triể hữu hạ ậc tại củ. Nếu thì gọi là đ thức McLuri củ Địh lí P Nếu là đ thức Tylor củ tại lâ cậ củ thì ó là duy hất và có dạg P Côg thức Tylor ' P...!! P Cho là đ thức Tylor củ tại lâ cậ củ r P. Gọi là phầ dư Tylor ậc tại củ. Gọi côg thức! ậc hy hi triể hữu hạ ậc hà P θ! là côg thức Tylor tại lâ cậ củ θ!. Gọi côg thức là côg thức McLuri ậc hy hi triể hữu hạ ậc củ tại lâ cậ củ.! Côg thức McLuri củ các hà thườg dùg e R.. P 6