Construction effective de connexions de Cartan sur des sous-variétés CR de dimension 5

Construction effective de connexions de Cartan sur des sous-variétés CR de dimension 5 JOËL MERKER Département de Mathématiques d Orsay www.math.u-psud.fr/ merker/ I. Theorema Egregium de Gauss II. Co-repères orthogonaux sur les surfaces III. Algèbres de Lie nilpotentes et modèles CR IV. Méthode d équivalence d Élie Cartan V. Hypersurfaces Levi non-dégénérées M 3 C 2 VI. Hypersurfaces M 5 C 3 de Levi-rang 1 VII. Déformations de la cubique de Beloshapka VIII. Connexions de Cartan 93 ème rencontre entre mathématiciens et physiciens théoriciens «Riemann, la Topologie et la Physique» Université de Strasbourg, les 12, 13 et 14 juin 2014 Rencontre organisée par Lizhen Ji et Athanase Papadopoulos

2 I Theorema Egregium de Gauss Surfaces S plongées dans l espace R 3 : Exemple : Ellipsoïde d équation : x x 1 2 a 2 + y y 1 2 b 2 + z z 1 2 z c c 2 1 = 0, b y p 1 a x ayant comme centre un point p 1 de coordonnées x 1, y 1, z 1 et des demi-axes a > 0, b > 0, c > 0.

3 Question : Comment quantifier la manière dont les surfaces sont plus ou moins courbées? Tout d abord, le cas des courbes : Par exemple des cercles de rayons variés : Courbure := inverse du rayon = 1 R C O R rayon grand courbure petite rayon petit courbure grande droite : rayon infini ; courbure nulle COURBURE DES CERCLES DANS LE PLAN Chaîne de segments rectilignes et courbure : Segments alignés : pas de courbure Variation d angle Courbure Champ de vecteurs de longueur 1, tangents et orthogonaux : Np T p Np Np T p p p T p Np Np Np T p p p T p p T p p

4 Définition naturelle de la courbure d une courbe en l un de ses points : Np Np + dp dl C dθ p p + dp courbure en p = dθ dl O C Cercle osculateur : Lorsque les points distincts q et r situés sur C de part et d autre de p tendent vers p, l unique cercle C p, q, r passant par les trois points p, q et r se rapproche q indéfiniment du cercle osculateur à la courbe C au point p q p R p r r q O p r C CERCLE OSCULATEUR COMME LIMITE DE CERCLES SÉCANTS C p, q, r Formule : Pour une courbe graphée : y = fx la courbure en un point repéré par son abscisse x s exprime quantitativement par : f x courbure = 1 + f x 2 1 + f x 2.

5 Retour aux surfaces : application de Gauss : Transporter à l origine tous les vecteurs orthogonaux à la surface de longueur 1 : Courbure = lim AS p aire A Σ aire A S q q A S p q q Sphère unité auxiliaire : S A Σ Σ Courbure de Gauss : La courbure d une surface dans l espace en l un de ses points p est définie par : aire de la région A κp := lim Σ sur la sphère auxiliaire. A S p aire de la région A S sur la surface Formule pour la courbure de Gauss d une surface en l un de ses points : Supposons la surface représentée comme un graphe : z = ϕx, y au-dessus d un plan horizontal. Première formule pour la courbure : courbure = ϕ xx ϕ yy ϕ xy 2 1 + ϕ 2 x + ϕ 2. y

6 Coordonnées curvilignes bidimensionnelles u, v : Équations paramétriques : x = xu, v, y = yu, v, z = zu, v. Différentielles : dx = x u du + x v dv, dy = y u du + y v dv, dz = z u du + z v dv. Métrique pythagoricienne infinitésimale : dx, dy, dz 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2. Métrique induite dans les coordonnées curvilignes : dx 2 + dy 2 + dz 2 = x u du + x v dv 2 + y u du + y v dv 2 + z u du + z v dv 2 avec : = x 2 u + y 2 u + z 2 u du 2 + 2x u x v + y u y v + z u z v dudv+ =: E du 2 + 2F dudv + G dv 2, + x 2 v + y 2 v + z 2 v dv 2 E := x 2 u + y 2 u + z 2 u, F := x u x v + y u y v + z u z v, G := x 2 v + y 2 v + z 2 v.

7 Idée naturelle de Gauss : La courbure devrait se lire à l intérieur de la surface, sans utiliser la troisième dimension, seulement en termes des rapports métriques internes à la surface : du, dv 2 = E du 2 + 2F dudv + G dv 2. Calcul d élimination virtuose : Courbure = + F + G E 1 4 EG F 2 2 { E E v G v 2 F u G v + u G v E v G u 2 E v F v + 4 F u F v 2 F E u G u 2 E u F v + E v 2 ] 2 EG F 2 2 E v 2 2 F 2 u v + 2 G u 2 ]}. ] 2 G + u ] u G u Fondation de la géométrie différentielle intrinsèque! Chronologie sommaire de la genèse : D après Stäckel, Dombrowski] 1794 : Réflexions sur les géométries non-euclidiennnes. 1810 13 : Application de Gauss. Concept de mesure de courbure. Formule κ = 1 r min r max.

8 1816 : Schöne Theorem : invariance extrinsèque de la courbure par isométries extrinsèques. 1822 : Copenhagen Preisschrift : Théorèmes pour les triangles géodésiques. Coordonnées isothermes : ds 2 = λ 2 du 2 + dv 2. Formule intrinsèque pour la courbure : κ = 1 2 log λ λ 2 u 2 + 2 log λ v 2. 1825 : Neue Untersuchungen. Somme des angles dans un triangle géodésique. Lemme d orthogonalité. Équations de Gauss. Coordonnées polaires géodésiques : ds 2 = dp 2 + Gp, q dq 2. Expression intrinsèque de la courbure : κ = 1 2 G. G u 2 Devise de Gauss : Nihil actum reputans si quid superesset agendum 1826 27 : Conception du plan final et rédaction des Disquisitiones generales circa superficies curvas.

9 I.1 Méthode d élimination de Gauss Courbure = lim AS p aire A Σ aire A S S q q p q q V ε p Sphère unité auxiliaire : n V ε p Σ Définition géométrique extrinsèque : aire n V ε p ] Courbure enp := lim. V ε p p aire V ε p Graphe : z = zx, y. Vecteur normal : nx, y = Xx, y, Y x, y, Zx, y. Composantes explicites : X = z x 1 + z 2 x + z 2 y 1/2, Y = z y 1 + z 2 x + z 2 y 1/2, Z = 1 1 + z 2 x + z 2 y 1/2. Quotient infinitésimal : Courbure = dσ dσ = dσπ dσ π.

10 Trois points horizontaux infiniment proches : x, y, x + dx, y + dy, x + δx, y + δy. Aire du parallélogramme infinitésimal : dx δy dy δx. Points correspondants sur la sphère auxiliaire : X, Y, X + dx, Y + dy, X + δx, Y + δy. Aire du parallélogramme correspondant sur la sphère auxiliaire : dx δy dy δx. Calculer le quotient : Courbure extrinsèque = dx δy dy δx dx δy dy δx. Serendipity : dx δy dy δx = X x Y x dxδx + X x Y y dxδy + X y Y x dyδx + X y Y y dyδy Y x X x dxδx Y x X y dxδy Y y X x dyδx Y y X y dyδy = X x Y y X y Y x dx δy dy δx.

Calcul direct : X x = z xx + z xx zy 2 z x z y z xy 3, 1 + zx 2 + zy 2 11 X y = z xy + z xy zy 2 z x z y z yy 3, 1 + zx 2 + zy 2 Y x = z xy + z xy zx 2 z x z y z xx 3, 1 + zx 2 + zy 2 Après simplifications : Y y = z yy + z yy zx 2 z x z y z xy 3. 1 + zx 2 + zy 2 Courbure = X x Y y X y Y x = z xx z yy z 2 xy 1 + z 2 x + z 2 y 2. Théorème. Gauss 1810] La courbure en un point x, y d une surface graphée : z = zx, y vaut : z xx z yy z 2 xy 1 + z 2 x + z 2 y 2.

12 Insatisfactions de Gauss : La courbure semble être interne. Les formules en coordonnées isothermes et géodésiques sont indirectes. Principe de raison suffisante : Leibniz] : Il doit exister une formule générale qui n utilise aucune normalisation préalable. = Calcul d élimination virtuose de Gauss! Coordonnées p, q : dx = a dp + a dq, dy = b dp + b dq, dz = c dp + c dq. Représentation paramétrique : p, q xp, q, yp, q, zp, q =: xp, q. Notations : a := dx dp, a := dx dq, dy b := dp, b := dy dq, dz c := dp, c := dz dq. Composantes du vecteur normal : X = bc cb, Y = ca ac, Z = ab ba,

avec : := bc cb 2 + ca ac 2 + ab ba 2. 13 Notations pour les dérivées secondes : α := d2 x dp 2, β := d2 y dp 2, γ := d2 z dp 2, α := d2 x dp dq, β := d2 y dp dq, γ := d2 z dp dq, α := d2 x dq 2, β := d2 y dq 2, γ := d2 z dq 2. Poser pour abréger : bc cb = A, ca ac = B, ab ba = C. Théorème des fonctions implicites : z x = A C, z y = B C.

14 Différentielles complètes de z x et de z y : C 3 dz x = A dc dp C da b dx a dy+ dp + C da dq A dc b dx a dy, dq C 3 dz y = B dc dp C db b dx a dy+ dp + C db dq B dc b dx a dy. dq Dérivées des numérateurs des composantes normales : da dp = c β + b γ c β b γ, da dq = c β + b γ c β b γ, db dp = a γ + c α a γ c α, db dq = a γ + c α a γ c α, dc dp = b α + a β b α a β, dc dq = b α + a β b α a β.

Alors : C 3 z xx = α A b 2 + β B b 2 + γ C b 2 2 α A b b 2 β B b b 2 γ C b b + + α A b 2 + β B b 2 + γ C b 2, C 3 z xy = α A a b β B a b γ C a b + + α A ab + ba + β B ab + ba + γ C ab + ba α A a b β B a b γ C a b, C 3 z yy = α A a 2 + β B a 2 + γ C a 2 2 α A a a 2 β B a a 2 γ C a a + + α A a 2 + β B a 2 + γ C a 2. Poser pour abréger : 1 A α + B β + C γ = D 2 A α + B β + C γ = D 3 A α + B β + C γ = D. Obtenir : C 3 z xx = D b 2 2 D b b + D b 2, C 3 z xy = D a b + D ab + ba D a b, C 3 z yy = D a 2 2 D a a + D a 2. Théorème. Gauss 1810] Dans des coordonnées intrinsèques p, q sur une surface, la courbure s exprime par la formule : Courbure = DD D 2 A 2 + B 2 + C 2 2. 15

16 Coefficients métriques en représentation paramétrique : a 2 + b 2 + c 2 = E, aa + bb + cc = F, a 2 + b 2 + c 2 = G. Objectif de Gauss : Exprimer la courbure : DD D 2 A 2 + B 2 + C 2 2. en fonction seulement de E, F, G. Première métamorphose vers l «intrinséquéité» : 1 + z 2 x + z 2 y = A 2 + B 2 + C 2 = EG F 2. Six autres notations systématiques : a α + b β + c γ = m, a α + b β + c γ = m, a α + b β + c γ = m, a α + b β + c γ = n, a α + b β + c γ = n, a α + b β + c γ = n. Première équation auxiliaire : A D = α + a nf mg + a mf ne.

Dérivées partielles : de dp = 2m, de dq = 2 m, dg dp = 2 n, df dp = m + n, dg dq = 2 n. df dq = m + n, 17 Expressions intrinsèques aisées : m = 1 de 2 dp, m = 1 de 2 dq, m = df dq 1 2 n = df dp 1 de 2 dq, n = 1 dg 2 dp, n = 1 2 dg dp, dg dq. Deux équations auxiliaires analogues : BD = β + b nf mg + b mf ne, CD = γ + c nf mg + c mf ne. Calculer le produit : DD = αα + ββ + γγ + + m nf mg + n mf ne. Il vient : AD = α + a n F m G + a m F n E, BD = β + b n F m G + b m F n E, CD = γ + c n F m G + c m F n E. Calculer aussi le carré : D 2 = α 2 +β 2 +γ 2 +m n F m G+n m F n E.

18 En soustrayant, l extrinsèque va disparaître : DD D 2 = αα + ββ + γγ α 2 β 2 γ 2 + + E n 2 nn + + F nm 2 m n + mn + + G m 2 mm. Lemme. Un calcul direct donne : La soustraction miraculeusement intrinsèque] αα + ββ + γγ α 2 β 2 γ 2 = = 1 2 d2 E dq 2 + d2 F dp dq 1 2 d2 G dp 2. Conclusion : Toute la courbure s exprime en fonction des trois coefficients métriques E, F, G : 4 EG F 2 2 de courbure = E dq dg dq 2 df dp dg + F + G dg dp 2 ] + dq + de dp dg dq de dq dg dp 2 de dq df + 4 df dp df dq 2 df dp dg dp de dp dg dp 2 de dp df dq + + de dq dq + 2 ]. 2 EG F 2 d 2 E dq 2 d2 F 2 dp dq + d2 G dp 2

Vision alternative résumée : courbure = 1 EG F 2 2 E F F v 1 2 G u 1 F G 2 G v 1 2 E u F u 1 2 E v x uu x vv + y uu y vv + z uu z vv 1 E F 2 E v 1 F G 2 G u 1 2 E 1 v 2 G u x 2 uv + yuv 2 + zuv 2. Identité élémentaire entre déterminants : a b I c d J K L X a b I c d J K L X = a b I c d J K L X X a b I c d J K L 0. Deux quantités vraiment extrinsèques : X := x uu x vv + y uu y vv + z uu z vv, X = x 2 uv + y 2 uv + z 2 uv. Soustraction : X X = x uu x vv + y uu y vv + z uu z vv x 2 uv y 2 uv z 2 uv. Lemme. Élimination géniale de Gauss] Les trois coefficients E, F, G de la première forme fondamentale : ds 2 = E du 2 + 2F dudv + G dv 2 satisfont la relation : 2 1 E vv + F uv 1 2 G uu = x uu x vv + y uu y vv + z uu z vv x 2 uv yuv 2 zuv. 2 19

20 I.2 Einstein 1916 et Cartan 1922 Gauss 1822 : Coordonnées polaires géodésiques : ds 2 = du 2 + Gu, v dv 2. Gauss 1827 : Formule pour la courbure : { G courbure = 1 } 2 4 G 2 2G 2 G u u 2 = 1 G 2 G u 2. Développement de Taylor : Gu, v = u 1 6 courbure0 u3 + ou 3. Habilitation de Riemann : ds 2 x = = n i, j=1 g ij x dx i dx j n dx i 2 + 1 2 i=1 n i, j, k, l=1 2 g ij x k x l0 xk x l dx i dx j + O x 3.

21 Manuscrit non publié de Riemann : Coordonnées normales généralisées de Riemann-Gauss : n ds 2 x = dx i 2 1 6 i=1 n i, j, k, l=1 A ijkl x k dx i x i dx k x l dx j x j dx l + O x 3. Coefficients de Christoffel élève de Riemann : { } k := i j Γ k ij := 1 2 n p=1 g pk x ig pj + x jg pi x pg ij, où g ij désigne la matrice inverse de la matrice g ij. Introduire : A ijkl = n p=1 g pl A ijk p, et obtenir : A l ijk = { l i k x j } { l j k } x i + n p=1 { p i k } { l j p } { p j k } { l i p }.

22 Connexion de Levi-Civita : Action sur un tenseur : k Λ i := n x k Λi + Γ i kl Λl. l=1 Action sur le tenseur métrique : k gij = x k g ij n l=1 Γ l ki g lj + Γ l kj g li. Théorème. Théorème de Ricci] Les dérivées covariantes du tenseur métrique et de son inverse s annulent : 0 = k gij = k g ij. Rappel et observation : A ijk l = x jγl ik n x iγl jk + p=1 = A ijk l g αβ x, g αβ x γ x, Γ p ik Γl jp Γp jk Γl ip 2 g αβ x γ x δx.

Tenseur de Ricci : A ij := n A ikj k 23 = k=1 n n g kl A ikjl. k=1 l=1 Lemme. La divergence covariante du tenseur de Ricci s exprime en fonction de la dérivée covariante de la courbure scalaire de la manière suivante : n j A j i = 1 2 ia. j=1 Covariance de la forme quadratique de Ricci : À travers tout changement de coordonnées x x : n n A ij dx i dx j = A ij d x i d x j. i, j=1 i, j=1 Généralisation directe aux pseudo-métriques : n g ij x dx i dx j. i,j=1 de signature quelconque : 1, }. {{.., 1 }, 1, }. {{.., 1 }. k fois n k fois

24 Formes différentielles quadratiques covariantes : n Cij 0 dxi dx j. Coefficients : n i, j=1 C 0 ij i, j=1 g αβ x, g αβ x γ x, 2 g αβ x γ x δx dx i dx j fonctions du jet d ordre 2 des coefficients métriques g ij. Condition de covariance : Par rapport à la pseudométrique fondamentale : n Cij 0 ḡ αβ x, ḡ αβ x γ x, 2 ḡ αβ x i, j=1 γ x δ x d x i d x j = n = Cij 0 g αβ x, g αβ x γ x, 2 g αβ x γ x δx dx i dx j, i, j=1 avec les mêmes fonctions Cij 0 de part et d autre de l égalité, pour tout changement de coordonnées locales : x 1,..., x n x 1,..., x n. Loi de transformation tensorielle : J 2 xḡ n n αβ = C 0 ij i 1 =1 j 1 =1 x i 1 x i x j 1 x j C 0 i 1 j 1 J 2 xg α1 β 1.

Exemple : Tenseur de Ricci : A ij. 25 Géométrie et physique. En opposition à une physique des phénomènes discrets, la relativité générale se fonde sur un certain nombre de postulats qui sont caractéristiques d une «physique du continu» : les objets célestes et terrestres peuvent être décrits au moyen de concepts géométriques ; continuité et différentiablité sont acceptées comme hypothèses fondamentales ; mesure de l espace et mesure du temps peuvent s effectuer avec des moyens expérimentaux ; enfin, les appareils de mesure confèrent un sens tangible à l idée de système de coordonnées mathématiques sur l espace-temps. Se pose alors une question cruciale : Quels objets géométriques doit-on placer au fondement d une physique du continu? Existe-til des objets géométriques qui s imposent a priori pour penser l univers physique continu? Contribution de Riemann : Dans son habilitationsvortrag, Riemann s interrogeait a priori sur la notion d espace. L espace cessait d être une notion transmise par l expérience, intuitive et caractérisée de manière unique. En

26 effet, l espace changeait radicalement de statut pour devenir question a priori sur l espace : en tant que donnée intuitive, l espace disparaissait ; il réapparaissait en tant que question pour la science. Et les conceptions qui pouvaient naître de cette question a priori se démultipliaient a priori. En effet, le destin négatif de l axiome des parallèles d Euclide, l émergence des géométries noneuclidiennes, à travers les travaux de Bolyai et de Lobatchevsky anticipés par Gauss, la constitution de la géométrie projective dans l école française et l émergence des travaux de Gauss sur les transformations conformes appliquées à la cartographie, toutes ces innovations géométriques poussèrent Riemann à s interroger totalement a priori sur les hypothèses qui peuvent servir de fondement à la conceptualisation de la notion d espace, dans les mathématiques et dans la physique. Il s agissait en particulier de s interroger sur les données primitives de la géométrie, sur leur degré de généralité, sur leur progressivité, sur leur dépendance relative, sur leur nécessité relative, etc. Les rapports mutuels des données primitives de la Géométrie] restent enveloppés de mystère ; on n aperçoit pas bien si elles sont nécessairement liées entre elles, ni jusqu à quel point elles le sont, ni même a priori si elles peuvent l être.

27 Ainsi Riemann anticipait-il l explosion et la ramification nécessaires des hypothèses géométriques possibles. Effectivement, la seconde moitié du dix-neuvième siècle et le début du vingtième devaient voir naître la géométrie projective, la géométrie conforme, la géométrie lorentzienne, les espaces non holonomes, les espaces généralisés au sens d Élie Cartan, etc. Conséquence inévitable de cette diversité : la théorie physique se voyait obligée a priori d effectuer un choix a posteriori parmi toutes les géométries possibles. Les mathématiques, avec leur hubris hypothético-déductive, et leur profusion incontrôlée de résultats abstraits, encombraient, embarrassaient, déconcertaient déjà la physique, qui se voyait contrainte de reconnaître sous cet afflux quelle géométrie correspondait à la réalité, dans un faisceau de théories géométriques architecturées. Les propriétés, par lesquelles l espace physique] se distingue de toute autre grandeur imaginable de trois dimensions, ne peuvent être empruntés qu à l expérience. De là surgit le problème de rechercher les faits les plus simples au moyen desquels puissent s établir les rapports métriques de l espace, problème qui, par la nature même de l objet n est pas complètement déterminé.

28 Car on peut indiquer plusieurs systèmes de faits simples, suffisants pour la détermination des rapports métriques de l espace. Ces faits, comme tous les faits possibles, ne sont pas nécessaires ; ils n ont qu une certitude empirique, ce sont des hypothèses. Il faut donc, ou que la réalité sur laquelle est fondé l espace forme une variété discrète, ou que le fondement des rapports métriques soit cherché en dehors de lui, dans les forces de liaison qui agissent en lui. Ces prédictions allaient être confirmées par Einstein. Équations de la gravitation d Einstein. Pseudo-métrique minkowskienne : dx 1 2 dx 2 2 dx 3 2 + dx 4 4 Transformations de Lorentz : 4 x i = j=1 u i j xj stabilisant : d x 1 2 d x 2 2 d x 3 2 + d x 4 4 = = dx 1 2 dx 2 2 dx 3 2 + dx 4 4. En relativité restreinte, Einstein postulait que les lois physiques sont invariantes par rapport à toute transformation de Lorentz : leur forme est exactement la même

29 dans tout référentiel lorentzien. Motivé par les expériences négatives de Michelson et Morley sur la détection du vent d éther, Einstein postulait aussi la constance de la vitesse de la lumière dans tout référentiel. Pour insister sur le caractère a priori et «métaphysique» des raisonnements d Einstein, on pourrait aussi considérer que la vitesse de la lumière est une loi physique, dont la forme est indépendante du référentiel lorentzien, et par conséquent, la vitesse de la lumière est constante : le second postulat serait une conséquence du premier. En recherchant une généralisation de la relativité restreinte aux systèmes de coordonnées non lorentziens, Einstein fut conduit à abandonner le principe d invariance, trop restrictif, et à le remplacer par un principe de covariance. Ce principe, qu Einstein emprunta aux travaux mathématiques de Ricci et de Levi-Civita, exprime toujours une exigence purement a priori, sans origine physique : Principe de covariance : Les lois d une physique géométrisée doivent pouvoir se transformer selon des règles précises lorsque l on passe d un système de coordonnées sur l espace-temps à un autre. Seconde exigence a priori, qui doit évidemment être satisfaite :

30 Principe d équivalence : Deux systèmes physiques qui se déduisent l un de l autre par un changement de coordonnées sur l espace-temps doivent être considérés comme rigoureusement équivalents. Comme son contemporain Nordström, Einstein recherchait une expression relativiste des lois de la gravitation newtonienne, gouvernée par l équation de Poisson : Φ = 4π G ρ, où Φ est le potentiel scalaire du champ de gravité, G = 6, 67 S.I. est la constante de gravitation universelle et ρ es la densité de matière. Après plusieurs tentatives infructueuses, on a suggéré de remplacer le scalaire densité de matière ρ par un tenseur énergie-impulsion T ij. Cependant, cette voie a été abandonnée car il semblait impossible de satisfaire la loi de conservation. Einstein montra que cela est possible, à condition de travailler dans des coordonnées curvilignes quelconques, en présence de courbure. Conditions auxquelles doit satisfaire le tenseur d Einstein. Dans le mémoire où il expose sa synthèse finale de 1916, Einstein postule que toutes les caractéristiques géométriques de l espace-temps peuvent être décrites au

31 moyen d un tenseur différentiel E ij deux fois covariant qui satisfait quatre conditions. 1 Ce tenseur est exprimé dans un espace pseudoriemannien quadridimensionnel. 2 Il doit dépendre des dérivées partielles des coefficients métriques d ordre au plus égal à 2. 3 Il doit être linéaire par rapport aux dérivées partielles des coefficients métriques d ordre exactement égal à 2. 4 Sa version mixte E i j := n p=1 g pj E i p doit être de divergence absolue nulle : 0 = n j=1 j E i j. Voici comment Einstein présentait le choix de ce tenseur :

32 Pour le champ de gravitation en l absence de matière, il est naturel de chercher à annuler le tenseur symétrique B µν, déduit du tenseur Bµστ. ρ Avec le choix du système de coordonnées que nous avons fait, ces équations s écrivent dans le cas du champ libre de matière : Γ α µν + Γ α x µβ Γβ να = 0 α g = 1. Il faut remarquer que le choix de ces équations comporte un minimum d arbitraire. Car, en dehors de B µν, il n existe pas de tenseur de rang 2 formé des g µν et de leurs dérivées qui ne comporte aucune dérivée d ordre supérieur à deux et qui soit linéaire en fonction de ces dernières. Théorème d unicité d Élie Cartan. Supposons donc n = 4 et soit 4 i, j=1 g ij dx i dx j une pseudo-métrique lorentzienne non-dégénérée. Soit A ij le tenseur de Ricci. Nous avons déjà observé que la forme quadratique différentielle 4 i, j=1 A ij dx i dx j est covariante de la forme quadratique fondamentale 4 i, j=1 g ij dx i dx j cf. 1.65. On vérifierait qu il en est de même pour la forme 4 i, j=1 A g ij dx i dx j, obtenue en multipliant la métrique par la courbure scalaire A.

Théorème. Élie CARTAN 1922] Toute forme quadratique différentielle : 4 Cij 0 dxi dx j = i, j=1 4 i, j=1 C 0 ij g αβ x, g αβ x γ x, 33 2 g αβ x γ x δx dx i dx j, linéaire par rapport aux dérivées partielles d ordre 2 des coefficients g αβ et covariante de la forme quadratique fondamentale est nécessairement une combinaison linéaire : 4 4 Cij 0 dxi dx j ] = ν Rij + µ R g ij + λ g ij dx i dx j, i, j=1 i, j=1 avec des constantes λ, µ et ν arbitraires. Corollaire. Le tenseur une fois covariant et une fois contravariant défini par : E j i := µ A j i 12 δji A + λ δ j i, où λ et µ sont des constantes, est le plus général qui satisfait la loi de conservation : 4 j E j i = 0. j=1

34 II Co-repères orthogonaux sur les surfaces Objectif expositionnel : Expliquer comment la méthode d Élie Cartan permet de «redécouvrir automatiquement» que la courbure de Gauss est un invariant isométrique des surfaces. Rappel : Métrique infinitésimale dans des coordonnées intrinsèques u, v sur une surface S : ds 2 = E du 2 + 2F dudv + G dv 2. Trois fonctions quelconques : E = Eu, v, F = F u, v, G = Gu, v. S θ 2 coordonnés u, v θ 1 Orthonormalisation de Gram-Schmidt : ds 2 = θ 1 2 + θ2 2. Avec : Sans calcul explicite pour l instant] θ 1 = Au, v du + Bu, v dv, θ 2 = Cu, v du + Du, v dv.

35 S S coordonnés u, v coordonnées u, v Difféomorphie locale à une autre surface S : u, v u, v = uu, v, vu, v. Autre métrique sur l autre surface : ds 2 = E du 2 + 2F du dv + G dv 2. Différentier : du = u u du + u v dv, dv = v u du + v v dv. Condition d isométrie infinitésimale : ds 2 = ds 2. Plus précisément : E du 2 + 2F dudv + G dv 2 = E u u du + u v dv 2 + + 2F u u du + u v dv v u du + v v dv + + G v u du + v v dv 2.

36 Relations entre les coefficients métriques : E = E u u 2 + 2F u u v u + G v u 2, F = E u u u v + F u u v v + u v v u + G vu v v, G = E u v 2 + 2F u v v v + F v v 2. Abandonner volontairement ce type de relations! Angle t = tu, v S θ 2 S θ 2 coordonnés u, v θ 1 coordonnées u, v θ 1 Autre orthonormalisation de Gram-Schmidt : ds 2 = θ 1 2 + θ2 2. Avec de même : Sans calcul explicite pour l instant] θ 1 = Au, v du + Bu, v dv, θ 2 = Cu, v du + Du, v dv. Préservation de l orthogonalité au niveau infinitésimal : θ1 cos t sin t θ1 =, sin t cos t θ 2 où t = tu, v est une fonction a priori inconnue. θ 2

37 Co-repère relevé : Hypostasier l ignorance] Considérer t comme une nouvelle coordonnées indépendante : ω1 cos t sin t θ1 :=. sin t cos t ω 2 Relever symétriquement aussi le co-repère à droite : ω1 cos t sin t θ1 :=. sin t cos t ω 2 Théorème. Fondamental, simple, d Élie Cartan] Il existe une isométrie infinitésimale : u, v uu, v, vu, v qui transforme : ds 2 = ds 2. si et seulement si il existe une application : S SO2, R S SO2, R de la forme spécifique : { u, v = u, v u, v telle que l on ait : t = t u, v, t, ω 1 = ω 1, ω 2 = ω 2, après remplacement pull-back. θ 2 θ 2

38 Diagramme commutatif : M SO2, R M SO2, R M M. Co-repère relevé : ω1 cos t sin t := ω 2 sin t cos t }{{} matrice g orthogonale θ1 θ 2. Écriture abrégée : ω = g θ. Appliquer la différentiation extérieure d : dω = dg θ + g dθ. Inverser : Remplacer : dω = θ = g 1 ω. dg g 1 }{{} 1-forme invariante sur le groupe SO2,R ω + g dθ. Forme de Maurer-Cartan du groupe SO2, R : α := dg g 1 = dt.

Donc : dω = α ω + g dθ. Structure initiale : dθ = } torsion {{} θ θ. à calculer Dans notre cas : Cartan-Gauss] θ 1 = A du + B dv, θ 2 = C du + D dv. Différentier : dθ 1 = B u A v } du {{ dv }, à remplacer dθ 2 = D u C v } du {{ dv }. à remplacer 39 À remplacer : θ 1 θ 2 = AD BC du dv. Donc la structure initiale est : dθ 1 = B u A v AD BC θ1 θ 2, Abréger cela : dθ 2 = D u C v AD BC θ1 θ 2. dθ 1 = J θ 1 θ 2, dθ 1 = K θ 1 θ 2.

40 Avec : J := B u A v AD BC, K := D u C v AD BC. Proposition. Les équations de structure, au sens de Cartan, s expriment dans le co-repère relevé : dω 1 = α ω 2 + P ω 1 ω 2, dω 2 = α ω 1 + Q ω 1 ω 2, où les coefficients de torsion valent : P = J cos t K sin t, Q = J sin t + K cos t. Introduire la nouvelle 1-forme : Pour «absorber» la torsion] π := α P ω 1 Q ω 2. Après absorption de la torsion : dω 1 = π ω 2, dω 2 = π ω 1. Observation : Maintenant, toute la torsion a disparu! Rappel culturel : Connexion de Levi-Cività = unique connexion sans torsion compatible avec la métrique.

Appliquer à nouveau l opérateur d : Lemme de Poincaré d d = 0] 0 = d d ω 1 = dπ ω 1 + π dω 2 = dπ ω 1 + π π ω 1, 41 De même : 0 = d d ω 2 = dπ ω 2 π dω 1 = dπ ω 2 π π ω 2 Résultat : 0 = dπ ω 1, 0 = dπ ω 2. Observation : Dans l espace tridimensionnel des u, v, t, toute 2-forme telle que dπ se décompose sur la base des trois 2-formes ω 1 ω 2, ω 1 α, ω 2 α. Interprétation : Ces deux équations impliquent que dans une telle décomposition pour dπ, les deux coefficients devant ω 1 α et devant ω 2 α doivent s annuler. Déduire à l aide du Lemme de Cartan : Il existe une certaine fonction κ satisfaisant : dπ = }{{ κ } ω 1 ω 2. courbure de Gauss apparaissant miraculeusement

42 Émergence de la courbure : Il existe donc une fonction κ des trois variables t, u, v telle que : dπ = κ ω 1 ω 2. Ré-appliquer la différentiation extérieure : 0 = d d π = κ t dt ω1 ω 2. Conséquence importante : Le coefficient-courbure : est indépendant de t. κ = κu, v Theorema Egregium. Gauss re-développé par Cartan] À travers toute équivalence locale : u, v u, v entre deux surfaces qui est une isométrie infinitésimale : ds 2 = E du 2 + 2F dudv + G dv 2 = E du 2 + 2F dudv + G dv 2 = ds 2, la courbure de Gauss se transforme comme un invariant : κu, v = κu, v. Démonstration. L argument «à la Cartan» est particulièrement limpide.

Angle t = tu, v 43 S θ 2 S θ 2 coordonnés u, v θ 1 coordonnées u, v θ 1 Partir de la condition d équivalence : θ1 cos tu, v sin tu, v θ1 = sin tu, v cos tu, v θ 2 θ 2, Introduire un co-repère relevé à gauche : ω1 cos t sin t θ1 :=. sin t cos t ω 2 Introduire aussi un co-repère relevé à droite : ω1 cos t sin t θ1 :=. sin t cos t ω 2 Rappel du théorème simple et fondamental : On a une équivalence isométrique : ds 2 = ds 2 si et seulement si : ω 1 = ω 1, ω 2 = ω 2. θ 2 θ 2

44 Fonctorialité de l opérateur de différentiation extérieure : dω 1 = dω 1, dω 2 = dω 2. Absorption parallèle de la torsion : dω 1 = π ω 2, dω 1 = π ω 2, dω 2 = π ω 1, Comparaison : π = π. dω 2 = π ω 1. Nouvelle exploitation de la fonctorialité de d : dπ = dπ. Deux courbures parallèles : dπ = κ ω 1 ω 2 dπ = κ ω 1 ω 2. Déduire par comparaison : κ = κ, ce qui est l invariance de l invariant-courbure!

II.1 Objectifs 45 Exposer de manière succincte les principes généraux de la méthode d équivalence d Élie Cartan. Montrer comment elle fonctionne dans le cas, a priori le plus simple mais néanmoins déjà très élaboré, des sous-variétés réelles Cauchy-Riemann Levi nondégénérées : M 3 C 2. Exhiber des calculs explicites. Appliquer la méthode d équivalence aux sous-variétés Cauchy-Riemann à forme de Levi de rang 1 : M 5 C 3. Appliquer la méthode d équivalence aux déformations de la cubique de Beloshapka : M 5 C 4. Potentiellement, il existe un nombre infini de structures géométriques de type Cauchy-Riemann qui sont issues des algèbres de Lie nilpotentes. Les travaux impressionnants de classification dus à Michel Goze et à Elisabeth Remm produisent un réservoir de nouvelles structures que l on pourrait soumettre à la méthode d équivalence d Élie Cartan.

46 III Algèbre de Lie nilpotentes et modèles CR Sous-variété Cauchy-Riemann analytique réelle : Deux entiers n 1 et d 1. Espace complexe C n+d. Sous-variété réelle M 2n+d C n+d dont les plans tangents en des points p : T p M = C n R d Coordonnées : z1,..., z k,..., z n+d C n C d. avec z k = x k + 1 y k. Structure complexe de T C n+d : J := et J x k y k y k := x k. Espace tangent complexe invariant par J 1 : M T c M := T M JT M. p T c p M z -tangentiel TpM

Donc on prend une sous-variété CR générale : M 2n+d C n+d. 47 Fibré complexe tangent : Crochets de Lie itérés : D 1 M := T c M, T c M = T M JT M. D 2 M := Vect C ω D 1 M + T c M, D 1 M ], D 3 M := Vect C ω D 2 M + T c M, D 2 M ], D k+1 M := Vect C ω D k M + T c M, D k M ]. Distributions quotient : g k p := D k p / D k 1 p, munies des projections canoniques : proj k p: D k p D k p / D k 1 p. Algèbre de symbole de Tanaka : Somme graduée des espaces vectoriels quotients : mp := k=h M k=1 g k p. D 1 M D 2 M D k 1 M D k M.

48 Structure de crochet de Lie : Prolonger deux vecteurs en p comme champs : X p = x et Ỹ p = ỹ, calculer le crochet de Lie usuel entre ces deux champs, et projeter : x, y] := proj k+l p X, Ỹ ] }{{} p D k+l Mp g k l p. Lemme. Remonte à Lie] Munie de cette opération de crochet, l algèbre de symbole de Tanaka mp pour p M\Σ devient une algèbre de Lie nilpotente graduée avec : dim R mp = dim R M qui, de plus, est génératrice : g k p = g 1 p, g k+1 p ]. Lemme. Immédiat] Vecteurs de croissance n = 1 : dimension 3 : 2, 1 ; dimension 4 : 2, 1, 1 ; dimension 5 : 2, 1, 2 ; dimension 5 : 2, 1, 1, 1.

49 III.1 Classification des algèbres de Lie nilpotentes en dimension 5 d après Michel Goze et Élisabeth Remm] Dimension 1 : Seulement : a 1 := R. Dimension 2 : Seulement la décomposable, commutative : a 2 = a 1 a 1 Dimension 3 : La décomposable : a 3 := a 1 a 1 a 1, et l algèbre irréductible de Heisenberg : n 1 3 : x 1, x 2 ] = x 3. Dimension 4 : Laissant de côté les deux décomposables : a 4 1 and a 1 n 3 1, il existe à nouveau une seule irréductible : n 1 4 : { x1, x 2 ] = x 3 x 1, x 3 ] = x 4. Dimension 5 : Laissant de côté les trois décomposables : a 5 1, n1 3 a 2, n 1 4 a 1, Dimension 5 irréductible : Il existe 6 algèbres de Lie nilpotentes réelles mutuellement non-isomorphes qui sont rassemblées comme suit en fonction de leurs invariants de Goze respectifs :

50 cg = 4, 1 cas filiforme : n 1 5 : x 1, x 2 ] = x 3 x 1, x 3 ] = x 4 n 2 5 : x 1, x 4 ] = x 5 cg = 3, 1, 1 : x 1, x 2 ] = x 3 n 3 5 : x 1, x 3 ] = x 4 n 4 5 : x 2, x 5 ] = x 4 x 1, x 2 ] = x 3 x 1, x 3 ] = x 4 x 1, x 4 ] = x 5 x 2, x 3 ] = x 5 x 1, x 2 ] = x 3 x 1, x 3 ] = x 4 x 2, x 3 ] = x 5 cg = 2, 2, 1 : cg = 2, 1, 1, 1 : n 5 5 : { x1, x 2 ] = x 3 x 1, x 4 ] = x 5 n 5 5 : { x1, x 2 ] = x 3 x 4, x 5 ] = x 3 Classification : Dimension 6 : Vergne, Seeley, Carles, Goze-Khakimdjanov]. Classification : Dimension 7 : Goze-Remm]. Nombreuses branches : Dimensions 8, 9 : Goze-Remm]. Équivalences des structures CR associées!

51 III.2 Modèles de sous-variétés CR en dimension 5 d après Cartan, Segre, Beloshapka] Seulement jusqu à la dimension 5! Dimension : 2n + d n 1 et d 1. Dimension 3 : n = 1, d = 1. Hypersurface Levi non-dégénérée : M 3 C 2. Dimension 4 : Beloshapka-Ezhov-Schmalz 2007] n = 1, d = 2. Dimension 5 : n = 2, d = 1, n = 1, d = 3 Lemme. Rappel] En dimension CR n = 1, les vecteurs de croissance possible sont : dimension 3 : 2, 1 ; dimension 4 : 2, 1, 1 ; dimension 5 : 2, 1, 2 ; dimension 5 : 2, 1, 1, 1.

52 Équivalences d hypersurfaces M 3 C 2 : Proposition. Facile] Toute hypersurface M 3 C 2 qui satisfait l hypothèse générique : D 1 M = T c M est de rang 2, D 2 M = T c M + T c M, T c M] est de rang 3, peut être représentée en coordonnées z, w C 2, par une équation de la forme : w w = 2i zz + O poids 3. Proposition. Beloshapka 1997] Toute variété CR M 5 C 4 de codimension d = 3 qui satisfait l hypothèse générique : D 1 M = T c M est de rang 2, D 2 M = T c M + T c M, T c M] est de rang 3, D 3 M = T c M + T c M, T c M] + T c M, T c M, T c M] ] est de rang maximal possible 5, peut être représentée, dans des coordonnées z, w 1, w 2, w 3, par trois équations de la forme spécifique : w 1 w 1 = 2i zz + O poids 4 w 2 w 2 = 2i zzz + z + O poids 4. w 3 w 3 = 2 zzz z + O poids 4.

Catégorie analytique réelle : 53 M C ω. Problème. Classifier les sous-variétés CR-génériques locales C ω : M 2n+c C n+c modulo les biholomorphismes locaux de C n+c jusqu à la dimension : 2n + c 5. C n+c M U p p h hu p p M C n+c Cas dégénérés : Lorsque c = 0 : M = C n, Lorsque n = 0 : M = R c. Donc supposer : c 1 et n 1.

54 Possibilités numériques : 2n + c = 3 = 2n + c = 4 = 2n + c = 5 = { n = 1, c = 1, { n = 1, c = 2, { n = 1, c = 3, n = 2, c = 1. Coordonnées locales : z 1,..., z n, w 1,..., w c = x1 + 1 y 1,..., x n + 1 y n, u 1 + 1 v 1,..., u c + 1 v c, Fonctions graphantes C ω : M 3 C 2 : v = ϕx, y, u, M 4 C 3 v1 = ϕ 1 x, y, u 1, u 2, : v 2 = ϕ 2 x, y, u 1, u 2, v 1 = ϕ 1 x, y, u 1, u 2, u 3, M 5 C 4 : v 2 = ϕ 2 x, y, u 1, u 2, u 3, v 3 = ϕ 3 x, y, u 1, u 2, u 3, M 5 C 3 : v = ϕx 1, y 1, x 2, y 2, u. Fibrés complexes { fondamentaux : T 1,0 M := X } 1 JX: X ΓT c M. Involutivité au sens de Frobenius : T 1,0 M, T 1,0 M ] T 1,0 M

Fibré conjugué disjoint : T 0,1 M := T 1,0 M. 55 En général : T 1,0 M, T 0,1 M ] T 1,0 M T 0,1 M. Système de générateurs locaux de T 1,0 M : L 1,..., L n. Introduire : L 1 L,L := combinaisons de L 1,..., L n, L 1,..., L n, L ν+1 L,L := combinaisons de M ν L ν L,L et des crochets L k, M ν], L k, M ν]. Union infinie : L Lie L,L := ν=1 L ν L,L. Lemme. Grâce à la réelle-analyticité, il existe un entier c M satisfaisant 0 c M c et un sousensemble analytique Σ M tels qu en tout point q M\Σ : dim C L Lie L,L q = 2n + c M.

56 Théorème. Connu] Tout point q M\Σ possède un petit voisinage U q C n+c dans lequel : M 2n+c = M 2n+c biholomorphiquement, avec une sous-varété CR : M 2n+c C n+c M R c c M. Observation : Le cas dégénéré c M c 1 est exclu du travail de classification en un point Zariski-Générique. Fait classique : En un point Zariski-générique, une hypersurface C ω connexe M 3 C 2 est ou bien = C R ou bien Levi non-dégénérée : 3 = rank C T 1,0 M, T 0,1 M, T 1,0 M, T 0,1 M ]. Théorème. En excluant les cas dégénérés, il existe précisément six classes générales de sous-variétés CR-génériques connexes analytiques réelles M 2n+c C n+c de dimension : 2n + c 5, donc de dimension CR n = 1 ou n = 2, à savoir si : { } { } L or L1, L 2, sont des générateurs locaux de T 1,0 M : Classe générale I : Hypersurfaces M 3 C 2 telles que { L, L, L, L ]} constituant un repère pour C R

T M, avec : Modèle I : v = zz, Classe générale II : Sous-variétés CR-génériques M 4 C 3 telles que { L, L, L, L ], L, L, L ]]} constitue un repère pour C R T M, avec { v1 = zz, Modèle II : v 2 = z 2 z + zz 2, Classe générale III 1 : Sous-variétés CR-génériques M 5 C 4 telles que { L, L, L, L ], L, L, L ]], L, L, L ]]} constitue un repère pour C R T M, avec : Modèle III 1 : v 1 = zz, v 2 = z 2 z + zz 2, v 3 = 1 z 2 z zz 2, Classe générale III 2 : Sous-variétés CR-génériques M 5 C 4 telles que { L, L, L, L ], L, L, L ]], L, L, L, L ]]]} constitue un repère pour C R T M, tandis que 4 = rank C L, L, L, L ], L, L, L ]], L, L, L ]], avec : 57 Modèle III 2 : v 1 = zz, v 2 = z 2 z + zz 2, v 3 = 2 z 3 z + 2 zz 3 + 3 z 2 z 2,

58 Classe générale IV 1 : Hypersurfaces M 5 C 3 telles que { L 1, L 2, L 1, L 2, L 1, L 1 ]} constitue un repère pour C R T M, et telles que la forme de Levi de M est de rang 2 en tout point p M, avec : Modèles IV 1 : v = z 1 z 1 ± z 2 z 2, Classe générale IV 2 : Hypersurfaces M 5 C 3 telles que { L 1, L 2, L 1, L 2, L 1, L 1 ]} constitue un repère pour C R T M, telles que la forme de Levi est de rang 1 en tout point p M, tandis que la forme de Freeman est non-dégénérée en tout point, avec : Modèle IV 2 : v = z 1z 1 + 1 2 z 1z 1 z 2 + 1 2 z 2z 1 z 1 1 z 2 z 2. Existence de ces six classes générales I, II, III 1, III 2, IV 1, IV 2 : Les fonctions graphantes sont essentiellement libres et arbitraires. Proposition. Pour les six classes I, II, III 1, IV 1 : II : I : v = zz + zz O1 z, z + zz O1 u, v1 = zz + zz O 2 z, z + zz O1 u 1 + zz O 1 u 2, v 2 = z 2 z + zz 2 + zz O 2 z, z + zz O1 u 1 + zz O 1 u 2, v 1 = zz + zz O 2 z, z + zz O1 u 1 + zz O 1 u 2 + zz O 1 u 3, III 1 : v 2 = z 2 z + zz 2 + zz O 2 z, z + zz O1 u 1 + zz O 1 u 2 + zz O 1 u 3, v 3 = 1 z 2 z zz 2 + zz O 2 z, z + zz O1 u 1 + zz O 1 u 2 + zz O 1 u 3, IV 1 : v = z1 z 1 ± z 2 z 2 + O 3 z1, z 2, z 1, z 2, u,

avec des restes arbitraires. Pour la classe : III 2 : v 1 = zz + c 1 z 2 z 2 + zz O 3 z, z + zz u1 O 1 z, z, u1 + + zz u 2 O 1 z, z, u1, u 2 + zz u3 O 1 z, z, u1, u 2, u 3, v 2 = z 2 z + zz 2 + zz O 3 z, z + zz u1 O 1 z, z, u1 + + zz u 2 O 1 z, z, u1, u 2 + zz u3 O 1 z, z, u1, u 2, u 3, v 3 = 2 z 3 z + 2 zz 3 + 3 z 2 z 2 + zz O 3 z, z + zz u1 O 1 z, z, u1 + + zz u 2 O 1 z, z, u1, u 2 + zz u3 O 1 z, z, u1, u 2, u 3, les 3 fonctions graphantes ϕ 1, ϕ 2, ϕ 3 doivent satisfaire : 0 L A 1 L A 1 L A 2 L A 2 L A 3 L A 3 L L A 1 2L L A 1 + +L L A 1 L L A 1 +2L L A 1 L L A 1 Enfin, pour la classe : IV 2 : L L A 2 2L L A 2 + +L L A 2 L L A 2 +2L L A 2 L L A 2 L L A 3 2L L A 3 + +L L A 3 L L A 3 +2L L A 3 L L A 3 v =z 1 z 1 + 1 2 z 1z 1 z 2 + 1 2 z 2z 1 z 1 + + O 4 z1, z 2, z 1, z 2 + u O2 z1, z 2, z 1, z 2, u, la fonction graphante ϕ doit satisfaire l annulation identique du déterminant de Levi.. 59

60 IV Méthode d équivalence d Élie Cartan Variété de dimension n : M. Coordonnées locales : x 1,..., x n. Structures géométriques variées : Système d équations aux dérivées partielles. Problème variationnel inverse. Distribution générique de 2-plans dans M 5 = R 5. Cartan 1910 ; Azzouz-Goze 2000]. Connexions affines, conformes, projectives. Structures de Cauchy-Riemann. Forme générale d un problème d équivalence : Cartan 1937 Séminaire Julia ; Gardner ; Olver] Base initiale de 1-formes sur M : θ 1,..., θ n.

Lemme. Formulation initiale] S il existe une équivalence géométrique avec une autre variété M munie d une base similaire de 1-formes : θ 1,..., θ n, alors : θ = g θ. pour une certaine application matricielle : x g G GLn, R. 61 Exemple des hypersurfaces M 3 C 2 : Groupe de matrices pertinent : cc 0 0 g := b c 0 : c C, b C. b 0 c Exemple des hypersurfaces 1-Levi M 5 C 3 : Groupe de matrices pertinent : cc 0 0 0 0 b c 0 0 0 g := d e f 0 0 b 0 0 c 0 : c, f C, b, e, d C. d 0 0 e f

62 Exemple des M 5 C 4 de Beloshapka : Groupe de matrices pertinent : aaa 0 0 0 0 0 aaa 0 0 0 g := c c aa 0 0 e d b a 0 : a C, b, c, e, d C d e b 0 a. Équivalence : θx = gx }{{} fonction inconnue θx. Co-repère relevé : Hypostasier l ignorance] ω := g θ. Différentier extérieurement : dω = dg θ + g dθ. Inverser : Remplacer : dω = g 1 ω = θ. } dg {{ g 1 } θ + g dθ. Forme de Maurer-Cartan invariante sur le groupe

Structure initiale pour le dernier terme : dθ = Torsion initiale θ θ. 63 En fait, il y a des indices : Alléger pour l exposition] dθ i = T i j,k θi θ k. 1 j<k n Ré-exprimer en fonction du co-repère relevé : Début de calculs douloureux] T θ θ = T g 1 ω g 1 ω =: Ux, g ω ω. Lemme. En termes du co-repère relevé ω = g θ, la structure initiale est de la forme générale : dω = A Maurer Cartan ω + Torsion ω ω. Absorber au maximum la torsion dans A MC : Intuitivement, c est de l algèbre linéaire] dω = A MC modifiée + Torsion Essentielle ω ω. Lemme. Cartan] À travers toute équivalence géométrique : M, θ 1,..., θ n M, θ 1,..., θ n, la torsion essentielle, ineffaçable, est invariante : Torsion Essentielle x, g = Torsion Essentiellex, g. = Possibilité de réduire et de simplifier le problème

64 V Hypersurfaces Levi non-dégénérées M 3 C 2 Travail en commun avec Masoud Sabzevari] Hypersurface analytique réelle locale : M 3 C 2. Fibré tangent réel : T M. Complexifé du fibré tangent réel : T M R C. Fibré tangent complexe : T c M := T M JT M. Fibré "holomorphe" complexe de rang 1 : T 1,0 M := T c M i JT M. Fibré "anti-holomorphe" complexe de rang 1 : T 0,1 M := T c M + i JT M = T 1,0 M. Somme directe : C R T M = T 1,0 M T 0,1 M.

Champs de vecteurs générateurs : L section génératrice de T 1,0 M, L section génératrice de T 0,1 M. 65 Définition. L hypersurface Cauchy-Riemann M 3 C 2 est dite Levi non-dégénérée lorsque le crochet : T := i L, L ] est linéairement indépendant de L et de L en tout point, de telle sorte que les 3 champs de vecteurs : { } L, L, T forment un champ de repères sur la variété 3- dimensionnelle M. Autre hypersurface dans un autre espace complexe : M 3 C 2. Supposer que M est elle aussi Levi non-dégénéré. Application biholomorphe locale inversible : C 2 C 2 z, w z, w = z z, w, w z, w = Deux fonctions holomorphes de deux variables complexes.

66 Noter cette applications : H : z, w z, w. Problème d équivalence : Étudier l équivalence des hypersurfaces analytiques réelles locales Levi nondégénérées de C 2 à travers les biholomorphismes locaux. Cartan 1932] Objectifs 1 : Rendre les calculs complètement explicites, comme dans le Theorema Egregium de Gauss. Objectifs 2 : Élaborer une technologie de calcul extrêmement systématique afin de maîtriser une fantastique explosion symbolique. Objectifs 3 : Formuler et résoudre d autres problèmes d équivalence pour les structures CR en dimension supérieure. Hypothèse que H est holomorphe : H L = c L, H L = c L.

Transfert du crochet] de Lie : H T = H i L, L = i H ] L, H L = i c L, c L ] = i c c L, L ] + i c L c L i c L c L =: c c T + b L + b L. 67 Proposition. Formulation de type Cartan] S il existe une équivalence biholomorphe entre deux sousvariétés Cauchy-Riemann M 3 C 2 et M 3 C 2, alors il existe deux fonctions : b: M C 2 et c: M C 2 telles que : L L T = c 0 0 0 c 0 b b cc L L T. Passage au co-repère dual : { ρ0, ζ 0, ζ 0 } dual de { L, L, T }. Groupe d ambiguïté matricielle : cc 0 0 g := b c 0 : c C, b C. b 0 c

68 Co-repère relevé : ρ ζ := ζ cc 0 0 b c 0 c 0 c Structure de Lie initiale : L, L ] = i T, T, L ] = P T, T, L ] = P T. ρ 0 ζ 0 ζ 0. Structure initiale duale : Explicitation de P à effectuer ultérieurement] L écriture complète de P s étend sur une page] dρ 0 = P ρ 0 ζ 0 + P ρ 0 ζ 0 + i ζ 0 ζ 0, dζ 0 = 0, dζ 0 = 0. Formes de Maurer-Cartan modifiées après absorption : dρ = α 0 + α 0 ρ + i ζ ζ, dζ = β 0 ρ + α 0 ζ. Avec : α 0 = dc c P c + 2 i b cc β 0 = db cc bdc c 2 c ζ ib cc ζ, P bc + i bb c 2 c 2 ζ P bc i b2 c 2 c 2 ζ.

69 V.1 Résumé intercalaire Trois types de structures CR : Hypersufaces Levi non-dégénérées M 3 C 2. Algèbre de Lie nilpotente : n 1 3 de Heisenberg. Déformations générales M 5 C 4 de la cubique de Beloshapka. Algèbre de Lie nilpotente : n 4 5. Hypersurfaces M 5 C 3 à forme de Levi de rang 1 et 2-non-dégénérées. Étudier les équivalences locales à travers les transformations biholomorphes. Expliciter les calculs.

70 V.2 Suite sur M 3 C 2 Absence de torsion essentielle : dρ = α 0 + α 0 ρ + i ζ ζ, dζ = β 0 ρ + α 0 ζ, Ambiguïté sur les 1-formes de Maurer-Cartan modifiées : α = α 0 + sρ, β = β 0 + r ρ + s ζ. Préservation des équations de structure : dρ = α + α ρ + i ζ ζ, dζ = β ρ + α ζ. Méthode géniale de prolongation de Cartan : ρ 1 0 0 0 0 0 0 ρ ζ 0 1 0 0 0 0 0 ζ ζ 0 0 1 0 0 0 0 ζ α = s 0 0 1 0 0 0 α 0. β r s 0 0 1 0 0 β 0 α s 0 0 0 0 1 0 α 0 β r 0 s 0 0 0 1 β }{{} 0 nouveau groupe de matrices Nouvelles 1-formes de Maurer-Cartan : γ := dr, δ := ds,

Absorption : dρ = α ρ + α ρ + i ζ ζ, dζ = β ρ + α ζ, dζ = β ρ + α ζ, dα = δ ρ + 2 i ζ β + i ζ β + W ζ ζ, dβ = γ ρ + δ ζ + β α, dα = δ ρ 2 i ζ β i ζ β W ζ ζ, dβ = γ ρ + δ ζ + β α, Un seul coefficient de torsion essentielle : W = 1 b L P 2i cc c 2 c P + 2i b bb cc2p + 6 c 2 c 2 + 2 i s 2 i s. Normaliser : s := s i 1 2cc L P b c 2 c P + b bb cc2p 3i c 2 c 2. Lemme. La différentielle extérieure : dg = L G ζ 0 + L G ζ 0 + T G ρ 0 d une fonction analytique réelle G définie sur la variété M C 2 se ré-exprime, en termes du co-repère relevé, comme : 1 1 dg = c L G ζ + c L G ζ+ + b c 2 c L G b cc 2L G + 1 cc T G 71 ρ.

72 Explicitation de la différentielle : ds = ds + + i P r c + P r c b 2 L P 9b2 b2 c 4 c4 + c 4 c 2 L L P b c 2 c 3 i L L P b 2 c 3 c 2 P s + c i 2 + P 2 b cc 3 + 3i bb + + P P b2 c 4 c 2 L P bb 3 c 3 c 3 2 P bs c 2 c 2 P P bb c 3 c 3 + 3i br cc i T L P 2 c 2 c 2 6i P bb2 c 3 c 4 L L P c 2 c L P b c 3 c + 6 b2 b c 3 c 3 + i L P P cc 2 + L P cc 3 L P cc P b cc 2 + P b c 2 c c 2 c 2 + i 2 3i bb c 2 c 2 + i L P P b 2 cc cc 2 + P b c 2 c + P P b2 c 2 c 4 b2 L P c 2 c 4 1 L P L P L L P b 4 c 2 c 2 + i c 3 c 2 + + 2 P bs P L P b L P s cc2 + i c 3 c 2 i i cc br + 3i cc 6 bbs c 2 c 2 + 6i P b2 b c 4 c 3 i 2 + 3i bs cc + i P L P 2 c 2 + 3 bb2 c c 3 c 3 + 1 L P b 2 c 2 c 2 3i P bb c 3 c 2 α + α + + 3i bs P b2 3i cc c 3 c 2 P s c P c 3i b β+ cc P c 3i b β. cc P L P b c 2 c 3 L L P c 2 c 3 ζ+ ρ+ P bb L P b + 3i c 2 c3 + c 2 c 2 + P P b c 2 c 2 i 2 L L P cc 2 ζ+ Ré-absorber la nouvelle torsion : dρ = α ρ + α ρ + i ζ ζ, dζ = β ρ + α ζ, dζ = β ρ + α ζ, dα = δ ρ + 2 i ζ β + i ζ β, dα = δ ρ 2 i ζ β i ζ β + W 2 ζ ρ W 2 ζ ρ, dβ = γ ρ + δ ζ + β α, dβ = γ ρ + δ ζ + β α + i W 1 ρ ζ + W 2 ζ ζ, Coefficients de torsion essentielle conduisant potentiellement à des normalisations : 0 = W 1, 0 = W 2. Seul W 2 fournit une normalisation : r := 1 3 L L P cc 2 + 1 2 L L P cc 2 i 2 L P b c 2 c 2 1 6 P L P cc 2 + P bb c 2 c 3 i b2 b c 3 c 3.

Finalisation des équations de structure : dρ = α ρ + α ρ + i ζ ζ, dζ = β ρ + α ζ, dζ = β ρ + α ζ, dα = δ ρ + 2 i ζ β + i ζ β, dβ = δ ζ + β α + I ζ ρ, dα = δ ρ 2 i ζ β i ζ β, dβ = δ ζ + β α + I ζ ρ. Ultime prolongation : dρ = α ρ + α ρ + i ζ ζ, dζ = β ρ + α ζ, dζ = β ρ + α ζ, dα = δ ρ + 2 i ζ β + i ζ β, dβ = δ ζ + β α + I ζ ρ, dα = δ ρ 2 i ζ β i ζ β, dβ = δ ζ + β α + I ζ ρ, dδ = δ α + δ α + i β β + T ρ ζ + T ρ ζ. Un seul invariant primaire : J := 1 L L L P 3 c c 3 + 1 L L L P 2 c c 3 + 2 P L L P 3 c c 3 7 P L L P 6 c c 3 1 L P L P 6 c c 3 + 1 P P L P 3 c c 3 Invariant secondaire : T. 73

74 V.3. Réalisation de calculs explicites complets C 2 v 0 x, y u Les hypersurfaces analytiques réelles M 3 C 2 sont des graphes de la forme : v = ϕx, y, u, dans des coordonnées holomorphes locales : adpatées afin que : z, w = x + iy, u + iv, T 0 M = C z R u = {v = 0}. Ezhov-McLaughlin-Schmalz : Notices of the AMS, 58 2011, no. 1, 20 27] : Construction d une connection normale, régulière, de type Cartan-Tanaka à valeurs dans l algèbre de Lie pgl 2 R du groupe projectif 2-dimensionnel qui est canoniquement associée à une hypersurface Levi nondégénérée analytique réelle M 3 C 2.

Objectif computationnel principal : Rendre tous les éléments d une telle connexion explicites en termes de l équation définissante ϕx, y, u, en ne supposant que la C 6 -régularité de M. Rappeler l équation de l hypersurface : v = ϕx, y, u. 75 Fait a posteriori : Tous les éléments vont dépendre seulement de ϕx, y, u. Fibré tangent complexe : T c M = T M 1 T M engendré par les deux champs réels : H 1 := x + ϕ y ϕ x ϕ u 1+ϕ 2 u H 2 := y + ϕ x ϕ y ϕ u 1+ϕ 2 u u, u. Lien avec la formulation de type «problème d équivalence» : L = 1 2 H 1 i 2 H 2, L = 1 2 H 1 + i 2 H 2.

76 Crochet de Lie relié à la forme de Levi : T := 1 4 H 1, H 2 ] = 1 4 1 1+ϕ 2 u 2 { ϕxx ϕ yy 2 ϕ y ϕ xu ϕ 2 x ϕ uu + + 2 ϕ x ϕ yu ϕ 2 y ϕ uu + 2 ϕ y ϕ u ϕ yu + + 2 ϕ x ϕ u ϕ xu ϕ 2 u ϕ xx ϕ 2 u ϕ yy } u. Signification de l hypothèse de Levi non-dégénérescence : { H1, H 2, T } constitue un champ de repères sur M 3. Coefficient de la forme de Levi : Noter Υ le numérateur : T = 4 1 H 1, H 2 ] = 1 Υ 4 2 u. Admettre les deux coïncidences notationnelles : x 1 x, x 2 y. Introduire les deux crochets de longueur 3 : H1, T ] = 4 1 H1, H 1, H 2 ] ] =: Φ 1 T, H2, T ] = 4 1 H2, H 1, H 2 ] ] =: Φ 2 T. Fait 1 : Il sont tous les deux multiples de T au moyen de deux fonctions : Φ 1 := A 1 2 Υ, Φ 2 := A 2 2 Υ.

77 Fait 2 : Le développement complet de chacun de ces deux numérateurs s étend sur environ une page, e.g. : A 1 = ϕ xxx ϕ xyy + 2 ϕ x ϕ xyu 3 ϕ y ϕ xxu ϕ y ϕ yyu 3 ϕ 2 y ϕ xuu + + 2 ϕ x ϕ y ϕ yuu ϕ 2 x ϕ xuu ϕ 2 x ϕ y ϕ uuu ϕ 3 y ϕ uuu 2 ϕ x ϕ y ϕ xu ϕ uu 3 ϕ x ϕ xx ϕ uu + ϕ 2 y ϕ uu ϕ yu 2 ϕ y ϕ uu ϕ xy + 3 ϕ 2 x ϕ yu ϕ uu ϕ x ϕ yy ϕ uu ϕ x ϕ 2 y ϕ 2 uu + 4 ϕ y ϕ xu ϕ yu ϕ 3 x ϕ 2 uu + ϕ yu ϕ yy + + 3 ϕ xx ϕ yu 2 ϕ xu ϕ xy + 2 ϕ x ϕ 2 xu 2 ϕ x ϕ 2 yu+ + ϕ u 3 ϕ x ϕ xxu + 2 ϕ y ϕ xyu + ϕ x ϕ yyu + 4 ϕ x ϕ y ϕ xuu + 2 ϕ 2 y ϕ yuu 2 ϕ 2 x ϕ yuu + ϕ x ϕ 2 y ϕ uuu + ϕ 2 x ϕ uuu + 2 ϕ 2 x ϕ 2 uu ϕ y + 5 ϕ uu ϕ xu ϕ 2 x 8 ϕ x ϕ xu ϕ yu + 7 ϕ 2 y ϕ xu ϕ uu + ϕ yy ϕ xu + 2 ϕ 3 y ϕ 2 uu + 3 ϕ xx ϕ xu + + 8 ϕ y ϕ 2 xu + 2 ϕ xy ϕ yu 2 ϕ x ϕ y ϕ yu ϕ uu + + ϕ 2 u 3 ϕ xxx 3 ϕ xyy 6 ϕ y ϕ xxu 2 ϕ y ϕ yyu + 4 ϕ x ϕ xyu 4 ϕ 2 y ϕ xuu + ϕ 3 u 4 ϕ 2 x ϕ xuu ϕ 3 y ϕ uuu ϕ y ϕ 2 x ϕ uuu 2 ϕ x ϕ uu ϕ yy + 7 ϕ 2 x ϕ yu ϕ uu 6 ϕ x ϕ uu ϕ xx 4 ϕ y ϕ uu ϕ xy 3 ϕ 2 y ϕ 2 uu ϕ x 3 ϕ 2 y ϕ uu ϕ yu 4 ϕ xu ϕ xy 3 ϕ 3 x ϕ 2 uu + 6 ϕ xx ϕ yu 4 ϕ x ϕ 2 yu 4 ϕ x ϕ 2 xu + 2 ϕ yu ϕ yy 10 ϕ x ϕ y ϕ xu ϕ uu 6 ϕ x ϕ xxu + 4 ϕ y ϕ xyu + 2 ϕ x ϕ yyu + 4 ϕ x ϕ y ϕ xuu 2 ϕ 2 x ϕ yuu + 2 ϕ 2 y ϕ yuu + + ϕ 3 x ϕ uuu + ϕ x ϕ 2 y ϕ uuu + 3 ϕ 2 y ϕ xu ϕ uu 8 ϕ xu ϕ yu ϕ x + 9 ϕ uu ϕ xu ϕ 2 x+ + 4 ϕ xy ϕ yu + 8 ϕ y ϕ 2 xy + 2 ϕ yy ϕ xu + 6 ϕ xx ϕ xu + 6 ϕ x ϕ y ϕ yu ϕ uu + + ϕ 4 u 3 ϕ xxx 3 ϕ xyy + 2 ϕ x ϕ xyu ϕ y ϕ yyu 3 ϕ y ϕ xxu 3 ϕ 2 x ϕ xuuu 2 ϕ x ϕ y ϕ yuu ϕ 2 y ϕ xuu 3 ϕ x ϕ uu ϕ xx ϕ x ϕ uu ϕ yy 6 ϕ x ϕ 2 xu 2 ϕ x ϕ 2 yu 2 ϕ y ϕ uu ϕ xy 4 ϕ y ϕ xu ϕ yu 2 ϕ xu ϕ xy + 3 ϕ xx ϕ yu + ϕ yu ϕ yy + + ϕ 5 u ϕ x ϕ yyu + 2 ϕ y ϕ xyu + 3 ϕ x ϕ xxu + ϕ yy ϕ xu + 3 ϕ xx ϕ xu + 2 ϕ xy ϕ yu + + ϕ 6 u ϕ xxx ϕ xyy.