Vilijandas Bagdonavi ius. Julius Jonas Kruopis MATEMATIN E STATISTIKA

VILNIAUS UNIVERSITETO MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS Vilijandas Bagdonavi ius Julius Jonas Kruopis MATEMATIN E STATISTIKA Vadovelis IV DALIS DAUGIAMAT E STATISTIKA Vilniaus universiteto leidykla 015

UDK 519.(075.8) Apsvarste ir rekomendavo spausdinti Vilniaus universiteto Matematikos ir informatikos fakulteto taryba (015 m. vasario 17 d.; protokolas Nr. 3); vadovelio status suteike Vilniaus universiteto senatas (015 m. balandºio 1 d., nutarimas Nr. S 015 4 1). Recenzavo: prof. habil. dr. Algimantas Bikelis (Vytauto Didºiojo universitetas), prof. habil. dr. K stutis Du inskas (Klaipedos universitetas) ISBN 9786094595189 Vilijandas Bagdonavi ius Julius Jonas Kruopis Vilniaus universitetas

Turinys Pratarme.................................. 7 Trumpiniai ir ºymenys........................... 8 1 Parametru ivertiniai ir ju savybes 10 1.1. Stebejimo duomenys......................... 10 1.. Didºiausiojo tiketinumo ivertiniai.................. 10 1.3. Parametru ivertiniu skirstiniai.................... 13 1.4. I²vados del vidurkiu vektoriaus, kai kovariacine matrica ºinoma. 15 1.4.1. Vidurkiu vektoriaus pasikliovimo sritys.......... 15 1.4.. Vidurkiu vektoriaus koordina iu pasikliovimo intervalu rinkiniai...................... 15 1.4.3. Hipoteziu del vidurkiu vektoriaus reik²mes tikrinimas........................... 18 1.5. Vi²arto skirstinio apibreºimas.................... 19 1.6. Vi²arto skirstinio savybes...................... 1 1.7. Pratimai................................ 9 Hotelingo statistikos taikymai 34.1. I²vados apie vidurkiu vektoriu, kai kovariacine matrica neºinoma 34.1.1. Vidurkiu vektoriaus pasikliovimo sritys.......... 35.1.. Vidurkiu vektoriaus koordina iu pasikliovimo intervalu rinkiniai...................... 35.1.3. Hipotezes del vidurkiu vektoriaus reik²mes tikrinimas........................... 38.. Dvieju im iu vidurkiu palyginimo hipotezes............ 40.3. Keliu im iu vidurkiu palyginimo hipotezes............. 4.4. Simetri²kumo hipoteze........................ 43.5. Vidurkiu palyginimo hipotezes, kai kovariacines matricos skirtingos 45.6. Pratimai................................ 49 3 Tiesiniai modeliai daugiama iu atveju 54 3.1. Matematinis modelis......................... 54 3.. Parametru ivertiniai......................... 56 3.3. Normaliojo skirstinio atvejis..................... 59 3.4. Tiesiniu hipoteziu tikrinimas.................... 61 3.5. Tiketinumu santykio statistikos savybes.............. 65 3

4 TURINYS 3.5.1. Tiketinumu santykio statistikos momentai......... 65 3.5.. Tiketinumu santykio statistikos skirstiniai......... 67 3.5.3. Tiketinumu santykio statistikos tam tikri atvejai...... 69 3.5.4. Tiketinumu santykio statistikos asimptotinis skirstinys........................... 7 3.5.5. Asimptotinio skirstinio patikslinimai............ 73 3.6. Pratimai................................ 80 4 Koreliacine analize 87 4.1. Empirinio koreliacijos koeciento skirstinys............ 87 4.. Hipoteziu apie koreliacijos koeciento reik²mes tikrinimas.... 90 4..1. Nepriklausomumo hipotezes tikrinimas........... 90 4... Hipotezes apie koreliacijos koeciento reik²mes...... 90 4..3. Apytiksl us kriterijai..................... 91 4.3. Daliniai koreliacijos koecientai................... 9 4.4. Dauginis koreliacijos koecientas.................. 95 4.5. Atsitiktiniu vektoriu nepriklausomumo hipotezes......... 99 4.5.1. Nepriklausomumo hipoteziu formulavimas......... 99 4.5.. Tiketinumu santykio statistika............... 100 4.5.3. Tiketinumu santykio statistikos momentai......... 101 4.5.4. Tiketinumu santykio statistikos skirstiniai......... 10 4.5.5. Tiketinumu santykio statistikos tam tikri atvejai..... 103 4.5.6. Asimptotinis tiketinumu santykio kriterijus........ 107 4.5.7. Asimptotinio skirstinio patikslinimai............ 108 4.6. Pratimai................................ 109 5 Hipotezes apie kovariaciju matricas 114 5.1. Kovariaciju matricu lygybes hipotezes............... 114 5.1.1. Tiketinumu santykio statistika............... 114 5.1.. Tiketinumu santykio statistikos momentai......... 116 5.1.3. Tiketinumu santykio statistikos skirstiniai......... 117 5.1.4. Tiketinumu santykio asimptotinis skirstinys........ 119 5.1.5. Asimptotinio skirstinio patikslinimas............ 10 5.. Proporcingumo hipotezes tikrinimas................ 1 5..1. Proporcingumo (sferi²kumo) hipoteze........... 1 5... Tiketinumu santykio kriterijus............... 13 5..3. Tiketinumu santykio statistikos momentai......... 15 5..4. Tiketinumu santykio skirstinys............... 16 5..5. Tiketinumu santykio statistikos asimptotinis skirstinys........................... 18 5..6. Asimptotinio skirstinio patikslinimai............ 19 5.3. Kovariacines matricos lygybes ºinomai matricai hipotezes tikrinimas................................. 131 5.3.1. Kovariacines matricos lygybes ºinomai matricai hipoteze............................ 131 5.3.. Tiketinumu santykio kriterijus............... 131

TURINYS 5 5.3.3. Tiketinumu santykio statistikos momentai......... 133 5.3.4. Tiketinumu santykio skirstinys............... 133 5.3.5. Tiketinumu santykio statistikos asimptotinis skirstinys........................... 134 5.3.6. Asimptotinio skirstinio patikslinimai............ 136 5.4. Pratimai................................ 139 6 Diskriminantine analize 143 6.1. Dvieju klasiu atvejis......................... 143 6.1.1. Klasikavimo tikslumo tikimybes.............. 143 6.1.. Sprendimu priemimo taisykles............... 144 6.1.3. Klasikavimas, kai yra apribojimu............. 147 6.1.4. Normaliojo skirstinio atvejis................. 153 6.. Klasikavimas, kai klasiu daugiau negu dvi............ 155 6..1. Klasikavimo tikslumo charakteristikos.......... 155 6... Sprendimu priemimo taisykles............... 156 6..3. Normaliojo skirstinio atvejis................. 159 6.3. Klasikavimas neturint visos informacijos............. 160 6.3.1. Parametriniai tankiu ivertiniai............... 161 6.3.. Neparametriniai tankiu ivertiniai.............. 166 6.3.3. Diskriminantiniu funkciju vertinimas............ 169 6.4. Pratimai................................ 179 7 Kanoniniai kintamieji 189 7.1. Pagrindines komponentes...................... 189 7.1.1. Pagrindiniu komponen iu savybes............. 189 7.1.. Pagrindiniu komponen iu ir ju dispersiju DT ivertiniai......................... 193 7.1.3. Hipotezes del tikriniu reik²miu............... 195 7.. Kanonines koreliacijos........................ 195 7..1. Kanoniniu koreliaciju apibreºimas ir ju savybes...... 195 7... Kanoniniu koreliaciju DT ivertiniai............. 198 7..3. Hipotezes del kanoniniu koreliaciju............. 00 7.3. Faktorine analize........................... 00 7.3.1. Matematinis modelis..................... 01 7.3.. Parametru ivertiniai..................... 0 7.4. Pratimai................................ 07 8 1 Priedas. Tiesines algebros elementai 10 8.1. Vektoriai................................ 10 8.. Matricos ir determinantai...................... 1 9 priedas. Atsitiktiniai vektoriai 18 9.1. Atsitiktinio vektoriaus skirstinys.................. 18 9.. Marginalieji ir s lyginiai skirstiniai................. 19 9.3. Atsitiktiniu vektoriu funkcijos.................... 1

6 TURINYS 10 Daugiama io normaliojo skirstinio savybes 3 Literat ura.................................. 6 Dalykine rodykle.............................. 7

Pratarme Stebimiems objektams apra²yti daºnai nepakanka vieno poºymio, o tenka naudoti poºymiu vektoriu. Tada skirtingu objektu poºymiu vektoriaus matavimus galima traktuoti kaip im iu, gautu stebint tam tikr daugiamati atsitiktini vektoriu, realizacijas. Gana daºnai stebimo atsitiktinio vektoriaus skirstini patenkinamai galima apra²yti daugiama iu normaliuoju skirstiniu. Kaip ir vienma iu atveju normaliojo modelio paplitimas ai²kinamas centrine ribine teorema. Daugiamatis normalusis skirstinys apra²o tokio atsitiktinio vektoriaus, kuris gaunamas sumuojant dideli skai iu nepriklausomu ar silpnai priklausomu atsitiktiniu vektoriu, tarp kuriu nera dominuojan iu, skirstini. Kita vertus, daugiama io normaliojo skirstinio statistiniai metodai yra labiau i²vystyti ir daugeliu atveju igij uºbaigt pavidal. Gauti daugiama iai vidurkiu ir dispersiju palyginimo, hipoteziu tiesiniuose modeliuose tikrinimo ir kt. kriteriju analogai. Ta iau daugiamateje matematineje statistikoje nagrinejami ir speciniai uºdaviniai, kuriu nera vienmateje teorijoje. Tai uºdaviniai, susij su kovariacines matricos struktu ra, diskriminantine analize, stebimo vektoriaus dimensijos sumaºinimo problema ir kt. Knygos paskirtis leme medºiagos i² ²ios pla ios matematines statistikos srities parinkim. Apsiribojama normaliojo skirstinio teorija, tariant, kad imties elementai turi daugiamati normaluji skirstini. Norint pla iau susipaºinti su daugiamates matematines statistikos metodais ir rezultatais, rekomenduojame monograjas [], [9], [10], [13], [14]. Pirmame skyriuje pateikiami normaliojo vektoriaus parametru ivertiniai ir ju savybes, antrajame vidurkiu vektoriaus reik²miu ir ju palyginimo kriterijai, t. y. Stjudento kriterijaus daugiama iai analogai. Tre iajame skyriuje aptariama tiesiniu modeliu analizes metodai daugiama io normaliojo skirstinio atveju. Ketvirtas skyrius skiriamas koreliacinei analizei. Sudaromi kriterijai atsitiktiniu dydºiu ar vektoriu nepriklausomumo hipotezems tikrinti. Penktame skyriuje pateikti kriterijai kovariaciniu matricu palyginimo hipotezems tikrinti. e²tame skyriuje nagrinejami klasikavimo (diskriminantines analizes) uºdaviniai. Septintame skyriuje aptariama stebimu vektoriu dimensijos sumaºinimo problema apibreºiant kanoninius kintamuosius (pagrindines komponentes, kanonines koreliacijos, faktorine analize). Prieduose pateikiami daºniausiai knygoje naudojami tiesines algebros faktai, kai kurios atsitiktiniu vektoriu ir daugiama io normaliojo skirstinio savybes. Destoma medºiaga iliustruojama konkre iais pavyzdºiais. Kiekvieno skyriaus pabaigoje pateikiami pratimai savaranki²kam darbui. Iliustracijos ir pratimai daugiausia parinkti i² minetu monograju. Autoriai 7

Trumpiniai ir ºymenys A. d. atsitiktinis dydis; n. a. d. nepriklausomi atsitiktiniai dydºiai; a. v. atsitiktinis vektorius; n. a. v. nepriklausomi atsitiktiniai vektoriai; TG tolygiai galingiausias (kriterijus); TGN tolygiai galingiausias nepaslinktasis (kriterijus); DT didºiausiojo tiketinumo (funkcija, metodas, ivertinys); ASE asimptotinis santykinis efektyvumas (ivertiniu, kriteriju); TPP taikomieji programu paketai; X, Y, Z,... atsitiktiniai dydºiai; X, Y, Z,... atsitiktiniai vektoriai; X T transponuotas vektorius, t. y. vektorius eilute; x(p ) P -asis kvantilis; x P P -oji kritine reik²me; Σ = [σ ij ] k k kovariaciju matrica; ρ = [ρ ij ] k k koreliacijos koecientu matrica; P{A} ivykio A tikimybe; P{A B} ivykio A s lygine tikimybe; P θ {A}, P{A θ} tikimybe, priklausanti nuo parametro θ; F θ (x), F (x; θ), F (x θ) pasiskirstymo funkcija, priklausanti nuo parametro θ (analogi²kai tankio funkcijai); EX a. d. X vidurkis; V X a. d. X dispersija; E θ (X), E(X θ), V θ (X), V (X θ) a. d. X vidurkis ar dispersija, priklausantys nuo parametro θ; E(X) a. v. X vidurkiu vektorius; V (X) a. v. X kovariaciju matrica; Cov (X, Y ) a. d. X ir Y kovariacija; Cov (X, Y ) a. v. X ir Y kovariaciju matrica; N(0, 1) standartinis normalusis skirstinys; N(µ, σ ) normalusis skirstinys su parametrais µ ir σ ; χ (n) chi kvadrato skirstinys su n laisves laipsniu; χ (n; δ) necentrinis chi kvadrato skirstinys su n laisves laipsniu ir necentri²kumo parametru δ; S(n) Stjudento skirstinys su n laisves laipsniu; S(n; δ) necentrinis Stjudento skirstinys su n laisves laipsniu ir necentri²kumo parametru δ; F (m, n) Fi²erio skirstinys su m ir n laisves laipsniu; F (m, n; δ) necentrinis Fi²erio skirstinys su m ir n laisves laipsniu ir necentri²kumo parametru δ; 8

Trumpiniai ir ºymenys 9 W k (n, Σ) k-matis Vi²arto skirstinys su n laisves laipsniu ir parametru (kovariacine matrica) Σ; W k (n, Σ; M) necentrinis k-matis Vi²arto skirstinys su n laisves laipsniu, parametru (kovariacine matrica) Σ ir necentri²kumo parametru (matrica) M; z α standartinio normaliojo skirstinio α kritine reik²me; t α (n) Stjudento skirstinio su n laisves laipsniu α kritine reik²me; χ α(n) chi kvadrato skirstinio su n laisves laipsniu α kritine reik²me; F α (m, n) Fi²erio skirstinio su m ir n laisves laipsniu α kritine reik²me; N k (µ, Σ) k-matis normalusis skirstinys su vidurkiu vektoriumi µ ir kovariaciju matrica Σ; X N(µ, σ ) a. d. X, pasiskirst s pagal normaluji desni su parametrais µ ir σ (analogi²kai kitu skirstiniu atveju); X n P X konvergavimas pagal tikimyb (n ); X n b.t. X konvergavimas su tikimybe 1 arba beveik tikrai (n ); X n kv.v. X konvergavimas pagal kvadratini vidurki (n ); d X n X, Fn (x) d F (x) konvergavimas pagal pasiskirstym (silpnasis; n ); d X n X N(µ, σ ) a. d. X n asimptoti²kai (n ) turi normaluji skirstini su parametrais µ ir σ ; P X n Y n a. d. X n ir Y n asimptoti²kai (n ) ekvivalentu s (X n Y n 0); X d Y a. d. X ir Y tikimybiniai skirstiniai sutampa; x kai x = (x 1,..., x k ) T yra vektorius, rei²kia atstum (x T x) 1/ = ( i x i )1/ ; A kai A = [a ij ] yra matrica, rei²kia ( i j a ij )1/ ; A > B (A B) kai A ir B yra vienodos dimensijos kvadratines matricos, rei²kia, kad matrica A B yra teigiamai (neneigiamai) apibreºta.

1 skyrius Parametru ivertiniai ir ju savyb es 1.1. Stebejimo duomenys Tarkime, X 1, X,..., X n yra paprastoji atsitiktine atsitiktinio vektoriaus X N k (µ, Σ) imtis; ia µ = (µ 1,..., µ k ) T vidurkiu vektorius, o Σ = [σ ij ] k k kovariaciju matrica. Tarsime, kad matrica Σ teigiamai apibreºta Σ > 0. Vektoriaus X i koordinates paºymej X 1i, X i,..., X ki, stebejimo duomenis sura²ykime i lentel X 1 X... X n Y T 1 X 11 X 1 X 1n Y T X 1 X X n = X T....... Y T k X k1 X k X kn Stulpeliuose sura²yti vektoriai X 1,..., X n yra vienodai pasiskirst nepriklausomi ir normalieji X i N k (µ, Σ), todel a. v. Y j = (X j1, X j,..., X jn ) T koordinates yra paprastoji imtis, gauta stebint vienmati atsitiktini dydi X j N(µ j, σ jj ), j = 1,..., k; matricos X = [X ij ] n k stulpelius sudaro vektoriai Y 1,..., Y k. 1.. Didºiausiojo tiketinumo ivertiniai Remdamiesi daugiama io normaliojo skirstinio tankio funkcijos i²rai²ka (3 priedas, (10.0.6)), gauname paprastosios imties X 1, X,..., X n tiketinumo funkcij L = L(µ, Σ) = (π) nk/ Σ n/ exp{ 1 10 n (X i µ) T Σ 1 (X i µ)}. (1..1)

1.. Didºiausiojo tiketinumo ivertiniai 11 1..1 teorema. Jeigu Σ > 0 ir n > k, tai parametru µ ir Σ DT ivertiniai yra o tiketinumo funkcijos maksimumas ˆµ = X, ˆΣ = 1 n S = [ˆσ ij] k k, (1..) L(ˆµ, ˆΣ) = (π) nk/ n nk/ S n/ exp{ nk/}. (1..3) ƒia X = 1 n n X i = ( 1 n n X 1i,..., 1 n X ki ) T = ( n X 1,..., X k ) T, S = n (X i X)(X i X) T = n X i X T i n X X T = X T X n X X T = = [S ij ] k k, S ij = Y T i Y j n X i Xj. (1..4) Irodymas. Remdamiesi matricos pedsako savybemis (1 priedas, (8..4)), pertvarkykime rei²kini po eksponentes ºenklu (1..1) lygybeje: n n (X i µ) T Σ 1 (X i µ) = T r{ (X i µ) T Σ 1 (X i µ)} = Kadangi T r{σ 1 n (X i µ)(x i µ) T }. n n (X i µ)(x i µ) T = (X i X)(X i X) T + n( X µ)( X µ) T tai = S + n( X µ)( X µ) T, n (X i µ) T Σ 1 (X i µ) = T r{σ 1 (S + n( X µ)( X µ) T )} = T r{σ 1 S}+nT r{σ 1 ( X µ)( X µ) T } = T r{σ 1 S}+n( X µ) T Σ 1 ( X µ). Ira² i (1..1), gauname L = (π) nk/ Σ n/ exp{ 1 T r{σ 1 S}} exp{ n ( X µ) T Σ 1 ( X µ)}. (1..5)

1 1 SKYRIUS. PARAMETRU IVERTINIAI IR JU SAVYB ES Paskutinis daugiklis igyja maksimali reik²m, lygi 1, kai vietoje µ ira²ome ivertini ˆµ = X. Pirmasis daugiklis priklauso tik nuo matricos Σ. Irodysime, kad Σ n/ exp{ 1 T r{σ 1 S}} n nk/ S n/ exp{ nk }. (1..6) Jeigu Σ > 0 ir n > k tai matrica S teigiamai apibreºta su tikimybe 1 (ºr. 1.6 pratim ). Tada egzistuoja tokia simetri²ka teigiamai apibreºta matrica S 1/, kad S 1/ S 1/ = S, S 1/ S 1/ = S 1, S 1/ S 1/ = I (1 priedas (8..10)). Remiantis 1 priedo (8..4) charakteringoji lygtis Σ 1 λs 1 = 0 S 1/ Σ 1 S 1/ λi = 0 (1..7) turi k teigiamu ²aknu λ 1,..., λ k > 0, ir S 1/ Σ 1 S 1/ = Σ 1 S = S k Σ = λ j, (1..8) T r{σ 1 S} = T r{s 1/ Σ 1 S 1/ } = Istat (1..8) ir (1..9) i (1..6), gauname Σ n/ exp{ 1 T r{σ 1 S}} = S n/ j=1 k λ j. (1..9) j=1 k (λ n/ j=1 j exp{ λ j /}). Kai x neneigiamas, funkcija f(x) = x n/ exp{ x/} igyja maksimali reik²m ta²ke x = n. I² ia gauname (1..6). o Kadangi (X i1,..., X in ) T yra paprastoji atsitiktine imtis a. d. X i N(µ i, σ ii ), S ii = n (X ij X i ), j=1 tai remiantis vienma io normaliojo skirstinio teorija E(S ii ) = (n 1)σ ii. Taigi DT ivertinys ˆσ ii yra paslinktasis. Nepaslinktasis dispersijos σ ii ivertinys yra n n 1 ˆσ ii = 1 n 1 S ii. (1..10) Nagrinekime sumas X ij +X i j, j = 1,..., n. Tada (X i1 +X i 1,..., X in +X i n) T yra paprastoji imtis vienma io normaliojo a. d. X i + X i N(µ i + µ i, σ ), σ = σ ii + σ i i + σ ii. Nepaslinktas dispersijos σ ivertinys yra ˆσ = 1 n 1 n (X ij + X i j X i X i ) = 1 n 1 (S ii + S i i + S ii ). j=1

1.3. Parametru ivertiniu skirstiniai 13 Kadangi S ii /(n 1) ir S i i /(n 1) yra nepaslinktieji parametru σ ii ir σ i i ivertiniai, tai S ii /(n 1) yra nepaslinktasis parametro σ ii ivertinys. Taigi kovariacines matricos Σ nepaslinktasis ivertinys yra n n 1 ˆΣ = 1 S. (1..11) n 1 1..1 pastaba. Tiketinumo funkcija (1..1) priklauso k(k + 3)/ parametrinei eksponetiniu skirstiniu ²eimai, kuriai statistika ( X, S) yra pilnoji ir pakankamoji (ºr. 1 dalies 4.66 pratim ). Todel statistikos ( X, S) funkcija yra jos vidurkio NMD ivertinys. Taigi vektoriaus X ir matricos S/(n 1) elementai yra vektoriaus µ koordina iu ir matricos Σ elementu NMD ivertiniai. 1..1 pavyzdys. Lenteleje pateiktos 30 Paneveºio gamykloje Ekranas pagamintu kineskopu triju spinduliu sroves stiprumo X 1, X, X 3 reik²mes, pamatuotos technologines operacijos II testeriu karusele metu. 1..1 lentele. Statistiniai duomenys i X 1i X i X 3i i X 1i X i X 3i i X 1i X i X 3i 1 6,3 6,4 6,3 11 6,6 6,5 6,5 1 6, 6, 6,1 6,4 6,3 6,3 1 6,4 6,5 6,3 6,4 6,3 6,4 3 6,4 6,3 6,4 13 6,4 6,3 6,4 3 6, 6,1 6, 4 6,3 6, 6, 14 6, 6, 6,3 4 6, 6, 6,3 5 6,3 6, 6,3 15 6,3 6, 6,4 5 6, 6,1 6,3 6 6,4 6,4 6,3 16 6, 6,1 6,3 6 6,1 6,3 6,1 7 6,3 6, 6,3 17 6,3 6, 6,3 7 6,3 6,3 6,3 8 6, 6, 6,4 18 6, 6, 6,3 8 6,3 6, 6,4 9 6, 6, 6,3 19 6,1 6,0 6,4 9 6, 6, 6, 10 6,4 6, 6,3 0 6, 6, 6, 30 6, 6,1 6, Tardami, kad buvo stebetas trimatis normalusis vektorius X = (X 1, X, X 3 ) T N 3 (µ, Σ), rasime parametru µ ir Σ ivertiniu realizacijas (iver ius). Randame ˆµ = X = 1 n X i = 1 6, 3 6, 4 +... + 6, 6, 1 n 30 = 6, 3 6, 6, 8 6, 4 6, 30 Apskai iuojame matricos S realizacij n S = X i X T i n X X T = 6, 3 6, 4 (6, 3; 6, 4; 6, 3) +... + 6, 6, 1 (6, ; 6, 1; 6, ) 6, 3 6, 6, 8 0, 348 0, 64 0, 160 30 6, 4 (6, 8; 6, 4; 6, 30) = 0, 64 0, 39 0, 070. 6, 30 0, 160 0, 070 0, 40 Kovariacines matricos Σ didºiausiojo tiketinumo ivertis yra S/30, o nepaslinktasis ivertis S/9. 1.3. Parametru ivertiniu skirstiniai Stebint vienmati normaluji a. d. empirinis vidurkis taip pat turi normaluji skirstini ir nepriklauso nuo empirines dispersijos. Analogi²kas rezultatas yra teisingas ir kai stebimas daugiamatis normalusis vektorius..

14 1 SKYRIUS. PARAMETRU IVERTINIAI IR JU SAVYB ES 1.3.1 teorema. Jeigu paprastoji atsitiktine imtis X 1,..., X n gauta stebint normaluji a. v. X N k (µ, Σ), Σ > 0, n > k, tai X = 1 n n j=1 X j N k (µ, 1 Σ), (1.3.1) n n( X µ) T Σ 1 ( X µ) χ (k). (1.3.) Empirinis vidurkis X nepriklauso nuo statistikos S, kuri yra pasiskirs iusi kaip matrica n 1 Z i Z T i, (1.3.3) ia Z 1,..., Z n 1 yra vienodai pasiskirst nepriklausomi a. v., Z i N k (0, Σ). Irodymas. Savybes (1.3.1) ir (1.3.) tiesiogiai plaukia i² daugiama io normaliojo skirstinio savybiu (3 priedas (10.0.7), (10.0.4)). Kad irodytume (1.3.3), atlikime vektoriu X 1,..., X n tiesin transformacij naudodami ortogonali matric C = [c ij ] n n, CC T = I: Z j = c j1 X 1 +... + c jn X n, j = 1,..., n. (1.3.4) Tegu matricos C paskutinioji eilute yra (1/ n,..., 1/ n). Tada i² ortogonalumo s lygos gaunama, kad kitu eilu iu elementu sumos yra lygios nuliui: n c ji = 0, j = 1,,..., n 1. Naujai gautu vektoriu vidurkiai E(Z n ) = ne( X) = nµ, E(Z j ) = Randame kovariacijas n c ji µ = 0, j = 1,..., n 1. (1.3.5) n n Cov (Z j, Z j ) = E{[ c ji (X i µ)][ c j l(x l µ)] T } = l=1 n c ji c j le[(x i µ)(x l µ) T ] = i,l=1 n c ji c j iσ, nes vektoriai X i ir X l nekoreliuoti, kai i l. Remdamiesi matricos C ortogonalumu, gauname V (Z j ) = Σ, Cov (Z j, Z j ) = 0, j j. (1.3.6) Naujai gauti vektoriai Z 1,..., Z n turi vidurkius (1.3.5), tokias pat kovariacijas Σ kaip ir vektoriai X 1,..., X n, yra nepriklausomi ir normalieji.

1.4. I²vados del vidurkiu vektoriaus, kai kovariacine matrica ºinoma 15 Kadangi transformacija ortogonalioji, tai n n n n Z i Z T i = [ c ij X i ][ c il X i ] T j=1 l=1 Gauname n n n = [ c ij c il ]X i X T i = X i X T i. j,l=1 S = n X i X T i n X X T = n n 1 Z i Z T i Z n Z T n = Z i Z T i. (1.3.7) Taigi S i²rai²koje yra tik vektoriai Z 1,..., Z n 1, kurie nepriklauso nuo Z n = n X. Todel X ir S yra nepriklausomi. Gauta i²rai²ka (1.3.7) sutampa su (1.3.3). Matricos (1.3.3) elementu skirstinys vadinamas centriniu Vi²arto skirstiniu su n 1 laisves laipsniu. Detaliau ºr. 1.5 skyreli. 1.4. I²vados del vidurkiu vektoriaus, kai kovariacine matrica ºinoma 1.4.1. Vidurkiu vektoriaus pasikliovimo sritys Kai skirstinys vienmatis normalusis N(µ, σ ), darydami sprendimus apie vidurki µ naudojome s ry²i n( X µ)/σ N(0, 1). Kai skirstinys daugiamatis normalusis, vietoje ²io s ry²io naudojame (1.3.). Tegu χ α(k) yra χ skirstinio su k laisves laipsniu lygmens α kritine reik²me. Apibreºkime k-mates erdves poaibi C( X) = {µ : n( X µ) T Σ 1 ( X µ) χ α(k)}. Tada C( X) yra vidurkiu vektoriaus µ pasikliovimo sritis, kai pasikliovimo lygmuo Q = 1 α: P{µ C( X) µ} = Q = 1 α. (1.4.1) Matome, kad ²i sritis yra elipsoidas pavidalo turintis centr X. 1.4.. Vidurkiu vektoriaus koordina iu pasikliovimo intervalu rinkiniai Vietoje pasikliovimo srities (1.4.1) kartais pageidautina tureti pasikliovimo intervalu rinkini, kuris uºdengtu visus dominan ius parametrus µ 1,..., µ k su tikimybe, ne maºesne uº Q.

16 1 SKYRIUS. PARAMETRU IVERTINIAI IR JU SAVYB ES Naudojantis pasikliovimo sritimi (1.4.1) galima sudaryti i² karto visu tiesiniu funkciju c T µ, c R k pasikliovimo intervalus. Paºymekime L aib, kuri gaunama imant tiesines vektoriaus µ funkcijas: L = {c T µ : c R k }. 1.4.1 teorema. Tarkime, kad Σ = [σ ij ] k k > 0. Tada su tikimybe Q = 1 α i² karto visoms funkcijoms c T µ L galioja nelygybes c T X c T Σcχ α(k)/n c T µ c T X + c T Σcχ α(k)/n. (1.4.) Nelygybes (1.4.) galima traktuoti kaip pasikliovimo intervalus, sudarytus i² karto visoms tiesinems funkcijoms c T µ L. Jeigu imsime vien atskir funkcij c T µ (arba kelet tokio tipo funkciju), tai intervalu pasikliovimo lygmuo ne maºesnis uº Q. Irodymas. Pagal Ko²i ir varco nelygyb (1 priedas (8.1.9.) bet kuriems vienodos dimensijos vektoriams U ir V galioja s ry²iai (U T V ) (U T U)(V T V ), V T V = sup U (U T V ) U T U. Kadangi Σ teigiamai apibreºta simetri²ka matrica, tai pagal (1 priedas (8..10)) egzistuoja teigiamai apibreºta kvadratine matrica B, kad Σ = BB T. Pritaik Ko²i varco nelygyb vektoriams BU ir (B 1 ) T V gausime V T Σ 1 V (U T V ) U T ΣU, V T Σ 1 V = sup U Supremumas pasiekiamas imant U = Σ 1 V. Imdami V = ˆµ µ ir U = c i² (1.4.1) gauname P{( X µ) T Σ 1 ( X µ) χ α(k)/n µ} (U T V ) U T ΣU. c T ( X µ) = P{sup χ α(k)/n µ} c ct Σc = P{c T X c T Σcχ α(k)/n c T µ c T X+ c T Σcχ α(k)/n, c R k µ} = Q. Ai²ku, kad atskirai funkcijai c T µ (arba keletui tokiu funkciju) pasikliovimo lygmuo yra ne maºesnis uº Q. Imdami paeiliui c 1 = (1, 0,..., 0) T, c = (0, 1,..., 0) T,..., c k = (0, 0,..., 1) T pagal (1.4.) gauname parametru µ 1,..., µ m pasikliovimo intervalu sistem (µ i, µ i) : µ i = X i σ ii χ α(k)/n, µ i = X i + σ ii χ α(k)/n, kuriai P{µ i < µ i < µ i, i = 1,..., k} Q = 1 α, (1.4.3)

1.4. I²vados del vidurkiu vektoriaus, kai kovariacine matrica ºinoma 17 Tikimybe, kad visi intervalai (1.4.3) uºdengs tikr sias parametru µ i reik²mes, gali bu ti kur kas didesne uº Q = 1 α, nes vietoje visu vektoriu c R k imame tik k vektoriu c 1,..., c k. Jeigu sukonstruotume pasikliovimo intervalus kiekvienai koordinatei µ i remdamiesi vienmate normaliojo skirstinio teorija: µ i = X i z α/ σii /n, µ i = X i + z α/ σii /n, i = 1,..., k, (1.4.4) tai toks intervalu rinkinys nebus ie²komasis, nes tikimybe, kad visi intervalai (1.4.4) uºdengs tikr sias visu parametru reik²mes, gali bu ti gerokai maºesne uº Q = 1 α. Pavyzdºiui, jeigu ivertiniai Xi, i = 1,..., k, yra nepriklausomi, tai intervalai (1.4.4) uºdengia visas parametru reik²mes su tikimybe Q k. Taigi intervalai (1.4.4) yra trumpesni negu reiketu. Tikimybe, kad visi intervalai (1.4.3) uºdengs tikr sias parametru reik²mes, gali bu ti daug didesne uº Q = 1 α, t. y. intervalai (1.4.3) yra ilgesni negu reiketu. Kitoki negu (1.4.3) intervalu rinkinio variant galima gauti naudojant Bonferonio nelygyb. Tegu A i yra ivykis, kuris rei²kia, kad i-asis tipo (1.4.4) intervalas uºdengia parametr µ i ir tegu P{A i } = 1 α i. Tada 1 P{ k A i } = 1 P{ k Āi} k P{Āi} = 1 (α 1 +... + α k ). Jeigu parinksime α i = α/k, i = 1,..., k, tai intervalu rinkinys µ i = X i z α/(k) σii /n, µ i = X i + z α/(k) σii /n, i = 1,..., k, (1.4.5) uºdengs visus parametrus µ 1,..., µ k su tikimybe, ne maºesne uº Q = 1 α. 1.4.1 pavyzdys. (1..1 pavyzdºio t sinys). Del iliustracijos laikinai tarkime, kad 1..1 pavyzdyje kovariacine matrica Σ yra ºinoma ir sutampa su gautu nepaslinktuoju iver iu S/9. Kai ²i prielaida teisinga, sudarysime vidurkiu vektoriaus µ pasikliovimo sriti ir vidurkiu vektoriaus koordina iu pasikliovimo intervalu rinkinius, kai pasikliovimo lygmuo Q = 0, 95. Pasikliovimo sritis (1.4.1) turi toki pavidal : Apskai iav C( X) = {µ : 870( X µ) T S 1 ( X µ) χ 0,05(3)}. S 1 = 10, 587 7, 155 4, 971 7, 155 7, 945, 453 4, 971, 453 6, 765 ir paºymej Z = (Z 1 ; Z ; Z 3 ) T = µ X = (µ 1 6, 8; µ 6, 4; µ 3 6.30) T, gausime tokio pavidalo pasikliovimo elipsoid C( X): 10, 587Z 1 + 7, 945Z + 6, 765Z 3 14, 310Z 1Z 9, 94Z 1 Z 3 + 4, 906Z Z 3 0, 009. Antrame ir tre iame 1.4.1 lenteles stulpeliuose yra pateikti pasikliovimo intervalu rinkiniai (1.4.3) ir (1.4.5). Palyginti ketvirtame stulpelyje pateikiami pasikliovimo intervalai (1.4.4), kiekvienai vidurkio koordinatei.

18 1 SKYRIUS. PARAMETRU IVERTINIAI IR JU SAVYB ES 1.4.1 lentele. Pasikliovimo intervalai i (µ i ; µ i ) (µ i ; µ i ) (µ i ; µ i ) 1 (6,4; 6,336) (6,3; 6,38) (6,41; 6,319) (6,181; 6,99) (6,189; 6,91) (6,198; 6,8) 3 (6,54; 6,346) (6,60; 6,340) (6,67; 6,333) Matome, kad pasikliovimo intervalai sudaryti remiantis Bonferonio nelygybe, yra apytiksliai 1,16 karto trumpesni uº tuos, kurie sudaryti remiantis pasikliovimo sritimi (1.4.1). 1.4.3. Hipoteziu del vidurkiu vektoriaus reik²mes tikrinimas Tarkime, reikia patikrinti hipotez H : µ = µ 0, kai alternatyva H : µ µ 0 ; ia µ 0 ºinomas vektorius. Ira²ykime i s ry²io (1.3.) de²ini j pus hipotetin reik²m µ 0. Gautoji statistika U = n( X µ 0 ) T Σ 1 ( X µ 0 ) (1.4.6) turi centrini χ skirstini su k laisves laipsniu, jeigu tikrinama hipoteze H yra teisinga. Kai hipoteze H neteisinga, statistikos U skirstinys yra necentrinis χ skirstinys, turintis k laisves laipsniu ir necentri²kumo parametr (3 priedas, (10.0.8)) λ = n(µ µ 0 ) T Σ 1 (µ µ 0 ). Taigi hipoteze atmetama reik²mingumo lygmens α kriterijumi, kai teisinga nelygybe U = n( X µ 0 ) T Σ 1 ( X µ 0 ) > χ α(k). (1.4.7) Kriterijaus galia i²rei²kiama necentrinio χ skirstinio pasiskirstymo funkcija β(µ) = P{n( X µ 0 ) T Σ 1 ( X µ 0 ) > χ α(k) µ} = = P{χ k;λ > χ α(k)}. (1.4.8) 1.4. pavyzdys. Del iliustracijos kaip ir 1.4.1 pavyzdyje tarkime, kad 1..1 pavyzdyje kovariacine matrica Σ yra ºinoma ir sutampa su gautu nepaslinktuoju iver iu S/9. Kai ²i prielaida teisinga tikrinsime hipotez, kad vidurkiu vektorius µ lygus ksuotam vektoriui µ 0 = (6, 5; 6, 5; 6, 5) T. Randame statistikos (1.4.6) reik²m U = 870( X µ 0 ) T S 1 ( X µ 0 ) = 1, 31. Kadangi P reik²me pv = P{χ 3 > 1, 31} = 0, 0064, tai hipoteze atmetama kriterijumi, kurio reik²mingumo lygmuo vir²ija 0,0064. is skyrelis yra labiau iliustracinis, nes prakti²kai, retai susiduriame su situacijomis, kai kovariacine matrica bu na ºinoma. Kai dispersija neºinoma, vienma iu atveju naudojame s ry²i n( X µ)/s S(n 1), t. y. neºinom dispersij pakei iame jos ivertiniu. Analogi²kai daroma ir daugiama iu atveju, pakei iant s ry²yje (1.3.) neºinom kovariacin matric Σ jos nepaslinktuoju ivertiniu. Norint sudaryti kriterijus ar pasikliovimo sritis, reikia i²tirti gauto a. d. skirstinio savybes.

1.5. Vi²arto skirstinio apibreºimas 19 1.5. Vi²arto skirstinio apibreºimas Vi²arto skirstini apibre²ime ²iek tiek bendresniu atveju. Tegu X 1, X,..., X n yra nepriklausomi normalieji vektoriai X i N k (µ i, Σ) su vienodomis kovariacinemis matricomis Σ ir galbu t skirtingais vidurkiu vektoriais µ 1,..., µ n. Vektoriaus X i koordinates paºymej, X 1i, X i,..., X ki sura²ykime jas i matric X 1 X... X n Y T 1 Y T 1 X 11 X 1 X 1n Y T X 1 X X n = X T....... Y T k X k1 X k X kn Y T L T X 1 L T X L T X n = L T X T kuri papildyta eilute Y T = (L T X 1,..., L T X n ). Vektoriaus Y koordinates yra tiesines vektoriu X 1,..., X n funkcijos; ia L = (L 1,..., L k ) T R k yra ksuotas vektorius. Kadangi X 1,..., X n nepriklausomi, tai nepriklausomos ir vektoriaus Y koordinates, jos turi normaliuosius skirstinius su parametrais ( priedas, (9.3.6)) L T X i N(L T µ i, σ L), σ L = V (L T X i ) = L T ΣL, i = 1,..., n. (1.5.1) Vektoriu Y galima uºra²yti ir taip 1.5.1 apibreºimas. Matricos S = Y = L 1 Y 1 +... + L k Y k = X L. (1.5.) n X i X T i = X T X = [S ij ] k k = [Y T i Y j ] k k (1.5.3) elementu bendras daugiamatis skirstinys vadinamas Vi²arto skirstiniu su n laisves laipsniu. šymesime S W k (n, Σ; M). Kadangi matrica S simetrine, t. y. S ij = S ji, tai skirstinio dimensija yra k(k + 1)/. Skirstinys priklauso nuo kovariacines matricos Σ ir matricos M = [µ ji ] n k, kurios eilutese sura²yti a. v. X j vidurkiai µ j = (µ 1j,..., µ kj ) T. Jeigu M = 0, tai skirstinys vadinamas centriniu Vi²arto skirstiniu su n laisves laipsniu. Sutrumpintai ºymesime S W k (n, Σ). Jeigu k = 1, tai matrica S susideda i² vieno elemento S 11 = Y T 1 Y 1 = n X1j, (1.5.4) kuris yra kvadratu suma nepriklausomu normaliuju a. d. su vienodomis dispersijomis σ 11. Tada S 11 /σ 11 χ (k; λ) turi necentrini χ skirstini su k j=1

0 1 SKYRIUS. PARAMETRU IVERTINIAI IR JU SAVYB ES laisves laipsniu ir necentri²kumo parametru λ = µ 11 +... + µ 1n. Jeigu vidurkiai E(X 1j ) = µ 1j = 0, j = 1,..., n, tai necentri²kumo parametras λ = 0 ir S 11 /σ 11 skirstinys yra χ (k), t. y. centrinis χ skirstinys su k laisves laipsniu. Taigi Vi²arto skirstinys yra χ skirstinio apibendrinimas i daugiamati atveji. Vienma iu atveju greta kvadratu sumos (1.5.4) buvo nagrinejamos ir kvadratines formos Y T 1 AY 1, kurios turi χ skirstini, kai matrica A yra idempotentine (ºr. 3 pried, 8 savybe). Daugiama iu atveju kvadratu sumos Y T 1 Y 1 analogas yra X T X, o kvadratines formos analogas matrica X T AX, kuri tam tikromis s lygomis taip pat turi Vi²arto skirstini. 1.5.1 teorema. Tegu X i N k (µ i, Σ), i = 1,..., n, yra nepriklausomi a. v., o X, Y i, Y apibreºti ²iame skyrelyje. Bu tina ir pakankama s lyga, kad X T AX turetu Vi²arto skirstini su r laisves laipsniu, yra ta, kad a. d. Y T AY /σl turetu χ skirstini su r laisves laipsniu su bet kuriuo ksuotu L R k ; ia r = Rang(A) = T r(a). Be to, X T AX skirstinys centrinis tada ir tik tada, kai Y T AY /σ L yra centrinis χ skirstinys. Irodymas. Bu tinumas. Tegu S W k (r, Σ, M), o L R k ksuotas vektorius. Pagal Vi²arto skirstinio apibreºim S = r Z iz T i ; ia Z 1,..., Z r yra n. a. v. ir Z i N k (µ i, Σ), i = 1,..., r. Padaugin i² L T ir L gauname L T SL = r (L T Z i )(Z T i L) = r (L T Z i ) sum kvadratu normaliuju a. d. L T Z i N(L T µ i, σl ), su vienodomis dispersijomis σl = LT ΣL. Taigi L T SL/σ L χ (r; λ), λ = r (L T µ i ) /σl. Jeigu Vi²arto skirstinys centrinis, tai µ i = 0, i = 1,..., r, ir necentri²kumo parametras λ = 0. Tada L T SL/σ L χ (r) ir χ skirstinys yra centrinis. Pakankamumas. Tegu Y T AY σl χ r;λ. Tada i² kvadratiniu formu savybiu (ºr. 3 pried, 9 savybe) plaukia, kad A yra rango r idempotentine matrica. Taigi egzistuoja r ortonormuotu vektoriu B 1,..., B r, B T i B i = 1, B T i B j = 0, i j, kad galioja spektrinis skaidinys (1 priedas, (8..14)) Tada A = B 1 B T 1 +... + B r B T r. (1.5.5) X T AX = X T B 1 B T 1 X +... + X T B r B T r X = U 1 U T 1 +... + U r U T r ; ia U i = X T B i, i = 1,..., r. Vektoriai B i ortonormuoti, todel vektoriai U 1,..., U r nepriklausomi normalieji su kovariacine matrica Σ (ºr. 1.3.1 teoremos irodym ). Pagal Vi²arto skirstinio apibreºim X T AX W k (r, Σ, M).

1.6. Vi²arto skirstinio savybes 1 Kadangi Y N r (ML, σl I), tai necentri²kumo parametras λ = E(Y T )AE(Y )/σ L = L T M T AML/(L T ΣL). Jeigu necentri²kumo parametras λ = 0 bet kuriam vektoriui L R k, tai M T AM = 0. Ta iau i² (1.5.5) turime r M T AM = (M T B i )(M T B i ) = 0 M T B i = 0, i = 1,..., r. Taigi E(U i ) = M T B i = 0 ir X T AX W k (r, Σ) yra centrinis Vi²arto skirstinys. Naudojantis pateiktu Vi²arto ir χ skirstinio s ry²iu galima gauti daug svarbiu Vi²arto skirstinio savybiu remiantis χ skirstinio savybemis. Analogi²kas principas buvo naudojamas tiriant daugiama io normaliojo skirstinio savybes. 1.6. Vi²arto skirstinio savybes 1 savybe. Matricos X T A 1 X W k (r, Σ) ir X T A X W k (r, Σ) yra nepriklausomos tada ir tik tada, kai Y T A 1 Y /σl ir Y T A Y /σl turi nepriklausomus χ skirstinius su bet kuriuo ksuotu L R k. Vektorius X T B ir matrica X T AX yra nepriklausomi ir turi k-mati normaluji ir Vi²arto skirstinius, jeigu Y T B ir Y T AY /σl yra nepriklausomi ir turi vienmati normaluji ir χ skirstinius. Irodymas. Analogi²kas 1.5.1 teoremai. savybe. Tegu X 1,..., X n nepriklausomi vienodai pasiskirst pagal N k (µ, Σ) atsitiktiniai vektoriai. Apibreºkime X = 1 n n X i, S = X i X T i n X X T. n Tada X ir S yra nepriklausomi. Be to X N(µ, 1 n Σ), S W k(n 1, Σ). (1.6.1) Irodymas. Fiksuotam vektoriui L R k nagrinekime nepriklausomus vienodai pasiskirs iusius a. d. L T X 1,..., L T X n, L T X i N(L T µ, σl ), σ L = L T ΣL. I² vienmates teorijos gauname, kad aritmetinis vidurkis 1 n L T X i = L T X N(L T µ, 1 n n LT ΣL) (1.6.) nepriklauso nuo nuokrypiu kvadratu sumos n n (L T X i ) n(l T X) = L T ( X i X T i n X X T )L = L T SL σlχ n 1. (1.6.3)

1 SKYRIUS. PARAMETRU IVERTINIAI IR JU SAVYB ES I² daugiama io normaliojo skirstinio apibreºimo (3 priedas, 3P.1 apibreºimas) i²plaukia, kad X N k (µ, Σ/n), o pagal 1.5.1 teorem S W k (n 1, Σ). Pagal 1 savyb X ir S yra nepriklausomi. Reikia paºymeti, kad ²ie faktai buvo irodyti 1.3.1 teoremoje. 3 savybe. Tegu S 1 W k (n 1, Σ) ir S W k (n, Σ) yra nepriklausomi. Tada S 1 + S W k (n 1 + n, Σ). (1.6.4) Irodymas. Pagal Vi²arto skirstinio apibreºim galima uºra²yti n 1 S 1 = X i X T i, S = n 1+n i=n 1+1 X i X T i ; ia X 1, X,..., X n1+n nepriklausomi vienodai pasiskirst normalieji N k (0, Σ) atsitiktiniai vektoriai. Tada S 1 + S = n 1+n X i X T i W k (n 1 + n, Σ). 4 savybe. Tegu S W k (n, Σ) ir B = [b ij ] r k matrica. Tada BSB T W r (n, BΣB T ). Irodymas. Pagal Vi²arto skirstinio apibreºim S = n X i X T i ; ia X 1,..., X n nepriklausomi vienodai pasiskirst normalieji N k (0, Σ) atsitiktiniai vektoriai. Tada BSB T = B( n X i X T i )B T = n (BX i )(BX i ) T Kadangi BX i N r (0, BΣB T ), i = 1,..., n, tai remiantis Vi²arto skirstinio apibreºimu BSB T W r (n, BΣB T ). 5 savybe. Tegu egzistuoja matrica Σ 1 = [σ ij ] k k atvirk²tine matricai Σ = [σ ij ] k k ir matrica S 1 = [S ij ] k k atvirk²tine matricai S = [S ij ] k k. Jeigu S W k (n, Σ), tai a) santykis σ kk S kk χ (n k + 1); (1.6.5) ir nepriklauso nuo a. d. S ij, i, j = 1,..., k 1;

1.6. Vi²arto skirstinio savybes 3 b) su bet kuriuo ksuotu L R k santykis L T Σ 1 L L T S 1 L χ (n k + 1). (1.6.6) Irodymas. Tegu S = n X ix T i ; ia X 1,..., X n nepriklausomi vienodai pasiskirst normalieji N k (0, Σ) atsitiktiniai vektoriai. Fiksuokime a. v. X i koordinates X 1i, X i,..., X k 1,i. Tada s lyginis a. d. X ki skirstinys, kai kitos koordinates ksuotos, yra (ºr. 3 pried, 11 savybe) normalusis N(β 1 X 1i +... + β k 1 X k 1,i, 1/σ kk ), i = 1,..., n. Maºiausiuju kvadratu metodu ivertin neºinomus parametrus β 1,..., β k 1, gauname liekam j kvadratu sum SS E = i (X ki ˆβ 1 X 1i... ˆβ k 1 X k 1,i ), kuri pasiskirs iusi kaip a. d. χ k r /σkk ; ia r yra matricos A = [X ij ] (k 1) n rangas. Kvadratu sumos SS E skirstinys yra s lyginis, kai ksuotos X ij, i = 1,..., k 1, j = 1,..., n reik²mes. Ta iau kadangi ²is skirstinys nepriklauso nuo ksuotuju reik²miu, tai ji galima interpretuoti kaip bes lygini, t. y. SS E nepriklauso nuo S ij, i, j = 1,..., k 1. Jeigu n > k 1, tai matricos [X ij ] (k 1) n rangas su tikimybe 1 lygus k 1. I² maºiausiuju kvadratu teorijos turime, kad SS E = 1/S kk. Taigi tvirtinimas a) irodytas. Kad irodytume tvirtinim b), nagrinekime transformacij BSB T ; ia B ortogonali matrica BB T = I. Parinkime matricos B paskutin eilut, proporcing vektoriui L T. Pagal 4 savyb BSB T W k (n, BΣB T ). Be to (BSB T ) 1 = BS 1 B T, (BΣB T ) 1 = BΣ 1 B T. Matricos BS 1 B T paskutinis diagonalinis elementas proporcingas L T S 1 L, o matricos BΣ 1 B T proporcingas L T Σ 1 L su tuo pa iu proporcingumo koecientu. Pritaik tvirtinim a) gauname, kad L T Σ 1 L L T S 1 L χ (n k + 1). 6 savybe. Tegu S W k (n, Σ). Suskaidykime matric S i blokus ( ) S11 S S = 1, S 1 S ia S 11, S 1, S yra eiles r r, r s, s s, matricos, r + s = k, S 1 = S T 1. Tada S S 1 S 1 11 S 1 W s (n r, Σ Σ 1 Σ 1 11 Σ 1); (1.6.7) ia Σ ij atitinkami matricos Σ blokai.

4 1 SKYRIUS. PARAMETRU IVERTINIAI IR JU SAVYB ES Irodymas. Matric S galima uºra²yti taip: n S = X i X T i, X i N k (0, Σ). Tegu X T i = (X T 1i.X T i) yra vektoriaus X i atitinkamas suskaidymas i dimensijos r ir s vektorius X 1i ir X i. Nagrinekime r + 1-ma ius vektorius (X T 1i.L T X i ), i = 1,..., n, kai L R s yra ksuotas vektorius. iu vektoriu Vi²arto matrica yra ( ) S11 S S L = 1 L L T S 1 L T. S L Remdamiesi 5 savybes a) rezultatu gauname Kaireje puseje esantis rei²kinys yra S L S 11 cχ n r. L T S L L T S 1 S 1 11 S 1L = L T (S S 1 S 1 11 S 1)L. Analogi²kai gauname, kad proporcingumo koecientas c = L T (Σ Σ 1 Σ 1 11 Σ 1)L. Remdamiesi 1.5.1 teorema gauname (1.6.7). 7 savybe. Tegu S W k (n, Σ), n > k ir Σ > 0. Tada determinantu santykis S / Σ pasiskirst s kaip nepriklausomu χ atsitiktiniu dydºiu su n k + 1, n k +,..., n 1, n laisves laipsniu sandauga. Irodymas. Paºymekime S r determinant [S ij ] r r, kai i, j = 1,..., r. Tada yra teisingas destinys ( ) ( ) ( ) S Σ = S k Σ k 1 S k 1 Σ k S 1. (1.6.8) S k 1 Σ k S k Σ k 1 Σ 1 Daugikliai remiantis 5 savybes teiginiu a) yra nepriklausomi a. d., turintys χ skirstinius su nurodytais laisves laipsniu skai iais. 1.6.1 apibreºimas. Tegu S W k (n, Σ) ir Y N(µ, Σ/c) yra nepriklausomi. Hotelingo T statistika apibreºiama taip: 8 savybe. Santykis T = cny T S 1 Y. (1.6.9) n k + 1 T F (k, n k + 1; δ) (1.6.10) k n

1.6. Vi²arto skirstinio savybes 5 turi necentrini Fi²erio skirstini su k ir n k +1 laisves laipsniu ir necentri²kumo parametru δ = cµ T Σ 1 µ. Jeigu µ = 0, tai δ = 0 ir n k + 1 T F (k, n k + 1). (1.6.11) k n Irodymas. Uºra²ykime T dvieju daugikliu sandauga T = Y T S 1 Y Y T Σ 1 Y (cny T Σ 1 Y ). Remiantis 5 savybes b) tvirtinimu su bet kuriuo ksuotu Y santykis Y T Σ 1 Y Y T S 1 Y χ (n k + 1) (1.6.1) turi χ skirstini su n k + 1 laisves laipsniu. Kadangi ²is skirstinys nepriklauso nuo ksuotosios Y reik²mes, tai (1.6.1) santykis nepriklauso nuo Y. Remiantis daugiama io normaliojo skirstinio savybemis (ºr. 3 priedas, 8 savybe) i² s lygos, kad Y N k (µ, Σ/c) i²plaukia, kad cy T Σ 1 Y χ (k; δ), δ = cµ T Σ 1 µ. Padalij T i² n, o skaitikli ir vardikli i² atitinkamu laisves laipsniu skai iu, gausime a. d., turinti necentrini Fi²erio skirstini (1.6.10). Jeigu vidurkiu vektorius µ = 0, tai δ = 0 ir skirstinys tampa centriniu (1.6.11). 9 savybe. Jeigu S W k (n, Σ), Σ > 0 ir n > k, tai Vi²arto skirstinio tankio funkcija yra ia normuojanti konstanta f(s k, n, Σ) = 1 n k 1 S e 1 T r(sσ 1) ; (1.6.13) K K = K(k, n, Σ) = nk/ π k(k 1)/4 Σ n/ k Γ((n + 1 i)/). Tankis sukoncentruotas k(k+1)/-mates erdves dalyje, kurioje matrica S teigiamai apibreºta. Irodymas. Taikysime indukcij pagal parametr k. Jeigu k = 1, tai S = S 11, yra suma kvadratu nepriklausomu normaliuju a. d. su vienodomis dispersijomis σ 11 (ºr. (1.5.4)). Taigi ir a. d. S 11 tankio funkcija S 11 σ 11 χ (n) f(s 11 1, n, σ 11 ) = 1 K S n 11 e 1 S 11 σ 11, (1.6.14) K = K(1, n, σ 11 ) = n/ σ n/ 11 Γ(n/), S 11 > 0,

6 1 SKYRIUS. PARAMETRU IVERTINIAI IR JU SAVYB ES sutampa su (1.6.13). Tegu k = ir pradºioje nagrinekime atveji, kai kovariacine matrica Σ = I yra vienetine. Turime paprast j imti Z 1, Z,..., Z n, kurios elementai Z i = (Z 1i, Z i ) T N (0, I), i = 1,..., n. Atitinkanti Vi²arto matrica S = ( ) ( S11 S 1 Y T = 1 Y 1 Y T 1 Y S 1 S Y T Y 1 Y T Y ia Y 1 = (Z 11,..., Z 1n ) T, Y = (Z 1,..., Z n ) T. Fiksuokime vektoriu Y 1 = (Z 11,..., Z 1n ) T. Tada a. d. S 1 = S 1 = Y T 1 Y skirstinys yra normalusis N(0, S 11 ), jo tankis S 1 ), g 1 (S 1 Y 1 ) = (π) 1/ S 1/ 11 exp{ 1 }. (1.6.15) S 11 Prognozuojant vektoriaus Z i antr j koordinat Z i pagal pirm j koordinat Z 1i, liekamoji kvadratu suma SS E = min β n (Z i βz 1i ) = S S 1 χ (n 1) S 11 turi χ skirstini ir nepriklauso nuo S 1. Todel a. v. (S 1, SS E ) T s lyginis tankis gaunamas sudauginant tanki (1.6.15) ir χ su n 1 laisves laipsniu tanki. Gauname g(s 1, SS E Y 1 ) = 1 SS (n 3)/ n/ E exp{ S πγ((n 1)/) S 1/ }. 11 Perej prie a. v. (S 1, S ) T, gauname jo s lygini tanki (pakeitimo jakobianas lygus 1): h(s 1, S Y 1 ) = 1 (S 11 S S1) (n 3)/ n/ exp{ S πγ(n 1)/ S (n )/ }. 11 Sudaugin ²i tanki su tankiu a. d. S 11 (formuleje (1.6.14) reikia imti σ 11 = 1), gauname bes lygini trima io a. v. (S 11, S 1, S ) T tanki 1 f(s 11, S 1, S, n, I) = n πγ((n 1)/)Γ(n/) S (n 3)/ exp{ S 11 + S }, (1.6.16) kuris sutampa su (1.6.13) tankiu, kai k = ir Σ = I. Pereiname prie bendro atvejo. Tegu S = n X ix T i, kai X 1,..., X n yra nepriklausomi normalieji a. v. X i N (0, Σ), o S = n Z iz T i, kai Z 1,..., Z n yra nepriklausomi normalieji a. v. Z i N (0, I). Parinkime trikamp matric C = [c ij ], c 1 = 0, kad CΣC T = I (1 priedas (8..11)). Matricos CSC T = (CX i i)(cx i ) T elementu skirstinys sutampa su matricos S

1.6. Vi²arto skirstinio savybes 7 elementu skirstiniu, nes CX i N (0, I). Taigi matricos S elementu skirstinys gaunamas atliekant transformacij S = CSC T. Kadangi 1 = CΣC T = C Σ C T = Σ CC T, tai Turime CC T = 1 Σ, C = 1 Σ. Σ = C 1 (C T ) 1 = (C T C) 1, T r(csc T ) = T r(sc T C) = T r(sσ 1 ). (1.6.17) Be to S = CSC T = C S C T = S CC T = S Σ. (1.6.18) Lieka rasti pakeitimo jakobian. Atlikta tokia transformacija Pakeitimo jakobianas D(S11, S1, S) D(S 11, S 1, S ) = S 11 = c 11S 11 + c 11 c 1 S 1 + c 1S, S 1 = c 11 c S 1 + c 1 c S, S = c S. c 11 c 11 c 1 c 1 0 c 11 c c 1 c 0 0 c = c 3 11c 3 = Σ 3/. Ira² i (1.6.16) i²rai²k (1.6.17), (1.6.18) ir padaugin i² jakobiano, gauname tanki (1.6.13) atveju k =. Tarkime, kad tankio i²rai²ka (1.6.13) yra teisinga su k 1. Irodysime, kad ji teisinga ir su k. Irodymas analogi²kas kaip ir atveju k =. Pradºioje nagrinejame atveji, kai kovariacine matrica Σ = I yra vienetine. Suskaidykime matric S i blokus ( ) S S(1) S =, S T (1) ia S = [S ij ] (k 1) (k 1) matrica, kurios elementu skirstinio tankis pagal indukcijos prielaid yra (1.6.13) pavidalo, kai vietoje k ira²yta k 1, o vietoje Σ vienetine matrica I; S (1) yra (k 1)-matis vektorius S (1) = (Y T 1 Y k, Y T Y k,..., Y T k 1Y k ) T = (S 1k, S k,..., S k 1,k ) T. Naudojame tuos pa ius ºymenis kaip ir 1.1 skyrelyje pakeit vektoriaus X i koordinates X 1i,..., X ki vektoriaus Z i koordinatemis Z 1i,..., Z ki. Fiksuokime vektorius Y 1,..., Y k 1. Tada vektoriaus S (1) skirstinys yra (k 1)-matis normalusis N k 1 (0, S), kurio tankis S kk (π) (k 1)/ S 1/ exp{ 1 ST (1) S 1 S (1) }. (1.6.19)

8 1 SKYRIUS. PARAMETRU IVERTINIAI IR JU SAVYB ES Prognozuojant vektoriaus Z i paskutini j koordinat Z ki pagal pirm sias Z 1i,..., Z k 1,i koordinates, liekamoji kvadratu suma SS E = min β n (Z ki β 1 Z 1i... β k 1 Z k 1,i ) = = S kk S T (1) S 1 S (1) χ (n k + 1) turi χ skirstini ir nepriklauso nuo a. v. S (1). Todel a. v. (S 1k, S k,..., S k 1,k, SS E ) T s lyginis tankis gaunamas sudauginant tanki (1.6.19) ir χ su n k+1 laisves laipsniu tankiu, kuriame argumentas yra SS E. Perej prie a. v. (S 1k, S k,..., S k 1,k, S kk ) T, gauname jo s lygini tanki (pakeitimo jakobianas lygus 1): (S kk S T (1) S 1 S (1) ) (n k 1)/ (n k+1)/ Γ((n k + 1)/)(π) (k 1)/ S 1/ exp{ 1 S kk}. (1.6.0) Galutinai matricos S elementu tanki gauname sudaugin bes lygini matricos S elementu tanki (1.6.13), kuriame vietoje Σ ira²yta vienetine matrica I, o vietoje k ira²yta k 1, ir tanki (1.6.0). Normuojanti konstanta K(k 1, n, I) (n k+1)/ Γ((n k + 1)/)(π) (k 1)/ = K(k, n, I); po eksponentes ºenklu lik s daugiklis nes 1 T r( S) 1 S kk = 1 T r(s); S (n k 1)/ (S kk S T (1) S 1 S (1) ) (n k 1)/ = S (n k 1)/, S = S (S kk S T (1) S 1 S (1) ). Gauname, kad matricos S elementu tankio pavidalas, kai kovariacine matrica Σ = I, yra 1 n k 1 f(s k, n, Σ) = S e 1 T r(s). (1.6.1) K(k, n, I) Pereiname prie bendro atvejo. Tegu S = n X ix T i, kai X 1,..., X n yra nepriklausomi normalieji a. v. X i N k (0, Σ), o S = n Z iz T i, kai Z 1,..., Z n yra nepriklausomi normalieji a. v. Z i N k (0, I). Parinkime trikamp matric C = [c ij ] k k, c ij = 0, i > j, kad CΣC T = I (1 priedas, (8..11)). Matricos CSC T = (CX i i)(cx i ) T elementu skirstinys sutampa su matricos S elementu skirstiniu, nes CX i N k (0, I). Taigi matricos S elementu skirstinys gaunamas atliekant transformacij S = CSC T.

1.7. Pratimai 9 tai Kadangi 1 = CΣC T = C Σ C T = Σ CC T, CC T = 1 Σ, C = 1 Σ. Turime Σ = C 1 (C T ) 1 = (C T C) 1, T r(csc T ) = T r(sc T C) = T r(sσ 1 ). (1.6.) Be to, S = CSC T = C S C T = S CC T = S Σ. (1.6.3) Lieka rasti pakeitimo jakobian. Atlikta tokia transformacija S ij = k,l c ik S kl c jl, i > j. Dalines i²vestines yra S ij S kk = c ik c jk, S ij S kl = c ik c ji + c il c jk, l k. (1.6.4) Sura²ykime skirtingus matricos S elementus i vien bendr vektoriu: (S 11, S 1,..., S 1k, S, S 3,..., S k,..., S kk ) T. Analogi²ka tvarka sura²ykime matricos S elementus. Kadangi matrica C trikampe, tai jakobiane visi elementai ºemiau pagrindines diagonales lygu s 0. Todel determinantui apskai iuoti pakanka sudauginti diagonalinius elementus. Remiantis (1.6.4) gauname, kad jakobiano diagonaliniai elementai yra tokie: c 11, c 11 c,..., c 11 c kk, c, c c 33,..., c c kk,..., c kk. Sudaugin ²iuos diagonalinius elementus gauname pakeitimo jakobian J = c k+1 11 ck+1 c k+1 kk = (c 11 c c kk ) k+1 = C k+1 = 1. (1.6.5) Σ (k+1)/ Ira² i (1.6.1) i²rai²kas (1.6.), (1.6.3) ir padaugin i² jakobiano (1.6.5), gauname tanki (1.6.13). 1.7. Pratimai 1.1. Tegu X 1,..., X n yra paprastoji imtis a. v. X N k (µ, Σ). Irodykite, kad X ir S yra pilnoji ir pakankamoji parametro (µ, Σ) statistika. 1.. Tegu X 1,..., X n yra nepriklausomi a. v. X j N k (µc j, Σ); ia c 1,..., c n ºinomos konstantos. Irodykite, kad X = (1/ j c j ) i c ix i N k (µ, (1/ j c j )Σ), o matrica j (X j Xc j )(X j Xc j ) T yra pasiskirs iusi taip pat kaip matrica n 1 j=1 Z jz T j ; ia Z 1,..., Z n 1 yra vienodai pasiskirst n. a. v. Z j N k (0, Σ).

30 1 SKYRIUS. PARAMETRU IVERTINIAI IR JU SAVYB ES 1.3. Tegu S W k (n, Σ), Σ = 0. Paºymekime Θ = [θ ij ] k k simetrin kvadratin matric. Irodykite, kad a. v. (S 11,..., S kk, S 1,..., S 1k,..., S k 1,k ) T charakteristine funkcija yra Σ 1 n/ ψ(θ) = E(exp{iT r(sθ)}) = Σ 1 iθ n/. 1.4. Tegu X 1,..., X n yra paprastoji imtis a. v. X N k (µ, Σ). Apibreºkime Hotelingo statistik T = n(n 1)( X µ) T S 1 ( X µ). a) Irodykite, kad T = n max L b) Remdamiesi a) rezultatu irodykite, kad [L T ( X µ)] L T. SL P{n[L T ( X µ)] < L T SL, L R k } = 1 α; ia = k(n 1)F α(k, n k)/(n k). c) Remdamiesi b) rezultatu irodykite, kad su bet kokia tiesine µ funkcija L T µ, L R k P{L T X L T SL /n < L T µ < L T X L T SL /n} 1 α. 1.5. Tegu S = [S ij ] k k W k (n, Σ). Irodykite, kad matrica S r = [S ij ] r r, r < k, turi Vi²arto skirstini S r W r(n, Σ r); ia Σ r = [σ ij ] r r. 1.6. Tarkime X = (X 1,..., X n) T yra paprastoji imtis a. v. X N k (µ, Σ), Σ > 0, n > k. Irodykite, kad matrica S = n (X i X)(X i X) T yra teigiamai apibreºta su tikimybe 1. 1.7. Raskite parametru µ = E(X) ir Σ = V (X) nepaslinktuosius ivertinius pagal pateikiamas vektoriaus X = (X 1, X ) T nepriklausomas realizacijas X 1i 34 1 33 44 89 59 50 88 X i 55 9 75 89 6 69 41 67 1.8. Raskite parametru µ = E(X) ir Σ = V (X) nepaslinktuosius ivertinius pagal pateikiamas vektoriaus X = (X 1, X, X 3, X 4 ) T nepriklausomas realizacijas; ia X 1 ir X yra pirmojo su naus galvos ilgis ir plotis, o X 3 ir X 4 antrojo su naus galvos ilgis ir plotis (ºr. []). X 1i X i X 3i X 4i X 1i X i X 3i X 4i 191 155 179 145 190 159 195 157 195 149 01 15 188 151 187 158 181 148 185 149 163 137 161 130 183 153 188 149 195 155 183 158 176 144 171 14 186 153 173 148 08 157 19 15 181 145 18 146 189 150 190 149 175 140 165 137 197 159 189 15 19 154 185 15 188 15 197 159 174 143 178 147 19 150 187 151 176 139 176 143 179 158 186 148 197 167 00 158 183 147 174 147 190 163 187 150 174 150 185 15 1.9. a) Pamatavus 47 ka iu svori X 1i (kilogramais) ir ju ²irdies svori X i (gramais), gauti tokie rezultatai []: X 1i = 110, 9; X i = 43, 5; X1i = 65, 13; i i i Xi = 4064, 71; X 1i X i = 109, 6. i i

1.7. Pratimai 31 b) Atlikus analogi²kus 97 katinu matavimus gauti tokie rezultatai: X 1i = 81, 3; i X i = 1098, 3; i X1i = 836, 75; i Xi = 13056, 17; i i X 1i X i = 375, 55. Raskite vidurkiu vektoriaus ir kovariaciju matricos DT iver ius atskirai atveju a) ir atveju b). 1.10. Lenteleje yra pateikta n = 30 lentu standumo matavimu, t. y. keturma io a. v. X = (X 1, X, X 3, X 4 ) T realizaciju; ia X 1 standumas veikiant smu gine banga, X standumas veikiant vibracijai, X 3 ir X 4 stacionarios bu senos [9]. Tardami, kad buvo stebetas normalusis vektorius X N 4 (µ, Σ), raskite a) parametru µ ir Σ DT iver ius; b) a. v. Y = (X 1 X 4, X X 4, X 3 X 4 ) T skirstinio parametru DT iver ius. X 1i X i X 3i X 4i X 1i X i X 3i X 4i 1889 1651 1561 1778 1954 149 1180 181 403 048 087 197 135 1170 100 1176 119 1700 1815 1419 1371 15 1308 1645 167 1110 1533 188 1634 160 1755 1976 1916 1614 1883 175 1594 1313 1646 171 171 1439 1546 76 189 1547 111 1943 1685 171 1671 1899 1614 14 1477 104 180 1717 1874 1633 1513 190 1516 983 794 41 581 061 1867 1646 037 1745 1600 1384 1508 1856 1493 1356 1533 1710 1591 1518 1667 177 141 138 1469 046 1907 167 1898 168 1896 1701 1834 1840 1841 1595 1741 1655 1675 1414 1597 1867 1685 1493 1678 36 301 065 34 1859 1649 1389 1714 1490 138 114 184 1.11. (1.10 pratimo t sinys). Tar, kad kovariacine matrica Σ yra ºinoma ir sutampa su 1.10 pratime surastu iver iu, a) raskite vektoriaus Y vidurkiu vektoriaus koordina iu pasikliovimo intervalus remdamiesi Bonferonio nelygybe (pasikliovimo lygmuo Q = 0, 95); b) patikrinkite hipotez H : EY = ν 0 = (10; 0; 00) T. 1.1. Buvo tiriama n = 96 suomiu studentu muzikiniai gebejimai; X 1 melodija, X harmonija, X 3 tempas, X 4 ritmas, X 5 frazuote, X 6 balansas, X 7 stilius. Pagal ²iuos duomenis gauti vidurkiu vektoriaus ir dispersiju vektoriaus NMD iver iai [9]: (ˆµ 1 ;...; ˆµ 7 ) = (8, 1; 6, 6; 35, 4; 34, ; 3, 6;, 0;, 7), (ˆσ 11 ;...; ˆσ 77 ) = (33, 178; 34, 3; 14, 59; 6, 14; 14, 138; 15, 445; 16, 41). Tar, kad buvo stebetas normalusis a. v., kurio koordina iu dispersijos yra ºinomos ir sutampa su gautais iver iais, raskite vidurkiu vektoriaus koordina iu pasikliovimo lygmens Q = 0, 95 pasikliovimo intervalus a) remdamiesi pasikliovimo sritimi (1.4.1); b) remdamiesi Bonferonio nelygybe. Palyginkite gautuosius intervalus su intervalais, sudarytais kiekvienai koordinatei atskirai remiantis vienmate teorija. 1.13. Automobiliu gamyboje buvo tikrinama suvirinimo proceso charakteristikos: X 1 itampa; X sroves stiprumas; X 3 padavimo greitis; X 4 inertiniu duju srove. Lenteleje pateikta n = 40 keturma io a. v. X = (X 1, X, X 3, X 4 ) T matavimu, atliktu 5 sekundºiu intervalu [9].