PL STZĂ 115 7. PL STZĂ (punct, dreaptă, plan, metode) 7.1 Probleme reolvate 1. Se dă forma geometrică din figura 7.1. Să se repreinte epura ei şi să se studiee tipurile de drepte, plane şi poiţiile relative dintre acestea, cu referire la elementele din care este alcătuită această formă. eolvare : a) pura formei geometrice din figura 7.1 se traseaă prin determinarea proiecţiilor fiecărui segment de dreaptă care o alcătuieşte, respectiv a tuturor punctelor care definesc aceste segmente. În acest scop, corpul dat trebuie imaginat în spaţiu, în sistemul celor trei plane de proiecţie, ca în figura 7.2, a. in toate punctele formei geometrice se imagineaă proiectante duse pe planele de proiecţie, obţinându-se cele trei proiecţii. acă ne imaginăm în continuare că planele oriontal şi lateral P L G ig.7.1 ormă geometrică P m'=n' g'=l' c'=a' f' d'=b' k'=r'=p' i' e' a" b" p"r" k"=i" m"=l" n" c"=g"=f" d"=e" L G a=b c=d n m p r=l k g f=e i a) b) ig.7.2 eolvarea problemei 1 se rotesc, în sensurile arătate pe figură, până la suprapunerea peste planul vertical, se obţine epura din figura 7.2, b, care este epura formei geometrice date. b) orelând forma geometrică dată cu epura ei se identifică următoarele segmente de dreaptă situate în poiţii particulare faţă de planele de proiecţie (în paranteă se specifică proiecţia din epură în care segmentele se proiecteă în adevărată mărime) : - drepte paralele cu planele de proiecţie : P (p n P), (m r );
116 GT SPTVĂ (i f ), G (k g G); - drepte perpendiculare pe planele de proiecţie : L (r l r l L), (a b a b ), (c d c d ); (ac a c ), (bd b d ); (cf c f ), (de d e ). c) naliând corpul dat, se eemplifică poiţiile relative dintre drepte, pentru câteva segmente : - drepte paralele : (ab cd, a b c d ), P (np mr, n p m r ), L (ml cf, m l c f ), G, (kg if, k g i f ); - drepte concurente : = (ac cf = c, a c c f = c ), L LG = L (ml lg = l, m l l g = l ), P G = (pk kg = k, p k k g = k ); - drepte disjuncte : G = ø (ac kg = ø, a c k g = ø), L P = ø (ml pr = ø, m l p r = ø), = ø (bd if = ø, b d i f = ø), d) La repreentarea în epură a punctelor date pe forma geometrică unele proiecţii s-au suprapus, adică unele puncte au proiecţii identice. Totuşi se poate spune care punct este viibil, în funcţie de distanţa dintre acestea şi planul de proiecţie respectiv. emplu : - proiecţii identice pe planul oriontal : c d, viibil ( > ), r l, viibil ( > L ), f e, viibil ( > ), - proiecţii identice pe planul vertical : c a, viibil ( > ), m n, viibil ( > ), g l, viibil G ( G > L ), - proiecţii identice pe planul lateral : c e, viibil ( > ), k i, viibil ( > ), m l, viibil ( > L ). e) eţele care mărginesc corpul studiat fac parte din plane care au diferite poiţii faţă de planele de proiecţie (proiectante sau paralele). ele care sunt paralele cu acestea se proiecteaă pe ele în adevărată mărime. emplu : - plane proiectante faţă de planele de proiecţie : [G] (f, g, k, i - coliniare), [P] (m, n, p, r - coliniare) - plane paralele faţă de planele de proiecţie : [L] (m l r L), [LG] (l g k r LG), [P] (pri P). f) eţele plane se intersecteaă după segmente de dreaptă. acă planele sunt particulare şi dreptele obţinute din intersecţia lor sunt particulare, după cum se arată în eemplele de mai jos : [](plan de profil) [](plan de front) = (dreaptă verticală); [](plan de front) [G](plan cu ) = G(dreaptă fronto-oriontală); [P](plan de capăt) [P](plan de nivel) = P(dreaptă de capăt); [P](plan de capăt) [L](plan de front) = (dreaptă frontală); [GL](plan de profil) [G](plan cu ) = G(dreaptă de profil). 2. ie dreapta oarecare : (20,12,20), (10,30,5). a) Să se determine urmele planului [P], pentru care dreapta este linie de cea mai mare pantă faţă de planul vertical de proiecţie; b) Să se trasee urmele unui plan [Q], paralel cu linia de pământ şi care se intersecteaă cu planul [P] după dreapta ;
PL STZĂ 117 c) Să se construiască proiecţiile unui triunghi, al cărui plan să fie perpendicular pe planul [P], cunoscând latura sa, : (35,25,35), (60,32,25); d) Să se determine adevărata mărime a triunghiului. eolvare : se determină urmele oriontală H(h,h ) şi verticală V(v,v ) pentru dreapta (d,d ). Prin proiecţia v se traseaă urma P perpendiculară pe proiecţia d. ceasta intersecteaă aa în P. Urma P este dată de P şi proiecţia h (fig.7.3) Planul [Q] are urmele paralele cu aa şi concurente în v, respectiv h, cu urmele planului [P]. stfel, planul [Q] şi planul [P] au comună dreapta. Pentru triunghiul eistă o infinitate de soluţii. Se alege una dintre ele : din punctul se traseaă o dreaptă Δ(δ,δ ) perpendiculară pe planul [P]. acă pe această dreapta se consideră orice punct (c,c ), planul triunghiului [] este perpendicular pe planul [P]. devărata mărime a triunghiului se poate determina aplicând oricare din metodele geometriei descriptive. ici s-a ales rabaterea pe un plan de nivel. Prin vârful se imagineaă un plan de nivel, care intersecteaă triunghiul după oriontala (b1,b 1 ), care este şi aă de rabatere. Vârful este propriul lui rabătut, deci se rabate vârful, utiliând triunghiul de rabatere c c 2, cu cateta cc 2 = c c 1, iar pentru proiecţia rabătută a vârfului se utilieaă coliniaritatea punctelor c, 1 şi a. Proiecţia a 0 b 0 c 0 repreintă adevărata mărime a triunghiului. 7.2 Probleme propuse P 1. Pentru formele geometrice din figura 7.4, să se reolve următoarele cerinţe : a) să se repreinte epura formelor geometrice, indicând pe aceasta proiecţiile punctelor marcate; b) să se identifice câte un segment de dreaptă pentru poiţiile particulare faţă de planele de proiecţie şi să se numească acestea. În care proiecţie din epură segmentele se regăsesc în adevărată mărime? c) să se preciee câte două drepte care să fie: - paralele - concurente - disjuncte d) în caul punctelor aparent suprapuse (care au una din proiecţii identice), să se preciee care dintre ele este viibil şi de ce? e) menţionaţi suprafeţele poligonale care ocupă în spaţiu poiţii particulare faţă de planele de proiecţie şi numiţi-le. are dintre proiecţiile lor din epură reflectă adevărata mărime? f) numiţi trei perechi de plane concurente şi arătaţi ce fel de dreaptă este dreapta lor de intersecţie. P' b' P b=b 0 c' c c 1 ' a 0 ' 1' a' c 2 1=1 0 a c 0 v' v m' m d Q d' ig.7.3 eolvarea problemei 2 n n' h' h Q'
118 GT SPTVĂ G J G S T J P a) b) c) S T J U P T S G J Q J G G J d) e) f) ig.7.4 iguri geometrice pentru problema 1 2. Se dau punctele (45,10,20), (70,0,40) şi (100,40,0). a) Să se construiască urmele planului [P], definit de punctele, şi ; b) Prin punctul (20,40,40) să se ducă o paralelă (d,d ) la planul [P] ; c) Prin punctul (80,10,20) să se ducă un plan [Q], paralel cu planul [P] ; d) Să se determine adevărata mărime a triunghiului, prin rabatere pe planul oriontal de proiecţie. 3. Se consideră planul [P] definit prin : P = 30, P = -20, P = şi punctele (50,,30) şi (70,,20) din acest plan. a) Să se determine proiecţiile pătratului, situat în planul [P] ; b) Prin punctul (90,10,30) să se ducă un plan oarecare [Q], perpendicular pe planul [P] dat ; c) Să se determine dreapta (, ) de intersecţie dintre planul [P] şi planul [] : = 100, = 55, = 70 şi unghiul, pe care această dreaptă îl face cu planul oriontal de proiecţie. 4. Se dă triunghiul : (50,20,50), (90,70,10) şi (10,30,30). a) in punctul (55,10,15) să se ducă o dreaptă (, ), perpendiculară pe planul triunghiului [] ; b) Să se determine punctul (i,i ) de intersecţie dintre dreapta (, ) şi planul triunghiului, să se studiee viibilitatea dreptei şi să se determine adevărata mărime a segmentului, prin metoda rotaţiei ;
PL STZĂ 119 c) Să se determine adevărata mărime a triunghiului prin metoda schimbării planelor de proiecţie. 5. ie două plăci plane triunghiulare opace, [] : (100,10,20), (60,85,60), (30,30,30) şi [] : (70,10,10), (120,60,50), (15,70,60). a) Să se determine dreapta de intersecţie dintre cele două plăci şi să se studiee viibilitatea plăcilor ; b) Prin punctul (40,15,10) să se ducă dreapta (, ), paralelă cu planele celor două triunghiuri şi dreapta (d,d ) concurentă cu triunghiurile; c) Să se determine adevărata mărime a triunghiului, prin metoda rotaţiei. 6. ie dreptele (d,d ) : (50,13,37), (70,-12,52) şi (, ) : (20,5,70), (40,20,35). a) Să se determine urmele planului [P] definit de cele două drepte b) Prin punctul (80,10,35) să se ducă un plan [Q] paralel cu planul [P] ; c) Prin punctul (30,30,15) să se ducă un plan [], perpendicular pe dreapta (d,d ) ; d) Să se determine distanţa l dintre planele [P] şi [Q], prin metoda schimbării planelor de proiecţie; 7. ie plăcile plane opace [] : (120,75,10), (10,75,10), (10,15,65), (120,15,65) şi [] : (20,5,10), (100,20,5), (60,75,60). a) Să se determine dreapta de intersecţie dintre cele două plăci şi să se studiee viibilitatea plăcilor ; b) Să se determine adevărata mărime a triunghiului prin metoda schimbării planelor de proiecţie; c) Prin punctul (110,15,60), eterior celor două plăci, să se ducă un plan oarecare [P], concurent cu plăcile şi care să taie aa în punctul (150,0,0). Să se preciee coordonatele punctului de intersecţie dintre cele trei plane. 8. Se consideră dreptele 1 (d 1,d 1 ) : (50,15,40), (10,70,5) şi 2 (d 2,d 2 ) : (23,10,60), (70,60,-10). a) Să se determine urmele planului [P] definit de cele două drepte ; b) Prin punctul (80,30,15) să se ducă un plan [Q], perpendicular pe planul [P], care întâlneşte aa în punctul (35,0,0) ; c) Prin punctul (110,15,30) să se ducă o dreaptă (, ) paralelă cu planul [P] ; d) Să se determine unghiul dintre dreptele 1 şi 2, prin rabatere pe planul oriontal de proiecţie. 9. ie date planele [P] : P = 140, P = 40, P = 50 şi [Q] : Q = 70, Q = 80, Q = 65. a) Să se determine unghiul dintre cele două plane ; b) Prin punctul (90,30,10) să se ducă o dreapta (d,d ) paralelă cu cele două plane ; c) Să se determine punctul de intersecţie (i,i ) dintre planele [P], [Q] şi planul de front [] care trece prin punctul. 10. Se dă planul [P] : P = 100, P = 50, P = 70 şi dreapta (d,d ) : (70,50,60), (20,20,10). a) Să se determine punctul de intersecţie (i,i ) dintre dreapta şi planul [P] ;
120 GT SPTVĂ b) Să se construiască linia de cea mai mare pantă a planului [P] faţă de planul oriontal de proiecţie, care trece prin punctul (50,10, c ) ; c =? c) Prin punctul să se construiască un plan [Q] paralel cu planul [P] ; d) Să se determine unghiul dintre dreapta şi planul [P]. 11. Se dau plăcile plane opace [] : (100,10,70), (60,70,90), (20,30,20) şi [] : (120,50,40), (70,10,20), (30,60,80). a) Să se determine dreapta de intersecţie dintre cele două plăci şi să se studiee viibilitatea plăcilor ; b) Să se determine unghiul pe care dreapta de intersecţie dintre plăci îl face cu planul vertical de proiecţie, utiliând metoda rotaţiei ; c) Să se ridice în punctul o perpendiculară (, ) pe planul triunghiului [] ; d) Să se determine adevărata mărime a triunghiului prin metoda schimbării planelor de proiecţie. 12. Se consideră planul [P] : P = 10, P =, P = -15 şi punctele (50,30, ), (20,20, ) din acest plan. a) Să se determine proiecţiile triunghiului echilateral, cuprins în acest plan ; b) Prin punctul să se ducă un plan [Q], perpendicular pe planul [P], care are urmele în prelungire ; c) Să se determine dreapta de intersecţie (d,d ) dintre planele [P] şi [Q] şi unghiul pe care aceasta îl face cu planul vertical de proiecţie. 13. ie placa plană triunghiulară opacă : (15,10,70), (50,60,10), (100,70,20). a) in punctul (75,10,5) să se ducă o dreaptă (d,d ) perpendiculară pe planul triunghiului, să se determine punctul (i,i ) în care aceasta înţeapă triunghiul şi să se studiee viibilitatea perpendicularei ; b) Să se determine urmele planului [P], definit de punctele, şi ; c) Prin punctul să se ducă o paralelă (, ) la planul [P] ; d) Să se determine adevărata mărime a triunghiului. 14. Se consideră planul [P] : P = 100, P = 50, P = 70 şi un punct (60,40,50), eterior planului. a) Să se determine distanţa de la punctul la planul [P] ; b) Prin punctul să se ducă un plan [Q], perpendicular pe planul [P], care trece prin origine; c) Să se construiască o dreaptă (d,d ) paralelă cu planul [P], care să treacă prin punctul. 15. ie date planele paralele [P] : P = 110, P = 60, P = 80 şi [Q]: Q = 60. a) Să se determine distanţa l dintre cele două plane şi unghiul pe care îl fac cu planul oriontal de proiecţie ; b) Prin punctul (80,30,50), eterior planelor să se construiască un plan [], perpendicular pe plane şi care întâlneşte aa în acelaşi punct ca şi planul [Q] ; c) Prin punctul (30,,25) din planul [P], să se ducă linia de cea mai mare pantă faţă de planul vertical de proiecţie, a planului [P]; =? 16. Se consideră dreptele (d,d ) : (50,5,15), (35,30,5) şi (, ) : (70,50,60), (20,-20,10).
PL STZĂ 121 a) Să se determine urmele planului [P] care are dreapta ca linie de cea mai mare pantă faţă de planul vertical de proiecţie ; b) Să se determine unghiul pe care dreapta (, ) îl face cu planul [P]; c) Prin punctul să se ducă o dreaptă 1 (d 1,d 1 ), perpendiculară pe dreapta (, ). 17. ie punctul (60,20,40) şi un plan de nivel [] şi un plan de front [] care conţin acest punct. a) Să se determine coordonatele punctului de intersecţie (i,i ), dintre cele două plane şi un plan de capăt [Q], ce trece prin punctul (20,30,60) şi face 60 0 cu planul oriontal de proiecţie; b) Să se determine urmele planului [P] definit de punctele, şi (80,30,20); c) Prin punctul să se trasee o linie de cea mai mare pantă faţă de planul vertical de proiecţie a planului [P] ; d) Să se determine adevărata mărime a triunghiului, prin metoda schimbării planelor de proiecţie. 18. ie planul proiectant vertical [P] : P = 80, P = 70, P = şi punctul (20,20,40), eterior planului. a) Să se construiască planul proiectant vertical [Q], care trece prin punctul şi face 90 0 cu planul [P]. e fel de dreaptă este dreapta de intersecţie dintre cele două plane? b) Să se găsească proiecţiile triunghiului cu latura, (60,,60), (10,, ), situată în planul [P] şi înălţimea corespunătoare vârfului în planul [Q] ; d) Să se determine adevărata mărime a triunghiului, prin metoda rotaţiei. 19. ie planul de capăt [P] : P = 80, P =, P = 70 şi punctul (20,40,20), eterior planului. a) Să se construiască planul de capăt [Q], care trece prin punctul şi face 90 0 cu planul [P]. e fel de dreaptă este dreapta de intersecţie dintre cele două plane? b) Să se găsească proiecţiile triunghiului cu latura, (60,60, ), (10,, ), situată în planul [P] şi înălţimea corespunătoare vârfului în planul [Q] ; d) Să se determine adevărata mărime a triunghiului, prin metoda rotaţiei. 20. Se dau punctul (30,10,30) şi dreapta (d,d ) : (60,40,10), (80,15,40). a) Să se determine urmele unui plan [P], care trece prin punctul, ete paralel cu dreapta şi taie aa într-un punct de abscisă 120; b) Să se determine distanţa l dintre dreapta şi planul [P]; c) Să se construiască planul [Q] definit de dreapta şi punctul şi să se găsească dreapta după care acest plan intersecteaă planul [P]. 21. ie punctul (50,10,20) şi dreptele (d,d ) : (95,20,5), (70,10,25) şi (, ) : (35,5,30), (15,30,10), necoplanare. a) Să se construiască urmele planului [P], care trece prin punctul şi este paralel cu cele două drepte ; b) Să se determine unghiul dintre două drepte paralele cu dreptele şi, concurente în punctul ; c) Să se determine dreptele după care se intersecteaă planul [P] cu un plan de front [], respectiv un plan de nivel [], care trec prin punctul. 22. ie dreapta (d,d ) : (80,40,50), (20,15,10) şi punctul (45,10,40). a) Să se determine urmele planului [P], definit de dreapta şi de punctul ;
122 GT SPTVĂ b) Prin punctul (60,25,20) să se trasee un plan [Q] paralel cu planul [P]; c) Să se determine proiecţiile perpendicularei duse din punctul pe dreapta, ; d) Să se găsească distanţa l dintre planele [P] şi [Q]. 23. ie planul [P] definit prin două oriontale paralele 1 (d 1,d 1 ) : (70,5,20), (30,35,20), 2 (d 2,d 2 ) : (40,10,30) şi o dreaptă oarecare (, ) : (60,40,50), (10,10,5). a) Să se determine proiecţiile punctului de intersecţie (i,i ), dintre dreapta şi planul [P], fără a construi urmele planului; b) Să se construiască urmele planului [P] definit de cele două oriontale; c) are este distanţa l dintre cele două oriontale ; d) Să se determine unghiul pe care dreapta îl face cu planul [P]. 24. ie planele [P] : P = 140, P P = 60 0, P = 80 şi [Q] : Q = 30, Q = -80, Q = -30, a căror urme nu se întâlnesc în cadrul epurei. a) Să se determine dreapta de intersecţie (d,d ) dintre cele două plane; b) Prin punctul (20,10,20)să se ducă un plan [] paralel cu planul [Q]; c) Să se determine unghiul dintre planul [P] şi planul [Q]. 25. ie plăcile plane triunghiulare opace, [] : (160,40,50), (20,10,30), (80,70,90) şi [] : (130,90,20), (40,70,30), (110,10,80). a) Să se determine dreapta de intersecţie dintre cele două plăci şi să se studiee viibilitatea plăcilor ; b) Prin punctul (60,30,50) să se trasee o perpendiculară (d,d ) pe planul triunghiului []; c) Prin punctul să se ducă o dreaptă (, ), concurentă cu planul triunghiului [] şi să se determine punctul de concurenţă. d) Să se determine adevărata mărime a triunghiului, prin metoda rotaţiei. 26. Se consideră dreapta (d,d ) : (100,40,30), (70,60,70) şi planul [P] : P = 60, P = 40, P = 50. a) Să se determine proiecţiile unui triunghi [], al cărui plan să fie perpendicular pe planul [P] şi adevărata mărime a lui; b) Să se determine urmele planului [Q] care conţine triunghiul ; c) e valoare are unghiul pe care planul [P] îl face cu planul oriontal de proiecţie ; d) Prin punctul să se trasee o dreaptă (, ), paralelă cu planul [P]. 27. ie plăcile plane triunghiulare opace, [] : (110,20,60), (25,10,75), (70,70,10) şi [G] : (90,10,20), (15,40,20), G(40,65,80). a) Să se determine dreapta de intersecţie dintre cele două plăci şi să se studiee viibilitatea plăcilor ; b) Să se determine adevărata mărime a triunghiului G ; c) Prin punctul (30,25,30) să se trasee o dreaptă (d,d ), paralelă cu planele celor două triunghiuri ; d) Prin punctul să se ducă o perpendiculară (, ) pe dreapta.