b = CA, c = AB, atunci concluzia rezultă din regula triunghiului de adunare a vectorilor:

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "b = CA, c = AB, atunci concluzia rezultă din regula triunghiului de adunare a vectorilor:"

Transcript

1 Trei vectori a, b, c formează untriunghi a + b + c = 0 (relaţia lui Chasles). Dacă a, b, c sunt laturi ale unui triunghi ABC, a = BC, b = CA, c = AB, atunci concluzia rezultă din regula triunghiului de adunare a vectorilor: c = AB = AC + CB = b a a + b + c = 0. Reciproc, fie a, b, c cu a + b + c =0 c = ( a + b). Construim un vector oarecare BC = a. Cu originea în C construim un vector CA = b. Atunci BA = BC + CA = = a + b AB = ( a + b)= c şi deci cu vectorii a, b, c putem construi ABC. Fie ABCDA B C D un cub. În raport cu reperul (A; AB, AD, AA ),găsiţi coordonatele vectorilor AC, MN, A N, OM, undem, N sunt mijloacele segmentelor [BC], respectiv [CD], iaro este centrul cubului. AC = AB + BC + CC = AB + AD + AA, deci AC (,, ). MN = MC + CN = BC + CD = deci MN = AD + BA = AB + AD, (, ), 0. A N = A D + D D + DN = AD AA + AB) deci ( ) A N,,. BM = AC +( AB + BM) = ( AB + AD + AA )+ +( AB + AD) = AB AA, deci ( ) OM, 0,. OM = OA + AB + În ABC se consideră medianele[aa ], [BB ] şi [CC ].Săsearatecă putem construi un triunghi cu vectorii AA, BB şi CC. AA + BB + CC = ( AB + AC) + ( BA + BC) + ( CA + CB) = ( AB + BC+ + CA)+ ( AC + CB + BA) = 0şi concluzia urmează folosind problema.

2 4 Fie O originea unui reper în spaţiu. Să searatecă patrulaterul ABCD este paralelogram dacă şi numai dacă r A + r C = r B + r D. Fie M şi N mijloacele diagonalelor [AC], respectiv [BD]. Atunci: ABCD paralelogram M = N r M = r N ( r A + r C )= ( r B + r D ) r A + r C = r B + r D. 5 Să searatecă mijloacele laturilor unui patrulater convex ABCD sunt vârfurile unui paralelogram. Raportăm planul la un reper de origine O şi fie M, N, P, Q mijloacele laturilor [AB], [BC], [CD] şi respectiv [DA]. Atunci r M + r P = ( r A + r B )+ ( r C + r D )= ( r A + r D )+ ( r B + r C )= r Q + r N de unde, conform problemei precedente, urmează că MNPQ este paralelogram. 6 Fie ABCDEF hexagon, iar M, N, P, Q, R, S mijloacele laturilor consecutive. Arătaţi că triunghiurile MPR şi NQS au acelaşi centru de greutate. Fie M mijlocul lui [AB], N mijlocul lui [BC] etc., G centrul de greutate al MPR, iar G centrul de greutate al NQS. Atunci, raportând planul la un reper cu originea în O, avem: deci G = G. r G = ( r M + r P + r R )= = 6 ( r A + r B + r C + r D + r E + r F ), r G = ( r N + r Q + r S )= = 6 ( r A + r B + r C + r D + r E + r F ), [ ( r A + r B )+ ( r C + r D )+ ] ( r E + r F ) = [ ( r B + r C )+ ( r D + r E )+ ( r F + r A ) 7 Fie ABCDA B C D un paralelipiped dreptunghic. Să se arate că AD D C+ + AB BC + A B B C =0. ] =

3 Deoarece AD (CDD )şi D C (CDD ), rezultă că AD D C. Analog se observă că AB BC, A B B C, deci fiecare dintre termenii sumei din enunţ estenul. 8 Fie a, b, c oarecare în V şi u = a( b c) b( c a). Săsearatecăvectorii u şi c sunt ortogonali. Avem: u c = [ a( b c) ] b( c a) c =( a c)( b c) ( b c)( c a) =0, ţinând seama de comutativitatea produsului scalar; deci u c. 9 Se dau vectorii AB = ı j + k, BC = ı +4 j k, CA = ı j + k.arătaţi că aceşti vectori pot forma un triunghi şi determinaţi măsura unghiului A. Observăm că AB + BC + CA = 0, deci vectorii daţi închid un triunghi ABC. Avem: cos A = adică m(â) =90. AB AC AB AC = +( ) + ( ) +( ) + + +( ) =0, 0 Fie a, b, c V astfel încât a + b + c = 0. Să se demonstreze că a b = b c = = c a. Au loc relaţiile a b b c = a b + c b =( a + c) b =( b) b = 0. Rezultă că a b = b c. Analog se demonstrează şi cealaltă egalitate. Calculaţi lungimea înălţimii [AD] atriunghiuluiabc de vârfuri A(,, ), B(,, 5), C(, 0, ).

4 4 Se ştie că S ABC = AB AC. În cazul nostru, AB AC = ı j k 4 =0 ı 0 j 0 k; S ABC = 0 =5 = BC AD AD = 0 BC Însă BC = 4 ı j k, deci BC = 6++9= 6, de unde AD = 0 6 = = 5 78 Fiind daţi trei vectori a, b, c necoplanari, să se calculeze produsul mixt ( a+ + b, b + c, a + c) şi să se interpreteze geometric rezultatul. ( a + b, b + c, a + c) = ( a + b) (( b + c) ( a + c)) = =( a + b) ( b a + b c + c a + c c)) = =( a, b, a)+( a, b, c)+( a, c, a)+( a, c, c)+ +( b, b, a)+( b, b, c)+( b, c, a)+( b, c, c) =( a, b, c). Interpretare: Fie paralelipipedul ABCDA B C D cu AB = a, AC = b, AA = c; atunci a+ b, a+ c, b+ c reprezintă respectiv diagonalele AD, A B, A C. Rezultatul demonstrează că paralelipipedul construit pe AD, A B, A C are dublul volumului paralelipipedului iniţial. Dacă a, b, c V sunt necoplanari, iar α, β R cu α + β =0,arătaţi că (α a + β b, α b + β c, α c + β a) =0. Se observă că α a + β b + α b + β c + α c + β a =(α + β)( a + b + c) =0şi deci α a + β b, α b + β c, α c + β a sunt coplanari. De aici, (α a + β b, α b + β c, α c + β a) =0. 4 Demonstraţi că a ( b c)+ b ( c a)+ c ( a b)= 0 pentru orice a, b, c V (identitatea lui Jacobi).

5 a ( b c)+ b ( c a)+ c ( a b)=( a c) b ( a b) c+( b a) c ( b c) a+( c a) b ( c b) a = 0. 5 Fie OA = ı + j, OB = j + k, OC = ı + j + k.calculaţivolumul tetraedrului OABC, precum şi lungimea înălţimii din O. 5 V = 6 ( OA, OB, OC) = = 6 Deoarece V = OH S ABC, atunci înălţimea este OH = V. S Însă ABC S ABC = AB ı j BC = k 0 = j =, 0 0 deci OH =. 6 Scrieţi ecuaţia vectorială, ecuaţiile parametrice şi ecuaţia generală pentru dreptele determinate prin: a) punctul A(, ), vectorul director v = ı + j; b) tăieturile pe axe A(, 0), B(0, ); c) punctele A(, ), B(, ); a) Ecuaţia vectorială: r = { r A + t v, t R, unde r A = ı + j. x =+t Ecuaţiile parametrice:, t R. y =+t Egalând t = x = y,obţinem ecuaţia generală: x y +=0. b) Ecuaţia prin tăieturi este x + y =, deci x y = 0 este ecuaţia generală a dreptei. Un vector director al dreptei AB este AB = ı j şi atunci ecuaţia vectorială este r = r A + t v, t R, unde r A = ı, v = { AB. x = t Ecuaţiile parametrice:, t R. y = t

6 6 c) Ecuaţia dreptei prin două puncte este dată de AB : x x A x B x A = y y A y B y A, deci x + y =0. În continuare, procedăm ca la punctul b). 7 Scrieţi ecuaţia dreptei (D) în fiecare dintre cazurile: a) conţine punctul A(, ) şi este paralelă cu dreapta (D ): x y +=0; b) conţine punctul A(, ) şi face cu axa Ox unghiul α = π 6 ; c) conţine punctul A(, ) şi este perpendiculară pe dreapta (D ): x + y =0; d) conţine punctul A(, ) şi este perpendiculară pe dreapta (D ): y +=0. a) Forma redusă a ecuaţiei lui (D )estey = x +, deci panta lui (D )estem =. Cum (D) (D ), rezultă căşi (D) estedepantă ; atunci (D) : y =(x ), i.e.(d) : x y +=0. b) Panta dreptei (D) estem =tgα =, deci: (D) : y = (x ), i.e.(d) : x y +( ) = 0. c) Forma redusă a ecuaţiei lui (D )estey = x +, deci m (D ) =. Din condiţia de perpendicularitate, m (D) = Avem: (D) : y = (x ), i.e.(d) : x y +=0. d) (D ) este o dreaptă orizontală. Nu putem folosi condiţia de perpendicularitate, însă este clar că (D) trebuie să fie o dreaptă verticală şi, cum trece prin punctul A, atunci (D) : x =. 8 Se dau dreptele (D) : x + αy + β =0;(D ): βx y +=0. sunt: a) paralele; b)confundate; c)perpendiculare? În ce condiţii dreptele { a) (D) (D ) β = α β } αβ = şi α + β 0 α R \ ± şi β = α

7 7 b) (D) = (D ) β = α = β αβ = şi α + β = 0 (α, β) {( ) (,,, )}. c) (D) (D ) m m = sau una din drepte este verticală, cealaltă orizontală α = β R sau α = β =0 α = β R. 9 Se dă triunghiulabc având vârfurile A(, ), B(4, ), C(, ). Scrieţi ecuaţiile mediatoarei, medianei şi înălţimii corespunzătoare laturii [BC]. Mijlocul lui [BC] estem(, 0), iar panta dreptei BC este m BC =. Mediatoarea (D) a segmentului [BC] arepantam (D) = şi trece prin punctul M, deci (D) : y = (x ), i.e.(d) : x + y =0. Mediana AM nu poate fi aflată cu formula dreptei prin două puncte decât folosind convenţia uzuală: un numitor care se anulează, anulează automat şi numărătorul fracţiei, deci avem de-a face cu o dreaptă orizontală sau verticală. În cazul nostru, AM : x 0 Înălţimea din A are panta m AD =, deci = y,i.e.am: x =0. AD : y = (x ), i.e.ad: x + y 6=0. 0 Scrieţi ecuaţia vectorială, ecuaţiile parametrice şi ecuaţiile canonice ale dreptelor determinate prin: a) punctul A(,, ), vectorul director v = ı j + k; b) punctul A(,, ) şi unghiurile de 0, 60, 45 formate cu axele de coordonate; c) punctul A(,, ) şi este paralelă cuox; d) punctele A(,, ), B(,, ). a) Ecuaţia vectorială: r = r A + t v, t R unde r A = ı + j + k. x =+t Ecuaţiile parametrice: y = t,t R. z =+t

8 8 x Ecuaţiile canonice: = y = z. b) Un versor director al dreptei este u = cos 0 ı + cos 60 j + cos 45 k = = ı + j + k şi procedăm ca la punctul a). c) Două drepte paralele au un acelaşi vector director, deci putem considera v = ı drept vector director al dreptei căutate. d) Vectorul director al dreptei este AB =(x B x A ) ı +(y B y A ) j +(z B z A ) k = = j k. Atunci ecuaţia vectorială este r = r A + t AB, t R etc. x Se dă dreapta (D) : 5 = y + = z 4 7 a) Determinaţi cosinusurile directoare ale dreptei; b) Aflaţi intersecţiile dreptei cu planele de coordonate. a) Vectorul director al dreptei este v = 5 ı +7 j k de normă v = = = 8; atunci un versor director este u = ı ± j 8 8 k,aşadar cos α = = ,cosβ = ±7,cosγ = b) Intersecţia cu planul xoy se obţine considerând z = 0. Folosind ecuaţiile parametrice: x = 5t (D) y = +7t, t R, z =4 t din ultima ecuaţie obţinem t = 4 şi atunci x =, y = ;aşadar punctul căutat este ( A,, 4 ). C Analog se obţin intersecţia cu planul yoz, B ( ), 0,. 7 7 ( 0, 5, ) 5 şi cea cu planul xoz, Să se scrie ecuaţiile laturilor şi medianelor triunghiului cu vârfurile în punctele A(, 0, 4), B(6,, 0) şi C(4, 4, ). Ecuaţia canonică adrepteiab: x 4 Ecuaţia canonică adrepteiac: x 4 = y = z 4 4 = y 4 = z 4

9 Ecuaţia canonică adrepteibc: x 6 = y = z Mijloacele laturilor [BC], [CA], [AB] sunt punctele M(5,, ), N(,, ) respectiv P (4,, ). x Ecuaţia canonică adrepteiam: = y = z 4 Ecuaţia canonică adrepteibn: x 6 = y 0 = z Ecuaţia canonică adrepteicp: x 4 = y 4 0 = z 0 Un versor director al dreptei BC este v = ı + j + k Un versor director al dreptei AC este v = 6 ı + 6 j 6 k Un versor director al dreptei AB este v = ı + j k. 9 Studiaţi poziţia dreptei (D ): unde: x = y = z faţă de dreapta (D ): r = r B +t v, a) B(,, ), v = ı +6 j 4 k; b) B(, 4, ), v = ı +6 j 4 k; c) B(0,, ), v = ı + j + k; d) B(4,, ), v = ı + j k. Dacă (D ): r = r A + t u, (D ): r = r B + t v, t R, deosebim cazurile: (i) u, v, r B r A coliniari = (D ), (D ) confundate; (ii) u, v coliniari, dar necoliniari cu r B r A = (D ), (D ) paralele; (iii) u, v necoliniari, dar ( r B r A, u, v) =0= (D ), (D ) concurente; (iv) ( r B r A, u, v) 0= (D ), (D ) necoplanare. În cazul nostru, A(,, 0) şi u = ı + j k. a) v = u şi r B r A = j + k, deci (D ) (D ). b) v = u şi r B r A = ı + j k = u, deci (D ) (D ). c) Vectorii v şi u sunt necoliniari; verificăm condiţia de coplanaritate: ( r B r A, u, v) = =0,

10 0 deci (D ), (D ) sunt drepte concurente. Pentru aflarea punctului comun, este convenabil să scriem ecuaţia parametrică adreptei(d ): x =+t (D ): y =+t,t R z = t şi să căutăm un punct M(x 0,y 0,z 0 )caresă verifice şi ecuaţia lui (D ). Atunci t =, deci x 0 =0,y 0 =, z 0 =şi intersecţia lui (D )cu(d )estetocmaib. d) Avem: ( r B r A, u, v) = = 4 0, deci (D )şi (D ) sunt necoplanare. 4 Să se determine a R astfel încât dreptele (D ): (D ): x a = y + = z să fie concurente. x + = y = z + Dreapta (D ) trece prin punctul A (,, ) şi are vectorul director v = ı+ + j + k, iar dreapta (D ) trece prin punctul A (,, ) şi are vectorul director v = = a ı + j + k. Dreptele (D )şi (D ) sunt coplanare dacă şi numai dacă vectorii v, v şi A A sunt coplanari, ceea ce este echivalent cu ( v, v, A A ) = 0. Este necesar ca a = 0, deci a = 4 5 Arătaţi că dreptele(d ): x 4 (D ): 5 = y = z x = y = z 0, (D ): x sunt concurente şi aflaţi punctul lor comun. = y şi = z şi Încercăm să găsim un eventual punct de intersecţie a dreptelor (D )şi (D ). Avem: x =+t (D ): y = t,t R, z = şi înlocuind în ecuaţia lui (D )obţinem că t =. Rezultă că(d )şi (D )suntconcurente în M(4,, ). Se verifică uşor că M aparţine şi dreptei (D ).

11 6 Să se determine distanţa de la punctul A(,, ) la dreapta (D) : = y = z +. x + Dreapta (D) trece prin punctul B(,, ) şi are vectorul director v = ı + j k. Distanţa d între A şi (D) este egală cuînălţimea paralelogramului construit pe AB şi v în raport cu baza determinată de v. Seobţine AB v d = = v 7 Să se calculeze distanţa dintre dreptele x + (D ): = y = z + şi (D ): x = y + = z 4 Dreapta (D ) trece prin punctul A (,, ) şi are vectorul director v = ı +4 j + k, iar dreapta (D ) trece prin punctul A (,, ) şi are vectorul director v = ı + j+ +4 k. Distanţa d dintre (D )şi (D ) este egală cuînălţimea paralelipipedului construit pe vectorii A A, v, v în raport cu baza determinată de v şi v.seobţine ( ) A A, v, v d = = v v 85 8 Determinaţi locul geometric al punctelor M(x, y, z) din spaţiu ale căror coordonate verifică relaţia (x ) (y ) (z ) = = Relaţia dată devine ± x = ± y = ± z 4, cu 8 posibilităţi de alegere a semnelor. Urmează că locul geometric cerut este reuniunea a 8 drepte ce trec prin punctul A(,, ) şi care au vectorii directori (±, ±, ±4). 9 Scrieţi ecuaţiile planelor determinate prin: a) punctul A(, 0, ) şi vectorii directori u = ı + j + k, v = j k; b) punctele A(,, ), B(5,, 4), C(, 0, ); c) tăieturile pe axe A(, 0, 0), B(0,, 0), C(0, 0, ); d) punctul A(,, ) şinormalalaplan N = ı j + k. =

12 a) Ecuaţia vectorială a planului este (P ): r = r A + t u + s v, t, s R. Ecuaţia canonică seobţine din ( r r A, u, v) = 0, deci x y z (P ): =0,i.e.(P ): x y 4z +5=0. 0 x y z b) Ecuaţia planului (P )subformă de determinant este (P ): 5 4 =0şi 0 după dezvoltarea determinantului se obţine ecuaţia canonică (P ): x 5y +4z 4 = 0. c) Ecuaţia planului (P ) printăieturi este (P ): x + y + z =0, i.e. (P ): 6x +y z 6=0. d) Ecuaţia normală a planului este (P ): (x ) (y ) + (z ) = 0, i.e.(p ): x y + z =0. 0 Să se determine punctele de intersecţie ale planului (P ): x y + z = 0 cu axele de coordonate. Punctul de intersecţie cu axa Ox este A(4, 0, 0). Punctul de intersecţie cu axa Oy este B(0, 6, 0). Punctul de intersecţie cu axa Oz este C(0, 0, ). Să se determine ecuaţia planului (P ) paralel cu planul (P ):x y +z =0 şi care trece prin centrul de greutate al triunghiului cu vârfurile în punctele A (,, 5), A (,, ), A (,, ).

13 Centrul de greutate G al triunghiului A A A are coordonatele x G = x A + x A + x A =,y G = y A + y A + y A =,z G = z A + z A + z A Fiind paralele, cele două plane au aceeaşi normală, deci planul cerut are ecuaţia x y + z a =0,a R. Punând asupra lui G condiţia de apartenenţă la plan, deducem că a =0. Să se determine ecuaţia planului (P ) ştiind că perpendiculara din origine pe acest plan îl intersectează în punctul A(,, 4). În aceste condiţii, OA = ı + j +4 k este vectorul director al normalei la planul (P ). Ecuaţia planului (P ) este atunci x +y +4z + a =0,a R. Punând condiţia ca A să aparţină planului (P )seobţine a = 9. Să se determine ecuaţia planului mediator al segmentului [AB] determinat de punctele A(,, ) şi B(, 5, 4). Ecuaţia dreptei suport (D) asegmentului[ab] este x (D) : = y 4 iar mijlocul M al segmentului are coordonatele = z =. x M = x A + x B =,y M = y A + y B =,z M = z A + z B Planul căutat (P ) va fi perpendicular pe (D) şi va trece prin M. canonică (P ): x +4y +z 4 = 0. =. Se obţine ecuaţia 4 Să se determine ecuaţia unui plan (P ) care conţine punctul A(,, ) şi dreapta x +9 (D) : = y + = z 7 4 Dreapta (D) conţine punctul B( 9,, 0) şi are vectorul director v =7 ı +4 j k. Vectorul director al normalei la plan va fi N = AB v = 4 ı +4 j k = 4( ı j + k). Se obţine ecuaţia (P ): x y +z +8=0. Altfel, putem considera încă un punct C (D), apoi scriem ecuaţia planului ce conţine punctele A, B, C.

14 4 5 Să segăsească ecuaţia planului (P ) determinat de dreptele paralele: (D ): x = y + = z +, (D ): x + = y + = z Dreapta (D ) trece prin punctul A (,, ) şi are vectorul director v = ı + j + k, iar dreapta (D ) trece prin A (,, ) şi are acelaşi vector director. Normala la planul (P )căutat are vectorul director N = A A v = 9 ı +9 j k. Ecuaţia planului (P ) va fi atunci 9x +9y z + a = 0. Punând asupra lui A condiţia de apartenenţă la (P )obţinem a =. Ecuaţia lui (P ) este deci 9x +9y z + = 0 sau, echivalent, (P ): x y + z 7=0. 6 Să se determine ecuaţia planului care trece prin punctul M(,, ) şi este perpendicular pe planele (P ): x y +z =0şi respectiv (P ): x +y z +=0. Vectorul director al normalei la (P )esten = ı j + k, iar vectorul director al normalei la (P )esten = ı + j k. Fiind perpendicular pe (P )şi (P ), planul cerut este perpendicular pe dreapta de intersecţie a acestora, deci vectorul director N al normalei la plan coincide cu vectorul director al dreptei de intersecţie a celor două plane. Deci N = N N = ı j + k şi, în concluzie, ecuaţia generală alui(p )este x y +z =0. 7 Să se determine ecuaţia dreptei ce trece prin A(,, ) şi este perpendiculară pe dreapta (D x ): = y = z. Planul (P ) care trece prin A şi este perpendicular pe dreapta (D ) are ecuaţia (P ): x + y +z + a =0,a R. Impunând condiţia ca( A să aparţină lui(p ) deducem că a = 7. Intersecţia dreptei (D ) cu planul (P )esteb 7, 9 7, 6 ).Ecuaţiadreptei(D) va fi atunci 7 (D) : x 4 = y 5 = z.

15 5 8 Aflaţi proiecţia punctului M(,, ) pe planul (P ): x y +z =0. Să observăm întâi că M nu aparţine planului. Normala la plan N(,, ) este vector director pentru perpendiculara din M pe plan, care are deci ecuaţiile sub formă parametrică (D) : x =+t, y = t, z =+t, t R. Proiecţia M 0 aluim pe plan se află intersectând (D) cu(p ), deci ( 5 adică M 0 9, 9 9, 4 ). 9 ( + t) ( t)+(+t) =0 t = 9, 9 Să se afle simetricul punctului M(,, ) faţă deplanul (P ): x +y z +=0. Vectorul director al normalei la planul (P )esten = ı + j k, deci dreapta perpendiculară peplanul(p ) care trece prin M are ecuaţia: x = y = z +. Punctul de intersecţie S al acestei drepte cu planul (P ) are coordonatele S(,, ). Fie Q simetricul punctului M faţă de planul (P ). Deoarece S este mijlocul segmentului [MQ] vom obţine x S = x M + x Q, deci x Q = x S x M = 5. Analog y Q =y S y M =, z Q =z S z M =0. 40 Se consideră dreptele (D ): { x + y z 4=0 x y + z =0 ; (D ): { x + y 4z =0 ax + y + z 6=0. Să se determine a astfel încât (D ) şi (D ) să fie coplanare. Determinantul sistemului x +y z 4 = 0 x y + z =0 x +y 4z = 0

16 6 este D = 5 0, deci dreapta (D )şi planul (P ): x + y 4z = 0 au un unic punct comun M. Princalculseaflă coordonatele acestui punct x M =,y M =,z M =. Punând condiţia ca M să aparţină planului (P ): ax + y + z 6=0seobţine că a =. 4 Să se determine care dintre următoarele perechi de plane sunt alcătuite din plane paralele: a) (P ): x y +z +5=0 şi (P ): x +y z +=0; b) (P ): x +y + z =0şi (P ): x +6y +z +=0; c) (P ): x +4y + z =0şi (P ): x +y +6z +5=0. a) N = ı j + k, N = ı + j k; N N 0, deci (P )şi (P ) nu sunt paralele. b) N = ı + j + k, N = ı +6 j + k; N N = 0, deci (P )şi (P )suntparalele. c) N = ı +4 j + k, N = ı + j +6 k; N N 0, deci (P )şi (P ) nu sunt paralele. 4 Să se determine valorile parametrilor reali a şi b pentru care următoarele perechi de plane sunt alcătuite din plane paralele: a) (P ): x ay + bz =0şi (P ): x y +z +4=0; b) (P ): ax +y + bz +=0 şi (P ): x + ay +z +=0; c) (P ): x ay bz +=0 şi (P ): ax + by + z =0. a) N = ı a j + b k, N = ı j + k; N este paralel cu N dacă şi numai dacă a =4 şi b =6. b) N = a ı + j + b k, N = ı + a j + k; N este paralel cu N dacă şi numai dacă a = şi b = sau a = şi b = c) N = ı a j b k, N = a ı + b j + k; N este paralel cu N dacă şi numai dacă a = 9şi b =. 4 Să se determine care dintre următoarele perechi de plane sunt alcătuite din plane perpendiculare: a) (P ): x y + z 5=0şi (P ): x + y +z 4=0; b) (P ): x + y +z =0şi (P ): x + y z +=0; c) (P ): x y + z =0şi (P ): x + y z +=0.

17 7 a) N = ı j+ k, N = ı+ j+ k; N N 0, deci (P )şi (P ) nu sunt perpendiculare. b) N = ı + j + k, N = ı + j k; N N = 0, deci (P )şi (P ) sunt perpendiculare. c) N = ı j + k, N = ı + j k. N N 0, deci (P )şi (P ) sunt perpendiculare. 44 Să se determine ecuaţia planului (P ) paralel cu planul (P ): x y + z =0şi aflat la distanţa d =de acesta. Fiind paralel cu planul (P ), (P ) are ecuaţia x y + z + a =0. (P )conţine punctul A(0, 0, ) şi distanţa de la A la (P ) este egală cudistanţa dintre plane. Se obţine +a + + =, deci a = ±. Există două plane cu proprietăţile cerute, anume (P ): x y + z + = 0; (P ): x y + z = Să se determine distanţa d dintre planele (P ): x y +z +=0; (P ): x y +z +6=0. Fie N = ı j + k, N = ı j +k vectorii directori ai normalelor la planele (P ) şi respectiv (P ). N şi N sunt paraleli, deci planele (P )şi (P ) sunt paralele. Pentru a calcula distanţa între plane este deci suficient să calculăm distanţa de la un punct A al primului plan la cel de-al doilea. Se consideră A(0,, 0) aparţinând lui (P )şi se obţine d = ( ) + =. 46 Să se calculeze unghiurile formate de următoarele perechi de plane: a) (P ): x y +z =0şi (P ): x + y +z =0; b) (P ): x +y +5z =0şi (P ): x y z +=0; c) (P ): x +y + z =0şi (P ): x +4y +z =0.

18 8 a) Vectorii directori ai normalelor la planele (P ), respectiv (P ) sunt N = ı j + k, N = ı + j + k. Unghiul θ dintre plane este egal cu unghiul vectorilor N şi N, deci N cos θ = N N N = 4 ; θ = arccos 4. b) N = ı + j +5 k, N = ı j k;( N N ) = 0, deci N, N sunt perpendiculari şi planele (P ), (P ) sunt, de asemenea, perpendiculare. Atunci θ = π c) N = ı + j + k, N = ı +4 j + k; N, N sunt paraleli, deci şi planele (P ), (P ) sunt paralele. Prin urmare, θ =0. 47 Să sescrieecuaţia cercului (C) determinat prin: a) Centrul C(, ) şi un punct al său A(, ); b) Extremităţile unui diametru A(, ), B(0, ); c) Punctele A(, ), B(, 0), C(0, ); d) Centrul C(, ), tangenta la cerc (D) : x + y +=0. a) Raza cercului este CA =, deci (C) : (x +) +(y ) =. b) Centrul cercului este mijlocul segmentului AB, adică C(, ). Raza cercului este AB = = şi atunci (C) : (x +) +(y ) =. c) Ecuaţia cercului determinat de trei puncte (x i,y i ), i =, estedatăde (C) : x + y x y x + y x y x + y x =0 y x + y x y Prin înlocuire şi dezvoltarea determinantului obţinut, găsim ecuaţia cercului prin punctele A, B, C: (C) : x +y x y 4=0.

19 9 d) Raza cercului este egală cudistanţa de la centrul său la tangenta (D): d(c, (D)) = ++ + = 4 =. Ecuaţia cercului căutat este (C) : (x ) +(y ) =8. 48 Să sescrieecuaţia cercului (C) de centru C(4, ), tangent cercului (C ): x + y x +y =0. Cercul (C) are centrul C (, ) şi raza R =. Distanţa centrelor va fi CC =5şi cum C Ext (C ), cele două cercuri vor fi tangente obligatoriu exterior. Atunci raza cercului (C) ester = CC R =, deci ecuaţia lui (C) vafi (C) : (x 4) +(y ) =9. 49 Se dă cercul (C) : x + y +x y =0.Săsescrieecuaţiile tangentelor la cerc care: a) trec prin punctul A(0, + ); b) trec prin punctul B(, 5); c) sunt paralele cu dreapta (D) : x y +=0. a) Verificăm poziţia punctului A faţă de(c): 0 +(+ ) + 0 ( + ) =0, deci A (C). În acest caz, ecuaţia tangentei în A la cerc se obţine prin dedublare: x x A + y y A + x + x A y + y A =0,i.e.x+ y =0. b) Verificăm poziţia punctului B faţă de(c): > 0,

20 0 deci B Ext (C). Rezultă cădinb putem duce două tangente la cercul (C). Determinăm punctul de tangenţă M(x 0,y 0 ). Ecuaţia tangentei în acest punct la (C) seobţine prin dedublare, sub forma xx 0 + yy 0 +(x + x 0 ) (y + y 0 ) =0. Cum B(, 5) aparţine tangentei, obţinem că 4x 0 +4y 0 4 = 0. deoarece M(x 0,y 0 ) aparţine { cercului (C), urmează că x 0 + y 0 +x 0 y 0 = 0. Se obţine că (x 0,y 0 ) ( 7, + 7 ), ( + 7, } 7 ), de unde se deduc ecuaţiile tangentelor căutate. c) Ecuaţia tangentei respective este x y + a = 0. Din condiţia de tangenţă, 4+a =, deci a =4± Se dau cercurile (C ): x + y +x +y =0, (C ): x + y 6x 4y +4=0. Să searatecă cercurile sunt tangente şi să sescrieecuaţia tangentei comune interioare. Centrele celor două cercuri sunt C (, ), respectiv C (, ), iar razele lor sunt R =, R =. Distanţa centrelor este C C =5şi deoarece C C = R + R, cercurile sunt tangente exterior. Tangenta comună interioară este perpendiculară pe linia centrelor în punctul de contact a cercurilor. Pentru a afla acest punct, fie intersectăm cele două cercuri, fie aflăm punctul de pe segmentul [C C ] aflat la distanţa de C. Mai direct, tangenta comună interioară a două cercuri tangente este tocmai axa radicală a acestora, adică (D) : 4x +y =0. 5 Să se determine centrul şi raza pentru următoarele sfere: ) (S ): (x +) +(y +4) +(z ) =9; ) (S ): x +(y 6) +(z +) =; ) (S ): x + y + z x 4y +4=0; 4) (S 4 ): x + y + z x +y 6z 4 = 0. ) Centrul sferei (S )estec(, 4, ), iar raza ei este.

21 ) Centrul sferei (S )estec(0, 6, ), iar raza ei este. ) Ecuaţia sferei (S ) se mai poate scrie sub forma (S ): (x 6) +(y ) + z = 6, deci centrul sferei (S )estec(6,, 0), iar raza ei este 6. 4) Ecuaţia sferei (S 4 ) se mai poate scrie sub forma (S 4 ): (x ) +(y +) +(z ) = = 5, deci centrul sferei (S 4 )estec(,, ), iar raza ei este 5. 5 Să se determine ecuaţia sferei (S) ştiind că segmentul determinat de punctele A(,, ) şi B(5,, 6) este un diametru al ei. Centrul C al sferei este mijlocul segmentului [AB], deci x C =,y C =,z C =4. În plus, cum AB este diametru, avem că R = AB =. Ecuaţia sferei este (S) : (x ) + (y ) +(z 4) =9. 5 Să se scrie ecuaţia sferei care trece prin punctele A(, 0, 0), B(0,, 0), C(0,, ) şi D(,, ). Ecuaţia sferei căutate este datădeformula x + y + z x y z x A + y A + z A x A y A z A (S) : x B + y B + z B x B y B z B =0. x C + y C + z C x C y C z C x D + y D + z D x D y D z D 54 a) Să se determine ecuaţia sferei cu centrul în C(,, ), tangentă laplanul(p ): x + y +z =0. b) Să se determine ecuaţia sferei de rază R =, tangentă planului (P ): x + y+ +z +=0în punctul A(,, 0). a) Distanţa de la punctul C la planul (P )este d = =. Fiind tangentă la(p )şi având centrul în O, sferacăutată are raza egală cud. Ecuaţia sa va fi atunci (S) : (x ) +(y ) +(z ) =.

22 b) Centrul sferei se află pe dreapta normală la(p ) care trece prin A. Normala la plan este N = ı + j + k, deci dreapta prin A de direcţie N este (D) : x = y + = z. Fie C centrul sferei dorite; cum C (D), obţinem x C = z C +,y C = z C. Atunci CA = (x C x A ) +(y C y A ) +(z C z A ) = z C. Dar CA = R, deci z C = ± În fiecare caz, găsim uşor centrul sferei, apoi ecuaţia acesteia. Problema are două soluţii 55 Să se determine ecuaţia sferei (S) cu centrul C(,, ) astfel încât ) (S) tangentă interior la sfera (S ): x + y + z 6x +8y +0z +4=0; ) (S) tangentă exterior la sfera (S ): x + y + z x 4y 6z = 0. ) Sfera (S ) are centrul O (, 4, 5) şi raza R =. Condiţia ca (S) şi (S )săfie tangente interior este ca R = R +O C (nu putem avea R = R+O C deoarece O C =6> R ). Se deduce de aici că R = 9, deci ecuaţia sferei (S)este(x+) +(y+) +(z+) =8. ) Sfera (S ) are centrul O (,, ) şi raza R = 5. Condiţia ca (S) şi (S )săfie tangente exterior este ca R + R = O C. Dar O C = 6, deci R =şi ecuaţia sferei (S) este (x +) +(y +) +(z +) =. 56 Să se determine poziţiile următoarelor plane faţă de sfera (S) : (x ) + +(y ) +(z ) =9: ) (P ): 4x +y +4z +6=0; ) (P ): 8x +4y + z +=0; ) (P ): x + y + z +4=0; 4) (P 4 ): z =5. Centrul sferei (S) estec(,, ), iar raza ei este R =. Planul(P ) este tangent sferei dacă d(c, (P )) = R, este secant dacă d(c, (P )) <Rşi este exterior dacă d(c, (P )) >R. ) d(c, (P )) = ==R, deci (P ) este tangent la sferă.

23 ) d(c, (P )) = = 9 9 <, deci (P ) este secant sferei (S). ) d(c, (P )) = = 8 >, deci (P )esteexteriorsferei(s). 4) d(c, (P 4 )) = 5 =4>, deci (P 4 )esteexteriorsferei(s). 57 Să se determine ecuaţia planului (P ) tangent la sfera (S) : (x ) +(y ) +(z ) =în punctul M(, 5, 5). Observăm întâi că M este un punct al sferei date. Atunci ecuaţia planului (P )seobţine prin dedublare şi este (P ): (x )( ) + (y )(5 ) + (z )(5 ) = 0, adică (P ): x +4y +z = Scrieţi ecuaţia unei elipse raportată la axele sale de simetrie ştiind că: ) Focarele sunt F (4, 0), F ( 4, 0), iar semiaxa mare este a =5; ) Conţine punctele M(, 4), N(6, ). x ) Fie (E) : a + y b = ecuaţia elipsei. Focarele sunt F (c, 0), F ( c, 0), cu c = a b. x În cazul nostru a =5,c = 4, deci b =şi (E) : 5 + y 9 =. x ) Fie (E) : a + y = ecuaţia elipsei. Înlocuind x şi y cu coordonatele punctelor b M şi N obţinem sistemul 9 a + 6 b = 9u +6v = u = 45 6 a + 4 b = 6u +4v = v = 0, unde u = a,v= b. Prin urmare, (E) : x 45 + y 0 =. ( ) 59 Fie (E) : x +4y =4oelipsăşi fie punctele M,, N(, ). a) Verificaţi că M (E); scrieţi ecuaţiatangenteilaelipsăprinm. b) Scrieţi ecuaţiile tangentelor la elipsă duseprinn.

24 4 a) Deoarece +4 se obţine prin dedublare: ( ) = 4, urmează că M (E). Ecuaţia tangentei în M la (E) (D) : xx M +4yy M =4,i.e.(D) : x + y 4=0. b) Deoarece +4 > 4, urmează că N este un punct exterior elipsei. Determinăm punctul de tangenţă T (x 0,y 0 ). Ecuaţia tangentei în acest punct la (E) estexx 0 +yy 0 =4. Cum N(, ) aparţine tangentei, obţinem că x 0 +8y 0 = 4. Deoarece T aparţine elipsei (E), urmează că x 0 +4y 0 =4. Obţinem că (x 0,y 0 ) {(, 0), ( 0, 45 } ), de unde se obţin tangentele (D) :x y +0=0,(D) : x =. 60 Să sescrieecuaţia parabolei raportată la axele sale de simetrie, fixată prin: ) focarul F (, 0); ) directoarea (D) : x = ; ) trece prin punctul A(, 4). Ecuaţia ( unei parabole raportată la axele sale de simetrie este y =px, având focarul p ) F, 0 şi directoarea de ecuaţie (D) : x = p. În aceste condiţii, avem: ) p = p =6 (P ): y =x; ) p = p =4 (P ): y =8x; ) 4 =p p =4 (P ): y =8x.

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare 1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe

Διαβάστε περισσότερα

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)

Διαβάστε περισσότερα

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera. pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu

Διαβάστε περισσότερα

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:

Διαβάστε περισσότερα

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice 1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE VECTORIALĂ, ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ. PROBLEME REZOLVATE. Gabriel POPA, Paul GEORGESCU c August 20, 2009, Iaşi

GEOMETRIE VECTORIALĂ, ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ. PROBLEME REZOLVATE. Gabriel POPA, Paul GEORGESCU c August 20, 2009, Iaşi GEOMETRIE VECTORIALĂ, ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ. PROBLEME REZOLVATE Gabriel POPA, Paul GEORGESCU c August 0, 009, Iaşi Cuprins 1 SPAŢIUL VECTORILOR LIBERI. STRUCTURA AFINĂ 4 SPAŢIUL VECTORILOR LIBERI.

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2 .1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,

Διαβάστε περισσότερα

Dreapta in plan. = y y 0

Dreapta in plan. = y y 0 Dreapta in plan 1 Dreapta in plan i) Presupunem ca planul este inzestrat cu un reper ortonormat de dreapta (O, i, j). Fiecarui punct M al planului ii corespunde vectorul OM numit vector de pozitie al punctului

Διαβάστε περισσότερα

Algebra si Geometrie Seminar 9

Algebra si Geometrie Seminar 9 Algebra si Geometrie Seminar 9 Decembrie 017 ii Equations are just the boring part of mathematics. I attempt to see things in terms of geometry. Stephen Hawking 9 Dreapta si planul in spatiu 1 Notiuni

Διαβάστε περισσότερα

y y x x 1 y1 Elemente de geometrie analiticã 1. Segmente 1. DistanŃa dintre douã puncte A(x 1,y 1 ), B(x 2,y 2 ): AB = 2. Panta dreptei AB: m AB =

y y x x 1 y1 Elemente de geometrie analiticã 1. Segmente 1. DistanŃa dintre douã puncte A(x 1,y 1 ), B(x 2,y 2 ): AB = 2. Panta dreptei AB: m AB = Elemente de geometrie analiticã. Segmente. DistanŃa dintre douã puncte A(, ), B(, ): AB = ) + ( ) (. Panta dreptei AB: m AB = +. Coordonatele (,) ale mijlocului segmentului AB: =, =. Coordonatele punctului

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VII Dreapta si planul

Lectia VII Dreapta si planul Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta. Ecuatii, pozitii relative Aplicatii Lectia VII Dreapta si planul Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VII Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta.

Διαβάστε περισσότερα

Conice - Câteva proprietǎţi elementare

Conice - Câteva proprietǎţi elementare Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii

Διαβάστε περισσότερα

7. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Un cerc care trece prin A şi B intersectează

7. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Un cerc care trece prin A şi B intersectează TEMĂ 1 1. În triunghiul ABC, fie D (BC) astfel încât AB + BD = AC + CD. Demonstraţi că dacă punctele B, C şi centrele de greutate ale triunghiurilor ABD şi ACD sunt conciclice, atunci AB = AC. India 2014

Διαβάστε περισσότερα

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale. 5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța

Διαβάστε περισσότερα

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială

Διαβάστε περισσότερα

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele

Διαβάστε περισσότερα

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este

Διαβάστε περισσότερα

2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu

2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu 2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu Pentru început sădefinim câteva noţiuni de bază în geometria analitică. Definitia 2.3.1 Se numeşte reper în spaţiu o mulţime formată dintr-un punct O (numit originea

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile

Διαβάστε περισσότερα

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE. 5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este

Διαβάστε περισσότερα

3. Locuri geometrice Locuri geometrice uzuale

3. Locuri geometrice Locuri geometrice uzuale 3. Locuri geometrice 3.. Locuri geometrice uzuale oţiunea de loc geometric în plan care se găseşte şi în ELEETELE LUI EUCLID se pare că a fost folosită încă de PLATO (47-347) şi ARISTOTEL(383-3). Locurile

Διαβάστε περισσότερα

Vectori liberi-seminar 1

Vectori liberi-seminar 1 Vectori liberi-seminar ) Determinati α R astfel incat vectorii ā = m+ n si b = m+α n sa fie coliniari, unde m, n sunt necoliniari. ) Demonstrati ca urmatorii trei vectori liberi sunt coplanari: ā = ī j

Διαβάστε περισσότερα

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gh. Asachi Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia

Διαβάστε περισσότερα

Vectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt.

Vectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt. liberi 1 liberi 2 3 4 Segment orientat liberi Fie S spaţiul geometric tridimensional cu axiomele lui Euclid. Orice pereche de puncte din S, notată (A, B) se numeşte segment orientat. Dacă A B, atunci direcţia

Διαβάστε περισσότερα

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a. Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 9. Geometrie analitică. 9.1 Repere

Capitolul 9. Geometrie analitică. 9.1 Repere Capitolul 9 Geometrie analitică 9.1 Repere Vom considera spaţiile liniare (X, +,, R)în careelementelespaţiului X sunt vectorii de pe odreaptă, V 1, dintr-un plan, V sau din spaţiu, V 3 (adică X V 1 sau

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. = înălţimea triunghiului echilateral h =, R =, r = R = bh lh 2 A D ++ D. abc. abc =

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. = înălţimea triunghiului echilateral h =, R =, r = R = bh lh 2 A D ++ D. abc. abc = GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile

Διαβάστε περισσότερα

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005. SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care

Διαβάστε περισσότερα

CERCUL LUI EULER ŞI DREAPTA LUI SIMSON

CERCUL LUI EULER ŞI DREAPTA LUI SIMSON CERCUL LUI EULER ŞI DREAPTA LUI SIMSON ABSTRACT. Articolul prezintă două rezultate deosebite legate de patrulaterul inscriptibil şi câteva consecinţe ce decurg din aceste rezultate. Lecţia se adresează

Διαβάστε περισσότερα

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu Primul test de selecție pentru juniori I. Să se determine numerele prime p, q, r cu proprietatea că 1 p + 1 q + 1 r 1. Fie ABCD un patrulater convex cu m( BCD) = 10, m( CBA) = 45, m( CBD) = 15 și m( CAB)

Διαβάστε περισσότερα

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8

Διαβάστε περισσότερα

3. REPREZENTAREA PLANULUI

3. REPREZENTAREA PLANULUI 3.1. GENERALITĂŢI 3. REPREZENTAREA PLANULUI Un plan este definit, în general, prin trei puncte necoliniare sau prin o dreaptă şi un punct exterior, două drepte concurente sau două drepte paralele (fig.3.1).

Διαβάστε περισσότερα

GA XI. 138 Să se calculeze produsul distanţelor unui punct oarecare al hiperbolei : d) ;

GA XI. 138 Să se calculeze produsul distanţelor unui punct oarecare al hiperbolei : d) ; c) 9 6 0 d) 6 0 0 Culegere de robleme e) 9 6 0 f) 0 9 6 9 GA XI. Pentru hierbola ( H ): să se calculee aria triunghiului format de asimtotele hierbolei (H) şi dreata ( d ): 9. a) b) 6 c) d) e) f) GA XI.

Διαβάστε περισσότερα

Curs 4 Serii de numere reale

Curs 4 Serii de numere reale Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 6 GEOMETRIE LINIARĂ ÎN SPAŢIU Sisteme de coordonate în plan şi în spaţiu. I. Coordonate carteziene

CAPITOLUL 6 GEOMETRIE LINIARĂ ÎN SPAŢIU Sisteme de coordonate în plan şi în spaţiu. I. Coordonate carteziene Geometrie liniară în spaţiu CAPITOLUL 6 GEOMETRIE LINIARĂ ÎN SPAŢIU 6.. Sisteme de coordonate în plan şi în spaţiu I. Coordonate carteziene În cele ce urmează, notăm cu E 3 spaţiul punctual tridimensional

Διαβάστε περισσότερα

Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.

Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I. Modelul 4 Se acordă din oficiu puncte.. Fie numărul complex z = i. Calculaţi (z ) 25. 2. Dacă x şi x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 2 9x+8 =, atunci să se calculeze x2 +x2 2 x x 2. 3. Rezolvaţi în mulţimea

Διαβάστε περισσότερα

DEFINITIVAT 1993 PROFESORI I. sinx. 0, dacă x = 0

DEFINITIVAT 1993 PROFESORI I. sinx. 0, dacă x = 0 DEFINITIVAT 1993 TIMIŞOARA PROFESORI I 1. a) Metodica predării noţiunii de derivată a unei funcţii. b) Să se reprezinte grafic funci a sinx, dacă x (0,2π] f : [0,2π] R, f(x) = x. 0, dacă x = 0 2. Fie G

Διαβάστε περισσότερα

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE 5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.

Διαβάστε περισσότερα

a carei ecuatie matriceala este data in raport cu R.

a carei ecuatie matriceala este data in raport cu R. POZITIA RELATIVA A UNEI DREPTE FATA DE O HIPERCUADRICA AFINA REALA. TANGENTE SI ASIMPTOTE. OANA CONSTANTINESCU Pentru studiul pozitiei relative a unei drepte fata de o hipercuadrica, remarcam ca nu mai

Διαβάστε περισσότερα

CONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ

CONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CONCURS DE ADMITERE, 7 iulie 207 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (30 puncte) ) (0 puncte) Să se arate că oricare ar

Διαβάστε περισσότερα

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ

Διαβάστε περισσότερα

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011 Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)

Διαβάστε περισσότερα

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1 1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2

Διαβάστε περισσότερα

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 2 VECTORI LIBERI. 2.1 Segment orientat. Vector liber

CAPITOLUL 2 VECTORI LIBERI. 2.1 Segment orientat. Vector liber Algebră liniară CAPITOLUL VECTORI LIBERI. Segment orientat. Vector liber Acest capitol este dedicat în totalitate studierii spaţiului vectorilor liberi, spaţiu cu foarte multe aplicaţii în geometrie, fizică

Διαβάστε περισσότερα

Conice şi cercuri tangente

Conice şi cercuri tangente Conice şi cercuri tangente Ioan POP 1 Abstract It proves how to obtain the non-degenerate conics, ellipse, hyperbola and parabola, of some basic tangent problems Keywords: circle, ellipse, hyperbola, parabola

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 998 Clasa a V-a. La gara Timișoara se eliberează trei bilete de tren: unul pentru Arad, altul pentru Deva și al treilea pentru Reșița. Cel pentru Deva

Διαβάστε περισσότερα

Aplicaţii ale numerelor complexe în geometrie, utilizând Geogebra

Aplicaţii ale numerelor complexe în geometrie, utilizând Geogebra ale numerelor complexe în geometrie, utilizând Geogebra Adevărul matematic, indiferent unde, la Paris sau la Toulouse, este unul şi acelaşi (Blaise Pascal) Diana-Florina Haliţă grupa 331 dianahalita@gmailcom

Διαβάστε περισσότερα

Introducere. ALGAD 2 - Geometrie analitica si diferentiala. Vectori liberi - produsul vectorial. Vectori liberi - produsul scalar

Introducere. ALGAD 2 - Geometrie analitica si diferentiala. Vectori liberi - produsul vectorial. Vectori liberi - produsul scalar Introducere Introducere ALGAD 2 - Geometrie analitica si diferentiala asist.dr. Ana Nistor Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Universitatea Tehnică Gh. Asachi din Iaşi Cursurile

Διαβάστε περισσότερα

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii

Διαβάστε περισσότερα

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006 Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale

Διαβάστε περισσότερα

Cercul lui Euler ( al celor nouă puncte și nu numai!)

Cercul lui Euler ( al celor nouă puncte și nu numai!) Cercul lui Euler ( al celor nouă puncte și nu numai!) Prof. ION CĂLINESCU,CNDG, Câmpulung Voi prezenta o abordare simplă a determinării cercului lui Euler, pe baza unei probleme de loc geometric. Preliminarii:

Διαβάστε περισσότερα

Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme

Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme GHEORGHE ECKSTEIN 1 Atunci când întâlnim o problemă pe care nu ştim s-o abordăm, adesea este bine să considerăm cazuri particulare ale acesteia.

Διαβάστε περισσότερα

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTE DE GEOMETRIE. Dorel Fetcu

ELEMENTE DE GEOMETRIE. Dorel Fetcu ELEMENTE DE GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ Dorel Fetcu Acest curs este un fragment din manualul D. Fetcu, Elemente de algebră liniară, geometrie analitică şi geometrie diferenţială, Casa Editorială

Διαβάστε περισσότερα

Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi

Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Produsul scalar: denitie, proprietati Schimbari de repere ortonormate in plan Aplicatii Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia III Produsul scalar:

Διαβάστε περισσότερα

Dacă centrul cercului este în origine, atunci ecuaţia cercului va fi = 2

Dacă centrul cercului este în origine, atunci ecuaţia cercului va fi = 2 Capitolul 9 CONICE ŞI CUADRICE 9.1 Conice pe ecuaţii reduse 9.1.1 Cercul Definiţia 9.1 Fie un plan () şi un reper ortonormat R =(; ) Cercul este locul geometric al punctelor din plan care au proprietatea

Διαβάστε περισσότερα

OANA CONSTANTINESCU. ( a carei ecuatie matriceala este data in raport cu un reper cartezian R = {O; ē 1,, ē n }.

OANA CONSTANTINESCU. ( a carei ecuatie matriceala este data in raport cu un reper cartezian R = {O; ē 1,, ē n }. ELEMENTE DE SIMETRIE ALE UNEI HIPERCUADRICE IN SPATII AFINE EUCLIDIENE OANA CONSTANTINESCU 1. Centru de simetrie pentru o hipercuadrica afina Pentru inceput cadrul de lucru este un spatiu an real de dimensiune

Διαβάστε περισσότερα

LUCRARE DE DIPLOMĂ CENTRE REMARCABILE ÎN TRIUNGHI

LUCRARE DE DIPLOMĂ CENTRE REMARCABILE ÎN TRIUNGHI UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ SPECIALIZAREA MATEMATICI APLICATE LUCRARE DE DIPLOMĂ CENTRE REMARCABILE ÎN TRIUNGHI Conducător Ştiinţific: Lect. Dr. VĂCĂREŢU

Διαβάστε περισσότερα

TRIUNGHIUL. Profesor Alina Penciu, Școala Făgăraș, județul Brașov A. Definitii:

TRIUNGHIUL. Profesor Alina Penciu, Școala Făgăraș, județul Brașov A. Definitii: TRIUNGHIUL Profesor lina Penciu, Școala Făgăraș, județul rașov Daca, si sunt trei puncte necoliniare, distincte doua câte doua, atunci ( ) [] [] [] se numeste triunghi si se noteaza cu Δ. Orice Δ determina

Διαβάστε περισσότερα

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. <

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. < Copyright c 009 NG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 17 iunie

Διαβάστε περισσότερα

Geometrie analitică şi. asist. Ciprian Deliu Universitatea Tehnică Gh. Asachi Iaşi Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului

Geometrie analitică şi. asist. Ciprian Deliu Universitatea Tehnică Gh. Asachi Iaşi Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Geometrie analitică şi diferenţială asist. Ciprian Deliu Universitatea Tehnică Gh. Asachi Iaşi Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului 014 Cuprins 1 Conice 3 1.1 Dreapta în plan............................

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul numarului intrebarii

Διαβάστε περισσότερα

Geometria diferenţială a curbelor în spaţiu

Geometria diferenţială a curbelor în spaţiu Geometria diferenţială a curbelor în spaţiu A. U. Thor 0.1 Generalităţi Definitia 1.1 Se numeşte curbă înspaţiu dată parametric mulţimea punctelor M (x, y, z) din spaţiuacăror coordonate sunt date de x

Διαβάστε περισσότερα

Integrala nedefinită (primitive)

Integrala nedefinită (primitive) nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei

Διαβάστε περισσότερα

Concursul Interjudeţean de Matematică Academician Radu Miron Vaslui, noiembrie Subiecte clasa a VII-a

Concursul Interjudeţean de Matematică Academician Radu Miron Vaslui, noiembrie Subiecte clasa a VII-a Concursul Interjudeţean de Matematică Academician Radu Miron Vaslui, -3 noiembrie 0 Subiecte clasa a VII-a. Fie în exteriorul triunghiului ascuţitunghic ABC, triunghiurile dreptunghice ABP şi ACT cu ipotenuzele

Διαβάστε περισσότερα

GRADUL II n α+1 1

GRADUL II n α+1 1 GRADUL II 2007 BUCUREŞTI 1. Fie A un inel cu unitate. Notăm cu Z(A) = {a A ( )x A,ax = xa}. Să se arate că: a) Z(A) este un subinel comutativ al lui A (numit centrul inelului A). b) Dacă B este un alt

Διαβάστε περισσότερα

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.

Διαβάστε περισσότερα

GRADUL II 1995 CRAIOVA PROFESORI I

GRADUL II 1995 CRAIOVA PROFESORI I GRADUL II 1995 CRAIOVA PROFESORI I 1. Fie f : R R definită prin f(x) = x(1+e x ). a) Să se arate că f este indefinit derivabilă şi că f (n) (x) = a n e x +b n xe x, ( ) n 3, ( ) x R. Deduceţi că a n+1

Διαβάστε περισσότερα

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4 SEMINAR 3 MMENTUL FRŢEI ÎN RAPRT CU UN PUNCT CUPRINS 3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere...1 3.1. Aspecte teoretice...2 3.2. Aplicaţii rezolvate...4 3. Momentul forţei

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2017 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii

CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2017 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii Clasa a IX-a 1 x 1 a) Demonstrați inegalitatea 1, x (0, 1) x x b) Demonstrați că, dacă a 1, a,, a n (0, 1) astfel încât a 1 +a + +a n = 1, atunci: a +a 3 + +a n a1 +a 3 + +a n a1 +a + +a n 1 + + + < 1

Διαβάστε περισσότερα

Testul nr. 1. Testul nr. 2

Testul nr. 1. Testul nr. 2 CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1986 Clasa a V-a 1. Este numărul 1+2+3+ +1985 par? 2. Să se afle cel mai mic număr natural care împărțit la 5 dă restul 4, împărțit la 6 dă restul

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0 Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,

Διαβάστε περισσότερα

CUPRINS 5. Reducerea sistemelor de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1

CUPRINS 5. Reducerea sistemelor de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1 CURS 5 REDUCEREA SISTEMELOR DE FORŢE (CONTINUARE) CUPRINS 5. Reducerea sistemelor de forţe (continuare)...... 1 Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul....2 5.1. Teorema lui Varignon pentru sisteme

Διαβάστε περισσότερα

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx +

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx + Corina şi Cătălin Minescu 1 Determinarea funcţiei de gradul al doilea când se cunosc puncte de pe grafic, coordonatele vârfului, intersecţii cu axele de coordonate, puncte de extrem, etc. Probleme de arii.

Διαβάστε περισσότερα

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:, REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii

Διαβάστε περισσότερα

1. Completati caseta, astfel incat propozitia obtinuta sa fie adevarata lg 4 =.

1. Completati caseta, astfel incat propozitia obtinuta sa fie adevarata lg 4 =. Copyright c ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician Ministerul Educatiei al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 4 iunie Profilul real Timp

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2018 Clasa a V-a. 1. Scriem numerele naturale nenule consecutive sub forma:

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2018 Clasa a V-a. 1. Scriem numerele naturale nenule consecutive sub forma: CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2018 Clasa a V-a 1. Scriem numerele naturale nenule consecutive sub forma: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18,... (pe fiecare

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

BAC 2007 Pro Didactica

BAC 2007 Pro Didactica BAC 007 Pro Didactica Testare Naţională Rezolvările variantelor 1 5 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net: http://www./ 5--007/versiune finală Cuprins Capitolul 1. Varianta 1 1. Subiectul

Διαβάστε περισσότερα

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3 SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest

Διαβάστε περισσότερα

7. PROBLEME DE SINTEZĂ (punct, dreaptă, plan, metode)

7. PROBLEME DE SINTEZĂ (punct, dreaptă, plan, metode) PL STZĂ 115 7. PL STZĂ (punct, dreaptă, plan, metode) 7.1 Probleme reolvate 1. Se dă forma geometrică din figura 7.1. Să se repreinte epura ei şi să se studiee tipurile de drepte, plane şi poiţiile relative

Διαβάστε περισσότερα

6.CONUL ŞI CILINDRUL. Fig Fig. 6.2 Fig. 6.3

6.CONUL ŞI CILINDRUL. Fig Fig. 6.2 Fig. 6.3 6.CONUL ŞI CILINDRUL 6.1.GENERALITĂŢI Conul este corpul geometric mărginit de o suprafaţă conică şi un plan; suprafaţa conică este generată prin rotaţia unei drepte mobile, numită generatoare, concurentă

Διαβάστε περισσότερα

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă. III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar

Διαβάστε περισσότερα

Lucian Maticiuc SEMINAR Conf. dr. Lucian Maticiuc. Capitolul VI. Integrala triplă. Teoria:

Lucian Maticiuc SEMINAR Conf. dr. Lucian Maticiuc. Capitolul VI. Integrala triplă. Teoria: Capitolul I: Integrala triplă Conf. dr. Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Analiza Matematică II, Semestrul II Conf. dr. Lucian MATICIUC Teoria: SEMINAR 3 Capitolul I. Integrala

Διαβάστε περισσότερα

Timp alocat: 180 minute. In itemii 1-4 completati casetele libere, astfel incat propozitiile obtinute sa fie adevarate.

Timp alocat: 180 minute. In itemii 1-4 completati casetele libere, astfel incat propozitiile obtinute sa fie adevarate. Copyright c 009 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 15 iunie

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 8 CURBE ÎN PLAN ŞI ÎN SPAŢIU Curbe în plan

CAPITOLUL 8 CURBE ÎN PLAN ŞI ÎN SPAŢIU Curbe în plan CAPITOLUL 8 CURBE ÎN PLAN ŞI ÎN SPAŢIU 81 Curbe în plan I Definiţia analitică a curbelor plane În capitolul 7 am studiat deja câteva eemple de curbe plane, amintim aici conicele nedegenerate: elipsa, hiperbola

Διαβάστε περισσότερα

BACALAUREAT 2007 SESIUNEA IULIE M1-1

BACALAUREAT 2007 SESIUNEA IULIE M1-1 BACALAUREAT 2007 SESIUNEA IULIE M1-1 Filiera teoretică, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaţională, profil Militar, specializarea matematică - informatică. a) Să se calculeze modulul vectorului

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 10 CONICE ŞI CUADRICE Conice pe ecuaţii reduse Elipsa

Capitolul 10 CONICE ŞI CUADRICE Conice pe ecuaţii reduse Elipsa Capitolul 1 CONICE ŞI CUADRICE 1.1 Conice pe ecuaţii reduse 1.1.1 Elipsa Definiţia 1.1 Elipsa este locul geometric al punctelor din plan cu proprietatea că suma distanţelor la două puncte fie, F şi F (numite

Διαβάστε περισσότερα

CURS MECANICA CONSTRUCŢIILOR

CURS MECANICA CONSTRUCŢIILOR CURS 10+11 MECANICA CONSTRUCŢIILOR Conf. Dr. Ing. Viorel Ungureanu CINEMATICA SOLIDULUI RIGID In cadrul cinematicii punctului material s-a arătat ca a studia mişcarea unui punct înseamnă a determina la

Διαβάστε περισσότερα

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare

Διαβάστε περισσότερα

4.Inversul lui z=a+bi este nr.complex, z cu proprietatea ca zz =1, rezulta z =a/(a 2 +b 2 ) (bi)/(a 2 +b 2 ) si notam z =z -1

4.Inversul lui z=a+bi este nr.complex, z cu proprietatea ca zz =1, rezulta z =a/(a 2 +b 2 ) (bi)/(a 2 +b 2 ) si notam z =z -1 Numere complexe 1.Multimea numerelor complexe este C=RxR={(a;b)/a,b R} cu operatiile: z 1 =(a 1 ;b 1 ), z 2 =(a 2 ;b 2 ) a 1 ;b 1 ;a 2 ;b 2 R, z 1 +z 2 = (a 1 +a 2 ; b 1 +b 2 ), z 1 z 2 = (a 1 a 2 - b

Διαβάστε περισσότερα

CUPRINS 3. Sisteme de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1

CUPRINS 3. Sisteme de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1 CURS 3 SISTEME DE FORŢE (continuare) CUPRINS 3. Sisteme de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul....2 3.1. Momentul forţei în raport cu un punct...2 Test de autoevaluare

Διαβάστε περισσότερα

Cap. I NOŢIUNI FUNDAMENTALE DESPRE VECTORI

Cap. I NOŢIUNI FUNDAMENTALE DESPRE VECTORI Cap. I NOŢIUNI FUNDAMENTALE DESPRE VECTORI In mecanică există mărimi scalare sau scalari şi mărimi vectoriale sau vectori. Mărimile scalare (scalarii) sunt complet determinate prin valoarea lor numerică

Διαβάστε περισσότερα

Curs 2 Şiruri de numere reale

Curs 2 Şiruri de numere reale Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un

Διαβάστε περισσότερα

1. Teorema lui Menelaus in plan Demonstratia teoremei in plan (clasa a VII-a). DC EC F B DB EA = 1.

1. Teorema lui Menelaus in plan Demonstratia teoremei in plan (clasa a VII-a). DC EC F B DB EA = 1. TEOREMA LUI MENELAUS IN PLAN SI SPATIU OANA CONSTANTINESCU In acest material generalizam teorema lui Menelaus din planul euclidian la spatiul euclidian trei dimensional, prezentand doua metode de demonstratie,

Διαβάστε περισσότερα

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Miisterul Educaţiei Națioale Cetrul Naţioal de Evaluare şi Eamiare Eameul de bacalaureat aţioal 08 Proba E c) Matematică M_mate-ifo Clasa a XI-a Toate subiectele sut obligatorii Se acordă 0 pucte di oficiu

Διαβάστε περισσότερα