GA XI. 138 Să se calculeze produsul distanţelor unui punct oarecare al hiperbolei : d) ;

Transcript

1 c) d) 6 0

2 0 Culegere de robleme e) f) GA XI. Pentru hierbola ( H ): să se calculee aria triunghiului format de asimtotele hierbolei (H) şi dreata ( d ): 9. a) b) 6 c) d) e) f) GA XI. Să se calculee rodusul distanţelor unui unct oarecare al hierbolei : la cele două asimtote. b a a b a) ; a b a b b) ; a b a b c) ; a b a b d) ; a b a b e) ; a b f). GA XI. 9 Se consideră hierbola de ecuaţie. O secantă aralelă cu b a aa (O) taie curba în unctele M şi N M fiind e aceeaşi ramură a curbei ca şi vârful A. Fie T intersecţia dretei (MN) cu tangenta în A la hierbolă. Să se determine m R astfel ca să aibe loc relaţia : b TM TN ma AT 0 a) m - b) m c) m - d) m e) m f) m GA - XI. 0 Se consideră hierbola de ecuaţie: 0şi dreata (d) de ecuaţie: Să se scrie ecuaţiile tangentelor la hierbolă aralele cu dreata (d). a) şi - 0 b) şi - 0 c) şi - 0 d) şi - 0

3 Geometrie analitică XI e) şi - 0 f) - 0 şi 0 GA - XI. Fie hierbola echilateră a cu vârfurile A şi A'. Să se afle locul geometric al intersecţiei dretei ( MA' ) cu simetrica dretei (MA) faţă de aa ( AA' ) M fiind un unct mobil e hierbolă. a) hierbola echilaterală c) elisa a a e) hierbola a a a b) cercul d) cercul a a f) elisa a a GA - XI. Să se scrie ecuaţiile tangentelor la hierbola unctul (0). rin 9 a) - 0 b) - 0 c) d) ± e) - ± 0 f) GA - XI. Se consideră hierbola de vârfuri A( a 0) A'(-a0) şi focare F( c0) şi F'( c0). Perendiculara în A e aa (AA') taie o asimtotă în G. Să se determine mărimea unghiului FGF'. π π π π a) b) c) d) e) arctg f) arctg GA - XI. Să se determine unghiul ascuţit dintre asimtotele hierbolei c având raortul c - fiind abscisa unui focar al hierbolei. a b a a) 0 b) c) 90 d) e) f) 60 GA - XI. Un cerc de centru C(0) este tangent ramurilor hierbolei

4 Culegere de robleme 0. Să se determine coordonatele unctelor de contact. şi b) şi a) ( ) ( ) d) şi c) şi e) (0) şi (-0) f) ( ) şi ( ) A ( a 0) GA XI. 6 O hierbolă de centru O şi semiae a şi b are vârfurile şi situate e aa transversală (O). Un unct mobil M al hierbolei se A ( a 0) roiecteaă în N e aa (O) iar P este mijlocul segmentului MN. Să se afle locul geometric al unctului G centrul de greutate al triunghiului AP A. Ce este acesta? a b a) cerc de raă r ab b) elisă de semiae şi. 6 c) hierbolă de semiae 6 a şi b e) hierbolă de semiae a şi 6 b d) arabolă de arametru ab f) elisa de semiae a şi 6 b GA XI. Ce este locul geometric al unctelor de unde se ot duce tangente ortogonale la hierbola 0 ( a > b)? a b a) dreată; b) cerc; c) elisă; d) arabolă; e) hierbolă; f) segment de dreată GA - XI. Pe aa (O) a reerului carteian (O) se iau unctele M şi N astfel încât rodusul absciselor lor să fie constanta a. Prin M şi N se duc două drete (MP)

5 Geometrie analitică XI şi (NP) având coeficienţii unghiulari egali resectiv cu b a şi b a ab (0 se afle locul geometric al unctului P. a) elisă b) hierbolă c) arabolă d) cerc e) dreată f) ătrat ). Să GA - XI. 9 Se dă hierbola. Prin unctul A( -) să se ducă o coardă la hierbolă astfel încât acest unct s-o îmartă în două ărţi egale. a) - 0 b) - 0 c) - 0 d) - 0 e) - 0 f) GA - XI. 0 Să se determine coordonatele focarului F al arabolei a) F 0 b) ( 0) d) F 0 e) 0 F c) F ( 0) F f) F ( 0) GA - XI. Prin focarul arabolei se duce o coardă AB care face unghiul α cu aa (O). Dacă rin focar se mai duce şi corda CD care este erendiculară e AB să se calculee suma S AB CD a) b) c) d) e) f) GA - XI. Să se determine ecuaţia unei arabole raortată la aa de simetrie şi tangenta în vârf ştiind că trece rin unctul A() aoi să se scrie ecuaţia normalei în unctul A.

6 Culegere de robleme a) - 0 b) c) d) 6-0 e) - 0 f) 6-0 GA - XI. Fiind dată arabola de ecuaţie să se scrie ecuaţia normalei la arabolă în unctul A(). a) - b) c) - d) e) - f) - - GA XI. Să se calculee aria triunghiului format de dreata 0 şi normalele la arabola în unctele sale de intersecţie cu dreata dată. a) 0 b) c) d) e) f) GA - XI. Se dă arabola de ecuaţie şi unctul A ( 0). Dreata (d) 0 este tangentă arabolei în unctul B iar dreata (AB) taie a doua oară arabola în C. Să se determine m astfel ca AC mab. a) m b) m c) m d) m e) m f) m GA - XI. 6 Să se scrie ecuaţia unei drete care trece rin unctul P( -) şi este tangentă la arabola. a) - 0 b) - 0 c) d) 0 e) - 0 f)

7 Geometrie analitică XI GA - XI. Fie arabola de ecuaţie şi M un unct mobil e aceasta. Tangenta în M la arabolă taie aa arabolei în unctul T iar normala în M la arabolă taie aa arabolei în N. Să se afle locul geometric al centrului de greutate al triunghiului TMN. a) b) c) d) e) f) 9 9 GA XI. La ce distanţă de vârf trebuie lasată o sursă luminoasă e aa unui reflector arabolic de înălţime 0 cm şi diametrul baei 0 cm entru a roduce rin refleie un fascicol de rae aralele. a) 0 cm; b) cm; c) cm; d) cm; e) cm; f) cm. GA - XI. 9 Să se determine un unct M situat e arabola 6 cât mai aroae osibil de dreata 0 şi să se calculee distanţa de la unctul M la această dreată. a) M(9 -) d b) M(9 -) d d) M(9) d e) M( -) d c) M() d f) M() d GA XI. 60 Fie AB o coardă a arabolei (>0) erendiculară e aa de simetrie (O). Se consideră un cerc de diametru AB care mai intersecteaă arabola în unctele C şi D. Să se calculee distanţa dintre coardele AB şi CD. a) b) c) d) e) f)

8 6 Culegere de robleme GA XI. 6 Pe arabola se consideră unctele A şi B de ordonate a şi b astfel încât dreata (AB) să treacă rin focarul arabolei. Tangentele în A şi B se intersecteaă într-un unct C. Fie P unctul de intersecţie al normalelor la arabolă duse în A şi B iar D unctul de intersecţie al dretei (CP) cu arabola. Să se determine astfel ca R m CD m CP. a) m b) m c) m d) m e) m f) m GA XI. 6 Fie ( ) ( ) i M i i i trei uncte distincte situate e arabola ( ). Ştiind că centrul de greutate al triunghiului P : M M M aarţine aei (O) în funcţie de coordonatele unctelor M şi M să se determine coordonatele unctului de concurenţă al celor trei normale la arabolă duse în unctele M M şi M. a) ( ) ( ) b) ( ) ( ) c) ( ) ( ) d) ( ) ( ) e) ( ) ( ) f) ( ) ( ) GA - XI. 6 În lanul raortat la un reer carteian se consideră arabola P:. Fie M un unct e arabolă. Să se determine în funcţie de abscisa m a lui M coordonatele unctului T unde tangenta în M la P taie aa (O). Să se calculee aria triunghiului OTM şi coordonatele centrului de greutate G al aceluiaşi triunghi. a) T [ ] m m m 0 6 σ OTM G m b) T [ ] 6 G OTM 0 m m m m σ

9 Geometrie analitică XI m c) T ( m 0) σ [ OTM] G( m m ) d) T ( m 0) σ[ OTM] e) T [ ] m m m G m m m m 0 σ OTM G f) T ( m 0) σ[ OTM] m G( m m ) GA XI. 6 Pe arabola se consideră unctul M şi simetricul său M faţă de aa de simetrie. Să se găsească locul geometric al intersecţiei tangentei în M la arabolă cu aralela dusă rin M la aa de simetrie. a) 0 b) 0 c) 0 d) e) f) GA - XI. 6 Să se determine locul geometric al unctelor de unde se ot duce tangente erendiculare la o arabolă a) dreată; b) cerc; c) elisă; d) arabolă; e) hierbolă oarecare f) hierbolă echilaterală. GA - XI. 66 Fie în lanul (O) unctul fi A(0) e aa (O) şi unctele M şi N mobile e aa (O) astfel încât lungimea segmentului MN este. Să se afle locul geometric al unctului de intersecţie al erendicularelor ridicate în M şi N resectiv e (AM) şi (AN). a) cercul b) dreata erendiculară e c) elisa cu centru în O aa O în unctul (-0) şi semiae şi d) arabola e) cercul de ecuaţie f) arabola GA - XI. 6 Fie în lanul (O) elisa şi hierbola. Să b a a b se determine dretele ce trec rin centrul comun al celor două curbe şi le taie e

10 Culegere de robleme acestea în unctele în care tangentele la curbele resective sunt erendiculare între ele. b b b a) ± b) ± c) ± a a a b b a d) ± e) ± f) a a b GA - XI. 6 Punctele A(-) B(0-) C(--) şi D(-) sunt vârfurile unui tetraedru. Să se calculee înălţimea coborâtă din vârful A. a) b) c) d) e) f) GA - XI. 69 Fie unctele A(00) B(0) C(0) şi D(). Să se calculee volumul tetraedrului ABCD. a) 6 b) c) d) 6 e) f) GA - XI. 0 Să se determine mulţimea valorilor arametrului α R astfel încât unctele A(-0) B(0) C(0-) şi D(α) să determine un tetraedru ce are volumul egal cu / unităţi de volum. } { } c) { } } { } f) { } a) { b) d) { e) GA - XI. Se dau vectorii a i j b j k c i k. Să se calculee volumul araleliiedului construit e cei trei vectori şi înălţimea araleliiedului coresunătoare baei construite e vectorii a şi b

11 Geometrie analitică XI 9 a) V ; h b) V ; h c) V h d) V h e) V ; h f) V h GA - XI. Să se scrie ecuaţiile dretei D ce trece rin originea aelor de coordonate în saţiu şi este aralelă cu dreata (AB) determinată de unctele A(- 0) şi B(-). a) D : b) D : c) D : d) D : e) D : f) D : GA - XI. Determinaţi unctul M(q) din saţiu ce se află e dreata ce trece rin unctele (0) şi (). a) ( ) b) c) d) f) e) ( ) GA - XI. Să se determine ecuaţiile dretei care este aralelă cu segmentul MN şi trece rin P unde M() N(0) şi P(00). a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f)

12 0 Culegere de robleme GA - XI. Să se scrie ecuaţiile canonice ale medianelor triunghiuluilui cu vârfurile A(-) B(-6) C(). a) 6 b) 0 c) d) 6 0 e) f) GA - XI. 6 Să se determine unctele de intersecţie cu lanele de coordonate (O O O) ale dretei ce trece rin unctele M (-66-) şi M (-6). a) (-90) (0-) (0-) b) (9-0) (0-) (0-) c) (0) (0-) (0) d) (-90) (0) (0-) e) (9) ()(0) f) (6) (0) (0) GA - XI. Să se verifice dacă următoarele drete (d ) şi (d ) definite rin:

13 Geometrie analitică XI ( d ): t t 9 t ( t R) ( d ): s s s ( s R) sunt colanare şi în ca afirmativ să se scrie ecuaţiile erendicularei e lanul determinat de (d ) (d ) ştiind că aceasta trece rin unctul P 0 (6) a) Nu sunt colanare b) Da; 6 c) Da; 6 d) Da; e) Da f) Da GA - XI. Să se scrie ecuaţia lanului care conţine unctul A(0-) şi dreata (d) t t t ( t R). a) 0 b) 0 c) 0 d) 0 e) 0 f) 0 GA - XI. 9 În R se consideră unctele A(-0) B() C(0-). Să se scrie ecuaţia lanului determinat de cele trei uncte. a) b) c) 0 d) 0 e) 0 f) GA - XI. 0 Determinaţi valoarea numărului real α astfel ca unctele A(0-) B(0) C(-) şi D(α) să fie colanare. a) α0 b) α- c) α d) α e) α- f) α

14 Culegere de robleme GA - XI. Să se determine α R astfel încât unctele A( α-) B(-- α) C(--) D(0-0) să fie colanare a) { } d) { } α b) α { } c) α { } α e) α { 0} f) α { 0} GA - XI. Să se calculee volumul tetraedrului OABC unde O este originea sistemului saţial de ae ( O) A ( O) P B ( O) P C ( O) P iar P este lanul de ecuaţie P : 6 0 a) 6 b) c) d) 6 e) f) GA - XI. Să se scrie ecuaţia lanului P care conţine unctul A(-0) şi este aralel cu lanul Q ce intersecteaă aele de coordonate în unctele A(00) B(0-0) şi C(00). a) 6 0 b) 0 c) 0 d) 6 0 e) 9 0 f) 6 0 GA - XI. Să se scrie ecuaţia unui lan ce conţine unctul M 0 (-) şi este erendicular e dreata de intersecţie a lanelor 0 şi 0 a) 0 b) 0 c) 0 d) 0 e) 0 f) 0

15 Geometrie analitică XI GA - XI. Determinaţi ecuaţia lanului ce are fiecare unct echidistant de unctele A(-) şi B(). a) 9 0 b) 0 c) 0 d) 0 e) 0 f) 0 GA - XI. 6 Să se determine valorile lui c şi d astfel încât dreata să fie inclusă în lanul c d 0. a) c d -; b) c - d -; c) c d d) c - d -; e) c - d; f) c - d - GA - XI. Determinaţi roiecţia ortogonală a unctului A(0) e lanul 0 a) (-) b) ( - ) c) d) e) f) (0) GA - XI. Să se determine simetricul originii O(000) faţă de lanul π : 0 a) O ' b) O ' c) O ' d) O ' e) O ' f) O '( )

16 Culegere de robleme GA - XI. 9 Să se afle simetricul M al unctului M() faţă de dreata de ecuaţii: 6 6 a) M ' b) M ' c) 6 M ' d) M ' e) M ' f) M ' GA - XI. 90 Să se determine ecuaţia lanului care conţine erendicularele duse din unctul P(-) e lanele π : 0 ; π : 0 a) ; b) c) d) e) f) GA - XI. 9 Pentru ce valori ale arametrului a lanul a 0 este aralel cu dreata 0 a) a b) a c) a0 d) a- e) a- f) a GA - XI. 9 Să se scrie ecuaţia unei drete (d) care trece rin unctul A(- -) şi se srijină e dretele (d ): şi (d ): a) b)

17 Geometrie analitică XI c) e) 0 d) 0 f) Nu eistă o astfel de dreată GA - XI. 9 Să se determine distanţa de la unctul M 0 () la lanul π : 0 a) b) c) d) e) f) GA - XI. 9 Să se scrie ecuaţiile dretei ce se obţine roiectând dreata (d) : e lanul P: 0. 0 a) b) c) 0 d) e) f) GA - XI. 9 Dreata (d): 0 α 0 este aralelă cu lanul P dacă: a) P : ; α b) P : ; α 0 c) P : 0; α d) P : 0; α e) P : 0; α f) P : 0; α 0 GA - XI. 96 Să se determine ecuaţia lanului ce conţine dreata

18 6 Culegere de robleme (d): 0 0 şi este erendicular e lanul P :. a) 0 b) -0 c) 0 d) e) - f) 0 GA - XI. 9 Distanţa dintre dretele (d ): şi (d): 0 este: 0 a) b) c) d) e) f) GA - XI. 9 Să se determine arametrii α β R astfel încât dretele β (d ): şi (d): să determine un lan. α β a) α R β R b) α β c) α R β sau α β R d) α β R sau α β e) α β φ f) α β 0 α GA - XI. 99 Se dau : dreata (D) β şi lanul (P) 0. Să se determine valorile reale ale lui α ş i β entru care dreata (D) se află în lanul (P). a) α β b) α β c) α β d) α β e) α β f) α β

19 Geometrie analitică XI GA - XI. 00 Se dau unctele A(); B(--); C(-). Să se scrie ecuaţiile medianei duse din vârful A în triunghiul ABC. a) b) c) d) e) f) GA - XI. 0 Să se scrie ecuaţia lanului ce trece rin unctul A(ab) situat e dreata (d ): şi este erendicular e dreata (d ):. a) 0 b) 0 c) 0 d) 0 e) 0 f) 0 GA - XI. 0 Se consideră unctele A(-0) B(0-) C(--). Să se determine 9 0 arametrul α astfel ca dreata (D) să fie aralelă cu lanul α 0 determinat de unctele A B şi C. a) α b) α c) α d) α e) α0 f) α- 0 0 GA - XI. 0 Fie dretele (D ) (D) şi unctul 0 0 A(-). Să se scrie ecuaţia lanului care trece rin unctul A şi este aralel cu dretele (D ) şi (D ). a) 0 b) 0 c) 0 d) 0 e) 0 f) 0

20 Culegere de robleme GA - XI. 0 Se consideră dreata în saţiu (D) şi unctul A(0). Să se calculee distanţa de la unctul A(0) la dreata (D). a) b) c) 6 d) e) f) 0 GA - XI. 0 Să se scrie ecuaţia lanului ce trece rin unctul A(0-) şi conţine dreata D: 0 0 a) 0 b) 0 c) 0 d) 0 e) 0 f) 0 GA - XI. 06 Se dau lanul P: 0 şi unctele A(-) B(). Să se scrie ecuaţiile dretei ce trece rin simetricele unctelor A şi B în raort cu lanul P. a) b) c) d) e) f) GA - XI. 0 Să se determine ecuaţiile unei drete care trece rin unctul A(-) şi este aralelă cu dreata D

21 Geometrie analitică XI 9 D: 0 0 a) b) c) e) d) f) GA - XI. 0 Fiind dată dreata D: 0 să se determine o dreată D aralelă cu D care intersecteaă aa (O) într-un unct de abscisă. a) D ': 0 b) D ': 0 c) D' : 0 d) D' : 0 e) D ': 0 f) D' : 0 GA - XI. 09 Să se găsească dreata D care în lanul (O) este aralelă şi echidistantă în raort cu dretele: D : 0 şi D: 0 a) 0 b) 0 c) 0 d) 0 e) 0 f) 0 GA - XI. 0 Determinaţi deendenţa liniară între gradele Celsius C şi gradele Fahrenheit F ştiind că aa îngheaţă la 0 0 Celsius şi 0 Fahrenheit şi fierbe la 00 0 Celsius şi 0 Fahrenheit. 9 a) F C b) F C c) F C 9 d) F C e) F C 0 f) F C 00