CAPITOLUL 6 GEOMETRIE LINIARĂ ÎN SPAŢIU Sisteme de coordonate în plan şi în spaţiu. I. Coordonate carteziene

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "CAPITOLUL 6 GEOMETRIE LINIARĂ ÎN SPAŢIU Sisteme de coordonate în plan şi în spaţiu. I. Coordonate carteziene"

Transcript

1 Geometrie liniară în spaţiu CAPITOLUL 6 GEOMETRIE LINIARĂ ÎN SPAŢIU 6.. Sisteme de coordonate în plan şi în spaţiu I. Coordonate carteziene În cele ce urmează, notăm cu E 3 spaţiul punctual tridimensional al geometriei elementare şi cu V 3 spaţiul ectorilor liberi. Reamintim (ezi Obseraţia.3. b)) că un punct fixat O E 3 şi o bază canonică { i, j, k } a lui V 3 definesc în mod unic un sistem de trei axe Ox, Oy şi Oz, orientate de ersorii i, j şi respecti k, perpendiculare două câte două şi care au aceeaşi origine şi aceeaşi unitate de măsură. Acestea formează reperul cartezian Oxyz. Datorită corespondenţei bijectie între mulţimea reperelor carteziene Oxyz şi cea a ansamblelor {O, i, j, k } se mai spune că acestea din urmă reprezintă nişte repere carteziene. Fie M E 3 şi fie M i, i =,,3 proiecţiile lui M pe axele carteziene Ox, Oy şi respecti Oz. Notăm cu x, z şi z coordonatele corespunzătoare punctelor M, M şi M 3 (ezi Obseraţia.3. b) pentru definiţia coordonatelor). Tripletul ordonat de numere reale (x,y,z) R 3 reprezintă coordonatele carteziene ale punctului M în reperul cartezian Oxyz. 74

2 Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială În cazul plan om nota cu E planul geometriei elementare. Se constată uşor că mulţimea ectorilor liberi cu reprezentanţi în planul E este un subspaţiu ectorial V, de dimensiune, al lui V 3. Este clar că, în acest subspaţiu, a exista o bază ortonormată { i, j}. Aşa cum am arătat mai sus, unui punct fixat O E şi bazei { i, j} i se poate asocia în mod unic un sistem de axe Ox şi Oy, perpendiculare, cu aceeaşi origine şi aceeaşi unitate de lungime. Aceste axe or defini un reper cartezian Oxy în plan. Ca şi în spaţiu, se definesc coordonatele carteziene (x, y) ale unui punct M E astfel încât OM = x i + y j (Fig. 8). II. Coordonate polare. Legătura între coordonatele carteziene şi cele polare Considerăm Ox, o axă în planul E cu originea O, numită axă polară. Atunci poziţia unui punct M E poate fi caracterizată prin perechea de numere reale (ρ, θ) (, ) [, π), numite coordinate polare, care au următoarea semnificaţie: ρ este distanţa euclidiană de la originea O la punctul M iar θ este măsura unghiului orientat definit de semidreptele Ox şi OM (θ = m( (Ox, OM))). Dacă suprapunem axa polară Ox cu axa carteziană Ox, atunci se obţine următoarea legătură între coordonatele carteziene şi cele polare ale punctului M: 75

3 Geometrie liniară în spaţiu x = ρ cosθ sau ρ = x + y, sinθ =y/ x + y, cos θ = x/ x + y. y = ρ sinθ III. Coordonate sferice şi cilindrice. Legătura cu coordonatele carteziene Coordonate sferice În spaţiul E 3 considerăm reperul Oxyz format din trei drepte concurente în O, perpendiculare două câte două. Fie M O un punct din E 3 şi fie M i, i =,,3 proiecţiile lui M pe dreptele Ox, Oy şi Oz. De asemenea fie M` proiecţia punctului M pe planul Oxy (ezi Fig. 9). Notăm cu r distanţa euclidiană dintre O şi M, cu θ măsura unghiului orientat (Ox, OM`), θ [,π) şi cu ϕ măsura unghiului orientat (Oy, OM), ϕ [,π ). Numerele reale (r, θ, ϕ) se numesc coordonatele sferice ale punctului M. Fie (x, y, z) coordonatele carteziene ale punctului M. Dacă notăm ρ = OM` se obseră că x = ρcos θ, y = ρ sin θ, ρ = r sinϕ. Acum este uşor de ăzut că legătura dintre coordonatele sferice (r, θ, ϕ) şi cele carteziene este dată de relaţiile x = rsinϕ cos θ, y = rsinϕ sin θ, z = rcosϕ. Originea este definită de ρ = şi θ, ϕ nedeterminaţi. 76

4 Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială Coordonate cilindrice Considerăm reperul cartezian Oxyz şi punctul M E 3, M O (Fig. ). Dacă M` este proiecţia punctului M pe planul Oxy atunci considerăm tripletul (ρ, θ, z) unde ρ şi θ sunt definiţi ca şi în cazul coordonatelor sferice iar z este coordonata proiecţiei M 3 a lui M pe axa Oz. Este clar că între coordonatele carteziene şi cele cilindrice există următoarele relaţii x =ρ cos θ, y =ρ sin θ, z = z, ρ >, θ [,π). Originea este definită de ρ = şi z = şi θ nedeterminat. 6.. Rototranslaţia în plan şi spaţiu Definiţia 6.. Fie V 3 spaţiul ectorial al ectorilor liberi dotat cu produsul scalar introdus de Definiţia.4.. a) O transformare liniară ortogonală R L R (V 3 ), a cărei matrice asociată într-o bază a lui V 3 are determinantul egal cu se numeşte rotaţie. b) Dacă V 3, atunci funcţia T: V 3 V 3 definită prin T(x) = x +, x V 3 se numeşte translaţie de ector. Propoziţia 6.. a) Rotaţia păstrează produsul scalar şi în consecinţă distanţa euclidiană. b) Dacă T este o translaţie de ector 77

5 Geometrie liniară în spaţiu atunci T - există şi este tot o translaţie de ector -. c) Translaţia păstrează distanţa euclidiană. Demonstraţie. a) Intr-adeăr, rotaţia este în particular o transformare ortogonală şi, în consecinţă, păstrează produsul scalar (a se edea punctul 3. din Propoziţia 4.4.). Fie x, y V 3. Aem R(x) R(y) = R(x y) = < R(x - y), R(x - y)> = <(x - y), (x - y)> = x y şi rezultă concluzia. b) Dacă T - : V 3 V 3, T - (x) = x -, x V 3 atunci T T - (x) = T - (x) + = x + = x, pentru orice x V 3. Analog se arată că T - T(x) = x, x V 3 şi rezultă concluzia. c) Este triial. O funcţie f : V 3 V 3, care este surjectiă şi care păstrează distanţa euclidiană se numeşte izometrie. Aplicând propoziţia de mai sus, deducem că rotaţiile şi translaţiile sunt izometrii. Este uşor de ăzut că rezultatul compunerii a două izometrii este tot o izometrie. În general, se poate arăta că orice izometrie f este fie o transformare ortogonală dacă f() =, fie o compunere dintre o rotaţie R şi o translaţie T, f = T R, în caz contrar.(pentru demonstraţie se poate consulta [6].) Schimbări de repere carteziene în plan Considerăm două repere carteziene {O, i, j } şi {O`, i `, j ` } în planul E (izomorf cu R ). Primul reper cartezian a mai fi notat şi Oxy iar cel de al doilea O`x`y`, după numele axelor 78

6 Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială de coordonate asociate. Fie M E un punct ale cărui coordonate carteziene faţă de cele două repere sunt (x, y) şi respecti (x`,y`). Presupunem că (a, b) sunt coordonatele punctului O` în raport cu reperul cartezian Oxy şi că θ este unghiul dintre direcţia axei Ox şi cea a axei O`x`. În cele ce urmează om arăta că aplicaţia f: R R, (x`, y`) (x, y), care în mod eident este o izometrie, este compunerea dintre o rotaţie R şi o translaţie T, f = T R. Pentru început, obserăm că relaţia OM = (6..) x i + y j = a i + b j + x` i ` + y` j `. 79 OO `+ O ' M se mai scrie Reamintim că < i, j> =, < i, i > =, < i, i `> = cos θ, < i, j `> = cos (θ + π/) = - sinθ, < j, j> =, < j, i `> = sin θ, < j, j `> = cosθ. Făcând pe rând produsul scalar dintre i, j şi (6..) obţinem relaţiile (6..) x = a + x`cosθ - y`sinθ y = b + x`sinθ + y`cosθ. Definim aplicaţia R: R R, R(x`, y`) = (x, y ), x = x`cosθ - y`sinθ, y = x`sinθ + y`cosθ. Este uşor de ăzut că R este o rotaţie, în sensul Definiţiei 6... Intuiti, această transformare arată cum se schimbă coordonatele unui punct M dacă reperul cartezian faţă de care se calculează noile coordonate se obţine prin rotirea lui O`x`y` cu unghiul θ în sensul acelor de ceasornic. Din acest moti spunem că R este o rotaţie de unghi θ. Pe de altă parte, aplicaţia T: R R, T(x, y ) = (x, y), x = a + x, y = b + y este în mod eident o translaţie de ector = (a, b). Acum este clar că f = T R, ceea ce trebuia demonstrat. Din acest moti izometria f se mai numeşte şi rototranslaţie în plan.

7 Geometrie liniară în spaţiu 6.3. Planul în spaţiu În spaţiul geometriei euclidiene E 3, un plan este o submulţime a lui E 3 (sau R 3 ) determinată în mod unic de condiţii geometrice de tipul: ) un punct şi un ector normal la plan; ) trei puncte necoliniare; 3) două drepte concurente; 4) o dreaptă şi un punct exterior dreptei etc. În cele ce urmează om considera, fără a mai specifica acest lucru de fiecare dată, că B = { i, j, k } este o bază canonică a lui V 3 şi {O, i, j, k } este reperul cartezian asociat Planul determinat de un punct şi de un ector normal la plan Fie P un plan din V 3. Un ector liber din V 3, a cărui direcţie este perpendiculară pe planul P se numeşte ector normal la plan sau, pe scurt, normală la plan. Considerăm ectorul liber n = A i + B j + C k V 3 şi punctul M (x o, y, z ) E 3. În continuare om stabili ecuaţiile planului P ce conţine punctul M şi are normala la plan n. ( ezi Fig. ). Este uşor de ăzut că un punct curent M(x, y, z) este situat în planul P dacă şi numai dacă ectorii liberi P d M (x, y, z ) Fig. n M(x,y,z) M M şi n sunt ortogonali, 8

8 Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială adică dacă < M M, n > =. Obserăm că M M = OM - OM = (x - x ) i + (y - y ) j+ (z - z ) k şi, folosind Teorema.4. (5.), obţinem : (6.3.) A(x - x ) + B(y - y ) + C(z - z ) =. Ecuaţia de mai sus se numeşte ecuaţia planului determinat de un punct şi o normală dată. Dacă notăm D = - (Ax + By + Cz ), relaţia (6.3.) se scrie (6.3.) Ax + By + Cz + D = şi am obţinut ecuaţia carteziană generală a planului P. Se poate arăta că dacă A, B, C, D R, A + B + C, atunci mulţimea L, formată din toate punctele M E 3 ale căror coordonate carteziene (x,y,z) (faţă de reperul cartezian Oxyz) satisfac relaţia (6.3.), este un plan din E 3. Într-adeăr dacă M (x o, y, z ) L, atunci D = - (Ax + By + Cz ) şi orice alt punct M(x, y, z) L a satisface (6.3.). Deci < M M, n > =, unde n = Ai + B j + C k V 3, ceea ce înseamnă că toate punctele M se află într-un plan perpendicular pe direcţia lui n, plan ce conţine pe M. De aici rezultă uşor concluzia. Obseraţia 6.3. a) Conform celor spuse mai sus, orice plan P E 3 este caracterizat, într-un reper cartezian Oxyz, de o ecuaţie de tipul (6.3.), unde coeficienţii A, B, C nu sunt toţi nuli. b) În ecuaţia (6.3.), coeficienţii A, B, C reprezintă coordonatele ectorului normal la plan. Deci, două plane ale căror ecuaţii diferă prin termenul liber sunt plane paralele, iar ecuaţia (6.3.)` Ax + By + Cz = λ, λ R, 8

9 Geometrie liniară în spaţiu reprezintă familia planelor paralele din spaţiu de normală dată n = A i + B j + C k. Pentru λ =, ecuaţia (6.3.)` reprezintă ecuaţia unui plan care conţine originea reperului cartezian Oxyz. c) Ecuaţiile planelor de coordonate sunt următoarele z = ecuaţia planului xoy y = ecuaţia planului xoz x = ecuaţia planului yoz. (Exerciţiu). d) Dacă în locul normalei n considerăm ersorul n / n ( n A + B + C = ), care este la rândul lui o normală la plan, atunci Ax + By + Cz + D ecuaţia (6.3.) se scrie sub forma = ecuaţia normalizată a planului P. ± A + B + C şi se numeşte Ecuaţia planul determinat de trei puncte necoliniare Fie M (x, y, z ), M (x, y, z ), M 3 (x 3, y 3, z 3 ) E 3 trei puncte necoliniare. Un punct curent M(x, y, z) este situat în planul P dacă şi numai dacă ectorii M M, M M şi M M 3 sunt coplanari. Punctul. al 8 Teoremei.6. ne asigură că aceşti ectori sunt coplanari dacă şi numai dacă (6.3.3) < M M, M M M M > =. 3 Dacă notăm cu r = OMşi respecti r i = OM i, i =,, 3 ectorii de poziţie ai punctelor M, respecti M i, i =,, 3 în reperul cartezian {O; i, j, k }, (Oxyz), atunci M M = OM - OM = r - r = (x x ) i + (y y ) j + (z z ) k (ezi Fig. 3), M M = r - r = (x x ) i + (y y ) j + (z z ) k, M M 3 = r 3 - r = (x 3 x )i + (y 3 y ) j + (z 3 z ) k.

10 Relaţia (.6.) ne asigură că Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială x x y y z z < M M, M M M M > = 3 x x y y z z x 3 x y3 y z 3 z =. Folosind determinanţilor, ecuaţia echialentă x proprietăţile obţinem x y z (6.3.4) =. x y z x 3 y y 3 z z 3 Ecuaţia (6.3.4) este ecuaţia carteziană a planului determinat de cele trei puncte M, M, M 3. Pe de altă parte, Teorema.3. b) ne asigură că cei trei ectori M 83 M M, M şi M M 3 sunt coplanari dacă şi numai dacă sunt liniar dependenţi, adică dacă există scalarii α, β, γ, nu toţi nuli astfel încât α M M + β M M + γ M M 3 =. Dacă α =, atunci β sau γ şi ar rezulta că sistemul { M M, M M } este liniar dependent. Dar sistemul { 3 M M, M M 3 } nu poate fi liniar dependent, căci elementele sale nu sunt ectori coliniari (M, M, M 3 sunt puncte necoliniare, prin ipoteză). Deci α. Deducem că planul P este format din toate punctele M E 3 pentru care există λ, µ R astfel încât M M = λ M M + µ M M } 3 Altfel spus, planul P este caracterizat de relaţia ectorială (6.3.5) r = r + λ r r ) + µ ( r ), λ, µ R ( r numită ecuaţia ectorială a planului prin trei puncte. Ecuaţia ectorială (6.3.5), scrisă în reperul cartezian Oxyz, este echialentă cu ecuaţiile P O M 3 M M r r M r r 3 Fig. 3

11 Geometrie liniară în spaţiu x = x + λ(x x ) + µ (x x ) (6.3.6) y = y + λ(y y ) + µ (y y ), λ, µ R z = z + λ(z z ) + µ (z z ) numite ecuaţiile carteziene parametrice ale planului determinat de trei puncte Planul determinat de un punct şi doi ectori necoliniari Fie punctul M (x, y, z ) E 3 şi ectorii liberi (l, m, n ) şi (l, m, n ), necoliniari, adică. Se ştie că există un plan unic P care conţine punctul M şi este paralel cu dreptele suport d, d ale unor reprezentanţi ai ectorilor şi. Punctul M(x, y, z) P dacă şi numai dacă ectorii liberi M M, şi sunt coplanari. Deci produsul lor mixt trebuie să fie este nul, adică < M M, > =. Deoarece obţinem < M M, > = sau, echialent, O r d M P Fig. 4 d r M M M = r - r, (6.3.7) x x l l y y m m z z n n =. Ecuaţia obţinută mai sus se numeşte ecuaţia carteziană a planului printrun punct, paralel cu două direcţii date. Pe de altă parte, aplicând Teorema.3. b) şi raţionând ca în paragraful precedent, deducem că M P dacă şi numai dacă există 84

12 Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială scalarii λ, µ R astfel încât M M = λ + µ. Deci planul P este caracterizat de relaţia ectorială (6.3.8) r r = + λ + µ, λ, µ R. Această ecuaţie este numită ecuaţia ectorială a planului printr-un punct, paralel cu două direcţii. Proiectând ecuaţia (6.3.8) pe axele sistemului cartezian de coordonate, Oxyz, obţinem ecuaţiile: (6.3.9) x y z = x = y = z + λ l + λ m + λ n + µ l + µ m, λ, µ R, + µ n numite ecuaţiile carteziene sub formă parametrică ale planului printr-un punct, paralel cu două direcţii Poziţia relatiă a două plane Studiind mulţimea soluţiilor sistemului format din ecuaţiile a două plane π, π E 3, se a constata că există următoarele poziţiilor geometrice ale celor două plane: planele se intersectează după o dreaptă; plane sunt (strict) paralele; planele sunt confundate. Presupunem că, faţă de reperul cartezian {O; i, j, k }, planele π şi π au ecuaţiile (π ): A x + B y + C z + D =, (π ): A x + B y + C z + D =. Considerăm sistemul (6.3.) Ax + By + Cz + D = A x + By + Cz + D =. Notăm cu M A B C = A B C (respecti A B C D M = ) A B C D matricea ( respecti matricea extinsă) a sistemului. 85

13 Dacă rang(m) = rang( M ) Geometrie liniară în spaţiu =, atunci sistemul (6.3.) este compatibil simplu nedeterminat. Mulţimea soluţiilor lui reprezintă punctele comune celor două plane, adică, aşa cum om edea în paragraful următor, o dreaptă d = π π. Dacă rang(m) = rang( M ) =, atunci sistemul (6.3.) este compatibil dublu nedeterminat şi cele două plane coincid, π π. (Temă: arătaţi că rang(m) ). Dacă rang(m) rang( M ), sistemul (6.3.) este incompatibil şi cele două plane nu au nici un punct comun, π π Dreapta în spaţiu În spaţiul geometric E 3, o dreaptă este unic determinată prin condiţii geometrice de tipul: un punct şi un ector nenul (o direcţie dată), două puncte distincte, intersecţia a două plane Dreapta determinată de un punct şi o direcţie (un ector director) Fie un punct M (x, y, z ) E 3 şi ectorul liber nenul V 3. Atunci punctul M împreună cu mulţimea punctelor M E 3, cu proprietatea că ectorii liberi M M şi sunt coliniari, defineşte o dreaptă unică din E 3. (Coliniaritatea celor doi ectori exprimă faptul că punctul M aparţine unei drepte care trece prin M şi este paralelă cu dreapta suport a lui.)(ezi Fig. 5) O M r r r r M Fig. 5 d Obserând că M M = r r -, relaţia de coliniaritate se mai scrie (6.4.) r = r + λ, λ R. 86

14 Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială Ecuaţia obţinută se numeşte ecuaţia ectorială a dreptei d care trece prin punctul M şi are direcţia dată de ectorul (dreapta d este paralelă cu dreapta suport a unui reprezentant al lui ). Dacă proiectăm relaţia (6.4.) pe axele reperului cartezian {O,i, j, k }, obţinem ecuaţiile parametrice ale dreptei d prin punctul M (x, y, z ), aând direcţia dată de ectorul = li + mj + nk : x = x + λl (6.4.) y = y + λm. z = z + λn Vectorul r = (l, m, n) V 3 se numeşte ectorul director al dreptei d iar coordonatele l, m, n R se numesc parametrii directori ai dreptei d. Dacă ectorul director este ersorul e, care formează unghiurile α, β, γ cu axele de coordonate Ox, Oy, Oz, atunci e = i cosα + j cosβ + k cosγ. În acest caz cosα, cosβ, cosγ sunt parametrii directori ai dreptei d şi se or numi cosinusurile directoare ale dreptei. Ele satisfac relaţia cos α + cos β + cos γ =. Reenind la cazul general, în care ectorul director este = li + mj + nk, presupunem că l, m, n. Eliminând parametrul λ din ecuaţiile (6.4.) se obţin ecuaţiile: (6.4.3) x x l y y = m z z = n numite ecuaţiile carteziene canonice ale dreptei d, care trece prin punctul M (x, y, z ) şi are direcţia dată de ectorul = li + mj + nk. Obseraţia Dacă o parte dintre parametrii directori l, m, n sunt nuli, atunci ecuaţiile (6.4.3) se modifică după cum urmează., 87

15 Geometrie liniară în spaţiu Cazul I. (un singur parametru director nenul). Presupunem, fără a restrânge generalitatea, că l. Eliminând parametrul λ din ecuaţiile (6.4.), obţinem (6.4.4) d : Analog se obţine d : y y m x x y y = l m z z =, x = x. n, z = z, dacă n =, etc. Cazul II. (doi parametri directori nenuli). Dacă l = m =, atunci, din (6.4.3), obţinem următoarele ecuaţii pentru dreapta (6.4.5) d : x = x, y = y, z R. În mod asemănător se obţin ecuaţiile d : x = x, z = z, y R, dacă l = n = şi d : y = y, z = z, x R, dacă m = n = Dreapta determinată de două puncte distincte Fie M (x, y, z ), M (x, y, z ) E 3 două puncte distincte. Aceste puncte determină o dreaptă unică d. Această dreaptă trece prin M şi are drept ector director pe M M ecuaţia ectorială a dreptei (6.4.6) d: r r + ( r ) = λ, λ R. r O formă echialentă a acesteia este următoarea d: r = ( λ ) r + λr, λ R. Ecuaţiile parametrice ale dreptei prin două puncte sunt următoarele (6.4.7) x = ( λ)x + λx y = ( λ)y + λy z = ( λ)z + λz. Particularizând ecuaţia (6.4.), obţinem 88, λ R. De asemenea, dacă x x, y y, z z, ecuaţiile carteziene canonice ( ezi ec. (6.4.3)) ale dreptei d sunt O r M r r M Fig. 6 r M

16 (6.4.8) Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială x x x x y y = y y z z = z z Dacă nu aem îndeplinită condiţia de mai sus, atunci ecuaţiile (6.4.8) se modifică aşa cum am arătat în Obseraţia Obseraţia 6.4. Pentru λ (, ) ecuaţiile (6.4.7) definesc mulţimea punctelor de pe dreapta d cuprinse între punctele M şi M, iar pentru λ R \ [, ] aceleaşi ecuaţii definesc mulţimea punctelor dreptei d care sunt exterioare segmentului M M. Pentru mijlocului segmentului M M. =. λ obţinem coordonatele Dreapta ca intersecţie a două plane Fie planele π şi π cu ecuaţiile (π ): A x + B y + C z + D =, (π ): A x + B y + C z + D =. Din geometria elementară se ştie că dacă planele π şi π nu sunt paralele, atunci ele se intersectează după o dreaptă d. În paragraful 6.3.4, am arătat că acest lucru se întâmplă dacă sistemul format din ecuaţiile celor două plane este compatibil nedeterminat. Deci ecuaţia dreptei d, dată de intersecţia celor două plane este Ax + By + Cz + D = D: A x + By + C z + D = Este uşor de ăzut că ectorul director al dreptei d este = n n, unde n = (A, B, C ), n = (A, B, C ) sunr normalele planelor π şi π Poziţia relatiă a două drepte. Fie dreptele d şi d cu ectorii directori = l i + m j n k şi + respecti = l i + m j n k. Considerăm punctele M (x, y, z ) d, + M (x, y, z ) d. Aem următoarele cazuri: 89

17 Geometrie liniară în spaţiu Cazul I. Dacă ectorii liberi, şi M sunt necoplanari, adică < M M, >, atunci dreptele d şi d sunt necoplanare (drepte oarecare în spaţiu). În acest caz există o direcţie normală unică, comună cele două drepte, dată de = şi, deci, o unică dreaptă care se sprijină pe cele două drepte şi are direcţia (Fig. 7), numită perpendiculara comună a dreptelor d şi d. Perpendiculara comună d este dată de intersecţia planelor π şi π, unde π este planul determinat de punctul M şi ectorii necoliniari şi iar π este planul determinat de punctul M şi ectorii necoliniari şi. Dacă x x y y z z d : l m n = l m n M li + mj + nk =, atunci x x, l m n = l y y m z z Cazul II. Dacă ectorii, şi M M sunt coplanari, adică < M n. M, > =, atunci dreptele d şi d sunt coplanare. Dacă în plus ectorii, sunt necoliniari, atunci dreptele d şi d sunt concurente, în caz contrar ele sunt paralele sau confundate. M d M Fig. 7 d d 6.5. Distanţe în plan şi în spaţiu Distanţa de la un punct la o dreaptă Fie d E 3 o dreaptă ce trece prin punctul M (x, y, z ) E 3 şi are ectorul director li + mj + nk = şi fie A(x, y, z) E 3 un punct care nu aparţine dreptei d. Se ştie că distanţa dintre punctul A şi dreapta d este de 9

18 Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială fapt distanţa dintre punctul A şi proiecţia ortogonală A` a acestuia pe dreaptă (Fig. 8). Dacă notăm cu δ (A, d) distanţa de la punctul A la dreapta d, obserăm că determinat de ectorii aria paralelogramului M Aşi este δ (A, d). Pe de altă parte, interpretarea geometrică a normei produsului M A (ezi Obseraţia.5.. ) ne conduce la formula δ (A, d) = M A M A A. De aici obţinem Fig. 8 d (6.5.) δ (A, d) = M A. Dacă punctul A aparţine dreptei d, atunci este eident că δ (A, d) = Distanţa de la un punct la un plan Distanţa de la un punct M la un plan P : Ax + By + Cz + D = este dată M (x,y,z ) n de distanţa dintre punctul M (x, y, z ) şi r punctul M (x, y, z ), proiecţia ortogonală a acestuia pe planul P. P r M ' (x, y, z ) Obserăm că ectorul M ` M şi normala n = Ai + B j + C k la planul P sunt O Fig. 9 ` coliniari. Prin definiţie < M M, n > = n ` M M cos(). Pe de altă parte, M M ` = rr r - = ` (x x )i + (y y ) j + (z z ) k şi < M M, n > = 9

19 Geometrie liniară în spaţiu (x - x )A + (y - y )B + (z - z )C = x A + y B + z C + D. Deci x A + y B + z C + D = n ` M M. Deoarece n = A + B + C, obţinem (6.5.) δ(m,p) = ` M M = Ax + By A + B + Cz + C + D Distanţa dintre două drepte oarecare în spaţiu Fie d şi d două drepte din spaţiu ai căror ectori directori sunt + = l i + m j n kşi = l i + m j n k. Dacă d este perpendiculara comună a celor două drepte, fie P şi P punctele de contact ale acesteia cu d şi d. Fie M i (x i, y i, z i ) d i, i =,. Construim paralelipipedul + P P d δ(p,p ) M determinat de ectorii M M, şi şi obserăm că distanţa δ (d, d ) dintre dreptele d şi d este dată de δ (P, P ), distanţa dintre P şi P şi este egală cu înălţimea paralelipipedului astfel construit. Aând în edere interpretarea geometrică a produsului mixt < M M, >, putem exprima în două feluri olumul paralelipipedului şi obţinem M Fig. 3 h d d (6.5.3) δ (d, d ) = δ (P, P ) = < MM, >. 9

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare 1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe

Διαβάστε περισσότερα

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera. pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu

Διαβάστε περισσότερα

Algebra si Geometrie Seminar 9

Algebra si Geometrie Seminar 9 Algebra si Geometrie Seminar 9 Decembrie 017 ii Equations are just the boring part of mathematics. I attempt to see things in terms of geometry. Stephen Hawking 9 Dreapta si planul in spatiu 1 Notiuni

Διαβάστε περισσότερα

Vectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt.

Vectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt. liberi 1 liberi 2 3 4 Segment orientat liberi Fie S spaţiul geometric tridimensional cu axiomele lui Euclid. Orice pereche de puncte din S, notată (A, B) se numeşte segment orientat. Dacă A B, atunci direcţia

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VII Dreapta si planul

Lectia VII Dreapta si planul Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta. Ecuatii, pozitii relative Aplicatii Lectia VII Dreapta si planul Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VII Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta.

Διαβάστε περισσότερα

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice 1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă

Διαβάστε περισσότερα

2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu

2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu 2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu Pentru început sădefinim câteva noţiuni de bază în geometria analitică. Definitia 2.3.1 Se numeşte reper în spaţiu o mulţime formată dintr-un punct O (numit originea

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 9. Geometrie analitică. 9.1 Repere

Capitolul 9. Geometrie analitică. 9.1 Repere Capitolul 9 Geometrie analitică 9.1 Repere Vom considera spaţiile liniare (X, +,, R)în careelementelespaţiului X sunt vectorii de pe odreaptă, V 1, dintr-un plan, V sau din spaţiu, V 3 (adică X V 1 sau

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2 .1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,

Διαβάστε περισσότερα

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:

Διαβάστε περισσότερα

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)

Διαβάστε περισσότερα

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială

Διαβάστε περισσότερα

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a. Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă

Διαβάστε περισσότερα

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gh. Asachi Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia

Διαβάστε περισσότερα

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ

Διαβάστε περισσότερα

Conice - Câteva proprietǎţi elementare

Conice - Câteva proprietǎţi elementare Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii

Διαβάστε περισσότερα

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTE DE GEOMETRIE. Dorel Fetcu

ELEMENTE DE GEOMETRIE. Dorel Fetcu ELEMENTE DE GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ Dorel Fetcu Acest curs este un fragment din manualul D. Fetcu, Elemente de algebră liniară, geometrie analitică şi geometrie diferenţială, Casa Editorială

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii

Διαβάστε περισσότερα

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este

Διαβάστε περισσότερα

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE. 5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este

Διαβάστε περισσότερα

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale. 5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța

Διαβάστε περισσότερα

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE VECTORIALĂ, ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ. PROBLEME REZOLVATE. Gabriel POPA, Paul GEORGESCU c August 20, 2009, Iaşi

GEOMETRIE VECTORIALĂ, ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ. PROBLEME REZOLVATE. Gabriel POPA, Paul GEORGESCU c August 20, 2009, Iaşi GEOMETRIE VECTORIALĂ, ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ. PROBLEME REZOLVATE Gabriel POPA, Paul GEORGESCU c August 0, 009, Iaşi Cuprins 1 SPAŢIUL VECTORILOR LIBERI. STRUCTURA AFINĂ 4 SPAŢIUL VECTORILOR LIBERI.

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune .3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este

Διαβάστε περισσότερα

Universitatea de Vest din Timişoara Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Departamentul de Informaticǎ. Simina Mariş Simona Epure Ioan Rodilǎ

Universitatea de Vest din Timişoara Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Departamentul de Informaticǎ. Simina Mariş Simona Epure Ioan Rodilǎ Universitatea de Vest din Timişoara Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Departamentul de Informaticǎ Liliana Brǎescu Eva Kaslik Simina Mariş Simona Epure Ioan Rodilǎ CURS DE GEOMETRIE Timişoara 2007

Διαβάστε περισσότερα

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1 1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2

Διαβάστε περισσότερα

Curs 4 Serii de numere reale

Curs 4 Serii de numere reale Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni

Διαβάστε περισσότερα

Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi

Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Produsul scalar: denitie, proprietati Schimbari de repere ortonormate in plan Aplicatii Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia III Produsul scalar:

Διαβάστε περισσότερα

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8

Διαβάστε περισσότερα

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 2 VECTORI LIBERI. 2.1 Segment orientat. Vector liber

CAPITOLUL 2 VECTORI LIBERI. 2.1 Segment orientat. Vector liber Algebră liniară CAPITOLUL VECTORI LIBERI. Segment orientat. Vector liber Acest capitol este dedicat în totalitate studierii spaţiului vectorilor liberi, spaţiu cu foarte multe aplicaţii în geometrie, fizică

Διαβάστε περισσότερα

Dreapta in plan. = y y 0

Dreapta in plan. = y y 0 Dreapta in plan 1 Dreapta in plan i) Presupunem ca planul este inzestrat cu un reper ortonormat de dreapta (O, i, j). Fiecarui punct M al planului ii corespunde vectorul OM numit vector de pozitie al punctului

Διαβάστε περισσότερα

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,

Διαβάστε περισσότερα

OANA CONSTANTINESCU. ( a carei ecuatie matriceala este data in raport cu un reper cartezian R = {O; ē 1,, ē n }.

OANA CONSTANTINESCU. ( a carei ecuatie matriceala este data in raport cu un reper cartezian R = {O; ē 1,, ē n }. ELEMENTE DE SIMETRIE ALE UNEI HIPERCUADRICE IN SPATII AFINE EUCLIDIENE OANA CONSTANTINESCU 1. Centru de simetrie pentru o hipercuadrica afina Pentru inceput cadrul de lucru este un spatiu an real de dimensiune

Διαβάστε περισσότερα

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă. III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar

Διαβάστε περισσότερα

Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.

Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I. Modelul 4 Se acordă din oficiu puncte.. Fie numărul complex z = i. Calculaţi (z ) 25. 2. Dacă x şi x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 2 9x+8 =, atunci să se calculeze x2 +x2 2 x x 2. 3. Rezolvaţi în mulţimea

Διαβάστε περισσότερα

Integrala nedefinită (primitive)

Integrala nedefinită (primitive) nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 8 CURBE ÎN PLAN ŞI ÎN SPAŢIU Curbe în plan

CAPITOLUL 8 CURBE ÎN PLAN ŞI ÎN SPAŢIU Curbe în plan CAPITOLUL 8 CURBE ÎN PLAN ŞI ÎN SPAŢIU 81 Curbe în plan I Definiţia analitică a curbelor plane În capitolul 7 am studiat deja câteva eemple de curbe plane, amintim aici conicele nedegenerate: elipsa, hiperbola

Διαβάστε περισσότερα

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei

Διαβάστε περισσότερα

Introducere. ALGAD 2 - Geometrie analitica si diferentiala. Vectori liberi - produsul vectorial. Vectori liberi - produsul scalar

Introducere. ALGAD 2 - Geometrie analitica si diferentiala. Vectori liberi - produsul vectorial. Vectori liberi - produsul scalar Introducere Introducere ALGAD 2 - Geometrie analitica si diferentiala asist.dr. Ana Nistor Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Universitatea Tehnică Gh. Asachi din Iaşi Cursurile

Διαβάστε περισσότερα

CURS MECANICA CONSTRUCŢIILOR

CURS MECANICA CONSTRUCŢIILOR CURS 10+11 MECANICA CONSTRUCŢIILOR Conf. Dr. Ing. Viorel Ungureanu CINEMATICA SOLIDULUI RIGID In cadrul cinematicii punctului material s-a arătat ca a studia mişcarea unui punct înseamnă a determina la

Διαβάστε περισσότερα

b = CA, c = AB, atunci concluzia rezultă din regula triunghiului de adunare a vectorilor:

b = CA, c = AB, atunci concluzia rezultă din regula triunghiului de adunare a vectorilor: Trei vectori a, b, c formează untriunghi a + b + c = 0 (relaţia lui Chasles). Dacă a, b, c sunt laturi ale unui triunghi ABC, a = BC, b = CA, c = AB, atunci concluzia rezultă din regula triunghiului de

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1 Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui

Διαβάστε περισσότερα

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.

Διαβάστε περισσότερα

Curs 2 Şiruri de numere reale

Curs 2 Şiruri de numere reale Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

CURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă.

CURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă. Sala: 2103 Decembrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 11: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat.

Διαβάστε περισσότερα

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare

Διαβάστε περισσότερα

CONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ

CONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CONCURS DE ADMITERE, 7 iulie 207 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (30 puncte) ) (0 puncte) Să se arate că oricare ar

Διαβάστε περισσότερα

3. REPREZENTAREA PLANULUI

3. REPREZENTAREA PLANULUI 3.1. GENERALITĂŢI 3. REPREZENTAREA PLANULUI Un plan este definit, în general, prin trei puncte necoliniare sau prin o dreaptă şi un punct exterior, două drepte concurente sau două drepte paralele (fig.3.1).

Διαβάστε περισσότερα

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4 SEMINAR 3 MMENTUL FRŢEI ÎN RAPRT CU UN PUNCT CUPRINS 3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere...1 3.1. Aspecte teoretice...2 3.2. Aplicaţii rezolvate...4 3. Momentul forţei

Διαβάστε περισσότερα

Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberi

Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberi Orientarea spatiului E 3 Denitia produsului vectorial. Proprietati Rezolvari de ecuatii vectoriale Schimbari de baze ortonormate in spatiu Aplicatii Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberi Oana

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element

Διαβάστε περισσότερα

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE 5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE ANALITICĂ. Mihai-Sorin Stupariu

GEOMETRIE ANALITICĂ. Mihai-Sorin Stupariu GEOMETRIE ANALITICĂ Mihai-Sorin Stupariu Sem. al II-lea, 007-008 Cuprins 1 Elemente de algebră liniară 3 1.1 Spaţii vectoriale. Definiţie. Exemple................ 3 1. Combinaţii liniare. Baze şi repere..................

Διαβάστε περισσότερα

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006 Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale

Διαβάστε περισσότερα

Geometrie analitică şi. asist. Ciprian Deliu Universitatea Tehnică Gh. Asachi Iaşi Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului

Geometrie analitică şi. asist. Ciprian Deliu Universitatea Tehnică Gh. Asachi Iaşi Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Geometrie analitică şi diferenţială asist. Ciprian Deliu Universitatea Tehnică Gh. Asachi Iaşi Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului 014 Cuprins 1 Conice 3 1.1 Dreapta în plan............................

Διαβάστε περισσότερα

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011 Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)

Διαβάστε περισσότερα

a carei ecuatie matriceala este data in raport cu R.

a carei ecuatie matriceala este data in raport cu R. POZITIA RELATIVA A UNEI DREPTE FATA DE O HIPERCUADRICA AFINA REALA. TANGENTE SI ASIMPTOTE. OANA CONSTANTINESCU Pentru studiul pozitiei relative a unei drepte fata de o hipercuadrica, remarcam ca nu mai

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

Cuprins. I Geometrie Analitică 9

Cuprins. I Geometrie Analitică 9 Prefaţă Cartea de faţă a fost elaborată în cadrul proiectului POSDRU/56/1.2/S/32768, Formarea cadrelor didactice universitare şi a studenţilor în domeniul utilizării unor instrumente moderne de predareînvăţare-evaluare

Διαβάστε περισσότερα

1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,...

1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,... 1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,..., X n şi coeficienţi în K se înţelege un ansamblu de egalităţi formale

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Schimbarea bazei unui spaţiu vectorial

1.4 Schimbarea bazei unui spaţiu vectorial Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială. Schimbarea bazei unui spaţiu vectorial După cum s-a văzut deja, într-un spaţiu vectorial V avem mai multe baze, iar un vector x V va avea câte un sistem

Διαβάστε περισσότερα

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005. SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care

Διαβάστε περισσότερα

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice

Διαβάστε περισσότερα

Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)).

Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)). Teoremă. (Y = f(x)). Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism Demonstraţie. f este continuă pe X: x 0 X, S Y (f(x 0 ), ε), S X (x 0, ε) aşa ca f(s X (x 0, ε)) = S Y (f(x 0 ), ε) : y

Διαβάστε περισσότερα

CUPRINS 3. Sisteme de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1

CUPRINS 3. Sisteme de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1 CURS 3 SISTEME DE FORŢE (continuare) CUPRINS 3. Sisteme de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul....2 3.1. Momentul forţei în raport cu un punct...2 Test de autoevaluare

Διαβάστε περισσότερα

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3 SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest

Διαβάστε περισσότερα

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu Primul test de selecție pentru juniori I. Să se determine numerele prime p, q, r cu proprietatea că 1 p + 1 q + 1 r 1. Fie ABCD un patrulater convex cu m( BCD) = 10, m( CBA) = 45, m( CBD) = 15 și m( CAB)

Διαβάστε περισσότερα

Dacă centrul cercului este în origine, atunci ecuaţia cercului va fi = 2

Dacă centrul cercului este în origine, atunci ecuaţia cercului va fi = 2 Capitolul 9 CONICE ŞI CUADRICE 9.1 Conice pe ecuaţii reduse 9.1.1 Cercul Definiţia 9.1 Fie un plan () şi un reper ortonormat R =(; ) Cercul este locul geometric al punctelor din plan care au proprietatea

Διαβάστε περισσότερα

3. Locuri geometrice Locuri geometrice uzuale

3. Locuri geometrice Locuri geometrice uzuale 3. Locuri geometrice 3.. Locuri geometrice uzuale oţiunea de loc geometric în plan care se găseşte şi în ELEETELE LUI EUCLID se pare că a fost folosită încă de PLATO (47-347) şi ARISTOTEL(383-3). Locurile

Διαβάστε περισσότερα

y y x x 1 y1 Elemente de geometrie analiticã 1. Segmente 1. DistanŃa dintre douã puncte A(x 1,y 1 ), B(x 2,y 2 ): AB = 2. Panta dreptei AB: m AB =

y y x x 1 y1 Elemente de geometrie analiticã 1. Segmente 1. DistanŃa dintre douã puncte A(x 1,y 1 ), B(x 2,y 2 ): AB = 2. Panta dreptei AB: m AB = Elemente de geometrie analiticã. Segmente. DistanŃa dintre douã puncte A(, ), B(, ): AB = ) + ( ) (. Panta dreptei AB: m AB = +. Coordonatele (,) ale mijlocului segmentului AB: =, =. Coordonatele punctului

Διαβάστε περισσότερα

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia

Διαβάστε περισσότερα

Aplicaţii ale numerelor complexe în geometrie, utilizând Geogebra

Aplicaţii ale numerelor complexe în geometrie, utilizând Geogebra ale numerelor complexe în geometrie, utilizând Geogebra Adevărul matematic, indiferent unde, la Paris sau la Toulouse, este unul şi acelaşi (Blaise Pascal) Diana-Florina Haliţă grupa 331 dianahalita@gmailcom

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l + Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,

Διαβάστε περισσότερα

Cursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15

Cursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15 MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()

Διαβάστε περισσότερα

CURS 5 Spaţii liniare. Spaţiul liniar R n

CURS 5 Spaţii liniare. Spaţiul liniar R n CURS 5 Spaţii liniare. Spaţiul liniar R n A. Arusoaie arusoaie.andreea@gmail.com andreea.arusoaie@info.uaic.ro Facultatea de Informatică, Universitatea Alexandru Ioan Cuza din Iaşi 30 Octombrie 2017 Structura

Διαβάστε περισσότερα

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,

Διαβάστε περισσότερα

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx +

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx + Corina şi Cătălin Minescu 1 Determinarea funcţiei de gradul al doilea când se cunosc puncte de pe grafic, coordonatele vârfului, intersecţii cu axele de coordonate, puncte de extrem, etc. Probleme de arii.

Διαβάστε περισσότερα

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:, REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii

Διαβάστε περισσότερα

Cap. I NOŢIUNI FUNDAMENTALE DESPRE VECTORI

Cap. I NOŢIUNI FUNDAMENTALE DESPRE VECTORI Cap. I NOŢIUNI FUNDAMENTALE DESPRE VECTORI In mecanică există mărimi scalare sau scalari şi mărimi vectoriale sau vectori. Mărimile scalare (scalarii) sunt complet determinate prin valoarea lor numerică

Διαβάστε περισσότερα

7. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Un cerc care trece prin A şi B intersectează

7. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Un cerc care trece prin A şi B intersectează TEMĂ 1 1. În triunghiul ABC, fie D (BC) astfel încât AB + BD = AC + CD. Demonstraţi că dacă punctele B, C şi centrele de greutate ale triunghiurilor ABD şi ACD sunt conciclice, atunci AB = AC. India 2014

Διαβάστε περισσότερα

NOŢIUNI INTRODUCTIVE

NOŢIUNI INTRODUCTIVE 1 NOŢIUNI INTRODUCTIVE 1.1. Spaţiul vectorial R n Mulţimea R n reprezintă mulţimea tuturor n-uplelor (x 1,..., x n ) cu x 1,..., x n numere reale, adică R n = {(x 1,..., x n ) : x 1,..., x n R}. Un n-uplu

Διαβάστε περισσότερα

X 2, Φ 2 doua K-spatii ane. O conditie necesara si sucienta ca aplicatia f : X 1 X 2 sa e morsm an este:

X 2, Φ 2 doua K-spatii ane. O conditie necesara si sucienta ca aplicatia f : X 1 X 2 sa e morsm an este: CURS 4: IZOMETRIILE UNUI SPATIU AFIN EUCLIDIAN 1. Recapitulare morfisme afine In acest curs dorim sa studiem izometriile unui spatiu an euclidian. Vom vedea ca acestea sunt morsme ane cu anumite proprietati

Διαβάστε περισσότερα

Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.

Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste

Διαβάστε περισσότερα

CUPRINS 5. Reducerea sistemelor de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1

CUPRINS 5. Reducerea sistemelor de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1 CURS 5 REDUCEREA SISTEMELOR DE FORŢE (CONTINUARE) CUPRINS 5. Reducerea sistemelor de forţe (continuare)...... 1 Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul....2 5.1. Teorema lui Varignon pentru sisteme

Διαβάστε περισσότερα

Seminar Algebra. det(a λi 3 ) = 0

Seminar Algebra. det(a λi 3 ) = 0 Rezolvari ale unor probleme propuse "Matematica const în a dovedi ceea ce este evident în cel mai puµin evident mod." George Polya P/Seminar Valori si vectori proprii : Solutie: ( ) a) A = Valorile proprii:

Διαβάστε περισσότερα

riptografie şi Securitate

riptografie şi Securitate riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare

Διαβάστε περισσότερα

Geometrie afină. Conf. Univ. Dr. Cornel Pintea

Geometrie afină. Conf. Univ. Dr. Cornel Pintea Geometrie afină Conf Univ Dr Cornel Pintea E-mail: cpintea mathubbclujro Cuprins 1 Săptămâna 13 1 2 Endomorfismele unui spaţiu afin 1 21 Translaţia 1 22 Subspaţii invariante 2 23 Omotetii 2 24 Proiecţii

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0 Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,

Διαβάστε περισσότερα

CUPRINS 2. Sisteme de forţe... 1 Cuprins..1

CUPRINS 2. Sisteme de forţe... 1 Cuprins..1 CURS 2 SISTEME DE FORŢE CUPRINS 2. Sisteme de forţe.... 1 Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul....2 2.1. Forţa...2 Test de autoevaluare 1...3 2.2. Proiecţia forţei pe o axă. Componenta forţei

Διαβάστε περισσότερα

DEFINITIVAT 1993 PROFESORI I. sinx. 0, dacă x = 0

DEFINITIVAT 1993 PROFESORI I. sinx. 0, dacă x = 0 DEFINITIVAT 1993 TIMIŞOARA PROFESORI I 1. a) Metodica predării noţiunii de derivată a unei funcţii. b) Să se reprezinte grafic funci a sinx, dacă x (0,2π] f : [0,2π] R, f(x) = x. 0, dacă x = 0 2. Fie G

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile

Διαβάστε περισσότερα

1. Teorema lui Menelaus in plan Demonstratia teoremei in plan (clasa a VII-a). DC EC F B DB EA = 1.

1. Teorema lui Menelaus in plan Demonstratia teoremei in plan (clasa a VII-a). DC EC F B DB EA = 1. TEOREMA LUI MENELAUS IN PLAN SI SPATIU OANA CONSTANTINESCU In acest material generalizam teorema lui Menelaus din planul euclidian la spatiul euclidian trei dimensional, prezentand doua metode de demonstratie,

Διαβάστε περισσότερα

Axiomatica Hilbert a spaţiului euclidian

Axiomatica Hilbert a spaţiului euclidian Axiomatica Hilbert a spaţiului euclidian Mircea Crâşmăreanu Prezentare generală a sistemului axiomatic Hilbert Prin Geometrie Euclidiană se înţelege într-un sens general şi clasic acea geometrie ce are

Διαβάστε περισσότερα

Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice

Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Preliminarii geometrice Spatiu Euclidean: E d Spatiu de d-tupluri,

Διαβάστε περισσότερα

Vectori liberi-seminar 1

Vectori liberi-seminar 1 Vectori liberi-seminar ) Determinati α R astfel incat vectorii ā = m+ n si b = m+α n sa fie coliniari, unde m, n sunt necoliniari. ) Demonstrati ca urmatorii trei vectori liberi sunt coplanari: ā = ī j

Διαβάστε περισσότερα

ALGEBRĂ LINEARĂ, GEOMETRIE. Valeriu Zevedei, Ionela Oancea

ALGEBRĂ LINEARĂ, GEOMETRIE. Valeriu Zevedei, Ionela Oancea ALGEBRĂ LINEARĂ, GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ Valeriu Zevedei, Ionela Oancea April 9, 005 CUPRINS 1 CALCUL VECTORIAL 7 1.1 Vectori legaţi,vectori liberi... 7 1. Operaţiilinearecuvectori... 9 1..1

Διαβάστε περισσότερα