1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Κάθε διάνυσμα του επιπέδου γράφεται κατά μοναδικό τρόπο στη μορφή : i j όπου i, j μοναδιαία διανύσματα με κοινή αρχή το σημείο Ο του συστήματος συντεταγμένων Ο Τα διανύσματα i, j λέγονται συνιστώσες του διανύσματος ενώ οι αριθμοί λ,μ λέγονται συντεταγμένες του στο σύστημα Ο Γράφουμε :, ) Έστω δυο διανύσματα, ) και, ) Τα δυο διανύσματα είναι ισα, δηλαδή αν ισχύει και Αν, ) και, ) τότε : o, ), 0 και 0 0 ή 0 o, ) o ) o 0 o 0 Έστω δυο σημεία, ) και, ) Οι συντεταγμένες του μέσου Μ του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ είναι, Αν τα σημεία Α,Β είναι συμμετρικά ως προς το σημείο Μ τότε το Μ είναι μέσον του ΑΒ Έστω το διάνυσμα συντεταγμένες του διανύσματος με άκρα τα σημεία, ) και, ) Τότε οι είναι, ) Έστω το διάνυσμα, ) Το μετρό του διανύσματος είναι : Έστω δυο σημεία, ) και, ) Όπως είδαμε, ) Συνεπώς το μετρό του διανύσματος θα είναι ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα Αυτή όμως είναι στην ουσία και η απόσταση των σημείων Α και Β

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ 4 Έστω δυο διανύσματα, ) και, ) Ορίζουσα των διανυσμάτων ονομάζουμε τον αριθμό : det, Αν τα διανύσματα και είναι παράλληλα, δηλαδή // det, 0 η συνθήκη παραλληλίας) Έστω διάνυσμα, ) Με αρχή την αρχή των αξόνων Ο παίρνουμε διάνυσμα Γωνία του διανύσματος με τον άξονα ορίζουμε τη γωνία που διαγράφει ο ημιάξονας μέχρι να συμπέσει με την ημιευεια ΟΑ Αν η γωνία αυτή είναι η ˆ τότε ισχύει : 0 ˆ Έστω διάνυσμα, ) Αν 0 τότε ο συντελεστής διεύθυνσης του διανύσματος ορίζεται ο αριθμός όπου ω η γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα με τον άξονα ΘΥΜΗΣΟΥ!!! Ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ Ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ 0 0 0 ή 6 5 50 ή 6 45 ή 4 5 ή 4 60 ή 0 ή 90 ή Ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ 7 0 ή 6 5 5 ή 4 4 40 ή Αν 0 τότε δεν ορίζεται ο συντελεστής διεύθυνσης και το διάνυσμα είναι κατακόρυφο παράλληλο στον ) δηλ // ' 0 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ 4 Αν 0 τότε και λ=0 οπότε το διάνυσμα είναι οριζόντιο παράλληλο στον ) δηλ // ' 0 Αν δυο διανύσματα και έχουν συντελεστές διεύθυνσης, αντίστοιχα τότε ισχύει // η συνθήκη παραλληλίας) Τρία σημεία Α,Β,Γ είναι συνευθειακά // det, 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΑΠΛΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Αν, ) και,) τότε να υπολογίσετε : i ii iii iv i, ) 4, ) ii, ),) 5, ) iii, ),), ) iv, ),) 4, ) 9,6) 5, 8) Να βρεθεί το μέσο Μ του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ αν Α,6) και Β-,) 6, 4 άρα Μ-,4) Αν είναι Α,-5), Β-,4) να βρεθούν οι συντεταγμένες του διανύσματος ΑΒ, ),4 5) 5,9) 4 Δίνεται το διάνυσμα 4, ) και το σημείο Α,-4) Να βρεθούν οι συντεταγμένες του σημείου Β Έστω, ) τότε : 4, ), ) 4, ) 4 6, 4) 4, ) άρα 6, 7) 4 7 5 Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος,4) ) 4 9 6 5 5 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ 4 6 Αν 4, ) και, ), να βρείτε την απόσταση των σημείων Α και Β 4) ) 6 6 7 Αν 5, 5) και 5,), να εξετάσετε αν είναι παράλληλα Έχω : det, ) 5 5 5 0 5 5 5 5 5 άρα // 8 Να βρεθεί ο συντελεστής διεύθυνσης καθώς και η γωνία που σχηματίζουν με τον άξονα, τα ακόλουθα διανύσματα : i, ) ii, ) iii, 6) i, ), a άρα ή 0 6 ii, ), άρα ή 5 4 iii 6 6, 6) άρα ή 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΑΠΟΣΤΑΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΟΥ ΑΠΟ ΑΞΟΝΕΣ ΘΕΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΣΤΟ ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ: 9 Έστω Ο σύστημα συντεταγμένων και Α-,),, ) i Να βρείτε τις αποστάσεις του σημείου Α από τους άξονες ii Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος θέσης του Α ως προς το Ο καθώς και τις συντεταγμένες του Β iii Να βρείτε το διάνυσμα 0 Ποια είναι η θέση στο καρτεσιανό επίπεδο των σημείων Μ,) για τα οποία ισχύει : i ii iii iv v v ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα 4

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΙΣΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Έστω δυο διανύσματα, ) και, ) Τα δυο διανύσματα είναι ισα, δηλαδή Άσκηση 4 σελ 9 σχολικό βιβλίο Α ΟΜΑΔΑΣ) Δίνονται τα διανύσματα, και 5 6, 7 Να βρείτε το ώστε να είναι 5 6 4 7 5 0 0 5 ) 0 0, ή, αν οι αντίστοιχες συντεταγμένες τους είναι ισες δηλ ισχύει και ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 4 : Αν, ) τότε ισχύουν : o 0 0 και 0 0, 0 o 0 0 ή 0 o // ' 0 o // ' 0, // ', // ' Άσκηση σελ 9 σχολικό βιβλίο Α ΟΜΑΔΑΣ) Δίνεται το διάνυσμα 4,, Για ποια τιμή του λ είναι : i 0 ii 0 και // ' 4 0, ή, i 0 0, ή, ii Αφού 0, τότε 0 Και // ' 0 0, ή Άρα τελικά 0 και // ' αν ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα 5

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 5 : ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΣΥΝΔΙΑΣΜΟΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ Γραμμικός συνδυασμός δυο διανυσμάτων v, όπου,, ονομάζεται κάθε διάνυσμα της μορφής Να γραφεί το διάνυσμα v 6,5) σαν γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων :,) και, ) Για να γράψουμε το διάνυσμα v ως γραμμικό συνδυασμό των,, αρκεί να βρούμε δυο αριθμούς, τέτοιοι ώστε : v Όμως v 6,5),, ) και, ) Άρα v 6,5),), ) 6,5), ), ) 6 ) 4 6,5), ) άρα με πρόσθεση κατά 5 5 μέλη έχω : 7 7 και αντικαθιστώντας στην η 6 4 Άρα v 4 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 6 : ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΜΕΣΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ Έστω δυο σημεία, ) και, ) Οι συντεταγμένες του μέσου Μ του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ είναι, Αν τα σημεία Α,Β είναι συμμετρικά ως προς το σημείο Μ τότε το Μ είναι μέσον του ΑΒ 4 Εφαρμογή σελ 5 σχολικού βιβλίου) Αν, ) και,4 ) είναι δυο κορυφές του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ και, ) το κέντρο του, να βρεθούν οι συντεταγμένες των κορυφών Γ και Δ Έστω, ) και, ), επειδή οι διαγώνιοι του παραλληλογράμμου διχοτομούνται τότε το Κ θα είναι μέσο και του ΑΓ και του ΒΔ, έτσι έχουμε : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα 6

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ 4 Κ μέσο ΑΓ άρα : 4 6 6 7 Άρα Γ6,-7) Κ μέσο ΒΔ άρα : 4 4 4 6 0 Άρα Δ,-0) ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 7 : ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΜΕ ΓΝΩΣΤΑ ΑΚΡΑ Έστω το διάνυσμα 5 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, με Α,-5), Β-,5) και 5, 4) Να βρείτε τις συντεταγμένες i Του διανύσματος ii Του σημείου Γ i Έχουμε, ),5 5 5,0 ii Έστω, ) Έχουμε, ) 5, 4), 5) 5 5 4 με άκρα τα σημεία, ) και, ) Τότε οι 7 9 συντεταγμένες του διανύσματος είναι, ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα 7

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 8 : ΜΕΤΡΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΩΝ Έστω το διάνυσμα, ) Το μετρό του διανύσματος είναι : Έστω δυο σημεία, ) και, ) Όπως είδαμε, ) Συνεπώς το μετρό του διανύσματος, θα είναι Αυτή όμως είναι στην ουσία και η απόσταση των σημείων Α και Β 6 Δίνονται τα διανύσματα 4, ) και,7) με Να βρείτε : i Το μέτρο του διανύσματος ii Τον αριθμό, ώστε το διάνυσμα να έχει μέτρο ίσο με i 4, ), έχω 4 ) 6 9 5 5 ii 4, ),7) 8, 6),7) 8,) Άρα 8) 8) 6 64 0 6 6 0 έχω 6 46 56 5 4 6 4 6 7, 9 7 Δίνονται τα σημεία Α,) και Β-,6) i Να βρείτε την απόσταση του σημείου Α από το Β ii Να βρείτε σημείο Γ που ανήκει στον άξονα, τέτοιο ώστε το τρίγωνο ΑΒΓ να είναι ισοσκελές με ) ) i ) 6 ) ) 4 0 4 5 5 ii Το,0) Επίσης ) ) ) 0) ) 6 0) ) 4 [ )] 6 ) 4 ) 6 4 6 4 8 άρα 8,0) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα 8

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 9 : ΟΡΙΖΟΥΣΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΠΑΡΑΛΛΗΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 8 Να βρεθεί για ποιες τιμές του τα διανύσματα,4) και 9, ) είναι παράλληλα // det, 0 4 0 6 0 6 6 9 9 Άσκηση 5 σελ 9 σχολικό βιβλίο Α ΟΜΑΔΑΣ) Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό, ώστε τα διανύσματα,) και 4, ) είναι ομόρροπα // det, 0 0 4 0 4 4 Για τότε,), 4,),), δηλ Για τότε, ), 4, ),), δηλ Άρα 0 Εφαρμογή σελ 8 σχολικό βιβλίο) Να βρεθούν οι τιμές του για τις οποίες τα σημεία,0 ), είναι συνευθειακα Τα σημεία Α,Β,Γ είναι συνευθειακά // det, 0 Έχω, 0, Τότε // η συνθήκη παραλληλίας) Έστω δυο διανύσματα, ) και, ) Ορίζουσα των διανυσμάτων, και 5,9 και 5,9 0 5,9 // det, 0 5 9 0 9 ) 5 ) 0 9 9 5 0 9 5 6 0 5 0 ή ονομάζουμε τον αριθμό : det, Αν τα διανύσματα και είναι παράλληλα, δηλαδή // det, 0 η συνθήκη παραλληλίας) Τρία σημεία Α,Β,Γ είναι συνευθειακά // det, 0 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα 9

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ 4 Άσκηση 6 σελ 9 σχολικό βιβλίο Α ΟΜΑΔΑΣ) Αν u,4), ποιο διάνυσμα είναι συγγραμμικο με το u και έχει διπλάσιο μέτρο από το u ; Έστω v το διάνυσμα που ψάχνω, τότε v // u v u ) ) u 9650 Επίσης v u u u u u Για τότε ) v u v,4) v 6,8) Για τότε ) v u v,4) v 6, 8) ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 0 : ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΓΩΝΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΟΝ ΑΞΟΝΑ Έστω διάνυσμα, ) Με αρχή την αρχή των αξόνων Ο παίρνουμε διάνυσμα Γωνία του διανύσματος με τον άξονα ορίζουμε τη γωνία που διαγράφει ο ημιάξονας μέχρι να συμπέσει με την ημιευεια ΟΑ Αν η γωνία αυτή είναι η ˆ τότε ισχύει : 0 ˆ Έστω διάνυσμα, ) Αν 0 τότε ο συντελεστής διεύθυνσης του διανύσματος ορίζεται ο αριθμός όπου ω η γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα με τον άξονα Αν 0 τότε δεν ορίζεται ο συντελεστής διεύθυνσης και το διάνυσμα είναι κατακόρυφο παράλληλο στον ) δηλ // ' 0 Αν 0 τότε και λ=0 οπότε το διάνυσμα είναι οριζόντιο παράλληλο στον ) δηλ // ' 0 Αν δυο διανύσματα και έχουν συντελεστές διεύθυνσης, αντίστοιχα τότε ισχύει // η συνθήκη παραλληλίας) Δίνονται τα διανύσματα,, με και, 4 i Να βρείτε το συντελεστή διεύθυνσης του διανύσματος ii Αν να βρείτε τις τιμές του iii Για, να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα με τον άξονα ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα 0

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ 4 i 4 4 ii Έχω 6 5 6 0 6 ή iii Για,, ) ), ),), 4),9), 8),) Για να βρω τη γωνία που σχηματίζει το με τον άξονα, αρκεί να βρω τον συντελεστή διεύθυνσης του Δηλ άρα 45 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα