ιωνυµική Κατανοµή(Binomial)

ιωνυµική Κατανοµή(Binomial) ~B(n,p) n N και 0<p<1 όταν n x n x f ( x) = p (1 p) x= 0,1,2,..., n x Η τ.µ. Χ παριστάνει τον αριθµό των επιτυχιών σε n ανεξάρτητες δοκιµές Bernoulli, όταν η πιθανότητα επιτυχίας σε κάθε δοκιµή είναι p. Μέση τιµή: Ροπογεννήτρια: E( ) ιασπορά: = np Var( ) () ( e t n M t = p + q) όπου q = 1 p = npq Πολυάριθµες εφαρµογές. π.χ: Ποιοτικός Έλεγχος Χρήσιµες Κατανοµές 1

Υπεργεωµετρική Κατανοµή (Hypergeometric) ~HG (N, n, p) N>n, N,n N +, 0<p<1 και Np N +, όταν : αριθµός των επιτυχιών σε δειγµατοληψία µεγέθους n, χωρίς επανατοποθέτηση από πεπερασµένο πληθυσµό N ατόµων όταν αρχικά η πιθανότητα επιτυχίας είναι p. (εξαρτηµένα Bernoulli πειράµατα) Μέση τιµή: Np N Np x n x f ( x) = x= 0,1,2,...,min( n, Np) N n E( ) = np (ίδια µε διωνυµική) N n ιασπορά: Var( ) = npq ( N n διορθωτικός παράγοντας) N 1 N 1 Όταν το N είναι πολύ µεγάλο και το n αρκετά µικρό η υπεργεωµετρική προσεγγίζεται από την διωνυµική. Χρήσιµες Κατανοµές 2

Γεωµετρική Κατανοµή (Geometric) ~G (p) 0<p<1 όταν x 1 pq x = 1,2,... f( x) = όπου q= 1 p 0 αλλού : αριθµός των επαναλήψεων (ανεξάρτητων δοκιµών Bernoulli) που απαιτούνται µέχρι την εµφάνιση της πρώτης επιτυχίας, όταν η πιθανότητα επιτυχίας είναι p. Μέση τιµή: E( ) Ροπογεννήτρια: 1 p ιασπορά: Var( ) = = 2 t p e M () t =, t < lnq t 1 q e q p Η µέση τιµή ονοµάζεται µέσος χρόνος επιστροφής ή περίοδος επιστροφής Χρήσιµες Κατανοµές 3

Αρνητική ιωνυµική (Negative Binomial) ~NB(r,p) r N και 0<p<1 όταν x 1 r x r f( x) = p (1 p) x= r, r+ 1,... r 1 Χ : αριθµός των επαναλήψεων (ανεξάρτητων δοκιµών Bernoulli) που απαιτούνται µέχρι την εµφάνιση της r επιτυχίας, όταν η πιθανότητα επιτυχίας είναι p. Μέση τιµή: E( ) r p ιασπορά: Var( ) = rq p = 2 Ροπογεννήτρια: r tr p e M () t = t < lnq t r (1 q e ) H Χ µπορεί να γραφεί σαν άθροισµα r ανεξάρτητων και ισόνοµων τ.µ. µε γεωµετρική κατανοµή. Χρήσιµες Κατανοµές 4

Κατανοµή Poisson ~P(λ), λ>0 όταν e λ x λ f( x) = P( = x) = x= 0,1,2,3,... όπου λ > 0 x! Η τ.µ. παριστάνει τον αριθµό εµφάνισης τυχαίων περιστατικών σε καθορισµένο χρονικό διάστηµα. Μέση τιµή: Ροπογεννήτρια: E( ) ιασπορά: = λ Var( ) ( t ) M () t = exp λ e 1 t = λ Πολυάριθµες εφαρµογές. π.χ: Θεωρία τηλεφωνικής κίνησης (Teletraffic theory) Χρήσιµες Κατανοµές 5

Κατανοµή Poisson (συνέχεια) Χρήσιµες Κατανοµές 6

Κατανοµή Poisson (ιδιότητες) (1) Έστω τ.µ. ~B(n,p). Τότε lim n p 0 np = λ λ x n x n x e p (1 p λ ) x 0,1,2,... x = = x! ηλ. µια διωνυµική κατανοµή όταν το n είναι αρκετά µεγάλο και το p είναι αρκετά µικρό, προσεγγίζεται από την κατανοµή Poisson. (πρακτικά προσεγγίζουµε όταν n > 30 και np < 5) Χρήσιµες Κατανοµές 7

ιαδικασία Poisson Έστω η τ.µ. Ν(t) που δίνει τον αριθµό των τυχαίων συµβάντων στο χρονικό διάστηµα (0, t]. Το σύνολο των τ.µ. {Ν(t), t >0} ονοµάζεται στοχαστική διαδικασία και επειδή η Ν(t) παίρνει ακέραιες τιµές στοχαστική διαδικασία ακεραίων τιµών. Η διαδικασία {Ν(t), t >0} είναι διαδικασία Poisson µε µέσο ρυθµό ν εάν πληρούνται οι συνθήκες: (i) Ν(0) = 0 (ii) Ο αριθµός των συµβάντων σε ξένα µεταξύ τους χρονικά διαστήµατα είναι ανεξάρτητες τ.µ. (ii) Για οποιοδήποτε χρονικό διάστηµα (s, s+t) µε s 0 και t > 0, οαριθµός των συµβάντων έχει κατανοµή Poisson e ( ) ( ( ) ( ) ) ν t x νt P N s+ t N s = x = x= 0,1,2,3,... x! Χρήσιµες Κατανοµές 8

Οµοιόµορφη Κατανοµή (Uniform) ~U(α,β) α<β Α.σ.κ. της Χ: Μέση τιµή: όταν Ροπογεννήτρια: 0 x < α x a F ( x) = α < x< β β α 1 x > β E( ) = ( b+ a) 2 M () t = 1 f ( x) = α x β β α < < d 1 d c P( c< < d) = b a dx= όταν a< c< d < b c b a ιασπορά: tb ta e e tb ( a) Var( ) = ( b a) 12 Σηµαντικότερη χρήση: γεννήτριες τυχαίων αριθµών Χρήσιµες Κατανοµές 9 2

Εκθετική Κατανοµή (Exponential) Χ ~ E(λ) όταν: Μέση τιµή: Ροπογενήτρια: x λe λ x> 0 f ( x) = 0 αλλού E( ) 1 λ 1 t M () t = 1 t < λ λ ιασπορά: Αθροιστική Συνάρτηση κατανοµής της Χ: όπου λ θετική σταθερά Var( ) = = 2 λx 1 e x> 0 ( x) = 0 αλλού Χρησιµοποιείται για να εκφράσει: το χρόνο µεταξύ αφίξεων διαφορετικών πελατών σε κατάστηµα το χρόνο συνοµιλίας σε µια τηλεφωνική επικοινωνία το χρόνος ζωής ηλεκτρονικών κοµµατιών σε µία συσκευή F 1 λ Χρήσιµες Κατανοµές 10

Εκθετική Κατανοµή (Ιδιότητες) (1) Ιδιότητα αµνησίας ή απώλεια µνήµης: P ( > t+ s > t) = P ( > s) ηλαδή, η εκθετικά κατανεµηµένη τυχαία µεταβλητή δεν γερνάει Απόδειξη: Ισχύει ότι λ ( t+ s) P ( > t+ s, > t) P ( > t+ s) e P ( > t+ s > t) = = = = e λt P ( > t) P ( > t) e λs Όµως λ P ( > s) = e s και αποδεικνύεται το ζητούµενο. Σηµ. Η εκθετική είναι η µόνη συνεχής κατανοµή µε την ιδιότητα της αµνησίας. Χρήσιµες Κατανοµές 11

Εκθετική Κατανοµή (Ιδιότητες) (2) Οι χρόνοι αναµονής µεταξύ διαδοχικών συµβάντων σε µια διαδικασία Poisson είναι εκθετικά κατανεµηµένοι. Έστω: {Ν(t), t 0} διαδικασία Poisson µε µέσο ρυθµό ν, Τ 1 χρόνος αναµονής µέχρι το πρώτο συµβάν και Τ n χρόνος αναµονής από το n-1 µέχρι το n-οστό συµβάν όταν (n = 2,3, ). Τότε οι τυχαίες µεταβλητές Τ 1, Τ 2,..., είναι ανεξάρτητες και ισόνοµες µε κοινή (εκθετική) κατανοµή E(ν). Χρήσιµες Κατανοµές 12

Κατανοµή Γάµµα (Gamma) G(a,β) a>0, β>0 όταν: f 1 x a 1 β x e x> 0 α ( x) = β Γ( a) 1 όπου 0 αλλού ( ) y a Γ a = e y dy a> 0 0 a: παράµετρος µορφής, β : παράµετρος κλίµακας Όταν a =1, τότε Γ(1) =1 και η κατανοµή γίνεται εκθετική µε λ = 1/β. Όταν a >1, τότε κατανοµή µονοκόρυφη µε κορυφή στο x = β(α-1). Όταν a ακέραιος, τότε Γ(α) = (α-1)! και η κατανοµή είναι γνωστή ως κατανοµή Erlang. Μέση τιµή: Ροπογεννήτρια: Ε ( ) = aβ M () t = 1 β t ( ) ιασπορά: a Var( ) = aβ 2 Χρήσιµες Κατανοµές 13

Κατανοµή Γάµµα (Ιδιότητες) Έστω {N (t), t 0} διαδικασία Poisson ρυθµού v W n : χρόνος αναµονής µέχρι την εµφάνιση του n-οστού συµβάντος. Τότε η W n έχει κατανοµή γάµµα µε α = n και β =1/v (κατανοµή Erlang). Απόδειξη: θ.δ.ο. f Wn n v n 1 tv t e t > 0 () t = ( n 1)! 0 αλλού Το θεώρηµα αποδεικνύει επίσης ότι το άθροισµα n τ.µ. µε εκθετική κατανοµή E(ν) έχει κατανοµή γάµµα G(n, 1/v). Χρήσιµες Κατανοµές 14

Κανονική κατανοµή (Gauss) N(µ,σ 2 ) όταν: 1 ( ) = 1 ( ) < < 2πσ 2 x µ 2 2σ f x e x Μέση τιµή: 2 Ε ( ) = µ ιασπορά: Var( ) = σ Ροπογεννήτρια: σ t M () t = exp µ t + 2 2 2 Η f (x) είναι συµµετρική γύρω από το µ. Ολες οι κεντρικές ροπές περιττής τάξεως είναι µηδέν. εν υπάρχει η α.σ.κ. F (x) σε κλειστή µορφή. Υπάρχουν πίνακες µε τιµές για την α.σ.κ. της N(0,1) τυπική κανονική κατανοµή Χρήσιµες Κατανοµές 15

Κανονική κατανοµή (συνέχεια) Χρήσιµες Κατανοµές 16

Κανονική κατανοµή (τυποποίηση) Έστω N(µ,σ 2 ). Η τ.µ. Z = έχει κανονική κατανοµή µε µέση τιµή 0 και τυπική απόκλιση 1. ιότι: 1. Με χρήση ροπογεννητριών αποδεικνύεται ότι η κατανοµή της είναι κανονική. µ 1 1 2. Ε = Ε( µ ) = [ Ε( ) µ ] = 0 σ σ σ 3. µ σ 1 1 σ Var( ) = Var( µ ) = Var( ) = = 1 2 2 2 σ σ σ Χρήσιµες Κατανοµές 17 2

Κανονική κατανοµή (ιδιότητες) (1) Έστω 1, 2,, n N(µ i,σ i2 ) µε i = 1,2,,n. Τότε οποιοσδήποτε γραµµικός συνδυασµός τους n έχει κανονική κατανοµή µέσης τιµής E( ) = cµ n i i 2 2 i= 1 διασποράς Var = c σ. ( ) i i i= 1 και n = c i i= 1 i (2) (Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα) Έστω 1, 2,, n ανεξάρτητες και ισόνοµες τ.µ. µε κοινή µέση τιµή µ και κοινή διασπορά σ 2. Τότε για µεγάλο n η τ.µ. Χ= 1 + 2 + + n έχει προσεγγιστικά κανονική κατανοµή µέσης τιµής nµ και διασποράς nσ 2. Χρήσιµες Κατανοµές 18

Λογαριθµοκανονική Κατανοµή (LogNormal) LN(ζ, τ) όταν η τ.µ. Υ=ln N(ζ, τ), όπου - <ζ< και τ >0. Προφανώς: = exp(y) και έχει σ.π.π. Ισχύει ότι: 1 1 2 exp (ln x ζ ) x> 0 2 f ( x) = 2 2 πτ x τ 0 αλλού ζ + 1τ 2 2 2ζ τ τ Και για τον υπολογισµό της πιθανότητας: Y 2 2 + 1 Ε ( ) = E( e ) = e Var( ) = e e P( a< < b) = P(lna< ln < ln b) = ln a ζ ln b ζ ln b ζ ln a ζ = P < Z < =Φ Φ τ τ τ τ Χρήσιµες Κατανοµές 19

Κατανοµή Weibull WEI(a, β) a>0, β>0 όταν: α.σ.κ. F a x ( β ) e x> ( x) = 1 0 0 αλλού f ( x) a x a 1 e a x ( β ) x > 0 = β 0 αλλού Ισχύει ότι: 1 2 2 2 Ε ( ) = βγ (1 + ) Var( ) = β (1 ) (1 1) α Γ + Γ + α α Όταν a =1, τότε η κατανοµή είναι εκθετική µε λ = 1/β. [WEI(1, β)= E(1/β)] Όταν WEI(a, β), τότε Υ=(Χ/β) α E(1) Χρήσιµες Κατανοµές 20

Αξιοπιστία Συστηµάτων Για την µελέτη της αξιοπιστίας συστηµάτων έστω Χ : χρόνος λειτουργίας (διάρκεια ζωής) του συστήµατος Για την τ.µ. Χ µας ενδιαφέρουν: Η σ.π.π. f (x) και η α.σ.κ. F (x) Συνάρτηση αξιοπιστίας: R() t = P( > t) = 1 F() t Ρυθµός αποτυχίας: ht () = lim t 0 P( t < < t+ t > t) t Χρήσιµες Κατανοµές 21

Αξιοπιστία Συστηµάτων (συνέχεια) Οι συναρτήσεις f (.), F (.), R(.) και h(.) χαρακτηρίζουν ισοδύναµα την κατανοµή της Χ και συνδέονται µεταξύ τους. P( t< < t+ t, > t) P ( < t+ t) P ( < t) ht () = lim = lim = t 0 P ( > t) t t 0 [1 P ( < t)] t ή Ft ( + t) Ft ( ) 1 F ( t) = lim = t 0 t [1 F()] t 1 F() t ht () = f() t Rt () t = = = Rt () = exp hsds () 0 Rt () Rt () dt [ 1 Rt ( )] R () t d ή ht () [ ln Rt ()] δηλ. Χρήσιµες Κατανοµές 22