Projekt zo ²trukturálnej makroekonometrie

Univerzita Komenského v Bratislave Fakulta matematiky, fyziky a informatiky Katedra aplikovanej matematiky a ²tatistiky Projekt zo ²trukturálnej makroekonometrie Erika ERDÉLYI Hana KADLEƒÍKOVÁ Katarína KAPI INSKÁ Juraj KYSELICA Vladimír LACKO Simona TEFANOVIƒOVÁ Martin TAKÁƒ (4mef) 9.1.9 Aplikovaná matematika Ekonomická a nan ná matematika BRATISLAVA 2009

Obsah 1 Teoretický Úvod 3 1.1 DSGE Model............................... 4 1.1.1 ƒo je DSGE............................ 4 1.1.2 Výhody DSGE modelu...................... 4 1.1.3 DSGE model v praxi....................... 5 1.1.4 Metóda Blancharda a Kahna................... 6 2 Popis modelu 7 2.0.5 Zadanie modelu.......................... 7 2.0.6 Steady state............................ 9 2.0.7 Maticový zápis úlohy....................... 11 3 Numerická as 13 3.1 Numerická simulácia........................... 13 3.1.1 tatistické vlastnosti veli ín................... 13 3.1.2 Zdrojový kód........................... 14 2

Kapitola 1 Teoretický Úvod Centrálne banky sa denne potýkajú s mnoºstvom úloh, ktoré sa snaºia rie²i s vyuºitím maximálneho objemu relevatných informácií. Nie je jednoduché eli pa be informa ného boomu a vedie korektne selektova, ktoré informácie majú skuto ne k ú ový význam. Isté východisko z danej situácie je pretransforovanie reálneho sveta do sveta rovníc a modelovania. Makroekonomické modelovanie za alo hra v posledných rokoch dôleºitú úlohu aj za hranicami teoretického výskumu. Závery získané týmto spôsobom sa implementovali do praxe a pomáhajú nielen popísa aktuálny stav ekonomiky, ale dávajú i isté predikcie oh adom jej vývoja do budúcna. Od dobrého modelu sa o akáva, ºe bude podáva dôveryhodnú a kvantitatívnu interpretáciu ekonomického vývoja.((1), s. 3) Taktieº by mal by empiricky verikovate ný v zmysle reálnych dát. Východiskom základného modelu je deskripcia kanálov menovej transmisie a menovej politiky. Tie sú: kanál úrokových sadzieb, kanál výmenneho kurzu, kanál cien aktív, kanál blahobytu, kanál súvahy bankoveho sektora, kanál pôºi iek bankového sektora, kanál ina ných o akávaní. ((1), s. 5) 3

1.1 DSGE Model 1.1.1 ƒo je DSGE Makroekonomické modelovanie sa v poslednom ase uberá smerom dynamických stochastických modelov v²eobecného ekvilibria, známych pod skratkou DSGE modely. Ich ²pecikom je, ºe vychádzajú z mikroekonomických princípov. Ako názov indikuje ide o ²túdie, ako sa ekonomika vyvíja v ase (dynamic). Do úvahy sa berú na jednej strane dne²né vplyvy na vývoj v budúcnosti, na strane druhej sa do modelu zakomponovávajú o akávania, ktoré hrajú dôleºitú rolu pri rozhodnutiach v sú asnosti. Slovo stochastic za sebou skrýva istú náhodnos a skuto nos, ºe ekonomika je vystavovaná ²okom (napr. náhodným technologickým zmenám, uktuáciám cien ropy...) Vychádzajúc z mikroekonómie, dostávame, ºe daný DSGE model musí by v stave popísa ekonomické prostredie, tvorené jednotlivými agentmi - domácnos ami, rmami a menovou autoritou. Okrem toho musí by schopný vysvetli nasledovné ekonomické aspekty: preferencie - kaºdý agent musí ma denovan ciele optimalizácie (funkcia uºito nosti,funkcia zisku) technológie - musia by denované produk né kapacity in²titucionálna základ a - predstavujú in²titucionálne ohrani enia, pod ktorými ekonomickí agenti interagujú. Ako príklad moºno uvies agentov, ktorí robia svoje rozhodnutia vzh adom na rozpo tové ohrani enia, ktoré je exogénne predpísané. 1.1.2 Výhody DSGE modelu Ako sme uº spomínali, DSGE modely stavajú na mikroekonomických základoch. Tento fakt implikuje nasledovné skuto nosti: model je schopný identikova ²oky, ktoré permanentne zasahujú ekonomiku; model nespadá pod Lucasovu kritiku, ktorá kritizuje nemennos systémov modelov; model optimalizuje cez funkcie uºito nosti, o umoº uje zaobera sa sociálnym blahobytom, odvodeným z preferencií agentov.((1) s.9) 4

1.1.3 DSGE model v praxi Existujú dve ²koly, z ktorých sa vyvinuli DSGE modely: Novo - keynesiánske modely a RBC. Novo - keynesiánske modely sú historicky mlad²ie ako RBC. Narábajú nielen s reálnymi veli inami, ale i s nominálnymi. Ceny a mzdy povaºujú za rigidné. RBC (Real Business Cycle) h adajú prí iny uktuácií v ekonomike v reálnych veli inách. Ceny a mzdy sú v týchto modeloch brané ako xné. Ak chceme zostavi DSGE model, musíme prija niektoré predpoklady. Jedným z nich je ten, ºe sa ekonomika skladá z ve kého po tu identických domácností, ktoré maximalizujú svoju uºito nos. Tú majú na jednej strane zo spotreby, na strane druhej z asu, ktorý strávia mimo práce max c t,l t U = E 0 pri daných rozpo tových ohrani eniach. β t u(c t, l t ) (1.1) al²í z agentov, ktorého budeme uvaºova, sú rmy. Tie majú snahu maximalizova svoj o akávaný diskontovaný zisk, pri danom dopyte, pri nominálnych cenových nepruºnostiach a ponuke práce. t=0 Produk ná funkcia vo v²eobecnosti vyzerá kde y t = f(k t 1, n t, z t ) (1.2) k t 1 kapitál v roku t-1 n t práca technologický ²ok z t ƒas výstupu z výroby sa spotrebuje a as sa investuje y t = c t + i t (1.3) Kapitál na jednej strane narastie v porovnaní s predchádzajúcim rokom o investované prostriedky, na strane druhej klesne o amortizáciu k t = i t + (1 δ)k t 1 (1.4) udia svoj as delia medzi prácu a oddych 1 = l t + n t (1.5) 5

Spotrebu moºeme vyjadri pomocou ostatných premenných c t = f(k t 1, n t, z t ) k t + (1 δ)k t 1 (1.6) Takto vyjadrenú spotrebu dosadíme do funkcie uºito nosti domácností. Pri maximalizácii budeme teraz h ada optimálnu hodnotu vo ného asu a kapitálu. Na rie²enie úlohy sa pouºívajú tzv. Eulerove podmienky, vychádzajúce z parciálnych derivácií pod a jednotlivých premenných. Po úprave dostávame u t (c t, l t ) k t u t (c t, l t ) = u t(c t, l t ). f(k t 1, n t, z t ) (1.7) l t c t n t [ ut (c t+1, l t+1 ) = βe t. f(k ] t, n t+1, z t+1 ) + (1 δ) (1.8) c t+1 k t Problém, ktorý nastal, spo íva v tom, ºe máme nekone ne ve a rovníc a nekone ne ve a premenných Na rie²enie týchto problémov sa pouºívajú metódy: 1. Metóda neznámych koecientov 1. - Christiano 2. Metóda neznámych koecientov 2. - Uhlig 3. Metóda Blancharda a Kahna 4. Metóda Simsa 1.1.4 Metóda Blancharda a Kahna V na²ej a ²ej práci sa budeme zaobera metódou Blancharda a Kahna, tá sa v²ak dá pouºi len za predpokladu invertovate nosti matice, ktorá nám hrá k ú ovú úlohu. Ak predpoklad nebude splnený, nastupuje Simsova metóda a jeho Q - R dekompozícia. Podstata metódy Blancharda a Kahna spo íva v rie²ení diferen ných rovníc. 6

Kapitola 2 Popis modelu 2.0.5 Zadanie modelu Budeme sa zaobera DSGE modelom v nasledujúcom tvare: max c t,l t U(c t, l t ) = t=t 0 β t [ln c t + θ (1 n ] t) 1 γ 1 γ (2.1) y t = A α t n α t k 1 α t 1 α (0, 1) (2.2) k t+1 = (1 δ)k t + y t c t δ (0, 1) (2.3) n t = 1 l t (2.4) Dosa me rovnice (2.2), (2.3) do na²ej ú elovej funkcie a aplikujme podmienky (1.7),(1.8) u(c t, l t ) l t = θ 1 γ (1 γ)(1 n t) γ ( 1) n t l t u(c t, l t ) = θ(1 n t ) γ n t l t = θ(1 n t ) γ c t f(k t 1, n t, z t ) n t = 1 c t = kt 1 1 α αa α t n α 1 t Dostávame tak 1. nutnú podmienku θ(1 n t ) γ = α k1 α t 1 A α t n α 1 t (2.5) c t alej platí f(k t, n t+1, z t+1 ) k t = k α t (1 α)(a t+1 n t+1 ) α (2.6) 7

Dostávame tak 2. nutnú podmienku: 1 c t = βe t { 1 c t+1 [ (1 α)a α t+1 n α t+1k α t + (1 δ) ]} (2.7) Nutné podmienky prvého rádu log-linearizujeme nasledovným spôsobom: x t := x eˆx t, kde x t je pôvodná premenná, x je steady state a ˆx je nová premenná (percentuálna odchýlka od priemeru). Dosadením do 1.nutnej podmienky postupne dostaneme: θ[1 ( neˆn t )] γ = α( k eˆk t ) 1 α [( n eˆn t )] α 1 (Āα e αât )( c eĉt ) 1, ( c eĉt )θ( l e γˆl t ) = α k 1 α e (1 α)ˆk t Ā α e αât n (α 1) e (α 1)ˆn t θ c l γ (1 + ĉ t )(1 γˆl t ) = α k 1 α Ā α n (α 1) [1 + (1 α)ˆk t ][1 + αât][1 + (α 1)ˆn t ], z oho vynechaním lenov vy²²ieho rádu dostávame θ c l γ (1 + ĉ t γˆl t ) = α k 1 α Ā α ū (α 1) [1 + αât + (1 α)ˆk t + +(α 1)û t ]. alej vyuºijeme, ºe podmienka (2.5) platí aj pre steady state, t.j. θ c t (1 n t ) γ = α k t 1 1 α Āα t n (α 1) t. Dostávame tak log-linearizáciu 1.nutnej podmienky ĉ t γˆl t = αât + (1 α)ˆk t + (α 1)ˆn t (2.8) Analogickým spôsobom log-linearizujeme 2.nutnú podmienku c 1 t e ĉt = βe t { c ( 1) t e ĉ t+1 [(1 α)āα e αât+1 n α e αˆn t+1 k α e αˆk t +(1 δ)]} 1 ĉ t = βe t {(1 ĉ t+1 )[(1 α)āα n α k α (1 + αât+1)(1 + αˆn t+1 )(1 αˆk t ) + 1 δ]} 1 ĉ t = β(1 α)āα n α k α E t {(1 ĉ t+1 )(1 + αât+1)(1 + αˆn t+1 )(1 αˆk t )}+ + β(1 δ)e t {1 ĉ t+1 } 1 ĉ t = β(1 α)āα n α k α E t {1 ĉ t+1 + αât+1 + αˆn t+1 αˆk t }+ + β(1 δ)e t {1 ĉ t+1 } Z nutnej podmienky (2.7) dostávame pre steady state vz ah (2.9) { 1 1 c = βe [ t (1 α) Ā α n α k α + (1 δ) ]}, c { 1 = βe t (1 α) Ā α n α k α + (1 δ) } a teda môºme rovnicu (2.9) napísa v tvare ĉ t = β(1 α)āα n α k α E t { ĉ t+1 + αât+1 + αˆn t+1 αˆk t } + β(1 δ)e t { ĉ t+1 }, 8

ím dostávame log-linearizáciu 2. nutnej podmienky. Log-linearizujeme rovnicu (2.2) ȳ eŷt = Āα e αât n α e αˆn t k(1 α) e (1 α)ˆk t 1, ȳ(1 + ŷ t ) = Āα n α k(1 α) (1 + αât)(1 + αˆn t )[1 + (1 α)ˆk t 1 ], ȳ(1 + ŷ t ) = Āα n α k(1 α) (1 + αât + αˆn t + (1 α)ˆk t 1 ), 1 + ŷ t = 1 + αât + αˆn t + αˆk t 1, 0 = ŷ t + αˆn t + (1 α)ˆk t 1 + αât Opä sme vyuºili to, ºe steady state premenné sp ajú rovnicu (2.2). Log-linearizáciou rovnice (2.3) dostaneme k eˆk t = (1 δ) k e ˆK t 1 +ȳ eŷt 1 c eĉt 1, k(1 + ˆk t ) = (1 δ) k(1 + ˆk t 1 ) + ȳ(1 + ŷ t 1 ) c(1 + ĉ t 1 ), kˆk t = (1 δ) kˆk t 1 + ȳŷ t 1 cĉ t 1 0 = (1 δ) kˆk t 1 kˆk t + ȳŷ t 1 cĉ t 1. Log-linearizáciou rovnice (2.4) dostaneme 1 = n eˆn t + l eˆl t, 1 = n(1 + ˆn t ) + l(1 + ˆl t ), 0 = nˆn t + lˆl t. 2.0.6 Steady state Odstránením asových indexov v nutných podmienkach (2.5), (2.7), (2.2), (2.3) dostaneme nasledovné rovnice, ktoré treba vyrie²i Z (2.13) dostávame: Rovnicu (2.11) upravme: θ(1 n) γ = 1 c Āα α, n α 1 k 1 α, (2.10) 1 = β[(1 α)āα n α k α + 1 δ], (2.11) ȳ = Āα n α k1 α, (2.12) k = (1 δ) k + ȳ c. (2.13) δ k = ȳ c, k = ȳ c. δ 1 β = Āα n α (1 α) k α + 1 δ, 1 β 1 + δ 1 β 1 α = ȳ k, = (1 α)ȳ k + 1 δ, 9

1 β Ozna me φ :=, potom po dosadení do (2.13) platí: 1 α k = (1 δ) k + φ K c, (2.14) c = (1 δ) k + φ k k, (2.15) c = δ k + φ K, (2.16) c = (φ δ) K (2.17) S pouºitím vz ahu (2.10) a (2.12) dostaneme: θ(1 n) γ = αȳ c n (2.18) Ak pouºijeme, ºe ȳ = φ K a vz ah (2.17), tak máme: a následne to dosadíme do rovnice (2.18) c = φ δ ȳ, (2.19) φ θ(1 n) γ φ ȳ = α (φ δ)ȳ n, θ(1 n) γ = α φ 1 φ δ n, θ(1 n) γ αφ = (φ δ) n, θ(φ δ) αφ = (1 n)γ n Ak pouºijeme, ºe ȳ = φ k a vz ah (2.12) dostávame: φ k = Āα n α k1 α, k k α 1 = Āα n α φ, k α = Āα n α φ, k = Ā n α φ o môºme dosadi do (2.17), a kedºe ȳ = φ k, dostávame: c = (φ δ) Ā n, φ ȳ = φ Ā n. φ α α 10

2.0.7 Maticový zápis úlohy Log-linearizáciou nutných podmienok a ohrani ení dostávame nasledovný systém: 0 = ĉ t + (α 1)ˆn t + γˆl t + (1 α)ˆk t + αât, (2.20) ] 0 = E t [ĉ t (ϕ δβ + β)ĉ t+1 + αϕˆn t+1 αϕˆk t + αϕât+1), (2.21) 0 = ŷ t + αˆn t + (1 α)ˆk t 1 + αât, (2.22) 0 = ȳŷ t 1 cĉ t 1 kˆk t + (1 δ) kˆk t 1, (2.23) 0 = nˆn t + lˆl t, (2.24) kde pri om pre ²oky platí ϕ := β(1 α)(ā)α ( n) α ( k) α (2.25) Â t+1 = ρât + ε t, Ā = 1, ρ < 1. (2.26) Maticový zápis: 0 = Aˆx t + B ˆx t 1 + CÂt, (2.27) 0 = E t {Dˆx t + E ˆx t+1 + F Ât+1}, (2.28) Â t+1 = ρât + ε t (2.29) kde ˆx t = (ŷ t, ĉ t, ˆn t, ˆl t, ˆk t ) T, (2.30) 0 1 α 1 γ 1 α A := 1 0 α 0 0 0 0 0 0 k (2.31) 0 0 n l 0 0 0 0 0 0 B := 0 0 0 0 1 α ȳ c 0 0 (1 δ) k (2.32) 0 0 0 0 0 C := ( α, α, 0, 0, ) T D := ( 0, 1, 0, 0, αϕ ) T E := ( 0, (ϕ δβ + β), αϕ, 0, 0 ) T (2.33) (2.34) (2.35) F := ( αϕ ) (2.36) 11

Steady state je daný rovnicami: kde θ(φ δ) αφ φ := Poznámka: rovnicu (2.37) bude treba rie²i numericky. = (1 n)γ, (2.37) n K = A n, (2.38) φ α c = (φ δ) Ā n, (2.39) φ α ȳ = φ Ā n, (2.40) φ α l = 1 n, (2.41) 1 + δ 1 β 1 α. (2.42) 12

Kapitola 3 Numerická as 3.1 Numerická simulácia Simuláciu sme robili v programe Matlab. Koecienty sme zvolili nasledovne: α = 0.60, β = 0.90, γ = 0.50, δ = 0.40, ρ = 0.90, θ = 0.80. Potom stady state bol ĀȲ C N = 1.000000000000000 0.550163167563162 0.377938175978172 0.647831009509879 Výsledok simulácie moºno vidie na Obr. 3.1.. 3.1.1 tatistické vlastnosti veli ín V tejto podkapitole uvádzame ²tatistické vlastnosti veli ín vyplývajúce zo simulácie. µ(a ) µ(y ) µ(c ) µ(n ) = kde µ( ) je stredná hodnota náhodnej veli iny. 0.0052 0.0009 0.0010 0.0021, A kovaria ná matica vektora ( A Y C N ) T je 13

Simulácia technologický šok At yt ct nt 10 15 20 25 30 35 40 45 perioda Technologický šok 10 15 20 25 30 35 40 perioda Obr. 3.1: Simulácia technologického ²oku. Na horizontálnej osi je vývoj percentuálnych výchyliek z rovnováºneho stavu. 0.3953 0.2394 0.2098 0.0662 0.2394 0.7059 0.3730 0.0322 0.2098 0.3730 0.2466 0.0291 0.0662 0.0322 0.0291 0.0121. 3.1.2 Zdrojový kód %% Parametre modelu disp('-----------------seting parameters'); alpha = 0.6 ; beta = 0.90; gamma = 0.5 ; delta = 0.4 ; rho = 0.9 ; theta = 0.8 ; eps = 0.01; N =40; stable_index = [1,2,3,4] unstable_index = [] %% Vypocet Stady state disp('-----------------stady state'); varphi = (1/beta+delta-1)/(1-alpha); %Numericke riesenie NSS NSS = 0.5; 14

for i=1:100 NSS2 = (1-NSS)^gamma*alpha*varphi/theta/(varphi-delta); dif = NSS2-NSS; NSS=NSS2; end if (dif <0.000001) disp('-----------------nss is stable'); end LSS = 1-NSS; ASS = 1; KSS = ASS*NSS/(varphi^(1/alpha) ); YSS = varphi * KSS; CSS = (varphi-delta)* KSS; phi = (1-alpha) * beta * ASS^alpha * NSS^alpha *KSS^(-alpha); %% Vypocet matic disp('-----------------creating Matrix'); A = [ 0 0 1 -phi; -alpha 1 0 -alpha; -alpha*kss / (1-alpha) 0 KSS/(1-alpha)... KSS+gamma/(1-alpha)* NSS/LSS; 1 0 0 0]; B = [rho+alpha*phi/(1-alpha) 0 -phi/(1-alpha) -phi*(1+gamma*nss/lss/(1-alpha)); -alpha 0 1 (1-alpha)+gamma*NSS/LSS; -alpha/(1-alpha)*(1-delta)*kss YSS -CSS+(1-delta)*KSS/(1-alpha)... (1-delta)*KSS*(1+gamma*NSS/LSS/(1-alpha)); rho 0 0 0]; C = [ 0; 0; 0; 1]; ZSS = [ ASS;YSS;CSS;NSS]; %% Vypocet trajektorie ekonomiky disp('-----------------solving DSGE'); rand('seed',3); epsilon = eps*randn(1,n); Tr = zeros(4,n); Tr(:,1) = 0; % Test na vlastne cisla AA = inv(a)*b; [V,LAMBDA]=eig(AA) abs(lambda) CC = V*C; diag(abs(lambda))' temp=zeros(1,4); V(unstable_index,unstable_index) for i=1:n temp(stable_index)=lambda(stable_index,stable_index)*tr(stable_index,i)+... CC(stable_index,:)*epsilon(i); temp(unstable_index) = - inv(v(unstable_index,unstable_index)) *... V(unstable_index,stable_index)* temp(stable_index)'; 15

Tr(:,i+1)=temp; end figure subplot(2,1,1) plot(tr') title ('Simulácia - technologický ²ok'); xlabel('perioda') ylabel('percentualna vychylka zo stady-state'); legend('at','yt','ct','nt') subplot(2,1,2) plot(epsilon) title ('Technologický ²ok'); xlabel('perioda') ylabel('percentualna vychylka'); covar_matrix = cov(tr(:,10:n)') mean_vector = mean(tr(:,10:n)') 16

Literatúra [1] Re ovský, B.: Makroekonomické modelovanie v centrálnych bankách. Infostat, [] Özer Karagedikli, Troy Matheson, Christie Smith and Shaun Vahey : RBCs and DSGEs: The computational approach to business cycle theory and evidence. NORGES BANK 17