Úvod do lineárnej algebry
|
|
- Έχω Βονόρτας
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Katedra matematiky Fakulta elektrotechniky a informatiky Technická Univerzita v Košiciach Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová, Helena Myšková 005
2 RECENZOVALI: RNDr. Štefan Schrötter, CSc. RNDr. Zuzana Kimáková c RNDr. Monika Molnárová, PhD. RNDr. Helena Myšková ISBN
3 Predhovor Dôvodom vzniku tejto publikácie bolo poskytnúť študentom FEI TU študijný materiál, pomocou ktorého zvládnu praktické úlohy predmetu Úvod do lineárnej algebry. Obsah je rozdelený do piatich kapitol, ktoré sú členené do podkapitol. Každá z nich obsahuje riešené príklady, neriešené úlohy a ich výsledky. Autori si stanovili dva ciele. Po prvé mali ambíciu oboznámiť čitateľa s technikami riešenia problémov z danej oblasti. Po druhé chceli poslucháčov bakalárskeho štúdia všetkých študijných programov na FEI TU informovať o nárokoch, ktoré budú na nich kladené v praktickej časti tohto predmetu. Kto totiž zvládol úlohy uvedené v tomto učebnom texte, ten má najlepšie predpoklady k tomu, aby úspešne absolvoval praktické časti priebežných kontrolných prác počas semestra ako aj záverečnej skúšky. Autori sa okrem svojich dlhoročných skúseností z pedagogického pôsobenia na FEI TU opierali v prvom rade o práce podobného zamerania venované poslucháčom technických univerzít. Zoznam odporúčanej literatúry poskytne čitateľovi informácie o zdrojoch teoretických poznatkov i ďalších príkladov ako aj o zdrojoch, z ktorých môže čerpať pri rozširovaní svojich vedomostí z danej problematiky nad požadovaný rámec. Prvé dve kapitoly ako aj poslednú podkapitolu piatej kapitoly vypracovala RNDr. Monika Molnárová, PhD. Tretiu, štvrtú a prvé dve časti piatej kapitoly vypracovala RNDr. Helena Myšková. Autori vyslovujú vďaku recenzentom RNDr. Štefanovi Schrötterovi, CSc. a RNDr. Zuzane Kimákovej za pripomienky, ktoré viedli ku skvalitneniu textu po obsahovej i formálnej stránke. Autori.
4 Obsah 1 Aritmetické vektory a matice Aritmetické vektory Matice Determinanty matíc Inverzné matice Sústavy lineárnych rovníc 9.1 Cramerovo pravidlo Sústavy lineárnych rovníc v maticovom tvare Gaussova eliminačná metóda Homogénna sústava Sústava lineárnych rovníc s parametrom Polynómy a racionálne funkcie Komplexné čísla Polynómy Racionálne funkcie Vektorová algebra a analytická geometria Geometrické vektory Lineárne útvary Kužeľosečky Kvadratické plochy Lineárne priestory Lineárna nezávislosť Báza lineárneho priestoru Vlastné čísla a vlastné vektory matice
5 1 ARITMETICKÉ VEKTORY A MATICE 5 1 Aritmetické vektory a matice 1.1 Aritmetické vektory Príklad Utvorme lineárnu kombináciu α x 1 + β x + γ x 3, ak x 1 = (1,, 3), x = (, 1, 1) a x 3 = (1, 7, 9) pre α =, β = 3 a γ = 1. Riešenie. (1,, 3) 3(, 1, 1)+1(1, 7, 9)=(, 4, 6) (6, 3, 3)+(1, 7, 9)=( 3, 14, 1). Príklad 1.1. Zistime, či sú vektory x 1, x a x 3 lineárne závislé alebo nezávislé x 1 = (1,, 3) x 1 = (1,, 3) a) x = (, 1, 1) b) x = (, 1, 1) x 3 = (1, 7, 9) x 3 = (1, 7, 8). Riešenie. a) Utvoríme lineárnu kombináciu α x 1 +β x +γ x 3 a zistíme, či má rovnica αx 1 + βx + γx 3 = 0 len triviálne (nulové) riešenie. Prepisom tejto rovnice α(1,, 3) + β(, 1, 1) + γ(1, 7, 9) = (0, 0, 0) dostávame sústavu lineárnych rovníc α + β + γ = 0 α β + 7γ = 0 3α + β + 9γ = 0 Eliminujeme neznámu α v druhej a tretej rovnici pričítaním násobku, resp. 3 násobku prvej rovnice k druhej, resp. tretej rovnici. Dostávame α + β + γ = 0 5β + 5γ = 0. 5β + 6γ = 0 Odčítaním druhej rovnice od tretej rovnice eliminujeme neznámu β v tretej rovnici: α + β + γ = 0 5β + 5γ = 0. γ = 0 Sústava má jediné riešenie α = 0, β = 0 a γ = 0. Z toho vyplýva, že vektory x 1, x a x 3 sú lineárne nezávislé. b) Analogickým postupom ako v predošlom príklade riešime sústavu α + β + γ = 0 α β + 7γ = 0 3α + β + 8γ = 0..
6 6 1 ARITMETICKÉ VEKTORY A MATICE Po eliminácii α v druhej a tretej a β v tretej rovnici dostávame sústavu α + β + γ = 0 5β + 5γ = 0 0 = 0 Sústava má nekonečne veľa riešení (pre γ = t β = t, α = 3t pre t R). Ak zvolíme napr. t = 1, tak α = 3, β = 1 a γ = 1 je netriviálne riešenie skúmanej sústavy, a teda vektory x 1, x a x 3 sú lineárne závislé. Poznámka. Použitím maticového zápisu môžeme problém lineárnej závislosti, resp. nezávislosti množiny vektorov riešiť podobne ako problém hodnosti matice (viď kapitola Aritmetické vektory a matice podkapitola Matice). Príklad Nájdime t R, aby vektor x = (4, 3, t) reprezentoval lineárnu kombináciu vektorov u = (1,, 3), v = (, 1, 5) a w = (3, 1, 8). Riešenie. Nech x = (4, 3, t) je lineárnou kombináciou vektorov u, v a w, tak α, β, γ R také, že α u + β v + γ w = x, t.j. α(1,, 3) + β(, 1, 5) + γ(3, 1, 8) = (4, 3, t). Problém vedie teda ku riešeniu sústavy troch rovníc o neznámych α, β a γ s parametrom t: α + β + 3γ = 4 α β + γ = 3. 3α + 5β + 8γ = t Eliminujeme neznámu α v druhej, resp. tretej rovnici pričítaním násobku prvej rovnice ku druhej, resp. 3 násobku prvej rovnice k tretej rovnici: α + β + 3γ = 4 5β 5γ = 5 β γ = t 1 Pripočítaním 1 násobku druhej rovnice k tretej rovnici eliminujeme neznámu β v tretej 5 rovnici: α + β + 3γ = 4 5β 5γ = 5 0 = t 11 Posledná rovnica má zmysel, teda systém má riešenie vtedy a len vtedy, ak t = 11, t.j. pre t = 11 α, β, γ R také, že x je lineárnou kombináciou vektorov u, v a w....
7 1 ARITMETICKÉ VEKTORY A MATICE 7 Úlohy: 1.1 Utvorte lineárne kombinácie α x 1 + β x + γ x 3, ak x 1 = (3, 1, 0, ), x = (, 0, 3, 1) a x 3 = (,, 0, 3) pre a) α = 3, β = 1, γ = 1 c) α = 1, β = 1, γ = 0 b) α =, β = 0, γ = d) α = 0, β = 1, γ = Zistite, či sú lineárne závislé alebo nezávislé vektory a) x 1 = (, 1, 0) x = (1,, 0) x 3 = ( 1, 3, 0) b) x 1 = ( 3, 3, ) x = (, 1, 0) x 3 = (1, 5, ) c) x 1 = (1,, 0, 3) x = ( 1,, 0, ) x 3 = (, 4, 0, 11) d) x 1 = (,, 0, 1) x = ( 4, 4, 1, ) x 3 = (,, 1, 1). 1.3 Nájdite t R, aby vektor x reprezentoval lineárnu kombináciu vektorov u, v a w. a) u = (1,, 3), v = (, 1, 5), w = (3, 1, 8), x = (1, 7, t) b) u = (1,, ), v = (0, 1, 1), w = (, 1, 7), x = (1, 0, t) c) u = (, 4, 6), v = (1, 3, 4), w = ( 1, 0, 1), x = (3,, t) d) u = (3, 0, 6), v = (1,, 0), w = (1,, 4), x = (, 1, t) e) u = (1,, 3), v = (, 4, 5), w = (3, 6, 8), x = (1, 7, t) f) u = (1,, 3), v = (, 1, 5), w = (3, 1, 9), x = (1, 7, t). 1.1 Výsledky: a) (13, 5, 3, 4) c) (5, 1, 3, 3) b) (,, 0, 10) d) (0,, 3, 4) 1. a) lineárne závislé b) lineárne nezávislé c) lineárne závislé d) lineárne nezávislé
8 8 1 ARITMETICKÉ VEKTORY A MATICE 1.3 a) t = 4 d) t = 5 b) t = 4 e) c) t = 5 f) t R 1. Matice Príklad 1..1 Pre matice A = [ ] B = [ C = ] vypočítajme a) A B b) 3A + C c) A B d) B A e) A f) B g) A h) B. Riešenie. [ ] [ a) A = = B = = 0 3 ] Keďže sčítavať môžme len matice rovnakého rozmeru, A B neexistuje. b) Na rozdiel od predchádzajúceho príkladu sú v tomto prípade obe matice rovnakého rozmeru, čiže všetky operácie môžeme uskutočniť. [ ] [ ] [ ] A + C = 3 + = c) Podmienkou existencie súčinu dvoch matíc je, aby počet stĺpcov prvej matice bol rovný počtu riadkov druhej matice. Keďže pre C = A B je. c ij = k a ik b kj dostávame [ ] 0 1 A B = =
9 1 ARITMETICKÉ VEKTORY A MATICE 9 [ , , ( 1) 1 3 = , , ( 1) [ ] 10 1 = ] = d) Počet stĺpcov matice B sa nerovná počtu riadkov matice A, teda B A neexistuje. Všimnime si, že v našom prípade A B B A. e) Jednoduchým dôsledkom podmienky existencie súčinu dvoch matíc je, že A = A A sa dá vypočítať len v prípade štvorcovej matice, teda A neexistuje. f) B = B B = g) Transponovaná matica k danej matici vzniká zámenou riadkov a stĺpcov. Z prvého riadku sa tak stáva prvý stĺpec a naopak, atď. [ ] A = = h) B = = Príklad 1.. [ Nájdime ] hodnotu polynómu P (x) = x 3 3x + x 5 pre 1 maticu A = Riešenie. P (A) = A 3 3A + A 5E = [ ] 3 [ 1 1 = [ ] [ = ] [ ] + [ ] ] [ [ ] 5 0 = 0 5 ] = [ ]. Príklad 1..3 Určme hodnosť matice A =
10 10 1 ARITMETICKÉ VEKTORY A MATICE Riešenie. Pomocou ekvivalentných riadkových (stĺpcových) úprav nájdeme ekvivalentnú stupňovitú maticu. Príslušné úpravy budeme graficky značiť do riadkov (resp. stĺpcov) za (resp. pod) upravovanú maticu. Teda v prvom a treťom riadku znamená napríklad, že sa tieto riadky navzájom vymenia. Tým dosiahneme, aby hlavný prvok v prvom stĺpci bol 1. Pomocou neho vynulujeme ostatné prvky v prvom stĺpci ( 3R 1 za druhým riadkom znamená, že sme od druhého riadku odpočítali trojnásobok prvého riadku). Analogicky pomocou hlavného prvku v druhom riadku (-5) vynulujeme členy druhého stĺpca pod hlavnou diagonálou. Podobne by sme pokračovali v úpravách ďalej. V tomto prípade výpočet končí, keďže zvyšné riadky sú nulové. A = R 1 R 1 4R R 3R Hodnosť matice je rovná počtu nenulových riadkov stupňovitej matice, t.j. h(a) =. Poznámka. V prípade, ak hlavný prvok nie je rovný 1 (resp. 1) a ani vhodnou výmenou riadkov (resp.) stĺpcov sa to nedá dosiahnuť, je výhodné vhodnou lineárnou kombináciou riadkov hodnotu 1 (resp. 1) dostať. Nie je to ale nevyhnutné v prípade, ak sú všetky uvažované hodnoty v danom stĺpci násobkami jednej z nich, ako sme videli v predchádzajúcom príklade. Príklad 1..4 V závislosti na parametri α určme hodnosť matice α 1 0 α A = 1 α α Riešenie. Pomocou ekvivalentných úprav prevedieme maticu na stupňovitý tvar a urobíme úplnú diskusiu riešenia vzhľadom na parameter α. Používame zápis uvedený v Príklade 1..3.
11 1 ARITMETICKÉ VEKTORY A MATICE 11 A = α 1 0 α 1 α α α α α α 0 0 α α α 0 α 1 0 α αr α 0 α α 1 +R 1 +αr 1 +R +αr α α. I. α = ± 1 II. α ± 1 h(a) = 3. h(a) = 4. Príklad 1..5 Zistime, či sú vektory lineárne závislé alebo nezávislé x 1 = (, 3, 1, 4) x 3 = (5, 3, 1, 3) x = (3, 0,, ) x 4 = (4, 6,, 7). Riešenie. Vytvoríme maticu, ktorej riadky tvoria vektory x 1, x, x 3 a x 4. Pomocou ekvivalentných riadkových, resp. stĺpcových úprav upravujeme maticu na stupňovitý tvar. V prípade, že v priebehu výpočtu dostaneme aspoň jeden nulový riadok (t.j. hodnosť matice je menšia ako počet vektorov), sú vektory lineárne závislé. V opačnom prípade (t.j. hodnosť matice sa rovná počtu vektorov) sú lineárne nezávislé R R R Vektory x 1, x, x 3 a x 4 sú lineárne závislé. +3R 1 +5R 1 +4R R 3
12 1 1 ARITMETICKÉ VEKTORY A MATICE Úlohy: 1.4 Vypočítajte pre dané matice a) 3A B d) A b) A B e) B c) B A f) A, ak [ ] [ ] ) A = B = [ ] [ ] ) A = B = [ ] [ ] 1 1 3) A = B = 1 3 4) A = [ 1,, 3 ] [ ] 1 B = 1 0 5) A = [ 1,, 3 ] 1 B = ) A = 0 0 B = 1 0 7) A = B = Nájdite hodnotu polynómu P (x) pre danú maticu. 1) P (x) = x 4 [ ] 3 a) A = 4 1 ) P (x) = x 3 + x x 1 [ ] 1 0 a) A = 1 b) A = b) A =
13 1 ARITMETICKÉ VEKTORY A MATICE Určte hodnosť matice 3 1 a) A = b) A = c) A = d) A = e) A = f) A = g) A = h) A = V závislosti na parametri α určte hodnosť matice 3 1 a) A = α e) A = b) A = c) A = d) A = α 1 1 α 1 1 α 1 1 α α α α α α f) A = g) A = h) A = α α α 4 1 α α α
14 14 1 ARITMETICKÉ VEKTORY A MATICE 1.8 Zistite, či sú lineárne závislé alebo nezávislé vektory a) x 1 = (, 3, 4) x = (3, 0, 1) x 3 = (5, 3, ) d) x 1 = (3,, 0) x = (4, 1, ) x 3 = (1, 1, 1) b) x 1 = (, 0,, 1) x = ( 3,,, 5) x 3 = ( 1,, 0, 6) x 4 = ( 4, 5,, 11) e) x 1 = (3,, 0, 1) x = (5, 1, 1, ) x 3 = (, 0, 1, 1) x 4 = (3, 1, 0, ) c) x 1 = (3, 1, 0, 1, 0) x = (, 1,, 0, 3) x 3 = (6, 0, 5,, 1) x 4 = (,, 1,, 5) f) x 1 = (, 3, 1, 4, 1) x = (0,,, 5, ) x 3 = (,, 0,, 3) x 4 = (1, 5, 6, 11, 4). Výsledky: 1.4 1) a) [ b) neexistuje ] c) neexistuje d) neexistuje e) neexistuje f) ) a) neexistuje [ ] 4 1 b) ) a) neexistuje b) neexistuje 4) a) neexistuje b) neexistuje c) neexistuje [ ] 3 d) 1 [ ] 3 c) 7 d) neexistuje c) neexistuje d) neexistuje e) neexistuje [ ] 1 f) 1 0 [ ] 3 4 e) 8 11 f) [, 1 ] e) neexistuje f) [ 1,, 3 ] 5) a) neexistuje b) [ 9, 13 ] c) neexistuje d) neexistuje e) neexistuje f) [ 1,, 3 ] 6) a) neexistuje 4 b) 4 c) neexistuje 6 9 d) e) neexistuje f) 0 3 0
15 1 ARITMETICKÉ VEKTORY A MATICE 15 7) a) neexistuje b) c) neexistuje 6 9 d) e) neexistuje f) ) a) P (A) = [ ) a) P (A) = [ ] ] b) P (A) = b) P (A) = a) h(a) = 3 b) h(a) = c) h(a) = 1.7 d) h(a) = e) h(a) = 3 f) h(a) = g) h(a) = 3 h) h(a) = a) α = 3 h(a) =, α 3 h(a) = 3 b) α = 1 h(a) = 1, α = 3 h(a) = 3, α 1 α 3 h(a) = 4 c) α = h(a) = 1, α = 6 h(a) = 3, α α 6 h(a) = 4 d) α = 15 h(a) = 3, α 15 h(a) = 4 e) α = 0 h(a) =, α 0 h(a) = 3 f) α = ±3 h(a) = 3, α ±3 h(a) = 4 g) α = 1 h(a) = 3, α 1 h(a) = 4 h) α = 3 h(a) = 3, α 3 h(a) = a) lineárne nezávislé b) lineárne nezávislé c) lineárne závislé d) lineárne závislé e) lineárne závislé f) lineárne nezávislé
16 16 1 ARITMETICKÉ VEKTORY A MATICE 1.3 Determinanty matíc Príklad Vypočítajme determinanty matíc [ ] a) A = b) A = c) A = e) A = Riešenie d) A = f) A = a) Matica je stupňa, môžeme použiť krížové (Sarusovo) pravidlo A = = = 8 3 = 5. b) Matica je stupňa 3, môžeme opäť použiť krížové pravidlo. Ako pomôcku si podpíšeme prvé dva riadky. Výsledok bude pozostávať zo súčtu šiestich sčítancov. Prvý sčítanec vznikne súčinom prvkov na hlavnej diagonále. Pod ňou sa nachádzajú dve ďalšie "diagonály", súčinom prvkov na nich dostaneme druhý a tretí sčítanec (súčiny zľava). Podobným spôsobom vypočítame ďalšie členy, ak urobíme súčin prvkov na vedľajšej diagonále a "diagonálach" pod ňou (súčiny sprava). Súčiny zľava zoberieme so znamienkom plus a súčiny sprava so znamienkom mínus. 3 4 A = 1 0 = ( ) = = (4 + 15) = 19 = 3. c) Podobným spôsobom vypočítame aj nasledujúci determinant. Výpočet si môžeme uľahčiť tým, že použijeme jednu z ekvivalentných úprav a síce vynásobíme tretí stĺpec 1. Keďže sa tým hodnota determinantu 3 zníži na 1 pôvodnej hodnoty, musíme výsledok vynásobiť 3. V skutočnosti teda vynímame spoločný deliteľ členov stĺpca pred 3 determinant.
17 1 ARITMETICKÉ VEKTORY A MATICE 17 A = = = 3( ) = 0. Poznámka. Tento výsledok môžeme interpretovať aj nasledujúcim spôsobom: riadky (resp. stĺpce) matice A sú lineárne závislé. d) Pre matice stupňa väčšieho ako 3 nemôžeme použiť krížové pravidlo. Použijeme ekvivalentné úpravy, aby sme dostali stĺpec (resp. riadok) s čo možno najväčším počtom núl. Následne urobíme rozvoj podľa daného stĺpca (resp. riadku). V našom prípade po odčítaní druhého riadku od tretieho a štvornásobku druhého riadku od štvrtého riadku, urobíme rozvoj podľa prvého stĺpca. Je v ňom jediný nenulový člen a 1 = 1. Jeho pozícia určuje mocninu člena ( 1). Dostávame teda 1 krát ( 1) +1 krát subdeterminant, ktorý vznikne vynechaním druhého riadku a prvého stĺpca. Ďalej pokračujeme krížovým pravidlom A = R = = 4R = 1 ( 1) = [ (6 9 4)] = 6. Poznámka. Rozvoj podľa niektorého riadku alebo stĺpca bez predchádzajúcich úprav by viedol v najlepšom prípade nie k jednému ale k trom subdeterminantom stupňa 3 (rozvoj podľa prvého alebo druhého riadku, resp. stĺpca). e) V tomto prípade vidíme hneď, že je výhodné urobiť rozvoj podľa štvrtého stĺpca, v ktorom je jediný nenulový člen. Následne urobíme rozvoj podľa tretieho stĺpca a potom podľa druhého stĺpca. Nakoniec krížovým pravidlom vyčíslime hodnotu determinantu. A = = 3 ( 1) ( 1) +3 = 6(10 6) = 4. = 3 ( 1) = = 3 ( 1) =
18 18 1 ARITMETICKÉ VEKTORY A MATICE f) Determinant vyčíslime pomocou výsledku predchádzajúceho príkladu a vplyvu ekvivalentných úprav na hodnotu determinantu. Oproti predchádzajúcemu príkladu sú navzájom vymenené prvé dva riadky, to mení znamienko nášho determinantu. Štvrtý riadok je dvojnásokom pôvodného riadku, to zvyšuje hodnotu na dvojnásobok a analogicky posledný riadok je trojnásobkom, teda výsledok predchádzajúceho príkladu vynásobíme aj tromi. A = = 1 3 ( 4) = 144. Úlohy: 1.9 Vypočítajte determinanty matíc 6 3 a) A = b) B = c) C = d) D = e) F = f) G = g) H = h) I = Vypočítajte determinanty matíc a) A = b) B = c) C = d) D =
19 1 ARITMETICKÉ VEKTORY A MATICE 19 e) F = f) G = g) H = h) I = Vypočítajte determinanty matíc a) A = c) C = b) B = d) D = Riešte rovnice na množine C 1 x 3 a) x = 0 e) 3 1 x b) 4 x 1 x 1 0 = 4 f) x 0 0 c) 0 x 4 0 x + = 0 g) x 1 d) 1 x 3 = 1 h) 3 1 x 4 9 x = 0 x x x + x x + 1 x 0 1 x + 1 x 1 1 x 3 x 3 1 = 13. = = 0
20 0 1 ARITMETICKÉ VEKTORY A MATICE Výsledky: 1.9 a) A = 35 b) B = 35 c) C = 70 d) D = 175 e) F = 1 f) G = 4 g) H = 36 h) I = a) A = 6 b) B = 4 c) C = 570 d) D = 1 e) F = 48 f) G = 3 g) H = 4 h) I = a) A = 9 b) B = 99 c) C = d) D = a) 8x + 5x 3 = 0 x 1 = 1, x = 3 8 b) x 3 3x 4x = 0 x 1 = 1, x = 0, x 3 = 4 c) x 3 + 4x = 0 x 1 = 0, x = i, x 3 = +i d) x 7x + 10 = 0 x 1 =, x = 5 e) x 5x + 6 = 0 x 1 =, x = 3 f) x 3 4x = 0 x 1 =, x = 0, x 3 = g) x 3 + x + x = 0 x 1 = 0, x = 1+ 3 i, x 3 = 1 3 i h) x + 6x + 8 = 0 x 1 = 4, x =
21 1 ARITMETICKÉ VEKTORY A MATICE Inverzné matice Príklad Vypočítajme inverznú maticu k danej matici. a) A = c) C = Riešenie. [ ] b) B = d) D = [ ] a) Determinant matice A = 0, t.j. matica je singulárna a teda inverzná matica k nej neexistuje. b) Determinant matice je rovný B =, t.j. matica je regulárna a teda inverzná matica k nej existuje. Nájdeme ju pomocou adjungovanej matice. B 1 = 1 [ ] B11 B 1. B B 1 B B ij reprezentuje subdeterminant, ktorý vznikne vynechaním i-tého riadku a j-tého stĺpca v pôvodnej matici vynásobený ( 1) i+j.. B 11 = ( 1) 1+1 b = 5, B 1 = ( 1) 1+ b 1 = 4, B 1 = ( 1) +1 b 1 = 3, B = ( 1) + b 11 =. Teda B 1 = 1 [ ] [ = c) Keďže determinant matice C = 1, matica je regulárna. Analogicky ako v predchádzajúcom prípade nájdeme inverznú maticu pomocou adjungovanej matice. C 11 = ( 1) =, C 1 = ( 1) = 1, C 13 = ( 1) C = ( 1) ]. = 1, C 1 = ( 1) =, = 1, C 3 = ( 1) =,
22 1 ARITMETICKÉ VEKTORY A MATICE C 31 = ( 1) = 3, C 3 = ( 1) = 0, C 33 = ( 1) = 1. Teda C 1 = = = d) Predchádzajúci výpočet ukázal, že časová náročnosť výpočtu pre maticu stupňa 3 je podstatne vyššia ako bola pre maticu stupňa. V prípade matice D by to dokonca znamenalo vyčíslenie jedného determinantu stupňa 4 a 16 determinantov stupňa 3. Preto použijeme pre výpočet inverznej matice Gaussovu eliminačnú metódu. Napíšeme si blokovú maticu (D E), kde pred čiarou je umiestnená daná matica a za čiarou jednotková matica príslušného stupňa. Pomocou ekvivalentných riadkových operácií upravíme v prvej časti blokovú maticu na tvar, kde matica pred čiarou je horná trojuholníková (prvky pod hlavnou diagonálou sú rovné nule). (D E) = R +3R 1 +4R 1 +5R R R R 3
23 1 ARITMETICKÉ VEKTORY A MATICE R 4 Následne pokračujeme v úpravách, aby sme pred čiarou dostali diagonálnu maticu. Posledným krokom je vhodné násobenie riadkov, aby matica naľavo bola jednotková matica. V takom prípade je inverznou maticou matica napravo od čiary R 3. R.( 1).( 1) Teda D 1 = Príklad 1.4. Pomocou inverznej matice riešme maticové rovnice [ ] [ ] [ ] a) X = b) X 0 =
24 4 1 ARITMETICKÉ VEKTORY A MATICE Riešenie. a) Danú maticovú rovnicu môžeme formálne zapísať v tvare AXB = C, kde [ ] [ ] [ ] A =, B = a C = Pri výpočte využijeme fakt, že matice A a B sú regulárne, z čoho vyplýva, že k nim existujú inverzné matice. Ak teda rovnicu vynásobíme zľava inverznou maticou k matici A, dostávame A 1 AXB = EXB = XB, kde E je príslušná jednotková matica. Analogicky odstránime maticu B na pravej strane, keď vynásobíme rovnicu sprava B 1. Takže X = A 1 CB 1. X = [ 3 1 = 1 8 [ 1 3 ] 1 [ ] [ ] [ ] ] 1 = [ ] [ 3 6 = b) Danú maticovú rovnicu môžeme formálne zapísať nasledujúcim spôsobom AX B = C. Pripočítaním matice B k obom stranám rovnice dostávame AX = B +C. Ďalej postupujeme analogicky ako v predchádzajúcom príklade, t.j. X = A 1 (B +C). Použijeme výsledok Príkladu c). X = = = = = = ].
25 1 ARITMETICKÉ VEKTORY A MATICE 5 Úlohy: 1.13 Vypočítajte inverznú maticu k danej matici [ ] 3 a) A = 6 4 [ ] 3 b) B = 6 5 [ ] 3 c) C = 4 [ ] 1 d) D = e) F = f) G = g) H = h) I = i) J = j) K = k) L = l) M = Pomocou inverznej matice riešte maticové rovnice [ ] [ ] 3 1 a) X = [ ] [ ] 3 1 b) X = [ ] [ ] [ ] c) X = [ ] [ ] [ ] [ ] d) X = [ ] [ ] [ ] [ ] e) X + = [ ] [ ] [ ] [ ] f) X =
26 6 1 ARITMETICKÉ VEKTORY A MATICE [ 1 0 g) 0 3 [ 3 0 h) 0 3 i) X j) k) X l) m) n) o) ] [ 3 0 X 0 1 ] X [ ] [ ] [ ] = ] [ ] [ ] = = X = = X = X = [ X = X + ] = p) X = r) 5 X = s) 1 3 X =
27 1 ARITMETICKÉ VEKTORY A MATICE 7 Výsledky: 1.13 a) A 1 neexistuje [ ] b) B 1 = [ ] 4 c) C 1 = [ ] 5 d) D 1 = e) F 1 = 1 63 f) G 1 = 1 49 g) H 1 = [ ] 1 4 a) X = 1 7 [ ] 1 4 b) X = [ ] c) X = [ ] d) X = [ ] 5 3 e) X = [ ] 1 1 f) X = h) I 1 = i) J 1 = j) K 1 = k) L 1 = 1 4 l) M 1 = 1 4 g) X = 1 3 h) X = 1 3 i) X = [ [ ] ] [ j) X = ( 3,, 1 ) k) X = ] l) X = [ 1,, 1 ]
28 8 1 ARITMETICKÉ VEKTORY A MATICE m) X = [, 3, 5 ] n) X = 1 o) X = p) X = r) X = s) X =
29 SÚSTAVY LINEÁRNYCH ROVNÍC 9 Sústavy lineárnych rovníc.1 Cramerovo pravidlo Príklad.1.1 Pomocou Cramerovho pravidla riešme sústavu lineárnych algebraických rovníc nad R 6x 1 + 3x x 3 = x 1 3x + x 3 = 5 x 1 + x + x 3 = 9 Riešenie. Matica sústavy je štvorcová, teda môžeme začať počítať pomocou Cramerovho pravidla. Vypočítame determinant matice sústavy D 6 3 D = = 35. Keďže determinant matice sústavy je rôzny od nuly, môžeme pokračovať vo výpočte pomocou Cramerovho pravidla. Nahradením prvého stĺpca stĺpcom pravej strany dostaneme determinant D 1. Analogicky vypočítame D a D 3 D 1 = D 3 = = 35, D = = Sústava má práve jedno riešenie x=(x 1, x, x 3 ), kde x 1 = D 1 D = = 1 x = D D = = = 70, x 3 = D 3 D = = 5. Poznámka. V prípade, že je determinant matice sústavy rovný nule, použijeme Gaussovu eliminačnú metódu. Je zvykom uvádzať riešenie sústavy lineárnych algebraických rovníc v tvare stĺpcového vektora (x 1, x,..., x n ). Dôvodom je maticový zápis sústavy (viď nasledujúca podkapitola). Vzhľadom na to, že vektor je špeciálnym
30 30 SÚSTAVY LINEÁRNYCH ROVNÍC prípadom matice, možno ho zapisovať aj v tvare, ktorý sme používali v predchádzajúcej kapitole. Úlohy:.1 Pomocou Cramerovho pravidla riešte sústavy lineárnych algebraických rovníc nad R a) x 1 + 3x = 6 x 1 + x = 5 b) 3x 1 4x = 6 3x 1 + 4x = 18 c) x 1 + 3x + x 3 = 4 x 1 + 6x + x 3 = 4x 1 + 8x x 3 = d) 3x 1 + 4x + x 3 = 8 x 1 + 5x + x 3 = 5 x 1 + 3x + 4x 3 = 3 e) x 1 3x + x 3 = 0 x 1 + x x 3 = 3 x 1 + x + x 3 = 1 f) 1x 1 x + 5x 3 = 30 3x 1 13x + x 3 = 1 7x 1 + x + 3x 3 = 15 g) 3x 1 + x 4x 3 = 1 x 1 x + x 3 = 5 x 1 x 3x 3 = 4 h) x 1 x + 3x 3 = 9 x 1 + 3x x 3 = 6 x 1 5x + 5x 3 = 17 i) k) m) o) r) x 1 x + 3x 3 = 9 x 1 + 3x = 4 x 1 5x + 5x 3 = 17 x 1 + x + x 3 = 6 x 1 x + x 3 = 3 3x 1 x 3 = 0 6x + 4x 3 = 1 3x 1 + 3x = 9 x 1 3x 3 = 10 x 1 3x 3 = 3x 1 + x x 3 = 5 x 1 + x + x 3 = 4 x 1 + x + x 3 = 1 x 1 + 3x + x 3 = 5x 1 + 4x + x 3 = 4 j) l) n) p) s) x 1 x + x 3 = 3 x 1 + x + x 3 = 1 4x 1 + x + x 3 = 6 4x 1 + x 3x 3 = 11 x 1 3x + x 3 = 9 x 1 + x + x 3 = 3 3x 1 + 3x + 5x 3 = 1 3x 1 + 5x + 9x 3 = 0 5x 1 + 9x + 17x 3 = 0 x 1 x + x 3 = 4 x + x 3 = 4 x 1 + 3x x 3 = x 1 + 3x + 3x 3 = 3 6x 1 + 6x + 1x 3 = 13 1x 1 + 9x x 3 = t) x 1 + 5x + 4x 3 + x 4 = 0 x 1 + 3x + x 3 + x 4 = 11 x x + 9x 3 + 7x 4 = 40 3x 1 + 8x + 9x 3 + x 4 = 37
31 SÚSTAVY LINEÁRNYCH ROVNÍC 31 u) v) z) x 1 + 3x + 11x 3 + 5x 4 = x 1 + x + 5x 3 + x 4 = 1 x 1 + x + 3x 3 + x 4 = 3 x 1 + x + 3x 3 + 4x 4 = 3 3x 1 + 4x + x 3 + x 4 = 3 3x 1 + 5x + 3x 3 + 5x 4 = 6 6x 1 + 8x + x 3 + 5x 4 = 8 3x 1 + 5x + 3x 3 + 7x 4 = 8 x 1 + x x 3 x 4 = x 1 + x + x 3 + x 4 = 8 x 1 x x 3 + x 4 = 1 x 1 + x + x 3 x 4 = 4..1 Výsledky: a) x 1 = 3, x 1 = 1 1 b) x 1 = 48, x 4 = 7 4 x = (3, 1) x = (, 3) c) x 1 = 36, x 1 = 1, x 1 3 = 4 1 d) x 1 = 56, x 8 = 8, x 8 3 = 8 8 e) x 1 = 4 1, x = 36 1, x 3 = 60 1 f) x 1 = 7, x 36 = 36, x 36 3 = g) x 1 = 14 14, x = 8 14, x 3 = 0 14 h) x 1 = 1 1, x = 1 1, x 3 = 1 i) x 1 =, x =, x 3 = 4 j) x 1 = 1 6, x = 6 6, x 3 = 0 6 x = (3, 1, ) x = (, 1, 1) x = (, 3, 5) x = (, 1, 1) x = (1,, 0) x = (1, 1, ) x = (1, 1, ) x = (, 1, 0) k) x 1 = 9 9, x = 18 9, x 3 = 7 9 x = (1,, 3) l) x 1 = 70 35, x = , x 3 = m) x 1 = , x = 60 30, x 3 = 0 30 n) x 1 = 4 4, x = 6 4, x 3 = 4 o) x 1 = 8, x 7 = 1, x 7 3 = 14 7 x = (, 3, ) x = (5,, 0) x = (1, 3, 1 ) x = (4, 3, )
32 3 SÚSTAVY LINEÁRNYCH ROVNÍC p) x 1 = 18, x 18 = 36, x 18 3 = r) x 1 = 30, x 15 = 45, x 15 3 = x = ( 1,, 1) x = (, 3, 3) s) x 1 = , x = , x 3 = x = ( 1, 1 3, 1) t) x 1 = 3 3, x = 6 3, x 3 = 6 3, x 4 = 0 3 u) x 1 = 8, x 14 = 0, x 14 3 = 14, x 14 4 = v) x 1 = 1 6, x = 1 6, x 3 = 6 6, x 4 = 6 6 z) x 1 = 9, x 9 = 18, x 9 3 = 9, x 9 4 = 7 9 x = (1,,, 0) x = (, 0, 1, 1) x = (,, 1, 1) x = (1,, 1, 3). Sústavy lineárnych rovníc v maticovom tvare Príklad..1 Pomocou inverznej matice riešme nad R sústavu lineárnych algebraických rovníc x 1 4x 3x 3 = 1 x 1 5x 3x 3 = 0 x 1 + 6x + 4x 3 = 1 Riešenie. Použijeme maticový zápis Ax = b pre danú sústavu. Dostávame x x = x 3 1 Túto maticovú rovnicu riešime pomocou inverznej matice k matici sústavy. Použijeme postup popísaný v kapitole Aritmetické vektory a matice v podkapitole Inverzné matice. x = = = Poznámka. Podobne ako v prípade Cramerovho pravidla je riešenie sústavy algebraických rovníc pomocou inverznej matice obmedzené na prípady, kedy je matica sústavy regulárna t.j. sústava má práve jedno riešenie. Úlohy:. Pomocou inverznej matice riešte sústavy lineárnych algebraických rovníc nad R a) x 1 + x + x 3 = 1 3x 1 + 5x + 4x 3 = 0 3x 1 + 6x + 5x 3 = b) x 1 + x + x 3 = 0 3x 1 + x = 1 x 1 + 3x 3 = 1.
33 SÚSTAVY LINEÁRNYCH ROVNÍC 33 c) x 1 + 3x + x 3 = 1 3x 1 + 3x + x 3 = 1 x 1 + 4x + x 3 = d) x 1 + 3x + x 3 = 4 3x 1 + 3x + x 3 = 8 x 1 + 4x + x 3 = 5.. Výsledky: a) x = b) x = 1 c) x = d) x = = = 1 = = Gaussova eliminačná metóda Príklad.3.1 Pomocou Gaussovej eliminačnej metódy riešme sústavu lineárnych algebraických rovníc nad R x 1 + x x 3 + x 4 = 4 4x 1 + 3x x 3 + x 4 = 6 8x 1 + 5x 3x 3 + 4x 4 = 1 3x 1 + 3x x 3 + x 4 = 6 Riešenie. Pomocou ekvivalentných riadkových úprav upravíme maticu sústavy rozšírenú o stĺpec pravých strán (rozšírená matica sústavy) na stupňovitý tvar (popísané v kapitole Aritmetické vektory a matice v podkapitole Matice). (A b) = R4 3R R 1 +8R 1 +3R 1
34 34 SÚSTAVY LINEÁRNYCH ROVNÍC R Keďže hodnosť matice sústavy je rovná hodnosti rozšírenej matice sústavy h(a) = h(a ) = 4, sústava má riešenie. Zároveň počet neznámych je rovný hodnosti n = h(a) = 4, z toho vyplýva, že sústava má práve jedno riešenie. Z poslednej rovnice vypočítame hodnotu x 4. Postupným dosadzovaním do predchádzajúcich rovníc dostaneme hodnoty ostatných neznámych. x 1 x + x 3 x 4 = x + 3x 3 x 4 = x 3 x 4 = 0 x 4 = x 4 = 1. Z tretej rovnice dostávame x 3 x 4 = 0 x 3 = 1. Z druhej rovnice dostávame x + 3x 3 x 4 = x = 1. Z prvej rovnice dostávame x 1 x + x 3 x 4 = x 1 = 1. Riešením sústavy je vektor x = (1, 1, 1, 1). Príklad.3. Pomocou Gaussovej eliminačnej metódy riešme sústavu lineárnych algebraických rovníc nad R 4x 1 3x + x 3 x 4 = 8 3x 1 x + x 3 3x 4 = 7 x 1 x + 5x 4 = 6 5x 1 3x + x 3 8x 4 = 1 Riešenie. Pomocou ekvivalentných riadkových úprav upravíme rozšírenú maticu sústavy na stupňovitý tvar (A b) = R 3R R R R R Keďže hodnosť matice sústavy sa nerovná hodnosti rozšírenej matice sústavy h(a) = 3 h(a ) = 4, sústava nemá riešenie...
35 SÚSTAVY LINEÁRNYCH ROVNÍC 35 Príklad.3.3 Pomocou Gaussovej eliminačnej metódy riešme sústavu lineárnych algebraických rovníc nad R x 1 x + x 3 + x 4 + 3x 5 = 6x 1 3x + x 3 + 4x 4 + 5x 5 = 3 6x 1 3x + 4x 3 + 8x x 5 = 9 4x 1 x + x 3 + x 4 + x 5 = 1 Riešenie. Pomocou ekvivalentných riadkových úprav upravíme rozšírenú maticu sústavy na stupňovitý tvar R R R R R ( 1) ( 1) Keďže hodnosť matice sústavy sa rovná hodnosti rozšírenej matice sústavy h(a) = h(a ) = 3, sústava má riešenie. Zároveň počet neznámych je väčší ako hodnosť matice n = 5 > h(a) = 3, z toho vyplýva, že sústava má nekonečne veľa riešení. Počet voľných premenných určíme na základe vzťahu n h(a) = 5 3 = (t.j. lineárny priestor všetkých riešení danej sústavy je dvojrozmerný). x 1 x + x 3 + x 4 + 3x 5 = x 3 + x 4 + 4x 5 = 3. x 4 = 0 Volíme dve voľné premenné. Keďže x 4 = 0, vzhľadom na druhú rovnicu z dvojice x 3 a x 5 vyberieme jednu a z dvojice x 1 a x vyberieme druhú voľnú premennú. Nech x 5 = t a x 1 = s z druhej rovnice dostávame: x 3 + x 4 + 4x 5 = 3 x 3 = 3 4t... Nakoniec dosadíme vypočítané hodnoty do prvej rovnice a určíme x x 1 x + x 3 + x 4 + 3x 5 = x = 1 t + s. Riešením sústavy je vektor x = (s, 1 t + s, 3 4t, 0, t) pre s, t R. Poznámka. Pri inej voľbe voľných premenných, z tých ktoré boli prípustné v tomto príklade, je vyjadrenie výsledku odlišné od toho, ktoré sme pri horeuvedenom výpočte dostali.
36 36 SÚSTAVY LINEÁRNYCH ROVNÍC Úlohy:.3 Pomocou Gaussovej eliminačnej metódy riešte sústavu lineárnych algebraických rovníc nad R a) b) c) d) e) f) g) h) x 1 + 5x + 4x 3 + x 4 = 0 x 1 + 3x + x 3 + x 4 = 11 x x + 9x 3 + 7x 4 = 40 3x 1 + 8x + 9x 3 + x 4 = 37 x 1 + 3x + 11x 3 + 5x 4 = x 1 + x + 5x 3 + x 4 = 1 x 1 + x + 3x 3 + x 4 = 3 x 1 + x + 3x 3 + 4x 4 = 3 7x 1 + 9x + 4x 3 + x 4 = x 1 x + x 3 + x 4 = 6 5x 1 + 6x + 3x 3 + x 4 = 3 x 1 + 3x + x 3 + x 4 = 0 3x 1 + 4x + x 3 + x 4 = 3 3x 1 + 5x + 3x 3 + 5x 4 = 6 6x 1 + 8x + x 3 + 5x 4 = 8 3x 1 + 5x + 3x 3 + 7x 4 = 8 x 1 + x x 3 x 4 = x 1 + x + x 3 + x 4 = 8 x 1 x x 3 + x 4 = 1 x 1 + x + x 3 x 4 = 4 x 1 x + x 3 x 4 = 3 4x 1 x x 3 + 3x 4 = x 1 x + 5x 3 6x 4 = 1 x 1 x 3x 3 + 4x 4 = 5 x 1 3x + 6x 3 x 4 = 1 x 1 + x x 3 = 0 x 1 + 3x x 3 x 4 = 9x 1 x + 15x 3 5x 4 = 1 5x 1 + 1x + 9x 3 + 5x 4 = 15 15x x + 5x x 4 = 40 0x x + 34x x 4 = 70 10x 1 + 3x + 17x x 4 = 5
37 SÚSTAVY LINEÁRNYCH ROVNÍC 37 i) 5x 1 + x x 3 + 4x 4 = 1 3x 1 x + x 3 + 6x 4 = 7 x 1 + 3x 3x 3 x 4 = 6 x 1 + 5x + x 3 + x 4 = 1 j) 5x 1 + 3x + 3x 3 + x 4 = 11 x 1 x + x 3 = 3x 1 + 3x + x 3 + x 4 = 10 4x 1 + x + 3x 3 + x 4 = 8 x 1 3x + x 3 = 7 k) x 1 + 3x x 3 + x 4 = 1 8x 1 + 1x 9x 3 + 8x 4 = 3 4x 1 + 6x + 3x 3 x 4 = 3 x 1 + 3x + 9x 3 7x 4 = 3 l) x 1 + 7x + 3x 3 + x 4 = 5 x 1 + 3x + 5x 3 x 4 = 3 x 1 + 5x 9x 3 + 8x 4 = 1 5x x + 4x 3 + 5x 4 = 1 m) 1x 1 6x + 9x 3 + 1x 4 = 3 11x 1 5x + 10x 3 + 4x 4 = 1 7x 1 3x + 7x x 4 = 0 8x 1 6x x 3 5x 4 = 9 n) x 1 + x + x 3 + x 4 = 1 x 1 + x + x 3 = 1 x 1 + x + 5x 3 x 4 + 6x 5 = 1 x 1 + x 3x 3 + x 4 6x 5 = 1 o) 4x 1 + 3x x 3 + x 4 + x 5 = 15 x 1 x + x 3 x 4 + x 5 = 3x 1 x + x 3 x 4 x 5 = 5 x 1 + 3x 3 = 0 x + x 4 = 0 p) 5x 1 + 1x + 5x 3 + 3x 4 = 10 11x x + 4x 3 + 8x 4 = 8 x 1 + 7x + 3x 3 + x 4 = 6 7x 1 3x x 3 + 6x 4 = 4
38 38 SÚSTAVY LINEÁRNYCH ROVNÍC r) s) t) u) x 1 + x = 6 x 1 + 8x + x 3 + x 4 = 3 3x x + x 3 x 4 = x 1 x 4 = 1 4x 1 + 3x + x 3 + x 4 = 5 6x 1 x + x 3 7x 4 = 1 x 1 x 3x 4 = 1 7x 1 x x 3 10x 4 = 7x 1 x + x 3 9x 4 = 4 x 1 x 3 4x 4 = 6 5x 1 + 5x + 4x 3 + 7x 4 = 5 11x 1 + 4x + 6x 3 = 4 4x 1 + 5x + 5x 3 + 9x 4 = 8 x 1 + 3x + x 3 + 5x 4 = 3 9x 1 + 4x + 8x 3 + 4x 4 = 10 x 1 + x 3x 3 + x 4 = 3x 1 5x + x 3 + x 4 = 3 4x 1 + 3x 7x 3 + x 4 = 5 x 1 + x x 3 + 3x 4 = 3x 1 + x 4x 3 + x 4 =. Výsledky:.3 a) x = (1,,, 0) k) x = ( 5 3t s, t, 8s, s) s, t R b) x = (, 0, 1, 1) l) x = (6 6t+17s, 1+7t 5s, t, s) s, t R c) x = ( 3, 6, 17, ) m) x=( 3 5t 13s, 7 7t 19s, t, s) s, t R d) x = (,, 1, 1) n) sústava nemá riešenie e) x = (1,, 1, 3) o) x = (3, 0,, 0, 1) f) sústava nemá riešenie p) x = (8 9t 4s, t, s, 10+11t+5s) s, t R g) sústava nemá riešenie r) sústava nemá riešenie h) sústava nemá riešenie s) x = (, 9, 0, 5 ) i) sústava nemá riešenie t) x = ( 6, 1, 15, ) j) x = (3, 0, 5, 11) u) x = (t, t, 1+t, 1) t R
39 SÚSTAVY LINEÁRNYCH ROVNÍC 39.4 Homogénna sústava Príklad.4.1 Pomocou Gaussovej eliminačnej metódy riešme homogénnu sústavu lineárnych algebraických rovníc nad R x 1 + x x 3 + x 4 = 0 x 1 + x + x 3 3x 4 = 0 x 1 + x 3x 3 + x 4 = 0 x 1 + 3x + 4x 3 x 4 = 0 Riešenie. Pomocou ekvivalentných riadkových úprav upravíme maticu sústavy na stupňovitý tvar. Keďže lineárna kombinácia núl je opäť nula, nie je potrebné zapisovať vektor pravej strany. A = R 1 +R 1 +R R R +5R Keďže hodnosť matice sústavy je u homogénnych sústav vždy rovná hodnosti rozšírenej matice sústavy, homogénna sústava má vždy aspoň jedno riešenie a tým je nulový vektor (triviálne riešenie). Počet neznámych tejto sústavy je rovný hodnosti n = h(a) = 4, z toho vyplýva, že sústava má práve jedno riešenie. Teda x = (0, 0, 0, 0). Príklad.4. Pomocou Gaussovej eliminačnej metódy riešme homogénnu sústavu lineárnych algebraických rovníc nad R 3x 1 x x 3 + x 4 + 8x 5 = 0 9x 1 3x + 4x 3 + 8x 4 + 9x 5 = 0 3x 1 x + x 3 + 3x 4 + x 5 = 0 3x 1 x + 4x 3 + 4x 4 x 5 = 0 Riešenie. Pomocou ekvivalentných riadkových úprav upravíme maticu sústavy na stupňovitý tvar. Keďže počet rovníc je menší než počet neznámych, môžeme hneď na začiatku vidieť, že sústava bude mať aj netriviálne riešenia, teda nekonečne veľa riešení. A = R 1 R 1 R
40 40 SÚSTAVY LINEÁRNYCH ROVNÍC R R Počet neznámych tejto sústavy je väčší ako hodnosť n = 5 > h(a) =, z toho vyplýva, že sústava má nekonečne veľa riešení. Počet voľných premenných bude rovný číslu n h(a) = 5 = 3. 3x 1 x x 3 + x 4 + 8x 5 = 0 x 3 + x 4 3x 5 = 0. Vzhľadom na druhú rovnicu vyberieme z trojice x 3, x 4, x 5 nanajvýš dve voľné premenné. Výhodné je zobrať práve dve premenné. Z dvojice x 1, x zvolíme poslednú voľnú premennú. Nech x 3 = t, x 5 = u a x 1 = s, tak z druhej rovnice dostávame x 3 + x 4 3x 5 = 0 x 4 = 3u t. Nakoniec dosadíme vypočítané hodnoty do prvej rovnice a určíme x 3x 1 x x 3 + x 4 + 8x 5 = 0 x = 3s 4t + 11u. Riešením sústavy je vektor x=(s, 3s 4t+11u, t, 3u t, u) pre s, t, u R. Poznámka. Ak je matica homogénnej sústavy štvorcová, môžeme spočítať determinant matice sústavy. Ak je determinant rôzny od nuly, sústava má len triviálne riešenie. Ak je determinant rovný nule, má sústava nekonečne veľa riešení a tie nájdeme Gaussovou eliminačnou metódou. Úlohy:.4 Pomocou Gaussovej eliminačnej metódy riešte homogénnu sústavu lineárnych algebraických rovníc nad R a) b) c) x 1 3x + x 3 = 0 x 1 + x + x 3 = 0 3x 1 x + x 3 = 0 x 1 + 3x + x 3 = 0 x 1 x + 3x 3 = 0 3x 1 5x + 4x 3 = 0 x x + 4x 3 = 0 x 1 3x 6x 3 + x 4 = 0 x 1 8x 3 + 7x 4 = 0 x 1 + x x 3 + x 4 = 0 4x 1 + 5x x 3 + 3x 4 = 0
41 SÚSTAVY LINEÁRNYCH ROVNÍC 41 d) e) x 1 + x + 4x 3 3x 4 = 0 3x 1 + 5x + 6x 3 4x 4 = 0 4x 1 + 5x x 3 + 3x 4 = 0 3x 1 + 8x + 4x 3 19x 4 = 0 x 1 + x + x 4 = 0 x 3 x 5 + x 6 = 0 x + x 3 x 4 x 6 = 0 x + x 4 x 5 = 0 x 1 + x 3 + x 6 = 0 f) x 1 + x = 0 x 3 x 5 = 0 x 1 + x 4 = 0 x 3 + x 5 x 6 = 0 x 1 x + x 4 = 0 g) h) 3x 1 x 3 x 4 4x 5 = 0 4x 1 + x x 3 x 4 5x 5 = 0 6x 1 3x 9x 4 3x 5 = 0 10x 1 + x 4x 3 5x 4 13x 5 = 0 x 1 + 4x 3x 3 + 6x 4 = 0 x 1 x + x 3 + x 4 + 6x 5 = 0 3x 1 x + 4x 3 + 4x 4 + 1x 5 = 0 x x 3 x 4 3x 5 = 0 x 1 x + 4x 3 + 5x x 5 = 0 x 1 x + 4x 3 + 4x x 5 = 0. Výsledky:.4 a) x = (4t, t, 5t) t R e) x = (t, t s, t, s, t, 0) s, t R b) x = ( 11 7 t, 1 7 t, t) t R f) x = (0, 0, t, 0, t, 0) t R c) x = (8s 7t, 5t 6s, s, t) s, t R g) x = ( t+s 3, t 5s 3, t, s, 0) s, t R d) x = (8s 7t, 5t 6s, s, t) s, t R h) x = (0, 0, 0, 0, 0)
42 4 SÚSTAVY LINEÁRNYCH ROVNÍC.5 Sústava lineárnych rovníc s parametrom Príklad.5.1 Pomocou Cramerovho pravidla riešme nad R sústavu lineárnych algebraických rovníc s parametrom x 1 + x + ax 3 = 1 x 1 + ax + x 3 = 1 ax 1 + x + x 3 = 1 Riešenie. Pod riešením sústavy s parametrom sa myslí úplná diskusia riešiteľnosti vzhľadom na a R. Parameter sa nachádza v matici sústavy, ktorá je štvorcová, preto je výhodné použiť Cramerovo pravidlo. D = 1 1 a 1 a 1 a 1 1 = a3 + 3a. Riešiteľnosť sústavy závisí od hodnoty determinantu. To vedie ku riešeniu algebraickej rovnice a 3 + 3a = 0 a 3 + 3a = 0 (a 1) (a + ) = 0. Môžu nastať tri prípady. I. Nech a 1 a a. Determinant matice sústavy je vtedy rôzny od nuly a sústava má práve jedno riešenie, ktoré nájdeme pomocou Cramerovho pravidla. Nahradením prvého stĺpca stĺpcom pravých strán dostaneme determinant D 1. Analogicky vypočítame D a D 3. D 1 = D 3 = 1 1 a 1 a a 1 a 1 1 = (a 1), D = = (a 1) a a 1 1 Sústava má práve jedno riešenie x = (x 1, x, x 3 ), kde = (a 1), x 1 = D 1 D x = D D = (a 1) a 3 + 3a = 1 a +, = (a 1) a 3 + 3a = 1 a +, x 3 = D 3 D = (a 1) a 3 + 3a = 1 a +. II. Nech a = 1. Determinant matice sústavy je vtedy rovný nule a sústava má buď nekonečne veľa riešení alebo nemá riešenie. To zistíme, keď dosa-
43 SÚSTAVY LINEÁRNYCH ROVNÍC 43 díme a = 1 do sústavy a pomocou Gaussovej eliminácie vyriešime. V tomto prípade vidíme, že všetky tri rovnice majú tvar x 1 + x + x 3 = 1. Keďže hodnosť matice sústavy je rovná hodnosti rozšírenej matici sústavy h(a) = h(a ) = 1, sústava má riešenie. Navyše n = 3 > h(a) = 1, z čoho vyplýva, že sústava má nekonečne veľa riešení a počet voľných premenných je rovný n h(a) = 3 1 =. Nech x = s a x 3 = t, tak x 1 = 1 s t pre s, t R. Riešením je vektor x = (1 s t, s, t), s, t R. III. Nech a =. Analogicky ako v predchádzajúcom prípade je determinant matice sústavy rovný nule a sústava má buď nekonečne veľa riešení alebo nemá riešenie. To zistíme, keď dosadíme a = do sústavy a pomocou Gaussovej eliminácie vyriešime. Teda riešime nasledujúcu sústavu x 1 + x x 3 = 1 x 1 x + x 3 = 1 x 1 + x + x 3 = 1 Pomocou ekvivalentných riadkových operácií upravíme rozšírenú maticu sústavy na stupňovitý tvar R R R Keďže hodnosť matice sústavy sa nerovná hodnosti rozšírenej matice sústavy h(a) = h(a ) = 3, sústava nemá riešenie. Príklad.5. Pomocou Gaussovej eliminačnej metódy riešme nad R sústavu lineárnych algebraických rovníc s parametrom 1x 1 6x + 9x 3 + 1x 4 = 3+a 11x 1 5x + 10x 3 + 4x 4 = 1+a 7x 1 3x + 7x x 4 = a 8x 1 6x x 3 5x 4 = 9 Riešenie. Parameter sa v tejto sústave nachádza len vo vektore pravých strán, preto nie je výhodné, na rozdiel od predchádzajúceho príkladu, počítať determinant matice sústavy. Pomocou Gaussovej eliminácie upravíme na stupňovitý tvar rozšírenú maticu sústavy a a a a R 11R a 7R R 1..
44 44 SÚSTAVY LINEÁRNYCH ROVNÍC a a a a a a 1 R 3R Hodnosť matice sústavy h(a) =. Hodnosť rozšírenej matice sústavy h(a ) závisí na hodnote a. Môžu nastať dva prípady. I. Nech a = 0. Hodnosť rozšírenej matice je rovná hodnosti matice sústavy h(a) = = h(a ), z toho vyplýva, že sústava má riešenie. Navyše platí n = 4 > h(a) =, z čoho vyplýva, že sústava má nekonečne veľa riešení a počet voľných premenných je rovný n h(a) = 4 =. x 1 x x 3 3x 4 = x + 7x x 4 = 7. Vzhľadom na druhú rovnicu vyberieme z trojice x, x 3, x 4 nanajvýš dve voľné premenné. Výhodné je zobrať práve dve premenné. Nech x 3 = s a x 4 = t, tak z druhej rovnice dostávame x + 7x x 4 = 7 x = 1 ( 7 7s 19t). Nakoniec dosadíme vypočítané hodnoty do prvej rovnice a určíme x 1 x 1 x x 3 3x 4 = x 1 = 1 ( 3 5s 13t). Riešením sústavy je vektor x = ( 1( 3 5s 13t), 1 ( 7 7s 19t), s, t) pre s, t R. II. Nech a 0. Hodnosť rozšírenej matice sa nerovná hodnosti matice sústavy h(a) = h(a ) = 3. Z toho vyplýva, že sústava nemá riešenie. Úlohy:.5 Riešte nad R sústavu lineárnych algebraických rovníc s parametrom a) x 1 + x + x 3 = x 1 + 3x + 4x 3 = 3 3x 1 + x + ax 3 = 6 c) x 1 x + x 3 + x 4 = 1 x 1 + x x 3 + 4x 4 = x 1 + 7x 4x x 4 = a b) ax 1 + x + x 3 = 1 x 1 + ax + x 3 = a x 1 + x + ax 3 = a d) x 1 + x + x 3 + x 4 = 4 x 1 3x + x 3 x 4 = 1 3x 1 + 4x x 3 + 6x 4 = 11 5x 1 + 4x 3 + x 4 = a
45 SÚSTAVY LINEÁRNYCH ROVNÍC 45 e) x 1 + x + x 3 + x 4 = 4 x 1 3x + x 3 = 0 3x 1 + 4x x 3 + 6x 4 = 11 5x 1 + 4x 3 + 3x 4 = a f) x 1 x x 3 3x 4 = 4x 1 x + 3x 3 + 7x 4 = 1 x 1 3x 8x 3 x 4 = 9 7x 1 3x + 7x x 4 = a g) h) i) j) k) l) m) n) x 1 x + x 3 + x 4 = 0 x 1 + x x 3 x 4 = 1 3x 1 + 3x 3x 3 3x 4 = a 4x 1 + 5x 5x 3 5x 4 = 3 ( a)x 1 + x + x 3 = 0 x 1 + (a )x + x 3 = 0 x 1 + x + (a )x 3 = 0 x 1 + x + 3x 3 = 4 x 1 + 5x + 8x 3 = 6 7x 1 + 7x 3 = 8 a ax 1 + x + x 3 = 1 x 1 + ax + x 3 = 1 x 1 + x + ax 3 = a 4x 1 + 4x + 4x 3 = 1+a 8x 1 + 6x + 4x 3 = 1 3x 1 x x 3 = 1 ax 1 + x + x 3 = 0 x 1 + ax + x 3 = 0 x 1 + x + ax 3 = 0 ax 1 x + x 3 = 0 3x 1 + ax x 3 = 0 a x 1 x + (1 a)x 3 = 0 x 1 + x + x 3 = 1 x 1 + x + ax 3 = a x 1 + ax + x 3 = a.
46 46 SÚSTAVY LINEÁRNYCH ROVNÍC.5 Výsledky: a) a 1 x = ( 3a 4, 3 a, 1 a 1 a 1 a = 1 sústava nemá riešenie a 1 ) b) a 1 a x = ( a+1 a+, 1 a+, (a+1) a+ ) a = 1 x = (t, s, 1 s t) s, t R a = sústava nemá riešenie c) a = 5 x = (1 5 3 t 1 3 s, s, t, t) s, t R a 5 sústava nemá riešenie d) a = 11 x = ( 8 5t, 5 3t 13t 7, t, ) t R 3 6 a 11 sústava nemá riešenie e) a = 1 x = (3 t, t, t, 1 + t) t R a 1 sústava nemá riešenie f) a = 0 x = ( 3 5t 13s, 7 7t 19s, t, s) s, t R a 0 sústava nemá riešenie g) a = x = ( 1 3, s + t, s, t) s, t R a sústava nemá riešenie h) a = 3 x = (0, t, t) t R a 3 x = (0, 0, 0) i) a = 64 x = (8 + t, t, t) t R a 64 sústava nemá riešenie j) a 1 a x = ( a a+, a a+, 1) a = 1 x = (1 s t, t, s) s, t R a = sústava nemá riešenie k) a = 5 x = (t 4, 11 t, t) t R a 5 sústava nemá riešenie l) a 1 a x = (0, 0, 0) a = 1 x = ( s t, t, s) s, t R a = x = (t, t, t) t R m) a = 3 x = (t, 3t, t) t R a 3 x = (0, 0, 0) 7 n) a = 1 x = (1 t s, t, s) s, t R a 1 x = ( 1, 1, 1)
47 3 POLYNÓMY A RACIONÁLNE FUNKCIE 47 3 Polynómy a racionálne funkcie 3.1 Komplexné čísla Príklad Nájdime reálne čísla x, y tak, aby platilo ( 4i)( x + 5iy) = i. Riešenie. Roznásobíme výrazy na ľavej strane rovnice: 4x + 0y + i(8x + 10y) = i. Porovnaním reálnych a imaginárnych zložiek oboch strán rovnice dostávame sústavu rovníc: 4x + 0y = 8 8x + 10y = 34. Jej riešenie je x = 3, y = 1. Príklad 3.1. Dané sú komplexné čísla z 1 = 3 4i, z = + 3i. Vypočítajme z 1 + z, z 1.z, z 1 z. Riešenie. z 1 + z = (3 4i) + ( + 3i) = 1 i, z 1.z = (3 4i)( + 3i) = 6 + 9i + 8i 1i = i + 1 = i, z 1 z = (3 4i)( 3i) ( +3i)( 3i) = 6 9i+8i = 18 i 13 = i. Príklad Dané sú komplexné čísla u = i, v = 3 + i. Vypočítajme u.v, u v, u.v v. Riešenie. Komplexne združené čísla sú: u = + i, v = 3 i. Potom u.v = ( i)( 3 i) = 6 4i + 6i 4 = 10 + i, u v = +i 3 i = (+i)( 3+i) ( 3 i)( 3+i) = 6+4i 6i = 10 i 13 = i, u.v v = 10+i 3+i = ( 10+i)( 3 i) ( 3+i)( 3 i) Príklad Vypočítajme ( 1 + i) 7. = 30+0i 6i = 34+14i 13 = i. Riešenie. Označme z = 1 + i. Komplexné číslo z 7 vypočítame pomocou Moivreovej vety. Najprv napíšeme komplexné číslo z v goniometrickom tvare. z = ( 1) + 1 =, cos ϕ = 1 =, sin ϕ = 1 =, potom ϕ = 3π. 4
48 48 3 POLYNÓMY A RACIONÁLNE FUNKCIE Dostávame goniometrický tvar: z = (cos 3π 4 + i sin 3π 4 ). Podľa Moivreovej vety vypočítame: z 7 = ( 1 + i) 7 = ( ) 7 (cos 7. 3π + i sin 7. 3π) = 8 (cos 1π + i sin 1π) = = 8 (cos 5π + i sin 5π) = 8 ( i ) = 8 8i. 4 4 Príklad Dané sú komplexné čísla z 1 = i, z = i. Vypočítajme: a) z 3 = z1.z 4 3 b) z 4 = z4 z1. Riešenie. Čísla z 1, z napíšeme v goniometrickom tvare. Použijeme postup uvedený v Príklade Dostaneme: z 1 = (cos 7π + i sin 7π), z 4 4 = 6(cos 5π + i sin 5 π). Potom 6 6 a) z 3 = 4 (cos 7π + i sin 7π).6 3 (cos 5π + i sin 5π ) = (cos(7π + 5π )+ +i sin(7π + 5π )) = (cos 19π + i sin 19π ) = 3456(cos 3π + i sin 3π ) = = 3456i b) z 4 = 64.(cos 0 6 π+i sin 0 6 π).(cos 7 π+i sin 7 π) = 34(cos( 10 3 π 7 π) + i sin( 10 3 π 7 π)) = = 34(cos( 1 6 π)+i sin( 1 6 π)) = 34(cos 1 6 π i sin 1 6 π) = 34( 3 1 i) = = i. Príklad Riešme binomickú rovnicu z = 0. Riešenie. Riešenia binomickej rovnice z n = a (cos α + i sin α) majú tvar z k = n a (cos α + kπ n + i sin α + kπ ), k = 1,,..., n 1. n V našom príklade a = 1 = 1, α = π, n = 4, teda riešenia binomickej rovnice nájdeme v tvare: z k = 4 1. ( ) cos π+kπ + i sin π+kπ 4 4, k = 0, 1,, 3. Dostávame z 0 = cos π + i sin π = + i, 4 4 z 1 = cos 3π + i sin 3π = + i, 4 4 z 3 = cos 5π + i sin 5π = i, 4 4 z 4 = cos 7π + i sin 7π = i. 4 4
49 3 POLYNÓMY A RACIONÁLNE FUNKCIE 49 Úlohy: 3.1 Nájdite reálne čísla x, y tak, aby platilo: a) (3 i)x + (5 7i)y = 1 3i b) (1 i)x + (4 + i)y = 1 + 3i c) (1 + 3i)(x + iy) = 1 + i d) x+iy 1 i = 3 + i e) ( + ix)(y + i) = 16 11i. 3. Vypočítajte v algebraickom tvare: a) ( + 4i) + (1 + i) b) ( i) (4 6i) c) 3( 5 + 4i) + 5(6 3i) d) (3 + i)( + i) e) ( + 3i)(4 + 5i) f) ( i)( + i) + (3 i)(4 + i) g) +i 3 i h) ( 1+i 3 i ) i) 1+i 1 i 1+i 1+i j) (1 i) 3 (+i)(1+i) k) (1 i) ( 3+i) 1 i Zjednodušte a vypočítajte: a) i 16 ; i 9 ; i 133 ; i 6 ; i 11 c) 5 + 4i 9i6 + 7i5. b) 3 8i + 3i + 3i 3 6i Napíšte v goniometrickom a exponenciálnom tvare komplexné čísla: a) 3 b) + i 3 c) i d) 1 + i e) 3 i f) 1 i 3 g) 1 3 h) 3 3i i) i. 3.5 V goniometrickom tvare vypočítajte súčin u.v a podiel u, ak v a) u = (cos π + i sin π), v = 8(cos 5π + i sin 5π) b) u = 1 + i, v = 3(cos π + i sin π) 3 3 c) u = (cos π + i sin π), v = (cos 1π + i sin 1π) d) u = 3 i, v = + i.
Úvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky
Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 3 17 marca 2006 4 24 marca 2006 c RNDr Monika Molnárová, PhD Obsah 2 Sústavy lineárnych rovníc 25 21 Riešenie sústavy lineárnych rovníc
Διαβάστε περισσότεραMotivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010.
14. decembra 2010 Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Rie²enie sústav Príklad a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2 Dostaneme: x 1 = c 1a 22 c 2 a 12 a 11 a 22 a 12
Διαβάστε περισσότεραKomplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1
Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia Komplexné čísla C - množina všetkých komplexných čísel komplexné číslo: z = a + bi, kde a, b R, i - imaginárna jednotka i =, t.j. i =. komplexne združené
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice
Goniometrické rovnice a nerovnice Definícia: Rovnice (nerovnice) obsahujúce neznámu x alebo výrazy s neznámou x ako argumenty jednej alebo niekoľkých goniometrických funkcií nazývame goniometrickými rovnicami
Διαβάστε περισσότεραx x x2 n
Reálne symetrické matice Skalárny súčin v R n. Pripomeniem, že pre vektory u = u, u, u, v = v, v, v R platí. dĺžka vektora u je u = u + u + u,. ak sú oba vektory nenulové a zvierajú neorientovaný uhol
Διαβάστε περισσότεραStart. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop
1) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet obvodu kruhu. O=2xπxr ; S=πxrxr Vstup r O = 2*π*r S = π*r*r Vystup O, S 2) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet celkovej ceny výrobku s
Διαβάστε περισσότεραMatematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie
Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA I. Doc. RNDr. Michal Šabo, CSc
MATEMATIKA I Doc. RNDr. Michal Šabo, CSc 2 Obsah Predhovor 5 2 VYBRANÉ STATE Z ALGEBRY 2. Úvod................................... 2.2 Reálne n-rozmerné vektory...................... 2.3 Matice..................................
Διαβάστε περισσότερα1 Úvod Predhovor Sylaby a literatúra Základné označenia... 3
Obsah 1 Úvod 3 1.1 Predhovor...................................... 3 1.2 Sylaby a literatúra................................. 3 1.3 Základné označenia................................. 3 2 Množiny a zobrazenia
Διαβάστε περισσότεραCvičenie č. 4,5 Limita funkcie
Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Definícia ity Limita funkcie (vlastná vo vlastnom bode) Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí U( ) bodu. Hovoríme, že funkcia f má v bode itu rovnú A, ak ( ε > )(
Διαβάστε περισσότερα1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej
. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej Definícia.: Hromadný bod a R množiny A R: v každom jeho okolí leží aspoň jeden bod z množiny A, ktorý je rôzny od bodu a Zadanie množiny
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA I ZBIERKA ÚLOH
TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STAVEBNÁ FAKULTA ÚSTAV TECHNOLÓGIÍ, EKONOMIKY A MANAŽMENTU V STAVEBNÍCTVE KATEDRA APLIKOVANEJ MATEMATIKY RNDr. Pavol PURCZ, PhD. Mgr. Adriana ŠUGÁROVÁ MATEMATIKA I ZBIERKA
Διαβάστε περισσότερα6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu
6 Limita funkcie 6 Myšlienka ity, interval bez bodu Intuitívna myšlienka ity je prirodzená, ale definovať presne pojem ity je značne obtiažne Nech f je funkcia a nech a je reálne číslo Čo znamená zápis
Διαβάστε περισσότεραVLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR. Michal Zajac. 3 T b 1 = T b 2 = = = 2b
VLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR Michal Zajac Vlastné čísla a vlastné vektory Pripomeňme najprv, že lineárny operátor T : L L je vzhl adom na bázu B = {b 1, b 2,, b n } lineárneho priestoru L určený
Διαβάστε περισσότερα7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE
7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE Funkcia f reálnej premennej je : - každé zobrazenie f v množine všetkých reálnych čísel; - množina f všetkých usporiadaných dvojíc[,y] R R pre ktorú platí: ku každému R eistuje
Διαβάστε περισσότερα1 Polynómy a racionálne funkcie Základy Polynómy Cvičenia Racionálne funkcie... 17
Obsah 1 Polynómy a racionálne funkcie 3 11 Základy 3 1 Polynómy 7 11 Cvičenia 13 13 Racionálne funkcie 17 131 Cvičenia 19 Lineárna algebra 3 1 Matice 3 11 Matice - základné vlastnosti 3 1 Cvičenia 6 Sústavy
Διαβάστε περισσότεραMatematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad
Matematika 3-13. prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková F BERG, TU Košice 15. 12. 2015 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov
Διαβάστε περισσότερα15. Matlab Lineárna algebra
1 Portál pre odborné publikovanie ISSN 1338-0087 15. Matlab Lineárna algebra Blaho Michal MATLAB/Comsol 18.09.2009 Matlab pracuje s dátami vo forme vektorov a matíc. Základnej práci s vektormi a maticami
Διαβάστε περισσότεραVektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich
Tuesday 15 th January, 2013, 19:53 Základy tenzorového počtu M.Gintner Vektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich násobenie reálnym číslom tak, že platí:
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy matematiky I
Prednáška č. 7 Numerické metódy matematiky I Riešenie sústav lineárnych rovníc ( pokračovanie ) Prednáška č. 7 OBSAH 1. Metóda singulárneho rozkladu (SVD) Úvod SVD štvorcovej matice SVD pre menej rovníc
Διαβάστε περισσότεραRiešenie sústavy lineárnych rovníc. Priame metódy.
Riešenie sústavy lineárnych rovníc. Priame metódy. Ing. Gabriel Okša, CSc. Matematický ústav Slovenská akadémia vied Bratislava Stavebná fakulta STU G. Okša: Priame metódy 1/16 Obsah 1 Základy 2 Systémy
Διαβάστε περισσότεραEkvačná a kvantifikačná logika
a kvantifikačná 3. prednáška (6. 10. 004) Prehľad 1 1 (dokončenie) ekvačných tabliel Formula A je ekvačne dokázateľná z množiny axióm T (T i A) práve vtedy, keď existuje uzavreté tablo pre cieľ A ekvačných
Διαβάστε περισσότεραModerné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A
M A T E M A T I K A PRACOVNÝ ZOŠIT II. ROČNÍK Mgr. Agnesa Balážová Obchodná akadémia, Akademika Hronca 8, Rožňava PRACOVNÝ LIST 1 Urč typ kvadratickej rovnice : 1. x 2 3x = 0... 2. 3x 2 = - 2... 3. -4x
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2014/2015 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/24 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότεραTechnická univerzita v Košiciach. Zbierka riešených a neriešených úloh. z matematiky. pre uchádzačov o štúdium na TU v Košiciach
Technická univerzita v Košiciach Zbierka riešených a neriešených úloh z matematiky pre uchádzačov o štúdium na TU v Košiciach Martin Bača Ján Buša Andrea Feňovčíková Zuzana Kimáková Denisa Olekšáková Štefan
Διαβάστε περισσότεραTomáš Madaras Prvočísla
Prvočísla Tomáš Madaras 2011 Definícia Nech a Z. Čísla 1, 1, a, a sa nazývajú triviálne delitele čísla a. Cele číslo a / {0, 1, 1} sa nazýva prvočíslo, ak má iba triviálne delitele; ak má aj iné delitele,
Διαβάστε περισσότεραIntegrovanie racionálnych funkcií
Integrovanie racionálnych funkcií Tomáš Madaras 2009-20 Z teórie funkcií už vieme, že každá racionálna funkcia (t.j. podiel dvoch polynomických funkcií) sa dá zapísať ako súčet polynomickej funkcie a funkcie
Διαβάστε περισσότεραCieľom cvičenia je zvládnuť riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej transformácie,
Kapitola Riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej tranformácie Cieľom cvičenia je zvládnuť riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej tranformácie, keď charakteritická rovnica má rôzne
Διαβάστε περισσότεραM6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou
M6: Model Hydraulický ytém dvoch záobníkov kvapaliny interakciou Úlohy:. Zotavte matematický popi modelu Hydraulický ytém. Vytvorte imulačný model v jazyku: a. Matlab b. imulink 3. Linearizujte nelineárny
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Analytická geometria
Matematika 2 časť: Analytická geometria RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Súradnicové
Διαβάστε περισσότεραObvod a obsah štvoruholníka
Obvod a štvoruholníka D. Štyri body roviny z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne (neležia na jednej priamke) tvoria jeden štvoruholník. Tie body (A, B, C, D) sú vrcholy štvoruholníka. strany štvoruholníka
Διαβάστε περισσότερα3. prednáška. Komplexné čísla
3. predáška Komplexé čísla Úvodé pozámky Vieme, že existujú také kvadratické rovice, ktoré emajú riešeie v obore reálych čísel. Študujme kvadratickú rovicu x x + 5 = 0 Použitím štadardej formule pre výpočet
Διαβάστε περισσότερα1.4 Rovnice, nerovnice a ich sústavy
1. Rovnice, nerovnice a ich sústavy Osah Pojmy: rovnica, nerovnica, sústava rovníc, sústava nerovníc a ich riešenie, koeficient, koreň, koreňový činiteľ, diskriminant, doplnenie do štvorca, úprava na súčin,
Διαβάστε περισσότεραSúčtové vzorce. cos (α + β) = cos α.cos β sin α.sin β cos (α β) = cos α.cos β + sin α.sin β. tg (α β) = cotg (α β) =.
Súčtové vzorce Súčtové vzorce sú goniometrické hodnoty súčtov a rozdielov dvoch uhlov Sem patria aj goniometrické hodnoty dvojnásobného a polovičného uhla a pridám aj súčet a rozdiel goniometrických funkcií
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. Lineárna algebra. (ver )
Matematika 2 Lineárna algebra (ver.01.03.2011) 1 Úvod Prehľad. Tieto poznámky obsahujú podklady k prednáške Matematika 2 na špecializácii Aplikovaná informatika: jedná sa o 12 dvojhodinových prednášok
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2011/2012 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/25 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότεραVzorové príklady s riešeniami k lineárnej algebre a geometrie pre aplikovaných informatikov k písomke
Vzorové príklady s riešeniami k lineárnej algebre a geometrie pre aplikovaných informatikov k písomke 23.5.26 Príklad č. Riešte sústavu Bx = r (B r) 2 3 4 2 3 4 6 8 8 2 (B r) = 6 9 2 6 3 9 2 3 4 2 3 2
Διαβάστε περισσότεραÚvod 2 Predhovor... 2 Sylaby a literatúra... 2 Označenia... 2
Obsah Úvod Predhovor Sylaby a literatúra Označenia Euklidovské vektorové priestory 3 Skalárny súčin 3 Gram-Schmidtov ortogonalizačný proces 8 Kvadratické formy 6 Definícia a základné vlastnosti 6 Kanonický
Διαβάστε περισσότεραLineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus
1. prednáška Lineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus Matematickým základom kvantovej mechaniky je teória Hilbertových
Διαβάστε περισσότεραMIDTERM (A) riešenia a bodovanie
MIDTERM (A) riešenia a bodovanie 1. (7b) Nech vzhl adom na štandardnú karteziánsku sústavu súradníc S 1 := O, e 1, e 2 majú bod P a vektory u, v súradnice P = [0, 1], u = e 1, v = 2 e 2. Aký predpis bude
Διαβάστε περισσότεραObsah. 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti... 7 1.1.1 Komplexné čísla... 8
Obsah 1 Číselné obory 7 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti............................ 7 1.1.1 Komplexné čísla................................... 8 1.2 Číselné množiny.......................................
Διαβάστε περισσότεραDeliteľnosť a znaky deliteľnosti
Deliteľnosť a znaky deliteľnosti Medzi základné pojmy v aritmetike celých čísel patrí aj pojem deliteľnosť. Najprv si povieme, čo znamená, že celé číslo a delí celé číslo b a ako to zapisujeme. Nech a
Διαβάστε περισσότερα1 Úvod Sylabyaliteratúra Základnéoznačenia... 3
Obsah 1 Úvod 3 1.1 Sylabyaliteratúra.... 3 1.2 Základnéoznačenia.... 3 2 Množiny a zobrazenia 4 2.1 Dôkazy... 4 2.1.1 Základnétypydôkazov... 4 2.1.2 Matematickáindukcia... 4 2.1.3 Drobnéradyakodokazovať....
Διαβάστε περισσότεραJednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy
Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2012/2013 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/18
Διαβάστε περισσότεραSTREDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA
TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A INFORMATIKY KATEDRA MATEMATIKY A TEORETICKEJ INFORMATIKY STREDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA pre študentov FEI TU v Košiciach Ján BUŠA Štefan SCHRÖTTER Košice
Διαβάστε περισσότερα1. písomná práca z matematiky Skupina A
1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. Vypočítajte : a) 84º 56 + 32º 38 = b) 140º 53º 24 = c) 55º 12 : 2 = 2. Vypočítajte zvyšné uhly na obrázku : β γ α = 35 12 δ a b 3. Znázornite na číselnej osi
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium
Imrich Pokorný Numerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium Strana 1 z 48 1 Nepresnosť numerického riešenia úloh 4 1.1 Zdroje chýb a ich klasifikácia................... 4 1.2 Základné pojmy odhadu
Διαβάστε περισσότεραSúradnicová sústava (karteziánska)
Súradnicová sústava (karteziánska) = sú to na seba kolmé priamky (osi) prechádzajúce jedným bodom, na všetkých osiach sú jednotky rovnakej dĺžky-karteziánska sústava zavedieme ju nasledovne 1. zvolíme
Διαβάστε περισσότεραTREDNÁ ODBORNÁ ŠKOLA STRÁŽSKE PRACOVNÝ ZOŠIT. k predmetu Matematika pre
TREDNÁ ODBORNÁ ŠKOLA STRÁŽSKE PRACOVNÝ ZOŠIT k predmetu Matematika pre 2. ročník SOŠ v Strážskom, študijný odbor 3760 6 00 prevádzka a ekonomika dopravy Operačný program: Vzdelávanie Programové obdobie:
Διαβάστε περισσότεραRiešenie rovníc s aplikáciou na elektrické obvody
Zadanie č.1 Riešenie rovníc s aplikáciou na elektrické obvody Nasledujúce uvedené poznatky z oblasti riešenia elektrických obvodov pomocou metódy slučkových prúdov a uzlových napätí je potrebné využiť
Διαβάστε περισσότεραPrechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009
Počítačová grafika 2 Prechod z 2D do 3D Martin Florek florek@sccg.sk FMFI UK 3. marca 2009 Prechod z 2D do 3D Čo to znamená? Ako zobraziť? Súradnicové systémy Čo to znamená? Ako zobraziť? tretia súradnica
Διαβάστε περισσότεραObyčajné diferenciálne rovnice
(ÚMV/MAN3b/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 14.3.2013 Úvod patria k najdôležitejším a najviac prepracovaným matematickým disciplínam. Nielen v minulosti, ale aj v súčastnosti predstavujú
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy Zbierka úloh
Blanka Baculíková Ivan Daňo Numerické metódy Zbierka úloh Strana 1 z 37 Predhovor 3 1 Nelineárne rovnice 4 2 Sústavy lineárnych rovníc 7 3 Sústavy nelineárnych rovníc 1 4 Interpolačné polynómy 14 5 Aproximácia
Διαβάστε περισσότεραVýrazy a ich úpravy. -17x 6 : -17 koeficient; x premenná; 6 exponent premennej x. 23xy 3 z 5 = 23x 1 y 3 z 5 : 23 koeficient; x; y; z premenné;
Výrazy a ich úpravy Počtový výraz je matematický zápis, ktorým vyjadrujeme počtové operácie s číslami a poradie v akom majú byť prevedené. Napr.: ( (5 1,76)+5):0,4. Počtové výrazy sa pomenovávajú podľa
Διαβάστε περισσότερα4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti
4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti Výroková funkcia (forma) ϕ ( x) je formálny výraz (formula), ktorý obsahuje znak x, pričom x berieme z nejakej množiny M. Ak za x zvolíme
Διαβάστε περισσότεραDefinícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej x. Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej y. Ak existuje limita.
Teória prednáška č. 9 Deinícia parciálna deriácia nkcie podľa premennej Nech nkcia Ak eistje limita je deinoaná okolí bod [ ] lim. tak túto limit nazýame parciálno deriácio nkcie podľa premennej bode [
Διαβάστε περισσότεραZákladné vzťahy medzi hodnotami goniometrických funkcií
Ma-Go-2-T List Základné vzťahy medzi hodnotami goniometrických funkcií RNDr. Marián Macko U: Predstav si, že ti zadám hodnotu jednej z goniometrických funkcií. Napríklad sin x = 0,6. Vedel by si určiť
Διαβάστε περισσότερα3. Striedavé prúdy. Sínusoida
. Striedavé prúdy VZNIK: Striedavý elektrický prúd prechádza obvodom, ktorý je pripojený na zdroj striedavého napätia. Striedavé napätie vyrába synchrónny generátor, kde na koncoch rotorového vinutia sa
Διαβάστε περισσότεραJán Buša Štefan Schrötter
Ján Buša Štefan Schrötter 1 KOMPLEXNÉ ČÍSLA 1 1.1 Pojem komplexného čísla Väčšine z nás je známe, že druhá mocnina ľubovoľného reálneho čísla nemôže byť záporná (ináč povedané: pre každé x R je x 0). Ako
Διαβάστε περισσότεραMetódy vol nej optimalizácie
Metódy vol nej optimalizácie Metódy vol nej optimalizácie p. 1/28 Motivácia k metódam vol nej optimalizácie APLIKÁCIE p. 2/28 II 1. PRÍKLAD: Lineárna regresia - metóda najmenších štvorcov Na základe dostupných
Διαβάστε περισσότεραG. Monoszová, Analytická geometria 2 - Kapitola III
text obsahuje znenia viet, ktoré budeme dokazovat na prednáškach text je doplnený aj o množstvo poznámok, ich ciel om je dopomôct študentom k lepšiemu pochopeniu pojmov aj súvislostí medzi nimi text je
Διαβάστε περισσότεραDIFERENCÁLNE ROVNICE Matematická analýza (MAN 2c)
Prírodovedecká fakulta Univerzity P. J. Šafárika v Košiciach Božena Mihalíková, Ivan Mojsej Strana 1 z 43 DIFERENCÁLNE ROVNICE Matematická analýza (MAN 2c) 1 Obyčajné diferenciálne rovnice 3 1.1 Úlohy
Διαβάστε περισσότεραTECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STROJNÍCKA FAKULTA MATEMATIKA 1. Funkcia jednej premennej a jej diferenciálny počet
TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STROJNÍCKA FAKULTA MATEMATIKA časťa Funkcia jednej premennej a jej diferenciáln počet Dušan Knežo, Miriam Andrejiová, Zuzana Kimáková 200 RECENZOVALI: prof. RNDr. Jozef
Διαβάστε περισσότεραSlovenská Technická Univerzita Stavebná fakulta
Slovenská Technická Univerzita Stavebná fakulta Matematika I. Zbierka úloh ku cvičeniam Jozef Kollár Bratislava 04 Slovenská Technická Univerzita Stavebná fakulta Matematika I. Zbierka úloh ku cvičeniam
Διαβάστε περισσότεραPageRank algoritmus. Univerzita Komenského v Bratislave Fakulta Matematiky, Fyziky a Informatiky
Univerzita Komenského v Bratislave Fakulta Matematiky, Fyziky a Informatiky PageRank algoritmus Bakalárska práca Študijný program: Informatika Študijný odbor: 9.2.1 Informatika Školiace pracovisko: Katedra
Διαβάστε περισσότεραPREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY. Pomôcka pre prípravný kurz
KATEDRA APLIKOVANEJ MATEMATIKY A INFORMATIKY STROJNÍCKA FAKULTA TU KOŠICE PREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY Pomôcka pre prípravný kurz 8 ZÁKLADNÉ ALGEBRAICKÉ VZORCE ) (a±b)
Διαβάστε περισσότεραObsah. 1.1 Základné pojmy a vzťahy Základné neurčité integrály Cvičenia Výsledky... 11
Obsah Neurčitý integrál 7. Základné pojmy a vzťahy.................................. 7.. Základné neurčité integrály............................. 9.. Cvičenia..........................................3
Διαβάστε περισσότεραRiadenie zásobníkov kvapaliny
Kapitola 9 Riadenie zásobníkov kvapaliny Cieľom cvičenia je zvládnuť návrh (syntézu) regulátorov výpočtovými (analytickými) metódami Naslinovou metódou a metódou umiestnenia pólov. Navrhnuté regulátory
Διαβάστε περισσότεραFunkcie - základné pojmy
Funkcie - základné pojmy DEFINÍCIA FUNKCIE Nech A, B sú dve neprázdne číselné množiny. Ak každému prvku x A je priradený najviac jeden prvok y B, tak hovoríme, že je daná funkcia z množiny A do množiny
Διαβάστε περισσότεραMotivácia pojmu derivácia
Derivácia funkcie Motivácia pojmu derivácia Zaujíma nás priemerná intenzita zmeny nejakej veličiny (dráhy, rastu populácie, veľkosti elektrického náboja, hmotnosti), vzhľadom na inú veličinu (čas, dĺžka)
Διαβάστε περισσότεραPolynómy. Hornerova schéma. Algebrické rovnice
Polynómy. Hornerova schéma. Algebrické rovnice Teoretické základy Definícia 1 Nech (koeficienty) a 0, a 1,..., a n sú komplexné čísla a nech n je nezáporné celé číslo. Výraz P n (x) = a n x n + a n 1 x
Διαβάστε περισσότεραTechnická univerzita v Košiciach Fakulta elektrotechniky a informatiky MATEMATIKA II. Zbierka riešených a neriešených úloh
Technická univerzita v Košiciach Fakulta elektrotechniky a informatiky MATEMATIKA II Zbierka riešených a neriešených úloh Anna Grinčová Jana Petrillová Košice 06 Technická univerzita v Košiciach Fakulta
Διαβάστε περισσότερα7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii
Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy 7 Derivácia funkcie 7 Motivácia k derivácii S využitím derivácií sa stretávame veľmi často v matematike, geometrii, fyzike, či v rôznych technických
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014
Matematika 2 časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014 RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk
Διαβάστε περισσότεραALGEBRA. Číselné množiny a operácie s nimi. Úprava algebrických výrazov
ALGEBRA Číselné množiny a operácie s nimi. Úprava algebrických výrazov Definícia Množinu považujeme za určenú, ak vieme o ľubovoľnom objekte rozhodnúť, či je alebo nie je prvkom množiny. Množinu určujeme
Διαβάστε περισσότεραPRÍPRAVNÝ KURZ ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ PRÍPRAVNÝ KURZ ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY Strojnícka fakulta Andrea Feňovčíková Gabriela Ižaríková aaaa aaaa Táto
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA. Martin Kalina
MATEMATIKA Martin Kalina Slovenská technická univerzita v Bratislave Všetky práva vyhradené. Nijaká časť textu nesmie byť použitá na ďalšie šírenie akoukoľvek formou bez predchádzajúceho súhlasu autorov
Διαβάστε περισσότεραLineárne kódy. Ján Karabáš. Kódovanie ZS 13/14 KM FPV UMB. J. Karabáš (FPV UMB) Lineárne kódy Kodo ZS 13/14 1 / 19
Lineárne kódy Ján Karabáš KM FPV UMB Kódovanie ZS 13/14 J. Karabáš (FPV UMB) Lineárne kódy Kodo ZS 13/14 1 / 19 Algebraické štruktúry Grupy Grupa je algebraická štruktúra G = (G;, 1, e), spolu s binárnou
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy, pravdepodobnosť a matematická štatistika. Ján BUŠA Viktor PIRČ Štefan SCHRÖTTER
Numerické metódy, pravdepodobnosť a matematická štatistika Ján BUŠA Viktor PIRČ Štefan SCHRÖTTER Košice 2006 RECENZOVALI: Prof. RNDr. Jozef Doboš, CSc. Doc. RNDr. Vladimír Penjak, CSc. Prvé vydanie Za
Διαβάστε περισσότεραJednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy
Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2013/2014 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/27
Διαβάστε περισσότεραp(α 1 ) = u 1. p(α n ) = u n. Definícia (modulárna reprezentácia polynómu). Zobrazenie
1. Rychlá Fourierová transformácia Budeme značiť teleso T a ω jeho prvok. Veta 1.1 (o interpolácií). Nech α 0, α 1,..., α n sú po dvoch rôzne prvky telesa T[x]. Potom pre každé u 0, u 1,..., u n T existuje
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy, pravdepodobnosť a matematická štatistika
Numerické metódy, pravdepodobnosť a matematická štatistika Ján BUŠA Viktor PIRČ Štefan SCHRÖTTER Strana 1 z 262 Košice 2006 RECENZOVALI: Prof. RNDr. Jozef Doboš, CSc. Doc. RNDr. Vladimír Penjak, CSc. Strana
Διαβάστε περισσότεραNUMERICKÁ MATEMATIKA A MATEMATICKÁ ŠTATISTIKA
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ NUMERICKÁ MATEMATIKA A MATEMATICKÁ ŠTATISTIKA Stavebná fakulta Doc.Ing. Roman Vodička, PhD. RNDr. PavolPurcz, PhD.
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické rovnice riešené substitúciou
Ma-Go-10-T List 1 Goniometrické rovnice riešené substitúciou RNDr. Marián Macko U: Okrem základných goniometrických rovníc, ktorým sme sa už venovali, existujú aj zložitejšie goniometrické rovnice. Metódy
Διαβάστε περισσότεραSTRIEDAVÝ PRÚD - PRÍKLADY
STRIEDAVÝ PRÚD - PRÍKLADY Príklad0: V sieti je frekvencia 50 Hz. Vypočítajte periódu. T = = = 0,02 s = 20 ms f 50 Hz Príklad02: Elektromotor sa otočí 50x za sekundu. Koľko otáčok má za minútu? 50 Hz =
Διαβάστε περισσότερα24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny
24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny Voľné rovnobežné premietanie Presné metódy zobrazenia trojrozmerného priestoru do dvojrozmernej roviny skúma samostatná matematická disciplína, ktorá
Διαβάστε περισσότεραNelineárne optimalizačné modely a metódy
Nelineárne optimalizačné modely a metódy Téma prednášky č. 8 Metódy transformujúce úlohu naviazaný extrém na úlohu na voľný extrém Prof. Ing. Michal Fendek, CSc. Katedra operačného výskumu a ekonometrie
Διαβάστε περισσότεραPríklady na precvičovanie Fourierove rady
Príklady na precvičovanie Fourierove rady Ďalším významným typom funkcionálnych radov sú trigonometrické rady, pri ktorých sú jednotlivé členy trigonometrickými funkciami. Konkrétne, jedná sa o rady tvaru
Διαβάστε περισσότεραZložené funkcie a substitúcia
3. kapitola Zložené funkcie a substitúcia Doteraz sme sa pri funkciách stretli len so závislosťami medzi dvoma premennými. Napríklad vzťah y=x 2 nám hovoril, ako závisí premenná y od premennej x. V praxi
Διαβάστε περισσότεραC. Kontaktný fasádny zatepľovací systém
C. Kontaktný fasádny zatepľovací systém C.1. Tepelná izolácia penový polystyrén C.2. Tepelná izolácia minerálne dosky alebo lamely C.3. Tepelná izolácia extrudovaný polystyrén C.4. Tepelná izolácia penový
Διαβάστε περισσότεραVzorové riešenia 3. kola zimnej série 2014/2015
riesky@riesky.sk Riešky matematický korešpondenčný seminár Vzorové riešenia. kola zimnej série 04/05 Príklad č. (opravovali Tete, Zuzka): Riešenie: Keďže číslo má byť deliteľné piatimi, musí končiť cifrou
Διαβάστε περισσότεραAnalytická geometria
Analytická geometria Analytická geometria je oblasť matematiky, v ktorej sa študujú geometrické útvary a vzťahy medzi nimi pomocou ich analytických vyjadrení. Praktický význam analytického vyjadrenia je
Διαβάστε περισσότεραGramatická indukcia a jej využitie
a jej využitie KAI FMFI UK 29. Marec 2010 a jej využitie Prehľad Teória formálnych jazykov 1 Teória formálnych jazykov 2 3 a jej využitie Na počiatku bolo slovo. A slovo... a jej využitie Definícia (Slovo)
Διαβάστε περισσότεραRIEŠENIE WHEATSONOVHO MOSTÍKA
SNÁ PMYSLNÁ ŠKOL LKONKÁ V PŠŤNO KOMPLXNÁ PÁ Č. / ŠN WSONOVO MOSÍK Piešťany, október 00 utor : Marek eteš. Komplexná práca č. / Strana č. / Obsah:. eoretický rozbor Wheatsonovho mostíka. eoretický rozbor
Διαβάστε περισσότερα,Zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky,
Farba skupiny: zelená Označenie úlohy:,zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky, Úloha: Zistiť, ako závisí účinnosť zohrievania vody na indukčnom variči od priemeru použitého hrnca. Hypotéza: Účinnosť
Διαβάστε περισσότεραDerivácia funkcie. Pravidlá derivovania výrazov obsahujúcich operácie. Derivácie elementárnych funkcií
Derivácia funkcie Derivácia funkcie je jeden z najužitočnejších nástrojov, ktoré používame v matematike a jej aplikáciách v ďalších odboroch. Stručne zhrnieme základné informácie o deriváciách. Podrobnejšie
Διαβάστε περισσότεραprimitívnoufunkcioukfukncii f(x)=xnamnožinereálnychčísel.avšakaj 2 +1 = x, tedaajfunkcia x2
Neurčitý integrál. Primitívna funkcia a neurčitý integrál Funkcia F(x)sanazývaprimitívnoufunkcioukfunkcii f(x)naintervale(a,b),akpre každé x (a,b)platí F (x)=f(x). Z definície vidíme, že pojem primitívnej
Διαβάστε περισσότεραMATEMATICKÁ ANALÝZA 1
UNIVERZITA PAVLA JOZEFA ŠAFÁRIKA V KOŠICIACH Prírodovedecká fakulta Ústav matematických vied Božena Mihalíková, Ján Ohriska MATEMATICKÁ ANALÝZA Vysokoškolský učebný text Košice, 202 202 doc. RNDr. Božena
Διαβάστε περισσότερα1. Komplexné čísla. Doteraz ste pracovali s číslami, ktoré pochádzali z nasledovných množín:
1. Komplexné čísla Po preštudovaní danej kapitoly by ste mali byť shopní: poznať použitie a význam komplexnýh čísel v elektrikýh obvodoh rozumieť pojmom reálna a imaginárna časť, imaginárna jednotka, veľkosť,
Διαβάστε περισσότεραCHÉMIA Ing. Iveta Bruončová
Výpočet hmotnostného zlomku, látkovej koncentrácie, výpočty zamerané na zloženie roztokov CHÉMIA Ing. Iveta Bruončová Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/projekt je spolufinancovaný zo zdrojov
Διαβάστε περισσότερα