Cieľom cvičenia je zvládnuť riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej transformácie,

Transcript

1 Kapitola Riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej tranformácie Cieľom cvičenia je zvládnuť riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej tranformácie, keď charakteritická rovnica má rôzne reálne korene, viacnáobné reálne korene, komplexne združené korene a korene, ktoré ú kombináciou predošlých možnotí..1 Prehľad pojmov Definícia Laplaceovej tranformácie L {f(t)} ˆ=F () = 0 f(t)e t dt (.1) kde L {} je Laplaceov operátor, f(t) je nejaká funkcia čau, ktorá a nazýva originál, F () a nazýva obraz a je argument Laplaceovej tranformácie (je to komplexná premenná). Skoková funkcia je definovaná naledovne { k pre t 0 u(t) = 0 pre t < 0 Kvôli zjednodušeniu budeme používať jej zápi v tvare u(t) = k. Upozornenia (.) Argument Laplaceovej tranformácie na rozdiel od literatúry Mézáro a kol. (1997) a Mikleš a kol. (1994) budeme označovať. Takéto označenie a používa vo vetovej literatúre, používa ho MATLAB aj Simulink a je použité aj v literatúre Mikleš a Fikar (1999). Pri Laplaceovej tranformácii a pätnej Laplaceovej tranformácii názvy funkcií zachováme. Originál od obrazu rozlíšime tak, že originál budeme píať malým píaným pímenom (napr. f, y, u, z) a obraz veľkým tlačeným pímenom vyznačením, že ide o funkciu argumentu (napr. F (), Y (), U(), Z()). 1

2 KAPITOLA. RIEŠENIE DIFERENCIÁLNYCH ROVNÍC POMOCOU LAPLACEOVEJ TRANSFORMÁCIE. Algoritmu riešenia diferenciálnych rovníc Diferenciálne rovnice predtavujú matematický opi dynamických ytémov. Riešením diferenciálnych rovníc a zíkava čaový priebeh výtupných veličín dynamických ytémov pri definovaných vtupných veličinách a začiatočných podmienkach. Jednou z možnotí riešenia diferenciálnych rovníc je použitie Laplaceovej tranformácie. Riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej tranformácie možno rozdeliť do 3 krokov: 1. Urobí a Laplaceova tranformácia diferenciálnej rovnice. Znamená to, že a k originálom, ktoré v rovnici vytupujú, nájdu obrazy. Rovnica, ktorú po tranformácii dotaneme, je algebraická rovnica a neznámou v nej je obraz riešenia diferenciálnej rovnice.. Vyrieši a algebraická rovnica. Riešením algebraickej rovnice a nájde obraz riešenia diferenciálnej rovnice, ktorý má zvyčajne tvar racionálnej funkcie (zlomku). 3. Urobí a pätná Laplaceova tranformácia obrazu riešenia po jeho rozklade na parciálne zlomky. Spätnou Laplaceovou tranformáciou a zíka originál k obrazu riešenia diferenciálnej rovnice, a teda riešenie diferenciálnej rovnice v čaovej oblati. Pri riešení diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej tranformácie a budú využívať vlatnoti Laplaceovej tranformácie a lovník Laplaceových obrazov z uvedenej literatúry..3 Spätná Laplaceova tranformácia Predpokladáme, že chceme urobiť pätnú Laplaceovu tranformáciu obrazu v tvare racionálnej funkcie F () = B() A() = b m m + b m 1 m b 1 + b 0 a n n + a n 1 n a 1 + a 0 (.3) kde B() je polynóm tupňa m a A() je polynóm tupňa n. Pre fyzikálne realizovateľné ytémy platí podmienka m n..3.1 Spätná Laplaceova tranformácia pre rôzne reálne korene polynómu A() Predpokladáme, že polynóm A() má rôzne reálne korene 1,,..., n. Potom platí F () = B() A() = B() a n ( 1 )( ) ( n ) = K 1 = + K + + K n 1 n Konštanty K 1, K,..., K n nájdeme metódou porovnania koeficientov. alebo Originál f(t) má v tomto prípade tvar { } { f(t) = L 1 K1 + L 1 K 1 } { } + + L 1 Kn n B()/a n ( 1 )( ) ( n ) (.4) f(t) = K 1 e 1t + K e t + + K n e nt (.5)

3 .3. SPÄTNÁ LAPLACEOVA TRANSFORMÁCIA Upozornenie Ak korene polynómu A() ú rôzne reálne, konštanty K 1, K,..., K n možno vypočítať pre j = 1,..., n aj pomocou naledovného vzťahu K j = lim j B() a n n ( i ) i=1 i j (.6) Príklad.3.1: Diferenciálna rovnica rôznymi reálnymi koreňmi charakteritickej rovnice Riešte diferenciálnu rovnicu 3y (t) + 1y (t) + 4y (t) + 4y(t) = 3u(t) (.7) nulovými začiatočnými podmienkami y (0) = y (0) = y(0) = 0, kde u(t) =. 1. Urobí a Laplaceova tranformácia diferenciálnej rovnice pomocou lovníka Laplaceových obrazov a definícií vlatnotí Laplaceovej tranformácie. Ak má diferenciálna rovnica pred najvyššou deriváciou iný koeficient ako 1, je vhodné týmto koeficientom celú rovnicu vydeliť ešte pred Laplaceovou tranformáciou. Vyvarujeme a tak niektorých chýb pri ďalšom riešení. Pre rovnicu (.7) dotaneme y (t) + 7y (t) + 14y (t) + 8y(t) = u(t) Na tranformáciu členov na ľavej trane diferenciálnej rovnice použijeme definíciu obrazu funkcie, definície obrazov derivácií funkcie a definíciu náobenia funkcie konštantou. Na tranformáciu člena na pravej trane diferenciálnej rovnice použijeme definíciu kokovej funkcie. Dotaneme 3 Y () + 7 Y () + 14Y () + 8Y () =. Vyrieši a algebraická rovnica. Z predošlej rovnice vyjadríme obraz riešenia Y (). Potup je naledovný Y ()( ) = Y () = ( ) 3. Urobí a pätná Laplaceova tranformácia. Menovateľ obrazu Y () je polynóm 4. tupňa a z obrazu Y () je zrejmé, že jeho jeden koreň je 1 = 0. Treba ešte nájť korene rovnice = 0, ktorá je charakteritickou rovnicou diferenciálnej rovnice. Jej korene nájdeme napr. pomocou MATLABu: >> root([ ]) an =

4 KAPITOLA. RIEŠENIE DIFERENCIÁLNYCH ROVNÍC POMOCOU LAPLACEOVEJ TRANSFORMÁCIE Charakteritická rovnica má teda 3 rôzne reálne korene = 4, 3 =, 4 = 1 a rozklad na parciálne zlomky a urobí naledovne: Y () = ( ) = ( + 4)( + )( + 1) = = K 1 + K K K Po vynáobení rovnice ( ) = K 1 + K K K menovateľom ( ) dotaneme: = K 1 ( + 4)( + )( + 1) + K ( + )( + 1) + K 3 ( + 4)( + 1) + K 4 ( + 4)( + ) = K 1 ( ) + K ( ) + K 3 ( ) + K 4 ( ) = 3 (K 1 + K + K 3 + K 4 ) + (7K 1 + 3K + 5K 3 + 6K 4 ) + (14K 1 + K + 4K 3 + 8K 4 ) + 8K 1 Na určenie koeficientov K 1, K, K 3, K 4 použijeme metódu porovnania koeficientov. Porovnaním koeficientov polynómov na pravej a ľavej trane otatnej rovnice dotaneme útavu 4 algebraických rovníc o 4 neznámych v tvare 3 : 0 = K 1 + K + K 3 + K 4 : 0 = 7K 1 + 3K + 5K 3 + 6K 4 1 : 0 = 14K 1 + K + 4K 3 + 8K 4 0 : = 8K 1 ktorú opäť môžeme riešiť pomocou MATLABu, keď ju zapíšeme v tvare K 1 K K 3 K 4 0 = 0 0 V MATLABe načítame maticu koeficientov, vektor pravých trán a jednoducho dotaneme riešenie: >> A=[ ; ;14 4 8; ]; B=[0;0;0;]; k=inv(a)*b k = Z toho vyplýva, že K 1 = 0,5; K = 0,0833; K 3 = 0,5; K 4 = 0,6667. (Namieto príkazu k=inv(a)*b možno použiť i príkaz k=a\b. Riešenie je možné urobiť aj ručne.) Na výpočet koeficientov a dá použiť aj vzorec (.6), napr.: K 1 = lim 0 ( + 4)( + )( + 1) = 8 = 0,5 4

5 .3. SPÄTNÁ LAPLACEOVA TRANSFORMÁCIA Pre obraz Y () teda dotaneme Y () = 0,5 0, ,5 + 0, a máme ho v takom tvare, že pomocou lovníka už jednoducho urobíme pätnú Laplaceovu tranformáciu. Originál k obrazu Y () a zároveň riešenie diferenciálnej rovnice má tvar y(t) = 0,5 0,0833e 4t + 0,5e t 0,6667e t.3. Spätná Laplaceova tranformácia pre náobné reálne korene polynómu A() Predpokladáme, že polynóm A() má n-náobný reálny koreň 1. Potom platí F () = B() A() = B() a n ( 1 ) n = B()/a n ( 1 ) n (.8) a rozklad na parciálne zlomky má tvar F () = K 1 K + 1 ( 1 ) + + K n ( 1 ) n (.9) Konštanty K 1, K,..., K n nájdeme metódou porovnania koeficientov. Originál f(t) má v tomto prípade tvar f(t) = K 1 e 1t + K 1! te1t + + K n (n 1)! tn 1 e 1t (.10) Príklad.3.: Diferenciálna rovnica náobnými reálnymi koreňmi charakteritickej rovnice Riešte diferenciálnu rovnicu y (t) + 4y (t) + 96y (t) + 18y(t) = u(t) (.11) nulovými začiatočnými podmienkami y (0) = y (0) = y(0) = 0, kde u(t) =,5. 1. Urobí a Laplaceova tranformácia diferenciálnej rovnice pomocou lovníka Laplaceových obrazov a definícií vlatnotí Laplaceovej tranformácie, keď predtým ešte rovnicu vydelíme koeficientom pred y (t). Po vydelení rovnice koeficientom a po jej Laplaceovej tranformácii dotaneme 3 Y () + 1 Y () + 48Y () + 64Y () =,5. Vyrieši a algebraická rovnica. Z predošlej rovnice vyjadríme obraz riešenia Y () v tvare Y () =,5 ( ) 5

6 KAPITOLA. RIEŠENIE DIFERENCIÁLNYCH ROVNÍC POMOCOU LAPLACEOVEJ TRANSFORMÁCIE 3. Urobí a pätná Laplaceova tranformácia. Menovateľ Y () je polynóm 4. tupňa a z obrazu Y () je zrejmé, že jeho jeden koreň je 1 = 0. Treba ešte nájť korene rovnice = 0, ktorá je charakteritickou rovnicou diferenciálnej rovnice. Jej korene nájdeme napr. pomocou MATLABu: >> p=[ ]; root(p) an = i i Charakteritická rovnica má teda jeden trojnáobný reálny koreň = 4 a rozklad na parciálne zlomky je naledovný Y () =,5 ( ) =,5 ( + 4) 3 = K 1 + K K 3 ( + 4) + K 4 ( + 4) 3 Po vynáobení rovnice,5 ( ) = K 1 + K K 3 ( + 4) + K 4 ( + 4) 3 menovateľom ( ) a potupnými úpravami dotaneme,5 = 3 (K 1 +K )+ (1K 1 +8K +K 3 )+(48K 1 +16K +4K 3 +K 4 )+64K 1 Porovnaním koeficientov polynómov na pravej a ľavej trane otatnej rovnice dotaneme útavu 4 algebraických rovníc o 4 neznámych v tvare 0 = K 1 + K 0 = 1K 1 + 8K + K 3 0 = 48K K + 4K 3 + K 4,5 = 64K 1 ktorú opäť môžeme riešiť pomocou MATLABu a po použití naledovných príkazov jednoducho dotaneme riešenie: >> A=[ ; ; ; ]; B=[0;0;0;.5]; k=a\b k = Z toho vyplýva, že K 1 = 0,0391; K = 0,0391; K 3 = 0,1563; K 4 = 0,650. Pre obraz Y () dotaneme Y () = 0,0391 0, ,1563 ( + 4) 0,650 ( + 4) 3 a máme ho v takom tvare, že pomocou lovníka už jednoducho urobíme pätnú Laplaceovu tranformáciu. Originál k obrazu Y () a zároveň riešenie diferenciálnej rovnice má tvar y(t) = 0,0391 0,0391e 4t 0,1563 te 4t 0,650 t e 4t 1!! = 0,0391 0,0391e 4t 0,1563te 4t 0,315t e 4t 6

7 .3. SPÄTNÁ LAPLACEOVA TRANSFORMÁCIA.3.3 Spätná Laplaceova tranformácia pre komplexne združené korene polynómu A() nulovými reálnymi čaťami Predpokladáme, že polynóm A() má n/ dvojíc komplexne združených koreňov ±iω 1,± iω,..., ±iω n/. Pre obraz F () platí F () = B() A() = B() a n ( + ω1 )( + ω )... ( + ωn/ ) = B()/a n ( + ω 1 )( + ω )... ( + ω n/ ) a rozklad na parciálne zlomky má tvar F () = K 1 + L 1 + ω 1 + K + L + ω K n/ + L n/ + ω n/ (.1) Konštanty K 1, K,..., K n/, L 1, L,..., L n/ nájdeme metódou porovnania koeficientov. Originál f(t) má v tomto prípade tvar f(t) = K 1 co(ω 1 t) + L 1 ω 1 in(ω 1 t) K n/ co(ω n/ t) + L n/ ω n/ in(ω n/ t) (.13) Príklad.3.3: Diferenciálna rovnica komplexne združenými koreňmi charakteritickej rovnice, ktoré majú nulovú reálnu čať Riešte diferenciálnu rovnicu y (t) + 4y(t) = u(t) (.14) o začiatočnými podmienkami y(0) = 1, y (0) = 3, kde u(t) = co(3t). 1. Urobí a Laplaceova tranformácia diferenciálnej rovnice pomocou lovníka Laplaceových obrazov a definícií vlatnotí Laplaceovej tranformácie. Po Laplaceovej tranformácii diferenciálnej rovnice dotaneme [ Y () 1 3 ] + 4Y () = + 9. Vyrieši a algebraická rovnica. Z predošlej rovnice vyjadríme obraz riešenia Y () v tvare Y () = ( + 9)( + 4) 3. Urobí a pätná Laplaceova tranformácia. Menovateľ Y () je polynóm 4. tupňa a z obrazu Y () je zrejmé, že jedna dvojica komplexne združených koreňov je ±3i a druhá ±i. Rozklad na parciálne zlomky a potom urobí naledovne Y () = ( + 9)( + 4) = K 1 + L K + L + 4 7

8 KAPITOLA. RIEŠENIE DIFERENCIÁLNYCH ROVNÍC POMOCOU LAPLACEOVEJ TRANSFORMÁCIE Po vynáobení otatnej rovnice menovateľom ( + 9)( + 4) a potupnými úpravami dotaneme = 3 (K 1 + K ) + (L 1 + L ) + (4K 1 + 9K ) + (4L 1 + 9L ) Porovnaním koeficientov polynómov na pravej a ľavej trane rovnice dotaneme ytémy algebraických rovníc o neznámych v tvare 1 = K 1 + K a 10 = 4K 1 + 9K 3 = L 1 + L 7 = 4L 1 + 9L Ich riešením dotaneme číelné hodnoty koeficientov K 1 = 0,; K = 1,; L 1 = 0; L = 3. Obraz Y () má tvar Y () = 0, , = 0, , a pomocou lovníka už jednoducho urobíme pätnú Laplaceovu tranformáciu. Originál k obrazu Y () a zároveň riešenie diferenciálnej rovnice má tvar y(t) = 0, co(3t) + 1, co(t) + 1,5 in(t).3.4 Spätná Laplaceova tranformácia pre komplexne združené korene polynómu A() nenulovými reálnymi čaťami Nech polynóm A() je polynóm. tupňa v tvare A() = a + a 1 + a 0 a má 1 dvojicu komplexne združených koreňov γ ± iω. Vtedy ďalej predpokladáme, že polynóm B() je polynóm 1. tupňa v tvare B() = b 1 + b 0. Potom platí F () = B() b A() = b 1 + b 1 0 a ) = + b0 a a ( + a1 a + a0 = b 1 + b 0 + a1 a a + a0 a (.15) + ã 1 + ã 0 Ďalej treba zlomok matematicky upraviť do tvaru takých obrazov, aby a za pomoci tabuľky obrazov dali jednoducho pätne tranformovať. Obrazy, ktoré vyhovujú našej požiadavke ú obrazy funkcií e at co(ωt) a e at in(ωt), ktoré majú tvar a ω (+a) +ω. Takže najprv upravíme menovateľa zlomku a dotaneme F () = Po označení ω = +a (+a) +ω b1 + b 0 b1 + ã1 + ( ) ã 1 + ã0 ( + ) ã 1 = b 0 ( ) ( + ã 1 + ã 0 ( ) ) (.16) ã 1 ã 0 ( ã 1 ), a = ã 1 môžeme píať F () = b 1 + b 0 ( + a) + ω (.17) 8

9 .3. SPÄTNÁ LAPLACEOVA TRANSFORMÁCIA Teraz treba upraviť ešte čitateľa obrazu. b0 F () = b 1 + b 0 ( + a) + ω = b + b1 1 ( + a) + ω = b + a + a b1 1 ( + a) + ω (.18) Po zavedení b = b 0 a platí b1 F () = b + a + b 1 ( + a) + ω = b + a 1 ( + a) + ω + b 1 b ω ω ( + a) + ω (.19) Originál f(t) má v tomto prípade tvar f(t) = b 1 e at co(ωt) + b 1 b ω e at in(ωt) (.0) Príklad.3.4: Diferenciálna rovnica komplexne združenými koreňmi charakteritickej rovnice, ktoré majú nenulové reálne čati Riešte diferenciálnu rovnicu y (t) + 10y (t) + 36y (t) + 40y(t) = u(t) (.1) nulovými začiatočnými podmienkami y (0) = y (0) = y(0) = 0, kde u(t) =. 1. Urobí a Laplaceova tranformácia diferenciálnej rovnice pomocou lovníka Laplaceových obrazov a definícií vlatnotí Laplaceovej tranformácie. Po Laplaceovej tranformácii diferenciálnej rovnice dotaneme b0 3 Y () + 10Y () + 36Y () + 40Y () =. Vyrieši a algebraická rovnica. Z predošlej rovnice vyjadríme obraz riešenia Y () v tvare Y () = ( ) 3. Urobí a pätná Laplaceova tranformácia. Menovateľ obrazu Y () je polynóm 4. tupňa a z obrazu Y () je zrejmé, že jeho jeden koreň je 1 = 0. Treba ešte nájť korene rovnice = 0, ktorá je charakteritickou rovnicou diferenciálnej rovnice. Jej korene nájdeme napr. pomocou MATLABu: >> root([ ]) an = i i Charakteritická rovnica má teda 3 korene, z toho jeden reálny = a jednu dvojicu komplexne združených koreňov γ ± ωi = 4 ± i. Polynóm, ktorý má túto dvojicu komplexne združených koreňov, nájdeme buď vydelením polynómu polynómom + pomocou MATLABu napr. príkazom 9

10 KAPITOLA. RIEŠENIE DIFERENCIÁLNYCH ROVNÍC POMOCOU LAPLACEOVEJ TRANSFORMÁCIE >> p1=[ ]; p=[1 ]; p3=deconv(p1,p) p3 = alebo priradením polynómu dvojici komplexne združených koreňov 4 ± i príkazom >> poly([-4+i, -4-i]) an = Pre obraz Y () potom platí Y () = ( ) = ( + )( ) a rozklad na parciálne zlomky a urobí naledovne: ( + )( ) = K 1 + K + + K 3 + L Po vynáobení otatnej rovnice menovateľom ( + )( ) dotaneme = K 1 ( ) + K ( ) + (K 3 + L 3 )( + ) = 3 (K 1 + K + K 3 ) + (10K 1 + 8K + K 3 + L 3 ) + (36K 1 + 0K + L 3 ) + 40K 1 Porovnaním koeficientov polynómov na pravej a ľavej trane rovnice dotaneme útavu 4 algebraických rovníc o 4 neznámych v tvare 0 = K 1 + K + K 3 0 = 10K 1 + 8K + K 3 + L 3 0 = 36K 1 + 0K + L 3 = 40K 1 Jej riešením dotaneme K 1 = 0,05; K = 0,15; K 3 = 0,075; L 3 = 0,35. Pre obraz Y () teda platí Y () = 0,05 0,15 0, , Prvé dva zlomky v obraze riešenia ú v takom tvare, že pätná Laplaceova tranformácia a dá urobiť veľmi jednoducho. Upraviť treba ešte poledný zlomok. Preto pokračujeme v úpravách a dotaneme Y () = 0,05 = 0,05 = 0,05 = 0,05 0,35 0, , , ( + 4) + 4 0, , ,075 + ( + 4) + 0, , ( + 4) + + 0,075.0,6667 0, , ( + 4) + + 0,05 ( + 4) + ( + 4) + Teraz už obraz riešenia máme v takom tvare, že pomocou lovníka jednoducho urobíme pätnú Laplaceovu tranformáciu. Originál k obrazu Y () a zároveň riešenie diferenciálnej rovnice má tvar y(t) = 0,05 0,15e t + 0,075e 4t co(t) + 0,05e 4t in(t) 30

11 .4. NERIEŠENÉ PRÍKLADY Upozornenie Pri rozklade na parciálne zlomky i treba uvedomiť, že ak je v parciálnom zlomku v menovateli polynóm, ktorý ma reálny koreň (jednoduchý alebo viacnáobný), tak v čitateli je konštanta a ak je v menovateli parciálneho zlomku polynóm dvojicou komplexne združených koreňov, tak v čitateli je polynóm 1. tupňa..4 Neriešené príklady Príklad.4.1: Riešte diferenciálnu rovnicu y (t) + 6y (t) + 4y(t) = u(t) o začiatočnými podmienkami y(0) = 1, y (0) =, kde u(t) = t. y(t) = 0,75 + 5e t 3,5e t + 0,5t. Príklad.4.: Riešte diferenciálnu rovnicu 3y (t) + 18y (t) + 7y(t) = 3u(t) o začiatočnými podmienkami y(0) = 0, y (0) = 1, kde u(t) = 3 in(t). y(t) = 0,13e 3t + 1,4615te 3t 0,13 co(t) + 0,0888 in(t). Príklad.4.3: Riešte diferenciálnu rovnicu 4y (t)+16y (t)+16y(t) = 4u(t) nulovými začiatočnými podmienkami y (0) = y(0) = 0, kde u(t) = te 3t. y(t) = e t + te t + e 3t + te 3t. Príklad.4.4: Riešte diferenciálnu rovnicu y (t) + y (t) + 7y (t) + 7y(t) = u(t) nulovými začiatočnými podmienkami y (0) = y (0) = y(0) = 0, kde u(t) = 3. Jeden koreň charakteritickej rovnice =. y(t) = 0,0833 0,0417e 6t + 0,3333e 3t 0,375e t. Príklad.4.5: Riešte diferenciálnu rovnicu 3y (t) + 15y (t) + 4y (t) + 1y(t) = 3u(t) nulovými začiatočnými podmienkami y (0) = y (0) = y(0) = 0, kde u(t) = 4. Jeden koreň charakteritickej rovnice = 1. y(t) = 1 + te t + 3e t 4e t. Príklad.4.6: Riešte diferenciálnu rovnicu 0,5y (t) + y (t) + 8y (t) + 16y(t) = 0,5u(t) nulovými začiatočnými podmienkami y (0) = y (0) = y(0) = 0, kde u(t) = 5. Jeden koreň charakteritickej rovnice =. y(t) = 0,1563 0,0313 co(4t) 0,065 in(4t) 0,15e t. 31

12 KAPITOLA. RIEŠENIE DIFERENCIÁLNYCH ROVNÍC POMOCOU LAPLACEOVEJ TRANSFORMÁCIE Príklad.4.7: Riešte diferenciálnu rovnicu 0,5y (t) + 6y (t) + 4y (t) + 3y(t) = 0,5u(t) nulovými začiatočnými podmienkami y (0) = y (0) = y(0) = 0, kde u(t)=,5. Jeden koreň charakteritickej rovnice = 4. y(t) = 0,0391 0,315t e 4t 0,1563te 4t 0,0391e 4t. Príklad.4.8: Riešte diferenciálnu rovnicu y (t) + 1y (t) + 74y (t) + 116y(t) = u(t) nulovými začiatočnými podmienkami y (0) = y (0) = y(0) = 0, kde u(t) = 3. Jeden koreň charakteritickej rovnice =. y(t) = 0,0517 0,06e t + 0,0083e t co(5t) 0,007e t in(5t)..5 MATLAB: príkazy k problematike výpočet koreňov polynómu p root(p) výpočet koeficientov polynómu pre jeho zadané korene k1, k poly([k1 k]) delenie polynómov p1, p deconv(p1,p) výpočet inverznej matice k matici A inv(a) rozklad na parciálne zlomky [r,p,k]=reidue(citatel,menovatel), kde r je vektor koeficientov čitateľov, p je vektor zodpovedajúcich pólov a k je abolútny člen. Táto funkcia je veľmi dobre použiteľná, ak má Laplaceov obraz v menovateli iba reálne korene. V prípade komplexných koreňov menovateľa treba tieto ešte čítať. 3