Spojité rozdelenia pravdepodobnosti. Pomôcka k predmetu PaŠ. RNDr. Aleš Kozubík, PhD. 26. marca Domovská stránka. Titulná strana.
|
|
- Θήρα Ανδρέου
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Spojité rozdelenia pravdepodobnosti Pomôcka k predmetu PaŠ Strana z 7 RNDr. Aleš Kozubík, PhD. 6. marca 3
2 Zoznam obrázkov Rovnomerné rozdelenie Ro (a, b). Definícia Číselné charakteristiky Charakteristické funkcie Eponenciálne rozdelenie E (λ) 5. Definícia Číselné charakteristiky Charakteristické funkcie Normálne rozdelenie N (µ, σ) 8 3. Definícia Číselné charakteristiky Charakteristické funkcie Gama rozdelenie 3 4. Definícia Číselné charakteristiky Charakteristické funkcie Rozdelenie χ (n) 6 5. Definícia Číselné charakteristiky Charakteristické funkcie Beta rozdelenie 9 6. Definícia Číselné charakteristiky Strana z 7
3 6.3 Charakteristické funkcie Studentovo rozdelenie 7. Definícia Číselné charakteristiky Charakteristické funkcie Fisherovo rozdelenie 5 8. Definícia Číselné charakteristiky Charakteristické funkcie Strana 3 z 7
4 Zoznam obrázkov Rovnomerné rozdelenie Rovnomerné rozdelenie Eponenciálne rozdelenie Eponenciálne rozdelenie Hustota normálneho rozdelenia Hustota normálneho rozdelenia Hustota rozdelenia Γ (a, δ) Hustota rozdelenia Γ (a, δ) Hustota rozdelenia Γ (a, δ) Hustota rozdelenia Γ (a, δ) Hustota rozdelenia χ Distribučná funkcia rozdelenia χ Hustota rozdelenia B (k, n) Hustota rozdelenia B (k, n) Distribučná funkcia rozdelenia B (k, n) Distribučná funkcia rozdelenia B (k, n) Hustota rozdelenia t (n) Distribučná funkcia rozdelenia t (n) Hustota Fisherovho rozdelenia F (n, n ) Hustota Fisherovho rozdelenia F (n, n ) Distribučná funkcia Fisherovho rozdelenia F (n, n ) Distribučná funkcia Fisherovho rozdelenia F (n, n ) Strana z 7
5 . Rovnomerné rozdelenie Ro (a, b).. Definícia Náhodná premenná sa riadi rovnomerným rozdelením, ak nadobúda dve hodnoty z konečného intervalu (a; b), a < b. a predstavuje spojité rozdelenie, ktoré je analógom rovnomerného výberu z konečnej množiny. Hustota Náhodná premenná X, ktorá nadobúda hodnoty (a; b), a < b sa riadi rovnomerným rozdelením, ak jej funkcia hustoty má tvar f() = (a; b), b a / (a; b). () Význam rozdelenia Rozdelenie rovnomernej náhodnej premennej charakterizujú dva parametre a a b, ktoré je možné interpretovat ako dolné a horné ohraničenie hodnôt, ktoré môže náhodná premenná nadobúdat. Rovnomerným rozdelením sa riadia napr. malé chyby merania. V Bayesovských štatistikách sa rovnomerné rozdelenie vyskytuje ako rozdelenie neznámeho parametra. Distribučná funkcia Náhodná premenná X, ktorá nadobúda hodnoty (a; b) a riadi sa rovnomerným rozdelením má distribučnú funkciu tvaru a, a F () = b a a < b, () > b. Strana z 7
6 y y b a a b a b Obr. : Hustota rovnomerného rozdelenia s parametrami a a b. Obr. : Distribučná funkcia rovnomerného rozdelenia s parametrami a a b... Číselné charakteristiky Strana 3 z 7 E (X) = a + b, E ( X ) = a + ab + b, 3 (b a) D (X) =, ρ(x) = ε(x) = 6 5.
7 .3. Charakteristické funkcie Momentová vytvárajúca funkcia Charakteristická funkcia M X (t) = ebt e at (b a)t. (3) χ X (t) = ei bt e i at i t(b a). (4) Strana 4 z 7
8 . Eponenciálne rozdelenie E (λ).. Definícia Hustota Náhodná premenná X, ktorá nadobúda nezáporné hodnoty sa riadi eponenciálnym rozdelením, ak jej funkcia hustoty má tvar { λ e λ >, f() =. (5) Význam rozdelenia Rozdelenie rovnomernej náhodnej premennej charakterizuje parameter λ. Tento parameter sa obvykle interpretuje ako doba čakania na nejakú udalost, na zlyhanie systému a pod. Eponenciálne rozdelenie zodpovedá rozdeleniu časových intervalov medzi udalost ami, ktorých výskyt sa riadi Poissonovým rozdelením s parametrom λ. Distribučná funkcia Náhodná premenná X, ktorá nadobúda nezáporné hodnoty a riadi sa eponenciálnym rozdelením má distribučnú funkciu tvaru {, F () = e λ (6) >. Strana 5 z 7
9 .5 λ =.5 λ = λ = λ =.5 λ = λ = Obr. 3: Hustota eponenciálneho rozdelenia pre rôzne hodnoty parametra λ. Obr. 4: Distribučná funkcia eponenciálneho rozdelenia s rôznymi hodnotami parametra λ. Strana 6 z 7.. Číselné charakteristiky E (X) = λ, E ( X ) = λ, D (X) = λ, ρ(x) = ε(x) = 6.
10 .3. Charakteristické funkcie Momentová vytvárajúca funkcia Charakteristická funkcia M X (t) = λ λ λt. (7) Kvantilová funkcia χ X (t) = λ λ i λt. (8) F (p, λ) = ln( p). (9) λ Strana 7 z 7
11 3. Normálne rozdelenie N (µ, σ) 3.. Definícia Hustota Náhodná premenná X, ktorá nadobúda reálne hodnoty sa riadi normálnym rozdelením N (µ, σ) a píšeme X N (µ, σ), ak jej funkcia hustoty má tvar kde µ R a σ > sú dané parametre. f() = πσ e ( µ) σ, < <, () Význam rozdelenia Rozdelenie normálnej náhodnej premennej je charakterizované dvomi parametrami µ a σ. Ich označenie je volené tak, aby zodpovedalo ich významu, teda µ je strednou hodnotou a σ smerodajnou odchýlkou tohto rozdelenia. Normálne rozdelenie hrá kl účovú úlohu medzi všetkými spojitými rozdeleniami. Každý empirický súbor dát býva ako prvý testovaný na normálne rozdelenie. navyše, v dôsledky centrálnej limitnej vety, náhodná premenná, ktorá je výsledkom súčtu vel kého počtu malých náhodných premenných konverguje ku normálnemu rozdeleniu. Používa sa teda ako model náhodnej premennej, ktorá je výsledkom pôsobenia vel kého počtu drobných náhodných vplyvov, a taktiež na aproimáciu iných rozdelení. Normálne rozdelenie sa nazýva tiež Gaussovo. Vzhl adom na centrálne postavenie normálneho rozdelenia sa zavádza štandardizované normálne rozdelenie, čo je rozdelenie N (, ), ktoré je možné získat z bežného rozdelenia transfomáciou U = X µ σ. Ak X N (µ, σ), tak U N (, ). Pre funkciu hustoty štandardizovaného normálneho rozdelenia používame symbol ϕ() a platí pre ňu: Strana 8 z 7 ϕ() = π e, < <. ()
12 Distribučná funkcia Distribučnú funkciu normálneho rozdelenia nie je možné vyjadrit v uzavretom tvare. Distribučnú funkciu náhodnej premennej X N (µ, σ) teda zapíšeme v tvare: F () = πσ e (t µ) σ dt, () resp. v prípade štandardizovaného normálneho rozdelenia opät zavádzame špecifické označenie Φ() a platí Φ() = e t dt. (3) π Vzhl adom na mimoriadny význam normálneho rozdelenia sú hodnoty funkcií ϕ() resp. Φ() tabelované. Takisto bývajú implementované v mnohých softvérových nástrojoch v podobe tzv. error funfcie erf(), ktorá je definovaná ako erf() = e t dt. π Strana 9 z 7 S jej pomocou je možné l ahko vyjadrit hodnoty Φ(). Pre potreby výpočtov je dobré poznat niektoré vlastnosti funkcií Φ() resp. ϕ(). Ak X N (µ, σ), tak platí ( ) ( ) ( ) µ b µ a µ P (X < ) = Φ, resp. P (a < X < b) = Φ Φ. σ σ σ Vzhl adom na symetriu (hustota N (, ) je párna funkcia) platí: ϕ( ) = ϕ(), a Φ( ) = Φ().
13 hustota f() µ = µ = µ = 5 5 Obr. 5: Graf hustoty normálneho rozdelenia s rozptylom σ = pre rôzne hodnoty parametra µ. Strana z Číselné charakteristiky E (X) = µ, E ( X ) = µ + σ, D (X) = σ, ρ(x) = ε(x) =.
14 hustota f() σ = σ = σ = Obr. 6: Graf hustoty normálneho rozdelenia so strednou hodnotou µ = pre rôzne hodnoty parametra σ. Strana z Charakteristické funkcie Momentová vytvárajúca funkcia M X (t) = e µt+ t σ. (4) M X (t) = e t. (5) Charakteristická funkcia χ X (t) = e i µt σ t. (6)
15 Kvantilová funkcia F (p) = µ + σφ (p). (7) Strana z 7
16 4. Gama rozdelenie Γ (a, δ) 4.. Definícia Hustota Náhodná premenná X, ktorá nadobúda kladné reálne hodnoty sa riadi Gama rozdelením Γ (a, δ) a píšeme X Γ (a, δ), ak jej funkcia hustoty má tvar f() = { δ a Γ(a) a e δ, >, (8) kde a > a δ > sú dané parametre. Význam rozdelenia Gama rozdelenie je charakterizované dvomi parametrami a a δ. Pre celočíselnú hodnotu parametra a vzniká ako súčet a nezávislých náhodných premenných s eponenciálnym rozdelením s parametrom δ. Distribučná funkcia Distribučnú funkciu Gama rozdelenia je možné vyjadrit s pomocou tzv. neúplnej gama funkcie, ktorá je definovaná ako γ(α, ) = e t t α dt. Distribučnú funkciu náhodnej premennej X Γ (a, δ) teda zapíšeme v tvare: ) F () = γ ( a, δ. (9) Γ(a) Strana 3 z 7
17 hustota f().5.5 a = a = a = 3 a = 4 a = 5 a = 6 hustota f().5.5 a =.3 a =.5 a =.8 a = Obr. 7: Funkcia hustoty rozdelenia Γ (a, ) pre rôzne hodnoty parametra a. Obr. 8: Funkcia hustoty rozdelenia Γ (a, ) pre rôzne hodnoty parametra a. 4.. Číselné charakteristiky Strana 4 z 7 E (X) = aδ, E ( X ) = δ a(a + ), D (X) = aδ, ρ(x) = a ε(x) = 6 a.
18 hustota f().5.5 δ = δ = δ = 3 δ = 4 δ = 5 δ = 6 hustota f().5.5 δ =.3 δ =.5 δ =.8 δ = Obr. 9: Funkcia hustoty rozdelenia Γ (, δ) pre rôzne hodnoty parametra δ. Obr. : Funkcia hustoty rozdelenia Γ (, δ) pre rôzne hodnoty parametra δ Charakteristické funkcie Strana 5 z 7 Momentová vytvárajúca funkcia Charakteristická funkcia M X (t) = ( δt) a, t < δ. () χ X (t) = ( δt i) a. () Kvantilová funkcia Nie je vyjadritel ná v jednoduchom uzavretom tvare s pomocou elementárnych funkcií.
19 5. Rozdelenie χ (n) 5.. Definícia Hustota Náhodná premenná X, ktorá nadobúda kladné reálne hodnoty sa riadi Rozdelením χ (n) (chí-kvadrát) s n stupňami vol nosti a píšeme X χ (n), ak jej funkcia hustoty má tvar e n f() = n >, Γ( n ) (), kde n N je daný parameter, tzv. počet stupňov vol nosti. Význam rozdelenia Rozdelenie chí-kvadrát s n stupňami vol nosti je charakterizované jedným parametrom n. Vzniká ako rozdelenie súčtu druhých mocnín (kvadrátov) nezávislých náhodných premenných so štandardizovaným normálnym rozdelením. Teda ak X i N, i =,..., n sú nezávislé, tak náhodná premenná Y = X + X n má rozdelenie χ (n). Rozdelenie chí-kvadrát je tiež špecifickým prípadom Gama rozdelenia s parametrami a = n a δ =. Distribučná funkcia Distribučnú funkciu rozdelenia chí-kvadrát je možné, podobne ako distribučnú funkciu Gama rozdelenia vyjadrit s pomocou neúplnej gama funkcie, v tvare: F () = γ ( n, ) Γ ( ) n. (3) Strana 6 z 7
20 hustota f().4. n = n = n = n = 3 n = 4 n = 5 n = 6 n = 7 n = Obr. : Funkcia hustoty rozdelenia χ (n) pre rôzne počty stupňov vol nosti n. 5.. Číselné charakteristiky Strana 7 z 7 E (X) = n, E ( X ) = n + n, D (X) = n, 8 ρ(x) = n ε(x) = n.
21 F () n = n = n = n = 3 n = 4 n = 5 n = 6 n = Obr. : Distribučná funkcia rozdelenia χ (n) pre rôzne počty stupňov vol nosti n Charakteristické funkcie Strana 8 z 7 Momentová vytvárajúca funkcia Charakteristická funkcia M X (t) = ( t) n, t <. (4) χ X (t) = ( δt i) n. (5) Kvantilová funkcia Nie je vyjadritel ná v jednoduchom uzavretom tvare s pomocou elementárnych funkcií.
22 6. Beta rozdelenie B (k, n) 6.. Definícia Hustota Náhodná premenná X, ktorá nadobúda hodnoty z intervalu ; sa riadi Beta rozdelením B (k, n) a píšeme X B (k, n), ak jej funkcia hustoty má tvar f() = { k ( ) n B(k,n), inak (6) kde k > a n > sú dané parametre. Význam rozdelenia Beta rozdelenie patrí medzi najpoužívanejšie rozdelenia pre náhodné premenné ktoré nadobúdajú hodnoty z intervalu ;. Je charakterizované dvomi parametrami k a n, čo mu dáva vel kú fleibilitu. Práve táto fleibilita tvaru funkcie hustoty je príčinou jeho širokého použitia. Beta rozdelenie je zovšeobecnením rovnomerného rozdelenia Ro (, ). Distribučná funkcia Distribučnú funkciu Beta rozdelenia je možné vyjadrit s pomocou tzv. neúplnej beta funkcie, ktorá je definovaná ako B (k, n) = t k ( t) n dt. Distribučnú funkciu náhodnej premennej X B (k, n) teda zapíšeme v tvare: F () = B (k, n) B(k, n). (7) Strana 9 z 7
23 hustota f() 3 k = k = k = 3 k = 4 k = 5 k = 6 hustota f() 3 n = n = n = 3 n = 4 n = 5 n = Obr. 3: Funkcia hustoty rozdelenia B (k, 3) pre rôzne hodnoty parametra k. Obr. 4: Funkcia hustoty rozdelenia B (3, n) pre rôzne hodnoty parametra n. 6.. Číselné charakteristiky Strana z 7 E (X) = k k + n, E ( X ) = D (X) = Γ(k + )Γ(k + n) Γ(k + n + )Γ(k), nk (k + n) (k + n + ), ρ(x) = (n k) k + n + (k + n + ) kn ε(x) = 6[(k n) (k + n + ) nk(k + n + )]. kn(k + n + )(k + n + 3)
24 F () k = k = k = 3 k = 4 k = 5 k = 6 F () n = n = n = 3 n = 4 n = 5 n = Obr. 5: Distribučná funkcia rozdelenia B (k, 3) pre rôzne hodnoty parametra k. Obr. 6: Distribučná funkcia rozdelenia B (3, n) pre rôzne hodnoty parametra n Charakteristické funkcie Momentová vytvárajúca funkcia M X (t) = + i= i j= k + j k + n + j ti i!. (8) Charakteristická funkcia Vyjadrenie je príliš zložité, využíva tzv. hypergeometrické funkcie. Kvantilová funkcia Nie je vyjadritel ná v jednoduchom uzavretom tvare s pomocou elementárnych funkcií. Strana z 7
25 7. Studentovo rozdelenie t (n) 7.. Definícia Hustota Náhodná premenná X, ktorá nadobúda hodnoty z Rsa riadi Studentovým rozdelením t (n) s n stupňami vol nosti a píšeme X t (n), ak jej funkcia hustoty má tvar f() = Γ ( ) n+ nπγ ( n ) ( + n ) n+ kde parameter n N je parameter, tzv. počet stupňov vol nosti., R, (9) Význam rozdelenia Studentovo rozdelenie t (n) je významným rozdelením v matematickej štatistike, hrá významnú úlohu pri testoch štatistických hypotéz. Vzniká ako rozdelenie podielu náhodnej premennej X N (, ) a náhodnej premennej Y n, kde Y χ (n). Jeho odvodenie sa pripisuje Williamovi Gossetovi, ktorý bol v oblasti štatistiky samoukom a bol preto známy pod prezývkou student. Distribučná funkcia Distribučnú funkciu Studentovho rozdelenia nie je možné vyjadrit v jednoduchom uzavretom tvare pomocou elementárnych funkcií. Môžeme ju zapísat iba v integrálnom tvare: Γ ( ) n+ F () = ( nπγ n ) ( ) n+ dt. (3) + t n Strana z 7
26 hustota f() k = k = k = 5 k = k = k = F () n = n = 4 n = 6 n = 8 n = n = Obr. 7: Funkcia hustoty Studentovho rozdelenia t (n) pre rôzne počty stupňov vol nosti n. Obr. 8: Distribučná funkcia Studentovho rozdelenia t (n) pre rôzne počty stupňov vol nosti n. 7.. Číselné charakteristiky Strana 3 z 7 E (X) =, D (X) = n, n n >,, n ρ(x) =, n > 3, inak nedefinované ε(x) = 6 n 4 n > 4, inak nedefinované.
27 7.3. Charakteristické funkcie Momentová vytvárajúca funkcia Momentová vytvárajúca funkcia nie je definovaná. Charakteristická funkcia χ X (t) = K n ( n t ) ( n t ) n Γ ( ) n n, (3) kde K n () je tzv. modifikovaná Besselova funkcia definovaná vzt ahom K n () = e cosh t cosh(nt) dt. Kvantilová funkcia Nie je vyjadritel ná v jednoduchom uzavretom tvare s pomocou elementárnych funkcií. Strana 4 z 7 Z obrázku 7 je vidiet, že s rastúcim počtom stupňov vol nosti sa už priebeh funkcie hustoty vel mi nemení. Perto je zvykom pre hodnoty n > 3 toto rozdelenie aproimovat štandardným rormálnym rozdelením N (, ).
28 8. Fisherovo rozdelenie F (n, n ) 8.. Definícia Hustota Náhodná premenná X, ktorá nadobúda nezáporné reálne hodnoty sa riadi Fisherovým rozdelením F (n, n ) s n a n stupňami vol nosti a píšeme X F (n, n ), ak jej funkcia hustoty má tvar ( ) n n n ( ) n f() = n +n B( n, n + ) n n > (3) kde n N a n N sú dané parametre. Význam rozdelenia Fisherovo rozdelenie má vel ký význam v matematickej štatistike. Využíva sa pri testoch hypotéz na rovnost rozptylov dvoch súborov (nazývané F testy) alebo v analýze rozptylu. Vzniká ako rozdelenie podielu dvoch nezávislých náhodných premenných X n a Y n, pričom X χ (n ) a Y χ (n ) Distribučná funkcia Distribučnú funkciu Fisherovho rozdelenia je možné vyjadrit s pomocou neúplnej beta funkcie B (k, n) = t k ( t) n dt. Distribučnú funkciu náhodnej premennej X F (n, n ) teda zapíšeme v tvare: F () = B ( n, n ) B ( n, n ). (33) Strana 5 z 7
29 hustota f().6.4. n = n = n = 3 n = 4 n = 5 n = 6 n = 7 hustota f().5.5 n = n = n = 3 n = 4 n = 5 n = Obr. 9: Funkcia hustoty rozdelenia F (3, n ) pre rôzne počty stupňov vol - nosti n. Obr. : Funkcia hustoty rozdelenia F (n, 3) pre rôzne počty stupňov vol - nosti n. 8.. Číselné charakteristiky Strana 6 z 7 E (X) = n n, n > D (X) = n (n + n ) n (n ) (n 4), n > 4, ρ(x) = (n + n ) 8(n 4) (n 6) n (n + n ) ε(x) = n (5n )(n + n ) + (n 4)(n ) n (n 6)(n 8)(n + n )
30 F () n = n = n = 3 n = 4 n = 5 n = 6 F () n = n = n = 3 n = 4 n = 5 n = Obr. : Distribučná funkcia Fisherovho rozdelenia F (3, n ) pre rôzne počty stupňov vol nosti n. Obr. : Distribučná funkcia Fisherovho rozdelenia F (n, 3) pre rôzne počty stupňov vol nosti n Charakteristické funkcie Momentová vytvárajúca funkcia Momentová vytvárajúca funkcia nie je definovaná. Začiatočné momenty ν k eistujú a sú konečné len ak k < n a platí ν k = ( n n ) k Γ ( n + k ) Γ ( n k ) Γ ( ) ( n Γ n ) Charakteristická funkcia Nie je vyjadritel ná v jednoduchom uzavretom tvare s pomocou elementárnych funkcií. Kvantilová funkcia Nie je vyjadritel ná v jednoduchom uzavretom tvare s pomocou elementárnych funkcií. Strana 7 z 7
Matematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie
Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x
Διαβάστε περισσότεραMatematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad
Matematika 3-13. prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková F BERG, TU Košice 15. 12. 2015 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov
Διαβάστε περισσότερα1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej
. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej Definícia.: Hromadný bod a R množiny A R: v každom jeho okolí leží aspoň jeden bod z množiny A, ktorý je rôzny od bodu a Zadanie množiny
Διαβάστε περισσότεραZáklady matematickej štatistiky
1. Náhodný výber, výberové momenty a odhad parametrov Katedra Matematických metód Fakulta Riadenia a Informatiky Žilinská Univerzita v Žiline 6. mája 2015 1 Náhodný výber 2 Výberové momenty 3 Odhady parametrov
Διαβάστε περισσότεραEkvačná a kvantifikačná logika
a kvantifikačná 3. prednáška (6. 10. 004) Prehľad 1 1 (dokončenie) ekvačných tabliel Formula A je ekvačne dokázateľná z množiny axióm T (T i A) práve vtedy, keď existuje uzavreté tablo pre cieľ A ekvačných
Διαβάστε περισσότερα7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE
7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE Funkcia f reálnej premennej je : - každé zobrazenie f v množine všetkých reálnych čísel; - množina f všetkých usporiadaných dvojíc[,y] R R pre ktorú platí: ku každému R eistuje
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice
Goniometrické rovnice a nerovnice Definícia: Rovnice (nerovnice) obsahujúce neznámu x alebo výrazy s neznámou x ako argumenty jednej alebo niekoľkých goniometrických funkcií nazývame goniometrickými rovnicami
Διαβάστε περισσότεραObvod a obsah štvoruholníka
Obvod a štvoruholníka D. Štyri body roviny z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne (neležia na jednej priamke) tvoria jeden štvoruholník. Tie body (A, B, C, D) sú vrcholy štvoruholníka. strany štvoruholníka
Διαβάστε περισσότεραZáklady metodológie vedy I. 9. prednáška
Základy metodológie vedy I. 9. prednáška Triedenie dát: Triedny znak - x i Absolútna početnosť n i (súčet všetkých absolútnych početností sa rovná rozsahu súboru n) ni fi = Relatívna početnosť fi n (relatívna
Διαβάστε περισσότεραCvičenie č. 4,5 Limita funkcie
Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Definícia ity Limita funkcie (vlastná vo vlastnom bode) Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí U( ) bodu. Hovoríme, že funkcia f má v bode itu rovnú A, ak ( ε > )(
Διαβάστε περισσότεραHľadanie, skúmanie a hodnotenie súvislosti medzi znakmi
Hľadanie, skúmanie a hodnotenie súvislosti medzi znakmi Typy súvislostí javov a vecí: nepodstatné - vonkajšia súvislosť nevyplýva z vnútornej potreby (javy spoločne vznikajú, majú zhodný priebeh, alebo
Διαβάστε περισσότερα6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu
6 Limita funkcie 6 Myšlienka ity, interval bez bodu Intuitívna myšlienka ity je prirodzená, ale definovať presne pojem ity je značne obtiažne Nech f je funkcia a nech a je reálne číslo Čo znamená zápis
Διαβάστε περισσότεραJednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy
Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2012/2013 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/18
Διαβάστε περισσότεραFunkcie - základné pojmy
Funkcie - základné pojmy DEFINÍCIA FUNKCIE Nech A, B sú dve neprázdne číselné množiny. Ak každému prvku x A je priradený najviac jeden prvok y B, tak hovoríme, že je daná funkcia z množiny A do množiny
Διαβάστε περισσότεραStart. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop
1) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet obvodu kruhu. O=2xπxr ; S=πxrxr Vstup r O = 2*π*r S = π*r*r Vystup O, S 2) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet celkovej ceny výrobku s
Διαβάστε περισσότερα7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii
Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy 7 Derivácia funkcie 7 Motivácia k derivácii S využitím derivácií sa stretávame veľmi často v matematike, geometrii, fyzike, či v rôznych technických
Διαβάστε περισσότεραPrednáška Fourierove rady. Matematická analýza pre fyzikov IV. Jozef Kise lák
Prednáška 6 6.1. Fourierove rady Základná myšlienka: Nech x Haφ 1,φ 2,...,φ n,... je ortonormálny systém v H, dá sa tento prvok rozvinút do radu x=c 1 φ 1 + c 2 φ 2 +...,c n φ n +...? Ako nájdeme c i,
Διαβάστε περισσότεραChí kvadrát test dobrej zhody. Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky
Chí kvadrát test dobrej zhody Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky www.iam.fmph.uniba.sk/institute/stehlikova Test dobrej zhody I. Chceme overiť, či naše dáta pochádzajú z konkrétneho pravdep.
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2014/2015 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/24 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότεραKATEDRA DOPRAVNEJ A MANIPULAČNEJ TECHNIKY Strojnícka fakulta, Žilinská Univerzita
132 1 Absolútna chyba: ) = - skut absolútna ochýlka: ) ' = - spr. relatívna chyba: alebo Chyby (ochýlky): M systematické, M náhoné, M hrubé. Korekcia: k = spr - = - Î' pomerná korekcia: Správna honota:
Διαβάστε περισσότεραM6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou
M6: Model Hydraulický ytém dvoch záobníkov kvapaliny interakciou Úlohy:. Zotavte matematický popi modelu Hydraulický ytém. Vytvorte imulačný model v jazyku: a. Matlab b. imulink 3. Linearizujte nelineárny
Διαβάστε περισσότεραPríklady na precvičovanie Fourierove rady
Príklady na precvičovanie Fourierove rady Ďalším významným typom funkcionálnych radov sú trigonometrické rady, pri ktorých sú jednotlivé členy trigonometrickými funkciami. Konkrétne, jedná sa o rady tvaru
Διαβάστε περισσότεραPrechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009
Počítačová grafika 2 Prechod z 2D do 3D Martin Florek florek@sccg.sk FMFI UK 3. marca 2009 Prechod z 2D do 3D Čo to znamená? Ako zobraziť? Súradnicové systémy Čo to znamená? Ako zobraziť? tretia súradnica
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Analytická geometria
Matematika 2 časť: Analytická geometria RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Súradnicové
Διαβάστε περισσότεραModerné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A
M A T E M A T I K A PRACOVNÝ ZOŠIT II. ROČNÍK Mgr. Agnesa Balážová Obchodná akadémia, Akademika Hronca 8, Rožňava PRACOVNÝ LIST 1 Urč typ kvadratickej rovnice : 1. x 2 3x = 0... 2. 3x 2 = - 2... 3. -4x
Διαβάστε περισσότεραMotivácia pojmu derivácia
Derivácia funkcie Motivácia pojmu derivácia Zaujíma nás priemerná intenzita zmeny nejakej veličiny (dráhy, rastu populácie, veľkosti elektrického náboja, hmotnosti), vzhľadom na inú veličinu (čas, dĺžka)
Διαβάστε περισσότεραMetódy vol nej optimalizácie
Metódy vol nej optimalizácie Metódy vol nej optimalizácie p. 1/28 Motivácia k metódam vol nej optimalizácie APLIKÁCIE p. 2/28 II 1. PRÍKLAD: Lineárna regresia - metóda najmenších štvorcov Na základe dostupných
Διαβάστε περισσότεραMotivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010.
14. decembra 2010 Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Rie²enie sústav Príklad a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2 Dostaneme: x 1 = c 1a 22 c 2 a 12 a 11 a 22 a 12
Διαβάστε περισσότερα1. písomná práca z matematiky Skupina A
1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. Vypočítajte : a) 84º 56 + 32º 38 = b) 140º 53º 24 = c) 55º 12 : 2 = 2. Vypočítajte zvyšné uhly na obrázku : β γ α = 35 12 δ a b 3. Znázornite na číselnej osi
Διαβάστε περισσότερα4. domáca úloha. distribučnú funkciu náhodnej premennej X.
4. domáca úloha 1. (rovnomerné rozdelenie) Električky idú v 20-minútových intervaloch. Cestujúci príde náhodne na zastávku. Určte funkciu hustoty rozdelenia pravdepodobnosti a distribučnú funkciu náhodnej
Διαβάστε περισσότεραJednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy
Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2013/2014 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/27
Διαβάστε περισσότεραTomáš Madaras Prvočísla
Prvočísla Tomáš Madaras 2011 Definícia Nech a Z. Čísla 1, 1, a, a sa nazývajú triviálne delitele čísla a. Cele číslo a / {0, 1, 1} sa nazýva prvočíslo, ak má iba triviálne delitele; ak má aj iné delitele,
Διαβάστε περισσότεραZákladné poznatky molekulovej fyziky a termodynamiky
Základné poznatky molekulovej fyziky a termodynamiky Opakovanie učiva II. ročníka, Téma 1. A. Príprava na maturity z fyziky, 2008 Outline Molekulová fyzika 1 Molekulová fyzika Predmet Molekulovej fyziky
Διαβάστε περισσότεραKomplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1
Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia Komplexné čísla C - množina všetkých komplexných čísel komplexné číslo: z = a + bi, kde a, b R, i - imaginárna jednotka i =, t.j. i =. komplexne združené
Διαβάστε περισσότερα2 Chyby a neistoty merania, zápis výsledku merania
2 Chyby a neistoty merania, zápis výsledku merania Akej chyby sa môžeme dopustiť pri meraní na stopkách? Ako určíme ich presnosť? Základné pojmy: chyba merania, hrubé chyby, systematické chyby, náhodné
Διαβάστε περισσότεραCvičenia zo ŠTATISTIKY v Exceli Kurz IPA-Slovakia, september 2008, VYHNE
Cvičenia zo ŠTATISTIKY v Exceli Kurz IPA-Slovakia, september 2008, VYHNE doc. RNDr. Štefan PEŠKO, CSc. stefan.pesko@fri.uniza.sk, http://frcatel.fri.uniza.sk/pesko/ Katedra matematických metód, Fakulta
Διαβάστε περισσότεραReálna funkcia reálnej premennej
(ÚMV/MAN3a/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 18.10.2012 Úvod V každodennom živote, hlavne pri skúmaní prírodných javov, procesov sa stretávame so závislosťou veľkosti niektorých veličín od
Διαβάστε περισσότεραmnožiny F G = {t1, t2,, tn} T a pre ľubovoľný valec C so základňou B1, B2,, Bn v bodoch t1, t2,, tn, takou, že pre t G - F je Bt = E, platí PF(C) = PG
STOCHASTICKÝ PROCES Definícia stochastického procesu Definícia 1 Nech (Ω, F, P) je pravdepodobnostný priestor a nech T je podmnožina R. Pre každé t T nech X(t, ω) je náhodná premenná definovaná na pravdepodobnostnom
Διαβάστε περισσότεραHASLIM112V, HASLIM123V, HASLIM136V HASLIM112Z, HASLIM123Z, HASLIM136Z HASLIM112S, HASLIM123S, HASLIM136S
PROUKTOVÝ LIST HKL SLIM č. sklad. karty / obj. číslo: HSLIM112V, HSLIM123V, HSLIM136V HSLIM112Z, HSLIM123Z, HSLIM136Z HSLIM112S, HSLIM123S, HSLIM136S fakturačný názov výrobku: HKL SLIMv 1,2kW HKL SLIMv
Διαβάστε περισσότεραPriamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava
Priamkové plochy Priamkové plochy Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy rozdeľujeme na: Rozvinuteľné
Διαβάστε περισσότεραRozdiely vo vnútornej štruktúre údajov = tvarové charakteristiky
Veľkosť Varablta Rozdelene 0 00 80 n 60 40 0 0 0 4 6 8 Tredy 0 Rozdely vo vnútornej štruktúre údajov = tvarové charakterstky I CHARAKTERISTIKY PREMELIVOSTI Artmetcký premer Vzťahy pre výpočet artmetckého
Διαβάστε περισσότερα,Zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky,
Farba skupiny: zelená Označenie úlohy:,zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky, Úloha: Zistiť, ako závisí účinnosť zohrievania vody na indukčnom variči od priemeru použitého hrnca. Hypotéza: Účinnosť
Διαβάστε περισσότεραZADANIE 1_ ÚLOHA 3_Všeobecná rovinná silová sústava ZADANIE 1 _ ÚLOHA 3
ZDNIE _ ÚLOH 3_Všeobecná rovinná silová sústv ZDNIE _ ÚLOH 3 ÚLOH 3.: Vypočítjte veľkosti rekcií vo väzbách nosník zťženého podľ obrázku 3.. Veľkosti známych síl, momentov dĺžkové rozmery sú uvedené v
Διαβάστε περισσότεραSpojitosť a limity trochu inak
Spojitosť a limity trochu inak Štefan Tkačik Abstrakt Spojitosť funkcie alebo oblastí je základným stavebným kameňom matematickej analýzy. Pochopenie jej podstaty uľahčí chápanie diferenciálneho a integrálneho
Διαβάστε περισσότεραFUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH
FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITY KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH RNDr. Kristína Rostás, PhD. PREDMET: Matematická analýza ) 2010/2011 1. DEFINÍCIA REÁLNEJ FUNKCIE
Διαβάστε περισσότεραUniverzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Viktória Rusnáková Porovnání přesných a asymptotických testů Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí bakalářské
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014
Matematika 2 časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014 RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk
Διαβάστε περισσότεραOhraničenosť funkcie
VaFu05-T List Ohraničenosť funkcie RNDr. Beáta Vavrinčíková U: V bežnom živote sa často stretávame s funkciami, ktorých hodnot sú určitým spôsobom obmedzené buď na celom definičnom obore D alebo len na
Διαβάστε περισσότεραPožiadavky k štátnej skúške pre magisterský študijný program
z predmetu: Matematická analýza 1. Číselné postupnosti a ich základné vlastnosti. 2. Funkcia jednej reálnej premennej, základné vlastnosti funkcií. 3. Derivácia funkcie jednej reálnej premennej, jej vlastnosti
Διαβάστε περισσότεραTESTOVANIE ŠTATISTICKÝCH HYPOTÉZ. Zdroje: Kompendium statistického zpracování dat, VPS s r. o.
TESTOVANIE ŠTATISTICKÝCH HYPOTÉZ Zdroje: Kompendium statistického zpracování dat, VPS s r. o. Témy prednášky ŠTATISTIKA, HYPOTÉZA TESTY ŠTATISTICKÝCH HYPOTÉZ (Testy štatistickej významnosti) t-test (STUDENTOV)
Διαβάστε περισσότεραHANA LAURINCOVÁ KLASICKÝ VS. NEPARAMETRICKÝ PRÍSTUP Štatistika Poistná matematika
UNIVERZITA KOMENSKÉHO, BRATISLAVA FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY KATEDRA POISTNEJ MATEMATIKY A ŠTATISTIKY PARCIÁLNA A MNOHONÁSOBNÁ KORELÁCIA: KLASICKÝ VS. NEPARAMETRICKÝ PRÍSTUP (Bakalárska práca)
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2011/2012 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/25 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότερα3. Striedavé prúdy. Sínusoida
. Striedavé prúdy VZNIK: Striedavý elektrický prúd prechádza obvodom, ktorý je pripojený na zdroj striedavého napätia. Striedavé napätie vyrába synchrónny generátor, kde na koncoch rotorového vinutia sa
Διαβάστε περισσότεραPREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY. Pomôcka pre prípravný kurz
KATEDRA APLIKOVANEJ MATEMATIKY A INFORMATIKY STROJNÍCKA FAKULTA TU KOŠICE PREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY Pomôcka pre prípravný kurz 8 ZÁKLADNÉ ALGEBRAICKÉ VZORCE ) (a±b)
Διαβάστε περισσότεραPravdepodobnostné modelovanie inverznými distribučnými funkciami: Charakteristiky kvantilových rozdelení
Katedra štatistiky, Fakulta hospodárskej informatiky, Ekonomická univerzita v Bratislave Pravdepodobnostné modelovanie inverznými distribučnými funkciami: Charakteristiky kvantilových rozdelení Ľubica
Διαβάστε περισσότεραGramatická indukcia a jej využitie
a jej využitie KAI FMFI UK 29. Marec 2010 a jej využitie Prehľad Teória formálnych jazykov 1 Teória formálnych jazykov 2 3 a jej využitie Na počiatku bolo slovo. A slovo... a jej využitie Definícia (Slovo)
Διαβάστε περισσότεραMIDTERM (A) riešenia a bodovanie
MIDTERM (A) riešenia a bodovanie 1. (7b) Nech vzhl adom na štandardnú karteziánsku sústavu súradníc S 1 := O, e 1, e 2 majú bod P a vektory u, v súradnice P = [0, 1], u = e 1, v = 2 e 2. Aký predpis bude
Διαβάστε περισσότεραPodnikateľ 90 Mobilný telefón Cena 95 % 50 % 25 %
Podnikateľ 90 Samsung S5230 Samsung C3530 Nokia C5 Samsung Shark Slider S3550 Samsung Xcover 271 T-Mobile Pulse Mini Sony Ericsson ZYLO Sony Ericsson Cedar LG GM360 Viewty Snap Nokia C3 Sony Ericsson ZYLO
Διαβάστε περισσότεραMeranie na jednofázovom transformátore
Fakulta elektrotechniky a informatiky TU v Košiciach Katedra elektrotechniky a mechatroniky Meranie na jednofázovom transformátore Návod na cvičenia z predmetu Elektrotechnika Meno a priezvisko :..........................
Διαβάστε περισσότεραPREHĽAD ÚDAJOV. 1. Početnosť
PREHĽAD ÚDAJOV 1. Početnosť. Miery centrálnej tendencie a. Aritmetický priemer b. Medián c. Modus 3. Miery rozptylu a. Tvar b. Rozdelenie, rozloženie údajov c. Rozsah d. Rozptyl - variancia e. Smerodatná
Διαβάστε περισσότεραNUMERICKÁ MATEMATIKA. Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ. Fakulta elektrotechniky a informatiky
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ NUMERICKÁ MATEMATIKA Fakulta elektrotechniky a informatiky Štefan Berežný Táto publikácia vznikla za finančnej podpory
Διαβάστε περισσότεραDOMÁCE ZADANIE 1 - PRÍKLAD č. 2
Mechanizmy s konštantným prevodom DOMÁCE ZADANIE - PRÍKLAD č. Príklad.: Na obrázku. je zobrazená schéma prevodového mechanizmu tvoreného čelnými a kužeľovými ozubenými kolesami. Určte prevod p a uhlovú
Διαβάστε περισσότεραVektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich
Tuesday 15 th January, 2013, 19:53 Základy tenzorového počtu M.Gintner Vektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich násobenie reálnym číslom tak, že platí:
Διαβάστε περισσότεραObsah. 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti... 7 1.1.1 Komplexné čísla... 8
Obsah 1 Číselné obory 7 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti............................ 7 1.1.1 Komplexné čísla................................... 8 1.2 Číselné množiny.......................................
Διαβάστε περισσότεραDefinícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej x. Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej y. Ak existuje limita.
Teória prednáška č. 9 Deinícia parciálna deriácia nkcie podľa premennej Nech nkcia Ak eistje limita je deinoaná okolí bod [ ] lim. tak túto limit nazýame parciálno deriácio nkcie podľa premennej bode [
Διαβάστε περισσότεραTutoriál3 : Využitie grafických možností jazyka Matlab
NÁPLŇ 1. ÚVOD DO PRÁCE S GRAFIKOU 2. 2D GRAFIKA 3. 3D GRAFIKA 4. PRÍKLADY NA SAMOSTATNÉ RIEŠENIE 1 Matlab ponúka rýchlu a kvalitnú reprezentáciu funkcií vo forme grafov. Disponuje pokročilou grafikou v
Διαβάστε περισσότεραObyčajné diferenciálne rovnice
(ÚMV/MAN3b/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 14.3.2013 Úvod patria k najdôležitejším a najviac prepracovaným matematickým disciplínam. Nielen v minulosti, ale aj v súčastnosti predstavujú
Διαβάστε περισσότεραKontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín. Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť.
Kontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť. Ktoré fyzikálne jednotky zodpovedajú sústave SI: a) Dĺžka, čas,
Διαβάστε περισσότεραVLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR. Michal Zajac. 3 T b 1 = T b 2 = = = 2b
VLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR Michal Zajac Vlastné čísla a vlastné vektory Pripomeňme najprv, že lineárny operátor T : L L je vzhl adom na bázu B = {b 1, b 2,, b n } lineárneho priestoru L určený
Διαβάστε περισσότεραTECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STROJNÍCKA FAKULTA MATEMATIKA 1. Funkcia jednej premennej a jej diferenciálny počet
TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STROJNÍCKA FAKULTA MATEMATIKA časťa Funkcia jednej premennej a jej diferenciáln počet Dušan Knežo, Miriam Andrejiová, Zuzana Kimáková 200 RECENZOVALI: prof. RNDr. Jozef
Διαβάστε περισσότεραČíslo a číslica. Pojem čísla je jedným zo základných pojmov matematiky. Číslo je abstraktná entita (fil. niečo existujúce) používaná na opis množstva.
Číslo a číslica Pojem čísla je jedným zo základných pojmov matematiky. Číslo je abstraktná entita (fil. niečo existujúce) používaná na opis množstva. Číslica (cifra) je grafický znak, pomocou ktorého zapisujeme
Διαβάστε περισσότεραKompilátory. Cvičenie 6: LLVM. Peter Kostolányi. 21. novembra 2017
Kompilátory Cvičenie 6: LLVM Peter Kostolányi 21. novembra 2017 LLVM V podstate sada nástrojov pre tvorbu kompilátorov LLVM V podstate sada nástrojov pre tvorbu kompilátorov Pôvodne Low Level Virtual Machine
Διαβάστε περισσότερα- vychádza z úplnej DNF a slúži pre získanie skrátenej DNF. Princíp metódy - aplikovanie modifikovaného pravidla spojovania. y + x y = y (5.
5.6 QUINOVA - McCLUSKEYHO METÓDA MINIMALIZÁCIE - vychádza z úplnej DNF a slúži pre získanie skrátenej DNF. Princíp metódy - aplikovanie modifikovaného pravidla spojovania x y + x y = x y + x y + y (5.41)
Διαβάστε περισσότεραRiešenia. Základy matematiky. 1. a) A = { 4; 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3}, b) B = {4; 9; 16}, c) C = {2; 3; 5},
Riešenia Základy matematiky 1. a) A = { ; ; ; 1; 0; 1; ; }, b) B = {; 9; 16}, c) C = {; ; 5}, d) D = { 1}, e) E =.. B, C, D, F (A neobsahuje prvok 1, E obsahuje navyše prvok 1, G neobsahuje prvok 1)..
Διαβάστε περισσότεραTesty dobrej zhody. H 0 : f(x) = g(x) ; H 1 : f(x) g(x)
TESTY DOBREJ ZHODY Testy dobrej zhody = testy hypotéz zhody rozdelení (= testy dobrej zhody / ft testy / Goodness of Ft Tests) Overujeme, č emprcké rozdelene je štatstcky zhodné s nektorým z teoretckých
Διαβάστε περισσότεραPevné ložiská. Voľné ložiská
SUPPORTS D EXTREMITES DE PRECISION - SUPPORT UNIT FOR BALLSCREWS LOŽISKA PRE GULIČKOVÉ SKRUTKY A TRAPÉZOVÉ SKRUTKY Výber správnej podpory konca uličkovej skrutky či trapézovej skrutky je dôležité pre správnu
Διαβάστε περισσότεραPlanárne a rovinné grafy
Planárne a rovinné grafy Definícia Graf G sa nazýva planárny, ak existuje jeho nakreslenie D, v ktorom sa žiadne dve hrany nepretínajú. D sa potom nazýva rovinný graf. Planárne a rovinné grafy Definícia
Διαβάστε περισσότεραŠTATISTICKÉ METÓDY VPRAXI
TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH Strojnícka fakulta ŠTATISTICKÉ METÓDY VPRAXI Miriam Andrejiová Edícia vedeckej a odbornej literatúry Košice 2016 Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta Miriam
Διαβάστε περισσότεραREZISTORY. Rezistory (súčiastky) sú pasívne prvky. Používajú sa vo všetkých elektrických
REZISTORY Rezistory (súčiastky) sú pasívne prvky. Používajú sa vo všetkých elektrických obvodoch. Základnou vlastnosťou rezistora je jeho odpor. Odpor je fyzikálna vlastnosť, ktorá je daná štruktúrou materiálu
Διαβάστε περισσότεραFUNKCIE. Funkcia základné pojmy. Graf funkcie
FUNKCIE Funkcia základné pojm. Graf funkcie V prai sa často stretávame so skúmaním závislosti veľkosti niektorých veličín od veľkosti iných veličín, napríklad dĺžka kružnice l závisí od jej priemeru d
Διαβάστε περισσότεραSLOVENSKO maloobchodný cenník (bez DPH)
Hofatex UD strecha / stena - exteriér Podkrytinová izolácia vhodná aj na zaklopenie drevených rámových konštrukcií; pero a drážka EN 13171, EN 622 22 580 2500 1,45 5,7 100 145,00 3,19 829 hustota cca.
Διαβάστε περισσότεραŠtatistické riadenie procesov Regulačné diagramy 3-1
Charakteristika Štatistické riadenie procesov Regulačné diagramy 3-1 3 Regulačné diagramy Cieľ kapitoly Po preštudovaní tejto kapitoly budete vedieť: čo je to regulačný diagram, aké je jeho teoretické
Διαβάστε περισσότεραTeória pravdepodobnosti
2. Podmienená pravdepodobnosť Katedra Matematických metód Fakulta Riadenia a Informatiky Žilinská Univerzita v Žiline 23. februára 2015 1 Pojem podmienenej pravdepodobnosti 2 Nezávislosť náhodných udalostí
Διαβάστε περισσότεραC. Kontaktný fasádny zatepľovací systém
C. Kontaktný fasádny zatepľovací systém C.1. Tepelná izolácia penový polystyrén C.2. Tepelná izolácia minerálne dosky alebo lamely C.3. Tepelná izolácia extrudovaný polystyrén C.4. Tepelná izolácia penový
Διαβάστε περισσότεραPRUŽNOSŤ A PEVNOSŤ PRE ŠPECIÁLNE INŽINIERSTVO
ŽILINSKÁ UNIVERZITA V ŽILINE Fakulta špeciálneho inžinierstva Doc. Ing. Jozef KOVAČIK, CSc. Ing. Martin BENIAČ, PhD. PRUŽNOSŤ A PEVNOSŤ PRE ŠPECIÁLNE INŽINIERSTVO Druhé doplnené a upravené vydanie Určené
Διαβάστε περισσότεραMetoda hlavních komponent a její aplikace
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Mária Dubová Metoda hlavních komponent a její aplikace Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí bakalářské práce:
Διαβάστε περισσότεραPravdepodobnostné modelovanie inverznými distribučnými funkciami : Kvantilová deskriptívna analýza ako východisko ku kvantilovému modelovaniu
Katedra štatistiky, Fakulta hospodárskej informatiky, Ekonomická univerzita v Bratislave Pravdepodobnostné modelovanie inverznými distribučnými funkciami : Kvantilová deskriptívna analýza ako východisko
Διαβάστε περισσότεραAerobTec Altis Micro
AerobTec Altis Micro Záznamový / súťažný výškomer s telemetriou Výrobca: AerobTec, s.r.o. Pionierska 15 831 02 Bratislava www.aerobtec.com info@aerobtec.com Obsah 1.Vlastnosti... 3 2.Úvod... 3 3.Princíp
Διαβάστε περισσότεραLineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus
1. prednáška Lineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus Matematickým základom kvantovej mechaniky je teória Hilbertových
Διαβάστε περισσότερα6 APLIKÁCIE FUNKCIE DVOCH PREMENNÝCH
6 APLIKÁCIE FUNKCIE DVOCH PREMENNÝCH 6. Otázky Definujte pojem produkčná funkcia. Definujte pojem marginálny produkt. 6. Produkčná funkcia a marginálny produkt Definícia 6. Ak v ekonomickom procese počet
Διαβάστε περισσότεραFAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE DIPLOMOVÁ PRÁCA
FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE DIPLOMOVÁ PRÁCA Bratislava 211 Maroš Komadel Analýza horných a dolných odhadov na oceňovanie ázijských typov košíkových opcií
Διαβάστε περισσότεραBANACHOVE A HILBERTOVE PRIESTORY
BANACHOVE A HILBERTOVE PRIESTORY 1. ZÁKLADNÉ POJMY Normovaným lineárnym priestorom (NLP) nazývame lineárny (= vektorový) priestor X nad telesom IK, na ktorom je daná nezáporná reálna funkcia : X IR + (norma)
Διαβάστε περισσότερα9. kapitola Boolove funkcie a logické obvody
9. kapitola Boolove funkcie a logické obvody Priesvitka 1 Boolova algebra Elektronické obvody v počítačoch a v podobných zariadeniach sú charakterizované binárnymi vstupmi a výstupmi (rovnajúcimi sa 0
Διαβάστε περισσότερα2. prednáška. Teória množín I. množina operácie nad množinami množinová algebra mohutnosť a enumerácia karteziánsky súčin
2. prednáška Teória množín I množina operácie nad množinami množinová algebra mohutnosť a enumerácia karteziánsky súčin Verzia: 27. 9. 2009 Priesvtika: 1 Definícia množiny Koncepcia množiny patrí medzi
Διαβάστε περισσότεραFunkcie komplexnej premennej
(prezentácia k prednáške FKP/10) doc. RNDr., PhD. 1 1 ondrej.hutnik@upjs.sk umv.science.upjs.sk/analyza Prednáška 1 16. februára 2016 Podmienky Obsah nepovinná účast (!prelínanie prednášok a cvičení!)
Διαβάστε περισσότεραDerivácia funkcie. Pravidlá derivovania výrazov obsahujúcich operácie. Derivácie elementárnych funkcií
Derivácia funkcie Derivácia funkcie je jeden z najužitočnejších nástrojov, ktoré používame v matematike a jej aplikáciách v ďalších odboroch. Stručne zhrnieme základné informácie o deriváciách. Podrobnejšie
Διαβάστε περισσότεραObsah. 1.1 Základné pojmy a vzťahy Základné neurčité integrály Cvičenia Výsledky... 11
Obsah Neurčitý integrál 7. Základné pojmy a vzťahy.................................. 7.. Základné neurčité integrály............................. 9.. Cvičenia..........................................3
Διαβάστε περισσότεραÚvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky
Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 3 17 marca 2006 4 24 marca 2006 c RNDr Monika Molnárová, PhD Obsah 2 Sústavy lineárnych rovníc 25 21 Riešenie sústavy lineárnych rovníc
Διαβάστε περισσότεραPRIEMER DROTU d = 0,4-6,3 mm
PRUŽINY PRUŽINY SKRUTNÉ PRUŽINY VIAC AKO 200 RUHOV SKRUTNÝCH PRUŽÍN PRIEMER ROTU d = 0,4-6,3 mm èíslo 3.0 22.8.2008 8:28:57 22.8.2008 8:28:58 PRUŽINY SKRUTNÉ PRUŽINY TECHNICKÉ PARAMETRE h d L S Legenda
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické substitúcie
Goniometrické substitúcie Marta Kossaczká S goniometrickými funkciami ste sa už určite stretli, pravdepodobne predovšetkým v geometrii. Ich použitie tam ale zďaleka nekončí. Nazačiatoksizhrňme,čoonichvieme.Funkciesínusakosínussadajúdefinovať
Διαβάστε περισσότερα