Αριθμητική ολοκλήρωση συνήθων διαφορικών εξισώσεων και συστημάτων

Αριθμητική ολοκλήρωση συνήθων διαφορικών εξισώσεων και συστημάτων Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών και Χημικών ιεργασιών Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας, 38334 Βόλος Νοέμβριος 0

. Εισαγωγή Η μοντελοποίηση πολλών φυσικών φαινομένων και συστημάτων και κυρίως αυτών που εξελίσσονται στο χρόνο επιτυγχάνεται με την χρήση συνήθων διαφορικών εξισώσεων. Αρκετές κατηγορίες συνήθων διαφορικών εξισώσεων επιλύονται αναλυτικά αλλά ακόμη περισσότερες είναι αυτές που δεν επιλύονται αναλυτικά, δηλαδή δεν έχουν αναλυτικές λύσεις κλειστής μορφής και η επίλυσή τους επιτυγχάνεται μόνο αριθμητικά. Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούμε με αριθμητικές τεχνικές επίλυσης συνήθων διαφορικών εξισώσεων. Έστω μια συνήθης διαφορική εξίσωση της μορφής n dy d y d y F,y,,,, 0, n d d d (..) όπου και y η ανεξάρτητη και εξαρτημένη μεταβλητή αντίστοιχα. Η (..) έχει μοναδική λύση μόνο όταν συνοδεύεται από n συνθήκες. Εάν οι συνθήκες αυτές ορίζονται σε ένα σημείο, έστω στο σημείο 0, τότε το πρόβλημα ονομάζεται πρόβλημα αρχικών τιμών, ενώ εάν ορίζονται σε περισσότερα από ένα σημείο τότε το πρόβλημα ονομάζεται πρόβλημα οριακών τιμών. Στο παρόν κεφάλαιο θα ασχοληθούμε αποκλειστικά με προβλήματα αρχικών τιμών. Όταν έχουμε να λύσουμε ένα πρόβλημα αρχικών τιμών n τάξης, συνήθως αντικαθιστούμε την συνήθη διαφορική εξίσωση με n εξισώσεις ης τάξης. Αυτό επιτυγχάνεται προσδιορίζοντας n- νέες εξαρτημένες μεταβλητές. Αντίστοιχα οι n- αρχικές συνθήκες για τις παραγώγους της άγνωστης εξαρτημένης μεταβλητής αντικαθίστανται με αρχικές συνθήκες για τις n- νέες εξαρτημένες μεταβλητές του συστήματος. Θέτοντας

y y y dy d n d y d n d y d προκύπτει το σύστημα y' y y' y' y y n n F,y,y y, y,y', n n 0 (..) (..3) Παράδειγμα: Έστω η εξίσωση Bessel ης τάξης d y dy p 0 (..4) d d όπου p μια σταθερά. Θέτοντας εξισώσεων ης τάξης dy g d dg d 0 g p y g dy d προκύπτει το σύστημα δύο (..5) Επομένως αφού στην περίπτωση προβλημάτων αρχικών τιμών, μια εξίσωση n τάξης μπορεί να αντικατασταθεί από σύστημα n εξισώσεων ης τάξης θα ασχοληθούμε αρχικά με την επίλυση εξισώσεων και στη συνέχεια συστημάτων ης τάξης. Οι βασικές κατηγορίες μεθόδων επίλυσης συνήθων διαφορικών εξισώσεων ης τάξης ταξινομούνται ως εξής: 3

Α. Πρόβλημα αρχικών τιμών. Μέθοδοι ενός βήματος (Euler, Runge Kutta). Μέθοδοι πολλών βημάτων Β. Προβλήματα οριακών τιμών. Μέθοδος πεπερασμένων διαφορών. Μέθοδος πεπερασμένων όγκων Στο κεφάλαιο αυτό όπως προαναφέραμε θα ασχοληθούμε με την επίλυση προβλημάτων αρχικών τιμών, εφαρμόζοντας μεθόδους ενός βήματος. Προβλήματα οριακών τιμών θα εξετασθούν στο Κεφάλαιο 3 παράλληλα με την εισαγωγή της μεθόδου των πεπερασμένων διαφορών. Σημειώνεται ότι στη περίπτωση των προβλημάτων οριακών τιμών η αντικατάσταση της διαφορικής εξίσωσης με σύστημα δεν είναι εφικτή, επειδή η φυσική σημασία και η μαθηματική διατύπωση των δύο προβλημάτων δεν είναι ισοδύναμη.. Μέθοδος Euler Έστω το πρόβλημα αρχικών τιμών dy f,y d (..) y y (..) 0 0 Από την εξ. (..) είναι προφανές ότι για κάθε ζεύγος σημείων * * * *,y η συνάρτηση άγνωστης συνάρτησης 0 f,y ταυτίζεται με τη κλίση της y στο σημείο *. Για παράδειγμα dy f,y 0 0 f,y 0 0 (..3) d Η μέθοδος Εuler βασίζεται στην υπόθεση ότι για μια μικρή απόσταση κατά μήκος του άξονα η κλίση της συνάρτησης y είναι σταθερή με τιμή ίση με τη τιμή της κλίσης στην αρχή του 4

διαστήματος. Αναπτύσσοντας την y σε σειρά Taylor γύρω από το σημείο 0 έχουμε dy dy 0 0 0 y y (..4) d d Εφαρμόζοντας την βασική υπόθεση της μεθόδου Euler στην πρώτη παράγωγο της (..4) και αποκόβοντας τους όρους από ης επάνω προκύπτει η σχέση y 0 y 0 f 0, y0 Έχοντας υπολογίσει την τιμή y y 0 τάξης και (..5) επαναλαμβάνεται και έχουμε y y f,y η διαδικασία 0 (..6) Θεωρώντας ότι κάθε φορά προχωρούμε στον άξονα κατά ένα βήμα η μέθοδος Euler γράφεται στη γενική μορφή y y y f,y, 0,,, (..7) ή στην απλούστερη μορφή y y f, y O, 0,,, (..8) Η (..8) έχει ρητή μορφή, δηλαδή η άγνωστη ποσότητα βρίσκεται μόνο στην αριστερή πλευρά της αναγωγικής σχέσης. Η γεωμετρική αναπαράσταση της μεθόδου Euler είναι απλούστατη και φαίνεται στο Σχήμα. όπου y και y στο σημείο αποτελεσματική μόνο όταν η συνάρτηση στο διάστημα y είναι η αναλυτική και αριθμητική τιμή της. Είναι προφανές ότι η μέθοδος θα είναι y είναι ομαλή και η κλίση της παραμένει περίπου σταθερή και ίση με την κλίση της y στην αρχή του διαστήματος. 5

Σχήμα.: Γεωμετρική ερμηνεία της μεθόδου Euler Παράδειγμα: Έστω η διαφορική εξίσωση y' y, Η αναλυτική λύση είναι με αρχική συνθήκη 0 y 0 y 0. y e. Επιλέγοντας 0., εφαρμόζουμε την μέθοδο Euler και προκύπτει ο παρακάτω πίνακας αποτελεσμάτων: Αριθμός Αριθμητική Αναλυτική Απόλυτο βήματος λύση y f,y λύση y σφάλμα y y 0 0 0 0 0 0 0. 0 0. 0.005-0.005 0. 0.0 0. 0.04-0.04 3 0.3 0.03 0.33 0.0499-0.089 4 0.4 0.064 0.464 0.098-0.077 0.0 0.5937.5937 0.783-0.46 6

Όπως προκύπτει από την τελευταία στήλη του πίνακα το απόλυτο σφάλμα αυξάνει σε κάθε βήμα της μεθόδου. Όπως θα δούμε παρακάτω το τοπικό σφάλμα της μεθόδου Euler είναι O αλλά το συνολικό σφάλμα είναι O. Στο σημείο αυτό είναι χρήσιμο να ξανά-διατυπώσουμε την μέθοδο Euler εφαρμόζοντας αριθμητική ολοκλήρωση αντί για αριθμητική παραγώγιση (σειρά Taylor). Έστω ότι επιλύουμε το ίδιο πρόβλημα αρχικών τιμών όπως περιγράφεται από την εξίσωση (..) και την συνθήκη (..), στο διάστημα,. 0 N Επιλέγουμε το μέγεθος από τη σχέση N N 0 (..9) όπου N είναι ο αριθμός των ίσων διαστημάτων που διαιρείται το διάστημα 0 N, και 0, 0,,,N. Στη συνέχεια ολοκληρώνουμε αναλυτικά την διαφορική εξίσωση κατά μήκος των N υπό-διαστημάτων και έχουμε 0 N y y f,y d 0 y y f,y d N y y f,y d y y f,y d. N N (..0) 7

Βεβαίως ο αναλυτικός υπολογισμός των εκφράσεων (..0) δεν είναι εφικτός, αφού οι συναρτήσεις f,y δεν είναι γνωστές στα υπόδιαστήματα ολοκλήρωσης. Εδώ ακριβώς, εισάγεται η βασική υπόθεση της μεθόδου Euler όπου υποθέτουμε ότι η τιμή της συνάρτησης f,y σε κάθε υπό-διάστημα παραμένει σταθερή και ίση με την τιμή της f,y στην αρχή του υπό-διαστήματος. Η προσέγγιση αυτή είναι αντίστοιχη με την μεθοδολογία αριθμητικής ολοκλήρωσης I, ακρίβειας O. Επομένως τώρα τα ολοκληρώματα στην ακολουθία (..0) υπολογίζονται προσεγγιστικά και προκύπτει η αναγωγική έκφραση (..8) της μεθόδου Euler. Είναι προφανές ότι η ακρίβεια της μεθόδου Euler βελτιώνεται εάν βελτιωθεί η ακρίβεια της αριθμητικής ολοκλήρωσης σε κάθε υπό-διάστημα. Για παράδειγμα εάν η αριθμητική ολοκλήρωση I αντικατασταθεί με αριθμητική ολοκλήρωση I, δηλαδή κανόνα του τραπεζίου, βρίσκουμε την αναγωγική έκφραση 3 y y f,y f,yo. (..) Η (..) έχει πεπλεγμένη μορφή, δηλαδή η άγνωστη ποσότητα βρίσκεται και στις δύο πλευρές της αναγωγικής σχέσης. Στις περιπτώσεις αυτές η άγνωστη ποσότητα προκύπτει μετά από επαναληπτική διαδικασία που σταματά όταν ικανοποιηθεί το κριτήριο σύγκλισης. Επομένως η (..) γράφεται στη μορφή y y f,y f,y (n ) (n) (..) όπου ο δείκτης n σε παρένθεση είναι ο δείκτης επανάληψης. Είναι προφανές ότι η αριθμητική προσπάθεια αυξάνει σημαντικά, αφού κάθε βήμα συνοδεύεται από ένα αναγκαίο αριθμό επαναλήψεων ώστε να βελτιωθεί η τιμή y που προκύπτει μετά την πρώτη επανάληψη. Ο αλγόριθμος (..) είναι γνωστός σαν πεπλεγμένη Euler ή μέθοδος Heun. 8

Επιλέγοντας άλλα σχήματα αριθμητικής ολοκλήρωσης οδηγούμεθα σε αντίστοιχα σχήματα αριθμητικής επίλυσης συνήθων διαφορικών εξισώσεων. Για το λόγο αυτό πολλές φορές όταν αναφερόμεθα σε μεθόδους επίλυσης συνήθων διαφορικών εξισώσεων έχει επικρατήσει ο όρος αριθμητική ολοκλήρωση συνήθων διαφορικών εξισώσεων. 3. Μέθοδοι Runge-Kutta Πρόκειται για οικογένεια μεθόδων ενός βήματος με την έννοια ότι η τιμή της εξαρτημένης τιμής στο τέλος του βήματος, όπως και στη μέθοδο Euler, εξαρτάται μόνο από την πληροφορία που αντλείται μέσα από το συγκεκριμένο βήμα. ηλαδή η τιμή y εξαρτάται μόνο από την τιμή και άλλες τιμές της y στο διάστημα,. y Η απλούστερη όλων είναι η Runge-Kutta ης τάξης που δίδεται από τη σχέση y y f,y f,y f,y. (.3.) Η (..3) προκύπτει εφαρμόζοντας την μέθοδο Euler δύο φορές ή την πεπλεγμένη Euler για μία μόνο επανάληψη. Πρώτα υπολογίζουμε την ενδιάμεση τιμή ŷ y f,y (.3.) και στη συνέχεια την τελική τιμή y ˆ y f,y f,y. (.3.3) Η Runge-Kutta ης τάξης συνοψίζεται στον αλγόριθμο k f,y k f,y k y y k k (.3.4) με 0,,. Ο αλγόριθμος γίνεται εύκολα κατανοητός από την γεωμετρική του αναπαράσταση που φαίνεται στο Σχήμα.. 9

Σχήμα.: Γεωμετρική ερμηνεία της μεθόδου Runge-Kutta ης τάξης Οι Runge-Kutta μεγαλύτερης τάξης προκύπτουν με παρόμοιο τρόπο εφαρμόζοντας μεθόδους αριθμητικής ολοκλήρωσης μεγαλύτερης τάξης. Ο αλγόριθμος της Runge-Kutta 3 ης τάξης, εφαρμόζοντας τον ο κανόνα του Smpson, δίδεται από τις σχέσεις k f,y k f,y k k f,y k 3 y y k 4k k 6 3 (.3.5) με 0,,. Οι ποσότητες k,k,k 3 προσεγγίζουν τις παραγώγους της εξαρτημένης μεταβλητής στα σημεία,, αντίστοιχα του υπό- διαστήματος,. 0

Η γενική μορφή των μεθόδων Runge-Kutta 4 ης τάξης είναι y y ak bk ck dk 3 4 (.3.6) όπου οι ποσότητες k,k,k,k dy 3 4 είναι προσεγγιστικές τιμές της d διαφορετικά σημεία του υπό-διαστήματος Runge-Kutta 4 ης τάξης είναι οι αλγόριθμοι k f,y k f,y k k3 f,y k k4 f,y k3 y y k k k k 6 3 4 και k f,y k f,y k 3 3 k3 f,y k 3 3 k4 f,y k3 y y k 3k 3k k 8 3 4,. σε Οι πλέον δημοφιλείς (.3.7) (.3.8) Όλοι οι αλγόριθμοι Runge-Kutta έχουν ρητό χαρακτήρα. Το συσσωρευμένο σφάλμα της κάθε μεθόδου Runge-Kutta είναι αντίστοιχο με την τάξη της μεθόδου.

4. Συστήματα διαφορικών εξισώσεων Έστω ότι έχουμε ένα σύστημα n εξισώσεων ης τάξης dy f,y,,yn d dy f,y,,y d dyn fn,y,,y d με αρχικές συνθήκες στο σημείο 0 y y 0 0, y y 0, 0 y y n 0 n, 0 n n (.4.) (.4.) Η επίλυση ενός συστήματος εξισώσεων με βάση τις μεθόδους που έχουν αναπτυχθεί δεν έχει επιπλέον θεωρητικές δυσκολίες από ότι στη περίπτωση των απλών εξισώσεων. Βεβαίως οι αναγκαίοι υπολογισμοί είναι περισσότεροι και ο προγραμματισμός γίνεται πιο σύνθετος. Παράδειγμα: d y z y e d, ' y 0, d y d z y e, z 0 0, ' Εισάγουμε τις εξαρτημένες μεταβλητές y y 0 (.4.3α) z 0 0 (.4.3β) y, y ' y, y3 ' z και y4 z και το αρχικό σύστημα μετατρέπεται σε ένα σύστημα ης εξισώσεων με τέσσερις αρχικές συνθήκες: y y y 0 ' y y y e ' 3 y 0 τάξης τεσσάρων

y y y 3 0 0 ' 3 4 y y y e ' 4 3 y 0 0 4 (.4.4) Αρχικά εφαρμόζουμε τον αλγόριθμο Euler για 0.. Επομένως y 0. y 0 y 0 08. 0 y 0. y 0 y3 0 y 0 e y 0. y 0 y 0 0 3 3 4 0 y 4 0. y4 0 y3 0 y 0 e 0. (.4.5) Η διαδικασία συνεχίζεται βήμα - βήμα για όσα βήματα κρίνεται αναγκαίο. Σημειώνεται ότι οι συναρτήσεις y και y 3 αντιστοιχούν στις αρχικές άγνωστες εξαρτημένες μεταβλητές y και z, ενώ οι συναρτήσεις y 3 και y 4 στις παραγώγους τους. Επαναλαμβάνουμε τη επίλυση του παραδείγματος εφαρμόζοντας τώρα την μέθοδο Runge-Kutta ης τάξης για 0.. Τώρα οι ποσότητες k και k είναι διανύσματα τεσσάρων στοιχείων, όπου το κάθε στοιχείο συνδέεται με την αντίστοιχη άγνωστη εξαρτημένη μεταβλητή: k y 0 3 y 00 k y 0 y 0 e 0 k 0 3 4 k 4 y 0 y 0 e 0 3 και 0. 0 0 k y 0. y 0 k 0. * 0 k y. y. e 3 0. y3 k y k e. 0. 4 0 0 0 3 0 0465 k 3 y 0. y 0 k 4 00. * 0. 4 4 k y. y. e 3 y k y k e. 0. 3 0 3 0 705 (.4.6) (.4.7) 3

Τελικά μετά από ένα βήμα οι τιμές των εξαρτημένων μεταβλητών είναι: 3 4 y 0. 005. 095. y 0. 0. 05 0 0. 465. 977 y 0. 0 005. 0 0. 0. y 0. 0 0. 05. 705 0. 855 (.4.8) Έχοντας σαν βάση την παραπάνω επεξεργασία ο αναγνώστης, για να εξοικειωθεί με τη διαδικασία, μπορεί να επιλύσει το σύστημα των τεσσάρων διαφορικών εξισώσεων με Runge-Kutta 3 ης και 4 ης τάξης. Σημειώνεται ότι η f,y,y,y,y, κάθε εξαρτημένη μεταβλητή της συνάρτησης j 3 4 j 34,,, στη δεξιά πλευρά του συστήματος βελτιώνεται με τις «δικά της» k. Στη γενική περίπτωση ενός συστήματος με j,,,j εξισώσεις ο πρώτος από τους δύο αλγορίθμους Runge-Kutta 4 ης τάξης, στους οποίους αναφερθήκαμε, γράφεται ως εξής: y j, y j, kj, kj, kj, 3 k j, 4, 6 0,,, (.4.9) όπου k f,y,y,,y j, j J ŷj yj kj, k f,y ˆ,y ˆ,,y ˆ yj yj kj, k f,y,y,,y y y k j, j J j, 3 j J j j j, 3 k f,y,y,,y j, 4 j J (.4.0) 4

5. Σφάλματα, διάδοση σφαλμάτων, ευστάθεια και σύγκλιση Το σφάλμα συνάρτησης ανάμεσα στην αριθμητική και αναλυτική τιμή της y στον κόμβο ορίζεται από το μέτρο της διαφοράς y y (.5.) όπου y και y η αριθμητική και αναλυτική τιμή της αντίστοιχα. y στο σημείο Για να μελετήσουμε το σφάλμα της μεθόδου Euler, επιλύουμε την (.5.) για την αριθμητική τιμή και την αντικαθιστούμε στην σχέση (..8). Η επεξεργασία αυτή μας οδηγεί στη σχέση y y f,y O (.5.) Στη συνέχεια αναπτύσσουμε σε σειρά Taylor τον όρο f f,y f,y y y y (.5.3) και αντικαθιστώντας την (.5.3) στην (.5.) προκύπτει ότι το σφάλμα στο βήμα συνδέεται με το σφάλμα στο βήμα με τη σχέση f O y y y (.5.4) Ο πρώτος όρος στο δεξί τμήμα της (.5.4) υποδηλώνει την συνεισφορά του σφάλματος του βήματος στο σφάλμα του βήματος, ενώ ο δεύτερος όρος υποδηλώνει το τοπικό σφάλμα αποκοπής. Επομένως, ενώ το τοπικό σφάλμα είναι ης μετά από βήματα, είναι ης τάξης. τάξης το συνολικό σφάλμα της μεθόδου Euler, Επίσης από την (.5.4) προκύπτει ότι εάν σε κάθε βήμα ισχύει η ανισότητα f y y y (.5.5) 5

τότε το σφάλμα παραμένει πεπερασμένο και μάλιστα μειώνεται καθώς αυξάνει ο αριθμός των βημάτων. Στη περίπτωση αυτή λέμε ότι η μέθοδος f y είναι ευσταθής. Εάν η παράγωγος 0 τότε μπορούμε να ορίσουμε το f εύρος τιμών για το βήμα ώστε να ισχύει η (.5.5). Αντίθετα εάν 0 y τότε η ανισότητα (.5.5) δεν ισχύει για οποιαδήποτε τιμή του βήματος. Στη περίπτωση αυτή f y y y (.5.6) και το σφάλμα αυξάνει συνεχώς και λέμε ότι η μέθοδος είναι ασταθής. Το ερώτημα που πρέπει να απαντηθεί είναι εάν η συνεχής αύξηση του σφάλματος συνεπάγεται και αστοχία της αριθμητικής μεθόδου. Η απάντηση είναι: Όχι απαραίτητα. Πρέπει να ελεγχθεί η συμπεριφορά της αναλυτικής λύσης καθώς αυξάνουν οι τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής. Εάν η λύση του προβλήματος είναι φθίνουσα συνάρτηση ως προς, τότε βεβαίως τα αριθμητικά αποτελέσματα είναι εσφαλμένα. Αντίθετα εάν η λύση του προβλήματος είναι αύξουσα συνάρτηση ως προς, τότε ο πιο σημαντικός παράγοντας δεν είναι οι πεπερασμένες τιμές του απολύτου σφάλματος αλλά οι τιμές του σχετικού σφάλματος σημαντικά. y να μην μεγαλώνουν Στην έννοια της σύγκλισης θα αναφερθούμε με λεπτομέρεια σε επόμενα κεφάλαια. Όμως στο σημείο αυτό είναι χρήσιμο να δώσουμε το σχετικό ορισμό. Λέμε ότι μία αριθμητική μέθοδος συγκλίνει όταν το σφάλμα, 0,,, τείνει στο μηδέν, καθώς το διάστημα τείνει επίσης στο μηδέν: lm 0 (.5.7) 0 ηλαδή η αριθμητική λύση ανάγεται στην συνεχή λύση καθώς το διακριτοποιημένο πρόβλημα ανάγεται στο συνεχές πρόβλημα. 6

Για τη μελέτη ευστάθειας των άλλων μεθόδων αριθμητικής ολοκλήρωσης συνήθων διαφορικών εξισώσεων, απλουστεύουμε την μαθηματική επεξεργασία και εξετάζουμε την ευστάθειά τους με βάση την γραμμικοποιημένη εξίσωση dy d. (.5.8) y Στη περίπτωση αυτή εύκολα προκύπτει από την (.5.5) ότι το κριτήριο ευστάθειας της μεθόδου Euler είναι. (.5.9) Η ανισότητα (.5.9), για ισχύει όταν R ισχύει όταν 0, ενώ για C R I. Άρα η μέθοδος είναι ευσταθής εφόσον η ποσότητα βρίσκεται εντός του κύκλου με κέντρο 0, και ακτίνα του μιγαδικού επιπέδου. Τo κριτήριο ευστάθειας της μεθόδου Runge-Kutta ης τάξης, όταν αυτή εφαρμοσθεί στην (.5.8), προκύπτει ως εξής: (.5.0) Από τη σχέση (.5.0) συνεπάγεται ότι το σφάλμα παραμένει μικρό όταν (.5.) Με τον ίδιο τρόπο προκύπτει ότι τα κριτήρια ευστάθειας των Runge- Kutta 3 ης και 4 ης τάξης είναι 3 3 (.5.) 6 και 3 3 4 4 (.5.3) 6 4 7

αντίστοιχα. Εάν το R οι σχέσεις (.5.-.5.3) οδηγούν στις παρακάτω ανισότητες που είναι ενδεικτικές για το εύρος τιμών που επιτρέπεται να πάρει το βήμα ώστε το αριθμητικό σχήμα να είναι ευσταθές: Runge-Kutta ης τάξης: 0 Runge-Kutta 3 ης τάξης: 5. 0 Runge-Kutta 4 ης τάξης:. 785 0 (.5.4) Επίσης εφαρμόζοντας την ίδια μεθοδολογία στον αλγόριθμο (..) προκύπτει ότι η πεπλεγμένη Euler, εφαρμοζόμενη στην γραμμική εξίσωση (.5.8) για R είναι ευσταθής όταν ισχύουν οι παρακάτω συνθήκες: 0 για 0 και 0 για 0 (.5.5) Τονίζεται ότι σε όλες τις περιπτώσεις οι μέθοδοι είναι ευσταθείς μόνο όταν 0. Εάν το C, οι αντίστοιχες περιοχές ευστάθειας θα πρέπει να αναζητηθούν στο μιγαδικό επίπεδο και απεικονίζονται στο Σχήμα.3. Υπενθυμίζουμε ότι τα αποτελέσματα αυτά προκύπτουν ικανοποιώντας τις ανισότητες (.5.-.5.3) και ότι ισχύουν μόνο για διαφορικές εξισώσεις της μορφής (.5.8). Γενικά καθώς αυξάνει η τάξη ακρίβειας της αριθμητικής μεθόδου ολοκλήρωσης συνήθων διαφορικών εξισώσεων αυξάνει και η ευστάθεια της μεθόδου, επιτρέποντας το βήμα ολοκλήρωσης να παίρνει μεγαλύτερες τιμές. Το ζητούμενο σε κάθε περίπτωση είναι η ανάπτυξη αριθμητικών μεθόδων υψηλής ακρίβειας και ευστάθειας. υστυχώς τις περισσότερες φορές κάτι τέτοιο είναι δύσκολο και ανάλογα με την εφαρμογή και τις υπολογιστικές δυνατότητες που έχουμε θυσιάζουμε την ακρίβεια προς όφελος της ευστάθειας ή το αντίθετο. 8

Σχήμα.3: Περιοχές ευστάθειας στο μιγαδικό επίπεδο των μεθόδων Euler και Runge-Kutta ης, 3 ης και 4 ης τάξης. 6. Προγράμματα σε Fortran και παραδείγματα program ntal_value_problems! Solve: y'=-y/, y[]=0 mplct none real:: real,allocatable,dmenson(:)::,y nteger::,metod,n=0! number of teratons allocate((n),y(n)) ()= y()=0 =0.!startng pont!ntal value metod=!=euler, =rk, 3=rk3, 4=rk4 select case (metod) case () call euler(,y,,n) 9

case () call rk(,y,,n) case (3) call rk3(,y,,n) case (4) call rk4(,y,,n) end select do =,n prnt*,,(),y(),f(()),abs(f(())-y()) contans subroutne euler(,y,,n) real::(:),y(:), nteger::,n do =,n- y(+)=y()+*f((),y()) (+)=()+ end subroutne euler subroutne rk(,y,,n) real::(:),y(:),,k,k nteger::,n do =,n- k=f((),y()) k=f(()+,y()+*k) y(+)=y()+(/)*(k+k) (+)=()+ end subroutne rk subroutne rk3(,y,,n) real::(:),y(:),,k,k,k3 nteger::,n do =,n- k=f((),y()) k=f(()+0.5*,y()+0.5**k) k3=f(()+,y()+*k) y(+)=y()+(/6)*(k+4*k+k3) (+)=()+ end subroutne rk3 subroutne rk4(,y,,n) real::(:),y(:),,k,k,k3,k4 nteger::,n 0

do =,n- k=f((),y()) k=f(()+0.5*,y()+0.5**k) k3=f(()+0.5*,y()+0.5**k) k4=f(()+,y()+*k3) y(+)=y()+(/6)*(k+*k+*k3+k4) (+)=()+ end subroutne rk4 real functon f(,y) result(z) real,ntent(n)::,y z=-(y/) end functon f real functon f() result(y)!analytc soluton real,ntent(n):: y=((**)/3)-(/(3*)) end functon f end program ntal_value_problems program ntal_value_problems_system! Solve: 5y''+y'+.5y=0, y[0]=5, y'[0]=0 As8ens aposbes mplct none real::, real,allocatable,dmenson(:)::z,z nteger::,metod,n=0! number of teratons allocate(z(n),z(n)) =0 z()=5 z()=0 =0.!startng pont!ntal value metod=!=euler, =rk, 3=rk3, 4=rk4 select case (metod) case () call euler(z,z,,n) case () call rk(z,z,,n) case (3) call rk3(z,z,,n) case (4) call rk4(z,z,,n) end select

do =,n prnt*,,,z(),f(),abs(f()-z()) =+ contans subroutne euler(z,z,,n) real::z(:),z(:), nteger::,n do =,n- z(+)=z()+*f(z(),z()) z(+)=z()+*g(z(),z()) end subroutne euler subroutne rk(z,z,,n) real::z(:),z(:),,k,k,k,k nteger::,n do =,n- k=f(z(),z()) k=g(z(),z()) k=f(z()+*k,z()+*k) k=g(z()+*k,z()+*k) z(+)=z()+(/)*(k+k) z(+)=z()+(/)*(k+k) end subroutne rk subroutne rk3(z,z,,n) real::z(:),z(:),,k,k,k3,k,k,k3 nteger::,n do =,n- k=f(z(),z()) k=g(z(),z()) k=f(z()+0.5**k,z()+0.5**k) k=g(z()+0.5**k,z()+0.5**k) k3=f(z()+*k,z()+*k) k3=g(z()+*k,z()+*k) z(+)=z()+(/6)*(k+4*k+k3) z(+)=z()+(/6)*(k+4*k+k3) end subroutne rk3 subroutne rk4(z,z,,n) real::z(:),z(:),,k,k,k3,k4,k,k,k3,k4 nteger::,n do =,n- k=f(z(),z())

k=g(z(),z()) k=f(z()+0.5**k,z()+0.5**k) k=g(z()+0.5**k,z()+0.5**k) k3=f(z()+0.5**k,z()+0.5**k) k3=g(z()+0.5**k,z()+0.5**k) k4=f(z()+*k3,z()+*k3) k4=g(z()+*k3,z()+*k3) z(+)=z()+(/6)*(k+*k+*k3+k4) z(+)=z()+(/6)*(k+*k+*k3+k4) end subroutne rk4 real functon f(,y) result(z) real,ntent(n)::,y z=y end functon f real functon g(,y) result(z) real,ntent(n)::,y z=-(*y+.5*)/5 end functon g real functon f(t) result(y)!analytc soluton real,ntent(n)::t y=(5.*cos(0.5099095359785*t)+.966353884*sn(0.509909535 9785*t))*Ep(-0.*t) end functon f end program ntal_value_problems_system program ntal_value_problems_system! y''-y'+y=ep(t)sn(t), y(0)=-0.4, y'[0]=-0.6 mplct none real:: real,allocatable,dmenson(:)::z,z, nteger::,metod,n=0! number of teratons allocate((n),z(n),z(n)) do metod=,4!=euler, =rk, 3=rk3, 4=rk4 ()=0!startng pont z()=-0.4!ntal value z()=-0.6!ntal value =0. select case (metod) case () call euler(,z,z,,n) case () 3

call rk(,z,z,,n) case (3) call rk3(,z,z,,n) case (4) call rk4(,z,z,,n) end select prnt*, '--------------------',metod,'----------------------' do =,n end do contans prnt*,,(),z(),f(()),abs(f(())-z()) subroutne euler(,z,z,,n) real::(:),z(:),z(:), nteger::,n do =,n- z(+)=z()+*f((),z(),z()) z(+)=z()+*g((),z(),z()) (+)=()+ end subroutne euler subroutne rk(,z,z,,n) real::(:),z(:),z(:),,k,k,k,k nteger::,n do =,n- k=f((),z(),z()) k=g((),z(),z()) k=f(()+,z()+*k,z()+*k) k=g(()+,z()+*k,z()+*k) (+)=()+ z(+)=z()+(/)*(k+k) z(+)=z()+(/)*(k+k) end subroutne rk subroutne rk3(,z,z,,n) real::(:),z(:),z(:),,k,k,k3,k,k,k3 nteger::,n do =,n- k=f((),z(),z()) k=g((),z(),z()) k=f(()+0.5*,z()+0.5**k,z()+0.5**k) k=g(()+0.5*,z()+0.5**k,z()+0.5**k) k3=f(()+,z()+*k,z()+*k) k3=g(()+,z()+*k,z()+*k) 4

(+)=()+ z(+)=z()+(/6)*(k+4*k+k3) z(+)=z()+(/6)*(k+4*k+k3) end subroutne rk3 subroutne rk4(,z,z,,n) real::(:),z(:),z(:),,k,k,k3,k4,k,k,k3,k4 nteger::,n do =,n- k=f((),z(),z()) k=g((),z(),z()) k=f(()+0.5*,z()+0.5**k,z()+0.5**k) k=g(()+0.5*,z()+0.5**k,z()+0.5**k) k3=f(()+0.5*,z()+0.5**k,z()+0.5**k) k3=g(()+0.5*,z()+0.5**k,z()+0.5**k) k4=f(()+,z()+*k3,z()+*k3) k4=g(()+,z()+*k3,z()+*k3) (+)=()+ z(+)=z()+(/6)*(k+*k+*k3+k4) z(+)=z()+(/6)*(k+*k+*k3+k4) end subroutne rk4 real functon f(,,3) result(z) real,ntent(n)::,,3 z=3 end functon f real functon g(,,3) result(z) real,ntent(n)::,,3 z=ep(*)*sn()+*3-* end functon g real functon f(t) result(y)!analytc soluton real,ntent(n)::t y= - 0.5*Ep(*t)*Cos(t) + 0.*Ep(*t)*Cos(t)*Cos(*t) - & 0.*Ep(*t)*Cos(*t)*Sn(t) + 0.*Ep(*t)*Cos(t)*Sn(*t) + & 0.*Ep(*t)*Sn(t)*Sn(*t) end functon f end program ntal_value_problems_system 5

Αναφορές: Brce Carnaan, H. A. Luter, James O. Wlkes, Appled Numercal Metods (Capter 6), Jon Wley & Sons, 969. Alks Constantndes, Appled Numercal Metods wt Personal Computes (Capter 5), McGraw Hll Int. Edtons, 988. Γεώργιος Ακρίβης, Βασίλειος ουγαλής, Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, 998. Στέφανος Τραχανάς, Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, 995. 6