Βειηησκέλεο Μέζνδνη Δπίιπζεο Θεκειησδώλ Πξνβιεκάησλ Ναπζηπινΐαο

Βειηησκέλεο Μέζνδνη Δπίιπζεο Θεκειησδώλ Πξνβιεκάησλ Ναπζηπινΐαο Αζαλάζηνο Ηι. Παιιεθάξεο Αλάηππν από ηελ έθδνζε: Nausivios Chora, A Journal in Naval Science and Technology ISSN: 79-4469, Hellenic Naval Academy 00. Τεύρνο 3/00 Copyright Hellenic Naval Academy 00 Αλαηύπωζε κε κηθξέο δηνξζώζεηο: Δεθέκβξηνο 0

Ανάηςπο από ηην έκδοζη: Nausivios Chora, A Journal in Naval Science and Technology ISSN: 79-4469. Hellenic Naval Academy 00 Τεύσορ 3/00 (Σελίδες 9-65) Απαγοπεύεηαι η ανηιγπαθή, αποθήκεςζη και διανομή ηος παπόνηορ, εξ ολοκλήπος ή ημήμαηορ αςηού, για εμποπικό ζκοπό. Δπιηπέπεηαι η αναηύπωζη, αποθήκεςζη και διανομή για ζκοπό µη κεπδοζκοπικό, εκπαιδεςηικήρ ή επεςνηηικήρ θύζηρ, ςπό ηην πποϋπόθεζη να αναθέπεηαι η πηγή πποέλεςζηρ και να διαηηπείηαι ηο παπόν μήνςμα Δπωηήμαηα πος αθοπούν ηη σπήζη ηηρ επγαζίαρ για κεπδοζκοπικό ζκοπό ππέπει να απεςθύνονηαι ππορ ηον εκδόηη. Copyright Hellenic Naval Academy 00 ISSN: 79-4469

Βειηησκέλεο Μέζνδνη Δπίιπζεο Θεκειησδώλ Πξνβιεκάησλ Ναπζηπινΐαο Αζαλάζηνο Ηι. Παιιεθάξεο Σρνιή Ναπηηθώλ Δνθίκωλ. Εξγαζηήξην Ναπηηιίαο θαη Θαιάζζηωλ Επηζηεκώλ Λεωθόξνο Φαηδεθπξηαθνύ, Φαηδεθπξηάθεην, Πεηξαηάο, TK 8539. palikaris@snd.edu.gr. Πεξίιεςε. ηελ παξνύζα κειέηε παξνπζηάδνληαη θαη αμηνινγνύληαη νη παξαδνζηαθέο κέζνδνη επίιπζεο ησλ ζεκειησδώλ πξνβιεκάησλ λαπζηπινΐαο (επζύ θαη αληίζηξνθν πξόβιεκα πινπ), νη νπνίεο πξνηείλνληαη ζηα θιαζηθά ζπγγξάκκαηα λαπζηπινΐαο, θαζώο θαη λεόηεξεο κέζνδνη αθξηβέζηεξεο επίιπζεο ζην ζθαηξνεηδέο. Πξνηείλνληαη λέεο κέζνδνη αθξηβέζηεξεο θαη επρεξέζηεξεο επίιπζεο ησλ πξνβιεκάησλ ηνπ ινμνδξνκηθνύ πινπ θαη ηνπ πινπ ζηε κέγηζηε έιιεηςε, νη νπνίεο είλαη θαηάιιειεο ηόζν γηα ηελ αλάπηπμε λαπηηιηαθνύ ινγηζκηθνύ, όζν θαη γηα ρξήζε κε πξνγξακκαηηδόκελνπο ππνινγηζηέο ρεηξόο. Ζ αμηνπηζηία θαη ε αθξίβεηα ησλ πξνηεηλόκελσλ κεζόδσλ ηεθκεξηώζεθε κε ηελ εθηέιεζε ζπγθξηηηθήο αμηνιόγεζεο ησλ αξηζκεηηθώλ απνηειεζκάησλ επίιπζεο ησλ πξνβιεκάησλ ινμνδξνκηθνύ θαη νξζνδξνκηθνύ πινπ ηεο παξαδνζηαθήο λαπηηιίαο, ινμνδξνκηθνύ πινπ ζηε ζθαίξα θαη ζην ζθαηξνεηδέο, πινπ ζηε γεσδαηζηαθή γξακκή θαη πινπ ζηε κέγηζηε έιιεηςε. Καηά ηε ζπγθξηηηθή απηή αμηνιόγεζε δηαπηζηώζεθε όηη νη κέζνδνη πνπ πξνηείλνληαη ζηα ζπγγξάκκαηα, ηα νπνία ρξεζηκνπνηνύληαη ζηε λαπηηθή εθπαίδεπζε παξέρνπλ απνηειέζκαηα, ηα νπνία γηα πιόεο πνιύ κεγάισλ απνζηάζεσλ, εκπεξηέρνπλ ζθάικαηα ηεο ηάμεο ησλ δεθάδσλ λαπηηθώλ κηιίσλ. Δθηόο από ηελ επρεξέζηεξε θαη αθξηβέζηεξε επίιπζε ησλ πξνβιεκάησλ ηνπ ινμνδξνκηθνύ πινπ ζην ζθαηξνεηδέο θαη ηνπ πινπ ειάρηζηεο απόζηαζεο ζην κέγηζην ειιεηπηηθό ηόμν, κε ηηο πξνηεηλόκελεο κεζόδνπο θαη αιγόξηζκνπο επηηπγράλεηαη θαη ν ππνινγηζκόο ησλ γεσγξαθηθώλ ζπληεηαγκέλσλ κεγάινπ αξηζκνύ ελδηάκεζσλ ζεκείσλ πινπ γηα ηελ αθξηβή ππνηύπσζε ησλ δξνκνινγίσλ κεγάισλ απνζηάζεσλ ζηελ νζόλε ησλ ζύγρξνλσλ ειεθηξνληθώλ ζπζηεκάησλ πινήγεζεο. Λέμεηο - Κιεηδηά: λαπηηιία, ινμνδξνκία, νξζνδξνκία, κέγηζηε έιιεηςε, κέγηζην ειιεηπηηθό ηόμν, λαπηηθνί ππνινγηζκνί, γεσδαηζία Abstract. The aim of this study is to investigate the methods of sailing calculations used in traditional navigation and in contemporary maritime navigational systems and propose new improved methods for precise calculation on the ellipsoid. New formulas have been derived for both Rhumb Line Sailing (RLS) on the ellipsoid and Great Elliptic Sailing (GES). The proposed improved methods and algorithms for Rhumb Line Sailing (RLS) on the ellipsoid and the Great Elliptic Sailing (GES) are straightforward and can be easily implemented in navigational software as well as in programmable pocket calculators. The results of numerical tests and comparisons showed that they provide the same and in some cases, higher accuracy than other methods and formulas for sailing calculations on the ellipsoid. The proposed algorithms calculate also the geodetic coordinates of any finite number of intermediate points along the rhumbline (loxodrome) and the great elliptic arc for the precise depiction on long navigational paths on the screen of the Electronic Chart Systems. 9

I. ΔΙΑΓΧΓΗ Α. ΣΟ ΔΤΘΤ ΚΑΙ ΣΟ ΑΝΣΙΣΡΟΦΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΠΛΟΤ Ζ ζρεδίαζε θαη ε εθηέιεζε ηνπ πινπ ζηεξίδεηαη ζηελ επίιπζε ησλ δύν ζεκειησδώλ πξνβιεκάησλ ηεο λαπζηπινΐαο. Σα ζεκειηώδε απηά πξνβιήκαηα είλαη ην επζύ θαη ην αληίζηξνθν, ηα νπνία ρξεζηκνπνηνύληαη κε δηαθνξεηηθή κνξθή ζε όιεο ηηο θαηεγνξίεο πινπ (ινμνδξνκηθόο πινπο, νξζνδξνκηθόο πινπο θιπ.), θαζώο θαη ζε αξθεηέο άιιεο εθαξκνγέο ηεο παξαδνζηαθήο λαπηηιίαο θαη ησλ ζύγρξνλσλ απηόκαησλ ζπζηεκάησλ πινήγεζεο. ην επζύ πξόβιεκα είλαη γλσζηέο νη γεσγξαθηθέο ζπληεηαγκέλεο (θ Α, ι Α ) ηνπ ζεκείνπ αλαρώξεζεο Α, ε απόζηαζε D ηνπ πινπ από ην ζεκείν αλαρώξεζεο Α ζην ζεκείν πξννξηζκνύ Β θαζώο θαη ε δηεύζπλζε (αδηκνύζην) δ ηνπ ζεκείνπ πξννξηζκνύ Β από ην ζεκείν αλαρώξεζεο Α, θαη ππνινγίδνληαη νη γεσγξαθηθέο ζπληεηαγκέλεο (θ Β, ι Β ) ηνπ ζεκείνπ πξννξηζκνύ Β. ην αληίζηξνθν πξόβιεκα είλαη γλσζηέο νη γεσγξαθηθέο ζπληεηαγκέλεο (θ Α, ι Α ) ηνπ ζεκείνπ αλαρώξεζεο Α, θαζώο θαη νη γεσγξαθηθέο ζπληεηαγκέλεο (θ Β, ι Β ) ηνπ ζεκείνπ πξννξηζκνύ Β θαη ππνινγίδνληαη ε δηεύζπλζε δ ηνπ ζεκείνπ πξννξηζκνύ Β από ην ζεκείν αλαρώξεζεο Α θαη ε απόζηαζε D ηνπ πινπ από ην ζεκείν Α ζην ζεκείν Β. Β. ΚΑΣΗΓΟΡΙΔ ΠΛΟΤ ηελ παξαδνζηαθή λαπηηιία ν πινπο από έλα ζεκείν αλαρώξεζεο Α πξνο έλα ζεκείν πξννξηζκνύ Β πινπνηείηαη είηε κε ηε κέζνδν ηνπ ινμνδξνκηθνύ πινπ, είηε κε ηε κέζνδν ηνπ νξζνδξνκηθνύ πινπ, είηε κε ην ζπλδπαζκό ησλ δύν απηώλ βαζηθώλ κεζόδσλ (κηθηόο ή ζύλζεηνο πινπο). ην ινμνδξνκηθό πινπ ηεξείηαη ζηαζεξή πνξεία, αιιά δελ δηαλύεηαη ε ζπληνκόηεξε απόζηαζε. Σν ίρλνο ηνπ ινμνδξνκηθνύ πινπ (πινπο κε ζηαζεξή πνξεία) ζηελ επηθάλεηα ηεο ζθαίξαο ή ηνπ ειιεηςνεηδνύο εθ πεξηζηξνθήο (ΔΔΠ) νλνκάδεηαη ξπκβνεηδήο γξακκή (Rhumbline) ή ινμνδξνκία (Loxodrome) [ρ. ]. ηελ ειιεληθή βηβιηνγξαθία ρξεζηκνπνηείηαη ζρεδόλ απνθιεηζηηθά ν όξνο ινμνδξνκία. ηελ μελόγισζζε βηβιηνγξαθία νη δύν όξνη είλαη ζπλώλπκνη, ελ ηνύηνηο ε νλνκαζία ξπκβνεηδήο γξακκή (Rhumbline) ρξεζηκνπνηείηαη θπξίσο σο λαπηηιηαθόο όξνο γηα ην ίρλνο ηνπ ινμνδξνκηθνύ πινπ θαη ε νλνκαζία ινμνδξνκία (Loxodrome) ρξεζηκνπνηείηαη θπξίσο σο γεσκεηξηθόο όξνο γηα ηνλ νξηζκό θαη ηελ πεξηγξαθή ηεο γξακκήο απηήο (ε κε επίπεδε γξακκή ζηελ επηθάλεηα ηεο ζθαίξαο ή ηνπ ζθαηξνεηδνύο πνπ ηέκλεη ηνπο κεζεκβξηλνύο κε ζηαζεξή γσλία) [ρ. ]. ηνλ νξζνδξνκηθό πινπ δηαλύεηαη ε ζπληνκόηεξε απόζηαζε, αιιά δελ ηεξείηαη ζηαζεξή πνξεία (πινπο κε κεηαβαιιόκελε πνξεία). Σν ίρλνο ηνπ νξζνδξνκηθνύ πινπ κεηαμύ δύν ζεκείσλ ζηελ επηθάλεηα ηεο ζθαίξαο είλαη ην ηόμν ηνπ κνλαδηθνύ κέγηζηνπ θύθινπ πνπ δηέξρεηαη από ηα δύν απηά ζεκεία (νξζνδξνκηθό ηόμν) [ρ. ]. Ζ ξπκβνεηδήο γξακκή (ινμνδξνκία) θαη ην νξζνδξνκηθό ηόμν (νξζνδξνκία) είλαη θαηά θαλόλα δύν δηαθνξεηηθά δξνκνιόγηα πινπ (ρ. 3). Αλάινγα κε ηε ζρεηηθή ζέζε ησλ ζεκείσλ αλαρώξεζεο θαη πξννξηζκνύ, ηα δξνκνιόγηα ηνπ ινμνδξνκηθνύ θαη ηνπ νξζνδξνκηθνύ πινπ έρνπλ κεγαιύηεξεο ή κηθξόηεξεο απνθιίζεηο. ηηο εηδηθέο πεξηπηώζεηο, θαηά ηηο νπνίεο ηα ζεκεία απηά βξίζθνληαη επί ηνπ ηζεκεξηλνύ ή επί ηνπ ηδίνπ κεζεκβξηλνύ, ε νξζνδξνκία θαη ε ινμνδξνκία ηαπηίδνληαη. Ο όξνο ξπκβνεηδήο γξακκή (rhumbline) πξνέξρεηαη από ηελ αξραία ειιεληθή ιέμε ξύκβνο [], ε νπνία ζεκαίλεη ζπείξα θαη ρξεζηκνπνηήζεθε ζηε λαπζηπινΐα γηα πξώηε θνξά κε ηελ εθιαηηληζκέλε νλνκαζία Rumbo θαηά ην έηνο 566 από ηνλ Pedro Nunes, θαζεγεηή καζεκαηηθώλ ηνπ παλεπηζηεκίνπ Coibra ηεο Πνξηνγαιίαο ζε κνλνγξαθία ηνπ γηα ην ινμνδξνκηθό πινπ [], [3]. 30

[4] ΥΖΜΑ : Ρπκβνεηδήο γξακκή ή ινμνδξνκία [5] ΥΖΜΑ : Οξζνδξνκηθό ηόμν (ηόμν κέγηζηνπ θύθινπ) Σν πξόβιεκα ηνπ ζύλζεηνπ ή κηθηνύ πινπ (Composite Sailing) αθνξά ηε ζρεδίαζε πινπ ειάρηζηεο δηαδξνκήο από έλα ζεκείν αλαρώξεζεο Α πξνο έλα ζεκείν πξννξηζκνύ Β, όηαλ ππάξρνπλ πεξηνξηζκνί ζηε ζρεδίαζε ηνπ νξζνδξνκηθνύ πινπ, όπσο π.ρ. ρεξζαίεο πεξηνρέο πνπ παξεκβάιινληαη ζην ίρλνο ηνπ νξζνδξνκηθνύ πινπ, απνθπγή πινπ ζε πεξηνρέο κεγάινπ γεσγξαθηθνύ πιάηνπο θιπ. ηηο πεξηπηώζεηο απηέο ν πινπο εθηειείηαη ζε νξηζκέλα ηκήκαηά ηνπ σο νξζνδξνκηθόο πινπο θαη ζηα ππόινηπα σο ινμνδξνκηθόο πινπο. Ζ ζπλεζέζηεξε κνξθή ηνπ ζύλζεηνπ πινπ ηεο παξαδνζηαθήο λαπηηιίαο, αθνξά ηε ζρεδίαζε πινπ ειάρηζηεο δηαδξνκήο από έλα ζεκείν αλαρώξεζεο Α πξνο έλα ζεκείν πξννξηζκνύ Β κε ηνλ πεξηνξηζκό ην δξνκνιόγην ηνπ πινπ λα κελ ππεξβεί έλα παξάιιειν πιάηνπο θ ζ, ν νπνίνο ιέγεηαη παξάιιεινο αζθαιείαο [6], [7]. Ο πεξηνξηζκόο απηόο δελ επηηξέπεη ηελ πινπνίεζε ηνπ νξζνδξνκηθνύ πινπ επί ηνπ νξζνδξνκηθνύ ηόμνπ ΑΚΒ (ρ. 4). ε απηή ηελ πεξίπησζε ζύλζεηνπ πινπ ζπλδπάδεηαη ν νξζνδξνκηθόο πινπο κε ηελ εηδηθή πεξίπησζε ινμνδξνκηθνύ πινπ επί παξαιιήινπ (πνξεία 090 ή 70) θαη ε πιεύζε από ην ζεκείν αλαρώξεζεο Α πξνο ην ζεκείν πξννξηζκνύ Β (ρ. 4) εθηειείηαη κε: Οξζνδξνκηθό πινπ από ην ζεκείν αλαρώξεζεο Α κέρξη ην ζεκείν ηνπ παξαιιήινπ αζθαιείαο θ ζ. Σν (νξζνδξνκηθό) ηόμν Α εθάπηεηαη ζηνλ παξάιιειν αζθαιείαο ζην ζεκείν. Λνμνδξνκηθό πινπ επί ηνπ παξαιιήινπ αζθαιείαο θ ζ κε πνξεία 090 ή 70, (από ην ζεκείν κέρξη ην ζεκείν ). Σν (νξζνδξνκηθό) ηόμν B εθάπηεηαη ζηνλ παξάιιειν αζθαιείαο ζην ζεκείν. Οξζνδξνκηθό πινπ από ην ζεκείν ηνπ παξαιιήινπ αζθαιείαο θ ζ κέρξη ην ζεκείν πξννξηζκνύ Β (ηόμν Β). Ζ ζρεδίαζε θαη εθηέιεζε πινπ ζηεξίδεηαη ζηελ επίιπζε ηνπ επζένο θαη ηνπ αληίζηξνθνπ πξνβιήκαηνο πινπ. 3

α. Απεηθόληζε νξζνδξνκίαο θαη ινμνδξνκίαο ζηε ζθαίξα ηνξηθό ράξηε β. Απεηθόληζε νξζνδξνκίαο θαη ινμνδξνκίαο ζην κεξθα- ΥΖΜΑ.3: Λνμνδξνκία θαη Οξζνδξνκία ζηε ζθαίξα θαη ζην κεξθαηνξηθό ράξηε ην επζύ ινμνδξνκηθό πξόβιεκα (ρ. 5) είλαη γλσζηέο νη γεσγξαθηθέο ζπληεηαγκέλεο (θ Α, ι Α ) ηνπ ζεκείνπ αλαρώξεζεο Α, ε απόζηαζε D ι ηνπ ινμνδξνκηθνύ πινπ από ην ζεκείν Α ζην ζεκείν Β θαζώο θαη ε ζηαζεξή πνξεία πιεύζεο δ ι, θαη ππνινγίδνληαη νη γεσγξαθηθέο ζπληεηαγκέλεο (θ Β, ι Β ) ηνπ ζεκείνπ πξννξηζκνύ Β. ην αληίζηξνθν ινμνδξνκηθό πξόβιεκα (ρ. 5) είλαη γλσζηέο νη γεσγξαθηθέο ζπληεηαγκέλεο (θ Α, ι Α ) ηνπ ζεκείνπ αλαρώξεζεο Α, θαζώο θαη νη γεσγξαθηθέο ζπληεηαγκέλεο (θ Β, ι Β ) ηνπ ζεκείνπ πξννξηζκνύ Β θαη ππνινγίδνληαη ε ζηαζεξή πνξεία δ ι πνπ πξέπεη ηεξεζεί θαηά ηνλ πινπ από ην ζεκείν Α ζην ζεκείν Β θαη ε απόζηαζε D ι ηνπ ινμνδξνκηθνύ πινπ από ην ζεκείν Α ζην ζεκείν Β. Ο πινπο απνηειείηαη από δύν ζθέιε νξζνδξνκίαο (ηόμα Α θαη Β) θαη έλα ζθέινο ινμνδξνκίαο (ηόμν ζηνλ παξάιιειν αζθαιείαο θ ζ ) Σν ηόμν Α εθάπηεηαη ζηνλ παξάιιειν αζθαιείαο ζην ζεκείν Σν ηόμν Β εθάπηεηαη ζηνλ παξάιιειν αζθαιείαο ζην ζεκείν ΥΖΜΑ 4: Σν πξόβιεκα ηνπ κηθηνύ πινπ κε παξάιιειν αζθαιείαο ην επζύ νξζνδξνκηθό πξόβιεκα είλαη γλσζηέο νη γεσγξαθηθέο ζπληεηαγκέλεο (θ Α, ι Α ) ηνπ ζεκείνπ αλαρώξεζεο Α, ε απόζηαζε D ν ηνπ νξζνδξνκηθνύ πινπ από ην ζεκείν Α ζην ζεκείν Β (ηόμν ΑΚΒ ζρήκαηνο 4), θαη ε αξρηθή πνξεία δ Α ηνπ νξζνδξνκηθνύ πινπ ζην ζεκείν αλαρώξεζεο Α θαη ππνινγίδνληαη νη γεσγξαθηθέο ζπληεηαγκέλεο (θ Β, ι Β ) ηνπ ζεκείνπ πξννξηζκνύ Β. ην αληίζηξνθν νξζνδξνκηθό πξόβιεκα είλαη γλσζηέο νη γεσγξαθηθέο ζπληεηαγκέλεο (θ Α, ι Α ) ηνπ ζεκείνπ αλαρώξεζεο Α, θαζώο θαη νη γεσγξαθηθέο ζπληεηαγκέλεο (θ Β, ι Β ) ηνπ ζεκείνπ πξννξηζκνύ Β (ρ. 4), θαη ππνινγίδνληαη ε απόζηαζε D ν ηνπ νξζνδξνκηθνύ πινπ από ην ζεκείν Α ζην ζεκείν Β (ηόμν ΑΚΒ), θαη ε αξρηθή πνξεία δ Α ηνπ νξζνδξνκηθνύ πινπ ζην ζεκείν αλαρώξεζεο Α (ν νξζνδξνκηθόο πινπο είλαη πινπο κε ζπλερώο κεηαβαιιόκελε πνξεία). 3

α) β) ΥΖΜΑ 5: Απεηθόληζε ινμνδξνκίαο ζηε ζθαίξα θαη ζην κεξθαηνξηθό ράξηε Γ. ΜΔΘΟΓΟΙ ΔΠΙΛΤΗ ΘΔΜΔΛΙΧΓΧΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΣΧΝ ΣΗ ΠΑΡΑΓΟΙΑΚΗ ΝΑΤΙΠΛΟΨΑ ΚΑΙ ΠΡΟΣΔΙΝΟΜΔΝΔ ΜΔΘΟΓΟΙ ΑΚΡΙΒΔΣΔΡΗ ΔΠΙΛΤΗ ηελ παξαδνζηαθή λαπζηπινΐα ε ζρεδίαζε θαη ε εθηέιεζε ηνπ πινπ ζηεξίδεηαη θπξίσο ζηε γξαθηθή επίιπζε ηνπ επζένο θαη ηνπ αληίζηξνθνπ πξνβιήκαηνο ζηνπο λαπηηθνύο ράξηεο, όπσο απηέο παξνπζηάδνληαη ζπλνπηηθά ζηελ ελόηεηα ΗΗ. Δλ ηνύηνηο, γηα πιόεο πνιύ κεγάισλ απνζηάζεσλ ρξεζηκνπνηνύληαη θαη αξηζκεηηθέο κέζνδνη επίιπζεο, νη νπνίεο παξνπζηάδνληαη ζπλνπηηθά ζηελ ΗΗΗ. ηα ζύγρξνλα ειεθηξνληθά ζπζηήκαηα πινήγεζεο εθηειείηαη κόλν αξηζκεηηθή επίιπζε θαη ηα απνηειέζκαηα απνδίδνληαη γξαθηθά ζηνλ ειεθηξνληθό ράξηε (απεηθόληζε αληίζηνηρσλ δξνκνινγίσλ πινπ) κε ην λαπηηιηαθό ινγηζκηθό ηνπ ζπζηήκαηνο. ηελ παξαδνζηαθή λαπηηιία νη αξηζκεηηθέο κέζνδνη επίιπζεο ησλ λαπηηιηαθώλ πξνβιεκάησλ ζηεξίδνληαη ζηε ρξήζε ζθαηξηθνύ κνληέινπ πξνζέγγηζεο ηεο επηθάλεηαο ηεο γεο, αληί ηεο αθξηβέζηεξεο πξνζέγγηζεο κε ηελ επηθάλεηα ηνπ ζθαηξνεηδνύο. Οη κέζνδνη επίιπζεο ζηελ επηθάλεηα ηεο ζθαίξαο έρνπλ ην πιενλέθηεκα ηεο απινύζηεπζεο ησλ ππνινγηζκώλ εηο βάξνο ηεο αθξίβεηαο ησλ απνηειεζκάησλ. Οη γξαθηθέο κέζνδνη επίιπζεο ζηνπο λαπηηθνύο ράξηεο πξνζθέξνπλ γξήγνξε, εύθνιε θαη αμηόπηζηε επίιπζε γηα πιόεο κηθξώλ απνζηάζεσλ, αιιά γηα πιόεο πνιύ κεγάισλ απνζηάζεσλ παξέρνπλ αξθεηά κεησκέλε αθξίβεηα σο πξνο ηηο κεζόδνπο επίιπζεο ζην ζθαηξνεηδέο. Οη αξηζκεηηθέο κέζνδνη επίιπζεο ζην ειιεηςνεηδέο παξέρνπλ κελ πςειόηεξε αθξίβεηα, αιιά νη ππνινγηζκνί είλαη πνιππινθόηεξνη. Οη απινπνηήζεηο ησλ ππνινγηζκώλ ηεο παξαδνζηαθήο λαπηηιίαο ήηαλ θαηά ην παξειζόλ απνδεθηέο θαη αλαπόθεπθηεο, ιόγσ ησλ πεξηνξηζκώλ ηόζν ησλ δηαηηζέκελσλ ππνινγηζηηθώλ εξγαιείσλ όζν θαη ηεο αθξίβεηαο ησλ παιαηνηέξσλ κεζόδσλ πξνζδηνξηζκνύ ζέζεο θαη πινήγεζεο. Δλ ηνύηνηο, νη ζεκεξηλέο δπλαηόηεηεο ησλ Γνξπθνξηθώλ πζηεκάησλ Πξνζδηνξηζκνύ Θέζεο θαη ησλ πζηεκάησλ Ζιεθηξνληθνύ Υάξηε ηόζν γηα ηνλ εληνπηζκό όζν θαη γηα ηελ απεηθόληζε ηεο ζέζεο ηνπ πινίνπ κε αδηαλόεηεο γηα ηελ παξαδνζηαθή λαπηηιία αθξίβεηεο, ζε ζπλδπαζκό κε ηηο ζεκεξηλέο δπλαηόηεηεο ησλ ειεθηξνληθώλ ππνινγηζηώλ, επηβάιινπλ ηελ εθηέιεζε ησλ λαπηηιηαθώλ ππνινγηζκώλ κε κεγαιύηεξε αθξίβεηα ζηελ επηθάλεηα ηνπ ζθαηξνεηδνύο. Με ηελ επίιπζε ησλ πξνβιεκάησλ λαπζηπινΐαο ζην ειιεηςνεηδέο είλαη ζεσξεηηθά δπλαηό λα επηηεπρζεί γεσδαηηηθή αθξίβεηα ιίγσλ εθαηνζηώλ ή αθόκε θαη ρηιηνζηώλ ηνπ κέηξνπ. Δλ ηνύηνηο, ε επηδίσμε ηόζν πςειήο αθξίβεηαο γηα ηνλ ππνινγηζκό ησλ ζηνηρείσλ πινπ δελ έρεη θακκία πξαθηηθή ζεκαζία. 33

Ζ επίιπζε ησλ πξνβιεκάησλ λαπζηπινΐαο ζηελ επηθάλεηα ηνπ ζθαηξνεηδνύο πξέπεη λα πινπνηείηαη κε θαηάιιειε πξνζαξκνγή ησλ κεζόδσλ ηεο γεσδαηζίαο γηα ηελ νξζνινγηθή βειηίσζε ηεο αθξίβεηαο ησλ παξαδνζηαθώλ κεζόδσλ ηεο λαπηηιίαο. Δλ ηνύηνηο, έρεη παξαηεξεζεί όηη από ηελ πεξίνδν ηεο αξρηθήο δεκηνπξγίαο λαπηηιηαθνύ ινγηζκηθνύ γηα ελζσκάησζε ζε δέθηεο δνξπθνξηθώλ ζπζηεκάησλ εληνπηζκνύ ζέζεο, ηόζν γηα ιόγνπο απινπνίεζεο όζν θαη γηα άιινπο ιόγνπο, ην ινγηζκηθό απηό αξθεηέο θνξέο βαζίδεηαη ζε ππνινγηζηηθέο κεζόδνπο πεξηνξηζκέλεο αθξίβεηαο [8]. Αθόκε θαη ζην πξόζθαην παξειζόλ έρεη παξαηεξεζεί όηη ζε νξηζκέλεο πεξηπηώζεηο ε επίιπζε ησλ ζεκειησδώλ πξνβιεκάησλ ηεο λαπζηπινΐαο ζηεξίδεηαη ζε απινπνηεκέλεο κεζόδνπο θαη παξαδνρέο ηεο θιαζηθήο λαπηηιίαο, όπσο ε πξνζέγγηζε ηεο κνξθήο ηεο επηθάλεηαο ηεο γεο, ζύκθσλα κε ηελ νπνία ε γε ζεσξείηαη ελ κέξεη ζθαίξα θαη ελ κέξεη ειιεηςνεηδέο εθ πεξηζηξνθήο [9]. Γηα πιόεο πνιύ κεγάισλ απνζηάζεσλ ( > 5.000 λ.κ.) ν ππνινγηζκόο ηεο απόζηαζεο πινπ ζηε ζθαίξα ελδέρεηαη λα εκπεξηέρεη ζθάικαηα ηεο ηάμεο ησλ 0-0 λ.κ. (40 km πεξίπνπ) σο πξνο ηα απνηειέζκαηα ησλ ππνινγηζκώλ ζηελ επηθάλεηα ηνπ ζθαηξνεηδνύο [0]. Πποβλήμαηα λοξοδπομικού πλος Οη αξηζκεηηθέο κέζνδνη επίιπζεο ησλ πξνβιεκάησλ ινμνδξνκηθνύ πινπ ζηελ παξαδνζηαθή λαπηηιία ζηεξίδνληαη ζε παξαδνρέο θαη απινπνηήζεηο, νη νπνίεο δεκηνπξγνύλ απνθιίζεηο ηεο ππνινγηδόκελεο απόζηαζεο ηνπ ινμνδξνκηθνύ πινπ από ηελ πξαγκαηηθή ηηκή ηεο. Οη απνθιίζεηο απηέο ήηαλ απνδεθηέο γηα ηηο αλάγθεο ηεο θιαζηθήο λαπηηιίαο (ζρεδίαζε θαη εθηέιεζε πινπ ζε έληππνπο λαπηηθνύο ράξηεο), όρη όκσο γηα ηηο ζύγρξνλεο κεζόδνπο λαπζηπινΐαο (ζρεδίαζε θαη εθηέιεζε πινπ κε ηα ζπζηήκαηα ειεθηξνληθνύ ράξηε). Δπηπξνζζέησο, νξηζκέλεο από ηηο παξαδνρέο θαη απινπνηήζεηο ηεο παξαδνζηαθήο λαπζηπινΐαο, ρξεζηκνπνηνύληαη κε ιαλζαζκέλν ηξόπν πξνθαιώληαο πεξαηηέξσ ππνβάζκηζε ηεο αθξίβεηαο, αιιά θαη ζύγρπζε, ρσξίο λα ζπκβάιινπλ νπζηαζηηθά ζηελ απινπνίεζε ησλ ππνινγηζκώλ [9]. Πποβλήμαηα οπθοδπομικού πλος και πλος ελάσιζηηρ απόζηαζηρ ζηο ζθαιποειδέρ Ο νξζνδξνκηθόο πινπο ηεο παξαδνζηαθήο λαπζηπινΐαο αληηζηνηρεί ζε δξνκνιόγην ειάρηζηεο απόζηαζεο κεηαμύ δύν ζεκείσλ ηεο επηθάλεηαο ηεο ζθαίξαο. Γηα ηνλ αθξηβέζηεξν ππνινγηζκό ηεο ειάρηζηεο απόζηαζεο πινπ κεηαμύ δύν ζεκείσλ ηεο επηθάλεηαο ηεο γεο πξέπεη λα ρξεζηκνπνηεζεί ε αθξηβέζηεξε πξνζέγγηζε ηεο επηθάλεηάο ηεο κε ηελ επηθάλεηα ελόο ειιεηςνεηδνύο εθ πεξηζηξνθήο (ΔΔΠ). Σν ΔΔΠ, ην νπνίν ρξεζηκνπνηείηαη γηα ηελ πξνζέγγηζε ηεο επηθάλεηαο ηεο γεο πξνζεγγίδεη ην ζρήκα ηεο ζθαίξαο θαη νλνκάδεηαη ζθαηξνεηδέο. ΥΖΜΑ 6: Γεσδαηζηαθή γξακκή ζηελ επηθάλεηα ηνπ ζθαηξνεηδνύο ηελ επηθάλεηα ηνπ ΔΔΠ ε ζπληνκόηεξε απόζηαζε κεηαμύ δύν ζεκείσλ είλαη ε γεσδαηζηαθή γξακκή. Ζ γεσδαηζηαθή γξακκή πνπ δηέξρεηαη από δύν ζεκεία ηεο επηθάλεηαο ηνπ ΔΔΠ είλαη κία 34

κε επίπεδε γξακκή κε δηπιή θακππιόηεηα θαη ζηξέςε, ε νπνία αληηζηνηρεί ζηελ ειάρηζηε απόζηαζε κεηαμύ ησλ ζεκείσλ απηώλ (ρ. 6). Από δύν ζεκεία ηεο επηθάλεηαο ηνπ ΔΔΠ είλαη δπλαηό λα δηέξρνληαη πεξηζζόηεξεο από κία γεσδαηζηαθέο γξακκέο. ηελ επηθάλεηα ηεο ζθαίξαο ε γεσδαηζηαθή γξακκή πνπ δηέξρεηαη από δύν ζεκεία είλαη ην ηόμν ηνπ κνλαδηθνύ κέγηζηνπ θύθινπ πνπ δηέξρεηαη από ηα ζεκεία απηά. Ο ππνινγηζκόο ηεο απόζηαζεο κεηαμύ δύν ζεκείσλ ηεο γεσδαηζηαθήο γξακκήο ηνπ ζθαηξνεηδνύο είλαη αξθεηά πνιύπινθνο. Δλ ηνύηνηο, γηα ηηο πξαθηηθέο αλάγθεο ηεο λαπζηπινΐαο ηα ζηνηρεία ηνπ πινπ επί ηεο γεσδαηζηαθήο γξακκήο ηνπ ζθαηξνεηδνύο πξαθηηθά ηαπηίδνληαη κε ηα ζηνηρεία πινπ ζηε κέγηζηε έιιεηςε []. Ζ κέγηζηε έιιεηςε νξίδεηαη σο ε ηνκή ηεο επηθάλεηαο ηνπ ζθαηξνεηδνύο κε ην επίπεδν πνπ δηέξρεηαη από ην θέληξν ηνπ ζθαηξνεηδνύο, ην ζεκείν αλαρώξεζεο θαη ην ζεκείν πξννξηζκνύ (ρ. 7). ΥΖΜΑ 7: Μέγηζηε έιιεηςε ηνπ ζθαηξνεηδνύο Γηα ηελ αθξηβή ζρεδίαζε θαη απεηθόληζε ησλ δξνκνινγίσλ πινπ κεγάισλ απνζηάζεσλ ζηνπο λαπηηθνύο ράξηεο, ηδηαίηεξα δε ζηνπο ειεθηξνληθνύο λαπηηιηαθνύο ράξηεο ησλ ζύγρξνλσλ ειεθηξνληθώλ ζπζηεκάησλ πινήγεζεο, απαηηείηαη ν ππνινγηζκόο ησλ γεσγξαθηθώλ ζπληεηαγκέλσλ ησλ ελδηάκεζσλ ζεκείσλ Δ, Δ, Δ 3 ησλ δξνκνινγίσλ πινπ, αλεμάξηεηα αλ πξόθεηηαη γηα ελδηάκεζα ζεκεία ηεο ινμνδξνκίαο, ηεο νξζνδξνκίαο, ηνπ ηόμνπ ηεο κέγηζηεο έιιεηςεο, ή ηεο γεσδαηζηθήο (ρ. 8). Ο ππνινγηζκόο απηόο πινπνηείηαη κε δηαδνρηθέο επηιύζεηο ηνπ επζένο πξνβιήκαηνο. ηηο επηιύζεηο απηέο νη γλσζηέο παξάκεηξνη γηα ηελ επίιπζε ηνπ επζένο πξνβιήκαηνο είλαη: νη γεσδαηηηθέο ζπληεηαγκέλεο ηνπ ζεκείνπ αλαρώξεζεο Α, ην ππνινγηδόκελν κε ην αληίζηξνθν πξόβιεκα αδηκνύζην (ζην ζεκείν αλαρώξεζεο Α) θαη νη επηζπκεηέο απνζηάζεηο ησλ ελδηάκεζσλ ζεκείσλ από ην αξρηθό. Οη απνζηάζεηο απηέο θαζνξίδνληαη είηε κε ην επηζπκεηό βήκα, π.ρ. θάζε 00 λ.κ., είηε κε ηνλ επηζπκεηό αξηζκό ησλ ελδηάκεζσλ ζεκείσλ ηνπ εμεηαδόκελνπ δξνκνινγίνπ πινπ (ινμνδξνκία, ηόμν κέγηζηεο έιιεηςεο θιπ.). ηηο επόκελεο ελόηεηεο παξνπζηάδνληαη: Οη γξαθηθέο κέζνδνη επίιπζεο πξνβιεκάησλ ινμνδξνκηθνύ, νξζνδξνκηθνύ θαη ζύλζεηνπ πινπ ηεο παξαδνζηαθήο λαπζηπινΐαο ( ΗΗ), Οη αξηζκεηηθέο κέζνδνη επίιπζεο πξνβιεκάησλ ινμνδξνκηθνύ πινπ ηεο παξαδνζηαθήο λαπζηπινΐαο ( ΗΗΗ) Οη πξνηεηλόκελεο κέζνδνη θαη αιγόξηζκνη επίιπζεο πξνβιεκάησλ ινμνδξνκηθνύ πινπ ζην ζθαηξνεηδέο ( ΗV) Οη κέζνδνη επίιπζεο πξνβιεκάησλ νξζνδξνκηθνύ θαη ζύλζεηνπ πινπ κε κεζόδνπο ηεο ζθαηξηθήο ηξηγσλνκεηξίαο πνπ ρξεζηκνπνηνύληαη ζηελ παξαδνζηαθή λαπζηπινία ( V), 35

Οη κέζνδνη επίιπζεο πξνβιεκάησλ νξζνδξνκηθνύ θαη ζύλζεηνπ πινπ κε κεζόδνπο ηεο δηαλπζκαηηθήο αλάιπζεο πνπ ρξεζηκνπνηνύληαη γηα ηελ αλάπηπμε λαπηηιηαθνύ ινγηζκηθνύ ( VΗ), Ζ πξνηεηλόκελε κέζνδνο θαη αιγόξηζκνο επίιπζεο ηνπ επζένο θαη ηνπ αληίζηξνθνπ πξνβιήκαηνο πινπ ζηε κέγηζηε έιιεηςε ( VΗΗΗ) Σα απνηειέζκαηα ηεο ζπγθξηηηθήο αμηνιόγεζεο ησλ πξνηεηλόκελσλ κεζόδσλ κε κεζόδνπο ηεο παξαδνζηαθήο λαπζηπινΐαο θαη άιιεο κεζόδνπο επίιπζεο ζην ζθαηξνεηδέο ( IX). Ζ γξακκή ΑΒ αληηπξνζσπεύεη δξνκνιόγην: ινμνδξνκηθνύ πινπ, ή νξζνδξνκηθνύ πινπ, ή πινπ ζηε κέγηζηε έιιεηςε, ή πινπ ζηε γεσδαηζηαθή γξακκή ηνπ ζθαηξνεηδνύο. Γηα ηνλ πξνζδηνξηζκό ησλ ζπληεηαγκέλσλ ησλ ελδηάκεζσλ ζεκείσλ Δ, Δ, Δ 3, επηιύεηαη ην επζύ πξόβιεκα κε γλσζηά ζηνηρεία ηηο ζπληεηαγκέλεο ηνπ αξρηθνύ ζεκείνπ Α, ην αδηκνύζην θαη ηηο επηζπκεηέο απνζηάζεηο S =AE, S =AE, S 3 =AE 3,... ησλ ελδηάκεζσλ ζεκείσλ από ην αξρηθό. ΥΖΜΑ 8: Τπνινγηζκόο ζπληεηαγκέλσλ ελδηάκεζσλ ζεκείσλ πινπ ΙΙ. ΓΡΑΦΙΚΗ ΔΠΙΛΤΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΣΧΝ ΠΛΟΤ ΣΗΝ ΠΑΡΑΓΟΙΑΚΗ ΝΑΤΙΠΛΟΨΑ Α. Γξαθηθή επίιπζε πξνβιεκάησλ ινμνδξνκηθνύ θαη νξζνδξνκηθνύ πινπ ηηο παξαδνζηαθέο κεζόδνπο λαπζηπινΐαο ε επίιπζε ησλ ζεκειησδώλ πξνβιεκάησλ γηα ηε ζρεδίαζε θαη ηελ πινπνίεζε ηνπ πινπ γίλεηαη ζπλήζσο κε γξαθηθέο κεζόδνπο ζηνλ παξαδνζηαθό έληππν λαπηηθό ράξηε, ε θαηαζθεπή ηνπ νπνίνπ ζηεξίδεηαη ζηελ νξζή κεξθαηνξηθή απεηθόληζε θαη γηα ην ιόγν απηό είλαη γλσζηόο κε ην όλνκα «λαπηηθόο κεξθαηνξηθόο ράξηεο», θαζώο θαη ζην γλσκνληθό ράξηε, ε θαηαζθεπή ηνπ νπνίνπ ζηεξίδεηαη ζηε γλσκνληθή απεηθόληζε. Οη δύν βαζηθέο ηδηόηεηεο ηεο νξζήο κεξθαηνξηθήο απεηθόληζεο: λα δηαηεξεί ηηο δηεπζύλζεηο πνπ κεηξώληαη ζηελ επηθάλεηα ηεο γεο αλαιινίσηεο ζην ράξηε (ζύκκνξθε απεηθόληζε) θαη λα απεηθνλίδεη ηνπο κεζεκβξηλνύο σο παξάιιειεο θαη ηζαπέρνπζεο επζείεο, παξέρνπλ ηα επόκελα βαζηθά γηα ηε λαπζηπινΐα πιενλεθηήκαηα: Άκεζε ζρεδίαζε ηνπ πινπ ζηαζεξήο πνξείαο από έλα ζεκείν αλαρώξεζεο Α πξνο έλα ζεκείν πξννξηζκνύ Β (ινμνδξνκηθόο πινπο) κε ηε ράξαμε ζην κεξθαηνξηθό ράξηε ηνπ επζπγξάκκνπ ηκήκαηνο πνπ νξίδεηαη από ηα ζεκεία απηά (ρ. 5β θαη ρ. 9). Άκεζνο πξνζδηνξηζκόο ηεο πνξείαο δ ι ηνπ ινμνδξνκηθνύ πινπ κε ηε κέηξεζε ζην ράξηε ηεο γσλίαο πνπ ζρεκαηίδεη ην επζύγξακκν ηκήκα πνπ νξίδεηαη από ηα ζεκεία αλαρώξεζεο θαη πξννξηζκνύ, κε νπνηαδήπνηε από ηηο παξάιιειεο επζείεο, νη νπνίεο αλαπαξηζηνύλ ηνπο κεζεκβξηλνύο (ρ. 9). 36

ΥΖΜΑ 9: ρεδίαζε ινμνδξνκηθνύ πινπ ζην λαπηηθό κεξθαηνξηθό ράξηε Ζ βαζηθή ηδηόηεηα ηνπ γλσκνληθνύ ράξηε λα απεηθνλίδεη ηα δξνκνιόγηα ηνπ νξζνδξνκηθνύ πινπ σο επζύγξακκα ηκήκαηα παξέρεη ην βαζηθό γηα ηε λαπζηπινΐα πιενλέθηεκα ηεο άκεζεο ζρεδίαζεο ησλ δξνκνινγίσλ ηνπ νξζνδξνκηθνύ πινπ από έλα ζεκείν αλαρώξεζεο Α πξνο έλα ζεκείν πξννξηζκνύ Β κε ηε ράξαμε ζην γλσκνληθό ράξηε ηνπ επζύγξακκνπ ηκήκαηνο πνπ νξίδεηαη από ηα ζεκεία απηά (ρ. 0α). Γηα ηελ πινπνίεζε ηνπ νξζνδξνκηθνύ πινπ απαηηείηαη ε ζρεδίαζε ηνπ δξνκνινγίνπ θαη ζην κεξθαηνξηθό ράξηε θαη γηα ην ιόγν απηό ζηελ παξαδνζηαθή λαπηηιία ν γλσκνληθόο ράξηεο ρξεζηκνπνηείηαη ζε ζπλδπαζκό κε ην «κεξθαηνξηθό λαπηηθό ράξηε» σο εμήο: ρεδηάδεηαη ζην γλσκνληθό ράξηε ην δξνκνιόγην ηνπ νξζνδξνκηθνύ πινπ κε ην επζύγξακκν ηκήκα πνπ ζπλδέεη ην ζεκείν αλαρώξεζεο Α κε ην ζεκείν πξννξηζκνύ Β (ρ. 0α). Πξνζδηνξίδνληαη επί ηνπ γλσκνληθνύ ράξηε νη γεσγξαθηθέο ζπληεηαγκέλεο νξηζκέλσλ ελδηάκεζσλ ζεκείσλ ηνπ νξζνδξνκηθνύ πινπ, ζπλήζσο ζηα ζεκεία ηνκήο ηνπ επζύγξακκνπ ηκήκαηνο ηνπ νξζνδξνκηθνύ πινπ κε επηιεγκέλνπο κεζεκβξηλνύο. Γίλεηαη κεηαθνξά ηνπ δξνκνινγίνπ ηνπ νξζνδξνκηθνύ πινπ από ην γλσκνληθό ζην κεξθαηνξηθό ράξηε. Ζ κεηαθνξά απηή πξαγκαηνπνηείηαη κε ηε κέηξεζε επί ηνπ γλσκνληθνύ ράξηε ησλ ζπληεηαγκέλσλ νξηζκέλσλ ζεκείσλ ηνκήο Δ, Δ, Δ 3, Δ 4, ηνπ δξνκνινγίνπ ηνπ νξζνδξνκηθνύ πινπ (ρ. 0α) κε επηιεγκέλνπο κεζεκβξηλνύο, ή/θαη παξαιιήινπο πιάηνπο θαη ζηε ζπλέρεηα κε ηελ ππνηύπσζε ησλ ζεκείσλ απηώλ ζην κεξθαηνξηθό ράξηε (ρ. 0β). 37

Σα ζεκεία πνπ ππνηππώλνληαη ζην κεξθαηνξηθό ράξηε ζπλδένληαη κε επζύγξακκα ηκήκαηα, ηα νπνία αληηπξνζσπεύνπλ ινμνδξνκηθνύο πιόεο, θαη κε ηνλ ηξόπν απηό ν νξζνδξνκηθόο πινπο πξνζεγγίδεηαη ηθαλνπνηεηηθά κε κία ζεηξά δηαδνρηθώλ ινμνδξνκηθώλ πιεύζεσλ ζην κεξθαηνξηθό ράξηε (ρ. 0β). Ζ πξνζέγγηζε απηή είλαη πνιύ ηθαλνπνηεηηθή, όηαλ νη απνζηάζεηο ησλ ελδηάκεζσλ ζεκείσλ δελ είλαη κεγαιύηεξεο από 50 λ.κ. α) ην γλσκνληθό ράξηε ην δξνκνιόγην ηνπ νξζνδξνκηθνύ πινπ ζρεδηάδεηαη κε επζεία γξακκή β) ην κεξθαηνξηθό ράξηε ην δξνκνιόγην ηνπ νξζνδξνκηθνύ πινπ πξνζεγγίδεηαη ηθαλνπνηεηηθά κε δηαδνρηθέο ινμνδξνκηθέο πιεύζεηο (ηεζιαζκέλε γξακκή) ΥΖΜΑ 0: ρεδίαζε νξζνδξνκηθνύ πινπ ζην γλσκνληθό θαη ζην κεξθαηνξηθό ράξηε Λόγσ ησλ ηδηνηήησλ ηεο κεξθαηνξηθήο θαη ηεο γλσκνληθήο απεηθόληζεο λα απεηθνλίδνπλ ηνλ ινμνδξνκηθό θαη ηνλ νξζνδξνκηθό πινπ αληίζηνηρα, κε ηελ απινύζηεξε δπλαηή κνξθή, δειαδή κε ην επζύγξακκν ηκήκα πνπ ζπλδέεη ην ζεκείν αλαρώξεζεο θαη ην ζεκείν πξννξηζκνύ, νη δύν απηέο ραξηνγξαθηθέο απεηθνλίζεηο έρνπλ θαζηεξσζεί γηα ρξήζε ζηε λαπζηπινΐα, παξά ηηο ζεκαληηθέο παξακνξθώζεηο πνπ παξνπζηάδνπλ. Οη παξακνξθώζεηο ηεο κεξθαηνξηθήο θαη γλσκνληθήο απεηθόληζεο δελ επεξεάδνπλ ηελ αθξίβεηα ησλ εξγαζηώλ ζρεδίαζεο θαη πινπνίεζεο ηνπ πινπ ζηελ παξαδνζηαθή λαπηηιία, δηόηη: α) ην ράξηε γλσκνληθήο απεηθόληζεο δελ γίλνληαη κεηξήζεηο δηεπζύλζεσλ ή απνζηάζεσλ, αιιά κόλνλ αλάγλσζε ησλ γεσγξαθηθώλ ζπληεηαγκέλσλ νξηζκέλσλ ελδηάκεζσλ ζεκείσλ ηνπ νξζνδξνκηθνύ πινπ, κε απνδεθηή γηα ηηο αλάγθεο ηεο παξαδνζηαθήο λαπηηιίαο αθξίβεηα, γηα ηελ ππνηύπσζε ζηε ζπλέρεηα ησλ ζεκείσλ απηώλ ζην κεξθαηνξηθό ράξηε. 38

β) Ζ κέηξεζε ησλ δηεπζύλζεσλ ζην κεξθαηνξηθό ράξηε δελ εκπεξηέρεη ζθάικαηα, γηαηί ε κεξθαηνξηθή απεηθόληζε δελ παξνπζηάδεη γσληαθέο παξακνξθώζεηο, αιιά κόλν γξακκηθέο θαη επηθαλεηαθέο. γ) Παξά ηηο γξακκηθέο παξακνξθώζεηο ηεο κεξθαηνξηθήο απεηθόληζεο ε κέηξεζε ησλ απνζηάζεσλ ζην κεξθαηνξηθό ράξηε δίλεη πνιύ ηθαλνπνηεηηθά γηα ηηο αλάγθεο ηεο θιαζηθήο λαπζηπινΐαο απνηειέζκαηα, γηαηί ε κέηξεζε απηή πξαγκαηνπνηείηαη κε ηηο ελδείμεηο γεσγξαθηθνύ πιάηνπο ζην πιαίζην ηνπ ράξηε θαη ηελ παξαδνρή όηη έλα πξώην ιεπηό ηεο κνίξαο αληηζηνηρεί ζε έλα λαπηηθό κίιη. ηε κεξθαηνξηθή απεηθόληζε ην γξακκηθό κήθνο κεηαμύ δηαδνρηθώλ ελδείμεσλ ηνπ γεσγξαθηθνύ πιάηνπο πνπ αληηζηνηρνύλ ζε ίζεο δηαθνξέο γεσγξαθηθνύ πιάηνπο δελ είλαη ζηαζεξό (ρ. ), αιιά πξνζδηνξίδεηαη από ην ζπληειεζηή γξακκηθήο παξακόξθσζεο ζηε δηεύζπλζε ησλ κεζεκβξηλώλ γηα ην γεσγξαθηθό πιάηνο ηνπ αληίζηνηρνπ παξάιιεινπ πιάηνπο. Ζ πξαγκαηηθή απόζηαζε ηνπ ινμνδξνκηθνύ πινπ ΑΒ (873 λ.κ) είλαη 47% κεγαιύηεξε από ηελ απόζηαζε ηνπ ινμνδξνκηθνύ πινπ ΓΓ (593 λ.κ.). Λόγσ ησλ γξακκηθώλ παξακνξθώζεσλ ε γξακκή ΑΒ ζην κεξθαηνξηθό ράξηε έρεη εκθαλώο κηθξόηεξν κήθνο από ηε γξακκή ΓΓ. ΥΖΜΑ : Παξάδεηγκα γξακκηθώλ παξακνξθώζεσλ κεξθαηνξηθήο απεηθόληζεο Γηα ηνπο παξαπάλσ ιόγνπο νη γξακκηθέο θαη νη επηθαλεηαθέο παξακνξθώζεηο ηεο κεξθαηνξηθήο απεηθόληζεο δελ επεξεάδνπλ ηελ αθξίβεηα ησλ εθηεινύκελσλ ζην ράξηε κεηξήζεσλ απνζηάζεσλ, αιιά κόλν ηελ νπηηθή αληίιεςε ησλ γεσγξαθηθώλ πεξηνρώλ θαη ησλ δξνκνινγίσλ πινπ. Λόγσ ησλ γξακκηθώλ παξακνξθώζεσλ ηεο κεξθαηνξηθήο απεηθόληζεο ε νπηηθή εηθόλα ησλ απεηθνληδόκελσλ ζην ράξηε δξνκνινγίσλ πινπ δελ αληηπξνζσπεύεη ηθαλνπνηεηηθά ηελ πξαγκαηηθή θαηάζηαζε ζηελ επηθάλεηα ηεο γεο κε θίλδπλν δεκηνπξγίαο εζθαικέλσλ εληππώζεσλ, όπσο π.ρ.: 39

Ζ απεηθόληζε ηνπ δξνκνινγίνπ ηνπ νξζνδξνκηθνύ πινπ από έλα ζεκείν αλαρώξεζεο πξνο έλα ζεκείν πξννξηζκνύ, κε γξακκή ζεκαληηθά κεγαιύηεξνπ κήθνπο από ηε γξακκή πνπ απεηθνλίδεη ην δξνκνιόγην ηνπ ινμνδξνκηθνύ πινπ κεηαμύ ησλ ίδησλ ζεκείσλ (ζρήκα 0β), παξά ην γεγνλόο όηη ην δξνκνιόγην ειάρηζηεο δηαδξνκήο είλαη απηό ηνπ νξζνδξνκηθνύ πινπ. Ζ απεηθόληζε δηαθνξεηηθώλ δξνκνινγίσλ ινμνδξνκηθνύ πινπ κε γξακκέο, νη νπνίεο αληηζηνηρνύλ: ε κελ γξακκή κεγαιύηεξνπ κήθνπο ζην δξνκνιόγην κηθξόηεξεο δηαδξνκήο, ε δε γξακκή κηθξόηεξνπ κήθνπο ζην δξνκνιόγην κεγαιύηεξεο δηαδξνκήο (ρ.). Παξά ηηο πξναλαθεξζείζεο νπηηθέο παξακνξθώζεηο ηεο πξαγκαηηθόηεηαο πνπ πξνθαινύληαη ζηε κεξθαηνξηθή απεηθόληζε, κε θίλδπλν εμαγσγήο εζθαικέλσλ εληππώζεσλ γηα ηελ απόζηαζε ηνπ πινπ, ν λαπηηθόο κεξθαηνξηθόο ράξηεο απνηειεί βαζηθό, πνιύηηκν θαη αλαληηθαηάζηαην εξγαιείν ησλ κεζόδσλ ηεο παξαδνζηαθήο λαπηηιίαο ιόγσ ηεο ζεκαληηθήο ηδηόηεηάο ηνπ λα απεηθνλίδεη ηα δξνκνιόγηα ηνπ ινμνδξνκηθνύ πινπ κε ηελ απινύζηεξε δπλαηή κνξθή, ε νπνία είλαη ην επζύγξακκν ηκήκα πνπ ζπλδέεη ην ζεκείν αλαρώξεζεο θαη ην ζεκείν πξννξηζκνύ. Με ηνλ ηξόπν απηό ππεξαπινπζηεύεηαη ηόζν ε επίιπζε ησλ ινμνδξνκηθώλ πξνβιεκάησλ (κε απιέο γξαθηθέο κεζόδνπο) όζν θαη ε πινπνίεζή ηνπο κε ηε ρξεζηκνπνίεζε ηεο ππμίδαο θαη ησλ θιαζηθώλ κεζόδσλ πξνζδηνξηζκνύ ζέζεο (ζηίγκαηνο). ηελ παξαδνζηαθή λαπηηιία ε δπλαηόηεηα ηνπ ράξηε κεξθαηνξηθήο απεηθόληζεο γηα ηελ εύθνιε ζρεδίαζε θαη πινπνίεζε ηνπ ινμνδξνκηθνύ πινπ αμηνπνηείηαη θαη γηα ηε ζρεδίαζε θαη πινπνίεζε ηνπ νξζνδξνκηθνύ πινπ, ε νπνία εθηειείηαη κε ηελ πξνζέγγηζε ηνπ δξνκνινγίνπ ηνπ νξζνδξνκηθνύ πινπ κε κία ζεηξά δηαδνρηθώλ ινμνδξνκηθώλ πιεύζεσλ ζην κεξθαηνξηθό ράξηε (ρ.0β). Β. Γξαθηθή επίιπζε πξνβιεκάησλ ζύλζεηνπ πινπ Ζ γξαθηθή επίιπζε ησλ πξνβιεκάησλ ηνπ ζύλζεηνπ πινπ πινπνηείηαη κε κεζόδνπο αλάινγεο απηώλ πνπ ρξεζηκνπνηνύληαη γηα ηε γξαθηθή επίιπζε ησλ πξνβιεκάησλ ηνπ νξζνδξνκηθνύ πινπ, κε ηελ εθκεηάιιεπζε ηεο βαζηθήο ηδηόηεηαο ηεο γλσκνληθήο απεηθόληζεο λα απεηθνλίδεη ην νξζνδξνκηθό ηόμν κε επζεία. Χο παξάδεηγκα αλαθέξεηαη ε γξαθηθή επίιπζε ηνπ κηθηνύ πινπ ηνπ ζρήκαηνο 4. Ζ επίιπζε απηή ζηηο πεξηζζόηεξεο πεξηπηώζεηο πινπνηείηαη επρεξέζηεξα κε ηε ρξήζε ράξηε πνιηθήο γλσκνληθήο απεηθόληζεο, ζηνλ νπνίν νη κελ κεζεκβξηλνί απεηθνλίδνληαη σο επζείεο ζπγθιίλνπζεο ζηνλ πόιν νη δε παξάιιεινη πιάηνπο σο νκόθεληξνη θύθινη (ρ.α). Ζ γξαθηθή εξγαζία ζην γλσκνληθό ράξηε ζπλνςίδεηαη ζηα εμήο: Τπνηππώλεηαη ε ζέζε ησλ ζεκείσλ αλαρώξεζεο θαη πξννξηζκνύ ζην γλσκνληθό ράξηε (ζεκεία Α θαη Β ηνπ ζρήκαηνο ) θαη ραξάζζεηαη ην επζύγξακκν ηκήκα ΑΒ, ην νπνίν απεηθνλίδεη ην δξνκνιόγην ηνπ νξζνδξνκηθνύ πινπ (ην επζύγξακκν ηκήκα ΑΒ ηνπ ζρήκαηνο α απεηθνλίδεη ην ηόμν ΑΛΚΜΒ ηνπ ζρήκαηνο 4). Πξνζδηνξίδεηαη ε ζέζε ηνπ θνξπθαίνπ ζεκείνπ Κ ζην ζεκείν ηνκήο ηνπ επζύγξακκνπ ηκήκαηνο ΑΒ ηνπ ζρήκαηνο κε ηελ θάζεηε ζε απηό επζεία γξακκή ΠΚ πνπ δηέξρεηαη από ηνλ πόιν. ρεδηάδεηαη ν παξάιιεινο αζθαιείαο σο νκόθεληξνο θύθινο κε αθηίλα πνπ πξνζδηνξίδεηαη αλάινγα κε ην γεσγξαθηθό πιάηνο θ ζ. Τπνηππώλνληαη νη ζέζεηο ησλ ζεκείσλ θαη ηνπ παξαιιήινπ αζθαιείαο ηνπ ζρήκαηνο 4 ζηηο αληίζηνηρεο ζέζεηο θαη ηνπ γλσκνληθνύ ράξηε ηνπ ζρήκαηνο α. Ζ ππνηύπσζε ηεο ζέζεο ησλ ζεκείσλ απηώλ γίλεηαη κε ηε ζρεδίαζε ησλ εθαπηόκελσλ ζηνλ παξάιιειν αζθαιείαο επζεηώλ Α θαη Β ηνπ ζρήκαηνο α. Με ηελ πεξαηηέξσ αμηνπνίεζε ηεο παξαπάλσ γξαθηθήο εξγαζίαο επηηπγράλεηαη: Ο γξαθηθόο πξνζδηνξηζκόο ησλ γεσγξαθηθώλ ζπληεηαγκέλσλ ηνπ θνξπθαίνπ ζεκείνπ Κ θαη ησλ ζεκείσλ θαη ηνπ παξαιιήινπ αζθαιείαο ζην γλσκνληθό ράξηε. Ζ κεηαθνξά ηνπ ίρλνπο ηνπ ζύλζεηνπ πινπ ζην κεξθαηνξηθό ράξηε (ρ. β) σο εμήο: 40

Σα δύν ζθέιε ηνπ κηθηνύ πινπ πνπ αληηζηνηρνύλ ζηα νξζνδξνκηθά ηόμα Α θαη Β απεηθνλίδνληαη ζην κεξθαηνξηθό ράξηε κε δηαδνρηθέο ινμνδξνκηθέο πιεύζεηο όπσο ζηελ πεξίπησζε ηνπ νξζνδξνκηθνύ πινπ ηνπ ζρήκαηνο 0β. Σν ζθέινο ηνπ κηθηνύ πινπ πνπ αληηζηνηρεί ζην ινμνδξνκηθό πινπ επί ηνπ ηόμνπ ηνπ παξαιιήινπ αζθαιείαο θ ζ απεηθνλίδεηαη ζην κεξθαηνξηθό ράξηε κε ην επζύγξακκν ηκήκα πνπ δηέξρεηαη από ηα ζεκεία θαη. α. ρεδίαζε ζύλζεηνπ πινπ ζε γλσκνληθό ράξηε β. Μεηαθνξά ίρλνπο ζύλζεηνπ πινπ ζην κεξθαηνξηθό ράξηε ΥΖΜΑ : ρεδίαζε ζύλζεηνπ πινπ ζην γλσκνληθό θαη ζην κεξθαηνξηθό ράξηε III. ΑΡΙΘΜΗΣΙΚΗ ΔΠΙΛΤΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΣΧΝ ΛΟΞΟΓΡΟΜΙΚΟΤ ΠΛΟΤ ΣΗΝ ΠΑΡΑΓΟΙΑΚΗ ΝΑΤΣΙΛΙΑ ηελ παξαδνζηαθή λαπηηιία, εθηόο από ηηο γξαθηθέο κεζόδνπο πνπ παξνπζηάζηεθαλ ζηελ ελόηεηα ΗΗ, ε επίιπζε ησλ πξνβιεκάησλ ηνπ ινμνδξνκηθνύ πινπ πινπνηείηαη θαη κε αξηζκεηηθέο κεζόδνπο, νη νπνίεο αλάγνληαη ζηελ επίιπζε απιώλ νξζνγώλησλ ηξηγώλσλ κε κεζόδνπο ηεο επίπεδεο ηξηγσλνκεηξίαο. Σα βαζηθά ραξαθηεξηζηηθά ησλ νξζνγώλησλ ηξηγώλσλ ηνπ ινμνδξνκηθνύ πινπ (ρ. 3) είλαη: Ζ ππνηείλνπζα D ι απεηθνλίδεη ην δξνκνιόγην ηνπ ινμνδξνκηθνύ πινπ από ην ζεκείν αλαρώξεζεο Α πξνο ην ζεκείνπ πξννξηζκνύ Β. Οη θάζεηεο πιεπξέο ζρεδηάδνληαη ε κελ κία (ΓY) ζην κεζεκβξηλό ηνπ ζεκείνπ αλαρώξεζεο Α, ε δε άιιε (ΓX) ζηνλ παξάιιειν πιάηνπο ηνπ ζεκείνπ πξννξηζκνύ Β. Ζ απόζηαζε ηνπ ινμνδξνκηθνύ πινπ ηζνύηαη κε ην κήθνο ηεο ππνηείλνπζαο D ι θαη ε πνξεία ηνπ ινμνδξνκηθνύ πινπ είλαη ίζε κε ηελ γσλία δ ζην ζεκείν αλαρώξεζεο Α. Αλάινγα κε ηε ρξεζηκνπνηνύκελε κέζνδν επίιπζεο, νη δύν θάζεηεο πιεπξέο ηνπ επίπεδνπ ηξηγώλνπ ηνπ ινμνδξνκηθνύ πινπ (ΓY θαη ΓX) αληηπξνζσπεύνπλ δηάθνξεο παξακέηξνπο (ρ. 3β, θαη ρ.3γ). Δμαίξεζε απνηεινύλ νη δύν εηδηθέο πεξηπηώζεηο ηνπ ινμνδξνκηθνύ πινπ ζηε δηεύζπλζε ηνπ κεζεκβξηλνύ θαη ηνπ ινμνδξνκηθνύ πινπ ζηε δηεύζπλζε ηνπ παξαιιήινπ. 4

α. Γεληθή κνξθή β. Με απνρώξεζε (p) θαη δηαθνξά πιάηνπο (Γθ) γ. Με δηαθνξά απμνκεξώλ Γθ μ θαη δηαθνξά κήθνπο Γι ΥΖΜΑ 3: Μνξθέο ηνπ ηξηγώλνπ ηνπ ινμνδξνκηθνύ πινπ ηεο παξαδνζηαθήο λαπηηιίαο Γηα πιόεο κηθξώλ απνζηάζεσλ, ε κελ πιεπξά ΓΤ είλαη ίζε κε ηε δηαθνξά γεσγξαθηθνύ πιάηνπο Γθ ζε πξώηα ιεπηά ηεο κνίξαο, ε δε πιεπξά ΓΥ είλαη ίζε κε ηελ ηηκή ηεο απνρώξεζεο p ζε λαπηηθά κίιηα (ρ. 3β). Ζ απνρώξεζε (departure) νξίδεηαη σο ε απόζηαζε πνπ κεηαηνπίδεηαη έλα πισηό θαηά ηε δηεύζπλζε Αλαηνιή-Γύζε, όηαλ πιέεη ινμνδξνκηθώο από έλα ζεκείν αλαρώξεζεο Α πξνο έλα ζεκείν πξννξηζκνύ Β [6]. Γηα ηηο πεξηζζόηεξεο πεξηπηώζεηο ε ηηκή ηεο απνρώξεζεο ζε λαπηηθά κίιηα πξνζεγγίδεηαη κε ην γξακκηθό κέγεζνο ηνπ παξαιιήινπ κέζνπ πιάηνπο ησλ δύν ζεκείσλ πνπ πεξηέρεηαη κεηαμύ ησλ κεζεκβξηλώλ ησλ ζεκείσλ απηώλ. Ζ πξνζέγγηζε απηή δελ είλαη απόιπηα ζσζηή, αιιά γηα πιόεο κηθξώλ απνζηάζεσλ δελ δεκηνπξγεί αμηνζεκείσηα γηα ηηο αλάγθεο ηεο λαπηηιίαο ζθάικαηα. Γηα πιόεο κεγάισλ απνζηάζεσλ, ε κελ πιεπξά ΓΤ είλαη ίζε κε ηε δηαθνξά ησλ απμνκεξώλ πιαηώλ Γθ μ (meridional difference), ε δε πιεπξά ΓΥ είλαη ίζε κε ηε δηαθνξά γεσγξαθηθνύ κήθνπο Γι ζε πξώηα ιεπηά ηεο κνίξαο (ρ. 3γ). Σν απμνκεξέο πιάηνο θ μ (meridional parts m) ελόο παξαιιήινπ πιάηνπο είλαη ην - επί ηνπ λαπηηθνύ κεξθαηνξηθνύ ράξηε - κήθνο ηνπ ηόμνπ ηνπ κεζεκβξηλνύ κεηαμύ ηνπ ηζεκεξηλνύ θαη ηνπ παξαιιήινπ κεηξνύκελν ζε κνλάδεο πξώηνπ ιεπηνύ ηνπ ηζεκεξηλνύ. ηνπο ππνινγηζκνύο ηεο παξαδνζηαθήο λαπηηιίαο νη ηηκέο ηεο δηαθνξάο απμνκεξώλ πιαηώλ δελ ππνινγίδνληαη, αιιά ιακβάλνληαη από δηάθνξνπο λαπηηιηαθνύο πίλαθεο, όπσο νη πίλαθεο Norie s [] θαη νη πίλαθεο Bowditch [4]. Οη κέζνδνη επίιπζεο ησλ πξνβιεκάησλ ινμνδξνκηθνύ πινπ ηεο παξαδνζηαθήο λαπηηιίαο είλαη δπλαηό λα δώζνπλ απνηειέζκαηα ππνινγηζκώλ πνιύ κεγάιεο αθξίβεηαο, αλάινγα κε ηε κέζνδν πξνζδηνξηζκνύ ησλ ηηκώλ ησλ θάζεησλ πιεπξώλ ΓΥ θαη ΓΤ ηνπ ηξηγώλνπ ηνπ ινμνδξνκηθνύ πινπ (ρ. 3α). Δλ ηνύηνηο, πξνθεηκέλνπ λα επηηεπρζεί απινπνίεζε ησλ εθηεινύκελσλ ππνινγηζκώλ, ε επίιπζε ησλ πξνβιεκάησλ ηνπ ινμνδξνκηθνύ πινπ ζηεξίδεηαη ζηνλ πξνζδηνξηζκό ηνπ κήθνπο ησλ θάζεησλ πιεπξώλ ΓΥ θαη ΓΤ ηνπ επίπεδνπ ηξηγώλνπ ηνπ ινμνδξνκηθνύ πινπ (ρ. 3) κε παξαδνρέο πνπ κεηώλνπλ ηελ αθξίβεηα ησλ ππνινγηζκώλ. Οη θπξηόηεξεο από ηηο παξαδνρέο ηεο θιαζηθήο λαπηηιίαο, πνπ ππνβαζκίδνπλ ηελ αθξίβεηα ησλ ππνινγηζκώλ ηνπ ινμνδξνκηθνύ πξνβιήκαηνο, είλαη: Ζ παξαδνρή όηη ην γξακκηθό κήθνο ηόμνπ ελόο πξώηνπ ιεπηνύ ζην κεζεκβξηλό είλαη έλα λαπηηθό κίιη (.85 κέηξα), αλεμάξηεηα αλ νη ππνινγηζκνί απηνί πξαγκαηνπνηνύληαη ζηελ επηθάλεηα ηεο ζθαίξαο, ή ηνπ ζθαηξoεηδνύο. Σν γξακκηθό κήθνο ελόο πξώηνπ ιεπηνύ ηεο κνίξαο ζηε κεζεκβξηλή έιιεηςε δελ ηζνύηαη κε.85 κέηξα, αιιά κεηαβάιιεηαη κε ην γεσγξαθηθό πιάηνο θαη επίζεο εμαξηάηαη από ην γεσδαηηηθό ζύζηεκα αλαθνξάο (WGS- 84, ED-50 θιπ.). Υξήζε κηθηήο πξνζέγγηζεο ηεο κνξθήο ηεο επηθάλεηαο ηεο γεο ζύκθσλα κε ηελ νπνία, ε γε ζεσξείηαη ελ κέξεη ζθαίξα θαη ελ κέξεη ειιεηςνεηδέο εθ πεξηζηξνθήο. Πην ζπγθεθξηκέλα, ε κελ πιεπξά ΓΤ ηνπ ηξηγώλνπ ηνπ ινμνδξνκηθνύ πινπ (ρ. 3β), πξνζδηνξίδεηαη σο 4

δηαθνξά απμνκεξώλ πιαηώλ Γθ μ ηνπ ζθαηξνεηδνύο, ελώ ε πιεπξά ΓΥ (απνρώξεζε - departure), γηα ιόγνπο πεξαηηέξσ απινπνίεζεο ησλ ππνινγηζκώλ πξνζδηνξίδεηαη ζηε ζθαίξα κε ηελ παξαδνρή όηη πξνζεγγίδεηαη ηθαλνπνηεηηθά κε ην κήθνο ζε λαπηηθά κίιηα ηνπ ηόμνπ ηνπ παξαιιήινπ κέζνπ πιάηνπο πνπ νξίδεηαη από ηνπο κεζεκβξηλνύο ησλ ζεκείσλ Α θαη Β. Γηα ηελ αθξηβέζηεξε επίιπζε ησλ πξνβιεκάησλ ινμνδξνκηθνύ πινπ νη ηηκέο ησλ δύν θάζεησλ πιεπξώλ Γy θαη Γx ηνπ νξζνγώληνπ ηξηγώλνπ ηνπ ινμνδξνκηθνύ πινπ πξέπεη λα πξνζδηνξίδνληαη από ηνπο ηύπνπο πνπ πξνθύπηνπλ από ηε καζεκαηηθή αλάιπζε ηνπ πξνβιήκαηνο ηνπ ινμνδξνκηθνύ πινπ ζην ζθαηξνεηδέο, ρσξίο ηηο παξαδνρέο ηεο παξαδνζηαθήο λαπηηιίαο πνπ ππνβαζκίδνπλ ηελ αθξίβεηα ησλ ππνινγηζκώλ. Ο θαζνξηζκόο ησλ θαηάιιεισλ ηηκώλ ησλ δύν θάζεησλ πιεπξώλ ΓX θαη ΓY ηνπ νξζνγώληνπ ηξηγώλνπ ηνπ ινμνδξνκηθνύ πινπ (ρ. 3α), γηα ηε ζπλερή βειηίσζε ησλ κεζόδσλ επίιπζεο ησλ πξνβιεκάησλ ηνπ ινμνδξνκηθνύ έρεη απνηειέζεη ζέκα ζπλερνύο κειέηεο θαη έξεπλαο ηνπιάρηζηνλ θαηά ηα ηειεπηαία πελήληα θαη πιένλ έηε αλάινγα κε ηα δηαηηζέκελα αλά ρξνληθή πεξίνδν ππνινγηζηηθά εξγαιεία [3], [4], [5], [6], [7], [8], [9], [8] θαη [0]. ΙV. ΔΠΙΛΤΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΣΧΝ ΛΟΞΟΓΡΟΜΙΚΟΤ ΠΛΟΤ ΣΟ ΦΑΙΡΟΔΙΓΔ Α. Κπξηόηεξεο κέζνδνη επίιπζεο πξνβιεκάησλ ινμνδξνκηθνύ πινπ ζην ζθαηξνεηδέο Οη ζεκαληηθόηεξεο κέζνδνη επίιπζεο ησλ πξνβιεκάησλ ηνπ ινμνδξνκηθνύ πινπ ζην ειιεηςνεηδέο, πνπ είλαη δπλαηό λα ρξεζηκνπνηεζνύλ άκεζα γηα ηελ αλάπηπμε λαπηηιηαθνύ ινγηζκηθνύ, αλεμάξηεηα αλ ε επίιπζε εθηειείηαη ζε θάπνηα παξακεηξνπνηεκέλε επηθάλεηα, ή απεπζείαο ζηελ επηθάλεηα ηνπ ζθαηξνεηδνύο, είλαη: ε κέζνδνο ηνπ Bowring [7], ε κέζνδνο ηνπ Snyder [9] ε κέζνδνο ηνπ Bennet [8] θαη ε πξνηεηλόκελε κέζνδνο, ε νπνία δεκηνπξγήζεθε από ηε βειηίσζε, ηε ζπκπιήξσζε θαη ηε ζύλζεζε ησλ παξαπάλσ κεζόδσλ επίιπζεο ζην ζθαηξνεηδέο. Β. Πξνηεηλόκελε κέζνδνο επίιπζεο πξνβιεκάησλ ινμνδξνκηθνύ πινπ ζην ζθαηξνεηδέο. Αληίζηξνθν ινμνδξνκηθό πξόβιεκα Ζ κέζνδνο ζηεξίδεηαη ζηελ αλάιπζε ηεο γεσκεηξίαο ηεο ινμνδξνκίαο ζην ζθαηξνεηδέο (ρ.4) από ηελ νπνία πξνθύπηνπλ νη ζρέζεηο () θαη () γηα ηνλ ππνινγηζκό ηεο πνξείαο δ θαη ηεο απόζηαζεο D ι ηνπ ινμνδξνκηθνύ πινπ []. Ζ () κπνξεί λα ζεσξεζεί όηη αληηζηνηρεί ζηελ επίιπζε ηνπ επίπεδνπ νξζνγώληνπ ηξηγώλνπ ηνπ ινμνδξνκηθνύ πινπ ηεο παξαδνζηαθήο λαπηηιίαο ηνπ ζρήκαηνο 3α, ζην νπνίν ε θάζεηε πιεπξά ΓΥ είλαη ίζε κε ην κήθνο ηνπ ηόμνπ ηνπ κεζεκβξηλνύ, ην νπνίν πεξηέρεηαη κεηαμύ ησλ παξαιιήισλ πιάηνπο ησλ ζεκείσλ αλαρώξεζεο θαη πξννξηζκνύ ( θαη ). Δλ tanζ e φ () π θ esinθ ln tan 4 esinθ D ι = secδ () Όπνπ: είλαη ην κήθνο ηνπ ηόμνπ ηνπ κεζεκβξηλνύ, ην νπνίν πεξηέρεηαη κεηαμύ ησλ παξαιιήισλ πιάηνπο ησλ ζεκείσλ αλαρώξεζεο θαη πξννξηζκνύ ( θαη ). φ 43

dλ dθ ds dφ tan ζ e e / e sin θ cosθ a( e ) sin φ 3 secζ ΥΖΜΑ 4: Γεσκεηξία ινμνδξνκίαο ζην ζθαηξνεηδέο [] Ζ αθξηβέζηεξε θαη ηαρύηεξε κέζνδνο ππνινγηζκνύ ηνπ κήθνο ηνπ ηόμνπ ηνπ κεζεκβξηλνύ παξέρεηαη από ηελ ζεηξά ηεο (3). Σν κήθνο ηνπ ηόμνπ ηνπ κεζεκβξηλνύ, ην νπνίν πεξηέρεηαη κεηαμύ ησλ παξαιιήισλ πιάηνπο ησλ ζεκείσλ αλαρώξεζεο θαη πξννξηζκνύ ( θαη ) πξνζδηνξίδεηαη από ηελ (4), ζηελ νπνία νη ηηκέο Μ θαη Μ ππνινγίδνληαη από ηελ (3). ύκθσλα κε ηα απνηειέζκαηα αλαιπηηθήο αμηνιόγεζεο [] κε ηε ρξήζε ηεο (3) κε όξνπο κέρξη ηάμεο Μ επηηπγράλεηαη αθξίβεηα ηεο ηάμεο ησλ 6 κέηξσλ, ε νπνία ππεξθαιύπηεη ηηο αλάγθεο ηεο λαπζηπινΐαο. a ( e ) M θ M sinθ M sin4θ M sin6θ M sin8θ... (3) M 0 4 6 8 M M M M M 3 45 4 75 6 05 8 e e e e 4 64 56 6384 0 3 8 5 3 55 04 05 4096 4 6 8 e e e e 5 4 05 6 05 8 e e e 56 04 880 4 35 6 35 8 e e 307 88 6 35 e 30784 8 8............ =Μ -Μ (4) Όπνπ: Οη ηηκέο Μ θαη Μ ππνινγίδνληαη κε ηελ (3) γηα ηα γεσγξαθηθά πιάηε θ θαη θ. 44

Δθηόο από ηηο (3) θαη (4) γηα ηνλ ππνινγηζκό ηνπ κήθνπο ηνπ ηόμνπ ηνπ κεζεκβξηλνύ ζην ειιεηςνεηδέο WGS-84, κπνξνύλ λα ρξεζηκνπνηεζνύλ θαη νη (5) θαη (6), ζηηο νπνίεο νη ηηκέο ησλ θ θαη θ είλαη ζε κνίξεο θαη ε ηηκή M ζε κέηξα θαη λαπηηθά κίιηα αληίζηνηρα. M M θπ θπ 3,95 5Γ -6038,5086 sin sin 90 90 θ π θπ 60.006994-8.6600 sin sin 90 90 ηελ εηδηθή πεξίπησζε πινπ επάλσ, ή θνληά ζε έλαλ κεζεκβξηλό (ι ι ι), δελ εθηειείηαη επίιπζε ηνπ επίπεδνπ ηξηγώλνπ ηνπ ινμνδξνκηθνύ πινπ, αιιά: Ζ πνξεία δ ηνπ ινμνδξνκηθνύ πινπ είλαη ίζε κε 000 ή 80, αλάινγα αλ ην πινίν θαηεπζύλεηαη βόξεηα ή λόηηα. Ζ απόζηαζε D ι ηνπ ινμνδξνκηθνύ πινπ ππνινγίδεηαη από νπνηαδήπνηε από ηηο ζρέζεηο (4) (5) θαη (6), πνπ δίλνπλ ην κήθνο ηνπ ηόμνπ ηνπ κεζεκβξηλνύ ζην ζθαηξνεηδέο. ηελ εηδηθή πεξίπησζε πινπ επάλσ, ή θνληά ζε έλαλ παξάιιειν πιάηνπο (θ θ θ), δελ εθηειείηαη επίιπζε ηνπ επίπεδνπ ηξηγώλνπ ηνπ ινμνδξνκηθνύ πινπ, αιιά: Ζ πνξεία δ ηνπ ινμνδξνκηθνύ πινπ είλαη ίζε κε 090 ή 70, αλάινγα αλ ην πινίν θαηεπζύλεηαη αλαηνιηθά ή δπηηθά. Ο ππνινγηζκόο ηεο απόζηαζεο D ι ηνπ ινμνδξνκηθνύ πινπ πξαγκαηνπνηείηαη κε ηελ (7). a Γλcosθ D λ e sin θ (7). Δπζύ ινμνδξνκηθό πξόβιεκα Γηα ηνλ ππνινγηζκό ησλ ζπληεηαγκέλσλ θ θαη ι ηνπ ζεκείνπ πξννξηζκνύ ρξεζηκνπνηνύληαη νη (8) θαη (9). θ θ θ (8) λ λ λ (9) Γηα ηνλ ππνινγηζκό ηνπ θ ζηε (8) ε δηαθνξά γεσγξαθηθνύ πιάηνπο Γθ πξνζδηνξίδεηαη από ηε (3), πνπ δίλεη ην κήθνο ηνπ ηόμνπ ηνπ κεζεκβξηλνύ κε δηαδνρηθέο πξνζεγγίζεηο σο εμήο: Βήκα ν : Τπνινγίδεηαη ην κήθνο Μ ηνπ ηόμνπ ηνπ κεζεκβξηλνύ, από ηνλ ηζεκεξηλό κέρξη ηνλ παξάιιειν πιάηνπο θ κε ηελ (3). Βήκα ν : Τπνινγίδεηαη ην κήθνο ηνπ ηόμνπ ηνπ κεζεκβξηλνύ κεηαμύ ησλ παξαιιήισλ πιάηνπο θ θαη θ κε ηε (0). Βήκα 3 ν : Τπνινγίδεηαη ην κήθνο Μ ηνπ ηόμνπ ηνπ κεζεκβξηλνύ, από ηνλ ηζεκεξηλό κέρξη ηνλ παξάιιειν πιάηνπο θ κε ηελ (). Βήκα 4 ν : Τπνινγίδεηαη ε ηηκή ηνπ ηόμνπ Μ, από ηνλ ηζεκεξηλό κέρξη ηνλ παξάιιειν πιάηνπο θ, απηή ηε θνξά κε ηελ (3) θαη κε κία πξώηε πξνζέγγηζε ηεο ηηκήο θ ζε κνίξεο ίζε κε Μ /60. Βήκα 5 ν : Τπνινγίδεηαη ε δεύηεξε (αθξηβέζηεξε) πξνζέγγηζε ηεο ηηκήο ηνπ θ ίζε κε Μ /60, αιιά απηήλ ηε θνξά κε ηελ ηηκή ηνπ Μ πνπ ππνινγίζηεθε ζην 4 ν βήκα. Βήκα 6 ν : Δπαλαιακβάλεηαη ην 5 ν βήκα γηα ηνλ ππνινγηζκό ηεο ηξίηεο αθξηβέζηεξεο πξνζέγγηζεο ηεο ηηκήο ηνπ θ. πλήζσο δύν έσο ηξεηο πξνζεγγίζεηο είλαη αξθεηέο γηα ηνλ αθξηβή πξνζδηνξηζκό ηνπ θ. M Dλcosζ (0) () M = M () + M () (5) (6) 45

Γηα ηνλ ππνινγηζκό ηνπ ι ζηελ (8), ε δηαθνξά γεσγξαθηθνύ κήθνπο Γι πξνζδηνξίδεηαη από ηε () () (), ζηελ νπνία ην κήθνο ηνπ ηόμνπ ηνπ κεζεκβξηλνύ M = M - M πξνζδηνξίδεηαη από ηε (4) () () κε ηηκέο ησλ M θαη M πνπ ππνινγίδνληαη από ηελ (3). Γλ M tanζ () Δθηόο από ηελ παξαπάλσ κέζνδν ησλ δηαδνρηθώλ πξνζεγγίζεσλ, ππάξρεη ε δπλαηόηεηα ελαιιαθηηθνύ ππνινγηζκνύ ηνπ γεσγξαθηθνύ πιάηνπο θ ηνπ ζεκείνπ πξννξηζκνύ (επζύ πξόβιεκα) ρσξίο ηε ρξήζε ηεο κεζόδνπ ησλ δηαδνρηθώλ πξνζεγγίζεσλ 5, αιιά κε ηε (3) ηνπ αληίζηξνθνπ κεηαζρεκαηηζκνύ ηνπ κήθνπο ηνπ ηόμνπ ηνπ κεζεκβξηλνύ Μ από ηνλ ηζεκεξηλό κέρξη έλα ζεκείν γεσγξαθηθνύ πιάηνπο θ [8]. Με ηε κέζνδν απηή ην γεσγξαθηθό πιάηνο θ ηνπ ζεκείνπ πξννξηζκνύ πξνζδηνξίδεηαη από ηε (3) κε ηηκή ηνπ κήθνπο ηνπ ηόμνπ κεζεκβξηλνύ Μ, ε νπνία πξνζδηνξίδεηαη από ηε (4). ηε (4) ε παξάκεηξνο Μ πξνζδηνξίδεηαη από ηελ (3). 85 M θ a A o A A o 7A sin T 5A 4 o A sin 4T 5A Όπνπ: Σ είλαη ν πξώηνο όξνο ηνπ αζξνίζκαηνο o 6 sin 6T 85 M a A o (3) Μ =Μ +D ι cosδ (4) V. ΔΠΙΛΤΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΣΧΝ ΟΡΘΟΓΡΟΜΙΚΟΤ ΚΑΙ ΤΝΘΔΣΟΤ ΠΛΟΤ ΜΔ ΜΔΘΟΓΟΤ ΣΗ ΦΑΙΡΙΚΗ ΣΡΙΓΧΝΟΜΔΣΡΙΑ Α. Πξόβιεκα νξζνδξνκηθνύ πινπ ηελ παξαδνζηαθή λαπηηιία ε επίιπζε ησλ πξνβιεκάησλ ηνπ νξζνδξνκηθνύ πινπ πινπνηείηαη κε ηελ επίιπζε ζθαηξηθώλ ηξηγώλσλ ζε ζθαίξα κνλαδηαίαο αθηίλαο θαη ηελ παξαδνρή όηη έλα πξώην ιεπηό ηεο κνίξαο νπνηνπδήπνηε κέγηζηνπ θύθινπ αληηζηνηρεί ζε έλα λαπηηθό κίιη. Σα ζηαδηα επίιπζεο ηνπ πξνβιήκαηνο ηνπ νξζνδξνκηθνύ πινπ θαη νη ζρέζεηο γηα ηελ ηππνπνίεζε ησλ ππνινγηζκώλ είλαη ηα εμήο: Σηάδην Ι (ππνινγηζκόο ηεο απόζηαζεο θαη ηεο αξρηθήο πνξείαο ηνπ νξζνδξνκηθνύ πινπ) ην ζηάδην απηό εθηειείηαη επίιπζε ηνπ ζθαηξηθνύ ηξηγώλνπ ΑΠΒ ηνπ νξζνδξνκηθνύ πινπ κε θνξπθέο ην ζεκείν αλαρσξήζεσο Α, ην ζεκείν πξννξηζκνύ Β θαη ηνλ πιεζηέζηεξν ζην ζεκείν αλαρσξήζεσο πόιν Π (ρ. 5) γηα ηνλ ππνινγηζκό ηεο απόζηαζεο θαη ηεο αξρηθήο πνξείαο νξζνδξνκηθνύ πινπ. Ζ απόζηαζε D o ηνπ νξζνδξνκηθνύ πινπ ζε λαπηηθά κίιηα πξνθύπηεη από ηελ ππνινγηδόκελε ηηκή ηεο πιεπξάο ΑΒ ηνπ ζθαηξηθνύ ηξηγώλνπ ΑΠΒ ζε πξώηα ιεπηά ηεο κνίξαο θαη δίλεηαη από ηε (5). D o =arccos[(sinθ Α sinθ Β +cosθ Α cosθ Β cosγι)] (5) Ζ αξρηθή πνξεία δ Α ηνπ νξζνδξνκηθνύ πινπ ζην ζεκείν αλαρώξεζεο Α πξνθύπηεη από ηελ ππνινγηδόκελε ηηκή ηεο γσλίαο ζηε θνξπθή Α ηνπ ζθαηξηθνύ ηξηγώλνπ ΑΠΒ ζε κνίξεο θαη δίλεηαη από ηε (6). ζ arctan (cosθ Α sin λ tan θ ) (sin θ Β Α cos λ) (6) 46

E, E3 E( θ λ ) K α. Δπίιπζε ηνπ ζθαηξηθνύ ηξηγώλνπ ΑΠΒ γηα ηνλ ππνινγηζκό ηεο απόζηαζεο ηνπ νξζνδξνκηθνύ πινπ (ηόμν ΑΒ). β. Δπίιπζε ηνπ νξζνγσλίνπ ζθαηξηθνύ ηξηγώλνπ ΑΠΚ γηα ηνλ ππνινγηζκό ηεο ζέζεο θνξπθαίνπ ζεκείνπ Κ. γ. Γηαδνρηθή επίιπζε ησλ νξζνγώλησλ ζθαηξηθώλ ηξηγώλσλ ΠΚΔ, ΠΚΔ, ΠΚΔ3,.. γηα ηνλ ππνινγηζκό ηεο ζέζεο ησλ ελδηάκεζσλ ζεκείσλ Δ, Δ, Δ3,... ΥΖΜΑ 5: Δπίιπζε πξνβιήκαηνο νξζνδξνκηθνύ πινπ κε ζθαηξηθή ηξηγσλνκεηξία Σηάδην ΙΙ (ππνινγηζκόο ηεο ζέζεωο ηνπ θνξπθαίνπ ζεκείνπ) ην ζηάδην απηό εθηειείηαη επίιπζε ηνπ νξζνγώληνπ ζθαηξηθνύ ηξηγώλνπ ΑΠΚ (ρ. 5) κε θνξπθέο ην ζεκείν αλαρώξεζεο Α, ην θνξπθαίν ζεκείν Κ ηνπ νξζνδξνκηθνύ ηόμνπ θαη ηνλ πιεζηέζηεξν πόιν Π, γηα ηνλ ππνινγηζκό ηεο ζέζεο ηνπ θνξπθαίνπ ζεκείνπ Κ. Σν γεσγξαθηθό κήθνο ι Κ ηνπ θνξπθαίνπ ζεκείνπ Κ πξνθύπηεη από ηελ ππνινγηδόκελε ηηκή ηεο γσλίαο ΑΠΚ, ε νπνία ηζνύηαη κε ηε δηαθνξά γεσγξαθηθνύ κήθνπο Γι Κ ηνπ θνξπθαίνπ ζεκείνπ Κ από ην ζεκείν αλαρώξεζεο Α (Γι Κ = ι Κ - ι Α ) θαη δίλεηαη από ηε (7). cosζ Α (7) Γλ Κ arcsin sin θκ ι Κ = Γι Κ - ι Α (Γι Κ =ΑΠΚ) Σν γεσγξαθηθό πιάηνο θ Κ ηνπ θνξπθαίνπ ζεκείνπ Κ ηνπ κέγηζηνπ θύθινπ πξνθύπηεη από ηελ ππνινγηδόκελε ηηκή ηεο πιεπξάο ΠΚ ηνπ νξζνγώληνπ ζθαηξηθνύ ηξηγώλνπ ΑΠΚ, ε νπνία ηζνύηαη κε ην ζύκπιαηνο ηνπ ζεκείνπ Κ (90º - θ θ ) θαη δίλεηαη από ηε (8). θ K = arccos(cosθ Α sinδ ι ) (8) Σηάδην ΙΙΙ (ππνινγηζκόο ζέζεο ελδηάκεζωλ ζεκείωλ θαη πξνζέγγηζε νξζνδξνκηθνύ πινπ κε δηαδνρηθέο ινμνδξνκηθέο πιεύζεηο) ην ζηάδην απηό εθηειείηαη επίιπζε ησλ νξζνγώλησλ ζθαηξηθώλ ηξηγώλσλ ΠΚΔ, ΠΚΔ,... γηα ηνλ ππνινγηζκό ηεο ζέζεο ησλ ελδηάκεζσλ ζεκείσλ (Δ, Δ, Δ 3,...) ηνπ νξζνδξνκηθνύ ηόμνπ, ηα νπνία αληηζηνηρνύλ ζε πξνθαζνξηζκέλε δηαθνξά κήθνπο Γι η (i =,, 3, ) από ην θνξπθαίν ζεκείν Κ. Σν γεσγξαθηθό πιάηνο θ i ησλ ελδηάκεζσλ ζεκείσλ Δ i (i =,, 3, ), ηα νπνία πξνζδηνξίδνληαη ζηα ζεκεία ηνκήο ηνπ νξζνδξνκηθνύ ηόμνπ κε πξνεπηιεγκέλνπο κεζεκβξηλνύο θαη ζπλεπώο αληηζηνηρνύλ ζε πξνθαζνξηζκέλε δηαθνξά κήθνπο Γι η εθαηέξσζελ ηνπ θνξπθαίνπ ζεκείνπ Κ, δίλεηαη από ηε (9). θ i = arctan(cosγι i tanθ i ) (9) 47

Σν γεσγξαθηθό κήθνο ι i ησλ ελδηάκεζσλ ζεκείσλ Δ i (i =,, 3, ) πξνθύπηεη από ηελ πξνθαζνξηζκέλε ηηκή ηεο δηαθνξάο γεσγξαθηθνύ κήθνπο Γι i (γσλία ΚΠΔ i, ζρήκαηνο 5) θαη δίλεηαη από ηελ (0). ι i = ι Κ Γι i (0) Σα ελδηάκεζα ζεκεία (Δ, Δ, Δ 3,...) ηνπ νξζνδξνκηθνύ ηόμνπ ΑΒ (ρ. 5) ρξεζηκνπνηνύληαη γηα ηνλ πξνζδηνξηζκό ηεο ζπλερώο κεηαβαιιόκελεο πνξείαο ηνπ νξζνδξνκηθνύ πινπ (γσλίαο ησλ κεζεκβξηλώλ θαη ηνπ νξζνδξνκηθνύ ηόμνπ). Ο πξνζδηνξηζκόο ηεο ζπλερώο κεηαβαιιόκελεο πνξείαο γίλεηαη κε ηελ πξνζέγγηζε ηνπ νξζνδξνκηθνύ πινπ κε κηα ζεηξά δηαδνρηθώλ ινμνδξνκηθώλ πιεύζεσλ (πιεύζεηο κε ζηαζεξή πνξεία) γηα ηα ηκήκαηα πινπ, ηα νπνία νξίδνληαη από ην ζεκείν αλαρώξεζεο Α πξνο ην ζεκείν Δ, από ην Δ πξνο ην Δ θιπ. Με ηνλ ηξόπν απηό, κεηά ηνλ ππνινγηζκό ησλ ζπληεηαγκέλσλ ησλ ελδηάκεζσλ ζεκείσλ Δ, Δ, Δ 3, ε επίιπζε ηνπ πξνβιήκαηνο ηνπ νξζνδξνκηθνύ πινπ αλάγεηαη ζηελ επίιπζε ησλ δηαδνρηθώλ ινμνδξνκηθώλ πξνβιεκάησλ γηα ηα ηκήκαηα ηνπ πινπ, ηα νπνία νξίδνληαη από ην ζεκείν αλαρώξεζεο Α πξνο ην ζεκείν Δ, από ην Δ πξνο ην Δ θιπ. (ρ. 6). Με ηελ επίιπζε απηή ππνινγίδνληαη: oη δηαθνξεηηθέο πνξείεο, πνπ πξέπεη λα ιεθζνύλ ζηα ελδηάκεζα ζεκεία Δ, Δ, Δ 3, θιπ. θαη ε ζπλνιηθή απόζηαζε ηνπ πινπ (άζξνηζκα απνζηάζεσλ ησλ δηαδνρηθώλ ινμνδξνκηθώλ πιεύζεσλ). Ζ απόζηαζε απηή πξνζεγγίδεη θαιύηεξα ην κήθνο ηνπ νξζνδξνκηθνύ ηόμνπ ΑΒ, όηαλ ιακβάλεηαη κεγαιύηεξνο αξηζκόο ελδηάκεζσλ ζεκείσλ. (απεηθόληζε ζηελ επίπεδε επηθάλεηα πινήγεζεο ηνπ λαπηηθνύ κεξθαηνξηθνύ ράξηε) ΥΖΜΑ 6: Πξνζέγγηζε νξζνδξνκηθνύ πινπ κε δηαδνρηθέο ινμνδξνκηθέο πιεύζεηο Β. Πξόβιεκα ζύλζεηνπ πινπ Ζ αξηζκεηηθή επίιπζε ησλ πξνβιεκάησλ ηνπ ζύλζεηνπ πινπ ζηελ παξαδνζηαθή λαπηηιία βαζίδεηαη ζηελ επίιπζε ζθαηξηθώλ ηξηγώλσλ κε κεζόδνπο αλάινγεο απηώλ πνπ ρξεζηκνπνηνύληαη γηα ηελ επίιπζε ησλ πξνβιεκάησλ ηνπ νξζνδξνκηθνύ πινπ ( V/A). Χο παξάδεηγκα αλαθέξεηαη ε αξηζκεηηθή επίιπζε ηνπ κηθηνύ πινπ ηνπ ζρήκαηνο 4. ην παξάδεηγκα απηό επηιύνληαη ηα νξζνγώληα ζθαηξηθά ηξίγσλα Α Π θαη Β Π (ρ.7) γηα ηνλ ππνινγηζκό: Σσλ απνζηάζεσλ ζ θαη ζ 3 ησλ δύν ζθειώλ ηνπ κηθηνύ πινπ πνπ αληηζηνηρνύλ ζηα νξζνδξνκηθά ηόμα Α θαη Β από ηελ (). Σσλ δηαθνξώλ γεσγξαθηθνύ κήθνπο Γι θαη Γι θαη ησλ γεσγξαθηθώλ ζπληεηαγκέλσλ ησλ ζεκείσλ θαη από ηα ζεκεία Α θαη Β αληίζηνηρα (ρ. 4 θαη ρ. 7). Οη ηηκέο ησλ Γι θαη Γι ππνινγίδνληαη από ηηο () θαη (3). Ζ απόζηαζε ζ ηνπ ζθέινπο ηνπ κηθηνύ πινπ πνπ αληηζηνηρεί ζηνλ πινπ επί ηνπ παξαιιήινπ αζθαιείαο θ ζ, ηζνύηαη κε ην κήθνο ηνπ ηόμνπ, ην νπνίν ππνινγίδεηαη από ηελ (4). 48

ζ i = sinθ i cosθ ζ (i=,) () Γι = sinζ cosθ ζ () Γι = sinζ 3 cosθ ζ (3) ζ =Γιcosθ ζ (4) ΥΖΜΑ 7: Αξηζκεηηθή επίιπζε ζύλζεηνπ πινπ Ζ ζπλνιηθή απόζηαζε D ηνπ κηθηνύ πινπ είλαη ίζε κε: D=ζ +ζ +ζ 3 (5) Σα ζηνηρεία ηνπ νξζνδξνκηθνύ πινπ ζηα ηόμα Α θαη Β ππνινγίδνληαη κε ηε κέζνδν πνπ παξνπζηάζηεθε ζηελ ελόηεηα ( V/A). VI. ΔΠΙΛΤΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΣΧΝ ΟΡΘΟΓΡΟΜΙΚΟΤ ΚΑΙ ΤΝΘΔΣΟΤ ΠΛΟΤ ΜΔ ΜΔΘΟΓΟΤ ΣΗ ΓΙΑΝΤΜΑΣΙΚΗ ΑΝΑΛΤΗ Δθηόο από ηηο κεζόδνπο ηεο ζθαηξηθήο ηξηγσλνκεηξίαο, γηα ηελ αλάπηπμε λαπηηιηαθνύ ινγηζκηθνύ επίιπζεο ησλ πξνβιεκάησλ πινπ ειάρηζηεο απόζηαζεο ζηε ζθαίξα, ρξεζηκνπνηνύληαη κέζνδνη ηεο αλαιπηηθήο γεσκεηξίαο θαη ηεο δηαλπζκαηηθήο αλάιπζεο. ηηο κεζόδνπο ηεο γξακκηθήο άιγεβξαο θαη δηαλπζκαηηθήο αλάιπζεο γίλεηαη ρξήζε ησλ θαξηεζηαλώλ ζπληεηαγκέλσλ (x, y, z) ελόο επίγεηνπ γεσθεληξηθνύ ζπζηήκαηνο αλαθνξάο, ην νπνίν παξνπζηάδεη αξθεηά πιενλεθηήκαηα γηα ηελ αλάπηπμε ινγηζκηθνύ επίιπζεο πξνβιεκάησλ εληνπηζκνύ ζέζεο ηόζν ζηε γεσδαηζία όζν θαη ζηε λαπζηπινΐα. ε έλα επίγεην γεσθεληξηθό ζύζηεκα αλαθνξάο (ρ. 8) ε αξρή ησλ αμόλσλ βξίζθεηαη ζην θέληξν ηεο γεο, ν άμνλαο Ε έρεη δηεύζπλζε πξνο ην βόξεην πόιν, ν άμνλαο Υ δηέξρεηαη από ην ζεκείν ηνκήο ηνπ ηζεκεξηλνύ κε ηνλ πξώην κεζεκβξηλό θαη ν άμνλαο Τ ζπκπιεξώλεη ην δεμηόζηξνθν νξζνθαλνληθό ζύζηεκα. Οη θαξηεζηαλέο ζπληεηαγκέλεο (x, y, z) ελόο ζεκείνπ P ζηελ επηθάλεηα ηεο ζθαίξαο ή ηνπ ζθαηξνεηδνύο απνηεινύλ ηηο ζπληζηώζεο ηνπ δηαλύζκαηνο ζέζεο V ηνπ ζεκείνπ απηνύ. Γηα ηελ πεξίπησζε ηνπ ρξεζηκνπνηνύκελνπ ζηελ παξαδνζηαθή λαπηηιία ζθαηξηθνύ κνληέινπ ηεο γεο κε αθηίλα R ίζε κε ηε κνλάδα, νη θαξηεζηαλέο ζπληεηαγκέλεο (x, y, z) ελόο ζεκείνπ P ζηελ επηθάλεηα ηεο ζθαίξαο θαη νη αληίζηνηρεο γεσγξαθηθέο ζπληεηαγκέλεο (θ, ι) ζπλδένληαη κε ηνπο ηύπνπο (6 ) έσο (30). x cosθ.cosλ (6) y cosθ.sinλ (7) z sinθ (8) θ = sin - z (9) 49

tan tan tan y, x 0, y 0 x y, x 0 x y, x 0, y 0 x (30) ΥΖΜΑ 8: Μεηαζρεκαηηζκόο ζθαηξηθώλ γεσγξαθηθώλ ζπληεηαγκέλσλ (θ, ι) ζε θαξηεζηαλέο (x, y, z) Γηα ηελ επίιπζε ηνπ πξνβιήκαηνο ηνπ νξζνδξνκηθνύ πινπ κε ηε ρξήζε ησλ θαξηεζηαλώλ ζπληεηαγκέλσλ (x, y, z) γίλεηαη αλάιπζε ηεο γεσκεηξίαο ησλ δηαλπζκάησλ ζέζεο δηάθνξσλ ζεκείσλ ηνπ νξζνδξνκηθνύ ηόμνπ (ρ. 9), όπσο: ην δηάλπζκα ζέζεο V A ηνπ ζεκείνπ αλαρώξεζεο Α., ην δηάλπζκα ζέζεο V B ηνπ ζεκείνπ πξννξηζκνύ Β θαη ηα δηαλύζκαηα ζέζεο V, V, V 3, ησλ ελδηάκεζσλ ζεκείσλ Δ, Δ, Δ 3,... Υπνινγηζκόο ηεο απόζηαζεο ηνπ νξζνδξνκηθνύ πινπ Ζ απόζηαζε Do ηνπ νξζνδξνκηθνύ πινπ ππνινγίδεηαη από ηελ ηηκή ηνπ νξζνδξνκηθνύ ηόμνπ ΑΒ πνπ πξνθύπηεη από ηνλ ππνινγηζκό ηνπ εζσηεξηθνύ γηλνκέλνπ ησλ δηαλπζκάησλ ζέζεο ησλ ζεκείσλ αλαρώξεζεο θαη πξννξηζκνύ V A θαη V B. Σν εζσηεξηθό γηλόκελν ησλ δηαλπζκάησλ V A θαη V B δίλεηαη από ηελ (3). V A V V V cos D (3) B A Δπεηδή ηα ζεκεία Α θαη Β βξίζθνληαη ζηελ επηθάλεηα ζθαίξαο κνλαδηαίαο αθηίλαο, νη ηηκέο VA θαη VB είλαη ίζεο κε ηε κνλάδα θαη από ηελ (3) πξνθύπηεη: D o A B B o arcos V V (3) Δπεηδή VA VB xx yy zz [3], από ηελ (3) πξνθύπηεη: o D arcos x x y y z z (33) 50

Αλ ζηε (33) ηεζνύλ νη ηηκέο ησλ x, y, z από ηηο (6), (7) θαη (8), πξνθύπηεη ε (5). Οη (33) θαη (5) είλαη ηζνδύλακεο (νπζηαζηηθά ηαπηίδνληαη). ΥΖΜΑ 9: Δπίιπζε πξνβιεκάησλ νξζνδξνκηθνύ πινπ ζηε ζθαίξα κε κεζόδνπο δηαλπζκαηηθήο αλάιπζεο Υπνινγηζκόο ηεο ζέζεο ηωλ ελδηάκεζωλ ζεκείωλ ηνπ νξζνδξνκηθνύ πινπ Ο ππνινγηζκόο ηεο ζέζεο ησλ ελδηάκεζσλ ζεκείσλ Δ, Δ, Δ 3,... ηνπ νξζνδξνκηθνύ πινπ βαζίδεηαη ζηε ζπλζήθε ζπλεπηπεδόηεηαο ησλ δηαλπζκάησλ ζέζεο V A, V B, V i (i =,, 3 ), ηα νπνία αληηζηνηρνύλ: ζην ζεκείν αλαρώξεζεο Α, ζην ζεκείν πξννξηζκνύ Β θαη ζε έλα ελδηάκεζν ζεκείν V i. Ζ ζπλζήθε ζπλεπηπεδόηεηαο ηξηώλ δηαλπζκάησλ είλαη λα έρνπλ κηθηό γηλόκελν ίζν κε κεδέλ [3]. Γηα ηα δηαλύζκαηα V A, V B θαη V i ε ζπλζήθε ζπλεπηπεδόηεηαο δίλεηαη από ηε (34). V Α.(V Β x V η )=0 (34) Σόζν από ηελ θαηάιιειε επεμεξγαζία ηεο (34) όζν θαη από πεξαηηέξσ αλάιπζε θαη εθαξκνγή κεζόδσλ γξακκηθήο άιγεβξαο θαη δηαλπζκαηηθήο αλάιπζεο πξνθύπηνπλ δηάθνξεο εμηζώζεηο, γηα ηελ απνηειεζκαηηθόηεξε επίιπζε ησλ πξνβιεκάησλ ηνπ νξζνδξνκηθνύ πινπ, όπσο γηα ηνλ ππνινγηζκό ζέζεο ελδηάκεζσλ ζεκείσλ, ρσξίο λα απαηηείηαη πξνεγνύκελνο θαζνξηζκόο ηεο ζέζεο ηνπ θνξπθαίνπ ζεκείνπ. Οη εμηζώζεηο απηέο νλνκάδνληαη εμηζώζεηο κέγηζηνπ θύθινπ. Οη ζεκαληηθόηεξεο εμηζώζεηο κέγηζηνπ θύθινπ, πνπ είλαη δπλαηό λα ρξεζηκνπνηεζνύλ άκεζα γηα ηελ αλάπηπμε λαπηηιηαθνύ ινγηζκηθνύ, είλαη νη εμηζώζεηο ησλ Chi Li Chen [4], Earle [5] θαη Wei-Kuo Tseng [6]. ύκθσλα κε ηα απνηειέζκαηα αξηζκεηηθώλ δνθηκώλ [4] [6] νη εμηζώζεηο κέγηζηνπ θύθινπ παξέρνπλ ηα ίδηα αξηζκεηηθά απνηειέζκαηα κε ηηο κεζόδνπο ηεο ζθαηξηθήο ηξηγσλνκεηξίαο. VII. ΔΠΙΛΤΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΣΧΝ ΠΛΟΤ ΣΗ ΓΔΧΓΑΙΙΑΚΗ ΓΡΑΜΜΗ Γηα ηα πξνβιήκαηα πινπ ειάρηζηεο απόζηαζεο από έλα ζεκείν πξνο έλα ζεκείν, κπνξνύλ λα ρξεζηκνπνηεζνύλ νη κέζνδνη επίιπζεο ησλ ζεκειησδώλ πξνβιεκάησλ ηεο γεσδαηζίαο (επζύ θαη αληίζηξνθν) γηα πνιύ κεγάιεο απνζηάζεηο, κε ηηο νπνίεο επηηπγράλεηαη ζεκαληηθά κεγαιύηεξε αθξίβεηα από ηηο κεζόδνπο επίιπζεο ησλ πξνβιεκάησλ ηνπ νξζνδξνκηθνύ πινπ ζηε ζθαίξα. Οη κέζνδνη επίιπζεο ησλ ζεκειησδώλ πξνβιεκάησλ ηεο γεσδαηζίαο πνιύ κεγάισλ απνζηάζεσλ δηαθξίλνληαη ζηηο επόκελεο δύν θαηεγνξίεο: 5