ΕΜΠ ΔΠΜΣ Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες Αλγόριθμοι Εξόρυξης Πληροφορίας. Διάλεξη 04: Απεικόνιση Γνώσης, Αξιοπιστία & Αποτίμηση

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΜΠ ΔΠΜΣ Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες Αλγόριθμοι Εξόρυξης Πληροφορίας. Διάλεξη 04: Απεικόνιση Γνώσης, Αξιοπιστία & Αποτίμηση"

Transcript

1 ΕΜΠ ΔΠΜΣ Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες Αλγόριθμοι Εξόρυξης Πληροφορίας Διάλεξη 04: Απεικόνιση Γνώσης, Αξιοπιστία & Αποτίμηση

2 Η μορφή των εξαγομένων και η σημασία της Δεδομένα input Αλγόριθμοι Εξόρυξης Πληροφορίας Εξαγόμενα output Οι τεχνικές Μηχανικής Μάθησης παρέχουν διάφορες δομικές περιγραφές των εξαγόμενων Καθεμία από αυτές υπαγορεύει το είδος του αλγορίθμου που πρέπει να χρησιμοποιηθεί για το σχηματισμό της από τα δεδομένα Η κατανόηση του τρόπου περιγραφής συμβάλλει κατά πολύ στην κατανόηση του τρόπου παραγωγής της 2

3 Εξαγόμενα: Απεικόνιση γνώσης Πίνακες απόφασης (decision tables) Δένδρα απόφασης (decision trees) Κανόνες απόφασης (decision rules) Κανόνες συσχέτισης (association rules) Κανόνες με εξαιρέσεις (rules with exceptions) Κανόνες με συσχετίσεις (rules involving relations) Γραμμική παλινδρόμηση (linear regression) Δένδρα για αριθμητική πρόβλεψη (trees for numeric prediction) Απεικόνιση με βάση υποδείγματα (instance-based representation) Ομάδες (clusters) 3

4 Πίνακες απόφασης (decision tables) Ο απλούστερος τρόπος απεικόνισης των εξαγομένων: Χρήση όμοιας περιγραφής με τα δεδομένα! Παράδειγμα: πίνακας απόφασης για το πρόβλημα καιρού: Outlook Humidity Play Sunny High No Sunny Normal Yes Overcast High Yes Overcast Normal Yes Rainy High No Rainy Normal No Κύριο πρόβλημα: επιλογή των κατάλληλων χαρακτηριστικών 4

5 Δένδρα απόφασης (decision trees) Παράγονται με τη μέθοδο διαίρει και βασίλευε ( divide & conquer ) Οι κόμβοι υλοποιούν έλεγχο τιμής ενός χαρακτηριστικού Συνήθως, η τιμή του χαρακτηριστικού συγκρίνεται με μία σταθερά Άλλες δυνατότητες: Σύγκριση τιμών δύο χαρακτηριστικών ή χρήση συνάρτησης για ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά Τα φύλλα εκχωρούν ταξινόμηση, σύνολο ταξινομήσεων ή κατανομές πιθανότητας στα υποδείγματα Έναάγνωστηςτάξεωςυπόδειγμαακολουθείπορείααπότην αρχή ως κάποιο φύλλο του δένδρου για την ταξινόμησή του 5

6 Ονομαστικά & αριθμητικά χαρακτηριστικά Ονομαστικά χαρακτηριστικά: αριθμόςκλάδωνμετάαπόκόμβοσυνήθωςίσοςπροςτον αριθμό των διακριτών τιμών το χαρακτηριστικό δεν ελέγχεται περισσότερες από μία φορές εναλλακτικά: διαίρεση σε υποσύνολα, συνήθως δύο Αριθμητικά χαρακτηριστικά: σύγκριση τιμής χαρακτηριστικού με σταθερά (για ακέραιο) ήσύνολοτιμών(για πραγματικό αριθμό) το χαρακτηριστικό μπορεί να ελεγχθεί περισσότερες από μία φορές εναλλακτικά : διαίρεση σε τρία (ή καιπερισσότερα) υποσύνολα 6

7 Άγνωστες τιμές Σε περίπτωση άγνωστης τιμής (missing value) του υπό ελέγχου χαρακτηριστικού, σε ποιο κλάδο εκχωρείται το παράδειγμα; Συχνά, η άγνωστη καταχωρείται ως ξεχωριστή τιμή του χαρακτηριστικού Αν όχι, τότε απαιτείται ειδική μεταχείριση Λύση A: εκχώρηση του παραδείγματος στον κλάδο με τη μεγαλύτερη συχνότητα Λύση B: διαμελισμός του παραδείγματος εκχώρηση τμημάτων του σε κάθε κλάδο, με στάθμιση ανάλογη της συχνότητας κάθε κλάδου στα υποδείγματα εκπαίδευσης άθροιση των καταληκτικών υποδείξεων από κάθε κλάδο με ίδια στάθμιση 7

8 "Χειροποίητη" κατασκευή δένδρου απόφασης Open segment-challenge.arff Classify choose trees UserClassifier Test options: supplied test set segment-test.arff Start data visualizer X: region-centroid-row(num) & Y: intensity-mean (Num) Rectangle, επιλογή όλων των υποδειγμάτων τάξης sky, submit Tree visualizer Συνέχεια 8

9 Κανόνες ταξινόμησης (classification rules) Δημοφιλής εναλλακτική στα δένδρα απόφασης Προϋπόθεση κανόνα (antecedent): σύνολο ελέγχων (όμοιοι με τους ελέγχους στους κόμβους ενός δένδρου απόφασης) Οι έλεγχοι συνήθως συμπλέκονται με λογική σύζευξη (ΚΑΙ, ωστόσο η χρήση και άλλων λογικών πράξεων είναι εφικτή) Συμπέρασμα κανόνα (consequent): εκχώρηση ταξινόμησης, συνόλου ταξινομήσεων ή κατανομής πιθανότητας Ανεξάρτητοι κανόνες συμπλέκονται με λογική διάζευξη (Ή) Πρόβλημα: κάποιες φορές οι υποδείξεις των κανόνων είναι διαφορετικές για το ίδιο παράδειγμα 9

10 Μετατροπή δένδρου σε σύνολο κανόνων Υλοποιείται εύκολα: Ένας κανόνας για κάθε φύλλο Η προϋπόθεση περιέχει μία συνθήκη για κάθε κόμβο που συναντάται από τη ρίζα ως το φύλλο Ως συμπέρασμα ορίζεται η τάξη εκχώρησης Οι παραγόμενοι κανόνες είναι σαφείς και ορίζονται μονοσήμαντα Η σειρά εκτέλεσης δεν επηρεάζει το αποτέλεσμα Ωστόσο: οι κανόνες προκύπτουν υπερβολικά περίπλοκοι Απαιτείται κλάδεμα για την απομάκρυνση των περιττών ελέγχων και κανόνων 10

11 Μετατροπή συνόλου κανόνων σε δένδρο Συγκριτικά δυσκολότερη Το δένδρο αδυνατεί να εκφράσει εύκολα τη λογική διάζευξη μεταξύ κανόνων Παράδειγμα: κανόνες ελέγχου διαφορετικών χαρακτηριστικών If a and b then x If c and d then x Το αντίστοιχο δένδρο περιέχει πανομοιότυπα "υποδένδρα" ( "πρόβλημα επαναλαμβανόμενου υποδένδρου", replicated subtree problem ) Δένδρο απόφασης απλής λογικής διάζευξης 11

12 Το πρόβλημα XOR If x = 1 and y = 0 then class = a If x = 0 and y = 1 then class = a If x = 0 and y = 0 then class = b If x = 1 and y = 1 then class = b Στο συγκεκριμένο παράδειγμα, η δομική περιγραφή του συνόλου κανόνων δεν είναι αισθητά περισσότερο συμπαγής από εκείνη του δένδρου απόφασης. 12

13 Δένδρο με επαναλαμβανόμενο υποδένδρο If x = 1 and y = 1 then class = a If z = 1 and w = 1 then class = a Otherwise class = b Σε αυτό το παράδειγμα, τα γκρι τρίγωνα περιέχουν το σύνολο του γκρι υποδένδρου. Η ύπαρξη γενικού κανόνα ( otherwise ) δενμπορείναπεριγραφείμε συμπαγή τρόπο από ένα δένδρο. 13

14 Ανεξάρτητα τμήματα πληροφορίας Συνιστούν οι κανόνες ανεξάρτητα τμήματα πληροφορίας; Η προσθήκη ενός κανόνα σε ένα σύνολο κανόνων φαντάζει εύκολα υλοποιήσιμη Ωστόσο, μία τέτοια προσθήκη θα αγνοούσε τη διαδοχή εκτέλεσης Πιθανές διαδοχές εκτέλεσης ενός συνόλου κανόνων: Διατεταγμένο σύνολο κανόνων (λίστα απόφασης, decision list) Η διάταξη είναι σημαντική για την ερμηνεία Μη διατεταγμένο σύνολο κανόνων Οι κανόνες δύναται να επικαλύπτονται και να οδηγούν σε διαφορετικά συμπεράσματα για το ίδιο υπόδειγμα 14

15 Ερμηνεία κανόνων Πρόβλημα: Δύο ή περισσότεροι κανόνες δίδουν αντικρουόμενες υποδείξεις Λύση: Αδυναμία εκπόνησης συμπεράσματος; Χρήση κανόνα με μεγαλύτερη συχνότητα στα δεδομένα ελέγχου; Πρόβλημα: Κανένας κανόνας δεν εφαρμόζεται σε υπόδειγμα ελέγχου Λύση: Αδυναμία εκπόνησης συμπεράσματος; Εκχώρηση στην τάξη με τη μεγαλύτερη συχνότητα στα δεδομένα ελέγχου; 15

16 Ειδική περίπτωση: Δυαδική τάξη (boolean class) Παραδοχή: αν το υπόδειγμα δεν ανήκει στην τάξη yes, τότε ανήκει στην τάξη no (είδος υπόθεσης κλειστού κόσμου ) Τέχνασμα: δημιουργία κανόνων μόνο για την τάξη yes και χρήση της τάξης no ως προεπιλεγμένης σε κάθε άλλη περίπτωση If x = 1 and y = 1 then class = a If z = 1 and w = 1 then class = a Otherwise class = b Η διαδοχή των κανόνων δεν επηρεάζει τα εξαγόμενα, επίσης δεν παρατηρούνται αντικρουόμενες υποδείξεις κάθε κανόνας συνιστά νέο, ανεξάρτητο τμήμα πληροφορίας Ο κανόνας μπορεί να γραφεί σε διαζευκτική κανονικοποιημένη μορφή (disjunctive normal form, διάζευξη διαδοχικών συζεύξεων) 16

17 Κανόνες συσχέτισης (association rules) Ειδοποιός (και μόνη ουσιαστική) διαφορά τους από τους κανόνες ταξινόμησης δύνανται να προβλέψουν την τιμή κάθε χαρακτηριστικού ή συνδυασμού χαρακτηριστικών και όχι μόνο της τάξης Επίσης δεν χρησιμοποιούνται σύνολα κανόνων Πρόβλημα: αχανής αριθμός πιθανών συσχετίσεων Αναγκαία η εισαγωγή κριτηρίων επιλογής των κανόνων με μεγαλύτερη συχνότητα εφαρμογής Outlook Temp Humidity Windy Play Sunny Hot High False No Sunny Hot High True No Overcast Hot High False Yes Rainy Mild High False Yes Rainy Cool Normal False Yes Rainy Cool Normal True No Overcast Cool Normal True Yes Sunny Mild High False No Sunny Cool Normal False Yes Rainy Mild Normal False Yes Sunny Mild Normal True Yes Overcast Mild High True Yes Overcast Hot Normal False Yes Rainy Mild High True No 17

18 Υποστήριξη & εμπιστοσύνη κανόνα Υποστήριξη (support): η κάλυψη του κανόνα στο σύνολο δεδομένων, ο αριθμός των υποδειγμάτων στα οποία αυτός εφαρμόζεται Εμπιστοσύνη (confidence): η ακρίβεια του κανόνα, ο αριθμόςτων σωστών υποδείξεών ως ποσοστό της υποστήριξής του Παράδειγμα If temperature = cool then humidity = normal 4 ημέρες με temp cool & humidity normal support = 4, confidence = 100% Στις περισσότερες των περιπτώσεων τίθενται ελάχιστα όρια για την υποστήριξη και την εμπιστοσύνη των υπό αναζήτηση κανόνων Παράδειγμα: 58 κανόνες με support 2 και confidence 95% για τα δεδομένα καιρού 18

19 Ερμηνεία κανόνων συσχέτισης Η ερμηνεία των κανόνων συσχέτισης δεν είναι πάντα προφανής και μονοσήμαντη, για παράδειγμα ο κανόνας If windy = false and play = no then outlook = sunny and humidity = high δεν ταυτίζεται με τον If windy = false and play = no then outlook = sunny If windy = false and play = no then humidity = high Ωστόσο, συνεπάγεται για παράδειγμα την ισχύ του: If humidity = high and windy = false and play = no then outlook = sunny 19

20 Κανόνες με εξαιρέσεις (rules with exceptions) Μίαφυσικήπροέκτασητωνκανόνωνταξινόμησης, είναι η προσθήκη εξαιρέσεων Καθιστούν εφικτή την τροποποίηση ενός συνόλου κανόνων χωρίς να απαιτείται συνολικός εκ θεμελίων ανασχεδιασμός του Κύριο όφελος της μεθόδου απεικόνισης αποτελεί η δυνατότητα συγκριτικά εύκολης επέκτασης του συνόλου κανόνων για την συμπερίληψη νέων υποδειγμάτων Ηδομήdefault... except if... then... είναι λογικά ισοδύναμη με τη if... then... else... Ωστόσο η δομή εκχώρησης προεπιλεγμένης τιμής και ελέγχου περί εξαιρέσεων είναι περισσότερο συμβατή με τον τρόπο αντίληψης ενός ειδικού, επομένως και ευκολότερα κατανοητή 20

21 Καταχώρηση νέου υποδείγματος Sepal length Sepal width Petal length Petal width Type ? Το νέο υπόδειγμα ανήκει στην τάξη Iris Setosa Ωστόσο, οι προηγούμενα δημιουργημένοι κανόνες το καταχωρούν ως Iris Versicolor If petal length 2.45 and petal length < 4.45 then Iris versicolor If petal length 2.45 and petal length < 4.95 and petal width < 1.55 then Iris versicolor Εισαγωγή εξαίρεσης If petal length 2.45 and petal length < 4.45 then Iris versicolor EXCEPT if petal width < 1.0 then Iris setosa Είναι δυνατή η ύπαρξη εξαιρέσεων στις εξαιρέσεις και ούτω καθεξής, γεγονός που προσδίδει χαρακτήρα δένδρου στο σύνολο κανόνων 21

22 Παράδειγμα συνόλου κανόνων με εξαιρέσεις Default: Iris-setosa except if petal-length 2.45 and petal-length < and petal-width < 1.75 then Iris-versicolor except if petal-length 4.95 and petal-width < 1.55 then Iris-virginica else if sepal-length < 4.95 and sepal-width 2.45 then Iris-virginica else if petal-length 3.35 then Iris-virginica except if petal-length < 4.85 and sepal-length < 5.95 then Iris-versicolor 22

23 Κανόνες με συσχετίσεις (rules involving relations) Ως τώρα έγινε αναφορά σε προτασιακούς ( propositional ) κανόνες Υλοποιούν σύγκριση της τιμής ενός χαρακτηριστικού με μία σταθερά, για παράδειγμα temperature < 45 Η ισχύς των εκφράσεών τους είναι αντίστοιχη της προτασιακής λογικής Η ισχύς αυτή δεν είναι επαρκής για προβλήματα που περιέχουν συσχετίσεις μεταξύ των υποδειγμάτων, όπως το δένδρο οικογένειας στη διάλεξη02 Απαιτείται εναλλακτική δομική περιγραφή Εισαγωγή συσχετίσεων σε σύνολα κανόνων 23

24 Πρόβλημα θέσης σχήματος Αντίληψη - στόχος: όρθια ή μη θέση σχήματος Υποδείγματα με σκίαση: όρθια θέση υποδείγματα χωρίς σκίαση: μη όρθια θέση 24

25 Μία προτασιακή επίλυση Width Height Sides Class Standing Standing Lying Standing Lying Standing Lying Lying If width 3.5 and height < 7.0 then lying If height 3.5 then standing 25

26 Μία συσχετιστική επίλυση Σύγκριση χαρακτηριστικών μεταξύ τους If width > height then lying If height > width then standing Αρτιότερη γενίκευση σε νέα δεδομένα Τυπικές συσχετίσεις: =, <, > Μειονέκτημα: η εκμάθηση κανόνων με συσχετίσεις είναι υψηλού υπολογιστικού κόστους Απλή λύση: εισαγωγή πρόσθετων χαρακτηριστικών και εφαρμογή προτασιακής επίλυσης Για παράδειγμα, δυαδικό χαρακτηριστικό is width < height? 26

27 Δένδρα για αριθμητική πρόβλεψη Το σύνολο των δένδρων απόφασης και των κανόνων που αναφέρθηκαν ως τώρα αφορούν την πρόβλεψη ονομαστικών παρά αριθμητικών ποσοτήτων Η πρόβλεψη αριθμητικών ποσοτήτων δύναται να υλοποιηθεί από τις ίδιες δομικές περιγραφές, με μικρές τροποποιήσεις Οι κόμβοι του δένδρου περιέχουν αριθμητική ποσότητα που αποτελεί τη μέση τιμή όλων των υποδειγμάτων που καταλήγουν στα φύλλα που ακολουθούν Τα συμπεράσματα των κανόνων αναφέρουν τη μέση τιμή των υποδειγμάτων στα οποία εφαρμόζεται ο κανόνας Τα δένδρα με αριθμητικές τιμές στα καταληκτικά φύλλα καλούνται δένδρα παλινδρόμησης (regression trees) 27

28 Παράδειγμα δένδρου παλινδρόμησης Γραμμική παλινδρόμηση & δένδρο παλινδρόμησης Το δένδρο παρέχει μεγαλύτερη ακρίβεια Ωστόσο παραμένει ογκώδες και δυσνόητο 28

29 Συνδυασμός δένδρου και εξισώσεων παλινδρόμησης Είναι εφικτός ο συνδυασμός ενός δένδρου με μία εξίσωση παλινδρόμησης Model tree: δένδρο του οποίου τα φύλλα περιέχουν αντί τιμών πρόβλεψης εξισώσεις παλινδρόμησης 29

30 Απεικόνιση με βάση υποδείγματα (instance-based representation) Απλούστερη μορφή μάθησης: αποστήθιση (rote learning) Το σύνολο υποδειγμάτων εκπαίδευσης καταχωρείται στη μνήμη Πραγματοποιείται αντιστοίχιση των νέων παραδειγμάτων με όμοιά τους από το σύνολο εκπαίδευσης υποδείγματα Απομένει μονάχα ο ορισμός του μέτρου ομοιότητας Απεικόνιση γνώσης με βάση τα υποδείγματα: εντελώς διαφορετική οπτική του προβλήματος εξόρυξης γνώσης Χρήση των υποδειγμάτων ως έχουν για την απεικόνιση της γνώσης αντί για τη συναγωγή μοντέλου από αυτά Ταξινόμηση κάθε νέου παραδείγματος με εκχώρηση τάξης του περισσότερο όμοιου υποδείγματος εκπαίδευσης Η θεμελιώδης διαφορά της μεθόδου έγκειται στη στιγμή κατά την οποία λαμβάνει χώρα η εκμάθηση Η μέθοδος είναι αδρανής ( lazy ), καθώς αναβάλλει τον κύριο όγκο εργασίας μέχρι την έλευση νέων παραδειγμάτων 30

31 Ταξινόμηση πλησιέστερων γειτόνων (nearest neighbor classification) Κάθε νέο παράδειγμα συγκρίνεται με τα ήδη υπάρχοντα υποδείγματαμεχρήσηκατάλληλουμέτρουαπόστασης Το παράδειγμα εκχωρείται στην τάξη του πλησιέστερου υποδείγματος (ταξινόμηση k πλησιέστερων γειτόνων, k-nearestneighbor classification) Μέτρα απόστασης Αριθμητικά χαρακτηριστικά: ευκλείδεια απόσταση (παραδοχή: τα χαρακτηριστικά είναι κανονικοποιημένα και ίσης βαρύτητας) Ονομαστικά χαρακτηριστικά: απόσταση = 0 για ταυτόσημες τιμές, διαφορετικά απόσταση =1 Περισσότερο εξεζητημένα μέτρα απόστασης είναι ίσως επιθυμητά για παράδειγμα διαφορετικές βαρύτητες χαρακτηριστικών 31

32 Επιλογή υποσυνόλου υποδειγμάτων Αποθήκευση του συνόλου των υποδειγμάτων εκπαίδευσης; Απαιτεί υψηλό κόστος αποθήκευσης και εκτέλεσης Επιλογή ποιων υποδειγμάτων; Σταθερές (ως προς την τάξη) περιοχές: απαιτούνται λίγα υποδείγματα Εμφανές μειονέκτημα: οι εξαγόμενες δομικές περιγραφές δεν είναι ρητές Η δομική περιγραφή δεν είναι περιγραφική των προτύπων στα δεδομένα Παραβιάζει την έννοια της γνώσης, όπως αυτή ορίστηκε στη διάλεξη01 32

33 Γενίκευση στην απεικόνιση με βάση υποδείγματα Γενίκευση των υποδειγμάτων: δημιουργία ορθογώνιων περιοχών που περιέχουν υποδείγματα της ίδιας τάξης Νέα παραδείγματα που εμπίπτουν σε τέτοιες περιοχές ταξινομούνται αντίστοιχα Σε περίπτωση που δεν εμπίπτουν σε καμία από αυτές, υλοποιείται ο κλασσικός κανόνας πλησιέστερου γείτονα Περισσότερο πολύπλοκη επιλογή: ένθετα ορθογώνια (nesting, ανάλογο των εξαιρέσεων στους κανόνες) Οπτικοποίηση της τεχνικής: προβληματική για μεγάλο αριθμό διαστάσεων και ονομαστικά χαρακτηριστικά 33

34 Ομάδες (clusters) Όταν ζητούμενο είναι η ομαδοποίηση και όχι η ταξινόμηση, ως εξαγόμενο προκύπτει η απεικόνιση του τρόπου εκχώρησης των υποδειγμάτων σε ομάδες Απλούστερη περίπτωση: Συσχέτιση αριθμού ομάδας με κάθε υπόδειγμα, επίσης απεικόνιση με διαμελισμό του χώρου στις ομάδες και υπέρθεση των υποδειγμάτων Διάγραμμα Venn: Επιτρέπει σε ένα υπόδειγμα να ανήκει σε περισσότερες της μίας τάξεων, επομένως και την επικάλυψη ομάδων Πιθανοκρατική συσχέτιση υποδειγμάτων με ομάδες: Για κάθε υπόδειγμα δίδεται η πιθανότητα (degree of membership) να αποτελεί μέλος της κάθε ομάδας Δενδρόγραμμα Ιεραρχική δομή ομάδων με διαδοχικούς διαμελισμούς του χώρου των υποδειγμάτων 34

35 Παραδείγματα ομαδοποιήσεων 35

36 Αξιοπιστία & Αποτίμηση 36

37 Αξιοπιστία & αποτίμηση Ζητήματα: εκπαίδευση, έλεγχος, ρύθμιση Πρόγνωση απόδοσης: όρια εμπιστοσύνης Παρακράτηση (holdout), διασταυρωμένη επικύρωση (crossvalidation), μέθοδος bootstrap Σύγκριση σχημάτων: t-test Πρόγνωση πιθανοτήτων: συναρτήσεις απωλειών (loss functions) Κριτήρια εξαρτώμενα από κόστος (cost-sensitive measures) Αποτίμηση αριθμητικής πρόβλεψης Η αρχή ελαχίστου μήκους περιγραφής (the Minimum Description Length principle) 37

38 Αποτίμηση: το κλειδί της επιτυχίας Ποια η προβλεπτική ικανότητα του μοντέλου που προέκυψε από τον αλγόριθμο εκμάθησης; Πλήθοςμεθόδωνεξαγωγήςδομικώνπεριγραφώναπόδεδομένα Ποιες από αυτές είναι οι βέλτιστες για συγκεκριμένο πρόβλημα; Απαιτείται συστηματική προσέγγιση για την αποτίμηση και τη σύγκριση αποδοτικότητας των περιγραφών αυτών Αναφέρεται ρητά ότι το σφάλμα στα δεδομένα εκπαίδευσης δεν αποτελεί αξιόπιστο δείκτη απόδοσης σε μελλοντικά δεδομένα Λύση: διάσπαση των δεδομένων σε σύνολο εκπαίδευσης (training set) και σύνολο ελέγχου (test set) Απαιτείται μεγάλος όγκος (ταξινομημένων) δεδομένων Ωστόσο: ο όγκος των δεδομένων είναι συνήθως περιορισμένος Αναγκαία η χρήση περισσότερο εκλεπτυσμένων τεχνικών 38

39 Εκπαίδευση & έλεγχος Μέτρο απόδοσης σε προβλήματα ταξινόμησης: τιμή σφάλματος (error rate) Επιτυχία (success): σωστή πρόβλεψη της τάξης του υποδείγματος Σφάλμα (error): λανθασμένη πρόβλεψη της τάξης του υποδείγματος Τιμή σφάλματος (error rate): αναλογία σφαλμάτων στο σύνολο των υποδειγμάτων Ωστόσο, ενδιαφέρει η πιθανή μελλοντική απόδοση σε νέα παραδείγματα και όχι η απόδοση στα ήδη δεδομένα υποδείγματα εκπαίδευσης Αποτελεί η τιμή σφάλματος σε ήδη γνωστά δεδομένα αξιόπιστη ένδειξη της τιμής σφάλματος σε νέα δεδομένα; 39

40 Εκπαίδευση & έλεγχος Η απάντηση συνιστά ένα ηχηρό ΌΧΙ όχι στην περίπτωση που τα παλαιά αυτά δεδομένα έχουν χρησιμοποιηθεί στη διαμόρφωση του μοντέλου κατά τη διαδικασία εκπαίδευσης Σφάλμα επαναληπτικής αντικατάστασης (resubstitution error): η τιμή σφάλματος που λαμβάνεται από τα δεδομένα εκπαίδευσης υπολογίζεται με επανατροφοδότηση ενός μοντέλου ταξινόμησης με τα υποδείγματα που χρησιμοποιήθηκαν για την κατασκευή του Καθώς η δομική περιγραφή έχει σχεδιαστεί με τρόπο ώστε να ελαχιστοποιεί το συγκεκριμένο σφάλμα, οποιαδήποτε εκτίμηση της αποδοτικότητάς της βασισμένη στα υποδείγματα αυτά αποτελεί αισιόδοξη, αν όχι ανέλπιστα αισιόδοξη εκτίμηση 40

41 Εκπαίδευση & έλεγχος Σύνολο ελέγχου (test set): ανεξάρτητα υποδείγματα που δεν συμμετείχαν με κανένα τρόπο στη διαδικασία εκπαίδευσης Παραδοχή: αμφότερα τα δεδομένα εκπαίδευσης και ελέγχου συνιστούν αντιπροσωπευτικά δείγματα του υποκείμενου προβλήματος Ωστόσο, τα σύνολα μπορούν να διαφέρουν στη φύση τους Παράδειγμα: κατασκευή μοντέλων ταξινόμησης με χρήση δεδομένων πελατών από δύο διαφορετικές πόλεις Α & Β Για την εκτίμηση της απόδοσης του μοντέλου της πόλης Α σε νέα πόλη, έλεγχος στα δεδομένα της πόλης Β 41

42 Περί ρύθμισης των παραμέτρων Επανάληψη: ιδιαίτερα σημαντική είναι η μη συμμετοχή με οποιοδήποτε τρόπο των δεδομένων ελέγχου στη δημιουργία του μοντέλου Κάποιοι αλγόριθμοι εκμάθησης απαρτίζονται από δύο στάδια: Βήμα 1: κατασκευή της βασικής δομής Βήμα 2: βελτιστοποίηση των παραμέτρων της Τα δεδομένα ελέγχου δεν πρέπει να χρησιμοποιηθούν ούτε για τη ρύθμιση των παραμέτρων! Σε αυτή την περίπτωση τα δεδομένα διαχωρίζονται σε τρία σύνολα: Δεδομένα εκπαίδευσης (training data): για τη δημιουργία των μοντέλων ταξινόμησης Δεδομένα επικύρωσης (validation data): για τη βελτιστοποίηση των παραμέτρων κάθε μοντέλου ή και για την επιλογή του βέλτιστου από αυτά Δεδομένα ελέγχου (test data): για τον υπολογισμό της τιμή σφάλματος της τελικά επιλεγμένης και βελτιστοποιημένης μεθόδου 42

43 Βέλτιστη εκμετάλλευση των δεδομένων Καθώς η επικύρωση έχει ολοκληρωθεί, το σύνολο των δεδομένων μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την κατασκευή ή και παραμετροποίηση του τελικού μοντέλου Γενικά, η ποιότητα του μοντέλου είναι ανάλογη του όγκου των διαθέσιμων δεδομένων Αν και συνήθως βαίνει μειούμενη όταν ό όγκος του συνόλου εκπαίδευσης υπερβεί κάποιο όριο Η αξιοπιστία της εκτίμησης του σφάλματος είναι επίσης ανάλογη του όγκου των δεδομένων ελέγχου Διαδικασία παρακράτησης (holdout): διαχωρισμός του αρχικού συνόλου δεδομένων σε σύνολο εκπαίδευσης και ελέγχου Δίλημμα: ιδανικά, αμφότερα τα σύνολα πρέπει να είναι μεγάλα! 43

44 Πρόβλεψη απόδοσης Έστω ότι το εκτιμώμενο σφάλμα ανέρχεται σε 25%. Πόσο κοντά είναι αυτή η εκτίμηση στο πραγματικό σφάλμα; Εξαρτάται από τον όγκο των δεδομένων ελέγχου Η διαδικασία μπορεί να προσομοιωθεί με τη ρίψη ενός (έντονα μεροληπτικού!) κέρματος Η κεφαλή ισοδυναμεί με επιτυχία, τα γράμματα με σφάλμα Μία διαδοχή τέτοιων ανεξάρτητων γεγονότων καλείται διαδοχή Bernoulli Η στατιστική θεωρία παρέχει τα ζητούμενα επίπεδα εμπιστοσύνης 44

45 Επίπεδο εμπιστοσύνης Ημεταβλητήp ανήκει σε ορισμένο διάστημα τιμών με συγκεκριμένο βαθμό εμπιστοσύνης Παράδειγμα: S=750 επιτυχίες σε N=1000 δοκιμές Εκτιμώμενος βαθμός επιτυχίας: 75% Πόσο κοντά είναι η εκτίμηση αυτή στην πραγματική τιμή p; απάντηση: με βαθμό εμπιστοσύνης 80%, p [73.2,76.7] Άλλο παράδειγμα: S=75 και N=100 Εκτιμώμενος βαθμός επιτυχίας: 75% με βαθμό εμπιστοσύνης 80%, p [69.1,80.1] 45

46 Μέση τιμή και τυπική απόκλιση Μέση τιμή και τυπική απόκλιση για μία δοκιμή Bernoulli: p, p (1 p) Εκτιμώμενος βαθμός επιτυχίας f=s/n Μέση τιμή και διασπορά για τον βαθμό επιτυχίας f : p, p (1 p)/n ΓιααρκετάμεγάλοN, ο f ακολουθεί κανονική κατανομή c% διάστημα εμπιστοσύνης [ z X z] γιατυχαίαμεταβλητήμε μέση τιμή 0: Για συμμετρική κατανομή: Pr[ z X z] = c Pr[ z X z] = 1 2 Pr[ X z] 46

47 Διαστήματα εμπιστοσύνης Διαστήματα εμπιστοσύνης για κανονική κατανομή με μέση τιμή 0 και τυπική απόκλιση 1: Pr[X z] 0.1% % z 2.58 Επομένως: Pr[ 1.65 X 1.65] = 90% 1% % % % % 0.25 Για να είναι δόκιμη η χρήση αυτών πρέπει να μετασχηματιστεί η τυχαία μεταβλητή f ώστε να έχει μέση τιμή 0 και τυπική απόκλιση 1 47

48 48 Μετασχηματισμός f Μετασχηματισμένη τιμή της f : (δηλαδή αφαίρεση του μέσου & διαίρεση με την τυπική απόκλιση) Προκύπτει η εξίσωση: Επίλυση ως προς p : N p p p f ) / 1 ( c z N p p p f z = ) / (1 Pr + + ± + = N z N z N f N f z N z f p

49 Παραδείγματα f = 75%, N = 1000, c = 80% (έτσι ώστε z = 1.28): p [0.732,0.767] f = 75%, N = 100, c = 80% (έτσι ώστε z = 1.28): p [0.691,0.801] Σημείωση: η παραδοχή περί κανονικής κατανομής ισχύει μονάχα για μεγάλα N (N > 100) f = 75%, N = 10, c = 80% (έτσι ώστε z = 1.28): p [0.549,0.881] 49

50 Εκτίμηση με παρακράτηση (holdout estimation) Στην περίπτωση που ο όγκος δεδομένων είναι περιορισμένος; Η μέθοδος παρακράτησης (holdout) διατηρεί ένα συγκεκριμένο ποσοστό των δεδομένων προς έλεγχο και χρησιμοποιεί τα υπόλοιπα προς εκπαίδευση Συνήθως: 1/3 για έλεγχο, 2/3 για εκπαίδευση Επίσης παρακρατεί τμήμα αυτών προς επικύρωση, αν απαιτείται Πρόβλημα: τα δείγματα ίσως δεν είναι αντιπροσωπευτικά Παράδειγμα: μία τάξη μπορεί να απουσιάζει στα δεδομένα ελέγχου Μία εξελιγμένη μέθοδος χρησιμοποιεί διαστρωμάτωση (stratification, διαστρωματοποιημένη παρακράτηση, stratified holdout) Διαφυλάσσει την ύπαρξη κάθε τάξης με περίπου ίσες αναλογίες σε όλα τα υποσύνολα Στοιχειώδης εξασφάλιση από ανομοιόμορφες κατανομές στα σύνολα εκπαίδευσης & ελέγχου 50

51 Μέθοδος επαναλαμβανόμενης παρακράτησης Η εκτίμηση με παρακράτηση μπορεί να βελτιωθεί, ως προς την αξιοπιστία της, με την επανάληψη της μεθόδου με χρήση διαφορετικών υποσυνόλων Σε κάθε επανάληψη, ένα συγκεκριμένο ποσοστό επιλέγεται τυχαία για την εκπαίδευση (ίσως και με διαστρωμάτωση) Ο μέσος όρος των τιμών σφάλματος κάθε επανάληψης υποδεικνύει περισσότερο αξιόπιστα τη ζητούμενη εκτίμηση Ημέθοδοςκαλείταιεπαναλαμβανόμενης παρακράτησης (repeated holdout) Ωστόσο, ακόμα μη βέλτιστη: τα διαφορετικά υποσύνολα πιθανά επικαλύπτονται Πώς μπορεί να αποφευχθεί η επικάλυψη; 51

52 Διασταυρωμένη επικύρωση (cross-validation, CV) ΗμέθοδοςCV αποφεύγει το πρόβλημα επικάλυψης των συνόλων εκπαίδευσης Πρώτο βήμα: διάσπαση των δεδομένων σε k ισομεγέθη υποσύνολα Δεύτερο βήμα: χρήσηκάθευποσυνόλουδιαδοχικάγιαέλεγχο, τα υπόλοιπα δεδομένα για εκπαίδευση Διασταυρωμένη επικύρωση k-πτυχών (k-fold CV) Συχνά πραγματοποιείται διαστρωμάτωση πριν την εφαρμογή της διασταυρωμένης επικύρωσης Ο μέσος όρος των k εκτιμήσεων για το σφάλμα αποτελεί μία αξιόπιστη εκτίμηση 52

53 Περισσότερα περί διασταυρωμένης επικύρωσης Τυπική μέθοδος αποτίμησης: διασταυρωμένη επικύρωση 10-πτυχών με διαστρωμάτωση (stratified ten-fold CV) & γιατί 10; Αναλυτικά πειράματα υποδεικνύουν τον αριθμό ως τη βέλτιστη επιλογή για τη λήψη αξιόπιστης εκτίμησης Επίσης υπάρχουν θεωρητικές μαρτυρίες επ αυτού Η διαστρωμάτωση μειώνει τη διακύμανση των εκτιμήσεων Ακόμη περισσότερο αξιόπιστη επιλογή: επαναλαμβανόμενη διασταυρωμένη επικύρωση με διαστρωμάτωση (repeated stratified CV) Για παράδειγμα, διασταυρωμένη επικύρωση 10-πτυχών επαναλαμβάνεται 10 φορές και υπολογίζεται ο μέσος όρος των αποτελεσμάτων Η λήψη αξιόπιστου μέτρου της απόδοσης αποτελεί εγχείρημα υψηλού υπολογιστικού κόστους 53

54 Διασταυρωμένη επικύρωση με αποκλεισμό μιας τιμής Leave-One-Out CV: μία ξεχωριστή μορφή διασταυρωμένης επικύρωσης Αριθμός πτυχών ίσος με αριθμό υποδειγμάτων εκπαίδευσης Για παράδειγμα, για n υποδείγματα εκπαίδευσης, κατασκευή μοντέλου ταξινόμησης n-φορές Πραγματοποιεί βέλτιστη αξιοποίηση των δεδομένων Χρησιμοποιεί το μέγιστο δυνατό υποσύνολο προς εκπαίδευση Δεν περιλαμβάνει τυχαία δειγματοληψία Η διαδικασία είναι ντετερμινιστική Υπερβολικά δαπανηρή σε υπολογιστικό κόστος 54

55 & διαστρωμάτωση; Μειονέκτημα της διασταυρωμένης επικύρωσης με αποκλεισμό μιας τιμής: μη εφικτή διαστρωμάτωση για την ακρίβεια, εγγύηση ανομοιόμορφου υποδείγματος (κάθε σύνολο ελέγχου περιέχει ένα και μόνο υπόδειγμα) Ακραίο παράδειγμα: τυχαίο υποσύνολο χωρίζεται ισοπίθανα σε δύο τάξεις Το βέλτιστο μοντέλο προβλέπει την πλειοψηφούσα στο σύνολο εκπαίδευσης- τάξη Ακρίβεια 50% σε νέα δεδομένα Ωστόσο η ( ) μέθοδος εκτιμά 100% σφάλμα! 55

56 Ημέθοδοςbootstrap (bootstrap = θηλιά για το τράβηγμα μπότας προς το γόνατο) Η διασταυρωμένη επικύρωση χρησιμοποιεί δειγματοληψία χωρίς επανατοποθέτηση Ένα υπόδειγμα, όταν επιλεγεί, δενμπορείναεπιλεγείξανάγια το συγκεκριμένο ζεύγος συνόλων εκπαίδευσης & ελέγχου Ημέθοδοςbootstrap χρησιμοποιεί δειγματοληψία με επανατοποθέτηση για τη δημιουργία του συνόλου εκπαίδευσης Για τη διαμόρφωση ενός συνόλου εκπαίδευσης n υποδειγμάτων, δειγματοληψία n-φορές με επανατοποθέτηση Χρήση των υποδειγμάτων από το αρχικό σύνολο τα οποία δεν συναντώνται στο σύνολο εκπαίδευσης για έλεγχο 56

57 Ημέθοδος0.632 bootstrap Ένα συγκεκριμένο υπόδειγμα έχει πιθανότητα μη επιλογής ίση με 1 1/n Επομένως, η πιθανότητανακαταλήξειστοσύνολο ελέγχου (να μην επιλεγεί σε κάποια δειγματοληψία με επανατοποθέτηση) είναι ίση προς: 1 1 n 1 = Κατά συνέπεια, τα δεδομένα εκπαίδευσης θα περιέχουν περίπου το 63.2% των υποδειγμάτων n e 57

58 Υπολογισμός σφάλματος με τη μέθοδο bootstrap Η βασισμένη στα δεδομένα ελέγχου εκτίμηση του σφάλματος είναι πεσιμιστική Η εκπαίδευση πραγματοποιήθηκε μόνο στο 63% των υποδειγμάτων (ανεξάρτητα από το μέγεθός της n) Για το λόγο αυτό, εισάγεται ο συνδυασμός του με το σφάλμα επαναληπτικής αντικατάστασης (resubstitution error): err = e e test instances training instances Το σφάλμα επαναληπτικής αντικατάστασης λαμβάνει μικρότερη βαρύτητααπότοσφάλματωνδεδομένωνελέγχου Υλοποιείται διαδοχική επανάληψη της διαδικασίας με διαφορετικά δείγματα, στη συνέχεια υπολογίζεται το μέσο των αποτελεσμάτων 58

59 Περισσότερα περί της bootstrap Ίσωςοπλέονβέλτιστοςτρόποςγιατονυπολογισμότης απόδοσης για πολύ μικρά σύνολα δεδομένων Ωστόσο, τα προβλήματα δεν είναι απόντα Έστω το τυχαίο σύνολο δεδομένων που αναφέρθηκε προηγούμενα Το καλύτερο δυνατό μοντέλο θα επιτύχει 0% σφάλμα επαναληπτικής αντικατάστασης και ~50% σφάλμα στα δεδομένα ελέγχου Η εκτίμηση της μεθόδου για αυτό το μοντέλο είναι: err = % % = 31.6% Παραμένει πεσιμιστική, το πραγματικά αναμενόμενο σφάλμα είναι ίσο με 50% 59

60 Σύγκριση διαφορετικών σχημάτων απεικόνισης γνώσης Ποιο από τα διάφορα σχήματα μάθησης εμφανίζει καλύτερη απόδοση; Σημείωση: ηαπάντησηδενείναιοικουμενικήκαιεξαρτάταιαπότο πρόβλημα Προφανής λύση: σύγκριση εκτιμήσεων διασταυρωμένης επικύρωσης 10- πτυχών ικανοποιητική στις περισσότερες των εφαρμογών Πρόβλημα: διακύμανση των εκτιμήσεων Μπορεί να μειωθεί με επαναλαμβανόμενες διασταυρωμένες επικυρώσεις Ωστόσο, η αξιοπιστία των αποτελεσμάτων παραμένει κάποιες φορές αμφιλεγόμενη Η παρατηρούμενη διαφορά μπορεί να οφείλεται σε σφάλμα κατά τη διαδικασία εκτίμησης Απαιτείται τεκμηρίωση περί του αντιθέτου 60

61 Έλεγχος σημαντικότητας Οι έλεγχοι σημαντικότητας αναδεικνύουν το βαθμό εμπιστοσύνης στις υποδείξεις περί διαφοράς απόδοσης των συγκρινόμενων σχημάτων Αν η διαφορά προκύψει σημαντική, εξασφαλίζεται ότι αυτή δεν οφείλεται σε τυχαίους παράγοντες (για παράδειγμα στο επιλεγμένο υποσύνολο του πειράματος) Επειδή η απόδοση είναι συνάρτηση του μεγέθους των δεδομένων εκπαίδευσης, όλα τα σύνολα εκπαίδευσης πρέπει να είναι ισομεγέθη Πράγματι, το πείραμα επαναλαμβάνεται με διαφορετικά μεγέθη ώστε να προκύψει μία καμπύλη μάθησης 61

62 Έλεγχος σημαντικότητας Υπόθεση Μηδενική υπόθεση: η διαφορά δεν είναι στατιστικά σημαντική Εναλλακτική υπόθεση: η διαφορά είναι στατιστικά σημαντική Ο έλεγχος σημαντικότητας καταμετρά τις μαρτυρίες περί αποδοχής ή απόρριψης της μηδενικής υπόθεσης Έστω ότι χρησιμοποιείται διασταυρωμένη επικύρωση 10-πτυχών Ερώτηση: οι μέσοι όροι των εκτιμήσεων διαφέρουν σημαντικά μεταξύ των σχημάτων μάθησης; 62

63 Ζευγαρωτό (paired) t-test Το t-test του Student ελέγχει αν οι μέσες τιμές δύο δειγμάτων διαφέρουν σημαντικά Επιλογή ανεξάρτητων δειγμάτων με χρήση διασταυρωμένης επικύρωσης Χρήση του ζευγαρωτού t-test καθώς τα ανεξάρτητα δείγματα αποτελούν ζεύγος Η ίδια διασταυρωμένη επικύρωση εφαρμόζεται δύο φορές 63

64 Κατανομή των μέσων τιμών Έστω x 1 x 2 x k και y 1 y 2 y k τα 2k δείγματα που προέκυψαν από την διασταυρωμένη επικύρωση k-πτυχών m x και m y οι μέσες τιμές Αν τα δείγματα είναι αρκετά, οι μέσες τιμές του συνόλου των ανεξάρτητων τμημάτων ακολουθούν κανονική κατανομή Εκτιμώμενες διακυμάνσεις των μέσων: σ x2 /k και σ y2 /k x x y Αν μ x και μ y οι πραγματικές μέσες τιμές, τότε 2 2 σ x / k σ y ανήκουν κατά προσέγγιση σε κανονική κατανομή με μέσο 0 και τυπική απόκλιση 1 m μ m μ y / k 64

65 Κατανομή Student Αν τα δείγματα είναι μικρά (k < 100) οι μέσες τιμές ακολουθούν κατανομή Student με k 1 βαθμούς ελευθερίας Όρια εμπιστοσύνης: 9 βαθμοί ελευθερίας κανονική κατανομή Pr[X z] z 0.1% % 1% % % % 0.88 Pr[X z] z 0.1% % 1% % % %

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΕΛΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΛΙΝΑ ΜΑΣΣΟΥ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΕΛΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΛΙΝΑ ΜΑΣΣΟΥ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΕΞΟΡΥΞΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΕΛΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΛΙΝΑ ΜΑΣΣΟΥ Δ.Π.Μ.Σ: «Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες» 2008

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο Data Mining Από τα δεδομένα στη γνώση

Εισαγωγή στο Data Mining Από τα δεδομένα στη γνώση Εισαγωγή στο Data Mining Από τα δεδομένα στη γνώση Η πληροφορία στη σύγχρονη επιχείρηση Η Ανάγκη Διαδικασία Ορισμός Αφετηρία Πρότυπα Πέραν του ανθρώπινου δυναμικού, η πληροφορία αποτελεί τον πλέον πολύτιμο

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηση και Γενίκευση. "Τεχνητά Νευρωνικά Δίκτυα" (Διαφάνειες), Α. Λύκας, Παν. Ιωαννίνων

Μάθηση και Γενίκευση. Τεχνητά Νευρωνικά Δίκτυα (Διαφάνειες), Α. Λύκας, Παν. Ιωαννίνων Μάθηση και Γενίκευση Το Πολυεπίπεδο Perceptron (MultiLayer Perceptron (MLP)) Έστω σύνολο εκπαίδευσης D={(x n,t n )}, n=1,,n. x n =(x n1,, x nd ) T, t n =(t n1,, t np ) T Θα πρέπει το MLP να έχει d νευρώνες

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΔΠΜΣ : ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΡΟΗ ΠΙΘΑΝΟΝΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑ 08: ΕΙΡΗΝΗ ΛΥΓΚΩΝΗ 1 Ο ΣΤΑΔΙΟ: Πριν εφαρμόσουμε οποιοδήποτε αλγόριθμο

Διαβάστε περισσότερα

Υπερπροσαρμογή (Overfitting) (1)

Υπερπροσαρμογή (Overfitting) (1) Αλγόριθμος C4.5 Αποφυγή υπερπροσαρμογής (overfitting) Reduced error pruning Rule post-pruning Χειρισμός χαρακτηριστικών συνεχών τιμών Επιλογή κατάλληλης μετρικής για την επιλογή των χαρακτηριστικών διάσπασης

Διαβάστε περισσότερα

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ 2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Η χρησιμοποίηση των τεχνικών της παλινδρόμησης για την επίλυση πρακτικών προβλημάτων έχει διευκολύνει εξαιρετικά από την χρήση διαφόρων στατιστικών

Διαβάστε περισσότερα

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ (Power of a Test) Όπως είδαμε προηγουμένως, στον Στατιστικό Έλεγχο Υποθέσεων, ορίζουμε δύο είδη πιθανών λαθών (κινδύνων) που μπορεί να συμβούν όταν παίρνουμε αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Δέντρα Απόφασης (Decision(

Δέντρα Απόφασης (Decision( Δέντρα Απόφασης (Decision( Trees) Το μοντέλο που δημιουργείται είναι ένα δέντρο Χρήση της τεχνικής «διαίρει και βασίλευε» για διαίρεση του χώρου αναζήτησης σε υποσύνολα (ορθογώνιες περιοχές) Ένα παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα Εισαγωγή στο

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική

Εισαγωγή στη Στατιστική Εισαγωγή στη Στατιστική Μετεκπαιδευτικό Σεμινάριο στην ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων

Διαβάστε περισσότερα

2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για

2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για 2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για τον καθορισμό του καλύτερου υποσυνόλου από ένα σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων Διάλεξη 3 Επιλογή μοντέλου Επιλογή μοντέλου Θεωρία αποφάσεων Επιλογή μοντέλου δεδομένα επικύρωσης Η επιλογή του είδους του μοντέλου που θα χρησιμοποιηθεί σε ένα πρόβλημα (π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 1 Βασικές έννοιες

Διάλεξη 1 Βασικές έννοιες Εργαστήριο SPSS Ψ-4201 (ΕΡΓ) Λεωνίδας Α. Ζαμπετάκης Β.Sc., M.Env.Eng., M.Ind.Eng., D.Eng. Εmail: statisticsuoc@gmail.com Διαλέξεις αναρτημένες στο: Διαλέξεις: ftp://ftp.soc.uoc.gr/psycho/zampetakis/ Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Θ.Ε. ΠΛΗ31 (2004-5) ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ #3 Στόχος Στόχος αυτής της εργασίας είναι η απόκτηση δεξιοτήτων σε θέματα που αφορούν τα Τεχνητά Νευρωνικά Δίκτυα και ποιο συγκεκριμένα θέματα εκπαίδευσης και υλοποίησης.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ

Σ ΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ Σ ΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Μ ΑΪΟΥ 2002 2004 Δ ΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ Π ΕΡΙΛΗΨΗ: Η μελέτη αυτή έχει σκοπό να παρουσιάσει και να ερμηνεύσει τα ευρήματα που προέκυψαν από τη στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΝΩΣΤΙΚA ΣΥΣTHΜΑΤΑ

ΠΡΟΓΝΩΣΤΙΚA ΣΥΣTHΜΑΤΑ ΠΡΟΓΝΩΣΤΙΚA ΣΥΣTHΜΑΤΑ Ιωάννα Τζουλάκη Κώστας Τσιλίδης Ιωαννίδης: κεφάλαιο 2 Guyatt: κεφάλαιο 18 ΕΠΙςΤΗΜΟΝΙΚΗ ΙΑΤΡΙΚΗ Επιστήμη (θεωρία) Πράξη (φροντίδα υγείας) Γνωστικό μέρος Αιτιό-γνωση Διά-γνωση Πρό-γνωση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΜΠ ΔΠΜΣ Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες Αλγόριθμοι Εξόρυξης Πληροφορίας. Διάλεξη02 ΣυνιστώσεςΔεδομένων Οπτικοποίηση&Εξερεύνηση

ΕΜΠ ΔΠΜΣ Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες Αλγόριθμοι Εξόρυξης Πληροφορίας. Διάλεξη02 ΣυνιστώσεςΔεδομένων Οπτικοποίηση&Εξερεύνηση ΕΜΠ ΔΠΜΣ Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες Αλγόριθμοι Εξόρυξης Πληροφορίας Διάλεξη02 ΣυνιστώσεςΔεδομένων Οπτικοποίηση&Εξερεύνηση Η μορφή των δεδομένων και η σημασία της Δεδομένα input Αλγόριθμοι Εξόρυξης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 75 Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1.1. Τυχαία γεγονότα ή ενδεχόμενα 17 1.2. Πειράματα τύχης - Δειγματικός χώρος 18 1.3. Πράξεις με ενδεχόμενα 20 1.3.1. Ενδεχόμενα ασυμβίβαστα

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Χειμερινό Εξάμηνο Ακαδ. Έτος 2015-2016 Ντίνα Λύκα lika@biology.uoc.gr 1. Εισαγωγή Εισαγωγικές έννοιες Μεταβλητότητα : ύπαρξη διαφορών μεταξύ ομοειδών μετρήσεων Μεταβλητή: ένα χαρακτηριστικό

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ Συντελεστής συσχέτισης (εκτιμητής Person: r, Y ( ( Y Y xy ( ( Y Y x y, όπου r, Y (ισχυρή θετική γραμμική συσχέτιση όταν, ισχυρή αρνητική

Διαβάστε περισσότερα

4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές

4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικός ταξινοµητής είναι ένα σύστηµα ταξινόµησης που χρησιµοποιεί γραµµικές διακριτικές συναρτήσεις Οι ταξινοµητές αυτοί αναπαρίστανται συχνά µε οµάδες κόµβων εντός των οποίων

Διαβάστε περισσότερα

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων Διάλεξη 5 Κατανομές πιθανότητας και εκτίμηση παραμέτρων δυαδικές τυχαίες μεταβλητές Bayesian decision Minimum misclassificaxon rate decision: διαλέγουμε την κατηγορία Ck για

Διαβάστε περισσότερα

2.4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ

2.4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ .4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ Η μέθοδος για τον προσδιορισμό ενός διαστήματος εμπιστοσύνης για την άγνωστη πιθανότητα =P(A) ενός ενδεχομένου A συνδέεται στενά με τον διωνυμικό έλεγχο. Ένα

Διαβάστε περισσότερα

(classification) 2 ΠΑ.ΠΕΙ. ΓιάννηςΘεοδωρίδης 4.1

(classification) 2 ΠΑ.ΠΕΙ. ΓιάννηςΘεοδωρίδης 4.1 Πανεπιστήµιο Πειραιώς Τµήµα Πληροφορικής Αποθήκες εδοµένων και Εξόρυξη Γνώσης (Data Warehousing & Data Mining) Κατηγοριοποίηση (classification) Γιάννης Θεοδωρίδης, Νίκος Πελέκης Οµάδα ιαχείρισης εδοµένων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ 3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ Πρόβλημα: Ένας ραδιοφωνικός σταθμός ενδιαφέρεται να κάνει μια ανάλυση για τους πελάτες του που διαφημίζονται σ αυτόν για να εξετάσει την ποσοστιαία μεταβολή των πωλήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1.1 Πίνακες, κατανομές, ιστογράμματα... 1 1.2 Πυκνότητα πιθανότητας, καμπύλη συχνοτήτων... 5 1.3

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

1ο ΣΤΑΔΙΟ ΓΕΝΕΣΗ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΩΝ

1ο ΣΤΑΔΙΟ ΓΕΝΕΣΗ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1ο ΣΤΑΔΙΟ ΓΕΝΕΣΗ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΩΝ πόσες μετακινήσεις δημιουργούνται σε και για κάθε κυκλοφοριακή ζώνη; ΟΡΙΣΜΟΙ μετακίνηση μετακίνηση με βάση την κατοικία μετακίνηση με βάση άλλη πέρα της κατοικίας

Διαβάστε περισσότερα

Kruskal-Wallis H... 176

Kruskal-Wallis H... 176 Περιεχόμενα KΕΦΑΛΑΙΟ 1: Περιγραφή, παρουσίαση και σύνοψη δεδομένων................. 15 1.1 Τύποι μεταβλητών..................................................... 16 1.2 Κλίμακες μέτρησης....................................................

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα Ανάλυση Διασποράς Έστω ότι μας δίνονται δείγματα που προέρχονται από άγνωστους πληθυσμούς. Πόσο διαφέρουν οι μέσες τιμές τους; Με άλλα λόγια: πόσο πιθανό είναι να προέρχονται από πληθυσμούς με την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΕΙΚΟΝΑΣ. Ενότητα 4: Δειγματοληψία και Κβάντιση Εικόνας

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΕΙΚΟΝΑΣ. Ενότητα 4: Δειγματοληψία και Κβάντιση Εικόνας ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΕΙΚΟΝΑΣ Ενότητα 4: Δειγματοληψία και Κβάντιση Εικόνας Ιωάννης Έλληνας Τμήμα Υπολογιστικών Συστημάτων Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 1 2 ΤΟ PASW ΜΕ ΜΙΑ ΜΑΤΙΑ... 13 3 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ: Η ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ ΚΑΙ Η ΔΙΑΜΕΣΟΣ... 29

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 1 2 ΤΟ PASW ΜΕ ΜΙΑ ΜΑΤΙΑ... 13 3 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ: Η ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ ΚΑΙ Η ΔΙΑΜΕΣΟΣ... 29 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 1 Μεταβλητές...5 Πληθυσμός, δείγμα...7 Το ευρύτερο γραμμικό μοντέλο...8 Αναφορές στη βιβλιογραφία... 11 2 ΤΟ PASW ΜΕ ΜΙΑ ΜΑΤΙΑ... 13 Περίληψη... 13 Εισαγωγή... 13 Με μια ματιά...

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Εισαγωγή 1. Γενικά... 25 2. Έννοια και Είδη Μεταβλητών... 26 3. Κλίμακες Μέτρησης Μεταβλητών... 29 3.1 Ονομαστική κλίμακα... 30 3.2. Τακτική κλίμακα... 31 3.3 Κλίμακα ισοδιαστημάτων... 34 3.4

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Ηλεκτρικές Μετρήσεις

Εισαγωγή στις Ηλεκτρικές Μετρήσεις Εισαγωγή στις Ηλεκτρικές Μετρήσεις Σφάλματα Μετρήσεων Συμβατικά όργανα μετρήσεων Χαρακτηριστικά μεγέθη οργάνων Παλμογράφος Λέκτορας Σοφία Τσεκερίδου 1 Σφάλματα μετρήσεων Επιτυχημένη μέτρηση Σωστή εκλογή

Διαβάστε περισσότερα

3. ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratified Random Sampling)

3. ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratified Random Sampling) 3 ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratfed Radom Samplg) Είναι προφανές από τα τυπικά σφάλματα των εκτιμητριών των προηγούμενων παραγράφων, ότι ένας τρόπος να αυξηθεί η ακρίβεια τους είναι να αυξηθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΕΝΟΡΓΑΝΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΕΝΟΡΓΑΝΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΕΝΟΡΓΑΝΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Αναλυτική Μέθοδος- Αναλυτικό Πρόβλημα. Ανάλυση, Προσδιορισμός και Μέτρηση. Πρωτόκολλο. Ευαισθησία Μεθόδου. Εκλεκτικότητα. Όριο ανίχνευσης (limit of detection, LOD).

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) Διάλεξη 7. Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) Διάλεξη 7. Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (ΨΥΧ-1202) Λεωνίδας Α. Ζαμπετάκης Β.Sc., M.Env.Eng., M.Ind.Eng., D.Eng. Εmail: statisticsuoc@gmail.com Διαλέξεις: ftp://ftp.soc.uoc.gr/psycho/zampetakis/ Διάλεξη 7 Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων α) Σημειοεκτιμητική β) Εκτιμήσεις Διαστήματος ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

27-Ιαν-2009 ΗΜΥ 429. 2. (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό

27-Ιαν-2009 ΗΜΥ 429. 2. (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό ΗΜΥ 429 2. (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό 1 (i) Βασική στατιστική 2 Στατιστική Vs Πιθανότητες Στατιστική: επιτρέπει μέτρηση και αναγνώριση θορύβου και

Διαβάστε περισσότερα

Διαδικασία Ελέγχου Μηδενικών Υποθέσεων

Διαδικασία Ελέγχου Μηδενικών Υποθέσεων Διαδικασία Ελέγχου Μηδενικών Υποθέσεων Πέτρος Ρούσσος, Τμήμα Ψυχολογίας, ΕΚΠΑ Η λογική της διαδικασίας Ο σάκος περιέχει έναν μεγάλο αλλά άγνωστο αριθμό (αρκετές χιλιάδες) λευκών και μαύρων βόλων: 1 Το

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS)

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) Έλεγχος Υποθέσεων για τους Μέσους - Εξαρτημένα Δείγματα (Paired samples t-test) Το κριτήριο Paired samples t-test χρησιμοποιείται όταν θέλουμε να συγκρίνουμε

Διαβάστε περισσότερα

a = 10; a = k; int a,b,c; a = b = c = 10;

a = 10; a = k; int a,b,c; a = b = c = 10; C: Από τη Θεωρία στην Εφαρµογή Κεφάλαιο 4 ο Τελεστές Γ. Σ. Τσελίκης Ν. Δ. Τσελίκας Ο τελεστής εκχώρησης = Ο τελεστής = χρησιµοποιείται για την απόδοση τιµής (ή αλλιώς ανάθεση τιµής) σε µία µεταβλητή Π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

4 Πιθανότητες και Στοιχεία Στατιστικής για Μηχανικούς

4 Πιθανότητες και Στοιχεία Στατιστικής για Μηχανικούς Πρόλογος Ο μηχανικός πρέπει να συνεχίσει να βελτιώνει την ποιότητα της δουλειάς του εάν επιθυμεί να είναι ανταγωνιστικός στην αγορά της χώρας του και γενικότερα της Ευρώπης. Μία σημαντική αναλογία σε αυτήν

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Αν x =,,, παρατηρήσεις των Χ =,,,, τότε έχουμε διαθέσιμο ένα δείγμα Χ={Χ, =,,,} της κατανομής F μεγέθους με από κοινού σ.κ. της Χ f x f x Ορισμός : Θεωρούμε ένα τυχαίο δείγμα

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua. Μέρος Β /Στατιστική Μέρος Β Στατιστική Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) Από τις Πιθανότητες στη Στατιστική Στα προηγούμενα, στο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί.

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί. ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ (50 Δ. ώρες) Περιεχόμενα Στόχοι Οδηγίες - ενδεικτικές δραστηριότητες Οι μαθητές να είναι ικανοί: Μπορούμε να ΟΙ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία 4. Εκτιμητική Στατιστική Συμπερασματολογία εκτιμήσεις των αγνώστων παραμέτρων μιας γνωστής από άποψη είδους κατανομής έλεγχο των υποθέσεων που γίνονται σε σχέση με τις παραμέτρους μιας κατανομής και σε

Διαβάστε περισσότερα

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall 3..2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall Ο συντελεστής συχέτισης τ του Kendall μοιάζει με τον συντελεστή ρ του Spearman ως προς το ότι υπολογίζεται με βάση την τάξη μεγέθους των παρατηρήσεων και όχι

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS)

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) Έλεγχος Υποθέσεων για την Μέση Τιμή ενός Δείγματος (One Sample t-test) Το κριτήριο One sample t-test χρησιμοποιείται όταν θέλουμε να συγκρίνουμε τον αριθμητικό

Διαβάστε περισσότερα

ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 1. ΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: Προχωρημένη Στατιστική 2. ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΕΙΣΗΓΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΓΕΝΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ 2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 3. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΗΣ ΠΡΟΟΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΡΟΣΘΗΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Αλεξάνδρειο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Εργαστήριο «Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική» ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Περιεχόμενα 1. Συσχέτιση μεταξύ δύο ποσοτικών

Διαβάστε περισσότερα

Θεμελιώδεις αρχές επιστήμης και μέθοδοι έρευνας

Θεμελιώδεις αρχές επιστήμης και μέθοδοι έρευνας A. Montgomery Θεμελιώδεις αρχές επιστήμης και μέθοδοι έρευνας Καρολίνα Δουλουγέρη, ΜSc Υποψ. Διαδάκτωρ Σήμερα Αναζήτηση βιβλιογραφίας Επιλογή μεθοδολογίας Ερευνητικός σχεδιασμός Εγκυρότητα και αξιοπιστία

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

Κεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Κεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Copyright 2009 Cengage Learning 16.1 Ανάλυση Παλινδρόμησης Σκοπός του προβλήματος είναι η ανάλυση της σχέσης μεταξύ συνεχών μεταβλητών. Η ανάλυση παλινδρόμησης

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 3: Πολλαπλή Παλινδρόμηση. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 3: Πολλαπλή Παλινδρόμηση. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 3: Πολλαπλή Παλινδρόμηση. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι

Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Χρήστος Γκόγκος ΤΕΙ Ηπείρου Χειμερινό Εξάμηνο 2014-2015 Παρουσίαση 19 Hashing - Κατακερματισμός 1 / 23 Πίνακες απευθείας πρόσβασης (Direct Access Tables) Οι πίνακες απευθείας

Διαβάστε περισσότερα

6. ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΚΑΤΑ ΟΜΑΔΕΣ (Cluster Sampling)

6. ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΚΑΤΑ ΟΜΑΔΕΣ (Cluster Sampling) 6. ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΚΑΤΑ ΟΜΑΔΕΣ (Cluster Sampling) Από την θεωρία που αναπτύχθηκε στα προηγούμενα κεφάλαια, φαίνεται ότι μια αλλαγή στον σχεδιασμό της δειγματοληψίας και, κατά συνέπεια, στην μέθοδο εκτίμησης

Διαβάστε περισσότερα

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων Διαλέξεις 7 8 Μπεϋζιανή εκτίμηση συνέχεια Μη παραμετρικές μέθοδοι εκτίμησης πυκνότητας Εκτίμηση ML για την κανονική κατανομή Μπεϋζιανή εκτίμηση για την κανονική κατανομή Γνωστή

Διαβάστε περισσότερα

Εξομοίωση Τηλεπικοινωνιακού Συστήματος Βασικής Ζώνης

Εξομοίωση Τηλεπικοινωνιακού Συστήματος Βασικής Ζώνης Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Ακαδημαϊκό Έτος 009-010 Ψ Η Φ Ι Α Κ Ε Σ Τ Η Λ Ε Π Ι Κ Ο Ι Ν Ω Ν Ι ΕΣ η Εργαστηριακή Άσκηση: Εξομοίωση Τηλεπικοινωνιακού Συστήματος Βασικής Ζώνης Στην άσκηση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ - ΘΕΜΑ Ο Έστω η συνάρτηση f( ) =, 0 ) Να αποδείξετε ότι f ( ). f( ) =. ) Να υπολογίσετε το όριο lm f ( )+ 4. ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Η έννοια του συνδυαστικού

Διαβάστε περισσότερα

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Το δυαδικό σύστημα αρίθμησης χρησιμοποιεί δύο ψηφία. Το 0 και το 1. Τα ψηφία ενός αριθμού στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης αντιστοιχίζονται σε δυνάμεις του 2. Μονάδες, δυάδες, τετράδες,

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών

Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών Αντικείμενο της θεωρίας ακραίων τιμών αποτελεί: Η ανάπτυξη και μελέτη στοχαστικών μοντέλων με σκοπό την επίλυση προβλημάτων που σχετίζονται με την εμφάνιση «πολύ μεγάλων»

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ (One-Way Analyss of Varance) Η ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων 1 Μάθημα του A Εξαμήνου

Στατιστική Επιχειρήσεων 1 Μάθημα του A Εξαμήνου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΡΗΤΗΣ Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Στατιστική Επιχειρήσεων 1 Μάθημα του A Εξαμήνου Περιεχόμενα-Ύλη του Μαθήματος Περιγραφική Στατιστική: Είδη δεδομένων, Μετασχηματισμοί,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ 3.1 Τυχαίοι αριθμοί Στην προσομοίωση διακριτών γεγονότων γίνεται χρήση ακολουθίας τυχαίων αριθμών στις περιπτώσεις που απαιτείται η δημιουργία στοχαστικών

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Υδατικών Πόρων

Διαχείριση Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διαχείριση Υδατικών Πόρων Γ.. Τσακίρης Μάθημα 3 ο Λεκάνη απορροής Υπάρχουσα κατάσταση Σενάριο 1: Μέσες υδρολογικές συνθήκες Σενάριο : Δυσμενείς υδρολογικές συνθήκες Μελλοντική

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Εκτιμητική

Εισαγωγή στην Εκτιμητική Εισαγωγή στην Εκτιμητική Πληθυσμός Εκτίμηση παραμέτρου πληθυσμού μ, σ 2, σ, p Δείγμα Υπολογισμός στατιστικού Ερώτηματα: Πόσο κοντά στην πραγματική τιμή της παραμέτρου του πληθυσμού βρίσκεται η εκτίμηση

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Περιεχόμενα

Περιεχόμενα. Περιεχόμενα Περιεχόμενα xv Περιεχόμενα 1 Αρχές της Java... 1 1.1 Προκαταρκτικά: Κλάσεις, Τύποι και Αντικείμενα... 2 1.1.1 Βασικοί Τύποι... 5 1.1.2 Αντικείμενα... 7 1.1.3 Τύποι Enum... 14 1.2 Μέθοδοι... 15 1.3 Εκφράσεις...

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Εισαγωγή. Οι σχηματισμοί που προκύπτουν με την επιλογή ενός συγκεκριμένου αριθμού στοιχείων από το ίδιο σύνολο καλούνται διατάξεις αν μας ενδιαφέρει η σειρά καταγραφή

Διαβάστε περισσότερα

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ.

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ. Παραδείγματα Απαρίθμησης Γνωστό: P (M 2 M τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M Τεχνικές Απαρίθμησης Πχ M {A, B, C} P (M 2 3 8 #(Υποσυνόλων με 2 στοιχεία ( 3 2 3 #(Διατεταγμένων υποσυνόλων με 2 στοιχεία 3 2

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑ-ΑΝΑΛΥΣΗ (Meta-Analysis)

ΜΕΤΑ-ΑΝΑΛΥΣΗ (Meta-Analysis) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 23 ΜΕΤΑ-ΑΝΑΛΥΣΗ (Meta-Analysis) ΕΙΣΑΓΩΓΗ Έχοντας παρουσιάσει τις βασικές έννοιες των ελέγχων υποθέσεων, θα ήταν, ίσως, χρήσιμο να αναφερθούμε σε μια άλλη περιοχή στατιστικής συμπερασματολογίας

Διαβάστε περισσότερα

ΆΣΚΗΣΗ 1 Η διάμεσος τιμή της ηλικίας των Ελλήνων το 1990 ήταν 30 έτη. Το 2001, η διάμεσος τιμή ήταν 33,1 (Πηγή:Ε.Σ.Υ.Ε.).

ΆΣΚΗΣΗ 1 Η διάμεσος τιμή της ηλικίας των Ελλήνων το 1990 ήταν 30 έτη. Το 2001, η διάμεσος τιμή ήταν 33,1 (Πηγή:Ε.Σ.Υ.Ε.). ΛΥΜΕΝΕΣ ΣΚΗΣΕΙΣ ΆΣΚΗΣΗ 1 Η διάμεσος τιμή της ηλικίας των Ελλήνων το 1990 ήταν 30 έτη. Το 2001, η διάμεσος τιμή ήταν 33,1 (Πηγή:Ε.Σ.Υ.Ε.). a. Τι μπορεί να συνέβη όταν η διάμεσος αυξήθηκε; Το γεγονός ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜEΡOΣ A : ΓNΩΡΙΜΙΑ ΜΕ ΤΗΝ ΕΠΙΣΤΗΜOΝΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜEΡOΣ A : ΓNΩΡΙΜΙΑ ΜΕ ΤΗΝ ΕΠΙΣΤΗΜOΝΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος στη δεύτερη έκδοση........................................... 13 Πρόλογος στην πρώτη έκδοση............................................ 17 Εισαγωγή................................................................

Διαβάστε περισσότερα

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. Σφάλματα Κάθε μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους χαρακτηρίζεται από μία αβεβαιότητα που ονομάζουμε σφάλμα, το οποίο αναγράφεται με τη μορφή Τιμή ± αβεβαιότητα π.χ έστω ότι σε ένα πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

5.1. Προσδοκώμενα αποτελέσματα

5.1. Προσδοκώμενα αποτελέσματα 5.1. Προσδοκώμενα αποτελέσματα Όταν θα έχεις ολοκληρώσει τη μελέτη αυτού του κεφαλαίου θα έχεις κατανοήσει τις τεχνικές ανάλυσης των αλγορίθμων, θα μπορείς να μετράς την επίδοση των αλγορίθμων με βάση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΘΕΜΑ Α ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ' ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 26 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 2012 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΜΠ ΔΠΜΣ Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες Αλγόριθμοι Εξόρυξης Πληροφορίας. Διάλεξη 05: Αλγόριθμοι εκμάθησης Μέρος Α Δένδρα&Κανόνες

ΕΜΠ ΔΠΜΣ Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες Αλγόριθμοι Εξόρυξης Πληροφορίας. Διάλεξη 05: Αλγόριθμοι εκμάθησης Μέρος Α Δένδρα&Κανόνες ΕΜΠ ΔΠΜΣ Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες Αλγόριθμοι Εξόρυξης Πληροφορίας Διάλεξη 05: Αλγόριθμοι εκμάθησης Μέρος Α Δένδρα&Κανόνες Αλγόριθμοι Δεδομένα input Αλγόριθμοι Εξόρυξης Πληροφορίας Εξαγόμενα output

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Στατιστική Επιχειρήσεων Ι Ενότητα 7: Παρουσίαση δεδομένων-περιγραφική στατιστική Μιλτιάδης Χαλικιάς, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ Ι. ΓΙΑΝΝΑΤΣΗΣ

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ Ι. ΓΙΑΝΝΑΤΣΗΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΜΕΤΡΗΣΗ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Ι. ΓΙΑΝΝΑΤΣΗΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ Η Μέτρηση Εργασίας (Work Measurement ή Time Study) έχει ως αντικείμενο τον προσδιορισμό του χρόνου που απαιτείται από ένα ειδικευμένο

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2010-11 Τρίτη Γραπτή Εργασία στη Στατιστική Γενικές οδηγίες

Διαβάστε περισσότερα

ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ 2 (CHI-SQUARE)

ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ 2 (CHI-SQUARE) ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ (CI-SQUARE) ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ (CI-SQUARE). Εισαγωγή Οι στατιστικές δοκιμασίες που μελετήσαμε μέχρι τώρα ονομάζονται παραμετρικές (paramtrc) διότι χαρακτηρίζονται από υποθέσεις σχετικές είτε για

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Όπως θα δούμε αργότερα στη Στατιστική Συμπερασματολογία, λέγοντας ότι «από έναν πληθυσμό παίρνουμε ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους» εννοούμε ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές,,..., που

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) ιάλεξη 4

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) ιάλεξη 4 (ΨΥΧ-1202) Λεωνίδας Α. Ζαμπετάκης Β.Sc., M.Env.Eng., M.Ind.Eng., D.Eng. Εmail: statisticsuoc@gmail.com ιαλέξεις: ftp://ftp.soc.uoc.gr/psycho/zampetakis/ ιάλεξη 4 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΨΥΧΟΛΟΓΙΑΣ Ρέθυμνο,

Διαβάστε περισσότερα