ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ"

Transcript

1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ (.,.2) Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ).. Αν Ω είναι δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης, τότε Ρ (Ω) =. 2. Αν Α είναι ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης τότε, 0 Ρ (Α).. Για το αδύνατο ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης ισχύει Ρ ( ) = Δειγματικός χώρος λέγεται το σύνολο όλων των δυνατών αποτελεσμάτων ενός πειράματος τύχης.. Το αποτέλεσμα ενός πειράματος τύχης είναι στοιχείο του δειγματικού χώρου του πειράματος. 6. Ένα αποτέλεσμα ενός πειράματος τύχης λέγεται απλό ενδεχόμενο ή γεγονός. 7. Ο δειγματικός χώρος Ω ενός πειράματος τύχης είναι βέβαιο ενδεχόμενο. 8. Αν Ω είναι ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης, τότε ονομάζουμε ενδεχόμενο του πειράματος κάθε υποσύνολο του Ω. 9. Ο ίδιος ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης είναι και αυτός ένα ενδεχόμενο. 0. Οι ευνοϊκές περιπτώσεις για ένα ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης είναι στοιχεία του δειγματικού του χώρου.. Με Ν(Α) συμβολίζουμε όλα τα δυνατά υποσύνολα ενός ενδεχομένου Α. 2. Το συμπλήρωμα Α ενός ενδεχομένου Α του πειράματος τύχης είναι επίσης ενδεχόμενο του πειράματος.. Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα ενός πειράματος τύχης με δειγματικό χώρο Ω, τότε ισχύει η ισότητα Α - Β = Α Β. 4. Αν Α, Β ενδεχόμενα ενός πειράματος τύχης με δειγματικό χώρο Ω τότε ισχύει Β Α = (Β-Α) (Α-Β).. Δύο ενδεχόμενα λέγονται ασυμβίβαστα όταν Α Β = Α. 6. Τα ενδεχόμενα Α = {, 4, 7}, Β = {4, 7, } είναι ξένα μεταξύ τους. 7. Αν το ενδεχόμενο Β = {2, 4, 6}, τότε Ν (Β) =. 8. Αν Α είναι το ενδεχόμενο να τραβήξουμε μια ντάμα από μια τράπουλα, τότε Ν(Α) = Οι εκφράσεις: «πραγματοποιείται το ενδεχόμενο Α ή το Β» και «πραγματοποιείται ένα τουλάχιστον από τα ενδεχόμενα Α και Β» είναι ισοδύναμες. 20. Το κενό σύνολο δεν πραγματοποιείται σε καμία εκτέλεση ενός πειράματος τύχης. 2. Το κενό σύνολο είναι βέβαιο ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης. 22. Ενδεχόμενα τα οποία περιέχουν τουλάχιστον δύο αποτελέσματα ενός πειράματος τύχης λέγονται σύνθετα. 2. Ενδεχόμενα τα οποία περιέχουν ένα μόνο αποτέλεσμα ενός πειράματος τύχης λέγονται απλά ενδεχόμενα. 24. Αν σε ν εκτελέσεις ενός πειράματος τύχης ένα ενδεχόμενο Α πραγματοποιείται κ φορές, τότε ο λόγος f A λέγεται σχετική συχνότητα. του ενδεχομένου. 2. Για τη σχετική συχνότητα fa ενός ενδεχομένου Α ισχύει fa >. 26. Σε ένα πείραμα τύχης με ισοπίθανα αποτελέσματα και δειγματικό χώρο Ω η πιθανότητα του ενδεχομένου Α είναι ο αριθμός Ρ (Α) = ( ) ( ) 27. Δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα είναι ξένα μεταξύ τους. 28. Δύο ενδεχόμενα ξένα μεταξύ τους είναι αντίθετα. 29. Αν τα ενδεχόμενα Α, Β είναι ξένα μεταξύ τους, τότε και τα συμπληρωματικά Α, Β είναι ξένα μεταξύ τους.

2 0. Αν για τα ενδεχόμενα Α, Β ισχύει Ρ(Α)= 2 και Ρ(Β)=, τότε θα είναι Ρ(Α Β) = 2. Αν για τα ενδεχόμενα Α, Β ισχύει Ρ(Α)= 2 και Ρ(Β)= 2, τότε θα είναι Ρ(Α Β) = 4 2. Αν η πιθανότητα πραγματοποίησης ενός ενδεχομένου είναι 0,4 τότε η πιθανότητα μη πραγματοποίησης του ενδεχομένου αυτού είναι 0,6. Υπάρχουν ενδεχόμενα είναι Α και Β ξένα μεταξύ τους για τα οποία Ρ(Α)+Ρ(Β)=,2 4. Αν Ρ(Α Β)=0, τότε Α Β=. Αν Α Β, τότε Ρ(Α) < Ρ(Β) 6. Αν Ρ(Α) < Ρ(Β), τότε Α Β 7. Αν Α, Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω ενός πειράματος τύχης, ισχύει Ρ(Α)+Ρ(Β) 8. Για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α ισχύει Ρ(Α)+Ρ(Α ) = 9. Έστω δειγματικός χώρος Ω = {ω, ω2, ωκ} με ισοπίθανα ενδεχόμενα. Η πιθανότητα P(ωi), i =, 2,, κ, ενός στοιχείου του Ω είναι 40. Η έκφραση: «η πραγματοποίηση του ενδεχομένου Α συνεπάγεται την πραγματοποίηση του ενδεχομένου Β» διατυπωμένη στη γλώσσα των συνόλων είναι ισοδύναμη με την σχέση Α Β = Α 4. Αν Α, Β είναι ασυμβίβαστα ενδεχόμενα με Ρ (Α) = 0,4 και Ρ (Β) = 0,6 τότε ισχύει α) Ρ (Α Β) = β) Ρ(Α Β) = γ) Ρ (Α Β) = 0,2 δ) Ρ(Α Β) = 0,4 ε) Ρ (Α Β) = 0,6 42. Αν Α Β (Α, Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω), τότε δεν ισχύει α) Ρ(Α)=0, και Ρ(Β)=0,7 β) Ρ(Β )+Ρ(Β)= γ) Ρ(Α)=0,6 και Ρ(Β)=0,4 δ) Ρ(Α)+Ρ(Α )= ε) Ρ(Α)=0, και Ρ(Β)=0,. 4. Στο διπλανό διάγραμμα Venn φαίνονται ο δειγματικός χώρος Ω και τα ενδεχόμενα Α, Β, Γ, Δ. Τότε ισχύει: α) Α Β στ) Γ Δ Β ια) Α Β = Β β) Β Α ζ) Γ Δ Α ιβ) (Γ Δ) Α = Α γ) Γ Β η) Β Γ = Β ιγ) (Γ Δ) B = Β δ) Δ Γ θ) Β Γ Δ ιδ) Β Δ = Δ =Α ε) Γ Δ Α ι) Α Β = Β ιε) (Γ Β) Α = Γ Ω Γ Α Β Δ 44. Η ρίψη ενός ζαριού είναι ένα πείραμα τύχης. Απαντήστε στα παρακάτω ερωτήματα: α) Τα δυνατά αποτελέσματα του πειράματος είναι:. β) Ο δειγματικός χώρος του πειράματος είναι: γ) Τα απλά ενδεχόμενα είναι:... δ) Τα ενδεχόμενα Α={,2,), Β={2,,,6} είναι:... ε) Περιγράψτε με λόγια το ενδεχόμενο: Γ = {4,,6}. στ) Να γράψετε με τη μορφή συνόλου το ενδεχόμενο Δ: «η ζαριά είναι άρτιος αριθμός» 6

3 Η ρίψη δύο ζαριών είναι ένα πείραμα τύχης. Απαντήστε στα παρακάτω ερωτήματα: α) Τα δυνατά αποτελέσματα του πειράματος είναι:. τα οποία βρίσκονται και με πίνακα διπλής εισόδου (ο οποίος να συμπληρωθεί) ο ζάρι 2 ο ζάρι (,) 2 (2,2) (,) 4 (4,4) (,) 6 (6,6) β) Ο δειγματικός χώρος του πειράματος είναι:..... και το πλήθος των στοιχείων του είναι Ν(Ω) = γ) Το ενδεχόμενο Α={(2,4)} είναι ένα. ενδεχόμενο ενώ το Β ={(2,4),(,2),(,4),(4,6)} είναι ένα.. ενδεχόμενο και το πλήθος των ευνοϊκών περιπτώσεών του είναι Ν(Β) =.. δ) Περιγράψτε με λόγια το ενδεχόμενο: Γ = {(,),(2,2),(,),(4,4),(,),(6,6)} ε) Να γράψετε με τη μορφή συνόλου το ενδεχόμενο: Δ: «οι ενδείξεις των ζαριών έχουν άθροισμα 0» στ) Αν κατά τη ρίψη του ζαριού φέρουμε (4,6), ποια από τα παραπάνω ενδεχόμενα πραγματοποιούνται; 46. Ρίχνουμε κατ επανάληψη ένα νόμισμα και σημειώνουμε με Γ ν Γ f κ ν Γ f κ ,700 0,60 0, 0,7 0,20 0,7 0, ,482 0,08 0,08 0,00 0,486 0,06 0,2 7

4 το αποτέλεσμα «γράμματα» και με Κ το αποτέλεσμα «κορώνα». Τα αποτελέσματα του πειράματος φαίνονται στο διπλανό πίνακα. α) Στις 0 πρώτες ρίψεις η σχετική συχνότητα του ενδεχομένου Γ: «γράμματα» είναι β) Στις 00 πρώτες ρίψεις η σχετική συχνότητα του ενδεχομένου Γ: «γράμματα» είναι ,488 0,478 0, ,494 0,489 0,49 γ) Στις 200 ρίψεις η σχετική συχνότητα του ενδεχομένου Γ: «γράμματα» είναι δ) Παρατηρούμε ότι καθώς ο αριθμός των ρίψεων αυξάνεται, η σχετική συχνότητα η σχετική συχνότητα σταθεροποιείται γύρω από την τιμή Δειγματικός χώρος-ενδεχόμενα 47. Αν Α, Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω, να διαπιστώσετε σε κάθε μια περίπτωση (με τη βοήθεια διαγραμμάτων Venn), ότι τα ενδεχόμενα είναι ξένα μεταξύ τους και να βρεθεί η ένωσή τους. i) Α, Α ii) Α Β, Α-Β iii) Α Β, Β-Α iv) Α Β, Β-Α, Α-Β v) Α-Β, Β vi) Β-Α, Α 48. Ελέγχουμε διαδοχικά βιβλία μέχρι να βρούμε ένα κακοτυπωμένο (Κ) ή δύο σωστά τυπωμένα (Σ).Ο δειγματικός χώρος Ω του πειράματος είναι i. Ω = {Κ, Σ}. ii. Ω = {ΚΚ, ΚΣ}. iii. Ω = {ΚΚ, ΣΣ} iv. Ω = {Κ, ΣΚ, ΣΣ} v.{κ,σσ}. 49. Έστω Α = {,, } και Β = {2, 4, 6} δύο ενδεχόμενα της ρίψης ενός ζαριού μια φορά. Αν το αποτέλεσμα της ρίψης είναι ο αριθμός τότε πραγματοποιείται το ενδεχόμενο i. Α Β. ii. Α. iii. Β. iv. Α Β. v. Β Α. 0. Ρίχνουμε πρώτα ένα νόμισμα μετά ένα ζάρι και καταγράφουμε τα αποτελέσματα. Περιγράψτε το δειγματικό χώρο του πειράματος.. Σ ένα κουτί υπάρχουν 4 ομοιόμορφα μολύβια κόκκινο (Κ), πράσινο (Π), μαύρο (Μ), λευκό (Λ). Να βρεθεί ο δειγματικός χώρος του πειράματος στις ακόλουθες περιπτώσεις: (μας ενδιαφέρει το χρώμα) α) Επιλέγουμε τυχαία ένα μολύβι. β) Επιλέγουμε τυχαία ένα μολύβι, το τοποθετούμε ξανά στο κουτί και μετά επιλέγουμε άλλο ένα (επανατοποθέτηση). γ) Επιλέγουμε τυχαία ένα μολύβι και μετά επιλέγουμε άλλο ένα (χωρίς επανατοποθέτηση). 2. Μια δισκογραφική εταιρεία ελέγχει τα compact disks (CD) που παράγει. Ο έλεγχος σταματά όταν βρεθούν 2 ελαττωματικά CD ή όταν έχουν ελεγχθεί 4 CD. Να βρείτε: α) Το δειγματικό χώρο Ω. 8

5 β) Τα ενδεχόμενα: i) Ακριβώς 2 ελαττωματικά CD, ii) τουλάχιστον 2 ελαττωματικά CD, iii) το πολύ 2 ελαττωματικά CD.. Ρίχνουμε ένα νόμισμα δύο φορές και καταγράφουμε τα αποτελέσματα. α) Να βρείτε το δειγματικό χώρο του πειράματος. β) Να γράψετε με αναγραφή των στοιχείων τους τα ενδεχόμενα: Α = {να παρουσιαστεί Κ (κεφαλή) στην πρώτη ρίψη}, Β = {να παρουσιαστεί Κ στη δεύτερη ρίψη}, Γ = {να παρουσιαστεί Κ σε μία μόνο από τις δύο ρίψεις}. γ) Είναι τα ενδεχόμενα Α, Β, Γ ανά δύο ασυμβίβαστα; (Δικαιολογήστε την απάντησή σας). 4. Δύο ομάδες Ο, Ο2 παίζουν μεταξύ τους σε μια σχολική ποδοσφαιρική συνάντηση (οι αγώνες δεν τελειώνουν ποτέ με ισοπαλία). Νικήτρια θεωρείται η ομάδα που θα νικήσει σε δύο αγώνες στη σειρά ή σε δύο αγώνες ανεξαρτήτως σειράς. Να βρείτε: α) Το δειγματικό χώρο Ω των αποτελεσμάτων των αγώνων της συνάντησης. β) Τα ενδεχόμενα: i) Ακριβώς μία νίκη της ομάδας Ο, ii) καμία νίκη της ομάδας Ο, iii) τουλάχιστον μία νίκη της ομάδας Ο. γ) Πόσους αγώνες το πολύ θα είχε μία τέτοια ποδοσφαιρική συνάντηση;. Ρίχνουμε ένα νόμισμα δύο φορές. i)να βρεθεί ο δειγματικός χώρος του πειράματος. ii)θεωρούμε τα ενδεχόμενα: Α: Στα αποτελέσματα των ρίψεων ήταν τουλάχιστον μία κεφαλή και Β: Στα αποτελέσματα των ρίψεων ήταν μια φορά γράμματα. Να βρείτε τα ενδεχόμενα Α, Β,,,. 6. Μεταξύ των οικογενειών με παιδιά επιλέγουμε τυχαία μία οικογένεια και καταγράφουμε το φύλο των παιδιών με βάση τη σειρά γέννησης τους. Να βρεθούν: i) Ο δειγματικός χώρος του πειράματος. ii)τα ενδεχόμενα: Α: Η οικογένεια έχει μόνο ένα παιδί διαφορετικού φύλου από το πρώτο παιδί και Β: Τα δύο μικρότερα παιδιά είναι του ίδιου φύλου. 7. Ρίχνουμε ένα ζάρι δύο φορές. i)να βρείτε τον δειγματικό χώρο του πειράματος. ii) Θεωρούμε τα ενδεχόμενα Α: Το αποτέλεσμα της πρώτης ρίψης είναι μικρότερο από το αποτέλεσμα της δεύτερης ρίψης, Β: Το άθροισμα των ενδείξεων είναι μικρότερο από 4 και Γ: Το γινόμενο των ενδείξεων είναι πολλαπλάσιο του. Να βρείτε τα ενδεχόμενα:,,,,,,. 8. Μια βιομηχανία ελέγχει τηλεοράσεις από την γραμμή παραγωγής με τη σειρά που εξέρχονται. Ο έλεγχος σταματάει όταν βρεθούν 2 ελαττωματικές τηλεοράσεις η όταν έχουν ελεγχθεί 4 τηλεοράσεις. Να βρείτε τα ενδεχόμενα: Κ: «να βρεθεί ακριβώς μία ελαττωματική τηλεόραση» Λ: «να βρεθούν ακριβώς δύο ελαττωματικές τηλεοράσεις» Μ: «να βρεθούν δύο τουλάχιστον μη ελαττωματικές τηλεοράσεις» 9

6 Ν: «να βρεθούν το πολύ δύο μη ελαττωματικές τηλεοράσεις» 9. Δύο φίλοι παίζουν σκάκι και συμφωνούν νικητής να είναι εκείνος που θα κερδίσει πρώτος παιχνίδια ή 2 παιχνίδια στη σειρά. Να γραφεί ο δειγματικός χώρος του πειράματος. 60. Ένας καθηγητής διορθώνει τα γραπτά μαθητών του και γνωρίζει από τον επιτηρητή του διαγωνίσματος ότι μαθητές έχουν αντιγράψει. Αν ο καθηγητής διορθώσει στη τύχη γραπτά και με δεδομένο ότι ο καθηγητής έχει τη δυνατότητας διορθώνοντας ένα γραπτό να καταλάβει ότι είναι προϊόν αντιγραφής, να βρείτε: i) τον δειγματικό χώρο του πειράματος. ii) το ενδεχόμενο ο καθηγητής να ανακαλύψει τους αντιγραφείς. 6. Ένα κουτί περιέχει 2 μπάλες, άσπρη και μαύρη. Επιλέγουμε από το κουτί τυχαία μία μπάλα, καταγράφουμε το χρώμα της την επανατοποθετούμε στο κουτί και στη συνέχεια επιλέγουμε άλλη μία μπάλα. Να βρείτε τον δειγματικό χώρο του πειράματος. 62. Δύο κουτιά περιέχουν μπάλες. Το πρώτο κουτί περιέχει άσπρη, μαύρη και κόκκινη μπάλα, ενώ το δεύτερο κουτί περιέχει άσπρη και μαύρη μπάλα. Επιλέγουμε στη τύχη ένα κουτί και στη συνέχεια μια μπάλα μέσα από αυτό. Να βρείτε: i) τον δειγματικό χώρο του πειράματος. ii) το ενδεχόμενο να επιλεγεί άσπρη μπάλα. 6. Ρίχνουμε ένα νόμισμα φορές. i)να βρείτε τον δειγματικό χώρο του πειράματος. ii)έστω τα ενδεχόμενα: Α: Τουλάχιστον μία φορά κεφαλή και Β: το πολύ μία φορά γράμματα. Να βρείτε τα ενδεχόμενα: Α, Β,,,,. 64. Ρίχνουμε ένα νόμισμα 2 φορές. i) Να βρείτε τον δειγματικό χώρο του πειράματος. ii) Να βρείτε τα ενδεχόμενα: Α: Κεφαλή στη πρώτη ρίψη. Β: Κεφαλή στη δεύτερη ρίψη. Γ: Μόνο μία κεφαλή και στις δύο ρίψεις. Είναι τα ενδεχόμενα Α,Β,Γ ασυμβίβαστα; 6. Ρίχνουμε ένα νόμισμα και στη συνέχεια ένα ζάρι. Να βρείτε το δειγματικό χώρο του πειράματος. 66. Σε ένα κουτί υπάρχουν 4 όμοια μολύβια: κόκκινο, πράσινο, μαύρο και άσπρο. Να βρείτε το δειγματικό χώρο του πειράματος στις παρακάτω περιπτώσεις: i) Επιλέγουμε τυχαία ένα μολύβι. ii) Επιλέγουμε τυχαία ένα μολύβι, το τοποθετούμε στο κουτί και μετά επιλέγουμε άλλο ένα. iii) Επιλέγουμε ταυτόχρονα δύο μολύβια. 67. Μεταξύ των οικογενειών με 4 παιδιά, επιλέγουμε τυχαία μία και καταγράφουμε το φύλο των παιδιών με βάση τη σειρά γέννησης τους. Να βρείτε: i)τον δειγματικό χώρο του πειράματος. ii) τα ενδεχόμενα: Α: Η οικογένεια έχει μόνο ένα παιδί διαφορετικού φύλου από το δεύτερο παιδί και 20

7 Β: Τα δύο μεγαλύτερα παιδιά είναι του ίδιου φύλου. 68. Δύο ομάδες Α και Β παίζουν μεταξύ τους μπάσκετ και συμφωνούν νικήτρια να είναι η ομάδα που θα νικήσει σε 2 αγώνες (οι αγώνες δεν τελειώνουν με ισοπαλία). i) Να βρείτε το δειγματικό χώρο του πειράματος. ii) Να βρείτε τα ενδεχόμενα: Α: η ομάδα Α έκανε μόνο νίκη. Β: η ομάδα Α δεν έκανε καμία νίκη. Γ: η ομάδα Α έκανε τουλάχιστον νίκη. Πόσους το πολύ αγώνες θα παίξουν μεταξύ τους; 69. Ένα κουτί περιέχει 6 μπάλες αριθμημένες από το έως το 6. Τραβάμε από το κουτί μία-μία τις μπάλες, έως ότου επιλεγεί η μπάλα με τον αριθμό 6. Να βρείτε τον δειγματικό χώρο του πειράματος. 70. Δύο φίλοι παίζουν τάβλι και συμφωνούν νικητής θα είναι όποιος κερδίσει 4 παρτίδες ή 2 συνεχόμενες παρτίδες. Να βρείτε το δειγματικό χώρο του πειράματος. 7. Ένα εργοστάσιο παράγει ποτήρια και τα συσκευάζει σε κουτιά των 20 τεμαχίων. Πριν την έξοδο των κιβωτίων από το εργοστάσιο γίνεται έλεγχος ποιότητας του εμπορεύματος. Από κάθε κουτί ελέγχονται στη τύχη 4 ποτήρια και όταν βρεθούν 2 ελαττωματικά το κιβώτιο επιστρέφεται. Να βρείτε: i) το δειγματικό χώρο του πειράματος. ii) τα ενδεχόμενα: Α: Ακριβώς ελαττωματικό. Β: Τουλάχιστον ελαττωματικό. Γ: Το πολύ ελαττωματικό. 72. Ένα εργοστάσιο παράγει πιάτα και τα συσκευάζει σε κουτιά των 00 τεμαχίων. Το τμήμα ελέγχου ποιότητας του εργοστασίου, επιλέγει από το κουτί 4 πιάτα ένα-ένα και αν υπάρχουν ελαττωματικά ή έχουν επιλεγεί συνεχόμενα 2 ελαττωματικά, επιστρέφει το κουτί στη μονάδα παραγωγής. Να βρείτε: i) το δειγματικό χώρο του πειράματος. ii) το ενδεχόμενο το κουτί να επιστραφεί στη μονάδα παραγωγής. 7. Μια εταιρεία κατασκευής τηλεφώνων ελέγχει τα τηλέφωνα που παράγει και τα ταξινομεί σε κανονικά (Κ), σε εκείνα που έχουν ελάττωμα λειτουργίας (Χ) και σε εκείνα που έχουν ελάττωμα εμφάνισης (Ε). Ο έλεγχος σταματάει μόλις βρεθούν 2 τηλέφωνα τύπου Ε ή τηλέφωνο τύπου Χ ή όταν έχουν ελεγχθεί συνολικά 4 τηλέφωνα. Να βρείτε το δειγματικό χώρο του πειράματος. 74. Ένα κινητό ξεκινά από τη θέση Α και κινούμενο είτε προς τα πάνω είτε προς τα δεξιά φθάνει στη θέση Ι. α) Να γράψετε τον δειγματικό χώρο του πειράματος. β) Να βρείτε τα ενδεχόμενα: Α: «το κινητό διέρχεται από τη θέση Ε» Β: «το κινητό δεν περνά καθόλου από τις γωνιακές θέσεις Η και Γ» Τι σχέση έχουν τα Α και Β ; Η Δ A Θ Ε B Ι Ζ Γ 2

8 Κλασικός ορισμός πιθανότητας 7. Ρίχνουμε ένα αμερόληπτο νόμισμα τρεις φορές και σημειώνουμε κάθε φορά την ένδειξη (κεφάλι ή γράμματα). i) Να βρεθεί ο δειγματικός χώρος Ω του πειράματος ii) Nα βρεθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων: α) Α: «στις τρεις ρίψεις οι δύο είναι γράμματα» β) Β: «και οι τρεις ρίψεις είναι ίδιες» γ) Γ: «μια τουλάχιστον ρίψη είναι κεφαλή» δ) Δ: «μια το πολύ ρίψη είναι κεφαλή» 76. Ρίχνουμε ένα αμερόληπτο ζάρι μία φορά και καταγράφουμε την ένδειξη της άνω έδρας του. i) Να βρεθεί ο δειγματικός χώρος του πειράματος ii) Να βρεθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων: Α: το αποτέλεσμα της ρίψης είναι άρτιος αριθμός. Β: το αποτέλεσμα της ρίψης είναι αριθμός μικρότερος του Γ: το αποτέλεσμα της ρίψης είναι αριθμός μικρότερος του 4 ή πολλαπλάσιο του Δ: το αποτέλεσμα της ρίψης είναι περιττός αριθμός και μεγαλύτερος του Μεταξύ των οικογενειών με τρία παιδιά επιλέγουμε τυχαία μια οικογένεια και εξετάζουμε τα παιδιά ως προς το φύλο και ως προς τη σειρά γέννησης τους. Θεωρούμε τα ενδεχόμενα: Α: η οικογένεια έχει 2 κορίτσια. Β: η οικογένεια έχει τουλάχιστον δύο κορίτσια.,,,,. Να βρεθούν οι πιθανότητες: 78. Ένα κουτί περιέχει σφαίρες από τις οποίες οι 6 είναι κίτρινες, οι είναι μπλε και οι 4 είναι ροζ.αν πάρουμε στην τύχη μία σφαίρα από το κουτί,να βρείτε την πιθανότητα να πάρουμε σφαίρα : i) κίτρινη ii) ροζ η κίτρινη iii) όχι μπλε. 79. Ένα κουτί περιέχει άσπρες (Α) και 2 μαύρες (Μ) μπάλες. Κάνουμε το εξής πείραμα: Επιλεγούμε από το κουτί τυχαία μία μπάλα, καταγράφουμε το χρώμα της και χωρίς να την επανατοποθετήσουμε στο κουτί επιλέγουμε μία δεύτερη μπάλα και στη συνέχεια με όμοιο τόπο μια τρίτη μπάλα. Να βρεθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων: Α: και οι τρείς μπάλες είναι μαύρες. Β: επιλέχθηκαν τουλάχιστον δύο μαύρες. Γ: η τρίτη μπάλα είναι άσπρη. 80. Στα play off ενός πρωταθλήματος 2 ομάδες φτάνουν στον τελικό και παίζουν μεταξύ τους τόσους αγώνες ώστε κάποια από τις δύο να πετύχει 2 συνεχόμενες ή συνολικά νίκες ώστε να ανακηρυχθεί πρωταθλήτρια. (Κάθε ομάδα έχει ίδια πιθανότητα νίκης σε κάθε αγώνα). α) Πόσοι το πολύ αγώνες θα γίνουν; β) Ποια η πιθανότητα να ανακηρυχθεί πρωταθλήτρια µια ομάδα μετά από αγώνες; γ) Επίσης ποια η πιθανότητα η ομάδα που θα κερδίσει στον πρώτο αγώνα να είναι πρωταθλήτρια. 8. Σκεφτόμαστε ένα μονοψήφιο ακέραιο αριθμό διαφορετικό του μηδενός και τον υψώνουμε στο τετράγωνο. Να βρεθεί η πιθανότητα των παρακάτω ενδεχομένων: 22

9 Α: Ο αριθμός που προκύπτει έχει τελευταίο ψηφίο το 6. Β: Ο αριθμός που προκύπτει έχει τελευταίο ψηφίο το 9. Γ: Ο αριθμός που προκύπτει έχει τελευταίο ψηφίο το 6 ή το Ο Χρήστος και ο Στέφανος παίζουν τάβλι και βρίσκονται προς το τέλος τον παιχνιδιού. Ο Χρήστος για να κερδίσει πρέπει να φέρει «διπλές»,ενώ ο Στέφανος κερδίζει σε οποιαδήποτε άλλη περίπτωση. Ποια είναι η πιθανότητα για κάθε παίκτη να κερδίσει το παιχνίδι ; 8. Σ' ένα κουτί έχουμε 4 πράσινους,0 κόκκινους και 6 κίτρινους βόλους. Αν πάρουμε έναν στην τύχη,να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων : Α : Ο βόλος είναι κόκκινος Β : Ο βόλος δεν είναι πράσινος Γ : Ο βόλος είναι κόκκινος η δεν είναι πράσινος. 84. Ένα κουτί περιέχει 4 κίτρινες, πράσινες και κόκκινες όμοιες μπάλες. Αν επιλέξουμε μέσα από το κουτί τυχαία μία μπάλα, να βρείτε τη πιθανότητα των παρακάτω ενδεχομένων: Α: η μπάλα είναι κίτρινη. Β: η μπάλα είναι πράσινη ή κόκκινη. Γ: η μπάλα δεν είναι κίτρινη η πράσινη. 8. Ένα κουτί περιέχει 2 άσπρες, 4 μπλε,6 πράσινες και 8 κόκκινες όμοιες μπάλες. Αν επιλέξουμε μέσα από το κουτί τυχαία μία μπάλα, να βρείτε τη πιθανότητα των παρακάτω ενδεχομένων: Α: η μπάλα είναι μπλε, Β: η μπάλα είναι άσπρη ή πράσινη Γ: η μπάλα να μην είναι άσπρη. 86. Ρίχνουμε ένα αμερόληπτο ζάρι. Να βρεθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων: Α: το αποτέλεσμα της ρίψης είναι περιττός αριθμός. Β: το αποτέλεσμα της ρίψης είναι αριθμός μικρότερος του Μια οικογένεια έχει 4 παιδιά από τα οποία τα δύο τελευταία είναι του ίδιου φύλλου. Να βρεθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων: K: το πρώτο παιδί είναι κορίτσι και η οικογένεια έχει μόνο ένα αγόρι. Λ: η οικογένεια έχει ένα μόνο παιδί διαφορετικού φύλλου από το πρώτο παιδί. 88. Ένα κουτί περιέχει 0 όμοιες σφαίρες αριθμημένες από το έως το 0. Βγάζουμε τυχαία μία σφαίρα Να βρείτε τη πιθανότητα των ενδεχομένων: Α: Η σφαίρα που επιλέχθηκε έχει αριθμό που είναι πολλαπλάσιο του 6 ή πολλαπλάσιο του 4. Β: Η σφαίρα που επιλέχθηκε έχει αριθμό που είναι πολλαπλάσιο μόνο του Ρίχνουμε ταυτόχρονα ένα νόμισμα και ένα ζάρι. Να βρείτε τη πιθανότητα το αποτέλεσμα να είναι γράμματα και περιττός αριθμός. 90. Ρίχνουμε ένα νόμισμα φορές. Να βρείτε τη πιθανότητα των παρακάτω ενδεχομένων: Α: εμφανίζονται το πολύ 2 φορές γράμματα. Β: εμφανίζεται τουλάχιστον μία φορά κεφαλή. Γ: στη Τρίτη ρίψη εμφανίζονται γράμματα. 9. Ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης είναι Ω={,2,,4,,6}.Θεωρούμε τα ενδεχόμενα Α={,4,} και Β={,,6}.Να βρείτε τις πιθανότητες : 2

10 i) P(A) ii)p(b) iii) P(AB) iv) P(AB) v) P(A-B) vi)p(a ) 92. Ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης είναι Ω={,2,,4,,6}.Θεωρούμε τα ενδεχόμενα Α={,4,} και Β={,,6}.Να βρείτε τις πιθανότητες : i) P(A) ii)p(b) iii) P(AB) iv) P(AB) v) P(A-B) vi)p(b ) 9. Θεωρούμε τον δειγματικό χώρο Ω={,2,,4,,6,7,8} και τα ενδεχόμενα Α={xΩ/ x } και Β={xΩ/ x >2}. Επιλέγουμε τυχαία ένα στοιχείο του Ω. α) Να γράψετε με αναγραφή τα ενδεχόμενα Α,Β, AB, AB, Α-Β και Α Β β) Να βρείτε τις πιθανότητες : i) P(A) ii)p(b) iii) P(AB) iv) P(A-B) v)p(α Β ) vi) P(AB) 94. Θεωρούμε τον δειγματικό χώρο Ω={,2,,,20} και τα ενδεχόμενα Α={xΩ/ x είναι πολλαπλάσιο του 2} και Β={xΩ/ x είναι πολλαπλάσιο του }. Επιλέγουμε τυχαία ένα στοιχείο του Ω. α) Να γράψετε με αναγραφή τα ενδεχόμενα Α,Β, AB και Α-Β β) Να βρείτε τις πιθανότητες : i) p(a) ii)p(b) iii) p(ab) και iv) ) p(a-b) 9. Σε ένα λύκειο η Γ Λυκείου έχει 70 μαθητές. Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή από το παραπάνω Λύκειο,τότε η πιθανότητα αυτός να είναι μαθητής της Γ Λυκείου είναι 28%,ενώ η πιθανότητα να είναι μαθητής της Α Λυκείου είναι 4%.Να βρείτε : α) το πλήθος των μαθητών όλου του Λυκείου β) το πλήθος των μαθητών της Α Λυκείου και το πλήθος των μαθητών της Β Λυκείου Δίνεται η εξίσωση x x 2x 4 0, όπου τα α,β καθορίζονται από τη ρίψη δύο αμερόληπτων ζαριών. Να βρείτε τη πιθανότητα η εξίσωση να έχει ρίζα το -2.(Απ. /2) Αξιωματικός ορισμός πιθανότητας 97. Έστω ο δειγματικός χώρος Ω = {ω, ω2, ω, ω4} α) Αν Ρ(ω2) =, Ρ(ω) = 6 και Ρ(ω4) =, να βρείτε το Ρ(ω). 9 β) Αν Ρ(ω) = Ρ(ω4) = 4 και Ρ(ω) = 2 Ρ(ω2), να βρείτε τα Ρ(ω) και Ρ(ω2). γ) Αν Α = {ω2, ω}, Β = { ω2, ω4} και ισχύουν Ρ(Α) = 2, Ρ(Β) = 2 και Ρ(ω2) = να βρείτε το Ρ(ω) 98. Έστω ο δειγματικός χώρος Ω ={ ω,ω2,ω}. Αν είναι : ( ) 9 2, P( 2) και Ρ (ω ) = α 2,να βρείτε το α Έστω ο δειγματικός χώρος Ω = {, 2,,, 20} και ω ένα στοιχειώδες ενδεχόμενο αυτού για το οποίο ισχύει 24

11 α, αν 4 4 α, αν P(ω)= α, αν α) Να βρείτε την τιμή του α β) Αν Α = {ωω, με ω[4, 7] να βρείτε την πιθανότητα Ρ(Α) 00. Έστω Ω={, 2,, 6} ένας δειγματικός χώρος. Να δικαιολογήσετε ποιοι από τους παρακάτω τύπους μπορούν να θεωρηθούν κατάλληλοι και ποιοι όχι για να εκφράσουν την πιθανότητα κάθε στοιχειώδους ενδεχομένου {κ} του Ω. i) P(κ)= ii) Ρ(κ)= iii) P(κ)= Δίνεται ο δειγματικός χώρος Ω={ω,ω2,ω,ω4} ενός πειράματος τύχης με p( ), p( 2) και p( ). Να βρείτε : i) την πιθανότητα p(ω4) ii) την πιθανότητα του ενδεχομένου Α={ ω2,ω4} 02. Δίνεται ο δειγματικός χώρος Ω={ω,ω2,ω,ω4,ω} ενός πειράματος τύχης με p( 2), p( ) p( 4) και p( ). Να βρείτε : α)την πιθανότητα p(ω) β)θεωρούμε τα ενδεχόμενα Α={ ω, ω,ω} και Β={ ω, ω2}.να βρείτε τις πιθανότητες : i) p(a) ii) p(b) iii)p(ab) iv) p(ab) 0. Δίνεται ο δειγματικός χώρος Ω={ω,ω2,ω,ω4} και τα ενδεχόμενα Α={ ω, ω2} και Β={ ω2,ω}.ισχύουν pa ( ), p(b) και p( 4). Να βρείτε : α) τις πιθανότητες p(ω), p(ω2), και p(ω) β) τα ενδεχόμενο Α Β και στη συνέχει να υπολογίσετε την p(a B ). 04. Δίνεται ο δειγματικός χώρος Ω={ω,ω2,ω,ω4} και τα ενδεχόμενα Α={ ω, ω2}, Β={ ω2,ω} και Γ ={ ω, ω2,ω} για τα οποία ισχύουν : pa ( ), p(b) και p( ). Να βρείτε : 4 6 α) τις πιθανότητες των απλών ενδεχομένων του Ω β) την πιθανότητα του ενδεχομένου Δ =( ΑΒ) Γ Υπολογισμός πιθανοτήτων 0. 'Έστω Α,Β δύο ενδεχόμενα τον ίδιου δειγματικού χώρου με PA ( ), PB ( ), 8 6 P( AB). Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων : 6 α) Ρ(Α ) β) ( ) γ) Ρ(Α-Β) δ) ( ) Έστω Α,Β δύο ενδεχόμενα τον ίδιου δειγματικού χώρου με PA ( ), PB ( ), 2 2

12 P( AB). Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων : α) Ρ(Β) β) ( ) γ) Ρ(Α-Β) δ) ( ) 07. Έστω Α,Β ενδεχόμενα δειγματικού χώρου Ω με P( A), P( B) 2 4 ( ). Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων : 8 α) Ρ(ΑΒ) β) ( ) γ) Ρ(Α-Β) δ) [( ) ] 08. Αν Α, Β ενδεχόμενα του δ.χ. Ω με Ρ(Α) = 20%, Ρ(Β') = 60%κα\ P(A B) = 6% να βρεθούν οι Ρ(Β) και Ρ(Α Β) Έστω Α,Β ενδεχόμενα δειγματικού χώρου Ω με P ( A ), P ( B ) 4 ( ). 20 i) Να εξετάσετε αν τα Α,Β είναι ασυμβίβαστα. ii) Να βρείτε την πιθανότητα ( ). 0. Έστω Α,Β ενδεχόμενα δειγματικού χώρου Ω με P( A), P( B) 6 4 α) Να εξετάσετε αν τα Α,Β είναι ασυμβίβαστα. β) Αν επιπλέον ( ),να βρείτε τις πιθανότητες 6 i) ( ) ii) P(A-B) 2. Έστω Α,Β ενδεχόμενα δειγματικού χώρου Ω με P( A), P( B) ( ) 4 4 Να βρείτε τις πιθανότητες i)ρ(β) ii) P(AB ) iii)p[(a-b)(b-a)] iv) P(AB ) 2. Έστω Α και Β είναι δύο ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω,με ΑΒ για τα οποία ισχύει Ρ(Α) = 6, Ρ(Β) = 2 και Ρ(Α Β) =.Να βρείτε τις πιθανότητες : i)p(α Β) ii)p(α Β) iii) P(Β Α) iv)p(αβ ). Έστω Α και Β είναι δύο ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ισχύει : Ρ(Α) =, Ρ(Β) = 4 και Ρ(Α Β) =, να υπολογίσετε τις πιθανότητες των ενδεχομένων Α Β,Α Β, (Β Α), (Α Β) 4. Έχουμε 0 σφαίρες μέσα σ ένα δοχείο αριθμημένες από το έως το 0 και επιλέγουμε στην τύχη μία σφαίρα. Έστω Α το ενδεχόμενο ο αριθμός της σφαίρας να είναι άρτιος και Β το ενδεχόμενο ο αριθμός αυτός να είναι πολλαπλάσιο του. Να υπολογίσετε τις πιθανότητες: α) Ρ(Α), Ρ(Β) β) Ρ(Α Β) γ) Ρ(Α Β ) δ) Ρ((Α Β) (Α Β )). Έστω Α,Β ενδεχόμενα δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ισχύει ότι A,. Να βρείτε την

13 6. Έστω Α,Β ενδεχόμενα δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ισχύει ότι A 6 2 A και Ρ. Να υπολογίσετε την πιθανότητα 7. Έστω Α ενδεχόμενο δειγματικού χώρου Ω για το οποίο ισχύει ότι πιθανότητες.. 4, 4. Να βρεθούν οι 8. Έστω Α και Β δύο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω τέτοια, ώστε 2 με P(A ),.Να βρείτε την πιθανότητα P(AΒ) Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω τέτοια ώστε,με P(A-Β) 0,, 0, και Ρ(ΑΒ)=0,9.Να βρείτε τις πιθανότητες : i) P(A),P(B) και P(ΑΒ) ii)p(αβ ) iii) Ρ(Α Β ) iv) P(Α Β ) 0,8, 0,6 0, Έστω Α,Β ενδεχόμενα δειγματικού χώρου Ω με Να υπολογίσετε τις πιθανότητες,,. 6, 4 2. Έστω Α,Β ενδεχόμενα δειγματικού χώρου Ω. Αν, και να υπολογίσετε τη πιθανότητα. 22. Έστω Α,Β ενδεχόμενα δειγματικού χώρου Ω με 0, 0,7, 0, 4 και. Να βρείτε τη πιθανότητα να μην πραγματοποιηθεί κανένα από τα Α και Β. 2. Έστω Α,Β δύο ενδεχόμενα δειγματικού χώρου Ω με 0,4, 0,8 και 0,4. Να βρείτε την πιθανότητα να πραγματοποιηθεί τουλάχιστον ένα από τα Α και Β. 24. Έστω Α,Β ενδεχόμενα δειγματικού χώρου Ω με. Αν και υπολογίσετε τις πιθανότητες, και. 2. Έστω Α,Β ενδεχόμενα δειγματικού χώρου Ω με πιθανότητες: α) και β). 2 4, να 2. Να βρείτε τις 6, να Έστω Α,Β ενδεχόμενα δειγματικού χώρου Ω με. Αν υπολογίσετε τις πιθανότητες,,. 27

14 27. Έστω Α,Β ενδεχόμενα δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α Β )=0,9. Να βρείτε τις πιθανότητες: i) P(A),P(B) και P(ΑΒ) ii) P(Β -Α ) iii) Ρ(Α -Β) 0,8 0, 2 και 7 και Έστω Α,Β ενδεχόμενα δειγματικού χώρου Ω με ( ) Ρ(Α Β )=0,9. i) Να αποδείξετε ότι P(ΑΒ)= 6 ii)να βρείτε την πιθανότητα Ρ(Α Β) 29. Έστω Α,Β ενδεχόμενα δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Β )-Ρ(Β)= 2.Να βρείτε τις πιθανότητες: i) P(A) ii)p(b) iii) P(ΑΒ) iv)p(α-β) v) P(BA ) iv) P[(A-B) (B-A)] 0. Έστω Α,Β ενδεχόμενα δειγματικού χώρου Ω με, B Να βρείτε τις πιθανότητες: i) P(AB) ii) P(AB ), 2 ( ) και και ( ) Έστω Α,Β ενδεχόμενα δειγματικού χώρου Ω με Να βρείτε τις πιθανότητες: i) P(ΑΒ) ii) P[(A-B) (B-A)] 2. Έστω Α,Β ενδεχόμενα δειγματικού χώρου Ω με ( ). 20 i) Να αποδείξετε ότι ( ), 4 ii) Να βρείτε τις πιθανότητες P(AΒ),P(B) και P(ΑΒ), iii) Να βρείτε την πιθανότητα Ρ[(ΑΒ ) (ΒΑ ). ( ), ( ) και. Έστω Α,Β ενδεχόμενα δειγματικού χώρου Ω με 2 ( ) 4 ( ) και ( ). Να βρείτε τις πιθανότητες: 8 i) P(AΒ),P(B) και P(ΑΒ) ii) Ρ(Β-Α) και iii) Ρ[ΒΑ ) 4. Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Ρ(ΑΒ) = Ρ(Α)Ρ(Β). Να P(A B) P(A ). αποδείξετε ότι:. Έστω Α,Β ενδεχόμενα δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ισχύει ότι. 28

15 Να αποδείξετε ότι. 6. Έστω Α, Β, Γ τρία ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω τέτοια,ώστε το Α να είναι ασυμβίβαστο με καθένα από τα Β και Γ. Επίσης ισχύουν: P(A ) 7, i)να υπολογίσετε τις πιθανότητες P(A),P(B) και P(Γ) ii) Nα εξετάσετε αν τα ενδεχόμενα Β και Γ είναι ασυμβίβαστα. 7. Δίνονται τα ενδεχόμενα Α, Β, Γ ενός δειγματικού χώρου Ω,τα οποία είναι ανά δύο ασυμβίβαστα. Επίσης ισχύουν: P(A ) 7, Να υπολογίσετε τις πιθανότητες: i) P(A),P(B),P(Γ) ii)p(αγ) iii) Ρ(Γ-Α) iv) P(Α Β) 8. Έστω Α, Β, Γ τρία ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω με, P(A),. Να υπολογίσετε τις πιθανότητες P, και Έστω Α,Β,Γ ενδεχόμενα δειγματικού χώρου Ω με για τα οποία ισχύει ότι: 7 P(A), 2 2 P,. και. Να υπολογίσετε τις πιθανότητες 40. Έστω Α,Β,Γ ενδεχόμενα δειγματικού χώρου Ω με για τα οποία ισχύει ότι: P(A-Β) ( ) και P(Β ) ( ). 8 2 Να αποδείξετε ότι τα ενδεχόμενα Α και Γ δεν είναι ασυμβίβαστα. Λεκτική περιγραφή ενδεχομένων και υπολογισμός πιθανοτήτων 4. Έστω Α,Β ενδεχόμενα δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ισχύει ότι A 0,7, 0, και 0,4. Να υπολογιστούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων: Κ: Πραγματοποιείται τουλάχιστον ένα από τα Α και Β. Λ: Πραγματοποιείται μόνο το Α. Μ: Πραγματοποιείται μόνο ένα από τα Α και Β. Ν: Δεν πραγματοποιείται κανένα από τα Α και Β. 42. Έστω Α, Β δύο ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω τέτοια ώστε να ισχύει: P(A) =, P(B) = 2 7 και P(AB) =. Να υπολογίσετε τις πιθανότητες των 0 ενδεχομένων: α) Να μην πραγματοποιηθεί το Α. β) Να πραγματοποιηθούν ταυτόχρονα τα Α και Β. γ) Να πραγματοποιηθεί μόνο το Β. 29

16 δ) Να μην πραγματοποιηθεί κανένα από τα Α και Β. ε) Να πραγματοποιηθεί ακριβώς ένα από τα Α και Β. 4. Έστω Α, Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω. Γνωρίζουμε ότι η πιθανότητα: να πραγματοποιηθεί το Α είναι 60% να μην πραγματοποιηθεί το Β είναι 70% να πραγματοποιηθούν συγχρόνως τα Α και Β είναι 0%. Να βρείτε την πιθανότητα: α) να πραγματοποιηθεί το Α ή το Β β) να πραγματοποιηθεί το Α αλλά όχι το Β γ) να πραγματοποιηθεί μόνο το ένα από τα Α και Β. 44. Έστω Α, Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω. Γνωρίζουμε ότι η πιθανότητα: να πραγματοποιηθεί ένα τουλάχιστον από τα Α και Β είναι να πραγματοποιηθεί το Β και να μην πραγματοποιηθεί το Α είναι να πραγματοποιηθούν συγχρόνως τα Α και Β είναι. Να βρείτε την πιθανότητα: α) να πραγματοποιηθεί το Β, β) να πραγματοποιηθεί το Α, γ) να μην πραγματοποιηθεί κανένα από τα Α και Β, δ) να πραγματοποιηθεί μόνο το ένα από τα Α και Β ε) να πραγματοποιηθεί το Α ή να μην πραγματοποιηθεί το Β 4. Έστω Α, Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω. Γνωρίζουμε ότι η πιθανότητα: να πραγματοποιηθεί το Α ή το Β είναι 7 8 να πραγματοποιηθεί το πολύ ένα από τα Α,Β είναι 8 Να βρείτε την πιθανότητα να πραγματοποιηθεί ακριβώς ένα από τα Α,Β 46. Έστω Α Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω. Αν είναι και ( ), να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου : 4 Μ : Να πραγματοποιηθεί ένα τουλάχιστον από τα Α,Β. P ( A ) P ( B ) Για τα ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύουν: Ρ(Α)= 4, Ρ(Β)= και Ρ(Α Β)= 0. α) Να αποδειχθεί ότι τα Α και Β δεν είναι ασυμβίβαστα. β) Να υπολογιστεί η πιθανότητα πραγματοποίησης μόνο του Α. 48. Δίνονται δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου για τα οποία ισχύουν Ρ(Α Β)= 4, P(A B)= 20, Ρ(Β -Α)= 2 α) Να βρείτε τις πιθανότητες Ρ(Α) και Ρ(Β) β) Να βρείτε την πιθανότητα να πραγματοποιηθεί μόνο ένα από τα ενδεχόμενα Α και Β 0

17 49. Έστω Α, Β δύο ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω για τα οποία είναι Ρ(Α) = 2, Ρ(Β) = 2 και Ρ(Α Β) = 4 Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων: Γ: «πραγματοποιείται το Α και το Β» Δ: «δεν πραγματοποιείται το Α» Ζ: «πραγματοποιείται μόνο το Β» Ε: «δεν πραγματοποιείται κανένα από τα Α και Β» Θ: «πραγματοποιείται ακριβώς ένα από τα Α και Β» 0. Έστω Α,Β ενδεχόμενα δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ισχύει ότι:, και. 6 Α) Να αποδείξετε ότι τα ενδεχόμενα Α και Β δεν είναι ασυμβίβαστα. Β) Να βρείτε τη πιθανότητα να πραγματοποιηθεί μόνο ένα από τα Α και Β. 4. Έστω Α,Β δύο ενδεχόμενα δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ισχύει:, 6 και 2 2. i. Να αποδείξετε ότι. ii. Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου να μην πραγματοποιηθεί κανένα από τα Α και Β. 2. Έστω Α,Β δύο ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω. Αν Ρ(Α)=2Ρ(Β)=0,6 και P ( A B ) 0,8, να υπολογίσετε τις πιθανότητες των ενδεχομένων : Κ : Να πραγματοποιηθούν τα Α και το Β Λ : Να πραγματοποιηθεί μόνο το Β Μ : Να μην πραγματοποιηθεί κανένα από τα Α, Β Ν : Να πραγματοποιηθεί μόνο ένα από τα Α, Β 2. 'Εστω Α,Β δύο ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω με P ( A ), PB ( ), 7 4 P( AB). Να βρείτε την πιθανότητα των ενδεχομένων : 2 i) να μην πραγματοποιηθεί το Α ii) να πραγματοποιηθεί ένα τουλάχιστον από τα Α,Β iii) να μην πραγματοποιηθεί κανένα από τα Α,Β. 4. 'Εστω Α,Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω. Οι πιθανότητες Ρ(Α),Ρ(ΑΒ), 7 9 Ρ(ΑΒ) είναι διαφορετικές ανά δύο και ανήκουν στο σύνολο :,,,, 0 8. Να βρείτε τις πιθανότητες i) P(A),P(ΑB) και P(ΑΒ), ii) να μην πραγματοποιηθεί το Β, iii) να πραγματοποιηθεί το Β και να μην πραγματοποιηθεί το Α, iv) να πραγματοποιηθεί ακριβώς ένα από τα Α,Β, v) να πραγματοποιηθεί το πολύ ένα από τα Α,Β.

18 . Έστω Α, Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω. Γνωρίζουμε ότι η πιθανότητα: να μην πραγματοποιείται το Β είναι να πραγματοποιείται το Α και να μην πραγματοποιείται το Β είναι 2 Να βρείτε την πιθανότητα να μην πραγματοποιείται κανένα από τα Α,Β 6. Έστω Α, Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω,για τα οποία ισχύει ( ), ( ) και Ρ(Β-Α)=.Να βρείτε τις πιθανότητες: i) P(A) και P(B), ii) να πραγματοποιηθεί ακριβώς ένα από τα Α,Β, iii) να πραγματοποιηθεί το A ή να μην πραγματοποιηθεί το Β. 7. Έστω Α, Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω,για τα οποία ισχύει Ρ(Α )-2Ρ(Α)= η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί τουλάχιστον ένα από τα Α,Β είναι 9 0. Να βρείτε την πιθανότητα: i) να πραγματοποιηθεί το Α, ii) να πραγματοποιηθεί το A,αλλά να μην πραγματοποιηθεί το Β. 8. Έστω Α, Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω,για τα οποία ισχύει Ρ(Α )=Ρ(Β-Α). α)να βρείτε την πιθανότητα να πραγματοποιηθεί τουλάχιστον ένα από τα Α,Β β) Αν επιπλέον ισχύουν : ( ) και ( ),να βρείτε την πιθανότητα: i) να πραγματοποιηθεί το Α, ii) να μην πραγματοποιηθεί το Β, iii) να πραγματοποιηθεί το πολύ ένα από τα A, Β, iv) να πραγματοποιηθεί ακριβώς ένα από τα A, Β. 9. Έστω Α, Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω,για τα οποία ισχύει ότι Ρ(Α)=2Ρ(Β)=Ρ(ΑΒ).Επίσης η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί ακριβώς ένα από τα A, Β είναι 7. Να βρείτε την πιθανότητα 0 α) να πραγματοποιηθούν συγχρόνως τα Α,Β β) Αν επιπλέον ισχύουν : ( ) και ( ),να βρείτε την πιθανότητα: i) να πραγματοποιηθεί το Α, ii) να πραγματοποιηθεί το Α ή το Β, iii) να μην πραγματοποιηθεί το Α ή να πραγματοποιηθεί το Β, iv) να μην πραγματοποιηθεί κανένα από τα A, Β, v) να πραγματοποιηθεί το πολύ ένα από τα A, Β, Απόδειξη ανισοτήτων 60. Έστω Α ένα μη κενό ενδεχόμενο δειγματικού χώρου Ω. Αν το συμπληρωματικό 2

19 ενδεχόμενο του Α και, αποδειχθεί ότι: i) 4 οι πιθανότητες των ενδεχομένων Α και Α αντίστοιχα, να ii) 6. Έστω Α,Β δύο ενδεχόμενα δειγματικού χώρου Ω με και, τους αντίστοιχα. Να αποδειχθεί ότι Αν για τα ενδεχόμενα Α,Β δειγματικού χώρου Ω ισχύει ότι: 2 2 2, να αποδείξετε ότι. οι πιθανότητες 6. 'Έστω Α,Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α)=0,9 και Ρ(Β)=0,2. i) Να αποδείξετε ότι τα Α,Β δεν είναι ασυμβίβαστα ii) P ( A B ) 0, 9 ( ) 0, Έστω Α,Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α) = Ρ(Β) = 0,6. Να αποδείξετε ότι : i) τα Α,Β δεν είναι ασυμβίβαστα ii) Ρ(ΑΒ) 0,6 και iii) Ρ(ΑΒ) 0,4. 6. 'Εστω Α,Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α)=0,7 και Ρ(Β)=0,. i) Να αποδείξετε ότι τα Α,Β δεν είναι ασυμβίβαστα ii) P( AB) 0,7 iii) 0, 2 ( ) 0,. 66. Για τα ενδεχόμενα Α,Β δειγματικού χώρου Ω να αποδείξετε ότι,αν Ρ ( Α ) = 0, 8 και Ρ(Β) = 0,6, τότε 0, ( ) 0, 'Έστω Α,Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α)= και Ρ(Β)=. i) Να αποδείξετε ότι τα Α,Β δεν είναι ασυμβίβαστα ii) Να αποδείξετε ότι : P( A B) ( ). 68. Αν για τα ενδεχόμενα Α,Β δειγματικού χώρου Ω ισχύει ότι: 0,4 και 0,7 αποδειχθεί ότι: i) τα ενδεχόμενα Α,Β δεν είναι ασυμβίβαστα. 0, 0, 4. ii) 69. Αν Ρ(Α)=0,7 και Ρ(Β)=0,4 τότε Ρ(A B ) 0, Έστω Α, Β τα ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με P A 0,6, PB 0,7. Τότε να δείξετε ότι: α) τα σύνολα Α, Β έχουν κοινά στοιχεία P AB β) 0,7 γ) P A B 0, 0,6, να

20 7. Έστω Α, Β τα ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με P A 0,6, P B 0,8 Να αποδείξετε ότι: 0, 2 PB 0,8 72. Έστω Α, Β τα ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με P A, Τότε να δείξετε ότι: α) τα ενδεχόμενα Α, Β είναι ασυμβίβαστα β) P AB 8 γ) P A B P B Έστω Α, Β τα ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με P A, 4 P B. 6 Τότε να δείξετε ότι: α) P A B 4 2 β) 7 P A B α)να βρείτε την πιθανότητα να πραγματοποιηθούν συγχρόνως τα Α και Β β) Να αποδείξετε ότι : 2 PB Έστω Α, Β τα ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με P A, P B 7. Έστω Α, Β τα ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω.Ισχύει ότι Ρ(Α)=2Ρ(Α ) και η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί το πολύ ένα από τα Α,Β είναι 7 9. α) Να βρείτε τις πιθανότητες Ρ(Α) και Ρ(ΑΒ). β) Να αποδείξετε ότι : 2 PB Έστω Α, Β τα ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ισχύει ότι Ρ(Α)+Ρ(Β)=,2.Να αποδείξετε ότι : i) 0,2 Ρ(ΑΒ) 0,6 P B ii) Να αποδείξετε ότι : 0,6 77. Έστω Α, Β τα ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω.Γνωρίζουμε ότι η πιθανότητα να μην πραγματοποιηθεί το Α ή να μην πραγματοποιηθεί το Β είναι 4, να πραγματοποιηθεί το Β και να μην πραγματοποιηθεί το Α είναι 4 i) Να βρείτε την πιθανότητα Ρ(Β). ii) Να αποδείξετε ότι : P Έστω Α,Β ενδεχόμενα δειγματικού χώρου Ω με ότι: 0, 4 0,7. Να αποδείξετε 4

21 i) ii) 0, 0, Έστω Α,Β ενδεχόμενα δειγματικού χώρου Ω με πιθανότητες Ρ(Α) και Ρ(Β) αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: i) ii) iii) 80. Έστω Α,Β ενδεχόμενα δειγματικού χώρου Ω με πιθανότητες Ρ(Α) και Ρ(Β) αντίστοιχα για τις οποίες ισχύει ότι:,6. Να αποδείξετε ότι: i) 0,8 και ii) 0,8. 8. Έστω Α,Β ενδεχόμενα δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ισχύει ότι 0,4 και 0,. i) Να αποδείξετε ότι τα Α και Β δεν είναι ασυμβίβαστα., ii) Να αποδείξετε ότι 82. Έστω Α, Β τα ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω. Να αποδείξετε ότι: i) p( A) p( B) 2 PA B p( A) p( B) ii) 7 P A B Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω για τα οποία είναι Ρ(Α) = 0,7 και Ρ(Β) = 0,6 i) Να εξετάσετε αν τα Α και Β είναι ασυμβίβαστα ii) Να αποδειχθεί ότι Ρ(Α Β) 0,7 και Ρ(Α Β) 0,6 iii) Να αποδειχθεί ότι 0, Ρ(Α Β) 0,6 iv) Να αποδειχθεί ότι Ρ(Α Β ) 0, 84. Με τη βοήθεια του διπλανού διαγράμματος Venn να διαπιστώσετε ότι Ρ(Α Β) Ρ(Α) Ρ(Α Β) και Ρ(Α Β) Ρ(Β) Ρ(Α Β) Ρ(Α - Β) Ρ(Α) Ρ(Α Β) και Ρ(Β - Α) Ρ(Β) Ρ(Α Β) Ρ(Α - Β)+Ρ(Α Β)+Ρ(Β - Α) = Ρ(Α Β) Ω Α Α-Β Β-Α Β 8. Για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α, Β, Γ του ίδιου δειγματικού χώρου να αποδειχθεί i) Ρ(Α Β) Ρ(Α)+Ρ(Β) ii) Ρ(Α Β Γ) Ρ(Α)+Ρ(Β)+Ρ(Γ) iii) 2Ρ(Α Β) Ρ(Α)+Ρ(Β) + Ρ(Α Β) iv) Ρ(Β) Ρ(Α ) Ρ(Α Β) v) Αν 0 να δείξετε ότι ' Για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α, Β του ίδιου δειγματικού χώρου να αποδειχθεί ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου για τα οποία ισχύει :

22 ( ) ( ) ( ).Να αποδείξετε ότι Ρ(Α)=Ρ(Β) Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου για τα οποία ισχύει : ( ) ( ) ( ) ( ).Να βρείτε την πιθανότητα Ρ(Β). 89. Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω για τα οποία είναι Ρ(Α) = 0,7 και Ρ(Β) = 0,6 i) Να εξετάσετε αν τα Α και Β είναι ασυμβίβαστα ii) Να αποδειχθεί ότι Ρ(Α Β) 0,7 και Ρ(Α Β) 0,6 iii) Να αποδειχθεί ότι 0, Ρ(Α Β) 0,6 iv) Να αποδειχθεί ότι Ρ(Α Β ) 0, 90. Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω για τα οποία είναι Ρ(Α Β) = Ρ(Α Β ), να δείξετε: i) Ρ(Α - Β) = 2 ii) Ρ(Β) 2 iii) P(B) Ρ(Α) Προβλήματα 9. Ο παρακάτω πίνακας δίνει το βαθμολογικό επίπεδο των μαθητών ενός σχολικού συγκροτήματος. Βαθμολογικά ΚΟΡΙΤΣΙΑ ΑΓΟΡΙΑ επίπεδα Γυμνάσιο Λύκειο Γυμνάσιο Λύκειο Χαμηλή επίδοση 7 % % 8 % 6 % Μεσαία επίδοση % % 4 % 0 % Υψηλή επίδοση 8 % % 7 % 4 % Επιλέγουμε τυχαία ένα παιδί και έστω τα ενδεχόμενα. i) Α: να είναι κορίτσι ii) Β: να φοιτά στο λύκειο, iii) Γ: Να έχει υψηλή απόδοση. Να περιγραφούν και να βρεθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων: α) A B β) A Γ <40 ετών Μέτρια περίπτωση Σοβαρή περίπτωση Γονείς με παρόμοια πάθηση Γονείς με παρόμοια πάθηση ΝΑΙ ΟΧΙ ΝΑΙ ΟΧΙ % 0% 8% 2% 6

23 92. Ο διπλανός πίνακας αναφέρεται σε ένα σύνολο ασθενών που πάσχουν από σακχαρώδη διαβήτη. Επιλέγουμε τυχαία έναν ασθενή και θεωρούμε τα ενδεχόμενα: Α: «η κατάσταση του ασθενούς είναι σοβαρή» Β: «ο ασθενής είναι κάτω των 40 ετών» Γ: «οι γονείς του ασθενούς έχουν παρόμοια πάθηση» i) Να βρείτε τις πιθανότητες Ρ(Α),Ρ(Β), Ρ(Γ), Ρ(Α Β), Ρ(Β Γ), Ρ(Α Γ), Ρ(Α Β Γ) ii) Διατυπώσετε περιφραστικά τα ενδεχόμενα Α Β, Α Β Γ, Α Γ και να βρείτε τις πιθανότητές τους. > 40 ετών % 20% 20% 0% 9. Εξετάσαμε 0 οικογένειες ως προς τον αριθμό παιδιών που έχουν.τα αποτελέσματα φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: Αριθμός παιδιών Αριθμός οικογενειών Αν επιλέξουμε τυχαία μία από αυτές τις οικογένειες να βρείτε την πιθανότητα των ενδεχομένων : i) A : η οικογένεια έχει 2 παιδιά ii) Β : η οικογένεια έχει τουλάχιστον παιδιά iii) Γ : η οικογένεια έχει το πολύ 2 παιδιά iv) Δ : η οικογένεια έχει ή 2 παιδιά 94. Εξετάσαμε 0 άτομα ως προς τον αριθμό εφημερίδων που αγοράζουν κάθε βδομάδα. Τα αποτελέσματα φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: Αριθμός εφημερίδων Αριθμός ατόμων 0 4 x 2 2x 4 4 x+ 4 6 x α) Να βρείτε τον αριθμό x β) Αν επιλέξουμε τυχαία μία από αυτές τις οικογένειες να βρείτε την πιθανότητα των ενδεχομένων : i) A : το άτομο αγοράζει 2 εφημερίδες ii) Β : το άτομο αγοράζει ή 4 εφημερίδες iii) Γ : το άτομο αγοράζει τουλάχιστον εφημερίδες iv) Δ : το άτομο αγοράζει το πολύ 2 εφημερίδες 7

24 9. Εξετάσαμε 200 ενήλικες σχετικά με το αν έχουν δίπλωμα οδήγησης αυτοκινήτου ή μηχανής. Προέκυψαν τα εξής αποτελέσματα : 60 άτομα είχαν δίπλωμα οδήγησης αυτοκινήτου 60 άτομα είχαν δίπλωμα οδήγησης μηχανής 40 άτομα είχαν δίπλωμα οδήγησης αυτοκινήτου και μηχανής Επιλέγουμε τυχαία ένα από τα παραπάνω άτομα. Να βρείτε την πιθανότητα το άτομο αυτό : α) να έχει δίπλωμα οδήγησης αυτοκινήτου β) να μην έχει δίπλωμα οδήγησης μηχανής γ) να έχει δίπλωμα οδήγησης αυτοκινήτου ή δίπλωμα οδήγησης μηχανής δ) να έχει δίπλωμα οδήγησης μηχανής,αλλά να μην έχει δίπλωμα οδήγησης αυτοκινήτου ε) να μην έχει δίπλωμα οδήγησης αυτοκινήτου ούτε δίπλωμα οδήγησης μηχανής στ)να έχει μόνο δίπλωμα οδήγησης αυτοκινήτου ή μόνο δίπλωμα οδήγησης μηχανής 96. Σε μια κατασκήνωση υπάρχουν 200 παιδιά.το περασμένο βράδυ κάθε παιδί επέλεξε να δει μια κινηματογραφική ταινία,είτε κωμωδία είτε περιπέτεια. Τα 68 από τα 0 κορίτσια επέλεξαν να δούν κωμωδία,ενώ 6 αγόρια επέλεξαν να δουν περιπέτεια. α) Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα : Κωμωδία Περιπέτεια Αγόρια Κορίτσια Β) Αν επιλέξουμε τυχαία ένα παιδί,να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων: i) Α: το παιδί είναι κορίτσι ii) Β : το παιδί έχει επιλέξει περιπέτεια iii) Γ : το παιδί είναι αγόρι και έχει επιλέξει κωμωδία iv) Δ: το παιδί είναι κορίτσι ή έχει επιλέξει κωμωδία. 97. Σε μια κωμόπολη το % των νοικοκυριών δεν έχoυν τηλεόραση, το 40% δεν έχουν βίντεο και το 0% δεν έχουν ούτε τηλεόραση ούτε βίντεο. Επιλέγουμε τυχαίως ένα νοικοκυριό. i. Να βρείτε την πιθανότητα να έχει τηλεόραση. ii. Να βρείτε την πιθανότητα να έχει βίντεο. iii. Να βρείτε την πιθανότητα να έχει τηλεόραση και βίντεο iv. Να βρείτε την πιθανότητα να έχει τουλάχιστον ένα από τα δυο v. Να βρείτε την πιθανότητα να έχει μόνο τηλεόραση. vi. Να βρείτε την πιθανότητα να έχει μόνο βίντεο. vii. Να βρείτε την πιθανότητα να έχει μόνο ένα από τα δύο 98. Σε μια ομάδα 20 ατόμων από τις 9 γυναίκες και 2 από τους άνδρες φορούν γυαλιά.αν επιλέξουμε τυχαία ένα άτομο: i) ποια είναι η πιθανότητα να φορά γυαλιά; ii) να είναι γυναίκα ή να φοράει γυαλιά; 99. Από τους 2 μαθητές ενός Λυκείου οι 2 μαθητές συμμετέχουν σε μια θεατρική ομάδα, οι 27 μαθητές συμμετέχουν στην ομάδα στίβου και οι μαθητές συμμετέχουν και στις δύο ομάδες. Επιλέγουμε τυχαία ένα μαθητή. Ποια είναι η πιθανότητα ο μαθητής i) να συμμετέχει σε μια τουλάχιστον από τις δύο ομάδες; 8

25 ii) να συμμετέχει μόνο σε μια από τις δύο ομάδες; iii) να μη συμμετέχει σε καμία από τις δύο ομάδες; 200. Σ' ένα χωριό με 48 οικογένειες,οι 6 έχουν έγχρωμη τηλεόραση,οι 6 έχουν ασπρόμαυρη και οι 6 έχουν και έγχρωμη και ασπρόμαυρη. Αν επιλέξουμε τυχαία μία οικογένεια τον χωριού,να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων Α : Να μην έχει ούτε έγχρωμη ούτε ασπρόμαυρη τηλεόραση Β : Να έχει μόνο έγχρωμη τηλεόραση. 20. Από τις οικογένειες των 0 μαθητών μιας τάξης 2 έχουν βίντεο, έχουν κομπιούτερ και 4 έχουν και βίντεο και κομπιούτερ. Επιλέγουμε τυχαία μία οικογένεια. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων : Α : Να έχει μόνο βίντεο Β : Να έχει μόνο βίντεο η κομπιούτερ Γ : Να έχει μία τουλάχιστον συσκευή Σε ένα σύλλογο με 20 μέλη, τα 0 συμμετέχουν στο χορευτικό τμήμα του συλλόγου,τα 0 στο θεατρικό τμήμα,ενώ τα 2 απ αυτά συμμετέχουν και στα δύο τμήματα.αν επιλέξουμε τυχαία ένα μέλος του συλλόγου,να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων : Α : Να συμμετέχει στο χορευτικό η στο θεατρικό τμήμα, Β : Να συμμετέχει στο χορευτικό αλλά όχι στο θεατρικό τμήμα, Γ : Να μη συμμετέχει στο χορευτικό ούτε στο θεατρικό τμήμα. 20. Σε μια ανθοδέσμη τα 40% των λουλουδιών είναι τριαντάφυλλα και το 2% των λουλουδιών είναι κόκκινα. Επιλέγουμε τυχαία ένα λουλούδι και η πιθανότητα να βγει κόκκινο τριαντάφυλλο είναι 0%. Ποια η πιθανότητα να βγει κατά την επιλογή αυτή τριαντάφυλλο ή κόκκινο λουλούδι Η πιθανότητα να πάρει το πρωτάθλημα ποδοσφαίρου η ομάδα Α είναι διπλάσια από τη πιθανότητα να μην το πάρει. Να βρείτε τη πιθανότητα η ομάδα Α να είναι πρωταθλήτρια. 20. Μια τάξη έχει 2 αγόρια και κορίτσια. Τα 2 των αγοριών και τα των κοριτσιών έχουν ποδήλατο. Επιλέγουμε τυχαία ένα άτομο. Να βρείτε τη πιθανότητα να είναι κορίτσι ή να έχει ποδήλατο Σε μια τάξη υπάρχουν 40 αγόρια και 27 κορίτσια. Τα / των αγοριών και τα 4/9 των κοριτσιών έγραψαν άριστα σ ένα διαγώνισμα των μαθηματικών. Να βρεθεί η πιθανότητα, αν επιλεγεί τυχαία ένα άτομο, να είναι κορίτσι ή να έγραψε άριστα στο διαγώνισμα Σε ένα σχολείο το 2% των μαθητών δεν έχει ηλεκτρονικό υπολογιστή και το % έχει κινητό αλλά όχι ηλεκτρονικό υπολογιστή. α) Ποια η πιθανότητα αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή να µην έχει ούτε κινητό ούτε Η/Υβ) να µην έχει κινητό ή να έχει Η/Υ Σε δύο διαγωνίσματα Μαθηματικών που έγιναν σε μία τάξη οι μαθητές που έγραψαν κάτω από τη βάση αποτελούσαν το 0% στο ο διαγώνισμα,το 40 % στο 2ο διαγώνισμα και το 2% και στα δύο. Επιλέγουμε τυχαία ένα μαθητή της τάξης αυτής.να βρείτε την πιθανότητα 9

26 του ενδεχομένου ο μαθητής να έγραψε τουλάχιστον τη βάση και στα δύο διαγωνίσματα Σε ένα αεροπλάνο της γραμμής Αθήνα Μαδρίτη υπάρχουν 00 επιβάτες ( άνδρες και γυναίκες). Το 60% των επιβατών είναι άνδρες, το 70% των επιβατών έχουν ξαναταξιδέψει µε αεροπλάνο ενώ το 0% των γυναικών ταξιδεύει πρώτη φορά µε αεροπλάνο. Επιλέγουμε τυχαία έναν από τους επιβάτες. Να βρεθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων : α. Ο επιβάτης να είναι γυναίκα ή να έχει ξαναταξιδέψει µε αεροπλάνο. β. Ο επιβάτης να είναι άνδρας και να µην έχει ξαναταξιδέψει µε αεροπλάνο. γ. Ο επιβάτης να είναι άνδρας ή να έχει ξαναταξιδέψει µε αεροπλάνο. 20. Μια τάξη έχει 2 αγόρια και 6 κορίτσια. Τα μισά αγόρια και τα μισά κορίτσια έχουν μαύρα μάτια. Επιλέγουμε τυχαία ένα άτομο. Να βρείτε την πιθανότητα να είναι αγόρι ή να έχει μαύρα μάτια. 2. Aπό τους ψηφοφόρους μιας πόλης, το 4% είναι άνδρες. Το 6% των ανδρών και το 40% των γυναικών ψήφισαν στις τελευταίες εκλογές το κόμμα Κ. Εκλέγουμε τυχαία ένα άτομο. α) Να βρείτε την πιθανότητα των ενδεχομένων: Γ: «το άτομο αυτό είναι γυναίκα» K: «το άτομο ψήφισε το κόμμα Κ» E: «το άτομο είναι άνδρας ή ψήφισε το κόμμα Κ» Δ: «δεν είναι ούτε γυναίκα ούτε ψήφισε το κόμμα Κ» β) Αν απ τους ψηφοφόρους της πόλης, οι δεν ψήφισαν το κόμμα Κ, να βρείτε το σύνολο των ψηφοφόρων 22. Μια ομάδα έχει πιθανότητα 0%, να κερδίσει το πρωτάθλημα, το κύπελλο 20% ενώ η πιθανότητα να κερδίσει και τους δύο τίτλους είναι 0%. Να βρείτε τις πιθανότητες: Α) Να κερδίσει ένα τουλάχιστον τίτλο. Β) Να κερδίσει μόνο το πρωτάθλημα. Γ) Να κερδίσει μόνο το κύπελλο. Δ) Να κερδίσει μόνο τον ένα από τους δύο τίτλους. Ε) Να μην κερδίσει κανέναν από τους δύο τίτλους. Ζ) Να κερδίσει το πρωτάθλημα ή να μη κερδίσει το κύπελλο 2. Μια ομάδα έχει πιθανότητα να κερδίσει το πρωτάθλημα 40%, το κύπελλο % ενώ και τα δύο 8%. Να βρείτε τις πιθανότητες: Α) Να κερδίσει ένα τουλάχιστον τίτλο. Β) Να κερδίσει μόνο το πρωτάθλημα. Γ) Να κερδίσει μόνο το κύπελλο. Δ) Να κερδίσει μόνο τον ένα από τους δύο τίτλους. 24. Από 8 άτομα μιας τάξης, που ρωτήθηκαν, οι 4 απάντησαν ότι έγραψαν άριστα σ ένα διαγώνισμα (Α), οι 2 ότι έγραψαν άριστα σ ένα διαγώνισμα (Β) και οι έγραψαν άριστα και στα δύο. Αν επιλέξουμε τυχαία ένα άτομο να βρεθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων: Α) Το άτομο δεν έγραψε άριστα σε κανένα διαγώνισμα. Β) Το άτομο έγραψε άριστα μόνο στο (Α). Γ) Το άτομο έγραψε άριστα μόνο στο (Β). 2. Από τους 2 μαθητές ενός τμήματος Α Λυκείου ενός σχολείου, οι 2 μαθαίνουν Αγγλικά, οι 8 Γαλλικά και 7 μαθαίνουν και τις δύο γλώσσες. Επιλέγουμε τυχαία ένα μαθητή της τάξης. Ποια είναι η πιθανότητα ο μαθητής: i) να μαθαίνει τουλάχιστον μία από τις δύο γλώσσες; ii) να μαθαίνει μόνο Αγγλικά; 40

27 iii) να μην μαθαίνει καμία από τις δύο γλώσσες. 26. Από τους μαθητές ενός σχολείου, το 80% μαθαίνουν Αγγλικά, το 40% μαθαίνουν Γαλλικά ενώ το 0% δεν μαθαίνει καμία από τις δύο γλώσσες. Επιλέγουμε τυχαία ένα μαθητή της του παραπάνω σχολείου. Να βρείτε την πιθανότητα ο μαθητής: i) να μαθαίνει και Αγγλικά και Γαλλικά, ii) να μαθαίνει Αγγλικά αλλά να μην μαθαίνει Γαλλικά iii) να μην μαθαίνει μόνο μία από τις δύο γλώσσες Αγγλικά και Γαλλικά. 27. Σε μια δημοσκόπηση σχετικά με την ακροαματικότητα και την τηλεθέαση, το 0%των ερωτηθέντων δεν είδε τηλεόραση, το 0% δεν άκουσε ραδιόφωνο και το 7% δεν είδε τηλεόραση και δεν άκουσε ραδιόφωνο. Αν επιλέξουμε τυχαία έναν άνθρωπο, ποια είναι η πιθανότητα να είδε τηλεόραση και να άκουσε ραδιόφωνο. 28. Σε μια δημοσκόπηση σχετικά με την ακροαματικότητα και την τηλεθέαση, το 20%των ερωτηθέντων δεν είδε τηλεόραση, το 40% δεν άκουσε ραδιόφωνο και το 0% δεν είδε τηλεόραση και δεν άκουσε ραδιόφωνο. Να βρείτε την πιθανότητα και να είδε τηλεόραση και να άκουσε ραδιόφωνο. 29. Σε ένα σχολείο με 400 μαθητές διδάσκονται η αγγλική και η γαλλική γλώσσα. Κάθε μαθητής είναι υποχρεωμένος να παρακολουθεί τουλάχιστον μία από τις παραπάνω ξένες γλώσσες. Από τους παραπάνω μαθητές 40 παρακολουθούν την αγγλική γλώσσα και 240 τη γαλλική γλώσσα. Επιλέγουμε τυχαία έναν μαθητή. Έστω Α το ενδεχόμενο να παρακολουθεί την αγγλική γλώσσα και Γ να παρακολουθεί την γαλλική γλώσσα. Α. Να εξετάσετε αν τα ενδεχόμενα Α,Γ είναι ασυμβίβαστα. Β. Να αποδείξετε ότι: P. Γ. Να βρείτε την πιθανότητα ο μαθητής να παρακολουθεί μόνο την αγγλική γλώσσα. Δ. Να βρείτε την πιθανότητα ο μαθητής να παρακολουθεί μία μόνο ξένη γλώσσα από αυτές Από 20 μαθητές ενός Λυκείου, 24 μαθητές συμμετέχουν στο διαγωνισμό της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας, 20 μαθητές συμμετέχουν στο διαγωνισμό της Ένωσης Ελλήνων Φυσικών και 2 μαθητές συμμετέχουν και στους δύο διαγωνισμούς. Επιλέγουμε τυχαία ένα μαθητή. Ποια είναι η πιθανότητα ο μαθητής: Α) Να συμμετέχει σε έναν τουλάχιστον από τους δύο διαγωνισμούς; Β) Να συμμετέχει μόνο σε έναν από τους δύο διαγωνισμούς; Γ) Να μην συμμετέχει σε κανέναν από τους δύο διαγωνισμούς; 22. Έχουμε 0 σφαίρες μέσα σ ένα δοχείο, αριθμημένες από το έως το 0. Επιλέγουμε στην τύχη μία σφαίρα. Έστω Α το ενδεχόμενο ο αριθμός της σφαίρας να είναι άρτιος και Β το ενδεχόμενο ο αριθμός αυτός να είναι πολλαπλάσιο του. Αν Α, Β είναι τα συμπληρωματικά ενδεχόμενα των Α και Β αντιστοίχως, να υπολογίσετε τις πιθανότητες :, β. ( ) γ. ( ) P A α. δ Μια εταιρεία παράγει «κομπιουτεράκια». Από ένα δειγματοληπτικό έλεγχο 000 προϊόντων βρέθηκαν 7 με πρόβλημα στην οθόνη, 2 με πρόβλημα στο πληκτρολόγιο και 2 με πρόβλημα και στην οθόνη και στο πληκτρολόγιο. Να βρείτε τις πιθανότητες: Α) Ένα προϊόν να μην είναι εμπορεύσιμο. Β) Ένα προϊόν να έχει πρόβλημα μόνο στην οθόνη ή μόνο στο πληκτρολόγιο. 4

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. 1. Ο παρακάτω πίνακας δίνει το βαθμολογικό επίπεδο των μαθητών ενός σχολικού συγκροτήματος.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. 1. Ο παρακάτω πίνακας δίνει το βαθμολογικό επίπεδο των μαθητών ενός σχολικού συγκροτήματος. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Προβλήματα 1. Ο παρακάτω πίνακας δίνει το βαθμολογικό επίπεδο των μαθητών ενός σχολικού συγκροτήματος. Βαθμολογικά ΚΟΡΙΤΣΙΑ ΑΓΟΡΙΑ επίπεδα Γυμνάσιο Λύκειο Γυμνάσιο Λύκειο Χαμηλή

Διαβάστε περισσότερα

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση 00-0 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη Μαθηματικά Γενικής Παιδείας γ Ασκήσεις για λύση Επιμέλεια: Μ Ι Παπαγρηγοράκης http://usersschgr/mipapagr Γ Λυκείου Μαθηματικά Γενικής Παιδείας ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Συχνότητα Σχετική συχνότητα Αν σε ν εκτελέσεις ενός πειράματος ένα ενδεχόμενο Α πραγματοποιείται va φορές,τότε va ο αριθμός va λέγεται συχνότητα του ενδεχομένου

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ κεφ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Σε ένα συρτάρι υπάρχουν δύο κάρτες, μία άσπρη και μία κόκκινη Παίρνουμε στην τύχη μία κάρτα από το συρτάρι, καταγράφουμε το χρώμα της και την ξαναβάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Κεφάλαιο : Πιθανότητες. 1. Δειγματικοί χώροι 2. Διαγράμματα Venn. Φυσική γλώσσα και ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. 3. Κλασικός ορισμός. 4.

1 ο Κεφάλαιο : Πιθανότητες. 1. Δειγματικοί χώροι 2. Διαγράμματα Venn. Φυσική γλώσσα και ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. 3. Κλασικός ορισμός. 4. ο Κεφάλαιο : Πιθανότητες. Δειγματικοί χώροι. Διαγράμματα Venn Φυσική γλώσσα και ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Κλασικός ορισμός πιθανότητας 4. Κανόνες λογισμού πιθανοτήτων η Κατηγορία : Δειγματικοί χώροι ) Ρίχνουμε

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Πείραμα Τύχης - δειγματικός χώρος

1.1 Πείραμα Τύχης - δειγματικός χώρος 1. ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1.1 Πείραμα Τύχης - δειγματικός χώρος Κάθε πείραμα στο οποίο η γνώση των συνθηκών κάτω από τις οποίες εκτελείται καθορίζει πλήρως το αποτέλεσμα λέγεται αιτιοκρατικό πείραμα. Τέτοια πειράματα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΓΕΡΓΙΟΣ Ε. ΚΑΡΑΦΕΡΗΣ ΠΕ03 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ [] ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΡΙΑ: Πείραμα Τύχης Κάθε πείραμα κατά στο οποίο η γνώση των συνθηκών κάτω από τις οποίες εκτελείται καθορίζει πλήρως

Διαβάστε περισσότερα

Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Ο Γυμναστής ενός λυκείου προκειμένου να στελεχώσει την ομάδα μπάσκετ του λυκείου ψάχνει στην τύχη μεταξύ των μαθητών να βρει τρεις κοντούς (Κ) και τρεις ψηλούς (Ψ). Να

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Γενικής κεφάλαιο 3 94 ασκήσεις. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α

Πιθανότητες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Γενικής κεφάλαιο 3 94 ασκήσεις. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α Πιθανότητες Κώστας Γλυκός Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kglykos.gr 7 / 0 / 0 6 Γενικής κεφάλαιο 3 94 ασκήσεις και τεχνικές σε 8 σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο ΓΛΥΚΟΣ ΚΩΝ/ΝΟΣ τηλ.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ-ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Πράξεις ενδεχομένων-γλωσσική περιγραφή 1) Να γράψετε με τη βοήθεια των συνόλων Α,Β,Γ,Α,Β,Γ τα ενδεχόμενα που

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Συνοπτική Θεωρία Όλες οι αποδείξεις Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις από την Τράπεζα Θεμάτων του Υπουργείου και προτεινόμενες Διαγωνίσματα

Διαβάστε περισσότερα

Στέλιος Μιταήλογλοσ Δημήτρης Πατσιμάς.

Στέλιος Μιταήλογλοσ Δημήτρης Πατσιμάς. Πιθανότητες Α Λσκείοσ Στέλιος Μιταήλογλοσ Δημήτρης Πατσιμάς www.askisopolis.gr Πιθανότητες Εφαρμογές στον ορισμό πιθανότητας. Ρίχνουμε ένα νόμισμα τρεις φορές. Ποια είναι η πιθανότητα να φέρουμε και τις

Διαβάστε περισσότερα

1.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

1.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ . ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 7 9 Α ΟΜΑΔΑΣ. Από μία τράπουλα με 5 φύλλα παίρνουμε ένα στην τύχη. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων : i) Το φύλλο είναι 5 ii) Το φύλλο δεν

Διαβάστε περισσότερα

ε. Το μέλος δεν έχει επιλέξει κανένα από τα δύο προγράμματα. Το μέλος έχει επιλέξει αυστηρά ένα μόνο από τα δύο προγράμματα.

ε. Το μέλος δεν έχει επιλέξει κανένα από τα δύο προγράμματα. Το μέλος έχει επιλέξει αυστηρά ένα μόνο από τα δύο προγράμματα. 1. Τα μέλη ενός Γυμναστηρίου έχουν τη δυνατότητα να επιλέξουν προγράμματα αεροβικής ή γυμναστικής με βάρη. Θεωρούμε τα ενδεχόμενα: Α = Ένα μέλος έχει επιλέξει πρόγραμμα αεροβικής. Β = Ένα μέλος έχει επιλέξει

Διαβάστε περισσότερα

5.3 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

5.3 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 1 5.3 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ισοπίθανα απλά ενδεχόµενα Είναι τα απλά ενδεχόµενα για τα οποία κάποιο εξ αυτών δεν έχει πλεονέκτηµα έναντι των άλλων όσον αφορά την επιλογή του. Με άλλα λόγια

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. β) το ενδεχόμενο Α: ο αριθμός που προκύπτει να είναι άρτιος

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. β) το ενδεχόμενο Α: ο αριθμός που προκύπτει να είναι άρτιος ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ.Ένα κουτί περιέχει τέσσερις λαχνούς αριθμημένους από το εώς το 4. Εκλέγουμε έναν λαχνό στην τύχη,σημειώνουμε το αποτέλεσμα και δεν ξανατοποθετούμε τον λαχνό στο κουτί. Επαναλαμβάνουμε το πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ . Να βρείτε το δειγµατικό χώρο της ρίψης ενός ζαριού.. Επιλέγουµε ένα µαθητή Λυκείου και σηµειώνουµε το φύλο και την τάξη του. Να βρείτε το δειγµατικό χώρο Ω του πειράµατος. 3. Τραβάµε ένα φύλλο από µία

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος»

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος» 1. * Αν είναι δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης, τότε Ρ () = 1. 2. * Αν Α είναι ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης τότε, 0 Ρ (Α) 1. 3. * Για το αδύνατο

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στα ΣΥΝΟΛΑ. Ε.1 Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Α), αν είναι αληθείς ή με (Ψ), αν είναι ψευδής

Εισαγωγή στα ΣΥΝΟΛΑ. Ε.1 Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Α), αν είναι αληθείς ή με (Ψ), αν είναι ψευδής Εισαγωγή στα ΣΥΝΟΛΑ Ε. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Α), αν είναι αληθείς ή με (Ψ), αν είναι ψευδής i) Αν Α= {0,5,8,3,89}, τότε το Α. ii) Αν Α = {, {,5}, 8, 0}, τότε το Α. iii) Τα σύνολα

Διαβάστε περισσότερα

3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ο δειγματικός χώρος του πειράματος θα είναι το σύνολο: Ω = ω, ω,..., ω }.

3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ο δειγματικός χώρος του πειράματος θα είναι το σύνολο: Ω = ω, ω,..., ω }. 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΡΟΣ - ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Πείραμα Τύχης Ένα πείραμα του οποίου δεν μπορούμε εκ των προτέρων να προβλέψουμε το αποτέλεσμα, μολονότι επαναλαμβάνεται φαινομενικά τουλάχιστον κάτω από

Διαβάστε περισσότερα

Α ΕΝΟΤΗΤΑ. Πιθανότητες. Α.1 (1.1 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Α.2 (1.2 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Δειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα. Η έννοια της πιθανότητας

Α ΕΝΟΤΗΤΑ. Πιθανότητες. Α.1 (1.1 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Α.2 (1.2 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Δειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα. Η έννοια της πιθανότητας Α ΕΝΟΤΗΤΑ Πιθανότητες Α.1 (1.1 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Δειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα Α.2 (1.2 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Η έννοια της πιθανότητας Α.1 Δειγματικός Χώρος. Ενδεχόμενα. Απαραίτητες γνώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΔΡΑΣΤΙΚΟ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ

ΔΙΑΔΡΑΣΤΙΚΟ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΑΛΓΕΒΡΑ - Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΔΡΑΣΤΙΚΟ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Επιμέλεια: Παπαδόπουλος Παναγιώτης Πείραμα τύχης 1 η δραστηριότητα Ρίξτε ένα κέρμα 5 φορές και καταγράψτε την πάνω όψη του: 1 η ρίψη:, 2 η ρίψη:, 3 η ρίψη:

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Τ.Θ.Δ.Δ. ΘΕΜΑ Β

Θέματα Τ.Θ.Δ.Δ. ΘΕΜΑ Β Θέματα Τ.Θ.Δ.Δ. ΘΕΜΑ Β 1. Δίνονται δύο ενδεχόμενα A, B ενός δειγματικού χώρου και οι πιθανότητες: 3 5 1 P( A), P( A B) και P( B) 4 8 4 α) Να υπολογίσετε την P( A B) β) i) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn

Διαβάστε περισσότερα

1. Πείραμα τύχης. 2. Δειγματικός Χώρος ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

1. Πείραμα τύχης. 2. Δειγματικός Χώρος ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1 ΣΤΟΙΧΕΙ ΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙ ΠΙΘΝΟΤΗΤΩΝ 1. Πείραμα τύχης Πείραμα τύχης (π.τ.) ονομάζουμε κάθε πείραμα που μπορεί να επαναληφθεί όσες φορές επιθυμούμε υπό τις ίδιες συνθήκες και του οποίου το αποτέλεσμα είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δειγματικός Χώρος. Ενδεχόμενα {,,..., }.

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δειγματικός Χώρος. Ενδεχόμενα {,,..., }. ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δειγματικός Χώρος Το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων λέγεται δειγματικός χώρος (sample space) και συμβολίζεται συνήθως με το γράμμα Αν δηλαδή ω,,, ω2 ωκ είναι τα δυνατά αποτελέσματα ενός πειράματος

Διαβάστε περισσότερα

5. 3 ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

5. 3 ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΜΕΡΟΣ Α. ΕΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΟΤΗΤΑΣ 77. ΕΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΟΤΗΤΑΣ Κλασικός ορισμός πιθανότητας Αν ένα στοιχείο του συνόλου του δειγματικού χώρου επιλέγεται στην τύχη και δεν έχει κανένα πλεονέκτημα έναντι των άλλων,

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Τ.Θ.Δ.Δ. ΘΕΜΑ Β

Θέματα Τ.Θ.Δ.Δ. ΘΕΜΑ Β ΘΕΜΑ Β 1. Δίνονται δύο ενδεχόμενα A, B ενός δειγματικού χώρου και οι πιθανότητες: 3 5 1 P( A), P( A B) και P( B) 4 8 4 α) Να υπολογίσετε την P( A B) β) i) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn και να γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

3. Να δειχτει οτι α + 110 20α. Ποτε ισχυει το ισον; Πειραμα τυχης: λεγεται καθε πειραμα για το οποιο δεν μπορουμε να προβλεψουμε

3. Να δειχτει οτι α + 110 20α. Ποτε ισχυει το ισον; Πειραμα τυχης: λεγεται καθε πειραμα για το οποιο δεν μπορουμε να προβλεψουμε ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Π ε ι ρ α μ α τ υ χ η ς - Δ ε ι γ μ α τ ι κ ο ς χ ω ρ ο ς. Να δειχτει οτι α + 0 0α. Ποτε ισχυει το ισον; Πειραμα τυχης: λεγεται καθε πειραμα για το οποιο δεν μπορουμε να προβλεψουμε το αποτελεσμα,.

Διαβάστε περισσότερα

Η Έννοια της Πιθανότητας. 1 Βρείτε την πιθανότητα του καθ ενός απ τα παρακάτω ενδεχόμενα:

Η Έννοια της Πιθανότητας. 1 Βρείτε την πιθανότητα του καθ ενός απ τα παρακάτω ενδεχόμενα: 1 Η Έννοια της Πιθανότητας Η Έννοια της Πιθανότητας 1 Βρείτε την πιθανότητα του καθ ενός απ τα παρακάτω ενδεχόμενα: α) Να εμφανιστεί περιττός αριθμός κατά την ρίψη ενός ζαριού. (1/2) β) Να εμφανιστεί τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ Α. α) Τι λέγεται δειγματικός χώρος και τι ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης;

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ Α. α) Τι λέγεται δειγματικός χώρος και τι ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης; ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας α) Τι λέγεται δειγματικός χώρος και τι ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης; =. β) Για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ. Σχετική συχνότητα ενδεχοµένου Α : 2. Ιδιότητες της f, λ το πλήθος απλών ενδεχοµένων :

3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ. Σχετική συχνότητα ενδεχοµένου Α : 2. Ιδιότητες της f, λ το πλήθος απλών ενδεχοµένων : 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΘΕΩΡΙΑ. Σχετική συχνότητα ενδεχοµένου Α : Είναι το πηλίκο f κ A = ν ενδεχόµενου Α σε ν το πλήθος εκτελέσεις του πειράµατος όπου κ το πλήθος των πραγµατοποιήσεων του. Ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

Δύο φίλοι θα παίξουν τάβλι και αποφασίζουν νικητής να είναι εκείνος που θα κερδίσει τρεις συνολικά παρτίδες ή δύο συνεχόμενες παρτίδες.

Δύο φίλοι θα παίξουν τάβλι και αποφασίζουν νικητής να είναι εκείνος που θα κερδίσει τρεις συνολικά παρτίδες ή δύο συνεχόμενες παρτίδες. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 3 ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση (Προτάθηκε από pito ) Για ένα φάρμακο σε πειραματικό στάδιο αποδείχθηκε ότι δημιουργεί δύο ειδών παρενέργειες. Η πιθανότητα να δημιουργήσει

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΩΡΙΑ--ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΩΡΙΑ--ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΩΡΙΑ--ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ Δειγματικός Χώρος: Ενδεχόμενο: Το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων ενός πειράματος τύχης καλείται δειγματικός χώρος. Συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕ.Λ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ : ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ) Αν Α και Β είναι δύο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου

ΓΕ.Λ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ : ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ) Αν Α και Β είναι δύο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου ΓΕΛ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ : 013-014 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ο - Α ( απόδειξη θεωρήματος) 1 ) Αν Α και Β είναι δύο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω, τότε να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

3.2. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 154 156 Α ΟΜΑ ΑΣ

3.2. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 154 156 Α ΟΜΑ ΑΣ . Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 54 56 Α ΟΜΑ ΑΣ. Από µία τράπουλα µε 5 φύλλα παίρνουµε ένα στην τύχη. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχοµένων : i) Το φύλλο είναι 5 ii) Το φύλλο δεν είναι 5 i) εχόµαστε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ

Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ Π ι θ α ν ό τ η τ ε ς : Ο τομέας των Εφαρμοσμένων Μαθηματικών, που ασχολείται με την αξιολόγηση κατάλληλων στοιχείων έτσι ώστε να είναι μετρήσιμη η προσδοκία μας για την πραγματοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Ρίχνουµε ένα νόµισµα τρείς φορές (i) Να βρείτε τον δειγµατικό χώρο του πειράµατος τύχης. (ii) Να βρείτε την πιθανότητα των ενδεχοµένων: Α: Οι τρεις ενδείξεις είναι ίδιες. Β:

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη:

Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη: ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη: Εισαγωγή Ενότητα 4.4 : Πιθανότητα Δεσμευμένη Πιθανότητα- Όρια (ΙV). Θεόδωρος Χατζηπαντελής Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Πιθανότητες Πραγματικοί αριθμοί Εξισώσεις Ανισώσεις Πρόοδοι Βασικές έννοιες των συναρτήσεων Μελέτη βασικών συναρτήσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 1 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός

Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 1 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 1 Θέμα 2 Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Άσκηση 1 Ένα τηλεοπτικό παιχνίδι παίζεται με ζεύγη αντιπάλων των δυο φύλων. Στο παιχνίδι συμμετέχουν 3 άντρες:

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 89. Ύλη: Πιθανότητες Το σύνολο R-Εξισώσεις Σ Λ 2. Για τα ενδεχόμενα Α και Β ισχύει η ισότητα: A ( ) ( ') ( ' )

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 89. Ύλη: Πιθανότητες Το σύνολο R-Εξισώσεις Σ Λ 2. Για τα ενδεχόμενα Α και Β ισχύει η ισότητα: A ( ) ( ') ( ' ) ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 89 Ον/μο:.. Α Λυκείου Ύλη: Πιθανότητες Το σύνολο R-Εξισώσεις 6-0- Θέμα ο : Α.. Να δώσετε τον ορισμό της εξίσωσης ου βαθμού (μον.) Α.. Αν, ρίζες της εξίσωσης 0, να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισήγηση 2: Θεωρία Πιθανοτήτων Διδάσκων: Δαφέρμος Βασίλειος ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

5. 2 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ- ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

5. 2 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ- ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ Α 5. ΔΕΙΜΑΤΙΟΣ ΧΩΡΟΣ-ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ 69 5. ΔΕΙΜΑΤΙΟΣ ΧΩΡΟΣ- ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Πείραμα τύχης- Δειγματικός χώρος Ένα πείραμα το οποίο όσες φορές και αν το επαναλάβουμε, δεν μπορούμε να προβλέψουμε το αποτέλεσμα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 5o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ 1.Έστω ο δειγματικός χώρος Ω = { 1,,, K,10} με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Να 4 βρείτε την πιθανότητα ώστε η συνάρτηση f ( x ) = x 4x + λ να

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ( Version ) 2001

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ( Version ) 2001 ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ( Version 17-4--2016) 2001 ΘΕΜΑ 1ο Α.1. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει ότι: Ρ (Α Β) = Ρ (Α) Ρ (Α Β). Μονάδες 8,5 Απόδειξη: Επειδή τα ενδεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. βρείτε. (Μονάδες 15) με διαφορά ω.

ΘΕΜΑ 2. βρείτε. (Μονάδες 15) με διαφορά ω. ΘΕΜΑ ΘΕΜΑ Έστω α, β πραγµατικοί αριθµοί για τους οποίους ισχύουν: α β = 4 και αβ + αβ = 0 α) Να αποδείξετε ότι: α + β = 5. (Μονάδες 0) β) Να κατασκευάσετε εξίσωση ου βαθµού µε ρίζες τους αριθµούς α, β

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 1. α) Να λύσετε την εξίσωση : 2 2 2x. β) Αν α είναι η ϑετική εξίσωσης του ερωτήµατος (α), να λύσετε την ανίσωση : 1 x < α.

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 1. α) Να λύσετε την εξίσωση : 2 2 2x. β) Αν α είναι η ϑετική εξίσωσης του ερωτήµατος (α), να λύσετε την ανίσωση : 1 x < α. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 6 3 α) Να λύσετε την εξίσωση : 3 β) Αν α είναι η ϑετική εξίσωσης του ερωτήµατος (α), να λύσετε την ανίσωση : < α. ΘΕΜΑ α) Να λύσετε την ανίσωση : + < 7. β) Αν ο είναι λύση της ανίσωσης του

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Οµάδα η. Αν Ω={ω,ω,,ω 6 } είναι ο δ.χ ενός πειράµατος τύχης να βρείτε τις πιθανότητες Ρ(ω ),,Ρ(ω 6 ) αν είναι γνωστό ότι αυτές αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθµητικής προόδου µε

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Α Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου

Άλγεβρα Α Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου Άλγεβρα Α Λυκείου Στέλιος Μιχαήλογλου wwwaskisopolisgr Άλγεβρα Α Λυκείου Οι πράξεις των πραγματικών αριθμών και οι ιδιότητες τους Αν οι αριθμοί α,β είναι αντίστροφοι, να αποδείξετε ότι: 7 4 : 8 0 7 Να

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Οι Ασκήσεις της Α Λυκείου

Οι Ασκήσεις της Α Λυκείου Οι Ασκήσεις της Α Λυκείου ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 0-0 Οι Ασκήσεις της Α Λυκείου ΣΥΝΟΛΑ. Σε κάθε μια από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε το γράμμα Α, αν ο ισχυρισμός είναι αληθής

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 6: Πιθανότητες Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

1 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Εισαγωγή

1 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Εισαγωγή 1 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Εισαγωγή Υπάρχει σε πολλούς η εντύπωση ότι το κύριο κίνητρο για την ανάπτυξη της Θεωρίας των Πιθανοτήτων προήλθε από το ενδιαφέρον του ανθρώπου για τα τυχερά παιχνίδια. Σημαντική μάλιστα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ.Λυκείου

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ.Λυκείου Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΙΔΕΙΣ ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου Π Ι Θ Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ ΟΡΙΣΜΟΙ Πείραμα τύχης λέγεται το πείραμα το οποίο όσες φορές και αν επαναληφθεί (φαινομενικά τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΕΣΤΗΣ ΤΣΟΜΙΔΗΣ - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΑΝΕΣΤΗΣ ΤΣΟΜΙΔΗΣ - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΑΝΕΣΤΗΣ ΤΣΟΜΙΔΗΣ - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 1) ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1. Οι παρακάτω αριθμοί παρουσιάζουν τις ενδείξεις ενός ζαριού το οποίο ρίξαμε 20 φορές. 5 5 5 1 2 5 4 3 2 3 1 3 6 4 1 4 6 6 5 4 i) Να κατασκευάσετε πίνακα α)

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΟ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 2 Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΣΧΕΔΙΟ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 2 Α ΛΥΚΕΙΟΥ Page1 ΣΧΕΔΙΟ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 2 Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: 1.1 Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα i. ΔΙΔΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ: 1. Προσδιορίζουν το δειγματικό χώρο ενός πειράματος τύχης και ενδεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΨΑΛΗΣ ΘΕΜΙΣΤΟΚΛΗΣ ΤΣΑΚΟΥΜΑΓΚΟΣ ΣΤΕΛΙΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΨΑΛΗΣ ΘΕΜΙΣΤΟΚΛΗΣ ΤΣΑΚΟΥΜΑΓΚΟΣ ΣΤΕΛΙΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΨΑΛΗΣ ΘΕΜΙΣΤΟΚΛΗΣ ΤΣΑΚΟΥΜΑΓΚΟΣ ΣΤΕΛΙΟΣ ΔΙΑΝΕΜΕΤΑΙ ΔΩΡΕΑΝ ΣΤΟΥΣ ΜΑΘΗΤΕΣ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ... σελ. 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ... σελ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Γ Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΛ ΝΕΑΣ ΠΕΡΑΜΟΥ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ-ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Στατιστική ομαλότητα ή Νόμος των μεγάλων αριθμών

ΓΕΛ ΝΕΑΣ ΠΕΡΑΜΟΥ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ-ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Στατιστική ομαλότητα ή Νόμος των μεγάλων αριθμών ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ-ΛΟΓΙΣΜΟΣ Στατιστική ομαλότητα ή Νόμος των μεγάλων αριθμών Οι σχετικές συχνότητες πραγματοποίησης των ενδεχομένων ενός πειράματος σταθεροποιούνται γύρω από κάποιους αριθμούς

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Πιθανότητες. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Πιθανότητες Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 2 Ενότητα 2 η Πιθανότητες Σκοπός Ο σκοπός της 2 ης ενότητας είναι οι μαθητές να αναγνωρίζουν ένα πείραμα τύχης

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΛΥΣΕΙΣ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΛΥΣΕΙΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 01 Μάθημα : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ Ημερομηνία και ώρα εξέτασης: Παρασκευή 1/5/01 8:00

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. β) το ενδεχόμενο Α: ο αριθμός που προκύπτει να είναι άρτιος

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. β) το ενδεχόμενο Α: ο αριθμός που προκύπτει να είναι άρτιος .Ένα κουτί περιέχει τέσσερις λαχνούς αριθμημένους από το εώς το 4. Εκλέγουμε έναν λαχνό στην τύχη,σημειώνουμε το αποτέλεσμα και δεν ξανατοποθετούμε τον λαχνό στο κουτί. Επαναλαμβάνουμε το πείραμα άλλες

Διαβάστε περισσότερα

[ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ] ΤΟ 2 ο ΘΕΜΑ

[ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ] ΤΟ 2 ο ΘΕΜΑ [ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ] ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΤΟ ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Από τους μαθητές ενός Λυκείου, το 5% συμμετέχει στη ομάδα, το 30% συμμετέχει στη θεατρική ομάδα ποδοσφαίρου και το 15%

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Β' Γυμνασίου - Ασκήσεις επανάληψης στην Άλγεβρα Σελίδα x 1 2x 7 x 8 4

Μαθηματικά Β' Γυμνασίου - Ασκήσεις επανάληψης στην Άλγεβρα Σελίδα x 1 2x 7 x 8 4 Μαθηματικά Β' Γυμνασίου - Ασκήσεις επανάληψης στην Άλγεβρα Σελίδα 1 1) Na λυθούν οι εξισώσεις : α) 2 3x 1 x 8 x 1 (απ.: x = -2) β) γ) 2x 7 x 1 (απ.: x = -12) 4 3 4 5 x 2 x 4 2 x (απ.: x = 1) 4 5 δ) x 1

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΡΑΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΡΑΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Φ1 : ΠIΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΡΑΣ 2014-2015 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α - ΘΕΩΡΙΑ - ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ-ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΘΕΜΑ Β - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Γ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Δ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες. Κεφάλαιο Δειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα Κατανόηση εννοιών - Θεωρία

Πιθανότητες. Κεφάλαιο Δειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα Κατανόηση εννοιών - Θεωρία Κεφάλαιο 1 Πιθανότητες 1.1 Δειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα 1.1.1 Κατανόηση εννοιών - Θεωρία 1. Ποιό πείραμα λέγεται αιτιοκρατικό και ποιό πείραμα τύχης; 2. Τι ονομάζουμε δειγματικό χώρο ενός πειράματος

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες. Έννοια πιθανότητας Ορισμοί πιθανότητας Τρόπος υπολογισμού Πράξεις πιθανοτήτων Χρησιμότητα τους

Πιθανότητες. Έννοια πιθανότητας Ορισμοί πιθανότητας Τρόπος υπολογισμού Πράξεις πιθανοτήτων Χρησιμότητα τους Πιθανότητες Έννοια πιθανότητας Ορισμοί πιθανότητας Τρόπος υπολογισμού Πράξεις πιθανοτήτων Χρησιμότητα τους «Πείραμα» Tύχης Οτιδήποτε συμβαίνει και δεν γνωρίζουμε από πριν το ακριβές αποτέλεσμά του. Απασχόλησαν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. 8. * Αν Ω είναι ο δειγµατικός χώρος ενός πειράµατος τύχης,

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. 8. * Αν Ω είναι ο δειγµατικός χώρος ενός πειράµατος τύχης, 3ο Κεφάλαιο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος» 1. * Αν Ω είναι δειγµατικός χώρος ενός πειράµατος τύχης, τότε Ρ (Ω) = 1. 2. * Αν Α είναι ενδεχόµενο ενός πειράµατος τύχης τότε, 0 Ρ (Α) 1. 3. *

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική

Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική 2 ο Εξάμηνο Ασκήσεις Πράξης 1 Θεωρία Συνόλων - Δειγματικός Χώρος Άσκηση 1: Να βρεθούν και να γραφούν με συμβολισμούς της Θεωρίας Συνόλων οι δειγματοχώροι των τυχαίων πειραμάτων:

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ

ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ. Δύο ομάδες Ο, Ο παίζουν μεταξύ τους σε μια σχολική ποδοσφαιρική συνάντηση (οι αγώνες δεν τελειώνουν ποτέ με ισοπαλία). Νικήτρια θεωρείται η ομάδα που θα νικήσει

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 3. Δίνεται ο πίνακας: 3 3 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ ο. Ένα κουτί περιέχει άσπρες, μαύρες, κόκκινες και πράσινες μπάλες. Οι άσπρες είναι 5, οι μαύρες είναι 9, ενώ οι κόκκινες και οι πράσινες μαζί είναι 6. Επιλέγουμε

Διαβάστε περισσότερα

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 ο : Ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς. 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού. 3.2 Η εξίσωση x. 3.3 Εξισώσεις 2 ου Βαθμού. ρωτήσεις αντικειμενικού τύπουθέμα Α1-

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 ο : Ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς. 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού. 3.2 Η εξίσωση x. 3.3 Εξισώσεις 2 ου Βαθμού. ρωτήσεις αντικειμενικού τύπουθέμα Α1- 3. Εξισώσεις ου Βαθμού 3. Η εξίσωση 3.3 Εξισώσεις ου Βαθμού Διδακτικό υλικό Άλγεβρας Α Λυκείου (Κεφάλαιο 3 ο ) Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 ο : Ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς ρωτήσεις αντικειμενικού τύπουθέμα Α- Εξεταστέα ύλη

Διαβάστε περισσότερα

Παρατηρήσεις. Προβλήματα είχαν οι ασκήσεις:

Παρατηρήσεις. Προβλήματα είχαν οι ασκήσεις: ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ Στέλιιος Μιιχαήλογλου-Δημήτρης Πατσιιμάς Εκκφωννήήσσεει ιςς κκααι ι λλύύσσεει ιςς θθεεμμάάττωνν Άλλγγεεββρρααςς Τρράάππεεζζααςς θθεεμμάάττωνν

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ (ημιτελές Version )

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ (ημιτελές Version ) ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ (ημιτελές Version 24-3-2016) 2001 2001 επαναληπτικές 2002 2002 επαναληπτικές 2003 2003 επαναληπτικές 2006 2006 επαναληπτικές 2005 2005 επαναληπτικές 2006 2006 επαναληπτικές 2007 2007

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ και ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ και ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ και ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1.ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1.1 Σε ένα σχολείο με 00 μαθητές, οι 90 έχουν ποδήλατο, 36 έχουν «παπί», ενώ 84 άτομα δεν έχουν ούτε ποδήλατο ούτε παπί. Διαλέγουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΚΥΡΙΑΚΗ 19 ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΚΥΡΙΑΚΗ 19 ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΚΥΡΙΑΚΗ 19 ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ 2014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Όνομα/Επίθετο: Ζήτημα 1ο Να γράψετε στη γλώσσα των συνόλων και λεκτικά ποιο ενδεχόμενο παριστάνει κάθε ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως αληθής (Α) ή ψευδής (Ψ)

ΘΕΜΑ Α Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως αληθής (Α) ή ψευδής (Ψ) Κριτήριο αξιολόγησης στις πιθανότητες Ομάδα: Α Όνομα.Επώνυμο....ημ/νία Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως αληθής (Α) ή ψευδής (Ψ). Δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα δεν είναι ασυμβίβαστα.. Αν Α και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Tόμος 5ος 22-0088_l_c_math_bm_146-192_28b.indd 1 18/09/2017 10:10 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΧΙΚΗΣ ΕΚ ΟΣΗΣ ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ: Αδαμόπουλος Λεωνίδας Επ. Σύμβουλος Παιδαγωγικού

Διαβάστε περισσότερα

Α) Να γράψετε με τη βοήθεια των πράξεων των συνόλων το ενδεχόμενο που παριστάνει το σκιασμένο εμβαδόν σε καθένα από τα παρακάτω διαγράμματα Venn.

Α) Να γράψετε με τη βοήθεια των πράξεων των συνόλων το ενδεχόμενο που παριστάνει το σκιασμένο εμβαδόν σε καθένα από τα παρακάτω διαγράμματα Venn. Άσκηση 1 Α) Να γράψετε με τη βοήθεια των πράξεων των συνόλων το ενδεχόμενο που παριστάνει το σκιασμένο εμβαδόν σε καθένα από τα παρακάτω διαγράμματα Venn. B) Αν ( ), ( ), ( ), να εκφράσετε τις πιθανότητες

Διαβάστε περισσότερα

Δείξτε ότι αν πιθανότητα Ρ(Α/Β) είναι μεγαλύτερη της πιθανότητας Ρ(Α), τότε πιθανότητα Ρ(Β/Α) είναι μεγαλύτερη της πιθανότητας Ρ(Β);

Δείξτε ότι αν πιθανότητα Ρ(Α/Β) είναι μεγαλύτερη της πιθανότητας Ρ(Α), τότε πιθανότητα Ρ(Β/Α) είναι μεγαλύτερη της πιθανότητας Ρ(Β); Μια παρέα αποτελούμενη από 10 άντρες και 5 γυναίκες, με τυχαίο τρόπο χωρίζονται σε ομάδες 3 ατόμων. Βρείτε την πιθανότητα ότι σε κάθε ομάδα θα υπάρχει ένας τουλάχιστον άνδρας. Απάντηση: Έστω το γεγονός

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 3 Το ύψος κύματος (σε μέτρα) σε μία συγκεκριμένη θαλάσσια περιοχή είναι τυχαία μεταβλητή X με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας

ΘΕΜΑ 3 Το ύψος κύματος (σε μέτρα) σε μία συγκεκριμένη θαλάσσια περιοχή είναι τυχαία μεταβλητή X με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας ΣΧΟΛΗ ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ TOMEAΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΓΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 26 Σεπτεμβρίου 2014 Ομάδα Θεμάτων Α ΘΕΜΑ 1 Ρίχνουμε ένα αμερόληπτο νόμισμα (δύο δυνατά

Διαβάστε περισσότερα

Στέλιος Μιχαήλογλου - Δημήτρης Πατσιμάς

Στέλιος Μιχαήλογλου - Δημήτρης Πατσιμάς Μεθοδική Επανάληψη www.askisopolis.gr Στέλιος Μιχαήλογλου - Δημήτρης Πατσιμάς Ε. Σύνολα i. Τι είναι το σύνολο; ii. Ποιοι είναι οι βασικοί τρόποι παράστασης συνόλων και τι γνωρίζετε γι αυτούς; iii. Πότε

Διαβάστε περισσότερα

3/10/2016. Στατιστική Ι. 1 η Διάλεξη

3/10/2016. Στατιστική Ι. 1 η Διάλεξη Στατιστική Ι 1 η Διάλεξη 1 2 Φαινόμενα Πειράματα Αιτιοκρατικά Προσδιοριστικά Τυχαία Στοχαστικά Ένα αιτιοκρατικό πείραμα, κάθε φορά που εκτελείται, έχει το ίδιο αποτέλεσμα το οποίο μπορεί να προβλεφθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ένα Λύκειο έχει 400 μαθητές από τους οποίους οι 00 είναι μαθητές της Α τάξης Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή, η πιθανότητα να είναι μαθητής της Γ τάξης είναι 0% Να βρείτε: i Το πλήθος των μαθητών

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 2008 ΜΑΘ. ΚΑΙ ΣΤ. ΣΤΑΤ. ΤΑΞΗ Γ

Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 2008 ΜΑΘ. ΚΑΙ ΣΤ. ΣΤΑΤ. ΤΑΞΗ Γ Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 43 Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 44 Α. Έστω f συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α παραγωγίσιμη σε κάθε Α και c πραγματική σταθερά. Να αποδείξετε ότι: (cf ()) = cf () Μονάδες 5 Β. Να χαρακτηρίσετε με Σ (σωστό)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ. ΘΕΜΑ 1 ο Δίνεται η συνάρτηση f x. Ι. Το πεδίο ορισμού της f είναι:., 1 υ -1, B. 1, Γ. -1,., 1.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ. ΘΕΜΑ 1 ο Δίνεται η συνάρτηση f x. Ι. Το πεδίο ορισμού της f είναι:., 1 υ -1, B. 1, Γ. -1,., 1. Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f Ι. Το πεδίο ορισμού της f είναι:., υ -, B., Γ. -,.,., ΙΙ. Το όριο f lm 0 είναι ίσο με: Α. 0 Β. Γ. Δ. Ε. Τίποτε από τα προηγούμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΛ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΓΕΛ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΛ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΛ ΜΑΘ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Γ 369 Α. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συνάρτησης f(x) = x είναι f (x) = Β. Να γράψετε τις παραγώγους των παρακάτω συναρτήσεων: Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ 1. Να λυθούν οι ανισώσεις: i) 2x 1 5

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ 1. Να λυθούν οι ανισώσεις: i) 2x 1 5 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. Να λυθούν οι ανισώσεις: i) ii) iii) iv) 4 9 v) 7 4 vi). Να λυθούν οι ανισώσεις: i) ( ) 4 ii) ( ) ( ) iii) 4( ) ( ) ( ) iv) ( ) ( ) 7( ) v) 4 9 ( ). Να λυθούν οι παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

http://lisari.blogspot.com .1 Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη διατύπωση

Διαβάστε περισσότερα

4 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 31.

4 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 31. ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ η ΕΚΑ Α. Οι µηνιαίες αποδοχές, σε, ν υπαλλήλων είναι x, x,, x ν και αυτές αποτελούν οµοιογενές δείγµα µε µέση τιµή 000. Αν το 8% έχει µισθό Α, το 6% Β και οι υπόλοιποι Γ : Να βρείτε το

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 3 ΣΕΛΙΔΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 3 ΣΕΛΙΔΕΣ ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ ΙΟΥΝΙΟΥ 07 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΡΕΙΣ(3)

Διαβάστε περισσότερα

ιδιαιτεραμαθηματα.gr ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ιδιαιτεραμαθηματα.gr ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ [Δεν είναι σκόπιμο να αποκαλύψεις στο παιδί σου ότι οι μεγάλοι άντρες δεν είχαν ιδέα από άλγεβρα] ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ: ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ Μ. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ: ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ

Διαβάστε περισσότερα