Τάξη A Μάθημα: Άλγεβρα
|
|
- Ζακχαῖος Κασιδιάρης
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Τάξη A Μάθημα: Άλγεβρα Ερωτήσεις Θεωρίας Θέματα Εξετάσεων Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα
2 Περιεχόμενα Α. Θεωρία - Αποδείξεις.. Σελ. Β. Θεωρία-Ορισμοί. Σελ.16 Γ. Ερωτήσεις Σωστού Λάθους... Σελ.3 Δ. Θέματα Εξετάσεων......Σελ.35 Ε. Επαναληπτικά Θέματα......Σελ.38 Ζ. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα....Σελ
3 Α. Θεωρία-Αποδείξεις Θέμα 1 Έστω Ω= 1,,... ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος και σε ν εκτελέσεις τα απλά ενδεχόμενα 1,,... πραγματοποιούνται κ 1,κ, κ λ φορές αντιστοίχως με σχετικές συχνότητες f 1,f,...f λ να αποδείξετε ότι: f 1 +f +...f λ =1 Θέμα Για οποιαδήποτε ασυμβίβαστα μεταξύ τους ενδεχόμενα Α και Β να αποδείξετε ότι: Ρ( B) ( ) ( ). - -
4 Θέμα 3 Για δυο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Β να δείξετε ότι: Ρ( A ) 1 ( ) Θέμα 4 Για δυο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω να δείξετε ότι: ( ) ( ) ( ) ( )
5 Θέμα 5 Αν να αποδείξετε ότι: ( ) ( ) Θέμα 6 Για δυο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω να αποδείξετε ότι: Ρ(Α-Β)=Ρ(Α)-Ρ( A B).. Θέμα 7 Για τους θετικούς αριθμούς α, β και τον θετικό ακέραιο ν να αποδείξετε ότι Απόδειξη: - 4 -
6 ... Θέμα 8 Για τους θετικούς αριθμούς α, β και τον θετικό ακέραιο ν να αποδείξετε ότι Απόδειξη:... Θέμα 9 Αν α,β IR να αποδείξετε ότι: Απόδειξη: - 5 -
7 Θέμα 10 Αν α,β IR να αποδείξετε ότι: α + β α + β Απόδειξη: Αν α,β 0 να αποδείξετε ότι: Θέμα 11 α) β), 0 Απόδειξη: - 6 -
8 Θέμα 1 Αν α 0 και μ.ν,ρ φυσικοί αριθμοί διαφορετικοί από το μηδέν, να αποδείξετε ότι: α) β) Απόδειξη: Θέμα 13 Δίνεται η εξίσωση αx+β=0. α. Πότε η εξίσωση έχει μοναδική λύση και ποια είναι αυτή; β. Πότε η εξίσωση είναι αδύνατη και πότε έχει άπειρες λύσεις; Απόδειξη: Θέμα 14 Δίνεται η εξίσωση αx +βx+γ=0 με 0 και διακρίνουσα Δ=β -4αγ. Να αποδείξετε ότι: α. Αν Δ>0 τότε η εξίσωση έχει δυο ρίζες άνισες τις x 1, β. Αν Δ=0 τότε η εξίσωση έχει μια διπλή ρίζα την ρ= - 7 -
9 γ. Αν Δ<0 τότε η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες. Απόδειξη:... Θέμα 15 Δίνεται η εξίσωση αx +βx+γ=0, 0 με ρίζες x 1,x. Να αποδείξετε ότι: Απόδειξη: α) S=x 1 +x = β) Ρ=x 1 x = - 8 -
10 Θέμα 16 Να λυθεί και να διερευνηθεί η ανίσωση: αx+β>0 Απόδειξη: - 9 -
11 ... Θέμα 17 Αν θ>0 να αποδείξετε ότι: x <θ -θ<x<θ Απόδειξη:... Θέμα 18 Δίνεται το τριώνυμο f(x)=αx +βx+γ 0.Να αποδείξετε ότι: α. Αν Δ>0 τότε f(x)=α(x-x 1 )(x-x ) όπου x 1,x οι ρίζες του. β. Αν Δ=0 τότε f(x)=α(x-ρ) όπου ρ η διπλή ρίζα του. γ. Αν Δ<0 τότε το f(x) δεν αναλύεται σε γινόμενο παραγόντων. Απόδειξη:
12 Θέμα 19 Να δείξετε ότι ο ν ος όρος μιας αριθμητικής προόδου με πρώτο όρο α 1 και διαφορά ω είναι: α ν =α 1 +(ν-1)ω Απόδειξη:
13 Θέμα 0 Να αποδείξετε ότι τρεις αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου αν και μόνο αν ισχύει β=α+γ Απόδειξη: Θέμα 1 Να δείξετε ότι ο ν ος όρος γεωμετρικής προόδου με πρώτο όρο α 1 και λόγο λ είναι : α ν =α 1 λ ν-1 Απόδειξη: Θέμα Να αποδείξετε ότι τρεις μη μηδενικοί αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου αν και μόνο αν ισχύει: β =αγ Απόδειξη:
14 .... Θέμα 3 Να δείξετε ότι το άθροισμα των πρώτων ν όρων γεωμετρικής προόδου με λόγο λ 1 είναι: 1 S 1 1 Απόδειξη: Θέμα 4 Αν Α(x 1,y 1 ) και Β(x,y ) είναι τυχαία σημεία του επιπέδου, να αποδείξετε ότι η απόστασή τους δίνεται από τον τύπο (ΑΒ)= Απόδειξη: x1) (y y1) ( x
15 Θέμα 5 Αν Α(x 1,y 1 ) και Β(x,y ) είναι δυο τυχαία σημεία της ευθείας y=αx+β να αποδείξετε y y1 ότι: α= x x1 Απόδειξη:
16 Θέμα 6 Δίνονται οι ευθείες ε 1,ε με εξισώσεις ε 1 : y=α 1 x+β 1 και ε : y=α x+β. Να αποδείξετε ότι: ε 1 //ε α 1 =α. Απόδειξη:
17 Β. Θεωρία-Ορισμοί: 1. Να γράψετε τον ορισμό της απόλυτης τιμής ενός πραγματικού αριθμού.. Πότε μια συνάρτηση f με πεδίου ορισμού Α λέγεται άρτια και πότε περιττή; 3.Πότε ένας αριθμός α είναι μεγαλύτερος από έναν αριθμό β; 4.Πότε μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα και πότε γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της;
18 5.Τι ονομάζεται τετραγωνική ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α; 6.Τι ονομάζεται ν-οστή ρίζα (ν θετικός ακέραιος) ενός μη αρνητικού αριθμού α; 7. Τι ονομάζεται δύναμη με βάση α,α IR και εκθέτη ν,όπου ν φυσικός, ; 8.Τι λέγεται ταυτότητα; 9.Τι ονομάζεται απόσταση δυο αριθμών α και β και πως συμβολίζεται; 10.Πότε μια εξίσωση λέγεται δευτέρου βαθμού;
19 11.Πότε μια εξίσωση λέγεται διτετράγωνη; 1.Πως προκύπτει η γραφική παράσταση της συνάρτησης f με f(x)=φ(x)+c, c>0 13. Πως προκύπτει η γραφική παράσταση της συνάρτησης f με f(x)=φ(x)-c, c>0 14 Πως προκύπτει η γραφική παράσταση της συνάρτησης f με f(x)=φ(x-c), c>0 15. Πως προκύπτει η γραφική παράσταση της συνάρτησης f με f(x)=φ(x+c), c>0 16. Τι λέγεται κλειστό διάστημα από α μέχρι β;
20 17. Τι λέγεται συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β; 18. Έστω μια συνάρτηση f από το Α στο Β α. Τι λέγεται πεδίο ορισμού της f ; β. Τι λέγεται σύνολο τιμών και πως συμβολίζεται; 19. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α. Τι λέμε γραφική παράσταση της f; 0.Τι λέμε γωνία που σχηματίζει η ευθεία ε με τον άξονα των x
21 ... 1.Τι λέγεται συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας y=αx+β;.... Τι γνωρίζετε για την επίλυση της εξίσωσης x,α>0 και ν περιττό; 3. Τι γνωρίζετε για την επίλυση της εξίσωσης x,α>0 και ν άρτιο;. 4. Τι γνωρίζετε για την επίλυση της εξίσωσης x,α<0 και ν περιττό; - 0 -
22 5. Τι γνωρίζετε για την επίλυση της εξίσωσης x,α<0 και ν περιττό; 6. Τι λέγεται γραμμική εξίσωση με δυο αγνώστους; 7.Πότε μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α λέμε ότι παρουσιάζει μέγιστο στο x 0 και τι λέγεται μέγιστο της f; 8. Πότε μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α λέμε ότι παρουσιάζει ελάχιστο στο x 0 και τι λέγεται ελάχιστο της f; - 1 -
23 9.Τι λέγεται πολυωνυμική συνάρτηση ου βαθμού; 30. Τι λέγεται τριώνυμο ου βαθμού; 31.Τι γνωρίζετε για το πρόσημο των τιμών της συνάρτησης f(x)=αx +βx+γ,α 0 A(x) A(x) 3. Πως λύνουμε ανισώσεις της μορφής 0 ή 0 B(x) B(x) - -
24 33. Πως λύνουμε ανισώσεις της μορφής ( x) B(x)... (x) 0 (< 0 ) 34. Τι γνωρίζεται για τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x)= x ; Να την σχεδιάσετε. 35. Ποιο πείραμα λέγεται αιτιοκρατικό πείραμα; - 3 -
25 36. Ποιο πείραμα λέγεται πείραμα τύχης; 37. Τι λέγονται δυνατά αποτελέσματα η δυνατές περιπτώσεις ενός πειράματος τύχης; 38. Τι λέγεται δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης;. 39. Τι λέγεται ενδεχόμενο; - 4 -
26 40. Πότε ένα ενδεχόμενο λέγεται απλό και πότε σύνθετο; 41. Τι ονομάζεται βέβαιο ενδεχόμενο; Και τι αδύνατο ; 4. Πότε λέμε ότι ένα ενδεχόμενο πραγματοποιείται η συμβαίνει; 43. Τι ονομάζεται τομή και τι ένωση δυο συνόλων; Πως συμβολίζονται;
27 44. Να εκφραστούν με τη βοήθεια των συνόλων οι εκφράσεις ; α).το ενδεχόμενο Α πραγματοποιείται β). Το ενδεχόμενο Α δεν πραγματοποιείται; γ). Ένα τουλάχιστον από τα Α και Β πραγματοποιείται δ). Πραγματοποιούνται ταυτόχρονα τα Α και Β ε). Δεν πραγματοποιείται κανένα από τα Α και Β στ). Πραγματοποιείται μόνο το Α ζ). Η πραγματοποίηση του Α συνεπάγεται την πραγματοποίηση του Β η). Πραγματοποιείται μόνο ένα από τα Α και Β θ). Δεν πραγματοποιείται κανένα από τα Α και Β ι). Πραγματοποιείται το πολύ ένα από τα Α και Β. κ). Πραγματοποιείται το Α ή δεν πραγματοποιείται το Β
28 45. Πότε δυο ενδεχόμενα Α και Β λέγονται ασυμβίβαστα; 46. Τι ονομάζεται σχετική συχνότητα ενός ενδεχομένου Α; 47. Τι ονομάζεται στατιστική ομαλότητα ή νόμος των μεγάλων αριθμών; 48. Ποιος είναι ο κλασικός ορισμός της πιθανότητας; 49. Ποιος είναι ο αξιωματικός ορισμός της πιθανότητας; - 7 -
29 50.Τι λέγεται ακολουθία; Πότε μια ακολουθία λέγεται αριθμητική πρόοδος; Τι λέμε αριθμητικό μέσο των αριθμών α,γ; Να γράψετε τους τύπους που δίνουν το άθροισμα των πρώτων ν όρων αριθμητικής προόδου με διαφορά ω
30 54.Τι λέγεται γεωμετρική πρόοδος; Τι λέμε γεωμετρικό μέσο των α,γ; Όταν λ=1 με τι ισούται το άθροισμα των όρων της γεωμετρικής προόδου;. 57. Έστω α, β, γ, δ διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου. Ποιές σχέσεις ισχύουν για αυτούς τους όρους; Πως αποδείχνουμε ότι μια ακολουθία είναι αριθμητική πρόοδος και πως ότι είναι γεωμετρική πρόοδος;
31 59. Είναι σωστό ή λάθος ότι για μια ακολουθία (α ν ) ισχύει α ν =S ν -S ν Πως συμβολίζουμε τους όρους μιας αριθμητικής και μιας γεωμετρικής προόδου αν έχουμε άρτιο πλήθος όρων; Πως συμβολίζουμε τους όρους μιας αριθμητικής και μιας γεωμετρικής προόδου αν έχουμε περιττό πλήθος όρων; Τι λέγεται σύνολο; Πότε δυο σύνολα Α και Β Λέγονται ίσα;
32 Πότε ένα σύνολο Α λέγεται υποσύνολο ενός συνόλου Β; Τι λέγεται κενό σύνολο και πως συμβολίζεται; Πότε ένα σύνολο λέγεται συμπλήρωμα ενός συνόλου Α και πως συμβολίζεται;
33 Γ. Ερωτήσεις Σωστού Λάθους Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με Σωστό ή Λάθος: 1. Η εξίσωση (λ )x=009λ, λ IR έχει ακριβώς μια λύση.., Ισχύει: 4. Αν α =β τότε 5.Αν η διακρίνουσα του τριωνύμου f(x)=αx +βx+γ, 0 είναι ίση με μηδέν τότε f (x) x 6.Αν η ανίσωση x -x+γ>0 αληθεύει για κάθε 7. Αν θ>0 τότε: x <θ x<-θ ή x>θ x IR τότε γ>1 8. Αν Α(x 1,y 1 ) και Β(x,y ) είναι τυχαία σημεία του επιπέδου, τότε η απόστασή τους δίνεται από τον τύπο (ΑΒ)= y) (x1 y1) ( x 9.Το τριώνυμο αx +βx+γ=0, 0 είναι ετερόσημο του α μόνο όταν Δ>0 και για τις τιμές του x που βρίσκονται μεταξύ των ριζών 10.Αν α IR τότε 11. Η εξίσωση x ν =α με α<0 και ν περιττός είναι αδύνατη 1. Η εξίσωση αx +βx+γ=0, 0 με αγ<0 έχει πάντοτε δυο ρίζες πραγματικές και άνισες 13. d(α,β)= β-α 14. Αν x 1,x οι ρίζες του τριωνύμου f(x)=αx +βx+γ 0 τότε f(x)=(x-x 1 )(x-x ) 15. Αν η ευθεία y=αx+β σχηματίζει με τον άξονα x x γωνία αμβλεία τότε α>
34 16.Αν α<β και γ<δ τότε α-γ<β-δ 17. α-β = β-α α,β IR 18.Τα σημεία Μ(α,β) και M (β,α) είναι συμμετρικά ως προς τον άξονα 19. Η εξίσωση αx+β=0 είναι αδύνατη όταν α=0 και β=0 0. Μια γνησίως μονότονη συνάρτηση έχει μια το πολύ ρίζα 1. Η εξίσωση αx +βx+γ=0, 0 έχει δυο ρίζες πραγματικές και άνισες όταν Δ>0.Αν θ>0 ισχύει: x = θ x=θ ή x=-θ 3.Η σχέση 0 ισχύει για κάθε R 4.Για κάθε α, β, γ IR ισχύει: αγ=βγ τότε α=β x x 5.Ισχύει η ισότητα:, 0, 0 6. Για κάθε πραγματικό αριθμό α,β ισχύει η ισότητα : α 3 +β 3 =(α+β)(α +αβ+β ) 7.Αν α=0 και β 0 τότε η εξίσωση αx+β=0 έχει μοναδική λύση την x=0 8. Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α λέγεται περιττή αν ισχύει f(-x)=f(x) 9. Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα 30.Έστω το τριώνυμο f(x)=αx +βx+γ 0. Αν Δ<0 και γ>0 τότε το f(x) είναι αρνητικό για κάθε x IR 31. Η ανίσωση x x 0, 0 αληθεύει για όλα τα x IR x 1 3. Οι ανισώσεις 1 x 1 και x-1>x+1 έχουν τις ίδιες λύσεις 33. Η ακολουθία (α ν ) με α ν+1 =α ν +5 είναι αριθμητική πρόοδος. 34. Αν οι αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου τότε α+γ=β
35 35. Αν οι αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου τότε α+γ=β 36. Οι αριθμοί -4, -1, με τη σειρά που δίνονται είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. ( 1 ) 37. Το άθροισμα των ν πρώτων όρων αριθμητικής προόδου είναι: S 38. Αν α, β, γ διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου τότε β-α=γ-β 39. Ο νιοστός όρος α ν μιας γεωμετρικής προόδου με λόγο λ είναι α ν =α 1 λ ν 40. Ο λόγος μια γεωμετρικής προόδου μπορεί να είναι Αν α, β, γ διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου τότε 4. Αν ο λόγος μιας γεωμετρικής προόδου είναι 1 τότε είναι: S ν =να Η ακολουθία (α ν ) με α ν+1 =5α ν είναι γεωμετρική πρόοδος 44 Αν ισχύει β =α+γ τότε οι α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου. 45. Αν Α και Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω, τότε ισχύει: α. P(A) P(A B) β. P(A B) P(A) 46. Για κάθε ενδεχόμενο Α ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: P(A) P(A ) Ισχύει: P(A B) P(A B) P(A) P(B) 48. Αν A B τότε P(A) P(B) 49. Αν Α,Β ενδεχόμενα του Ω ισχύει: P(A-B)+P(B)=P(B-A)+P(A) 50. Ισχύει πάντοτε P(A B) P(A B) 51. Οι κανόνες λογισμού των πιθανοτήτων ισχύουν και στην περίπτωση που τα απλά ενδεχόμενα δεν είναι ισοπίθανα. 5. Όταν έχουμε ένα δειγματικό χώρο Ω και χρησιμοποιούμε τη φράση παίρνουμε τυχαία ένα στοιχείο του Ω εννοούμε ότι όλα τα δυνατά αποτελέσματα είναι ισοπίθανα. 53. Ο αξιωματικός ορισμός χρησιμοποιείται όταν ο δειγματικός χώρος δεν αποτελείται από ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα
36 Δ. Θέματα Εξετάσεων Θέμα 1 A. I) Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως Σωστό ή Λάθος α. Αν α 0 η εξίσωση αx+β=0 έχει ακριβώς μία λύση την x=-. β. Αν α,β ομόσημοι, τότε αβ>0 και >0 γ. Αν α>β και γ>δ τότε α+γ<β+δ δ. Ισχύει =α ε. Ισχύει, α,β>0 II) Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες: α. Αν α>0 τότε =... β. Η εξίσωση αx +βx+γ=0, α 0 αν Δ>0 με Δ=... έχει ρίζες άνισες τις x 1, =... γ. Αν θ>0 τότε x =θ x=... ή x=... δ. =... Β. Να αποδειχθεί ότι η απόλυτη τιμή του γινομένου δύο αριθμών ισούται με το γινόμενο των απολύτων τιμών τους Θέμα A. Να λύσετε τις εξισώσεις x = και x -4=0. B. Οι παραπάνω λύσεις είναι και λύσεις της ανίσωσης x 1 >4; Δικαιολογείστε την απάντησή σας Θέμα 3 Δίνεται η εξίσωση λx +5x+10=0, α. Για ποια τιμή του λ έχει μία ρίζα; β. Για ποια τιμή του λ έχει μία ρίζα διπλή; γ. Να βρεθεί η διπλή ρίζα Θέμα 4 α. Να βρείτε το πρόσημο το τριωνύμου f(x)=-x +x-5. β. Να λύσετε την ανίσωση -x +x-5 3x Θέμα 5 Να λυθεί η ανίσωση: x-3 -x -x+6 <0. x -5x
37 Θέμα 6 Δίνεται η εξίσωση x -4x+λ+1=0. α. Για ποιές τιμές του λ η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες; β. Αν x 1,x είναι οι ρίζες της παραπάνω εξισώσεως, να βρεθεί η τιμή του λ, έτσι x1 x ώστε να ισχύει =. x x Θέμα 7 3 x-1 +1 x Να λυθεί η εξίσωση - x-1 = Θέμα 8 Δίνεται η εξίσωση x -λx+λ(λ+1)=0 (1) όπου λr. α. Αν S, P είναι το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών της (1) αντίστοιχα και S+P=4, να βρεθεί το λr. β. Για την μικρότερη τιμή του λ να βρεθεί η τιμή της παραστάσεως A=3x 1 +5x 1 x +3x όπου x 1,x οι ρίζες της (1) Θέμα 9 Α. Αν x 1,x είναι οι ρίζες της εξίσωσης αx +βx+γ=0, α0 να δείξετε ότι S=x 1 +x = και P=x 1 x =. B. Δίνεται η εξίσωση x +3x-4=0. Αν x 1,x είναι οι ρίζες της, να κατασκευάσετε την εξίσωση που έχει ρίζες το ζεύγος των αριθμών 3x 1 -, 3x Θέμα 10 Δίνεται η εξίσωση: x +λx-=0 (1) α.. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (1) έχει πάντα δύο λύσεις για κάθε τιμή του λ β. Να λύσετε την εξίσωση για λ= Θέμα 11 Δίνεται η εξίσωση: x -x-5=0, με ρίζες τους αριθμούς x 1, x. Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων: α. x 1 +x β. x 1 x γ. x 1 x +x 1 x Θέμα 1 α. Να λύσετε την εξίσωση: 3x 1 = 5 β. Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων: x x 3 (x -5) x < 5 και >
38 Θέμα 13 α.. Να λύσετε την εξίσωση: x +x-1=0. β. Δίνεται η εξίσωση: x - x -5 = 0. Εάν έχει ρίζες x 1, x να υπολογιστούν οι τιμές των παραστάσεων : i. x 1 +x ii. x 1 x iii. x 1 +x (Χωρίς να βρείτε τις ρίζες) Θέμα 14 Δίνεται η εξίσωση x -λx+λ-1=0, λ R. i. Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει πραγματικές λύσεις. ii. Να βρεθεί ο λ ώστε η (1) να έχει διπλή ρίζα την οποία να βρείτε. iii. Αν x 1,x είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης να βρείτε το λ ώστε να ισχύει x 1 +x =3λ. iv. Να κατασκευάσετε εξίσωση δευτέρου βαθμού με ρίζες: ρ 1 =3x 1 - και ρ =3x Θέμα 15 Δίνεται η συνάρτηση f(x)= x-1 - λ, IR α. Αν η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο Α(-, 1) να δείξτε ότι λ= β. Για την τιμή λ= να γράψετε την συνάρτηση και να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση είναι πάνω από τον άξονα χ χ γ. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης 008 x g(x) x 1 x 4x Θέμα 16 α. Να βρείτε (με πίνακα) το πρόσημο του τριωνύμου -x +x+15 β. Δίνεται η συνάρτηση f(x)= -x +x , x [-3,5] 1. Να γράψετε την f χωρίς απόλυτα. Να βρείτε την τιμή f(1+ ) 3. Να λυθεί η ανίσωση f(x) -001x
39 Ε. Επαναληπτικά Θέματα Άλγεβρα Α Λυκείου Επαναληπτικά Θέματα Θέμα 1 Έστω Α=λ +5λ-3 και Β=λ -9, λ R α. Να λύσετε την εξίσωση Α=0 β. Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις Α και Β. γ. Να βρεθούν οι τιμές του λ για τις οποίες η εξίσωση Αx=Β έχει μοναδική λύση,την οποία και να προσδιορίσετε συναρτήσει του λ Θέμα Για ποιες τιμές του k η ανίσωση x 1 +kx+ (-3k)>0 αληθεύει για κάθε x R ; 16 Θέμα 3 3x 4 Α. Να λυθεί η ανίσωση : x 3 Β. Για τις τιμές του x που βρήκατε στην παραπάνω ανίσωση να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης Κ= x+ -3 x-3 -x+7 Θέμα 4 Δίνεται η εξίσωση : x -(3λ-)x +λ+1=0 με λ R. Αν ρ 1,ρ είναι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης διάφορες του μηδενός α. Να υπολογιστούν οι παραστάσεις : ι. ρ 1 +ρ ιι. ρ 1 ρ β. Να βρεθούν οι τιμές του λ ώστε να ισχύει η 1 1 σχέση: 1 1 Θέμα 5 Δίνεται η εξίσωση x -3x+λ-1=0. (1) α. Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η εξίσωση (1) έχει πραγματικές ρίζες β. Αν ρ 1,ρ οι πραγματικές ρίζες τηςεξίσωσης (1) να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες ισχύει
40 Θέμα 6 Αν είναι x-3 και y+3 5 α. Να βρείτε μεταξύ ποιών τιμών βρίσκονται οι πραγματικοί x και y β. Να βρείτε μεταξύ ποιών τιμών βρίσκεται η τιμή της παράστασης Κ=x-y Θέμα 7 Α. Να λύσετε την εξίσωση : x +x-3=0 Β. Να λύσετε την ανίσωση: 3- x x 1 Γ. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f(x)= x x 3 Θέμα 8 x Δίνεται η συνάρτηση f(x)= x x α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης β. Να απλοποιήσετε τον τύπο της συνάρτησης γ. Να λύσετε την ανίσωση : f(x) <1 Θέμα 9 Δίνεται η εξίσωση (λ-)x -λx +1=0 (1) α. Να δείξετε ότι η (1) έχει δυο ρίζες πραγματικές και άνισες β. Αν x 1,x οι ρίζες της (1) να βρεθεί ο λ ώστε : x 1 +x >λ Θέμα 10 Δίνεται η εξίσωση : λx -x-λ=0,λ 0 (1) α. Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει δυο ρίζες άνισες για κάθε λ 0 β. Αν x 1,x οι ρίζες της (1) να υπολογίσετε τις παραστάσεις x 1 +x και x 1 x γ. Να βρεθεί ο πραγματικός λ ώστε x 1 +x >3-39 -
41 Να λυθεί η ανίσωση : Θέμα 11 x x Θέμα 1 Δίνεται η εξίσωση x -3x+ λ-1 =0 (1) α. Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε να έχει ρίζες πραγματικές β. Αν x 1,x οι ρίζες της (1) και ισχύει x 1 =x να βρείτε τις ρίζες x 1,x και το λ. Θέμα 13 Δίνεται η εξίσωση λx -x-λ=0, λ 0 (1) α. Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει δυο ρίζες άνισες για κάθε λ 0 β. Αν x 1, x οι ρίζες της (1) να υπολογίσετε τις παραστάσεις i) x 1 +x ii) x 1 x x1 x γ) Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός λ ώστε 1 x x Θέμα 14 x Δίνεται η συνάρτηση f (x) x x α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης β) Να απλοποιήσετε τον τύπο της συνάρτησης γ) Να βρείτε την τιμή f ( ) Θέμα 15 Να λυθεί το σύστημα των ανισώσεων x 3 4 x x(3-x)+x>(x-5)-5x-6 Θέμα 16 5 x Δίνεται η συνάρτηση f (x) x 1 4 α. Να αποδείξετε ότι f(3)=- β. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης γ. Να λύσετε την εξίσωση x 4 +x +f(3)=
42 Θέμα 17 Έστω το τριώνυμο f(x)=-3x +11x+4 α) Να αναλύσετε το τριώνυμο f(x) σε γινόμενο. β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g(x) f (x) 4 f (x) γ) Να απλοποιήσετε την παράσταση: K(x) x(x 8) 16 δ) Να βρείτε για ποιες τιμές του x ισχύει: K(x) 1. Θέμα 18 Δίνονται οι συναρτήσεις f (x) x 10x 5 και g(x) x 5 α. Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των f και g β. Να βρείτε τις τιμές του x IR για τις οποίες η γραφική παράσταση της f βρίσκεται κάτω από την ευθεία y= γ. Αν 1<x<5 να βρείτε την τιμή της παράστασης Α= 10x 5 x 1 Θέμα 19 α. Δίνεται η συνάρτηση f(χ)= x 6x χ Να αποδειχθεί ότι 5 f(1) =005 f(0). β. Να βρεθεί το πρόσημο του τριωνύμου χ -6χ+5. γ. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης : x g(χ) = 005x x 6x x Θέμα 0 Α. Να βρείτε το πρόσημο του τριωνύμου: - x +x+15 Β. Δίνεται η συνάρτηση f(x)= - x +x , x[-3,5] i. Να γράψετε τον τύπο της f χωρίς απόλυτα ii. Να βρείτε την τιμή f(1+ ) iii. Να λυθεί η ανίσωση f(x) -004x
43 Θέμα 1 Για τα ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν: P(A), P(A B) και P(A B) Να βρεθούν οι πιθανότητες: P(A) και P(B) Θέμα Για τα ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν: P(A ) 0,7, P(B ) 0, 6 και P(A B) 0, 4 Να βρεθούν οι πιθανότητες: P(A B) και P(B-Α) Θέμα 3 Για τα ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν: P(A) 0,3, P(B) 0, 4 και P(A B) 0, 6 Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων: α. Να μην πραγματοποιηθεί το Α β. Να πραγματοποιηθούν συγχρόνως τα Α, Β γ. Να πραγματοποιηθεί μόνο το Β δ. Να πραγματοποιηθεί μόνο ένα από τα Α, Β ε. Να πραγματοποιηθεί το πολύ ένα από τα Α, Β Θέμα 4 Για τα ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν: 5 3 P(A) και P(B) 1 4 α. Να εξετάσετε αν τα ενδεχόμενα είναι ασυμβίβαστα 1 5 β. Να αποδείξετε ότι: P(A B) 6 1 Θέμα 5 Για τα ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν: P(A)=0,3 και P(B)=0,4. Να αποδείξετε ότι: 0,4 P(A B) 0, 7 Θέμα 6 Για τα ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν: P(A)=0,3 και P(B)=0,. Να αποδείξετε ότι: 0,1 P(A B) 0, 3 Θέμα 7 Μια τάξη έχει 1 αγόρια και 15 κορίτσια. Τα 3 των αγοριών και τα 5 3 των κοριτσιών έχουν ποδήλατο. Επιλέγουμε τυχαία ένα άτομο. Να βρείτε την πιθανότητα να είναι κορίτσι ή να έχει ποδήλατο
44 Θέμα 8 Σε μια γεωμετρική πρόοδο είναι α 1 =3λ και α 1 +α =18, όπου λ ο λόγος της προόδου. Α. Να βρείτε τον πρώτο όρο και τον λόγο της προόδου. Β. Nα βρείτε το άθροισμα των τεσσάρων πρώτων όρων. Γ. Να υπολογίσετε το άθροισμα α 15 +α 16 +α 17 +α 18 +α 19 +α 0. Θέμα 9 Α. Αν οι θετικοί αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, να δείξετε ότι και οι αριθμοί,, είναι επίσης διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. Β. Σε μια αριθμητική πρόοδο είναι S 0 =1030 και α 10 -α 3 =35. Να βρείτε: i) τον πρώτο όρο και τη διαφορά της προόδου. ii) το άθροισμα από τον δεύτερο μέχρι και τον εικοστό όρο. Θέμα 30 Α. Για ποια τιμή του x>0 οι αριθμοί 14x, x 4 και 36 είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. Β. Να βρεθεί η διαφορά της προόδου. Γ. Αν ο 14x είναι ο τρίτος όρος της αριθμητικής προόδου να βρεθεί ο πρώτος όρος της. Δ. Να υπολογίσετε το άθροισμα των 0 πρώτων όρων της προόδου. Θέμα 31 Δίνονται οι αριθμοί α=x -x, β=3x, γ=1-10/x, x>0. Α. Aν οι αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου να βρεθεί το x. Β. Ο αριθμός α είναι ο 4 ος όρος της προόδου. Να βρεθεί ο πρώτος όρος α 1 της προόδου. Θέμα 3 Να βρείτε τρεις αριθμούς για τους οποίους ισχύουν τα εξής: α. είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου β. έχουν άθροισμα 15 γ. αν σ αυτούς προσθέσουμε τους αριθμούς 1,4,19 αντίστοιχα θα γίνουν διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου. Θέμα 33 Να βρεθούν τέσσερις διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, οι οποίοι να έχουν γινόμενο μεσαίων όρων
45 Ζ. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Διαγώνισμα 1 0 Θέμα Α Α1 Αν x 1, x είναι οι ρίζες της εξίσωσης αx +βx+γ=0 με α0, να αποδείξετε ότι το άθροισμα S=x 1 +x και το γινόμενο Ρ=x 1 x δίνονται από τους τύπους: S και Μονάδες 10 Α. Δίνεται η εξίσωση αx +βx+γ=0 με α0 και διακρίνουσα Δ=β -4αγ. Για τις διάφορες τιμές του Δ να αναφέρεται πόσες και ποιες είναι οι πραγματικές ρίζες της εξίσωσης. Μονάδες 5 Α3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α), όπου α, β 0 πραγματικοί και ν ακέραιος αριθμός. β) Αν οι πραγματικοί αριθμοί α και β είναι ομόσημοι τότε: =. γ) Αν οι αριθμοί α και β είναι πραγματικοί τότε: α+β=0 α=β=0. δ) Η εξίσωση αx + β = 0 με α, βir, είναι αδύνατη αν α=0 και β=0. ε) Η εξίσωση x ν =α για α<0 και ν θετικό ακέραιο είναι πάντα αδύνατη. Μονάδες 10 Θέμα Β 4 x 3 1 Β1. Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: 7 και 5 8 x x - 8 > 5 3 Mονάδες 15 Β. Να βρείτε στον άξονα των πραγματικών αριθμών το διάστημα που συναληθεύουν οι παραπάνω ανισώσεις. Mονάδες
46 Θέμα Γ Δίνονται οι εξισώσεις : x -x-6=0, (1) και x -(μ +1)x+μ -=0, μir, (). Γ1. Να βρείτε τις ρίζες της (1) και να δείξετε ότι η εξίσωση () έχει πραγματικές ρίζες, για όλες τις τιμές της παραμέτρου μ. Μονάδες 10 Γ. Αν η θετική ρίζα της (1) επαληθεύει και την () να βρείτε τις τιμές του μ. Μονάδες 7 x1 x Γ3. Αν για τις ρίζες x 1 και x της () ισχύει ότι 1,να βρείτε τις τιμές του μ x1 x και να τις γράψετε με μορφή κλάσματος με ρητό παρανομαστή. Μονάδες 8 Θέμα Δ Δίνεται η συνάρτηση: f (x) 5 x x 1 4 Δ1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. Μονάδες 8 Δ. Να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της f τέμνει τους άξονες x x και y y Μονάδες 8 Δ3. Να δείξετε ότι f(3) = -1 και στη συνέχεια να λύσετε την εξίσωση: x x f (3) 0 Μονάδες
47 Θέμα Α Διαγώνισμα 0 Α1 i. Να δείξετε ότι ο ν ος όρος μιας αριθμητικής προόδου με πρώτο όρο α 1 και διαφορά ω είναι: α ν =α 1 +(ν-1)ω Μονάδες 10 ii. Ποιος είναι ο κλασικός ορισμός της πιθανότητας; Μονάδες 7 Α. Να γράψετε στη κόλα σας το γράμμα Σ(σωστό) ή Λ(λάθος) δίπλα στον αριθμό που αντιστοιχεί στις παρακάτω ερωτήσεις: 1. Εάν x = -3 τότε x = 3 ή x = -3.. Η εξίσωση που έχει ρίζες τους αριθμούς 1 και 1 είναι x - 3x + 1 = Για κάθε πραγματικό αριθμό x ισχύει: 3x = 3 x. 5. Εάν x 5 = x + 5, τότε είναι x > 0. Μονάδες 8 Θέμα Β Θεωρούμε την εξίσωση: (x 1) λ(x 3) = 0, (1) λ R. Αν x 1, x είναι οι ρίζες της (1) να δειχθεί ότι η παράσταση K= x είναι ανεξάρτητη του λ. 3 1 x 3 Μονάδες 5 Θέμα Γ Δίνεται η εξίσωση x 6x + 3λ 1 = 0, λ R. Για ποιες τιμές του λ R η εξίσωση έχει: Γ1. Μια διπλή ρίζα. Μονάδες 5 Γ. ρίζες ετερόσημες. Μονάδες 10 Γ3. Εάν x 1, x οι ρίζες της, να βρεθεί ο λ R ώστε: Θέμα Δ 1 x 1 1 1, λ. x 5 3 Μονάδες 10 Δ1. Δίνεται η εξίσωση: x + (λ - 1)x + 1 = 0 (1) 1. Να βρεθεί η διακρίνουσα Δ αυτής. Μονάδες 5. Για ποιες τιμές του λ R η (1) δεν έχει πραγματικές ρίζες. Μονάδες 5 (x 1)(x x 5) Δ. Να λυθεί η ανίσωση: 0 x 6x 8 Μονάδες
ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 15
ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 5 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη
ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10
ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 0 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη
ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ
ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: A ΑΛΓΕΒΡΑ ΘΕΜΑ A Α1. Να αποδείξετε ότι: αβ α β (Μονάδες 15) A. Χαρακτηρίστε ως Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ) τις ακόλουθες προτάσεις: 1. Η εξίσωση
Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ
Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1. Για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει η σχέση ( ) ( ) ( ).. Ισχύει ότι P( A B) P( A
ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_3.ΜλΑ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α A.. Α.. Α.3. ΘΕΜΑ Β Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή Απριλίου
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1
Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Θ έ μ α Α Α. α. Πότε η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 έχει διπλή ρίζα; Ποια είναι η διπλή ρίζα της; 4 μονάδες β. Ποια μορφή παίρνει το τριώνυμο αx + βx + γ, α 0, όταν Δ = 0; 3 μονάδες
Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Α Λυκείου
Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Α Λυκείου Θέμα Α. Αν x, x οι ρίζες της δευτεροβάθμιας εξίσωσης αx +βx+γ=, α να αποδείξετε ότι S P. (6 μονάδες) Β. Ελέγξατε αν κάθε μία από τις παρακάτω σχέσεις είναι σωστή
ii) Να ποια τιμή του ώστε η εξίσωση (1) έχει μία διπλή πραγματική ρίζα; Έπειτα να βρεθεί η ρίζα αυτή. Ασκήσεις Άλγεβρας
. Δίνεται η εξίσωση, (). i) Να βρεθεί ο αριθμός ώστε η εξίσωση () να έχει μία τουλάχιστον πραγματική ρίζα. ii) Να βρεθεί ο αριθμός ώστε η εξίσωση () να έχει δύο ίσες πραγματικές ρίζες. iii) Να βρεθεί ο
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο : f( x) α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. x x x x β. Να βρείτε τα σημεία τομής της με τους άξονες αν υπάρχουν. γ. Αν α, β ρίζες της εξίσωσης: ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση
ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο
ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Γ Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον
ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,
Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι
Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ
Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος 013-014, Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 013-014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός
Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα
Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ
ΘΕΜΑ 1 Ένα Λύκειο έχει 400 μαθητές από τους οποίους οι 00 είναι μαθητές της Α τάξης Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή, η πιθανότητα να είναι μαθητής της Γ τάξης είναι 0% Να βρείτε: i Το πλήθος των μαθητών
ΓΕ.Λ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ : ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ) Αν Α και Β είναι δύο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου
ΓΕΛ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ : 013-014 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ο - Α ( απόδειξη θεωρήματος) 1 ) Αν Α και Β είναι δύο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω, τότε να αποδείξετε
(α > β και γ > δ)=> αγ > βδ. τύπο S. άνισες. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f( χ )= y j x »/ Ç + 3. παρακάτω προτάσεις: ΜΟΝΑΔΕΣ 2x5=10
ΓΕ.Λ. ΛΙΒΑΔΕΙΑΣ ΖΗΤΗΜΑ A ΑΊ. ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ - ΙΟΥΝΙΟΥ 05 ΛΙΒΑΔΕΙΑ 4 ΜΑΪΟΥ 05 ΤΑΞΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λάθος (Λ) κάθε μία
ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ
ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ. Δύο ομάδες Ο, Ο παίζουν μεταξύ τους σε μια σχολική ποδοσφαιρική συνάντηση (οι αγώνες δεν τελειώνουν ποτέ με ισοπαλία). Νικήτρια θεωρείται η ομάδα που θα νικήσει
ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός
01 ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παραπάνω φυλλάδιο φτιάχτηκε για να προσφέρει λίγη βοήθεια κυρίως στους
ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,
Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι
ΘΕΜΑ 2 Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α ) = 3Ρ(Α), Ρ(Β ) = 1/3 και () 3()
ΘΕΜΑ 1 Ένα Λύκειο έχει 400 μαθητές από τους οποίους οι 00 είναι μαθητές της Α τάξης Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή, η πιθανότητα να είναι μαθητής της Γ τάξης είναι 0% Να βρείτε: i Το πλήθος των μαθητών
Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)
Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ε.1 I. 1. α 2 = 9 α = 3 ψ p: α 2 = 9, q: α = 3 Σύνολο αλήθειας της p: Α = {-3,3}, Σύνολο αλήθειας της q: B = {3} A B 2. α 2 = α α = 1 ψ p: α 2 = α, q: α = 1 Σύνολο
ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 1. α) Να λύσετε την εξίσωση : 2 2 2x. β) Αν α είναι η ϑετική εξίσωσης του ερωτήµατος (α), να λύσετε την ανίσωση : 1 x < α.
ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 6 3 α) Να λύσετε την εξίσωση : 3 β) Αν α είναι η ϑετική εξίσωσης του ερωτήµατος (α), να λύσετε την ανίσωση : < α. ΘΕΜΑ α) Να λύσετε την ανίσωση : + < 7. β) Αν ο είναι λύση της ανίσωσης του
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ
ΘΕΜΑ 1 Ένα Λύκειο έχει 400 μαθητές από τους οποίους οι 00 είναι μαθητές της Α τάξης. Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή, η πιθανότητα να είναι μαθητής της Γ τάξης είναι 0%. Να βρείτε: i. Το πλήθος των μαθητών
ΘΕΜΑ 2. βρείτε. (Μονάδες 15) με διαφορά ω.
ΘΕΜΑ ΘΕΜΑ Έστω α, β πραγµατικοί αριθµοί για τους οποίους ισχύουν: α β = 4 και αβ + αβ = 0 α) Να αποδείξετε ότι: α + β = 5. (Μονάδες 0) β) Να κατασκευάσετε εξίσωση ου βαθµού µε ρίζες τους αριθµούς α, β
Ανισώσεις. Κώστας Γλυκός. Τράπεζα θεμάτων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. εκδόσεις / 1 0 /
Ανισώσεις Κώστας Γλυκός Τράπεζα θεμάτων ΙΙ Ι δδ ιι ι αα ίί ί ττ εε ρρ αα μμ αα θθ ήή μμ αα ττ αα 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kgllykos..gr 5 / 1 0 / 0 1 6 εκδόσεις τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-300.88.88
7. α) Να λύσετε την ανίσωση x 5 <4. β) Αν κάποιος αριθμός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήματος (α). x 1. Δίνονται οι ανισώσεις: 3x 1
Στέλιος Μιχαήλογλου - Δημήτρης Πατσιμάς
Μεθοδική Επανάληψη www.askisopolis.gr Στέλιος Μιχαήλογλου - Δημήτρης Πατσιμάς Ε. Σύνολα i. Τι είναι το σύνολο; ii. Ποιοι είναι οι βασικοί τρόποι παράστασης συνόλων και τι γνωρίζετε γι αυτούς; iii. Πότε
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Γεώργιος Α. Κόλλιας - μαθηματικός. 150 ασκήσεις επανάληψης. και. Θέματα εξετάσεων
Γεώργιος Α. Κόλλιας - μαθηματικός Περιέχονται 50 συνδυαστικές ασκήσεις επανάληψης και θέματα εξετάσεων. Δεν συμπεριλαμβάνεται το κεφάλαιο των πιθανοτήτων, της γεωμετρικής προόδου, της μονοτονίας συνάρτησης,
ΘΕΜΑ 2. 1 x < 4. (Μονάδες 9) 2. α) Να λύσετε την ανίσωση: β) Να λύσετε την ανίσωση: x (Μονάδες 9)
α) Να λύσετε την ανίσωση: 1 x < 4. (Μονάδες 9) 2 β) Να λύσετε την ανίσωση: x+ 5 3. (Μονάδες 9) γ) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων των ερωτημάτων (α) και (β) με χρήση του άξονα των πραγματικών
1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο
1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑ 1 ο α) Αν χ 1, χ ρίζες της εξίσωσης αχ +βχ+γ=0, 0 να δείξετε ότι S 1 και P 1 Μον. 10 β) Έστω η συνάρτηση
Άλγεβρα Α Λυκείου. Επαναληπτικά θέματα από διαγωνίσματα ΟΕΦΕ Πραγματικοί αριθμοί
wwwaskisopolisgr Άλγεβρα Α Λυκείου Επαναληπτικά θέματα από διαγωνίσματα ΟΕΦΕ 006-08 Δίνεται ότι και y Πραγματικοί αριθμοί α) i Να βρεθούν τα όρια μεταξύ των οποίων περιέχεται το ii Να βρεθούν τα όρια μεταξύ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ Α - Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ
1. ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 1. Φυσικοί αριθμοί : Ν = {0,1,,3,4,...}. Ακέραιοι αριθμοί : Ζ = {...-4,-3,-,-1,0,1,,3,4,...} 3. Ρητοί αριθμοί : Q = { ì í, μ Ζ, ν Ζ* } Σημ. Το σύνολο Q των ρητών αριθμών ταυτίζεται με
Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες
1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται δύναμη α ν με βάση τον πραγματικό αριθμό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό >1; H δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα φυσικό αριθμό ν, συμβολίζεται
ΑΣΚΗΣΕΙΣ και ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ και ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1.ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1.1 Σε ένα σχολείο με 00 μαθητές, οι 90 έχουν ποδήλατο, 36 έχουν «παπί», ενώ 84 άτομα δεν έχουν ούτε ποδήλατο ούτε παπί. Διαλέγουμε
Ω = { ω 1, ω 2,, ω ν } Δηλαδή το ενδεχόμενο Α είναι ένα υποσύνολο του δειγματικού χώρου Ω. Α Ω
Πείραμα τύχης και δειγματικός χώρος Πείραμα τύχης: λέγεται κάθε πείραμα για το οποίο δεν μπορούμε να προβλέψουμε το αποτέλεσμα, όσες φορές και να επαναληφθεί κάτω από τις ίδιες συνθήκες. Δειγματικός χώρος
ΓΕΝΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΓΕΝΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ο Γενικό Επαναληπτικό Διαγώνισμα ΘΕΜΑ ο Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα
Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,...
3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν-1 +...+α
ΘΕΜΑ 2. Δίνονται οι συναρτήσεις
ΘΕΜΑ 2 Δίνονται οι συναρτήσεις (, x R 3 f ( x) = x και g x) = x α) Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f, g τέμνονται σε τρία σημεία τα οποία και να βρείτε. (Μονάδες 13) β) Αν Α, Ο,
ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Λ. ΑΙΔΗΨΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Λ. ΑΙΔΗΨΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 01-013 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 1 ο Α. Έστω a ένας πραγματικός αριθμός. Να δώσετε τον ορισμό της απόλυτης
2 είναι λύσεις της ανίσωσης 2x2 3x+1<0.
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. α) Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης x +0x=. x + 0x β) Να λύσετε την εξίσωση x. ίνεται η εξίσωση: x λx+(λ +λ )=0 (), λ R. α) Να προσδιορίσετε τον πραγµατικό αριθµό λ, ώστε η
2018 Φάση 2 ιαγωνίσµατα Επανάληψης ΑΛΓΕΒΡΑ. Α' Γενικού Λυκείου. Σάββατο 21 Απριλίου 2018 ιάρκεια Εξέτασης:3 ώρες ΘΕΜΑΤΑ
ΘΕΜΑ A ΑΛΓΕΒΡΑ Α' Γενικού Λυκείου Σάββατο 1 Απριλίου 018 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΘΕΜΑΤΑ Πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f (x) από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β ονομάζουμε το σύνολο Α, στο οποίο φαίνονται οι
Σας εύχομαι καλή μελέτη και επιτυχία.
ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το βιβλίο αυτό αποτελεί συνέχεια του Α τεύχους και απευθύνεται κυρίως στους μαθητές της Α Λυκείου, αλλά και στους καθηγητές που διδάσκουν το μάθημα «Άλγεβρα και στοιχεία πιθανοτήτων» της Α Λυκείου.
β) Αν κάποιος αριθµός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι 1 1 1 9 < α
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος (α). x 1. ίνονται οι ανισώσεις: 3x 1
B =, όπου ο x είναι πραγματικός αριθμός. x x α) Να αποδείξετε ότι για να ορίζονται ταυτόχρονα οι παραστάσεις Α, Β πρέπει: x 1 και x 0.
1 Ένα κουτί περιέχει άσπρες, μαύρες, κόκκινες και πράσινες μπάλες. Οι άσπρες είναι 5, οι μαύρες είναι 9, ενώ οι κόκκινες και οι πράσινες μαζί είναι 16. Επιλέγουμε μια μπάλα στην τύχη. Δίνονται τα παρακάτω
x y z xy yz zx, να αποδείξετε ότι x=y=z.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦ. ο A. Ταυτότητες, ιδιότητες δυνάμεων, διάταξη.1 Να παραγοντοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις: 1. 15a x 15a y 5a x 5a y. a x a x a x a x 3 3 4 3 3 3 3. x 4xy 16 4 y
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από
B= πραγματοποιείται τουλάχιστον ένα από τα ενδεχόμενα Α και Β ii) B = πραγματοποιούνται ταυτόχρονα τα ενδεχόμενα Β και Γ iii)
Πιθανότητες.3096. α) Αν Α,Β,Γ είναι τρία ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω ενός πειράματος τύχης που αποτελείται από απλά ισοπίθανα ενδεχόμενα, να διατυπώσετε λεκτικά τα παρακάτω ενδεχόμενα: i) A B ii)
Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα 1+α < 1+ α. α+α
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος (α). x 1. ίνονται οι ανισώσεις: 3x 1
Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 ο : Ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς. 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού. 3.2 Η εξίσωση x. 3.3 Εξισώσεις 2 ου Βαθμού. ρωτήσεις αντικειμενικού τύπουθέμα Α1-
3. Εξισώσεις ου Βαθμού 3. Η εξίσωση 3.3 Εξισώσεις ου Βαθμού Διδακτικό υλικό Άλγεβρας Α Λυκείου (Κεφάλαιο 3 ο ) Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 ο : Ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς ρωτήσεις αντικειμενικού τύπουθέμα Α- Εξεταστέα ύλη
ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Έννοια του πολυωνύμου. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μια μεταβλητή x που μπορεί να πάρει κάθε πραγματική τιμή. Μονώνυμο του x, είναι κάθε παράσταση της μορφής : x όπου α είναι
ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ της Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ της Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦ. 1 ο (ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ) Ο ρ ι σ µ ο ί Πείραµα τύχης (π.τ.) είναι το πείραµα για το οποίο δεν µπορούµε εκ των προτέρων να προβλέψουµε το αποτέλεσµά του αν και επαναλαµβάνεται
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ Α. α) Τι λέγεται δειγματικός χώρος και τι ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης;
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας α) Τι λέγεται δειγματικός χώρος και τι ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης; =. β) Για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α να αποδείξετε
12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο
ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Έστω f σύνολο Α, g Α ΒΑΘΜΟΥ είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής πού παίρνει τιμές στο Ανίσωση με έναν άγνωστο λέγεται κάθε σχέση της μορφής f f g g ή, η οποία αληθεύει για ορισμένες
Άλγεβρα Α Λυκείου. Αξίζει να τονίσω ότι οι περισσότερες από τις ασκήσεις αυτές προήλθαν από διάφορα εξωσχολικά βιβλία και ιστοσελίδες συναδέλφων.
Άλγεβρα Α Λυκείου Το υλικό αυτό αποτελείται από μικρές θεωρητικές υποδείξεις και ασκήσεις και προβλήματα που έχω αξιοποιήσει στην τάξη μου για τη διδασκαλία της Άλγεβρας της Α Λυκείου (Ημερήσιο Γενικό
Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46
ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................
( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και
ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο : f( ) α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. β. Να βρείτε τα σημεία τομής της με τους άξονες αν υπάρχουν. γ. Αν α, β ρίζες της εξίσωσης: ΘΕΜΑ ο f ( ), να δείξετε ότι αβ+=0.
ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,
Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι
3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με
1, 2, Β 3, 2,λ. 7, να 2 βρείτε την τιμή του k. x x y y Α)Να βρείτε τις τιμές των x,y για τις οποίες ορίζεται η παράσταση. Β)Να αποδείξετε ότι Α=-1
,, Β,,λ. Δίνονται τα σημεία Β.Αν τα Α,Β είναι συμμετρικά ως προς τον άξονα y y να βρείτε το λ. Β. Βρείτε τις τιμές του λ, ώστε το σημείο Β να βρίσκεται στο ο τεταρτημόριο του ορθοκανονικού συστήματος.
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ
3ο κεφάλαιο: Εξισώσεις ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 2014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 2014 Περιεχόµενα 1
( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και
ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο : f( x) α Να βρείτε το πεδίο ορισμού της x x x x β Να βρείτε τα σημεία τομής της με τους άξονες αν υπάρχουν γ Αν α, β ρίζες της εξίσωσης: ΘΕΜΑ ο x x f ( x), να δείξετε
Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Συνοπτική Θεωρία Ασκήσεις της Τράπεζας Θεμάτων Ερωτήσεις Σωστού-Λάθους Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Συντακτική ομάδα mathp.gr Συντονισμός
Εισαγωγή στα ΣΥΝΟΛΑ. Ε.1 Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Α), αν είναι αληθείς ή με (Ψ), αν είναι ψευδής
Εισαγωγή στα ΣΥΝΟΛΑ Ε. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Α), αν είναι αληθείς ή με (Ψ), αν είναι ψευδής i) Αν Α= {0,5,8,3,89}, τότε το Α. ii) Αν Α = {, {,5}, 8, 0}, τότε το Α. iii) Τα σύνολα
ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ
ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ 1.Έστω ο δειγματικός χώρος Ω = { 1,,, K,10} με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Να 4 βρείτε την πιθανότητα ώστε η συνάρτηση f ( x ) = x 4x + λ να
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 3. Δίνονται τα σύνολα 2
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΑ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω βασικό σύνολο Ω = {, 4, 5, 8, 0} και τα υποσύνολα του Ω, Α = {, 5, 0}, Β = {4, 8, 0} i) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn τα παραπάνω σύνολα ii) Να περιγράψετε
Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου
Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - 2 ο ΘΕΜΑ
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Ένα τηλεοπτικό παιχνίδι παίζεται με ζεύγη αντιπάλων των δυο φύλων. Στο παιχνίδι συμμετέχουν άντρες: ο Δημήτρης (Δ), ο Κώστας (Κ), ο Μιχάλης (Μ) και γυναίκες:
2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ -4 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ
Ορισμένες σελίδες του βιβλίου
Ορισμένες σελίδες του βιβλίου 7. Θεωρούμε το σύνολο αναφοράς 0,,. Να οριστούν τα σύνολα: Α. των τριψηφίων αριθμών που σχηματίζουν τα στοιχεία του Ω. Β. των τριψηφίων αριθμών με διαφορετικά ψηφία Γ. των
6. α) Να λύσετε την εξίσωση 2x 1 =3. β) Αν α, β με α< β είναι οι ρίζες της εξίσωσης του ερωτήματος (α), τότε να λύσετε την εξίσωση αx 2 +βx+3=0.
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. Δίνεται η εξίσωση λx=x+λ, με λr. α) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση γράφεται ισοδύναμα (λ )x=(λ )(λ+), λr. β) Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η παραπάνω εξίσωση
1 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 2008
ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 008 α). Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Ρ(x) με το πρωτοβάθμιο πολυώνυμο x ρ ισούται με την αριθμητική τιμή του Ρ(x) για x =
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Πότε µια συνάρτηση f σε ένα διάστηµα του πεδίου ορισµού της λέγεται γνησίως αύξουσα και πότε γνησίως φθίνουσα; 2. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος
ιδιαιτεραμαθηματα.gr ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ [Δεν είναι σκόπιμο να αποκαλύψεις στο παιδί σου ότι οι μεγάλοι άντρες δεν είχαν ιδέα από άλγεβρα] ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ: ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ Μ. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ: ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ
Κεφάλαιο 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 1
Κεφάλαιο 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 1 Εξίσωση πρώτου βαθμού ή πρωτοβάθμια εξίσωση με άγνωστο x ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής
Εξισώσεις. Κώστας Γλυκός. Τράπεζα θεμάτων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. εκδόσεις / 1 0 /
Εξισώσεις Κώστας Γλυκός Τράπεζα θεμάτων ΙΙ Ι δδ ιι ι αα ίί ί ττ εε ρρ αα μμ αα θθ ήή μμ αα ττ αα 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kgllykos..gr 5 / 0 / 0 6 εκδόσεις Ασκήσεις Πιθανότητες Τράπεζα θεμάτων. Δίνεται η
1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης
1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1. Έστω η εξίσωση (k 5k+ 4) x (k 1)x + 1= 0 Να βρείτε την τιµή του k ώστε η εξίσωση να έχει µία µόνο ρίζα την οποία ρίζα να προσδιορίσετε i Να βρείτε την τιµή του k ώστε η
1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.
Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή
Άλγεβρα Α Λυκείου Επαναληπτικές ασκήσεις
Άλγεβρα Α Λυκείου Επαναληπτικές ασκήσεις Δημήτρης Πατσιμάς Στέλιος Μιχαήλογλου ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΑ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω βασικό σύνολο Ω = {,,, 4, 5, 6,7,8,9, 0} και τα υποσύνολα του Ω, Α = {,,4,6},
1. Nα λυθούν οι ανισώσεις. 2. Nα λυθούν οι ανισώσεις. 3. Nα βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων: 4. Nα βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων:
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ. Nα λυθούν οι ανισώσεις α) 4 β) 4. Nα λυθούν οι ανισώσεις ( )( ) α) + > - (+) β). Nα βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων: ( ) ( ) 8 4 8 και
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1.Δίνεται η εξίσωση f x x 4x. Να βρείτε την τιμή του πραγματικού αριθμού λ για την οποία η
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δίνεται η εξίσωση fx x 4x Να βρείτε την τιμή του πραγματικού αριθμού λ για την οποία η εξίσωση f x 0 έχει: α) ρίζα το β) δύο ρίζες πραγματικές και άνισες γ) ρίζες ετερόσημες δ) Αν 3,
4.2 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 112 114
1. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 11 11 A Ομάδας 1. Να μετατρέψετε σε γινόμενα παραγόντων τα τριώνυμα: x 3x + x 3x Δ ( 3). 1. 9 8 1 > 0 Ρίζες: x Άρα ( 3) 1.1 3 1 3 1 ή 31 x 3x +
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Β ΦΑΣΗ. Ηµεροµηνία: Κυριακή 17 Απριλίου 2016 ιάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 016 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: A ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 016 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Να αποδείξετε ότι για οποιουσδήποτε πραγµατικούς αριθµούς
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΑ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΑ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω βασικό σύνολο Ω = {, 4, 5, 8, 0} και τα υποσύνολα του Ω, Α = {, 5, 0}, Β = {4, 8, 0} i) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn τα παραπάνω σύνολα ii) Να περιγράψετε
4 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης
1 4 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 31. Έστω Α, Β δύο ενδεχόµενα του ίδιου δειγµατικού χώρου. Αν Ρ(Α ) 0,8 και Ρ(Β ) 0,71 δείξτε ότι Ρ( Α Β) 1,01 Ρ( Α Β) i Το ενδεχόµενο Α Β δεν είναι το κενό. Έχουµε Ρ( Α
Θέματα. Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες)
Θέματα Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες) Β. Είναι Σωστή ή Λάθος καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις ; Θέμα α. Αν x
β. Να βρείτε την πιθανότητα πραγματοποίησης καθενός από τα δύο ενδεχόμενα του ερωτήματος α).
1.: Έννοια της Πιθανότητας Κεφάλαιο 1ο: Πιθανότητες ΑΣΚΗΣΗ 1 (_497) Ένα τηλεοπτικό παιχνίδι παίζεται με ζεύγη αντιπάλων των δυο φύλων. Στο παιχνίδι συμμετέχουν 3 άντρες: ο Δημήτρης (Δ), ο Κώστας (Κ), ο
4 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης
4 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 31. Έστω Α, Β δύο ενδεχόµενα του ίδιου δειγµατικού χώρου. Αν Ρ(Α ) 0,8 και Ρ(Β ) 0,71 δείξτε ότι Ρ( Α Β) 1,01 Ρ( Α Β) i Το ενδεχόµενο Έχουµε Α Βδεν είναι το κενό. Ρ( Α Β)
ΠΟΛΥΧΡΟΝΙΑΔΗΣ ΝΙΚΟΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ
ΘΕΩΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ). (α + β) = α +αβ + β ). (α β) = α αβ + β. 3). (α + β) 3 = α 3 + 3α β +3αβ + β 3 ). (α β) 3 = α 3 3α β +3αβ β 3. 5). α β = (α β)(α + β) 6). α + β = (α + β) αβ. 6). α 3 β 3
1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση:
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ Ερωτήσεις συµπλήρωσης 1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση: Φυσική γλώσσα Μαθηµατική γλώσσα ύο αριθµοί x, y διαφέρουν κατά και έχουν γινόµενο x (x
ΑΣΚΗΣΕΙΣ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Οµάδα η. Αν Ω={ω,ω,,ω 6 } είναι ο δ.χ ενός πειράµατος τύχης να βρείτε τις πιθανότητες Ρ(ω ),,Ρ(ω 6 ) αν είναι γνωστό ότι αυτές αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθµητικής προόδου µε
Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ
Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 10 ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ ΑΠΟ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΕΣ ΤΑΞΕΙΣ α ) Ταυτότητες 1. (a-β)(a+β)=a - b. (a ± b ) = a ± ab + b 3 3 3 3. (a ± b ) = a ± 3a b + 3ab
Α Λυκείου ΑΛΓΕΒΡΑ & ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
Α Λυκείου ΑΛΓΕΒΡΑ & ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ τράπεζαθεμάτων θέμαδεύτεροκαιτέταρτο Επιμέλεια: ΕμμανουήλΚ.Σκαλίδης ΑντώνηςΚ.Αποστόλου ΚόμβοςΑτσιποπούλου014-15 1 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1. Ένα κουτί περιέχει 5 άσπρες,
ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Άσκηση η Γραμμικά συστήματα Δίνονται οι ευθείες : y3 και :y 5. Να βρεθεί το R, ώστε οι ευθείες να τέμνονται. Οι ευθείες και θα τέμνονται όταν το μεταξύ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. β) x 9x. ε) (x 1) 3(x 1) 2(x 1) 0. (2x 1) x 128 0
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) x x 10x 0 5 x 9x γ) x 8x 0 x x x 0 x (x ) 9(x ) ε) (x 1) (x 1) (x 1) 0. Να λύσετε τις εξισώσεις: 5 α) x 0 7 γ) (x ) 1 0 (x 1)
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - 2 ου ΒΑΘΜΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 9). Να λυθούν οι εξισώσεις :
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ου ΒΑΘΜΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ). Να λυθούν οι εξισώσεις: α). + ( 3 ) 6 = 0 β). 4 ( 3 ) + 3 = 0 γ). + ( ) = 0 δ). 5 + 5 = 0 ε). 4( 3) + 5 + 6 6 = 0 στ).( + 3 ) ( 3 + ) ( 3 ) = 0 η). + (3 ) + (4 3 ) = 0
Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός
Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Θεωρία ως και την 3. Ασκήσεις: -5 Θεωρία ως και την 3.3 Ασκήσεις: 6-8 Άσκηση Δίνεται η παράσταση: A= 3 5 +
ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ Ερώτηση θεωρίας 1 ΘΕΜΑ Α Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση