Τάξη A Μάθημα: Άλγεβρα

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Τάξη A Μάθημα: Άλγεβρα"

Transcript

1 Τάξη A Μάθημα: Άλγεβρα Ερωτήσεις Θεωρίας Θέματα Εξετάσεων Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα

2 Περιεχόμενα Α. Θεωρία - Αποδείξεις.. Σελ. Β. Θεωρία-Ορισμοί. Σελ.16 Γ. Ερωτήσεις Σωστού Λάθους... Σελ.3 Δ. Θέματα Εξετάσεων......Σελ.35 Ε. Επαναληπτικά Θέματα......Σελ.38 Ζ. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα....Σελ

3 Α. Θεωρία-Αποδείξεις Θέμα 1 Έστω Ω= 1,,... ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος και σε ν εκτελέσεις τα απλά ενδεχόμενα 1,,... πραγματοποιούνται κ 1,κ, κ λ φορές αντιστοίχως με σχετικές συχνότητες f 1,f,...f λ να αποδείξετε ότι: f 1 +f +...f λ =1 Θέμα Για οποιαδήποτε ασυμβίβαστα μεταξύ τους ενδεχόμενα Α και Β να αποδείξετε ότι: Ρ( B) ( ) ( ). - -

4 Θέμα 3 Για δυο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Β να δείξετε ότι: Ρ( A ) 1 ( ) Θέμα 4 Για δυο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω να δείξετε ότι: ( ) ( ) ( ) ( )

5 Θέμα 5 Αν να αποδείξετε ότι: ( ) ( ) Θέμα 6 Για δυο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω να αποδείξετε ότι: Ρ(Α-Β)=Ρ(Α)-Ρ( A B).. Θέμα 7 Για τους θετικούς αριθμούς α, β και τον θετικό ακέραιο ν να αποδείξετε ότι Απόδειξη: - 4 -

6 ... Θέμα 8 Για τους θετικούς αριθμούς α, β και τον θετικό ακέραιο ν να αποδείξετε ότι Απόδειξη:... Θέμα 9 Αν α,β IR να αποδείξετε ότι: Απόδειξη: - 5 -

7 Θέμα 10 Αν α,β IR να αποδείξετε ότι: α + β α + β Απόδειξη: Αν α,β 0 να αποδείξετε ότι: Θέμα 11 α) β), 0 Απόδειξη: - 6 -

8 Θέμα 1 Αν α 0 και μ.ν,ρ φυσικοί αριθμοί διαφορετικοί από το μηδέν, να αποδείξετε ότι: α) β) Απόδειξη: Θέμα 13 Δίνεται η εξίσωση αx+β=0. α. Πότε η εξίσωση έχει μοναδική λύση και ποια είναι αυτή; β. Πότε η εξίσωση είναι αδύνατη και πότε έχει άπειρες λύσεις; Απόδειξη: Θέμα 14 Δίνεται η εξίσωση αx +βx+γ=0 με 0 και διακρίνουσα Δ=β -4αγ. Να αποδείξετε ότι: α. Αν Δ>0 τότε η εξίσωση έχει δυο ρίζες άνισες τις x 1, β. Αν Δ=0 τότε η εξίσωση έχει μια διπλή ρίζα την ρ= - 7 -

9 γ. Αν Δ<0 τότε η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες. Απόδειξη:... Θέμα 15 Δίνεται η εξίσωση αx +βx+γ=0, 0 με ρίζες x 1,x. Να αποδείξετε ότι: Απόδειξη: α) S=x 1 +x = β) Ρ=x 1 x = - 8 -

10 Θέμα 16 Να λυθεί και να διερευνηθεί η ανίσωση: αx+β>0 Απόδειξη: - 9 -

11 ... Θέμα 17 Αν θ>0 να αποδείξετε ότι: x <θ -θ<x<θ Απόδειξη:... Θέμα 18 Δίνεται το τριώνυμο f(x)=αx +βx+γ 0.Να αποδείξετε ότι: α. Αν Δ>0 τότε f(x)=α(x-x 1 )(x-x ) όπου x 1,x οι ρίζες του. β. Αν Δ=0 τότε f(x)=α(x-ρ) όπου ρ η διπλή ρίζα του. γ. Αν Δ<0 τότε το f(x) δεν αναλύεται σε γινόμενο παραγόντων. Απόδειξη:

12 Θέμα 19 Να δείξετε ότι ο ν ος όρος μιας αριθμητικής προόδου με πρώτο όρο α 1 και διαφορά ω είναι: α ν =α 1 +(ν-1)ω Απόδειξη:

13 Θέμα 0 Να αποδείξετε ότι τρεις αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου αν και μόνο αν ισχύει β=α+γ Απόδειξη: Θέμα 1 Να δείξετε ότι ο ν ος όρος γεωμετρικής προόδου με πρώτο όρο α 1 και λόγο λ είναι : α ν =α 1 λ ν-1 Απόδειξη: Θέμα Να αποδείξετε ότι τρεις μη μηδενικοί αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου αν και μόνο αν ισχύει: β =αγ Απόδειξη:

14 .... Θέμα 3 Να δείξετε ότι το άθροισμα των πρώτων ν όρων γεωμετρικής προόδου με λόγο λ 1 είναι: 1 S 1 1 Απόδειξη: Θέμα 4 Αν Α(x 1,y 1 ) και Β(x,y ) είναι τυχαία σημεία του επιπέδου, να αποδείξετε ότι η απόστασή τους δίνεται από τον τύπο (ΑΒ)= Απόδειξη: x1) (y y1) ( x

15 Θέμα 5 Αν Α(x 1,y 1 ) και Β(x,y ) είναι δυο τυχαία σημεία της ευθείας y=αx+β να αποδείξετε y y1 ότι: α= x x1 Απόδειξη:

16 Θέμα 6 Δίνονται οι ευθείες ε 1,ε με εξισώσεις ε 1 : y=α 1 x+β 1 και ε : y=α x+β. Να αποδείξετε ότι: ε 1 //ε α 1 =α. Απόδειξη:

17 Β. Θεωρία-Ορισμοί: 1. Να γράψετε τον ορισμό της απόλυτης τιμής ενός πραγματικού αριθμού.. Πότε μια συνάρτηση f με πεδίου ορισμού Α λέγεται άρτια και πότε περιττή; 3.Πότε ένας αριθμός α είναι μεγαλύτερος από έναν αριθμό β; 4.Πότε μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα και πότε γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της;

18 5.Τι ονομάζεται τετραγωνική ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α; 6.Τι ονομάζεται ν-οστή ρίζα (ν θετικός ακέραιος) ενός μη αρνητικού αριθμού α; 7. Τι ονομάζεται δύναμη με βάση α,α IR και εκθέτη ν,όπου ν φυσικός, ; 8.Τι λέγεται ταυτότητα; 9.Τι ονομάζεται απόσταση δυο αριθμών α και β και πως συμβολίζεται; 10.Πότε μια εξίσωση λέγεται δευτέρου βαθμού;

19 11.Πότε μια εξίσωση λέγεται διτετράγωνη; 1.Πως προκύπτει η γραφική παράσταση της συνάρτησης f με f(x)=φ(x)+c, c>0 13. Πως προκύπτει η γραφική παράσταση της συνάρτησης f με f(x)=φ(x)-c, c>0 14 Πως προκύπτει η γραφική παράσταση της συνάρτησης f με f(x)=φ(x-c), c>0 15. Πως προκύπτει η γραφική παράσταση της συνάρτησης f με f(x)=φ(x+c), c>0 16. Τι λέγεται κλειστό διάστημα από α μέχρι β;

20 17. Τι λέγεται συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β; 18. Έστω μια συνάρτηση f από το Α στο Β α. Τι λέγεται πεδίο ορισμού της f ; β. Τι λέγεται σύνολο τιμών και πως συμβολίζεται; 19. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α. Τι λέμε γραφική παράσταση της f; 0.Τι λέμε γωνία που σχηματίζει η ευθεία ε με τον άξονα των x

21 ... 1.Τι λέγεται συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας y=αx+β;.... Τι γνωρίζετε για την επίλυση της εξίσωσης x,α>0 και ν περιττό; 3. Τι γνωρίζετε για την επίλυση της εξίσωσης x,α>0 και ν άρτιο;. 4. Τι γνωρίζετε για την επίλυση της εξίσωσης x,α<0 και ν περιττό; - 0 -

22 5. Τι γνωρίζετε για την επίλυση της εξίσωσης x,α<0 και ν περιττό; 6. Τι λέγεται γραμμική εξίσωση με δυο αγνώστους; 7.Πότε μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α λέμε ότι παρουσιάζει μέγιστο στο x 0 και τι λέγεται μέγιστο της f; 8. Πότε μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α λέμε ότι παρουσιάζει ελάχιστο στο x 0 και τι λέγεται ελάχιστο της f; - 1 -

23 9.Τι λέγεται πολυωνυμική συνάρτηση ου βαθμού; 30. Τι λέγεται τριώνυμο ου βαθμού; 31.Τι γνωρίζετε για το πρόσημο των τιμών της συνάρτησης f(x)=αx +βx+γ,α 0 A(x) A(x) 3. Πως λύνουμε ανισώσεις της μορφής 0 ή 0 B(x) B(x) - -

24 33. Πως λύνουμε ανισώσεις της μορφής ( x) B(x)... (x) 0 (< 0 ) 34. Τι γνωρίζεται για τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x)= x ; Να την σχεδιάσετε. 35. Ποιο πείραμα λέγεται αιτιοκρατικό πείραμα; - 3 -

25 36. Ποιο πείραμα λέγεται πείραμα τύχης; 37. Τι λέγονται δυνατά αποτελέσματα η δυνατές περιπτώσεις ενός πειράματος τύχης; 38. Τι λέγεται δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης;. 39. Τι λέγεται ενδεχόμενο; - 4 -

26 40. Πότε ένα ενδεχόμενο λέγεται απλό και πότε σύνθετο; 41. Τι ονομάζεται βέβαιο ενδεχόμενο; Και τι αδύνατο ; 4. Πότε λέμε ότι ένα ενδεχόμενο πραγματοποιείται η συμβαίνει; 43. Τι ονομάζεται τομή και τι ένωση δυο συνόλων; Πως συμβολίζονται;

27 44. Να εκφραστούν με τη βοήθεια των συνόλων οι εκφράσεις ; α).το ενδεχόμενο Α πραγματοποιείται β). Το ενδεχόμενο Α δεν πραγματοποιείται; γ). Ένα τουλάχιστον από τα Α και Β πραγματοποιείται δ). Πραγματοποιούνται ταυτόχρονα τα Α και Β ε). Δεν πραγματοποιείται κανένα από τα Α και Β στ). Πραγματοποιείται μόνο το Α ζ). Η πραγματοποίηση του Α συνεπάγεται την πραγματοποίηση του Β η). Πραγματοποιείται μόνο ένα από τα Α και Β θ). Δεν πραγματοποιείται κανένα από τα Α και Β ι). Πραγματοποιείται το πολύ ένα από τα Α και Β. κ). Πραγματοποιείται το Α ή δεν πραγματοποιείται το Β

28 45. Πότε δυο ενδεχόμενα Α και Β λέγονται ασυμβίβαστα; 46. Τι ονομάζεται σχετική συχνότητα ενός ενδεχομένου Α; 47. Τι ονομάζεται στατιστική ομαλότητα ή νόμος των μεγάλων αριθμών; 48. Ποιος είναι ο κλασικός ορισμός της πιθανότητας; 49. Ποιος είναι ο αξιωματικός ορισμός της πιθανότητας; - 7 -

29 50.Τι λέγεται ακολουθία; Πότε μια ακολουθία λέγεται αριθμητική πρόοδος; Τι λέμε αριθμητικό μέσο των αριθμών α,γ; Να γράψετε τους τύπους που δίνουν το άθροισμα των πρώτων ν όρων αριθμητικής προόδου με διαφορά ω

30 54.Τι λέγεται γεωμετρική πρόοδος; Τι λέμε γεωμετρικό μέσο των α,γ; Όταν λ=1 με τι ισούται το άθροισμα των όρων της γεωμετρικής προόδου;. 57. Έστω α, β, γ, δ διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου. Ποιές σχέσεις ισχύουν για αυτούς τους όρους; Πως αποδείχνουμε ότι μια ακολουθία είναι αριθμητική πρόοδος και πως ότι είναι γεωμετρική πρόοδος;

31 59. Είναι σωστό ή λάθος ότι για μια ακολουθία (α ν ) ισχύει α ν =S ν -S ν Πως συμβολίζουμε τους όρους μιας αριθμητικής και μιας γεωμετρικής προόδου αν έχουμε άρτιο πλήθος όρων; Πως συμβολίζουμε τους όρους μιας αριθμητικής και μιας γεωμετρικής προόδου αν έχουμε περιττό πλήθος όρων; Τι λέγεται σύνολο; Πότε δυο σύνολα Α και Β Λέγονται ίσα;

32 Πότε ένα σύνολο Α λέγεται υποσύνολο ενός συνόλου Β; Τι λέγεται κενό σύνολο και πως συμβολίζεται; Πότε ένα σύνολο λέγεται συμπλήρωμα ενός συνόλου Α και πως συμβολίζεται;

33 Γ. Ερωτήσεις Σωστού Λάθους Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με Σωστό ή Λάθος: 1. Η εξίσωση (λ )x=009λ, λ IR έχει ακριβώς μια λύση.., Ισχύει: 4. Αν α =β τότε 5.Αν η διακρίνουσα του τριωνύμου f(x)=αx +βx+γ, 0 είναι ίση με μηδέν τότε f (x) x 6.Αν η ανίσωση x -x+γ>0 αληθεύει για κάθε 7. Αν θ>0 τότε: x <θ x<-θ ή x>θ x IR τότε γ>1 8. Αν Α(x 1,y 1 ) και Β(x,y ) είναι τυχαία σημεία του επιπέδου, τότε η απόστασή τους δίνεται από τον τύπο (ΑΒ)= y) (x1 y1) ( x 9.Το τριώνυμο αx +βx+γ=0, 0 είναι ετερόσημο του α μόνο όταν Δ>0 και για τις τιμές του x που βρίσκονται μεταξύ των ριζών 10.Αν α IR τότε 11. Η εξίσωση x ν =α με α<0 και ν περιττός είναι αδύνατη 1. Η εξίσωση αx +βx+γ=0, 0 με αγ<0 έχει πάντοτε δυο ρίζες πραγματικές και άνισες 13. d(α,β)= β-α 14. Αν x 1,x οι ρίζες του τριωνύμου f(x)=αx +βx+γ 0 τότε f(x)=(x-x 1 )(x-x ) 15. Αν η ευθεία y=αx+β σχηματίζει με τον άξονα x x γωνία αμβλεία τότε α>

34 16.Αν α<β και γ<δ τότε α-γ<β-δ 17. α-β = β-α α,β IR 18.Τα σημεία Μ(α,β) και M (β,α) είναι συμμετρικά ως προς τον άξονα 19. Η εξίσωση αx+β=0 είναι αδύνατη όταν α=0 και β=0 0. Μια γνησίως μονότονη συνάρτηση έχει μια το πολύ ρίζα 1. Η εξίσωση αx +βx+γ=0, 0 έχει δυο ρίζες πραγματικές και άνισες όταν Δ>0.Αν θ>0 ισχύει: x = θ x=θ ή x=-θ 3.Η σχέση 0 ισχύει για κάθε R 4.Για κάθε α, β, γ IR ισχύει: αγ=βγ τότε α=β x x 5.Ισχύει η ισότητα:, 0, 0 6. Για κάθε πραγματικό αριθμό α,β ισχύει η ισότητα : α 3 +β 3 =(α+β)(α +αβ+β ) 7.Αν α=0 και β 0 τότε η εξίσωση αx+β=0 έχει μοναδική λύση την x=0 8. Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α λέγεται περιττή αν ισχύει f(-x)=f(x) 9. Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα 30.Έστω το τριώνυμο f(x)=αx +βx+γ 0. Αν Δ<0 και γ>0 τότε το f(x) είναι αρνητικό για κάθε x IR 31. Η ανίσωση x x 0, 0 αληθεύει για όλα τα x IR x 1 3. Οι ανισώσεις 1 x 1 και x-1>x+1 έχουν τις ίδιες λύσεις 33. Η ακολουθία (α ν ) με α ν+1 =α ν +5 είναι αριθμητική πρόοδος. 34. Αν οι αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου τότε α+γ=β

35 35. Αν οι αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου τότε α+γ=β 36. Οι αριθμοί -4, -1, με τη σειρά που δίνονται είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. ( 1 ) 37. Το άθροισμα των ν πρώτων όρων αριθμητικής προόδου είναι: S 38. Αν α, β, γ διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου τότε β-α=γ-β 39. Ο νιοστός όρος α ν μιας γεωμετρικής προόδου με λόγο λ είναι α ν =α 1 λ ν 40. Ο λόγος μια γεωμετρικής προόδου μπορεί να είναι Αν α, β, γ διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου τότε 4. Αν ο λόγος μιας γεωμετρικής προόδου είναι 1 τότε είναι: S ν =να Η ακολουθία (α ν ) με α ν+1 =5α ν είναι γεωμετρική πρόοδος 44 Αν ισχύει β =α+γ τότε οι α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου. 45. Αν Α και Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω, τότε ισχύει: α. P(A) P(A B) β. P(A B) P(A) 46. Για κάθε ενδεχόμενο Α ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: P(A) P(A ) Ισχύει: P(A B) P(A B) P(A) P(B) 48. Αν A B τότε P(A) P(B) 49. Αν Α,Β ενδεχόμενα του Ω ισχύει: P(A-B)+P(B)=P(B-A)+P(A) 50. Ισχύει πάντοτε P(A B) P(A B) 51. Οι κανόνες λογισμού των πιθανοτήτων ισχύουν και στην περίπτωση που τα απλά ενδεχόμενα δεν είναι ισοπίθανα. 5. Όταν έχουμε ένα δειγματικό χώρο Ω και χρησιμοποιούμε τη φράση παίρνουμε τυχαία ένα στοιχείο του Ω εννοούμε ότι όλα τα δυνατά αποτελέσματα είναι ισοπίθανα. 53. Ο αξιωματικός ορισμός χρησιμοποιείται όταν ο δειγματικός χώρος δεν αποτελείται από ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα

36 Δ. Θέματα Εξετάσεων Θέμα 1 A. I) Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως Σωστό ή Λάθος α. Αν α 0 η εξίσωση αx+β=0 έχει ακριβώς μία λύση την x=-. β. Αν α,β ομόσημοι, τότε αβ>0 και >0 γ. Αν α>β και γ>δ τότε α+γ<β+δ δ. Ισχύει =α ε. Ισχύει, α,β>0 II) Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες: α. Αν α>0 τότε =... β. Η εξίσωση αx +βx+γ=0, α 0 αν Δ>0 με Δ=... έχει ρίζες άνισες τις x 1, =... γ. Αν θ>0 τότε x =θ x=... ή x=... δ. =... Β. Να αποδειχθεί ότι η απόλυτη τιμή του γινομένου δύο αριθμών ισούται με το γινόμενο των απολύτων τιμών τους Θέμα A. Να λύσετε τις εξισώσεις x = και x -4=0. B. Οι παραπάνω λύσεις είναι και λύσεις της ανίσωσης x 1 >4; Δικαιολογείστε την απάντησή σας Θέμα 3 Δίνεται η εξίσωση λx +5x+10=0, α. Για ποια τιμή του λ έχει μία ρίζα; β. Για ποια τιμή του λ έχει μία ρίζα διπλή; γ. Να βρεθεί η διπλή ρίζα Θέμα 4 α. Να βρείτε το πρόσημο το τριωνύμου f(x)=-x +x-5. β. Να λύσετε την ανίσωση -x +x-5 3x Θέμα 5 Να λυθεί η ανίσωση: x-3 -x -x+6 <0. x -5x

37 Θέμα 6 Δίνεται η εξίσωση x -4x+λ+1=0. α. Για ποιές τιμές του λ η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες; β. Αν x 1,x είναι οι ρίζες της παραπάνω εξισώσεως, να βρεθεί η τιμή του λ, έτσι x1 x ώστε να ισχύει =. x x Θέμα 7 3 x-1 +1 x Να λυθεί η εξίσωση - x-1 = Θέμα 8 Δίνεται η εξίσωση x -λx+λ(λ+1)=0 (1) όπου λr. α. Αν S, P είναι το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών της (1) αντίστοιχα και S+P=4, να βρεθεί το λr. β. Για την μικρότερη τιμή του λ να βρεθεί η τιμή της παραστάσεως A=3x 1 +5x 1 x +3x όπου x 1,x οι ρίζες της (1) Θέμα 9 Α. Αν x 1,x είναι οι ρίζες της εξίσωσης αx +βx+γ=0, α0 να δείξετε ότι S=x 1 +x = και P=x 1 x =. B. Δίνεται η εξίσωση x +3x-4=0. Αν x 1,x είναι οι ρίζες της, να κατασκευάσετε την εξίσωση που έχει ρίζες το ζεύγος των αριθμών 3x 1 -, 3x Θέμα 10 Δίνεται η εξίσωση: x +λx-=0 (1) α.. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (1) έχει πάντα δύο λύσεις για κάθε τιμή του λ β. Να λύσετε την εξίσωση για λ= Θέμα 11 Δίνεται η εξίσωση: x -x-5=0, με ρίζες τους αριθμούς x 1, x. Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων: α. x 1 +x β. x 1 x γ. x 1 x +x 1 x Θέμα 1 α. Να λύσετε την εξίσωση: 3x 1 = 5 β. Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων: x x 3 (x -5) x < 5 και >

38 Θέμα 13 α.. Να λύσετε την εξίσωση: x +x-1=0. β. Δίνεται η εξίσωση: x - x -5 = 0. Εάν έχει ρίζες x 1, x να υπολογιστούν οι τιμές των παραστάσεων : i. x 1 +x ii. x 1 x iii. x 1 +x (Χωρίς να βρείτε τις ρίζες) Θέμα 14 Δίνεται η εξίσωση x -λx+λ-1=0, λ R. i. Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει πραγματικές λύσεις. ii. Να βρεθεί ο λ ώστε η (1) να έχει διπλή ρίζα την οποία να βρείτε. iii. Αν x 1,x είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης να βρείτε το λ ώστε να ισχύει x 1 +x =3λ. iv. Να κατασκευάσετε εξίσωση δευτέρου βαθμού με ρίζες: ρ 1 =3x 1 - και ρ =3x Θέμα 15 Δίνεται η συνάρτηση f(x)= x-1 - λ, IR α. Αν η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο Α(-, 1) να δείξτε ότι λ= β. Για την τιμή λ= να γράψετε την συνάρτηση και να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση είναι πάνω από τον άξονα χ χ γ. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης 008 x g(x) x 1 x 4x Θέμα 16 α. Να βρείτε (με πίνακα) το πρόσημο του τριωνύμου -x +x+15 β. Δίνεται η συνάρτηση f(x)= -x +x , x [-3,5] 1. Να γράψετε την f χωρίς απόλυτα. Να βρείτε την τιμή f(1+ ) 3. Να λυθεί η ανίσωση f(x) -001x

39 Ε. Επαναληπτικά Θέματα Άλγεβρα Α Λυκείου Επαναληπτικά Θέματα Θέμα 1 Έστω Α=λ +5λ-3 και Β=λ -9, λ R α. Να λύσετε την εξίσωση Α=0 β. Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις Α και Β. γ. Να βρεθούν οι τιμές του λ για τις οποίες η εξίσωση Αx=Β έχει μοναδική λύση,την οποία και να προσδιορίσετε συναρτήσει του λ Θέμα Για ποιες τιμές του k η ανίσωση x 1 +kx+ (-3k)>0 αληθεύει για κάθε x R ; 16 Θέμα 3 3x 4 Α. Να λυθεί η ανίσωση : x 3 Β. Για τις τιμές του x που βρήκατε στην παραπάνω ανίσωση να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης Κ= x+ -3 x-3 -x+7 Θέμα 4 Δίνεται η εξίσωση : x -(3λ-)x +λ+1=0 με λ R. Αν ρ 1,ρ είναι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης διάφορες του μηδενός α. Να υπολογιστούν οι παραστάσεις : ι. ρ 1 +ρ ιι. ρ 1 ρ β. Να βρεθούν οι τιμές του λ ώστε να ισχύει η 1 1 σχέση: 1 1 Θέμα 5 Δίνεται η εξίσωση x -3x+λ-1=0. (1) α. Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η εξίσωση (1) έχει πραγματικές ρίζες β. Αν ρ 1,ρ οι πραγματικές ρίζες τηςεξίσωσης (1) να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες ισχύει

40 Θέμα 6 Αν είναι x-3 και y+3 5 α. Να βρείτε μεταξύ ποιών τιμών βρίσκονται οι πραγματικοί x και y β. Να βρείτε μεταξύ ποιών τιμών βρίσκεται η τιμή της παράστασης Κ=x-y Θέμα 7 Α. Να λύσετε την εξίσωση : x +x-3=0 Β. Να λύσετε την ανίσωση: 3- x x 1 Γ. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f(x)= x x 3 Θέμα 8 x Δίνεται η συνάρτηση f(x)= x x α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης β. Να απλοποιήσετε τον τύπο της συνάρτησης γ. Να λύσετε την ανίσωση : f(x) <1 Θέμα 9 Δίνεται η εξίσωση (λ-)x -λx +1=0 (1) α. Να δείξετε ότι η (1) έχει δυο ρίζες πραγματικές και άνισες β. Αν x 1,x οι ρίζες της (1) να βρεθεί ο λ ώστε : x 1 +x >λ Θέμα 10 Δίνεται η εξίσωση : λx -x-λ=0,λ 0 (1) α. Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει δυο ρίζες άνισες για κάθε λ 0 β. Αν x 1,x οι ρίζες της (1) να υπολογίσετε τις παραστάσεις x 1 +x και x 1 x γ. Να βρεθεί ο πραγματικός λ ώστε x 1 +x >3-39 -

41 Να λυθεί η ανίσωση : Θέμα 11 x x Θέμα 1 Δίνεται η εξίσωση x -3x+ λ-1 =0 (1) α. Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε να έχει ρίζες πραγματικές β. Αν x 1,x οι ρίζες της (1) και ισχύει x 1 =x να βρείτε τις ρίζες x 1,x και το λ. Θέμα 13 Δίνεται η εξίσωση λx -x-λ=0, λ 0 (1) α. Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει δυο ρίζες άνισες για κάθε λ 0 β. Αν x 1, x οι ρίζες της (1) να υπολογίσετε τις παραστάσεις i) x 1 +x ii) x 1 x x1 x γ) Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός λ ώστε 1 x x Θέμα 14 x Δίνεται η συνάρτηση f (x) x x α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης β) Να απλοποιήσετε τον τύπο της συνάρτησης γ) Να βρείτε την τιμή f ( ) Θέμα 15 Να λυθεί το σύστημα των ανισώσεων x 3 4 x x(3-x)+x>(x-5)-5x-6 Θέμα 16 5 x Δίνεται η συνάρτηση f (x) x 1 4 α. Να αποδείξετε ότι f(3)=- β. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης γ. Να λύσετε την εξίσωση x 4 +x +f(3)=

42 Θέμα 17 Έστω το τριώνυμο f(x)=-3x +11x+4 α) Να αναλύσετε το τριώνυμο f(x) σε γινόμενο. β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g(x) f (x) 4 f (x) γ) Να απλοποιήσετε την παράσταση: K(x) x(x 8) 16 δ) Να βρείτε για ποιες τιμές του x ισχύει: K(x) 1. Θέμα 18 Δίνονται οι συναρτήσεις f (x) x 10x 5 και g(x) x 5 α. Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των f και g β. Να βρείτε τις τιμές του x IR για τις οποίες η γραφική παράσταση της f βρίσκεται κάτω από την ευθεία y= γ. Αν 1<x<5 να βρείτε την τιμή της παράστασης Α= 10x 5 x 1 Θέμα 19 α. Δίνεται η συνάρτηση f(χ)= x 6x χ Να αποδειχθεί ότι 5 f(1) =005 f(0). β. Να βρεθεί το πρόσημο του τριωνύμου χ -6χ+5. γ. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης : x g(χ) = 005x x 6x x Θέμα 0 Α. Να βρείτε το πρόσημο του τριωνύμου: - x +x+15 Β. Δίνεται η συνάρτηση f(x)= - x +x , x[-3,5] i. Να γράψετε τον τύπο της f χωρίς απόλυτα ii. Να βρείτε την τιμή f(1+ ) iii. Να λυθεί η ανίσωση f(x) -004x

43 Θέμα 1 Για τα ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν: P(A), P(A B) και P(A B) Να βρεθούν οι πιθανότητες: P(A) και P(B) Θέμα Για τα ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν: P(A ) 0,7, P(B ) 0, 6 και P(A B) 0, 4 Να βρεθούν οι πιθανότητες: P(A B) και P(B-Α) Θέμα 3 Για τα ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν: P(A) 0,3, P(B) 0, 4 και P(A B) 0, 6 Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων: α. Να μην πραγματοποιηθεί το Α β. Να πραγματοποιηθούν συγχρόνως τα Α, Β γ. Να πραγματοποιηθεί μόνο το Β δ. Να πραγματοποιηθεί μόνο ένα από τα Α, Β ε. Να πραγματοποιηθεί το πολύ ένα από τα Α, Β Θέμα 4 Για τα ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν: 5 3 P(A) και P(B) 1 4 α. Να εξετάσετε αν τα ενδεχόμενα είναι ασυμβίβαστα 1 5 β. Να αποδείξετε ότι: P(A B) 6 1 Θέμα 5 Για τα ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν: P(A)=0,3 και P(B)=0,4. Να αποδείξετε ότι: 0,4 P(A B) 0, 7 Θέμα 6 Για τα ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν: P(A)=0,3 και P(B)=0,. Να αποδείξετε ότι: 0,1 P(A B) 0, 3 Θέμα 7 Μια τάξη έχει 1 αγόρια και 15 κορίτσια. Τα 3 των αγοριών και τα 5 3 των κοριτσιών έχουν ποδήλατο. Επιλέγουμε τυχαία ένα άτομο. Να βρείτε την πιθανότητα να είναι κορίτσι ή να έχει ποδήλατο

44 Θέμα 8 Σε μια γεωμετρική πρόοδο είναι α 1 =3λ και α 1 +α =18, όπου λ ο λόγος της προόδου. Α. Να βρείτε τον πρώτο όρο και τον λόγο της προόδου. Β. Nα βρείτε το άθροισμα των τεσσάρων πρώτων όρων. Γ. Να υπολογίσετε το άθροισμα α 15 +α 16 +α 17 +α 18 +α 19 +α 0. Θέμα 9 Α. Αν οι θετικοί αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, να δείξετε ότι και οι αριθμοί,, είναι επίσης διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. Β. Σε μια αριθμητική πρόοδο είναι S 0 =1030 και α 10 -α 3 =35. Να βρείτε: i) τον πρώτο όρο και τη διαφορά της προόδου. ii) το άθροισμα από τον δεύτερο μέχρι και τον εικοστό όρο. Θέμα 30 Α. Για ποια τιμή του x>0 οι αριθμοί 14x, x 4 και 36 είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. Β. Να βρεθεί η διαφορά της προόδου. Γ. Αν ο 14x είναι ο τρίτος όρος της αριθμητικής προόδου να βρεθεί ο πρώτος όρος της. Δ. Να υπολογίσετε το άθροισμα των 0 πρώτων όρων της προόδου. Θέμα 31 Δίνονται οι αριθμοί α=x -x, β=3x, γ=1-10/x, x>0. Α. Aν οι αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου να βρεθεί το x. Β. Ο αριθμός α είναι ο 4 ος όρος της προόδου. Να βρεθεί ο πρώτος όρος α 1 της προόδου. Θέμα 3 Να βρείτε τρεις αριθμούς για τους οποίους ισχύουν τα εξής: α. είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου β. έχουν άθροισμα 15 γ. αν σ αυτούς προσθέσουμε τους αριθμούς 1,4,19 αντίστοιχα θα γίνουν διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου. Θέμα 33 Να βρεθούν τέσσερις διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, οι οποίοι να έχουν γινόμενο μεσαίων όρων

45 Ζ. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Διαγώνισμα 1 0 Θέμα Α Α1 Αν x 1, x είναι οι ρίζες της εξίσωσης αx +βx+γ=0 με α0, να αποδείξετε ότι το άθροισμα S=x 1 +x και το γινόμενο Ρ=x 1 x δίνονται από τους τύπους: S και Μονάδες 10 Α. Δίνεται η εξίσωση αx +βx+γ=0 με α0 και διακρίνουσα Δ=β -4αγ. Για τις διάφορες τιμές του Δ να αναφέρεται πόσες και ποιες είναι οι πραγματικές ρίζες της εξίσωσης. Μονάδες 5 Α3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α), όπου α, β 0 πραγματικοί και ν ακέραιος αριθμός. β) Αν οι πραγματικοί αριθμοί α και β είναι ομόσημοι τότε: =. γ) Αν οι αριθμοί α και β είναι πραγματικοί τότε: α+β=0 α=β=0. δ) Η εξίσωση αx + β = 0 με α, βir, είναι αδύνατη αν α=0 και β=0. ε) Η εξίσωση x ν =α για α<0 και ν θετικό ακέραιο είναι πάντα αδύνατη. Μονάδες 10 Θέμα Β 4 x 3 1 Β1. Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: 7 και 5 8 x x - 8 > 5 3 Mονάδες 15 Β. Να βρείτε στον άξονα των πραγματικών αριθμών το διάστημα που συναληθεύουν οι παραπάνω ανισώσεις. Mονάδες

46 Θέμα Γ Δίνονται οι εξισώσεις : x -x-6=0, (1) και x -(μ +1)x+μ -=0, μir, (). Γ1. Να βρείτε τις ρίζες της (1) και να δείξετε ότι η εξίσωση () έχει πραγματικές ρίζες, για όλες τις τιμές της παραμέτρου μ. Μονάδες 10 Γ. Αν η θετική ρίζα της (1) επαληθεύει και την () να βρείτε τις τιμές του μ. Μονάδες 7 x1 x Γ3. Αν για τις ρίζες x 1 και x της () ισχύει ότι 1,να βρείτε τις τιμές του μ x1 x και να τις γράψετε με μορφή κλάσματος με ρητό παρανομαστή. Μονάδες 8 Θέμα Δ Δίνεται η συνάρτηση: f (x) 5 x x 1 4 Δ1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. Μονάδες 8 Δ. Να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της f τέμνει τους άξονες x x και y y Μονάδες 8 Δ3. Να δείξετε ότι f(3) = -1 και στη συνέχεια να λύσετε την εξίσωση: x x f (3) 0 Μονάδες

47 Θέμα Α Διαγώνισμα 0 Α1 i. Να δείξετε ότι ο ν ος όρος μιας αριθμητικής προόδου με πρώτο όρο α 1 και διαφορά ω είναι: α ν =α 1 +(ν-1)ω Μονάδες 10 ii. Ποιος είναι ο κλασικός ορισμός της πιθανότητας; Μονάδες 7 Α. Να γράψετε στη κόλα σας το γράμμα Σ(σωστό) ή Λ(λάθος) δίπλα στον αριθμό που αντιστοιχεί στις παρακάτω ερωτήσεις: 1. Εάν x = -3 τότε x = 3 ή x = -3.. Η εξίσωση που έχει ρίζες τους αριθμούς 1 και 1 είναι x - 3x + 1 = Για κάθε πραγματικό αριθμό x ισχύει: 3x = 3 x. 5. Εάν x 5 = x + 5, τότε είναι x > 0. Μονάδες 8 Θέμα Β Θεωρούμε την εξίσωση: (x 1) λ(x 3) = 0, (1) λ R. Αν x 1, x είναι οι ρίζες της (1) να δειχθεί ότι η παράσταση K= x είναι ανεξάρτητη του λ. 3 1 x 3 Μονάδες 5 Θέμα Γ Δίνεται η εξίσωση x 6x + 3λ 1 = 0, λ R. Για ποιες τιμές του λ R η εξίσωση έχει: Γ1. Μια διπλή ρίζα. Μονάδες 5 Γ. ρίζες ετερόσημες. Μονάδες 10 Γ3. Εάν x 1, x οι ρίζες της, να βρεθεί ο λ R ώστε: Θέμα Δ 1 x 1 1 1, λ. x 5 3 Μονάδες 10 Δ1. Δίνεται η εξίσωση: x + (λ - 1)x + 1 = 0 (1) 1. Να βρεθεί η διακρίνουσα Δ αυτής. Μονάδες 5. Για ποιες τιμές του λ R η (1) δεν έχει πραγματικές ρίζες. Μονάδες 5 (x 1)(x x 5) Δ. Να λυθεί η ανίσωση: 0 x 6x 8 Μονάδες

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 0 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1. Για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει η σχέση ( ) ( ) ( ).. Ισχύει ότι P( A B) P( A

Διαβάστε περισσότερα

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Γ Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_3.ΜλΑ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α A.. Α.. Α.3. ΘΕΜΑ Β Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή Απριλίου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1 Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Θ έ μ α Α Α. α. Πότε η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 έχει διπλή ρίζα; Ποια είναι η διπλή ρίζα της; 4 μονάδες β. Ποια μορφή παίρνει το τριώνυμο αx + βx + γ, α 0, όταν Δ = 0; 3 μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ

ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ. Δύο ομάδες Ο, Ο παίζουν μεταξύ τους σε μια σχολική ποδοσφαιρική συνάντηση (οι αγώνες δεν τελειώνουν ποτέ με ισοπαλία). Νικήτρια θεωρείται η ομάδα που θα νικήσει

Διαβάστε περισσότερα

ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός

ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός 01 ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παραπάνω φυλλάδιο φτιάχτηκε για να προσφέρει λίγη βοήθεια κυρίως στους

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2 Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α ) = 3Ρ(Α), Ρ(Β ) = 1/3 και () 3()

ΘΕΜΑ 2 Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α ) = 3Ρ(Α), Ρ(Β ) = 1/3 και () 3() ΘΕΜΑ 1 Ένα Λύκειο έχει 400 μαθητές από τους οποίους οι 00 είναι μαθητές της Α τάξης Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή, η πιθανότητα να είναι μαθητής της Γ τάξης είναι 0% Να βρείτε: i Το πλήθος των μαθητών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ένα Λύκειο έχει 400 μαθητές από τους οποίους οι 00 είναι μαθητές της Α τάξης. Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή, η πιθανότητα να είναι μαθητής της Γ τάξης είναι 0%. Να βρείτε: i. Το πλήθος των μαθητών

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ε.1 I. 1. α 2 = 9 α = 3 ψ p: α 2 = 9, q: α = 3 Σύνολο αλήθειας της p: Α = {-3,3}, Σύνολο αλήθειας της q: B = {3} A B 2. α 2 = α α = 1 ψ p: α 2 = α, q: α = 1 Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ και ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ και ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ και ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1.ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1.1 Σε ένα σχολείο με 00 μαθητές, οι 90 έχουν ποδήλατο, 36 έχουν «παπί», ενώ 84 άτομα δεν έχουν ούτε ποδήλατο ούτε παπί. Διαλέγουμε

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑ 1 ο α) Αν χ 1, χ ρίζες της εξίσωσης αχ +βχ+γ=0, 0 να δείξετε ότι S 1 και P 1 Μον. 10 β) Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,...

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,... 3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν-1 +...+α

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Λ. ΑΙΔΗΨΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Λ. ΑΙΔΗΨΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Λ. ΑΙΔΗΨΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 01-013 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 1 ο Α. Έστω a ένας πραγματικός αριθμός. Να δώσετε τον ορισμό της απόλυτης

Διαβάστε περισσότερα

β) Αν κάποιος αριθµός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι 1 1 1 9 < α

β) Αν κάποιος αριθµός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι 1 1 1 9 < α ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος (α). x 1. ίνονται οι ανισώσεις: 3x 1

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Δίνονται οι συναρτήσεις

ΘΕΜΑ 2. Δίνονται οι συναρτήσεις ΘΕΜΑ 2 Δίνονται οι συναρτήσεις (, x R 3 f ( x) = x και g x) = x α) Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f, g τέμνονται σε τρία σημεία τα οποία και να βρείτε. (Μονάδες 13) β) Αν Α, Ο,

Διαβάστε περισσότερα

( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και

( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο : f( ) α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. β. Να βρείτε τα σημεία τομής της με τους άξονες αν υπάρχουν. γ. Αν α, β ρίζες της εξίσωσης: ΘΕΜΑ ο f ( ), να δείξετε ότι αβ+=0.

Διαβάστε περισσότερα

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα 1+α < 1+ α. α+α

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα 1+α < 1+ α. α+α ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος (α). x 1. ίνονται οι ανισώσεις: 3x 1

Διαβάστε περισσότερα

( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και

( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο : f( x) α Να βρείτε το πεδίο ορισμού της x x x x β Να βρείτε τα σημεία τομής της με τους άξονες αν υπάρχουν γ Αν α, β ρίζες της εξίσωσης: ΘΕΜΑ ο x x f ( x), να δείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Α Λυκείου. Αξίζει να τονίσω ότι οι περισσότερες από τις ασκήσεις αυτές προήλθαν από διάφορα εξωσχολικά βιβλία και ιστοσελίδες συναδέλφων.

Άλγεβρα Α Λυκείου. Αξίζει να τονίσω ότι οι περισσότερες από τις ασκήσεις αυτές προήλθαν από διάφορα εξωσχολικά βιβλία και ιστοσελίδες συναδέλφων. Άλγεβρα Α Λυκείου Το υλικό αυτό αποτελείται από μικρές θεωρητικές υποδείξεις και ασκήσεις και προβλήματα που έχω αξιοποιήσει στην τάξη μου για τη διδασκαλία της Άλγεβρας της Α Λυκείου (Ημερήσιο Γενικό

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

ιδιαιτεραμαθηματα.gr ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ιδιαιτεραμαθηματα.gr ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ [Δεν είναι σκόπιμο να αποκαλύψεις στο παιδί σου ότι οι μεγάλοι άντρες δεν είχαν ιδέα από άλγεβρα] ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ: ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ Μ. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ: ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 3. Δίνονται τα σύνολα 2

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 3. Δίνονται τα σύνολα 2 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΑ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω βασικό σύνολο Ω = {, 4, 5, 8, 0} και τα υποσύνολα του Ω, Α = {, 5, 0}, Β = {4, 8, 0} i) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn τα παραπάνω σύνολα ii) Να περιγράψετε

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

4.2 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 112 114

4.2 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 112 114 1. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 11 11 A Ομάδας 1. Να μετατρέψετε σε γινόμενα παραγόντων τα τριώνυμα: x 3x + x 3x Δ ( 3). 1. 9 8 1 > 0 Ρίζες: x Άρα ( 3) 1.1 3 1 3 1 ή 31 x 3x +

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΑ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΑ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΑ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω βασικό σύνολο Ω = {, 4, 5, 8, 0} και τα υποσύνολα του Ω, Α = {, 5, 0}, Β = {4, 8, 0} i) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn τα παραπάνω σύνολα ii) Να περιγράψετε

Διαβάστε περισσότερα

β. Να βρείτε την πιθανότητα πραγματοποίησης καθενός από τα δύο ενδεχόμενα του ερωτήματος α).

β. Να βρείτε την πιθανότητα πραγματοποίησης καθενός από τα δύο ενδεχόμενα του ερωτήματος α). 1.: Έννοια της Πιθανότητας Κεφάλαιο 1ο: Πιθανότητες ΑΣΚΗΣΗ 1 (_497) Ένα τηλεοπτικό παιχνίδι παίζεται με ζεύγη αντιπάλων των δυο φύλων. Στο παιχνίδι συμμετέχουν 3 άντρες: ο Δημήτρης (Δ), ο Κώστας (Κ), ο

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός

Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Θεωρία ως και την 3. Ασκήσεις: -5 Θεωρία ως και την 3.3 Ασκήσεις: 6-8 Άσκηση Δίνεται η παράσταση: A= 3 5 +

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ; ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά

Διαβάστε περισσότερα

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; 2. Aν α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = βα + β, Β = α β + αβ

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; 2. Aν α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = βα + β, Β = α β + αβ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 Α ν ι σ ω σ η 1 ο υ β α θ μ ο υ 3. Να δειχτει οτι α + 110 0α. Ποτε ισχυει το ισον; Μορφη: αx + β > 0 με α,β. Aν α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = βα + β, Β = α β + αβ Αν α > 0

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου ΑΛΓΕΒΡΑ & ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Α Λυκείου ΑΛΓΕΒΡΑ & ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α Λυκείου ΑΛΓΕΒΡΑ & ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ τράπεζαθεμάτων θέμαδεύτεροκαιτέταρτο Επιμέλεια: ΕμμανουήλΚ.Σκαλίδης ΑντώνηςΚ.Αποστόλου ΚόμβοςΑτσιποπούλου014-15 1 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1. Ένα κουτί περιέχει 5 άσπρες,

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε Ν β K C Ε -α Ο α Ε Τάξη B Μ -β Λ Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Διανύσματα Ερωτήσεις θεωρίας 1. Πως ορίζεται το διάνυσμα;. Τι λέγεται μηδενικό διάνυσμα;

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα. Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες)

Θέματα. Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες) Θέματα Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες) Β. Είναι Σωστή ή Λάθος καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις ; Θέμα α. Αν x

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Α Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου

Άλγεβρα Α Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου Άλγεβρα Α Λυκείου Στέλιος Μιχαήλογλου wwwaskisopolisgr Άλγεβρα Α Λυκείου Οι πράξεις των πραγματικών αριθμών και οι ιδιότητες τους Αν οι αριθμοί α,β είναι αντίστροφοι, να αποδείξετε ότι: 7 4 : 8 0 7 Να

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού 97 98 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση: 1 1 1 ( x+ )(x ) = x 3 3 9. Αν η εξίσωση (x - 3) λ + 3 = λ x έχει ρίζα τον αριθμό, να υπολογιστεί

Διαβάστε περισσότερα

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ 6. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ονομάζουμε συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β μια διαδικασία (κανόνα) f, με την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς

Διαβάστε περισσότερα

τριώνυμο Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι:

τριώνυμο Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι: κεφάλαιο 4 Α τριώνυμο επίλυση της εξίσωσης δευτέρου βαθμού Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι: αx + βx + γ

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Άσκηση η Γραμμικά συστήματα Δίνονται οι ευθείες : y3 και :y 5. Να βρεθεί το R, ώστε οι ευθείες να τέμνονται. Οι ευθείες και θα τέμνονται όταν το μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση:

1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ Ερωτήσεις συµπλήρωσης 1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση: Φυσική γλώσσα Μαθηµατική γλώσσα ύο αριθµοί x, y διαφέρουν κατά και έχουν γινόµενο x (x

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11 2. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 3. Δίνεται ο πίνακας: 3 3 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ ο. Ένα κουτί περιέχει άσπρες, μαύρες, κόκκινες και πράσινες μπάλες. Οι άσπρες είναι 5, οι μαύρες είναι 9, ενώ οι κόκκινες και οι πράσινες μαζί είναι 6. Επιλέγουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Η εξίσωση α + βy = γ 1. Υπάρχουν προβλήματα που η επίλυση τους οδηγεί σε μια γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους, y και η οποία είναι της μορφής

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Άλγεβρα Α Λυκείου

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Άλγεβρα Α Λυκείου Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων Μάθημα: Άλγεβρα Α Λυκείου Παρουσιάζουμε συνοπτικές λύσεις σε επιλεγμένα Θέματα («Θέμα 4ο») από την Τράπεζα θεμάτων. Το αρχείο αυτό τις επόμενες ημέρες

Διαβάστε περισσότερα

4 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 31.

4 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 31. ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ η ΕΚΑ Α. Οι µηνιαίες αποδοχές, σε, ν υπαλλήλων είναι x, x,, x ν και αυτές αποτελούν οµοιογενές δείγµα µε µέση τιµή 000. Αν το 8% έχει µισθό Α, το 6% Β και οι υπόλοιποι Γ : Να βρείτε το

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα ΘΕΜΑ Α Α. Να αποδείξετε ότι ισχύει α + β α + β, για κάθε α, β R. Α. Τι ονομάζουμε νιοστή ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α; Α. Να χαρακτηρίσεις

Διαβάστε περισσότερα

<Πεδία ορισμού ισότητα πράξεις σύνθεση>

<Πεδία ορισμού ισότητα πράξεις σύνθεση> Συναρτήσεις 1 A Έστω μία συνάρτηση Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης B Δίνεται η συνάρτηση Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων :, και Γ Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Άλγεβρα Β Λυκείου, ο Κεφάλαιο ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ 1 Μια συνάρτηση ƒ λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 4. Δίνεται η εξίσωση. α) Να βρείτε την τιμή του λ ώστε η εξίσωση να είναι 1 ου βαθμού. (Μονάδες 5)

ΘΕΜΑ 4. Δίνεται η εξίσωση. α) Να βρείτε την τιμή του λ ώστε η εξίσωση να είναι 1 ου βαθμού. (Μονάδες 5) Δίνεται η εξίσωση (8-λ)x 2-2(λ-2)x+1=0, με παράμετρο λ R. α) Να βρείτε την τιμή του λ ώστε η εξίσωση να είναι 1 ου βαθμού. (Μονάδες 5) β) Αν η εξίσωση είναι 2 ου βαθμού, να βρείτε τις τιμές του λ ώστε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνονται οι ανισώσεις: 3x και 2 x α) Να βρείτε τις λύσεις τους (Μονάδες 10) β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων (Μονάδες 15) α) Έχουμε 3x 2x x 2

Διαβάστε περισσότερα

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 35) θ Bolzano θ Ενδιάμεσων τιμών θ Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Στο άρθρο αυτό επιχειρείται μια προσέγγιση των βασικών αυτών θεωρημάτων με εφαρμογές έ- τσι ώστε να

Διαβάστε περισσότερα

α) γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.α), όταν β) γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.

α) γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.α), όταν β) γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ - ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ Μια συνάρτηση f λέγεται: α) γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.α), όταν για οποιαδήποτε χ,χ Δ με χ

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α Α ΟΜΑ Α Πιθανότητες: 1. Να βρείτε τον δ.χ. των παρακάτω πειραµάτων τύχης. ι) Ρίχνουµε ένα νόµισµα και σταµατάµε όταν έρθουν 3 κεφαλές και γράµµατα ιι) Ρίχνουµε

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Εξετάσεων Άλγεβρας Β Λυκείου

Θέµατα Εξετάσεων Άλγεβρας Β Λυκείου Θέµατα Εξετάσεων Άλγεβρας Β Λυκείου 1999-004 Περιεχόµενα 1 Θέµατα 1999......................................... 3 Θέµατα 000......................................... 8 3 Θέµατα Σεπτεµβρίου 000..................................

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές 0 Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Για να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση P(x) 0 (ή μια πολυωνυμική ανίσωση P(x)

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου Θέμα Α. Αν α>0 με α, τότε για οποιουσδήποτε θ, θ,θ>0 και κ ισχύει log (θ θ ) log θ log θ Μονάδες 8 α α α Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 6 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός

Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 6 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 6 Θέμα Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Θεωρία ως και την 6.3 Ασκήσεις: όλες Άσκηση 1 Δίνεται η συνάρτηση f, με x 5x+ 6 f ( x) =. x 3 α) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης η δεκάδα θεµάτων επανάληψης. Έστω η συνάρτηση f() = 80 αν < < 0 αν 0 αν i ) Να υπολογιστεί η τιµή της παράστασης Α = f( ) + f(0) 5f() f + f( ) Αν Μ(, ) και Ν(, 0) να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ΜΝ i

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Β Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Β Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 2013-2014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

P(A ) = 1 P(A). Μονάδες 7

P(A ) = 1 P(A). Μονάδες 7 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 20 ΜΑΪΟΥ 2016 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ )

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) 5 1 1 1η σειρά ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) ΘΕΜΑ 1 Α. Ας υποθέσουμε ότι x 1,x,...,x κ είναι οι τιμές μιας μεταβλητής X, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί αριθμοί είναι αυτοί που έχουν (ή μπορεί να πάρουν) κλασματική μορφή,

Ρητοί αριθμοί είναι αυτοί που έχουν (ή μπορεί να πάρουν) κλασματική μορφή, ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ Οι αριθμοί 0,1,,,4, είναι οι Φυσικοί αριθμοί. Οι Φυσικοί αριθμοί μαζί με τους αντίθετούς τους αποτελούν τους Ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή ακέραιοι είναι οι αριθμοί,-,-,-1,0,1,,,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1o A. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε ασυμβίβαστα μεταξύ τους ενδεχόμενα Α και Β ισχύει ότι Ρ(Α»Β)=Ρ(Α)+Ρ(Β) Μονάδες 10

ΘΕΜΑ 1o A. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε ασυμβίβαστα μεταξύ τους ενδεχόμενα Α και Β ισχύει ότι Ρ(Α»Β)=Ρ(Α)+Ρ(Β) Μονάδες 10 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΥΤΕΡΑ 18 MAΪΟΥ 009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Κεφάλαιο 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Κεφάλαιο 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 4.1 πωλυωνυμα Η έννοια του πολυωνύμου Έστω x μια μεταβλητή που μπορεί να πάρει οποιαδήποτε πραγματική τιμή. Καλούμε μονώνυμο του x κάθε παράσταση της μορφής

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Εκθετική - Λογαριθµ ική Συνάρτηση)

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Εκθετική - Λογαριθµ ική Συνάρτηση) ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ( Κεφάλαιο 4ο : Εκθετική - Λογαριθµ ική Συνάρτηση) Τα κριτήρια αξιολόγησης που ακολουθούν είναι ενδεικτικά. Ο καθηγητής έχει τη δυνατότητα διαµόρφωσής τους σε ενιαία

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

2 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ και. Έστω Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε Ρ(Α) = 8

2 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ και. Έστω Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε Ρ(Α) = 8 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ η ΕΚΑ Α. Έστω Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε Ρ(Α) = 8 5 και Ρ(Β) = Ρ(Α ). Αν τα Α, Β είναι ασυµβίβαστα, να εξετάσετε αν είναι ασυµβίβαστα και τα Α, Β 5 i είξτε ότι Ρ(Α Β)=

Διαβάστε περισσότερα

1η έκδοση Αύγουστος2014

1η έκδοση Αύγουστος2014 mat hemat i c a. gr η έκδοση Αύγουστος04 Μία παρέα διαδικτυακών μαθηματικών φίλων, μελών του http://www.mathematica.gr, μοιράστηκε την ευθύνη, να παρουσιάσει στην κοινότητα τις λύσεις των Μαθηματικών,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoocom Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Αν α θετικός πραγματικός αριθμός, σε κάθε x αντιστοιχεί η

Αν α θετικός πραγματικός αριθμός, σε κάθε x αντιστοιχεί η Εκθετική συνάρτηση Αν α θετικός πραγματικός αριθμός, σε κάθε αντιστοιχεί η δύναμη α. Έτσι ορίζεται η συνάρτηση : f : με f α, 0 α η οποία ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση α. Αν α, τότε έχουμε τη σταθερή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 1. Τι καλούμε μονώνυμο, τι πολυώνυμο, τι όροι,τι συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΥ.

ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΥ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το παρόν τεύχος δημιουργήθηκε για να διευκολύνει τους μαθητές στην ΆΜΕΣΗ κατανόηση των απαιτήσεων των ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΏΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ της Α Λυκείου δίνοντας τους τις εκφωνήσεις μαζί με τις λύσεις (ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ)-ΘΕΩΡΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμώv αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο.

ΘΕΜΑ 2 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. (Μονάδες 10) β) Να παραστήσετε γραφικά στο επίπεδο τις δυο εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις Ορισµός πολυωνύµου Ονοµάζoυµε ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ του κάθε παράσταση της µορφής α ν ν +α ν- ν- + +α +α 0, ν ΙΝ και α 0, α,, α ν-, α ν ΙR. Παρατηρήσεις α. Τα α ν ν, α

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)=

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)= ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - 9 - ΚΕΦΑΛΑΙ ΚΕΦΑΛΑΙ ο - ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.. ρισµός Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σ ένα σύνολο Β είναι ένας κανόνας µε τον οποίο κάθε στοιχείο του Α απεικονίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο του Β. Το

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» Email : stvrentzou@gmail.com www.ma8eno.gr

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» Email : stvrentzou@gmail.com www.ma8eno.gr 1 Πρόσημο τριωνύμου - λύση ανίσωσης ου βαθμού Έστω το τριώνυμο f(x) = x - 4x - 1. Θέλουμε να εξετάσουμε για ποιες τιμές της μεταβλητής x το τριώνυμο f(x) γίνεται θετικό, για ποιες τιμές του x γίνεται αρνητικό,

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου 4 ΓΛΧ. Μ. Παπαγρηγοράκης Χανιά. Άλγεβρα 12.09

Α Λυκείου 4 ΓΛΧ. Μ. Παπαγρηγοράκης Χανιά. Άλγεβρα 12.09 Α Λυκείου ΓΛΧ Μ Παπαγρηγοράκης Χανιά Άλγεβρα 9 Ευχαριστώ το συνάδελφο Θανάση Νικολόπουλο από το Γυμνάσιο ΛΤ Βολιμών Ζακύνθου για τις εύστοχες παρατηρήσεις και τις διορθώσεις που έκανε στην αρχική έκδοση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 0 ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΘΟΔΟΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός . ΠΡΑΞΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ. ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΟΜΟΣΗΜΩΝ- ΕΤΕΡΟΣΗΜΩΝ Σε ομόσημους κάνω πρόσθεση και βάζω το κοινό

Διαβάστε περισσότερα

Α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2. f(x) = α x 2 + β x + γ, α 0. f (x) x. Παράδειγμα. Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε.

Α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2. f(x) = α x 2 + β x + γ, α 0. f (x) x. Παράδειγμα. Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (τεύχος 55) Μαθηματικά για την Α τάξη του Λυκείου Το τριώνυμο f(x) = α x + β x + γ, α Κώστα Βακαλόπουλου, Νίκου Ταπεινού Α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) αx βx γ,

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα 8 Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1 Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι: i Συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα (α,β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος (α,β)

Διαβάστε περισσότερα