Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους."

Transcript

1 Μάθηµα 1 Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα Θεµατικές Ενότητες: A. Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων B. Συστήµατα 3x3 Α. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ορισµοί Κάθε εξίσωση της µορφής α x+β =γ, µε α, β, γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους. Για να είναι µια εξίσωση µε δύο αγνώστους γραµµική, θα πρέπει οι άγνωστοι να έχουν εκθέτη τη µονάδα. Αν α = προκύπτει η ειδική περίπτωση γ x+β =γ β =γ = =κ δηλαδή ευθεία παράλληλη στο xx β που διέρχεται από το σηµείο κ του άξονα. = κ κ Αν β = προκύπτει η ειδική περίπτωση γ α x+ =γ α x=γ x= x=κ δηλαδή ευθεία παράλληλη στο α που διέρχεται από το σηµείο κ του xx άξονα. (θυµίζουµε ότι αυτή ΕΝ είναι συνάρτηση.) Σελίδα -1-

2 x = κ κ Όταν ζητάµε τη κοινή λύση ή τις κοινές λύσεις δύο γραµµικών εξισώσεων µε δύο αγνώστους, τότε λέµε ότι έχουµε ένα γραµµικό σύστηµα δύο εξισώσεων µε δύο αγνώστους. Η γενική µορφή ενός τέτοιου συστήµατος είναι : α x+β =γ α x+β =γ Λύση ενός συστήµατος της παραπάνω µορφής ονοµάζουµε το διατεταγµένο ζεύγος αριθµών (x, ) που επαληθεύει ταυτόχρονα και τις δύο εξισώσεις. Ο έλεγχος που κάνουµε προκειµένου να διαπιστώσουµε αν η λύση που βρήκαµε είναι σωστή καλείται επαλήθευση. ύο γραµµικά συστήµατα λέγονται ισοδύναµα όταν έχουν τις ίδιες ακριβώς λύσεις. Για να προκύψουν δύο ισοδύναµα συστήµατα στηριζόµαστε στις εξής ιδιότητες των πραγµατικών αριθµών: Αν γ, τότε α=β αγ=βγ Αν α = β και γ = δ, τότε α+γ=β+δ Η διαδικασία εύρεσης της λύσης καλείται επίλυση του συστήµατος και πραγµατοποιείται µε τους παρακάτω τρεις τρόπους. Σελίδα --

3 Μεθοδολογία Α ΤΡΟΠΟΣ : ΜΕΘΟ ΟΣ ΤΗΣ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ Για να λύσουµε ένα σύστηµα δύο εξισώσεων µε δύο αγνώστους µε τη µέθοδο της αντικατάστασης, εργαζόµαστε ως εξής: Λύνουµε µία από τις δύο εξισώσεις, οποία θέλουµε, ως προς τον έναν άγνωστο. (Συνήθως λύνουµε ως προς εκείνον τον άγνωστο που έχει το µικρότερο συντελεστή ) Αντικαθιστούµε την παράσταση του αγνώστου αυτού στη δεύτερη εξίσωση. Λύνουµε την εξίσωση που προκύπτει και βρίσκουµε την τιµή του ενός αγνώστου. Αντικαθιστούµε την τιµή αυτή στην πρώτη εξίσωση και υπολογίζουµε την τιµή του άλλου αγνώστου. Π.χ: Να λυθεί το σύστηµα: Λύση x+ = 1 5x = 4 Προκειµένου να λύσουµε αυτό το σύστηµα µε τη µέθοδο της αντικατάστασης, εργαζόµαστε ως εξής: Παίρνουµε τη µια από τις δύο εξισώσεις (οποία θέλουµε αλλά µας βολεύει να πάρουµε τη πιο απλή ) και τη λύνουµε ως προς τον ένα άγνωστο (επίσης ως προς οποίο άγνωστο θέλουµε ). Στη συγκεκριµένη εφαρµογή διαλέγω τη πρώτη εξίσωση του συστήµατος και τη λύνω ως προς x. Έτσι προκύπτει το παρακάτω σύστηµα: x= 1 5x = 4 Τώρα αντικαθιστούµε το x στη δεύτερη εξίσωση και τη λύνουµε ως προς. Αναλυτικά έχουµε: 56 5 ( 1 ) = = 4 7= 4 6 7= 56 = = 8 7 Τώρα αφού έχουµε βρει το αντικαθιστούµε στη πρώτη εξίσωση και βρίσκουµε τον άλλο άγνωστο, δηλαδή τον x. Έτσι λοιπόν x= 1 x= 1 8 x= 4 Σελίδα -3-

4 Άρα η λύση του συστήµατος είναι το ζεύγος (x, ) = (4, 8) Επαλήθευση: Για x = 4 και = 8, έχουµε: 1 η Εξίσωση: 4+ 8= 1 1= 1 η Εξίσωση: 5 4 8= 4 16= 4 4= 4 (*) Η λύση που βρήκαµε είναι ουσιαστικά το σηµείο τοµής των δύο ευθειών που είναι οι γραφικές παραστάσεις των δύο εξισώσεων του συστήµατος 1 8 5x- = 4 x + = 1 O Β ΤΡΟΠΟΣ : ΜΕΘΟ ΟΣ ΤΩΝ ΑΝΤΙΘΕΤΩΝ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΩΝ Για να λύσουµε ένα σύστηµα δύο εξισώσεων µε δύο αγνώστους µε τη µέθοδο των αντίθετων συντελεστών, εργαζόµαστε ως εξής: Φέρνουµε τις δύο εξισώσεις του συστήµατος στη µορφή αx + β = γ φροντίζοντας να είναι τα x κάτω από τα x και τα κάτω από τα και στα δεύτερα µέλη οι γνωστοί όροι. Πολλαπλασιάζουµε τη µία ή και τις δύο εξισώσεις µε κατάλληλο αριθµό ώστε οι συντελεστές του x (ή του ) στις δύο εξισώσεις να είναι αντίθετοι αριθµοί. Προσθέτουµε κατά µέλη τις δύο εξισώσεις, οπότε απαλείφεται ο άγνωστος x (ή ο ) και προκύπτει εξίσωση ως προς (ή ως προς x), την οποία και επιλύουµε. Αντικαθιστούµε την τιµή του αγνώστου που βρήκαµε σε µια από τις δύο αρχικές εξισώσεις, υπολογίζοντας έτσι την τιµή του άλλου αγνώστου. Σελίδα -4-

5 Π.χ: Να λυθεί το σύστηµα: Λύση x = 3 x+ 3 = 6 ( 1) ( ) Προκειµένου να λύσουµε αυτό το σύστηµα µε τη µέθοδο των αντίθετων συντελεστών, εργαζόµαστε ως εξής: Πρώτα επιλέγουµε τον άγνωστο που θέλουµε να απαλείψουµε και προσπαθούµε να τον εµφανίσουµε στις δύο εξισώσεις µε αντίθετους συντελεστές. Στη συγκεκριµένη εφαρµογή θα κάνουµε απαλοιφή του. Πολλαπλασιάζουµε την εξίσωση (1) µε το 3 ενώ την () µε το 1 για να παραµείνει ως έχει. Αναλυτικά έχουµε: ( 3) ( ) x = 3 3 3x 3= 9 x+ 3= 6 1 x+ 3= 6 4 Προσθέτοντας κατά µέλη τις (3), (4) έχουµε: 3x 3+ x+ 3= x= 15 x= 3 Αντικαθιστώντας τη τιµή του x που βρήκαµε σε µία από τις δύο αρχικές εξισώσεις, βρίσκουµε τη τιµή του άλλου αγνώστου. Έτσι για x = 3 η (1) δίνει: 3 = 3 =. Άρα η λύση του συστήµατος είναι το ζεύγος (x, ) = (3, ) Επαλήθευση: Για x = 3 και =, έχουµε: 1 η Εξίσωση: 3 = 3 3= 3 η Εξίσωση: 3+ 3 = 6 6= 6 Το παρακάτω σχήµα µας δίνει τη γραφική επίλυση του συστήµατος. x+3 = 6 x - = 3 O 3-3 Σελίδα -5-

6 ΓΕΝΙΚΑ για να λύσουµε ένα σύστηµα θα πρέπει: Να κάνουµε απαλοιφή παρονοµαστών, αν υπάρχουν Να κάνουµε τις πράξεις και να χωρίσουµε γνωστούς από αγνώστους Να κάνουµε αναγωγή οµοίων όρων Να βάλουµε τα x κάτω από τα x και τα κάτω από τα Να εφαρµόσουµε µία από τις µεθόδους επίλυσης που αναφέραµε. Π.χ: Να λυθεί το σύστηµα : Λύση ( ) ( ) ( ) = 4 3x 5 x = 5x 3 5 ιαδοχικά, κάνοντας πράξεις στο σύστηµα έχουµε: ( ) ( ) ( ) 4 3x 5 x = 1x + x= 5x 3= 5 1x 3= 5 14x = 7x = 11 1x 5= 5 x = 1 Με τη µέθοδο των αντίθετων συντελεστών έχουµε: 7x = x = 11 5x = 1 x = x = 1 ( -1) x+ = 1 Αντικαθιστώντας στην x-=1 το x = θα έχουµε ότι = 3. Συνεπώς η λύση του Συστήµατος θα είναι η (x, ) = (, 3) Γ ΤΡΟΠΟΣ : ΜΕΘΟ ΟΣ ΤΩΝ ΟΡΙΖΟΥΣΩΝ Ορίζουσα ης Τάξης καλείται µια διάταξη αριθµών σε δύο γραµµές και δύο στήλες, που περικλείεται από δύο παράλληλες γραµµές. 5 7 π.χ 4 Ορίζουµε α γ β δ =α δ β γ Σελίδα -6-

7 Στο γραµµικό σύστηµα α x+β =γ α x+β =γ αντιστοιχούν 3 ορίζουσες: α β Η ορίζουσα D= =α β α β που έχει ως στοιχεία τους α β συντελεστές των αγνώστων και λέγεται ορίζουσα του συστήµατος. γ β Η ορίζουσα Dx = =γ β γ β η οποία προκύπτει από την D αν γ β στη στήλη των συντελεστών του x θέσουµε τους σταθερούς όρους. α γ Η ορίζουσα D = =α γ α γ η οποία προκύπτει από την D αν α γ στη στήλη των συντελεστών του θέσουµε τους σταθερούς όρους. Για τη λύση-διερεύνηση του συστήµατος α x+β =γ α x+β =γ ισχύουν τα εξής: Αν D, το σύστηµα έχει µοναδική λύση την : D x D x = και = D D Αν D= και Dx ή D, τότε το σύστηµα είναι αδύνατο, Αν D= και Dx = και D =, τότε το σύστηµα έχει άπειρες λύσεις, εκτός από τη περίπτωση όπου όλοι οι συντελεστές των αγνώστων είναι µηδέν ενώ ένας τουλάχιστον από τους σταθερούς όρους είναι διάφορος του µηδενός, οπότε και το σύστηµα είναι αδύνατο. (δηλ. εκτός και αν α=α =β=β = και γ ή γ οπότε και είναι αδύνατο ) Π.χ1: Να λυθεί το σύστηµα: Λύση 3x = 5 x + 3 = 1 Υπολογίζω την ορίζουσα του συστήµατος. α β 3 - D= = = 3 3 ( ) 1= 9+ = 11 α β 1 3 Σελίδα -7-

8 Η ορίζουσα του συστήµατος είναι διάφορη του µηδενός οπότε το σύστηµα έχει µοναδική λύση την: D x D x = και = D D Αναλυτικά έχουµε: γ β 5 - Dx = = = 5 3 ( ) 1= 15+ = 17 γ β 1 3 α γ 3 5 D = = = = 3 5= α γ 1 1 Άρα η λύση του συστήµατος είναι : 17 x, =, ( ) D 17 x = και D 11 D 11 D x = = = δηλ. Π.χ: Να λυθεί το σύστηµα: Λύση x+ = 5 x+ 4= 1 Υπολογίζω την ορίζουσα του συστήµατος. α β 1 D= = = 1 1= = α β 1 Η ορίζουσα του συστήµατος είναι µηδέν οπότε θα πρέπει να υπολογίσω και τις D x, D. Εάν µία από τις δύο είναι διάφορη του µηδενός τότε το σύστηµα είναι αδύνατο. Εάν και οι δύο προκύψουν µηδενικές τότε το σύστηµα είναι αόριστο. Αναλυτικά έχουµε: γ β 5 Dx = = = 5 5 = 1 1= γ β α γ 1 5 D = = = = 5 5= α γ x Εποµένως το σύστηµα έχει άπειρες λύσεις (αόριστο), τα ζεύγη x,, 5,, όπου όπου x οποιοσδήποτε πραγµατικός αριθµός, ή τα ζεύγη ( ) οποιοσδήποτε πραγµατικός αριθµός. Σελίδα -8-

9 Π.χ3: Να λυθεί το σύστηµα: Λύση x+ 3= 1 3x+ 9= 7 Υπολογίζω την ορίζουσα του συστήµατος. α β 1 3 D= = = = 9 9= α β 3 9 Η ορίζουσα του συστήµατος είναι µηδέν οπότε θα πρέπει να υπολογίσω και τις D x, D. Εάν µία από τις δύο είναι διάφορη του µηδενός τότε το σύστηµα είναι αδύνατο. Εάν και οι δύο προκύψουν µηδενικές τότε το σύστηµα είναι αόριστο. γ β 1 3 Αναλυτικά έχουµε: Dx = = = = 9 1= 1, άρα το γ β 7 9 σύστηµα είναι αδύνατο Λυµένες Ασκήσεις 1. Να λυθεί το σύστηµα : x = x = 4 ( 1) ( ) Λύση Με τη µέθοδο των αντίθετων συντελεστών έχω: ( ) x = - x+ = 4 x + = x = 4 1 x = 4 Η εξίσωση x + = αληθεύει για κάθε x και. Στη περίπτωση αυτή λέµε ότι το σύστηµα έχει άπειρες λύσεις ή ότι είναι αόριστο. Η Γραφική ερµηνεία ενός τέτοιου συστήµατος είναι ότι οι δύο εξισώσεις του συστήµατος που παριστάνουν δύο ευθείες στο επίπεδο, συµπίπτουν.(αφού έχουν άπειρα σηµεία τοµής ) Σελίδα -9-

10 x = = x και x = 4 = x+ 4 = x x - = 4 x - = O -. Να λυθεί το σύστηµα : ( 1) ( ) x+ 4= 3 x+ 4= Λύση Με τη µέθοδο των αντίθετων συντελεστών έχω: x+ 4= 3 1 x+ 4= 3 x + = 5 x+ 4= ( -1) x 4= Η εξίσωση x + = 5 δεν αληθεύει για κανένα x και, δηλαδή είναι αδύνατη. Στη περίπτωση αυτή λέµε ότι το σύστηµα είναι αδύνατο. Η Γραφική ερµηνεία ενός τέτοιου συστήµατος είναι ότι οι δύο εξισώσεις του συστήµατος που παριστάνουν δύο ευθείες στο επίπεδο, είναι παράλληλες.(αφού δεν έχουν κανένα σηµείο τοµής ) x+ 4= 3 = x + x+ 4= = x 4 O x +4 =3 x +4 = - Σελίδα -1-

11 3. Να λυθεί το σύστηµα : x+λ =λ λ x + = 4 λ 8 (παραµετρική) Λύση Υπολογίζω τις ορίζουσες D,D x, D. Αναλυτικά έχουµε: α β λ D= = = 4 λ = λ 4 = λ λ+ α β λ ( ) ( )( ) γ β λ- λ Dx = = = λ λ 4λ 8 = λ 4λλ = λ 4λ = λ 1 λ γ β 4λ-8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) α γ λ- D = = = 4λ 8 λλ = 4 λ λλ = λ α γ λ 4λ-8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Βρίσκω για ποιες τιµές της παραµέτρου λ είναι D =. D= λ λ+ = λ= ή λ = - ( )( ) Εξετάζω περιπτώσεις ανάλογα µε τις τιµές της παραµέτρου. ( 8 λ ) = λ ( 8)( λ ) (i) Αν λ και λ -, τότε D και συνεπώς το σύστηµα έχει µοναδική λύση την: D ( λ 1 x )( λ ) ( λ 1) x = = = και D λ λ+ λ+ ( )( ) ( )( ) ( )( ) D λ 8 λ λ 8 D λ λ+ λ+ = = = ( ) x+ = (ii) Αν λ = το αρχικό σύστηµα παίρνει µορφή οπότε και είναι x+ = αόριστο, δηλαδή έχει άπειρες λύσεις. Επειδή x+ = x+ = = x, λύσεις στην περίπτωση αυτή είναι όλα τα ζεύγη (x, -x), όπου x οποιοσδήποτε πραγµατικός αριθµός.( ή όλα τα ζεύγη της µορφής (κ, -κ), µε κ R ) Σελίδα -11-

12 (iii)αν λ = -, το αρχικό σύστηµα παίρνει µορφή x = 4 x = οπότε και είναι αδύνατο. x+ = 16 x = 8 (*) Τόσο για λ = όσο και για λ = -, θα µπορούσαµε να εξετάσουµε αν είναι αόριστο ή αδύνατο το σύστηµα βρίσκοντας για τα συγκεκριµένες τιµές του λ τα D X,D Y. Αν για µια τιµή του λ τόσο το D X όσο και το D Y είναι µηδέν, τότε το σύστηµα θα είναι αόριστο. Αν για µια τιµή του λ ένα από τα D,D είναι διάφορο του µηδενός τότε το σύστηµα θα είναι αδύνατο. X Y Ερωτήσεις «Σωστού Λάθους» Σε κάθε µία από τις παρακάτω προτάσεις να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ). 1. Αν ( x, ) µια λύση της γραµµικής εξίσωσης Σ Λ. α x+β =γ, τότε α x+β =γ Σ Λ γ ακ 3. Τα ζεύγη κ, β είναι λύσεις της εξίσωσης α x+β =γ, β Σ Λ 4. Η εξίσωση 1 = 3 είναι γραµµική Σ Λ x 5. Η εξίσωση x = είναι γραµµική Σ Λ Το σύστηµα x= 5 x= είναι αδύνατο Σ Λ 7. Ισχύει x= x= x= x+ = Σ Λ 8. Ισχύει x+ 3= 5 x= 1 x = 4 = Σ Λ 9. Ισχύει x+ 5= x= 17 4x = 1 4x= 1 Σ Λ Σελίδα -1-

13 1. Αν για ένα x γραµµικό σύστηµα ισχύει D= Dx και Σ Λ 1 D = 3D, D, τότε το σύστηµα έχει λύση x= και = Όταν D =, το x γραµµικό σύστηµα είναι αδύνατο. Σ Λ 1. Ισχύει α 1x+β 1=γ1 λα 1x+λβ 1 =λγ1, λ α x+β =γ α x+β =γ Σ Λ α 1x+β 1=γ1 13. Αν η ορίζουσα του συστήµατος είναι ίση µε το µηδέν, α x+β =γ τότε οι αντίστοιχες ευθείες των εξισώσεων είναι πάντα παράλληλες Σ Λ 14. Όταν τα στοιχεία µιας ορίζουσας είναι αρνητικοί αριθµοί, η τιµή Σ Λ της ορίζουσας είναι αρνητικός αριθµός. Ερωτήσεις Πολλαπλής Επιλογής Σε κάθε µία από τις παρακάτω ερωτήσεις να σηµειώσετε τη σωστή απάντηση. 1. Η εξίσωση της ευθείας που ορίζεται από τα σηµεία (4, 5) και (4, -3) είναι η: Α. = 3 Β. = 4 Γ. x= 4. 4x+ 5= 3 Ε. = 4x = 4x+ 5. Το σύστηµα : 4x = 3 Α. έχει µία µόνο λύση Β. είναι αδύνατο Γ. είναι αόριστο. δεν προκύπτει κανένα συµπέρασµα για τη λύση του 3x = 5 3. Το σύστηµα : 7x+ = Α. έχει µία µόνο λύση Β. είναι αδύνατο 3x 5 Γ. έχει λύσεις όλα τα ζεύγη x,, x R. δεν προκύπτει κανένα συµπέρασµα Σελίδα -13-

14 x+ 3= 5 4. Το σύστηµα : 4x+ 6= Α. έχει λύσεις όλα τα ζεύγη,, R Β. δεν έχει λύση Γ. έχει µία µόνο λύση. έχει λύσεις όλα τα ζεύγη ( x,x ) Ε. δεν προκύπτει κανένα συµπέρασµα για τη λύση του 5, x R 5. Η ισοδύναµη της εξίσωσης x= 4 είναι η εξίσωση: Α. x= 4 Β. x+ = 4 Γ. x = 4. 1 x 4 = Ε. 1 x = 6. Η εξίσωση = 3 επαληθεύεται: Α. µόνο από το ζεύγος (3, ) Β. µόνο από το ζεύγος (, 3) Γ. µόνο από το ζεύγος (-1, 3). από όλα τα ζεύγη της µορφής(κ, 3) κ R Ε. από κανένα ζεύγος (x, ) λ x+ = 7 7. Το σύστηµα x λ = λ Α. είναι αδύνατο για κάθε λ πραγµατικό Β. είναι αδύνατο για κάθε λ Γ. έχει άπειρες λύσεις για κάθε λ πραγµατικό 7. έχει άπειρες λύσεις µόνο όταν λ= Ε. έχει µοναδική λύση για κάθε λ πραγµατικό 8. Αν για ένα γραµµικό σύστηµα δύο εξισώσεων µε αγνώστους τα x και ισχύει D και D Dx + 4D =, τότε τα x και επαληθεύουν την εξίσωση: Α. x 4= 1 Β. x+ 4= 1 Γ. x 4= 1. x 4= x Ε. 1 x+ = 1 4 λ x+ = 7 9. Το σύστηµα έχει άπειρες λύσεις όταν: x+λ = λ Α. λ= 1 Β. λ= Γ. λ= 1ή λ= 1. λ= ή λ= 1 Ε. λ= 1. Η ορίζουσα Α. x x 1 Β. x 1 είναι ίση µε: x+ 1 x x x 1 + Γ. ( x+ 1). ( x 1) Σελίδα -14- Ε. x x

15 11. Αν ένα γραµµικό σύστηµα δύο εξισώσεων µε αγνώστους τα x, έχει λύση x=, = 1τότε: 1 1 = Β. Dx = D Γ. D x = D. D = D x Ε. Dx+ D = 1 Α. Dx D Ερωτήσεις Συµπλήρωσης Κενού 1. Μια λύση ενός συστήµατος δύο γραµµικών εξισώσεων µε δύο αγνώστους είναι που επαληθεύει.του συστήµατος.. Αν οι εξισώσεις ενός γραµµικού συστήµατος δύο εξισώσεων µε δύο αγνώστους παριστάνουν δύο παράλληλες ευθείες, τότε το σύστηµα είναι. 3. Αν οι εξισώσεις ενός γραµµικού συστήµατος δύο εξισώσεων µε δύο αγνώστους παριστάνουν την ίδια ευθεία, τότε το σύστηµα είναι 3x =λ 4. Έστω το σύστηµα, να συµπληρώσετε τα κενά στις 4x+ 7= 3λ παρακάτω προτάσεις. Οι ορίζουσες που αντιστοιχούν στο σύστηµα είναι οι D =, Dx = και D = Η λύση του συστήµατος είναι η x= και = Σελίδα -15-

16 Ερωτήσεις Αντιστοίχησης Αντιστοιχίστε τα στοιχεία της στήλης (Α) µε τα στοιχεία της στήλης (Β). ΣΤΗΛΗ (Α) Εξίσωση 1. x 3= 6 5. x+ = x = x+ = x+ 7= 19 Α. (4, -5) Β. (,1 ) Γ. (-1, -). (, -) ΣΤΗΛΗ (Β) Λύση Ε. (9, ) ΣΤ. (3, -1) ΣΤΗΛΗ (Α) Ορίζουσα ΣΤΗΛΗ (Β) Τιµή α 1 α α α+ 1 α β β α α α β β Α. ( α β)( α+β ) Β. αβ( α β ) Γ. 13. α+β Ε. -1 Σελίδα -16-

17 Άλυτες Ασκήσεις 1. Να λυθούν τα συστήµατα: 4x 3= 6 i) x x = 16 = vi) x 3= 3 ii) x = 6 + = 3 x iv) x + = 13 x 3 1 = = 3 3x+ = 5 3 x iii) vii) 3x + = 7 x = x 3= = x iv) x) x = 6 x+ x = = x 3= x+ 1 viii) x 4 v) 3 4x + 3 = 3x 5 ( x 1) = 4 x = 1 x + 3 = 5 3 x 4 = 1 xi) xii) xiii) 4 x 3 = 8 3 x + = 5 4 x + 3 = 5 x+ x 7 + = 3 6 xiv) x x = 3 6 x = 4 xv) x = 4 x 3 = 7 xx) x + 5 = 16 7 x 1+ + = 31 xvi) 3 x = = 14 x + 1 xvii) 3 1 = 7 x+ 1 3 x+ = 5 xviii) 5 x = 1 6 x+ 7 = 1 xix) 3 x + 4 = 7. Να γράψετε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σηµεία: i) Α(3, ) και Β(-, -3) ii) Α(, 4) και Β(, -3) iii) Α(-1, 3) και Β(4, 3) iv) Α(1, 4) και Β(-, 1) v) Α(, ) και Β(, 3) vi) Α( 1, 1 ) και Β(-3, ) Σελίδα -17-

18 3. Να βρείτε τα α,β ώστε το (Σ) λύση το ζεύγος (-, 3). α x +β = 6 ( α+ ) x ( β ) =α 5 β+ 1 να έχει 4. Να λυθούν τα συστήµατα: x+ = 6 3x+ = 1 x+ = 7 i) ii) iii) 3x = x = 1 3x = 5. Να λυθούν τα συστήµατα: x+ = 5 x = 1 x= i) ii) iii) = x= 1 = 3 6. Να λυθούν τα συστήµατα: x+ 3= x+ = x= i) ii) iii) 4x 6= 1 x = 4 3x 3= 7. Να λυθούν τα συστήµατα: ( x+ ) + 3( x ) = 1 ( x+ ) 3( x ) = 6 i) ii) 5( x+ ) + 4( x ) = 6 3( x+ ) + 4( 3x+ ) = 8. Να βρείτε ποια από τα παρακάτω συστήµατα έχουν λύση, ποια είναι αδύνατα-αόριστα. x+ = 6 x+ 3= 6 4x+ = 5 i) ii) iii) 3x = x+ 6= 1 x = 1 αx = 1 9. ίνεται το σύστηµα. Να εξηγήσετε γιατί είναι αδύνατο για α x+ = 3 οποιαδήποτε πραγµατικό αριθµό α. 1. Να λυθούν τα συστήµατα: x 3= 6 x 5= 5 x 3= i) ii) iii) x+ 5= 1 7x+ = 5 x+ 5= 7 Σελίδα -18-

19 11. Να λυθούν τα συστήµατα: x+ 1 = x= x= i) ii) iii) 3x 5 x + x = + 5 = x= Να λυθούν τα συστήµατα: 3x 7= 1 x+ = 1 i) ii) 7 x 4= 5 x+ = Να λυθούν τα συστήµατα: 3x+ 5= 1 x 3= i) ii) 6x 1= x 6= Να λυθούν τα συστήµατα: 3x = 8x 1= 4 i) ii) 6x+ = 4 x+ 3= Να λυθούν τα συστήµατα: 4 3x+ x+ 3x+ = x+ 5= 3 + = i) ii) 5 5 iii) 8 5 7x+ = x+ x x+ = 4 = Να λυθούν τα συστήµατα: x 3= x+ = 3 3( x+ ) ( x ) = i) ii) iii) 5x = 5 3x+ 8= 1 ( x+ ) + 4( x ) = Να λυθούν τα συστήµατα: x+ = 5 x= 8 x+ = 4 x+ = 7 i) ii) iii) iv) x = 6 x = 75 x = 4 x x= 18. Να λυθούν τα συστήµατα: x+ 1 + ( x+ 1) x x 1 = = i) ii) x 1 3x+ 11+ x 4 = = x+ 1 3 Σελίδα -19-

20 19. Να λύσετε τα συστήµατα µε τη βοήθεια των οριζουσών: x+ = 1 x 3= 6 x+ 3= 1 i) ii) iii) x+ = 4x+ = 16 6x+ 9= 4 3x = 1 x 3= x+ 1 iv) v) x = 4x+ 3= 3x 5. Να λύσετε τις εξισώσεις: x-1 -x i) = ii) = 4x iii) = 5 3x -1 3x - 3x x+1 6 x -x x 1 iv) = 3x 1 v) = x-1-3 x+1 x x 1. Για τις διάφορες τιµές του λ, να λύσετε τα συστήµατα : λ x+ =λ λ x+ =λ+ i) ii) x + = λ 1 λ 1 x + λ+ 1 = λ+ 1 ( ) ( ) λ+ x+ 4= 8 3λ iii) x+ λ+ 4 = 8 ( ) ( ) ( ) x+ 3= 6. Να βρείτε για ποια τιµή του λ το σύστηµα x+ 6 =λ i) έχει άπειρες λύσεις ii) είναι αδύνατο 3. Να βρείτε για ποια τιµή του λ το σύστηµα λύση. x+ =λ x+ 4= 5 έχει µοναδική 4. Να βρείτε για ποια τιµή του λ το σύστηµα x = x =λ είναι αδύνατο. Σελίδα --

21 x+λ = 1 5. Να βρείτε για ποια τιµή του λ τα συστήµατα i) λ x + =λ λx 3= 4 4 έχουν άπειρες λύσεις. x = 3 ii) 6. Να βρείτε τα α, β, ώστε για τη συνάρτηση f( x) =α x( x+ 1) +β να ισχύει f ( ) = 1 και f (3) = Να βρεθούν τα x, αν ισχύει ότι: D + D D + 1= X Y X 8. Να λυθεί το σύστηµα αν ισχύει ότι: D + D D D+ D = X Y X 9. Να λυθεί το σύστηµα 3DX DY = D + D = 5 X Y αν είναι γνωστό ότι D = Να λυθεί το σύστηµα περιπτώσεις...) 3DX DY = D. (Προσοχή: Θα διακρίνεται DX+ DY = 5D Β. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 3X3 Ορισµοί Ένα σύστηµα τριών εξισώσεων µε τρεις αγνώστους (3x3) θα είναι της µορφής : α x+β +γ z=δ α x+β +γ z=δ α x+β +γ z=δ Σελίδα -1-

22 Στην ειδική περίπτωση όπου οι σταθεροί όροι ενός γραµµικού συστήµατος (3x3) είναι όλοι ίσοι µε το µηδέν, το σύστηµα τότε καλείται οµογενές. Έτσι ένα οµογενές σύστηµα θα είναι της µορφής : ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ α x+β +γ z= α x+β +γ z= α x+β +γ z= Παρατηρούµε ότι µια προφανή λύση που έχουν τα οµογενή συστήµατα είναι η µηδενική, δηλαδή η (x,, z) = (,, ), αφού αν βάλουµε όπου x =, = και z = το σύστηµα επαληθεύεται. Εκτός όµως από τη µηδενική λύση, τα οµογενή συστήµατα µπορεί να έχουν και επιπλέον λύσεις, όπως θα δούµε αναλυτικά στην εφαρµογή που ακολουθεί. Μεθοδολογία - Εφαρµογές Να λυθεί το σύστηµα Λύση x ω= 6 x 3ω= 1 5x+ 6+ω= (1) () (3) Το παραπάνω σύστηµα µπορεί να λυθεί µε έναν από τους παρακάτω δύο τρόπους. Α ΤΡΟΠΟΣ Παίρνουµε τις δύο πρώτες εξισώσεις και δηµιουργούµε ένα σύστηµα µε αγνώστους τους x και. Έπειτα λύνουµε αυτό το σύστηµα και τις τιµές των x και τις αντικαθιστούµε στην τρίτη εξίσωση. Αναλυτικά παίρνοντας τις εξισώσεις (1), () του συστήµατος έχουµε : x = 6 ω x = 1+ 3ω Λύνοντας το παραπάνω σύστηµα βρίσκουµε ότι: x= ω και = ω 4. Σελίδα --

23 Αντικαθιστώντας τώρα τις τιµές x, στην εξίσωση (3) του συστήµατος προκύπτει εξίσωση ως προς ω 5 ω + 6 ω 4 +ω= ω=. ( ) ( ) 1 Έτσι x= ( 1) = 3 και = ( 1) 4= Οπότε η λύση του συστήµατος είναι η: (x,, z) = (3, -, -1) B ΤΡΟΠΟΣ Από τις εξισώσεις (1) και () του συστήµατος απαλείφουµε έναν από τους τρεις αγνώστους, για παράδειγµα τον x. Αναλυτικά έχουµε: x ω= 6 x 3ω= 1 x ω= 6 (-1) x+ + 3ω= 1 Προσθέτοντας κατά µέλη έχουµε : + ω= 4 Επίσης από τις εξισώσεις (1) και (3) του συστήµατος απαλείφουµε πάλι τον ίδιο άγνωστο(τον x) και έχουµε: x ω= 6 5x+ 6+ω= (- 5) 5x+ 5+ 5ω= 3 5x+ 6+ω= Προσθέτοντας κατά µέλη έχουµε : 11+ 6ω= 8 Έτσι το αρχικό σύστηµα παίρνει µορφή: x ω= 6 + ω= ω= 8 Λύνοντας το σύστηµα των δύο τελευταίων εξισώσεων έχουµε: + ω= ω= 8 (-11) 11 ω= ω= 8 Προσθέτοντας κατά µέλη έχουµε : ω = 1 x ω= 6 Έτσι το σύστηµα παίρνει µορφή: + ω= 4 ω= 1 Αντικαθιστώντας την τιµή του ω στη δεύτερη εξίσωση προκύπτει η τιµή του. = 4 = Σελίδα -3-

24 Για = - και ω = -1 η πρώτη εξίσωση δίνει x + + 1= 6 x = 3 Άρα η λύση του συστήµατος είναι η: (x,, z) = (3, -, -1) Να λυθεί το σύστηµα Λύση x+ 3+ 4ω= (1) x+ + 3ω= () x = (3) (Οµογενές Σύστηµα) Το σύστηµα είναι οµογενές οπότε έχει εξ ορισµού τη µηδενική λύση (,, ). Εξετάζουµε εάν έχει και άλλες λύσεις. Από τις εξισώσεις (1) και () του συστήµατος απαλείφουµε τον x. Αναλυτικά έχουµε: x+ 3+ 4ω= (-1) x 3 4ω= 6 x ω= x ω= Προσθέτοντας κατά µέλη έχουµε : ω= Από τις εξισώσεις () και (3) του συστήµατος µε απαλοιφή του x έχουµε: x+ + 3ω= x+ + 3ω= x = (-1) x + + ω= Προσθέτοντας κατά µέλη έχουµε : 3+ 3ω= x+ 3+ 4ω= Έτσι το αρχικό σύστηµα παίρνει µορφή: ω= 3+ 3ω= x+ 3+ 4ω= x+ 3+ 4ω= +ω= ή. Άρα είναι +ω= +ω= = ω και x 3ω+ 4ω= x= ω ή Εποµένως για κάθε τιµή του ω, για παράδειγµα ω = λ, έχουµε και µία λύση του συστήµατος, τη x = -λ, = -λ και ω = λ. ηλαδή το σύστηµα έχει άπειρο πλήθος λύσεων της µορφής (-λ, -λ, λ), όπου λ πραγµατικός αριθµός. ΓΕΝΙΚΑ τα οµογενή συστήµατα µπορεί να έχουν: Είτε µόνο τη µηδενική λύση (,, ) Είτε άπειρες λύσεις, στις οποίες περιλαµβάνεται και η µηδενική, όπως στη παραπάνω εφαρµογή, αφού για λ = προκύπτει η λύση (,, ) Σελίδα -4-

25 Να λυθεί το σύστηµα x+ = 3 (1) +ω= 7 () ω+ x = 4 (3) Λύση Η λύση του παραπάνω συστήµατος µπορεί να βρεθεί µε τους παραπάνω δύο τρόπους επίλυσης, ωστόσο χρησιµοποιώντας την ακόλουθη τεχνική µπορούµε µε πολύ εύκολο τρόπο να προσδιορίσουµε τη λύση του συστήµατος. Προσθέτουµε κατά µέλη τις εξισώσεις του συστήµατος και έχουµε: x+ +ω = 14 x+ +ω= 7 (4) ( ) Αφαιρούµε τώρα από την (4) διαδοχικά τις (1), () και (3) και παίρνουµε: x+ +ω= 7 ( ) x+ = 3 ω= 4 x+ +ω= 7 ( ) +ω= 7 x= x+ +ω= 7 ( ) x + ω= 4 = 3 Άρα η λύση του συστήµατος είναι : (x,, ω) = (, 3, 4) Άλυτες Ασκήσεις 1. Να λυθούν τα συστήµατα: x+ 5 6ω= 7 x+ 3 ω= 4 i) + 3ω= v) x + ω= ω= x+ ω= 4 x+ +ω= 3 x+ + 3z= 1 x+ + 3z= ii) 3x +ω= vi) x+ 4 z= ix) x+ 4 z= x 1 + ω= 3x+ 6 4z= 3 3x+ 6 4z= 3 3x+ z= 1 x+ 3+ 4z= 3 iii) x + z= 1 vii) 4x+ 3 4z= x 3z + = 6x 6+ 8z= 3 4x z= 15 x+ + z= 9 iv) 4x+ + z= 9 viii) x+ 3+ 4z= 3 x 3 3z 3 + = 4x 6 z= Σελίδα -5-

26 . Να λυθούν τα συστήµατα: x+ + z= x+ + z= i) x z= ii) x + z= x z = 3x 3 z= x+ + z= 4x z= iii) 3x+ 3+ 3z= iv) 5x+ 4+ z= 4x 4 4z + + = 4x+ + 19z= 3. Να λυθούν τα συστήµατα: 1 1 = x + 5 x+ = 4 x+ = 1 1 i) + z= 3 ii) x+ z= 1 iii) = z 3 x z 5 z = + = 1 1 = x + z x+ ω= 5 4. Να λυθεί το σύστηµα: +ω x = 7 ω+ x = 4 Σελίδα -6-

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ....................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση της µορφής α + β = γ όπου α + β 0 ( α, β όχι συγχρόνως 0) παριστάνει ευθεία. (Η εξίσωση λέγεται : ΓΡΑΜΜΙΚΗ) ΕΙ ΙΚΑ γ Αν α = 0 και β 0έχουµε =. ηλαδή µορφή = c.

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα : Έστω ότι θέλουµε να παραστήσουµε γραφικά την εξίσωση 6χ-ψ=3. Λύση 6χ-ψ=3 ψ=6χ-3. Άρα η εξίσωση παριστάνει ευθεία. Για να τη χαράξουµε

Παραδείγµατα : Έστω ότι θέλουµε να παραστήσουµε γραφικά την εξίσωση 6χ-ψ=3. Λύση 6χ-ψ=3 ψ=6χ-3. Άρα η εξίσωση παριστάνει ευθεία. Για να τη χαράξουµε Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης ΣΣΤΗΜΤ ΜΜΩΝ ΞΣΩΣΩΝ Μ ΝΩΣΤΣ ΣΩΣ ΝΝΣ ρισµός: Μια εξίσωση της µορφής αχ+βψ=γ ονοµάζεται γραµµική εξίσωση µε δυο αγνώστους. ύση της εξίσωσης αυτής ονοµάζεται κάθε διατεταγµένο

Διαβάστε περισσότερα

Θα ξέρεις τι λέγεται γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους. Λέγεται κάθε εξίσωση της μορφής αχ +βψ =γ. Θα ξέρεις τι είναι το σύστημα εξισώσεων

Θα ξέρεις τι λέγεται γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους. Λέγεται κάθε εξίσωση της μορφής αχ +βψ =γ. Θα ξέρεις τι είναι το σύστημα εξισώσεων 1. Θα ξέρεις τι λέγεται γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους. Λέγεται κάθε εξίσωση της μορφής αχ +βψ =γ. Θα ξέρεις τι είναι το σύστημα εξισώσεων Είναι ομάδα από δύο ή περισσότερες εξισώσεις των οποίων ζητάμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΙΓΜΑΤΙΚΗ Ι ΑΣΚΑΛΙΑ «ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟ Ο ΤΩΝ ΟΡΙΖΟΥΣΩΝ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ» 1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΡΙΣΜΟΣ 1 : Γραµµική εξίσωση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

1. Η ευθεία y = 5 είναι κάθετη στον άξονα y y. Σ Λ. 2. Η ευθεία x = - 2 είναι παράλληλη προς τον άξονα x x. Σ Λ

1. Η ευθεία y = 5 είναι κάθετη στον άξονα y y. Σ Λ. 2. Η ευθεία x = - 2 είναι παράλληλη προς τον άξονα x x. Σ Λ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ Ερωτήσεις του τύπου «σωστό-λάθος» 1. Η ευθεία y = 5 είναι κάθετη στον άξονα y y. Σ Λ 2. Η ευθεία x = - 2 είναι παράλληλη προς τον άξονα x x. Σ Λ 3. Οι ευθείες x = κ και y

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoocom Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Η εξίσωση α + βy = γ 1. Υπάρχουν προβλήματα που η επίλυση τους οδηγεί σε μια γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους, y και η οποία είναι της μορφής

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή : α+β=0 ή α=-β () λέγεται εξίσωση ου βαθμού (ή πρωτοβάθμια εξίσωση), με άγνωστο το, ενώ

Διαβάστε περισσότερα

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή.

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή. Η Αριθµητική Ανάλυση χρησιµοποιεί απλές αριθµητικές πράξεις για την επίλυση σύνθετων µαθηµατικών προβληµάτων. Τις περισσότερες φορές τα προβλήµατα αυτά είναι ή πολύ περίπλοκα ή δεν έχουν ακριβή αναλυτική

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ

3.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ . Η ΕΝΝΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ. Εξίσωση πρώτου βαθµού µε αγνώστους και νοµάζεται κάθε εξίσωση της µορφής α + β = γ. Άγνωστοι είναι το και το. Τα α, β και γ λέγοντα συντελεστές. Ειδικότερα το γ

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων

Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων 1. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις µόνο µε αριθµούς, λέγεται αριθµητική παράσταση. Παράδειγµα: + + 1 =. είναι µια αριθµητική παράσταση, το αποτέλεσµα των

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος Μαθηματικά Γ'Γυμνασίου Μαρίνος Παπαδόπουλος ΠΡΟΛΟΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Σας καλωσορίζω στον όµορφο κόσµο των Μαθηµατικών της Γ Γυµνασίου. Τα µαθηµατικά της συγκεκριµένης τάξης αποτελούν ίσως το αποκορύφωµα των

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ

4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ 1 4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Εξίσωση µε έναν άγνωστο: Ονοµάζουµε µία ισότητα η οποία περιέχει αριθµούς και ένα γράµµα που είναι ο άγνωστος της εξίσωσης.. Λύση ή ρίζα της εξίσωσης : Είναι ο αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Β'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος

Μαθηματικά. Β'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος Μαθηματικά Β'Γυμνασίου Μαρίνος Παπαδόπουλος ΠΡΟΛΟΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Σας καλωσορίζω στον όµορφο κόσµο των Μαθηµατικών της B Γυµνασίου. Τα µαθηµατικά της συγκεκριµένης τάξης αποτελούν βάση των µαθηµατικών του

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!!

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!! ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΘΕΩΡΙΑ ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!! ΛΑΖΑΡΙ Η ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ www.lzridi.info τηλ. 6977-85-58 1 ΛΑΖΑΡΙ Η ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ www.lzridi.info

Διαβάστε περισσότερα

Β Λυκείου - Ασκήσεις Συστήματα. x = 38 3y x = 38 3y x = x = = 11

Β Λυκείου - Ασκήσεις Συστήματα. x = 38 3y x = 38 3y x = x = = 11 Να λυθεί το σύστημα: Β Λυκείου - Ασκήσεις Συστήματα x+ 3y= 38 3x y = 2 Θα λύσουμε το σύστημα με τη μέθοδο της αντικατάστασης: x+ 3y= 38 x = 38 3y x = 38 3y x = 38 3y 3x y = 2 338 ( 3y) y= 2 3 38 9y y =

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο. - Συστήµατα γραµµικών εξισώσεων της µορφής: α

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο. - Συστήµατα γραµµικών εξισώσεων της µορφής: α ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ - - ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο - Συστήµατα ραµµικών εξισώσεων της µορφής: α x+ β y= α x+ β y= Λύση του (Σ) καλείται η διαδικασία εύρεσης των τιµών του x και του y που επαληθεύουν και τις δύο

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ . ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ. Γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους, y Λέγεται κάθε εξίσωση της µορφής α + βy = γ, µε α 0 ή β 0. Γραφική παράσταση γραµµικής εξίσωσης Κάθε γραµµική εξίσωση α + βy = γ παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

( ) ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Σηµείωση. 2. Παραδοχή α = Ιδιότητες x. αβ = α = α ( ) x. α β. α : α = α = α

( ) ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Σηµείωση. 2. Παραδοχή α = Ιδιότητες x. αβ = α = α ( ) x. α β. α : α = α = α . ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ. Σηµείωση Οι δυνάµεις α του κεφαλαίου έχουν βάση α > 0 και εκθέτη οποιονδήποτε πραγµατικό αριθµό.. Παραδοχή 0 α. Ιδιότητες α + α ( ) α α : α ( ) α α α αβ α β α β α β. Εκθετική

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Διδακτικοί Στόχοι: Θα μάθουμε: Να κατανοούμε την έννοια της εξίσωσης και τη σχετική ορολογία. Να επιλύουμε εξισώσεις πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο. Να διακρίνουμε πότε μια εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος.

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Ενότητα 2 Γραμμικά Συστήματα Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Να ερμηνεύουμε γραφικά τη

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Μέθοδοι επίλυσης γραμμικού συστήματος χ Γραφική επίλυση Σχεδιάζουμε τις ευθείες που αντιπροσωπεύουν οι εξισώσεις του συστήματος. Αν: - οι δύο ευθείες τέμνονται, τότε το σύστημα έχει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 =

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 = ΕΞΙΩΕΙ-ΑΝΙΩΕΙ ου ΒΑΘΜΟΥ - 38 - ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ο Εξισώσεις - Ανισώσεις β βαθµού 5.1. Μορφή και διερεύνηση της εξίσωσης β βαθµού Άθροισµα και γινόµενο των ριζών της Κάθε εξίσωση β βαθµού πριν τη λύσουµε,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ο κεφάλαιο: Πραγματικοί αριθμοί ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 014 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

Ε ΝΟΤΗΤΑ 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

Ε ΝΟΤΗΤΑ 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ε ΝΟΤΗΤΑ 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Μαθηματικές Προτάσεις Πλοηγηθείτε: http://www.youtube.com/watch?v MtmJ3BArAgA Διαβάστε: Λ. Κάρολ, Η Αλίκη στη Χώρα των Θαυμάτων, Εκδόσεις Πατάκη Δείτε: Alice in

Διαβάστε περισσότερα

2.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

2.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 2.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ανισότητα : Είναι µία σχέση µεταξύ δύο αριθµών που δεν είναι ίσοι µεταξύ τους 2. ιάταξη δύο πραγµατικών αριθµών που έχουµε παραστήσει µε σηµεία στον

Διαβάστε περισσότερα

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις Ορισµός πολυωνύµου Ονοµάζoυµε ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ του κάθε παράσταση της µορφής α ν ν +α ν- ν- + +α +α 0, ν ΙΝ και α 0, α,, α ν-, α ν ΙR. Παρατηρήσεις α. Τα α ν ν, α

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. της f : A. Rούτε εύκολη είναι ούτε πάντοτε δυνατή. Για τις συναρτήσεις f (x) = x ηµ x και ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ

ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. της f : A. Rούτε εύκολη είναι ούτε πάντοτε δυνατή. Για τις συναρτήσεις f (x) = x ηµ x και ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Έστω fµια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το Α. Το σύνολο των τιµών της είναι f( A) { R = υπάρχει (τουλάχιστον) ένα A : f () = }. Ο προσδιορισµός του συνόλου τιµών f( A) της

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1)

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1) 1 ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης (1) όπου οι συντελεστές είναι δοσµένες συνεχείς συναρτήσεις ορισµένες σ ένα ανοικτό διάστηµα. Ορισµός 1. Ορίζουµε τον διαφορικό τελεστή µέσω της

Διαβάστε περισσότερα

4.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

4.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 4.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 1 : ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ Για να λύσω μια ανίσωση της μορφής : 0 ή 0 1 ος τρόπος : Λειτουργώ όπως και στις εξισώσεις πρώτου βαθμού, δηλαδή χωρίζω γνωστούς από αγνώστους, και

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_3.ΜλΑ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α A.. Α.. Α.3. ΘΕΜΑ Β Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή Απριλίου

Διαβάστε περισσότερα

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Λογάριθµοι ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Λογάριθµοι ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ Παραθέτουµε αρχικά τις βασικές ιδιότητες των δυνάµεων µε βάση έ- ναν θετικό πραγµατικό αριθµό και εκθέτη έναν ρητό αριθµό. α x.α y = α x+y (α.β) x = α x.β x α x :α

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 0 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ. Αλγ ε β ρ α. Γενικής Παιδειασ

ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ. Αλγ ε β ρ α. Γενικής Παιδειασ ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ Αλγ ε β ρ α Β Λυ κ ε ί ο υ Γενικής Παιδειασ Α Τό μ ο ς 3η Εκ δ ο σ η Πρόλογος Το βιβλίο αυτό έχει σκοπό και στόχο αφενός μεν να βοηθήσει τους μαθητές της Β Λυκείου να κατανοήσουν καλύτερα την

Διαβάστε περισσότερα

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης η δεκάδα θεµάτων επανάληψης. Για ποιες τιµές του, αν υπάρχουν, ισχύει κάθε µία από τις ισότητες α. log = log( ) β. log = log γ. log 4 log = Να λυθεί η εξίσωση 4 log ( ) + = 0 6 α) Θα πρέπει > 0 και > 0,

Διαβάστε περισσότερα

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1. Α. Έστω α = (x 1, y 1 ) και β = (x, y ) δύο διανύσµατα Να γράψετε την αναλυτική έκφραση του εσωτερικού γινοµένου τους i Αν τα διανύσµατα δεν είναι παράλληλα προς τον

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ- ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ- ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ- ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κατηγορίες ασκήσεων στα απόλυτα ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ : Εξισώσεις που περιέχουν απόλυτο μιας παράστασης και όχι παράταση του x έξω από το απόλυτο. α) Λύνουμε ως προς το απόλυτο

Διαβάστε περισσότερα

εξίσωση πρώτου βαθμού

εξίσωση πρώτου βαθμού κεφάλαιο 2 Α1 εξίσωση πρώτου βαθμού επίλυση της εξίσωσης πρώτου βαθμού Εξίσωση, είναι κάθε ισότητα που περιέχει κάποιον άγνωστο, την τιμή του οποίου καλούμαστε να προσδιορίσουμε. Ο βαθμός μιας εξίσωσης

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές, αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα σημαντικό βοήθημα για την Άλγεβρα της Β Λυκείου, που είναι

Διαβάστε περισσότερα

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης η δεκάδα θεµάτων επανάληψης. Έστω η συνάρτηση f() = 80 αν < < 0 αν 0 αν i ) Να υπολογιστεί η τιµή της παράστασης Α = f( ) + f(0) 5f() f + f( ) Αν Μ(, ) και Ν(, 0) να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ΜΝ i

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 9 40 4 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 4 4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να βρείτε την αριθµητική τιµή των παραστάσεων. i) α -α 6α, ii) 4α, για α iii) αβ α β (αβ),

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÅÐÉËÏÃÇ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÅÐÉËÏÃÇ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_ΜλΘΤ(α) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ A Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή Απριλίου 0 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Θεωρία Σχολικό Βιβλίο (έκδοση 0) σελίδα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 7.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των µιγαδικών z, για τους οποίους οι εικόνες των µιγαδικών z, i, iz είναι συνευθειακά σηµεία. Έστω z = x + i,

Διαβάστε περισσότερα

1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση:

1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ Ερωτήσεις συµπλήρωσης 1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση: Φυσική γλώσσα Μαθηµατική γλώσσα ύο αριθµοί x, y διαφέρουν κατά και έχουν γινόµενο x (x

Διαβάστε περισσότερα

Γραφική επίλυση γραμμικού συστήματος με δύο αγνώστους.

Γραφική επίλυση γραμμικού συστήματος με δύο αγνώστους. ΜΕΡΟΣ Α 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ 71 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ Αν έχουμε δύο γραμμικές εξισώσεις με δύο αγνώστους,, π.χ. α + β

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Επίλυση συστήματος εξισώσεων Υποθέστε ότι: Το άθροισμα δύο αριθμών είναι 20. Ποιοι είναι οι αριθμοί;

Διαβάστε περισσότερα

3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ

3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ . Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ ΘΕΩΡΙΑ. Γραµµικό σύστηµα δύο εξισώσεων µε δύο αγνώστους Είναι ένα σύνολο δύο γραµµικών εξισώσεων µε δύο αγνώστους και των οποίων αναζητούµε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Άσκηση η Γραμμικά συστήματα Δίνονται οι ευθείες : y3 και :y 5. Να βρεθεί το R, ώστε οι ευθείες να τέμνονται. Οι ευθείες και θα τέμνονται όταν το μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

3.5 ΣΧΕΤΙΚΗ ΘΕΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ ΚΩΝΙΚΗΣ

3.5 ΣΧΕΤΙΚΗ ΘΕΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ ΚΩΝΙΚΗΣ 1 3.5 ΣΧΕΤΙΚΗ ΘΕΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ ΚΩΝΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Σχετική θέση ευθείας και κωνικής τοµής Έστω η ευθεία ε : y = λx + β και µία κωνική τοµή C µε εξίσωση την φ(x, y) =. Το πλήθος των κοινών σηµείων της ε και

Διαβάστε περισσότερα

A. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

A. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Μάθηµα 1 Κεφάλαιο: Εισαγωγικό Θεµατικές Ενότητες: A. Το Λεξιλόγιο της Λογικής B. Σύνολα A. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Ορισµός Πρόταση λέµε κάθε φράση που µε βάση το νοηµατικό της περιεχόµενο µπορούµε να

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 4 o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Σ 0. Σ 9. Λ. Λ. Σ 40. Σ. Σ. Σ 4. Λ 4. Λ. Σ 4. Σ 5. Σ 4. Σ 4. Λ 6. Σ 5. Λ 44.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία ΜΑΘΗΜΑ 8. B.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία Θεωρία Ασκήσεις γ. τόπου και µεγιστο ελάχιστου Στις ασκήσεις αυτού του µαθήµατος χρησιµοποιούµε ανισωτικές σχέσεις από την Ευκλείδεια Γεωµετρία. Θυµίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ . ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας. = 4 Να λύσετε το σύστηµα + = αλγεβρικά γραφικά = 4 = 4+ + = + = = 4+ 4 + + = = 4+ = = 4+ = = 4 = = = = 4 = 4 παριστάνει ευθεία ε Για = 0

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ 6. Βέλτιστες προσεγγίσεις σε ευκλείδειους χώρους Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε προσεγγίσεις που ελαχιστοποιούν αποστάσεις σε διανυσµατικούς χώρους, µε νόρµα που προέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΣΤΑ ΟΡΙΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΣΤΑ ΟΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΣΤΑ ΟΡΙΑ Γενικοί κανόνες ταξινόµηση των ορίων Αν και µπορούµε να αντιµετωπίσουµε τα όρια µε έναν ενιαίο τρόπο, θα τα χωρίσουµε σε δύο µεγάλες οµάδες: Οµάδα Α. Όταν, Οµάδα B. Όταν ή Ως

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11 2. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

2.4 ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

2.4 ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ . ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ. Κλασµατική εξίσωση : Ονοµάζουµε κλασµατική εξίσωση κάθε εξίσωση η οποία έχει τον άγνωστο σ έναν τουλάχιστον παρονοµαστή. ΣΧΟΛΙΟ ιαδικασία επίλυσης : i) Αναλύουµε τους παρονοµαστές

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Γραµµική Άλγεβρα Εισαγωγικά Υπάρχουν δύο βασικά αριθµητικά προβλήµατα στη Γραµµική Άλγεβρα. Το πρώτο είναι η λύση γραµµικών συστηµάτων Aλγεβρικών εξισώσεων και το δεύτερο είναι η εύρεση των ιδιοτιµών και

Διαβάστε περισσότερα

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ ( 3.) ΚΥΚΛΣ Γνωρίζουµε ότι ένας κύκλος (, ρ) είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν µια ορισµένη απόσταση ρ από ένα

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Απαλοιφή Gauss Απαλοιφή Gauss Jordan

Παραδείγματα Απαλοιφή Gauss Απαλοιφή Gauss Jordan Παραδείγματα Απαλοιφή Gauss Απαλοιφή Gauss Jodan Παράδειγμα x y Να επιλυθεί το ακόλουθο σύστημα: x y 6 Σε μορφή πινάκων το σύστημα γράφεται ως: x y 6 με απαλοιφή Gauss. Ο επαυξημένος πίνακας του συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ 1.1.. ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ ΕΜΑ ΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1. Εξίσωση γραµµής C Μια εξίσωση µε δύο αγνώστους x, y λέγεται εξίσωση µιας γραµµής C, όταν οι συντεταγµένες των σηµείων της C, και µόνον αυτές, την επαληθεύουν..

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12)

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Οκτωβρίου 006 Ηµεροµηνία παράδοσης της Εργασίας: 0 Νοεµβρίου 006.

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Όταν έχουμε δύο γραμμικές εξισώσεις αx+βy=γ και α x+β y=γ και ζητάμε τις κοινές λύσεις τους, τότε λέμε ότι έχουμε να λύσουμε ένα γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια της γραμμικής εξίσωσης

Η έννοια της γραμμικής εξίσωσης Η έννοια της γραμμικής εξίσωσης Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ Η εξίσωση αx+βy = γ Λύση της εξίσωσης α x + β y = γ ονομάζεται

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss 4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Θεωρούµε το γραµµικό σύστηµα α 11χ 1 + α 12χ 2 +... + α 1νχ ν = β 1 α 21χ 1 + α 22χ2 +... + α 2νχ ν = β 2... α ν1χ 1 + α ν2χ 2 +... + α ννχ ν = β ν Το οποίο µπορεί να γραφεί

Διαβάστε περισσότερα

T (K) m 2 /m

T (K) m 2 /m Ορθοί και λανθασµένοι τρόποι απεικονίσεως δεδοµένων σε διάγραµµα Από µετρήσεις σηµείου ζέσεως σειράς διαλυµάτων προκύπτουν τα εξής δεδοµένα: m /m.5..5..5.55.. Σύµφωνα µε την θεωρία τα δεδοµένα πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων Κεφάλαιο 3 Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων 31 Εισαγωγή Αριθµητική λύση γενικών γραµµικών συστηµάτων n n A n n x n 1 b n 1, όπου a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A [a i j, x a n1 a n2 a nn x n, b b 1 b 2 b n

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1 Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Θ έ μ α Α Α. α. Πότε η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 έχει διπλή ρίζα; Ποια είναι η διπλή ρίζα της; 4 μονάδες β. Ποια μορφή παίρνει το τριώνυμο αx + βx + γ, α 0, όταν Δ = 0; 3 μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

lnx ln x ln l x 1. = (0,1) (1,7].

lnx ln x ln l x 1. = (0,1) (1,7]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

Σύνολα. 1) Με αναγραφή των στοιχείων π.χ. 2) Με περιγραφή των στοιχείων π.χ.

Σύνολα. 1) Με αναγραφή των στοιχείων π.χ. 2) Με περιγραφή των στοιχείων π.χ. Σύνολα Ορισµός συνόλου (κατά Cantor): Σύνολο είναι κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχεται από το µυαλό µας ή την εµπειρία µας, είναι καλά ορισµένο και τα αντικείµενα ξεχωρίζουν το ένα από το άλλο, δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

( ) 10 ( ) εποµ ένως. π π π π ή γενικότερα: π π. π π. π π. Άσκηση 1 (10 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i.

( ) 10 ( ) εποµ ένως. π π π π ή γενικότερα: π π. π π. π π. Άσκηση 1 (10 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i. http://elern.mths.gr/, mths@mths.gr, Τηλ: 697905 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 00-0: Άσκηση (0 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i. α) (5 µον) Βρείτε την τριγωνοµετρική µορφή του z.

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Ο ΚΥΚΛΟΣ. 1. Εξίσωση κύκλου (Ο, ρ) 2. Παραµετρικές εξισώσεις κύκλου. 3. Εφαπτοµένη κύκλου

3.1 Ο ΚΥΚΛΟΣ. 1. Εξίσωση κύκλου (Ο, ρ) 2. Παραµετρικές εξισώσεις κύκλου. 3. Εφαπτοµένη κύκλου 3. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΘΕΩΡΙΑ. Εξίσωση κύκλου (Ο, ρ) + y ρ. Παραµετρικές εξισώσεις κύκλου ρσυνφ και y ρηµφ 3. Εφαπτοµένη κύκλου + yy ρ 4. Εξίσωση κύκλου µε κέντρο το σηµείο Κ( o, y ο ) και ακτίνα ρ ( o ) + (y y ο

Διαβάστε περισσότερα

2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 11. Α. Αν α > 0 µε α 1 τότε για οποιουσδήποτε πραγµατικούς αριθµούς θ 1, θ 2 > 0 να αποδείξετε ότι log α (θ 1 θ 2 ) = log α θ 1 + log α θ 2 Β. Έστω το σύστηµα Σ : α1x +

Διαβάστε περισσότερα

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Επομένως η εξίσωση αυτή παριστάνει ευθεία που έχει συντελεστή διεύθυνσης λ = -

Επομένως η εξίσωση αυτή παριστάνει ευθεία που έχει συντελεστή διεύθυνσης λ = - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο (ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ) Παράγραφος 1.1 (ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ) Πότε μια εξίσωση λέγεται γραμμική; Η εξίσωση α + βy = γ Κάθε εξίσωση της μοεφής α + βy = γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση, παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ o Α. Τι ονοµάζουµε εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων α, β. Μονάδες 4 Β. Να αποδείξετε ότι το εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2015 Β ΦΑΣΗ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2015 Β ΦΑΣΗ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 05 Ε_.ΒΜλΘ(α) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ A Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ηµεροµηνία: Κυριακή 6 Απριλίου 05 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία σχολικού βιβλίου, σελίδα.

Διαβάστε περισσότερα

{ } S= M(x, y,z) : x= f (u,v), y= f (u,v), z= f (u,v), για u,v (1.1)

{ } S= M(x, y,z) : x= f (u,v), y= f (u,v), z= f (u,v), για u,v (1.1) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 1. Γενικά Επειδή οι επιφάνειες δευτέρου βαθµού συναντώνται συχνά στη µελέτη των συναρτήσεων πολλών µεταβλητών θεωρούµε σκόπιµο να τις περιγράψουµε στην αρχή του βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων 57 Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων Έστω F : D R R µια ( τουλάχιστον ) C συνάρτηση ορισµένη στο ανοικτό D x, y D F x, y = Ενδιαφερόµαστε για την ύπαρξη µοναδικής και ώστε διαφορίσιµης συνάρτησης f ορισµένης

Διαβάστε περισσότερα