Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους."

Transcript

1 Μάθηµα 1 Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα Θεµατικές Ενότητες: A. Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων B. Συστήµατα 3x3 Α. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ορισµοί Κάθε εξίσωση της µορφής α x+β =γ, µε α, β, γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους. Για να είναι µια εξίσωση µε δύο αγνώστους γραµµική, θα πρέπει οι άγνωστοι να έχουν εκθέτη τη µονάδα. Αν α = προκύπτει η ειδική περίπτωση γ x+β =γ β =γ = =κ δηλαδή ευθεία παράλληλη στο xx β που διέρχεται από το σηµείο κ του άξονα. = κ κ Αν β = προκύπτει η ειδική περίπτωση γ α x+ =γ α x=γ x= x=κ δηλαδή ευθεία παράλληλη στο α που διέρχεται από το σηµείο κ του xx άξονα. (θυµίζουµε ότι αυτή ΕΝ είναι συνάρτηση.) Σελίδα -1-

2 x = κ κ Όταν ζητάµε τη κοινή λύση ή τις κοινές λύσεις δύο γραµµικών εξισώσεων µε δύο αγνώστους, τότε λέµε ότι έχουµε ένα γραµµικό σύστηµα δύο εξισώσεων µε δύο αγνώστους. Η γενική µορφή ενός τέτοιου συστήµατος είναι : α x+β =γ α x+β =γ Λύση ενός συστήµατος της παραπάνω µορφής ονοµάζουµε το διατεταγµένο ζεύγος αριθµών (x, ) που επαληθεύει ταυτόχρονα και τις δύο εξισώσεις. Ο έλεγχος που κάνουµε προκειµένου να διαπιστώσουµε αν η λύση που βρήκαµε είναι σωστή καλείται επαλήθευση. ύο γραµµικά συστήµατα λέγονται ισοδύναµα όταν έχουν τις ίδιες ακριβώς λύσεις. Για να προκύψουν δύο ισοδύναµα συστήµατα στηριζόµαστε στις εξής ιδιότητες των πραγµατικών αριθµών: Αν γ, τότε α=β αγ=βγ Αν α = β και γ = δ, τότε α+γ=β+δ Η διαδικασία εύρεσης της λύσης καλείται επίλυση του συστήµατος και πραγµατοποιείται µε τους παρακάτω τρεις τρόπους. Σελίδα --

3 Μεθοδολογία Α ΤΡΟΠΟΣ : ΜΕΘΟ ΟΣ ΤΗΣ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ Για να λύσουµε ένα σύστηµα δύο εξισώσεων µε δύο αγνώστους µε τη µέθοδο της αντικατάστασης, εργαζόµαστε ως εξής: Λύνουµε µία από τις δύο εξισώσεις, οποία θέλουµε, ως προς τον έναν άγνωστο. (Συνήθως λύνουµε ως προς εκείνον τον άγνωστο που έχει το µικρότερο συντελεστή ) Αντικαθιστούµε την παράσταση του αγνώστου αυτού στη δεύτερη εξίσωση. Λύνουµε την εξίσωση που προκύπτει και βρίσκουµε την τιµή του ενός αγνώστου. Αντικαθιστούµε την τιµή αυτή στην πρώτη εξίσωση και υπολογίζουµε την τιµή του άλλου αγνώστου. Π.χ: Να λυθεί το σύστηµα: Λύση x+ = 1 5x = 4 Προκειµένου να λύσουµε αυτό το σύστηµα µε τη µέθοδο της αντικατάστασης, εργαζόµαστε ως εξής: Παίρνουµε τη µια από τις δύο εξισώσεις (οποία θέλουµε αλλά µας βολεύει να πάρουµε τη πιο απλή ) και τη λύνουµε ως προς τον ένα άγνωστο (επίσης ως προς οποίο άγνωστο θέλουµε ). Στη συγκεκριµένη εφαρµογή διαλέγω τη πρώτη εξίσωση του συστήµατος και τη λύνω ως προς x. Έτσι προκύπτει το παρακάτω σύστηµα: x= 1 5x = 4 Τώρα αντικαθιστούµε το x στη δεύτερη εξίσωση και τη λύνουµε ως προς. Αναλυτικά έχουµε: 56 5 ( 1 ) = = 4 7= 4 6 7= 56 = = 8 7 Τώρα αφού έχουµε βρει το αντικαθιστούµε στη πρώτη εξίσωση και βρίσκουµε τον άλλο άγνωστο, δηλαδή τον x. Έτσι λοιπόν x= 1 x= 1 8 x= 4 Σελίδα -3-

4 Άρα η λύση του συστήµατος είναι το ζεύγος (x, ) = (4, 8) Επαλήθευση: Για x = 4 και = 8, έχουµε: 1 η Εξίσωση: 4+ 8= 1 1= 1 η Εξίσωση: 5 4 8= 4 16= 4 4= 4 (*) Η λύση που βρήκαµε είναι ουσιαστικά το σηµείο τοµής των δύο ευθειών που είναι οι γραφικές παραστάσεις των δύο εξισώσεων του συστήµατος 1 8 5x- = 4 x + = 1 O Β ΤΡΟΠΟΣ : ΜΕΘΟ ΟΣ ΤΩΝ ΑΝΤΙΘΕΤΩΝ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΩΝ Για να λύσουµε ένα σύστηµα δύο εξισώσεων µε δύο αγνώστους µε τη µέθοδο των αντίθετων συντελεστών, εργαζόµαστε ως εξής: Φέρνουµε τις δύο εξισώσεις του συστήµατος στη µορφή αx + β = γ φροντίζοντας να είναι τα x κάτω από τα x και τα κάτω από τα και στα δεύτερα µέλη οι γνωστοί όροι. Πολλαπλασιάζουµε τη µία ή και τις δύο εξισώσεις µε κατάλληλο αριθµό ώστε οι συντελεστές του x (ή του ) στις δύο εξισώσεις να είναι αντίθετοι αριθµοί. Προσθέτουµε κατά µέλη τις δύο εξισώσεις, οπότε απαλείφεται ο άγνωστος x (ή ο ) και προκύπτει εξίσωση ως προς (ή ως προς x), την οποία και επιλύουµε. Αντικαθιστούµε την τιµή του αγνώστου που βρήκαµε σε µια από τις δύο αρχικές εξισώσεις, υπολογίζοντας έτσι την τιµή του άλλου αγνώστου. Σελίδα -4-

5 Π.χ: Να λυθεί το σύστηµα: Λύση x = 3 x+ 3 = 6 ( 1) ( ) Προκειµένου να λύσουµε αυτό το σύστηµα µε τη µέθοδο των αντίθετων συντελεστών, εργαζόµαστε ως εξής: Πρώτα επιλέγουµε τον άγνωστο που θέλουµε να απαλείψουµε και προσπαθούµε να τον εµφανίσουµε στις δύο εξισώσεις µε αντίθετους συντελεστές. Στη συγκεκριµένη εφαρµογή θα κάνουµε απαλοιφή του. Πολλαπλασιάζουµε την εξίσωση (1) µε το 3 ενώ την () µε το 1 για να παραµείνει ως έχει. Αναλυτικά έχουµε: ( 3) ( ) x = 3 3 3x 3= 9 x+ 3= 6 1 x+ 3= 6 4 Προσθέτοντας κατά µέλη τις (3), (4) έχουµε: 3x 3+ x+ 3= x= 15 x= 3 Αντικαθιστώντας τη τιµή του x που βρήκαµε σε µία από τις δύο αρχικές εξισώσεις, βρίσκουµε τη τιµή του άλλου αγνώστου. Έτσι για x = 3 η (1) δίνει: 3 = 3 =. Άρα η λύση του συστήµατος είναι το ζεύγος (x, ) = (3, ) Επαλήθευση: Για x = 3 και =, έχουµε: 1 η Εξίσωση: 3 = 3 3= 3 η Εξίσωση: 3+ 3 = 6 6= 6 Το παρακάτω σχήµα µας δίνει τη γραφική επίλυση του συστήµατος. x+3 = 6 x - = 3 O 3-3 Σελίδα -5-

6 ΓΕΝΙΚΑ για να λύσουµε ένα σύστηµα θα πρέπει: Να κάνουµε απαλοιφή παρονοµαστών, αν υπάρχουν Να κάνουµε τις πράξεις και να χωρίσουµε γνωστούς από αγνώστους Να κάνουµε αναγωγή οµοίων όρων Να βάλουµε τα x κάτω από τα x και τα κάτω από τα Να εφαρµόσουµε µία από τις µεθόδους επίλυσης που αναφέραµε. Π.χ: Να λυθεί το σύστηµα : Λύση ( ) ( ) ( ) = 4 3x 5 x = 5x 3 5 ιαδοχικά, κάνοντας πράξεις στο σύστηµα έχουµε: ( ) ( ) ( ) 4 3x 5 x = 1x + x= 5x 3= 5 1x 3= 5 14x = 7x = 11 1x 5= 5 x = 1 Με τη µέθοδο των αντίθετων συντελεστών έχουµε: 7x = x = 11 5x = 1 x = x = 1 ( -1) x+ = 1 Αντικαθιστώντας στην x-=1 το x = θα έχουµε ότι = 3. Συνεπώς η λύση του Συστήµατος θα είναι η (x, ) = (, 3) Γ ΤΡΟΠΟΣ : ΜΕΘΟ ΟΣ ΤΩΝ ΟΡΙΖΟΥΣΩΝ Ορίζουσα ης Τάξης καλείται µια διάταξη αριθµών σε δύο γραµµές και δύο στήλες, που περικλείεται από δύο παράλληλες γραµµές. 5 7 π.χ 4 Ορίζουµε α γ β δ =α δ β γ Σελίδα -6-

7 Στο γραµµικό σύστηµα α x+β =γ α x+β =γ αντιστοιχούν 3 ορίζουσες: α β Η ορίζουσα D= =α β α β που έχει ως στοιχεία τους α β συντελεστές των αγνώστων και λέγεται ορίζουσα του συστήµατος. γ β Η ορίζουσα Dx = =γ β γ β η οποία προκύπτει από την D αν γ β στη στήλη των συντελεστών του x θέσουµε τους σταθερούς όρους. α γ Η ορίζουσα D = =α γ α γ η οποία προκύπτει από την D αν α γ στη στήλη των συντελεστών του θέσουµε τους σταθερούς όρους. Για τη λύση-διερεύνηση του συστήµατος α x+β =γ α x+β =γ ισχύουν τα εξής: Αν D, το σύστηµα έχει µοναδική λύση την : D x D x = και = D D Αν D= και Dx ή D, τότε το σύστηµα είναι αδύνατο, Αν D= και Dx = και D =, τότε το σύστηµα έχει άπειρες λύσεις, εκτός από τη περίπτωση όπου όλοι οι συντελεστές των αγνώστων είναι µηδέν ενώ ένας τουλάχιστον από τους σταθερούς όρους είναι διάφορος του µηδενός, οπότε και το σύστηµα είναι αδύνατο. (δηλ. εκτός και αν α=α =β=β = και γ ή γ οπότε και είναι αδύνατο ) Π.χ1: Να λυθεί το σύστηµα: Λύση 3x = 5 x + 3 = 1 Υπολογίζω την ορίζουσα του συστήµατος. α β 3 - D= = = 3 3 ( ) 1= 9+ = 11 α β 1 3 Σελίδα -7-

8 Η ορίζουσα του συστήµατος είναι διάφορη του µηδενός οπότε το σύστηµα έχει µοναδική λύση την: D x D x = και = D D Αναλυτικά έχουµε: γ β 5 - Dx = = = 5 3 ( ) 1= 15+ = 17 γ β 1 3 α γ 3 5 D = = = = 3 5= α γ 1 1 Άρα η λύση του συστήµατος είναι : 17 x, =, ( ) D 17 x = και D 11 D 11 D x = = = δηλ. Π.χ: Να λυθεί το σύστηµα: Λύση x+ = 5 x+ 4= 1 Υπολογίζω την ορίζουσα του συστήµατος. α β 1 D= = = 1 1= = α β 1 Η ορίζουσα του συστήµατος είναι µηδέν οπότε θα πρέπει να υπολογίσω και τις D x, D. Εάν µία από τις δύο είναι διάφορη του µηδενός τότε το σύστηµα είναι αδύνατο. Εάν και οι δύο προκύψουν µηδενικές τότε το σύστηµα είναι αόριστο. Αναλυτικά έχουµε: γ β 5 Dx = = = 5 5 = 1 1= γ β α γ 1 5 D = = = = 5 5= α γ x Εποµένως το σύστηµα έχει άπειρες λύσεις (αόριστο), τα ζεύγη x,, 5,, όπου όπου x οποιοσδήποτε πραγµατικός αριθµός, ή τα ζεύγη ( ) οποιοσδήποτε πραγµατικός αριθµός. Σελίδα -8-

9 Π.χ3: Να λυθεί το σύστηµα: Λύση x+ 3= 1 3x+ 9= 7 Υπολογίζω την ορίζουσα του συστήµατος. α β 1 3 D= = = = 9 9= α β 3 9 Η ορίζουσα του συστήµατος είναι µηδέν οπότε θα πρέπει να υπολογίσω και τις D x, D. Εάν µία από τις δύο είναι διάφορη του µηδενός τότε το σύστηµα είναι αδύνατο. Εάν και οι δύο προκύψουν µηδενικές τότε το σύστηµα είναι αόριστο. γ β 1 3 Αναλυτικά έχουµε: Dx = = = = 9 1= 1, άρα το γ β 7 9 σύστηµα είναι αδύνατο Λυµένες Ασκήσεις 1. Να λυθεί το σύστηµα : x = x = 4 ( 1) ( ) Λύση Με τη µέθοδο των αντίθετων συντελεστών έχω: ( ) x = - x+ = 4 x + = x = 4 1 x = 4 Η εξίσωση x + = αληθεύει για κάθε x και. Στη περίπτωση αυτή λέµε ότι το σύστηµα έχει άπειρες λύσεις ή ότι είναι αόριστο. Η Γραφική ερµηνεία ενός τέτοιου συστήµατος είναι ότι οι δύο εξισώσεις του συστήµατος που παριστάνουν δύο ευθείες στο επίπεδο, συµπίπτουν.(αφού έχουν άπειρα σηµεία τοµής ) Σελίδα -9-

10 x = = x και x = 4 = x+ 4 = x x - = 4 x - = O -. Να λυθεί το σύστηµα : ( 1) ( ) x+ 4= 3 x+ 4= Λύση Με τη µέθοδο των αντίθετων συντελεστών έχω: x+ 4= 3 1 x+ 4= 3 x + = 5 x+ 4= ( -1) x 4= Η εξίσωση x + = 5 δεν αληθεύει για κανένα x και, δηλαδή είναι αδύνατη. Στη περίπτωση αυτή λέµε ότι το σύστηµα είναι αδύνατο. Η Γραφική ερµηνεία ενός τέτοιου συστήµατος είναι ότι οι δύο εξισώσεις του συστήµατος που παριστάνουν δύο ευθείες στο επίπεδο, είναι παράλληλες.(αφού δεν έχουν κανένα σηµείο τοµής ) x+ 4= 3 = x + x+ 4= = x 4 O x +4 =3 x +4 = - Σελίδα -1-

11 3. Να λυθεί το σύστηµα : x+λ =λ λ x + = 4 λ 8 (παραµετρική) Λύση Υπολογίζω τις ορίζουσες D,D x, D. Αναλυτικά έχουµε: α β λ D= = = 4 λ = λ 4 = λ λ+ α β λ ( ) ( )( ) γ β λ- λ Dx = = = λ λ 4λ 8 = λ 4λλ = λ 4λ = λ 1 λ γ β 4λ-8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) α γ λ- D = = = 4λ 8 λλ = 4 λ λλ = λ α γ λ 4λ-8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Βρίσκω για ποιες τιµές της παραµέτρου λ είναι D =. D= λ λ+ = λ= ή λ = - ( )( ) Εξετάζω περιπτώσεις ανάλογα µε τις τιµές της παραµέτρου. ( 8 λ ) = λ ( 8)( λ ) (i) Αν λ και λ -, τότε D και συνεπώς το σύστηµα έχει µοναδική λύση την: D ( λ 1 x )( λ ) ( λ 1) x = = = και D λ λ+ λ+ ( )( ) ( )( ) ( )( ) D λ 8 λ λ 8 D λ λ+ λ+ = = = ( ) x+ = (ii) Αν λ = το αρχικό σύστηµα παίρνει µορφή οπότε και είναι x+ = αόριστο, δηλαδή έχει άπειρες λύσεις. Επειδή x+ = x+ = = x, λύσεις στην περίπτωση αυτή είναι όλα τα ζεύγη (x, -x), όπου x οποιοσδήποτε πραγµατικός αριθµός.( ή όλα τα ζεύγη της µορφής (κ, -κ), µε κ R ) Σελίδα -11-

12 (iii)αν λ = -, το αρχικό σύστηµα παίρνει µορφή x = 4 x = οπότε και είναι αδύνατο. x+ = 16 x = 8 (*) Τόσο για λ = όσο και για λ = -, θα µπορούσαµε να εξετάσουµε αν είναι αόριστο ή αδύνατο το σύστηµα βρίσκοντας για τα συγκεκριµένες τιµές του λ τα D X,D Y. Αν για µια τιµή του λ τόσο το D X όσο και το D Y είναι µηδέν, τότε το σύστηµα θα είναι αόριστο. Αν για µια τιµή του λ ένα από τα D,D είναι διάφορο του µηδενός τότε το σύστηµα θα είναι αδύνατο. X Y Ερωτήσεις «Σωστού Λάθους» Σε κάθε µία από τις παρακάτω προτάσεις να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ). 1. Αν ( x, ) µια λύση της γραµµικής εξίσωσης Σ Λ. α x+β =γ, τότε α x+β =γ Σ Λ γ ακ 3. Τα ζεύγη κ, β είναι λύσεις της εξίσωσης α x+β =γ, β Σ Λ 4. Η εξίσωση 1 = 3 είναι γραµµική Σ Λ x 5. Η εξίσωση x = είναι γραµµική Σ Λ Το σύστηµα x= 5 x= είναι αδύνατο Σ Λ 7. Ισχύει x= x= x= x+ = Σ Λ 8. Ισχύει x+ 3= 5 x= 1 x = 4 = Σ Λ 9. Ισχύει x+ 5= x= 17 4x = 1 4x= 1 Σ Λ Σελίδα -1-

13 1. Αν για ένα x γραµµικό σύστηµα ισχύει D= Dx και Σ Λ 1 D = 3D, D, τότε το σύστηµα έχει λύση x= και = Όταν D =, το x γραµµικό σύστηµα είναι αδύνατο. Σ Λ 1. Ισχύει α 1x+β 1=γ1 λα 1x+λβ 1 =λγ1, λ α x+β =γ α x+β =γ Σ Λ α 1x+β 1=γ1 13. Αν η ορίζουσα του συστήµατος είναι ίση µε το µηδέν, α x+β =γ τότε οι αντίστοιχες ευθείες των εξισώσεων είναι πάντα παράλληλες Σ Λ 14. Όταν τα στοιχεία µιας ορίζουσας είναι αρνητικοί αριθµοί, η τιµή Σ Λ της ορίζουσας είναι αρνητικός αριθµός. Ερωτήσεις Πολλαπλής Επιλογής Σε κάθε µία από τις παρακάτω ερωτήσεις να σηµειώσετε τη σωστή απάντηση. 1. Η εξίσωση της ευθείας που ορίζεται από τα σηµεία (4, 5) και (4, -3) είναι η: Α. = 3 Β. = 4 Γ. x= 4. 4x+ 5= 3 Ε. = 4x = 4x+ 5. Το σύστηµα : 4x = 3 Α. έχει µία µόνο λύση Β. είναι αδύνατο Γ. είναι αόριστο. δεν προκύπτει κανένα συµπέρασµα για τη λύση του 3x = 5 3. Το σύστηµα : 7x+ = Α. έχει µία µόνο λύση Β. είναι αδύνατο 3x 5 Γ. έχει λύσεις όλα τα ζεύγη x,, x R. δεν προκύπτει κανένα συµπέρασµα Σελίδα -13-

14 x+ 3= 5 4. Το σύστηµα : 4x+ 6= Α. έχει λύσεις όλα τα ζεύγη,, R Β. δεν έχει λύση Γ. έχει µία µόνο λύση. έχει λύσεις όλα τα ζεύγη ( x,x ) Ε. δεν προκύπτει κανένα συµπέρασµα για τη λύση του 5, x R 5. Η ισοδύναµη της εξίσωσης x= 4 είναι η εξίσωση: Α. x= 4 Β. x+ = 4 Γ. x = 4. 1 x 4 = Ε. 1 x = 6. Η εξίσωση = 3 επαληθεύεται: Α. µόνο από το ζεύγος (3, ) Β. µόνο από το ζεύγος (, 3) Γ. µόνο από το ζεύγος (-1, 3). από όλα τα ζεύγη της µορφής(κ, 3) κ R Ε. από κανένα ζεύγος (x, ) λ x+ = 7 7. Το σύστηµα x λ = λ Α. είναι αδύνατο για κάθε λ πραγµατικό Β. είναι αδύνατο για κάθε λ Γ. έχει άπειρες λύσεις για κάθε λ πραγµατικό 7. έχει άπειρες λύσεις µόνο όταν λ= Ε. έχει µοναδική λύση για κάθε λ πραγµατικό 8. Αν για ένα γραµµικό σύστηµα δύο εξισώσεων µε αγνώστους τα x και ισχύει D και D Dx + 4D =, τότε τα x και επαληθεύουν την εξίσωση: Α. x 4= 1 Β. x+ 4= 1 Γ. x 4= 1. x 4= x Ε. 1 x+ = 1 4 λ x+ = 7 9. Το σύστηµα έχει άπειρες λύσεις όταν: x+λ = λ Α. λ= 1 Β. λ= Γ. λ= 1ή λ= 1. λ= ή λ= 1 Ε. λ= 1. Η ορίζουσα Α. x x 1 Β. x 1 είναι ίση µε: x+ 1 x x x 1 + Γ. ( x+ 1). ( x 1) Σελίδα -14- Ε. x x

15 11. Αν ένα γραµµικό σύστηµα δύο εξισώσεων µε αγνώστους τα x, έχει λύση x=, = 1τότε: 1 1 = Β. Dx = D Γ. D x = D. D = D x Ε. Dx+ D = 1 Α. Dx D Ερωτήσεις Συµπλήρωσης Κενού 1. Μια λύση ενός συστήµατος δύο γραµµικών εξισώσεων µε δύο αγνώστους είναι που επαληθεύει.του συστήµατος.. Αν οι εξισώσεις ενός γραµµικού συστήµατος δύο εξισώσεων µε δύο αγνώστους παριστάνουν δύο παράλληλες ευθείες, τότε το σύστηµα είναι. 3. Αν οι εξισώσεις ενός γραµµικού συστήµατος δύο εξισώσεων µε δύο αγνώστους παριστάνουν την ίδια ευθεία, τότε το σύστηµα είναι 3x =λ 4. Έστω το σύστηµα, να συµπληρώσετε τα κενά στις 4x+ 7= 3λ παρακάτω προτάσεις. Οι ορίζουσες που αντιστοιχούν στο σύστηµα είναι οι D =, Dx = και D = Η λύση του συστήµατος είναι η x= και = Σελίδα -15-

16 Ερωτήσεις Αντιστοίχησης Αντιστοιχίστε τα στοιχεία της στήλης (Α) µε τα στοιχεία της στήλης (Β). ΣΤΗΛΗ (Α) Εξίσωση 1. x 3= 6 5. x+ = x = x+ = x+ 7= 19 Α. (4, -5) Β. (,1 ) Γ. (-1, -). (, -) ΣΤΗΛΗ (Β) Λύση Ε. (9, ) ΣΤ. (3, -1) ΣΤΗΛΗ (Α) Ορίζουσα ΣΤΗΛΗ (Β) Τιµή α 1 α α α+ 1 α β β α α α β β Α. ( α β)( α+β ) Β. αβ( α β ) Γ. 13. α+β Ε. -1 Σελίδα -16-

17 Άλυτες Ασκήσεις 1. Να λυθούν τα συστήµατα: 4x 3= 6 i) x x = 16 = vi) x 3= 3 ii) x = 6 + = 3 x iv) x + = 13 x 3 1 = = 3 3x+ = 5 3 x iii) vii) 3x + = 7 x = x 3= = x iv) x) x = 6 x+ x = = x 3= x+ 1 viii) x 4 v) 3 4x + 3 = 3x 5 ( x 1) = 4 x = 1 x + 3 = 5 3 x 4 = 1 xi) xii) xiii) 4 x 3 = 8 3 x + = 5 4 x + 3 = 5 x+ x 7 + = 3 6 xiv) x x = 3 6 x = 4 xv) x = 4 x 3 = 7 xx) x + 5 = 16 7 x 1+ + = 31 xvi) 3 x = = 14 x + 1 xvii) 3 1 = 7 x+ 1 3 x+ = 5 xviii) 5 x = 1 6 x+ 7 = 1 xix) 3 x + 4 = 7. Να γράψετε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σηµεία: i) Α(3, ) και Β(-, -3) ii) Α(, 4) και Β(, -3) iii) Α(-1, 3) και Β(4, 3) iv) Α(1, 4) και Β(-, 1) v) Α(, ) και Β(, 3) vi) Α( 1, 1 ) και Β(-3, ) Σελίδα -17-

18 3. Να βρείτε τα α,β ώστε το (Σ) λύση το ζεύγος (-, 3). α x +β = 6 ( α+ ) x ( β ) =α 5 β+ 1 να έχει 4. Να λυθούν τα συστήµατα: x+ = 6 3x+ = 1 x+ = 7 i) ii) iii) 3x = x = 1 3x = 5. Να λυθούν τα συστήµατα: x+ = 5 x = 1 x= i) ii) iii) = x= 1 = 3 6. Να λυθούν τα συστήµατα: x+ 3= x+ = x= i) ii) iii) 4x 6= 1 x = 4 3x 3= 7. Να λυθούν τα συστήµατα: ( x+ ) + 3( x ) = 1 ( x+ ) 3( x ) = 6 i) ii) 5( x+ ) + 4( x ) = 6 3( x+ ) + 4( 3x+ ) = 8. Να βρείτε ποια από τα παρακάτω συστήµατα έχουν λύση, ποια είναι αδύνατα-αόριστα. x+ = 6 x+ 3= 6 4x+ = 5 i) ii) iii) 3x = x+ 6= 1 x = 1 αx = 1 9. ίνεται το σύστηµα. Να εξηγήσετε γιατί είναι αδύνατο για α x+ = 3 οποιαδήποτε πραγµατικό αριθµό α. 1. Να λυθούν τα συστήµατα: x 3= 6 x 5= 5 x 3= i) ii) iii) x+ 5= 1 7x+ = 5 x+ 5= 7 Σελίδα -18-

19 11. Να λυθούν τα συστήµατα: x+ 1 = x= x= i) ii) iii) 3x 5 x + x = + 5 = x= Να λυθούν τα συστήµατα: 3x 7= 1 x+ = 1 i) ii) 7 x 4= 5 x+ = Να λυθούν τα συστήµατα: 3x+ 5= 1 x 3= i) ii) 6x 1= x 6= Να λυθούν τα συστήµατα: 3x = 8x 1= 4 i) ii) 6x+ = 4 x+ 3= Να λυθούν τα συστήµατα: 4 3x+ x+ 3x+ = x+ 5= 3 + = i) ii) 5 5 iii) 8 5 7x+ = x+ x x+ = 4 = Να λυθούν τα συστήµατα: x 3= x+ = 3 3( x+ ) ( x ) = i) ii) iii) 5x = 5 3x+ 8= 1 ( x+ ) + 4( x ) = Να λυθούν τα συστήµατα: x+ = 5 x= 8 x+ = 4 x+ = 7 i) ii) iii) iv) x = 6 x = 75 x = 4 x x= 18. Να λυθούν τα συστήµατα: x+ 1 + ( x+ 1) x x 1 = = i) ii) x 1 3x+ 11+ x 4 = = x+ 1 3 Σελίδα -19-

20 19. Να λύσετε τα συστήµατα µε τη βοήθεια των οριζουσών: x+ = 1 x 3= 6 x+ 3= 1 i) ii) iii) x+ = 4x+ = 16 6x+ 9= 4 3x = 1 x 3= x+ 1 iv) v) x = 4x+ 3= 3x 5. Να λύσετε τις εξισώσεις: x-1 -x i) = ii) = 4x iii) = 5 3x -1 3x - 3x x+1 6 x -x x 1 iv) = 3x 1 v) = x-1-3 x+1 x x 1. Για τις διάφορες τιµές του λ, να λύσετε τα συστήµατα : λ x+ =λ λ x+ =λ+ i) ii) x + = λ 1 λ 1 x + λ+ 1 = λ+ 1 ( ) ( ) λ+ x+ 4= 8 3λ iii) x+ λ+ 4 = 8 ( ) ( ) ( ) x+ 3= 6. Να βρείτε για ποια τιµή του λ το σύστηµα x+ 6 =λ i) έχει άπειρες λύσεις ii) είναι αδύνατο 3. Να βρείτε για ποια τιµή του λ το σύστηµα λύση. x+ =λ x+ 4= 5 έχει µοναδική 4. Να βρείτε για ποια τιµή του λ το σύστηµα x = x =λ είναι αδύνατο. Σελίδα --

21 x+λ = 1 5. Να βρείτε για ποια τιµή του λ τα συστήµατα i) λ x + =λ λx 3= 4 4 έχουν άπειρες λύσεις. x = 3 ii) 6. Να βρείτε τα α, β, ώστε για τη συνάρτηση f( x) =α x( x+ 1) +β να ισχύει f ( ) = 1 και f (3) = Να βρεθούν τα x, αν ισχύει ότι: D + D D + 1= X Y X 8. Να λυθεί το σύστηµα αν ισχύει ότι: D + D D D+ D = X Y X 9. Να λυθεί το σύστηµα 3DX DY = D + D = 5 X Y αν είναι γνωστό ότι D = Να λυθεί το σύστηµα περιπτώσεις...) 3DX DY = D. (Προσοχή: Θα διακρίνεται DX+ DY = 5D Β. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 3X3 Ορισµοί Ένα σύστηµα τριών εξισώσεων µε τρεις αγνώστους (3x3) θα είναι της µορφής : α x+β +γ z=δ α x+β +γ z=δ α x+β +γ z=δ Σελίδα -1-

22 Στην ειδική περίπτωση όπου οι σταθεροί όροι ενός γραµµικού συστήµατος (3x3) είναι όλοι ίσοι µε το µηδέν, το σύστηµα τότε καλείται οµογενές. Έτσι ένα οµογενές σύστηµα θα είναι της µορφής : ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ α x+β +γ z= α x+β +γ z= α x+β +γ z= Παρατηρούµε ότι µια προφανή λύση που έχουν τα οµογενή συστήµατα είναι η µηδενική, δηλαδή η (x,, z) = (,, ), αφού αν βάλουµε όπου x =, = και z = το σύστηµα επαληθεύεται. Εκτός όµως από τη µηδενική λύση, τα οµογενή συστήµατα µπορεί να έχουν και επιπλέον λύσεις, όπως θα δούµε αναλυτικά στην εφαρµογή που ακολουθεί. Μεθοδολογία - Εφαρµογές Να λυθεί το σύστηµα Λύση x ω= 6 x 3ω= 1 5x+ 6+ω= (1) () (3) Το παραπάνω σύστηµα µπορεί να λυθεί µε έναν από τους παρακάτω δύο τρόπους. Α ΤΡΟΠΟΣ Παίρνουµε τις δύο πρώτες εξισώσεις και δηµιουργούµε ένα σύστηµα µε αγνώστους τους x και. Έπειτα λύνουµε αυτό το σύστηµα και τις τιµές των x και τις αντικαθιστούµε στην τρίτη εξίσωση. Αναλυτικά παίρνοντας τις εξισώσεις (1), () του συστήµατος έχουµε : x = 6 ω x = 1+ 3ω Λύνοντας το παραπάνω σύστηµα βρίσκουµε ότι: x= ω και = ω 4. Σελίδα --

23 Αντικαθιστώντας τώρα τις τιµές x, στην εξίσωση (3) του συστήµατος προκύπτει εξίσωση ως προς ω 5 ω + 6 ω 4 +ω= ω=. ( ) ( ) 1 Έτσι x= ( 1) = 3 και = ( 1) 4= Οπότε η λύση του συστήµατος είναι η: (x,, z) = (3, -, -1) B ΤΡΟΠΟΣ Από τις εξισώσεις (1) και () του συστήµατος απαλείφουµε έναν από τους τρεις αγνώστους, για παράδειγµα τον x. Αναλυτικά έχουµε: x ω= 6 x 3ω= 1 x ω= 6 (-1) x+ + 3ω= 1 Προσθέτοντας κατά µέλη έχουµε : + ω= 4 Επίσης από τις εξισώσεις (1) και (3) του συστήµατος απαλείφουµε πάλι τον ίδιο άγνωστο(τον x) και έχουµε: x ω= 6 5x+ 6+ω= (- 5) 5x+ 5+ 5ω= 3 5x+ 6+ω= Προσθέτοντας κατά µέλη έχουµε : 11+ 6ω= 8 Έτσι το αρχικό σύστηµα παίρνει µορφή: x ω= 6 + ω= ω= 8 Λύνοντας το σύστηµα των δύο τελευταίων εξισώσεων έχουµε: + ω= ω= 8 (-11) 11 ω= ω= 8 Προσθέτοντας κατά µέλη έχουµε : ω = 1 x ω= 6 Έτσι το σύστηµα παίρνει µορφή: + ω= 4 ω= 1 Αντικαθιστώντας την τιµή του ω στη δεύτερη εξίσωση προκύπτει η τιµή του. = 4 = Σελίδα -3-

24 Για = - και ω = -1 η πρώτη εξίσωση δίνει x + + 1= 6 x = 3 Άρα η λύση του συστήµατος είναι η: (x,, z) = (3, -, -1) Να λυθεί το σύστηµα Λύση x+ 3+ 4ω= (1) x+ + 3ω= () x = (3) (Οµογενές Σύστηµα) Το σύστηµα είναι οµογενές οπότε έχει εξ ορισµού τη µηδενική λύση (,, ). Εξετάζουµε εάν έχει και άλλες λύσεις. Από τις εξισώσεις (1) και () του συστήµατος απαλείφουµε τον x. Αναλυτικά έχουµε: x+ 3+ 4ω= (-1) x 3 4ω= 6 x ω= x ω= Προσθέτοντας κατά µέλη έχουµε : ω= Από τις εξισώσεις () και (3) του συστήµατος µε απαλοιφή του x έχουµε: x+ + 3ω= x+ + 3ω= x = (-1) x + + ω= Προσθέτοντας κατά µέλη έχουµε : 3+ 3ω= x+ 3+ 4ω= Έτσι το αρχικό σύστηµα παίρνει µορφή: ω= 3+ 3ω= x+ 3+ 4ω= x+ 3+ 4ω= +ω= ή. Άρα είναι +ω= +ω= = ω και x 3ω+ 4ω= x= ω ή Εποµένως για κάθε τιµή του ω, για παράδειγµα ω = λ, έχουµε και µία λύση του συστήµατος, τη x = -λ, = -λ και ω = λ. ηλαδή το σύστηµα έχει άπειρο πλήθος λύσεων της µορφής (-λ, -λ, λ), όπου λ πραγµατικός αριθµός. ΓΕΝΙΚΑ τα οµογενή συστήµατα µπορεί να έχουν: Είτε µόνο τη µηδενική λύση (,, ) Είτε άπειρες λύσεις, στις οποίες περιλαµβάνεται και η µηδενική, όπως στη παραπάνω εφαρµογή, αφού για λ = προκύπτει η λύση (,, ) Σελίδα -4-

25 Να λυθεί το σύστηµα x+ = 3 (1) +ω= 7 () ω+ x = 4 (3) Λύση Η λύση του παραπάνω συστήµατος µπορεί να βρεθεί µε τους παραπάνω δύο τρόπους επίλυσης, ωστόσο χρησιµοποιώντας την ακόλουθη τεχνική µπορούµε µε πολύ εύκολο τρόπο να προσδιορίσουµε τη λύση του συστήµατος. Προσθέτουµε κατά µέλη τις εξισώσεις του συστήµατος και έχουµε: x+ +ω = 14 x+ +ω= 7 (4) ( ) Αφαιρούµε τώρα από την (4) διαδοχικά τις (1), () και (3) και παίρνουµε: x+ +ω= 7 ( ) x+ = 3 ω= 4 x+ +ω= 7 ( ) +ω= 7 x= x+ +ω= 7 ( ) x + ω= 4 = 3 Άρα η λύση του συστήµατος είναι : (x,, ω) = (, 3, 4) Άλυτες Ασκήσεις 1. Να λυθούν τα συστήµατα: x+ 5 6ω= 7 x+ 3 ω= 4 i) + 3ω= v) x + ω= ω= x+ ω= 4 x+ +ω= 3 x+ + 3z= 1 x+ + 3z= ii) 3x +ω= vi) x+ 4 z= ix) x+ 4 z= x 1 + ω= 3x+ 6 4z= 3 3x+ 6 4z= 3 3x+ z= 1 x+ 3+ 4z= 3 iii) x + z= 1 vii) 4x+ 3 4z= x 3z + = 6x 6+ 8z= 3 4x z= 15 x+ + z= 9 iv) 4x+ + z= 9 viii) x+ 3+ 4z= 3 x 3 3z 3 + = 4x 6 z= Σελίδα -5-

26 . Να λυθούν τα συστήµατα: x+ + z= x+ + z= i) x z= ii) x + z= x z = 3x 3 z= x+ + z= 4x z= iii) 3x+ 3+ 3z= iv) 5x+ 4+ z= 4x 4 4z + + = 4x+ + 19z= 3. Να λυθούν τα συστήµατα: 1 1 = x + 5 x+ = 4 x+ = 1 1 i) + z= 3 ii) x+ z= 1 iii) = z 3 x z 5 z = + = 1 1 = x + z x+ ω= 5 4. Να λυθεί το σύστηµα: +ω x = 7 ω+ x = 4 Σελίδα -6-

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ....................................................

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΩΝ

Α. ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΩΝ Κεφάλαιο o : Εξισώσεις - Ανισώσεις ΜΑΘΗΜΑ Υποενότητα.: Ανισώσεις ου Βαθµού Θεµατικές Ενότητες:. Ανισότητες - Κανόνες Ανισοτήτων.. Η έννοια της ανίσωσης.. Τρόπος επίλυσης ανισώσεων ου βαθµού. Α. ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση της µορφής α + β = γ όπου α + β 0 ( α, β όχι συγχρόνως 0) παριστάνει ευθεία. (Η εξίσωση λέγεται : ΓΡΑΜΜΙΚΗ) ΕΙ ΙΚΑ γ Αν α = 0 και β 0έχουµε =. ηλαδή µορφή = c.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 3ο κεφάλαιο: Εξισώσεις ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 2014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 2014 Περιεχόµενα 1

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα : Έστω ότι θέλουµε να παραστήσουµε γραφικά την εξίσωση 6χ-ψ=3. Λύση 6χ-ψ=3 ψ=6χ-3. Άρα η εξίσωση παριστάνει ευθεία. Για να τη χαράξουµε

Παραδείγµατα : Έστω ότι θέλουµε να παραστήσουµε γραφικά την εξίσωση 6χ-ψ=3. Λύση 6χ-ψ=3 ψ=6χ-3. Άρα η εξίσωση παριστάνει ευθεία. Για να τη χαράξουµε Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης ΣΣΤΗΜΤ ΜΜΩΝ ΞΣΩΣΩΝ Μ ΝΩΣΤΣ ΣΩΣ ΝΝΣ ρισµός: Μια εξίσωση της µορφής αχ+βψ=γ ονοµάζεται γραµµική εξίσωση µε δυο αγνώστους. ύση της εξίσωσης αυτής ονοµάζεται κάθε διατεταγµένο

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ (ΜΕΡΟΣ Β)

Α. ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ (ΜΕΡΟΣ Β) ΜΑΘΗΜΑ 5 Κεφάλαιο o : Αλγεβρικές Παραστάσεις Υποενότητα.: Κλασµατικές Εξισώσεις Θεµατικές Ενότητες:. Κλασµατικές Εξισώσεις (Μέρος Β). Α. ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ (ΜΕΡΟΣ Β) ΟΡΙΣΜΟΙ Κλασµατική εξίσωση λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 1

Κεφάλαιο 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 1 Κεφάλαιο 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 1 Εξίσωση πρώτου βαθμού ή πρωτοβάθμια εξίσωση με άγνωστο x ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής

Διαβάστε περισσότερα

Θα ξέρεις τι λέγεται γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους. Λέγεται κάθε εξίσωση της μορφής αχ +βψ =γ. Θα ξέρεις τι είναι το σύστημα εξισώσεων

Θα ξέρεις τι λέγεται γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους. Λέγεται κάθε εξίσωση της μορφής αχ +βψ =γ. Θα ξέρεις τι είναι το σύστημα εξισώσεων 1. Θα ξέρεις τι λέγεται γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους. Λέγεται κάθε εξίσωση της μορφής αχ +βψ =γ. Θα ξέρεις τι είναι το σύστημα εξισώσεων Είναι ομάδα από δύο ή περισσότερες εξισώσεις των οποίων ζητάμε

Διαβάστε περισσότερα

5 Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας

5 Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας 5 Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρηµα Κάθε ευθεία έχει εξίσωση της µορφής: Ax + By +Γ= 0, µε Α 0 ηβ 0 () και αντιστρόφως κάθε εξίσωση της µορφής () παριστάνει ευθεία γραµµή.

Διαβάστε περισσότερα

1. Η ευθεία y = 5 είναι κάθετη στον άξονα y y. Σ Λ. 2. Η ευθεία x = - 2 είναι παράλληλη προς τον άξονα x x. Σ Λ

1. Η ευθεία y = 5 είναι κάθετη στον άξονα y y. Σ Λ. 2. Η ευθεία x = - 2 είναι παράλληλη προς τον άξονα x x. Σ Λ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ Ερωτήσεις του τύπου «σωστό-λάθος» 1. Η ευθεία y = 5 είναι κάθετη στον άξονα y y. Σ Λ 2. Η ευθεία x = - 2 είναι παράλληλη προς τον άξονα x x. Σ Λ 3. Οι ευθείες x = κ και y

Διαβάστε περισσότερα

3.3 ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ

3.3 ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ . ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΘΕΩΡΙΑ. Μέθοδοι επίλυσης : Οι βασικές µέθοδοι αλγεβρικής επίλυσης ενός γραµµικού συστήµατος δύο εξισώσεων µε δύο αγνώστους είναι δύο η µέθοδος της αντικατάστασης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1) Γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους λέγεται κάθε εξίσωση της μορφής αχ+βψ=γ, όπου α,β,γr. α) Λύση της γραμμικής αυτής εξίσωσης λέγεται κάθε ζεύγος (χ,ψ)=(χ 0,ψ 0 ) που την

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΙΓΜΑΤΙΚΗ Ι ΑΣΚΑΛΙΑ «ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟ Ο ΤΩΝ ΟΡΙΖΟΥΣΩΝ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ» 1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΡΙΣΜΟΣ 1 : Γραµµική εξίσωση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ . ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ : ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ Η εξίσωση με και 0 ή 0 λέγεται γραμμική εξίσωση. Οι μεταβλητές είναι οι άγνωστοι της εξίσωσης αυτής. Οι αριθμοί λέγονται συντελεστές των αγνώστων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoocom Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Η εξίσωση α + βy = γ 1. Υπάρχουν προβλήματα που η επίλυση τους οδηγεί σε μια γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους, y και η οποία είναι της μορφής

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ

Α. ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ 8 Κεφάλαιο 2o : Τα Κλάσµατα Υποενότητα 2.3: Σύγκριση Κλασµάτων Θεµατικές Ενότητες: 1. Σύγκριση Κλασµάτων. Α. ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΚΑΝΟΝΕΣ ΣΥΓΚΡΙΣΗΣ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Μεταξύ οµωνύµων κλασµάτων µεγαλύτερο είναι

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή : α+β=0 ή α=-β () λέγεται εξίσωση ου βαθμού (ή πρωτοβάθμια εξίσωση), με άγνωστο το, ενώ

Διαβάστε περισσότερα

Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή,

Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή, Φίλη μαθήτρια φίλε μαθητή Η εργασία αυτή έγινε με σκοπό να συμβάλει στην κατανόηση στην εμπέδωση και στην εμβάθυνση των μαθηματικών εννοιών που αναπτύσσονται στην Άλγεβρα της Β Λυκείου. Η ύλη είναι γραμμένη

Διαβάστε περισσότερα

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή.

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή. Η Αριθµητική Ανάλυση χρησιµοποιεί απλές αριθµητικές πράξεις για την επίλυση σύνθετων µαθηµατικών προβληµάτων. Τις περισσότερες φορές τα προβλήµατα αυτά είναι ή πολύ περίπλοκα ή δεν έχουν ακριβή αναλυτική

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο: ΕΚΘΕΤΙΚΗ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο: ΕΚΘΕΤΙΚΗ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο: ΕΚΘΕΤΙΚΗ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com Αδεια χρήσης η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ

3.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ . Η ΕΝΝΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ. Εξίσωση πρώτου βαθµού µε αγνώστους και νοµάζεται κάθε εξίσωση της µορφής α + β = γ. Άγνωστοι είναι το και το. Τα α, β και γ λέγοντα συντελεστές. Ειδικότερα το γ

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων

Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων 1. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις µόνο µε αριθµούς, λέγεται αριθµητική παράσταση. Παράδειγµα: + + 1 =. είναι µια αριθµητική παράσταση, το αποτέλεσµα των

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος Μαθηματικά Γ'Γυμνασίου Μαρίνος Παπαδόπουλος ΠΡΟΛΟΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Σας καλωσορίζω στον όµορφο κόσµο των Μαθηµατικών της Γ Γυµνασίου. Τα µαθηµατικά της συγκεκριµένης τάξης αποτελούν ίσως το αποκορύφωµα των

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 6ο κεφάλαιο: Συναρτήσεις ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 2014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 2014 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

x - 1, x < 1 f(x) = x - x + 3, x

x - 1, x < 1 f(x) = x - x + 3, x Σελίδα από 4 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Του Αντώνη Κυριακόπουλου Εισαγωγή Στην εργασία αυτή παραθέτω χρήσιµες επισηµάνσεις στις βασικές έννοιες των πραγµατικών συναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ

4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ 1 4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Εξίσωση µε έναν άγνωστο: Ονοµάζουµε µία ισότητα η οποία περιέχει αριθµούς και ένα γράµµα που είναι ο άγνωστος της εξίσωσης.. Λύση ή ρίζα της εξίσωσης : Είναι ο αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος.

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Ενότητα 2 Γραμμικά Συστήματα Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Να ερμηνεύουμε γραφικά τη

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού

3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1. Να διερευνήσετε την εξίσωση. Ισχύει: Διακρίνουμε τώρα τις περιπτώσεις: Αν τότε: ΘΕΩΡΙΑ Απάντηση Επομένως, αν η εξίσωση έχει ακριβώς μία λύση, την. Αν, τότε η εξίσωση γίνεται,

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΡΗΤΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ

Α. ΡΗΤΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 9 Κεφάλαιο o : Αλγεβρικές Παραστάσεις Υποενότητα.9: Ρητές Αλγεβρικές Παραστάσεις. Θεµατικές Ενότητες:. Ρητές Αλγεβρικές Παραστάσεις. Α. ΡΗΤΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Ρητή αλγεβρική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο 3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η. (Σ) όπου α, β, α, β, είναι οι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο 3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η. (Σ) όπου α, β, α, β, είναι οι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ. Ποια είναι η μορφή ενός συστήματος δύο γραμμικών εξισώσεων, δύο αγνώστων; Να δοθεί παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ . ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ. Γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους, y Λέγεται κάθε εξίσωση της µορφής α + βy = γ, µε α 0 ή β 0. Γραφική παράσταση γραµµικής εξίσωσης Κάθε γραµµική εξίσωση α + βy = γ παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

1 η Εργασία Ηµεροµηνία αποστολής: 19 Νοεµβρίου 2006

1 η Εργασία Ηµεροµηνία αποστολής: 19 Νοεµβρίου 2006 η Εργασία Ηµεροµηνία αποστολής: 9 Νοεµβρίου 6. α. Να βρεθεί η γωνία µεταξύ των διανυσµάτων a = i + j k και b = 6 i j + k. β. Να δείξετε ότι τα διανύσµατα a, b, c είναι ορθογώνια και µοναδιαία. a = ( i

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων.

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων. 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Η ΕΞΙΣΩΣΗ αx + β = 0

2.1 Η ΕΞΙΣΩΣΗ αx + β = 0 1 2.1 Η ΕΞΙΣΩΣΗ αx + β = 0 ΘΕΩΡΙΑ 1. Εξίσωση 1 ου βαθµού µε άγνωστο x Κάθε εξίσωση που έχει ή µπορεί να πάρει τη µορφή αx + β = 0. Tο x είναι ο άγνωστος, το α ο συντελεστής του αγνώστου και το β ο σταθερός

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο. - Συστήµατα γραµµικών εξισώσεων της µορφής: α

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο. - Συστήµατα γραµµικών εξισώσεων της µορφής: α ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ - - ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο - Συστήµατα ραµµικών εξισώσεων της µορφής: α x+ β y= α x+ β y= Λύση του (Σ) καλείται η διαδικασία εύρεσης των τιµών του x και του y που επαληθεύουν και τις δύο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Β'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος

Μαθηματικά. Β'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος Μαθηματικά Β'Γυμνασίου Μαρίνος Παπαδόπουλος ΠΡΟΛΟΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Σας καλωσορίζω στον όµορφο κόσµο των Μαθηµατικών της B Γυµνασίου. Τα µαθηµατικά της συγκεκριµένης τάξης αποτελούν βάση των µαθηµατικών του

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές, αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα σημαντικό βοήθημα για την Άλγεβρα της Β Λυκείου, που είναι

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!!

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!! ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΘΕΩΡΙΑ ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!! ΛΑΖΑΡΙ Η ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ www.lzridi.info τηλ. 6977-85-58 1 ΛΑΖΑΡΙ Η ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ www.lzridi.info

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Μέθοδοι επίλυσης γραμμικού συστήματος χ Γραφική επίλυση Σχεδιάζουμε τις ευθείες που αντιπροσωπεύουν οι εξισώσεις του συστήματος. Αν: - οι δύο ευθείες τέμνονται, τότε το σύστημα έχει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 =

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 = ΕΞΙΩΕΙ-ΑΝΙΩΕΙ ου ΒΑΘΜΟΥ - 38 - ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ο Εξισώσεις - Ανισώσεις β βαθµού 5.1. Μορφή και διερεύνηση της εξίσωσης β βαθµού Άθροισµα και γινόµενο των ριζών της Κάθε εξίσωση β βαθµού πριν τη λύσουµε,

Διαβάστε περισσότερα

2018 Φάση 2 ιαγωνίσµατα Επανάληψης ΑΛΓΕΒΡΑ. Α' Γενικού Λυκείου. Σάββατο 21 Απριλίου 2018 ιάρκεια Εξέτασης:3 ώρες ΘΕΜΑΤΑ

2018 Φάση 2 ιαγωνίσµατα Επανάληψης ΑΛΓΕΒΡΑ. Α' Γενικού Λυκείου. Σάββατο 21 Απριλίου 2018 ιάρκεια Εξέτασης:3 ώρες ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ A ΑΛΓΕΒΡΑ Α' Γενικού Λυκείου Σάββατο 1 Απριλίου 018 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΘΕΜΑΤΑ Πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f (x) από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β ονομάζουμε το σύνολο Α, στο οποίο φαίνονται οι

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Διδακτικοί Στόχοι: Θα μάθουμε: Να κατανοούμε την έννοια της εξίσωσης και τη σχετική ορολογία. Να επιλύουμε εξισώσεις πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο. Να διακρίνουμε πότε μια εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Λέξεις-Κλειδιά: Γραμμικά συστήματα, εξισώσεις, ορίζουσα, άγνωστοι, επίλυση, διερεύνηση

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Λέξεις-Κλειδιά: Γραμμικά συστήματα, εξισώσεις, ορίζουσα, άγνωστοι, επίλυση, διερεύνηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Λέξεις-Κλειδιά: Γραμμικά συστήματα, εξισώσεις, ορίζουσα, άνωστοι, επίλυση, διερεύνηση 0 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Α. ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Όπως νωρίζουμε από το υμνάσιο κάθε εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Β Λυκείου - Ασκήσεις Συστήματα. x = 38 3y x = 38 3y x = x = = 11

Β Λυκείου - Ασκήσεις Συστήματα. x = 38 3y x = 38 3y x = x = = 11 Να λυθεί το σύστημα: Β Λυκείου - Ασκήσεις Συστήματα x+ 3y= 38 3x y = 2 Θα λύσουμε το σύστημα με τη μέθοδο της αντικατάστασης: x+ 3y= 38 x = 38 3y x = 38 3y x = 38 3y 3x y = 2 338 ( 3y) y= 2 3 38 9y y =

Διαβάστε περισσότερα

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις Ορισµός πολυωνύµου Ονοµάζoυµε ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ του κάθε παράσταση της µορφής α ν ν +α ν- ν- + +α +α 0, ν ΙΝ και α 0, α,, α ν-, α ν ΙR. Παρατηρήσεις α. Τα α ν ν, α

Διαβάστε περισσότερα

2.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

2.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 2.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ανισότητα : Είναι µία σχέση µεταξύ δύο αριθµών που δεν είναι ίσοι µεταξύ τους 2. ιάταξη δύο πραγµατικών αριθµών που έχουµε παραστήσει µε σηµεία στον

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Άσκηση 1. Έστω ότι η συνάρτηση f: R R είναι γνησίως αύξουσα στο R και η γραφική της παράσταση τέµνει τον άξονα y y στο. Να λύσετε την ανίσωση: f(x 9)

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = b 1 2x 1 + 4x 2 + x 3 = b 2. x 1 + 2x 2 + x 3 = b 3

x 2 = b 1 2x 1 + 4x 2 + x 3 = b 2. x 1 + 2x 2 + x 3 = b 3 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 008-9 ΛΥΣΕΙΣ = 1 (Ι) Να ϐρεθεί ο αντίστροφος του πίνακα 6 40 1 0 A 4 1 1 1 (ΙΙ) Εστω b 1, b, b 3 στο R Να λύθεί το σύστηµα x = b 1 x 1 + 4x + x 3 = b x 1 + x + x

Διαβάστε περισσότερα

Εξίσωση 1 η 1 ο μέλος 2 ο μέλος

Εξίσωση 1 η 1 ο μέλος 2 ο μέλος 1 Παραδείγματα (επανάληψη) Συντελεστής του αγνώστου x. Εξίσωση 1 η 1 ο μέλος 2 ο μέλος Ε ξ ι σ ώ σ εις 1 ο υ β α θ μ ο ύ 2x + 2 = x - 1 Άγνωστος x Γνωστός Eπίλυση 1 ος τρόπος Μπορούμε να γράψουμε την εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

( ) ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Σηµείωση. 2. Παραδοχή α = Ιδιότητες x. αβ = α = α ( ) x. α β. α : α = α = α

( ) ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Σηµείωση. 2. Παραδοχή α = Ιδιότητες x. αβ = α = α ( ) x. α β. α : α = α = α . ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ. Σηµείωση Οι δυνάµεις α του κεφαλαίου έχουν βάση α > 0 και εκθέτη οποιονδήποτε πραγµατικό αριθµό.. Παραδοχή 0 α. Ιδιότητες α + α ( ) α α : α ( ) α α α αβ α β α β α β. Εκθετική

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β Λυκείου ( ) ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις : 2 4y. x x 1. στ) 1 3y. = 0, είναι κάθετη στην ευθεία ε 2 : y =

ΑΛΓΕΒΡΑ Β Λυκείου ( ) ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις : 2 4y. x x 1. στ) 1 3y. = 0, είναι κάθετη στην ευθεία ε 2 : y = ΑΛΓΕΒΡΑ Β Λυκείου ΠΑΝΤΕΛΗΣ ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο ο - Φ Υ Λ Λ Ο Νο ΛΥΣΗ - ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΔΥΟ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΔΥΟ ΑΓΝΩΣΤΟΥΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις : α) 5 +

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. της f : A. Rούτε εύκολη είναι ούτε πάντοτε δυνατή. Για τις συναρτήσεις f (x) = x ηµ x και ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ

ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. της f : A. Rούτε εύκολη είναι ούτε πάντοτε δυνατή. Για τις συναρτήσεις f (x) = x ηµ x και ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Έστω fµια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το Α. Το σύνολο των τιµών της είναι f( A) { R = υπάρχει (τουλάχιστον) ένα A : f () = }. Ο προσδιορισµός του συνόλου τιµών f( A) της

Διαβάστε περισσότερα

12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο

12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Έστω f σύνολο Α, g Α ΒΑΘΜΟΥ είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής πού παίρνει τιμές στο Ανίσωση με έναν άγνωστο λέγεται κάθε σχέση της μορφής f f g g ή, η οποία αληθεύει για ορισμένες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ Τα κάτωθι προβλήµατα προέρχονται από τα κεφάλαια, και του συγγράµµατος «Γραµµική Άλγεβρα». Η ηµεροµηνία παράδοσης

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; αx + βy = γ

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; αx + βy = γ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Γραμμικη εξισωση με δυο αγνωστους λεγεται καθε εξισωση της μορφης: 3. Να δειχτει οτι α + α. Ποτε ισχυει το ισον; α + β = γ Λυση της πιο. Aν πανω α, β εξισωσης θετικοι, να ειναι συγκρινεται καθε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_3.ΜλΑ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α A.. Α.. Α.3. ΘΕΜΑ Β Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή Απριλίου

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1)

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1) 1 ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης (1) όπου οι συντελεστές είναι δοσµένες συνεχείς συναρτήσεις ορισµένες σ ένα ανοικτό διάστηµα. Ορισµός 1. Ορίζουµε τον διαφορικό τελεστή µέσω της

Διαβάστε περισσότερα

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 2ο κεφάλαιο: Ευθείες Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Μαθηµατικά Προσανατολισµού Β Λυκείου Αποστόλου Γιώργος Μαθηµατικός Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΧΙΚΗΣ ΕΚ ΟΣΗΣ Συγγραφική ομάδα: Ανδρεαδάκης Στυλιανός Κατσαργύρης Βασίλειος Παπασταυρίδης Σταύρος Πολύζος Γεώργιος Σβέρκος Ανδρέας Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΣΥΝΟΛΑ-ΥΠΟΣΥΝΟΛΑ-ΙΣΑ ΣΥΝΟΛΑ

Α. ΣΥΝΟΛΑ-ΥΠΟΣΥΝΟΛΑ-ΙΣΑ ΣΥΝΟΛΑ ΜΑΘΗΜΑ 22 Κεφάλαιο 5o : Πιθανότητες Υποενότητα 5.1: Σύνολα. Θεµατικές Ενότητες: 1. Σύνολα-Υποσύνολα-Ίσα Σύνολα. 2. ιαγράµµατα Venn. 3. Πράξεις µε Σύνολα. Α. ΣΥΝΟΛΑ-ΥΠΟΣΥΝΟΛΑ-ΙΣΑ ΣΥΝΟΛΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Σύνολο είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12,

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12, ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ, - Οι παρακάτω λύσεις των ασκήσεων της 6 ης εργασίας που καλύπτει το µεγαλύτερο µέρος της ύλης της θεµατικής ενότητας ΠΛΗ) είναι αρκετά εκτεταµένες καθώς έχει δοθεί αρκετή έµφαση

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 8 Παραβολή Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισµός Παραβολή είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων Μ του επιπέδου τα οποία ισαπέχουν από µια σταθερή ευθεία (δ) που λέγεται διευθετούσα της παραβολής και από

Διαβάστε περισσότερα

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης η δεκάδα θεµάτων επανάληψης. Για ποιες τιµές του, αν υπάρχουν, ισχύει κάθε µία από τις ισότητες α. log = log( ) β. log = log γ. log 4 log = Να λυθεί η εξίσωση 4 log ( ) + = 0 6 α) Θα πρέπει > 0 και > 0,

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ A ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 04 Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΆΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνία: M Τετάρτη 6 Απριλίου 04 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Θεωρία Σχολικό Βιβλίο (έκδοση 0) σελίδα Ε_ΜλΓΑ(α)

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 8

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 8 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ. Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://www.math.uoi.gr/ abeligia/linearalgebrai/lai.html

Διαβάστε περισσότερα

Η Έννοια της εξίσωσης:

Η Έννοια της εξίσωσης: Η Έννοια της εξίσωσης: Θεωρία και λυμένα παραδείγματα Εξίσωση με έναν άγνωστο λέμε μια ισότητα η οποία περιέχει αριθμούς και έναν άγνωστο γράμμα ( μεταβλητή). Εξισώσεις είναι οι: χ+=8, χ-21=4,χ+1, 8χ=26.

Διαβάστε περισσότερα

4.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

4.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 4.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 1 : ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ Για να λύσω μια ανίσωση της μορφής : 0 ή 0 1 ος τρόπος : Λειτουργώ όπως και στις εξισώσεις πρώτου βαθμού, δηλαδή χωρίζω γνωστούς από αγνώστους, και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 0 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση

Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση Κεφάλαιο 7: Βάσεις και ιάσταση Σελίδα από 9 Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση n Στο Κεφάλαιο 5 είδαµε την έννοια της βάσης στο και στο Κεφάλαιο 6 µελετήσαµε διανυσµατικούς χώρους. Στο παρόν κεφάλαιο θα ασχοληθούµε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Οκτωβρίου 00) Η Εργασία χωρίζεται σε µέρη: Το πρώτο Ασκήσεις - περιλαµβάνει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 15

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 15 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 5 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

Εξισώσεις πρώτου βαθμού

Εξισώσεις πρώτου βαθμού Εξίσωση ου βαθμού με ένα άγνωστο 0ρισμός Εξισώσεις πρώτου βαθμού Κάθε εξίσωση που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή αχ=β λέγεται εξίσωση ου βαθμού με ένα άγνωστο. Σε μια εξίσωση η μεταβλητή λέγεται άγνωστος.οι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ο κεφάλαιο: Πραγματικοί αριθμοί ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 014 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ. Αλγ ε β ρ α. Γενικής Παιδειασ

ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ. Αλγ ε β ρ α. Γενικής Παιδειασ ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ Αλγ ε β ρ α Β Λυ κ ε ί ο υ Γενικής Παιδειασ Α Τό μ ο ς 3η Εκ δ ο σ η Πρόλογος Το βιβλίο αυτό έχει σκοπό και στόχο αφενός μεν να βοηθήσει τους μαθητές της Β Λυκείου να κατανοήσουν καλύτερα την

Διαβάστε περισσότερα

Ε ΝΟΤΗΤΑ 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

Ε ΝΟΤΗΤΑ 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ε ΝΟΤΗΤΑ 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Μαθηματικές Προτάσεις Πλοηγηθείτε: http://www.youtube.com/watch?v MtmJ3BArAgA Διαβάστε: Λ. Κάρολ, Η Αλίκη στη Χώρα των Θαυμάτων, Εκδόσεις Πατάκη Δείτε: Alice in

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 104 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 127 ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ 400 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 104 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 127 ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ 400 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 104 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 127 ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ 400 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ . ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας. = 4 Να λύσετε το σύστηµα + = αλγεβρικά γραφικά = 4 = 4+ + = + = = 4+ 4 + + = = 4+ = = 4+ = = 4 = = = = 4 = 4 παριστάνει ευθεία ε Για = 0

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

5.ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

5.ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 5.ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Για να επιλύσουμε μία παραμετρική εξίσωση ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα: i) Βγάζω παρενθέσεις ii) Κάνω απαλοιφή παρανομαστών iii) Χωρίζω γνωστούς από αγνώστους (άγνωστος είναι

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÈÅÌÅËÉÏ ÇÑÁÊËÅÉÏ ÊÑÇÔÇÓ

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÈÅÌÅËÉÏ ÇÑÁÊËÅÉÏ ÊÑÇÔÇÓ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 07 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Αν οι συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιµες στο, να αποδείξετε ότι f ( x) + g( x) = f ( x) + g ( x), για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές, αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα σημαντικό βοήθημα για την Άλγεβρα της Β Λυκείου, που είναι

Διαβάστε περισσότερα

4 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

4 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 4 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 31. Έστω Α, Β δύο ενδεχόµενα του ίδιου δειγµατικού χώρου. Αν Ρ(Α ) 0,8 και Ρ(Β ) 0,71 δείξτε ότι Ρ( Α Β) 1,01 Ρ( Α Β) i Το ενδεχόµενο Α Β δεν είναι το κενό. Έχουµε Ρ( Α

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. x-1 x+3. ή D 0 τότε x= =1 και y= 2. 2x 3y ή D=D D 0 άρα το σύστημα είναι αόριστο ή

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. x-1 x+3. ή D 0 τότε x= =1 και y= 2. 2x 3y ή D=D D 0 άρα το σύστημα είναι αόριστο ή ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1.Να λύσετε την εξίσωση: 3 4-1 +3 0 Λύση: 3 4-1 +3 0 3 3 4 1 0 4 5 0 1 ή =5.Να λυθεί το σύστημα : 3 1 5 Λύση: Βρίσκουμε τις ορίζουσες 3-1 3 11 6 1 7 1 1-1 1 51 5 7 5 3 1 35 11 15 1 14

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Υποδειγματικά Λυμένες Ασκήσεις Άλυτες Ασκήσεις ΛΑ Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1. Α. Έστω α = (x 1, y 1 ) και β = (x, y ) δύο διανύσµατα Να γράψετε την αναλυτική έκφραση του εσωτερικού γινοµένου τους i Αν τα διανύσµατα δεν είναι παράλληλα προς τον

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΜΗΜΑ ΔΙΕΘΝΟΥΣ ΕΜΠΟΡΙΟΥ ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ: ) ΠΙΝΑΚΕΣ ) ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ) ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 4) ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΜΑΡΙΑ ΡΟΥΣΟΥΛΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΝΑΚEΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ Πίνακας

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΠΡΟΣΘΕΣΗ - ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΡΗΤΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΜΕ ΚΟΙΝΟ ΠΑΡΟΝΟΜΑΣΤΗ

Α. ΠΡΟΣΘΕΣΗ - ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΡΗΤΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΜΕ ΚΟΙΝΟ ΠΑΡΟΝΟΜΑΣΤΗ ΜΑΘΗΜΑ Κεφάλαιο o : Αλγεβρικές Παραστάσεις Υποενότητα.: Πράξεις Ρητών Παραστάσεων. Θεµατικές Ενότητες:. Πρόσθεση - Αφαίρεση Ρητών Παραστάσεων µε Κοινό Παρονοµαστή.. Πρόσθεση - Αφαίρεση Ρητών Παραστάσεων

Διαβάστε περισσότερα

Όταν λύνοντας μια εξίσωση καταλήγουμε στην μορφή 0x=0,τότε λέμε ότι

Όταν λύνοντας μια εξίσωση καταλήγουμε στην μορφή 0x=0,τότε λέμε ότι ΜΕΡΟΣ Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ 9. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ Χρήσιμες ιδιότητες πράξεων Αν αβ τότε α+γβ+γ Αν αβ τότε α-γβ-γ Αν αβ τότε α γ α β γ β Αν αβ τότε γ γ με γ 0 Η έννοια της εξίσωσης Μια ισότητα, που αληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση:

1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ Ερωτήσεις συµπλήρωσης 1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση: Φυσική γλώσσα Μαθηµατική γλώσσα ύο αριθµοί x, y διαφέρουν κατά και έχουν γινόµενο x (x

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1 Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Θ έ μ α Α Α. α. Πότε η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 έχει διπλή ρίζα; Ποια είναι η διπλή ρίζα της; 4 μονάδες β. Ποια μορφή παίρνει το τριώνυμο αx + βx + γ, α 0, όταν Δ = 0; 3 μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΣ ΤΗΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΣ ΤΗΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΣ ΤΗΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ 140 ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΣ ΤΗΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ Για την αξιολόγηση του µαθητή και της διδασκαλίας ενός µαθήµατος θα πρέπει να υπάρχει ένας συνολικός σχεδιασµός κατά ευρύτερη διδακτική ενότητα

Διαβάστε περισσότερα