n i P(x i ) P(X = x i ) = lim

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "n i P(x i ) P(X = x i ) = lim"

Transcript

1 Κεϕάλαιο 2 Πιθανότητες και Τυχαίες Μεταβλητές Μπορούµε να καταλάβουµε την έννοια της πιθανότητας από τη σχετική συχνότητα εµϕάνισης n i κάποιας τιµής x i µιας διακριτής τ.µ. X. Αν είχαµε τη δυνατότητα να συλλέξουµε αυθαίρετα πολλές n παρατηρήσεις (n ), τότε το όριο της σχετικής συχνότητας είναι η πιθανότητα η τ.µ. X να πάρει την τιµή x i n i P(x i ) P(X = x i ) = lim n n (2.1) (το σύµβολο σηµαίνει ισοδυναµία συµβολισµού). Για να είναι έγκυρος αυτός ο ορισµός πρέπει επίσης να υποθέσουµε ότι οι συνθήκες για την τ.µ. X σε κάθε επανάληψη της παρατήρησης παραµένουν οι ίδιες, και αυτή η ιδιότητα ονοµάζεται στατιστική οµαλότητα (statistical regularity). Για παράδειγµα, η πιθανότητα ϐροχής σε µια περιοχή (σε µια τυχαία µέρα του χρόνου ή ενός συγκεκριµένου µήνα) µπορεί να έχει αλλάξει τα τελευταία χρόνια λόγω του φαινοµένου του ϑερµοκηπίου. Για συνεχή τ.µ. X δεν έχει νόηµα να µιλάµε για την πιθανότητα η X να πάρει µια συγκεκριµένη τιµή αλλά για την πιθανότητα η X να ανήκει σε ένα διάστηµα τιµών dx. Ποια είναι η πιθανότητα να έχει κάποιος συµϕοιτητής σας ένα συγκεκριµένο ύψος που ορίζεται µε ακρίβεια πολλών (άπειρων) δεκαδικών, π.χ ; Μπορείτε όµως να προσδώσετε µη µηδενική πιθανότητα για το γεγονός ότι ένας συµϕοιτητής σας έχει ύψος στα 1.80 µέτρα (όπου µε ϐάση τη στρογγυλοποίηση του εκατοστού έχουµε dx = [1.795, 1.805)). 11

2 12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ 2.1 Κατανοµή πιθανότητας Κατανοµή πιθανότητας µιας τ.µ. Η πιθανότητα η τ.µ. X να πάρει κάποια τιµή x i, αν είναι διακριτή, ή να ϐρίσκεται σε ένα διάστηµα τιµών dx, αν είναι συνεχής, µπορεί να µετα- ϐάλλεται στο σύνολο των διακεκριµένων τιµών ή σε διαϕορετικά διαστήµατα και δίνεται ως συνάρτηση της τ.µ. X. Για διακριτή τ.µ. X που παίρνει τις τιµές x 1, x 2,..., x m, η συνάρτηση αυτή λέγεται συνάρτηση µάζας πιθανότητας, σµπ (probability mass function), ορίζεται ως f X (x i ) = P(X = x i ) και ικανοποιεί τις συνθήκες f X (x i ) 0 και m f X (x i ) = 1. (2.2) Αντίστοιχα, για συνεχή τ.µ. X (X ΙR) ορίζεται η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας, σππ (probability density function) f X (x) που ικανοποιεί τις συνθήκες f X (x) 0 και i=1 f X (x)dx = 1. (2.3) Η κατανοµή πιθανότητας (probability distribution) της τ.µ. X ορίζεται επίσης από την αθροιστική συνάρτηση κατανοµής, ασκ (cumulative distribution function) F X (x), που δηλώνει την πιθανότητα η τ.µ. X να πάρει τιµές µικρότερες ή ίσες από κάποια τιµή x. Για διακριτή τ.µ. X είναι F X (x i ) = P(X x i ) = f X (x) (2.4) x x i και για συνεχή τ.µ. X F X (x) = P(X x) = x f X (u)du. (2.5) Σηµειώνεται ότι µια συνεχής µεταβλητή µπορεί να µετατραπεί σε διακριτή µε κατάλληλη διαµέριση του πεδίου τιµών της. Αν η συνεχής τ.µ. X ορίζεται στο διάστηµα [a, b] µια διαµέριση Σ σε m κελιά δίνεται ως Σ = {a = r 0, r 1,..., r m 1, r m = b}, όπου r 0 < r 1 <... < r m. Αντιστοιχίζοντας διακεκριµένες τιµές x i, i = 1,..., m, σε κάθε κελί (διάστηµα) [r i 1, r i ), η πιθανότητα εµϕάνισης µιας τιµής x i της διακριτικοποιηµένης τ.µ. X, f X (x i ) = P(X = x i ), δίνεται από την πιθανότητα η συνεχής τ.µ. X να παίρνει τιµές στο διάστηµα [r i 1, r i ), P(r i 1 X r i ) = F X (r i ) F X (r i 1 ).

3 2.2. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Κοινή πιθανότητα δύο τ.µ. Σε πολλά προβλήµατα χρειάζεται να ορίσουµε την συνδυασµένη µεταβλητότητα δύο τ.µ. X και Y, δηλαδή την κοινή κατανοµή πιθανότητας τους. Εστω η διακριτή τ.µ. X µε δυνατές διακεκριµένες τιµές x 1, x 2,..., x n και Y µε δυνατές διακεκριµένες τιµές y 1, y 2,..., y m, αντίστοιχα. Η κοινή συνάρτηση µάζας πιθανότητας (joint probability mass function) f XY (x, y) ορίζεται για κάθε Ϲεύγος δυνατών τιµών (x i, y i ) ως f XY (x i, y i ) = P(X = x i, Y = y i ) (2.6) και η κοινή αθροιστική συνάρτηση κατανοµής (joint cumulative density function) ορίζεται ως F XY (x i, y i ) = P(X x i, Y y i ) = f XY (x i, y i ). (2.7) y y i Η κοινή συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (joint probability density function) f XY (x, y) για δύο συνεχείς τ.µ. X και Y ϑα πρέπει να ικανοποιεί τις συνθήκες f XY (x, y) 0 και x x i f XY (x, y)dydx = 1. (2.8) Η κοινή (αθροιστική) συνάρτηση κατανοµής για δύο συνεχείς τ.µ. X και Y ορίζεται ως F XY (x, y) = P(X x, Y y) = x y f XY (u, v)dvdu. (2.9) ύο τ.µ. X και Y (συνεχείς ή διακριτές) είναι ανεξάρτητες (independent) αν για κάθε δυνατό Ϲεύγος τιµών τους (x, y) ισχύει f XY (x, y) = f X (x)f Y (y) (2.10) Με ανάλογο τρόπο ορίζονται οι συναρτήσεις κοινής κατανοµής για περισσότερες τ.µ. καθώς και η ανεξαρτησία πολλών τ.µ Παράµετροι κατανοµής τυχαίων µεταβλητών Η κατανοµή πιθανότητας περιγράϕει πλήρως τη συµπεριϕορά της τ.µ., αλλά συνήθως στην πράξη δεν είναι γνωστή ή απαραίτητη. Οταν µελετάµε µια τ.µ. µας ενδιαϕέρει κυρίως να προσδιορίζουµε κάποια ϐασικά χαρακτη- ϱιστικά της κατανοµής της, όπως η κεντρική τάση και η µεταβλητότητα της τ.µ.. Αυτά τα χαρακτηριστικά είναι οι παράµετροι της κατανοµής της τ.µ..

4 14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Μέση τιµή Αν X είναι µια διακριτή τ.µ. που παίρνει m διακριτές τιµές x 1, x 2,..., x m, µε σµπ f X (x), η µέση τιµή της, που συµβολίζεται µ X E[X] ή απλά µ, δίνεται ως m µ E[X] = x i f X (x i ). (2.11) Αν η X είναι συνεχής τ.µ. µε σππ f X (x), η µέση τιµή της δίνεται ως µ E[X] = i=1 Κάποιες ϐασικές ιδιότητες της µέσης τιµής είναι : xf X (x)dx. (2.12) 1. Αν η τ.µ. X παίρνει µόνο µια σταθερή τιµή c είναι E[X] = c. 2. Αν X είναι µια τ.µ. και c είναι µια σταθερά : E[cX] = ce[x]. 3. Αν X και Y είναι δύο τ.µ.: E[X + Y ] = E[X] + E[Y ]. 4. Αν X και Y είναι δύο ανεξάρτητες τ.µ.: E[XY ] = E[X]E[Y ]. Οι ιδιότητες (2) και (3) δηλώνουν πως η µέση τιµή έχει τη γραµµική ιδιότητα, δηλαδή ισχύει E[aX + by ] = ae[x] + be[y ]. Άλλα χαρακτηριστικά της τ.µ. X εκτός της µέσης τιµής είναι τα εκατοστιαία σηµεία που µπορούν να προσδιοριστούν από την αθροιστική συνάρτηση κατανοµής. Η διάµεσος (median) µ µιας τ.µ. X είναι το 50-εκατοστιαίο σηµείο, δηλαδή η µ ικανοποιεί τη σχέση F X ( µ) = ιασπορά Η διασπορά ή διακύµανση (variance) µιας τ.µ. X και κυρίως η τυπική απόκλιση (standard deviation) (που είναι η τετραγωνική ϱίζα της διασπο- ϱάς), εκϕράζουν τη µεταβλητότητα της τ.µ. X γύρω από τη µέση τιµή. Αν X είναι µια τ.µ. (διακριτή ή συνεχής) µε µέση τιµή µ, τότε η διασπορά της που συµβολίζεται σ 2 X Var[X] ή απλά σ2 δίνεται ως σ 2 E[(X µ) 2 ] = E[X 2 ] µ 2. (2.13) Κάποιες ϐασικές ιδιότητες της διασποράς είναι : 1. Αν η τ.µ. X παίρνει µόνο µια σταθερή τιµή c είναι Var[c] = Αν X είναι µια τ.µ. και c είναι µια σταθερά : Var[X + c] = Var[X] και Var[cX] = c 2 Var[X].

5 2.2. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Αν X και Y είναι δύο ανεξάρτητες τ.µ.: Var[X + Y ] = Var[X] + Var[Y ]. Οι ιδιότητες (2) και (3) δηλώνουν πως η διασπορά δεν έχει τη γραµµική ιδιότητα. Οταν όµως οι δύο τ.µ. είναι ανεξάρτητες η διασπορά έχει τη ψευδογραµµική ιδιότητα, δηλαδή ισχύει Var[aX + by ] = a 2 Var[X] + b 2 Var[Y ] Ροπές µιας τ.µ. Συχνά για την περιγραϕή των ιδιοτήτων µιας τ.µ. X δεν αρκεί µόνο η µέση τιµή και η διασπορά (που ϐασίζονται στην πρώτη και δεύτερη δύναµη της X), αλλά πρέπει να καταϕύγουµε σε µεγαλύτερες δυνάµεις της X. Η µέση τιµή και η διασπορά αναϕέρονται και ως ϱοπή πρώτης τάξης και (κεντρική) ϱοπή δεύτερης τάξης, αντίστοιχα. Γενικά ορίζονται οι ϱοπές E[X n ] και οι κεντρικές ϱοπές µ n E[(x µ X ) n ] για κάθε τάξη n. Από τις σηµαντικότερες ϱοπές είναι η κεντρική ϱοπή τρίτης τάξης που χρησιµοποιείται στον ορισµό του συντελεστή λοξότητας (coefficient of skewness) λ λ = µ 3 σ 3 = E [( X µ ) 3 ]. (2.14) σ Ο συντελεστής λοξότητας λ εκϕράζει τη λοξότητα της κατανοµής της τ.µ. X (δηλαδή της σµπ για διακριτή X ή της σππ για συνεχή X). Για λ = 0 η κατανοµή είναι συµµετρική. Από τη κεντρική ϱοπή τέταρτης τάξης ορίζεται ο συντελεστή κύρτωσης (coefficient of kurtosis) κ κ = µ [( 4 X µ ) 4 ] σ 3 = E 3. (2.15) 4 σ Ο συντελεστής κύρτωσης κ δηλώνει τη σχέση του πλάτους της κατανοµής γύρω από τη κεντρική τιµή µε τις ουρές της Συνδιασπορά και συντελεστής συσχέτισης Οταν µελετάµε δύο τ.µ. X και Y που δεν είναι ανεξάρτητες, έχει ενδιαϕέ- ϱον να προσδιορίσουµε πόσο ισχυρά συσχετίζεται η µια µε την άλλη. Γι αυτό ορίζουµε τη συνδιασπορά ή συνδιακύµανση (covariance) των τ.µ. X και Y, που συµβολίζεται σ XY Cov[X, Y ], και ορίζεται ως σ XY E[(X µ X )(Y µ Y )] = E[XY ] µ X µ Y. (2.16) Αν οι δύο τ.µ. X και Y συσχετίζονται ισχυρά και ϑετικά, δηλαδή όταν αυξάνει η µία αυξάνει και η άλλη, τότε η συνδιασπορά παίρνει µεγάλη ϑετική τιµή σε

6 16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ σχέση µε τις τιµές των X και Y. Αντίθετα αν οι δύο τ.µ. X και Y συσχετίζονται ισχυρά και αρνητικά, δηλαδή όταν αυξάνει η µία µειώνεται η άλλη, τότε η συνδιασπορά παίρνει µεγάλη αρνητική τιµή. Αν οι X και Y είναι ανεξάρτητες εύκολα µπορεί να δειχθεί από την (2.16) ότι σ XY = 0. Το µειονέκτηµα της συνδιασποράς είναι ότι η τιµή της εξαρτάται από τις µονάδες µέτρησης των τ.µ. X και Y. Γι αυτό όταν ϑέλουµε να µετρήσουµε τη συσχέτιση δύο τ.µ. X και Y, χρησιµοποιούµε συνήθως το συντελεστή συσχέτισης (correlation coefficient), που συµβολίζεται ρ XY Corr[X, Y ] ή απλά ρ, και προκύπτει από την κανονικοποίηση της συνδιασποράς µε το γινόµενο των τυπικών αποκλίσεων των X και Y ρ = σ XY σ X σ Y. (2.17) Παραθέτουµε κάποιες ιδιότητες του συντελεστή συσχέτισης : 1. 1 ρ Αν οι τ.µ. X και Y είναι ανεξάρτητες είναι ρ = 0, αλλά ρ = 0 δε δηλώνει ότι οι X και Y είναι ανεξάρτητες αλλά απλά ότι δεν είναι γραµµικά συσχετισµένες (µπορεί δηλαδή να είναι µη-γραµµικά συσχετισµένες). 3. ρ = 1 ή ρ = 1 αν και µόνο αν Y = α + ϐx για κάποιους αριθµούς α και ϐ. 2.3 Γνωστές κατανοµές µιας τ.µ. Στη µελέτη µιας τ.µ. µας ϐοηθάει να έχουµε κάποια πρότυπα για την κατανοµή της, δηλαδή κάποιες γνωστές συναρτήσεις f X (x) της τ.µ. X µε γνωστές παραµέτρους. Επίσης σε πολλά πραγµατικά προβλήµατα η κατανοµή µιας τ.µ. µπορεί να περιγραϕεί ικανοποιητικά από κάποια γνωστή κατανοµή. Θα παραθέσουµε εδώ δύο τέτοια παραδείγµατα πολύ γνωστών κατανοµών, µια για διακριτή και µια για συνεχή τ.µ ιωνυµική κατανοµή Πολλά προβλήµατα και κυρίως πειράµατα εµπεριέχουν επαναλαµβανό- µενες δοκιµές (repeated trials). Για παράδειγµα µπορεί να ϑέλουµε να γνωρίζουµε την πιθανότητα η µια στις 5 ϐελόνες χαρακτικής να σπάσει σε ένα πείραµα αντοχής τάνυσης. Σε κάθε δοκιµή ορίζουµε δύο µόνο δυνατά αποτελέσµατα που συνήθως τα χαρακτηρίζουµε συµβολικά ως επιτυχία και αποτυχία, χωρίς το όνοµα να έχει απαραίτητα πραγµατική σηµασία ( επιτυχία µπορεί να είναι το σπάσιµο της ϐελόνας). Υποθέτουµε ότι έχουµε κάνει

7 2.3. ΓΝΩΣΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΜΙΑΣ Τ.Μ. 17 n δοκιµές και η πιθανότητα επιτυχίας p σε κάθε προσπάθεια είναι ίδια. οκιµές που τηρούν αυτές τις προϋποθέσεις λέγονται προσπάθειες Bernoulli. Ορίζουµε την τ.µ. X ως τον αριθµό των επιτυχίων σε n δοκιµές. Η X παίρνει τιµές στο σύνολο {0, 1,..., n}. Η πιθανότητα να έχουµε x επιτυχίες δίνεται από τη διωνυµική (binomial) σµπ, που συµβολίζεται B(n, p), και ορίζεται ως ( ) n f X (x) = P(X = x) = p x (1 p) n x (2.18) ( όπου n ) x n! είναι ο διωνυµικός συντελεστής (binomial coefficient). Τα n x!(n x)! και p είναι οι παράµετροι που ορίζουν τη διωνυµική κατανοµή. ηλώνουµε ότι µια τ.µ. X ακολουθεί διωνυµική κατανοµή ως X B(n, p). Η µέση τιµή και η διασπορά της X είναι x µ = E[X] = np και σ 2 = Var[X] = np(1 p). (2.19) Παράδειγµα 2.1. Σε ένα πείραµα αντοχής τάνυσης δοκιµάζουµε 4 ϐελόνες χαρακτικής σε ένα συγκεκριµένο όριο τάνυσης. Η πιθανότητα να σπάσει η ϐελόνα σε µια δοκιµή είναι p = 0.2. Οι δοκιµές είναι τύπου Bernoulli. Μπορούµε να ορίσουµε την πιθανότητα να µη σπάσει καµιά ϐελόνα στις 4 δοκιµές από τη διωνυµική κατανοµή ως ( ) 4 f X (0) = P(X = 0) = = Οµοια υπολογίζονται οι πιθανότητες όταν στις 4 δοκιµές σπάζει µια ϐελόνα κι όταν σπάζουν 2, 3 και 4 ϐελόνες f X (1) = f X (2) = f X (3) = f X (4) = Με αυτόν τον τρόπο έχουµε ορίσει τη συνάρτηση σµπ f X (x) γι αυτό το παραδειγµα. Από την f X (x) ορίζεται εύκολα και η αθροιστική συνάρτηση F X (x) P(X x). Η γραϕική παράσταση των συναρτήσεων f X (x) και F X (x) δίνονται στο Σχήµα 2.1. Η πιθανότητα να σπάσει η ϐελόνα τουλάχιστον µια φορά είναι P(X 1) = 1 P(X = 0) = = ενώ η πιθανότητα να σπάσει η ϐελόνα το πολύ δύο φορές δίνεται από την αθροιστική συνάρτηση κατανοµής F X (2) P(X 2) = 2 P(X = x) = = x=0

8 18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ (α) 1.0 (β) f X (x) F X (x) X X Σχήµα 2.1: Γραϕική παράσταση της συνάρτησης f X (x) στο (α) και της συνάρτησης F X (x) στο (ϐ) για τον αριθµό ϐελόνων που σπάζουν σε n δοκιµές. Η µέση τιµή για τον αριθµό επιτυχιών (όπου επιτυχία είναι το σπάσιµο της ϐελόνας στη δοκιµή) είναι E[X] = = 0.8 δηλαδή στις 4 δοκιµές περίπου µια φορά ϑα σπάζει η ϐελόνα. Η τυπική απόκλιση από αυτήν την τιµή είναι σ = VarX = = Οµοιόµορϕη κατανοµή Η πιο απλή συνεχής κατανοµή είναι η οµοιόµορϕη κατανοµή που ορίζεται σε πεπερασµένο διάστηµα [a, b] και έχει σππ (δες Σχήµα 2.2) και ασκ f X (x) = F X (x) = { 1 b a a x b 0 αλλού 0 x < a x a a x b b a 1 x b (2.20) (2.21) Ο συµβολισµός που χρησιµοποιείται για να δείξουµε ότι µια τ.µ. X ακολουθεί οµοιόµορϕη κατανοµή στο διάστηµα [a, b] είναι X U[a, b]. Η µέση τιµή και διασπορά της X είναι µ = E[X] = a + b 2 και σ 2 = Var[X] = (b a)2. (2.22) 12

9 2.3. ΓΝΩΣΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΜΙΑΣ Τ.Μ (α) 1.5 (β) f X (x) F X (x) X X Σχήµα 2.2: Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας στο (α) και η αθροιστική συνάρτηση στο (ϐ) της οµοιόµορϕης κατανοµής στο διάστηµα [a, b]. Ενα χρήσιµο αποτέλεσµα που χρησιµοποιείται στις προσοµοιώσεις είναι το παρακάτω ϑεώρηµα : Αν X U[0, 1] τότε η τ.µ. Y = F 1(X) Y έχει ασκ F Y (y). Αυτό το ϑεώρηµα µας επιτρέπει να δηµιουργούµε τυχαίους αριθµούς από κάποια κατανοµή αν γνωρίζουµε την ασκ της κατανοµής. Για παράδειγµα, η εκθετική κατανοµή έχει ασκ F Y (y) = 1 e λy, όπου λ η παράµετρος της εκθετικής κατανοµής (που είναι και η µέση τιµή). Θέτοντας X F Y (y), έχουµε X U[0, 1] και µπορούµε να δηµιουργήσουµε τυχαίους αριθµούς από οµοιόµορϕη κατανοµή (δες άσκηση 1). Τότε για κάθε τέτοια τιµή x υπολογίζουµε την αντίστοιχη τιµή y από εκθετική κατανοµή µε παράµετρο λ από την αντίστροϕη της F Y (y) y = 1 ln(1 x). λ Κανονική κατανοµή Η κανονική κατανοµή είναι η σπουδαιότερη συνεχής κατανοµή και αποτελεί τη ϐάση για πολλά στατιστικά µοντέλα και συµπεράσµατα. Η σπουδαιότητα της οϕείλεται κυρίως στο ότι περιγράϕει ικανοποιητικά την κατανοµή πολλών τυχαίων πραγµατικών µεγεθών που παίρνουν συνεχείς αριθµητικές τιµές, αλλά προσεγγίζει ικανοποιητικά και πολλές διακριτές κατανοµές. Σε πολλά τυχαία µεγέθη που µελετάµε παρατηρούµε ότι οι τιµές τους µαζεύονται συµµετρικά γύρω από µια κεντρική τιµή και αραιώνουν καθώς αποµακρύνονται από αυτήν την κεντρική τιµή. Η κατάλληλη συνάρτηση πυκνότητας

10 20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ πιθανότητας για µια κατανοµή τέτοιου τύπου τοµή καµπάνας είναι αυτή της κανονικής κατανοµής (normal distribution) που ορίζεται ως f X (x) = 1 2π σ e (x µ)2 2σ 2 < x <, (2.23) όπου οι παράµετροι µ και σ 2 που ορίζουν την κανονική κατανοµή είναι η µέση τιµή και η διασπορά αντίστοιχα και η κατανοµή συµβολίζεται ως N(µ, σ 2 ). Η αθροιστική συνάρτηση κατανοµής F X (x) δίνεται από το ολοκλήρωµα της f X (x) όπως ορίστηκε στην (2.5). Στο Σχήµα 2.3 δίνονται σχηµατικά η f X (x) και η F X (x). (α) 1.0 (β) f X (x) 0.5 F X (x) µ µ 2σ µ σ µ+σ µ+2σ X 0.0 X Σχήµα 2.3: Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας στο (α) και η αθροιστική συνάρτηση στο (ϐ) της κανονικής κατανοµής. Φαίνεται ότι περίπου το 70% των τιµών της X ϐρίσκονται στο διάστηµα [µ σ, µ + σ] και περίπου το 95% των τιµών της X ϐρίσκονται στο διάστηµα [µ 2 σ, µ + 2 σ]. Ιδιαίτερο ενδιαϕέρον παρουσιάζει η τυπική κανονική κατανοµή (standard normal distribution) που είναι η πιο απλή µορϕή της κανονικής κατανοµής, δηλαδή για µ = 0 και σ = 1. Για να ξεχωρίσουµε την τ.µ. που ακολουθεί τυπική κατανοµή τη συµβολίζουµε µε Z ή z και είναι Z N(0, 1). Η σππ είναι f Z (z) = 1 e z 2 2 < z <. (2.24) 2π Η αθροιστική συνάρτηση συµβολίζεται Φ(z) και είναι Φ(z) F Z (z) = 1 2 π z e u2 2 du < z <. (2.25)

11 2.3. ΓΝΩΣΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΜΙΑΣ Τ.Μ. 21 Οι τιµές της Φ(z) για διάϕορες τιµές του z είναι πολύ χρήσιµες στη στατιστική γι αυτό και δίνονται σε στατιστικό πίνακα σε κάθε ϐιβλίο στατιστικής. Κάθε τ.µ. X που ακολουθεί κανονική κατανοµή µπορεί να µετασχηµατιστεί στη Z µε τον απλό µετασχηµατισµό X N(µ, σ 2 ) = Z X µ σ N(0, 1). (2.26) Μπορούµε λοιπόν να υπολογίσουµε οποιαδήποτε πιθανότητα για τη X από την Φ(z). Γενικά η πιθανότητα για X [a, b] είναι ( a µ P(a X b) = P Z b µ ) ( b µ ) ( a µ ) = Φ Φ. (2.27) σ σ σ σ Παράδειγµα 2.2. Το πάχος ενός κυλινδρικού σωλήνα είναι σχεδιασµένο από το εργοστάσιο να είναι µ, αλλά παρατηρείται ότι το πάχος δεν είναι σταθερό σε κάθε παραγόµενο σωλήνα αλλά αποκλίνει από το µ µε τυπική απόκλιση σ = 0.1 mm. Υποθέτουµε λοιπόν ότι το πάχος του κυλινδρικού σωλήνα είναι τυχαία µεταβλητή X που ακολουθεί κανονική κατανοµή, δηλαδή X N(µ, ) (σε mm). Εστω ότι ϑέλουµε να υπολογίσουµε την πιθανότητα η απόκλιση του πάχους του κυλινδρικού σωλήνα από το προδιαγεγραµµένο πάχος να µην είναι µεγαλύτερη από 0.1 mm. Εχουµε σύµϕωνα µε την (2.27) P(µ 0.1 X µ + 0.1) = P( 1 Z 1) = Φ(1) Φ( 1) = = , που συµϕώνει µε το αποτέλεσµα που αναϕέρθηκε παραπάνω, δηλαδή ότι περίπου το 70% των τιµών της X ϐρίσκονται στο διάστηµα [µ σ, µ + σ]. Αντίστροϕα, µπορούµε να προσδιορίσουµε ένα όριο για το σϕάλµα (πάνω και κάτω από την προδιαγεγραµµένη τιµή µ) που αντιστοιχεί σε κάποια πιθανότητα, ας πούµε Αν ονοµάσουµε το σϕάλµα ϸ έχουµε P(X µ ϸ ή X µ + ϸ) = 0.05 P(µ ϸ X µ + ϸ) = 0.95 ( ϸ ) ( Φ Φ ϸ ) = ( 0.1 ϸ ) 2Φ 1 = ( ϸ ) Φ = Από τον πίνακα της τυπικής κανονικής κατανοµής ϐρίσκουµε πως η τιµή z που αντιστοιχεί για Φ(z) = είναι z = Άρα µε πιθανότητα 0.95 το πάχος του κυλινδρικού σωλήνα δεν αποκλίνει από τη µέση τιµή µ περισσότερο από mm.

12 22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Κανονικότητα Στους λόγους που αναϕέρθηκαν παραπάνω για τη σπουδαιότητα της κανονικής κατανοµής, ϑα πρέπει να προστεθεί και η ιδιότητα της κανονικής κατανοµής να έλκει τα αθροίσµατα τυχαίων µεταβλητών, που δεν είναι α- παραίτητα κανονικές, δηλαδή η κατανοµή των αθροισµάτων να προσεγγίζει την κανονική κατανοµή. Οι περιορισµοί για να ισχύει αυτό είναι οι τυχαίες µεταβλητές να είναι ανεξάρτητες µεταξύ τους, να έχουν πεπερασµένη διασπο- ϱά και το άθροισµα να είναι αρκετά µεγάλο. Κάτω από αυτές τις συνθήκες ισχύει το κεντρικό οριακό ϑεώρηµα, ΚΟΘ, (central limit theorem, CLT): Εστω οι τ.µ. X i, i = 1,..., n, για n µεγάλο (συνήθως ϑεωρούµε n > 30) που έχουν κατανοµές µε µέσες τιµές µ i και διασπορές σ 2 i για i = 1,..., n, αντίστοιχα. Τότε ισχύει n Y = X i N(µ Y, σ 2 Y ), (2.28) i=1 όπου η µέση τιµή της τ.µ. του αθροίσµατος Y είναι µ Y = n i=1 µ i και η διασπορά είναι σ 2 = n Y i=1 σ2 i. Προϕανώς όταν οι τ.µ. X i έχουν την ίδια κατανοµή µε µέση τιµή µ και διασπορά σ 2, τότε ισχύει µ Y = nµ και σ 2 = Y nσ2. Για το µέσο όρο των τ.µ. X i, i = 1,..., n, µε ίδια κατανοµή, από το ΚΟΘ ισχύει X = 1 n X i N(µ, σ 2 /n), (2.29) n i=1 δηλαδή ο µέσος όρος ακολουθεί κανονική κατανοµή µε την ίδια µέση τιµή όπως οι τ.µ. X i και διασπορά σ 2 X = σ 2 /n.

13 2.3. ΓΝΩΣΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΜΙΑΣ Τ.Μ. 23 Ασκήσεις Κεϕαλαίου 2 1. Επιβεβαίωσε τον ορισµό της πιθανότητας ως το όριο της σχετικής συχνότητας για αριθµό επαναλήψεων να τείνει στο άπειρο. Προσοµοίωσε τη ϱίψη ενός νοµίσµατος n φορές χρησιµοποιώντας τη γενέτειρα συνάρτηση τυχαίων αριθµών, είτε από οµοιόµορϕη διακριτή κατανοµή (δίτιµη για κορώνα και γράµµατα ), ή από οµοιόµορϕη συνεχή κατανοµή στο διάστηµα [0, 1] χρησιµοποιώντας κατώϕλι 0.5 (π.χ. αριθµός µικρότε- ϱος του 0.5 είναι κορώνα και µεγαλύτερος γράµµατα ). Επανέλαβε το πείραµα για αυξανόµενα n και υπολόγισε κάθε φορά την αναλογία των γραµµάτων στις n επαναλήψεις. Κάνε την αντίστοιχη γραϕική παράσταση της αναλογίας για τα διαϕορετικά n. Βοήθεια ( matlab): Για τη δηµιουργία των τυχαίων αριθµών χρησιµοποίησε τη συνάρτηση rand ή unidrnd. 2. ηµιούργησε 1000 τυχαίους αριθµούς από εκθετική κατανοµή µε πα- ϱάµετρο λ = 1 χρησιµοποιώντας την τεχνική που δίνεται στην Παρ Κάνε το ιστόγραµµα των τιµών και στο ίδιο σχήµα την καµπύλη της εκ- ϑετικής σππ f X (x) = λe λx. Βοήθεια ( matlab): Το ιστόγραµµα δίνεται µε τη συνάρτηση hist. 3. είξε µε προσοµοίωση ότι όταν δύο τ.µ. X και Y δεν είναι ανεξάρτητες δεν ισχύει η ιδιότητα Var[X + Y ] = Var[X] + Var[Y ]. Για να το δείξεις ϑεώρησε µεγάλο πλήθος τιµών n από X και Y που ακολουθούν τη διµεταβλητή κανονική κατανοµή. Βοήθεια ( matlab): Για τον υπολογισµό της διασποράς από n παρατηρήσεις, χρησιµοποίησε τη συνάρτηση var. Για να δηµιουργήσεις παρατηρήσεις από διµεταβλητή κανονική κατανοµή χρησιµοποίησε τη συνάρτηση mvnrnd. 4. Ισχύει E[1/X] = 1/E[X]; ιερεύνησε το υπολογιστικά για X από ο- µοιόµορϕη συνεχή κατανοµή στο διάστηµα [1, 2] υπολογίζοντας τους αντίστοιχους µέσους όρους για αυξανόµενο µέγεθος επαναλήψεων n. Κάνε κατάλληλη γραϕική παράσταση για τις δύο µέσες τιµές και τα διαϕορετικά n. Τι συµβαίνει αν το διάστηµα της οµοιόµορϕης κατανο- µής είναι [0, 1] ή [ 1, 1]; 5. Το µήκος X των σιδηροδοκών που παράγονται από µια µηχανή, είναι γνωστό ότι κατανέµεται κανονικά X N(4, 0.01). Στον ποιοτικό έλεγχο που ακολουθεί αµέσως µετά την παραγωγή απορρίπτονται όσοι σιδηροδοκοί έχουν µήκος λιγότερο από 3.9. Ποια είναι η πιθανότητα

14 24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ µια σιδηροδοκός να καταστραϕεί ; Που πρέπει να µπει το όριο για να καταστρέϕονται το πολύ το 1% των σιδηροδοκών ; Βοήθεια ( matlab): Η αθροιστική συνάρτηση κανονικής κατανοµής δίνεται µε τη συνάρτηση normcdf. Η αντίστροϕη της δίνεται µε τη συνάρτηση norminv. 6. είξε ότι ισχύει το ΚΟΘ µε προσοµοίωση. Εστω n = 100 τ.µ. από οµοιόµορϕη κατανοµή στο διάστηµα [0, 1] και έστω Y η µέση τιµή τους. Υπολόγισε N = τιµές της Y και σχηµάτισε το ιστόγραµµα των τιµών µαζί µε την καµπύλη της κανονικής κατανοµής. Βοήθεια ( matlab): Το ιστόγραµµα δίνεται µε τη συνάρτηση hist.

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ]

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ] Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες-εαρινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Συνδιασπορά - Συσχέτιση Τυχαίων Μεταβλητών Επιµέλεια : Κωνσταντίνα

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ 20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας

Διαβάστε περισσότερα

3. Κατανομές πιθανότητας

3. Κατανομές πιθανότητας 3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε σημείο (ω) ενός δειγματικού χώρου (Ω) αντιστοιχεί έναν πραγματικό αριθμό. Ω ω X (ω ) R Διακριτή τ.μ.

Διαβάστε περισσότερα

HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών. Χρόνου (Ι)

HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών. Χρόνου (Ι) HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων Διάλεξη 5: Στοχαστικά/Τυχαία Σήματα Διακριτού Διάλεξη 5: Στοχαστικά/Τυχαία Σήματα Διακριτού Χρόνου (Ι) Στοχαστικά σήματα Στα προηγούμενα: Ντετερμινιστικά

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων

Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων 6 Απριλίου 2009 1 Συνδυαστική Η ϐασική αρχή µέτρησης µας λέει ότι αν σε ένα πείραµα που γίνεται σε δύο ϕάσεις και στο οποίο υπάρχουν n δυνατά αποτελέσµατα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας.

Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας. Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας. Περιεχόµενα ιακριτές τυχαίες µεταβλητές Συνεχείς τυχαίες µεταβλητές Μέση τιµή τυχαίων µεταβλητών Ροπές, διασπορά, και τυπική απόκλιση τυχαίων µεταβλητών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Σε κάθε αποτέλεσμα του πειράματος αντιστοιχεί μία αριθμητική τιμή Μαθηματικός ορισμός: Τυχαία μεταβλητή X είναι

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

27-Ιαν-2009 ΗΜΥ 429. 2. (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό

27-Ιαν-2009 ΗΜΥ 429. 2. (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό ΗΜΥ 429 2. (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό 1 (i) Βασική στατιστική 2 Στατιστική Vs Πιθανότητες Στατιστική: επιτρέπει μέτρηση και αναγνώριση θορύβου και

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου

Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου Τυχαίες μεταβλητές Κατανομές Τυχαία Μεταβλητή (τ.μ.) Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) ονομάζεται η συνάρτηση που απεικονίζει το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων ενός πειράματος στο σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα 3 ο a. Τυχαία Μεταβλητή-Έννοιες και Ορισμοί

Μάθημα 3 ο a. Τυχαία Μεταβλητή-Έννοιες και Ορισμοί Μάθημα 3 ο a Τυχαία Μεταβλητή-Έννοιες και Ορισμοί Στο μάθημα αυτό θα ορίσουμε την έννοια της τυχαίας μεταβλητής και θα αναφερθούμε σε σχετικές βασικές έννοιες και συμβολισμούς. Ross, σσ 135-151 Μπερτσεκάς-Τσιτσικλής,

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Ορισμός τυχαίας μεταβλητής Τυχαία μεταβλητή λέγεται η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ιωνυµική Κατανοµή(Binomial)

ιωνυµική Κατανοµή(Binomial) ιωνυµική Κατανοµή(Binomial) ~B(n,p) n N και 0

Διαβάστε περισσότερα

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός.

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός. Συνάρτηση: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ λέγεται µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συνόλου Β. Γνησίως αύξουσα: σε ένα διάστηµα του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

3. Οριακά θεωρήµατα. Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Κ.Ο.Θ.)

3. Οριακά θεωρήµατα. Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Κ.Ο.Θ.) 3 Οριακά θεωρήµατα Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (ΚΟΘ) Ένα από τα πιο συνηθισµένα προβλήµατα που ανακύπτουν στη στατιστική είναι ο προσδιορισµός της κατανοµής ενός µεγάλου αθροίσµατος ανεξάρτητων τµ Έστω Χ Χ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ - ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ - ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ Τµ. Επιστήµης των Υλικών Συνάρτηση Κατανοµής Ορισµός F(x) = P(X x) = f(t) x t x f(t)dt, X διακριτή τ.µ., X συνεχής τ.µ. Ιδιότητες 0 F(x). 2 F είναι αύξουσα συνάρτηση. 3 F είναι συνεχής εκ δεξιών. 4 lim

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Χρήση τυχαίων µεταβλητών για την απεικόνιση εκβάσεων τυχαίου πειράµατος Κατανόηση της έννοιας κατανοµής πιθανοτήτων τυχαίας µεταβλητής Υπολογισµός της συνάρτηση κατανοµής πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων Διάλεξη 2 Επισκόπηση θεωρίας πιθανοτήτων Τυχαίες μεταβλητές: Βασικές έννοιες Τυχαία μεταβλητή: Μεταβλητή της οποίας δε γνωρίζουμε με βεβαιότητα την τιμή (σε αντίθεση με τις

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 3.1 Συσχέτιση δύο τ.µ.

Κεφάλαιο 3 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 3.1 Συσχέτιση δύο τ.µ. Κεφάλαιο 3 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ Στα προηγούµενα κεφάλαια ορίσαµε και µελετήσαµε την τ.µ. µε τη ϐοήθεια της πιθανο- ϑεωρίας (κατανοµή, ϱοπές) και της στατιστικής (εκτίµηση, στατιστική υπόθεση). Σ

Διαβάστε περισσότερα

ρ. Ευστρατία Μούρτου

ρ. Ευστρατία Μούρτου ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΕΞΑΜΗΝΟ : Ε ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ : - ΜΑΘΗΜΑ «ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΚΕΦ. ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ρ. Ευστρατία Μούρτου

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Α. ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ α) Διακριτή Ομοιόμορφη κατανομή β) Διωνυμική κατανομή γ) Υπεργεωμετρική κατανομή δ) κατανομή Poisson Β. ΣΥΝΕΧΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΜΕΡΟΣ Ο ΙΩΝΥΜΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Στο εργαστήριο αυτό θα ασχοληθούµε µε την προσοµοίωση της ρίψεως ενός δίκαιου νοµίσµατος. Το µοντέλο το οποίο θα πρέπει να πραγµατοποιήσουµε θα πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ - - ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ3 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 009-0 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ - - ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΥΝΟΨΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι:

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: Κατανοµές ειγµατοληψίας 1.Εισαγωγή Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: 1. Στατιστικής και 2. Κατανοµής ειγµατοληψίας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ.

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ. Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ Στα προηγούµενα κεφάλαια ορίσαµε και µελετήσαµε την τ.µ. µε τη ϐοήθεια της πιθανο- ϑεωρίας (κατανοµή, ϱοπές) και της στατιστικής (εκτίµηση, στατιστική υπόθεση). Σ

Διαβάστε περισσότερα

Τ Ε Ι Ιονίων Νήσων Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και την Οικονομία. Υπεύθυνος: Δρ. Κολιός Σταύρος

Τ Ε Ι Ιονίων Νήσων Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και την Οικονομία. Υπεύθυνος: Δρ. Κολιός Σταύρος Τ Ε Ι Ιονίων Νήσων Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και την Οικονομία Υπεύθυνος: Δρ. Κολιός Σταύρος Κατανομές Πιθανότητας Ως τυχαία μεταβλητή ορίζεται το σύνολο των τιμών ενός χαρακτηριστικού

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός και Ιδιότητες

Ορισμός και Ιδιότητες ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Ορισμός και Ιδιότητες H κανονική κατανομή norml distriution θεωρείται η σπουδαιότερη κατανομή της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιστικής. Οι λόγοι που εξηγούν την εξέχουσα θέση της,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Στατιστική Συµπερασµατολογία Ι, Κ. Πετρόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Στατιστική Συµπερασµατολογία Ι, Κ. Πετρόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών Στοιχεία Θεωρίας Συνόλων Θεωρούµε Ω το σύνολο αναφοράς. σ-άλγεβρα Εστω A είναι µια κλάση υποσυνόλων του Ω. τ.ω. A είναι µη κενή. 2 A A A c A. 3 A, A 2,... A A A 2...

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΧΑΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. 1. 0 F(x) 1, x n. 2. Η F είναι μη φθίνουσα και δεξιά συνεχής ως προς κάθε μεταβλητή. 3.

ΤΥΧΑΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. 1. 0 F(x) 1, x n. 2. Η F είναι μη φθίνουσα και δεξιά συνεχής ως προς κάθε μεταβλητή. 3. ΤΥΧΑΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Έστω Χ = (Χ 1,,Χ ) T τυχαίο διάνυσμα (τ.δ). Ονομάζουμε συνάρτηση κατανομής πιθανότητας (σ.κ.π.) του τ.δ. Χ την: F(x) = P(X 1 x 1,, X x ), x = (x 1,,x ) T 1. 0 F(x) 1, x.. Η F είναι μη

Διαβάστε περισσότερα

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Διαφορικός Λογισμός 1. Ισχύει f (g())) ) f ( = f (g())g () όπου f,g παραγωγίσιµες συναρτήσεις 2. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος Έλεγχοι Υποθέσεων 1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος µ = 100 Κάθε υπόθεση συνοδεύεται από µια εναλλακτική: Ο

Διαβάστε περισσότερα

Πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων και διάµεσος µιας τυχαίας µεταβλητής ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Πρόλογος Στην εργασία αυτή αναλύονται

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγµα (Risky Business 1)

Παράδειγµα (Risky Business 1) Πληροφοριακά Συστήµατα ιοίκησης Τµήµα Χρηµατοοικονοµικής και Ελεγκτικής Management Information Systems Εργαστήριο 3 ΤΕΙ Ηπείρου (Παράρτηµα Πρέβεζας) ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ: Συµπεράσµατα για την αβεβαιότητα Θέµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ηµήτρης Κουγιουµτζής http://users.auth.gr/dkugiu/teach/civilengineer E mail: dkugiu@gen.auth.gr 1/11/2009 2 Περιεχόµενα 1 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ

ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Δ.Φουσκάκης- Πολυδιάστατες Τυχαίες Μεταβλητές 1 ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Συνάρτηση Κατανομής: Έστω Χ=(Χ 1,,Χ ) T τυχαίο διάνυσμα (τ.δ). Ονομάζουμε συνάρτηση κατανομής πιθανότητας (σ.κ.π.) του τ.δ.

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

στατιστική θεωρεία της δειγµατοληψίας

στατιστική θεωρεία της δειγµατοληψίας στατιστική θεωρεία της δειγµατοληψίας ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ : Εισαγωγή δειγµατοληψία Τα στοιχεία που απαιτούνται τόσο για την ανάλυση των µεταφορικών συστηµάτων και όσο και για την ανάπτυξη των συγκοινωνιακών µοντέλων

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 2.1 Συνάρτηση Η έννοια της συνάρτησης είναι ϐασική σ όλους τους κλάδους των µαθη- µατικών, αλλά και πολλών άλλων επιστηµών. Ο λόγος είναι, ότι µορφοποιεί τη σχέση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σφάλµατα και στατιστική επεξεργασία πειραµατικών µετρήσεων

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σφάλµατα και στατιστική επεξεργασία πειραµατικών µετρήσεων ΘΕ1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σφάλµατα και στατιστική επεξεργασία πειραµατικών µετρήσεων 1. Σκοπός Πρόκειται για θεωρητική άσκηση που σκοπό έχει την περιληπτική αναφορά σε θεµατολογίες όπως : σφάλµατα, στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

Είδη Μεταβλητών Κλίμακα Μέτρησης Οι τεχνικές της Περιγραφικής στατιστικής ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης Οι τελεστές Π και Σ

Είδη Μεταβλητών Κλίμακα Μέτρησης Οι τεχνικές της Περιγραφικής στατιστικής ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης Οι τελεστές Π και Σ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρμοσμένες Επιστήμες Στατιστικός Πληθυσμός και Δείγμα Το στατιστικό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑ Ας υποθέσουμε, ότι κατά την μελέτη της κατανομής δύο μεταβλητών, καταλήγουμε στα παρακάτω ιστογράμματα.

ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑ Ας υποθέσουμε, ότι κατά την μελέτη της κατανομής δύο μεταβλητών, καταλήγουμε στα παρακάτω ιστογράμματα. ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑ Ας υποθέσουμε, ότι κατά την μελέτη της κατανομής δύο μεταβλητών, καταλήγουμε στα παρακάτω ιστογράμματα. Στα παραπάνω ιστογράμματα, παρατηρούμε, ότι αν και υπάρχει διαφορά στη διασπορά των τιμών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 0 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο, να αποδείξετε ότι (f() + g ()) f () + g (),. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραµα µε ισοπίθανα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Κανονική Κατανομή. Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Κεφάλαιο 4 Κανονική Κατανομή. Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Κεφάλαιο 4 Κανονική Κατανομή Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς 4-4-1 Εισαγωγή Όσο το n αυξάνει, η διωνυμική κατανομή προσεγγίζει... n = 6 n = 1 n = 14 Binomial Distribution:

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΤΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΤΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΤΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ Στατιστική ανάλυση του γεωχηµικού δείγµατος µας δίνει πληροφορίες για τον γεωχηµικό πληθυσµό που µελετάµε. Συνυπολογισµός σφαλµάτων Πειραµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ο Κεφάλαιο: Στατιστική ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πληθυσμός: Λέγεται ένα σύνολο στοιχείων που θέλουμε να εξετάσουμε με ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά. Μεταβλητές X: Ονομάζονται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 20 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 20 2.1.1 Αβεβαιότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 7. Τυχαίες Μεταβλητές και Διακριτές Κατανομές Πιθανοτήτων

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 7. Τυχαίες Μεταβλητές και Διακριτές Κατανομές Πιθανοτήτων ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής.

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής. 2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ Το διάστηµα εµπιστοσύνης παρέχει µία εκτίµηση µιας άγνωστης παραµέτρου µε την µορφή διαστήµατος και ένα συγκεκριµένο βαθµό εµπιστοσύνης ότι το διάστηµα αυτό, µε τον τρόπο που κατασκευάσθηκε,

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

Η διακριτή συνάρτηση μάζας πιθανότητας δίνεται από την

Η διακριτή συνάρτηση μάζας πιθανότητας δίνεται από την Η ΔΙΩΝΥΜΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Ενδιαφερόμαστε για την απλούστερη μορφή πειραματικής διαδικασίας, όπου η έκβαση των αποτελεσμάτων χαρακτηρίζεται μόνο ως "επιτυχής" ή "ανεπιτυχής" (δοκιμές Beroulli). Ορίζουμε λοιπόν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 8. Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 8. Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1.1 Πίνακες, κατανομές, ιστογράμματα... 1 1.2 Πυκνότητα πιθανότητας, καμπύλη συχνοτήτων... 5 1.3

Διαβάστε περισσότερα

Κεϕάλαιο 4. Αβεβαιότητα και σϕάλµα µέτρησης

Κεϕάλαιο 4. Αβεβαιότητα και σϕάλµα µέτρησης Κεϕάλαιο 4 Αβεβαιότητα και σϕάλµα µέτρησης Από την κλασσική αρχαία εποχή που ο Αριστοτέλης ϑεώρησε τη ϐεβαιότητα (και αβεβαιότητα) ενός αποτελέσµατος ως σήµερα ο χαρακτηρισµός της αβεβαιότητας της µέτρησης

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραµµα Σπουδών: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεµατική Ενότητα: ΕΟ-3 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδηµαϊκό Έτος: 003- ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Να κατανοηθεί η έννοια της εκτίµησης σηµείου και της εκτίµησης διαστήµατος. Επίσης να κατανοηθεί η έννοια της δειγµατικής κατανοµής παραµέτρου και να υπολογισθούν µε χρήση της Κεντρικού

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Τυχαίες μεταβλητές, στοχαστικές ανελίξεις και χρονοσειρές

Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Τυχαίες μεταβλητές, στοχαστικές ανελίξεις και χρονοσειρές Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Τυχαίες μεταβλητές, στοχαστικές ανελίξεις και χρονοσειρές Δημήτρης Κουτσογιάννης Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος, Σχολή Πολιτικών Μηχανικών, Εθνικό Μετσόβιο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω t, t,..., t ν οι παρατηρήσεις µιας ποσοτικής µεταβλητής Χ ενός δείγµατος µεγέθους ν, που έχουν µέση τιµή x. Σχηµατίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Dunamoseirèc A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA

Dunamoseirèc A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA Dunamoseirèc A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA Eisagwg Οι δυναμοσειρές είναι μια πολύ ενδιαφέρουσα κατηγορία σειρών. Βρίσκουν πολύ σημαντικές εφαρμογές στον ορισμό συναρτήσεων καθώς και σε διάφορες

Διαβάστε περισσότερα

!n k. Ιστογράμματα. n k. x = N = x k

!n k. Ιστογράμματα. n k. x = N = x k Ιστογράμματα Τα ιστογράμματα αποτελούν ένα εύχρηστο οπτικό τρόπο για να εξάγουμε την κατανομή που ακολουθούν μια σειρά μετρήσεων ενός μεγέθους αλλά και παράλληλα δίνουν τη δυνατότητα για εύκολη στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΑΠΟ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΙ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΑΠΟ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΙ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΑΠΟ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΙ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ 4.. Εισαγωγή Στην προσομοίωση σε πολλές περιπτώσεις είναι απαραίτητη η δημιουργία δειγμάτων τυχαίων μεταβλητών που ακολουθούν κάποια καθορισμένη

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 8 o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gasil

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Κατανόηση της έννοιας κατανοµής πιθανοτήτων συνεχούς τυχαίας µεταβλητής Υπολογισµός της συνάρτησης κατανοµής πιθανοτήτων τυχαίων µεταβλητών καθώς και την µέση τιµή και διασπορά τους

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 5 Ορισµοί Εστω α δοθείσα πραγµατική ακολουθία Ορίζουµε µία νέα ακολουθία ως εξής: 3 3 = + + + = = + = + + Ορισµός 5 Εάν υπάρχει το lim + = τότε η ακολουθία καλείται

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική. 4 ο Μάθημα: Θεωρητικές και Εμπειρικές - Δειγματοληπτικές Κατανομές. Γεώργιος Μενεξές Τμήμα Γεωπονίας

Στατιστική. 4 ο Μάθημα: Θεωρητικές και Εμπειρικές - Δειγματοληπτικές Κατανομές. Γεώργιος Μενεξές Τμήμα Γεωπονίας ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Στατιστική 4 ο Μάθημα: Θεωρητικές και Εμπειρικές - Δειγματοληπτικές Κατανομές Γεώργιος Μενεξές Τμήμα Γεωπονίας Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι-Θεωρητικές Κατανομές ΙΙ

Στατιστική Ι-Θεωρητικές Κατανομές ΙΙ Στατιστική Ι-Θεωρητικές Κατανομές ΙΙ Γεώργιος Κ. Τσιώτας Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Σχολή Κοινωνικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Κρήτης 12 Δεκεμβρίου 2012 Περιγραφή 1 Θεωρητικές Κατανομές ΙΙ Περιγραφή 1 Θεωρητικές

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΚΑΙ ΠΟΛΥΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΜΟΝΟΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΚΑΙ ΠΟΛΥΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΜΟΝΟΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΚΑΙ ΠΟΛΥΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΕΝΤΟΠΙΣΜΟ ΓΕΩΧΗΜΙΚΗΣ ΑΝΩΜΑΛΙΑΣ Στατιστική ανάλυση του γεωχημικού δείγματος μας δίνει πληροφορίες για τον

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Μη Παραµετρική Στατιστική, Κ. Πετρόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Μη Παραµετρική Στατιστική, Κ. Πετρόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών Εισαγωγή Στα προβλήµατα που έχουµε ασχοληθεί µέχρι τώρα, υποστηρίζουµε ότι έχουµε ένα δείγµα X = (X 1, X 2,...,X n ) F(,θ). π.χ. X 1, X 2,...,X n τ.δ. N(µ,σ 2 ),

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ι θ α ν ό τ η τ ε ς Ι Πειραιάς 2008 Πιθανότητες Ι-Μ. Κούτρας 2 Δοκιμές Bernoulli Ας θεωρήσουμε μία ακολουθία (σειρά) πειραμάτων στην οποία ισχύουν τα επόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: Απριλίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 8 Μαΐου 0 Πριν από τη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ A A. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι f g f g,. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραμα με ισοπίθανα αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

Διαστήματα εμπιστοσύνης, εκτίμηση ακρίβειας μέσης τιμής

Διαστήματα εμπιστοσύνης, εκτίμηση ακρίβειας μέσης τιμής Ενότητα 2 Διαστήματα εμπιστοσύνης, εκτίμηση ακρίβειας μέσης τιμής Ένας από τους βασικούς σκοπούς της Στατιστικής είναι η εκτίμηση των χαρακτηριστικών ενός πληθυσμού βάσει της πληροφορίας από ένα δείγμα.

Διαβάστε περισσότερα

Βασικά μαθηματικά εργαλεία

Βασικά μαθηματικά εργαλεία Παράρτημα Αʹ Βασικά μαθηματικά εργαλεία Σύνοψη Παρατίθενται μια επανάληψη σε βασικές γνώσεις που αφορούν βασικά μαθηματικά εργαλεία, για την αντιμετώπιση προβλημάτων που παρουσιάζονται στο σύγγραμμα, και

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ, ΟΛΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑ BAYES, ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΑΦΕΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 71

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ, ΟΛΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑ BAYES, ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΑΦΕΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 71 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 21 2.1.1 Αβεβαιότητα και Τυχαίο Πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 21 2.1.1 Αβεβαιότητα και Τυχαίο Πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

Κατανοµές. Η κατανοµή (distribution) µιας µεταβλητής (variable) φαίνεται από το σχήµα του ιστογράµµατος (histogram).

Κατανοµές. Η κατανοµή (distribution) µιας µεταβλητής (variable) φαίνεται από το σχήµα του ιστογράµµατος (histogram). Ιωάννης Παραβάντης Επίκουρος Καθηγητής Τµήµα ιεθνών και Ευρωπαϊκών Σπουδών Πανεπιστήµιο Πειραιώς Μάρτιος 2010 Κατανοµές 1. Οµοιόµορφη κατανοµή Η κατανοµή (distribution) µιας µεταβλητής (variable) φαίνεται

Διαβάστε περισσότερα

0. Σύντοµη επισκόπηση θεωρίας πιθανοτήτων

0. Σύντοµη επισκόπηση θεωρίας πιθανοτήτων . Σύντοµη επισκόπηση θεωρίας πιθανοτήτων Α. Τυχαίες µεταβητές Τυχαία µεταβητή καείται µια µεταβητή η τιµή της οποίας καθορίζεται από το αποτέεσµα κάποιου στοχαστικού πειράµατος. Αν Ω ο δειγµατικός χώρος

Διαβάστε περισσότερα

Δειγματικές Κατανομές

Δειγματικές Κατανομές Δειγματικές Κατανομές Στατιστική συνάρτηση ή στατιστική Δειγματική κατανομή - Εκτιμητής Τα άγνωστα στοιχεία του πληθυσμού λέγονται παράμετροι. Τα συμπεράσματα για μια παράμετρο εξάγονται με τη βοήθεια

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ. 2.1 Σηµειακή Εκτίµηση. ˆθ παίρνει διαφορετικές τιµές, δηλαδή η ˆθ είναι η ίδια τ.µ. µε κάποια κατανοµή κι έχει µέση

Κεφάλαιο 2 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ. 2.1 Σηµειακή Εκτίµηση. ˆθ παίρνει διαφορετικές τιµές, δηλαδή η ˆθ είναι η ίδια τ.µ. µε κάποια κατανοµή κι έχει µέση Κεφάλαιο 2 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ Οι στατιστικές δείγµατος, όπως η δειγµατική µέση τιµή x και η δειγµατική διασπορά s 2, που ϑα δούµε παρακάτω, υπολογίζονται από τα στατιστικά δεδοµένα που έχουµε συλλέξει

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr

Ποσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Ποσοτικές Μέθοδοι Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης MBA Ph.D. Candidate e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Εισαγωγή στη Στατιστική Διδακτικοί Στόχοι Μέτρα Σχετικής Διασποράς Κατανομές Πιθανοτήτων Η Κανονική Κατανομή Η Τυποποιημένες

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 Κατανομές. Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Κεφάλαιο 3 Κατανομές. Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Κεφάλαιο Κατανομές Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς - - Χρησιμοποιώντας την Στατιστική Έστω οι διαφορετικές διατάξεις ενός αγοριού (B) και ενός κοριτσιού (G) σε τέσσερις

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ( , c Ε. Γαλλόπουλος) ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. Ε. Γαλλόπουλος. ΤΜΗΥΠ Πανεπιστήµιο Πατρών. ιαφάνειες διαλέξεων 28/2/12

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ( , c Ε. Γαλλόπουλος) ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. Ε. Γαλλόπουλος. ΤΜΗΥΠ Πανεπιστήµιο Πατρών. ιαφάνειες διαλέξεων 28/2/12 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ε. Γαλλόπουλος ΤΜΗΥΠ Πανεπιστήµιο Πατρών ιαφάνειες διαλέξεων 28/2/12 Μαθηµατική Οµάδα Οµάδα είναι ένα σύνολο F µαζί µε µία πράξη + : F F F έτσι ώστε (Α1) α + (β + γ) = (α + β) + γ για

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ..Π.Μ.Σ. Μαθηµατικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων. Πάτρα, 27 Ιανουαρίου 2011

ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ..Π.Μ.Σ. Μαθηµατικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων. Πάτρα, 27 Ιανουαρίου 2011 Πάτρα, 7 Ιανουαρίου 011 Γενικά Πολλές ϕορές µας ενδιαφέρει να µελετήσουµε τις σχέσεις που υπάρχουν ανάµεσα στις µεταβλητές. Παράδειγµα 1 OZON 300 80 60 40 0 00 180 150 00 50 300 350 400 450 CFC 1 Από το

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο R, να αποδείξετε ότι (f() + g() )=f ()+g (), R Μονάδες 7 Α. Σε

Διαβάστε περισσότερα

Ποιο από τα δύο τµήµατα είχε καλύτερη επίδοση; επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου

Ποιο από τα δύο τµήµατα είχε καλύτερη επίδοση; επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου Ένας καθηγητής µαθηµατικών έδωσε σε δύο τµήµατα µιας τάξης του σχολείου του το ίδιο τεστ. Η επίδοση των µαθητών του κάθε τµήµατος (όπως µετρήθηκε µε τη χρήση µιας εικοσαβάθµιας κλίµακας) παρουσιάζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt014/nt014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ o ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο ΙR. και c πραγµατική σταθερά. Να αποδείξετε ότι (c f(x)) =c f (x), x ΙR. Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8 Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων

Κεφάλαιο 8 Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων Κεφάλαιο 8 Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων Copyright 2009 Cengage Learning 8.1 Συναρτήσεις Πυκνότητας Πιθανοτήτων Αντίθετα με τη διακριτή τυχαία μεταβλητή που μελετήσαμε στο Κεφάλαιο 7, μια συνεχής τυχαία

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής. 1 η Πρόοδος στο Μάθηµα Στατιστική 5/12/08 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. 3 ο Θέµα

Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής. 1 η Πρόοδος στο Μάθηµα Στατιστική 5/12/08 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. 3 ο Θέµα Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ η Πρόοδος στο Μάθηµα Στατιστική 5//8 ο Θέµα To % των ζώων µιας µεγάλης κτηνοτροφικής µονάδας έχει προσβληθεί από µια ασθένεια. Για τη διάγνωση της συγκεκριµένης

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ

ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Θα εισαγάγουμε την έννοια του τυχαίου αριθμού με ένα παράδειγμα. Παράδειγμα: Θεωρούμε μια τυχαία μεταβλητή με συνάρτηση πιθανότητας η οποία σε

Διαβάστε περισσότερα