n i P(x i ) P(X = x i ) = lim

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "n i P(x i ) P(X = x i ) = lim"

Transcript

1 Κεϕάλαιο 2 Πιθανότητες και Τυχαίες Μεταβλητές Μπορούµε να καταλάβουµε την έννοια της πιθανότητας από τη σχετική συχνότητα εµϕάνισης n i κάποιας τιµής x i µιας διακριτής τ.µ. X. Αν είχαµε τη δυνατότητα να συλλέξουµε αυθαίρετα πολλές n παρατηρήσεις (n ), τότε το όριο της σχετικής συχνότητας είναι η πιθανότητα η τ.µ. X να πάρει την τιµή x i n i P(x i ) P(X = x i ) = lim n n (2.1) (το σύµβολο σηµαίνει ισοδυναµία συµβολισµού). Για να είναι έγκυρος αυτός ο ορισµός πρέπει επίσης να υποθέσουµε ότι οι συνθήκες για την τ.µ. X σε κάθε επανάληψη της παρατήρησης παραµένουν οι ίδιες, και αυτή η ιδιότητα ονοµάζεται στατιστική οµαλότητα (statistical regularity). Για παράδειγµα, η πιθανότητα ϐροχής σε µια περιοχή (σε µια τυχαία µέρα του χρόνου ή ενός συγκεκριµένου µήνα) µπορεί να έχει αλλάξει τα τελευταία χρόνια λόγω του φαινοµένου του ϑερµοκηπίου. Για συνεχή τ.µ. X δεν έχει νόηµα να µιλάµε για την πιθανότητα η X να πάρει µια συγκεκριµένη τιµή αλλά για την πιθανότητα η X να ανήκει σε ένα διάστηµα τιµών dx. Ποια είναι η πιθανότητα να έχει κάποιος συµϕοιτητής σας ένα συγκεκριµένο ύψος που ορίζεται µε ακρίβεια πολλών (άπειρων) δεκαδικών, π.χ ; Μπορείτε όµως να προσδώσετε µη µηδενική πιθανότητα για το γεγονός ότι ένας συµϕοιτητής σας έχει ύψος στα 1.80 µέτρα (όπου µε ϐάση τη στρογγυλοποίηση του εκατοστού έχουµε dx = [1.795, 1.805)). 11

2 12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ 2.1 Κατανοµή πιθανότητας Κατανοµή πιθανότητας µιας τ.µ. Η πιθανότητα η τ.µ. X να πάρει κάποια τιµή x i, αν είναι διακριτή, ή να ϐρίσκεται σε ένα διάστηµα τιµών dx, αν είναι συνεχής, µπορεί να µετα- ϐάλλεται στο σύνολο των διακεκριµένων τιµών ή σε διαϕορετικά διαστήµατα και δίνεται ως συνάρτηση της τ.µ. X. Για διακριτή τ.µ. X που παίρνει τις τιµές x 1, x 2,..., x m, η συνάρτηση αυτή λέγεται συνάρτηση µάζας πιθανότητας, σµπ (probability mass function), ορίζεται ως f X (x i ) = P(X = x i ) και ικανοποιεί τις συνθήκες f X (x i ) 0 και m f X (x i ) = 1. (2.2) Αντίστοιχα, για συνεχή τ.µ. X (X ΙR) ορίζεται η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας, σππ (probability density function) f X (x) που ικανοποιεί τις συνθήκες f X (x) 0 και i=1 f X (x)dx = 1. (2.3) Η κατανοµή πιθανότητας (probability distribution) της τ.µ. X ορίζεται επίσης από την αθροιστική συνάρτηση κατανοµής, ασκ (cumulative distribution function) F X (x), που δηλώνει την πιθανότητα η τ.µ. X να πάρει τιµές µικρότερες ή ίσες από κάποια τιµή x. Για διακριτή τ.µ. X είναι F X (x i ) = P(X x i ) = f X (x) (2.4) x x i και για συνεχή τ.µ. X F X (x) = P(X x) = x f X (u)du. (2.5) Σηµειώνεται ότι µια συνεχής µεταβλητή µπορεί να µετατραπεί σε διακριτή µε κατάλληλη διαµέριση του πεδίου τιµών της. Αν η συνεχής τ.µ. X ορίζεται στο διάστηµα [a, b] µια διαµέριση Σ σε m κελιά δίνεται ως Σ = {a = r 0, r 1,..., r m 1, r m = b}, όπου r 0 < r 1 <... < r m. Αντιστοιχίζοντας διακεκριµένες τιµές x i, i = 1,..., m, σε κάθε κελί (διάστηµα) [r i 1, r i ), η πιθανότητα εµϕάνισης µιας τιµής x i της διακριτικοποιηµένης τ.µ. X, f X (x i ) = P(X = x i ), δίνεται από την πιθανότητα η συνεχής τ.µ. X να παίρνει τιµές στο διάστηµα [r i 1, r i ), P(r i 1 X r i ) = F X (r i ) F X (r i 1 ).

3 2.2. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Κοινή πιθανότητα δύο τ.µ. Σε πολλά προβλήµατα χρειάζεται να ορίσουµε την συνδυασµένη µεταβλητότητα δύο τ.µ. X και Y, δηλαδή την κοινή κατανοµή πιθανότητας τους. Εστω η διακριτή τ.µ. X µε δυνατές διακεκριµένες τιµές x 1, x 2,..., x n και Y µε δυνατές διακεκριµένες τιµές y 1, y 2,..., y m, αντίστοιχα. Η κοινή συνάρτηση µάζας πιθανότητας (joint probability mass function) f XY (x, y) ορίζεται για κάθε Ϲεύγος δυνατών τιµών (x i, y i ) ως f XY (x i, y i ) = P(X = x i, Y = y i ) (2.6) και η κοινή αθροιστική συνάρτηση κατανοµής (joint cumulative density function) ορίζεται ως F XY (x i, y i ) = P(X x i, Y y i ) = f XY (x i, y i ). (2.7) y y i Η κοινή συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (joint probability density function) f XY (x, y) για δύο συνεχείς τ.µ. X και Y ϑα πρέπει να ικανοποιεί τις συνθήκες f XY (x, y) 0 και x x i f XY (x, y)dydx = 1. (2.8) Η κοινή (αθροιστική) συνάρτηση κατανοµής για δύο συνεχείς τ.µ. X και Y ορίζεται ως F XY (x, y) = P(X x, Y y) = x y f XY (u, v)dvdu. (2.9) ύο τ.µ. X και Y (συνεχείς ή διακριτές) είναι ανεξάρτητες (independent) αν για κάθε δυνατό Ϲεύγος τιµών τους (x, y) ισχύει f XY (x, y) = f X (x)f Y (y) (2.10) Με ανάλογο τρόπο ορίζονται οι συναρτήσεις κοινής κατανοµής για περισσότερες τ.µ. καθώς και η ανεξαρτησία πολλών τ.µ Παράµετροι κατανοµής τυχαίων µεταβλητών Η κατανοµή πιθανότητας περιγράϕει πλήρως τη συµπεριϕορά της τ.µ., αλλά συνήθως στην πράξη δεν είναι γνωστή ή απαραίτητη. Οταν µελετάµε µια τ.µ. µας ενδιαϕέρει κυρίως να προσδιορίζουµε κάποια ϐασικά χαρακτη- ϱιστικά της κατανοµής της, όπως η κεντρική τάση και η µεταβλητότητα της τ.µ.. Αυτά τα χαρακτηριστικά είναι οι παράµετροι της κατανοµής της τ.µ..

4 14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Μέση τιµή Αν X είναι µια διακριτή τ.µ. που παίρνει m διακριτές τιµές x 1, x 2,..., x m, µε σµπ f X (x), η µέση τιµή της, που συµβολίζεται µ X E[X] ή απλά µ, δίνεται ως m µ E[X] = x i f X (x i ). (2.11) Αν η X είναι συνεχής τ.µ. µε σππ f X (x), η µέση τιµή της δίνεται ως µ E[X] = i=1 Κάποιες ϐασικές ιδιότητες της µέσης τιµής είναι : xf X (x)dx. (2.12) 1. Αν η τ.µ. X παίρνει µόνο µια σταθερή τιµή c είναι E[X] = c. 2. Αν X είναι µια τ.µ. και c είναι µια σταθερά : E[cX] = ce[x]. 3. Αν X και Y είναι δύο τ.µ.: E[X + Y ] = E[X] + E[Y ]. 4. Αν X και Y είναι δύο ανεξάρτητες τ.µ.: E[XY ] = E[X]E[Y ]. Οι ιδιότητες (2) και (3) δηλώνουν πως η µέση τιµή έχει τη γραµµική ιδιότητα, δηλαδή ισχύει E[aX + by ] = ae[x] + be[y ]. Άλλα χαρακτηριστικά της τ.µ. X εκτός της µέσης τιµής είναι τα εκατοστιαία σηµεία που µπορούν να προσδιοριστούν από την αθροιστική συνάρτηση κατανοµής. Η διάµεσος (median) µ µιας τ.µ. X είναι το 50-εκατοστιαίο σηµείο, δηλαδή η µ ικανοποιεί τη σχέση F X ( µ) = ιασπορά Η διασπορά ή διακύµανση (variance) µιας τ.µ. X και κυρίως η τυπική απόκλιση (standard deviation) (που είναι η τετραγωνική ϱίζα της διασπο- ϱάς), εκϕράζουν τη µεταβλητότητα της τ.µ. X γύρω από τη µέση τιµή. Αν X είναι µια τ.µ. (διακριτή ή συνεχής) µε µέση τιµή µ, τότε η διασπορά της που συµβολίζεται σ 2 X Var[X] ή απλά σ2 δίνεται ως σ 2 E[(X µ) 2 ] = E[X 2 ] µ 2. (2.13) Κάποιες ϐασικές ιδιότητες της διασποράς είναι : 1. Αν η τ.µ. X παίρνει µόνο µια σταθερή τιµή c είναι Var[c] = Αν X είναι µια τ.µ. και c είναι µια σταθερά : Var[X + c] = Var[X] και Var[cX] = c 2 Var[X].

5 2.2. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Αν X και Y είναι δύο ανεξάρτητες τ.µ.: Var[X + Y ] = Var[X] + Var[Y ]. Οι ιδιότητες (2) και (3) δηλώνουν πως η διασπορά δεν έχει τη γραµµική ιδιότητα. Οταν όµως οι δύο τ.µ. είναι ανεξάρτητες η διασπορά έχει τη ψευδογραµµική ιδιότητα, δηλαδή ισχύει Var[aX + by ] = a 2 Var[X] + b 2 Var[Y ] Ροπές µιας τ.µ. Συχνά για την περιγραϕή των ιδιοτήτων µιας τ.µ. X δεν αρκεί µόνο η µέση τιµή και η διασπορά (που ϐασίζονται στην πρώτη και δεύτερη δύναµη της X), αλλά πρέπει να καταϕύγουµε σε µεγαλύτερες δυνάµεις της X. Η µέση τιµή και η διασπορά αναϕέρονται και ως ϱοπή πρώτης τάξης και (κεντρική) ϱοπή δεύτερης τάξης, αντίστοιχα. Γενικά ορίζονται οι ϱοπές E[X n ] και οι κεντρικές ϱοπές µ n E[(x µ X ) n ] για κάθε τάξη n. Από τις σηµαντικότερες ϱοπές είναι η κεντρική ϱοπή τρίτης τάξης που χρησιµοποιείται στον ορισµό του συντελεστή λοξότητας (coefficient of skewness) λ λ = µ 3 σ 3 = E [( X µ ) 3 ]. (2.14) σ Ο συντελεστής λοξότητας λ εκϕράζει τη λοξότητα της κατανοµής της τ.µ. X (δηλαδή της σµπ για διακριτή X ή της σππ για συνεχή X). Για λ = 0 η κατανοµή είναι συµµετρική. Από τη κεντρική ϱοπή τέταρτης τάξης ορίζεται ο συντελεστή κύρτωσης (coefficient of kurtosis) κ κ = µ [( 4 X µ ) 4 ] σ 3 = E 3. (2.15) 4 σ Ο συντελεστής κύρτωσης κ δηλώνει τη σχέση του πλάτους της κατανοµής γύρω από τη κεντρική τιµή µε τις ουρές της Συνδιασπορά και συντελεστής συσχέτισης Οταν µελετάµε δύο τ.µ. X και Y που δεν είναι ανεξάρτητες, έχει ενδιαϕέ- ϱον να προσδιορίσουµε πόσο ισχυρά συσχετίζεται η µια µε την άλλη. Γι αυτό ορίζουµε τη συνδιασπορά ή συνδιακύµανση (covariance) των τ.µ. X και Y, που συµβολίζεται σ XY Cov[X, Y ], και ορίζεται ως σ XY E[(X µ X )(Y µ Y )] = E[XY ] µ X µ Y. (2.16) Αν οι δύο τ.µ. X και Y συσχετίζονται ισχυρά και ϑετικά, δηλαδή όταν αυξάνει η µία αυξάνει και η άλλη, τότε η συνδιασπορά παίρνει µεγάλη ϑετική τιµή σε

6 16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ σχέση µε τις τιµές των X και Y. Αντίθετα αν οι δύο τ.µ. X και Y συσχετίζονται ισχυρά και αρνητικά, δηλαδή όταν αυξάνει η µία µειώνεται η άλλη, τότε η συνδιασπορά παίρνει µεγάλη αρνητική τιµή. Αν οι X και Y είναι ανεξάρτητες εύκολα µπορεί να δειχθεί από την (2.16) ότι σ XY = 0. Το µειονέκτηµα της συνδιασποράς είναι ότι η τιµή της εξαρτάται από τις µονάδες µέτρησης των τ.µ. X και Y. Γι αυτό όταν ϑέλουµε να µετρήσουµε τη συσχέτιση δύο τ.µ. X και Y, χρησιµοποιούµε συνήθως το συντελεστή συσχέτισης (correlation coefficient), που συµβολίζεται ρ XY Corr[X, Y ] ή απλά ρ, και προκύπτει από την κανονικοποίηση της συνδιασποράς µε το γινόµενο των τυπικών αποκλίσεων των X και Y ρ = σ XY σ X σ Y. (2.17) Παραθέτουµε κάποιες ιδιότητες του συντελεστή συσχέτισης : 1. 1 ρ Αν οι τ.µ. X και Y είναι ανεξάρτητες είναι ρ = 0, αλλά ρ = 0 δε δηλώνει ότι οι X και Y είναι ανεξάρτητες αλλά απλά ότι δεν είναι γραµµικά συσχετισµένες (µπορεί δηλαδή να είναι µη-γραµµικά συσχετισµένες). 3. ρ = 1 ή ρ = 1 αν και µόνο αν Y = α + ϐx για κάποιους αριθµούς α και ϐ. 2.3 Γνωστές κατανοµές µιας τ.µ. Στη µελέτη µιας τ.µ. µας ϐοηθάει να έχουµε κάποια πρότυπα για την κατανοµή της, δηλαδή κάποιες γνωστές συναρτήσεις f X (x) της τ.µ. X µε γνωστές παραµέτρους. Επίσης σε πολλά πραγµατικά προβλήµατα η κατανοµή µιας τ.µ. µπορεί να περιγραϕεί ικανοποιητικά από κάποια γνωστή κατανοµή. Θα παραθέσουµε εδώ δύο τέτοια παραδείγµατα πολύ γνωστών κατανοµών, µια για διακριτή και µια για συνεχή τ.µ ιωνυµική κατανοµή Πολλά προβλήµατα και κυρίως πειράµατα εµπεριέχουν επαναλαµβανό- µενες δοκιµές (repeated trials). Για παράδειγµα µπορεί να ϑέλουµε να γνωρίζουµε την πιθανότητα η µια στις 5 ϐελόνες χαρακτικής να σπάσει σε ένα πείραµα αντοχής τάνυσης. Σε κάθε δοκιµή ορίζουµε δύο µόνο δυνατά αποτελέσµατα που συνήθως τα χαρακτηρίζουµε συµβολικά ως επιτυχία και αποτυχία, χωρίς το όνοµα να έχει απαραίτητα πραγµατική σηµασία ( επιτυχία µπορεί να είναι το σπάσιµο της ϐελόνας). Υποθέτουµε ότι έχουµε κάνει

7 2.3. ΓΝΩΣΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΜΙΑΣ Τ.Μ. 17 n δοκιµές και η πιθανότητα επιτυχίας p σε κάθε προσπάθεια είναι ίδια. οκιµές που τηρούν αυτές τις προϋποθέσεις λέγονται προσπάθειες Bernoulli. Ορίζουµε την τ.µ. X ως τον αριθµό των επιτυχίων σε n δοκιµές. Η X παίρνει τιµές στο σύνολο {0, 1,..., n}. Η πιθανότητα να έχουµε x επιτυχίες δίνεται από τη διωνυµική (binomial) σµπ, που συµβολίζεται B(n, p), και ορίζεται ως ( ) n f X (x) = P(X = x) = p x (1 p) n x (2.18) ( όπου n ) x n! είναι ο διωνυµικός συντελεστής (binomial coefficient). Τα n x!(n x)! και p είναι οι παράµετροι που ορίζουν τη διωνυµική κατανοµή. ηλώνουµε ότι µια τ.µ. X ακολουθεί διωνυµική κατανοµή ως X B(n, p). Η µέση τιµή και η διασπορά της X είναι x µ = E[X] = np και σ 2 = Var[X] = np(1 p). (2.19) Παράδειγµα 2.1. Σε ένα πείραµα αντοχής τάνυσης δοκιµάζουµε 4 ϐελόνες χαρακτικής σε ένα συγκεκριµένο όριο τάνυσης. Η πιθανότητα να σπάσει η ϐελόνα σε µια δοκιµή είναι p = 0.2. Οι δοκιµές είναι τύπου Bernoulli. Μπορούµε να ορίσουµε την πιθανότητα να µη σπάσει καµιά ϐελόνα στις 4 δοκιµές από τη διωνυµική κατανοµή ως ( ) 4 f X (0) = P(X = 0) = = Οµοια υπολογίζονται οι πιθανότητες όταν στις 4 δοκιµές σπάζει µια ϐελόνα κι όταν σπάζουν 2, 3 και 4 ϐελόνες f X (1) = f X (2) = f X (3) = f X (4) = Με αυτόν τον τρόπο έχουµε ορίσει τη συνάρτηση σµπ f X (x) γι αυτό το παραδειγµα. Από την f X (x) ορίζεται εύκολα και η αθροιστική συνάρτηση F X (x) P(X x). Η γραϕική παράσταση των συναρτήσεων f X (x) και F X (x) δίνονται στο Σχήµα 2.1. Η πιθανότητα να σπάσει η ϐελόνα τουλάχιστον µια φορά είναι P(X 1) = 1 P(X = 0) = = ενώ η πιθανότητα να σπάσει η ϐελόνα το πολύ δύο φορές δίνεται από την αθροιστική συνάρτηση κατανοµής F X (2) P(X 2) = 2 P(X = x) = = x=0

8 18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ (α) 1.0 (β) f X (x) F X (x) X X Σχήµα 2.1: Γραϕική παράσταση της συνάρτησης f X (x) στο (α) και της συνάρτησης F X (x) στο (ϐ) για τον αριθµό ϐελόνων που σπάζουν σε n δοκιµές. Η µέση τιµή για τον αριθµό επιτυχιών (όπου επιτυχία είναι το σπάσιµο της ϐελόνας στη δοκιµή) είναι E[X] = = 0.8 δηλαδή στις 4 δοκιµές περίπου µια φορά ϑα σπάζει η ϐελόνα. Η τυπική απόκλιση από αυτήν την τιµή είναι σ = VarX = = Οµοιόµορϕη κατανοµή Η πιο απλή συνεχής κατανοµή είναι η οµοιόµορϕη κατανοµή που ορίζεται σε πεπερασµένο διάστηµα [a, b] και έχει σππ (δες Σχήµα 2.2) και ασκ f X (x) = F X (x) = { 1 b a a x b 0 αλλού 0 x < a x a a x b b a 1 x b (2.20) (2.21) Ο συµβολισµός που χρησιµοποιείται για να δείξουµε ότι µια τ.µ. X ακολουθεί οµοιόµορϕη κατανοµή στο διάστηµα [a, b] είναι X U[a, b]. Η µέση τιµή και διασπορά της X είναι µ = E[X] = a + b 2 και σ 2 = Var[X] = (b a)2. (2.22) 12

9 2.3. ΓΝΩΣΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΜΙΑΣ Τ.Μ (α) 1.5 (β) f X (x) F X (x) X X Σχήµα 2.2: Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας στο (α) και η αθροιστική συνάρτηση στο (ϐ) της οµοιόµορϕης κατανοµής στο διάστηµα [a, b]. Ενα χρήσιµο αποτέλεσµα που χρησιµοποιείται στις προσοµοιώσεις είναι το παρακάτω ϑεώρηµα : Αν X U[0, 1] τότε η τ.µ. Y = F 1(X) Y έχει ασκ F Y (y). Αυτό το ϑεώρηµα µας επιτρέπει να δηµιουργούµε τυχαίους αριθµούς από κάποια κατανοµή αν γνωρίζουµε την ασκ της κατανοµής. Για παράδειγµα, η εκθετική κατανοµή έχει ασκ F Y (y) = 1 e λy, όπου λ η παράµετρος της εκθετικής κατανοµής (που είναι και η µέση τιµή). Θέτοντας X F Y (y), έχουµε X U[0, 1] και µπορούµε να δηµιουργήσουµε τυχαίους αριθµούς από οµοιόµορϕη κατανοµή (δες άσκηση 1). Τότε για κάθε τέτοια τιµή x υπολογίζουµε την αντίστοιχη τιµή y από εκθετική κατανοµή µε παράµετρο λ από την αντίστροϕη της F Y (y) y = 1 ln(1 x). λ Κανονική κατανοµή Η κανονική κατανοµή είναι η σπουδαιότερη συνεχής κατανοµή και αποτελεί τη ϐάση για πολλά στατιστικά µοντέλα και συµπεράσµατα. Η σπουδαιότητα της οϕείλεται κυρίως στο ότι περιγράϕει ικανοποιητικά την κατανοµή πολλών τυχαίων πραγµατικών µεγεθών που παίρνουν συνεχείς αριθµητικές τιµές, αλλά προσεγγίζει ικανοποιητικά και πολλές διακριτές κατανοµές. Σε πολλά τυχαία µεγέθη που µελετάµε παρατηρούµε ότι οι τιµές τους µαζεύονται συµµετρικά γύρω από µια κεντρική τιµή και αραιώνουν καθώς αποµακρύνονται από αυτήν την κεντρική τιµή. Η κατάλληλη συνάρτηση πυκνότητας

10 20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ πιθανότητας για µια κατανοµή τέτοιου τύπου τοµή καµπάνας είναι αυτή της κανονικής κατανοµής (normal distribution) που ορίζεται ως f X (x) = 1 2π σ e (x µ)2 2σ 2 < x <, (2.23) όπου οι παράµετροι µ και σ 2 που ορίζουν την κανονική κατανοµή είναι η µέση τιµή και η διασπορά αντίστοιχα και η κατανοµή συµβολίζεται ως N(µ, σ 2 ). Η αθροιστική συνάρτηση κατανοµής F X (x) δίνεται από το ολοκλήρωµα της f X (x) όπως ορίστηκε στην (2.5). Στο Σχήµα 2.3 δίνονται σχηµατικά η f X (x) και η F X (x). (α) 1.0 (β) f X (x) 0.5 F X (x) µ µ 2σ µ σ µ+σ µ+2σ X 0.0 X Σχήµα 2.3: Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας στο (α) και η αθροιστική συνάρτηση στο (ϐ) της κανονικής κατανοµής. Φαίνεται ότι περίπου το 70% των τιµών της X ϐρίσκονται στο διάστηµα [µ σ, µ + σ] και περίπου το 95% των τιµών της X ϐρίσκονται στο διάστηµα [µ 2 σ, µ + 2 σ]. Ιδιαίτερο ενδιαϕέρον παρουσιάζει η τυπική κανονική κατανοµή (standard normal distribution) που είναι η πιο απλή µορϕή της κανονικής κατανοµής, δηλαδή για µ = 0 και σ = 1. Για να ξεχωρίσουµε την τ.µ. που ακολουθεί τυπική κατανοµή τη συµβολίζουµε µε Z ή z και είναι Z N(0, 1). Η σππ είναι f Z (z) = 1 e z 2 2 < z <. (2.24) 2π Η αθροιστική συνάρτηση συµβολίζεται Φ(z) και είναι Φ(z) F Z (z) = 1 2 π z e u2 2 du < z <. (2.25)

11 2.3. ΓΝΩΣΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΜΙΑΣ Τ.Μ. 21 Οι τιµές της Φ(z) για διάϕορες τιµές του z είναι πολύ χρήσιµες στη στατιστική γι αυτό και δίνονται σε στατιστικό πίνακα σε κάθε ϐιβλίο στατιστικής. Κάθε τ.µ. X που ακολουθεί κανονική κατανοµή µπορεί να µετασχηµατιστεί στη Z µε τον απλό µετασχηµατισµό X N(µ, σ 2 ) = Z X µ σ N(0, 1). (2.26) Μπορούµε λοιπόν να υπολογίσουµε οποιαδήποτε πιθανότητα για τη X από την Φ(z). Γενικά η πιθανότητα για X [a, b] είναι ( a µ P(a X b) = P Z b µ ) ( b µ ) ( a µ ) = Φ Φ. (2.27) σ σ σ σ Παράδειγµα 2.2. Το πάχος ενός κυλινδρικού σωλήνα είναι σχεδιασµένο από το εργοστάσιο να είναι µ, αλλά παρατηρείται ότι το πάχος δεν είναι σταθερό σε κάθε παραγόµενο σωλήνα αλλά αποκλίνει από το µ µε τυπική απόκλιση σ = 0.1 mm. Υποθέτουµε λοιπόν ότι το πάχος του κυλινδρικού σωλήνα είναι τυχαία µεταβλητή X που ακολουθεί κανονική κατανοµή, δηλαδή X N(µ, ) (σε mm). Εστω ότι ϑέλουµε να υπολογίσουµε την πιθανότητα η απόκλιση του πάχους του κυλινδρικού σωλήνα από το προδιαγεγραµµένο πάχος να µην είναι µεγαλύτερη από 0.1 mm. Εχουµε σύµϕωνα µε την (2.27) P(µ 0.1 X µ + 0.1) = P( 1 Z 1) = Φ(1) Φ( 1) = = , που συµϕώνει µε το αποτέλεσµα που αναϕέρθηκε παραπάνω, δηλαδή ότι περίπου το 70% των τιµών της X ϐρίσκονται στο διάστηµα [µ σ, µ + σ]. Αντίστροϕα, µπορούµε να προσδιορίσουµε ένα όριο για το σϕάλµα (πάνω και κάτω από την προδιαγεγραµµένη τιµή µ) που αντιστοιχεί σε κάποια πιθανότητα, ας πούµε Αν ονοµάσουµε το σϕάλµα ϸ έχουµε P(X µ ϸ ή X µ + ϸ) = 0.05 P(µ ϸ X µ + ϸ) = 0.95 ( ϸ ) ( Φ Φ ϸ ) = ( 0.1 ϸ ) 2Φ 1 = ( ϸ ) Φ = Από τον πίνακα της τυπικής κανονικής κατανοµής ϐρίσκουµε πως η τιµή z που αντιστοιχεί για Φ(z) = είναι z = Άρα µε πιθανότητα 0.95 το πάχος του κυλινδρικού σωλήνα δεν αποκλίνει από τη µέση τιµή µ περισσότερο από mm.

12 22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Κανονικότητα Στους λόγους που αναϕέρθηκαν παραπάνω για τη σπουδαιότητα της κανονικής κατανοµής, ϑα πρέπει να προστεθεί και η ιδιότητα της κανονικής κατανοµής να έλκει τα αθροίσµατα τυχαίων µεταβλητών, που δεν είναι α- παραίτητα κανονικές, δηλαδή η κατανοµή των αθροισµάτων να προσεγγίζει την κανονική κατανοµή. Οι περιορισµοί για να ισχύει αυτό είναι οι τυχαίες µεταβλητές να είναι ανεξάρτητες µεταξύ τους, να έχουν πεπερασµένη διασπο- ϱά και το άθροισµα να είναι αρκετά µεγάλο. Κάτω από αυτές τις συνθήκες ισχύει το κεντρικό οριακό ϑεώρηµα, ΚΟΘ, (central limit theorem, CLT): Εστω οι τ.µ. X i, i = 1,..., n, για n µεγάλο (συνήθως ϑεωρούµε n > 30) που έχουν κατανοµές µε µέσες τιµές µ i και διασπορές σ 2 i για i = 1,..., n, αντίστοιχα. Τότε ισχύει n Y = X i N(µ Y, σ 2 Y ), (2.28) i=1 όπου η µέση τιµή της τ.µ. του αθροίσµατος Y είναι µ Y = n i=1 µ i και η διασπορά είναι σ 2 = n Y i=1 σ2 i. Προϕανώς όταν οι τ.µ. X i έχουν την ίδια κατανοµή µε µέση τιµή µ και διασπορά σ 2, τότε ισχύει µ Y = nµ και σ 2 = Y nσ2. Για το µέσο όρο των τ.µ. X i, i = 1,..., n, µε ίδια κατανοµή, από το ΚΟΘ ισχύει X = 1 n X i N(µ, σ 2 /n), (2.29) n i=1 δηλαδή ο µέσος όρος ακολουθεί κανονική κατανοµή µε την ίδια µέση τιµή όπως οι τ.µ. X i και διασπορά σ 2 X = σ 2 /n.

13 2.3. ΓΝΩΣΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΜΙΑΣ Τ.Μ. 23 Ασκήσεις Κεϕαλαίου 2 1. Επιβεβαίωσε τον ορισµό της πιθανότητας ως το όριο της σχετικής συχνότητας για αριθµό επαναλήψεων να τείνει στο άπειρο. Προσοµοίωσε τη ϱίψη ενός νοµίσµατος n φορές χρησιµοποιώντας τη γενέτειρα συνάρτηση τυχαίων αριθµών, είτε από οµοιόµορϕη διακριτή κατανοµή (δίτιµη για κορώνα και γράµµατα ), ή από οµοιόµορϕη συνεχή κατανοµή στο διάστηµα [0, 1] χρησιµοποιώντας κατώϕλι 0.5 (π.χ. αριθµός µικρότε- ϱος του 0.5 είναι κορώνα και µεγαλύτερος γράµµατα ). Επανέλαβε το πείραµα για αυξανόµενα n και υπολόγισε κάθε φορά την αναλογία των γραµµάτων στις n επαναλήψεις. Κάνε την αντίστοιχη γραϕική παράσταση της αναλογίας για τα διαϕορετικά n. Βοήθεια ( matlab): Για τη δηµιουργία των τυχαίων αριθµών χρησιµοποίησε τη συνάρτηση rand ή unidrnd. 2. ηµιούργησε 1000 τυχαίους αριθµούς από εκθετική κατανοµή µε πα- ϱάµετρο λ = 1 χρησιµοποιώντας την τεχνική που δίνεται στην Παρ Κάνε το ιστόγραµµα των τιµών και στο ίδιο σχήµα την καµπύλη της εκ- ϑετικής σππ f X (x) = λe λx. Βοήθεια ( matlab): Το ιστόγραµµα δίνεται µε τη συνάρτηση hist. 3. είξε µε προσοµοίωση ότι όταν δύο τ.µ. X και Y δεν είναι ανεξάρτητες δεν ισχύει η ιδιότητα Var[X + Y ] = Var[X] + Var[Y ]. Για να το δείξεις ϑεώρησε µεγάλο πλήθος τιµών n από X και Y που ακολουθούν τη διµεταβλητή κανονική κατανοµή. Βοήθεια ( matlab): Για τον υπολογισµό της διασποράς από n παρατηρήσεις, χρησιµοποίησε τη συνάρτηση var. Για να δηµιουργήσεις παρατηρήσεις από διµεταβλητή κανονική κατανοµή χρησιµοποίησε τη συνάρτηση mvnrnd. 4. Ισχύει E[1/X] = 1/E[X]; ιερεύνησε το υπολογιστικά για X από ο- µοιόµορϕη συνεχή κατανοµή στο διάστηµα [1, 2] υπολογίζοντας τους αντίστοιχους µέσους όρους για αυξανόµενο µέγεθος επαναλήψεων n. Κάνε κατάλληλη γραϕική παράσταση για τις δύο µέσες τιµές και τα διαϕορετικά n. Τι συµβαίνει αν το διάστηµα της οµοιόµορϕης κατανο- µής είναι [0, 1] ή [ 1, 1]; 5. Το µήκος X των σιδηροδοκών που παράγονται από µια µηχανή, είναι γνωστό ότι κατανέµεται κανονικά X N(4, 0.01). Στον ποιοτικό έλεγχο που ακολουθεί αµέσως µετά την παραγωγή απορρίπτονται όσοι σιδηροδοκοί έχουν µήκος λιγότερο από 3.9. Ποια είναι η πιθανότητα

14 24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ µια σιδηροδοκός να καταστραϕεί ; Που πρέπει να µπει το όριο για να καταστρέϕονται το πολύ το 1% των σιδηροδοκών ; Βοήθεια ( matlab): Η αθροιστική συνάρτηση κανονικής κατανοµής δίνεται µε τη συνάρτηση normcdf. Η αντίστροϕη της δίνεται µε τη συνάρτηση norminv. 6. είξε ότι ισχύει το ΚΟΘ µε προσοµοίωση. Εστω n = 100 τ.µ. από οµοιόµορϕη κατανοµή στο διάστηµα [0, 1] και έστω Y η µέση τιµή τους. Υπολόγισε N = τιµές της Y και σχηµάτισε το ιστόγραµµα των τιµών µαζί µε την καµπύλη της κανονικής κατανοµής. Βοήθεια ( matlab): Το ιστόγραµµα δίνεται µε τη συνάρτηση hist.

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ 20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας.

Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας. Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας. Περιεχόµενα ιακριτές τυχαίες µεταβλητές Συνεχείς τυχαίες µεταβλητές Μέση τιµή τυχαίων µεταβλητών Ροπές, διασπορά, και τυπική απόκλιση τυχαίων µεταβλητών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Σε κάθε αποτέλεσμα του πειράματος αντιστοιχεί μία αριθμητική τιμή Μαθηματικός ορισμός: Τυχαία μεταβλητή X είναι

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

ιωνυµική Κατανοµή(Binomial)

ιωνυµική Κατανοµή(Binomial) ιωνυµική Κατανοµή(Binomial) ~B(n,p) n N και 0

Διαβάστε περισσότερα

27-Ιαν-2009 ΗΜΥ 429. 2. (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό

27-Ιαν-2009 ΗΜΥ 429. 2. (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό ΗΜΥ 429 2. (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό 1 (i) Βασική στατιστική 2 Στατιστική Vs Πιθανότητες Στατιστική: επιτρέπει μέτρηση και αναγνώριση θορύβου και

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Χρήση τυχαίων µεταβλητών για την απεικόνιση εκβάσεων τυχαίου πειράµατος Κατανόηση της έννοιας κατανοµής πιθανοτήτων τυχαίας µεταβλητής Υπολογισµός της συνάρτηση κατανοµής πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός.

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός. Συνάρτηση: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ λέγεται µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συνόλου Β. Γνησίως αύξουσα: σε ένα διάστηµα του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

ρ. Ευστρατία Μούρτου

ρ. Ευστρατία Μούρτου ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΕΞΑΜΗΝΟ : Ε ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ : - ΜΑΘΗΜΑ «ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΚΕΦ. ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ρ. Ευστρατία Μούρτου

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Α. ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ α) Διακριτή Ομοιόμορφη κατανομή β) Διωνυμική κατανομή γ) Υπεργεωμετρική κατανομή δ) κατανομή Poisson Β. ΣΥΝΕΧΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ.

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ. Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ Στα προηγούµενα κεφάλαια ορίσαµε και µελετήσαµε την τ.µ. µε τη ϐοήθεια της πιθανο- ϑεωρίας (κατανοµή, ϱοπές) και της στατιστικής (εκτίµηση, στατιστική υπόθεση). Σ

Διαβάστε περισσότερα

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι:

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: Κατανοµές ειγµατοληψίας 1.Εισαγωγή Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: 1. Στατιστικής και 2. Κατανοµής ειγµατοληψίας

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΧΑΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. 1. 0 F(x) 1, x n. 2. Η F είναι μη φθίνουσα και δεξιά συνεχής ως προς κάθε μεταβλητή. 3.

ΤΥΧΑΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. 1. 0 F(x) 1, x n. 2. Η F είναι μη φθίνουσα και δεξιά συνεχής ως προς κάθε μεταβλητή. 3. ΤΥΧΑΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Έστω Χ = (Χ 1,,Χ ) T τυχαίο διάνυσμα (τ.δ). Ονομάζουμε συνάρτηση κατανομής πιθανότητας (σ.κ.π.) του τ.δ. Χ την: F(x) = P(X 1 x 1,, X x ), x = (x 1,,x ) T 1. 0 F(x) 1, x.. Η F είναι μη

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ηµήτρης Κουγιουµτζής http://users.auth.gr/dkugiu/teach/civilengineer E mail: dkugiu@gen.auth.gr 1/11/2009 2 Περιεχόµενα 1 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Διαφορικός Λογισμός 1. Ισχύει f (g())) ) f ( = f (g())g () όπου f,g παραγωγίσιµες συναρτήσεις 2. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ

ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Δ.Φουσκάκης- Πολυδιάστατες Τυχαίες Μεταβλητές 1 ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Συνάρτηση Κατανομής: Έστω Χ=(Χ 1,,Χ ) T τυχαίο διάνυσμα (τ.δ). Ονομάζουμε συνάρτηση κατανομής πιθανότητας (σ.κ.π.) του τ.δ.

Διαβάστε περισσότερα

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος Έλεγχοι Υποθέσεων 1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος µ = 100 Κάθε υπόθεση συνοδεύεται από µια εναλλακτική: Ο

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σφάλµατα και στατιστική επεξεργασία πειραµατικών µετρήσεων

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σφάλµατα και στατιστική επεξεργασία πειραµατικών µετρήσεων ΘΕ1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σφάλµατα και στατιστική επεξεργασία πειραµατικών µετρήσεων 1. Σκοπός Πρόκειται για θεωρητική άσκηση που σκοπό έχει την περιληπτική αναφορά σε θεµατολογίες όπως : σφάλµατα, στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Κανονική Κατανομή. Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Κεφάλαιο 4 Κανονική Κατανομή. Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Κεφάλαιο 4 Κανονική Κατανομή Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς 4-4-1 Εισαγωγή Όσο το n αυξάνει, η διωνυμική κατανομή προσεγγίζει... n = 6 n = 1 n = 14 Binomial Distribution:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 0 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο, να αποδείξετε ότι (f() + g ()) f () + g (),. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραµα µε ισοπίθανα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1.1 Πίνακες, κατανομές, ιστογράμματα... 1 1.2 Πυκνότητα πιθανότητας, καμπύλη συχνοτήτων... 5 1.3

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής.

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής. 2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ Το διάστηµα εµπιστοσύνης παρέχει µία εκτίµηση µιας άγνωστης παραµέτρου µε την µορφή διαστήµατος και ένα συγκεκριµένο βαθµό εµπιστοσύνης ότι το διάστηµα αυτό, µε τον τρόπο που κατασκευάσθηκε,

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ι θ α ν ό τ η τ ε ς Ι Πειραιάς 2008 Πιθανότητες Ι-Μ. Κούτρας 2 Δοκιμές Bernoulli Ας θεωρήσουμε μία ακολουθία (σειρά) πειραμάτων στην οποία ισχύουν τα επόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr

Ποσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Ποσοτικές Μέθοδοι Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης MBA Ph.D. Candidate e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Εισαγωγή στη Στατιστική Διδακτικοί Στόχοι Μέτρα Σχετικής Διασποράς Κατανομές Πιθανοτήτων Η Κανονική Κατανομή Η Τυποποιημένες

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραµµα Σπουδών: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεµατική Ενότητα: ΕΟ-3 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδηµαϊκό Έτος: 003- ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι-Θεωρητικές Κατανομές ΙΙ

Στατιστική Ι-Θεωρητικές Κατανομές ΙΙ Στατιστική Ι-Θεωρητικές Κατανομές ΙΙ Γεώργιος Κ. Τσιώτας Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Σχολή Κοινωνικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Κρήτης 12 Δεκεμβρίου 2012 Περιγραφή 1 Θεωρητικές Κατανομές ΙΙ Περιγραφή 1 Θεωρητικές

Διαβάστε περισσότερα

!n k. Ιστογράμματα. n k. x = N = x k

!n k. Ιστογράμματα. n k. x = N = x k Ιστογράμματα Τα ιστογράμματα αποτελούν ένα εύχρηστο οπτικό τρόπο για να εξάγουμε την κατανομή που ακολουθούν μια σειρά μετρήσεων ενός μεγέθους αλλά και παράλληλα δίνουν τη δυνατότητα για εύκολη στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

Dunamoseirèc A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA

Dunamoseirèc A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA Dunamoseirèc A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA Eisagwg Οι δυναμοσειρές είναι μια πολύ ενδιαφέρουσα κατηγορία σειρών. Βρίσκουν πολύ σημαντικές εφαρμογές στον ορισμό συναρτήσεων καθώς και σε διάφορες

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

Δειγματικές Κατανομές

Δειγματικές Κατανομές Δειγματικές Κατανομές Στατιστική συνάρτηση ή στατιστική Δειγματική κατανομή - Εκτιμητής Τα άγνωστα στοιχεία του πληθυσμού λέγονται παράμετροι. Τα συμπεράσματα για μια παράμετρο εξάγονται με τη βοήθεια

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω t, t,..., t ν οι παρατηρήσεις µιας ποσοτικής µεταβλητής Χ ενός δείγµατος µεγέθους ν, που έχουν µέση τιµή x. Σχηµατίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: Απριλίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 8 Μαΐου 0 Πριν από τη

Διαβάστε περισσότερα

Οι δείκτες διασποράς. Ένα παράδειγµα εργασίας

Οι δείκτες διασποράς. Ένα παράδειγµα εργασίας Κεφάλαιο 5 Οι δείκτες διασποράς 1 Ένα παράδειγµα εργασίας Ένας καθηγητής µαθηµατικών έδωσε σε δύο τµήµατα µιας τάξης του σχολείου του το ίδιο τεστ. Η επίδοση των µαθητών του κάθε τµήµατος (όπως µετρήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 75 Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1.1. Τυχαία γεγονότα ή ενδεχόμενα 17 1.2. Πειράματα τύχης - Δειγματικός χώρος 18 1.3. Πράξεις με ενδεχόμενα 20 1.3.1. Ενδεχόμενα ασυμβίβαστα

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ o ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο ΙR. και c πραγµατική σταθερά. Να αποδείξετε ότι (c f(x)) =c f (x), x ΙR. Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τοµέας Μαθηµατικών, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόµενα Εισαγωγή στη

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ A A. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι f g f g,. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραμα με ισοπίθανα αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. 2. Περιγραφική Στατιστική

ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. 2. Περιγραφική Στατιστική ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ 2. Περιγραφική Στατιστική Βασικά είδη στατιστικής ανάλυσης 1. Περιγραφική στατιστική: περιγραφή του συνόλου των δεδοµένων (δείγµατος) 2. Συµπερασµατολογία: Παραγωγή συµπερασµάτων για τα

Διαβάστε περισσότερα

ιαγράµµατα Ελέγχου Ιδιοτήτων (Control Charts for Attributes)

ιαγράµµατα Ελέγχου Ιδιοτήτων (Control Charts for Attributes) ιαγράµµατα Ελέγχου Ιδιοτήτων (Control Charts for Attributes) Πολλά ΧΠ δεν µπορούν να αναπαρασταθούν αριθµητικά. Τα ΧΠ χαρακτηρίζονται συµµορφούµενα και µη-συµµορφούµενα. Τα ΧΠ τέτοιου είδους ονοµάζονται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο R, να αποδείξετε ότι (f() + g() )=f ()+g (), R Μονάδες 7 Α. Σε

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος 13 Κατάλογος συμβολών και συντμήσεων 15 1 ΓΙΑΤΙ ΝΑ ΑΣΧΟΛΗΘΟΥΜΕ ΜΕ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ; 21

Πρόλογος 13 Κατάλογος συμβολών και συντμήσεων 15 1 ΓΙΑΤΙ ΝΑ ΑΣΧΟΛΗΘΟΥΜΕ ΜΕ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ; 21 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 13 Κατάλογος συμβολών και συντμήσεων 15 1 ΓΙΑΤΙ ΝΑ ΑΣΧΟΛΗΘΟΥΜΕ ΜΕ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ; 21 Χρήση στατιστικών τεχνικών στις επιχειρήσεις 21 Οι δυο έννοιες της λέξης στατιστική 22 Πληθυσμοί

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 1: Στατιστική Συμπερασματολογία - Εκτίμηση Σημείου

Διάλεξη 1: Στατιστική Συμπερασματολογία - Εκτίμηση Σημείου Διάλεξη 1: Στατιστική Συμπερασματολογία - Εκτίμηση Σημείου Στατιστική Συμπερασματολογία Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων εκτιμήτρια συνάρτηση, ˆ θ σημειακή εκτίμηση εκτίμηση με διάστημα εμπιστοσύνης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Κεϕάλαιο 5 Συσχέτιση και Παλινδρόµηση

Κεϕάλαιο 5 Συσχέτιση και Παλινδρόµηση Κεϕάλαιο 5 Συσχέτιση και Παλινδρόµηση Στο προηγούµενο κεϕάλαιο µελετήσαµε τη διάδοση του σϕάλµατος από µια τυχαία µεταβλητή X σε µια τ.µ. Y που δίνεται ως συνάρτηση της X. Σε αυτό το κεϕάλαιο ϑα διερευνήσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Η Κανονική Κατανομή κανονική κατανομή (normal distribution) Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Central Limit Theorem) συνδέει οποιαδήποτε άλλη κατανομή

Η Κανονική Κατανομή κανονική κατανομή (normal distribution) Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Central Limit Theorem) συνδέει οποιαδήποτε άλλη κατανομή Η Κανονική Κατανομή H κανονική κατανομή (ormal dstrbuto) θεωρείται η σπουδαιότερη κατανομή της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιστικής. Οι λόγοι που εξηγούν την εξέχουσα θέση της, είναι βασικά δύο: ) Πολλές

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Κεφάλαιο 3 ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Σε πολλά προβλήµατα της µηχανικής δεν ενδιαφερόµαστε να εκτιµήσουµε την τιµή της παραµέτρου αλλά να διαπιστώσουµε αν η παραµέτρος είναι µικρότερη ή µεγαλύτερη από

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ι θ α ν ό τ η τ ε ς Ι Πειραιάς 2008 Πιθανότητες Ι-Μ. Κούτρας 2 Κατανομές χρόνου αναμονής (... μέχρι να συμβεί ηπρώτη επιτυχία) 3 Ας θεωρήσουμε μία ακολουθία

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Χειμερινό Εξάμηνο Ακαδ. Έτος 2015-2016 Ντίνα Λύκα lika@biology.uoc.gr 1. Εισαγωγή Εισαγωγικές έννοιες Μεταβλητότητα : ύπαρξη διαφορών μεταξύ ομοειδών μετρήσεων Μεταβλητή: ένα χαρακτηριστικό

Διαβάστε περισσότερα

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες Πινάκες συνάφειας εξερεύνηση σχέσεων μεταξύ τυχαίων μεταβλητών. Είναι λογικό λοιπόν, στην ανάλυση των κατηγορικών δεδομένων να μας ενδιαφέρει η σχέση μεταξύ δύο ή περισσότερων κατηγορικών μεταβλητών. Έστω

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΙΚΕΣ ΕΙΔΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ

ΜΕΡΙΚΕΣ ΕΙΔΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΜΕΡΙΚΕΣ ΕΙΔΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Στις ενότητες που ακολουθούν εξετάζουμε συνεχείς κατανομές με ευρεία χρήση στις εφαρμογές. Σε αυτές περιλαμβάνονται η ομοιόμορφη, η εκθετική, η Γάμμα και η

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ» ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Θέμα: «Γραμμικά μοντέλα παλινδρόμησης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

ÈÅÌÁÔÁ 2007 ÏÅÖÅ ( ) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ

ÈÅÌÁÔÁ 2007 ÏÅÖÅ ( ) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΘΕΜΑ ο Α.Τι λέγεται δειγµατικός χώρος ενός πειράµατος τύχης; Μονάδες. Πώς ορίζεται η διάµεσος ενός δείγµατος ν παρατηρήσεων; (ν θετικός ακέραιος) Μονάδες 4 B. Αν η

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 48 49 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΟΡΙΣΜΟΣ: Κάθε συνάρτηση : A B με Α R n και Β R ονομάζεται πραγματική συνάρτηση n μεταβλητών ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ: Ι Αν Α R n και Β R n τότε έχουμε διανυσματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο 9.1 ηµιουργία µοντέλων πρόβλεψης 9.2 Απλή Γραµµική Παλινδρόµηση 9.3 Αναλυτικά για το ιάγραµµα ιασποράς

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πιθανότητες. Τυχαίες μεταβλητές - Κατανομές ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πιθανότητες. Τυχαίες μεταβλητές - Κατανομές ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Πιθανότητες 1.1 Πιθανότητες και Στατιστική... 5 1.2 ειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 7 1.3 Ορισμοί και νόμοι των πιθανοτήτων... 10 1.4 εσμευμένη πιθανότητα Ολική

Διαβάστε περισσότερα

1) ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ - ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΤΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ

1) ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ - ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΤΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 205-206 ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΕΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΑΛΛΙΒΩΚΑΣ, ΘΑΝΑΣΗΣ ΚΑΖΑΝΑΣ ) ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ - ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΤΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΑΣΚΗΣΗ Τα παρακάτω δεδομένα αναφέρονται στη

Διαβάστε περισσότερα

ιακριτού χρόνου Τυχαίες ιαδικασίες

ιακριτού χρόνου Τυχαίες ιαδικασίες ιακριτού χρόνου Τυχαίες ιαδικασίες Τα σήµατα ταξινοµούνται σε δύο ευρείες κατηγορίες: 1. Αιτιοκρατικά (deterministic): Αναπαράγονται ακριβώς ίδια µε επαναλαµβανόµενες διαδικασίες. Παράδειγµα το µοναδιαίο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ 6.1 Εισαγωγή Σε πολλές στατιστικές εφαρµογές συναντάται το πρόβληµα της µελέτης της σχέσης δυο ή περισσότερων τυχαίων µεταβλητών. Η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΕ ΤΟ EXCEL I K ΗΜΗΤΡΙΟΥ 17 1. Γράφηµα συνάρτησης µιας µεταβλητής ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Θα σχεδιάσοµε µε το Excel το γράφηµα της συνάρτησης y=sin(x), x [0,2π], για να επιδείξοµε γενικότερα τη

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία 4. Εκτιμητική Στατιστική Συμπερασματολογία εκτιμήσεις των αγνώστων παραμέτρων μιας γνωστής από άποψη είδους κατανομής έλεγχο των υποθέσεων που γίνονται σε σχέση με τις παραμέτρους μιας κατανομής και σε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Ω = {(1,1,1),(1,1,2),...(6,6,5),(6,6,6)} = = {(x j,y j,z j ) / τα x j, y j, z j {1,2,3,4,5,6}}

Ω = {(1,1,1),(1,1,2),...(6,6,5),(6,6,6)} = = {(x j,y j,z j ) / τα x j, y j, z j {1,2,3,4,5,6}} 61 Β) ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Β.1. ιακριτές τυχαίες µεταβλητές. Στο τεύχος της περιγραφικής Στατιστικής γνωρίσαµε την έννοια της τυχαίας µεταβλητής, που είναι πολύ σηµαντική στη Στατιστική. Αξίζει λοιπόν,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ EXCEL. , και οι γραμμές συμβολίζονται με 1,2,3, Μπορούμε να αρχίσουμε εισάγοντας ορισμένα στοιχεία ως εξής.

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ EXCEL. , και οι γραμμές συμβολίζονται με 1,2,3, Μπορούμε να αρχίσουμε εισάγοντας ορισμένα στοιχεία ως εξής. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ EXCEL Το πακέτο Excel είναι ένα πρόγραμμα φύλλου εργασίας (spreadsheet) με το οποίο μπορούμε να κάνουμε υπολογισμούς και διαγράμματα που είναι χρήσιμοι στα οικονομικά. Στο Excel το φύλλο εργασίας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Περιγραφικοί παράµετροι ή περιγραφικά µέτρα Τα περιγραφικά µέτρα διακρίνονται σε: µέτρα θέσης των στατιστικών δεδο- µένων ή παράµετροι κεντρικής τάσης µέτρα διασποράς µέτρα ή συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ- ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Εργασία για το σεµινάριο «Στατιστική περιγραφική εφαρµοσµένη στην ψυχοπαιδαγωγική(β06σ03)» ΤΙΤΛΟΣ: «ΜΕΛΕΤΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) ιάλεξη 4

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) ιάλεξη 4 (ΨΥΧ-1202) Λεωνίδας Α. Ζαμπετάκης Β.Sc., M.Env.Eng., M.Ind.Eng., D.Eng. Εmail: statisticsuoc@gmail.com ιαλέξεις: ftp://ftp.soc.uoc.gr/psycho/zampetakis/ ιάλεξη 4 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΨΥΧΟΛΟΓΙΑΣ Ρέθυμνο,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 1 2 ΤΟ PASW ΜΕ ΜΙΑ ΜΑΤΙΑ... 13 3 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ: Η ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ ΚΑΙ Η ΔΙΑΜΕΣΟΣ... 29

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 1 2 ΤΟ PASW ΜΕ ΜΙΑ ΜΑΤΙΑ... 13 3 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ: Η ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ ΚΑΙ Η ΔΙΑΜΕΣΟΣ... 29 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 1 Μεταβλητές...5 Πληθυσμός, δείγμα...7 Το ευρύτερο γραμμικό μοντέλο...8 Αναφορές στη βιβλιογραφία... 11 2 ΤΟ PASW ΜΕ ΜΙΑ ΜΑΤΙΑ... 13 Περίληψη... 13 Εισαγωγή... 13 Με μια ματιά...

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1)

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1) ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ I (22 Σεπτεµβρίου) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1ο ΘΕΜΑ 1. Αφού ορίσετε ακριβώς τι σηµαίνει πίσω ευσταθής υπολογισµός, να εξηγήσετε αν ο υ- πολογισµός του εσωτερικού γινοµένου δύο διανυσµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 3 ο. Περιγραφική Στατιστική

Μάθηµα 3 ο. Περιγραφική Στατιστική Μάθηµα 3 ο Περιγραφική Στατιστική ΗΣτατιστικήείναι Μια τυποποιηµένη σειρά αναλυτικών µεθόδων, οι οποίες χρησιµοποιούνται από τον εκάστοτε ερευνητή για την ανάλυση των διαθέσιµων δεδοµένων. Υπάρχουν δύο

Διαβάστε περισσότερα

γ. Η διακύμανση είναι μέτρο διασποράς και είναι καθαρός αριθμός, δηλαδή δεν έχει μονάδες. Μονάδες 9

γ. Η διακύμανση είναι μέτρο διασποράς και είναι καθαρός αριθμός, δηλαδή δεν έχει μονάδες. Μονάδες 9 ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ:........................................... ΤΜΗΜΑ:....... ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ:.... / 0 / 20 ΘΕΜΑ A. Έστω μεταβλητή Χ, με τιμές x, x 2,...., x k, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους ν, με k,

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραµµα Σπουδών: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεµατική Ενότητα: ΕΟ-3 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδηµαϊκό Έτος: 003-4 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ . ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΩΝ Ε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

(f(x)+g(x)) =f (x)+g (x), x R

(f(x)+g(x)) =f (x)+g (x), x R ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιµες στο IR, να αποδείξετε ότι (()+g()) ()+g (), R Μονάδες 7 Α.

Διαβάστε περισσότερα

Γνωστές κατανομές συνεχών μεταβλητών (συν.) (Δ). Γάμμα κατανομή

Γνωστές κατανομές συνεχών μεταβλητών (συν.) (Δ). Γάμμα κατανομή Γνωστές κατανομές συνεχών μεταβλητών (συν.) (Δ). Γάμμα κατανομή Συνάρτηση Γάμμα: Ιδιότητες o d Γ(α+)=αΓ(α) - αναδρομική συνάρτηση Γ(α+) = α! αν α ακέραιος. Πιθανότητες & Στατιστική 5 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ιαφάνειες για το µάθηµα Information Management ΑθανάσιοςΝ. Σταµούλης 1 ΠΗΓΗ Κονδύλης Ε. (1999) Στατιστικές τεχνικές διοίκησης επιχειρήσεων, Interbooks 2 1 Γραµµική παλινδρόµηση Είναι

Διαβάστε περισσότερα

Έστω 3 πενταμελείς ομάδες φοιτητών με βαθμολογίες: Ομάδα 1: 6,7,5,8,4 Ομάδα 2: 7,5,6,5,7 Ομάδα 3: 8,6,2,4,10 Παρατηρούμε ότι και οι τρεις πενταμελείς

Έστω 3 πενταμελείς ομάδες φοιτητών με βαθμολογίες: Ομάδα 1: 6,7,5,8,4 Ομάδα 2: 7,5,6,5,7 Ομάδα 3: 8,6,2,4,10 Παρατηρούμε ότι και οι τρεις πενταμελείς Διασπορά Μέτρηση Έστω 3 πενταμελείς ομάδες φοιτητών με βαθμολογίες: Ομάδα 1: 6,7,5,8,4 Ομάδα 2: 7,5,6,5,7 Ομάδα 3: 8,6,2,4,10 Παρατηρούμε ότι και οι τρεις πενταμελείς ομάδες έχουν μέση βαθμολογία 6. συνέχεια

Διαβάστε περισσότερα

1.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΠΡΟΚΑΤΑΡΚΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

1.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΠΡΟΚΑΤΑΡΚΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Κεφ. I Εισαγωγή.. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΠΡΟΚΑΤΑΡΚΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Η ανάγκη µαθηµατικής περιγραφής και µοντελοποίησης συστηµάτων τα οποία εξελίσσονται χρονικά κατά τρόπο που περιέχει, σε µικρό ή µεγάλο βαθµό, τυχαιότητα,

Διαβάστε περισσότερα

Αβεβαιότητα ανάγκη για πιθανότητα

Αβεβαιότητα ανάγκη για πιθανότητα Αβεβαιότητα ανάγκη για πιθανότητα ΦΥΣ 145 - Διαλ.11 1 Ø Καθηµερινά έχουµε να κάνουµε µε αβεβαιότητα αποφάσεις λαµβάνονται απουσία πλήρους πληροφορίας Ø Οι περισσότεροι κλάδοι των επιστηµών «φαίνεται» να

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ 9 ο ΜΑΘΗΜΑ ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ Πότε κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων; Όταν το πλήθος των τιμών μιας μεταβλητής είναι αρκετά μεγάλο κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων. Αυτό συμβαίνει είτε

Διαβάστε περισσότερα