MATEMATIKA MATEMATIKA. By Štreberaj ID: 10201

Transcript

1 MATEMATIKA MATEMATIKA By Štreberaj 1 ID: 10201

2 Ovo je samo pregled, a cijela skripta (44 str.) te čeka u našoj SKRIPTARNICI! 1

3 Bok! Drago nam je što si odabrao SKRIPTARNICU za pronalazak materijala koji će ti pomoći u učenju. Što je SKRIPTARNICA? Skriptarnica je projekt Štreberaj tima i Urbana, a nastala je u želji da ti olakšamo studiranje. Sve skripte možeš pogledati na stranici a kupiti u SKRIPTARNICI u Urbanu. Sjedi na kavu i uz svoju narudžbu naruči i skriptu. Simple as that! Tko je napisao skripte? Skripte koje nađeš kod nas nisu naše autorsko djelo. To su razne skripte koje nam studenti donesu. Mi smo ih samo malo uredili, da ti je ljepše učiti iz njih. Želimo ti puno sreće s učenjem! Štreberaj instrukcije Ako negdje zapneš s učenjem, mi ti možemo pomoći. Prijavi se na naše instrukcije i položi teške ispite bez muke. Sve info možeš pronaći na

4 UVOD U MATRICE MATRICE Što je matrica? Matrica je svaka pravokutna tablica elemenata (brojeva, simbola...) poredanih u m redaka i n stupaca. #PotapljanjeBrodova Označavamo ju velikim slovom (npr. A) i pišemo u uglatim zagradama. Što se tiče formata matrice, njega označavamo sa mxn (broj redaka x broj stupaca npr 2x3). Ako matrica ima isti broj redaka i stupaca onda je matrica kvadratna. Dakle, ako m=n matrica kvadratna. Opći element matrice zapisujemo kao Npr. gdje i predstavlja indeks retka, a j indeks stupca, odnosno,. Matricu A možemo kraće zapisati kao,. Skup svih matrica formata mxn označvamo sa A= Za dvije matrice A i B kažemo da su jednake ako su istog formata i ako su im odgovarajući elementi na odgovarajućim mjestima jednaki. ako je Za matrice A i B kažemo da je matrica A manja od matrice B tj. A<B ako su one istog formata i ako je svaki element matrice A manji od odgovarajućeg elementa matrice B, tj. ako vrijedi za sve i=1,,m i j=1,,n. Sada ćemo se upoznati sa osnovnim tipovima matrica. Osnovni tipovi matrica su: 1.DIJAGONALNA 1.1. SKALARNA Glavna dijagonala je dijagonala prema dolje, ona koja ide od gornjeg lijevog do donjeg desnog kuta matrice, u ovom primjeru na njoj se nalaze elementi π,,2,0. Sporedna dijagonala je dijagonala prema gore, ona koja ide od donjeg lijevog ka gornjem desnom kutu, u ovom primjeru na njoj se nalaze elementi: 0,0,0,0. Dijagonalna matrica je kvadratna matrica čiji su elementi van glavne dijagonale nule. No, nije nužno da su svi elementi na glavnoj dijagonali različiti od nule. Skalarna matrica slična je dijagonalnoj matrici. To je također kvadratna matrica, također su joj svi elementi van glavne dijagonale nule, no svi elementi na glavnoj dijagonali moraju biti isti! Pamtimo po tome što skalar JEDINIČNA znači broj. Nadalje, ako na, ponovo, glavnoj dijagonali, imamo brojeve, a okolo nule, te AKO su svi brojevi na glavnoj dijagonali JEDINICE, dobili smo jediničnu matricu! Jedinična matrica stoga je i dijagonalana i skalarna

5 2.SIMETRIČNA Što, kako simetrija? Simetrija znači da je nešto jednako s obzirom na os simetrije. Simetrična matrica ima elemente simetrične s obzirom na glavnu dijagonalu, a na glavnoj dijagonali može biti bilo što. Kada bi matricu preklopili po glavnoj dijagonali svi odgovarajući isti elementi bi nam se poklopili. (naravno, kvadratna je) 3.ANTISIMETRIČNA Što bi bila antisimetrična matrica? Daaa, također mora biti kvadratna. Ona će isto biti simetrična po glavnoj dijagonali, ali će odgovarajući simetrični elementi biti suprotni, a to znači suprotonog predznaka. 4.TROKUTASTA Postoje dvije vrste trokutastih matrica i pitamo se gdje su nule??? Da, opet vrijedi samo za kvadratne matrice 4.1. GORNJA TROKUTASTA 4.2. DONJA TROKUTASTA GORNJA trokutasta matrica ima NULE DOLJE. Svi elementi ISPOD glavne dijagonale su nule. Zašto je matrica gornja trokutasta? Jer trokut je gore, trokut je super, u trokutu su brojevi. I nema veze ako se na glavnoj dijagonali ili u trokutu pojave nule, jer bitno je da su nule ispod glavne dijagonale. DONJA trokutasta matrica ima NULE GORE. Svi elementi IZNAD glavne dijagonale su nule. Zašto je matrica donja trokutasta? Daaaaa, sve kao kod gornje trokutaste ali obrnuto. Trokut je dolje, trokut je super, u trokutu su brojevi; na glavnoj dijagonali bilo što.

6 5. NUL-MATRICA Još jedna bitna matrica koja jedina za razliku od svih prethodno nabrojenih, ne mora biti kvadratna! Jedino što je ovdje bitno je da je to matrica čiji su svi elementi NULE!!! Neovisno o tome kojeg je matrica formata. Ponovi:kakva je sve ova nul matrica? (dijagonalna, skalarna, simetrična, gornje i donje trokutasta). U slučaju da nije kvadratna, onda je samo basic nul matrica. OPERACIJE S MATRICAMA: 1. ZBRAJANJE I ODUZIMANJE MATRICA Da bi uopće mogli zbrajati i/ili oduzimati matrice one moraju biti istog formata. dakle prije zbrajanja/oduzimanja prvo provjeri da li su matrice istog formata! Ako jesu, zbrajamo/oduzimamo odgovarajuće elemente na istim pozicijama pazeći pri tome na predznake te kao rezultat dobivamo matricu istog formata kojeg su bile i matrice koje smo zbrajali. Ako je A+B=C onda elemente matrice C dobivano na način. ( Dakle, matrice koje nisu istog tipa ne možemo zbrajati. Svojstva zbrajanja matrica: Zbrajanje matrica je komutativno A+B=B+A znači smijemo mijenjati mjesta pribrojnicima Zbrajanje matrica je asocijativno, vrijedi (A+B)+C=A+(B+C) znači svejedno je da li prvo zbrojimo A+B pa nadodamo C ili prvo zbrojimo B i C pa nadodamo A. Neutralni element za zbrajanje matrica je nul-matrica (N) koja kada se doda bilo kojoj matrici ne mijenja njezinu vrijednost A+N=A i N+A=A 2. MNOŽENJE MATRICA SKALAROM To je u biti množenje matrice brojem, a to znači svaki element matrice pomnožiti nekim (istim) brojem.

7 Svojstva množenja skalarom: A. Množenje skalarom je distributivno obzirom na zbrajanje matrica tj. vrijedi. Dakle pomnožiti brojem zbroj, ili odvojeno svaku matricu pa ih takve pomnožene zbrojiti, je isto. B. Množenje skalarom je distributivno obzirom na zbrajanje skalara tj. vrijedi C. Množenje skalarom je komutativno tj odnosno možemo mijenjati mjesta faktorima ako je jedan faktor skalar a drugi matrica (ne vrijedi za množenje dviju matrica, no o tome pročitaj više dolje ) D. Množenje skalarom je asocijativno tj. vrijedi znači možemo pomnožiti prvo dva skalarom pa njihovim umnoškom pomnožiti matricu ili pomnožiti jedan skalar matricom a nakon toga njihov umnožak pomnožiti drugim skalarom 3. MNOŽENJE MATRICA Da bi uopće mogli množiti matrice, prvo moramo provjeriti da li su ulančane. Ulančanost matrica znači da prva matrica ima onoliko stupaca koliko druga ima redaka. Odnosno, ako je matrica A formata mxn onda matrica B mora biti formata nxp. Vizualno to možemo vidjeti ako, dok zapišemo format matrice vidimo da su unutarnji faktori umnožaka isti brojevi. Na primjer, matrica A formata je 3x2, matrica B formata je 2x3. Provjeravamo 2=2 što znači da su matrice ulančane i da možemo krenuti na samo množenje matrica. Matrice množimo tako da odgovarajuće elemente prvog retka prve matrice množimo redom elementima prvog stupca druge matrice i međusobno ih zbrajamo. Zatim množimo ponovo prvi redak sa drugim stupcem i tako dok ne prođemo po svim stupcima. Nakon toga bacamo se na drugi redak i oooopet prolazimo po svim stupcima. Ako nije jasno sve ćemo pokazati na primjerima na instrukcijama i uz malo vježbe brzo se to zapamti #dontworry Formulom to izgleda ovako: ako je Ekstra bitno svojstvo množenja matrica je da množenje matrica NIJE KOMUTATIVNO! Tj. kod množenja matrica ne možemo mijenjati mjesta matricama. Znači ne vrijedi kao kod običnih brojeva nego

8 Ostala svojstva množenja matrica: a. Množenje matrica je asocijativno b. Množenje matrica je distributivno obzirom na zbrajanje matrica odnosno matricu možemo pomnožiti zbrojem dviju matrica ili matricu pomnožiti odvojeno jednom matricom pa drugom matricom i onda ta dva umnoška zbrojiti A*(B+C)=A*B+A*C c. Neutralni element za množenje matrica je jedinična matrica znači dakle kada matricu pomnožimo jediničnom matricom njena se vrijednost ne mijenja. To je isto kao što je broj 1 neutralni element za množenje brojeva jer ako bilo koji broj pomnožimo brojem 1 i dalje ćemo dobiti taj isti broj. 4. TRANSPONIRANJE MATRICA Transponiranje matrica jednostavno znači zamjena redaka sa stupcima. Dakle, uzmi retke matrice A i napravi novu matricu koju ćeš nazvati (transponirana matrica matrice A) i elemente prvog retka matrice A upisuj u elemente prvog stupca matrice i tako redom svaki redak pretvaraš u stupac i kreiraš novu matricu. Formulom : = Svojstva operacije transponiranja matrica: a. svejedno da li transponiramo zbroj, ili zbrajamo transponirane b. -svejedno oćeš li transponirati umnožak skalara i matrice ili skalarom pomnožiti transponiranu matricu c. -svejedno da li transponiraš umnožak ili množiš transponirane ali pazi da je onda B prva! #komutativnostnevrijedi d. -ako transponiraš transponiranu matricu, dobit ćeš početnu matricu #logično SUSTAV LINEARNIH JEDNADŽBI Sustav linearnih jednadžbi je skup linearnih jednadžbi tj. jednadžbi u kojima se nepoznanice množe nekim brojem (skalarom, pošto smo usvojili novu riječ) i međusobno zbrajaju ili oduzimaju. Te brojeve koji množe nepoznanice još nazivamo koeficijentima sustava. Sada ćemo te koeficijente sustava upisati u tzv. matricu sustava čiji će svaki redak sadržavati koeficijente iz pojedine jednadžbe, a da pritom pazimo da su koeficijenti istoimene nepoznanice poslagani u isti stupac. Želimo dakle vizualno jasno imati u npr. prvom stupcu sve koeficijente koji u jednadžbama stoje uz x-eve, pa sve koji stoje uz y-e itd.

9 Proširena matrica sustava je matrica koju dobijemo tako da matrici sustava nadopišemo desno jedan stupac u kojem se nalaze elementi koji su se u jednadžbama nalazili s desne strane znaka jednakosti te taj sustav odvojimo iscrtkanom linijom. Ta iscrtkana linija predstavlja nam znakove jednakosti u sustavu linearnih jednadžbi kojeg rješavamo. Ovo će nam sve trebati za provedbu Gauss-Jordanove metode rješavanja sustava jednadžbi. Prije toga još se moramo upoznati sa mogućim ishodima rješavanja sustava kroz slijedeće slučajeve:. 1. Ako je broj jednadžbi jednak broju nepoznanica: a. Ako je rang matrice sustava maksimalan ( u zadnjem retku proširene matrice sustava nisu same nule) onda sustav ima jedinstveno rješenje b. Ako rang matrice sustava nije maksimalan ( u zadnjem retku su sve nule) onda sustav ima beskonačno mnogo rješenja 2. Ako je broj nepoznanica veći od broja jednadžbi sustav ima beskonačno mnogo rješenja 3. Ako je broj nepoznanica manji od broja jednadžbi rješavamo sustav bez te jednadžbe viška i provjeravamo da li dobivena rješenja vrijede za te preostale jednadžbe

10 LINEARNA ALGEBRA- nastavak GAUSS- JORDANOVA METODA Gauss-Jordanova metoda je metoda za rješavanje sustava linearnih jednadžbi. To je metoda transformacije matrica u njima ekvivalentne matrice pomoću određenih alata odnosno elementarnih transformacija. Njih provodimo nad proširenom matricom sustava. -CILJ: dobiti jediničnu matricu (jedinice na glavnoj dijagonali,a iznad i ispod su nule) -ALATI: 1. zamjena redaka- smijemo mijenjati samo retke! 2. množenje i dijeljenje retka brojem 3.množenje retka brojem i dodavanje drugom retku Postupak: -sustav jednadžbi prebacujemo u matricu sustava -u svaki redak pišemo koeficijente koji nam se nalaze uz nepoznanice - u svakom stupcu element na dijagonali svodimo na jedinicu, a ostale elemente u stupcu svodimo na nulu i to provodimo dokle god možemo! KRONECKER- CAPELLI-JEV TEOREM: Kriterij za egzistenciju rješenja sustava linearnih jednadžbi je ako je rang matrice sustava jednak rangu proširene matrice sustava: STRUKTURA rješenja sustava linearnih jednadžbi: -ako sustav linearnih jednadžbi ima rješenje, ono može biti jedinstveno ili parametarsko: 1. Jedinstveno rješenje je rješenje u kojemu svaka nepoznanica poprima samo i isključivo jednu vrijednost. Npr.. Sustav s jedinstvenim rješenjem nazivamo regularan ili CRAMEROV sustav. Kod takvog sustava matrica tog sustava je kvadratna i njena je determinanta različita od nule. 2. Parametarsko rješenje je rješenje u kojem barem jedna nepoznanica može poprimiti više tj. beskonačno mnogo rješenja, a to vidimo po tome što nam na kraju barem jedna nepoznanica bude zapisana pomoću neke druge nepoznanice. Npr.. Kod parametarskih rješenje matrica sustava ne mora bit kvadratna. Ako je ipak matrica takvog sustava kvadratna, njena je determinanta jednaka nuli. Ako na kraju dobijemo matricu kojoj rang matrice sustava nije jednak rangu proširene matrice sustava, tada taj sustav nema rješenja. Sustav koji nema rješenja nazivamo: neregularan, singularan, nekonzistentan, nesuglasan, kotradiktoran. To je situacija u kojoj nam se pojavi da su nule jednake nekom broju, odnosno npr. što je neistinita tvrdnja jer 0 5. Netko u tom sustavu laže! Tada sustav nema rješenja.

11 INVERZ MATRICE Inverz matrice pronalazi se postupkom invertiranja. Postoje dva načina traženja inverza matrice: 1. Pomoću G-J transformacija: matricu A proširimo (iscrtkanom crtom) sa desne strane sa jediničnom matricom odgovarajućeg formata (istog kao što je matrica A). Nad takvom proširenom matricom provodimo Gauss-Jordanove transformacije sve dok sa lijeve strane ne dobijemo jediničnu matricu, a tada nam je matrica koja je ostala s desne strane upravo taj inverz kojeg smo tražili. Napomena: ako s lijeve strane proširene matrice mijenjamo stupce, zamjenu odgovarajućih stupaca moramo provesti i na desnoj strani. To izgleda ovako: 2. Pomoću matrice algebarskih komponenti koju još nazivamo adjungirana matrica (adjunkta). Inverz se računa po formuli:. Adjunktu je najlakše izračunati ako se radi o matrici 2x2 pa su to uglavnom slučajevi gdje koristimo ovaj postupak traženja inverzne matrice. Adjunktu dobijemo tako da elementima na glavnoj dijagonali zamijenimo mjesta, a elementima na sporednoj dijagonali promijenimo predznake Dodatno: Općeniti postupak računanja adjunkte: za matricu A i jedan njezin element a ij prvo odredimo matricu A i.j koja se dobije tako da iz matrice A izbrišemo redak i stupac u kojem se nalazi element a ij. Zatim odredimo determinantu te matrice. Onda odredimo element nove matrice a ij * tako da izračunatu determinantu pomnožimo odgovarajućim predznakom i postupak ponovimo za sve elemente matrice A:. Nakon toga, matricu s elementima a ij * transponiramo i dobili smo adjunktu (sjeti se: transponirati znači retke pretvoriti u stupce!) SINGULARNA I REGULARNA MATRICA: a) Za matricu kažemo da je REGULARNA ako ima inverz tj. ako postoji matrica za koju vrijedi (gdje je jedinična matrica). Osnovni kriterij da bi matrica bila regularna je ako je pripadna determinanta te matrice različita od nule tj.. Rang matrice tada je maksimalan. b) Za matricu kažemo da je SINGULARNA ako nije regularna Kod singularne matrice pripadna determinanta je jednaka nuli. Rang tada nije maksimalan. RANG MATRICE Rang matrice je najveći broj linearno nezavisnih redaka ili stupaca te matrice. (linearna zavisnost je kada se jedan redak/stupac može prikazati kao linearna kombinacija drugih, dakle ovdje to nije moguće) Rang matrice određuje se tako da matricu svodimo na trokutasti oblik pomoću G-J metode (najčešće gornje trokutasta matrica) jer želimo da su nam elementi ispod (ili iznad) glavne dijagonale nule. Iz trokutastog oblika matrice potom iščitavamo rang: rang je jednak broju elemenata na glavnoj dijagonali koji su RAZLIČITI od nule. Ili, rang je jednak broju stepenica, a stepenicu radimo ispod svakog broja na glavnoj dijagonali koji nije nula, kada vidimo nulu nacrtamo pod.

12 Rang matrice je broj neponištenih redaka/stepenica svaki redak ima svoju stepenicu. Kažemo da matrica ima rang ako je r maksimalan broj linearno nezavisnih redaka (stupaca) matrice. Rang po stupcima jednak je rangu po recima. Rang matrice A označavamo sa r(a). Rang matrice tražimo tako da ju pomoću elementarnih transformacija svedemo na kanonsku matricu ranga r. DETERMINANTE Određivanje determinante je zapravo rješavanje matrice, tj. determinanta je preslikavanje koje kvadratnim matricama pridružuje realan broj. Dakle od matrice (skup elemenata zapisanih u tablicu) napravi jedan broj i to neka ti bude vrijednost matrice. Determinanta matrice je realan broj za koji vrijedi gdje je skup svih permutacija, a je predznak koji se pridružuje svakoj permutaciji. SVOJSTVA DETERMINANTE: 1. Ako su u retku/stupcu sve nule tada je det A 0 2. Ako su dva retka/stupca jednaka ili proporcionalna, det A=0 3. Ako je determinanta gornje trokutasta tada je determinanta jednaka umnošku elemenata na dijagonali 4. Red/stupac determinante možemo pomnožiti brojem i dodati drugom redu (kao kod G-J!) 5. Matrica i njena transponirana matrica imaju iste determinante deta=deta T 6. Ako zamijenimo dva stupca ili dva retka determinante, tada determinanta mijenja predznak 7. Za kvadratne matrice vrijedi BINET-CAUCHY-JEV TEOREM da je determinanta umnoška kvadratnih matrica jednaka umnošku determinanti tih matrica Ovisno o veličini matrice čiju determinantu računamo, postoje tri načina za izračunavanje vrijednosti determinante: 1) Ako imamo kvadratnu matricu M 2 tada determinantu računamo po pravilu ad-bc (to je isto Laplaceov razvoj, ali najjednostavnija varijanta):

13 2) Ako imamo kvadratnu matricu M 3 tada determinantu računamo pomoću Sarrusovog pravila (pamti kao: glavne dijagonale minus sporedne): Postupak se provodi tako da nadopišemo prva dva stupca determinante, a zatim računamo (zbroj umnožaka na glavnim dijagonalama)-(zbroj umnožaka na sporednim dijagonalama). 3) Ako imamo kvadratnu matricu M 4 ili veću, tada koristimo Laplaceov razvoj determinante, kako bi vrijednost determinante reda nxn definirali pomoću vrijednosti determinante nižeg reda, koju onda računamo po pravilu 1. ili 2. Laplaceov razvoj glasi : rješavanju takvih zadataka, biramo red ili stupac sa što više nula kako bi što veći broj pribrojnika u navedenoj sumi bio nula. se naziva podmatrica odnosno algebarski komplement elemenata koju dobijemo tako da izbacimo redak i stupac koji sadrži element. Pri. Nakon što izbacimo taj redak i stupac, preostaje nam determinanta 3x3 koju razvijamo po proizvoljnom j-tom stupcu i svaku od tih determinanti, ako ju ne množi nula, dalje rješavamo po Laplaceovom razvoju ili preko Sarrusovog pravila. VEKTORI Vektor je jednostupčana matrica dimenzije n koja nam ujedno govori i koliko vektor ima elemenata. Vektor A tako možemo zapisati kao gdje označava vektorski prostor kojemu taj vektor pripada. S vektorima možemo raditi sve isto što i s matricama (+,-, *sa skalarom), ali kod vektora imamo još dodatnu operaciju, skalarno množenje koju možemo naći i pod nazivom skalarni produkt vektora.(to nije isto što i množenje skalarom!) Uvjet za skalarni produkt vektora je da vektori budu jednakih dimenzija. Skalarni produkt vektora je zbroj umnožaka odgovarajućih koordinata, ili možemo reći pojednostavljeno množenje matrica. Uzmemo element a 1 prvog vektora, pomnožimo ga s b 1 i to redom zbrajamo sa pomnoženim a 2 *b 2 itd. Matematički zapisano to izgleda ovako: Ako se prisjetimo vektora iz srednje škole (tko ih je učio ), tada skalarni produkt vektora možemo povezati sa geometrijskom okomitosti vektora. Ako vrijedi da je skalarni produkt, tada su vektori okomiti (druga riječ ortogonalni). Još jedna stvar koju treba znati kod vektora je tzv. NORMA vektora. Da nam bude lakše shvatiti što je to, sada na vektor zaista gledamo kao usmjerenu dužinu u geometrijskom prostoru. Zanima nas dujina tog vektora (kao duljina dužine). Ta duljina je broj koji se naziva norma. Ili, norma vektora je funkcija koja vektoru pridružuje njegovu duljinu. Najpoznatiji način za dobivanje norme je Euklidska norma koja se računa po formuli:. Tj. norma se dobije kao korijen zbroja kvadriranih elemenata vektora. A je vektor iz prostora, a ili samo je oznaka za normu vektora.

14 SVOJSTVA NORME: 1. Norma vektora je uvijek veća ili jednaka nuli 2. Ako vektor množimo skalarom c tada vrijedi: odnosno normu množimo apsolutnom vrijednošću skalara 3. Ako je norma vektora 0, tada se radi o nul-vektoru, a isto kao i kod nul-matrice, to je vektor čiji su svi elementi 0 4. Vrijedi nejednakost trokuta: odnosno duljina zbroja dvaju vektora uvijek je manja od zbroja posebno duljine vektora a i vektora b jer sjetimo se, vektori se geometrijski zbrajaju po pravilu trokuta Osim norme, drugi pojam vezan uz vektore je METRIKA, a to je funkcija po kojoj računamo udaljenost između dva vektora (ili općenito, između dva elementa nekog skupa; ne mora biti samo između vektora). Metriku odnosno udaljenost između dva vektora označavamo s i računamo preko norme tj. duljine razlike vektora: LINEARNA KOMBINACIJA VEKTORA X, Y je vektor gdje su realni brojevi (može biti i više od dva vektora). a) Vektori su linearno ZAVISNI ako se jedan može prikazati kao linearna kombinacija drugog (ili drugih ako ih ima više). Vektor je linearno zavisan o vektorima X 1, X 2,, X k ako se vektor A može prikazati kao linearna kombinacija tih vektora tj. ako postoje realni brojevi c 1, c 2,,c k takvi da je A= c 1 X 1 + c 2 X c k X k odnosno da postoje neki koeficijenti kojima možemo pomnožiti te vektore i kada ih zbrojimo dobiti vektor A. b) Vektori su linearno NEZAVISNI ako se niti jedan od njih ne može prikazati kao linearna kombinacija drugog/preostalih (ako ih ima više). Također za skup vektora X 1, X 2,, X k kažemo da su linearno nezavisni ako sustav jednadžbi c 1 X 1 + c 2 X c k X k =0 ima samo trivijalno rješenje,a to znači da je jedino rješenje sustava c 1 = c 2 = =c k =0.

15 INPUT-OUTPUT ANALIZA Neka je gospodarstvo neke zemlje podijeljeno u n sektora. Koristimo slijedeće oznake: Q i je oznaka za ukupnu količinu proizvoda u nekom i-tom sektoru. Q ij je oznaka za količinu outputa i-tog sektora koja će prijeći u j-ti sektor. q i je količina finalne potražnje i-tog sektora. i=1,2,,n j=1,2,,n Input output tablica tada izgleda ovako: Vektor outputa Q i Međusektorska potražnja Q ij Finalna potražnja q i Q 1 Q 11 Q 1n q 1 Q n Q n1 Q nn q n Jedna od temeljnih pretpostavki input-output modela je da je za svaki redak vektor outputa jednak zbroju međusektorske potražnje i finalne potražnje: To nam daje odgovor na pitanje koliko trebamo proizvoditi (Q 1 ) da bi međusektorska i finalna potražnja bile zadovoljene. MATRICA TEHNIČKIH KOEFICIJENATA A je fiksni dio svake input-output tablice. -popunjava se po formuli Tehnički koeficijent nam govori kolika je količina proizvoda i-tog sektora potrebna da se proizvede jedinica proizvoda j-tog sektora. MATRICA TEHNOLOGIJE T: U opisanom modelu želimo da ekonomske veličine budu nenegativne tj. da inverz matrice tehnologije ima sve nenegativne elemente. Da bi se to postiglo matrica tehnologije mora zadovoljavati Hawkins-Simonov uvjet koji kaže: kako bi matrica imala sve nenegativne elemente, sve vodeće minore matrice moraju biti pozitivne. Sada da još objasnimo što su vodeće minore. Vodeće minore matrice su vrijednosti determinanti kvadratnih podmatrica koje obuhvaćaju jedan, dva odnosno sva tri elementa glavne dijagonale. Svaka

16 vodeća minora je za jednu dimenziju veća od prethodne, te niz nastavljamo dok ne dođemo do determinante cijele zadane matrice. Tj. krenemo od matrice koja se sastoji od samo jednog broja, početnog elementa gore lijevo i računamo njenu determinantu što je samo apsolutna vrijednost tog broja. Zatim to proširimo na matricu 2x2 pa računamo njenu determinantu. Pa na matricu 3x3 pa njenu determinantu itd. dok na kraju ne obuhvatimo cijelu matricu. Ako su svi tako izračunati brojevi odnosno vodeće minore pozitivni, onda i inverz takve matrice tehnologije T ima sve nenegativne članove.

17 DIFERENCIJALNI RAČUN I PRIMJENE 1. DERIVIRANJE Derivacije elementarnih funkcija jedne varijable dane su u tablicama:

18 Pravila deriviranja funkcija jedne varijable su: 1. DERIVIRANJE ZBROJA/RAZLIKE 2. DERIVIRANJE UMNOŠKA BROJEM (konstantom) 3. DERIVIRANJE UMNOŠKA 4. DERIVIRANJE KVOCJENTA Derivacija složene funkcije, što se još naziva kompozicija funkcije, dana je formulom: Prema formuli vidimo da kada deriviramo složenu funkciju, trebamo derivirati dio po dio kompozicije. Kako prepoznajemo složenu funkciju i da uopće moramo derivirati dio po dio? Tako što vidimo da je funkcija komplicirana a to znači drugačija od tablične. Tada prvo deriviramo tu složenu funkciju praveći se da je jednostavna,tablična, no u nastavku množimo sa posebnom derivacijom tog kompliciranog dijela. Dakle, što god nije tablična funkcija (bilo da ju samu deriviramo, ili tokom primjene nekog od pravila deriviranja) treba derivirati kao složenu funkciju! Derivacija inverzne funkcije dana je formulom: gdje je Funkcija f i njoj inverzna funkcija uvijek se poništavaju: Ako tu jednadžbu deriviramo, kao složenu funkciju, dobiti ćemo: derivaciju složene funkcije i deriviraj ovdje: ). (izvježbaj Nadalje, za. kažemo da je diferencijal funkcije. i možemo zapisati formulom:

19 Ovo je samo pregled, a cijela skripta (44 str.) te čeka u našoj SKRIPTARNICI!