Matrice i sustavi linearnih jednadžbi, inverzi i determinante, svojstvene vrijednosti i svojstveni vektori
|
|
|
- Σαβαώθ Κοντολέων
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Matrice i sustavi linearnih jednadžbi, inverzi i determinante, svojstvene vrijednosti i svojstveni vektori Franka Miriam Brückler
2 Matrični zapis sustava linearnih jednadžbi Neka je dano n nepoznanica x 1, x 2,.... Kako pomoću skalarnog produkta možemo zapisati jednu linearnu jednadžbu s tim nepoznanicama?
3 Matrični zapis sustava linearnih jednadžbi Neka je dano n nepoznanica x 1, x 2,.... Kako pomoću skalarnog produkta možemo zapisati jednu linearnu jednadžbu s tim nepoznanicama? a, x = b Ako vektore koeficijenata a 1,..., a m R n zapišemo kao retke matrice A, a slobodne članove b 1,..., b m kao matricu-stupac b, vidimo da sustav možemo zapisati kao Ax = b, A M m,n, b M m,1, x M n,1 Homogeni sustav u matričnom obliku poprima oblik matrične jednadžbe Ax = 0 m,1.
4 Broj rješenja sustava linearnih jednadžbi Ax = 0 m,1, Ax0 = 0 m,1 A(x + x ) = Ax + Ax = 0 m,1, Ax = 0 m,1 A(αx) = αax = 0 m,1 Skup rješenja homogenog sustava je potprostor od R n (odnosno od M n,1 ). Koliko elemenata može imati vektorski prostor?
5 Broj rješenja sustava linearnih jednadžbi Ax = 0 m,1, Ax0 = 0 m,1 A(x + x ) = Ax + Ax = 0 m,1, Ax = 0 m,1 A(αx) = αax = 0 m,1 Skup rješenja homogenog sustava je potprostor od R n (odnosno od M n,1 ). Koliko elemenata može imati vektorski prostor? Homogeni sustavi Svaki homogeni sustav linearnih jednadžbi ili ima jedinstveno rješenje (nulvektor u R n ) ili ih ima beskonačno mnogo.
6 Broj rješenja sustava linearnih jednadžbi Ax = 0 m,1, Ax0 = 0 m,1 A(x + x ) = Ax + Ax = 0 m,1, Ax = 0 m,1 A(αx) = αax = 0 m,1 Skup rješenja homogenog sustava je potprostor od R n (odnosno od M n,1 ). Koliko elemenata može imati vektorski prostor? Homogeni sustavi Svaki homogeni sustav linearnih jednadžbi ili ima jedinstveno rješenje (nulvektor u R n ) ili ih ima beskonačno mnogo.
7 Ako je sustav Ax = b nehomogen, pripadnim homogenim sustavom zovemo sustav Ax = 0 m,1. Neka je njegov prostor rješenja H. Očito je moguće da sustav Ax = b nema rješenja. Ako ga ima, odaberemo jedno: x P ( partikularno rješenje ).
8 Ako je sustav Ax = b nehomogen, pripadnim homogenim sustavom zovemo sustav Ax = 0 m,1. Neka je njegov prostor rješenja H. Očito je moguće da sustav Ax = b nema rješenja. Ako ga ima, odaberemo jedno: x P ( partikularno rješenje ). Tada je (za svako rješenje x H H pripadnog homogenog sustava) A(x P + x H ) = Ax P + Ax H = b + 0 m,1 = b, tj. x P + x H je rješenje od Ax = b. Teorem Svaki sustav linearnih jednadžbi, ukoliko ima više od jednog rješenja, ima ih beskonačno mnogo.
9 Inverzni linearni operator Može li se iz zarotirane pozicije nekog objekta i znanja o kojoj se rotaciji radi rekonstruirati gdje je i kako izgledao objekt prije rotacije?
10 Inverzni linearni operator Može li se iz zarotirane pozicije nekog objekta i znanja o kojoj se rotaciji radi rekonstruirati gdje je i kako izgledao objekt prije rotacije? Neki linearni operatori su bijekcije, tj. posjeduju inverzne funkcije. Zbog svojstva da su linearni operatori potpuno zadani djelovanjem na bazi, linearan operator koji je invertibilan mora imati domenu i kodomenu iste dimenzije. Budući da su konačnodimenzionalni prostori iste dimenzije medusobno izomorfni, ovdje možemo uzeti da je  : V V.
11 Inverzni linearni operator Može li se iz zarotirane pozicije nekog objekta i znanja o kojoj se rotaciji radi rekonstruirati gdje je i kako izgledao objekt prije rotacije? Neki linearni operatori su bijekcije, tj. posjeduju inverzne funkcije. Zbog svojstva da su linearni operatori potpuno zadani djelovanjem na bazi, linearan operator koji je invertibilan mora imati domenu i kodomenu iste dimenzije. Budući da su konačnodimenzionalni prostori iste dimenzije medusobno izomorfni, ovdje možemo uzeti da je  : V V. Ako je  invertibilan, onda je njegova inverzna funkcija  1 takoder linearni operator i vrijedi   1 =  1  = Î.
12 Pitanja na koja sad želimo odgovoriti su: Ako znamo matricu A našeg operatora  u nekoj bazi od V, kako odrediti matricu od  1 (s obzirom na istu bazu)? I, ako znam matricu operatora, kako iz nje vidjeti je li operator invertibilan?
13 Pitanja na koja sad želimo odgovoriti su: Ako znamo matricu A našeg operatora  u nekoj bazi od V, kako odrediti matricu od  1 (s obzirom na istu bazu)? I, ako znam matricu operatora, kako iz nje vidjeti je li operator invertibilan? Ako je  invertibilan, A je kvadratna (zašto?).
14 Pitanja na koja sad želimo odgovoriti su: Ako znamo matricu A našeg operatora  u nekoj bazi od V, kako odrediti matricu od  1 (s obzirom na istu bazu)? I, ako znam matricu operatora, kako iz nje vidjeti je li operator invertibilan? Ako je  invertibilan, A je kvadratna (zašto?). Neka je dakle zadana matrica A M n linearnog operatora Â, gdje je n dimenzija od V. Ako je  invertibilan,  1 posjeduje matricu B M n sa svojstvom AB = BA = I n, jer komponiranju operatora odgovara množenje njihovih matrica, a jediničnom operatoru u svakoj bazi odgovara jedinična matrica.
15 Pitanja na koja sad želimo odgovoriti su: Ako znamo matricu A našeg operatora  u nekoj bazi od V, kako odrediti matricu od  1 (s obzirom na istu bazu)? I, ako znam matricu operatora, kako iz nje vidjeti je li operator invertibilan? Ako je  invertibilan, A je kvadratna (zašto?). Neka je dakle zadana matrica A M n linearnog operatora Â, gdje je n dimenzija od V. Ako je  invertibilan,  1 posjeduje matricu B M n sa svojstvom AB = BA = I n, jer komponiranju operatora odgovara množenje njihovih matrica, a jediničnom operatoru u svakoj bazi odgovara jedinična matrica. Primjer ( ) ( ) 2 1 x1 Neka je  : M 2,1 M 2,1 zadan s ÂX =. Je 1 0 x 2 li invertibilan? Ako da, koja je matrica njegovog inverza (s obzirom na kanonsku bazu)?
16 Definicija (Inverzna matrica) Za kvadratnu matricu A M n njen inverz (inverzna matrica od A) je, ako postoji, kvadratna matrica B M n takva da vrijedi A B = B A = I n. Ako takva matrica B postoji, jedinstveno je odredena te se označava s A 1 (a matricu A zovemo invertibilnom ili regularnom matricom). Ako je A matrica invertibilnog linearnog operatora  : V V u nekoj bazi, onda je A 1 matrica operatora  1.
17 Definicija (Inverzna matrica) Za kvadratnu matricu A M n njen inverz (inverzna matrica od A) je, ako postoji, kvadratna matrica B M n takva da vrijedi A B = B A = I n. Ako takva matrica B postoji, jedinstveno je odredena te se označava s A 1 (a matricu A zovemo invertibilnom ili regularnom matricom). Ako je A matrica invertibilnog linearnog operatora  : V V u nekoj bazi, onda je A 1 matrica operatora  1. Vidimo: Inverzna matrica se s obzirom na množenje matrica ponaša kao recipročni brojevi s obzirom na množenje brojeva. Je li svaka kvadratna matrica invertibilna?
18 Definicija (Inverzna matrica) Za kvadratnu matricu A M n njen inverz (inverzna matrica od A) je, ako postoji, kvadratna matrica B M n takva da vrijedi A B = B A = I n. Ako takva matrica B postoji, jedinstveno je odredena te se označava s A 1 (a matricu A zovemo invertibilnom ili regularnom matricom). Ako je A matrica invertibilnog linearnog operatora  : V V u nekoj bazi, onda je A 1 matrica operatora  1. Vidimo: Inverzna matrica se s obzirom na množenje matrica ponaša kao recipročni brojevi s obzirom na množenje brojeva. Je li svaka kvadratna matrica invertibilna? Budući da osim nulmatrice postoji beskonačno mnogo kvadratnih matrica koje nisu invertibilne, nema smisla definirati dijeljenje matrica!
19 Odredivanje inverzne matrice Zadatak Ako je R z,α matrica rotacije za kut α oko z-osi, koja je matrica rotacije oko z-osi za kut 2π α? Što o retcima i stupcima kvadratne matrice A govori ako vrijedi AA t = A t A = I n?
20 Odredivanje inverzne matrice Zadatak Ako je R z,α matrica rotacije za kut α oko z-osi, koja je matrica rotacije oko z-osi za kut 2π α? Što o retcima i stupcima kvadratne matrice A govori ako vrijedi AA t = A t A = I n? Matrica je ortogonalna ako joj je inverz jednak transponiranoj matrici. Posebno, inverzna matrica bilo kojeg matrice operatora simetrije je njezina transponirana matrica.
21 Odredivanje inverzne matrice Zadatak Ako je R z,α matrica rotacije za kut α oko z-osi, koja je matrica rotacije oko z-osi za kut 2π α? Što o retcima i stupcima kvadratne matrice A govori ako vrijedi AA t = A t A = I n? Matrica je ortogonalna ako joj je inverz jednak transponiranoj matrici. Posebno, inverzna matrica bilo kojeg matrice operatora simetrije je njezina transponirana matrica. Matrica je unitarna ako joj je inverz jednak hermitski konjugiranoj matrici. Zadatak Ako je A M n, u kakvoj je vezi invertibilnost matrice A i broja rješenja sustava Ax = b?
22 Odredivanje inverzne matrice Zadatak Ako je R z,α matrica rotacije za kut α oko z-osi, koja je matrica rotacije oko z-osi za kut 2π α? Što o retcima i stupcima kvadratne matrice A govori ako vrijedi AA t = A t A = I n? Matrica je ortogonalna ako joj je inverz jednak transponiranoj matrici. Posebno, inverzna matrica bilo kojeg matrice operatora simetrije je njezina transponirana matrica. Matrica je unitarna ako joj je inverz jednak hermitski konjugiranoj matrici. Zadatak Ako je A M n, u kakvoj je vezi invertibilnost matrice A i broja rješenja sustava Ax = b? Ako je A invertibilna, izvedite formulu za rješenje tog sustava!
23 Odredivanje inverzne matrice Zadatak Ako je R z,α matrica rotacije za kut α oko z-osi, koja je matrica rotacije oko z-osi za kut 2π α? Što o retcima i stupcima kvadratne matrice A govori ako vrijedi AA t = A t A = I n? Matrica je ortogonalna ako joj je inverz jednak transponiranoj matrici. Posebno, inverzna matrica bilo kojeg matrice operatora simetrije je njezina transponirana matrica. Matrica je unitarna ako joj je inverz jednak hermitski konjugiranoj matrici. Zadatak Ako je A M n, u kakvoj je vezi invertibilnost matrice A i broja rješenja sustava Ax = b? Ako je A invertibilna, izvedite formulu za rješenje tog sustava! x = A 1 b. Zašto ova formula nije baš korisna?
24 Primjer ( ) 1 2 Matrica A = je kvadratna i nije nulmatrica. Nadimo joj 3 6 inverz, ako postoji.
25 Primjer ( ) 1 2 Matrica A = je kvadratna i nije nulmatrica. Nadimo joj 3 6 inverz, ako postoji. Trebalo bi dakle riješiti sustav s četiri nepoznanice (elementi matrice A 1 ) x + 2y = 1, 3x + 6y = 0, z + 2v = 0, 3z + 6v = 1. Rješavanjem ćemo dobiti kontradiktorne jednakosti, dakle sustav nije rješiv. Znači da ne možemo odrediti elemente matrice A 1 te matrica A nije invertibilna!
26 Vidimo: Za odredivanje inverza matrice A M n potrebno je riješiti sustav od n 2 linearnih jednadžbi s n 2 nepoznanica (to su elementi inverzne matrice). Sustav se postavlja iz AA 1 = I n. Ako taj sustav ima jedinstveno rješenje, matrica A je invertibilna, a ako taj sustav nema rješenja nije 1. 1 Kod sustavâ za odredivanje inverza ne može se dogoditi da imaju beskonačno mnogo rješenja.
27 Vidimo: Za odredivanje inverza matrice A M n potrebno je riješiti sustav od n 2 linearnih jednadžbi s n 2 nepoznanica (to su elementi inverzne matrice). Sustav se postavlja iz AA 1 = I n. Ako taj sustav ima jedinstveno rješenje, matrica A je invertibilna, a ako taj sustav nema rješenja nije 1. Ako bolje pogledamo prethodni primjer, primijetit ćemo da smo sustav 4 4 mogli rastaviti na dva 2 2 sustava (jedan za prvi stupac inverzne matrice, drugi za drugi stupac). Pritom su ti sustavi imali iste koeficijente (i to su elementi matrice A), ali različite stupce slobodnih članova. 1 Kod sustavâ za odredivanje inverza ne može se dogoditi da imaju beskonačno mnogo rješenja.
28 Računanje A je ekvivalentno rješavanju n sustava tipa n n (po jedan za svaki stupac od A 1 ), pri čemu su lijeve strane (koeficijenti) svih tih sustava iste (to su točno elementi matrice A), a stupci slobodnih članova su redom stupci jedinične matrice. Sustav za odredivanje j-tog stupca od A 1 kao stupac slobodnih članova ima j-ti stupac od I n.
29 Računanje A je ekvivalentno rješavanju n sustava tipa n n (po jedan za svaki stupac od A 1 ), pri čemu su lijeve strane (koeficijenti) svih tih sustava iste (to su točno elementi matrice A), a stupci slobodnih članova su redom stupci jedinične matrice. Sustav za odredivanje j-tog stupca od A 1 kao stupac slobodnih članova ima j-ti stupac od I n. Kako u Gaussovoj metodi eliminacija redoslijed operacija ne ovisi o stupcu slobodnih članova, znači da je za svaki od tih sustava račun jednak osim u stupcu slobodnih članova. Stoga se ti sustavi mogu rješavati paralelno: (A I n )... ( I n A 1). Napomena Sve matrice jednog linearnog operatora su medusobno slične: ako su A i B dvije matrice istog operatora, obzirom na različite baze, onda postoji invertibilna matrica X takva da je B = X 1 AX.
30 Determinante Nadite formulu za inverz kvadratne matrice reda 2!
31 Determinante Nadite formulu za inverz kvadratne matrice reda 2! ( ) 1 ( ) a b 1 d b =. c d ad bc c a Uz koji uvjet postoji inverz matrice reda 2?
32 Determinante Nadite formulu za inverz kvadratne matrice reda 2! ( ) 1 ( ) a b 1 d b =. c d ad bc c a Uz koji uvjet postoji inverz matrice reda 2? Primjer Neka su u Kks-u zadane točke P = (a, b) i Q = (c, d). Koja je površina A paralelograma odredenog s OP i OQ? A = OP OQ = ad bc.
33 Što je determinanta Broj koji karakterizira invertibilnost kvadratne matrice (ako je jednak nuli, matrica nema inverz, a ako je različit od nule, ima ga) zove se determinantom matrice. Determinanta matrice A označava se sa det(a). Izračunajte determinantu neke kvadratne matrice reda 2!
34 Što je determinanta Broj koji karakterizira invertibilnost kvadratne matrice (ako je jednak nuli, matrica nema inverz, a ako je različit od nule, ima ga) zove se determinantom matrice. Determinanta matrice A označava se sa det(a). Izračunajte determinantu neke kvadratne matrice reda 2! Kako računati determinatu za veće matrice? Za matrice reda 3 često se koristi Sarrusovo pravilo:
35 Determinante i geometrijski vektori Ako je za V 3 (odnosno V 3 (O)) odabrana neka baza { a, b, c }, vektorski i mješoviti produkt lako se izračunavaju pomoću determinanti: [x, y, z] [x, y, z a b c ] = x y z x y z. ([x, y, z], [x, y, z ], [x, y, z x y z ]) = x y z x y z Primjene: površina paralelograma i trokuta; provjera kolinearnosti i komplanarnosti; volumen prizme; desne i lijeve baze.
36 Laplaceov razvoj determinante
37 Laplaceov razvoj determinante Laplaceov razvoj determinante može se računati po bilo kojem (i-tom) retku ili bilo kojem (j-tom) stupcu: det A = n ( 1) i+j a ij det A ij, det A = j=1 n ( 1) i+j a ij det A ij. i=1 Pritom je s A ij označena matrica koju iz A dobijemo brisanjem i-tog retka i j-tog stupca. Dakle, Laplaceov razvoj po nekom retku/stupcu izračunava determinantu matrice A M n tako da svaki element tog retka/stupca pomnoži s determinantom matrice koju bismo iz A dobili tako da iz nje pobrišemo redak i stupac promatranog elementa. Tako dobijemo n brojeva, koje zatim naizmjenično zbrojimo i oduzmemo. Kod razvoja po neparnim retcima/stupcima alterniranje zbrajanja i oduzimanja je Kod razvoja po parnim retcima/stupcima alterniranje zbrajanja i oduzimanja kreće s.
38 Svojstva determinanti Koliko iznosi det(0 n )?
39 Svojstva determinanti Koliko iznosi det(0 n )? A det(i n )?
40 Svojstva determinanti Koliko iznosi det(0 n )? A det(i n )? A matrice kojoj je prvi stupac 0?
41 Svojstva determinanti Koliko iznosi det(0 n )? A det(i n )? A matrice kojoj je prvi stupac 0? Količina računa se smanjuje ako je u retku (ili stupcu) po kojemu razvijamo poneka nula pa se se preporuča da se determinanta matrice računa razvojem po onom retku ili stupcu u kojem je najviše nula Koliko iznosi determinanta ? A ?
42 Svojstva determinanti Koliko iznosi det(0 n )? A det(i n )? A matrice kojoj je prvi stupac 0? Količina računa se smanjuje ako je u retku (ili stupcu) po kojemu razvijamo poneka nula pa se se preporuča da se determinanta matrice računa razvojem po onom retku ili stupcu u kojem je najviše nula Koliko iznosi determinanta ? A ? Gornje-/donjetrokutaste matrice su one kvadratne matrice čiji svi elementi ispod/iznad dijagonale su 0. Matrice koje su istovremeno gornje- i donjetrokutaste zovu se dijagonalne. Determinanta gornjetrokutaste, kao i donjetrokutaste i dijagonalne matrice jednaka je
43 Svojstva determinanti Koliko iznosi det(0 n )? A det(i n )? A matrice kojoj je prvi stupac 0? Količina računa se smanjuje ako je u retku (ili stupcu) po kojemu razvijamo poneka nula pa se se preporuča da se determinanta matrice računa razvojem po onom retku ili stupcu u kojem je najviše nula Koliko iznosi determinanta ? A ? Gornje-/donjetrokutaste matrice su one kvadratne matrice čiji svi elementi ispod/iznad dijagonale su 0. Matrice koje su istovremeno gornje- i donjetrokutaste zovu se dijagonalne. Determinanta gornjetrokutaste, kao i donjetrokutaste i dijagonalne matrice jednaka je umnošku njenih dijagonalnih elemenata.
44 Možete li osim nulmatrica naći još neke tipove matrica kojima je determinanta sigurno nula?
45 Možete li osim nulmatrica naći još neke tipove matrica kojima je determinanta sigurno nula? Ako su u matrici dva retka proporcionalna (ili dva stupca), determinanta joj je nula. Takoder, ako matrica sadrži nulredak ili nulstupac, determinanta joj je nula. Može li se iz poznavanja det(a) izračunati det(a t )? det(a )?
46 Možete li osim nulmatrica naći još neke tipove matrica kojima je determinanta sigurno nula? Ako su u matrici dva retka proporcionalna (ili dva stupca), determinanta joj je nula. Takoder, ako matrica sadrži nulredak ili nulstupac, determinanta joj je nula. Može li se iz poznavanja det(a) izračunati det(a t )? det(a )? Koliko iznosi determinanta zbroja jedinične matrice reda 3 s matricom kojoj su svi elementi jednaki 1?
47 Možete li osim nulmatrica naći još neke tipove matrica kojima je determinanta sigurno nula? Ako su u matrici dva retka proporcionalna (ili dva stupca), determinanta joj je nula. Takoder, ako matrica sadrži nulredak ili nulstupac, determinanta joj je nula. Može li se iz poznavanja det(a) izračunati det(a t )? det(a )? Koliko iznosi determinanta zbroja jedinične matrice reda 3 s matricom kojoj su svi elementi jednaki 1? Korisno je znati i sljedeće: Sve matrice jednog linearnog operatora imaju istu determinantu i isti trag.
48 Jedna primjena svega ovoga Teorem (Kristalografska restrikcija) Rotacije koje točkama rešetke pridružuju isključivo točke rešetke mogu biti samo rotacije za kutove 360, 180, 120, 90 ili 60 ). Dokaz: Po definiciji rešetke, sve njene točke obzirom na odabranu bazu imaju cjelobrojne koordinate. Rotacija oko nekog pravca p mora biti predstavljena ortogonalnom matricom A M 3. Ako je ta matrica odabrana obzirom na bazu rešetke, budući rotacija preslikava točke rešetke samo u točke rešetke, slijedi da su elementi matrice A cijeli brojevi, dakle je i trag matrice A cijeli broj. S druge strane, odaberemo li neku drugu bazu tako da z-os leži na pravcu p, matrica naše rotacije imat će oblik R z. Ta matrica ima trag cos α. Kako trag ne ovisi o odabiru baze, slijedi da je cos α cijeli broj, tj. α = 90, 360, 180, 60, 120.
49 Determinante vs. elementarne transformacije Teorem Zamjena dva retka (ili dva stupca) mijenja predznak determinante. Ako matrici neki redak (ili stupac) pomnožimo nekim brojem α, determinanta dobivene matrice je α puta determinanta matrice prije tog množenja. Ako jedan redak pribrojimo nekom drugom (ili jedan stupac drugom stupcu), determinanta se ne mijenja. Posljedično, determinanta se ne mijenja niti kad višekratnik nekog retka dodamo drugom (ili višekratnik nekog stupca dodamo drugom stupcu).
50 Determinante vs. elementarne transformacije Teorem Zamjena dva retka (ili dva stupca) mijenja predznak determinante. Ako matrici neki redak (ili stupac) pomnožimo nekim brojem α, determinanta dobivene matrice je α puta determinanta matrice prije tog množenja. Ako jedan redak pribrojimo nekom drugom (ili jedan stupac drugom stupcu), determinanta se ne mijenja. Posljedično, determinanta se ne mijenja niti kad višekratnik nekog retka dodamo drugom (ili višekratnik nekog stupca dodamo drugom stupcu). Iz gornjeg teorema može se dokazati da za A M n vrijedi det(αa) = α n det(a).
51 Determinante vs. elementarne transformacije Teorem Zamjena dva retka (ili dva stupca) mijenja predznak determinante. Ako matrici neki redak (ili stupac) pomnožimo nekim brojem α, determinanta dobivene matrice je α puta determinanta matrice prije tog množenja. Ako jedan redak pribrojimo nekom drugom (ili jedan stupac drugom stupcu), determinanta se ne mijenja. Posljedično, determinanta se ne mijenja niti kad višekratnik nekog retka dodamo drugom (ili višekratnik nekog stupca dodamo drugom stupcu). Iz gornjeg teorema može se dokazati da za A M n vrijedi det(αa) = α n det(a). Je li determinatna linearan funkcional na M 3?
52 Primjer (Slaterova determinanta) Paulijev princip glasi: Ukupna elektronska valna funkcija, koja uključuje i spin, mora biti antisimetrična na izmjenu bilo kojeg para elektrona. Jednostavnija formulacija je: nikoja dva elektrona u istom atomu ne mogu imati iste sve kvantne brojeve. To svojstvo se izvodi iz nemogućnosti razlikovanja elektronâ.
53 Primjer (Slaterova determinanta) Paulijev princip glasi: Ukupna elektronska valna funkcija, koja uključuje i spin, mora biti antisimetrična na izmjenu bilo kojeg para elektrona. Jednostavnija formulacija je: nikoja dva elektrona u istom atomu ne mogu imati iste sve kvantne brojeve. To svojstvo se izvodi iz nemogućnosti razlikovanja elektronâ. Ako atom ima n elektrona, svaki od njih je opisan po jednom valnom funkcijom. Želimo li opisati ukupnu valnu funkciju koja opisuje svih n elektrona istovremeno, najjednostavnija ideja bila bi definirati ju kao produkt svih valnih funkcija pojedinih elektrona, no tako definirana ukupna valna funkcija omogućavala bi razlikovanje elektronâ pa nije prihvatljiva. Primjerice, za slučaj dva elektrona 1 i 2 (možemo ih poistovjetiti primjerice s njihovim pozicijama, tj. radij-vektorima), moguće su dvije valne funkcije sustava: ψ 1 (1)ψ 2 (2) i ψ 1 (2)ψ 2 (1).
54 Zbog nemogućnosti razlikovanja elektronâ slijedi da ne možemo dati prednost jednoj od te dvije funkcije, pa se kao ukupna valna funkcija uzima ψ 1 (1)ψ 2 (2) ψ 1 (2)ψ 2 (1).
55 Zbog nemogućnosti razlikovanja elektronâ slijedi da ne možemo dati prednost jednoj od te dvije funkcije, pa se kao ukupna valna funkcija uzima ψ 1 (1)ψ 2 (2) ψ 1 (2)ψ 2 (1). Poopćenjem gornje ideje dobiva se da je za sustav od n elektrona (ili općenitije fermiona) ukupna valna funkcija dana tzv. Slaterovom determinantom ψ(1, 2,..., n) = 1 n! ψ 1 (1) ψ 1 (2)... ψ 1 (n) ψ 2 (1) ψ 2 (2)... ψ 2 (n)... ψ n (1) ψ n (2)... ψ n (n).
56 Zbog nemogućnosti razlikovanja elektronâ slijedi da ne možemo dati prednost jednoj od te dvije funkcije, pa se kao ukupna valna funkcija uzima ψ 1 (1)ψ 2 (2) ψ 1 (2)ψ 2 (1). Poopćenjem gornje ideje dobiva se da je za sustav od n elektrona (ili općenitije fermiona) ukupna valna funkcija dana tzv. Slaterovom determinantom ψ(1, 2,..., n) = 1 n! ψ 1 (1) ψ 1 (2)... ψ 1 (n) ψ 2 (1) ψ 2 (2)... ψ 2 (n)... ψ n (1) ψ n (2)... ψ n (n).
57 Teorem (Binet-Cauchy) Determinanta produkta matrica jednaka je produktu determinanti.
58 Teorem (Binet-Cauchy) Determinanta produkta matrica jednaka je produktu determinanti. Izvedite vezu izmedu determinante matrice i determinante njezina inverza!
59 Teorem (Binet-Cauchy) Determinanta produkta matrica jednaka je produktu determinanti. Izvedite vezu izmedu determinante matrice i determinante njezina inverza! det(a 1 ) = 1 det(a). Koje su moguće vrijednosti determinanti ortogonalnih matrica?
60 Teorem (Binet-Cauchy) Determinanta produkta matrica jednaka je produktu determinanti. Izvedite vezu izmedu determinante matrice i determinante njezina inverza! det(a 1 ) = 1 det(a). Koje su moguće vrijednosti determinanti ortogonalnih matrica? ±1. A koje su moguće vrijednosti determinanti unitarnih matrica?
61 Teorem (Binet-Cauchy) Determinanta produkta matrica jednaka je produktu determinanti. Izvedite vezu izmedu determinante matrice i determinante njezina inverza! det(a 1 ) = 1 det(a). Koje su moguće vrijednosti determinanti ortogonalnih matrica? ±1. A koje su moguće vrijednosti determinanti unitarnih matrica? det(a) = 1.
62 Cramerovo pravilo Sustav linearnih jednadžbi tipa n n može se matrično zapisati u obliku Ax = B, gdje je
63 Cramerovo pravilo Sustav linearnih jednadžbi tipa n n može se matrično zapisati u obliku Ax = B, gdje je A M n, x, B M n,1. On ima jedinstveno rješenje (Cramerov je) točno ako je matrica A
64 Cramerovo pravilo Sustav linearnih jednadžbi tipa n n može se matrično zapisati u obliku Ax = B, gdje je A M n, x, B M n,1. On ima jedinstveno rješenje (Cramerov je) točno ako je matrica A invertibilna, dakle točno ako D = det A 0. U takvom se slučaju iznosi pojedinih komponenti rješenja mogu izračunati Cramerovim pravilom: x i = D i D za sve i, gdje su D i je determinante matrica koje iz A dobijemo tako da im i-ti stupac zamijenimo s B. Koje su prednosti ovog pravila? Mane? Zadatak Za kakve m i n sustav mx + ny = 1, x + y = mn
65 Svojstvene vrijednosti i vektori Po čemu se vektori paralelni s osi rotacije ističu u odnosu na ostale vektore prostora (s obzirom na efekt koji rotacija na njih ima)?
66 Svojstvene vrijednosti i vektori Po čemu se vektori paralelni s osi rotacije ističu u odnosu na ostale vektore prostora (s obzirom na efekt koji rotacija na njih ( ima)? ) 1 5 Postoje li vektori koje operator x Ax, gdje je A = 0 1 fiksira? Kojima ne mijenja smjer?
67 Svojstvene vrijednosti i vektori Po čemu se vektori paralelni s osi rotacije ističu u odnosu na ostale vektore prostora (s obzirom na efekt koji rotacija na njih ( ima)? ) 1 5 Postoje li vektori koje operator x Ax, gdje je A = 0 1 fiksira? Kojima ne mijenja smjer? Svojstveni vektor linearnog operatora je vektor kojeg taj operator preslika u njegov skalarni višekratnik. Za kakve linearne operatore (domena, kodomena) ova definicija ima smisla?
68 Svojstvene vrijednosti i vektori Po čemu se vektori paralelni s osi rotacije ističu u odnosu na ostale vektore prostora (s obzirom na efekt koji rotacija na njih ( ima)? ) 1 5 Postoje li vektori koje operator x Ax, gdje je A = 0 1 fiksira? Kojima ne mijenja smjer? Svojstveni vektor linearnog operatora je vektor kojeg taj operator preslika u njegov skalarni višekratnik. Za kakve linearne operatore (domena, kodomena) ova definicija ima smisla? Postoji li neki vektor koji se sigurno linearnim operatorom preslika u svoj skalarni višekratnik?
69 Definicija Neka je  : V V linearan operator. Za skalar λ kažemo da je svojstvena vrijednost operatora  ako postoji vektor v V, v 0, takav da je Âv = λv. U tom slučaju v zovemo svojstvenim vektorom (operatora  s obzirom na svojstvenu vrijednost λ).
70 Definicija Neka je  : V V linearan operator. Za skalar λ kažemo da je svojstvena vrijednost operatora  ako postoji vektor v V, v 0, takav da je Âv = λv. U tom slučaju v zovemo svojstvenim vektorom (operatora  s obzirom na svojstvenu vrijednost λ). Primjer Schrödingerova jednadžba Ĥψ = Eψ je problem svojstvenih vrijednosti Hamiltonijana: svojstveni vektori su valne funkcije, a pripadne svojstvene vrijednosti su energije sustava.
71 Definicija Neka je  : V V linearan operator. Za skalar λ kažemo da je svojstvena vrijednost operatora  ako postoji vektor v V, v 0, takav da je Âv = λv. U tom slučaju v zovemo svojstvenim vektorom (operatora  s obzirom na svojstvenu vrijednost λ). Primjer Schrödingerova jednadžba Ĥψ = Eψ je problem svojstvenih vrijednosti Hamiltonijana: svojstveni vektori su valne funkcije, a pripadne svojstvene vrijednosti su energije sustava. Zadatak Koji vektori su svojstveni jediničnom operatoru Î : V V? Koje su mu svojstvene vrijednosti?
72 Definicija Neka je  : V V linearan operator. Za skalar λ kažemo da je svojstvena vrijednost operatora  ako postoji vektor v V, v 0, takav da je Âv = λv. U tom slučaju v zovemo svojstvenim vektorom (operatora  s obzirom na svojstvenu vrijednost λ). Primjer Schrödingerova jednadžba Ĥψ = Eψ je problem svojstvenih vrijednosti Hamiltonijana: svojstveni vektori su valne funkcije, a pripadne svojstvene vrijednosti su energije sustava. Zadatak Koji vektori su svojstveni jediničnom operatoru Î : V V? Koje su mu svojstvene vrijednosti? A što je s operatorima inverzije i 3
73 Problem dijagonalizacije S kakvim je kvadratnim matricama najlakše množiti?
74 Problem dijagonalizacije S kakvim je kvadratnim matricama najlakše množiti? Ako je matrica A dijagonalna, koji su vektori svojstveni vektori odgovarajućeg operatora? A svojstvene vrijednosti?
75 Problem dijagonalizacije S kakvim je kvadratnim matricama najlakše množiti? Ako je matrica A dijagonalna, koji su vektori svojstveni vektori odgovarajućeg operatora? A svojstvene vrijednosti? Ako postoji baza prostora koja se sastoji od svojstvenih vektora nekog linearnog operatora, on u toj bazi ima dijagonalnu matricu, pri čemu su mu na dijagonali redom odgovarajuće svojstvene vrijednosti i obrnuto, ako je matrica dijagonalna, vektori baze na koju se odnosi su svojstveni za odgovarajući operator, a brojevi na dijagonali su pripadne svojstvene vrijednosti.
76 Problem dijagonalizacije S kakvim je kvadratnim matricama najlakše množiti? Ako je matrica A dijagonalna, koji su vektori svojstveni vektori odgovarajućeg operatora? A svojstvene vrijednosti? Ako postoji baza prostora koja se sastoji od svojstvenih vektora nekog linearnog operatora, on u toj bazi ima dijagonalnu matricu, pri čemu su mu na dijagonali redom odgovarajuće svojstvene vrijednosti i obrnuto, ako je matrica dijagonalna, vektori baze na koju se odnosi su svojstveni za odgovarajući operator, a brojevi na dijagonali su pripadne svojstvene vrijednosti. Za slučaj konačnodimenzionalnih V vrijedi: Ako je neka matrica linearnog operatora na realnom prostoru V simetrična, sve su simetrične i sigurno postoji baza (koja se sastoji od svojstvenih vektora tog operatora) u kojoj taj operator ima dijagonalnu matricu. Slično, ako je neka matrica linearnog operatora na kompleksnom prostoru V hermitska, sigurno postoji baza (koja se sastoji od svojstvenih vektora tog operatora) u kojoj taj operator ima dijagonalnu matricu (i sve svojstvene vrijednosti su realne).
77 Odredivanje svojstvenih vrijednosti i vektora Ako je V konačne dimenzije n i ÂV V linearan operator prikazan matricom A obzirom na neku bazu od V : Av = λv
78 Odredivanje svojstvenih vrijednosti i vektora Ako je V konačne dimenzije n i ÂV V linearan operator prikazan matricom A obzirom na neku bazu od V : Av = λv... (A λi n )v = 0 n,1
79 Odredivanje svojstvenih vrijednosti i vektora Ako je V konačne dimenzije n i ÂV V linearan operator prikazan matricom A obzirom na neku bazu od V : Av = λv... (A λi n )v = 0 n,1 Za koje λ taj homogeni n n-sustav ima rješenja (osim trivijalnog koje odgovara nulvektoru)?
80 Odredivanje svojstvenih vrijednosti i vektora Ako je V konačne dimenzije n i ÂV V linearan operator prikazan matricom A obzirom na neku bazu od V : Av = λv... (A λi n )v = 0 n,1 Za koje λ taj homogeni n n-sustav ima rješenja (osim trivijalnog koje odgovara nulvektoru)? Gornji sustav ima nejedinstveno rješenje točno ako det(a λi n ) = 0. Ta se jednadžba zove karakterističnom jednadžbom operatora  (odnosno matrice A). Je li bitno koju matricu operatora smo uzeli?
81 Odredivanje svojstvenih vrijednosti i vektora Ako je V konačne dimenzije n i ÂV V linearan operator prikazan matricom A obzirom na neku bazu od V : Av = λv... (A λi n )v = 0 n,1 Za koje λ taj homogeni n n-sustav ima rješenja (osim trivijalnog koje odgovara nulvektoru)? Gornji sustav ima nejedinstveno rješenje točno ako det(a λi n ) = 0. Ta se jednadžba zove karakterističnom jednadžbom operatora  (odnosno matrice A). Je li bitno koju matricu operatora smo uzeli? Nije, jer sve matrice jednog operatora imaju istu determinantu. Karakteristična jednadžba je polinomijalna jednadžba stupnja n = dim(v ).
82 Odredivanje svojstvenih vrijednosti i vektora Ako je V konačne dimenzije n i ÂV V linearan operator prikazan matricom A obzirom na neku bazu od V : Av = λv... (A λi n )v = 0 n,1 Za koje λ taj homogeni n n-sustav ima rješenja (osim trivijalnog koje odgovara nulvektoru)? Gornji sustav ima nejedinstveno rješenje točno ako det(a λi n ) = 0. Ta se jednadžba zove karakterističnom jednadžbom operatora  (odnosno matrice A). Je li bitno koju matricu operatora smo uzeli? Nije, jer sve matrice jednog operatora imaju istu determinantu. Karakteristična jednadžba je polinomijalna jednadžba stupnja n = dim(v ). Njezina rješenja su tražene svojstvene vrijednosti.
83 Skup svih svojstvenih vrijednosti se (za operatore na konačnodimenzionalnim prostorima) naziva spektar. Zadatak Što možete reći o spektru neinvertibilne matrice (neinvertibilnog operatora)? Svojstvene vektore odredujemo tako da za svaku svojstvenu vrijednost λ zasebno rješavamo homogeni sustav (A λi )x = 0. S obzirom na to da za svojstvene vrijednosti λ taj sustav ima beskonačno mnogo rješenja koja čine potprostor od V, zaključujemo: Za svaku svojstvenu vrijednost λ je skup svih pripadnih vektora potprostor od V, tzv. svojstveni potprostor.
84 Skup svih svojstvenih vrijednosti se (za operatore na konačnodimenzionalnim prostorima) naziva spektar. Zadatak Što možete reći o spektru neinvertibilne matrice (neinvertibilnog operatora)? Svojstvene vektore odredujemo tako da za svaku svojstvenu vrijednost λ zasebno rješavamo homogeni sustav (A λi )x = 0. S obzirom na to da za svojstvene vrijednosti λ taj sustav ima beskonačno mnogo rješenja koja čine potprostor od V, zaključujemo: Za svaku svojstvenu vrijednost λ je skup svih pripadnih vektora potprostor od V, tzv. svojstveni potprostor.
85 Degeneracija Zadatak Odredite svojstvene vrijednosti i svojstvene potprostore operatora zadanog matricom Ako istoj svojstvenoj vrijednosti odgovaraju dva ili više linearno nezavisnih svojstvenih vektora (tj. svojstveni potprostor ima dimenziju veću od 1), tu svojstvenu vrijednost zovemo degeneriranom.
86 Primjer U kvantnoj mehanici u slučaju degeneriranih svojstvenih vrijednosti govorimo o degeneriranom stanju sustava. Primjerice, za energetske nivoe (svojstvene vrijednosti Hamiltonijana) opisane glavnim kvantnim brojem n > 1 i azimutnim kvantnim brojem 0 < l < n dolazi do degeneracija, tj. postoji više neproporcionalnih valnih funkcija (različitih orbitala, primjerice za l = 1 i n = 2 imamo 3 tzv. 2p-orbitale, koje opisuju elektrone s istom energijom).
Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.
![Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.](/thumbs/72/66829778.jpg "Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.")
Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a
Dijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Operacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Elementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Linearna algebra Materijali za nastavu iz Matematike 1
Linearna algebra Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 40 Uvod Matrica: matematički objekt koji se sastoji od brojeva koji su rasporedeni u retke
7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Riješeni zadaci: Linearna algebra
Riješeni zadaci: Linearna algebra Matrice Definicija Familiju A od m n realnih (kompleksnih) brojeva a ij, i 1,, m, j 1,, n zapisanih u obliku pravokutne tablice a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A a m1 a
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Matematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Matrice linearnih operatora i množenje matrica. Franka Miriam Brückler
Matrice linearnih operatora i množenje matrica Franka Miriam Brückler Kako je svaki vektorski prostor konačne dimenzije izomorfan nekom R n (odnosno C n ), pri čemu se ta izomorfnost očituje odabirom baze,
INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE
1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar
ELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
LINEARNA ALGEBRA 1, ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ, VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ
LINEARNA ALGEBRA 1 ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ 2. VEKTORSKI PROSTORI - LINEARNA (NE)ZAVISNOST SISTEM IZVODNICA BAZA Definicija 1. Neka je F
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Sustav dvaju qubitova Teorem o nemogućnosti kloniranja. Spregnuta stanja. Kvantna računala (SI) 17. prosinca 2016.
17. prosinca 2016. Stanje qubita A prikazujemo vektorom φ A u Hilbertovom prostoru H A koristeći ortonormiranu bazu { 0 A, 1 A }. Stanje qubita B prikazujemo vektorom φ B u H B... Ako se qubitovi A i B
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Geologija, Znanost o okolišu Matematika 1
1 Algebra matrica 11 Osnovni pojmovi Definicija 1 Neka su m i n prirodni brojevi Niz elemenata (a 11, a 12,, a 1n, a 21, a 22,, a 2n,, a m1, a m2,, a mn R m n posloženih u pravokutnu shemu A = a 11 a 12
Teorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,
( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj
Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Osnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka
1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje
M086 LA 1 M106 GRP Tema: Uvod. Operacije s vektorima.
M086 LA 1 M106 GRP Tema:.. 5. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 2 M086 LA 1, M106 GRP.. 2/17 P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/
Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008
Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008 Predavanja: Nenad Bakić, Vježbe: Luka Grubišić i Maja Starčević 22. listopada 2007. 1 Prostor radijvektora i sustavi linearni jednadžbi Neka je E 3 trodimenzionalni
Numerička analiza 26. predavanje
Numerička analiza 26. predavanje Saša Singer singer@math.hr web.math.hr/~singer PMF Matematički odjel, Zagreb NumAnal 2009/10, 26. predavanje p.1/21 Sadržaj predavanja Varijacijske karakterizacije svojstvenih
Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO
Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
MATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
UVOD. Ovi nastavni materijali namijenjeni su studentima
UVOD Ovi nastavni materijali namijenjeni su studentima u svrhu lakšeg praćenja i boljeg razumijevanja predavanja iz kolegija matematika. Ovi materijali čine suštinu nastavnog gradiva pa, uz obaveznu literaturu,
LEKCIJE IZ MATEMATIKE 1
LEKCIJE IZ MATEMATIKE Ivica Gusić Lekcija 6 Linearni sustavi i njihovo rješavanje Lekcije iz Matematike. 6. Linearni sustavi i njihovo rješavanje I. Naslov i objašnjenje naslova U lekciji se obradjuje
2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Matematika 1 Skripta za seminar. Miroslav Jerković
Matematika Skripta za seminar Miroslav Jerković Matematika - seminar ii Sadržaj Realni i kompleksni brojevi. Realni brojevi............................... Kompleksni brojevi............................
5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Matematika 1 Skripta za seminar. Miroslav Jerković
Matematika Skripta za seminar Miroslav Jerković Matematika - seminar ii Sadržaj Realni i kompleksni brojevi. Realni brojevi............................... Kompleksni brojevi............................3
( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Uvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Prikaz sustava u prostoru stanja
Prikaz sustava u prostoru stanja Prikaz sustava u prostoru stanja je jedan od načina prikaza matematičkog modela sustava (uz diferencijalnu jednadžbu, prijenosnu funkciju itd). Promatramo linearne sustave
Ispit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1
Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +
2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
16 Lokalni ekstremi. Definicija 16.1 Neka je A R n otvoren, f : A R i c A. Ako postoji okolina U(c) od c na kojoj je f(c) minimum
16 Lokalni ekstremi Važna primjena Taylorovog teorema odnosi se na analizu lokalnih ekstrema (minimuma odnosno maksimuma) relanih funkcija (više varijabli). Za n = 1 i f : a,b R ako funkcija ima lokalni
MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
MATEMATIKA MATEMATIKA. By Štreberaj ID: 10201
MATEMATIKA MATEMATIKA By Štreberaj 1 ID: 10201 Ovo je samo pregled, a cijela skripta (44 str.) te čeka u našoj SKRIPTARNICI! 1 Bok! Drago nam je što si odabrao SKRIPTARNICU za pronalazak materijala koji
LINEARNI PROSTORI
7 4 Pokažite da je matrica cos α e iβ sin α e iβ sin α cos α unitarna za sve α, β R Ispitajte ima li linearni sistem samo trivijalno rješenje 3 5 3 4 x x x 3 = 3 Nadite opće rješenje problema y = Ay, gdjejea
Geometrija (I smer) deo 1: Vektori
Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo
5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2.
5 Sistemi linearnih jednačina 47 5 Sistemi linearnih jednačina U opštem slučaju, pod sistemom linearnih jednačina podrazumevamo sistem od m jednačina sa n nepoznatih x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a
MATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio
MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi
x + 3y + 6z = 3 3x + 5y + z = 4 x + y + z = 4.
Linearna algebra A, kolokvijum, 1. tok 22. novembar 2014. 1. a) U zavisnosti od realnih parametara a i b Gausovim metodom rexiti sistem linearnih jednaqina nad poljem R ax + (a + b)y + bz = 3a + 5b ax +
41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
radni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Linearna algebra za fizičare, zimski semestar Mirko Primc
Linearna algebra za fizičare, zimski semestar 006. Mirko Primc Sadržaj Poglavlje 1. Vektorski prostor R n 5 1. Vektorski prostor R n 6. Geometrijska interpretacija vektorskih prostora R i R 3 11 3. Linearne
Principi kvantne mehanike
4. studenog 2016. Princip 1: stanje sustava Fizikalno stanje u kojem se nalazi neki kvantni sustav prikazujemo normiranim vektorom Φ u N-dimenzionalnom Hilbertovom prostoru H (N). Vektor Φ zovemo vektorom
π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Sustav dvaju qubitova Teorem o nemogućnosti kloniranja Einstein Podolsky Rosenov paradoks. Spregnuta stanja. Kvantna računala (SI) 17. studenog 2017.
17. studenog 2017. Stanje qubita A prikazujemo vektorom φ A u Hilbertovom prostoru H A koristeći ortonormiranu bazu { 0 A, 1 A }. Stanje qubita B prikazujemo vektorom φ B u H B... Ako se qubitovi A i B
9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE
Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )
Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
LEKCIJE IZ MATEMATIKE 1
LEKCIJE IZ MATEMATIKE 1 Ivica Gusić Lekcija 4 Algebra matrica. Inverzna matrica. Determinanta Lekcije iz Matematike 1. 4. Algebra matrica. Inverzna matrica. Determinanta I. Naslov i obja²njenje naslova
Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
Osnovne definicije i rezultati iz Uvoda u linearnu algebru
Osnovne definicije i rezultati iz Uvoda u linearnu algebru (0.01) Simetrije Neka je A = [a ij ] kvadratna matrica (matrica oblika n n). a) Za A kažemo da je simetrična matrica kadgod je A = A, tj. kadgod
4.1 Elementarne funkcije
. Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom
Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.
σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka
IZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
APROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
x 1 x 2 x 3 glasi: x yý x T yþ odnosno x yý x 1 y 1 û x 2 y 2 û x 3 y 3 (6) (2) (3) Promatramo li skup
KoG 5 / J. Beban Brkić, I. edved: Opća teorija centralnih ploha. reda Vea imedu linearnog operatora s prostora X u X i matrica ostvaruje se na osnovu činjenice da je svaki linearni operator A : X øõù X
Matrica se definiše kao niz brojeva (ili algebarskih simbola) smještenih u redove i kolone.
Matrice Uvod u matrice i vektore Pretpostavite da ste odgovorni za iznajmljivanje automobila zaposlenicima svoje firme Sedmični najmovi za različite veličine automobila su: kompaktni 9KM, srednji 60KM,