Οι συναρτήσεις y=αx 2 και y=αx 2 +βx+γ με α 0 στο Γυμνάσιο

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Οι συναρτήσεις y=αx 2 και y=αx 2 +βx+γ με α 0 στο Γυμνάσιο"

Transcript

1 Οι συναρτήσεις y=αx 2 και y=αx 2 +βx+γ με α 0 στο Γυμνάσιο Το κάτοπτρο στο οποίο οι ανακλώμενες ακτίνες συγκλίνουν σε κοινή εστία είναι παραβολή με τύπο 1 f(x)= x Συμεών Αρβανιτίδης, (ΠΕ03 Μαθηματικός) Γυμνάσιο Κοίμησης Σερρών ΣΕΡΡΕΣ, Ιούνιος 2018

2 Συνοπτική περιγραφή της ανοιχτής εκπαιδευτικής πρακτικής Γνωστική περιοχή των μαθηματικών: Η συνάρτηση της παραβολής στην Γ γυμνασίου. 1. Προκειμένου να παροτρύνουμε τους μαθητές σε προβληματισμό και να κερδίσουμε το ενδιαφέρον τους, κάναμε μια εισαγωγή στην έννοια της παραβολής με ένα πρόβλημα. Πρόβλημα εφόρμησης του ενδιαφέροντος των παιδιών για να τα κάνουμε δεκτικά να διερευνήσουν και να προσεγγίσουν ορισμένες βασικές έννοιες που αφορούν την έννοια της συμμεταβολής δυο μεταβλητών x, y που αποτελούν συντεταγμένες (x,y) διαδοχικών θέσεων του σφαιριδίου ενός εκκρεμούς, να κάνουν εικασίες για το σχήμα που σχηματίζουν οι διαδοχικές θέσεις του σημείου του σφαιριδίου ενός εκκρεμούς (αν ενωθούν με ευθύγραμμα τμήματα). Δηλαδή τι σχήμα διαγράφουν τα ίχνη των διαδοχικών θέσεων του σφαιριδίου ενός εκκρεμούς. 2. Δημιουργία της συνάρτησης y=αx 2 με εμφάνιση σημείων της τόσο στην επιφάνεια γραφικών όσο και σε πίνακα τιμών. Ένωση των διαδοχικών σημείων με ευθύγραμμα τμήματα και ταυτόχρονη πύκνωση τους με σκοπό την προσομοίωση και τελικά την εμφάνιση της γραφικής παράστασης. 3. Η συνάρτηση y=αx 2 με α 0 και μελέτη αυτής ως προς τα χαρακτηριστικά της. (κυρτότητα, ακρότατα, κορυφή, συμμετρίες) 4. Μετατοπίσεις της y=αx 2 με α 0 μεταβάλλοντας τον αριθμό α 0 και μελέτη της καμπύλης ως προς την απόκλιση ή σύγκλισή της στον άξονα y y. 5. Η συνάρτηση y=αx 2 +βx+γ με α 0 προσκόπτουσα με οριζόντιες και κατακόρυφες μετατοπίσεις της y=αx 2 με α Μελέτη της y=αx 2 +βx+γ με α 0 ως προς τα χαρακτηριστικά της.(κυρτότητα, ακρότατα, κορυφή, συμμετρίες). Θέμα: Η παρούσα ανοικτή εκπαιδευτική πρακτική αφορά στην μελέτη της συνάρτησης y=αx 2 με α 0 ως προς την καμπυλότητα τη συμμετρία τις ακρότατες τιμές της και τον μετασχηματισμό της, μετά από μετατοπίσεις της, στην y=αx 2 +βx+γ με α 0. Γίνεται μελέτη αυτής ως προς τα χαρακτηριστικά της (κυρτότητα, ακρότατα, κορυφή, συμμετρίες) και κάνουμε αναζήτηση ακροτάτων τιμών της. Βασική ιδέα: Η διδασκαλία της συγκεκριμένης ενότητας με παραδοσιακά μέσα (πίνακας, κιμωλία, χαρτί, μολύβι) είναι χρονοβόρα και παρουσιάζει αρκετές δυσκολίες όσον αφορά την ακρίβεια. Τουναντίον, η διδασκαλία της με τη βοήθεια δυναμικών λογισμικών γίνεται πιο εύκολη, αφού τα δυναμικά λογισμικά παρέχουν στους μαθητές δυνατότητες κατασκευής πολλαπλών αναπαραστάσεων και δυναμικού χειρισμού των μαθηματικών αντικειμένων. Η χρήση της ψηφιακής τεχνολογίας διευκολύνει τους μαθητές στο να ανακαλύψουν και να κατανοήσουν τη συμπεριφορά της συνάρτησης y=αx 2 ως προς v2.0 Σελίδα2από24

3 την καμπυλότητα (μεταβάλλοντας το α), να διερευνήσουν τη συμμετρία της και την ακρότατη τιμή της. Ανακάλυψαν τη μεταμόρφωσή της στην y=αx 2 +βx+γ μέσα από οριζόντιες και κατακόρυφες μετατοπίσεις της y=αx 2 με α 0. Τεχνολογικά εργαλεία: Λογισμικό CAS Geogebra. Σχεδιασμός της ανοιχτής εκπαιδευτικής πρακτικής 1.1 Στοιχεία σχεδιασμού Καινοτομίες. Η παρούσα ανοικτή εκπαιδευτική πρακτική αποτελεί μια καινοτομία στο παραδοσιακό πλαίσιο διδασκαλίας της συγκεκριμένης ενότητας των μαθηματικών διότι εισάγει τα παρακάτω: Με την χρήση του λογισμικού geogebra έχουμε σύγχρονες εποικοδομητικές προσεγγίσεις εννοιών με δυναμικό τρόπο, απειρία μετασχηματισμών, πολλαπλές αναπαραστάσεις. Ο μαθητής έχει οπτικοποίηση κάθε μετατόπισης. Ομαδοσυνεργατική δουλειά για τη διαπραγμάτευση των απόψεων και τελικών συμπερασμάτων από τους μαθητές φιλοδοξώντας να αλλάξει την στάση των μαθητών στα μαθηματικά και στην διαδικασία προσέγγισης τους. Οι μαθητές αναμένεται να συνειδητοποιήσουν ότι τα μαθηματικά αποτελούν αντικείμενο διερεύνησης και μάλιστα ο κάθε μαθητής να μπορεί να δοκιμάζει στο πλαίσιο αυτό τις δικές του ιδέες και να καταλήγει στα δικά του συμπεράσματα τα οποία πρέπει να έχουν την κατάλληλη κοινωνική αποδοχή (στο πλαίσιο της τάξης) και επιστημονική τεκμηρίωση. Φύλλα εργασίας με προσεκτικά σχεδιασμένες ερωτήσεις Καθηγητής στο ρόλο του εξυπηρετητή της μάθησης του μαθητή μέσα από το σχεδιασμό κατάλληλων περιβαλλόντων μάθησης και όχι στο ρόλο του πομπού γνώσεων που συνήθως συμβαίνει στο περιβάλλον μιας παραδοσιακής τάξης. Η διδασκαλία μπορεί να γίνει διαφορετική δίνοντας έμφαση σε διαδικασίες που επιτρέπουν την πειραματική προσέγγιση της γνώσης κάνοντας τον ίδιο τον μαθητή ερευνητή μετέχοντας με τον ίδιο τον δάσκαλο σε μια διαδικασία ενεργούς έρευνας η οποία προάγει την αποτελεσματική διδασκαλία και βελτιώνει την μάθηση. Ο δάσκαλος λειτουργεί σε ένα σύνθετο περιβάλλον μεταξύ διδασκαλίας τεχνολογίας και ανθρώπινων σχέσεων. Προστιθέμενη αξία. Η παρούσα ανοικτή εκπαιδευτική πρακτική αναδεικνύει συγκεκριμένες δράσεις οι οποίες δεν μπορούν να υλοποιηθούν με τα συμβατικά αναπαραστατικά μέσα (βιβλίο τετράδιο - μολύβι) ενώ συγχρόνως επεκτείνουν τους γνωστικούς ορίζοντες του χρήστη. Συγκεκριμένα οι μαθητές καλούνται: Εμφανίζοντας σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης, και αυξάνοντας την πυκνότητα τους με ταυτόχρονη ένωση τους με διαδοχικά ευθύγραμμα τμήματα μπορούν v2.0 Σελίδα3από24

4 οι μαθητές να κάνουν εικασίες για την μορφή που θα έχει η γραφική παράσταση, να πετύχουν όσο το δυνατά εφικτό προσομοίωση της και στο τέλος να την εμφανίσουν. Μεταβάλλοντας δυναμικά τον συντελεστή α να ανακαλύψουν και να κατανοήσουν τη συμπεριφορά της συνάρτησης y=αx 2 ως προς την καμπυλότητα και την απόκλιση ή σύγκλιση της με τον άξονα y y. Να διερευνήσουν τη συμμετρία της και την ακρότατη τιμή της y=αx 2 με α 0 για τις άπειρες θεωρητικά τιμές που μπορεί να πάρει ο αριθμός α. Θα ανακαλύψουν τη μεταμόρφωσή της y=αx 2 με α 0 στην y=αx 2 +βx+γ μέσα από δυναμικές πολλαπλές μετατοπίσεις οριζόντιες και κατακόρυφες που οι ίδιοι θα κάνουν. Να πειραματιστούν με τις μετατοπίσεις και να μελετήσουν τη y=αx 2 +βx+γ με α 0 ως προς τα χαρακτηριστικά της.( κυρτότητα, ακρότατα, κορυφή, συμμετρίες) Γνωστικά διδακτικά προβλήματα Η παραδοσιακή διδασκαλία της συνάρτησης y=αx 2 +βx+γ με α 0.με βάση το σχολικό βιβλίο, στηρίζεται στον αλγεβρικό μετασχηματισμό του τριωνύμου ώστε να έρθει στη μορφή αx 2 +βx+γ= 2 β β 2-4αγ α χ+ -. Η μορφή αυτή μας αποκαλύπτει κατά κάποιο τρόπο 2α 4α τις απαραίτητες μεταφορές y=αx 2. Επίσης ο μικρός αριθμός στατικών εικόνων, για να δείξει το αποτέλεσμα των μεταφορών και την κατασκευή της γραφικής παράστασης, απαιτού ιδιαίτερες νοητικές και αφαιρετικές δεξιότητες, καθώς δεν διαθέτουν διαδραστικά χαρακτηριστικά δηλαδή δεν αντιδρούν στις ενέργειες του μαθητή. Η μετωπική διδασκαλία επίσης δεν προσφέρεται ούτε από άποψη ακρίβειας ούτε από άποψη εξοικονόμησης χρόνου για μετασχηματισμούς παραμετροποιήσεις και άμεσα αποτελέσματα. Με το σενάριο αυτό και τη χρήση της ψηφιακής τεχνολογίας οι μαθητές θα κάνουν μόνοι τους τις μεταφορές της βασικής συνάρτησης y=αx 2. Θα πειραματιστούν και θα διερευνήσουν τους μετασχηματισμούς που υφίσταται η γραφική παράσταση. όταν μεταβάλλεται ο συντελεστής α. Αυτό έχει ιδιαίτερη διδακτική αξία, διότι στη συνήθη πρακτική ο μετασχηματισμός είναι η κατάληξη και όχι η αφετηρία της διερεύνησης μιας συνάρτησης. v2.0 Σελίδα4από24

5 1.2 Διδακτικοί στόχοι Από την πλευρά του γνωστικού αντικειμένου: Οι δραστηριότητες της παρούσας ανοικτής εκπαιδευτικής πρακτικής έχουν ως στόχο τη σύνδεση και κατανόηση, μέσω πειραματισμών, βασικών μαθηματικών εννοιών. Σκοπός των διαφορετικών προσεγγίσεων με τη βοήθεια του λογισμικού είναι μεταξύ άλλων και: Να διερευνήσουν και να προσεγγίσουν ορισμένες βασικές έννοιες που αφορούν την έννοια της συμμεταβολής δυο μεταβλητών x, y που αποτελούν συντεταγμένες (x,y) διαδοχικών θέσεων του σφαιριδίου ενός εκκρεμούς, να κάνουν εικασίες για το σχήμα που σχηματίζουν οι διαδοχικές θέσεις του σημείου του σφαιριδίου ενός εκκρεμούς (αν ενωθούν με ευθύγραμμα τμήματα). Δηλαδή τι σχήμα διαγράφουν τα ίχνη των διαδοχικών θέσεων του σφαιριδίου ενός εκκρεμούς. Να διακρίνουν τις συμμετρίες την καμπυλότητα και τα ακρότατα της παραβολής y=αx 2 ανάλογα με το πρόσημο του αριθμού α. Να μπορούν να διακρίνουν αν η παραβολή y=αx 2 συγκλίνει ή αποκλίνει από τον άξονα y y ανάλογα με τις αυξομειώσεις του αριθμού α. Να κατανοήσουν ότι η συνάρτηση του τριωνύμου y=αχ 2 +βχ+γ προκύπτει από οριζόντια και κατόπιν κατακόρυφη μετατόπιση της y=αx 2. Βλέποντας τον τύπο της συνάρτησης του τριωνύμου y=αχ 2 +βχ+γ να μπορούν να διακρίνουν αν παρουσιάζει μέγιστο ή ελάχιστο (ανάλογα με το πρόσημο του αριθμού α). Ποια είναι η τιμή του ακρότατου και για ποια τιμή του x λαμβάνεται. Ποια είναι η κορυφή της παραβολής. ποιος είναι ό άξονας συμμετρίας της παραβολής. Από την παιδαγωγική πλευρά: Να μάθουν να πειραματίζονται με τις περιεχόμενες έννοιες και να βρίσκουν τις σχέσεις που τις συνδέουν. Να τους δοθεί η ευκαιρία να οργανώσουν τα δεδομένα τους από τον πειραματισμό, ώστε να διευκολυνθούν στην εξαγωγή συμπερασμάτων. Να μάθουν να συνεργάζονται με τα άλλα μέλη της ομάδας για να συζητήσουν τις παρατηρήσεις τους, να οργανώσουν τα συμπεράσματά τους, να διατυπώσουν κανόνες, να καταχωρίσουν τα δεδομένα τους, να κατασκευάσουν σχέσεις που συνδέουν μεγέθη, να παρουσιάσουν την εργασία τους στις άλλες ομάδες. Να οικοδομήσουν κώδικες επικοινωνίας ώστε να γίνονται αντιληπτοί από τα άλλα μέλη της ομάδας, από όλους τους συμμαθητές τους και από τον καθηγητή τους. v2.0 Σελίδα5από24

6 Πραγματοποίηση της ανοιχτής εκπαιδευτικής πρακτικής 1.3 Περιβάλλον πλαίσιο Σε ποιούς απευθύνεται. Η παρούσα ανοικτής εκπαιδευτικής πρακτικής απευθύνεται σε μαθητές Γ Γυμνασίου. Με κάποιες επεκτάσεις μπορεί να απευθυνθεί και σε μαθητές Α Λυκείου. Χώρος υλοποίησης. Προτείνεται να υλοποιηθεί εξ ολοκλήρου στο εργαστήριο της πληροφορικής. Απαιτούμενα βοηθητικά υλικά και εργαλεία. τετράδιο στο οποίο κρατούσαν σημειώσεις για την πορεία της διερεύνησης και να κατέγραφαν τα συμπεράσματά τους και να εκτελούσαν τις αλγεβρικές διαδικασίες όπου χρειάζονταν. Βιβλίο στο οποίο ανατρέχαν σε προηγούμενες έννοιες. Φύλλα εργασίας τα οποία δόθηκαν από τον διδάσκοντα και είχαν ως στόχο να καθοδηγούν τους μαθητές στη διερεύνηση των διαφόρων ερωτημάτων και τις κατασκευές. Γεωμετρικά όργανα για κατασκευές στο τετράδιο. Πριν την διεξαγωγή της δραστηριότητας ο διδάσκων, μέσω απλών δραστηριοτήτων, συζήτησε με τους μαθητές για τις βασικές λειτουργίες του λογισμικού αλλά και τις μαθηματικές έννοιες που απαιτούνται ως υπόβαθρο για την διεξαγωγή της. 1.4 Ηλικιακή ομάδα Η ανοικτή εκπαιδευτική πρακτική εφαρμόστηκε σε 18 άτομα ( 11 κορίτσια και 7 αγόρια) της Γ Γυμνασίου του Γυμνασίου Κοίμησης Σερρών. Το γυμνάσιο Κοίμησης βρίσκεται στο Δημοτικό Διαμέρισμα της Κοίμησης, του Δήμου Ηράκλειας στον Νομό Σερρών. 'Εχει 5 τμήματα με μαθητές από τα Δημοτικά Διαμερίσματα της Κοίμησης και του Ποντισμένου του Δήμου Ηρακλείας. Θεωρείτε αγροτική περιοχή. v2.0 Σελίδα6από24

7 1.5 Πρότερες γνώσεις και διάρκεια εφαρμογής Προαπαιτούμενες γνώσεις των μαθητών. Από την πλευρά του μαθητή: Οι μαθητές πρέπει να γνωρίζουν : 1. Καρτεσιανό Σύστημα συντεταγμένων 2. Συντεταγμένες σημείου απεικόνιση σημείου. 3. Συνάρτηση γραφική παράσταση. 4. Αξονική κεντρική συμμετρία 5. Δευτεροβάθμια εξίσωση (τύπους διακρίνουσας και ριζών) 6. Απαιτείται βασική εξοικείωση με την χρήση του εκπαιδευτικού λογισμικού Geogebra. Από την πλευρά του καθηγητή: Ο διδάσκων θα πρέπει να γνωρίζει τον τρόπο χρήσης των εργαλείων του λογισμικού Geogebra. Χρόνος υλοποίησης. Η υλοποίηση απαιτεί 7 διδακτικές ώρες περίπου. 1.6 Αναλυτική περιγραφή της πραγματοποίησης της ανοιχτής εκπαιδευτικής πρακτικής Κοινωνική ενορχήστρωση της τάξης. Οι μαθητές: Εργάστηκαν σε 6 ομάδες των 3 ατόμων σε κάθε Η/Υ (ομαδοσυνεργατική μάθηση). Η σύνθεση κάθε ομάδας ήταν ανομοιογενής ως προς την επίδοση στο συγκεκριμένο μάθημα, τις διαπροσωπικές σχέσεις των μαθητών, την κοινωνική προέλευση των μαθητών και τη δυσκολία με την οποία εκδηλώνονται απέναντι σε καθηγητή, συμμαθητές. Ο ένας χειριζόταν την εφαρμογή, ο δεύτερος υπαγόρευε τις οδηγίες-ερωτήσεις του φύλλου εργασίας και ο τρίτος παρακολουθούσε τη σωστή εφαρμογή τους, όλοι μαζί συζητούσαν, αποφάσιζαν και διατύπωναν τις απαντήσεις. Οι ρόλοι αυτοί εναλλάσσονταν σε κάθε ώρα εφαρμογής της πρακτικής. Συμπλήρωναν ένα κοινό φύλλο εργασίας που περιείχε ερωτήσεις σχετικές με το θέμα. Το κάθε φύλλο εργασίας άφηνε μια σχετική ελευθερία στους μαθητές ώστε να θέτουν τα δικά τους ερωτήματα και να απαντούν σ αυτά. v2.0 Σελίδα7από24

8 Ο εκπαιδευτικός: Έλεγχε τα συμπεράσματα των μαθητών, Συνεργαζόταν μαζί τους, και τους καθοδηγούσε ώστε να αντιλαμβάνονται καλύτερα τα αποτελέσματά τους Τους ενθάρρυνε να συνεχίσουν την διερεύνηση. Ο καθηγητής είχε το ρόλο του συνερευνητή και του βοηθού των προσπαθειών των μαθητών. Απευθυνόταν άλλοτε σε όλες τις ομάδες και άλλοτε σε κάθε ομάδα ξεχωριστά, εξειδικεύοντας τις παρεμβάσεις του ανάλογα με τις ανάγκες που πρόκυπταν κατά τη διαδικασία της διερεύνησης. Ο καθηγητής έκανε ερωτήσεις κατάλληλες που να ενθάρρυναν τον πειραματισμό, αφήνοντας στους μαθητές την πρωτοβουλία των κινήσεων και περιθώρια για συζήτηση και ανταλλαγή απόψεων. Τα τεχνολογικά εργαλεία: Έδωσαν δυνατότητα άμεσης αλληλεπίδρασης του μαθητή με την εφαρμογή ώστε να μετασχηματίζει και να δημιουργεί κατασκευές, να υποθέτει, να επαληθεύει τις υποθέσεις του, να κάνει μετρήσεις κλπ. ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1: Το πρόβλημα ΕΚΚΡΕΜΟΥΣ. Μια ευκαιρία για εφόρμηση των μαθητών και μια πρώτη προσέγγιση των εννοιών. Διάρκεια: 1 διδακτική ώρα. Είδος δραστηριότητας: Ομαδοσυνεργατική μάθηση στο εργαστήριο πληροφορικής με αρχείο geogebra και υποστηρικτικό φύλλο εργασίας που δημιούργησε ο διδάσκων. Οργάνωση τάξης: Εργασία σε 6 ομάδες των 3 ατόμων η καθεμία με διακριτούς ρόλους που προαναφέρθηκαν. Ρόλος του διδάσκοντα: Ο καθηγητής είχε το ρόλο του συνερευνητή και του βοηθού των προσπαθειών των μαθητών. Απευθυνόταν άλλοτε σε όλες τις ομάδες και άλλοτε σε κάθε ομάδα ξεχωριστά, εξειδικεύοντας τις παρεμβάσεις του ανάλογα με τις ανάγκες που πρόκυπταν κατά τη διαδικασία της διερεύνησης. Ο καθηγητής έκανε ερωτήσεις κατάλληλες που να ενθάρρυναν τον πειραματισμό, αφήνοντας στους μαθητές την πρωτοβουλία των κινήσεων και περιθώρια για συζήτηση και ανταλλαγή απόψεων. Σύνδεση με τον διδακτικό στόχο: Να διερευνήσουν και να προσεγγίσουν ορισμένες βασικές έννοιες που αφορούν την έννοια της συμμεταβολής δυο μεταβλητών x, y που αποτελούν συντεταγμένες (x,y) διαδοχικών θέσεων του σφαιριδίου ενός εκκρεμούς, να κάνουν εικασίες για το σχήμα που σχηματίζουν οι διαδοχικές θέσεις του σημείου του σφαιριδίου ενός εκκρεμούς (αν ενωθούν με ευθύγραμμα τμήματα). Δηλαδή τι σχήμα διαγράφουν τα ίχνη των διαδοχικών θέσεων του σφαιριδίου ενός εκκρεμούς. v2.0 Σελίδα8από24

9 Ψηφιακό εκπαιδευτικό περιεχόμενο: Δημιούργησα αρχείο geogebra με τίτλο 1_ekkremes.ggb με url διεύθυνση: και ένα φύλλο εργασίας με τίτλο fyllo_ergasias_1.doc και url διεύθυνση: Περιγραφή: Προκειμένου να παροτρύνουμε τους μαθητές σε προβληματισμό και να κερδίσουμε το ενδιαφέρον τους, κάνουμε μια εισαγωγή στην έννοια της παραβολής με ένα πρόβλημα. Στο αρχείο (1_ekkremes.ggb) δίνεται ένα εκκρεμές ρολογιού που βρίσκεται στον άξονα y y ορθοκανονικού συστήματος αξόνων. Η σφαίρα του εκκρεμούς και η θέση της παριστάνεται από 1 2 το σημείο Κ(t-4, (t - 4) ) που είναι παραμετρικό σημείο σε σχέση με τον χρόνο t sec.η 8 παράμετρος t παίρνει τιμές από έναν δρομέα. Καλούμε τους μαθητές να βρουν την αρχική θέση της σφαίρας (συντεταμένες του σημείου Β) πριν την κίνηση της (t=0) προκειμένου να διερευνήσουν πως επηρεάζει ο χρόνος παράμετρος t την θέση της. Κατόπιν ζητούμε να θέσουν 1 2 όπου t-8=x και (t - 4) =y και να βρουν την σχέση που συνδέει τις παραπάνω συντεταγμένες, να δημιουργήσουν δηλαδή την ισότητα y= x. Καλούμε τους μαθητές να 8 πατήσουν το κουμπί κίνηση εκκρεμούς για να κάνουν μια εικασία για το τι μορφή ( ευθεία η καμπύλη ) έχει η γραφική παράσταση, δηλαδή η ένωση όλων των σημείων-ιχνών που 1 2 προκύπτουν από την y= x. Κατόπιν δίνουμε την εντολή να γίνει η προσέγγιση της γραφικής 8 παράστασης της τροχιάς εμφανίζοντας διαδοχικά 5 ίχνη σημεία της και ένωση αυτών και μετά 9 v2.0 Σελίδα9από24

10 σημείων και ένωση αυτών πατώντας τα αντίστοιχα κουμπιά Στο τέλος ζητούμε να πατήσουν το 1 2 κουμπί εμφάνισης της γραφικής παράστασης της τροχιάς και να ελέγξουν αν η σχέση y= x 8 είναι συνάρτηση πατώντας το κουμπί (κίνηση κατακόρυφης ευθείας). Στο σημείο αυτό οι μαθητές με κατάλληλες ερωτήσεις βγάζουν κάποια αρχικά συμπεράσματα για την συνάρτηση 1 πλέον y= 8 2 x 1, διευκρινίζοντας ότι το > 0 8 Αποτελέσματα της δραστηριότητας: Οι μαθητές διερευνήσαν πως επηρεάζει ο χρόνος παράμετρος t την θέση της σφαίρας του εκκρεμούς, ανακάλυψαν τον τύπο της συμμεταβολής των συντεταγμένων της θέσης της σφαίρας, οπότε και τον τύπο της συνάρτησης της παραβολής. Εμφανίζοντας σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης, και αυξάνοντας την πυκνότητα τους με ταυτόχρονη ένωση τους με διαδοχικά ευθύγραμμα τμήματα οι μαθητές έκαναν εικασίες για την μορφή που θα έχει η γραφική παράσταση, πέτυχαν όσο το δυνατά εφικτό προσομοίωση της και στο τέλος την εμφάνισαν. Για την υλοποίηση της 1 ης δραστηριότητας δόθηκε το fyllo_ergasias_1.doc ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 2: Πολλαπλές αναπαραστάσεις της συνάρτησης y= αx 2 παίρνοντας διαφορετικές τιμές της παραμέτρου α και εξαγωγή συμπερασμάτων όσον αφορά τις συμμετρίες, κυρτότητα και ακρότατα της παραπάνω συνάρτησης. Διάρκεια: 2 διδακτικές ώρες. Είδος δραστηριότητας: Ομαδοσυνεργατική μάθηση στο εργαστήριο πληροφορικής με αρχείο geogebra και υποστηρικτικό φύλλο εργασίας που δημιούργησε ο διδάσκων. Οργάνωση τάξης: Εργασία σε 6 ομάδες των 3 ατόμων η καθεμία με διακριτούς ρόλους που προαναφέρθηκαν. Ρόλος του διδάσκοντα: Ο καθηγητής παρότρυνε την πειραματική προσέγγιση της γνώσης κάνοντας τον ίδιο τον μαθητή ερευνητή μετέχοντας με τον ίδιο τον δάσκαλο σε μια διαδικασία ενεργούς έρευνας η οποία προάγει την αποτελεσματική διδασκαλία και βελτιώνει την μάθηση. Ο δάσκαλος λειτούργησε σε ένα σύνθετο περιβάλλον μεταξύ διδασκαλίας τεχνολογίας και ανθρώπινων σχέσεων. Σύνδεση με τον διδακτικό στόχο: Με απειρία πολλαπλών γραφικών παραστάσεων να ερευνήσουν και να μπορούν να διακρίνουν τις συμμετρίες την καμπυλότητα και τα ακρότατα της παραβολής y=αx 2 ανάλογα με το πρόσημο του αριθμού α. Να είναι σε θέση να διακρίνουν αν η παραβολή y=αx 2 συγκλίνει ή αποκλίνει από τον άξονα y y ανάλογα με τις αυξομειώσεις του αριθμού α. Ψηφιακό εκπαιδευτικό περιεχόμενο: Δημιούργησα αρχείο geogebra με τίτλο 2_ a_metavoleas.ggb με url διεύθυνση ( και ένα φύλλο εργασίας με τίτλο: fyllo_ergasias_2.doc και με url διεύθυνση: v2.0 Σελίδα10από24

11 Περιγραφή: 2 Στο αρχείο geogebra (2_ a_metavoleas.ggb ) δίνεται η συνάρτηση y= αx και ένας δρομέας α που μεταβάλει τις τιμες του α. Καλούνται οι μαθητές να κάνουν τις παρακάτω ενέργειες: ΕΝΕΡΓΕΙΑ 1 η Να μεταβάλουν τις τιμές του δρομέα α και να καταλάβουν πότε η συνάρτηση y= 2 αx είναι κυρτή η κοίλη ανάλογα με το πρόσημο του α ΕΝΕΡΓΕΙΑ 2 η Να δώσουν μόνο θετικές τιμές στο δρομέα α και αυξάνοντας η μειώνοντας αυτές τις τιμές να καταλάβουν πότε η συνάρτηση y= αx 2 συγκλίνει η αποκλίνει από τον άξονα ψ ψ σε σχέση πάντα νε τις παραπάνω αυξομειώσεις του αριθμού α ΕΝΕΡΓΕΙΑ 3 η Να δώσουν μόνο αρνητικές τιμές στο δρομέα α και αυξάνοντας η μειώνοντας αυτές τις τιμές να καταλάβουν πότε η συνάρτηση y= αx 2 συγκλίνει η αποκλίνει από τον άξονα ψ ψ σε σχέση πάντα νε τις παραπάνω αυξομειώσεις του αριθμού α v2.0 Σελίδα11από24

12 ΕΝΕΡΓΕΙΑ 4 η Για να ελέγξουν την ορθότητα των παραπάνω απαντήσεων τους καλούμε τους μαθητές να δώσουν αυτόματη κίνηση στον δρομέα α κάνοντας αριστερό κλικ πάνω στο κουτί. Στην επιφάνεια γραφικών βλέπουμε τα ίχνη που αφήνει η γραφική παράσταση της f οπότε και τις διαφορετικές αναπαραστάσεις της όταν ο αριθμός α μεταβάλλεται. ΕΝΕΡΓΕΙΑ 5 η,6 η Να δώσουν μόνο θετικές τιμές στον δρομέα α,να εμφανίσουν σημείο Α(x,y) της γραφικής παράστασης κάνοντας αριστερό κλικ πάνω στο κουτί.και να δώσουν κίνηση στο σημείο Α με την βοήθεια του δρομέα κίνησης κ. Ταυτόχρονα εμφανίζεται και ένας πίνακας τιμών της συνάρτησης. Παρατηρώντας οι μαθητές τις μεταβολές της τεταγμένης y του κινούμενου σημείου Α και τον πίνακα τιμών τους καλούμε να εξετάσουν από ποιόν αριθμό είναι μεγαλύτερες ή ίσες αυτές ώστε να κατανοήσουν την έννοια του μεγίστου της συνάρτησης και του πότε αυτό λαμβάνεται. ΕΝΕΡΓΕΙΑ 7 η Να δώσουν μόνο αρνητικές τιμές στον δρομέα α,και να δώσουν κίνηση στο σημείο Α με την βοήθεια του δρομέα κίνησης κ. Παρατηρώντας οι μαθητές τις μεταβολές της τεταγμένης y του κινούμενου σημείου Α και τον πίνακα τιμών καλούμε να εξετάσουν από ποιόν αριθμό είναι μικρότερες αυτές ώστε να κατανοήσουν την έννοια του ελαχίστου της συνάρτησης και του πότε αυτό λαμβάνεται. Στο σημείο αυτό δίνουμε και τον ορισμό της κορυφής ΕΝΕΡΓΕΙΑ8 η 9 η Να κάνουν αριστερό κλικ στο κουτί και να δώσουν κίνηση στο σημείο Α. Εμφανίζεται ένα κινούμενο διάνυσμα που δείχνει την διαδικασία εύρεσης συμμετρικού σημείου Α του κινούμενου σημείου Α της f ως προς τον άξονα ψ ψ. Να τσεκάρουν το κουτί και να εμφανίσουν τη συμμετρική γραφική παράσταση g ως προς ψ ψ της f, προκειμένου να κατανοήσουν ότι ο άξονας ψ ψ είναι άξονας συμμετρίας ΕΝΕΡΓΕΙΑ9 η 10 η Να τσεκάρουν το κουτί και παρακολουθήσουν το κινούμενο διάνυσμα που δείχνει την κατασκευή του συμμετρικού τυχαίου σημείου Α της f ως προς χ χ. Με τον δρομέα κ κουνώντας τον σε όλη την διαδρομή του δημιουργούνται τα ίχνη των συμμετρικών των σημείων Α ως προς χ χ. Να τσεκάρουν το κουτί προκειμένου να εικάσουν πρώτα και κατόπιν να επιβεβαιώσουν την μορφή της εξίσωσης που έχει η συμμετρική της f ως προς άξονα χ χ. Για την υλοποίηση της 2 ης δραστηριότητας δόθηκε το fyllo_ergasias_2.doc Αποτελέσματα της δραστηριότητας: Με τη βοήθεια του δυναμικού λογισμικού geogebra οι μαθητές κατασκεύασαν πολλαπλές αναπαραστάσεις και με δυναμικό χειρισμό των μαθηματικών αντικειμένων, διευκολύνθηκαν στο να ανακαλύψουν και να κατανοήσουν τη v2.0 Σελίδα12από24

13 συμπεριφορά της συνάρτησης y=αx 2 ως προς την καμπυλότητα (μεταβάλλοντας το α), να διερευνήσουν τη συμμετρία της και την ακρότατη τιμή της. ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 3: Πολλαπλές οριζόντιες και κατακόρυφες μετατοπίσεις της συνάρτησης fx)=x 2 προκειμένου ο μαθητής να κατανοήσει τις μεταβολές στον τύπο της f στην κορυφή της και στον άξονα συμμετρίας. Τέλος θα επιχειρήσουμε να αποδείξουμε ότι συνάρτηση του τριωνύμου είναι αποτέλεσμα των παραπάνω μετατοπίσεων. Διάρκεια: 2 διδακτικές ώρες. Είδος δραστηριότητας: Ομαδοσυνεργατική μάθηση στο εργαστήριο πληροφορικής με αρχείο geogebra και υποστηρικτικό φύλλο εργασίας που δημιούργησε ο διδάσκων. Οργάνωση τάξης: Εργασία σε 6 ομάδες των 3 ατόμων η καθεμία με διακριτούς ρόλους που προαναφέρθηκαν. Ρόλος του διδάσκοντα: Στην ανοικτή εκπαιδευτική πρακτική με τη χρήση της ψηφιακής τεχνολογίας ο καθηγητής παρότρυνε και έγινε συν ερευνητής στον να κάνουν οι μαθητές μόνοι τους διαδραστικά τις κάθε είδους μετατοπίσεις της αρχικής συνάρτησης y=x 2 και να ανακαλυψουν τις μεταβολές που υφίσταται τόσο ο τύπος της συνάρτησης όσο και ο άξονας συμμετρίας η κορυφή και τα ακρότατα της. Σύνδεση με τον διδακτικό στόχο: Να κατανοήσουν ότι η συνάρτηση του τριωνύμου y=αχ 2 +βχ+γ προκύπτει από οριζόντια και κατόπιν κατακόρυφη μετατόπιση της y=αx 2.Οι μαθητές έχουν οπτικοποίηση της κάθε μετατόπισης, παρατηρούν πως μεταβάλλεται ο τύπος της f και να βγάλουν συμπεράσματα για την κορυφή της παραβολής, τον άξονα συμμετρίας της και τα ακρότατα της. Ψηφιακό εκπαιδευτικό περιεχόμενο: Δημιούργησα αρχείο geogebra με τίτλο 3_metatopiseis.ggb και url διεύθυνση: και ένα φύλλο εργασίας με τίτλο fyllo_ergasias_3.doc με url διεύθυνση: v2.0 Σελίδα13από24

14 Περιγραφή: Στο αρχείο geogebra (3_metatopiseis.ggb ) δίνεται η συνάρτηση f(x)=x 2 Καλούνται οι μαθητές να κάνουν τις παρακάτω ενέργειες: ΕΝΕΡΓΕΙΑ 1 η 2 η Να κάνουν κλικ πάνω στο κουτί και κατόπιν με το πληκτρολόγιο να δώσουν μια θετική και μια αρνητική τιμή στο κουτί και να τσεκάρουν το κουτί Στόχος είναι να παρατηρήσουνε οι μαθητές πως μεταβάλλεται ο τύπος της f και στο αν η μετατόπιση της γραφικής παράστασης της f στον άξονα χ χ γίνεται αριστερά η δεξιά από τον άξονα ψ ψ. Επίσης να βγάλουν συμπεράσματα για την κορυφή της παραβολής και τον άξονα συμμετρίας της. Μπορούν να επαναλάβουν την παραπάνω διαδικασία για περισσότερες από μια θετικές η αρνητικές τιμές μετατόπισης v2.0 Σελίδα14από24

15 ΕΝΕΡΓΕΙΑ 3 η Πατούνε το κουτί και κάνουν αριστερό κλικ πάνω στο κουτί και κατόπιν με το πληκτρολόγιο δίνουν μια θετική η μια αρνητικη τιμή στο κουτί: και τσεκάρουν το κουτί Στόχος είναι να δουν οι μαθητές πως μεταβάλλεται ο τύπος της f και στο αν η μετατόπιση της γραφικής παράστασης της f στον άξονα ψ ψ γίνεται πάνω από τον άξονα χ χ η κάτω από τον άξονα χ χ. Επίσης να βγάλουν συμπεράσματα για την κορυφή της παραβολής και τον άξονα συμμετρίας της. Πατώντας το κουτί μπορούν να επαναλάβουν την παραπάνω διαδικασία για περισσότερες απο μια θετικές η αρνητικές τιμές τιμές μετατόπισης ΕΝΕΡΓΕΙΑ 5 η,6 η Πατούνε το κουτί και κάνουν αριστερό κλικ πάνω στο κουτί κατόπιν με το πληκτρολόγιο δίνουν μια αρνητική ή θετική τιμή στο κουτί: τσεκάρουν το κουτί αρνητική ή θετική τιμή στο κουτί: και τέλος δίνουν μια και τσεκάρουν το κουτί και τσεκάρετε το κουτί: Παρατηρούν πως μεταβάλλεται ο τύπος της f καθώς και τον τύπο του τριωνύμου που προκύπτει Πατώντας το κουτί μπορείτε να επαναλάβουν την παραπάνω διαδικασία. Στόχος είναι ο εντοπισμός της κορυφής και του άξονα συμμετρίας της τελικής μετατοπισμένης συνάρτησης και η κατανόηση ότι το τριώνυμο προκύπτει από δύο μετατοπίσεις συνάρτησης f(x)=x 2. Για την υλοποίηση της 3 ης δραστηριότητας δόθηκε το fyllo_ergasias_3.doc v2.0 Σελίδα15από24

16 Αποτελέσματα της δραστηριότητας: Με τη βοήθεια του δυναμικού λογισμικού geogebra οι μαθητές ανακάλυψαν τη μεταμόρφωσή της y=αx 2 με α 0 στην y=αx 2 +βx+γ μέσα από δυναμικές πολλαπλές μετατοπίσεις οριζόντιες και κατακόρυφες που οι ίδιοι έκαναν και μελέτησαν τα χαρακτηριστικά της κάθε νέας συνάρτησης που πρόκυπτε.( κυρτότητα, ακρότατα, κορυφή, συμμετρίες) ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 4: Πολλαπλές αναπαραστάσεις που παίρνει η γραφική παράσταση του τριωνύμου s(x)=αχ 2 +βx+γ με τους συντελεστές της α, β, γ να μεταβάλλονται με την βοήθεια 3 δρομέων και τις αλλαγές στον τύπο αυτής. Δίνουμε στον δρομέα α πρώτα θετικές τιμές και μετά αρνητικές τιμές, προκείμενου να καταλάβουν οι μαθητές πότε η συνάρτηση τριώνυμο είναι κυρτή και πότε κοίλη. Αντίστροφη εργασία με την προηγούμενη δραστηριότητα 3, έχουμε οπτικοποίηση ότι η συνάρτηση s(x)=αχ 2 +βx+γ προκύπτει από οριζόντια μετατόπιση της f(x)= αχ 2 κατά κ μονάδες δεξιά η αριστερά ανάλογα με το πρόσημο του αριθμού κ και κατά λ μονάδες κατακόρυφα προς τα πάνω β ή κάτω ανάλογα με το πρόσημο του αριθμού λ όπου κ =, λ = δίνονται σε κείμενο. α 4α Ανακάλυψη οπτικά πρώτα και κατόπιν και υπολογιστικά της κορυφής του τριωνύμου συναρτήσει των αριθμών κ, λ. Εύρεση οπτικά του άξονα συμμετρίας χ=κ του τριωνύμου. Έλεγχος αν η συνάρτηση s(x)=αχ 2 +βx+γ παρουσιάζει μέγιστο ή ελάχιστο σε σχέση με το πρόσημο του συντελεστή α και ποιο είναι αυτό σε σχέση με τις συντεταγμένες της κορυφής (κ,λ). Οπτικοποίηση των συντεταγμένων των σημείων τομής της s(x)=αχ 2 +βx+γ με τον άξονα χ χ και συσχέτιση αυτών με τις ρίζες του τριωνύμου. Οπτικοποίηση της τεταγμένης του σημείου τομής της s(x)=αχ 2 +βx+γ με τον άξονα y y και συσχέτιση της με τον σταθερό όρο γ του τριωνύμου. Διάρκεια: 2 διδακτικές ώρες. Είδος δραστηριότητας: Ομαδοσυνεργατική μάθηση στο εργαστήριο πληροφορικής με αρχείο geogebra και υποστηρικτικό φύλλο εργασίας που δημιούργησε ο διδάσκων. Οργάνωση τάξης: Εργασία σε 6 ομάδες των 3 ατόμων η καθεμία με διακριτούς ρόλους που προαναφέρθηκαν. Ρόλος του διδάσκοντα: Στην ανοικτή εκπαιδευτική πρακτική με τη χρήση της ψηφιακής τεχνολογίας ο καθηγητής παρότρυνε και έγινε συν ερευνητής στο να ανακαλύψουν οπτικά τα χαρακτηριστικά της συνάρτησης του τριωνύμου και κατόπιν να το επιβεβαιώσουν και με την βοήθεια αλγεβρικών πράξεων. Σύνδεση με τον διδακτικό στόχο: Να κατανοήσουν ότι η συνάρτηση του τριωνύμου y=αχ 2 +βχ+γ προκύπτει από οριζόντια και κατόπιν κατακόρυφη μετατόπιση της y=αx 2. Βλέποντας τον τύπο της συνάρτησης του τριωνύμου y=αχ 2 +βχ+γ να μπορούν να διακρίνουν αν παρουσιάζει μέγιστο ή ελάχιστο (ανάλογα με το πρόσημο του αριθμού α). Ποια είναι η τιμή του ακρότατου και για ποια τιμή του x λαμβάνεται. Ποια είναι η κορυφή της παραβολής, ποιος είναι ό άξονας συμμετρίας της παραβολής και συσχέτιση αυτών με τους συντελεστές α, β, γ του τριωνύμου. v2.0 Σελίδα16από24

17 Ψηφιακό εκπαιδευτικό περιεχόμενο: Δημιούργησα αρχείο geogebra με τίτλο 4_triwnymo.ggb και με url διεύθυνση: ένα φύλλο εργασίας με τίτλο fyllo_ergasias_4.doc με url διεύθυνση: Περιγραφή: Στο αρχείο geogebra (4_triwnymo.ggb) η επιφάνεια των γραφικών παρουσιάζει την γραφική παράσταση της συνάρτησης τριωνύμου s(x)=αχ 2 +βx+γ με τους συντελεστές της α, β, γ να μεταβάλλονται με την βοήθεια 3 δρομέων Καλούνται οι μαθητές να κάνουν τις παρακάτω ενέργειες: ΕΝΕΡΓΕΙΑ 1 η Κάνουμε αριστερό κλικ πάνω στους δρομείς α, β,γ και σύροντας τους δίνουμε τιμές στους συντελεστές α,β, γ με α 0 και παρατηρούμε τις πολλαπλές αναπαραστάσεις που παίρνει η γραφική παράσταση της s και τις αλλαγές στον τύπο αυτής. Δίνουμε στον δρομέα α πρώτα θετικές τιμές και μετά αρνητικές τιμές. Προκείμενου να καταλάβουν οι μαθητές πότε η συνάρτηση τριώνυμο είναι κυρτή και πότε κοίλη ΕΝΕΡΓΕΙΑ 2 η Στο φύλλο εργασίας 2 παρατηρήσαμε ότι με την μετακίνηση της συνάρτησης f(χ)=χ 2 πρώτα οριζόντια και κατόπιν κατακόρυφα πρόκυπτε μια άλλη συνάρτηση η οποία μετά από πράξεις κατέληγε σε τριώνυμο. Εδώ ας κάνουμε την αντίστροφη δουλειά. Έχουμε στην επιφάνεια των γραφικών την γραφική παράσταση του τριωνύμου s(x) και έχουμε σαν στόχο να δούμε πως προκύπτει. Τσεκάρουμε το κουτί Στην επιφάνεια εργασίας εμφανίζονται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x)=αx 2 που κάθε φορά μεταβάλλεται ανάλογα του αριθμού α και ένα κείμενο με χρήσιμους υπολογισμούς β κ =, λ α = 4α που έχουν να κάνουν με τους συντελεστές του τριωνύμου α, β, γ. Δίνουμε στον δρομέα β πρώτα θετικές και μετά αρνητικές τιμές και παρατηρούμε το πρόσημο του αριθμού κ. ΕΝΕΡΓΕΙΑ3 η Πατούμε το κουμπί: Παρατηρούμε το πρόσημο του αριθμού κ, τον τύπο της συνάρτησης που προέκυψε g(x) καθώς και προς τα πού έγινε η μετατόπιση αριστερά ή δεξιά από τον y y. ΕΝΕΡΓΕΙΑ4 η Πατούμε το κουμπί: Παρατηρούμε το πρόσημο του αριθμού λ, τον τύπο της συνάρτησης p(x) που προέκυψε καθώς και προς τα πού έγινε η μετατόπιση πάνω ή κάτω από τον x x. Με χρήση του δρομέων α, β, γ δίνουμε θετικές η αρνητικές τιμές στον αριθμό λ. Δοκιμάστε τέτοιες τιμές ώστε την μια φορά v2.0 Σελίδα17από24

18 β 2 >4αγ και την άλλη φορά β 2 <4αγ ΕΝΕΡΓΕΙΑ5 η Η επιφάνεια γραφικών δείχνει τη γραφική παράσταση του τριωνύμου s(χ)=αχ 2 +βχ+γ και το πινακάκι με τους χρήσιμου υπολογισμούς συμπληρώθηκε και με τις ρίζες του παραπάνω τριωνύμου. Με το ποντίκι βάζουμε τον κέρσορα στον δρομέα α και δίνουμε θετικές τιμές προκειμένου να δούμε την κυρτότητα του τριωνύμου. Παρατηρούμε τις συντεταγμένες της κορυφής και την σχέση τους με τους αριθμούς κ, λ v2.0 Σελίδα18από24

19 ΕΝΕΡΓΕΙΑ6 η Με τον κέρσορα έχοντας πατημένο το αριστερό κλικ του ποντικιού σύρουμε το σημείο Μ της γραφικής παράστασης της s(x) και παρατηρείστε τις μεταβαλλόμενες τεταγμένες του y που είναι και τιμές της συνάρτησης s και συγκρίνεται τις με την τεταγμένη της κορυφής. Προκειμένου να δούμε αν παρουσιάζει ελάχιστο η μέγιστο πόσο είναι αυτό και για ποια τιμή το παίρνει. ΕΝΕΡΓΕΙΑ7 η Παρατηρούμε τις τετμημένες των σημείων τομής Ε και Η της γραφικής παράστασης της s(x) με τον άξονα χ χ και τις ρίζες χ_1 και χ_2 του τριωνύμου. Καλούμε τους μαθητές να δώσουν τέτοιες τιμές στα α, β, γ ώστε να προκύψουν και οι τρείς περιπτώσεις της διακρίνουσας ΕΝΕΡΓΕΙΑ8 η Βάζουμε τον κέρσορα στον δρομέα γ και του δίνουμε τιμές καθώς και την τιμή 0. Παρατηρούμε την τεταγμένη του σημείου τομής Θ της γραφικής παράστασης της s(x) με τον άξονα ψ ψ και τον αριθμό γ σταθερό όρο του τριωνύμου για να διαπιστώσουμε την ισότητα. ΕΝΕΡΓΕΙΑ9 η Παρατηρούμε την κατακόρυφη ευθεία ε και τον αριθμό κ προκειμένου να δούμε την εξίσωση της. ΕΝΕΡΓΕΙΑ 10 η Πατούμε το κουμπί και παρατηρούμε το κινούμενο κάθετα στην ευθεία χ=κ διάνυσμα, καθώς και τη ισότητα των ευθυγράμμων τμημάτων που δημιουργούνται. Μετακινούμε με τον κέρσορα το σημείο Μ γαι να εξαγάγουμε συμπέρασμα για την συμμετρία. ΕΝΕΡΓΕΙΑ 11 η 12 η Με τον κέρσορα δίνουμε στον αριθμό α από τον δρομέα α αρνητικές τιμές Με τον κέρσορα έχοντας πατημένο το αριστερό κλικ του ποντικιού σύρετε το σημείο Μ της γραφικής παράστασης της s(x) και παρατηρείστε τις μεταβαλλόμενες τεταγμένες του y που είναι και τιμές της συνάρτησης s και συγκρίνεται τις με την τεταγμένη της κορυφής προκειμένου να διαπιστώσουμε ότι είναι κοίλη και έχει μέγιστο. Για την υλοποίηση της 4 ης δραστηριότητας δόθηκε το fyllo_ergasias_4.doc Αποτελέσματα της δραστηριότητας: Μετά το τέλος της δραστηριότητας οι μαθητές βλέποντας τον τύπο της συνάρτησης του τριωνύμου y=αχ 2 +βχ+γ μπορούν να διακρίνουν αν παρουσιάζει μέγιστο ή ελάχιστο (ανάλογα με το πρόσημο του αριθμού α). Ποια είναι η τιμή του ακρότατου και για ποια τιμή του x λαμβάνεται. Ποια είναι η κορυφή της παραβολή, ποιος είναι ό άξονας συμμετρίας της παραβολής σε σχέση πάντα με τους συντελεστές α, β, γ του τριωνύμου. Κατανόησαν ότι οι τετμημένες των σημείων τομής της γραφικής παράστασης του τριωνύμου με τον άξονα x x είναι οι ρίζες του τριωνύμου και ότι η τεταγμένη του σημείου τομής της με το άξονα y y είναι ο σταθερός όρος του τριωνύμου. v2.0 Σελίδα19από24

20 Στοιχεία τεκμηρίωσης και επέκτασης της ανοιχτής εκπαιδευτικής πρακτικής 1.7 Αποτελέσματα Αντίκτυπος Η παραδοσιακή διδασκαλία της συνάρτησης y=αx 2 +βx+γ με α 0 στηρίζεται στο σχολικό βιβλιο στον αλγεβρικό μετασχηματισμό του τριωνύμου ώστε να έρθει στη μορφή αx 2 +βx+γ= 2 β β 2-4αγ α χ+ - H μορφή αυτή μας αποκαλύπτει κατά κάποιο τρόπο 2α 4α τις απαραίτητες μεταφορές y=αx 2. Επίσης ο μικρός αριθμός στατικών εικόνων, για να δείξει το αποτέλεσμα των μεταφορών και την κατασκευή της γραφικής παράστασης, απαιτούν ιδιαίτερες νοητικές και αφαιρετικές δεξιότητες. Η χρήση της ψηφιακής τεχνολογίας διευκόλυνε τους μαθητές, να διερευνήσουν και να κατανοήσουν τη συμπεριφορά της συνάρτησης y = αx 2 ως προς την καμπυλότητα (μεταβάλλοντας το α) και τη συμμετρία, να μελετήσουν τις ακρότατες τιμές της και τέλος να ανακαλύψουν το μετασχηματισμό της στην y = αx 2 +β+ γ μετά από οριζόντιες και κατακόρυφες μετατοπίσεις της y = αx 2. Ανακάλυψαν ότι οι ρίζες της κάθε δευτεροβάθμιας εξίσωσης είναι τα σημεία τομής του άξονα x x με τη γραφική παράσταση της αντίστοιχης συνάρτησης. Η διδασκαλία της ενότητας με τα παραδοσιακά μέσα (πίνακας - κιμωλία) υστερεί λόγω έλλειψης ακρίβειας, αλλά και του χρόνου που απαιτείται για την πραγματοποίησή της. Αντίθετα, το μαθηματικό λογισμικό geogebra πρόσφερε τόσο ακρίβεια όσο και ταχύτητα στις μετρήσεις και στις κατασκευές. Παρείχε στους μαθητές δυνατότητες κατασκευής πολλαπλών αναπαραστάσεων, καθώς και την εν δυνάμει επεξεργασία και διαχείρισή τους. Η επιπλέον αξία της ανοικτής εκπαιδευτικής πρακτικής είναι ότι κατάφερε να ξεφύγει από τον παραδοσιακό τρόπο (πλαίσιο) διδασκαλίας, επιδιώκοντας την τροποποίηση της οπτικής των μαθητών για τα μαθηματικά. Οι μαθητές ενθαρρύνθηκαν πειραματίστηκαν με τις κατασκευές, δοκιμάζοντας τις δικές τους ιδέες και καταλήγοντας σε συμπεράσματα τα οποία επεξεργάστηκαν μετά ομαδικά και τα ανακοίνωσαν δημόσια στις άλλες ομάδες. Οι μαθητές δεν ήταν παθητικοί δέκτες γνώσεων και πληροφοριών αλλά διερεύνησαν με την βοήθεια του διευκολυντή μάθησης (καθηγητή τους) το μαθηματικό αντικείμενο. Τέλος, αντιλήφθηκαν μέσω της τεχνολογίας ότι τα μαθηματικά v2.0 Σελίδα20από24

21 αποτελούν αντικείμενο διερεύνησης και επιστημονικής τεκμηρίωσης και όχι μιας απλής παράθεσης γνώσεων και κανόνων. 1.8 Απρόσμενα γεγονότα 1 ο Απρόσμενο στιγμιότυπο: Η ενεργή συμμετοχή και η θετική στάση απέναντι στην ομαδοσυνεργατική διδασκαλία των Μαθηματικών, μαθητών που ήταν αδιάφοροι όταν αυτή γίνεται με τον παραδοσιακό τρόπο χωρίς την χρήση των ΤΠΕ. 2 ο Απρόσμενο στιγμιότυπο: Η Χρονική ανομοιογένεια στην εκτέλεση των εργασιών που απαιτούσαν τα φύλλα εργασίας της ανοικτής εκπαιδευτικής πρακτικής. 3 ο Απρόσμενο στιγμιότυπο: Η επιμονή όλων σχεδόν των μαθητών η Διδασκαλία των Μαθηματικών να γίνεται μόνο ομαδοσυνεργατικά με την χρήση του λογισμικού geogebra και η πλήρη απόρριψη της αλγεβρικής αποδεικτικής διδασκαλίας. 1.9 Εκπαιδευτική τεχνική σε σημαντικά στιγμιότυπα Στάση στο 1 ο Απρόσμενο στιγμιότυπο: Επαινετική και ενθαρρυντική στάση απέναντι στους μαθητές που απρόσμενα έδειξαν ενεργό συμμετοχή. Το προφίλ των συγκεκριμένων μαθητών ενισχύθηκε απέναντι σε όλες τις ομάδες. Ο ίδιος αισθάνθηκε ότι μπορεί να συμμετέχει όχι μόνο στην διδασκαλία των μαθηματικών αλλά και να εξερευνάει και να ανακαλύπτει από μόνος του μαθηματικές έννοιες. Η τυχόν παρελθοντική απόρριψη του μαθήματος παύει να ισχύει μιας και ο ίδιος έγινε συν ερευνητής της μαθηματικής γνώσης. Στάση στο 2 ο Απρόσμενο στιγμιότυπο: Στις ομάδες που τελείωναν πρώτες τις απαιτούμενες εργασίες δινόταν από τον διδάσκοντα, κίνητρα για περεταίρω εξερεύνηση και άλλων ενδεχομένων του μαθηματικού αντικειμένου, προκειμένου να έχουν εποικοδομητική ενασχόληση. Ο εκπαιδευτικός εντόπισε το πρόβλημα καθυστέρησης κάποιας ομάδας που ήταν η μη εξοικείωση του χρήστη του Η/Υ στο περιβάλλον geogebra και παρέμβηκε υποβοηθώντας και ενθαρρύνοντας τον μαθητή που είχε το πρόβλημα. Ο μαθητής έχοντας τον διδάσκοντα σαν συν ερευνητή, μείωσε αισθητά τον χρόνο απόκρισης στις απαιτήσεις των εργασιών. v2.0 Σελίδα21από24

22 Στάση στο 3 ο Απρόσμενο στιγμιότυπο: Προκειμένου να κατανοήσουν οι μαθητές ότι η χρήση των ΤΠΕ έρχονται να βοηθήσουν την διδασκαλία των μαθητών και όχι να την αντικαταστήσουν τους έδωσα να λύσουν το παρακάτω πρόβλημα, με το ερώτημα αν μπορούν μόνο με τις γνώσεις που απέκτησαν από την χρήση του λογισμικού, χωρίς αλγεβρικές πράξεις. Οι απαντήσεις που πήρα ήταν ότι μπορούν με την οπτικοποίηση των Μαθηματικών να απαντήσουν μόνο στο ερώτημα β και ότι ήταν απαραίτητες οι αλγεβρικές πράξεις στην επίλυση των άλλων ερωτημάτων Σχέση με άλλες ανοιχτές εκπαιδευτικές πρακτικές Η παρουσα ανοικτη εκπαιδευτική πρακτική με κατάλληλες προσθήκες μπορει να δώσει οπτικοποίηση στις πολυωνυμικές και άρρητες συναρτήσεις καθώς και στην λύση των αντίστοιχων εξισώσεων. Οι μαθητές θα υλοποιήσουν δραστηριότητες στις οποίες τα πολυώνυμα προσεγγίζονται ως συναρτήσεις των οποίων οι γραφικές παραστάσεις αναδυκνείουν χαρακτηριστικές τους ιδιότητες. Επιπλέον μία δυναμική γραφική παράσταση δίνει την δυνατότητα στον μαθητή να λύσει και διερευνήσει προβλήματα που είναι αδύνατον να αντιμετωπιστούν με τα συμβατικά μέσα που διαθέτει ( χαρτί και μολύβι). Η εξίσωση χ 3-3χ 2-2χ+3=0 δεν μπορεί να λυθεί με τους συμβατικούς τρόπους της v2.0 Σελίδα22από24

23 παραγοντοποίησης μέσω του σχήματος Horner. Η χρήση της γραφικής παράστασης και τα σημεία τομής της με τον άξονα χ χ αποτελεί τον μόνο εφικτό τρόπο για την λύση της εξίσωσης. Στόχοι Θα μελετήσουν τρόπους λύσης μιας πολυωνυμικής εξίσωσης μέσω της γραφικής παράστασης. Θα μελετήσουν τον τρόπο με τον οποίο μεταβάλλεται η γραφική παράσταση ενός πολυωνύμου όταν μεταβάλλονται οι συντελεστές του. Θα συνδέσουν την ύπαρξη ριζών πολλαπλότητας πάνω από 1 με την επαφή της γραφικής παράστασης στον άξονα χ'χ. Θα μελετήσουν άρρητες συναρτήσεις και θα λύσουν άρρητες εξισώσεις Ένα προσχέδιο ανοικτής εκπαιδευτικής πρακτικής και αναφέρεται στις πολυωνυμικές και άρρητες συναρτήσεις με url διεύθυνση: Περιλαμβάνει 3 δικά μου αρχεία geogebra: 1 Ο Γραφική παράσταση πολυωνυμικής συνάρησης βάσει συντελεστών με url διεύθυνση: 2 Ο Γραφική παράσταση πολυωνυμικής συνάρησης βάσει ριζών με url διεύθυνση: 3 Ο Άρρητη συνάρτηση με url διεύθυνση: Αξιοποίηση, γενίκευση, επεκτασιμότητα Οι δυνητικά άπειρες αναπαραστάσεις στοιχείων της εφαρμογής, όπως το ίχνος ενός κινούμενου σημείου της συνάρτησης της παραβολής f(x)=αx 2 +βx+γ που προβάλλεται πάνω και στους δύο άξονες και με ταυτόχρονη σύγκριση του πρόσημου της τεταγμένης του με το πρόσημο του συντελεστή α μπορούν να οδηγήσουν σε οπτικοποιημένη απόδειξη της θεωρίας για το πρόσημο τριωνύμου μαθηματική έννοια που αναφέρεται στην Α λυκείου. Οι πολλαπλοί μετασχηματισμοί των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων επιτρέπουν τη διερεύνηση και τελικά ανακάλυψη του πρόσημου τριωνύμου για τις διάφορες τιμές της διακρίνουσας Δ και των συντελεστών α, β, γ. Οι μαθητές θα αποδώσουν κατ αρχήν κιναισθητικό νόημα στις μεταβολές του των τιμών του πρόσημου της συνάρτησης f(x) = αx 2 +βx+γ καθώς θα πραγματοποιούν οι ίδιοι τις μεταβολές αυτές. Ακόμη θα συνδέσουν τις μεταβολές των τιμών των συντελεστών α, β, γ με τους μετασχηματισμούς που υφίσταται η γραφική παράσταση. v2.0 Σελίδα23από24

24 Πρόσθετο υλικό που αξιοποιήθηκε Βιβλιογραφία αναφορές: Γαβρίλης Κ. & Κεΐσογλου Στ. (2008). Σενάρια και εκπαιδευτικό λογισμικό για την επιμόρφωση των εκπαιδευτικών ΠΕ03 στην διδακτική των Μαθηματικών, 1ο Πανελλήνιο Εκπαιδευτικό Συνέδριο Ημαθίας. Κυνηγός, Χ., Γαβρίλης, Κ. Κεΐσογλου Σ., Ψυχάρης Γ. (2009). Η επιμόρφωση των εκπαιδευτικών στη Διδακτική των Μαθηματικών με τη βοήθεια εργαλείων ψηφιακής τεχνολογίας. 5ο Πανελλήνιο Συνέδριο των Εκπαιδευτικών για τις ΤΠΕ. «Αξιοποίηση των Τεχνολογιών της Πληροφορίας και της Επικοινωνίας στη Διδακτική Πράξη», Σύρος Κυνηγός, Χ. & Δημαράκη. Β. (Επιμ.) (2002). Νοητικά Εργαλεία και Πληροφοριακά Μέσα: Παιδαγωγική Αξιοποίηση της Σύγχρονης Τεχνολογίας για τη Μετεξέλιξη της Εκπαιδευτικής Πρακτικής. Αθήνα: Καστανιώτη. Κυνηγός Χ., Ψυχάρης Γ., Γαβρίλης Κ., Κεΐσογλου Σ. (2008). Επιμορφωτικό υλικό για την επιμόρφωση των εκπαιδευτικών στα Κέντρα Στήριξης Επιμόρφωσης. Τεύχος 4: Κλάδος ΠΕ03, EAITY Grouws D. και. Cebulla K. J (2000). Improving Student Achievement in Mathematics: Part 1: Research Findings», Published by ERIC. Zemelman S., Daniels H., Hyde A. (2005). Best practices. Today s Standards for teaching and learning in America s schools. Third Edition. HEINEMANN Portsmouth, New Hampshire. Wittmann E. (2001). Developing Mathematics Education in a systemic process, Educational Studies in Mathematics 48: 1 20, Λoγισμικό: Το εκπαιδευτικό λογισμικό που χρησιμοποιήθηκε στην υλοποίηση της ανοικτής εκπαιδευτική πρακτική είναι το GEOGEBRA το οποίο μπορεί κάποιος ελεύθερα να το κατεβάσει από την διεύθυνση Χρήσιμες ηλεκτρονικές διευθύνσεις: Φωτόδεντρο: Διαδραστικά σχολικά βιβλία: Επιμόρφωση Β επιπέδου ΤΠΕ: Μαθήματα geogebra: v2.0 Σελίδα24από24

Οι συναρτήσεις y=αx 2 και y=αx 2 +βx+γ με α 0 στο Γυμνάσιο

Οι συναρτήσεις y=αx 2 και y=αx 2 +βx+γ με α 0 στο Γυμνάσιο Οι συναρτήσεις y=αx 2 και y=αx 2 +βx+γ με α 0 στο Γυμνάσιο Το κάτοπτρο στο οποίο οι ανακλώμενες ακτίνες συγκλίνουν σε κοινή εστία είναι παραβολή με τύπο 1 f(x)= x2... 2 Συμεών Αρβανιτίδης, (ΠΕ03 Μαθηματικός)

Διαβάστε περισσότερα

Η γραμμική εξίσωση: αx+βy=γ & η γραφική επίλυση του γραμμικού συστήματος

Η γραμμική εξίσωση: αx+βy=γ & η γραφική επίλυση του γραμμικού συστήματος Η γραμμική εξίσωση: αx+βy=γ & η γραφική επίλυση του ααxx + ββyy = γγ γραμμικού συστήματος κκxx + λλyy = μμ «Να χωριστεί ο αριθμός 100 σε δύο (ακεραίους) αριθμούς οι οποίοι να έχουν διαφορά 40» Απάντηση:

Διαβάστε περισσότερα

Το σενάριο προτείνεται να υλοποιηθεί με το λογισμικό Geogebra.

Το σενάριο προτείνεται να υλοποιηθεί με το λογισμικό Geogebra. 9.3. Σενάριο 9. Μελέτη της συνάρτησης f(x) = αx +βx+γ Γνωστική περιοχή: Άλγεβρα Α Λυκείου. Η συνάρτηση ψ= αχ +βχ+γ (γραφική παράσταση, μονοτονία, ακρότατα). Θέμα: Το προτεινόμενο θέμα αφορά την κατασκευή

Διαβάστε περισσότερα

Η λογαριθµική συνάρτηση και οι ιδιότητές της

Η λογαριθµική συνάρτηση και οι ιδιότητές της ΕΚΦΩΝΗΣΗ ΕΛΕΥΘΕΡΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Η λογαριθµική συνάρτηση και οι ιδιότητές της Η διδασκαλία της λογαριθµικής συνάρτησης, στο σχολικό εγχειρίδιο της Β Λυκείου, έχει σαν βάση την εκθετική συνάρτηση και την ιδιότητα

Διαβάστε περισσότερα

Το σενάριο προτείνεται να διεξαχθεί με τη χρήση του Cabri Geometry II.

Το σενάριο προτείνεται να διεξαχθεί με τη χρήση του Cabri Geometry II. 9.2.3 Σενάριο 6. Συμμεταβολές στο ισοσκελές τρίγωνο Γνωστική περιοχή: Γεωμετρία Β Λυκείου. Συμμεταβολή μεγεθών. Εμβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστημα συντεταγμένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Β' Λυκείου. Συµµεταβολή µεγεθών. Εµβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστηµα. συντεταγµένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη - ελάχιστη τιµή.

Γεωµετρία Β' Λυκείου. Συµµεταβολή µεγεθών. Εµβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστηµα. συντεταγµένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη - ελάχιστη τιµή. Σενάριο 6. Συµµεταβολές στο ισοσκελές τρίγωνο Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Β' Λυκείου. Συµµεταβολή µεγεθών. Εµβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστηµα συντεταγµένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη - ελάχιστη

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήµατα σχεδίασης και παρατήρησης (για εστίαση σε συγκεκριµένες πτυχές των αλλαγών στο σχήµα).

Ερωτήµατα σχεδίασης και παρατήρησης (για εστίαση σε συγκεκριµένες πτυχές των αλλαγών στο σχήµα). τάξης είναι ένα από τα στοιχεία που το καθιστούν σηµαντικό. Ο εκπαιδευτικός πρέπει να λάβει σοβαρά υπόψη του αυτές τις παραµέτρους και να προσαρµόσει το σενάριο ανάλογα. Ιδιαίτερα όταν εφαρµόσει το σενάριο

Διαβάστε περισσότερα

Σενάριο 5. Μετασχηµατισµοί στο επίπεδο. Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Α' Λυκείου. Συµµετρία ως προς άξονα. Σύστηµα συντεταγµένων.

Σενάριο 5. Μετασχηµατισµοί στο επίπεδο. Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Α' Λυκείου. Συµµετρία ως προς άξονα. Σύστηµα συντεταγµένων. Σενάριο 5. Μετασχηµατισµοί στο επίπεδο Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Α' Λυκείου. Συµµετρία ως προς άξονα. Σύστηµα συντεταγµένων. Απόλυτη τιµή πραγµατικών αριθµών. Συµµεταβολή σηµείων. Θέµα: Στο περιβάλλον

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΤΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΤΠΕ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΞ ΑΡΙΣΤΕΡΩΝ ΚΑΙ ΕΚ ΔΕΞΙΩΝ ΣΥΓΓΡΑΦΕΑΣ: ΚΟΥΤΙΔΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτικές ενότητες Στόχος

Διδακτικές ενότητες Στόχος Η διδασκαλία του τριγωνομετρικού κύκλου με τον παραδοσιακό τρόπο στον πίνακα, είναι μία διαδικασία όχι εύκολα κατανοητή για τους μαθητές, με αποτέλεσμα τη μηχανική παπαγαλίστικη χρήση των τύπων της τριγωνομετρίας.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΝΑΡΙΟ ΤΠΕ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ - ΝΟΜΟΣ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ

ΣΕΝΑΡΙΟ ΤΠΕ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ - ΝΟΜΟΣ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ ΣΕΝΑΡΙΟ ΤΠΕ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ - ΝΟΜΟΣ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ Γνωστική Περιοχή: Γεωμετρία Β Λυκείου Θέμα Το Πυθαγόρειο Θεώρημα είναι γνωστό στους μαθητές από το Γυμνάσιο. Το προτεινόμενα θέμα αφορά την

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΟΥ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ

ΤΟ ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΟΥ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ ΣΕΝΑΡΙΟ του Κύπρου Κυπρίδηµου, µαθηµατικού ΤΟ ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΟΥ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ Περίληψη Στη δραστηριότητα αυτή οι µαθητές καλούνται να διερευνήσουν το πρόσηµο του τριωνύµου φ(x) = αx 2 + βx + γ. Προτείνεται να διδαχθεί

Διαβάστε περισσότερα

Εικόνα 31. To σενάριο προτείνεται να διεξαχθεί µε τη χρήση του λογισµικού Geogebra.

Εικόνα 31. To σενάριο προτείνεται να διεξαχθεί µε τη χρήση του λογισµικού Geogebra. Σενάριο 4. Η µέτρηση του εµβαδού ενός παραβολικού οικοπέδου Γνωστική περιοχή: Μαθηµατικά Γ' Λυκείου. Παραβολή. Τετραγωνική συνάρτηση. Εµβαδόν. Ορισµένο ολοκλήρωµα Θέµα: Οι τέσσερις πλευρές ενός οικοπέδου

Διαβάστε περισσότερα

Κατακόρυφη - Οριζόντια μετατόπιση συνάρτησης

Κατακόρυφη - Οριζόντια μετατόπιση συνάρτησης ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ Β ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ ΚΣΕ 4 ου ΣΕΚ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΗΣ: ΜΗΤΡΟΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΥ ΑΓΓΕΛΙΚΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ Κατακόρυφη - Οριζόντια

Διαβάστε περισσότερα

«Εισαγωγή στον Τριγωνομετρικό Κύκλο» Διδάσκοντας Μαθηματικά με Τ.Π.Ε.

«Εισαγωγή στον Τριγωνομετρικό Κύκλο» Διδάσκοντας Μαθηματικά με Τ.Π.Ε. «Εισαγωγή στον Τριγωνομετρικό Κύκλο» Διδάσκοντας Μαθηματικά με Τ.Π.Ε. Μπολοτάκης Γιώργος Μαθηματικός, Επιμορφωτής Β επιπέδου, Διευθυντής Γυμνασίου Αγ. Αθανασίου Δράμας, Τραπεζούντος 7, Άγιος Αθανάσιος,

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήµατα σχεδίασης και παρατήρησης (για εστίαση σε συγκεκριµένες πτυχές των αλλαγών στο σχήµα).

Ερωτήµατα σχεδίασης και παρατήρησης (για εστίαση σε συγκεκριµένες πτυχές των αλλαγών στο σχήµα). λάβει σοβαρά υπόψη του αυτές τις παραµέτρους και να προσαρµόσει το σενάριο ανάλογα. Ιδιαίτερα όταν εφαρµόσει το σενάριο πολλές φορές και σε διαφορετικές τάξεις ή ανταλλάξει ιδέες µε άλλους συναδέλφους

Διαβάστε περισσότερα

Σε ποιους απευθύνεται: Χρόνος υλοποίησης: Χώρος υλοποίησης: Κοινωνική ενορχήστρωση της τάξης Στόχοι:... 4

Σε ποιους απευθύνεται: Χρόνος υλοποίησης: Χώρος υλοποίησης: Κοινωνική ενορχήστρωση της τάξης Στόχοι:... 4 Περιεχόμενα Νικόλαος Μανάρας... 2 Σενάριο για διδασκαλία/ εκμάθηση σε μια σύνθεση μεικτής μάθησης (Blended Learning) με τη χρήση του δυναμικού μαθηματικού λογισμικού Geogebra σε διαδραστικό πίνακα και

Διαβάστε περισσότερα

«Χρήση εκπαιδευτικού λογισμικού για τη διδασκαλία του θεωρήματος του Bolzano»

«Χρήση εκπαιδευτικού λογισμικού για τη διδασκαλία του θεωρήματος του Bolzano» «Χρήση εκπαιδευτικού λογισμικού για τη διδασκαλία του θεωρήματος του Bolzano» Ιορδανίδης Ι. Φώτιος Καθηγητής Μαθηματικών, 2 ο Γενικό Λύκειο Πτολεμαΐδας fjordaneap@gmail.com ΠΕΡΙΛΗΨΗ Το θεώρημα του Bolzano

Διαβάστε περισσότερα

1. Τίτλος: Οι κρυµµένοι τριγωνοµετρικοί αριθµοί Συγγραφέας Βλάστος Αιµίλιος. Γνωστική περιοχή των µαθηµατικών: Τριγωνοµετρία

1. Τίτλος: Οι κρυµµένοι τριγωνοµετρικοί αριθµοί Συγγραφέας Βλάστος Αιµίλιος. Γνωστική περιοχή των µαθηµατικών: Τριγωνοµετρία 1. Τίτλος: Οι κρυµµένοι τριγωνοµετρικοί αριθµοί Συγγραφέας Βλάστος Αιµίλιος Γνωστική περιοχή των µαθηµατικών: Τριγωνοµετρία Θέµα- Σκεπτικό της δραστηριότητας. Η ιδέα πάνω στην οποία έχει στηριχτεί ο σχεδιασµός

Διαβάστε περισσότερα

Σενάριο 10. Ελάχιστη Απόσταση δυο Τρένων. Γνωστική περιοχή: Άλγεβρα Α' Λυκείου. Η συνάρτηση ψ= αχ 2 +βχ+γ. Γραφική παράσταση τριωνύµου

Σενάριο 10. Ελάχιστη Απόσταση δυο Τρένων. Γνωστική περιοχή: Άλγεβρα Α' Λυκείου. Η συνάρτηση ψ= αχ 2 +βχ+γ. Γραφική παράσταση τριωνύµου Σενάριο 10. Ελάχιστη Απόσταση δυο Τρένων Γνωστική περιοχή: Άλγεβρα Α' Λυκείου. Η συνάρτηση ψ= αχ 2 +βχ+γ Γραφική παράσταση τριωνύµου Εξισώσεις κίνησης. Θέµα: To προτεινόµενο θέµα αφορά την µελέτη της µεταβολής

Διαβάστε περισσότερα

«Οι γραφικές παραστάσεις απαραίτητο εργαλείο στη φαρέτρα του μαθητή»

«Οι γραφικές παραστάσεις απαραίτητο εργαλείο στη φαρέτρα του μαθητή» «Οι γραφικές παραστάσεις απαραίτητο εργαλείο στη φαρέτρα του μαθητή» Αρδαβάνη Καλλιόπη 1, Μαργιόρα Φιλίππα 2, Μαυρουδής Σπύρος 3 1 Καθηγήτρια Μαθηματικών 3ο Γυμνάσιο Γλυφάδας, επιμορφώτρια Β επιπέδου popiardv@hotmail.com

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικό Σενάριο: Αναλογίες. Βασίλης Παπαγεωργίου

Εκπαιδευτικό Σενάριο: Αναλογίες. Βασίλης Παπαγεωργίου Εκπαιδευτικό Σενάριο: Αναλογίες Ιανουάριος 2011 1. Τίτλος Αναλογίες 2. Ταυτότητα Συγγραφέας: Γνωστική περιοχή των μαθηματικών: Άλγεβρα, Γεωμετρία Θέμα: Αναλογίες Συντεταγμένες στο επίπεδο 3. Σκεπτικό 2

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκοντας Μαθηματικά με Τ.Π.Ε. Θέμα: «Διανύσματα: Έννοιες, Πράξεις, Ανάλυση, Συντεταγμένες»

Διδάσκοντας Μαθηματικά με Τ.Π.Ε. Θέμα: «Διανύσματα: Έννοιες, Πράξεις, Ανάλυση, Συντεταγμένες» Διδάσκοντας Μαθηματικά με Τ.Π.Ε. Θέμα: «Διανύσματα: Έννοιες, Πράξεις, Ανάλυση, Συντεταγμένες» Βέλτιστο Σενάριο Γνωστικό αντικείμενο: Μαθηματικά (ΔΕ) Δημιουργός: ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΜΠΟΛΟΤΑΚΗΣ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Βοηθήστε τη ΕΗ. Ένα µικρό νησί απέχει 4 χιλιόµετρα από την ακτή και πρόκειται να συνδεθεί µε τον υποσταθµό της ΕΗ που βλέπετε στην παρακάτω εικόνα.

Βοηθήστε τη ΕΗ. Ένα µικρό νησί απέχει 4 χιλιόµετρα από την ακτή και πρόκειται να συνδεθεί µε τον υποσταθµό της ΕΗ που βλέπετε στην παρακάτω εικόνα. Γιώργος Μαντζώλας ΠΕ03 Βοηθήστε τη ΕΗ Η προβληµατική της Εκπαιδευτικής ραστηριότητας Η επίλυση προβλήµατος δεν είναι η άµεση απόκριση σε ένα ερέθισµα, αλλά ένας πολύπλοκος µηχανισµός στον οποίο εµπλέκονται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΙΖΟΝΤΑΣ ΜΕ ΙΣΟΠΛΕΥΡΑ ΤΡΙΓΩΝΑ

ΠΑΙΖΟΝΤΑΣ ΜΕ ΙΣΟΠΛΕΥΡΑ ΤΡΙΓΩΝΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ 13/11/2016 ΠΑΙΖΟΝΤΑΣ ΜΕ ΙΣΟΠΛΕΥΡΑ ΤΡΙΓΩΝΑ ΜΑΘΗΜΑ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ ΥΛΙΚΟΥ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΠΕ ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ:

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΝΑΡΙΟ: Εφαπτομένη οξείας γωνίας στη Β Γυμνασίου

ΣΕΝΑΡΙΟ: Εφαπτομένη οξείας γωνίας στη Β Γυμνασίου ΣΕΝΑΡΙΟ: Εφαπτομένη οξείας γωνίας στη Β Γυμνασίου Συγγραφέας: Κοπατσάρη Γεωργία Ημερομηνία: Φλώρινα, 5-3-2014 Γνωστική περιοχή: Μαθηματικά (Γεωμετρία) Β Γυμνασίου Προτεινόμενο λογισμικό: Προτείνεται να

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΟΙ ΤΡΟΠΟΙ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΤΗΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΠΡΟΣΗΜΟΥ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ.

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΟΙ ΤΡΟΠΟΙ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΤΗΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΠΡΟΣΗΜΟΥ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ. Στέφανος Κεΐσογλου Σχολικός σύμβουλος ΕΝΕΙΚΤΙΚΟΙ ΤΡΟΠΟΙ ΣΧΕΙΑΣΜΟΥ ΤΗΣ ΙΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΠΡΟΣΗΜΟΥ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ. Στο κείμενο που ακολουθεί έχει γίνει προσπάθεια να φανεί ότι ο σχεδιασμός της διδασκαλίας

Διαβάστε περισσότερα

Cabri II Plus. Λογισμικό δυναμικής γεωμετρίας

Cabri II Plus. Λογισμικό δυναμικής γεωμετρίας Cabri II Plus Λογισμικό δυναμικής γεωμετρίας Cabri II Plus Ο Jean-Marie LABORDE ξεκίνησε το 1985 το πρόγραμμα με σκοπό να διευκολύνει τη διδασκαλία και την εκμάθηση της Γεωμετρίας Ο σχεδιασμός και η κατασκευή

Διαβάστε περισσότερα

Τα Διδακτικά Σενάρια και οι Προδιαγραφές τους. του Σταύρου Κοκκαλίδη. Μαθηματικού

Τα Διδακτικά Σενάρια και οι Προδιαγραφές τους. του Σταύρου Κοκκαλίδη. Μαθηματικού Τα Διδακτικά Σενάρια και οι Προδιαγραφές τους του Σταύρου Κοκκαλίδη Μαθηματικού Διευθυντή του Γυμνασίου Αρχαγγέλου Ρόδου-Εκπαιδευτή Στα προγράμματα Β Επιπέδου στις ΤΠΕ Ορισμός της έννοιας του σεναρίου.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΤΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΤΠΕ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ

ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΤΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΤΠΕ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ ΞΑΝΘΗ 2013, 2 ο ΣΕΚ ΞΑΝΘΗΣ ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΤΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΤΠΕ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΗΣ : ΓΙΑΝΝΗΣ ΚΟΥΤΙΔΗΣ Μαθηματικός www.kutidis.gr ΑΠΡΙΛΙΟΣ ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 Νέες

Διαβάστε περισσότερα

Άθροισµα γωνιών τριγώνου, γωνίες ισοπλεύρου, ισοσκελούς τριγώνου και εξωτερική γωνία τριγώνου στην Α Γυµνασίου

Άθροισµα γωνιών τριγώνου, γωνίες ισοπλεύρου, ισοσκελούς τριγώνου και εξωτερική γωνία τριγώνου στην Α Γυµνασίου ΣΕΝΑΡΙΟ «Προσπάθησε να κάνεις ένα τρίγωνο» Άθροισµα γωνιών τριγώνου, γωνίες ισοπλεύρου, ισοσκελούς τριγώνου και εξωτερική γωνία τριγώνου στην Α Γυµνασίου Ηµεροµηνία: Φλώρινα, 6-5-2014 Γνωστική περιοχή:

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Γ' Γυµνασίου: Παραλληλία πλευρών, αναλογίες γεωµετρικών µεγεθών, οµοιότητα

Γεωµετρία Γ' Γυµνασίου: Παραλληλία πλευρών, αναλογίες γεωµετρικών µεγεθών, οµοιότητα Σενάριο 3. Τα µέσα των πλευρών τριγώνου Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Γ' Γυµνασίου: Παραλληλία πλευρών, αναλογίες γεωµετρικών µεγεθών, οµοιότητα τριγώνων, τριγωνοµετρικοί αριθµοί περίµετρος και εµβαδόν.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ»

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ» ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ» Νικόλαος Μπαλκίζας 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σκοπός του σχεδίου μαθήματος είναι να μάθουν όλοι οι μαθητές της τάξης τις έννοιες της ισοδυναμίας των κλασμάτων,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΦΛΩΡΙΝΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΦΛΩΡΙΝΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΦΛΩΡΙΝΑ ΕΡΓΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ ΥΛΙΚΟΥ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΤΠΕ ΘΕΜΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΤΟΥ ΣΕΝΑΡΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΙΖΟΝΤΑΣ ΜΕ ΙΣΟΠΛΕΥΡΑ ΤΡΙΓΩΝΑ

ΠΑΙΖΟΝΤΑΣ ΜΕ ΙΣΟΠΛΕΥΡΑ ΤΡΙΓΩΝΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ 13/11/2016 ΠΑΙΖΟΝΤΑΣ ΜΕ ΙΣΟΠΛΕΥΡΑ ΤΡΙΓΩΝΑ ΜΑΘΗΜΑ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ ΥΛΙΚΟΥ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΠΕ ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ:

Διαβάστε περισσότερα

Το σενάριο προτείνεται να υλοποιηθεί με το λογισμικό Function Probe.

Το σενάριο προτείνεται να υλοποιηθεί με το λογισμικό Function Probe. Σενάριο 2: Ο ερευνητής και οι χελώνες ΚΑΡΕΤΑ_ΚΑΡΕΤΑ Συγγραφέας: Καλλιόπη Αρδαβάνη, Επιμορφώτρια Μαθηματικών (Β επιπέδου). Γνωστική περιοχή: Άλγεβρα Ανεξάρτητη και εξαρτημένη μεταβλητή. Πεδίο ορισμού και

Διαβάστε περισσότερα

Μαθητές Β ΕΠΑ.Λ. Σωτήρης Δ. Χασάπης. 4-5 διδακτικές ώρες, ανάλογα με το γενικότερο επίπεδο της τάξης.

Μαθητές Β ΕΠΑ.Λ. Σωτήρης Δ. Χασάπης. 4-5 διδακτικές ώρες, ανάλογα με το γενικότερο επίπεδο της τάξης. Τίτλος σεναρίου : Η συνάρτηση f (x)=α ημ(ωx)+ β Γνωστική περιοχή : Θέμα : Τεχνολογικά εργαλεία : Πλαίσιο εφαρμογής Σε ποιους απευθύνεται : Διδάσκων : Χρόνος υλοποίησης : Χώρος υλοποίησης : 1 Σκεπτικό Βασική

Διαβάστε περισσότερα

4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat

4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat 4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα αυτή εισάγει το Θεώρημα Fermat και στη συνέχεια την απόδειξή του. Ακολούθως εξετάζεται η χρήση του στον εντοπισμό πιθανών τοπικών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Μυλωνάκης Κων/νος ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Σχολείο: Ημερομηνία: / / Α Λυκείου τμήμα.. Καθηγητής/τρια: Α) Το θέμα και το μαθησιακό περιβάλλον. 1) Το γνωστικό αντικείμενο της διδασκαλίας είναι

Διαβάστε περισσότερα

«Η μικρή ιστορία μιας βιώσιμης Ελληνικής επιχείρησης: μια προσέγγιση της ανίσωσης 2 ου βαθμού»

«Η μικρή ιστορία μιας βιώσιμης Ελληνικής επιχείρησης: μια προσέγγιση της ανίσωσης 2 ου βαθμού» «Η μικρή ιστορία μιας βιώσιμης Ελληνικής επιχείρησης: μια προσέγγιση της ανίσωσης 2 ου βαθμού» Ματοσσιάν Αλμπέρ-Ντικράν 1, Κουτσκουδής Παναγιώτης 2 1 Καθηγητής Μαθηματικών, Πρότυπο Πειραματικό Γενικό Λύκειο

Διαβάστε περισσότερα

Μπολοτάκης Γιώργος. Μαθηματικός, Επιμορφωτής Β επιπέδου, συγγραφέας του βιβλίου «GeoGebra εύκολα και απλά»

Μπολοτάκης Γιώργος. Μαθηματικός, Επιμορφωτής Β επιπέδου, συγγραφέας του βιβλίου «GeoGebra εύκολα και απλά» «Αξιοποίηση των Τ.Π.Ε. στη Διδακτική Πράξη» «Διδασκαλία μαθήματος μαθηματικών Άλγεβρας Α Λυκείου, με εφαρμογή του λογισμικού GeoGebra και χρήση φύλλων εργασίας, «Εξίσωση-Ανίσωση 2ου βαθμού, Μορφές - Πρόσημο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΙΤΛΟΣ ΑΝΟΙΧΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ

ΤΙΤΛΟΣ ΑΝΟΙΧΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ ΤΙΤΛΟΣ ΑΝΟΙΧΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ ΟΜΑΔΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΑΓΟΓΕΝΗΣ ΣΧΟΛΕΙΟ 5 ο ΓΕΛ ΚΕΡΚΥΡΑΣ ΚΕΡΚΥΡΑ 25.6.2015 1. Συνοπτική περιγραφή της ανοιχτής εκπαιδευτικής πρακτικής Με χρήση του λογισμικού

Διαβάστε περισσότερα

Σενάριο 1. Σκιτσάροντας µε Παραλληλόγραµµα. Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία (και σχέσεις µεταξύ γενικευµένων αριθµών).

Σενάριο 1. Σκιτσάροντας µε Παραλληλόγραµµα. Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία (και σχέσεις µεταξύ γενικευµένων αριθµών). Σενάριο 1. Σκιτσάροντας µε Παραλληλόγραµµα Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία (και σχέσεις µεταξύ γενικευµένων αριθµών). Θέµα: Η διερεύνηση µερικών βασικών ιδιοτήτων των παραλληλογράµµων από τους µαθητές µε χρήση

Διαβάστε περισσότερα

πολυγώνων που µπορούν να χρησιµοποιηθούν για να καλυφθεί το επίπεδο γύρω από µια

πολυγώνων που µπορούν να χρησιµοποιηθούν για να καλυφθεί το επίπεδο γύρω από µια Κάθε οµάδα παρουσιάζει στην τάξη: (1) Τις logo διαδικασίες µε τις οποίες σχεδίασε τα κανονικά πολύγωνα. (2) Τις διαδικασίες µε τις οποίες σχεδίασαν τα κανονικά πολύγωνα γύρω από µια περιοχή. (3) Τα τεχνουργήµατα

Διαβάστε περισσότερα

Το σενάριο προτείνεται να υλοποιηθεί με το λογισμικό Function Probe.

Το σενάριο προτείνεται να υλοποιηθεί με το λογισμικό Function Probe. 9.3.3 Σενάριο 10. Τριγωνομετρικές συναρτήσεις Γνωστική περιοχή: Άλγεβρα Β Λυκείου. Η συνάρτηση ψ= ρ ημ(λχ+κ). Γραφική παράσταση τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Γραφική επίλυση τριγωνομετρικής εξίσωσης. Θέμα:

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Μυλωνάκης Κων/νος ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Σχολείο: Ημερομηνία: / / Α Λυκείου τμήμα.. Καθηγητής/τρια: Α) Το θέμα και το μαθησιακό περιβάλλον. 1) Το γνωστικό αντικείμενο της διδασκαλίας είναι

Διαβάστε περισσότερα

Γωνίες μεταξύ παραλλήλων ευθειών που τέμνονται από τρίτη ευθεία

Γωνίες μεταξύ παραλλήλων ευθειών που τέμνονται από τρίτη ευθεία Γωνίες μεταξύ παραλλήλων ευθειών που τέμνονται από τρίτη ευθεία Επαρκές Σενάριο Γνωστικό αντικείμενο: Μαθηματικά (ΔΕ) Δημιουργός: ΙΩΑΝΝΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΥ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ,

Διαβάστε περισσότερα

Η Έννοια κι η Γραφική Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Δύο Εξισώσεων με Δύο Αγνώστους με τη Βοήθεια του Λογισμικού Geogebra

Η Έννοια κι η Γραφική Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Δύο Εξισώσεων με Δύο Αγνώστους με τη Βοήθεια του Λογισμικού Geogebra Η Έννοια κι η Γραφική Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Δύο Εξισώσεων με Δύο Αγνώστους με τη Βοήθεια του Λογισμικού Geogebra Κιούφτη Ροϊδούλα 1 1 Εκπαιδευτικός Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης, rkioufti@hotmail.com

Διαβάστε περισσότερα

1. Η σκοπιμότητα της ένταξης εργαλείων ψηφιακής τεχνολογίας στη Μαθηματική Εκπαίδευση

1. Η σκοπιμότητα της ένταξης εργαλείων ψηφιακής τεχνολογίας στη Μαθηματική Εκπαίδευση 1. Η σκοπιμότητα της ένταξης εργαλείων ψηφιακής τεχνολογίας στη Μαθηματική Εκπαίδευση Στη βασική παιδεία, τα μαθηματικά διδάσκονται με στατικά μέσα α) πίνακα/χαρτιού β) κιμωλίας/στυλού γ) χάρτινου βιβλίου.

Διαβάστε περισσότερα

Η διάρκεια πραγματοποίησης της ανοιχτής εκπαιδευτικής πρακτικής ήταν 2 διδακτικές ώρες

Η διάρκεια πραγματοποίησης της ανοιχτής εκπαιδευτικής πρακτικής ήταν 2 διδακτικές ώρες ΣΧΟΛΕΙΟ Η εκπαιδευτική πρακτική αφορούσε τη διδασκαλία των μεταβλητών στον προγραμματισμό και εφαρμόστηκε σε μαθητές της τελευταίας τάξης ΕΠΑΛ του τομέα Πληροφορικής στα πλαίσια του μαθήματος του Δομημένου

Διαβάστε περισσότερα

Λογικές πύλες και λογικά κυκλώματα

Λογικές πύλες και λογικά κυκλώματα Λογικές πύλες και λογικά κυκλώματα ΟΜΑΔΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ Κωνσταντίνος Δραγογιάννης, ΠΕ84 Ηλεκτρονικών ΣΧΟΛΕΙΟ Επαγγελματικό Λύκειο (ΕΠΑΛ) Άμφισσας Άμφισσα, 31 Οκτωβρίου 2018 1. Συνοπτική περιγραφή της ανοιχτής

Διαβάστε περισσότερα

Επιμορφωτικό Σεμινάριο Διδακτικής των Μαθηματικών με ΤΠΕ

Επιμορφωτικό Σεμινάριο Διδακτικής των Μαθηματικών με ΤΠΕ ΞΑΝΘΗ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2016 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 2017 Επιμορφωτικό Σεμινάριο Διδακτικής των Μαθηματικών με ΤΠΕ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΗΣ : ΓΙΑΝΝΗΣ ΚΟΥΤΙΔΗΣ Μαθηματικός www.kutidis.gr Διδακτική της Άλγεβρας με χρήση ψηφιακών τεχνολογιών

Διαβάστε περισσότερα

1. Τίτλος: Οι κρυµµένοι τριγωνοµετρικοί αριθµοί Συγγραφέας Βλάστος Αιµίλιος. Γνωστική περιοχή των µαθηµατικών: Τριγωνοµετρία

1. Τίτλος: Οι κρυµµένοι τριγωνοµετρικοί αριθµοί Συγγραφέας Βλάστος Αιµίλιος. Γνωστική περιοχή των µαθηµατικών: Τριγωνοµετρία 1. Τίτλος: Οι κρυµµένοι τριγωνοµετρικοί αριθµοί Συγγραφέας Βλάστος Αιµίλιος Γνωστική περιοχή των µαθηµατικών: Τριγωνοµετρία Θέµα- Σκεπτικό της δραστηριότητας. Η ιδέα πάνω στην οποία έχει στηριχτεί ο σχεδιασµός

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη της συνάρτησης y = α x^2 + βx + γ

Μελέτη της συνάρτησης y = α x^2 + βx + γ Μελέτη της συνάρτησης y = α x^2 + βx + γ Υποδειγματικό Σενάριο Γνωστικό αντικείμενο: Μαθηματικά (ΔΕ) Δημιουργός: ΕΥΡΙΠΙΔΗΣ ΒΡΑΧΝΟΣ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣεφx ΣΤΗΝ ΒΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΟΜΑΔΑΑΝΑΠΤΥΞΗΣ

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣεφx ΣΤΗΝ ΒΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΟΜΑΔΑΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣεφx ΣΤΗΝ ΒΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΟΜΑΔΑΑΝΑΠΤΥΞΗΣ Χριστόφορος Δερμάτης ΠΕ 0 3 Γυμνάσιο - Λυκειακές τάξεις Κασσιόπης Κέρκυρα 01/07/2015 1. Συνοπ τική π εριγραφή της ανοιχτής εκπαιδευτικής π ρακτικής Γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Δραστηριότητα: Ολικά και τοπικά ακρότατα

4.2 Δραστηριότητα: Ολικά και τοπικά ακρότατα 4.2 Δραστηριότητα: Ολικά και τοπικά ακρότατα Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα αυτή αφορά στην εισαγωγή των εννοιών του ολικού και του τοπικού ακροτάτου. Στόχοι της δραστηριότητας Μέσω αυτής της

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «Ο ΚΥΚΛΟΣ» Νικόλαος Μπαλκίζας Ιωάννα Κοσμίδου

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «Ο ΚΥΚΛΟΣ» Νικόλαος Μπαλκίζας Ιωάννα Κοσμίδου ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «Ο ΚΥΚΛΟΣ» Νικόλαος Μπαλκίζας Ιωάννα Κοσμίδου Αθήνα, Φεβρουάριος 2008 ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «Ο ΚΥΚΛΟΣ» Νικόλαος Μπαλκίζας Ιωάννα Κοσμίδου 1.

Διαβάστε περισσότερα

Στρατηγική επίλυσης προβλημάτων: Διερεύνηση περιμέτρου κι εμβαδού με τη βοήθεια του Ms Excel.

Στρατηγική επίλυσης προβλημάτων: Διερεύνηση περιμέτρου κι εμβαδού με τη βοήθεια του Ms Excel. Στρατηγική επίλυσης προβλημάτων: Διερεύνηση περιμέτρου κι εμβαδού με τη βοήθεια του Ms Excel. Έντυπο Α Φύλλα εργασίας Μαθητή Διαμαντής Κώστας Τερζίδης Σωτήρης 31/1/2008 Φύλλο εργασίας 1. Ομάδα: Ημερομηνία:

Διαβάστε περισσότερα

Σενάριο µαθήµατος µε τίτλο: «Μελέτη του 2 ου νόµου του Newton στο περιβάλλον του Interactive Physics»

Σενάριο µαθήµατος µε τίτλο: «Μελέτη του 2 ου νόµου του Newton στο περιβάλλον του Interactive Physics» Σενάριο µαθήµατος µε τίτλο: «Μελέτη του 2 ου νόµου του Newton στο περιβάλλον του Interactive Physics» ΣΧΟΛΕΙΟ Π.Π.Λ.Π.Π. ΤΑΞΗ: Α ΜΑΘΗΜΑ: Β Νόµος του Νεύτωνα ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: Σφαέλος Ιωάννης Συνοπτική Παρουσίαση

Διαβάστε περισσότερα

Στον πίνακα που ακολουθεί παρουσιάζονται οι τρεις τρόποι νοηµατοδότησης της ταυτότητας α 3 +β 3 +3αβ(α+β)......

Στον πίνακα που ακολουθεί παρουσιάζονται οι τρεις τρόποι νοηµατοδότησης της ταυτότητας α 3 +β 3 +3αβ(α+β)...... 4. Βασικά Στοιχεία ιδακτικής της Άλγεβρας µε τη χρήση Ψηφιακών Τεχνολογιών Οι ψηφιακές τεχνολογίες που έχουν µέχρι τώρα αναπτυχθεί για τη διδασκαλία και τη µάθηση εννοιών της Άλγεβρας µπορούν να χωριστούν

Διαβάστε περισσότερα

To σενάριο προτείνεται να υλοποιηθεί µε το λογισµικό Function probe.

To σενάριο προτείνεται να υλοποιηθεί µε το λογισµικό Function probe. Σενάριο 7. Η Οµοιότητα Τριγώνων ως Λόγος Πλευρών Γνωστική περιοχή: Άλγεβρα Α' Λυκείου. Η γραµµική συνάρτηση ψ= αχ. Συντελεστής διεύθυνσης ευθείας. Γεωµετρία Α' Λυκείου Οµοιότητα τριγώνων Θέµα: To προτεινόµενο

Διαβάστε περισσότερα

222 Διδακτική των γνωστικών αντικειμένων

222 Διδακτική των γνωστικών αντικειμένων 222 Διδακτική των γνωστικών αντικειμένων 8. Χελωνόκοσμος (απαιτεί να είναι εγκατεστημένο το Αβάκιο) (6 ώρες) Τίτλος: Ιδιότητες παραλληλογράμμων Δημιουργός: Μιχάλης Αργύρης ΕΜΠΛΕΚΟΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΤΙΚΕΣ ΠΕΡΙΟΧΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων

Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων I. Εισαγωγή Το μάθημα «Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων» περιέχει σημαντικές μαθηματικές έννοιες, όπως της πιθανότητας, της απόλυτης τιμής, των προόδων, της συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΝΑΡΙΟ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΣΥΓΚΕΛΑΚΗΣ asygelakis@gmail.com

ΣΕΝΑΡΙΟ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΣΥΓΚΕΛΑΚΗΣ asygelakis@gmail.com ΣΕΝΑΡΙΟ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΣΥΓΚΕΛΑΚΗΣ asygelakis@gmail.com Επιμόρφωση Β Επιπέδου Κλάδος: ΠΕ03 Περίοδος: Δεκέμβριος 2010 Ιούνιος 2011 ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΣΕΝΑΡΙΟΥ 1. Τίτλος σεναρίου: Μελέτη της εκθετικής

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. f3 x = και

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. f3 x = και 7 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Καθορισµός και διαχείριση διδακτέας ύλης των θετικών µαθηµάτων της Α Ηµερησίου Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος

Καθορισµός και διαχείριση διδακτέας ύλης των θετικών µαθηµάτων της Α Ηµερησίου Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος Καθορισµός και διαχείριση διδακτέας ύλης των θετικών µαθηµάτων της Α Ηµερησίου Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013-14 Μετά από σχετική εισήγηση του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (πράξη 32/2013

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΙΚΉ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΏΝ

ΔΙΔΑΚΤΙΚΉ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΏΝ ΔΙΔΑΚΤΙΚΉ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΏΝ 2. Εκπαιδευτικό Λογισμικό για τα Μαθηματικά 2.1 Κύρια χαρακτηριστικά του εκπαιδευτικού λογισμικού για την Διδακτική των Μαθηματικών 2.2 Κατηγορίες εκπαιδευτικού λογισμικού για

Διαβάστε περισσότερα

«Ψηφιακά δομήματα στα μαθηματικά ως εργαλεία μάθησης για το δάσκαλο και το μαθητή»

«Ψηφιακά δομήματα στα μαθηματικά ως εργαλεία μάθησης για το δάσκαλο και το μαθητή» Ψηφιακό σχολείο: Το γνωστικό πεδίο των Μαθηματικών «Ψηφιακά δομήματα στα μαθηματικά ως εργαλεία μάθησης για το δάσκαλο και το μαθητή» ΕΛΕΝΗ ΚΑΛΑΪΤΖΙΔΟΥ Πληροφορικός ΠΕ19 (1 ο Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμικό διδασκαλίας των μαθηματικών της Γ Τάξης Γυμνασίου

Λογισμικό διδασκαλίας των μαθηματικών της Γ Τάξης Γυμνασίου Λογισμικό διδασκαλίας των μαθηματικών της Γ Τάξης Γυμνασίου Δρ. Βασίλειος Σάλτας 1, Αλέξης Ηλιάδης 2, Ιωάννης Μουστακέας 3 1 Διδάκτωρ Διδακτικής Μαθηματικών, Επιστημονικός Συνεργάτης ΑΣΠΑΙΤΕ Σαπών coin_kav@otenet.gr

Διαβάστε περισσότερα

Εξισώσεις α βαθμού. Γνωστικό αντικείμενο: Μαθηματικά (ΔΕ) Δημιουργός: ΣΟΦΙΑ ΣΜΠΡΙΝΗ

Εξισώσεις α βαθμού. Γνωστικό αντικείμενο: Μαθηματικά (ΔΕ) Δημιουργός: ΣΟΦΙΑ ΣΜΠΡΙΝΗ Εξισώσεις α βαθμού. Επαρκές Σενάριο Γνωστικό αντικείμενο: Μαθηματικά (ΔΕ) Δημιουργός: ΣΟΦΙΑ ΣΜΠΡΙΝΗ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ Σημείωση Το παρόν έγγραφο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΩΝΙΑΣ ΚΑΙ ΚΛΙΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΩΝΙΑΣ ΚΑΙ ΚΛΙΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 184 1 ο ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΩΝΙΑΣ ΚΑΙ ΚΛΙΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ιωάννου Στυλιανός Εκπαιδευτικός Μαθηματικός Β θμιας Εκπ/σης Παιδαγωγική αναζήτηση Η τριγωνομετρία

Διαβάστε περισσότερα

Ζάντζος Ιωάννης. Περιληπτικά το σενάριο διδασκαλίας (Β Γυμνασίου)

Ζάντζος Ιωάννης. Περιληπτικά το σενάριο διδασκαλίας (Β Γυμνασίου) Ζάντζος Ιωάννης Οι έννοιες του 'μήκους κύκλου' και της 'καμπυλότητας του κύκλου' μέσα από τη διαδικασία προσέγγισης του κύκλου με περιγεγραμμένα κανονικά πολύγωνα. Περιληπτικά το σενάριο διδασκαλίας (Β

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΤΟΥ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟΥ ΤΗΣ ΔΙΑΘΛΑΣΗΣ ΣΕ «ΕΙΚΟΝΙΚΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ»

ΜΕΛΕΤΗ ΤΟΥ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟΥ ΤΗΣ ΔΙΑΘΛΑΣΗΣ ΣΕ «ΕΙΚΟΝΙΚΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ» 1 ο ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ 217 ΜΕΛΕΤΗ ΤΟΥ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟΥ ΤΗΣ ΔΙΑΘΛΑΣΗΣ ΣΕ «ΕΙΚΟΝΙΚΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ» Λουκία Μαρνέλη Εκπαιδευτικός Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης Διεύθυνση: Μονής Κύκκου 1, 15669 Παπάγου

Διαβάστε περισσότερα

Α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2. f(x) = α x 2 + β x + γ, α 0. f (x) x. Παράδειγμα. Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε.

Α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2. f(x) = α x 2 + β x + γ, α 0. f (x) x. Παράδειγμα. Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (τεύχος 55) Μαθηματικά για την Α τάξη του Λυκείου Το τριώνυμο f(x) = α x + β x + γ, α Κώστα Βακαλόπουλου, Νίκου Ταπεινού Α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) αx βx γ,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΔΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΟΣΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΕΠΑΝΑΛΑΒΕ.ΤΕΛΟΣ_ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ. Κοκκαλάρα Μαρία ΠΕ19

ΔΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΟΣΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΕΠΑΝΑΛΑΒΕ.ΤΕΛΟΣ_ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ. Κοκκαλάρα Μαρία ΠΕ19 ΔΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΟΣΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΕΠΑΝΑΛΑΒΕ.ΤΕΛΟΣ_ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Κοκκαλάρα Μαρία ΠΕ19 ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΤΗΣ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗΣ 1. Εισαγωγικά στοιχεία 2. Ένταξη του διδακτικού σεναρίου στο πρόγραμμα σπουδών 3. Οργάνωση της τάξης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα. Κεφάλαιο 2 ο (Προτείνεται να διατεθούν 12 διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα. Κεφάλαιο 2 ο (Προτείνεται να διατεθούν 12 διδακτικές ώρες) Ειδικότερα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα Κεφάλαιο ο (Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:. -. (Προτείνεται να διατεθούν 5 διδακτικές ώρες).3 (Προτείνεται να διατεθούν

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην έννοια της συνάρτησης

Εισαγωγή στην έννοια της συνάρτησης Εισαγωγή στην έννοια της συνάρτησης Υποδειγματικό Σενάριο Γνωστικό αντικείμενο: Μαθηματικά (ΔΕ) Δημιουργός: ΙΩΑΝΝΗΣ ΖΑΝΤΖΟΣ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΦΩΝΗΣΗ ΕΛΕΥΘΕΡΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ. Μελέτη της συνάρτησης f(x)=ηµx

ΕΚΦΩΝΗΣΗ ΕΛΕΥΘΕΡΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ. Μελέτη της συνάρτησης f(x)=ηµx ΕΚΦΩΝΗΣΗ ΕΛΕΥΘΕΡΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Μελέτη της συνάρτησης f(x)=ηµx Στη Γ' γυµνασίου, το ηµίτονο µελετάται ως τριγωνοµετρικός αριθµός µε βάση τις συντεταγµένες ενός σηµείου Μ µιας ηµιευθείας ΟΜ που σχηµατίζει µε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΕΑ -ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

ΔΙΔΑΚΤΕΑ -ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΥΛΗ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ -ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Από το βιβλίο «Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου»

Διαβάστε περισσότερα

α) γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.α), όταν β) γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.

α) γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.α), όταν β) γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ - ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ Μια συνάρτηση f λέγεται: α) γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.α), όταν για οποιαδήποτε χ,χ Δ με χ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΝΑΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ

ΣΕΝΑΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΣΕΝΑΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι ΑΣΚΩΝ: ΣΦΑΕΛΟΣ Ι. ΤΑΞΗ: Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ: ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΠΤΩΣΗ - ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ ΒΟΛΗ Βασική ιδέα: Οι µαθητές παρακολουθώντας τις προσοµοιώσεις για την ελεύθερη πτώση, την πτώση σώµατος

Διαβάστε περισσότερα

Φύλλο Εργασίας για την y=αx 2

Φύλλο Εργασίας για την y=αx 2 Πρόβλημα Σε ένα τετραγωνικό περιβόλι πλευράς 10m πρόκειται να χτιστεί μια αποθήκη σχήματος ορθογωνίου, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Α) Να βρεθούν οι διαστάσεις της αποθήκης συναρτήσει του x, αν γνωρίζετε

Διαβάστε περισσότερα

Γνωριμία με το Διαδίκτυο και τις υπηρεσίες του

Γνωριμία με το Διαδίκτυο και τις υπηρεσίες του Γνωριμία με το Διαδίκτυο και τις υπηρεσίες του ΟΜΑΔΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ Παπαντώνη Μαρία, ΠΕ19 ΣΧΟΛΕΙΟ 9 ο Γυμνάσιο Καλλιθέας «Μάνος Χατζιδάκις» Αθήνα, Μάιος 2015 1. Συνοπτική περιγραφή της ανοιχτής εκπαιδευτικής

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Η πρώτη οθόνη μετά την εκτέλεση του προγράμματος διαφέρει κάπως από τα προηγούμενα λογισμικά, αν και έχει αρκετά κοινά στοιχεία. Αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

Πώς Βλέπουμε; ΟΜΑΔΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ. Βασιλική Κανελλοπούλου, ΠΕ 70

Πώς Βλέπουμε; ΟΜΑΔΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ. Βασιλική Κανελλοπούλου, ΠΕ 70 Πώς Βλέπουμε; ΟΜΑΔΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ Βασιλική Κανελλοπούλου, ΠΕ 70 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2019 1. Συνοπτική περιγραφή της ανοιχτής εκπαιδευτικής πρακτικής Το θέματα της πρακτικής αφορούσε την ενότητα «Φως» από το βιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ε.1 I. 1. α 2 = 9 α = 3 ψ p: α 2 = 9, q: α = 3 Σύνολο αλήθειας της p: Α = {-3,3}, Σύνολο αλήθειας της q: B = {3} A B 2. α 2 = α α = 1 ψ p: α 2 = α, q: α = 1 Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΗΣ ΝΕΑΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ (Ν.Τ.) ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ (Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΤΗΣ ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ)

ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΗΣ ΝΕΑΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ (Ν.Τ.) ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ (Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΤΗΣ ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ) 3 Ο ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ-ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ 203 ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΗΣ ΝΕΑΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ (Ν.Τ.) ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ (Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΤΗΣ ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ) Mητρογιαννοπούλου Aγγελική Δρ. Φιλοσοφικής Σχολής του Πανεπιστημίου

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην έννοια του Αλγορίθμου

Εισαγωγή στην έννοια του Αλγορίθμου Εισαγωγή στην έννοια του Αλγορίθμου ΟΜΑΔΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ Νίκος Μιχαηλίδης, Πληροφορικός ΠΕ19 ΣΧΟΛΕΙΟ 2 ο Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Θεσσαλονίκης Θεσσαλονίκη, 24 Φεβρουαρίου 2015 1. Συνοπτική περιγραφή της

Διαβάστε περισσότερα

Ε.Π. Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση, ΕΣΠΑ ( ) ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΤΠΕ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ

Ε.Π. Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση, ΕΣΠΑ ( ) ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΤΠΕ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ Ε.Π. Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση, ΕΣΠΑ (2007 2013) ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΤΠΕ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ Πρακτική Άσκηση Εκπαιδευομένων στα Πανεπιστημιακά Κέντρα Επιμόρφωσης

Διαβάστε περισσότερα

Πειραματική Μελετη της Ατμοσφαίρας στο Μικρόκοσμο Torricelli του Λογισμικού ΓΑΙΑ ΙΙ

Πειραματική Μελετη της Ατμοσφαίρας στο Μικρόκοσμο Torricelli του Λογισμικού ΓΑΙΑ ΙΙ Πειραματική Μελετη της Ατμοσφαίρας στο Μικρόκοσμο Torricelli του Λογισμικού ΓΑΙΑ ΙΙ 1 ο Φύλλο Εργασίας: Τι συμβαίνει αν ανέβουμε ψηλά στην ατμόσφαιρα με ένα αερόστατο; 1.1 ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ Ο Τορικέλι (Evangelista

Διαβάστε περισσότερα

1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 2 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ «ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΑΤΜΟΣΦΑΙΡΑΣ» ΜΕ ΤΟ ΜΙΚΡΟΚΟΣΜΟ «TORRICELLI» ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ ΓΑΙΑ ΙΙ

1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 2 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ «ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΑΤΜΟΣΦΑΙΡΑΣ» ΜΕ ΤΟ ΜΙΚΡΟΚΟΣΜΟ «TORRICELLI» ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ ΓΑΙΑ ΙΙ «ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΑΤΜΟΣΦΑΙΡΑΣ» ΜΕ ΤΟ ΜΙΚΡΟΚΟΣΜΟ «TORRICELLI» ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ ΓΑΙΑ ΙΙ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Εμπλεκόμενες γνωστικές περιοχές: Γεωγραφία: Η ατμόσφαιρα Τάξεις - Συμβατότητα με το Α.Π.Σ. Στ τάξη Δημοτικού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1 Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Θ έ μ α Α Α. α. Πότε η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 έχει διπλή ρίζα; Ποια είναι η διπλή ρίζα της; 4 μονάδες β. Ποια μορφή παίρνει το τριώνυμο αx + βx + γ, α 0, όταν Δ = 0; 3 μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική Μαθηματικών Ι Ενδεικτικές οδηγίες για τη δραστηριότητα

Διδακτική Μαθηματικών Ι Ενδεικτικές οδηγίες για τη δραστηριότητα Διδακτική Μαθηματικών Ι Ενδεικτικές οδηγίες για τη δραστηριότητα Γιώργος Ψυχάρης Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Μαθηματικό Διδακτική Μαθηματικών Ι: Ενδεικτικές οδηγίες για τη δραστηριότητα (εργασία) (To

Διαβάστε περισσότερα

Δύναμη σημείου ως προς κύκλο: ένας αθέατος κόσμος συμμεταβολών

Δύναμη σημείου ως προς κύκλο: ένας αθέατος κόσμος συμμεταβολών ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Μεταπτυχιακό Tμήμα Τομέας: Διδακτική & Μεθοδολογία των Μαθηματικών Ενσωμάτωση της Τεχνολογίας στη Δ.τ.Μ Δύναμη σημείου ως προς κύκλο: ένας αθέατος κόσμος συμμεταβολών ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Γ Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη

Γ Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη Γ Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Ι. Διδακτέα ύλη Από το βιβλίο «Μαθηματικά Γ Γυμνασίου» των Δημητρίου Αργυράκη, Παναγιώτη Βουργάνα, Κωνσταντίνου Μεντή, Σταματούλας Τσικοπούλου, Μιχαήλ Χρυσοβέργη, έκδοση

Διαβάστε περισσότερα

Σ.Ε.Π. (Σύνθετο Εργαστηριακό Περιβάλλον)

Σ.Ε.Π. (Σύνθετο Εργαστηριακό Περιβάλλον) ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ: ΝΟΜΟΙ ΙΔΑΝΙΚΩΝ ΑΕΡΙΩΝ με τη βοήθεια του λογισμικού Σ.Ε.Π. (Σύνθετο Εργαστηριακό Περιβάλλον) Φυσική Β Λυκείου Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Νοέμβριος 2013 0 ΤΙΤΛΟΣ ΝΟΜΟΙ ΙΔΑΝΙΚΩΝ ΑΕΡΙΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟ ΤΙΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΣΤΑ ΜΕΓΕΘΗ Ή ΤΟ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ; ΜΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΜΕΛΕΤΗΣ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ y=ax+b ΜΕ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ

ΑΠΟ ΤΙΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΣΤΑ ΜΕΓΕΘΗ Ή ΤΟ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ; ΜΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΜΕΛΕΤΗΣ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ y=ax+b ΜΕ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ 176 1 ο ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΑΠΟ ΤΙΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΣΤΑ ΜΕΓΕΘΗ Ή ΤΟ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ; ΜΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΜΕΛΕΤΗΣ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ y=ax+b ΜΕ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ Σωτηρόπουλος Παναγιώτης 1 -

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρονικό ταχυδρομείο ΟΜΑΔΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ

Ηλεκτρονικό ταχυδρομείο ΟΜΑΔΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ Ηλεκτρονικό ταχυδρομείο ΟΜΑΔΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ Παπαντώνη Μαρία, ΠΕ19 ΣΧΟΛΕΙΟ 9ο Γυμνάσιο Καλλιθέας «Μάνος Χατζιδάκις» Αθήνα, Μάιος 2015 1. Συνοπτική περιγραφή της ανοιχτής εκπαιδευτικής πρακτικής Γενικός σκοπός

Διαβάστε περισσότερα