SVEMIRSKA GEODEZIJA Drago Špoljarić Sveučilište u Zagrebu GEODETSKI FAKULTET

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "SVEMIRSKA GEODEZIJA Drago Špoljarić Sveučilište u Zagrebu GEODETSKI FAKULTET"

Transcript

1 3. Radionica za nastavnike stručnih predmeta stukovnih škola koje obrazuju tehničare geodezije i geoinformatike, GTŠ, Zagreb, SVEMIRSKA GEODEZIJA Drago Špoljarić Sveučilište u Zagrebu GEODETSKI FAKULTET Što je geodezija? Koje su njene znanstvene i stručne djelatnosti/zadaće? Koja su područja/grane geodezije? Geodezija je znanost o izmjeri i prikazivanju Zemljine površine (Helmert 1884) geoznanstvena disciplina koja se bavi određivanjem Zemljina oblika i vanjskoga polja sile teže kao i općeg Zemljina elipsoida iz veličina, koje su određivane na Zemljinoj površini i u vanjskom prostoru (Torge 1980) Tehnika i znanost koja se bavi izmjerom i prikazom Zemljine površine, određivanjem oblika Zemlje i njezina polja sile teže.... (Frančula i Lapaine 2008) Nekad: Danas: - Niža i Viša geodezija - Izmjera zemljišta - Praktična geodezija - Terenska mjerenja - Inženjerska geodezija - Inženjerska geodetska osnova - Teorija pogrešaka i račun izjednačenja - Analiza i obrada geodetskih mjerenja - Matematičko-fizikalna geodezija - Državna izmjera / Fizikalna geodezija - Fotogrametrija (terestrička i aero) - Fotogrametrija i daljinska istraživanja Pomorska geodezija - Satelitska geodezija - Svemirska (planetarna) geodezija 1

2 druga polovica XX. st. - revolucija u geodeziji (i astrometriji) DOBA SATELITSKE I SVEMIRSKE GEODEZIJE (I ASTROMETRIJE) lansiranjem prvog Zemljinog umjetnog satelita (Sputnik 1, 1957.) a potom i drugih te uporaba satelita za geodetske potrebe (izučavanje Zemljine veličine i oblika iz svemira ili opažanja satelita sa Zemlje) počeci su razvoja s a t e l i t s k e g e o d e z i j e razvojem dugobazisne radiointerferometrije (VLBI) i njene primjene ponajprije u astrofizici a potom u geodeziji - g e o d e t s k i VLBI, novo je razdoblje ekstra-preciznog modeliranja /određivanja inercijalnog nebeskog referentnog sustava i realizacije i stabilnost nebeskog referentnog okvira satelitska geodezija globalni navigacijski satelitski sustavi (GNSS: GPS, GLONASS, GALILEO, BeiDou,...) i satelitske misije (CHAMP, GRACE i GOCE,... ); klasični (NNSS TRANSIT) i suvremeni dopplerovski sustavi (DORIS); laserski mjerni sustavi (SLR, LLR) te geodetski VLBI mjerni su sustavi/tehnike s v e m i r s k e g e o d e z i j e (space geodesy) U geodeziji se pojam Space Geodesy odnosi na sva mjerenja/motrenja Zemljinih umjetnih satelita, Mjeseca i quasara, dakle iznad 100 km n. visine (Karman line). U travanju 2009., precizno određen rub svemira (118 km). SVEMIRSKE GEODETSKE MJERNE TEHNIKE (SUSTAVI) dopplerovska mjerenja (NNSS TRANSIT, DORIS) GEOMETRIJSKE i DINAMIČKE VELIČINE GNSS: GPS, GLONASS, GALILEO,... sat. misije: CHAMP, GRACE i GOCE,... GEOMETRIJSKE i DINAMIČKE VELIČINE SLR, LLR VLBI (!) GEOMETRIJSKE i DINAMIČKE VELIČINE GEOMETRIJSKE VELIČINE GEOMETRIJSKE VELIČINE DINAMIČKE VELIČINE određivanje položaja (koordinata) i promjene položaja, određivanje duljine i rotacije baze određivanje Zemljinog polja sile teže i satelitskih orbita i dr. 2

3 SVEMIRSKE GEODETSKE MJERNE TEHNIKE (SUSTAVI) GNSS: GPS, GLONASS, GALILEO... sat. misije: CHAMP, GRACE i GOCE... SLR, LLR VLBI DORIS VLBI SLR, LLR GNSS HARTEBEESTHOEK RADIOASTRONOMY OBSERVATORY (VLBI, SLR i LLR, GPS), Johannesburga, JAR, SVEMIRSKE GEODETSKE MJERNE TEHNIKE (SUSTAVI) GNSS: GPS, GLONASS, GALILEO, BeiDou,... GLOBAL POSITIONING SYSTEM GPS - "MOĆNA" TEHNIKA ZA 3D POZICIONIRANJE (ODREĐIVANJE KOORDINATA TOČAKA) I NAVIGACIJU GPS - "NAJPRECIZNIJI SAT", ODREĐIVANJE (i/ili SINKRONIZACIJA) VREMENA NAMIJENJEN GLOBALNOM POZICIONIRANJU KOJI OMOGUĆUJE KORISNICIMA NA MORU, KOPNU I U ZRAKU ODREĐIVANJE: 3D POZICIJE (, i h), BRZINE I TOČNOG VREMENA 3

4 SVEMIRSKE GEODETSKE MJERNE TEHNIKE (SUSTAVI) Satelitske misije: CHAMP, GRACE, GOCE, TOPEX/POSEIDON, Jason-1, ERS-2, ENVISAT, TerraSAR-X, ICESAT, LAGEOS-1 & 2,... CHAMP, GRACE i GOCE satelitske su misije koje su obilježile zadnje desetljeće u pogledu istraživanja Zemljina geosustava, imajući važnu ulogu u rješavanju znanstvenih i stručnih problema više disciplina kao što su geodezija, geofizika, oceanografija, čvrsta Zemlja, glaciologija, hidrologija i dr. SVEMIRSKE GEODETSKE MJERNE TEHNIKE (SUSTAVI) VLBI (Very Long Baselane Interferometry) DVA SU ZAHTJEVA U RADIOASTRONOMIJI: utvrditi postojanje radioizvora i postići što veću rezoluciju ili razlučivanje (što preciznije odrediti smjer pristizanja radio signala) DVIJE SU GLAVNE PRIMJENE VLBI: dobivanje slike kompaktnog radioizvora (astrofizički VLBI) i određivanje gibanja/pomicanja radioantene u odnosu na izvangalaktički radioizvor (geodetski VLBI) GEODETSKI VLBI GEOMETRIJSKA METODA ODREĐIVANJA DULJINE I ROTACIJE (ORIJENTACIJE) VRLO DUGE BAZE, MJERENJEM VREMENA KAŠNJENJA/ZAOSTAJANJA PRIMLJENOG VALNOG FRONTA IZVANGALAKTIČKOG RADIOIZVORA NA DVIJE ILI VIŠE RADIOANTENA VLBI BAZE 4

5 VREMENSKO KAŠNJENJE/ZAOSTAJANJE (RAZLIKA U VREMENU DOLASKA VALNOG FRONTA NA DVIJE PRIJAMNE ANTENE Dt) ODREĐUJEMO IZ MJERENJA a) faznog kašnjenja (faznog pomaka) Dt = (N + /2p)/f b) grupnog (skupnog) kašnjenja Dt = (1/2p) D /Df valne duljine nekih karakterističnih elektromagnetskih zračenja Mikrovalovi/dvije frekv.: GPS 1.2 / 1.6 GHz VLBI 2.3 / 8.4 GHz DORIS 0.4 / 2.0 GHz elektromagnetsko zračenje γ x ultravioletno vidljiva svjetlost infracrveno radio valne duljine <0,01 nm 0,01-10 nm nm 0,3 0,8 μm μm 0, m karakteristične frekvencije su iz X-područja (valna dužina oko 4 cm / frekvencija 8 GHz) i S-područja (valna dužina 15 cm / frekvencija 2 GHz) signali radioizvora su vrlo male snage, reda veličine 1 Jansky (1 Jy = Wm -2 Hz -1 ) 5

6 RADIOTELESKOP - UREĐAJ ZA PRIHVAT RADIOVALOVA KUTNA RAZLUČIVOST (REZOLUCIJA) RADIOTELESKOPA ODREĐENA JE OMJEROM VALNE DULJINE RADIJACIJE I PROMJEROM TELESKOPA D r = /D Mikrovalno područje/dvije frekv.: VLBI 2.3 GHz 15 cm 8.4 GHz 4 cm npr. = 20 cm = 0,20 m, D = 100 m r = 0,20/100 = 0,002 rad r = 0,002 x " = 412,53" = 6 52,5" = 0,12 (- prividni promjer punog Mjeseca ili Sunca je 0,5 ) rezolucija radioteleskopa mnogo je puta manja od rezolucije optičkih teleskopa istog promjera (npr. ako radioteleskop prima radiovalove duljine 3,75 cm treba imati promjer 15 km, da bi postigao razlučivost optičkog teleskopa promjera 20 cm) povećanje rezolucije radioteleskopa bez povećanja osjetljivosti postignuto je konstrukcijom radiointerferometara RADIOINTERFEROMETAR SUSTAV OD DVA ILI VIŠE RADIOTELESKOPA, KOJI PRIMAJU VALOVE DRUGE FAZE, A UKUPAN ZAPIS - ZAJEDNIČKA SLIKA - NASTAJE INTERFERENCIJOM (ZBRAJANJEM SIGNALA ŠTO IH SVAKI RADIOTELESKOP PRIMA NEOVISNO) uvođenjem radiointerferometara (duljina baze jednaka efektivnom promjeru radioteleskopa) izbjegnute su antene velikih promjera a povećana razlučivost VLBI (Very Long Baseline Interferometer) RADIOINTERFEROMETAR VRLO DUGE BAZE SVEMIRSKI VLBI SVEMIRSKI RADIOINTERFEROMETAR 6

7 SVEMIRSKI RADIOIZVORI emitiraju izrazito inkoherentne signale širokog frekvencijskog spektra od 10 7 do Hz preko 7000 izvangalaktičkih radioizvora aktivno istraživani oko 25% točkasti izvori (uz kutnu rezoluciju od 0.001") KVAZARI idealni radioizvori za geodetski vlbi QUASAR (Quasi stellar object) pronađeni u ranim im najprije identificirani kao radioizvori, a potom potvrđeni i optički vrlo udaljeni objekti (milijarde svjetl. god.), nevjerojatne energije (do 1000 puta sjajniji od normalnih galaksija) kompaktan (zbijen) oblik neznatno vlastito kretanje (promjena smjera) VLBI SUSTAV ANTENA (RADIOTELESKOP) SUSTAV ZA UPRAVLJANJE, MJERENJE I ZAPISIVANJE PODATAKA FREKVENCIJSKI I SATNI STANDARD (ATOMSKI SAT I FAZNI OSCILATOR) KORELATOR - SUSTAV ZA KORELIRANJE PODATAKA SUSTAV ZA KALIBRACIJU SUSTAV ZA PRIKUPLJANJE ATMOSFERSKIH (METEOROLOŠKIH) PODATAKA VLBI SATELIT(i) 7

8 RADIOTELESKOP (ANTENA) Green Bank Telescope ( m) National Radio Astronomy Observatory (NRAO) Effelsberg (100 m) Max-Planck-Institut für Radioastronomie Arecibo Observatory (305 m), Puerto Rico RADIO TELESKOP (ANTENA) VLBI + SLR/LLR + GPS Bundesamt fur Kartographie und Geodasie, Fundamentalstation Wettzell terestrička referentna točka i VLBI (Tsukuba) precizno određeni položaj iz mnogobrojnih VLBI opažanja ujedno, kao osnovna točka za orijentaciju (azimut), upotrijebljena za definiciju sustava (geodetskog datuma) nacionalne geodetske referentne mreže 8

9 UPRAVLJAČKI URED - TERMINAL University of Manchester, Jodrell Bank Observatory UPRAVLJAČKI URED: UPRAVLJANJE, PRIKUPLJANJE (MJERENJE), ZAPISIVANJE (I KORELIRANJE) PODATAKA FREKVENCIJSKI STANDARD ATOMSKI SAT JEDINICA ZA SNIMANJE KORELATOR 9

10 SUSTAV ZA PRIKUPLJANJE (MJERENJE), ZAPISIVANJE I KORELIRANJE PODATAKA (data acquisition, tape, correlator) MARK I, MARK II ( ), MARK III (1978.) najstariji modeli koji istodobno obrađuju samo jednu bazu, a vrijeme obrade otprilike isto kao i vrijeme opažanja MARK IIIA (1985.) značajna unapređenja kod prvih su generacija VLBI sustava podaci mjerenja zapisivani na magnetske vrpce a korelirani sa standardnim računalima kod novih generacija VLBI sustava znatno veća količina podataka zapisuje se na diskove (HD) a koreliraju s namjenskim vrlo snažnim računalima (MARK V, 2003.) MARK V VLBI Data System - jači procesor - može kontinuirano snimati 1024 MBps za 4,2 sata (3 VLBI trake ~ 2 TB) - izravni (random) pristup podacima - lako transportabilan, kompatibilan s postojećim VLBI sustavima - podrška za e-vlbi, 24-satne ne nadgledane operacije MARK VI (VII) - u razvoju i testiranju e-vlbi (Real-Time VLBI) VLBI mjerenja su internacionalnog i globalnog karaktera, preko 50 radioteleskopa na VLBI bazama svjetske mreže u više od 20 država uključeni su u globalna VLBI opažanja razvojem e-vlbi, povezivanje VLBI stajališta optičkim kabelima, u početku 100 Mb/s internet vezom (kasnije i većom) stvoreni su uvjeti za prikupljanje podataka mjerenja u realnom vremenu i nema više prenošenja mag. traka i HD EXPReS - Express Production Real-time e-vlbi Service ožujak kreiranje i distribucija podataka, izbor različitih instrumenata na kontinentalnoj i interkontinentalnoj razini vrlo brza komunik. mreža, rad u realnom vremenu, veza s nekim od najvećih i najosjetljivijih radioteleskopa na Zemlji 10

11 FREKVENCIJSKI I SATNI STANDARD (visoko precizni fazni oscilator i atomski sat) Bundesamt fur Kartographie und Geodasie, Fundamentalstation Wettzell Time & Freuquency (T&F) - epoha određena s točnošću 10 ns prema UTC - frekvencija: apsolutna točnost 10-12, relativna vremenski sustavi (atomski satovi): Cs standard i H maser - prijenos (sinkronizacija) vremena GPS-om na svakom radioantenskom stajalištu potreban je vrlo stabilan frekvencijski izvor za generiranje lokalnog referentnog signala tj. signala koji određuje trenutke kad se očitava veličina analognog signala npr. za zapis i korelaciju podataka valne duljine 2 cm tijekom intervala od 10 minuta, potrebna stabilnost oscilatora je hidrogenski MASER stabilnost atomskog sata za mjerenja koja traju nekoliko sati (oko sek) mora biti bolja od 0,1 ns, a za 24-satno mjerenje potrebna je stabilnost sata sekundi PRECIZNOST OD 1 mm U PROSTORU KORESPONDENTNO JE PRECIZNOSTI VREMENA OD SAMO 3 ps (3 x sek.) VLBI KONCEPTI VLBI KONCEPTI ZEMALJSKI VLBI SUSTAV (ground-based VLBI) ZEMALJSKO-SVEMIRSKI VLBI SUSTAV (space-ground VLBI) svemirski VLBI SVEMIRSKO-SVEMIRSKI VLBI SUSTAV (space VLBI) - razvojni/eksperimentalni/istraživački! 11

12 ZEMALJSKI I ZEMALJSKO-SVEMIRSKI VLBI SUSTAV najmanje dvije antene koje istodobno primaju signale sa svemirskog radioizvora (duljina baze na ZEMLJI oko 1,5 R, optimalno R ) lansiranjem komunikacijskih satelita (radioantene) u svemir omogućeno je produljenje baze, počinje epoha svemirskog VLBI (TDRSS OVLBI, ) ZEMALJSKO-SVEMIRSKI i SVEMIRSKO-SVEMIRSKI VLBI SUSTAV istodobno opažanje udaljenih radioizvora orbitalnim i Zemaljskim radioteleskopima različitih međusobnih udaljenosti orbitalni radioteleskop je u konstantnoj komunikaciji s jednom od 5 zemaljskih stanica za praćenje orbite, sa stanice se odašilje prema orbitalnom radioteleskopu precizna informacija o vremenu, a s teleskopa do stanice mjerni podaci koji se potom snimaju na HD opažačka tehnika s dodatnom VLBI bazom u svemiru, ponajprije zamišljena za potrebe astrofizike ali moguća primjena u geodeziji 12

13 VLBI SATELITSKI SUSTAVI TDRSS VSOP/ HALCA RadioAstron ARISE MREŽE I NIZOVI VLBI EUROPEAN VLBI NETWORK (EVN) EVN institucije i stajališta Effelsberg (Njemačka) Medicina (Italija) Noto (Italija) Robledo/DSN (Španjolska) Torun (Poljska) Westerbork (Nizozemska) OAN-Yebes (Španjolska) Arecibo (Puerto Rico) Jodrell Bank & Cambridge (VB) Metsähovi (Finska) Onsala (Švedska) Shanghai (Kina) Urumqi (Kina) Wettzell (Njemačka) Hartebeesthoek (Južna Afrika) KVAZAR stations Sv,Zc,Bd (Rusija) 13

14 MREŽE I NIZOVI VLBI VERY LONG BASE ARRAY (VLBA) NY ALESUND FAIRBANKS YELLOWKNIFE ONSALA EFFELSBERG N. LIBERTY WETTZELL LOS ALAMOS BOLOGNA CRIMEA OWENS VALLEY WESTFORD MADRID MATERA PIE TOWNGREEN NOTO KITT PEAK BANK FT. DAVIS URUMQI SHANGHAI KASHIMA MAUNA KEA SAO PAOLO SAINT CROIX National Radio Astronomy Observatory Very Long Baseline Array HARTEBEESTHOEK TID BINBILLA HOBART američki dugobazisni radiointerferometrijski niz (VLBA): 10 identičnih 25 m radioteleskopa (240 t) od Havaja, uzduž američkog terotorija do Djevičanskih otoka (> 8000 km) (razlučivost sustava do 0,0002 ) ASIA PACIFIC TELESCOPE (APT) EAST-ASIA VLBI NETWORK (EAVN) AUSTRALIA TELESCOPE LONG BASELINE ARRAY (AT-LBA) MREŽE I NIZOVI VLBI GLOBAL VLBI ARRAY globalni VLBI nizovi (globalna, svjetska VLBI mreža) VLBA + EVN + APT + AT-LBA

15 STATIČNI I TRANSPORTABILNI VLBI TELESKOPI TIGO - Transportable Integrated Geodetic Observatory BKG - Bundesamt fur Kartographie und Geodasie (nekadašnji IfAG), Wettzell, Njemačka SATELLITE LASER RANGING (SLR) / LUNAR LASER RANGING (LLR) LASERSKI MJERNI SUSTAV - ZEMALJSKI DIO - SVEMIRSKI DIO NAJPRECIZNIJE ODREĐIVANJE UDALJENOSTI IZMEĐU ZEMLJE I OPAŽANOG SATELITA ili ZEMLJE I MJESECA MJERENJEM VREMENA TRENUTAČNOG LETA POVRATNOG ULTRAKRATKOG LASERSKOG IMPULSA IZMEĐU ZEMALJSKOG STAJALIŠTA (LASERSKOG TELESKOPA) I RETROREFLEKTORA NA OPAŽANOM SATELITU/MJESECU iz laserskih mjerenja s nekoliko SLR/LLR stajališta prema odabranom satelitu/mjesecu određuje se precizna orbita satelita/mjeseca, a iz poznate orbite određuju se koordinate SLR/LLR stajališta 1961/62. početak istraživanja, SAD 1964/65. prvi uspješni povratni SLR signal do satelita (točnost mjerenja 3 m) NASA-in Apollo 11 postavlja prvi retroreflektor na Mjesec - početak LLR nekoliko LLR stajališta oko 50 laserskih sustava 15

16 SATELLITE LASER RANGING GENERATOR LASERSKOG IMPULSA (LASER) PRIJENOSNI OPTIČKI SUSTAV SVEMIRSKI I ZEMALJSKI DIO SLR SUSTAVA LASERSKI TELESKOP ODAŠILJAČ (TRANSMITTER) PRIJAMNIK (RECEIVER) SUSTAV ZA DETEKCIJU I ANALIZU ODASLANOG/PRIMLJENOG SIGNALA SUSTAV ZA MJERENJE VREMENA (ATOMSKA URA) RAČUNALNI SUSTAV METEO SUSTAV i AVIONSKI DETEKTOR OSNOVNA/PROŠIRENA JEDNADŽBA SLR d = c (T 2 T 1 )/2 Δt = (T 2 - T 1 ) vrijeme putovanja laserskog impulsa između START i STOP signala Δd O ekscentricitet teleskopa Δd S ekscentricitet težišta satelita i optičkog centra Δd b kašnjenje signala u elektronici sustava Δd r korekcija za refrakciju ω sistematske i slučajne pogreške d 1 c 2 ΔT Δd O Δd S Δd b Δd r ω 16

17 GENERATOR LASERSKOG IMPULSA LASER (LASERSKI OSCILATOR) Light Amplification bystimulated Emission of Radiation (pojačanje svjetlosti stimuliranom /poticanom/ emisijom zračenja), počeci kasnih1950.-tih LASER je uređaj koji kontinuirano ili u kratkim intervalima emitira koherentnu monokromatsku svjetlost u vidljivom ili blizu infracrvenog dijela spektra STIMULIRANA (POTICANA) EMISIJA SVJETLOSTI do stimulirane (poticane) emisije dolazi ako na elektron u povišenom (metastabilnom) stanju E VEĆA pada foton svjetlosti energije E = E VEĆA - E MANJA u tom slučaju taj foton stimulira (potiče) elektron u metastabilnom stanju da padne u osnovno stanje E MANJA, a nakon toga dobiju se dva fotona (jedan dolazeći foton i jedan nastao od stimulirane emisije), ti fotoni imaju JEDNAKU FREKVENCIJU, FAZU, POLARIZACIJU I SMJER budući da ovi fotoni imaju jednaku frekvenciju, fazu i smjer dobiva se koherentna svjetlost većeg intenziteta za laserski snop jakog intenziteta mora u nekom sredstvu biti puno atoma s elektronima na metastabilnoj razini E VEĆA tada se stimuliranim (poticanim) zračenjem postiže lavina fotona do sredine ih upotrebljavani su RUBIDIJEVI impulsni laseri - trajanje impulsa od 2-3 ns, samo jedan impuls u svakih nekoliko sekundi danas se upotrebljavaju NEODIMIJEVI YAG laseri - trajanje impulsa od 0,1-0,2 ns do nekoliko ps, 10 impulsa u sekundi, brojanje fotona LASERSKI TELESKOP: ODAŠILJAČ (TRANSMITTER) LASERSKI TELESKOP: PRIJAMNIK (RECEIVER) OPTIČKI I ELEKTRONSKI DIO refraktori/reflektori azimutalna montaža na postolje integrirani odašiljač i prijamnik kratki laserski impulsi su putem optičkog sustava (prizme ili optička vlakna) vođeni do odašiljača te odaslani prema satelitu dio izlazećeg impulsa upotrebljen za pokretanje (startanje) elektroničkog vremenskog brojača (sata) elektronska kontrola/usmjeravanje prema izračunanim efemeridama, pri prolazu satelita položaj se korigira s točnošću +- 1" reflektirani impuls sa satelita primljen na stajališnom detektoru, pojačan te upotrebljen za zaustavljanje brojača potrebni vrlo moćni prijamnici 17

18 SUSTAV ZA DETEKCIJU I ANALIZU ODASLANOG/PRIMLJENOG SIGNALA fotomultiplikator s vrlo kratkim izlaznim vremenom i visokom rezolucijom u trenutku emitiranja laserskog snopa njegov mali dio direktno je proslijeđen preko optičkog vlakna fotomultiplikatoru koji taj dio laserskog impulsa pretvara u električni i pokreće/starta uređaj za mjerenje vremena putovanja impulsa do satelita ili Mjeseca i natrag primljena svjetlost (nekoliko fotona) usmjerena je na fotomultiplikator koji električnim impulsom zaustavlja uređaj za mjerenje vremena MALI DIO PRVOG ODASLANOG IMPULSA (MNOGO FOTONA) PRVI PRIMLJENI IMPULS (NEKOLIKO FOTONA) velika poteškoća u laserskim mjerenjima je što prijamnik kontinuirano prima svjetlost pozadine neba (fon neba) analizator impulsa uspoređuje/analizira primljeni impulsni signal s odaslanim odnosno razlučuje aktualni signal od smetnji (šuma) i uskopojasnim filtrima reducira smetnje na minimum (zdravo oko registrira u mraku cca 5 fotona u sekundi) SUSTAV ZA MJERENJE VREMENA atomske ure određuju UTC vrijeme s točnošću +- 1μs (relativno gibanje satelita prema Zemlji) mjerenje vremena putovanja/leta signala satom s točnošću od do s (relativno mjerenje vremena) rezolucija elektroničkih brojača oko 10 ps, koji su kontrolirani atomskim satovima (obično rubidijevi, cezijevi ili vodikovi maseri), naime točnost mjerenja udaljenosti strogo je korelirana s duljinom i rezolucijom laserskog impulsa RAČUNALNI SUSTAV izračun efemerida satelita (brzina, položaj i vrijeme) navođenje/viziranje i praćenje/kontrola instrumentalnog postolja kontrola kompletnog mjernog sustava kalibracija i kontrola parametara sustava analiza i kontrola podataka/mjerenja suvremeni sustavi zahtijevaju višezadaćnu (multitasking) obradu u realnom vremenu AVIONSKI DETEKTOR (OTKRIVAČ) optički sustav za otkrivanje aviona i trenutačni prekid mjerenja 18

19 od određivane staze ~60 satelita STARLETTE LAGEOS-1 AJISAI ETALON-1, 2 ERS-1 TOPEX/POSEIDON LAGEOS-2 GPS 35, 36 STELLA METEOR-3 GLONASS-40, 41 MIR GFZ-1 ERS-2 GFO-1 WESTPAC-1 SUNSAT CHAMP JASON-1 ENVISAT GRACE-A & GRACE-B METEOR-3M ožujak, kvarcni reflektori na satelitu Jason-1 LAGEOS (LAser GEOdynamics Satellite) 422 silikon. reflekt. (2R = 38 mm) i 4 germanijska za Doppl. mjerenja pasivni satelit mesingane jezgre unutar 60 cm aluminijske ljuske s 426 retro-reflektora visina perigeja 5838 km visina apogeja 5945 km inklinacija orbite 109,8 period (perigej) ~1 682 dana period (čvor) ~1 050 dana promjer 60 cm masa 407 kg LUNAR LASER RANGING ZEMALJSKI I SVEMIRSKI DIO LLR SUSTAVA nekoliko stotina reflektora na Mjesečevoj površini postavljenih u Apollo i Luna misijama 19

20 OSNOVNA JEDNADŽBA LLR r O - m R = ρ r O koordinate teleskopa, definirane u Zemljinom fiksnom referentnom sustavu (baricentričke koordinate uključuju: Zemljinu rotaciju, gibanje pola, precesiju i nutaciju) m R koordinate reflektora u baricentričkom koordinatnom sustavu, korigirane za Mjesečevo gibanje i libraciju DODATNI UVIJETI KOD LLR-a LLR sustavi tehnički zahtjevniji potrebni teleskopi većeg promjera zrcala laseri jačeg intenziteta zračenja vrlo precizni satovi nišan prema reflektorima na Mjesecu usmjeren s točnošću oko 1 (raspršenje na Mjesecu u krugu od 2-7 km, a povratnog impulsa na Zemlji od 15 do 25 km) Mjesec vrlo stabilan prirodni satelit s precizno modeliranom orbitom 20

21 BROJ KORISNIH FOTONA U LLR YAG-neodimijev laser LLR sustava CERGA (od 1987.) upotrebljava impulse od 140 ps s međusobnim razmakom od 1,65 ps i sa 10 impulsa u sek tako npr. za YAG zeleni laser energije snopa po impulsu oko 300 mj, l = 532 nm, f = 5, Hz, što je ekvivalent od 5, odaslanih fotona, samo je 0,18 primljenih fotona ili 1 foton za svakih 5 laserskih hitaca - impulsa (praktična mjerenja pokazuju da je taj broj jako precijenjen! i da se praktično od 100 impulsa ili svakih 10 sekundi vrati 1 foton) vrijeme povratka laserskog signala varira između 2,4 i 2,7 s i dok se vrati prvi signal već je poslano oko 25 impulsa 41 SVEMIRSKI DIO (Mjesec) nekoliko stotina reflektora (corner cube) na Mjesečevoj površini srpanj 1969., Apollo 11 (Sea of Tranquility), 100 pojedinačnih reflektora veljača 1971., Apollo 14 (Fra Mauro), 100 pojedinačnih reflektora srpanj 1971., Apollo 15 (Hadley Rille), 300 pojedinačnih reflektora Luna 17 Apollo 15 (78%) Luna 21 (3%) Apollo 14 (9%) 1000 km Apollo 11 (10%) iz Apollo misija: reflektori (corner cube) promjera 3,8 cm montirani su na aluminijske ploče studeni 1970., Luna 17 (Sea of Rains), 1973., Luna 21 (Sea of Serenity), stotinjak pojedinačnih reflektora 42 21

22 TIGO - Transportable Integrated Geodetic Observatory BKG - Bundesamt fur Kartographie und Geodasie (nekadašnji IfAG), Wettzell, Njemačka SLR kontrolna soba laserski impulsni generator 50 cm SLR teleskop TLRS Transportable Laser Ranging System i MOBLAS MOBile LASer NASA, Goddard Geophysical and Astronomical Observatory (GGAO) SLUM - Station Laser Ultra Mobile (ili FTLRS - French Transportable Laser Ranging System) telo/slum/index.html PLRS Portable Laser Ranging System (~500 kg) 44 22

23 SLR2000 nova generacija SLR-a (Goddard Geophysical and Astronomical Observatory /GGAO/, NASA) sustav dizajniran sredinom ih, istraživanja počinju krajem ih u cijelosti automatizirani mjerni sustavi bez motritelja s dvosmjernom internetskom komunikacijom sa središnjim uredom 24-satni operativan mjerni sustav uz potpuno praćenje i satelita nagnutih orbita i visina do km (GPS, GLONASS, Etalon,... ) subcentimetarska točnost mjerenja snažan niskoenergetski mikrolaser s vrlo preciznim intervalima ponavljanja brojač fotona na principima kvantne tehnologije kreiran visoko precizni omjer signal/šum praćenje satelita u širokom rasponu visina APOLLO nova generacija LLR Apache Point Observatory Lunar Laser-ranging Operation NASA i NSF razvijaju sustav APOLLO - laserski teleskop promjera zrcala 3,5 m - ugrađena najsuvremenija tehnologija (detektor, uređaji za mjerenje vremena i laser) LASER ELEKTRONSKA JEDINICA APOLLO sustav smješten na Apache Point opservatoriju (N. Meksiko), na pl. vrhu (oko 2790 m) za teleskope velikog otvora (velikog promjera zrcala) potrebni izvrsni atmosferski uvjeti (vidljivost) jer "smetnje od Zemljine atmosfere uzrokuju iskrivljenje putanje laserske zrake, mala tektonska gibanja tla ispod laserskog sustava, uobičajeno nekoliko cm/god. instaliranje superosjetljivog gravimetra, preciznih GPS uređaja uz opservatorij (određivanje sporog pomicanja tla) i mreže preciznih barometara (praćenja stanja atmosfere) 23

24 RAZVOJNA TOČNOST SLR TOČNOST JE STROGO KORELIRANA S DULJINOM I REZOLUCIJOM LASERSKOG IMPULSA I. gener. SLR duljina impulsa 10 do 40 ns, točnost 1-6 m II. gener. SLR duljina impulsa 2 do 5 ns, točnost cm III. gener. SLR duljina impulsa 0,1 do 0,2 ns točnost 1-3 cm NOVA gener. duljina impulsa 100 do 200 ps točnost 1-3 mm RAZVOJNA TOČNOST LLR TOČNOST JE STROGO KORELIRANA S DULJINOM I REZOLUCIJOM LASERSKOG IMPULSA početkom ih točnost mjerenja nekoliko metara (LLR 1 ns oko 25 cm, SLR 1 ns 15 cm) početkom ih točnost mjerenja ispod 15 cm točnost suvremenih mjerenja bolja od 3 cm, do nekoliko mm MLRS, SAD OCA, Francuska 24

25 (DORIS) Doppler Orbitography and Radiopositioning Integrated by Satellite DOPLEROVSKI SUSTAV ZA PRAĆENJE SATELITA SA SVRHOM PRECIZNIH ODREĐIVANJA SATELITSKIH ORBITA I POLOŽAJA SIGNALNIH STANICA I PRECIZNOG POZICIONIRANJA NA ZEMLJI DORIS sustav osmislila je i razvila francuska svemirska agencija (Centre National d'etudes Spatiales, CNES), u suradnji s istraživačkom grupom za svemirsku geodeziju (GRGS) i nacionalnim geografskim institutom (IGN) sustav se upotrebljava od god. DOPPLEROV EFEKT (POMAK) promjena frekvencije bilo kojeg valnog signala zbog relativnog gibanja odašiljača prema prijamniku, opaža se kao povećanje / smanjenje frekvencije kada se izvor valova i promatrač međusobno približavaju odnosno udaljavaju (kod zvučnih valova čujemo više ili niže tonove npr. zvižduk lokomotive čini se višim za vrijeme kraće valne duljine dulje valne duljine približavanja a nižim pri udaljavanju) više frekvencije niže frekvencije (viši tonovi) (niži tonovi) v f pr rad smjer gibanja odašiljač sa satelita emitira nemodulirane el. valove poznate frekvencije a zemaljski prijamnik prima el. valove promijenjene frekvencije (promjena frekv. ovisi o topocentričnoj radijalnoj komponenti brzine satelita u odnosu na motriteljsku stanicu, odnosno o promjeni udaljenosti satelita od zemaljskog prijamnika) fodas 1 c fodas f c f odas rad pr f pr frekvencija primljenih valova f odas frekvencija odaslanih valova c brzina svjetlosti rad - radijalna sastavnica brzine kretanja između prijamnika i odašiljača ("+" međusobno približavanje, "-" međusobno udaljavanje) f pr > f odas smanjuje se udaljenost između satelita i motriteljske stanice f pr < f odas povećava se udaljenost između satelita i motriteljske stanice 25

26 SVEMIRSKI I ZEMALJSKI DIO SUSTAVA DORIS - sateliti - DORIS instrumenti - DIODE navigacijska programska podrška - mreža preko 60-ak permanentnih (orbitografskih) signalnih stanica - kontrolno središte + 2 glavne signalne stanice SASTAVNICE ZEMALJSKOG DIJELA SUSTAVA DORIS stanica za praćenje satelita kontrolno središte DORIS stanice SSALTO glavna signalna stanica kontrolno središte SSALTO (DORIS/POSEIDON kontrolno središte i središte za obradu podataka, Toulouse) 2 glavne signalne stanice /Toulouse; Kourou, Fr. Gvajana/ (referentna mjerenja i održavanje skale atomskog vremena, prebacivanje radnog plana/komandi iz kontrolnog središta) SSALTO središte osim što računa satelitske orbite skrbi i o mjernim procesima, arhivira i distribuira podatke i dr. (od do arhivirano preko 100 milijuna DORIS mjerenja) 26

27 SASTAVNICE SVEMIRSKOG DIJELA SUSTAVA DORIS DORIS prijamnik GPS Topex-Poseidon satelit sateliti: Spot 2, 3, 4, 5, Topex-Poseidon, Jason-1*, 2, Envisat, STPSat-1... DORIS antena DORIS instrumenti: MVR prijamnik USO ultrastabilni oscilator antena DIODE navigacijski softver *Jason-1 sva 3 sustava za precizno određivanje orbitalnog položaja: DORIS, GPS i laserski (Laser Retroreflector Array, LRA) DORIS prijamnik određuje Dopplerov pomak dvofrekvencijskog signala od razvoj 3D navigatora DIODA (Détermination Immédiate d'orbite par Doris Embarq) poboljšane programske komponente obrade mjerenja u realnom vremenu te je tako omogućena satelitska navigacija sustavom DORIS (DIODE izračunava položaj satelita na kojem se nalazi, slično kao kapetan koji određuje položaj broda na moru) od DIODE navigator funkcionalan, u realnom vremenu, svakih 10 sekundi, računa precizne 3D položaje, brzinu i dr. (u jednom bloku podaci: datum/položaj/brzina /kvaliteta), odnosno satelit ih 20 kg, - potvrđuje primitak komandi kg - predicira položaje satelita na temelju njegovog modela orbitalnog gibanja - korigira predicirani položaj iz mjerenja kada je satelit vidljiv sa signalnih stanica - prosljeđuje/prenosi podatke mjerenja i izračunane pozicije satelita zemaljskim stanicama pri svakom prolazu iznad stanice primljeni podaci se u pravilnim intervalima prosljeđuju/šalju u SSALTO (kontrolno središte i središte za obradu podataka) određivanje vrlo precizne orbite nije trenutačno (već postprocesiranje) vrlo precizne satelitske orbite (trajektorije) određene su analizom položajnih podataka signalnih stanica permanentne orbitografske mreže i matematičkog modela uključujući pritom i sile koje djeluju na satelite (ponajprije Zemljino polje sile teže, atmosfersko trenje) nakon što je orbita poznata s visokom točnošću moguće je odrediti točne položaje (koordinate) permanentnih signalnih stanica, također, ako je položaj satelita precizno određen moguće je odrediti precizne položaje (koordinate) signalnih stanica izvan referentne mreže na stajalištima koja zahtijevaju vremensko praćenje (npr. praćenje vulkana, geoloških pomicanja, ledenjaka i drugo) 27

28 SASTAVNICE ZEMALJSKOG DIJELA SUSTAVA DORIS Toulouse, Francuska globalna mreža 60-ak permanentnih autonomnih signalnih stanica (orbitografy stations) - kontinuirano emitiranje signala sa referentnih stanica namijenjeno je za neprekinuto i precizno praćenje/pokrivanje satelitskih trajektorija korisničke signalne stanice (ground beacons) namijenjene korisnicima za pozicioniranje DORIS sustavom - imaju iste funkcije kao i permanentne stanice DORIS mreže uz razliku da signalne stanice emitiraju signale samo u trenutku kada je neki DORIS satelit vidljiv sa tog stajališta (signalne stanice DORIS sustava su aktivne za razliku od VLBI i GPS-a koji imaju pasivne zemaljske stanice) signalne stanice odašilju/emitiraju dvofrekvencijske signale: - S-pojas frekvencije 2036,25 MHz upotrebljava se za doplerovska mjerenja - VHS pojas frekvencije 401,25 MHz za prijenos ID broja, informacija o točnom vremenu (danas: sekundni impulsi točnosti bolje od 15 ms), podataka s meteoroloških senzora (potrebni za redukciju pogrešaka uzrokovanih ionosferskim propagacijskim kašnjenjem) i dr. Everest, Nepal ZNAČAJKE SUSTAVA DORIS argentinska baza Belgrano na Antarktiku preko 60 permanentnih signalnih stanica u preko 30 zemalja (globalna prekrivenost, jedini sustav koji dobro pokriva južnu hemisferu) signalne stanice u zajednici s drugim mjernim sustavima: GNSS, SLR (LLR) i VLBI mjerenja u svim vremenskim uvjetima, u potpunosti autonomni (više mjeseci) i automatizirani sustavi korisničke signalne stanice mogu biti postavljene u 30-ak minuta, bez specijalnog treninga sustav operativan i na satelitima niskih orbita (200 km do 3000 km) bez obzira na inklinaciju kao i na višim altitudama do geostacionarnih orbita SVE više satelita nosi DORIS instrumente (još točnija mjerenja) 28

29 TOČNOST DORIS SUSTAVA određivanje/izračun vrlo precizne orbite nije trenutačno (za određivanje precizne orbite satelita podaci DORIS-mjerenja obrađuju se na Zemlji) točnost izračuna satelitskih orbita raste s vremenom odnosno količinom prikupljenih mjerenja (suvremena mjerenja): za 3 sata rms = 10 cm, za 3 dana rms = 4 cm, za 30 dana rms = 2,5 cm, s ciljem povećanja točnosti do 1 cm (početkom satelitskog doba pozicije satelita procjenjivane s točnošću do 20 km a u 80-im godinama do oko 20 m) PRIMJENE SUSTAVA DORIS određivanje orbita/altimetrija srednja razina mora Zemljino polje sile teže Zemljina rotacija pozicioniranje određivanje orbite na satelitu prijenos/sinkronizacija vremena od razvoj DIODA 3D navigatora i prva eksperimentalna mjerenja od prva visoko precizna mjerenja s 3D navigatorom (određivanje orbite na satelitu) 29

30 određivanje preciznih satelitskih orbita: Topex/Poseidon, Jason-1, 2, Spot, Envisat altimetrija: srednja razina mora (današnja točnost DORIS sustava savršeno odgovara potrebama topografije oceana/mora kao i praćenja varijacija u promatranim pojavama mikrovalno mjerenje stanja vodene pare (u stupu od morske površine do satelita) za potrebe radarske altimetrije ali i za SLR i LLR PRIMJENE DORIS-a U GEODEZIJI određivanje apsolutnih 3D koordinata u ITRS referentne visine za određivanje razine mora i njezine varijacije Zemljino polje sile teže, gibanje geocentra određivanje zemaljskih kontrolnih točaka za statičko pozicioniranje drugim sustavom povezivanje u mrežu osamljenih točaka određivanje kontrolnih točaka lokalnih geodetskih mreža (mreža posebnih namjena) georeferenciranje nekog područja i satelitskih snimaka... 3D satelit. navigacija u realnom vremenu, informacije o vremenu/položaju/brzini/kvaliteti PRIMJENA MJERNIH SUSTAVA U SVEMIRSKOJ GEODEZIJI I ASTROMETRIJI 30

31 TEHNIKA/ SUSTAV JEDINSTVENI PRODUKTI OPĆI PRODUKTI GEOZNANSTVENA PRIMJENA POTPORA VLBI nebeski referentni okvir CRF (položaji radioizvora), Zemljina rotacija (UT1 UTC), precesija i nutacija gibanje pola, terestrički referentni okvir (TRF) tektonika ploča, deformacije Zemljine kore, praćenje razine mora GPS, SLR, DORIS, PRARE, svi sateliti za daljinska istraživanja, svi komunikacijski sateliti u CRF, EOP, modeli precesije i nutacije SLR LLR model statičkog geopotencijala, dinamički geopotencijal, središte masa (geocentrički položaj), određivanje orbita (za sve satelite s reflektorima) udaljenost i orjentacija gibanje pola, terestrički referentni okvir (TRF), UT1-UTC tektonika ploča, deformacije Zemljine kore, praćenje razine mora, Zemljin model GPS, SLR, DORIS, PRARE, svi sateliti za daljinska istraživanja, svi komunikacijski sateliti u TRF, EOP, određivanje orbita za potporu altimetrijskim satelitima GNSS određivanje orbita GPS satelita, određivanje orbita satelita na kojima je ugrađen GPS prijamnik, progušćavanje TRF gibanje pola, terestrički referentni okvir (TRF), UT1-UTC tektonika ploča, deformacije Zemljine kore, praćenje razine mora, GPS meteorologija kolokacija VLBI i SLR stajališta, određivanje orbita za potporu altimetrijskim satelitima, TRF za potporu svim satelitima za daljinsko istraživanje, svi komunikacijski sateliti DORIS određivanje orbita terestrički referentni okvir (TRF) potpora orbiti satelita za altimetriju, praćenje razine mora, gibanje/cirkulacija oceana NEBESKI REFERENTNI KOORDINATNI SUSTAV/OKVIR REFERENTNI KOO. SUSTAV: definirajuće točke i ravnine, epoha, JD SFERA: - geocentrična (topocentrična) - baricentrična (heliocentrična) REFERENTNI OKVIR dinamički (fundamentalne zvjezde) i kinematički (definirajući kvazari) 31

32 PROBLEM DINAMIKE (GIBANJA) OKVIRA PRIRODNI REFERENTNI OKVIRI (ISHODIŠTA I RAVNINE) ISHODIŠTA: geocentar, topocentar (položaj motritelja), baricentar Sunčeva sustava RAVNINE: horizont (obzor), ekvator i ekliptika dinamičku definiciju zamjenjuje kinematička definicija nebeskih referentnih sustava kinematički MEĐUNARODNI NEBESKI REFERENTNI SUSTAV/ INTERNATIONAL CELESTIAL REFERENCE SYSTEM (ICRS) i njegova realizacija MEĐUNARODNI NEBESKI REFERENTNI OKVIR/ INTERNATIONAL CELESTIAL REFERENCE FRAME (ICRF) katalozi: ICRF, ICRF with extension 1 i Hipparcos catalogue (FK6) koordinate 608 (717) izvangalaktičkih radio-izvora (najčešće kvazara) određenih VLBI a referiranih na epohu J SADRŽAJ neb. ekvatorske koord. (a, d) 608 izvangal. radioizvora TOČNOST rektascenzija (a) deklinacija (d) nesigurnost koord. u katalogu 0, s - 0, s 0,0002" - 0,9467" 32

33 VISOKA TOČNOST POLOŽAJA I STABILNOST NEBESKOG REFERENTNOG OKVIRA (ICRF) posljednjih 200 godina tradicionalni optički referentni sustav realiziran referentnim okvirom na položajima zvijezda prosječne točnosti 0,01-0,03"/0,001s zamijenjen je radio sustavom i njegovom realizacijom na položajima quasara pridruživanjem para koordinata (α, δ) s točnošću oko 0,0001 do 0,00002 izvangalaktički VLBI referentni okvir je najprecizniji stabilni ikad realiziran nebeski referentni koordinatni sustav na temelju nekoliko teorijskih pretpostavki i raznovrsnih opažanja predviđena je moguća brzina rotacije izvangalaktičkog referentnog okvira manje od /god. ZEMALJSKI (TERESTRIČKI) REFERENTNI KOORDINATNI SUSTAV regionalni i globalni elipsoid Zemlja: vrlo složene konture, površine i oblika REFERENTNI KOO. SUSTAV: koord. sustav i geodetski datum (položajna orijentacija, oblik i dimenzije elipsoida) REFERENTNI OKVIR 33

34 POVEZIVANJE NEBESKOG I ZEMALJSKOG SUSTAVA/OKVIRA DVA RAZLIČITA REFERENTNA SUSTAVA/OKVIRA: - prostorni fiksni nerotirajući referentni sustav odnosno nebeski okvir (ICRS/ICRF) - terestrički fiksni rotirajući referentni sustav odnosno zemaljski okvir (ITRS/ITRF) ta su dva sustava povezana ZEMLJINIM ORIJENTACIJSKIM PARAMETRIMA, koji se uglavnom određuju VLBI mjernim sustavima ODREĐIVANJE/PRAĆENJE ZEMLJINE ORIJENTACIJE U SVEMIRU definiranje nebeskih i zemaljskih koordinatnih sustava i transformacija između sustava, uključuje i određivanje Zemljinih orijentacijskih parametara ZEMLJINI ORIJENTACIJSKI PAREMETRI (Earth Orientation Parameters, EOP nekad: Zemljini rotacijski parametari, Earth Rotation Parameters, ERP) GIBANJE POLOVA (Polar Motion, PM) NEJEDNOLIKOST ZEMLJINE ROTACIJE, DULJINI DANA (Length of Day, LoD) PRECESIJA-NUTACIJA Precesijski koeficijent i nutacijske komponente (precession coefficient, components of nutation) 34

35 GIBANJE ZEMLJINIH POLOVA Chandlerovo kolebanje ( 430 dana) amplituda 6 m (0,2") godišnje kolebanje amplitude 3m (0,1") ASTRONOMSKA ŠIRINA (<0,6") ASTRONOMSKA DULJINA (do 0,02s) ASTRONOMSKI AZIMUT (do 0,3") CHANDLEROVO KOLEBANJE nepoklapanje trenutačne Zemljine rotacijske osi s osi inercije (osi Zemljinih masa) premještanje masa u Zemljinoj unutrašnjosti GODIŠNJE (SEZONSKO) KOLEBANJE atmosferska komponenta hidrosferska komponenta VRLO UČESTALA I NEPRAVILNA KOLEBANJA (na granici mjerljivosti) meteorologija, zemljotres DUGOPERIODIJSKA, DESETLJETNA I STOLJETNA KOLEBANJA premještanje i razina oceana, tektonika ploča GIBANJE ZEMLJINIH POLOVA koordinate pola definirane su kao razlika između trenutačne orijentacije Zemljine rotacijske osi (trenutačni pol) i prihvaćene/ definirane srednje rotacijske osi (srednji pol, Conventional Terrestrial Pole) X - u smjeru IERS referentnog meridijana (Greenw. meridijan) Y - u smjeru meridijana 90 W x p, y p, definiraju orijentaciju trenutačne rotacijske osi prema zemaljskom (terestričkom) referentnom okviru, odnosno fiksiraju trenutačnu rotacijsku os u odnosu na terestrički referentni okvir (TRF) CIO POL (CONVENTIONAL INTERNATIONAL ORIGIN) BTS POL (Bureau International de l Heure /BIH/ TERRESTRIAL SYSTEM) ITRF POL (INTERNATIONAL TERRESTRIAL REFERENCE FRAME) 35

36 GIBANJE ZEMLJINIH POLOVA od koordinate pola neredovito određivane VLBI od kraja redovni program opažanja od siječnja predikcija u petodnevnim intervalima PRECIZNOST ODREĐIVANJA x p, y p : 0,001" - 0,002" (red veličine točnije od klasičnih optičkih određivanja, danas i bolje) NEJEDNOLIKOST ZEMLJINE ROTACIJE NEJEDNOLIKOST ZEMLJINE ROTACIJE, VARIJACIJE U ZEMLJINOJ ROTACIJI (UT1) DULJINI DANA određivanjem GAST koji je odgovarajućom relacijom povezan s UT1 DUT1 = UT1 UTC opisuje brzinu (nejednolikost) Zemljine rotacije 36

37 NEJEDNOLIKOST ZEMLJINE ROTACIJE otkrićima gibanja polova Zemlje (1888.) i plime i oseke Zemljine kore (ne samo oceana i mora) promjenjeno je dotadašnje mišljenje da je Zemlja čvrsto tijelo, nepromjenjivog oblika, a posumnjalo se u opće prihvaćenu pretpostavku jednolikosti Zemljine rotacije ure njihalice: dnevna točnost 2 do s ( 1s na godinu) kvarcne ure: dnevna točnost 2 do s atomske ure: dnevna točnost 2 do s NEJEDNOLIKOST ZEMLJINE ROTACIJE 37

38 NEJEDNOLIKOST ZEMLJINE ROTACIJE od povremeno određivane varijacije UT0 ili UT1 od kompletne serije dnevnih UT1 procjena KONTROLA MODELA PRECESIJE KONTROLA I ODREĐIVANJE VARIJACIJA NUTACIJE nutacija teorija/modeli (ponekad primijenjene male varijacije/fluktuacije koje omogućuju korekciju modela) precesija teorija/modeli 38

39 PRAĆENJE PROMJENE DULJINE BAZE I PROMJENE POLOŽAJA STAJALIŠTA promjene duljine baze WESTFORD (SAD) WETTZELL (Njemačka) /5995,325 km/ VLBI opažanja su potvrdila produljenje baze za oko 40 cm u periodu od ("otvaranje dna Atlanskog oceana)" MULTIDISCIPLINARNA GEOZNANSTVENA ISTRAŽIVANJA najpreciznija određivanja geometrijskih i fizikalnih globalnih Zemljinih koordinata (odnosno određivanja geometrijske i fizikalne Zemljine površine) omogućuju mnogostruku primjenu i interpretaciju i u drugim geoznanostima GEOGRAFIJA GEOFIZIKA GEOSEIZMIKA GEOMAGNETIZAM GEOLOGIJA GEODINAMIKA... 39

40 International Association of Geodesy IAG službe (servisi), International GNSS Service (IGS, 1989., 1994.) International VLBI Service (IVS, 1999.) International Laser Ranging Service (ILRS, 1998.) International Doris Service (IDS, 2003.) Global Geodetic Observing System (GGOS, 2004.) International Earth Rotation and Reference Systems Service (IERS,1987./88.) Time Section of the International Bureau of Weights and Measures (BIPM, 1875.) International Earth Rotation and Reference Systems Service, IERS International Astronomical Union, IAU ( i International Union of Geodesy and Geophysics, IUGG ( osnivaju International Earth Rotation Service, IERS (radno ), servis preimenovan u: International Earth Rotation and Reference Systems Service, IERS Temeljni ciljevi IERS su služiti astronomskim, geodetskim i geofizičkim zajednicama/organizacijama pružajući sljedeće: ICRS i njegova realizacija ICRF ITRS i njegova realizacija ITRF Zemljine orijentacijske parametre (EOP) geofizičke podatke za interpretaciju vremensko/prostornih varijacija u ICRF, ITRF i EOP standarde (normative), konstante i modele (tj. konvencije) 40

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Metode i instrumenti za određivanje visinskih razlika. Zdravka Šimić

Metode i instrumenti za određivanje visinskih razlika. Zdravka Šimić Metode i instrumenti za određivanje visinskih razlika Zdravka Šimić Visinski prikaz terena - konfiguracija dio plana dio karte 2 Visinski prikaz terena Izohipse ili slojnice povezuju točke iste visine.

Διαβάστε περισσότερα

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada

Διαβάστε περισσότερα

Gravitacija. Gravitacija. Newtonov zakon gravitacije. Odredivanje gravitacijske konstante. Keplerovi zakoni. Gravitacijsko polje. Troma i teška masa

Gravitacija. Gravitacija. Newtonov zakon gravitacije. Odredivanje gravitacijske konstante. Keplerovi zakoni. Gravitacijsko polje. Troma i teška masa Claudius Ptolemeus (100-170) - geocentrični sustav Nikola Kopernik (1473-1543) - heliocentrični sustav Tycho Brahe (1546-1601) precizno bilježio putanje nebeskih tijela 1600. Johannes Kepler (1571-1630)

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

1. OSNOVE ASTROMETRIJE

1. OSNOVE ASTROMETRIJE POSEBNE METODE GEODETSKE ASTRONOMIJE 1. OSNOVE ASTROMETRIJE 1.2 ASTROMETRIJSKI INSTRUMENTI predavanja, VII. semestar oko 2800. g. pr. Kr. izgrađen STONEHENGE prvotna se građevina sastojala od jarka, zemljanog

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

Mehanika je temeljna i najstarija grana fizike koja proučava zakone gibanja i meñudjelovanja tijela. kinematika, dinamika i statika

Mehanika je temeljna i najstarija grana fizike koja proučava zakone gibanja i meñudjelovanja tijela. kinematika, dinamika i statika 1. Kinematika Mehanika je temeljna i najstarija grana fizike koja proučava zakone gibanja i meñudjelovanja tijela. kinematika, dinamika i statika Kinematika (grč. kinein = gibati) je dio mehanike koji

Διαβάστε περισσότερα

Βασίλειος Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος και Τοπογράφος Μηχανικός Α.Π.Θ. Επιστημονικός συνεργάτης Τ.Ε.Ι. Αθήνας

Βασίλειος Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος και Τοπογράφος Μηχανικός Α.Π.Θ. Επιστημονικός συνεργάτης Τ.Ε.Ι. Αθήνας Βασίλειος Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος και Τοπογράφος Μηχανικός Α.Π.Θ. Επιστημονικός συνεργάτης Τ.Ε.Ι. Αθήνας Περιεχόμενα Το αντικείμενο της Δορυφορικής Γεωδαισίας Ορισμός Σύνδεση με την κλασική Γεωδαισία

Διαβάστε περισσότερα

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA FSB Sveučilišta u Zagrebu Zavod za kvalitetu Katedra za nerazorna ispitivanja PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA Josip Stepanić SADRŽAJ kapilarni učinak metoda ispitivanja penetrantima uvjeti promatranja SADRŽAJ

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y

Διαβάστε περισσότερα

Obrada signala

Obrada signala Obrada signala 1 18.1.17. Greška kvantizacije Pretpostavka je da greška kvantizacije ima uniformnu raspodelu 7 6 5 4 -X m p x 1,, za x druge vrednosti x 3 x X m 1 X m = 3 x Greška kvantizacije x x x p

Διαβάστε περισσότερα

Alarmni sustavi 07/08 predavanja 12. i 13. Detekcija metala, izvori napajanja u sustavima TZ

Alarmni sustavi 07/08 predavanja 12. i 13. Detekcija metala, izvori napajanja u sustavima TZ Alarmni sustavi 07/08 predavanja 12. i 13. Detekcija metala, izvori napajanja u sustavima TZ pred.mr.sc Ivica Kuric Detekcija metala instrument koji detektira promjene u magnetskom polju generirane prisutnošću

Διαβάστε περισσότερα

ορυφορική Γεωδαισία http://users.ntua.gr/ddeli/tepak/satgeodesy/ http://users.ntua.gr/ddeli/tepak/satgeodesy/ Ιστοχώρος του μαθήματος.

ορυφορική Γεωδαισία http://users.ntua.gr/ddeli/tepak/satgeodesy/ http://users.ntua.gr/ddeli/tepak/satgeodesy/ Ιστοχώρος του μαθήματος. ΤΕΠΑΚ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧ./ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧ & ΜΗΧ. ΓΕΩΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕΠΑΚ, ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧ./ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧ & ΜΗΧ ΓΕΩΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Μάθημα 6ου Εξαμήνου 2011-12 Δημ. Δεληκαράογλου, Αναπλ. Καθ. Σχολή ΑΤΜ,

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

ορυφορική Γεωδαισία ΤΕΠΑΚ, Σχολή Πολιτικών Μηχ. / Τοπογράφων Μηχ. και Μηχ. Γεωπληροφορικής

ορυφορική Γεωδαισία ΤΕΠΑΚ, Σχολή Πολιτικών Μηχ. / Τοπογράφων Μηχ. και Μηχ. Γεωπληροφορικής ορυφορική Γεωδαισία ΤΕΠΑΚ, Σχολή Πολιτικών Μηχ. / Τοπογράφων Μηχ. και Μηχ. Γεωπληροφορικής 6 ο Εξάμηνο 2011-12 ιδάσκων:. εληκαράογλου Ιστοσελίδες μαθήματος: http://users.ntua.gr/ddeli/tepak/satgeodesy/.

Διαβάστε περισσότερα

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet elektrotehnike i računarstva. Zavod za radiokomunikacije SATELITSKE KOMUNIKACIJSKE TEHNOLOGIJE

Fakultet elektrotehnike i računarstva. Zavod za radiokomunikacije SATELITSKE KOMUNIKACIJSKE TEHNOLOGIJE Fakultet elektrotehnike i računarstva Fakultet elektrotehnike i računarstva Zavod za radiokomunikacije SATELITSKE KOMUNIKACIJSKE TEHNOLOGIJE Pokazna laboratorijska vježba: KOMUNIKACIJSKI SATELITI ASTRA

Διαβάστε περισσότερα

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000, PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,

Διαβάστε περισσότερα

PRIMJENJENA SATELITSKA NAVIGACIJA TEMELJNI POSTUPAK ODREĐIVANJA POLOŽAJA SATELITSKIM SUSTAVIMA

PRIMJENJENA SATELITSKA NAVIGACIJA TEMELJNI POSTUPAK ODREĐIVANJA POLOŽAJA SATELITSKIM SUSTAVIMA PRIMJENJENA SATELITSKA NAVIGACIJA TEMELJNI POSTUPAK ODREĐIVANJA POLOŽAJA SATELITSKIM SUSTAVIMA Satelitska navigacija Određivanje položaja i brzine pokretnog objekta (korisničke opreme) u prostornom koordinatnom

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

Antene. Srednja snaga EM zračenja se dobija na osnovu intenziteta fluksa Pointingovog vektora kroz sferu. Gustina snage EM zračenja:

Antene. Srednja snaga EM zračenja se dobija na osnovu intenziteta fluksa Pointingovog vektora kroz sferu. Gustina snage EM zračenja: Anene Transformacija EM alasa u elekrični signal i obrnuo Osnovne karakerisike anena su: dijagram zračenja, dobiak (Gain), radna učesanos, ulazna impedansa,, polarizacija, efikasnos, masa i veličina, opornos

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.) Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

Prostorni spojeni sistemi

Prostorni spojeni sistemi Prostorni spojeni sistemi K. F. (poopćeni) pomaci i stupnjevi slobode tijela u prostoru: 1. pomak po pravcu (translacija): dva kuta kojima je odreden orijentirani pravac (os) i orijentirana duljina pomaka

Διαβάστε περισσότερα

- Geodetske točke in geodetske mreže

- Geodetske točke in geodetske mreže - Geodetske točke in geodetske mreže 15 Geodetske točke in geodetske mreže Materializacija koordinatnih sistemov 2 Geodetske točke Geodetska točka je točka, označena na fizični površini Zemlje z izbrano

Διαβάστε περισσότερα

μετασχηματισμού με την τεχνολογία των GPS. Μελέτη εφαρμογή σε δείγμα του Ν. Σερρών»

μετασχηματισμού με την τεχνολογία των GPS. Μελέτη εφαρμογή σε δείγμα του Ν. Σερρών» Σπουδαστέ : Πολυκρέτη Γεώργιο Σαραντίδη Αντώνιο «Διερεύνηση εφαρμογή αποτελεσμάτων συντελεστών μετασχηματισμού με την τεχνολογία των GPS. Μελέτη εφαρμογή σε δείγμα του Ν. Σερρών» Επιβλέπων Καθηγητή : κ.

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

Dinamika tijela. a g A mg 1 3cos L 1 3cos 1

Dinamika tijela. a g A mg 1 3cos L 1 3cos 1 Zadatak, Štap B duljine i mase m pridržan užetom u točki B, miruje u vertikalnoj ravnini kako je prikazano na skii. reba odrediti reakiju u ležaju u trenutku kad se presječe uže u točki B. B Rješenje:

Διαβάστε περισσότερα

Elementarne čestice Elementarne ili osnovne ili fundamentalne čestice = Najmanji dijelovi od kojih je sastavljena tvar. Do 1950: Elektron, proton,

Elementarne čestice Elementarne ili osnovne ili fundamentalne čestice = Najmanji dijelovi od kojih je sastavljena tvar. Do 1950: Elektron, proton, Elementarne čestice Elementarne ili osnovne ili fundamentalne čestice = Najmanji dijelovi od kojih je sastavljena tvar. Do 1950: Elektron, proton, neutron Građa atoma Pozitron, neutrino, antineutrino Beta

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

konst. Električni otpor

konst. Električni otpor Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija prenosa. Funkcija prenosa se definiše kao količnik z transformacija odziva i pobude. Za LTI sistem: y n h k x n k.

Funkcija prenosa. Funkcija prenosa se definiše kao količnik z transformacija odziva i pobude. Za LTI sistem: y n h k x n k. OT3OS1 7.11.217. Definicije Funkcija prenosa Funkcija prenosa se definiše kao količnik z transformacija odziva i pobude. Za LTI sistem: y n h k x n k Y z X z k Z y n Z h n Z x n Y z H z X z H z H z n h

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste

PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste 7. VJEŽBE PLAN ARMATURE PREDNAPETOG Dominik Skokandić, mag.ing.aedif. PLAN ARMATURE PREDNAPETOG 1. Rekapitulacija odabrane armature 2. Određivanje duljina

Διαβάστε περισσότερα

Masa, Centar mase & Moment tromosti

Masa, Centar mase & Moment tromosti FAKULTET ELEKTRTEHNIKE, STRARSTVA I BRDGRADNE - SPLIT Katedra za dinamiku i vibracije Mehanika 3 (Dinamika) Laboratorijska vježba Masa, Centar mase & Moment tromosti Ime i rezime rosinac 008. Zadatak:

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija

Διαβάστε περισσότερα

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA

OSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET U BEOGRADU KATEDRA ZA ELEKTRONIKU OSNOVI ELEKTRONIKE SVI ODSECI OSIM ODSEKA ZA ELEKTRONIKU LABORATORIJSKE VEŽBE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA Autori: Goran Savić i Milan

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

Mjerenje razine mora. Fizička oceanografija - vježbe

Mjerenje razine mora. Fizička oceanografija - vježbe Mjerenje razine mora Fizička oceanografija - vježbe Mjerenje razine mora Mjeriti možemo: Dugoperiodične oscilacije razine mora (plima & oseka, promjena razine mora uslijed promjene atmosferskog tlaka,

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura

Διαβάστε περισσότερα

Periodičke izmjenične veličine

Periodičke izmjenične veličine EHNČK FAKULE SVEUČLŠA U RJEC Zavod za elekroenergeiku Sudij: Preddiploski sručni sudij elekroehnike Kolegij: Osnove elekroehnike Nosielj kolegija: Branka Dobraš Periodičke izjenične veličine Osnove elekroehnike

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

Rotacija krutog tijela

Rotacija krutog tijela Rotacija krutog tijela 6. Rotacija krutog tijela Djelovanje sile na tijelo promjena oblika tijela (deformacija) promjena stanja gibanja tijela Kruto tijelo pod djelovanjem vanjskih sila ne mijenja svoj

Διαβάστε περισσότερα

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE)

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) (Enegane) List: PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) Na mjestima gdje se istovremeno troši električna i toplinska energija, ekonomičan način opskrbe energijom

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 2

BETONSKE KONSTRUKCIJE 2 BETONSE ONSTRUCIJE 2 vježbe, 31.10.2017. 31.10.2017. DATUM SATI TEMATSA CJELINA 10.- 11.10.2017. 2 17.-18.10.2017. 2 24.-25.10.2017. 2 31.10.- 1.11.2017. uvod ponljanje poznatih postupaka dimenzioniranja

Διαβάστε περισσότερα

Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio

Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa 9. dio 1 Sile presjeka (unutarnje sile): Udužna sila N Poprena sila T Moment uvijanja M t Moment savijanja M Napreanja 1. Normalno napreanje σ. Posmino

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka

1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka 1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

10. STABILNOST KOSINA

10. STABILNOST KOSINA MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg

Διαβάστε περισσότερα

Konvencionalni terestički referentni sistem

Konvencionalni terestički referentni sistem Konvencionalni terestički referentni sistem Da bi izračunali rastojanje između prijemnika i GPS satelita, pozicije i prijemnika i satelita moraju da budu izražene u istom koordinatnom sistemu. Pozicija

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

nvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA.

nvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA. IOAE Dioda 8/9 I U kolu sa slike, diode D su identične Poznato je I=mA, I =ma, I S =fa na 7 o C i parametar n= a) Odrediti napon V I Kolika treba da bude struja I da bi izlazni napon V I iznosio 5mV? b)

Διαβάστε περισσότερα