11. VJEŽBE RIJEŠENI PRIMJERI 1 / 9

Transcript

1 11 VJEŽBE RIJEŠENI RIMJERI 1 / Centrifualna pumpa radi na N=1750 o/min, a apsolutna brzina na ulazu u lopatični prostor je radijalna (α 1 =90 o ) Kut lopatica na ulaznom bridu u odnosu na neatini smjer obodne brzine je 1 =30 o, a na izlaznom =5 o Uz pretpostaku neiskozno strujanja i beskonačno broja beskonačno tankih lopatica (tanencijalne relatine brzine na lopatice) odredite protok Q ode ustoće =1000 k/m 3 kroz pumpu, te isinu dobae h p pumpe, snau p koju pumpa predaje odi i prirast tlaka p -p 1 kroz pumpu romjer lopatično ijenca na ulazu je D 1 =100 mm, a na izlazu D =50 mm, isina lopatica na ulazu je b 1 =15 mm, a na izlazu b =8 mm Rješenje: z=konst Kutoi 1 i se definiraju u odnosu na smjer u!!! ω u 1 rema ujetima zadatka rotor se okreće brzinom N=1750 o/min, te je kutna brzina rotacije r r 1 1 w 1 w u π N ω = = 183,3 rad s (a) 30 Ako se se eličine na ulazu u rotor označe indeksom 1, a na izlazu iz rotora indeksom, tada su obodne brzine na ulazu i izlazu iz rotora u = ω r = 9,16 m s u 1 1 = ω r =,9 m s (b) Trokuti brzina: w w 1 1 n 1 u 1 α=90 o u θ θ1 = 0 (1) θ = u w cos (3) n1 = 1 = u1t1 () n = wsin () = 5, 9 m s n1 Jednadžba kontinuiteta Q = r π b = r π b (5) 1 1 n1 n 3 Q= D1π b1 n 1 = 0,09 m s

2 11 VJEŽBE RIJEŠENI RIMJERI / 9 Iz (5) n Q = = 3,97 m s D π b n Iz () w = = 5, 61 m s sin Iz (3) = u wcos = 18,9 m s θ Osnona Euleroa jednadžba za turbostrojee 1 u θ hp = ( uθ u 1 θ1) = h =, m Uočimo da isina dobae ne oisi o ustoći fluida! p Snaa predana fluidu p = Qhp = 10,8 kw Snaa se poećaa s ustoćom fluida! rirast tlaka Δp = p p1 kroz rotor crpke se može izračunati bilo postaljanjem Bernoullijee jednadžbe od ulaza do izlaza iz rotora koja lasi Bernoullijea jednadžba p1 1 p + + hp = + ili Bernoullijee jednadžbe za rotirajuću strujnicu između istih točaka, a koja lasi p w u p w u + = U obje jednadžbe je uzeto u obzir da se rotor nalazi u horizontalnoj ranini z=konst, a iz obje jednadžbe slijedi isti prirast tlaka 1 p p1 = u w w1 1 + u n1 (idi trokut brzina na ulazu) 1 p p1 = ( u w + n1) =,61 bar odnosno 1 p p1 = h + ( 1 ) =,61 bar

3 11 VJEŽBE RIJEŠENI RIMJERI 3 / 9 11 Treba odrediti kutnu brzinu rtnje ω 0 i protok Q 0 kroz slobodno rotirajuću sinutu cije prema slici Kolika je dobiena snaa T i protok Q T za slučaj da cije rotira kutnom brzinom ω T= ω 0 / Koliku snau (i pri kojem protoku Q ) treba uložiti da bi se cije okretala kutnom brzinom ω = ω 0 retpostaite neiskozno strujanje fluida, a ubitke trenja u ležaju zanemarite Zadano je: H=0,6 m, R=0,6 m, d=60 mm, p M0 =0,31 bar, =35 o, =1000 k/m 3 H p M0 0 R d d 1 p a tlocrt Rješenje: Zadatak se rješaa primjenom osnonih jednadžbi: jednadžbe kontinuiteta, Bernoullijee jednadžbe za rotirajuću strujnicu i osnone Euleroe jednadžbe za turbostrojee Jednadžba kontinuiteta za rotirajuću cije kaže da je protok d Q w π = = konst (a) Za konstantni promjer d cijei i relatina brzina w ostaje konstantna duž cijei Bernoullijeu jednadžbu za rotirajuću strujnicu se postalja duž simetrale cijei od slobodne poršine fluida u spremniku do izlaza iz cijei (točka 1 na slici uz zadatak) Bernoullijea jednadžba za rotirajuću strujnicu, postaljena od točke 0 do točke 1 (prema slici uz zadatak) lasi pm0 w u + H = (b) Uzimajući u obzir da je obodna brzina u na ulazu u cije jednaka nuli izraz za snau za rotirajuću cije se sodi na uθ u0θ0 = QhTS = Q = Q uθ (c) dje su u = ωr = u wcos θ (d) obodna brzina i projekcija apsolutne brzine na obodni smjer u izlaznom presjeku cijei Kut je kut između relatine i obodne brzine

4 11 VJEŽBE RIJEŠENI RIMJERI / 9 w w Kod slobodno rotirajuće cijei snaa je jednaka nuli, tj projekcija θ je jednaka nuli, što je slučaj kada je apsolutna brzina okomita na obodnu brzinu u, kao što prikazuje slika (a) Jasno je da kod slobodno rotirajuće cijei brzina u leda u neatinom smjeru projekcije relatine brzine w na obodni smjer u Slika (a) Iz izraza (d) za =0 i iz slike (a) slijedi da je θ u = wcos (e) što uršteno u jednadžbu (b) daje izraz za eličinu relatine brzine, oblika ( pm 0 + H) w = = 15,0 m s 1 cos (f) Iz jednadžbe (e) obodna brzina je u = wcos = 1,3 m s, a tražena brzina rtnje ω 0 = ur= 0, rad s Iz jednadžbe (a) protok je Q 0 =,3 l/s Slobodno rotirajuća cije se rti bez anjsko utjecaja, a ako se želi da se cije rti sporije, znači da ju treba kočiti, tj kočenjem ododiti eneriju od cječice što znači da će cječica raditi kao turbina Za kutnu brzinu ω T = ω 0 = 10, rad/s, obodna brzina će biti u T = ω T R = 6,13 m s, što uršteno u jednadžbu (b) daje wt = ( pm 0 + H) + ut = 10,6 m s () a protok Q T je prema jednadžbi (a) Q T =9,8 l/s θt T w T Slika (b) prikazuje trokut brzina na izlazu iz cijei rojekcija apsolutne brzine T na smjer obodne brzine je prema izrazu (d) = u w cos =,51 m s (h) θτ T T u T Brzina θτ je neatina što ukazuje na turbinski rad, a snaa turbine je prema izrazu (c) T = QTuT = 60 W θτ Slika (b)

5 11 VJEŽBE RIJEŠENI RIMJERI 5 / 9 Ako se želi da se cječica rti brže neo kod slobodne rotacije očito će trebati dooditi snau kao i kod pumpe Za kutnu brzinu ω = ω0 = 0,8 rad/s, obodna brzina će biti u = ωr =,5 m s, a relatina brzina w = 6,0 m s, i protok Q =73,5 l/s θ Slika (c) prikazuje trokut brzina na izlazu iz cijei Brzina θ je w u w θ = cos = 3, m s (i) u Slika (c) Brzina θ je pozitina što ukazuje da se snaa doodi, a prema izrazu (c) snaa je = Qu = 5,8 kw (j) θ

6 11 VJEŽBE RIJEŠENI RIMJERI 6 / rimitina turbina preko remenice predaje korisnu snau M =730 W, pri konstantnoj brzini rtnje N=30 o/min i pri ukupnom protoku kroz turbinu Q=8,5 l/s Treba odrediti snau S koju predaje spremnik, snau T turbine i snau I fluida na izlazu iz turbine, mehanički M stupanj korisnosti η m = i T ukupni stupanj korisnosti M η u = S retpostaite jednodimenzijsko strujanje idealno fluida Zadano je H=1,3 m, R=1, m, D=0 mm, =15 o, =1000 k/m 3 A R D p M0 remenica A N=konst N H=konst resjek A-A Rješenje: U oom primjeru treba izršiti makroskopsku bilancu enerije u sustau Fluid se u spremniku nalazi pod nepoznatim pretlakom na isini H u odnosu na izlazni presjek turbine, a uz pretpostaku eliko spremnika se može smatrati da fluid u njemu miruje Saka čestica fluida ima specifičnu eneriju (po jedinici težine fluida), koja odoara piezometričkoj isini Ako fluid iz spremnika istječe protokom Q kroz turbinu, tada je snaa S koju daje spremnik jednaka umnošku piezometričke isine (npr slobodne poršine u spemniku) i težinsko protoka fluida, tj S ( = p + H)Q M0 (a) Ta se snaa dijelom predaje turbini, a dijelom, kroz izlazni mlaz turbine, odlazi u okolinu Uz pretpostaku idealno strujanja fluida snaa T turbine je definirana izrazom T = Quθ (b) dje je Q ukupni protok kroz turbinu (kroz oba kraka) U izrazu (b) je uzeto u obzir da su obodne brzina i projekcija apsolutne brzine na smjer brzine u jednake u oba izlazna presjeka turbine, te da je na ulazu u turbinu obodna brzina u=0 Fluid napušta turbinu apsolutnom brzinom, te je snaa oba mlaza na izlazu iz turbine I = Q (c) Jasno je da zbroj snaa T i I mora biti jednak snazi S koju predaje spremnik Snaa turbine T se dijelom troši na sladaanje trenja u ležaju i remenici (snaa ubitaka G ), a preostala snaa je korisna snaa M koja je zadana Za numeričko izračunaanje ore definiranih snaa, nužno je odrediti pretlak u spremniku Kutna brzina rotacije turbine je ω = π N 30 = 3,1 rad s Obodna brzina u = ωr= 3, 77 m s, a relatina brzina w je prema jednadžbi kontinuiteta jednaka

7 11 VJEŽBE RIJEŠENI RIMJERI 7 / 9 1 Q w = = 11,3 m s (d) D π dje je uzeto u obzir da kroz saki krak struji pola ukupno protoka Q Bernoullijea jednadžba za rotirajuću strujnicu od slobodne poršine u spremniku do izlaza iz turbine lasi pm0 w u + H = (e) odakle je pretlak p M0 =0, bar Snaa S koju predaje spremnik je prema izrazu (a), S =1630 W Slika (a) prikazuje trokut brzina na izlazu iz kraka turbine w rojekcija θ je = u wcos = 7,18 m s (f) θ u Slika (a) θ Neatini predznak brzine θ ukazuje da se radi o turbini, tj odođenju snae Snaa T turbine je prema (b) T =77 W, a snaa G ubitaka G = T - M = W Apsolutna brzina na izlazu iz turbine je ( sin ) = + w = 7,76 m s () θ Snaa I mlazoa na izlazu iz turbine je prema (c) I =858 W Očito je da rijedi S = T + I Traženi stupnjei korisnosti su M ηm = = 0,96 T (h) M ηu = = 0, 8 S

8 11 VJEŽBE RIJEŠENI RIMJERI 8 / 9 11 rimjenom primitine teorije propelera, odredite izraz za maksimalnu snau jetroturbine rimjenom izedeno izraza odredite potrebni promjer D rotora jetroturbine koja će kod brzine jetra od = 6 m/s daati električnu snau na izlazu iz akumulatora = 1 kw, pri čemu je stupanj korisnosti turbine η = 0,70, stupanj korisnosti mehaničko prijenosa t enerije s jetroturbine na enerator η m = 0,9, samo eneratora η G = 0,80, i akumulatora 3 za pohranu električne enerije η = 0,85 Gustoća zraka je =1, k/m a Rješenje: Vjetroturbina je uređaj koji oduzima eneriju struje zraka, a donja slika prikazuje kalitatino sliku strujanja ispred i iza rotora jetroturbine Ako se za plašt kontrolno olumena izabere strujna poršina (kroz koju nema protjecanja zraka i na kojoj je tlak jednak tlaku p ), tada zrak ulazi u kontrolni olumen kroz presjek 1, a izlazi kroz presjek 1 = p 1 3 A I F=I 1 -I =(p -p 3 )A 1 I p p p p3 p rema primitinoj teoriji propelera, rotor turbine se zamjenjuje beskonačno tankom poršinom na kojoj dolazi do skokoite promjene tlaka (ispred je tlak p, a iza p3 ), kao što je prikazano na ornjoj slici Strujanje se smatra stacionarnim i nestlačiim, a iskozne sile se zanemaruju S obzirom da jetroturbina oduzima eneriju fluidu, a da je tlak dooljno ispred i tlak p p1 dooljno iza jednak neporemećenom tlaku p, oduzeta enerija (smanjenje specifične enerije zraka iza rotora u odnosu na eneriju ispred) će se očitoati kroz smanjenje brzine u presjeku retpostalja se da su brzine jednolike po presjeku Ako se brzina strujanja kroz propeler označi s = =, tada jednadžba kontinuiteta lasi 3 Q= 1A1= A= A (a) S obzirom da se poršina poprečno presjeka od 1 prema poećaa, jasno je da će brzine opadati, a tlak od točke 1 do, te od točke 3 do rasti (s nalim padom tlaka između točaka i 3) rimjena jednadžbe količine ibanja za kontrolni olumen prema slici se sodi na izračunaanje impulsnih funkcija u presjecima 1 i jer kroz poršinu plašta kontrolno olumena nema protoka, a tlak je jednak tlaku, pa je impulsna funkcije jednaka nuli ošto na ulaznom i izlaznom presjeku lada neporemećeni tlak p, impulsne funkcije se računaju prema sljedećim izrazima: I = A= Q i I = A= Q, p

9 11 VJEŽBE RIJEŠENI RIMJERI 9 / 9 Razlika impulsnih funkcija jednaka je sili zraka na preostalu poršinu, tj poršinu A kojom je zamijenjen rotor jetroturbine S drue strane znamo da je sila tlaka na poršinu A jednaka F = ( p p ) A pa rijedi: 3 ( ) ( ) F = I I = Q = p p A (b) Od točke 1 do i od točke 3 do nema odođenja enerije zraka, pa Bernoullijee jednadžbe između tih točaka lase: p 1 BJ 1-: p + = + ili p ( = p + 1 ) (c) p3 p BJ 3-: + = + ili p ( 3 = p + ) (d) Urštaanjem (c) i (d) u (b) uz zamjenu Q= A, prema (a), dobije se A( 1 ) = A ili = (e) Bernoullijea jednadžba se može postaiti duž strujnice od točke 1 do točke, s tim da treba oditi računa da se od točke do točke 3, pomoću rotora jetroturbine zraku ododi snaa (isina pada enerije je Q ) rema tome ta bi Bernoullijea jednadžba lasila /( ) p 1 p Q BJ 1-: + = + ili = ( 1 ) (f) Q što je fizikalno jasno, da je oduzeta snaa razmjerna smanjenju kinetičke enerije zraka Zamjenom Q= A= A + u izrazu (f), slijedi izraz za snau ( ) 1 / A = ( )( 1+ 1 ) () Ako se pretpostai da su ustoća, poršina i brzina zadane eličine, postalja se pitanje kod koje brzine će snaa biti maksimalna Kao što je poznato ekstrem funkcije je u točki u kojoj je deriacija jednaka nuli, te deriiranjem izraza () po d A = 1 ( 1+ ) = 0 d ili = i izjednačaanjem s nulom slijedi Rješenja kadratne jednadžbe (h) su = i = /3 1 1 Za pro rješenje je snaa jednaka nuli, te nas to rješenje očito ne zanima, a urštaanjem druo rješenja u jednadžbu () slijedi izraz za maksimalnu snau 3 3 8A1 8A max = = (i) 7 7 Sada se ratimo na konkretni slučaj Starna snaa t koju jetroturbina treba oduzimati iz struje zraka je eća za se ubitke, pa rijedi: t = =,8 kw ηt ηm ηg ηa Urštaanjem te snae u izraz (i) slijedi formula za potrebnu poršinu rotora jetroturbine 7max A = 9,7 m 3 8 =, odnosno traženi promjer rotora je D= A/ π = 6,15 m (h)