معادلهی مشخصه(کمکی) آن است. در اینجا سه وضعیت متفاوت برای ریشههای معادله مشخصه رخ میدهد:

Transcript

1 شکل کلی معادلات همگن خطی مرتبه دوم با ضرایب ثابت = ٠ cy ay + by + و معادله درجه دوم = ٠ c + br + ar را معادلهی مشخصه(کمکی) آن است. در اینجا سه وضعیت متفاوت برای ریشههای معادله مشخصه رخ میدهد: c ١ e r١x + c e r x میباشد. معادله مشخصه دو ریشه حقیقی متمایز r ١ و r دارد. جواب عمومی بهشکل معادله مشخصه ریشه تکراری = r ١ r = r دارد. در این حالت جواب عمومی عبارت است از. (c ١ + c x)e rx = c ١ e rx + c xe rx معادله مشخصه = ٠ c + br + ar ریشه حقیقی ندارد یعنی < ٠ ۴a = b. در این حالت دو ریشه مختلط مزدوج α + iβ و α iβ داریم( ١ =.(i در این صورت جوابها عبارتند از = e (α+iβ)x ١ y و = e (α iβ)x.y جواب عمومی عبارتست از. c ١ e αx cos βx + c e αx sin βx د ر ن با ی در قسمت (ب) فرض کردیم r جواب تکراری معادله = ٠ c + br + ar است و = e rx y ١ جواب تکراری معادلهی = ٠ cy ay + by + باشد. با استفاده از روش کاهش مرتبه جواب دیگر را بهشکل = V (x)e rx y میگیریم. a ( V e rx + rv e rx + r V e rx) + b ( V e rx + V e rx) + cv e rx = ٠ V (ar + br + c) + av + (ar + b)v = ٠ جمله اول صفر است زیرا r ریشه معادله درجه دوم است. لذا = ٠ b)v (ar + +.av چون r ریشهی تکراری است لذا = ٠ b ar + پس = ٠.aV چون ٠ a پس = ٠ V در نتیجه V (x) = x و جواب دوم عبارت خواهد بود از = xe rx y که مستقل از y ١ است. در این حالت جواب عمومی عبارت است از + c x)e rx = c ١ e rx + c xe rx ١.(c در قسمت (پ) فرض کردیم معادله درجه دوم = ٠ c + br + ar ریشه حقیقی ندارد یعنی < ٠ ۴a = b. در این حالت دو ریشه مختلط مزدوج α + iβ و α iβ داریم ١) =.(i در این صورت جوابها عبارتند از = e (α+iβ)x = e αx e iβx ١ y و = e (α iβ)x = e αx e iβx.y در اعداد مختلط نشان داده میشود که برای هر θ حقیقی.e iθ = cos θ + i sin θ بنابراین y ١ = e αx (cos βx + i sin βx), y ١ = e αx (cos βx i sin βx) چون معادله دیفرانسیل حقیقی است در جستجوی جوابهای حقیقی هستیم. چون y ١ و y دو جواب معادلهی همگن هستند لذا ) y ١ ١ i (y و ) + y ١ (y ١ نیز جوابند. پس به جوابهای حقیقی e αx sin βx و e αx cos βx میرسیم. برای این دو جواب داریم W ١ (x)= e αx cos βx e αx sin βx βe αx sin βx + αe αx cos βx βe αx cos βx + αe αx sin βx =βeαx cos βx+βe αx sin βx=βe αx ٠ اینها دو جواب اساسی معادلهاند و جواب عمومی عبارتست از.c ١ e αx cos βx + c e αx sin βx ١

2 n صورت کلی معادله خطی همگن با ضرایب ثابت مرتبه n بهصورت = ٠ y + a ١ y + a ٠ + (n ١) n ١ y y (n) + a است. برای حل این معادلات همانند مرتبه دوم ابتدا معادله مشخصه را تشکیل میدهیم. y n = e r nx... y ١ = e r ١x اگر معادله مشخصه n ریشه متمایز = r n r ١ rداشته باشد آنگاه جوابهای مستقل خطی هستند. اگر معادله مشخصه n ریشه حقیقی داشته باشد ولی m تای آنها با هم مساوی باشند یعنی = r m = ١ r در اینصورت جوابهای y ١ = e r ١x, y = xe r ١x, y ٣ = x e r ١x,..., y m = x m ١ e r ١x و m+١ y n... y مشابه حالت اول بهدست میآید. توضیحات بیشتر را در قالب مثال بیان میکنیم: د ر ن با ی جواب عمومی معادله دیفرانسیل = ٠ ٣y y y را بیابید. معادله مشخصه عبارت است از = ٠ ٣r r ٣ r پس = ٠ ١ r ٣ = r و ١ = ٣ r بنابراین طبق توضیح بالا.y = c ١ e ٠x + c e ٣x + c ٣ e x و لذا جواب عمومی عبارت است از y ٣ = e x و y = e ٣x y ١ = e ٠x = ١ جواب عمومی معادله دیفرانسیل = ٠ y y را بیابید. y ٣ = e x و y = xe ٠x y ١ = e ٠x بنابراین = ١ r ٣ و = ١ r ١ = r پس = ٠ r ٣ r معادله مشخصه عبارت است از = ٠ و لذا جواب عمومی عبارت است از.y = c ١ e ٠x + c xe ٠x + c ٣ e x جواب عمومی معادله دیفرانیسیل = ٠ y y + (۴) y را بیابید. معادله مشخصه عبارت است از = ٠ ١ + r ۴ r و یا = ٠ ١) + (r ١) (r = ١)) + ١)(r ((r = ١) (r پس = ١ = r ١ r ١ = ۴ = r ٣ r درنتیجه = e x ١ = xe x y = e x y ٣ y و y ۴ = xe x بنابراین جواب عمومی عبارت است از.y = c ١ e x + c xe x + c ٣ e x + xc ۴ e x جواب عمومی معادله دیفرانیسیل = ٠ y + ٣y ٣y y را بیابید. y ١ = e x درنتیجه r ١ = r = r ٣ پس = ١ (r ١) ٣ و یا = ٠ r ٣ ٣r + ٣r ١ معادله مشخصه عبارت است از = ٠.y = c ١ e x + c xe x + c ٣ x e x لذا جواب عمومی عبارت است از y ٣ = x e x و y = xe x

3 صورت کلی معادلات مرتبه دوم خطی عبارت است از g(x).y + p(x)y + q(x)y = در حالتیکه ٠ g(x) معادله غیرهمگن است. قبلا دیدیم که اگر y ١ و y دو جواب مستقل خطی برای معادله همگن باشند تمام جوابها (جواب عمومی) از ترکیب خطی + c y ١ c ١ y بهدست میآید. فرض کنید y p یک جواب خاص برای معادله غیرهمگن باشد. در این صورت جواب عمومی معادله غیرهمگن عبارت است از + c y ١. y p + c ١ y زیرا اولا هر تابعی بهشکل فوق به ازای ثابتهای c ١ و c جواب معادله غیرهمگن است (یک جایگذاری ساده) و ثانیا اگر تابع φ جوابی از معادله غیرهمگن باشد تفاضل φ y p جواب معادله همگن است زیرا { φ + p(x)φ + q(x)φ = g(x) y p + p(x)y p + q(x)y p = g(x) تفاضل = = ٠ ) p (φ y p) + p(x)(φ y p ) + q(x)(φ y دو معادله درنتیجه به ازای ثابتهای مناسب c ١ و c داریم + c y ١ φ y p = c ١ y لذا + c y ١.φ = y p + c ١ y بنابراین برای یافتن جوابهای عمومی معادله غیرهمگن باید دو کار انجام دهیم: ١) جواب عمومی معادله همگن را بیابیم ) جواب خاصی از معادله غیرهمگن را بیابیم. ن با ی انجام کلی ندارد! ر روش د توجه کنید که هیچ کدام از دو کار بالا y +۴y = x برای معادله غیرهمگن.c ١ sin x+c cos x عبارتند از y +۴y جوابهای معادله مرتبه دوم همگن = ٠ یک جواب خاص = ١ x p y است لذا جواب عمومی عبارتست از. ١ ۴ x + c ١ sin x + c cos x مثلا برای معادله غیرهمگن ۴. ١ ۵ ex + c ١ sin x + c cos x است. پس جواب عمومی عبارتست از y p = ١ ۵ ex جواب خصوصی y + ۴y = e x گوییم. در حالتیکه ضرایب معادله ثابت باشند روش کلی برای بهدست آوردن جواب عمومی معادله همگن در دست است. با توجه بهشکل تابع g در سمت راست معادله میتوان جواب خاص برای معادله غیرهمگن بهدست آورد. این روش را ٣y ۴y = x y را حل کنید. اگر فرض کنیم که جواب بهصورت Ax باشد آنگاه = x ٣(Ax) ۴Ax (A) بهدست آوردن A از این رابطه ممکن نیست. ولی اگر جواب خاص را بهشکل + Bx + C y p = Ax بنویسیم و در معادله قرار دهیم: A ٣(Ax + B) ۴(Ax + Bx + C) = x A ٣B ۴C = ٠ ۶A ۴B = ٠ ۴A = ١ A = ١ ۴, B = ٣ ٨, C = ١٣ ٣.y p = ١ ۴ x + ٣ ٨ x ١٣ ٣ از این جا بهدست میآوریم: پس جواب خاص برابر است با ٣

4 میخواهیم معادله غیرهمگن ٣y ۴y = e x y را حل کنیم. فرض میکنیم جواب خاص بهشکل y p = Ae x باشد. در معادله قرار میدهیم: Ae x + ٣Ae x ۴Ae x = e x ٠ = e x > ٠ که این غیرممکن است. دلیل این است که e x جواب معادله همگن است و لذا هر مضربی از آن طرف چپ را صفر میکند. حال تابع y = Axe x را امتحان میکنیم: ( Ae x A(١ x)e x) ٣ ( Ae x Axe x) ۴Axe x = e x ( A + Ax) ٣(A Ax) ۴Ax = ١ ۵A = ١ A = ١ ۵ ١ = p y میباشد. پس جواب خاص بهشکل ۵ xe x حال معادله غیرهمگن ٣y ۴y = sin x y را حل میکنیم. جواب خاص را بهشکل y p = A sin x + B cos x انتخاب میکنیم و در معادله قرار میدهیم: ن با ی A sin x B cos x ٣(A cos x B sin x) ۴(A sin x + B cos x) = sin ر x د { ۵A + ٣B = ١ ٣A ۵B = ٠ A = ۵ ٣۴, B = ٣ ٣۴ معادله غیرهمگن y + ۴y = sin x را حل کنید. تابع A sin x + B cos x را نمیتوان بهعنوان جواب خاص انتخاب کرد زیرا خود جوابی از معادله همگن است. در این حالت تابع y p = Ax sin x + Bx cos x را جواب خاص میگیریم و با حل کردن A و B را بهدست میآوریم. با توجه به مثالهای فوق میتوان حالتهای کلی زیر را برای معادله دیفرانسیل g(x) ay + by + cy = در نظر گرفت: g(x) = a n x n + + a ٠ و معادله دیفرانسیل g(x) ay + by + cy = داده شده است. در این حالت جواب خاص را بهشکل y p = A n x n + + A ٠ انتخاب میکنیم اگر = ٠ c y p فوق را در x ضرب میکنیم و اگر = ٠ c y p b = فوق را در x ضرب میکنیم. در این حالت جواب خاص عبارتست از g(x) = e αx p(x) که p(x) چندجملهای درجه n مثل حالت بالا است. ) ٠ y p = e αx (A n x n + + A اگر e αx جواب معادله همگن باشد y p را در x و اگر جواب تکراری معادله همگن باشد y p را در x ضرب میکنیم. g(x) = e αx p(x) cos βx یا.g(x) = e αx p(x) sin βx در این حالت جواب خاص را بهشکل y p (x) = e αx q ١ (x) cos βx + e αx q (x) sin βx ۴ که q ١ و q هر دو چندجملهای درجهی n هستند

5 اگر عدد مختلط α ± βi ریشه معادله مشخصه باشد y p فوق را در x ضرب میکنیم. (x) (x) + + g k ١ g(x) = g که هر کدام از gها i به یکی از سه صورت فوق است در این صورت معادله را به ازای طرف راست g i حل میکنیم و جواب خاص y pi را مییابیم و سپس جوابهای خاص را با هم جمع میکنیم. معادله غیرهمگن + x sin x x + ١ = ۴y y + داده شده است. جواب کلی معادله همگن عبارتست از c ١ sin x + c cos x جواب خاص = ١ ۴y y + عبارتست از = ١ ۴ p y جواب خاص y + ۴y = x عبارتست از = ١ ۴ x p١ y جواب خاص = x sin x ۴y y + با استفاده از روش پ) بهدست میآید که = ٠ α و = β ولی ± i ٠ ریشه معادله مشخصه = ٠ ۴ + r است پس با نکته گفته شده داریم = x(ax + B) sin x + x(cx + D) cos x p.y مجموع این سه جواب جواب خصوصی معادلهی غیرهمگن اولیه است. + ٣e x.y + ۴y = x جواب کلی معادله همگن عبارتست از.c ١ sin x + c cos x برای یافتن جواب خاص ناهمگن دو مورد را بررسی میکنیم:.C = ١ ن با ی y p ١ در معادله قرار میدهیم. داریم = ١ ۴ A ٠ = B و = Ax +Bx+C ر که قرار میدهیم د y +۴y = x پس در این حالت جواب خاص ١ x = ١ ۴ p١ y است. = ٣e x ۴y.y + در این حالت قرار میدهیم y p = Ae x در معادله دومی قرار دهیم داریم = ٣ A و در نتیجه.y p لذا جواب خاص کلی برابر مجموع این دو یعنی ١ x + ١ ۴ ex = ٣ ۴ p y است. = ٣ ۴ ex و جواب عمومی معادله دیفرانسیل داده شده برابر است با ١ x + ١ ۴ ex + ٣ ۴ x y(x) = c ١ sin x + c cos با شرط اولیه.c = ١ = ٠ y(٠) و = (٠) y میتوان c ١ و c را بهدست آورد که عبارت میشوند از = ۵ ٨ ١ c و ۴ روش ضرایب نامعین برایمعادلات با ضرایب ثابت بهکار میرود شکل تابع سمت راست از نوع خاصی است یا چندجملهای است یانمایی است یا عبارت مثلثاتی و یا ترکیبی از این سه حالت. جواب عمومی معادلات دیفرانسیل زیر را بهدست آورید: y + y y = x y ۴y ۶y = ٣e x y + ۴y = x + ٣e x y + y = ٣ + ۴ sin x.(sinh x = ex e x معادله = sinh x ۴y y + y + را حل کنید (راهنمایی: معادله y = cosh x y y را حل کنید. معادله y + y + y = sin x را حل کنید (راهنمایی: sin x را بر حسب cos x بنویسید). ۵ جواب عمومی معادلات دیفرانسیل زیر را بهدست آورید:

6 y + ٩y = x e ٣x + ۶ y y +y = xe x +۴, y(٠) = ١, y (٠) = ١ y + y = ٣ sin x + x cos x y + y + y = e x cos x برای معادله + ۴xe x + x sin x = x ۴y y ۴y + شکل مناسبی برای y p بهدست آورید. (محاسبه ضرایب و ثابتها لازم نیست). ابتدا جواب معادله همگن را پیدا میکنیم: = ٠ ۴ + ۴r r پس = r ریشه تکراری است بنابراین جواب عمومی معادله همگن عبارت است از )e x + xc ١.y = (c برای جواب خصوصی معادله = x ۴y y ۴y + قرار میدهیم: + A ١ x + A ٠ = A x p١ y برای جواب خصوصی معادله y ۴y + ۴y = ۴xe x چون e x ریشه تکراری معادله همگن است لذا با نکته قسمت (ب) قرار میدهیم ) ٠ = x e x (A ١ x + A p.y برای جواب خصوصی معادله y ۴y + ۴y = x sin x قرار میدهیم:.y p = y p١ + y p + y و در آخر داریم p٣ y p٣ = (A ١ x + A ٠ ) sin x + (B ١ x + B ٠ ) cos x د ر ن با ی در این مثال به منظور جلوگیری از شلوغی حل ضرایب و ثابتها را محاسبه نکردیم سعی کنید آنها را هم بهدست آورید. با پیروی از مثال قبل با استفاده از روش ضرایب نامعین y p را در مساي ل زیر بهدست آورید محاسبه ضرایب و ثابتها لازم نیست. y + ٣y = x ۴ + x e ٣x + sin ٣x y + y = x(١ + sin x) y ۵y + ۶y = e x cos x + e x (٣x + ۴) sin x y +y +y = ٣e x +e x cos x+۴e x x sin x ۶