OSNOVI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA PROCESIMA. Vežba br. 3: Dinamički modeli sistema u MATLABu

Transcript

1 OSNOVI AUTOMATSKO UPAVLJANJA POCESIMA Vežba br. : Dinamički modeli itema u MATLABu I Prenone funkcije Dinamički itemi e mogu prikazati u tri domena: vremenkom, Laplace-ovom i frekentnom. U vremenkom domenu dinamički model e predtavlja u obliku jedne ili itema diferencijalnih jednačina. Ukoliko je item linearan, a ima jedan ulaz i jedan izlaz, pogodno ga je prikazati u Laplace-ovom domenu, tj. pomoću prenone funkcije. Pomoću Laplace-ove tranformacije e obične, linearne, diferencijalne jednačine prevode u algebarke, koje u lakše za rešavanje. Prenona funkcija e može predtaviti kao količnik dva polinoma: Y b + b m m m m n n U an + an b + b a + a 0 0 ) gde u Y i U Laplaove tranformacije ignala na izlazu i ulazu iz itema, repektivno. Imenilac prenone funkcije e zove karakteritični polinom, a izraz: n n an + an a + a0 0 ) e naziva karakteritična jednačina i značajna je za ipitivanje tabilnoti itema. Stepen polinoma u imeniocu n određuje red itema, a za prenone funkcije važi da je polinom u brojiocu manjeg ili najviše itog) reda kao polinom u imeniocu: m n. Prenona funkcija itema e takođe može predtaviti u faktorizovanoj formi: z) z ) zm ) K ) p ) p ) p ) gde je K pojačanje itema, z, z,..., z m u nule prenone funkcije dok u p, p,..., p n polovi prenone funkcije itema. Korišćenjem programkog paketa MATLAB i njegovih modula Control Sytem i Symbolic Math, moguće je izvršiti modelovanje itema koje je bazirano na relacijama ) i ). Za definianje prenonih funcija u obliku količnika dva polinoma koriti e naredba tf kraćeno od tranfer function) iz Control Sytem Toolboxa. Na primer, prenona funkcija: e u Matlabu zadaje pomoću naredbe: n

2 >> tf[ 0], [ ])! Iz predhodne naredbe e vidi da e polinomi u brojiocu i imeniocu zadaju kao vektori koeficijenata polinoma od najvišeg tepena po -u do lobodnog člana, što je definiano u Vežbi br..? Definiati prenone funkcije: i Prenone funkcije u faktorizovanom obliku e definišu pomoću naredbe zpk, koja adrži vektore nula, polova i pojačanje. Na primer, prenona funkcija: + ) + ) + ) e zadaje u Matlabu pomoću: >> zpk[ ], [-; -; -],)? Definiati prenone funkcije: + 6 i + i) + + i) + ) 0.5) U ledećem primeru će biti ilutrovano formiranje prenone funkcije za jednotavni proce koji e reće u hemijkoj indutriji. Na Slici je prikazan protočni rezervoar a tečnošću. Poprečni preek rezervoara C) je kontantan, a celokupni otpor iticanja je koncentrian na izlaznom vodu. Materijalni bilan ovog nivo itema prvog reda je: dh C Fi Fo ) F i dt Za linearni ventil u kome je koncentrian h otpor iticanja ) važi: C h F o ) Slika. Protočni rezervoar Zamenom e dobija dinamički model itema u vremenkom domenu, tj. obična diferencijalna jednačina prvog reda: dh h C Fi 5) dt Primnom Laplace-ove tranformacije na jednačinu napianu preko promenjivih odtupanja i množenjem cele jednačina a dobija e: CH Fi H 6) F o

3 Odavde e dobija prenona funkcija procea koja povezuje izlaznu veličinu viinu nivoa u rezervoaru, H, a ulaznom veličinom ulaznim protokom, F i : H F i C + 7) Ako e prenona funkcija 7) uporedi a opštim oblikom prenone funkcije prvog reda: K τ + 8) Može e uočiti da je pojačanje itema, K, u datom primeru K, a vremenka kontanta, τ, jednaka proizvodu τc. Ako je površina poprečnog preeka C m, a otpornot iticanja.5 /m, onda e dobija da je prenona funkcija za konkretni primer: H F + i 9) Prenona funkcija 9) e u MATLABu može zadati pomoću naredbe: >> tf[], [ ]) ili u faktorizovanom obliku, pomoću naredbe: >> zpk[ ], [-/], /). Definiati prenone funkcije: a) + b) c) + d) e) + ) ) + 0.5) ) 5 f) 6 + ) + ) + ) II Tranformacije iz jednog u drugi oblik prenone funkcije Prenona funkcija u obliku dva polinoma ) e tranformiše u faktorizovanu formu ) korišćenjem naredbe tfzp. Na primer, prenona funkcija: + 5 e konvertuje u faktorizovan oblik pomoću: >> [z, p, K] tfzp[ 5],[ ])

4 gde je vektor z vektor koji adrži nule prenone funkcije, p je vektor kolona) polova funkcije, dok je K pojačanje itema.? Odrediti pojačanja, nule i polove itema čija u prenone funkcije: + i K H + Konverzija iz faktorizovane forme ) u formu ) e otvaruje upotrebom naredbe zptf. Na primer: >> [bro, ime] zptf[-0.5],[-; -; -6],5) određuje koeficijente polinoma u brojiocu i imeniocu prenone funkcije čija je nula ) 0.5, polovi -, - i -6 a pojačanje K5: + ) + ) + 6)? Odrediti prenonu funkciju u obliku količnika polinoma za item: i. + ) + ) + ) + )0.5 ). Tranformiati prenone funkcije u faktorizovanu formu: a) + b) c) +. Tranformiati prenone funkcije u formu količnika dva polinoma: a) b) + ) ) + 0.5) ) 5 c) 6 + ) + ) + ) III edna i paralelena veza III. Određivanje prenone funkcije redne veze Prenona karakteritika u dva redno vezana elementa koji imaju prenone funkcije i je. Naredba erie omogućava određivanje ekvivalentne prenone funkcije dva redno vezana elementa. Na primer: >> [num,den]erie[],[ ],[],[ 5]) određuje koeficijente brojioca i imenioca prenone funkcije redne veze elemenata definianih a i

5 ? Odrediti ekvivalentnu prenonu funkciju dva redno vezana elementa a prenonim + 7 funkcijama i ! U jednoj naredbi erie mogu e redno vezati amo dva elementa. III.. Određivanje prenone funkcije paralelne veze Paralelna veza dva elementa definianih a i je ± ±.U MATLABu e za određivanje prenone funkcije dva paraleleno vezana elementa koriti naredba parallel. Na primer: >> [bro,ime]parallel[],[ ],[],[ 5]) određuje vektore koeficijenata brojioca i imenioca prenone funkcije paralelene veze elemenata čije u prenone funkcije i ? Odrediti prenonu funkciju paralelene veze elemenata čije u prenone + + karakteritike i ! U jednoj naredbi parallel mogu e redno vezati amo dva elementa.. Naći prenonu funkciju redne veze tri elemanta definiana a: i + + +, Naći prenonu funkciju paralelne veze tri elementa defininih u prvom zadatku.. Složeni reaktorki item e može predtaviti ledećim blok dijagramom: Prenone funkcije pojedinačnih reaktora u: i , +, + Naći ekvivalentnu prenonu funkciju ovog reaktorkog itema. IV Negativna povratna prega

6 Negativna povratna prega e četo koriti u itemima automatkog upravljanja i može e predtaviti pomoću ledećeg blok dijagrama: + Ekvivalentna prenona funkcija - negativne povratne prege je: + Pomoću naredbe feedback u Matlabu e dobija ekvivalentna prenona funkcija negativne povratne prege. Na primer, ako u: i, onda e prenona funkcija negativne povratne prege može dobiti pomoću: >> [bro, ime] feedback[], [ ], [], [ ])! U naredbama erie, parallel i feedback e koriti amo prenone funkcije u obliku količnika polinoma tf)? Odrediti ekvivalentnu prenonu funkciju negativne povratne prege: + - de u prenone funkcije elemenata: +, + ) + ), + +. Odrediti ekvivalentnu prenonu funkciju itema koji je definian ledećim blok dijagramom: X + + Y + - Prenone funkcije pojedinačnih elemenata u: + ),,, ) +.5).5 +