ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ"

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ )

2 Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015

3 Περιεχόµενα 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Γραµµικά συστήµατα ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ - ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ Μη Γραµµικά Συστήµατα ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Βιβλιογραφία Βιβλιογραφία Βιβλία 21 Βιβλία 21 Ιστοσελίδες 21 Ιστοσελίδες 21

4

5 Γραµµικά συστήµατα ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ - ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ Μη Γραµµικά Συστήµατα ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Γραµµικά συστήµατα ΘΕΩΡΙΑ Ερώτηση 1.1 Τι ονοµάζουµε γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους και τι ονοµάζουµε λύση της ; Κάθε εξίσωση της µορφής αx + βy = γ λέγεται γραµµική εξίσωση µε δυο αγνώστους. Λύση της ονοµάζουµε κάθε Ϲεύγος πραγµατικών (x, y) που την επαληθεύει. Ερώτηση 1.2 Τι παριστάνει γραφικά η εξίσωση y = κ; Η εξίσωση y = κ παριστάνει γραφικά µία ευθεία παράλληλη στον άξονα x0 x και η οποία διέρχεται από το σηµείο A(0, κ) Σχήµα 1.1: y = κ Ερώτηση 1.3 Τι παριστάνει γραφικά η εξίσωση x = κ; Η εξίσωση x = κ παριστάνει γραφικά µία ευθεία παράλληλη στον άξονα y 0 y και η οποία διέρχεται από το σηµείο A(κ, 0) Ρ Προσοχή : Η ευθεία x = κ δεν είναι γραφική παράσταση συνάρτησης.

6 Σχήµα 1.2: x = κ Ερώτηση 1.4 είξτε ότι η γραµµική εξίσωση αx + βy = γ µε α 0 ή β 0 παριστάνει ευθεία. ιακρίνουµε τις εξής περιπτώσεις : Εστω β 0 και α = 0. Τότε έχουµε : αx + βy = γ 0x + βy = γ βy = γ y = γ β που παριστάνει ευθεία παράλληλη στον άξονα x x και διέρχεται από το σηµείο A(0, γ β ). i Εστω β 0 και α 0. Τότε έχουµε : αx+βy = γ βy = αx+γ y = α β x+ γ β που παριστάνει ευθεία. ii Εστω β = 0 και α 0. Τότε έχουµε : αx + βy = γ αx = γ x = γ α που παριστάνει ευθεία παράλληλη στον x x και διέρχεται από το σηµείο A( γ α, 0). Ερώτηση 1.5 Τι ονοµάζουµε σύστηµα δύο γραµµικών εξισώσεων µε δύο αγνώστους ; Σύστηµα { δυο γραµµικών εξισώσεων µε δύο αγνώστους ονοµάζεται κάθε σύστηµα της µορα1 x + β 1 y = γ 1 ϕής : α 2 x + β 2 y = γ 2 Ερώτηση 1.6 Τι ονοµάζουµε λύση ενός συστήµατος και τι επίλυση ενός συστήµατος ; Λύση ενός συστήµατος ονοµάζεται κάθε Ϲεύγος (x, y) πραγµατικών αριθµών που επαλη- ϑεύει και τις δυο εξισώσεις. Επίλυση ενός συστήµατος ονοµάζεται η διαδικασία εύρεσης του συνόλου των λύσεων του συστήµατος. Ερώτηση 1.7 Τι σηµαίνει κάνουµε επαλήθευση του συστήµατος ; Η µοναδική λύση ενός γραµµικού συστήµατος δυο εξισώσεων µε δύο αγνώστους είναι το σηµείο τοµής των δύο ευθειών που παριστάνουν οι δυο εξισώσεις του συστήµατος. Ερώτηση 1.8 Με ποιες µεθόδους µπορεί να λυθεί ένα σύστηµα δύο γραµµικών εξισώσεων µε δύο αγνώστους ; Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 6

7 Μπορεί να λυθεί µε τις εξής µεθόδους : Μέθοδος της αντικατάστασης. i Μέθοδος των αντίθετων συντελεστών. ii Μέθοδος των οριζουσών. iv. Γραφική επίλυση Ερώτηση 1.9 Πότε ένα σύστηµα λέγεται αδύνατο και πώς ερµηνεύεται γεωµετρικά ; Ενα σύστηµα λέγεται αδύνατο όταν δεν υπάρχουν τιµές των x, y που να το επαληθεύουν. Οταν ένα σύστηµα είναι αδύνατο, γεωµετρικά σηµαίνει ότι οι δύο ευθείες που παριστάνουν οι δύο εξισώσεις του συστήµατος είναι µεταξύ τους παράλληλες. Σχήµα 1.3: Αδύνατο σύστηµα Ερώτηση 1.10 Πότε ένα σύστηµα έχει άπειρες λύσεις (είναι αόριστο) και πώς ερµηνεύεται γεωµετρικά ; Ενα σύστηµα έχει άπειρες λύσεις (είναι αόριστο), όταν υπάρχουν άπειρα Ϲεύγη (x, y) που το επαληθεύουν. Οταν ένα σύστηµα έχει άπειρες λύσεις, γεωµετρικά σηµαίνει ότι οι δύο ευθείες που παριστάνουν οι δύο εξισώσεις του συστήµατος συµπίπτουν. Σχήµα 1.4: Αόριστο σύστηµα Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 7

8 Ερώτηση 1.11 Πότε δύο συστήµατα λέγονται ισοδύναµα ; ύο συστήµατα λέγονται ισοδύναµα όταν έχουν ακριβώς τις ίδιες λύσεις.. Πώς ορίζονται οι ορίζου- Ερώτηση 1.12 Εστω το γραµµικό σύστηµα σες D, D x, D y ; { α1 x + β 1 y = γ 1 α 2 x + β 2 y = γ 2 Εστω το σύστηµα { α1 x + β 1 y = γ 1 α 2 x + β 2 y = γ 2. Τότε ορίζουµε τις ορίζουσες : D = α 1 β 1 α 2 β 2 = α 1 β 2 α 2 β 1 i D x = γ 1 β 1 γ 2 β 2 =γ 1 β 2 γ 2 β 1 ii D y = α 1 γ 1 α 2 γ 2 = α 1 γ 2 α 2 γ 1 Ερώτηση 1.13 Πώς γίνεται η επίλυση του γραµµικού συστήµατος µε τη ϐοήθεια των οριζουσών ; Για το γραµµικό σύστηµα { α1 x + β 1 y = γ 1 α 2 x + β 2 y = γ 2 ισχύει : Αν D 0, έχει µοναδική λύση, την (x, y) µε x = D x D και y = D y D. i Αν D = 0, είναι αδύνατο ή έχει άπειρο πλήθος λύσεων. Ερώτηση 1.14 Τι ονοµάζουµε γραµµική εξίσωση µε τρεις αγνώστους και τι ονοµάζουµε λύση της ; Μία εξίσωση της µορφής αx + βy + γz = 0, µε έναν τουλάχιστον από τους συντελεστές α, β, γ διάφορο του µηδενός, λέγεται γραµµική εξίσωση µε τρεις αγνώστους. Λύση µιας γραµµικής εξίσωσης µε τρεις αγνώστους λέγεται κάθε τριάδα αριθµών που την επαληθεύει. Ερώτηση 1.15 Τι ονοµάζουµε γραµµικό σύστηµα τριών εξισώσεων µε τρεις αγνώστους ; Σύστηµα τριών γραµµικών εξισώσεων µε τρεις αγνώστους ονοµάζεται κάθε σύστηµα της α 1 x + β 1 y + γ 1 z = δ 1 µορφής : α 2 x + β 2 y + γ 2 z = δ 2 α 3 x + β 3 y + γ 4 z = δ 3 Ερώτηση 1.16 Τι λύσεις µπορεί να έχει ένα γραµµικό σύστηµα τριών εξισώσεων µε τρεις αγνώστους ; Επειδή η επίλυση ενός γραµµικού συστήµατος 3x3, όπως είδαµε παραπάνω, ανάγεται στην επίλυση ενός γραµµικού συστήµατος 2x2, προκύπτει ότι και ένα γραµµικό σύστηµα 3x3 ή έχει µοναδική λύση ή είναι αδύνατο ή έχει άπειρο πλήθος λύσεων. Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 8

9 1.1.2 ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ - ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΕΣ Μεθοδολογία 1.1 Επίλυση συστήµατος µε τη µέθοδο της αντικατάστασης. Η µέθοδος της αντικατάστασης περιλαµβάνει τα εξής ϐήµατα : αʹ) Λύνουµε την µια εξίσωση ως προς έναν άγνωστο (συνήθως αυτόν που έχει τον µικρότερο συντελεστή κατά απόλυτη τιµή) και την τιµή του αυτή την αντικαθιστούµε στην άλλη εξίσωση. ϐʹ) Λύνουµε την εξίσωση αυτή και την λύση της την αντικαθιστούµε στην προηγούµενη εξίσωση οπότε ϐρίσκουµε και τον άλλον άγνωστο. Θέµα 1.1 Να λύσετε το σύστηµα : { x 2y = 6 3x + 4y = 8 { { x 2y = 6 x = 2y + 6 Λύση 1.1 Είναι : 3x + 4y = 8 3x + 4y = 8 { { x = 2y + 6 x = 2y + 6 6y y = 8 6y + 4y = 8 18 { { { x = 2y + 6 x = 2( 1) + 6 x = y = 1 y = 1 y = 1 Εποµένως το σύστηµα έχει λύση (x, y) = (4, 1). { x = 2y + 6 3(2y + 6) + 4y = 8 { x = 2y y = 10 { x = 4 y = 1 { x = 2y + 6 y = Μεθοδολογία 1.2 Επίλυση συστήµατος µε τη µέθοδο αντίθετων συντελεστών. Η µέθοδος των αντίθετων συντελεστών περιλαµβάνει τα εξής ϐήµατα : Βρίσκουµε το Ε.Κ.Π. των απολύτων τιµών των συντελεστών ενός αγνώστου των εξισώσεων. Προτιµούµε τον άγνωστο µε το µικρότερο Ε.Κ.Π. i Πολλαπλασιάζουµε τα µέλη κάθε εξίσωσης µε εκείνον τον αριθµό ώστε να εµφανιστεί σαν συντελεστής της µεταβλητής το Ε.Κ.Π. και µε κατάλληλο πρόσηµο ώστε οι συντελεστές να είναι αντίθετοι. ii Προσθέτουµε κατά µέλη τις εξισώσεις και προκύπτει µια εξίσωση µε έναν άγνωστο. iv. Λύνουµε την εξίσωση αυτή και την λύση της την αντικαθιστούµε στην προηγούµενη εξίσωση οπότε ϐρίσκουµε και τον άλλον άγνωστο. Θέµα 1.2 Να λύσετε το σύστηµα : { x 2y = 6 3x + 4y = 8 { { x 2y = 6 2 2x 4y = 12 Λύση 1.2 Είναι : 3x + 4y = 8 3x + 4y = 8 { { { 2x 4y + 3x + 4y = x = 20 x 2y = 6 x 2y = 6 { { { x = 4 x = 4 x = 4 4 2y = 6 2y = 6 4 y = 1 Εποµένως το σύστηµα έχει λύση (x, y) = (4, 1). x = 20 5 x 2y = 6 { x = 4 x 2y = 6 Μεθοδολογία 1.3 Επίλυση συστήµατος µε τη µέθοδο των οριζουσών. Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 9

10 Η µέθοδος των οριζουσών περιλαµβάνει { τα εξής ϐήµατα : α1 x + β 1 y = γ 1 Φέρνουµε το σύστηµα στη µορφή α 2 x + β 2 y = γ 2 i Υπολογίζουµε την ορίζουσα D ii Αν D 0 τότε υπολογίζουµε τις ορίζουσες D x, D y. Το σύστηµα έχει έχει µοναδική λύση, την (x, y) µε x = D x D και y = D y D. iv. Αν D = 0 τότε πολλαπλασιάζουµε (ή διαιρούµε) τις δύο εξισώσεις µε κατάλληλους αριθµούς ώστε τα πρώτα µέλη τους να είναι ίσα. Αν τα δεύτερα µέλη διαφέρουν τότε το σύστηµα είναι αδύνατο, διαφορετικά έχει άπειρες λύσεις. Θέµα 1.3 Να λύσετε το σύστηµα : { x 2y = 6 3x + 4y = 8 Λύση 1.3 Το σύστηµα έχει ορίζουσα : D = οπότε έχει µοναδική λύση. Εχουµε : = ( 2) = = 10 0, D x = 6 2 = ( 2) = = και D y = 1 6 = = 8 18 = Ετσι, x = D x D = = 4 και y = D y D = = 1. Εποµένως το σύστηµα έχει λύση (x, y) = (4, 1). Θέµα 1.4 Να λύσετε το σύστηµα : { 2x 3y = 40 4x + 6y = 80 Λύση 1.4 Το σύστηµα έχει ορίζουσα : D = 2 3 = 2 6 ( 4) ( 3) = = 0, 4 6 άρα το σύστηµα είναι αδύνατο { ή µε άπειρες λύσεις. Αν διαιρέσουµε την δεύτερη εξίσωση 2x 3y = 40 µε το 2 το σύστηµα γίνεται : 2x 3y = 40 δηλαδή έχει µόνο µία εξίσωση, την 2x 3y = 40. Λύνουµε την εξίσωση ως προς µία µεταβλητή και έχουµε 2x 3y = 40 2x = 40+3y y x =. 2 Άρα το σύστηµα έχει άπειρες λύσεις της µορφής (x, y) = ( κ, κ), κ R. 2 Θέµα 1.5 Να λύσετε το σύστηµα : { 2x 3y = 40 4x + 6y = 100 Λύση 1.5 Το σύστηµα έχει ορίζουσα : D = = 2 6 ( 4) ( 3) = = 0, Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 10

11 άρα το σύστηµα είναι αδύνατο ή µε άπειρες λύσεις. Αν διαιρέσουµε την δεύτερη εξίσωση µε το 2 το σύστηµα γίνεται : { 2x 3y = 40 2x 3y = 50 που είναι προφανώς αδύνατο. Μεθοδολογία 1.4 ιερεύνηση γραµµικού συστήµατος 2Χ2. Βρίσκουµε τις ορίζουσες D, D x, D y και τις αναλύουµε σε γινόµενο πρώτων παραγόντων. ιακρίνουµε τις παρακάτω περιπτώσεις : Αν D 0 (ϐρίσκουµε τις τιµές τις παραµέτρου για τις οποίες D 0) τότε το σύστηµα έχει µοναδική λύση την : x = D x D και y = D y D. i Αν D = 0, τότε κάνουµε αντικατάσταση στο σύστηµα κάθε µία από τις τιµές της παραµέτρου για τις οποίες µηδενίζεται η ορίζουσα και εξετάζουµε αν το σύστηµα είναι αδύνατο ή έχει άπειρες λύσεις. Θέµα 1.6 Να λύσετε το σύστηµα { λx + y = λ x + λy = λ + 2 Λύση 1.6 Υπολογίζουµε τις ορίζουσες : D = λ 1 1 λ = λ2 1 = (λ 1)(λ + 1). D x = λ 1 λ + 2 λ = λ2 λ 2 = (λ + 1)(λ 2). D y = λ λ 1 λ + 2 = λ(λ + 2) λ = λ2 + 2λ λ = λ 2 + λ = λ(λ + 1). ιακρίνουµε τις περιπτώσεις : 1. Αν D 0 (λ 1)(λ + 1) λ 1 0 και λ λ 1 και λ 1, τότε το σύστηµα έχει µοναδική λύση : x = D x (λ + 1)(λ 2) = D (λ 1)(λ + 1) = λ 2 λ 1 και y = D y D = λ(λ + 1) (λ 1)(λ + 1) = λ λ Αν D 0 λ = 1 ή λ = 1, τότε για : λ { = 1 το σύστηµα γίνεται { : 1x + y = 1 x + y = 1 x + 1y = που είναι αδύνατο. x + y = 3 i λ { = 1 το σύστηµα γίνεται { : 1x + y = 1 x y = 1 x 1y = 1 2 x y = 1 x y = 1 x = y + 1 που έχει άπειρες λύσεις της µορφής (x, y) = (κ + 1, κ) κ R. Μεθοδολογία 1.5 Επίλυση συστήµατος γραµµικών εξισώσεων µε περισσότερους α- πό δύο αγνώστους. Για να λύσουµε ένα γραµµικό σύστηµα µε περισσότερους από δύο αγνώστους χρησι- Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 11

12 µοποιούµε µεθόδους ανάλογες µε τις µεθόδους που χρησιµοποιήσαµε για την επίλυση ενός γραµµικού συστήµατος 2x2, δηλαδή την µέθοδο της αντικατάστασης ή την µέθοδο των αντίθετων συντελεστών. 2x y + 3z = 9 (1) Θέµα 1.7 Να λυθεί το σύστηµα x + 3y z = 10 (2) 3x + y z = 8 (3) Λύση 1.7 Με τη µέθοδο της αντικατάστασης Λύνουµε την εξίσωση (2) ως προς x και κάνουµε αντικατάσταση στις εξισώσεις (1) και (3). 2x y + 3z = 9 2( 3y + z + 10) y + 3z = 9 x = 3y + z + 10 x = 3y + z x + y z = 8 3( 3y + z + 10) + y z = 8 6y + 2z + 20 y + 3z = 9 x = 3y + z y + 3z y z = 8 7y + 5z + 20 = 29 x = 3y + z y + 2z = 22 7y + 5z = 11 2 x = 3y + z y + 2z = 22 ( 5) 14y + 10z = 58 x = 3y + z y 10z = y + 10z + 40y 10z = x = 3y + z y 10z = 110 y = 2 x = z z = 110 y = 2 x = 6 + ( 3) + 10 z = 3 y = 2 x = 6 + z z = 110 y = 2 x = 1 z = 3 26y = 52 x = 3y + z y 10z = 110 Άρα η λύση του αρχικού συστήµατος είναι η τριάδα (x, y, z) = (1, 2, 3). i Με τη µέθοδο των αντίθετων συντελεστών Θα κάνουµε απαλοιφή του z από τις εξισώσεις (2), (3). Ετσι έχουµε : 2x y + 3z = 9 x + 3y z = x + y z = 8 3 2x y + 3z = 9 3x + 9y 3z = 30 9x + 3y 3z = 24 Προσθέτουµε την (1) εξίσωση στις άλλες δυο και το σύστηµα γίνεται : Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 12

13 2x y + 3z = 9 5x + 8y = 21 11x + 2y = 15 2x y + 3z = 9 5x + 8y = 21 11x + 2y = 15 2x y + 3z = 9 5x + 8y = 21 44x 8y = 60 2x y + 3z = 9 5x + 8y = 21 39x = y + 3z = y = 21 x = 1 2 y + 3z = y = 21 x = z = 9 y = 2 x = 1 z = 1 y = 2 x = 1 ( 4) Άρα η λύση του αρχικού συστήµατος είναι η τριάδα (x, y, z) = (1, 2, 3). Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 13

14 1.1.3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ 1. ίνεται η εξίσωση : 2x + 3y = 7 Να εξετάσετε αν τα Ϲεύγη (1, 2), (3, 1), (7, 6) είναι λύσεις της εξίσωσης. i Να ϐρεθούν τα (α, β) R για να είναι λύσεις της εξίσωσης τα Ϲεύγη (α, 2), (1, β). ii Να ϐρείτε τις λύσεις της εξίσωσης. 2. Ποια από τα Ϲεύγη είναι λύσεις της αντίστοιχης εξίσωσης; x 3y = 1 µε (4, 1), (0, 1). i x 3 + y = 3 µε (1, 1), (0, 4). 3. Να λυθούν { τα συστήµατα γραφικά { και µε τη µέθοδο της{ αντικατάστασης : 2x y = 6 2x 3y = 1 3x + 4y = 7 i ii x + y = 3 5x + 4y = 37 2x 3y = 1 4. Να λυθούν { τα συστήµατα µε τη { µέθοδο των αντίθετων συντελεστών { : 2x y = 1 2x y = 1 3x 4y = 7 i ii 3x + y = 7 4x + 2y = 3 9x + 6y = 6 5. Να λυθούν τα συστήµατα : { x 2y 2x + y = (x + y) 3(x y) = 2(3 x + y) 3x { 5x + 3y 1 = 4(x 1) y i 2 3 7(x 2) 5(y 4) = 0 6. Να προσδιορίσετε τα α, β R ώστε η ευθεία µε εξίσωση αx+βy = 5 να διέρχεται από τα σηµεία A(1, 2) και B( 1, 3) 7. Να προσδιορίσετε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σηµεία A(3, 2) και B( 4, 2) 8. Να δείξετε ότι οι τρεις παρακάτω ευθείες διέρχονται από το ίδιο σηµείο. (ɛ 1 ) : 2x + 3y = 7, (ɛ 2 ) : x + y = 4, (ɛ 3 ) : 7x 11y = Το άθροισµα των ψηφίων ενός διψήφιου αριθµού είναι 3. Αν εναλλάξουµε τη ϑέση των ψηφίων του, παίρνουµε αριθµό µικρότερο του αρχικού κατά 9. Να ϐρεθεί ο αριθµός αυτός. 10. Να προσδιοριστεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σηµεία A(3, 2) και B(4, 5). Αν το σηµείο M(3, λ + 2 ) ανήκει στην ευθεία αυτή, να ϐρεθεί ο λ R. 11. ύο µαθητές Α και Β ϱωτούν τον καθηγητή της τάξης τους στο τέλος του τριµήνου για τον αριθµό των απουσιών τους και παίρνουν την απάντηση : «Ο λόγος των 5 απουσιών του Α προς του Β είναι 11, ενώ πριν τις τελευταίες 4 απουσίες ήταν 2 5. Πόσες απουσίες είχε ο κάθε µαθητής 12. Να υπολογίσετε δύο αριθµούς που έχουν άθροισµα 24 και η διαίρεση του µεγαλύτε- ϱου µε τον µικρότερο δίνει πηλίκο 2 και υπόλοιπο Ρωτήθηκε κάποιος χωρικός πόσα Ϲώα είχε και απάντησε : «Τα Ϲώα µου είναι πουλερικά και κουνέλια. Αν µετρήσεις κεφάλια τα ϐρίσκεις 48 και αν µετρήσεις πόδια, τα ϐρίσκεις 130». Πόσα πουλερικά και πόσα κουνέλια έχει ο χωρικός 14. Να λυθεί η εξίσωση 3x + 2y 12 = 0 + 4x 3y + 1 = Να λυθεί η εξίσωση (2x + 3y 2) 2 + (x + 2y + 3) 2 = Να λύσετε τις εξισώσεις : x + 3 x 1 x 2 1 x = 0 i x 1 = 0 1 x x + 1 x ii 2x 1 = 0 iv. x 1 1 x x x 1 = x 3 1 x 17. Υπολογίστε τις ορίζουσες : Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 14

15 D 1 = x + 3 x 1 x 2 1 x i D 2 = α β α2 αβ ii D 3 = x + y x y x 2 y 2 x 2 + y 2 1 x 2 y 18. είξτε ότι η ευθεία (ɛ 1 ) : είναι κάθετη στην ευθεία 3 x 1 y 2 4 (ɛ 2 ) : 1 3 x 5 = y. 19. Να προσδιορίσετε { το πλήθος{ λύσεων των συστηµάτων, χωρίς { να τα λύσετε : x 3y = 1 λx + 2y = λ + 1 5x 2y = 1 i ii 2x + y = 4 3x λy = λ 10x + 4y = Να λυθούν { και να διερευνηθούν τα { συστήµατα : x λy = 1 3x + 2y = 5 i ii λx + 3λy = 3λ + 3 λx + y = Να λυθούν { και να διερευνηθούν { τα συστήµατα : (λ 1)x y = 4λ 4x + µy = 9 i ii xλ 2y = 4 2µx + 18y = 27 { (µ 1)x + 4y = µ (µ 1)x + µ 2 y = 2 { xλ + y = 5 x + λy = 5 { { λx y = λ 2 (λ + 1)x 2y = λ iv. x λy = λ 4 v. λx λy = 2λ Να προσδιοριστεί ο λ R ώστε τα συστήµατα να έχουν : α) καµία λύση, ϐ) άπειρες λύσεις; { { x 4y = λ + 1 4x + λy = 9 i 3x + 12y = 5 2λx + 18y = Να διερευνηθούν και να λυθούν τα συστήµατα : { λx y = µ x + y = 1 i { λx + y = 2µ + 1 2x + y = 2λ µ { { λx + y = µ + 1 λx + µy = 1 ii iv. x + λy = 2µ + 3 µx + λy = λ + µ 24. Να ϐρεθούν { τα λ, µ R, ώστε { να είναι αόριστα τα συστήµατα { : λx + yµ = 1 xλ + µx = x + y (λ + 1)x µy = 4 i ii x 2y = 2 x + 3y = 1 (µ 1)x + (λ + 2)y = { Να ϐρεθούν οι τιµές του λ R ώστε το σύστηµα να είναι αδύνατο : (λ + 3)x + (λ 1)y = 2λ + 1 (λ 2)x (λ 1)y = 3λ Να ϐρεθούν { οι τιµές του λ{ R ώστε τα συστήµατα να είναι αδύνατα : x yλ = λ (λ 2)x yλ = 2 λx y = λ 2 i 4x + (λ + 3)y = Να ϐρεθούν { οι τιµές του λ R για τις{ οποίες τα συστήµατα είναι συγχρόνως αδύνατα : (2λ 1)x + 10yµ = 3 (λ 2)x (µ + 1)y = 7 i 2x + 4y = 5 3x 6y = Να ϐρεθούν { οι τιµές του λ R για{ τις οποίες τα συστήµατα είναι συγχρόνως αδύνατα : (λ 1)x yλ = 2 x + 3y = 1 i xλ + y = 0 x + yλ = ίνονται { τα συστήµατα : { (α + 1)x yβ = 1 x + (β + 2)y = α i x + y = 1 x (α 1)y = β 2 Να δειχθεί ότι αν το πρώτο είναι αόριστο, το δεύτερο είναι αδύνατο. Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 15

16 30. ίνεται η συνάρτηση : f(x) = αx + 2. Να ϐρείτε τα α, β R, ώστε να ισχύει : β + x f(0) = 1, f(4) = 3. 2x + y = λ ίνεται το σύστηµα 3x 2y + λ = 5 Να αποδείξετε ότι το σύστηµα έχει λύση για κάθε λ R i Να υπολογίσετε τα x, y ii Για ποια τιµή του λ η λύση (x, y) που ϐρήκατε επαληθεύει την σχέση x + y = 5; 32. ίνονται οι ευθείες (ɛ 1 ) : x 2y = 2, (ɛ 2 ) : λx 2y = 2 Να ϐρείτε τις σχετικές ϑέσεις των (ɛ 1 ), (ɛ 2 ) για τις διάφορες τιµές του λ R i Να ϐρείτε το λ ώστε οι ευθείες να τέµνονται κάθετα ii Για το λ να υπολογίσετε το εµβαδόν του τριγώνου που σχηµατίζετε από τις ευθείες και τον{ xx (λ + 2)x 3y = 2λ ίνεται το σύστηµα Αφού δείξετε ότι έχει µοναδική λύση x + yλ = 3 την (x 0, y 0 ), να ϐρεθεί { ο λ R, ώστε : x 0 + 3y 0 = 7. µ 2 x + yµ = ίνεται το σύστηµα x + yµ = µ Για ποια τιµή του µ R, το σύστηµα έχει µοναδική λύση την (x 0, y 0 ); i Να ϐρεθεί ο µ R ώστε, για την µοναδική λύση να ισχύει : 2x 0 + 3y 0 = 3. αx + y = ίνεται το σύστηµα α R. x + (1 α)y = 0 Να ϐρείτε τον α ώστε το σύστηµα να έχει µοναδική λύση x o, y o για την οποία ισχύει x o < y o + 1 { xλ + y = Οταν η εξίσωση : (4λ 2 9)x = 2λ 3 είναι αόριστη, δείξτε ότι το σύστηµα 3x + 2y = 2 έχει άπειρες λύσεις και να τις ϐρείτε. 37. είξτε ότι { η εξίσωση : λ(xλ 1) = x + 1, είναι αδύνατη, όταν και µόνο όταν το x + 3yλ = y σύστηµα είναι αδύνατο. x + 2y = λ Σ ένα γραµµικό σύστηµα 2x2 ισχύει D x + D y = 9D D x D y = 5D αν το σύστηµα έχει µοναδική λύση να την ϐρείτε. 39. Σ ένα γραµµικό σύστηµα 2x2 ισχύει D x + D y = 7D D x D y = 5D αν το σύστηµα έχει µοναδική λύση να την ϐρείτε. 40. Σ ένα γραµµικό σύστηµα 2x2 ισχύει 2D x + 3D y = D 4D + 7D = 11D Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 16

17 αν το σύστηµα έχει µοναδική λύση να την ϐρείτε. 41. Σ ένα γραµµικό σύστηµα 2x2 ισχύει D 2 + D 2 x + D 2 y = 2D 6D x + 4D y 14 να το λύσετε. 42. Σ ένα γραµµικό σύστηµα 2x2 µε µοναδική λύση x o, y o ισχύει D = D x + 3D y Να αποδείξετε ότι : x o + 3y o = 1 i x 2 o 9yo 2 = D x 3D y D 43. Σ ένα γραµµικό σύστηµα 2x2 ισχύει : Dx 2 + Dy 2 + D 2(D x + 2D) Να αποδείξετε ότι το σύστηµα έχει µοναδική λύση i Να ϐρείτε τη µοναδική λύση x + y = ίνεται το σύστηµα : x 2y = µ Να αποδείξετε ότι έχει µοναδική λύση για κάθε τιµή του µ i Να ϐρείτε τη µοναδική λύση (x o, y o ) ii Να ϐρείτε τις τιµές του µ για τις οποίες ισχύει : (x o + 2) 2 + (y o 1) 2 < 8 (λ 1)x + 2λy = ίνεται το σύστηµα 2λx + (λ 1)y = λ 1 Αν η εξίσωση x 2 + 5(D 1)x 6(D 1) 2 = 0 έχει µια διπλή ϱίζα Να ϐρείτε το λ i Να λύσετε το σύστηµα 2x + 3y ω = Να λυθεί το σύστηµα : x + 5y + 2ω = 3 3x 4y + 5ω = 25 x 2y + 3ω = Να λυθεί το σύστηµα : 2x 3y ω = Να λυθεί το σύστηµα : 49. Να λυθεί το σύστηµα : 50. Να λυθεί το σύστηµα : 51. Να λυθεί το σύστηµα : 3x 5y + 2ω = 0 x + y = 1 y + ω = 2 ω + x = 7 x + y ω = 5 12x 2y + 9ω = 60 4x + 3y ω = 18 2x + 6y + ω = 18 x + 2y + 3ω = 14 3x + 8y + 4ω = 20 x y + ω = 5 2x y ω = 11 x 3y + 7ω = 3 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 17

18 52. Να λυθεί το σύστηµα : 53. Να λυθεί το σύστηµα : x 2y + 3ω = 5 2x + 4y 4ω = 10 3x 6y + 9ω = 15 2x 3y + ω = 1 x y + 3ω = 8 3x + 2y + 5ω = 16 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 18

19 1.2 Μη Γραµµικά Συστήµατα ΘΕΩΡΙΑ Ερώτηση 1.17 Τι ονοµάζουµε µη γραµµικό σύστηµα ; Μη γραµµικό σύστηµα λέγεται εκείνο το σύστηµα όπου τουλάχιστον µία εξίσωση είναι µη γραµµική. Μεθοδολογία 1.6 Τα µη γραµµικά συστήµατα, συνήθως, λύνονται µε τη µέθοδο της αντικατάστασης ή µε αλλαγή µεταβλητής Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 19

20 1.2.2 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να λυθούν { τα µη γραµµικά συστήµατα { : x + 2y = 3 x 2y = 5 i x(y 1) = 0 (x 3)(x 5) = 0 { { 2x + y = 5 xy + x + y + 1 = 0 ii x 2 y 2 iv. = 0 x + 2y = 2 2. Να λυθούν µε µετασχηµατισµό τα συστήµατα : ii 2 x + 3 y = 9 1 x 2 y = 1 { 3(x + y) 2(x y) = 13 2(x + y) + 3(x y) = Να λυθούν { τα συστήµατα 8x 2 y 2 = 16 y = 2x i i iv. 3 x + 7 y = 4 { x 2 2xy + y 2 = 1 x 2y = 2 1 x + 2 y = 1 4 x + y 5 x y = 3 5 x + y 4 x y = 6 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 20

21 Βιβλία Βιβλία Ιστοσελίδες Ιστοσελίδες 2. Βιβλιογραφία 2.1 Βιβλία Μπαραλός Αλγεβρα Κυριακόπουλος Αλγεβρα Μαυρογιάννης Αλγεβρα Παπακωνσταντίνου Αλγεβρα Σχολικό ΟΕ Β Αλγεβρα Μπάρλας Αλγεβρα Λουκόπουλος Αλγεβρα Καζαντζής Αλγεβρα Ιστοσελίδες

22

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 3ο κεφάλαιο: Εξισώσεις ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 2014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 2014 Περιεχόµενα 1

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους.

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους. Μάθηµα 1 Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα Θεµατικές Ενότητες: A. Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων B. Συστήµατα 3x3 Α. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ορισµοί Κάθε εξίσωση της µορφής α x+β =γ, µε α, β, γ R παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση της µορφής α + β = γ όπου α + β 0 ( α, β όχι συγχρόνως 0) παριστάνει ευθεία. (Η εξίσωση λέγεται : ΓΡΑΜΜΙΚΗ) ΕΙ ΙΚΑ γ Αν α = 0 και β 0έχουµε =. ηλαδή µορφή = c.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoocom Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoocom Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

Θα ξέρεις τι λέγεται γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους. Λέγεται κάθε εξίσωση της μορφής αχ +βψ =γ. Θα ξέρεις τι είναι το σύστημα εξισώσεων

Θα ξέρεις τι λέγεται γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους. Λέγεται κάθε εξίσωση της μορφής αχ +βψ =γ. Θα ξέρεις τι είναι το σύστημα εξισώσεων 1. Θα ξέρεις τι λέγεται γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους. Λέγεται κάθε εξίσωση της μορφής αχ +βψ =γ. Θα ξέρεις τι είναι το σύστημα εξισώσεων Είναι ομάδα από δύο ή περισσότερες εξισώσεις των οποίων ζητάμε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 5ο κεφάλαιο: Πρόοδοι ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 014 Περιεχόµενα 1 ΠΡΟΟ

Διαβάστε περισσότερα

1. Η ευθεία y = 5 είναι κάθετη στον άξονα y y. Σ Λ. 2. Η ευθεία x = - 2 είναι παράλληλη προς τον άξονα x x. Σ Λ

1. Η ευθεία y = 5 είναι κάθετη στον άξονα y y. Σ Λ. 2. Η ευθεία x = - 2 είναι παράλληλη προς τον άξονα x x. Σ Λ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ Ερωτήσεις του τύπου «σωστό-λάθος» 1. Η ευθεία y = 5 είναι κάθετη στον άξονα y y. Σ Λ 2. Η ευθεία x = - 2 είναι παράλληλη προς τον άξονα x x. Σ Λ 3. Οι ευθείες x = κ και y

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Η εξίσωση α + βy = γ 1. Υπάρχουν προβλήματα που η επίλυση τους οδηγεί σε μια γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους, y και η οποία είναι της μορφής

Διαβάστε περισσότερα

3.3 ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ

3.3 ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ . ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΘΕΩΡΙΑ. Μέθοδοι επίλυσης : Οι βασικές µέθοδοι αλγεβρικής επίλυσης ενός γραµµικού συστήµατος δύο εξισώσεων µε δύο αγνώστους είναι δύο η µέθοδος της αντικατάστασης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1) Γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους λέγεται κάθε εξίσωση της μορφής αχ+βψ=γ, όπου α,β,γr. α) Λύση της γραμμικής αυτής εξίσωσης λέγεται κάθε ζεύγος (χ,ψ)=(χ 0,ψ 0 ) που την

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΙΓΜΑΤΙΚΗ Ι ΑΣΚΑΛΙΑ «ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟ Ο ΤΩΝ ΟΡΙΖΟΥΣΩΝ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ» 1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΡΙΣΜΟΣ 1 : Γραµµική εξίσωση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ο κεφάλαιο: Πραγματικοί αριθμοί ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 014 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο 3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η. (Σ) όπου α, β, α, β, είναι οι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο 3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η. (Σ) όπου α, β, α, β, είναι οι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ. Ποια είναι η μορφή ενός συστήματος δύο γραμμικών εξισώσεων, δύο αγνώστων; Να δοθεί παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα : Έστω ότι θέλουµε να παραστήσουµε γραφικά την εξίσωση 6χ-ψ=3. Λύση 6χ-ψ=3 ψ=6χ-3. Άρα η εξίσωση παριστάνει ευθεία. Για να τη χαράξουµε

Παραδείγµατα : Έστω ότι θέλουµε να παραστήσουµε γραφικά την εξίσωση 6χ-ψ=3. Λύση 6χ-ψ=3 ψ=6χ-3. Άρα η εξίσωση παριστάνει ευθεία. Για να τη χαράξουµε Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης ΣΣΤΗΜΤ ΜΜΩΝ ΞΣΩΣΩΝ Μ ΝΩΣΤΣ ΣΩΣ ΝΝΣ ρισµός: Μια εξίσωση της µορφής αχ+βψ=γ ονοµάζεται γραµµική εξίσωση µε δυο αγνώστους. ύση της εξίσωσης αυτής ονοµάζεται κάθε διατεταγµένο

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ . ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ. Γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους, y Λέγεται κάθε εξίσωση της µορφής α + βy = γ, µε α 0 ή β 0. Γραφική παράσταση γραµµικής εξίσωσης Κάθε γραµµική εξίσωση α + βy = γ παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

5.ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

5.ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 5.ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Για να επιλύσουμε μία παραμετρική εξίσωση ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα: i) Βγάζω παρενθέσεις ii) Κάνω απαλοιφή παρανομαστών iii) Χωρίζω γνωστούς από αγνώστους (άγνωστος είναι

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Α Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Α Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Α Λυκείου Θέμα Α. Αν x, x οι ρίζες της δευτεροβάθμιας εξίσωσης αx +βx+γ=, α να αποδείξετε ότι S P. (6 μονάδες) Β. Ελέγξατε αν κάθε μία από τις παρακάτω σχέσεις είναι σωστή

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ............................................

Διαβάστε περισσότερα

Β Λυκείου - Ασκήσεις Συστήματα. x = 38 3y x = 38 3y x = x = = 11

Β Λυκείου - Ασκήσεις Συστήματα. x = 38 3y x = 38 3y x = x = = 11 Να λυθεί το σύστημα: Β Λυκείου - Ασκήσεις Συστήματα x+ 3y= 38 3x y = 2 Θα λύσουμε το σύστημα με τη μέθοδο της αντικατάστασης: x+ 3y= 38 x = 38 3y x = 38 3y x = 38 3y 3x y = 2 338 ( 3y) y= 2 3 38 9y y =

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Ο ΚΥΚΛΟΣ. 1. Εξίσωση κύκλου (Ο, ρ) 2. Παραµετρικές εξισώσεις κύκλου. 3. Εφαπτοµένη κύκλου

3.1 Ο ΚΥΚΛΟΣ. 1. Εξίσωση κύκλου (Ο, ρ) 2. Παραµετρικές εξισώσεις κύκλου. 3. Εφαπτοµένη κύκλου 3. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΘΕΩΡΙΑ. Εξίσωση κύκλου (Ο, ρ) + y ρ. Παραµετρικές εξισώσεις κύκλου ρσυνφ και y ρηµφ 3. Εφαπτοµένη κύκλου + yy ρ 4. Εξίσωση κύκλου µε κέντρο το σηµείο Κ( o, y ο ) και ακτίνα ρ ( o ) + (y y ο

Διαβάστε περισσότερα

Ε ΝΟΤΗΤΑ 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

Ε ΝΟΤΗΤΑ 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ε ΝΟΤΗΤΑ 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Μαθηματικές Προτάσεις Πλοηγηθείτε: http://www.youtube.com/watch?v MtmJ3BArAgA Διαβάστε: Λ. Κάρολ, Η Αλίκη στη Χώρα των Θαυμάτων, Εκδόσεις Πατάκη Δείτε: Alice in

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Μέθοδοι επίλυσης γραμμικού συστήματος χ Γραφική επίλυση Σχεδιάζουμε τις ευθείες που αντιπροσωπεύουν οι εξισώσεις του συστήματος. Αν: - οι δύο ευθείες τέμνονται, τότε το σύστημα έχει

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΣ ΤΗΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΣ ΤΗΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΣ ΤΗΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ 140 ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΣ ΤΗΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ Για την αξιολόγηση του µαθητή και της διδασκαλίας ενός µαθήµατος θα πρέπει να υπάρχει ένας συνολικός σχεδιασµός κατά ευρύτερη διδακτική ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

4.3 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

4.3 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 4.3 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ. Πολυωνυµική εξίσωση Λέγεται κάθε εξίσωση της µορφής Ρ(x) = 0, όπου Ρ(x) πολυώνυµο.. Ρίζα πολυωνυµικής εξίσωσης Λέγεται κάθε ρίζα του αντίστοιχου πολυωνύµου.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 =

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 = ΕΞΙΩΕΙ-ΑΝΙΩΕΙ ου ΒΑΘΜΟΥ - 38 - ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ο Εξισώσεις - Ανισώσεις β βαθµού 5.1. Μορφή και διερεύνηση της εξίσωσης β βαθµού Άθροισµα και γινόµενο των ριζών της Κάθε εξίσωση β βαθµού πριν τη λύσουµε,

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!!

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!! ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΘΕΩΡΙΑ ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!! ΛΑΖΑΡΙ Η ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ www.lzridi.info τηλ. 6977-85-58 1 ΛΑΖΑΡΙ Η ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ www.lzridi.info

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_3.ΜλΑ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α A.. Α.. Α.3. ΘΕΜΑ Β Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή Απριλίου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος.

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Ενότητα 2 Γραμμικά Συστήματα Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Να ερμηνεύουμε γραφικά τη

Διαβάστε περισσότερα

201 5 ΘΕΜΑΤΑ Σ ΤΟΝ ΚΥ ΚΛΟ Α. ΘΕΩΡΙΑ. i. η εξίσωση του κύκλου με κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα ρ είναι η

201 5 ΘΕΜΑΤΑ Σ ΤΟΝ ΚΥ ΚΛΟ Α. ΘΕΩΡΙΑ. i. η εξίσωση του κύκλου με κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα ρ είναι η 201 5 ΘΕΜΑΤΑ Σ ΤΟΝ ΚΥ ΚΛΟ - 1-1. Να αποδείξετε ότι: Α. ΘΕΩΡΙΑ i. η εξίσωση του κύκλου με κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα ρ είναι η C : x 2 y 2 ρ 2. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη του κύκλου C: χ 2 + ψ 2 = ρ 2

Διαβάστε περισσότερα

2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 11. Α. Αν α > 0 µε α 1 τότε για οποιουσδήποτε πραγµατικούς αριθµούς θ 1, θ 2 > 0 να αποδείξετε ότι log α (θ 1 θ 2 ) = log α θ 1 + log α θ 2 Β. Έστω το σύστηµα Σ : α1x +

Διαβάστε περισσότερα

2.2 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ

2.2 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ 63 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ Η Εξίσωση Αx + Βy + Γ = 0, με Α 0 ή Β 0 Έστω ε μια ευθεία στο καρτεσιανό επίπεδο Αν η ευθεία ε τέμνει τον άξονα yy στο σημείο Σ (, 0 β ) και έχει συντελεστή διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ

3.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ . Η ΕΝΝΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ. Εξίσωση πρώτου βαθµού µε αγνώστους και νοµάζεται κάθε εξίσωση της µορφής α + β = γ. Άγνωστοι είναι το και το. Τα α, β και γ λέγοντα συντελεστές. Ειδικότερα το γ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Αντίστροφη συνάρτηση. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Συνάρτηση 1-1. Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις

ΜΑΘΗΜΑ ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Αντίστροφη συνάρτηση. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Συνάρτηση 1-1. Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΜΑΘΗΜΑ 5. ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Συνάρτηση - Αντίστροφη συνάρτηση Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Συνάρτηση :Α R λέγεται συνάρτηση, όταν για οποιαδήποτε, Α µε ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

1. Αν α 3 + β 3 + γ 3 = 3αβγ και α + β + γ 0, δείξτε ότι το πολυώνυµο P (x) = (α - β) x 2 + (β - γ) x + γ - α είναι

1. Αν α 3 + β 3 + γ 3 = 3αβγ και α + β + γ 0, δείξτε ότι το πολυώνυµο P (x) = (α - β) x 2 + (β - γ) x + γ - α είναι _ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Αν α + β + γ = αβγ και α + β + γ 0, δείξτε ότι το πολυώνυµο P () = (α - β) + (β - γ) + γ - α είναι το µηδενικό πολυώνυµο.. Να δειχθεί ότι το πολυώνυµο P () = (κ - ) + (λ + 6) +

Διαβάστε περισσότερα

όπου είναι γνήσια. ρητή συνάρτηση (δηλαδή ο βαθµός του πολυωνύµου υ ( x)

όπου είναι γνήσια. ρητή συνάρτηση (δηλαδή ο βαθµός του πολυωνύµου υ ( x) ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΡΗΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Στην παράγραφο αυτή θα εξετάσουµε την ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων, δηλαδή συναρτήσεων της µορφής p f ( ( q(, όπου p( και q ( είναι πολυώνυµα µιας µεταβλητής του µε συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; αx + βy = γ

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; αx + βy = γ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Γραμμικη εξισωση με δυο αγνωστους λεγεται καθε εξισωση της μορφης: 3. Να δειχτει οτι α + α. Ποτε ισχυει το ισον; α + β = γ Λυση της πιο. Aν πανω α, β εξισωσης θετικοι, να ειναι συγκρινεται καθε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΧΙΚΗΣ ΕΚ ΟΣΗΣ Συγγραφική ομάδα: Ανδρεαδάκης Στυλιανός Κατσαργύρης Βασίλειος Παπασταυρίδης Σταύρος Πολύζος Γεώργιος Σβέρκος Ανδρέας Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

5 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

5 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 5 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 41. α + 1 Έστω η συνάρτηση f() = ( 3 ), α 1 Αν το σηµείο Μ( 1, 3) βρίσκεται στην γραφική παράσταση της f να βρείτε το α ii ) Αν α = 0 να λύσετε την ανίσωση f() + f(2) > 2

Διαβάστε περισσότερα

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1. Α. Έστω α = (x 1, y 1 ) και β = (x, y ) δύο διανύσµατα Να γράψετε την αναλυτική έκφραση του εσωτερικού γινοµένου τους i Αν τα διανύσµατα δεν είναι παράλληλα προς τον

Διαβάστε περισσότερα

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης η δεκάδα θεµάτων επανάληψης. Για ποιες τιµές του, αν υπάρχουν, ισχύει κάθε µία από τις ισότητες α. log = log( ) β. log = log γ. log 4 log = Να λυθεί η εξίσωση 4 log ( ) + = 0 6 α) Θα πρέπει > 0 και > 0,

Διαβάστε περισσότερα

3.5 ΣΧΕΤΙΚΗ ΘΕΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ ΚΩΝΙΚΗΣ

3.5 ΣΧΕΤΙΚΗ ΘΕΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ ΚΩΝΙΚΗΣ 1 3.5 ΣΧΕΤΙΚΗ ΘΕΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ ΚΩΝΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Σχετική θέση ευθείας και κωνικής τοµής Έστω η ευθεία ε : y = λx + β και µία κωνική τοµή C µε εξίσωση την φ(x, y) =. Το πλήθος των κοινών σηµείων της ε και

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων

Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων 1. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις µόνο µε αριθµούς, λέγεται αριθµητική παράσταση. Παράδειγµα: + + 1 =. είναι µια αριθµητική παράσταση, το αποτέλεσµα των

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Συνοπτική Θεωρία Ασκήσεις της Τράπεζας Θεμάτων Ερωτήσεις Σωστού-Λάθους Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Συντακτική ομάδα mathp.gr Συντονισμός

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα A. Αν α, β i. αβ Θέµα ο µη µηδενικά διανύσµατα και ισχύει α+ β + α β =, τότε να δείξετε ότι: και ii. Αν α β τότε ισχύει α + β =. B. Να βρεθούν οι τιµές του λ ώστε η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος Κεφάλαιο ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος 1. * Οι πραγματικοί αριθμοί είναι σταθερά πολυώνυμα. Σ Λ. * Το σταθερό πολυώνυμο 0 λέγεται μηδενικό πολυώνυμο. Σ Λ 3. * Κάθε σταθερό και μη μηδενικό

Διαβάστε περισσότερα

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1. Έστω η εξίσωση (k 5k+ 4) x (k 1)x + 1= 0 Να βρείτε την τιµή του k ώστε η εξίσωση να έχει µία µόνο ρίζα την οποία ρίζα να προσδιορίσετε i Να βρείτε την τιµή του k ώστε η

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη A Μάθημα: Άλγεβρα

Τάξη A Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη A Μάθημα: Άλγεβρα Ερωτήσεις Θεωρίας Θέματα Εξετάσεων Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Α. Θεωρία - Αποδείξεις.. Σελ. Β. Θεωρία-Ορισμοί. Σελ.16 Γ. Ερωτήσεις Σωστού Λάθους...

Διαβάστε περισσότερα

Επομένως η εξίσωση αυτή παριστάνει ευθεία που έχει συντελεστή διεύθυνσης λ = -

Επομένως η εξίσωση αυτή παριστάνει ευθεία που έχει συντελεστή διεύθυνσης λ = - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο (ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ) Παράγραφος 1.1 (ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ) Πότε μια εξίσωση λέγεται γραμμική; Η εξίσωση α + βy = γ Κάθε εξίσωση της μοεφής α + βy = γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση, παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Λ. ΑΙΔΗΨΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Λ. ΑΙΔΗΨΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Λ. ΑΙΔΗΨΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 01-013 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 1 ο Α. Έστω a ένας πραγματικός αριθμός. Να δώσετε τον ορισμό της απόλυτης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΗΣ ΕΠΙ ΟΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ΣΤΟ 3ο ΚΑΙ ΤΟ 4ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΗΣ ΕΠΙ ΟΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ΣΤΟ 3ο ΚΑΙ ΤΟ 4ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΗΣ ΕΠΙ ΟΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ΣΤΟ 3ο ΚΑΙ ΤΟ 4ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Τα θέµατα που συνθέτουν τα σχέδια κριτηρίων που ακολουθούν αντλήθηκαν από τις ερωτήσεις του σχεδιασµού αξιολόγησης

Διαβάστε περισσότερα

ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ. Αλγ ε β ρ α. Γενικής Παιδειασ

ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ. Αλγ ε β ρ α. Γενικής Παιδειασ ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ Αλγ ε β ρ α Β Λυ κ ε ί ο υ Γενικής Παιδειασ Α Τό μ ο ς 3η Εκ δ ο σ η Πρόλογος Το βιβλίο αυτό έχει σκοπό και στόχο αφενός μεν να βοηθήσει τους μαθητές της Β Λυκείου να κατανοήσουν καλύτερα την

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

. Όλες οι συναρτήσεις δεν μπορούν να παρασταθούν στο καρτεσιανό επίπεδο όπως για παράδειγμα η συνάρτηση του Dirichlet:

. Όλες οι συναρτήσεις δεν μπορούν να παρασταθούν στο καρτεσιανό επίπεδο όπως για παράδειγμα η συνάρτηση του Dirichlet: Κεφάλαιο: Συναρτήσεις Γραφική παράσταση συνάρτησης Γράφημα μιας συνάρτησης ( ) ονομάζουμε το σύνολο των σημείων G( ) (, ( ) ) / A που είναι υποσύνολο του. Το γράφημα αυτό { } συνήθως παριστάνεται πάνω

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1 Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Θ έ μ α Α Α. α. Πότε η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 έχει διπλή ρίζα; Ποια είναι η διπλή ρίζα της; 4 μονάδες β. Ποια μορφή παίρνει το τριώνυμο αx + βx + γ, α 0, όταν Δ = 0; 3 μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Διδακτικοί Στόχοι: Θα μάθουμε: Να κατανοούμε την έννοια της εξίσωσης και τη σχετική ορολογία. Να επιλύουμε εξισώσεις πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο. Να διακρίνουμε πότε μια εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο. - Συστήµατα γραµµικών εξισώσεων της µορφής: α

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο. - Συστήµατα γραµµικών εξισώσεων της µορφής: α ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ - - ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο - Συστήµατα ραµµικών εξισώσεων της µορφής: α x+ β y= α x+ β y= Λύση του (Σ) καλείται η διαδικασία εύρεσης των τιµών του x και του y που επαληθεύουν και τις δύο

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Κύκλος. 6. Για ποια τιμή του λ το σημείο Μ(2λ + 1, λ) ανήκει στον κύκλο με εξίσωση (x 3) 2 + (y + 4) 2 = 100

Ασκήσεις Κύκλος. 6. Για ποια τιμή του λ το σημείο Μ(2λ + 1, λ) ανήκει στον κύκλο με εξίσωση (x 3) 2 + (y + 4) 2 = 100 Ασκήσεις Κύκλος 1. Να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του κύκλου (x + 5) + (y 5) =. Να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του κύκλου x + y 8x + 4y + 11 = 0 3. Ποια πρέπει να είναι η ακτίνα του κύκλου (x 1)

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις ευτέρου Βαθµού

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις ευτέρου Βαθµού ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις ευτέρου Βαθµού 108 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση: 1 1 1 ( x+ )(x ) = x 3 3 9. Αν η εξίσωση (x - 3) λ + 3 = λ x έχει ρίζα τον αριθµό, να υπολογιστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΘΕΙΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΕΥΘΕΙΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» Κεφάλαιο ο: ΕΥΘΕΙΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος». * Συντελεστής διεύθυνσης µιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτοµένη της γωνίας που σχηµατίζει η ευθεία (ε) µε τον άξονα x x. Σ Λ. * Ο συντελεστής διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης 999-000) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό -

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ 1.1.. ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ ΕΜΑ ΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1. Εξίσωση γραµµής C Μια εξίσωση µε δύο αγνώστους x, y λέγεται εξίσωση µιας γραµµής C, όταν οι συντεταγµένες των σηµείων της C, και µόνον αυτές, την επαληθεύουν..

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2015 Β ΦΑΣΗ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2015 Β ΦΑΣΗ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 05 Ε_.ΒΜλΘ(α) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ A Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ηµεροµηνία: Κυριακή 6 Απριλίου 05 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία σχολικού βιβλίου, σελίδα.

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει μέρος πρώτο v v 1 v 1 Γενική μορφή πολυωνύμου: ( ) 1 1 Όροι του ( ) v v v P = a v + av 1 + av +... + a + a 1 + a, ν Ν, α ν R Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή. P : a, a, a,...,

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,...

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,... 3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν-1 +...+α

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή : α+β=0 ή α=-β () λέγεται εξίσωση ου βαθμού (ή πρωτοβάθμια εξίσωση), με άγνωστο το, ενώ

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια της γραμμικής εξίσωσης

Η έννοια της γραμμικής εξίσωσης Η έννοια της γραμμικής εξίσωσης Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ Η εξίσωση αx+βy = γ Λύση της εξίσωσης α x + β y = γ ονομάζεται

Διαβάστε περισσότερα

2.3 Πολυωνυμικές Εξισώσεις

2.3 Πολυωνυμικές Εξισώσεις . Πολυωνυμικές Εξισώσεις η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις που μας ζητούν να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση.. Να λυθούν οι εξισώσεις: i. + + + 6 = 0 ii. 7 = iii. ( + ) + 7 = 0 iv. 8 + 56 = 0 i. + + + 6 = 0 (

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός εφαπτομένης καμπύλης Αν μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x, τότε ορίζουμε ως εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Α(x, f(x )) την

Διαβάστε περισσότερα

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις Ορισµός πολυωνύµου Ονοµάζoυµε ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ του κάθε παράσταση της µορφής α ν ν +α ν- ν- + +α +α 0, ν ΙΝ και α 0, α,, α ν-, α ν ΙR. Παρατηρήσεις α. Τα α ν ν, α

Διαβάστε περισσότερα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα Πανεπιστηµιο Ιωαννινων σχολη θετικων επιστηµων τµηµα µαθηµατικων τοµεας αλγεβρας και γεωµετριας αναλυτικη γεωµετρια διδασκων : χρηστος κ. τατακης υποδειξεις λυσεων των θεµατων της 7.06.016 ΘΕΜΑ 1. µονάδες

Διαβάστε περισσότερα

4. Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = x 3 2x 2 + x 12 α) Να αιτιολογήσετε γιατί το διώνυμο x 3 είναι παράγοντας του P(x) β) Να λύσετε την εξίσωση P(x) = 0

4. Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = x 3 2x 2 + x 12 α) Να αιτιολογήσετε γιατί το διώνυμο x 3 είναι παράγοντας του P(x) β) Να λύσετε την εξίσωση P(x) = 0 1. α) Να βρείτε το υπόλοιπο και το πηλίκο της διαίρεσης (x 3 6x 2 +11x 2) : (x 3) β) Αν P(x) = x 3 6x 2 +11x + λ να βρείτε το λ R ώστε η διαίρεση P(x) : (x 3) να έχει υπόλοιπο 0. 2. Δίνονται τα πολυώνυμα:

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στην ευθεία. 2. Θεωρούµε την γραµµή µε εξίσωση x 2 +y 2-2x+y-5=0. Βρείτε τα σηµεία της καµπύλης, αν υπάρχουν, µε τετµηµένη -1.

Ασκήσεις στην ευθεία. 2. Θεωρούµε την γραµµή µε εξίσωση x 2 +y 2-2x+y-5=0. Βρείτε τα σηµεία της καµπύλης, αν υπάρχουν, µε τετµηµένη -1. Ασκήσεις στην ευθεία 1. Να βρείτε τα σηµεία τοµής των γραµµών µε εξισώσεις : α) 7x-11y+1=0, x+y-=0 β) y-3x-=0, x +y =4 γ) x +y =α, 3x+y+α=0. Θεωρούµε την γραµµή µε εξίσωση x +y -x+y-5=0. Βρείτε τα σηµεία

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Η γενική μορφή της εξίσωσης ευθείας είναι η από τα Α, Β διάφορο του μηδενός

Η γενική μορφή της εξίσωσης ευθείας είναι η από τα Α, Β διάφορο του μηδενός ΕΥΘΕΙΑ Να προσέχεις ότι: Η γενική μορφή της εξίσωσης ευθείας είναι η από τα Α, Β διάφορο του μηδενός Ax+By+Γ=0, με κάποιο Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από ένα σημείο Α(x 0,y 0 ) και έχει συντελεστή

Διαβάστε περισσότερα

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ ( 3.) ΚΥΚΛΣ Γνωρίζουµε ότι ένας κύκλος (, ρ) είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν µια ορισµένη απόσταση ρ από ένα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Ευθεία. Ασκήσεις Ευθεία

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Ευθεία. Ασκήσεις Ευθεία Ασκήσεις Ευθεία 1. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από το σηµείο τοµής των ευθειών 3x + 4y 11 = 0 και 2x 3y + 21 = 0 και να γίνει η γραφική της παράσταση όταν είναι: i) παράλληλη στην

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Όταν έχουμε δύο γραμμικές εξισώσεις αx+βy=γ και α x+β y=γ και ζητάμε τις κοινές λύσεις τους, τότε λέμε ότι έχουμε να λύσουμε ένα γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

Γραφική επίλυση γραμμικού συστήματος με δύο αγνώστους.

Γραφική επίλυση γραμμικού συστήματος με δύο αγνώστους. ΜΕΡΟΣ Α 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ 71 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ Αν έχουμε δύο γραμμικές εξισώσεις με δύο αγνώστους,, π.χ. α + β

Διαβάστε περισσότερα

2 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5.

2 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5. Ευθεία Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5. Εξίσωση γραμμής Συντελεστής διεύθυνσης ευθείας Συνθήκες καθετότητας και παραλληλίας ευθειών Εξίσωση ευθείας ειδικές περιπτώσεις Σχόλιο Το σημείο είναι ο θεμελιώδης λίθος της

Διαβάστε περισσότερα

π (α,β). Έστω τα διανύσματα π (α,β) να βρεθούν:

π (α,β). Έστω τα διανύσματα π (α,β) να βρεθούν: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 1. Για τα διανύσματα α, β δίνεται ότι α =1, β = και u α β, v α - β.να υπολογίσετε: π (α,β). Έστω τα διανύσματα α. το εσωτερικό γινόμενο α β β. τα μέτρα u, v των διανυσμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός

ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός 01 ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παραπάνω φυλλάδιο φτιάχτηκε για να προσφέρει λίγη βοήθεια κυρίως στους

Διαβάστε περισσότερα

Το βιβλίο αυτό είναι γραμμένο με βάση την αναμορφωμένη έκδοση του σχολικού

Το βιβλίο αυτό είναι γραμμένο με βάση την αναμορφωμένη έκδοση του σχολικού www.ziti.gr Πρόλογος Το βιβλίο αυτό είναι γραμμένο με βάση την αναμορφωμένη έκδοση του σχολικού βιβλίου Άλγεβρας της Αʹ τάξης του Γενικού Λυκείου, που θα διδάσκεται από το σχολικό έτος 00-0. Είναι ένα

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές 0 Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Για να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση P(x) 0 (ή μια πολυωνυμική ανίσωση P(x)

Διαβάστε περισσότερα

Ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ έχει εξίσωση: B,- 2 A 2

Ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ έχει εξίσωση: B,- 2 A 2 3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Κύκλος είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που απέχουν σταθερή απόσταση από ένα σταθερό σημείο του επιπέδου αυτού. Το σταθερό σημείο

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ . ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας. = 4 Να λύσετε το σύστηµα + = αλγεβρικά γραφικά = 4 = 4+ + = + = = 4+ 4 + + = = 4+ = = 4+ = = 4 = = = = 4 = 4 παριστάνει ευθεία ε Για = 0

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άσκηση 1 Από τους µαθητές ενός Λυκείου, το 25% συµµετέχει στη οµάδα, το 30% συµµετέχει στη θεατρική οµάδα ποδοσφαίρου και το 15% των µαθητών

Διαβάστε περισσότερα

6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1 6. ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Οι συντεταγµένες σηµείου Ο Ο άξονας τετµηµένων άξονας τεταγµένων (ΟΚ) µε πρόσηµο = α, η τετµηµένη του Μ (ΟΛ) µε πρόσηµο = β, η τεταγµένη του Μ Το ζευγάρι (α,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ασκήσεις. Επιµέλεια.: Κάτσιος ηµήτρης. Μεθοδολογία Παραδείγµατα Ασκ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ασκήσεις. Επιµέλεια.: Κάτσιος ηµήτρης. Μεθοδολογία Παραδείγµατα Ασκ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1 εθοδολογία Παραδείγµατα σκ σκήσεις πιµέλεια.: άτσιος ηµήτρης Ρ ια να προσθέσουµε (ή να αφαιρέσουµε) δύο µιγαδικούς, προσθέτουµε (ή αφαιρούµε) τα πραγµατικά και τα φανταστικά τους µέρη, δηλαδή: ± = [Re

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης 999-000) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος».

Διαβάστε περισσότερα