KΕΦΑΛΑΙΟ 3. Πλεγµένες συναρτήσεις- Ανάπτυγµα Taylor-Aκρότατα

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "KΕΦΑΛΑΙΟ 3. Πλεγµένες συναρτήσεις- Ανάπτυγµα Taylor-Aκρότατα"

Transcript

1 KΕΦΑΛΑΙΟ 3 Πλεγµένες συναρτήσεις- Ανάπτυγµα Talor-Aκρότατα 3 Πλεγµένες συναρτήσεις Σε πολλές περιπτώσεις συναντούµε µία (ή και περισσότερες) εξισώσεις µεταξύ διαφόρων µεταβλητών πχ της µορφής e + συν ( ) + Το ερώτηµα που τίθεται είναι εάν µπορεί να επιλυθεί η εξίσωση ως προς κάποια µεταβλητή συναρτήσει των υπολοίπων Αν για παράδειγµα µπορούσαµε να λύσουµε την παραπάνω εξίσωση πχ ως προς αυτό θα σήµαινε ότι η παραπάνω εξίσωση είναι της µορφής Φ (,, (, )) Στην πράξη αυτό γενικά είναι δύσκολο και όταν γίνεται συνήθως δεν οδηγεί σε µοναδικότητα λύσεων Για παράδειγµα η εξίσωση της µοναδιαίας σφαίρας + + µπορεί να επιλυθεί ως προς αλλά η λύση δεν είναι µοναδική διότι 78 ±, + Προφανώς η εξίσωση σφαίρας µπορεί να επιλυθεί είτε ως προς ή µε ανάλογα αποτελέσµατα Παρατηρούµε όµως ότι αν περιοριστούµε αυστηρά σε κάποιο ηµισφαίριο τότε υπάρχει µοναδική λύση Το ερώτηµα λοιπόν που τίθεται είναι το εξής: Φ,, είναι µια εξίσωση ως προς τις µεταβλητές,,, P,,, είναι ένα σηµείο που ικανοποιεί την Αν ( ) και ( ) παραπάνω εξίσωση (δηλαδή Φ ( P ) ), τότε υπάρχει κάποια περιοχή π ( P ) ώστε η εξίσωση Φ ( ) να λύνεται µονοσήµαντα ως,,, ε,, είναι µια πλεγµένη συνάρτηση των µεταβλητών,, µέσω της σχέσης Φ (,, ) Το επόµενο Θεώρηµα δίνει µία ικανή συνθήκη όσον αφορά την ύπαρξη µιας τέτοιας συνάρτησης προς ; Αν η απάντηση είναι θετική τότε λέµε ότι η ( ) Θεώρηµα 3 Eστω ( ) Φ,, είναι µία συνάρτηση + µεταβλητών µε συνεχείς µερικές παραγώγους σε κάποια περιοχή π ε ( P ) σηµείου P,,, έτσι ώστε ( )

2 Φ Φ ( P ) και ( P ) Τότε υπάρχει ορθογώνιο χωρίο εντός της π ε ( P ) της µορφής (για κάποια, i { (,,, ) :, i i i } T P < a < b a b> ) τέτοιο ώστε για κάθε η εξίσωση ( ) ( ) { i i i} T,, : Q < a,, εντός του χωρίου Φ,, λύνεται µονοσήµαντα ως προς, δηλαδή,,, όπου οι τιµές της ανήκουν στο διάστηµα { : } I < b Επιπλέον η είναι συνεχώς παραγωγίσιµη στο Τ και για κάθε Q T ισχύει Φ ( P) i ( Q), ( P T) i Φ ( P) Σηµείωση O τύπος της παραγώγου στο παραπάνω Θεώρηµα προκύπτει εύκολα από το κανόνα αλυσίδας λαµβάνοντας υπόψη την ισότητα Πράγµατι έχουµε: ( ( ) ) Φ,,,, ( ) dφ,,,, Φ d + +Φ d +Φ d Φ d + +Φ d +Φ d + + d Φ +Φ d + + Φ +Φ d Φ i Φ +Φ i,,, i i i Φ Εφαρµογή (α) Eφαπτόµενο επίπεδο επιφάνειας σε πλεγµένη µορφή Εστω τώρα µία επιφάνεια S δίνεται σε πλεγµένη µορφή από τη σχέση (,, ) 79

3 Θα λέµε ότι µια ευθεία είναι εφαπτόµενη της επιφάνειας S σε σηµείο Ρ αν είναι εφαπτόµενη σε κάποια καµπύλη της επιφάνειας που διέρχεται από το Ρ Aν στο σηµείο Ρ δεν υπάρχει κάποια από τις µερικές παραγώγους,, ή αν ισχύει ( P) ( P) ( P), τότε το Ρ καλείται ανώµαλο σηµείο της επιφάνειας Αντιθέτως αν όλες οι µερικές παράγωγοι είναι συνεχείς στο Ρ και τουλάχιστον µία εξ αυτών είναι µη µηδενική τότε λέµε ότι το Ρ είναι οµαλό σηµείο της επιφάνειας S r είναι µια καµπύλη πάνω στην επιφάνεια S Τότε κάθε σηµείο της καµπύλης ικανοποιεί την εξίσωση ( t, t, t ) Εστω τώρα c: () t ( (), t (), t ()), t t [ a, b] Αν Ρ είναι οµαλό σηµείο της S και η c διέρχεται από το Ρ, δηλαδή P ( ( t), ( t), ( t)) για κάποιο t, παραγωγίζοντας και χρησιµοποιώντας τον κανόνα αλυσίδας βρίσκουµε ( P) ( t ) + ( P) ( t ) + ( P) ( t ) ή ισοδύναµα ( ) ( P) ( t ), ( t ), ( t ) Αλλά είναι γνωστό ότι το διάνυσµα ( t ) ( ( t ), ( t ), ( t )) r έχει τη διεύθυνση της εφαπτόµενης ευθείας της καµπύλης c στο Ρ, συνεπώς το διάνυσµα κλίσης ( P ) είναι κάθετο στην καµπύλη c To ίδιο συµβαίνει και για όλα τα άλλα εφαπτόµενα διανύσµατα στο Ρ, οπότε συµπεραίνουµε ότι όλα τα εφαπτόµενα διανύσµατα στο Ρ ανήκουν στο ίδιο επίπεδο το οποίο καλούµε εφαπτόµενο επίπεδο της επιφάνειας S στο Ρ Αν Ρ (ρ,ρ,ρ 3 ) τότε η εξίσωση του εφαπτόµενου επιπέδου είναι ( ρ ) ( ρ ) ( ρ ) ( P) + ( P) + ( P) 3 και το κανονικό διάνυσµα του επιπέδου είναι το διάνυσµα κλίσης ( P ) Εφαρµογή (β) Ευθεία κάθετη σε επιφάνεια Εστω µια διαφορίσιµη επιφάνεια : (,, ) P,, είναι ένα οµαλό σηµείο αυτής Tότε το διάνυσµα κλίσης ( P ) είναι κάθετο στο εφαπτόµενο επίπεδο της επιφάνειας στο P και συνεπώς η διανυσµατική εξίσωση της καθέτου (ευθείας) της επιφάνειας στο P δίνεται από τη σχέση S και 8

4 ε : λ, λ r ( t) OP + ( P ) Εφαρµογή (γ) Εφαπτόµενη ευθεία καµπύλης που δίνεται ως τοµή δύο επιφανειών Εστω η καµπύλη c που ορίζεται ως τοµή δύο διαφορίσιµων επιφανειών S : (,, ) και S : (,, ) g Τότε γράφουµε Εστω P (,, ) { (,, ), (,, ) } c g είναι οµαλό σηµείο της καµπύλης c Tότε το εφαπτόµενο διάνυσµα της καµπύλης c στο σηµείο P είναι κάθετο στα διανύσµατα κλίσης ( P ) και gp ( ) αντιστοίχως Αρα αν r () t είναι P r t, τότε µια παραµετροποίηση της καµπύλης και αν r t ( P) g( P) είναι ένα διάνυσµα παράλληλο στην εφαπτόµενη ευθεία της καµπύλης c στο σηµείο P και συνεπώς η διανυσµατική εξίσωση της εφαπτόµενης ευθείας της c στο P δίνεται από τη σχέση ( t) ( t ) ( t ) Σύστηµα πλεγµένων συναρτήσεων ε : r r + λ r, λ ( ) Φ,,,,, m Θεώρηµα 3 Εστω είναι m το πλήθος Φ m(,,,,, m) εξισώσεων, όπου οι Φ,, Φ m είναι συναρτήσεις m+ µεταβλητών µε συνεχείς µερικές παραγώγους σε κάποια περιοχή π ε ( P ) σηµείου P,,,,, έτσι ώστε ( m) D( Φ,, Φm) Φ i ( P ) i,, m και ( P ) D (,, ) Τότε υπάρχει ορθογώνιο χωρίο εντός της π ( P ) της µορφής {,,,,, m : i i i, j j j} T P < a < b ε m 8

5 (για κάποια a, b >, i,,, j,, m) τέτοιο ώστε για κάθε Q,, εντός του χωρίου i j { i i i} T,, : Q < a το σύστηµα εξισώσεων ( ) Φ i,,,,, να λύνεται µονοσή- µαντα ως προς i, δηλαδή (,, ), m m(,, ) και οι τιµές των συναρτήσεων j να ανήκουν στο διάστηµα I : < b j,, Επιπλέον κάθε συνάρτηση j είναι { } j j j συνεχώς διαφορίσιµη στο Τ και για κάθε Q T ισχύει D( Φ,, Φm) ( P) ( Q) D(,,,,,, ), ( P T) j j i j+ m D( Φ,, Φm) i ( P ) D (,, ) m Εφαρµογή Αντιστροφή συστήµατος Αν στο Θεώρηµα 3 πάρουµε m και θεωρήσουµε την ειδική περίπτωση Φ i i i(,, ), i,, τότε το Θεώρηµα 3 µας δίνει τοπικά τη λύση ενός συστήµατος -εξισώσεων µε -αγνώστους (τις µεταβλητές,, m ) µέσω του συστήµατος Φ,,,, i,, i i Το παραπάνω σχετίζεται άµεσα µε την ύπαρξη αντίστροφης απεικόνισης ενός πεδίου F : D E Με άλλα λόγια έστω F: D E : Q F P ( P),, ( P), ( P) i i είναι ένα διαφορίσιµο πεδίο σε κάποια περιοχή σηµείου P έτσι ώστε ( ) D(,, ) D,, ( P) 8

6 - Τότε υπάρχει η αντίστροφη απεικόνιση ( Q) (,, ) περιοχή σηµείου Q ( P ) περιοχής και ισχύει Επιπλέον F σε κάποια F, είναι διαφορίσιµη εντός αυτής της - ( Q) ( ) ( P) F F (,, ) ( ) ( ) D(,, ) D Q D,, D,, ( P) Αν το πεδίο F είναι αντιστρέψιµο στο Ε τότε καλείται µετασχηµατισµός 3 Tύπος του Τalor Θεώρηµα 33 Εστω : E είναι m+-φορές διαφορίσιµη συνάρτηση επί ανοικτού συνόλου E και P E Τότε υπάρχει περιοχή π ε ( P ) έτσι ώστε k m+ m d P ( P) d P P θ ( P) + ( ) k, P π ε P, k! ( m+ )! όπου το P θ (< θ < ) είναι σηµείο του ευθυγράµµου τµήµατος PP To πολυώνυµο k m d P ( P) T, m, P( P), ( ) d k P P P k! καλείται πολυώνυµο Τalor m τάξης της στο P Αν P (,,) τότε λέµε ότι έχουµε το πολυώνυµο Mc-Lauri της Aν η είναι απειροδιαφορίσιµη στο P τότε η σειρά T ( P), P k k d P k! ( P) καλείται σειρά Talor της στο P Επιπλέον αν ισχύει m+ d P P θ, ( m + )! m 83

7 τότε η σειρά Talor της στο P συγκλίνει στην τουλάχιστον σε µία περιοχή του P Αν P (,, ), P ( ρ,, ρ ) και αν αναπτύξουµε τα διαφορικά ανώτερης τάξης της τότε παίρνουµε T ( ( P)( ρ) + + ( P)( ρ )) m,, ( P) k m P Απόδειξη Εστω : E είναι m+-φορές διαφορίσιµη συνάρτηση επί ανοικτού συνόλου E, P ( ρ,, ρ ) είναι σταθερό σηµείο του Ε και P (,, ) είναι τυχαίο σηµείο σε κατάλληλη περιοχή του σηµείου P Eστω X P + t ( P P ), t [,] και k! (,, ) ( t) ( t) ( t) Φ όπου ( t) ρ t ( ρ ) ( t) ρ t ( ρ ) +,, + Τότε η Φ είναι m+-φορές διαφορίσιµη συνάρτηση και από τον κανόνα αλυσίδας έχουµε: dφ () t ( ( P) ) () t + P () t dt ( () () ) () ( m) m d t P t P t dt Φ + Φ + () t ( P)( ρ ) ( P)( ρ ) Φ ( m) + ( ) ( t) ( P) ( ρ ) ( P) ( ρ ) ( k ) Εφαρµόζουµε το γνωστό θεώρηµα Μc-Lauri για συναρτήσεις µιας µεταβλητής και έχουµε m ( m) Φ () m Φ () t t + Rm+ () t m! k Για t έχουµε () ( P), ( m) m Φ P Φ d ( P), οπότε: m+ d ( P) d P ( P) θ Φ () + () +! ( m+ )! m ( m) m m Φ () P Rm+ ( P) k m! k m ( m) 84

8 33 Ακρότατα συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ορισµός 3 Εστω : E και P E Αν ισχύει ( P) ( P ) (ή ( P) ( P )) για κάθε P E, τότε λέµε ότι η έχει ολικό ελάχιστο (ή ολικό µέγιστο) στο P µε τιµή ( P ) Ορισµός 3 Εστω : E και P E Αν υπάρχει περιοχή π ε ( P ) έτσι ώστε να ισχύει ( P) ( P ) (ή ( P) ( P )) για κάθε P E π ε ( P ) τότε λέµε ότι η έχει τοπικό ελάχιστο (ή τοπικό µέγιστο) στο σηµείο P µε τιµή ( P ) Θεώρηµα 34 Έστω : E, Ε ανοικτό και η είναι διαφορίσιµη στο σηµείο P Εάν η έχει τοπικό ακρότατο στο P τότε ( P ) Απόδειξη Εστω ότι η έχει τοπικό µέγιστο στο P και ισχύει ( P ) ( P ) Ας θεωρήσουµε την κατεύθυνση e και ας ( P ) ορίσουµε τη συνάρτηση µιας µεταβλητής Tότε: ( t) ( P t e) ϕ + ( P + t e) ( P) ϕ lim P t e t ( ) ( ) P P P e P P >, P P άρα η ϕ είναι γνησίως αύξουσα σε µια περιοχή του µηδενός και συνεπώς ισχύει ϕ ( t) > ϕ, ή ισοδύναµα ( P + t e) > ( P) σε κατάλληλη περιοχή του µηδενός Απ την άλλη µεριά, εφόσον η έχει τοπικό µέγιστο στο P θα υπάρχει µια περιοχή του P όπου ισχύει, άτοπο Αρα P P P Σηµείωση Η παραπάνω ισότητα είναι ισοδύναµη µε τo ακόλουθο σύστηµα εξισώσεων µε αγνώστους: 85

9 ( P ) ( P ) Τα σηµεία πιθανών ακροτάτων καλούνται στάσιµα σηµεία Αν P είναι στάσιµο σηµείο αλλά η δεν έχει ακρότατο στο P, (δηλαδή σε κάθε περιοχή του P υπάρχουν σηµεία PP, ώστε ( P ) < ( P ) < ( P) ), τότε το P καλείται σαγµατικό (ή αυχενικό) σηµείο (κάτι ανάλογο µε το σηµείο καµπής) Στάσιµα σηµεία µπορεί να είναι: σηµεία στα οποία δεν υπάρχει κάποια ή κάποιες από τις µερικές παραγώγους της, ή σηµεία πάνω στο σύνορο του πεδίου ορισµού της, ή σηµεία που ικανοποιούν την ισότητα ( P ) O Προφανώς αν το,, τότε το εφαπτόµενο επίπεδο της επιφάνειας στο P είναι παράλληλο µε το επίπεδο O ηλαδή η εξίσωση του εφαπτόµενου επιπέδου της στο P είναι P είναι στάσιµο σηµείο µιας επιφάνειας Φύση στάσιµων σηµείων Το κριτήριο της Eσσιανής Εστω : E είναι δύο φορές συνεχώς διαφορίσιµη συνάρτηση σε µία περιοχή σηµείου P E και έστω ότι το P είναι στάσιµο σηµείο Για να µελετήσουµε τη φύση ενός στάσιµου σηµείου P ορίζουµε τον πίνακα ( P ) P H ( P ) ( P ) P τον οποίο καλούµε Εσσιανό πίνακα της στο σηµείο P Εφόσον ισχύει ( P) ( P) (αφού η έχει συνεχείς µερικές παραγώγους i j j i H P είναι συµµετρικός, δηλαδή ταυτίζεται µε τον ανάστροφό του Είναι γνωστό ότι κάθε συµµετρικός πίνακας έχει µόνον πραγµατικές ιδιοτιµές Τότε ισχύει: ης τάξης) ο πίνακας 86

10 Θεώρηµα 35 Εστω : E έχει συνεχείς µερικές παραγώγους ης τάξης σε µία περιοχή σηµείου P E, όπου Ε ανοικτό σύνολο, P είναι στάσιµο σηµείο και H ( P ) είναι ο Εσσιανός πίνακας της στο P όπως παραπάνω Υποθέτουµε ότι Τότε: ( ) Det H P (α) Αν ο Εσσιανός πίνακας H έχει τοπικό ελάχιστο στο P (β) Αν ο Εσσιανός πίνακας H η έχει τοπικό µέγιστο στο P (γ) Αν ο Εσσιανός πίνακας H ιδιοτιµές, τότε το P είναι σαγµατικό σηµείο P έχει µόνον θετικές ιδιοτιµές, τότε η P έχει µόνον αρνητικές ιδιοτιµές, τότε P έχει και θετικές και αρνητικές Σηµείωση Εστω ( ) Det H P, (άρα υπάρχει τουλάχιστον µια µηδενική ιδιοτιµή του Εσσιανού πίνακα) Τότε από το Θεώρηµα 35 δεν συνάγεται κάποιο συµπέρασµα για τη φύση του στάσιµου σηµείου Μπορεί κάλλιστα το P να είναι τοπικό ακρότατο ή σαγµατικό σηµείο Στην περίπτωση αυτή: Αν ο Εσσιανός πίνακας έχει και θετικές και αρνητικές ιδιοτιµές, ή αν υπάρχουν τουλάχιστον δυο στοιχεία της κυρίας διαγωνίου του H ( P ) µε αντίθετα πρόσηµα, τότε το P είναι σαγµατικό σηµείο (όπως και στο Θεώρηµα 35), αλλιώς δεν έχουµε συµπέρασµα m Αν d ( P) d ( P), ( m ) και περιοχή του P, τότε: d m+ ( P) σε µια (α) Αν ο εκθέτης m + περιττος το P είναι σαγµατικό σηµείο (β) Αν ο εκθέτης m+ aρτιος και d m+ ( P) > σε µια περιοχή m του P τότε το P είναι τοπικό ελάχιστο, ενώ αν d µια περιοχή του P, τότε το P είναι τοπικό µέγιστο + ( P) < σε 87

11 ( ) Παρατήρηση Aν Det H P, αντί των παραπάνω µπορούµε να εξετάσουµε τη συµπεριφορά της σε µία περιοχή του P µε χρήση του τύπου της για να δούµε αν το P είναι ακρότατο ή σαγµατικό σηµείο a a Ορισµός 3 Έστω A είναι ένας πραγµατικός a a συµµετρικός πίνακας Τότε ο πίνακας A καλείται T u A u > u θετικά ορισµένος, αν { } T αρνητικά ορισµένος, αν A < { } u u u T µικτά προσηµασµένος, αν u A u παίρνει και θετικές και u αρνητικές τιµές { } Για να δούµε αν ένας συµµετρικός πίνακας είναι θετικά, ή αρνητικά ορισµένος ή µικτά προσηµασµένος χρησιµοποιούµε συνήθως κάποιο από τις ακόλουθες χρήσιµες προτάσεις/κριτήρια: Κριτήριο Α: Aν όλες οι κύριες ελάσσονες ορίζουσες D, i,, του πίνακα Α ικανοποιούν τις σχέσεις i a a a a D D D, a >, >,, > a a a a τότε ο πίνακας Α είναι θετικά ορισµένος Κριτήριο Β: Αν όλες οι κύριες ελάσσονες ορίζουσες D, k,, του πίνακα Α ικανοποιούν τις σχέσεις k a k k k (-) k (-) >, k,, a k a D, a k τότε ο πίνακας Α είναι αρνητικά ορισµένος Κριτήριο Γ: Αν ο πίνακας A δεν είναι ούτε θετικά, ούτε αρνητικά ορισµένος και: είτε ο πίνακας A έχει και θετικές και αρνητικές ιδιοτιµές, είτε πάρχουν στα στοιχεία της κυρίας διαγωνίου του πίνακα Α τουλάχιστον δυο στοιχεία µε αντίθετο πρόσηµο, τότε ο πίνακας Α είναι µικτά προσηµασµένος 88

12 Ισχύει το ακόλουθο κριτήριο για τον προσδιορισµό της φύσης στάσιµων σηµείων: Θεώρηµα 36 Εστω : E έχει συνεχείς µερικές παραγώγους ης τάξης σε µια περιοχή σηµείου P E, όπου Ε ανοικτό σύνολο, P είναι στάσιµο σηµείο και H ( P ) είναι ο Εσσιανός πίνακας της στο P όπως παραπάνω Τότε: Αν ο Εσσιανός πίνακας H ( ) P είναι σηµείο τοπικού ελαχίστου της µε τιµή P είναι θετικά ορισµένος, τότε το P Αν ο Εσσιανός πίνακας H ( ) P είναι σηµείο τοπικού µεγίστου της µε τιµή το Αν ο Εσσιανός πίνακας H P είναι αρνητικά ορισµένος, τότε P P είναι µικτά προσηµασµένος, τότε το P είναι σαγµατικό σηµείο Παρατηρήσεις (α) Αν ο εσσιανός πίνακας δεν είναι ούτε θετικά, ούτε αρνητικά ορισµένος, ούτε µικτά προσηµασµένος, τότε δεν µπορούµε να αποφανθούµε από το παραπάνω κριτήριο αν το P είναι σηµείο τοπικού ακροτάτου (β) Στην περίπτωση συνάρτησης (, ) παραγώγους ης ταξινόµηση: µε συνεχείς µερικές τάξης, το Θεώρηµα 36 µας δίνει την ακόλουθη ( P) ( P) Eστω H ( P ) ( P) ( P), είναι ο Εσσιανός πίνακας της πάνω σε στάσιµο σηµείο P Τότε: Det( H P ) > και Αν ελάχιστο στο P Αν P > τότε η έχει τοπικό Det( H P ) > και P < τότε τότε η έχει τοπικό µέγιστο στο P Det( H P ) < τότε το P είναι σαγµατικό σηµείο (έχει δυο ιδιοτιµές µε αντίθετα πρόσηµα, βλ θεώρ 35) Αν 89

13 Αν Det( H P ), δεν µπορούµε να αποφανθούµε αν το σηµείο P είναι σηµείο τοπικού ακροτάτου µέσω του Θεωρήµατος 36 Η γεωµετρική ερµηνεία των παραπάνω συνθηκών είναι η εξής: H ισότητα ( P ) ( P ) υπονοεί την ύπαρξη εφαπτόµενου επιπέδου στο P το οποίο είναι παράλληλο µε το επίπεδο O Η σχέση ( P ) > (ή P < ) υπονοεί ότι η καµπύλη που προκύπτει από την τοµή της επιφάνειας S: (, ) µε το επίπεδο είναι κυρτή (ή κοίλη) σε µια περιοχή του P Η σχέση Det( H P ) > υπονοεί ότι όλες οι καµπύλες που προκύπτουν από την τοµή της επιφάνειας S: (, ) µε επίπεδα που περνούν από το P και είναι παράλληλα προς τον άξονα των είναι είτε όλες κυρτές είτε όλες κοίλες σε µια περιοχή του P Det( H P ) < υπονοεί ότι υπάρχουν δύο τουλάχιστον καµπύλες που προκύπτουν από την τοµή της επιφάνειας S: (, ) µε επίπεδα που περνούν από το P και είναι παράλληλα προς τον άξονα των εκ των οποίων η µια είναι κυρτή και η άλλη είναι κοίλη σε µια περιοχή του P Η σχέση Ολικά ακρότατα Εστω : E είναι συνεχής επί κλειστού και φραγµένου συνόλου Ε Από το Θεώρηµα ενδιαµέσων τιµών είναι γνωστό ότι η έχει ολικό µέγιστο και ολικό ελάχιστο στο Ε Για την εύρεση των ολικών ακροτάτων εργαζόµαστε ως εξής: Υπολογίζουµε όλα τα τοπικά ακρότατα της στο εσωτερικό του Ε Υπολογίζουµε τα ακρότατα της πάνω στο σύνορο E Επιλέγουµε τη µεγαλύτερη και τη µικρότερη τιµή της από τις παραπάνω 9

14 34 Ακρότατα υπό συνθήκη Πολ/στές Lagrage Έστω ότι θέλουµε να βρούµε τα ακρότατα µιας συνάρτησης (, ) υπό τον περιορισµό g(, ), όπου g(, ) είναι καµπύλη εντός του πεδίου ορισµού της Ισχύει το ακόλουθο: Θεώρηµα 37 Έστω : E είναι διαφορίσιµη συνάρτηση επί ανοικτού συνόλου Ε και c: g(, ) είναι µια λεία καµπύλη εντός του Ε µε παραµετροποίηση r ( t) ( t), ( t), t a, b Υποθέτουµε ότι [ ] το P είναι οµαλό σηµείο της c (δηλ g( P ) τοπικό ακρότατο της πάνω στην καµπύλη * λ που καλείται πολ/στής Lagrage έτσι ώστε: ) και ότι το P είναι g, Τότε υπάρχει ( P) λ g P Απόδειξη Έστω c είναι καµπύλη όπως παραπάνω Εάν η έχει τοπικό ακρότατο πάνω στη c στο σηµείο P, τότε υπάρχει t έτσι ώστε F t t, t Επειδή F ( t ), όπου + ( P) ( t) F t P t P t έχουµε F ( t ) ( P ) ( t ) r, r Γνωρίζουµε όµως ότι το διάνυσµα της κλίσης gp ( ) είναι κάθετο στην εφαπτοµένη της καµπύλης * λ : ( P) λ g( P) g(, ) στο P, άρα Η µέθοδος των πολ/στών Lagrage είναι η ακόλουθη: Εστω ότι η έχει τοπικό ακρότατο πάνω στην καµπύλη g(, ) Ορίζουµε τη βοηθητική συνάρτηση Φ (,, λ) (, ) + λ g(, ) και υπολογίζουµε τα στάσιµα σηµεία αυτής Σχηµατίζουµε τον Εσσιανό πίνακα HΦ (, ) H (, ) + λ H (, ) g όπου (,, λ ) είναι στάσιµο σηµείο της Φ (,, λ) 9

15 Oρίζουµε το σύνολο και έχουµε: {(, vw): g (, )(, vw) } Γ v Φ > Γ w Aν (, vw) H (, ) ( vw, ) τότε το (, ) είναι τοπικό ελάχιστο της πάνω στην καµπύλη c v Φ < Γ w Αν (, vw) H (, ) ( vw, ) τότε το (, ) είναι τοπικό µέγιστο της πάνω στην καµπύλη c v Τέλος αν η ποσότητα (, vw) HΦ(, ) w δεν διατηρεί σταθερό πρόσηµο για όλα τα σηµεία του συνόλου Γ τότε το (, ) δεν είναι τοπικό ακρότατο Παρατηρήσεις (α) Η γεωµετρική ερµηνεία του δεσµευµένου ακροτάτου για συναρτήσεις δυο µεταβλητών είναι η ακόλουθη: Aν το P είναι τοπικό ακρότατο της (, ) πάνω στην καµπύλη c: g(, ), τότε υπάρχει ισοσταθµική καµπύλη (, ) k που εφάπτεται µε τη c στο P (β) Tο Θεώρηµα 37 ισχύει όχι µόνον για συναρτήσεις δυο µεταβλητών αλλά γενικεύεται µε φυσικό τρόπο και για συναρτήσεις µεταβλητών Θεώρηµα 38 Έστω, g, h: E 3 είναι διαφορίσιµες συναρτήσεις επί ανοικτού συνόλου Ε και P (,, ) σηµείο των επιφανειών S : g (,, ) και συνάρτηση w (,, ) c: g(,, ), h (,, ) είναι οµαλό S : h,, Εάν η έχει τοπικό ακρότατο πάνω στην καµπύλη { } * λµ, έτσι ώστε στο σηµείο P, τότε υπάρχουν P λ g( P) + µ h( P) 9

16 Οι αριθµοί λ και µ καλούνται πολ/στές Lagrage Σ αυτή την περίπτωση η µέθοδος των πολ/στών Lagrage διαµορφώνεται ως εξής: Ορίζουµε τη βοηθητική συνάρτηση Φ (,,, λ, µ ) (,, ) + λ g (,, ) + µ h (,, ) και υπολογίζουµε τα στάσιµα σηµεία αυτής Σχηµατίζουµε τον εσσιανό πίνακα HΦ (,, ) H (,, ) + λ H (,, ) + µ H (,, ) g h όπου (,,, λ, µ ) είναι στάσιµο σηµείο της Φ (, λ,,, µ ) Oρίζουµε το σύνολο u g (,, ) Γ ( uvw,, ): v h (,, ) w και έχουµε: u Aν ( uvw,, ) HΦ(,, ) v > ( uvw,, ) Γ w τότε το (,, ) είναι τοπικό ελάχιστο της πάνω στην καµπύλη c u Φ < Γ w Αν ( uvw,, ) H (,, ) v ( uvw,, ) τότε το (,, ) είναι τοπικό µέγιστο της πάνω στην καµπύλη c 93

17 u Τέλος αν η ποσότητα ( uvw,, ) HΦ(,, ) v δεν w διατηρεί σταθερό πρόσηµο για όλα τα σηµεία του συνόλου Γ τότε το (,, ) δεν είναι τοπικό ακρότατο Παρατήρηση Tο Θεώρηµα 38 γενικεύεται µε φυσικό τρόπο και για συναρτήσεις µεταβλητών (αντί τριών µεταβλητών) και m δεσµεύσεων όπου m< (αντί δύο δεσµεύσεων) ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ είξτε ότι η εξίσωση + + συν ( ) επιλύεται µονότιµα ως προς g(, ) σε µία περιοχή του σηµείου P (,,) και υπολογίστε, g, τις µερικές παραγώγους g και Λύση Η συνάρτηση (,, ) + + συν ( ) έχει συνεχείς µερικές παραγώγους σε µία περιοχή του σηµείου P και ισχύει (,,) και (,,) Αρα η εξίσωση επιλύεται µονότιµα ως προς g(, ) σε µία περιοχή του σηµείου P (,,) και ισχύει g (,,) (,), g (,,),,,,, Εστω ότι η (, ) έχει συνεχείς µερικές παραγώγους και δίνεται σε πλεγµένη µορφή από τη σχέση + 3 Ποιος ο ρυθµός µεταβολής της κατά την κατεύθυνση του διανύσµατος u 3e 4e εάν (,) > ; Ποια η κατεύθυνση του µέγιστου ρυθµού µεταβολής της στο (,) εάν (,) > ; Λύση Εστω > έχουµε Φ (,, ) + 3 Επειδή (,) Φ + ± + (,, ) 3 3 και η αρνητική τιµή απορρίπτεται Αρα (, ) (,) παίρνουµε και για Επιπλέον:

18 Φ Φ, άρα Φ (,, ), Φ (,, ) Φ 3 Φ, άρα (,) Φ (,, ) 3 Φ (,, ) Η κλίση της στο (,) είναι: 3 (,) ( (,), (,) ), u (3, 4) 3 4 Eπίσης u, Εφόσον η είναι διαφορίσιµη u 3 + ( 4) 5 5 στο (,) (έχει συνεχείς µερικές παραγώγους σε µία περιοχή του (,)) έχουµε: (,) (,) u,, u Η κατεύθυνση του µέγιστου ρυθµού µεταβολής της στο (,) είναι η κατεύθυνση του διανύσµατος κλίσης 3 ίνεται η συνάρτηση (, ) σε πλεγµένη µορφή από τη σχέση F(,, (, )) Αν η F έχει συνεχείς µερικές παραγώγους ης τάξης να υπολογίσετε τις,, Λύση Κατ αρχήν παίρνουµε το διαφορικό ης τάξης της F(,, ) θεωρώντας ότι οι µεταβλητές, είναι ανεξάρτητες (δηλ d, d σταθερά) ενώ η είναι εξαρτηµένη (δηλ d µεταβάλλεται) και έχουµε ( ) df ddf d F d F d F d + + Υπολογίζουµε: d F d + d F d + d F d + F d () ( + ) d F F d F d F d F d F d F d d ( ) ( ) F + F d+ F + F d 95

19 ( ) ( + ) d F F d F d F d F d F d F d d ( ) ( ) F + F d+ F + F d ( + ) d F F d F d F d F d F d F d d ( ) ( ) F + F d+ F + F d Tέλος γνωρίζουµε ότι d d + d ( ) () d d d d dd d Αντικαθιστώντας τα διαφορικά d F, ( ) d F, d( F ) () και µετά από στοιχειώδεις πράξεις παίρνουµε, d και F + F + F ( ) + F F + F + F + F + F F + F + F ( ) + F d στην 4 Να βρεθούν οι παράγωγοι των πραγµατικών συναρτήσεων, που ορίζονται µε πλεγµένη µορφή από το σύστηµα Λύση Θεωρούµε ηµ ( + ) + ηµ ( ) + F (,, ) ηµ ( + ) + F (,, ) ηµ ( ) + Από τον κανόνα αλυσίδας παίρνουµε: df (,, ) F d+ F d+ F d df (,, ) F d+ F d+ F d 96

20 F d+ F d+ F d F d+ F d+ F d F + F + F F + F + F ( F) + ( F) ( F) ( F ) + ( F ) ( F ) Λύνουµε το παραπάνω σύστηµα ως προς, µε τη µέθοδο Cramer και έχουµε: ( F) ( F ) ( F) ( F ) ( F) ( F) ( F ) ( F ), ( F) ( F ) ( F) ( F ) ( F) ( F) ( F ) ( F ) Eφόσον F(,, ) ηµ ( + ) + και F (,, ) ηµ ( ) + υπολογίζοντας τις µερικές παραγώγους αυτών και αντικαθιστώντας στην παραπάνω βρίσκουµε τελικά ότι εφ εφ και συν συν συν Υπολογίστε τη γωνία τοµής των επιφανειών και + + στο σηµείο (,,) ώστε µια γεωµετρική ερµηνεία του αποτελέσµατος 4 3 Λύση Εστω F(,, ) , G (,, ) + + Τότε F ( 8 3,9, 8) και G (,, ) F(,,) (,, 8) και G(,,) (,, ) Τελικά Αρα F(,,) G(,,) συνθ θ F(,,) G(,,) Οντως οι εξισώσεις των εφαπτοµένων επιπέδων των δύο επιφανειών στο (,,) είναι 97

21 και F (,,)( ) + F (,,)( ) + F (,,)( ) G (,,)( ) + G (,,)( ) + G (,,)( ) δηλαδή οι επιφάνειες έχουν κοινό εφαπτόµενο επίπεδο στο (,,) 6 Nα βρεθεί η εξίσωση του εφαπτόµενου επιπέδου και της καθέτου της επιφάνειας συν + συν + ηµ στο σηµείο (π/,π/,) Λύση Εστω F(,, ) συν + συν + ηµ, τότε η εξίσωση του εφαπτόµενου επιπέδου στο σηµείο (π/,π/,) είναι π π π π π π π π F,, + F,, + F,, ( ) π π + ( ) + π To κανονικό διάνυσµα του επιπέδου είναι το N (,, ), άρα η διανυσµατική εξίσωση της καθέτου ευθείας στο (π/,π/,) είναι π π ( ε):,, + λ(,, ), λ 7 Αναπτύξτε τη συνάρτηση (, ) + ηµ ( ) σε πολυώνυµο Talor ου βαθµού γύρω από το σηµείο (,) Λύση Εστω, P, τότε ( P ) Επίσης + συν ( ), + συν ( ), ηµ ( ), + συν ( ) ηµ ( ), ηµ ( ) Αρα: P P P P P,,,,, συνεπώς: k d ( P) d ( P) d ( P) T P P d P P k!!! P P P + +,, P k P ( ) (,) + (,) ( ) + (,) ( ) 98

22 + (,)( ) + (,)( )( ) + (,)( ) ( ) + ( ) + ( ) ( ) + ( )( ) + ( ) + 8 Υπολογίστε τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης 3, Λύση Η συνάρτηση είναι πολυωνυµική, άρα είναι και διαφορίσιµη στο, συνεπώς: , άρα: ( ) ή ή ή ή Χρησιµοποιούµε το κριτήριο του Εσσιανού πίνακα (βλέπε Θεώρηµα 36 και ορισµό 3) για να εντοπίσουµε τη φύση των 4 παραπάνω πιθανών ακροτάτων Έχουµε: H ( P) ( P) ( P) ( P) ( P) Για το σηµείο (, ) έχουµε: <, και (,) 6 άρα το (, ) είναι σηµείο τοπικού µεγίστου Για το σηµείο (, ) έχουµε: 6 Det ( H, ) 36 > 6, 99

23 και (,) άρα το (,) είναι σαγµατικό σηµείο Για το σηµείο (, ) έχουµε: και (,) άρα το (,-) είναι σαγµατικό σηµείο Τέλος για το σηµείο (, ) έχουµε: (,) 6 6 Det ( H, ) 36 < 6, 6 Det( H, ) 36 < 6, > και άρα το (,) είναι σηµείο τοπικού ελαχίστου 9 Έστω 6 Det ( H, ) > 6,, Βρείτε τα ολικά ακρότατα της επί του χωρίου D {(, ): 6} + Λύση Η είναι συνεχής συνάρτηση επί κλειστού και φραγµένου συνόλου D άρα έχει µέγιστη και ελάχιστη τιµή επί του D Eνδέχεται όµως τα ολικά ακρότατα αυτής να βρίσκονται είτε στο εσωτερικό του D είτε πάνω στο σύνορο του D Θα µελετήσουµε ξεχωριστά δύο περιπτώσεις: A Aρχικά θα βρούµε πιθανά ακρότατα της πάνω στο σύνορο + 6 χρησιµοποιώντας τη µέθοδο των πολ/στών Lagrage Εστω Φ (,, λ) (, ) + λ g (, ) λ ( + 6) Υπολογίζουµε τα στάσιµα σηµεία της Φ ( λ ) ( λ ) 6+ λ + 3 Φ 4 4+ λ

24 λ 3 ( λ + ) η ( λ + ) η 4 η η 3 5 λ 3 λ 3 λ λ Εχουµε λοιπόν τέσσερα πιθανά ακρότατα: στο σηµείο (,4) µε τιµή (,4)7 στο σηµείο (,-4) µε τιµή (,-4)49 στα σηµεία ( ± 3, ) µε τιµή ( ± 3, ) 53 Β Οσον αφορά τα πιθανά ακρότατα στο εσωτερικό του δίσκου έχουµε: 6, 4 4, άρα έχουµε πιθανό ακρότατο στο σηµείο (, ) Υπολογίζουµε τώρα: H (,),, 6,, 4 6 Επειδή (,) 6 > και Det( H (,) ) > 4, ο Εσσιανός πίνακας είναι θετικά ορισµένος άρα στο σηµείο (,) έχουµε τοπικό ελάχιστο µε τιµή Tελικά λοιπόν έχουµε ολικό µέγιστο στα σηµεία ( 3, ) και ( 3, ) µε τιµή 53 και ολικό ελάχιστο στο σηµείο (,) µε τιµή Έστω V(,, ),, >, Να ευρεθεί η µέγιστη τιµή του όγκου πάνω στην επιφάνεια Λύση Στην περίπτωση αυτή µπορούµε να εφαρµόσουµε τη µέθοδο των πολ/στών Lagrage αλλά µπορούµε και απ ευθείας να αντικαταστήσουµε

25 την τιµή του στην εξίσωση της V και να οδηγηθούµε στην εύρεση τοπικών ακροτάτων συνάρτησης δύο µεταβλητών Τότε: οπότε έχουµε Φ (, ) (84 ) 84 4 Φ 84 4 > βρίσκουµε εύκολα τη µοναδική λύση (, ) ( 4,4) και επειδή, Επειδή ο Εσσιανός πίνακας είναι ο HΦ ( P) P ( H Φ ) συνάγουµε εύκολα ότι Φ (4,4) <, Det 4,4 >, άρα το (4,4) είναι σηµείο µεγίστου Να υπολογισθούν τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης (,, ) ( + + ) Λύση Εχουµε Φ Αφαιρούµε τις δύο πρώτες εξισώσεις και παίρνουµε + + ( )( + ) + ( ) η + Αν + από την 3 η εξίσωση παίρνουµε +, άτοπο Εστω λοιπόν ότι Τότε εύκολα µπορεί να δει κανείς ότι από το παραπάνω σύστηµα εξισώσεων προκύπτουν δύο λύσεις οι (,,) και (-,-,-) Αρα έχουµε δύο στάσιµα σηµεία τα (,,) και (-,-,-) Σχηµατίζουµε τον Εσσιανό πίνακα H (,, )

26 3 3 Στο σηµείο (,,) έχουµε H (,,) 3 3 και 3 3 Det[ H (,,)] Προφανώς ο H (,,) είναι µικτά προσηµασµένος, διότι το ίχνος (άθροισµα των στοιχείων της κυρίας διαγωνίου του H (,,) ) ισούται µε ++ Εφόσον το ίχνος του πίνακα Α ισούται µε το άθροισµα των ιδιοτιµών του και εφόσον η ορίζουσα του H (,,) ισούται µε το γινόµενο των ιδιοτιµών του και είναι διάφορη του µηδενός αναγκαστικά θα υπάρχουν τουλάχιστον δυο ιδιοτιµές του εσσιανού πίνακα H (,,) µε αντίθετα πρόσηµα, (βλέπε Θεώρηµα 35) οπότε το (,,) είναι σαγµατικό σηµείο Στο σηµείο (-,-,-) έχουµε και ισχύει H 3 3 (,, ) (,, ) <, >, Det[ H (,,)] < 3 - άρα ο H (,, ) είναι αρνητικά ορισµένος οπότε το (-,-,-) είναι τοπικό µέγιστο Να υπολογισθεί η µέγιστη και ελάχιστη τιµή της συνάρτησης (, ) στο κλειστό χωρίο που περικλείεται από τις ευθείες, και Λύση Η είναι συνεχής συνάρτηση επί κλειστού και φραγµένου συνόλου, άρα από το Θεώρηµα ενδιαµέσων τιµών παίρνει µέγιστο και ελάχιστο µέσα στο χωρίο Το χωρίο είναι τρίγωνο Αρχικά υπολογίζουµε τα τοπικά ακρότατα της πάνω στο σύνορο Μελετούµε χωριστά τις περιπτώσεις: Tότε (,) 4+ και από το Λογισµό συνάρτησης µιας µεταβλητής έχουµε (,) 4 Εφόσον ισχύει η (,) είναι γνησίως φθίνουσα για συνεπώς έχουµε τοπικό ελάχιστο στο σηµείο (,) µε τιµή (,)-3 και τοπικό µέγιστο στο σηµείο (,) µε τιµή (,) 3

27 Tότε (, ) 4 3 και από το Λογισµό συνάρτησης µιας µεταβλητής έχουµε (, ) 4 4 Εφόσον ισχύει η (, ) είναι γνησίως φθίνουσα για συνεπώς έχουµε τοπικό ελάχιστο στο σηµείο (,) µε τιµή (,)-5 και τοπικό µέγιστο στο σηµείο (,) µε τιµή (,) Tότε (, ) και από το Λογισµό συνάρτησης µιας µεταβλητής έχουµε (, ), άρα έχουµε τοπικό ελάχιστο πάλι στο σηµείο (,) µε τιµή (,)-5 και τοπικό µέγιστο στο σηµείο (,) µε τιµή (,) Στη συνέχεια υπολογίζουµε τα τοπικά ακρότατα της εντός του τριγώνου 4, άρα παίρνουµε ως µοναδικό στάσιµο σηµείο το 4 4 σηµείο (,) το οποίο ήδη γνωρίζουµε ότι είναι τοπικό ελάχιστο Συνδυάζοντας τα παραπάνω παίρνουµε ότι η έχει ολικό µέγιστο στο (,) µε τιµή και ολικό ελάχιστο στο σηµείο (,) µε τιµή -5 ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ είξτε ότι η εξίσωση συν + συν + συν δέχεται µοναδική λύση (, ) σε µια περιοχή του σηµείου (,) τέτοιου ώστε (,) Στη συνέχεια υπολογίστε τις µερικές παραγώγους, Απάντ ηµ συν, ηµ συν συν ηµ συν ηµ Αν η πλεγµένη συνάρτηση (, ) ορίζεται µέσω της εξίσωσης Φ a, b δείξτε ότι a + b / 3 Υπολογίστε την της πλεγµένης συνάρτησης (, ) που ορίζεται µέσω της εξίσωσης e Απάντ (( + ) + ) 3 ( + e ) e e 4

28 4 Υπολογίστε το διαφορικό της πλεγµένης συνάρτησης (, ) που ορίζεται µέσω της εξίσωσης + + a b c c c Απάντ d d d a b 5 Να βρεθούν οι παράγωγοι των πλεγµένων συναρτήσεων, που ορίζονται από το σύστηµα εξισώσεων Απάντ 6 Να βρεθούν οι µερικές παράγωγοι u, v των πλεγµένων συναρτήσεων u u (, ), v v (, ) που ορίζονται από το σύστηµα u + v εξισώσεων v + u uv u + u + v u + v u Απάντ u v + v v + v u 7 Αν u v w + + να υπολογισθεί η Ιακωβιανή ορίζουσα 3 D Απάντ Duvw (,, ) + + D (,, ) Duvw (,, ) (,, ) 8 Να αναπτυχθεί η συνάρτηση (, ) e σε πολυώνυµο McLauri 3 ου βαθµού Aπάντ + 9 Να υπολογίσετε τα τοπικά ακρότατα των συναρτήσεων (α) (, ) 6 + +, (β) (, ) Απάντ (α) Τοπ ελάχ στο (-/3,/3), (β) Τοπ ελάχ στο (,) 5

29 Να υπολογίσετε τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης 3,, Απάντ (α) εν υπάρχουν, σαγµατικό στο (-,,/) Με τη µέθοδο των πολλαπλασιαστών Lagrage να υπολογίσετε τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης (,, ) (,, ) υπό τη συνθήκη φ (,, ) + + Απάντ Τοπ µέγιστο στο,, Με τη µέθοδο των πολλαπλασιαστών Lagrage βρείτε την ελάχιστη απόσταση από την αρχή των αξόνων, σε σηµείο που ανήκει στην τοµή 3 του παραβολοειδούς και του επιπέδου + 5 Απάντ d στα σηµεία,, και 3 4,, 5 5 6

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η αδυναµία επίλυσης της πλειοψηφίας των µη γραµµικών εξισώσεων µε αναλυτικές µεθόδους, ώθησε στην ανάπτυξη αριθµητικών µεθόδων για την προσεγγιστική επίλυσή τους, π.χ. συν()

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων 57 Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων Έστω F : D R R µια ( τουλάχιστον ) C συνάρτηση ορισµένη στο ανοικτό D x, y D F x, y = Ενδιαφερόµαστε για την ύπαρξη µοναδικής και ώστε διαφορίσιµης συνάρτησης f ορισµένης

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ 1 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση, η οποία είναι ορισµένη σε ένα κλειστό διάστηµα,. Αν: η συνεχής στο, και τότε, για κάθε αριθµό µεταξύ των

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x =

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x = ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 0: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 Ο αλγόριθµος Gauss Eστω =,3,, µε τον όρο γραµµικά συστήµατα, εννοούµε συστήµατα εξισώσεων µε αγνώστους της µορφής: a x + + a x = b a x + + a x = b a

Διαβάστε περισσότερα

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η Έστω Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης ανοικτό και σταθερά ( µε κ f ( ) ορίζει µια επιφάνεια S στον f : ) τότε η εξίσωση, ονοµάζεται συνήθως επιφάνεια στάθµης της f. εξίσωση, C συνάρτηση. Αν

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

6. Αρµονικές συναρτήσεις και συνοριακά προβλήµατα (Dirichlet).

6. Αρµονικές συναρτήσεις και συνοριακά προβλήµατα (Dirichlet). 6 Αρµονικές συναρτήσεις και συνοριακά προβλήµατα (Diichlet) Aρµονικές συναρτήσεις Ορισµός 61 Εστω E είναι ανοικτό σύνολο και f : E είναι µια πραγµατική συνάρτηση δύο πραγµατικών µεταβλητών και y Θα λέµε

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ).

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ). 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 194, το θεώρηµα ενδιάµεσων τιµών. Β. Βλέπε τον ορισµό στη σελίδα 279 του σχολικού βιβλίου. Γ. Βλέπε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο :Μιγαδικοί Αριθµοί. Ποιο σύνολο ονοµάζεται σύνολο των µιγαδικών αριθµών ;. Tι ονοµάζεται µιγαδικός αριθµός; Ποιο είναι το πραγµατικό και ποιο το φανταστικό του µέρος ; 3. Tι ονοµάζεται εικόνα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ 6. Βέλτιστες προσεγγίσεις σε ευκλείδειους χώρους Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε προσεγγίσεις που ελαχιστοποιούν αποστάσεις σε διανυσµατικούς χώρους, µε νόρµα που προέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚEΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΑ ΠΕ ΙΑ. 1. Όριο Συνέχεια Παράγωγος διανυσµατικών συναρτήσεων.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚEΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΑ ΠΕ ΙΑ. 1. Όριο Συνέχεια Παράγωγος διανυσµατικών συναρτήσεων. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚEΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΑ ΠΕ ΙΑ Όριο Συνέχεια Παράγωγος διανυσµατικών συναρτήσεων Ορισµός 6 Εστω, > είναι δυο φυσικοί αριθµοί Κάθε συνάρτηση F : Ε Α καλείται διανυσµατική

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Μ. Τρίτη 3 Απριλίου 3 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Σχολικό βιβλίο,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 4 o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Σ 0. Σ 9. Λ. Λ. Σ 40. Σ. Σ. Σ 4. Λ 4. Λ. Σ 4. Σ 5. Σ 4. Σ 4. Λ 6. Σ 5. Λ 44.

Διαβάστε περισσότερα

1. ** α) Αν η f είναι δυο φορές παραγωγίσιµη συνάρτηση, να αποδείξετε ότι. β α. = [f (x) ηµx] - [f (x) συνx] β α. ( )

1. ** α) Αν η f είναι δυο φορές παραγωγίσιµη συνάρτηση, να αποδείξετε ότι. β α. = [f (x) ηµx] - [f (x) συνx] β α. ( ) Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** α) Αν η f είναι δυο φορές παραγωγίσιµη συνάρτηση, να αποδείξετε ότι β ( f () f () ) + α ηµ d β α = [f () ηµ] - [f () συν] β α. ( ) β) Αν f () = ηµ, να αποδείξετε ότι f () + f ()

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχειώδεις µιγαδικές συναρτήσεις.

2. Στοιχειώδεις µιγαδικές συναρτήσεις. Στοιχειώδεις µιγαδικές συναρτήσεις Γενικά Εστω A, B και f : A B είναι µια απεικόνιση τέτοια ώστε σε κάθε µιγαδικό αριθµό A να αντιστοιχεί µοναδικός µιγαδικός αριθµός w= f Λέµε τότε ότι η f είναι µια µιγαδική

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

Λύνοντας ασκήσεις µε αντίστροφες συναρτήσεις ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Η αντίστροφη συνάρτηση f µιας αντιστρέψιµης συνάρτησης f είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο A. Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα. Αν f () > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 1999

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 1999 Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 999 Ζήτηµα ο Α. Έστω a, ) και β, ) δύο διανύσµατα του καρτεσιανού επιπέδου Ο. α) Να εκφράσετε χωρίς απόδειξη) το εσωτερικό γινόµενο των διανυσµάτων a και

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα Αν F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της µορφής G() F() + c, c

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ-Λ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟY. 0, τότε είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό.

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ-Λ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟY. 0, τότε είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ-Λ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟY Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. είναι διαµερίσεις των κλειστών διαστηµάτων [α,b] και [c,d] αντιστοίχως της µορφής

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. είναι διαµερίσεις των κλειστών διαστηµάτων [α,b] και [c,d] αντιστοίχως της µορφής . Ορισµοί-Ιδιότητες ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Έστω f : R είναι µία φραγµένη συνάρτηση πάνω σε µία κλειστή ορθογώνια περιοχή Εστω (, y ) { } R =,y :a b, c y d. = είναι µια διαµέριση της ορθογώνιας περιοχής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΘΕΜΑ ο Έστω, α,β, α β και ν α + + i = βi () β + αi α) Να αποδείξετε ότι ο δεν είναι πραγµατικός αριθµός. β) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1)

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1) 1 ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης (1) όπου οι συντελεστές είναι δοσµένες συνεχείς συναρτήσεις ορισµένες σ ένα ανοικτό διάστηµα. Ορισµός 1. Ορίζουµε τον διαφορικό τελεστή µέσω της

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. Γ. Το µέτρο της διαφοράς δύο µιγαδικών αριθµών είναι ίσο µε την απόσταση των εικόνων τους στο µιγαδικό επίπεδο.

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. Γ. Το µέτρο της διαφοράς δύο µιγαδικών αριθµών είναι ίσο µε την απόσταση των εικόνων τους στο µιγαδικό επίπεδο. ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΠΕΜΠΤΗ 6 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 4 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ) ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ 1.1.. ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ ΕΜΑ ΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1. Εξίσωση γραµµής C Μια εξίσωση µε δύο αγνώστους x, y λέγεται εξίσωση µιας γραµµής C, όταν οι συντεταγµένες των σηµείων της C, και µόνον αυτές, την επαληθεύουν..

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. 1. Ορισµός της παραγώγου συνάρτησης

1.3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. 1. Ορισµός της παραγώγου συνάρτησης . ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός της παραγώγου συνάρτησης Έστω µια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού Α, και Β το σύνολο των Α στα οποία η είναι παραγωγίσιµη. Τότε ορίζεται νέα συνάρτηση µε την οποία κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr V Διαφορικός Λογισμός Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blospotcom, bouboulismyschr ΜΕΡΟΣ Η έννοια της Παραγώγου Α Ορισμός Εφαπτομένη καμπύλης συνάρτησης: Έστω μια συνάρτηση και A, ένα σημείο της C Αν

Διαβάστε περισσότερα

f( x 1, x ( ) ( ) f x > f x. ( ) ( )

f( x 1, x ( ) ( ) f x > f x. ( ) ( ) MONOTONIA ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ I MONOTONIA ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΘΕΩΡΙΑ Στο διπλανό σχήµα δίνεται η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f στο α,β Παρατηρούµε ότι διάστηµα [ ] καθώς αυξάνουν οι τιµές του

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ

Κεφάλαιο 3ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ Κεφάλαιο 3ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟ ΟΓΙΜΟ ο ΜΕΡΟ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος». * Αν µια συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστηµα [α, β], παραγωγίσιµη στο διάστηµα (α, β) και f (α) = f (β), τότε υπάρχει τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -4- Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής» Γ Λυκείου, /4/6 ΘΕΜΑ ο Α Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Το ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Ερωτήσεις+Απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]. Αν η f είναι συνεχής στο [α,β]

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση i. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της στο Δ, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της

Διαβάστε περισσότερα

Συμπεριφορά συναρτήσεως σε κλειστές φραγμένες περιοχές. (x 0, y 0, f(x 0, y 0 ) z = L(x, y)

Συμπεριφορά συναρτήσεως σε κλειστές φραγμένες περιοχές. (x 0, y 0, f(x 0, y 0 ) z = L(x, y) 11.7. Aκρότατα και σαγματικά σημεία 903 39. Εκτίμηση μέγιστου σφάλματος Έστω ότι u e sin και ότι τα,, και μπορούν να μετρηθούν με μέγιστα δυνατά σφάλματα 0,, 0,6, και / 180, αντίστοιχα. Εκτιμήστε το μέγιστο

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης.

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης. Παράρτηµα Α Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης Α Χώροι µέτρου Πέραν της «διαισθητικής» περιγραφής του µέτρου «σχετικά απλών» συνόλων στο από το µήκος τους (όπως πχ είναι τα διαστήµατα, ενώσεις/τοµές

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές Στοχαστικά Σήµατα & Εφαρµογές Ανασκόπηση Στοιχείων Γραµµικής Άλγεβρας ιδάσκων: Ν. Παπανδρέου (Π.. 407/80) Πανεπιστήµιο Πατρών ΤµήµαΜηχανικώνΗ/Υ και Πληροφορικής ιανύσµατα Ορίζουµετοδιάνυσµα µε Ν στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ενότητα 1 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ασκήσεις για λύση 3 3, < 1). Δίνεται η συνάρτηση f ( ). 6, Να βρείτε : i ) την παράγωγο της f, ii) τα κρίσιμα σημεία της f. ). Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ..6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1. ΘΕΜΑ Β Να μελετηθούν ως προς την μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÏÑÏÓÇÌÏ

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÏÑÏÓÇÌÏ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑΛ Β 6 ΜΑΪΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Θεωρία (θεώρ Frmat) σχολικό βιβλίο, σελ 6-6 Α Θεωρία (ορισµός) σχολικό βιβλίο, σελ 8 Α3 ΘΕΜΑ Β α β γ δ ε Σ Σ Λ Λ Σ B Έχουµε από υπόθεση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 3ο : Δίνεται η συνάρτηση f :(,) R με f() η οποία για κάθε (,

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων

Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων Ορισμός Έστω U R, U και f : U R R συνάρτηση τότε: )Το λέγεται τοπικό ελάχιστο της f αν υπάρχει περιοχή V του ώστε f f για κάθε V U Το λέγεται τοπικό μέγιστο της f αν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων Θεολόγης Καρκαλέτσης

Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων Θεολόγης Καρκαλέτσης Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων 9 Θεολόγης Καρκαλέτσης Μαθηματικός teomail@schgr Πρόλογος Στο βιβλίο αυτό περιέχονται όλα τα

Διαβάστε περισσότερα

2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 11. Σε κάθε τρίγωνο να αποδείξετε ότι το τετράγωνο µιας πλευράς που βρίσκεται απέναντι από οξεία γωνία, ισούται µε το άθροισµα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών ελαττωµένο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο κύριος στόχος αυτού του κεφαλαίου είναι να δείξουµε ότι η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη πράξη της παραγώγισης και να δώσουµε τις βασικές µεθόδους υπολογισµού των ολοκληρωµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.)

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση. ΘΕΜΑ Β Δίνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. ηµ x συν. f(x) = xe, x < 0 είναι παραγωγίσιµη στο

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. ηµ x συν. f(x) = xe, x < 0 είναι παραγωγίσιµη στο - 33 - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Να εξετάσετε αν η συνάρτηση στο o = Να εξετάσετε αν η συνάρτηση o = ηµ συν, f() = είναι παραγωγίσιµη, = f() = e, < είναι παραγωγίσιµη

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Ο ΚΥΚΛΟΣ. 1. Εξίσωση κύκλου (Ο, ρ) 2. Παραµετρικές εξισώσεις κύκλου. 3. Εφαπτοµένη κύκλου

3.1 Ο ΚΥΚΛΟΣ. 1. Εξίσωση κύκλου (Ο, ρ) 2. Παραµετρικές εξισώσεις κύκλου. 3. Εφαπτοµένη κύκλου 3. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΘΕΩΡΙΑ. Εξίσωση κύκλου (Ο, ρ) + y ρ. Παραµετρικές εξισώσεις κύκλου ρσυνφ και y ρηµφ 3. Εφαπτοµένη κύκλου + yy ρ 4. Εξίσωση κύκλου µε κέντρο το σηµείο Κ( o, y ο ) και ακτίνα ρ ( o ) + (y y ο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2007 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Α.3 Πότε η ευθεία y = l λέγεται οριζόντια ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 3

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2007 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Α.3 Πότε η ευθεία y = l λέγεται οριζόντια ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 7 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο Α.1 Αν z 1, z είναι µιγαδικοί αριθµοί, να αποδειχθεί ότι: z 1 z = z 1 z. Α. Πότε δύο συναρτήσεις f, g λέγονται ίσες; Μονάδες 4 Α.3 Πότε η ευθεία y

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση α) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ αβ., ] Αν η f είναι συνεχής στο [ αβ, ]

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις. Eφαρµοσµένα Μαθηµατικά. Nικόλαος Aτρέας

Σηµειώσεις. Eφαρµοσµένα Μαθηµατικά. Nικόλαος Aτρέας Σηµειώσεις Eφαρµοσµένα Μαθηµατικά Nικόλαος Aτρέας ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ Περιεχόµενα Eισαγωγή στους µιγαδικούς αριθµούς Στοιχειώδεις µιγαδικές συναρτήσεις 3 Οριο-Συνέχεια-Παράγωγος Αναλυτικές Συναρτήσεις 4 Μιγαδική

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

= (1, 0,1, 0) είναι γραµµικά ανεξάρτητα

= (1, 0,1, 0) είναι γραµµικά ανεξάρτητα ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Θέµα α) (µ) Θεωρούµε ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ 7 Ιουλίου 3 (διάρκεια: 3 ώρες

Διαβάστε περισσότερα

2. ** ίνεται η συνάρτηση f (x) = logx. α) Να εξετάσετε αν ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήµατος µέσης τιµής στο [1, 20] για τη συνάρτηση f.

2. ** ίνεται η συνάρτηση f (x) = logx. α) Να εξετάσετε αν ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήµατος µέσης τιµής στο [1, 20] για τη συνάρτηση f. Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Έστω µια συνάρτηση f παραγωγίσιµη στο R, η οποία έχει δύο τουλάχιστον ρίζες. α) Να αποδείξετε ότι µεταξύ δύο ριζών της f περιέχεται τουλάχιστον µια ρίζα της f. β) Αν η f έχει δύο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου Επαναληπτικές ασκήσεις

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου Επαναληπτικές ασκήσεις Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου + Επαναληπτικές ασκήσεις ς Στέλιος Μιχαήλογλου Δημήτρης Πατσιμάς Βαγγέλης Ραμαντάνης Ευάγγελος Τόλης wwwaskisopolisgr η έκδοση Μάρτιος 6 wwwaskisopolisgr Παράγωγοι Εκφωνήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα 5 Ανοικτά και κλειστά σύνολα Στην παράγραφο αυτή αναπτύσσεται ο µηχανισµός που θα µας επιτρέψει να µελετήσουµε τις αναλυτικές ιδιότητες των συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. Θα χρειαστούµε τις έννοιες της

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:. Να μπορεί να βρίσκει απο τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης το πεδίο ορισμού της το σύνολο τιμών της την τιμή της σε ένα σημείο..

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 16 ΜΑΪΟΥ 2011 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 16 ΜΑΪΟΥ 2011 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑΛ Β 6 ΜΑΪΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Θεωρία (Θεώρ Frmat) σχολικό βιβλίο σελ 6-6 Α Θεωρία (Ορισµός) σχολικό βιβλίο σελ 8 Α3 ΘΕΜΑ Β α β γ δ ε Σ Σ Λ Λ Σ B Έχουµε από υπόθεση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12)

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Οκτωβρίου 006 Ηµεροµηνία παράδοσης της Εργασίας: 0 Νοεµβρίου 006.

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Τελική Εξέταση 5 Ιουνίου 00 Απαντήστε όλα τα κάτωθι ερωτήµατα, παρέχοντας επεξηγηµατικά σχόλια όπου

Διαβάστε περισσότερα

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( )

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( ) ΑΣΚΗΣΗ ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z + 0i για τους οποίους ισχύει: z 4 =. z i. Να δείξετε ότι z =. ii. Αν επιπλέον ισχύει Re( z) Im( z) iii. = να υπολογίσετε τους παραπάνω µιγαδικούς αριθµούς. Για τους

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις

Κεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις Κεφάλαιο M4 Κίνηση σε δύο διαστάσεις Κινηµατική σε δύο διαστάσεις Θα περιγράψουµε τη διανυσµατική φύση της θέσης, της ταχύτητας, και της επιτάχυνσης µε περισσότερες λεπτοµέρειες. Θα µελετήσουµε την κίνηση

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ

1.4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ 1 1. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Θεώρηµα γνησίως αύξουσας Αν µία συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα και για κάθε εσωτερικό σηµείο του ισχύει f () > 0 τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ12 «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 16 Ιουλίου 2003

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ12 «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 16 Ιουλίου 2003 http://edueapgr/pli/pli/studetshtm Page of 6 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 6 Ιουλίου Απαντήστε όλα

Διαβάστε περισσότερα

2 η Εργασία Ημερομηνία Αποστολής : 21 Ιανουαρίου Άσκηση 1. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια χρησιμοποιώντας τον Κανόνα του L Hopital:

2 η Εργασία Ημερομηνία Αποστολής : 21 Ιανουαρίου Άσκηση 1. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια χρησιμοποιώντας τον Κανόνα του L Hopital: η Εργασία Ημερομηνία Αποστολής : Ιανουαρίου 7 Άσκηση. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια χρησιμοποιώντας τον Κανόνα του L Hopil: α. β. γ. lim 6 lim lim sin. (Υπόδειξη: χωρίς να την αποδείξετε, χρησιμοποιήστε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία, σελ. 53, σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία, σελ. 9, σχολικού βιβλίου. Α3. Θεωρία, σελ. 58, σχολικού βιβλίου. Α4. α) Σ, β) Σ,

Διαβάστε περισσότερα

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ. Να βρείτε το πεδίο ορισµού των παρακάτω συναρτήσεων: ( = g( = + 4 h( = t( = 5 φ( = ln σ( = ln(ln p( = ln m( = λ R λ - λ - k( = ln 4 s( = ηµ. Να εξετάσετε αν για τις παραπάνω συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 015 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση... Error! Bookmark not deined. Σκοποί Μαθήματος (Επικεφαλίδα

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα