Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις"

Transcript

1 Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις R Το κεφάλαιο αυτό έχει προπαρασκευαστικό χαρακτήρα και εξυπηρετεί δυο σκοπούς. Θα µελετήσουµε στα επόµενα κεφάλαια µερικές θεµελιακές έννοιες της Γραµµικής Άλγεβρας, όπως είναι η έννοια της βάσης και της διάστασης. Η πείρα µας στη διδασκαλία έχει δείξει ότι, επειδή οι έννοιες αυτές είναι αφαιρετικές, παρουσιάζονται συχνά δυσκολίες στην ουσιαστική κατανόησή τους. Για το λόγο αυτό, νοµίζουµε ότι είναι σκόπιµο να προηγηθεί η εισαγωγή των εννοιών αυτών µέσω ενός συγκεκριµένου αλλά σηµαντικού παραδείγµατος, δηλαδή του χώρου R. Με το παράδειγµα αυτό επιτυγχάνεται άµεσα και η διασύνδεση των νέων εννοιών µε τη θεωρία των γραµµικών συστηµάτων που µελετήσαµε σε προηγούµενα κεφάλαια. Σε επόµενα κεφάλαια θα µελετήσουµε εσωτερικά γινόµενα. Η κατανόηση του συνήθους εσωτερικού γινοµένου στο χώρο R θα διευκολύνει τη µελέτη αυτή.

2 Σελίδα από Ο χώρος R Πράξεις Υπενθυµίζουµε ότι µε R συµβολίζουµε το σύνολο των διατεταγµένων άδων ( u1,..., u), όπου u R. Τα στοιχεία του συνόλου αυτού µπορούν να θεωρηθούν σαν πίνακες µεγέθους 1, δηλαδή σαν πίνακες που έχουν µόνο µια γραµµή. Στο Κεφάλαιο είδαµε πως ορίζεται το άθροισµα δύο πινάκων του αυτού µεγέθους και πως ορίζεται το γινόµενο πίνακα µε αριθµό. Συνεπώς στο σύνολο R έχουµε την πρόσθεση που ορίζεται από ( u1,..., u) + ( 1,..., ) = ( u1+ 1,..., u + ) και επίσης µπορούµε να πολλαπλασιάσουµε στοιχεία του R µε αριθµούς σύµφωνα µε τον κανόνα au ( 1,..., u) = ( au1,..., au), a R. Για παράδειγµα έχουµε (1,, 1) (,0,1) = (1,, 1) (6,0,) = ( 5,, ). Για =,, οι παραπάνω πράξεις έχουν µια απλή γεωµετρική ερµηνεία. Υπενθυµίζουµε ότι µπορούµε να αντιστοιχίσουµε στο στοιχείο ( u1, u) του R το διάνυσµα ΟΜ του επιπέδου που έχει αρχή το σηµείο Ο = (0,0) και πέρας το σηµείο M = ( u, u ), όπως φαίνεται στο σχήµα 1 Ο u 1 u Μ Τότε για να προσθέσουµε τα στοιχεία u = ( u 1, u ), = ( 1, ) έχουµε τον κανόνα του παραλληλογράµµου που µας είναι γνωστός από την Παράγραφο 1.4 u u+

3 Σελίδα από 6 Για το γινόµενο au, όπου a R και u R, παρατηρούµε ότι το au αντιστοιχεί σε διάνυσµα που έχει την ίδια κατεύθυνση µε το διάνυσµα του u. Η δε φορά του εξαρτάται από το πρόσηµο του a όπως φαίνεται το σχήµα u u -u Όταν αναφερόµαστε στο σύνολο R µαζί µε τις προηγούµενες πράξεις θα χρησιµοποιούµε την έκφραση ο χώρος R. Τα στοιχεία του R θα τα λέµε και διανύσµατα. Σηµείωση Ο όρος διανύσµατα χρησιµοποιήθηκε και στο Κεφάλαιο 1 για τα προσανατολισµένα ευθύγραµµα τµήµατα του επιπέδου ή του χώρου που έχουν αρχή το (0,0) ή το (0,0,0) αντίστοιχα. Επειδή η αντιστοιχία αυτών µε τα στοιχεία του R, R αντίστοιχα που περιγράψαµε πριν είναι 1-1 και επί, θα επιτρέπουµε τη χρήση του όρου διανύσµατα τόσο για τα διανύσµατα του επιπέδου και του χώρου, όσο για τα στοιχεία του R γενικά. Στο Κεφάλαιο είδαµε ότι οι παραπάνω πράξεις ικανοποιούν τις εξής ιδιότητες. Υπενθυµίζουµε ότι µε 0 συµβολίζουµε το στοιχείο (0,...,0) του R Πρόταση Έστω uw,, R και ab, R. Τότε ( u+ ) + w= u+ ( + w) au ( + ) = au+ a u+ 0 = u ( a+ b) u = au+ bu u+ ( u) = 0 ( ab) u = a( bu) u+ = + u 1u = u Παράδειγµα Έστω u, R, u= (0,1, 1), = (,0,1). Ας εξετάσουµε αν υπάρχουν ab, R, τέτοια ώστε au + b = (,, ). Έχουµε au + b = (,, ) (0, a, a) + ( b,0, b) = (,, ) b = ( ba,, a+ b) = (,, ) a= a + b =. Λύνοντας το σύστηµα βρίσκουµε a=, b= 1.

4 Σελίδα 4 από 6 Βάσεις Στο Xώρο R Ας θεωρήσουµε τα στοιχεία e = (1, 0), e = (0,1) του R. Παρατηρούµε ότι κάθε 1 στοιχείο ( u, u ) του R µπορεί να γραφεί στη µορφή 1 ( u1, u) = ( u1,0) + (0, u) = u1(1,0) + u(0,1) = ue + ue. Η προηγούµενη παρατήρηση οδηγεί στα εξής ερωτήµατα. 1. Μήπως υπάρχει ένα πεπερασµένο πλήθος διανυσµάτων στο R έτσι ώστε κάθε διάνυσµα του R να προκύπτει από αυτά µε τη χρήση των δυο πράξεων που είδαµε πριν; Η απάντηση είναι ναι, γιατί αν θέσουµε e1 = (1,0,...,0), e = (0,1,0,...,0),..., e = (0,...,0,1) τότε για το τυχαίο στοιχείο ( u1,..., u) R έχουµε ( u1,..., u) = ue ue.. Με ποιο τρόπο µπορούµε να ελέγξουµε αν ένα πεπερασµένο πλήθος από διανύσµατα του R έχει την προηγούµενη ιδιότητα;. Μπορούµε να επιλέξουµε µια συλλογή από διανύσµατα που έχουν την ιδιότητα του ερωτήµατος1 µε οικονοµικό τρόπο, δηλαδή το πλήθος της να είναι σχετικά µικρό; Πόσα στοιχεία έχει µια τέτοια συλλογή; Στη συνέχεια θα ασχοληθούµε µε τα ερωτήµατα και Ορισµός Έστω,..., 1 m R. 1. Ένας γραµµικός συνδυασµός των,..., 1 m είναι ένα στοιχείο του R της µορφής a amm, a R.. Θα λέµε ότι τα στοιχεία,..., 1 m παράγουν το χώρο R αν για κάθε R υπάρχουν a,..., 1 am R τέτοια ώστε = a amm. ηλαδή τα στοιχεία,..., 1 m παράγουν το R αν κάθε στοιχείο του R είναι γραµµικός συνδυασµός των,...,. 1 m 5.1. Παραδείγµατα 1) Είδαµε πριν ότι τα στοιχεία e 1 = (1, 0), e = (0,1) παράγουν το χώρο 1 R. Όµοια και τα e1 = (1,0,...,0), e = (0,1,0,...,0),..., e = (0,...,0,1) παράγουν το R. ) Έστω = (1,1), = (0,1). Τότε τα στοιχεία αυτά παράγουν το R. 1 Πράγµατι, έστω ( ab, ) R. Θα δείξουµε ότι υπάρχουν a1, a R, τέτοια ώστε a + a = ( a, b). Έχουµε a + a = ( a, b) ( a, a) + (0, a ) = ( a, b) a = a a = a ( a1, a + a1) = ( a, b). a a b a b a 1+ = = 1 Θα επιτρέπουµε στον εαυτό µας να χρησιµοποιούµε το ίδιο σύµβολο (πχ το ) για διαφορετικά πράγµατα (πχ το (1,0) ή το (1,0,0) κλπ) γιατί θα είναι σαφές σε ποιο R e 1 αναφερόµαστε.

5 Σελίδα 5 από 6 ) Τα στοιχεία 1 = (1,1), = (, ) δεν παράγουν το R. Πράγµατι, τα διανύσµατα (1,1), (, ) είναι συνευθειακά και άρα κάθε διάνυσµα της µορφής a1(1,1) + a(, ) είναι συνευθειακό µε τα αρχικά. Εποµένως το σύνολο των σηµείων της µορφής a1(1,1) + a(, ), όπου a1, a R, είναι µια ευθεία και όχι όλο το επίπεδο. Με άλλα λόγια, οι γραµµικοί συνδυασµοί των (1,1), (,) δεν καλύπτουν όλο το επίπεδο. Ο προηγούµενος τρόπος λύσης ήταν γεωµετρικός. Ένας αλγεβρικός τρόπος είναι ο εξής. Θα εξετάσουµε αν για κάθε ( ab, ) R υπάρχουν a1, a R, τέτοια ώστε a1(1,1) + a(, ) = ( a, b). Έχουµε a1+ a = a a1(1,1) + a(, ) = ( a, b) a1 + a = b Παρατηρούµε ότι αν a b, τότε το σύστηµα (µε αγνώστους τους a1, a ) δεν έχει λύση. Άρα τα (1,1), (, ) δεν παράγουν το R. 4) Στο παράδειγµα αυτό θα δούµε ότι τα διανύσµατα (1,, 1),(,1,0),(,, 1) δεν παράγουν το R. Πράγµατι, έστω ( abc,, ) R. Τότε έχουµε a(1,, 1) + a(,1,0) + a(,, 1) = ( abc,, ) 1 ( ) a+ a + a,a+ a + a, a a = ( abc,, ) a1+ a + a = a a1+ a + a = b a1 a = c. Μετά από στοιχειώδεις µετασχηµατισµούς γραµµών βρίσκουµε ότι ο επαυξηµένος πίνακας του συστήµατος παίρνει τη µορφή 1 a a b 0 b c a b

6 Σελίδα 6 από 6 b+ c a b Εποµένως αν 0, τότε το σύστηµα είναι ασυµβίβαστο. Άρα τα δεδοµένα διανύσµατα δεν παράγουν το R. Σηµείωση Η γεωµετρική ερµηνεία είναι η ακόλουθη. Επειδή έχουµε τη σχέση (,, 1) = (1,, 1) + (,1, 0), τα τρία αυτά διανύσµατα είναι συνεπίπεδα, δηλαδή βρίσκονται στο επίπεδο που ορίζουν τα (1,, 1), (,1, 0). Από τον κανόνα του παραλληλογράµµου, συµπεραίνουµε ότι κάθε γραµµικός συνδυασµός τους παραµένει στο επίπεδο αυτό. ηλαδή, οι γραµµικοί συνδυασµοί τους δεν καλύπτουν όλο το R. 5) Έστω = (1,1,0), = (,0,1), = (,1, 1). Θα δούµε ότι τα στοιχεία 1 αυτά παράγουν το R. Έστω ( abc,, ) R. Έχουµε a+ a + a = ( abc,, ) ( a, a,0) + ( a,0, a) + ( a, a, a) = ( abc,, ) 1 a1+ a + a = a a1+ a = b a + a = c. Για να αποφασίσουµε αν το σύστηµα αυτό έχει λύση µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε στοιχειώδεις µετασχηµατισµούς γραµµών στον επαυξηµένο πίνακα και να εξετάσουµε την αναγµένη κλιµακωτή µορφή του όπως µάθαµε στο Κεφάλαιο. Επειδή όµως το σύστηµα είναι τετραγωνικό, µπορούµε να υπολογίσουµε την ορίζουσα του πίνακα των συντελεστών. Αυτή είναι µη µηδενική, 0 det 0 1 = 1 ( ) = 4, 1 1 και άρα το σύστηµα έχει λύση για κάθε abc,,. Σηµείωση. Αν η ορίζουσα ήταν µηδέν, τότε δεν θα µπορούσαµε να βγάλουµε άµεσο συµπέρασµα και θα ήταν προτιµότερο να βρίσκαµε την αναγµένη κλιµακωτή µορφή του επαυξηµένου πίνακα. 6) Θα δείξουµε ότι τα 1 = (1,0,1), = (,1,0), = (1,1,0), 4 = (0,1,1) παράγουν τον R και θα παραστήσουµε το = (0, 1,1) σαν γραµµικό συνδυασµό των. Έχουµε a+ a + a + a = ( abc,, ) 4 4 ( ) a+ a + a + a, a + a + a, a+ a = ( abc,, ) a1+ a + a = a a + a + a4 = b a1 + a4 = c. Ο επαυξηµένος πίνακας του συστήµατος είναι ο

7 Σελίδα 7 από a 0 1 b. Με στοιχειώδεις µετασχηµατισµούς γραµµών c βρίσκουµε τη αναγµένη κλιµακωτή µορφή c a b c a+ b+ c Από αυτή βλέπουµε ότι το σύστηµα έχει λύση για κάθε abc,, (και µάλιστα άπειρες). Άρα τα, παράγουν το R. Για να παραστήσουµε το (0,-1,1) σαν γραµµικό συνδυασµό των,..., 1 4, θέτουµε a = 0, b = 1, c = 1, οπότε ο παραπάνω πίνακας είναι ο Από την τρίτη γραµµή βρίσκουµε = 1 a, από τη δεύτερη a a4 a 4 = και από την πρώτη a1 = 1 a. 4 Άρα έχουµε όπου το (0, 1,1) = a + a + a + a = 4 4 = (1 a ) + ( a ) + ( 1 a ) + a, a R παίρνει αυθαίρετες τιµές. Για παράδειγµα, αν a 4 = 0, 4 τότε (0, 1,1) = 1, και αν a 4 = 1, τότε (0, 1,1) = Σηµείωση Στο παράδειγµα αυτό βλέπουµε ότι είναι δυνατό ένα διάνυσµα να γράφεται µε πολλούς τρόπους σαν γραµµικός συνδυασµός δεδοµένων διανυσµάτων. Από τα προηγούµενα παραδείγµατα πηγάζει αβίαστα µια απάντηση στο ερώτηµα. Για να δούµε αν ένα διάνυσµα b R γράφεται σαν γραµµικός συνδυασµός των διανυσµάτων,... 1 m R, σχηµατίζουµε τον ( m + 1) πίνακα που οι στήλες του είναι οι,..., 1, m bκαι εξετάζουµε αν το αντίστοιχο σύστηµα έχει λύση. Στην περίπτωση που το σύστηµα έχει λύση για κάθε b R, τότε τα,... 1 m παράγουν το R. Στη συνέχεια θα προσεγγίσουµε το ερώτηµα Πρόταση Έστω ότι τα διανύσµατα,..., 1 m παράγουν το R. Αν το m είναι γραµµικός συνδυασµός των,...,, 1 m 1 τότε τα 1,..., m 1 παράγουν το R. Απόδειξη Έστω R. Τότε υπάρχουν a R µε = a + a + a.... m 1 m 1 m m

8 Σελίδα 8 από 6 Από την υπόθεση υπάρχουν b R µε m = b bm 1 m 1. Αντικαθιστώντας βρίσκουµε ότι = a +... a + a = a +... a + a ( b b ) ηλαδή το m 1 m 1 m m m 1 m 1 m m 1 m 1 = ( a + a b) ( a + a b ). 1 m m 1 m m 1 m 1 είναι γραµµικός συνδυασµός των 1 m 1,...,. = Σηµείωση Από την προηγούµενη πρόταση, συµπεραίνουµε ότι από µια συλλογή διανυσµάτων που παράγουν το R µπορούµε να παραλείψουµε διανύσµατα που γράφονται σαν γραµµικοί συνδυασµοί των υπολοίπων. Η νέα συλλογή παράγει το R και έχει λιγότερα στοιχεία. Παρατήρηση Ιδιαίτερα, από µια συλλογή διανυσµάτων µπορούµε να παραλείψουµε τις πολλαπλές εµφανίσεις του αυτού στοιχείου. Για παράδειγµα αν γνωρίζουµε ότι τα,, παράγουν το R και ισχύει, 4 τότε τα,, παράγουν το R. Εποµένως θα = 1 µιλάµε από τώρα και στο εξής για σύνολα που παράγουν το R 1, 4 Πότε ένα από τα διανύσµατα,..., 1 m γράφεται σαν γραµµικός συνδυασµός των υπολοίπων; Βλέπουµε ότι η απάντηση είναι αν και µόνο αν υπάρχει µια παράσταση της µορφής a amm= 0, όπου τουλάχιστον ένας από τους a R είναι µη µηδενικός. Συνεπώς η διαδικασία που περιγράφεται στη Σηµείωση δεν µπορεί για το οποίο δεν να συνεχιστεί αν φτάσουµε σε ένα σύνολο στοιχείων { } 1,..., m υπάρχει παράσταση της µορφής a a = 0, όπου τουλάχιστον ένας από τους a είναι διάφορος του µηδενός. Έτσι φτάνουµε στον εξής ορισµό Ορισµός Ένα σύνολο στοιχείων { } 1,..., m a. το {,..., 1 m} παράγει το m m του R ονοµάζεται βάση του R αν έχει τις ιδιότητες R b. αν ισχύει η σχέση a amm= 0, όπου a R, τότε αναγκαστικά έχουµε a1 = a =... = a m = Παραδείγµατα 1. Το σύνολο {, } Πράγµατι, a. το {, } e1 e, όπου e 1 e 1 = (1, 0), = (0,1) είναι µια βάση του R. e e παράγει το R, αφού αν ( a, a ) R, τότε ae ae 0, 1 ( a, a ) = ( a,0) + (0, a ) = a (1,0) + a (0,1). b. αν + = τότε ( a1, a) = (0,0) a1 = a = 0.

9 Σελίδα 9 από 6 Με παρόµοιο τρόπο, βλέπουµε ότι το σύνολο { } e,...,, 1 e όπου e1 = (1,0,...,0), e = (0,1,0,...,0),..., e = (0,...,0,1), είναι µια βάση του R. Αυτή λέγεται η συνήθης βάση του R. 1,, όπου 1 = (1,1), = (0,1), είναι µια βάση του R. Πράγµατι,, παράγει το R όπως είδαµε στο Παράδειγµα Το σύνολο { } a. το { } 1 b. αν a + a = τότε 0, a1 = 0 ( a1, a1+ a) = (0,0) a1 = a = 0. a1 + a = 0 1,, όπου 1 = (1,1), = (, ), δεν είναι βάση του R, γιατί όπως είδαµε στο Παράδειγµα 5.1., δεν ικανοποιεί την ιδιότητα a του Ορισµού (Σηµειώνουµε ότι δεν αληθεύει και η ιδιότητα b του Ορισµού αφού = 0 ). Το σύνολο { } 4. Το σύνολο {,, } 1. 1, όπου 1 = (1,0), = (0,1), = (, ) δεν είναι βάση του R, γιατί δεν ικανοποιεί την ιδιότητα b του Ορισµού Πράγµατι, έχουµε 1+ = 0. (Σηµείωση. Τους συντελεστές,,-1 στον προηγούµενο γραµµικό συνδυασµό τους βρήκαµε άµεσα γιατί τα διανύσµατα είναι βολικά. Θα µπορούσαµε να τους προσδιορίσουµε λύνοντας το σύστηµα που προκύπτει από τη σχέση a + a + a = ) Το σύνολο { 1,, }, όπου 1 = (1,1,0), = (,0,1), = (,1, 1), είναι µια βάση του R αφού, a. παράγει το R, όπως είδαµε στο Παράδειγµα b. αν a + a + a =, τότε προκύπτει το σύστηµα 0 a + a + a =0 1 a + a = 0 1 a + a = 0. Εύκολα επαληθεύουµε ότι αυτό έχει µοναδική λύση a1 = a = a = Το σύνολο {, }, όπου τα, είναι τυχαία στοιχεία του R, δεν είναι 1 1 βάση του R, γιατί δεν ικανοποιείται η ιδιότητα a του Ορισµού Πράγµατι, κάθε γραµµικός συνδυασµός των 1, θα ανήκει στο επίπεδο που αυτά ορίζουν. Συνεπώς οι γραµµικοί συνδυασµοί τους δεν καλύπτουν όλο το R. Επειδή η ιδιότητα b του Ορισµού είναι σηµαντική, τη ξεχωρίζουµε Ορισµός Έστω,..., 1 m R. Τα στοιχεία αυτά λέγονται γραµµικά ανεξάρτητα αν από τη σχέση a amm= 0, a R, έπεται αναγκαστικά ότι a1 = a =... = a m = 0. Είδαµε στα Παραδείγµατα ότι τα (1,1),(0,1) R είναι γραµµικά ανεξάρτητα

10 Σελίδα 10 από 6 τα τα τα (1,1,0),(,0,1),(,1, 1) (1,1), (, ) R R είναι γραµµικά ανεξάρτητα δεν είναι γραµµικά ανεξάρτητα (1,0),(0,1),(, ) R δεν είναι γραµµικά ανεξάρτητα. Τώρα είµαστε σε θέση να απαντήσουµε το ερώτηµα. Το επόµενο αποτέλεσµα είναι το πιο σηµαντικό αυτού του κεφαλαίου. Η δε απόδειξή του είναι µια κοµψή εφαρµογή της θεωρίας των γραµµικών συστηµάτων που µελετήσαµε στο Κεφάλαιο Θεώρηµα Έστω ότι,..., 1 m R. 1. Αν τα,..., 1 m είναι γραµµικά ανεξάρτητα, τότε έχουµε m.. Αν τα,..., 1 m παράγουν το R, τότε έχουµε m.. Αν τα,..., 1 m αποτελούν βάση του R, τότε έχουµε m=. Απόδειξη 1. Έστω ότι τα,..., 1 m είναι γραµµικά ανεξάρτητα. Έστω ότι m>. Θεωρούµε το σύστηµα στους αγνώστους a,..., 1 am που προκύπτει από τη σχέση a amm= 0. Αυτό είναι οµογενές, έχει εξισώσεις και m αγνώστους. Από το Πόρισµα..1 συµπεραίνουµε ότι υπάρχει µη µηδενική λύση. Αυτό είναι άτοπο, γιατί τα είναι γραµµικά ανεξάρτητα.. Έστω ότι τα,..., 1 m παράγουν το R. Τότε υπάρχουν aj R, τέτοια ώστε e = a amm, = 1,...,, όπου {,..., e1 e } είναι η συνήθης βάση του R (βλ Παράδειγµα ). Έστω a R. Υπολογίζοντας έχουµε ae ae = = a ( a a ) a ( a a ) = 1m m m m = ( aa aa ) ( aa aa ). 1 m m m > m a Έστω ότι. Τότε από το Πόρισµα..1 µπορούµε να επιλέξουµε τα, τέτοια ώστε aa aa 1=... = aa m aa m = 0, και ένα τουλάχιστον από τα a είναι µη µηδενικό. Τότε θα έχουµε ae ae = 0, όπου κάποιο a είναι µη µηδενικό. Αυτό είναι άτοπο γιατί τα e,..., 1 e είναι γραµµικά ανεξάρτητα.. Αυτό έπεται άµεσα από τα 1 και, Τώρα ξέρουµε ότι κάθε βάση του R έχει στοιχεία. Αν µας δοθεί ένα σύνολο µε στοιχεία, τότε για να εξετάσουµε αν αυτό είναι βάση θα πρέπει να ελέγξουµε αν ικανοποιεί τις δυο ιδιότητες του Ορισµού Όµως, σύµφωνα µε την επόµενη πρόταση, αρκεί να επαληθεύσουµε µια από τις ιδιότητες αυτές Πρόταση Έστω { } 1. Το {,..., 1 } είναι µια βάση του,..., 1 R. Τότε τα ακόλουθα είναι ισοδύναµα. Το {,..., 1 } παράγει το R R. Το {,..., 1 } είναι γραµµικά ανεξάρτητο.

11 Σελίδα 11 από 6 Απόδειξη Από τους ορισµούς, αρκεί να αποδείξουµε την ισοδυναµία.. Έστω ότι τα,..., 1 δεν είναι γραµµικά ανεξάρτητα. Τότε κάποιο από αυτά, έστω το, γράφεται σαν γραµµικός συνδυασµός των υπολοίπων. Τότε όµως, από την υπόθεση και την Πρόταση 5.1.4, ο R παράγεται από τα,..., 1 1. Αυτό είναι άτοπο από το Θεώρηµα Έστω Α ο πίνακας του οποίου η στήλη είναι το, = 1,...,. Το a1 0 σύστηµα που προκύπτει από τη σχέση a a = 0, είναι το A =. Από a 0 την υπόθεση, αυτό δεν έχει µη µηδενική λύση. Άρα det A 0 (βλ Κεφ 4). Τότε όµως x1 b1 το σύστηµα A = έχει λύση για κάθε b R. ηλαδή τα,..., 1 παράγουν x b το R Πόρισµα Έστω,..., 1 R και έστω Α ο πίνακας του οποίου η στήλη είναι το, = 1,...,. Τότε τα,..., 1 αποτελούν βάση του R αν και µόνο αν det A 0. Απόδειξη Η απόδειξη έχει ήδη γίνει στην προηγούµενη πρόταση Παράδειγµα Έστω = (,1,0), = (,0,1), = (0,, 1). Ο πίνακας που αναφέρεται στο 1 0 προηγούµενο πόρισµα είναι ο A = 1 0. Υπολογίζοντας την ορίζουσα βρίσκουµε d et A = 1 0. Άρα τα δεδοµένα διανύσµατα αποτελούν µια βάση του R. Έστω { 1,..., } µια βάση του R. Επειδή το σύνολο αυτό παράγει το R, για κάθε R υπάρχουν a R, που εξαρτώνται βέβαια από το, τέτοια ώστε = a a. Θα δούµε τώρα ότι τα a είναι µοναδικά. Πράγµατι, έστω ότι έχουµε και b R µε = b b. Αφαιρώντας κατά µέλη παίρνουµε ( a1 b1) ( a1 b1) =0. Επειδή τα είναι γραµµικά ανεξάρτητα έχουµε a1 b1 =... = a b = 0, δηλαδή a,...,. 1 = a a = b Συνεπώς έχουµε αποδείξει την εξής πρόταση.

12 Σελίδα 1 από Πρόταση Έστω {,..., } µια βάση του R. Τότε για κάθε R, υπάρχουν µοναδικά µε 1 = a a. a R Επεξεργασµένα Παραδείγµατα 1. Αφού αποδείξτε ότι τα στοιχεία = (1,1), = (1, 1) αποτελούν µια βάση του 1 R να εκφράσετε το ( ab, ) σαν γραµµικό συνδυασµό των 1,. Λύση Σύµφωνα µε το Πόρισµα , τα δεδοµένα στοιχεία είναι µια βάση του R, αφού det = 0. Αν ( ab, ) R έχουµε 1 1 a (1,1) + a (1, 1) = ( a, b) 1 a+ b a1 = a1+ a = a a1 a = b a b a =. a+ b a b Εποµένως έχουµε ( ab, ) = (1,1) + (1, 1).. Εξετάστε αν το (,9, 4, ) είναι γραµµικός συνδυασµός των (1,,0,),(,,0, 1),(, 1,,1). Λύση Έχουµε (,9, 4, ) = a (1,, 0,) + a (,, 0, 1) + a (, 1,,1) 1 (,9, 4, ) = ( a + a + a, a + a a, a, a a + a ) a1+ a + a = a1 + a a = 9 a = 4 a1 a + a =. Λύνοντας το σύστηµα αυτό βρίσκουµε ότι υπάρχει λύση (και µάλιστα µοναδική ( a1, a, a ) = (1,, ) ). Άρα το (,9, 4, ) είναι γραµµικός συνδυασµός των (1,,0,),(,,0, 1),(, 1,,1). Μάλιστα έχουµε (,9, 4, ) = (1,, 0,) + (,, 0, 1) (, 1,,1).. Εξετάστε ποια από τα επόµενα σύνολα είναι βάσεις του (1,,),(,0,1)} { { { (1,,),(,0,1),(,1, 4),(1,0,7)} (1,, ),(1,,),(, 1,5)}. Λύση Το πρώτο σύνολο δεν είναι βάση του Θεώρηµα 5.1.9) Το δεύτερο σύνολο δεν είναι βάση του R R γιατί δεν έχει στοιχεία (βλ. R γιατί δεν έχει στοιχεία

13 Σελίδα 1 από 6 Εξετάζουµε τώρα το τρίτο σύνολο. Με ένα σύντοµο υπολογισµό βρίσκουµε ότι η ορίζουσα του πίνακα 1 είναι ίση µε 0, δηλαδή είναι µη µηδενική. Άρα τα δεδοµένα 5 διανύσµατα αποτελούν µια βάση του R. 1,, είναι µια βάση του R. Αποδείξτε ότι το σύνολο { 1,, 1} είναι µια βάση του R. Λύση Σύµφωνα µε το Θεώρηµα 5.1.9, αρκεί να δείξουµε ότι τα 1,, 1 είναι γραµµικά ανεξάρτητα. Έστω ότι a ( ) + a ( ) + a ( ) =0. Έχουµε 4. Έστω ότι το σύνολο { } 1 a ( ) + a ( ) + a ( ) = 0 1 ( a a ) + ( a a ) + ( a a ) = 0. Επειδή τα 1 1 1,, 1 είναι γραµµικά ανεξάρτητα, παίρνουµε a a = a a = a a = ηλαδή a1 = a = a = 0. Συνεπώς τα ,, 1 είναι γραµµικά ανεξάρτητα.

14 Σελίδα 14 από 6 Ασκήσεις Εξετάστε αν το ( 1,1, ) είναι γραµµικός συνδυασµός των (,1, ),(5,,1).. Εξετάστε ποια από τα επόµενα σύνολα είναι βάσεις του a. (,1,),(5,,1),( 1,1, ) { } { } { } b. (,1,),(5,,1) c. (,1, ), (5,,1), ( 1,1, ).. Για ποια a R, τα διανύσµατα (1,,1), (, a, 0), (,1,1) αποτελούν µια βάση του R ; 4. Αποδείξτε ότι κάθε διάνυσµα της µορφής ( ab,,0), ab, R, είναι γραµµικός συνδυασµός των (, 1,0),(1,,0). 5. Για ποια a R, το διάνυσµα (1,, k) είναι γραµµικός συνδυασµός των (,0, ),(, 1, 5) ; 6. Έστω ότι { 1,, } {,, } 1 R είναι µια βάση του R. Αποδείξτε ότι το + + είναι µια βάση του R. 7. Εξετάστε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές. Στην περίπτωση που µια πρόταση είναι σωστή δώστε µια απόδειξη. ιαφορετικά ένα αντιπαράδειγµα αρκεί. a. κάθε δυο µη µηδενικά µη συγγραµµικά διανύσµατα του αποτελούν µια βάση του R. b. κάθε τρία συνεπίπεδα διανύσµατα του R δεν αποτελούν βάση του R. R Απαντήσεις / Υποδείξεις ( 1,1, ) = ( )(,1,) + ( 1,1, ).. Μόνο το τρίτο σύνολο είναι βάση. Η ορίζουσα του πίνακα που αναφέρεται στο Πόρισµα έχει ορίζουσα a. Η απάντηση είναι a Πρέπει να δείξετε ότι το σύστηµα που προκύπτει από τη σχέση a1(, 1,0) + a(1,,0) = ( a, b,0) είναι συµβιβαστό για κάθε ab, R. 5. Μόνο για a = Βλ. Επεξεργασµένο Παράδειγµα a. σωστό, b. σωστό

15 Σελίδα 15 από 6 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο R Στην παράγραφο αυτή θα δούµε ότι οι γεωµετρικές έννοιες του µήκους και της γωνίας γενικεύονται µε φυσιολογικό τρόπο στους χώρους R. Ορισµοί Για να εξηγήσουµε το κίνητρο του ορισµού του συνήθους εσωτερικού γινοµένου στο R, ας θυµηθούµε ότι µια από τις διασυνδέσεις µεταξύ µηκών και γωνιών στη γεωµετρία του επιπέδου R περιγράφεται από το νόµο των συνηµιτόνων Α Ο θ Β AB = OA + OB OA OB cosθ. Αν το σηµείο Ο είναι η αρχή των αξόνων και τα σηµεία Α,Β έχουν συντεταγµένες αντίστοιχα ( a, a ),( b, b ), τότε από την προηγούµενη σχέση παίρνουµε 1 1 ( ) ( ) 1 1 a b + a b = a + a + b + b OA OB cosθ a b + a b = OA OB cos θ. Από την τελευταία σχέση βλέπουµε ότι το cosθ καθορίζεται από τα µήκη OA, OB και την ποσότητα ab + ab Ορισµός Έστω u, R, u= ( u1,..., u), = ( 1,..., ). Το εσωτερικό γινόµενο των u, είναι ο πραγµατικός αριθµός u, = u u. Το µήκος ( ή µέτρο) του u είναι ο πραγµατικός αριθµός Παρατηρούµε ότι uu, = u u = u. 1 Για παράδειγµα, αν u = (4,5, 1), = (,1,), τότε u, ( 1) 10, u 4 5 ( 1) 4 = + + = = + + =. u = u + + u Ιδιότητες Μερικές απλές ιδιότητες του εσωτερικού γινοµένου περιγράφονται στην επόµενη πρόταση.

16 Σελίδα 16 από Πρόταση Έστω uw,, R, a R. Τότε έχουµε 1. u+, w = u, w +, w. u, + w = u, + uw,. au, = a u, = u, a 4. u, = u, 5. uu, 0 6. uu, = 0 u=0. Απόδειξη Καθεµιά από τις προηγούµενες σχέσεις αποδεικνύεται άµεσα µε ένα σύντοµο υπολογισµό. Ας δούµε ενδεικτικά την πρώτη ισότητα της. Αν u = ( u1,..., u), = ( 1,..., ), τότε au, = ( au ) ( au ) = a u u = a u,. ( ) 5.. Παράδειγµα Έστω u, R µε u = 1, =, u, = 1. Να βρεθεί το µήκος του u+. Έχουµε u+, u+ = u, u+ +, u+ = uu, + u, + u, +, = = uu, + u, + u, + 9, = = uu, + 6 u, + 9, = = 4. Άρα u+ = u+, u+ = 4 =. Στο επόµενο θεώρηµα έχουµε δυο σηµαντικές ανισότητες που αφορούν εσωτερικά γινόµενα και µήκη. = 5..4 Θεώρηµα Έστω u, R. Τότε 1. (ανισότητα Cauchy - Schwarz) u,. (τριγωνική ανισότητα) u+ u +. u Απόδειξη 1. Αν κάποιο από τα u, είναι το µηδενικό διάνυσµα, τότε η αποδεικτέα σχέση ισχύει. Υποθέτουµε τώρα ότι τα u, είναι µη µηδενικά. Θα δείξουµε ότι u u, u. Θεωρούµε το διάνυσµα u u. Από την Πρόταση έχουµε u u, u u 0 Παίρνουµε διαδοχικά

17 Σελίδα 17 από 6 u u, u u 0 u, u u, u + u, 0 u, u u u u, u u, u. Η απόδειξη της σχέσης u u, γίνεται µε παρόµοιο τρόπο αν ξεκινήσουµε από το u+ u.. Έχουµε διαδοχικά u+ u + ( ) ( ) u+ u + u+, u+ u + uu, + u, + u, +, u + + u u + u, + u + + u u, u, και η τελευταία σχέση ισχύει από το 1 του Θεωρήµατος. Από την ανισότητα των Cauchy Schwarz, συµπεραίνουµε ότι αν u, R µη µηδενικά τότε u, 1 1. u Συνεπώς υπάρχει µοναδικός πραγµατικός αριθµός θ µε 0 θ π τέτοιος ώστε u, cos θ =. u είναι π Θα λέµε ότι η γωνία µεταξύ των u, είναι θ. Στην ειδική περίπτωση που θ =, θα λέµε ότι τα u, είναι κάθετα µεταξύ τους. Κάνουµε την παραδοχή ότι το µηδενικό διάνυσµα είναι κάθετο µε κάθε διάνυσµα. Συνεπώς άµεσα βλέπουµε ότι ισχύει το εξής Πρόταση υο διανύσµατα u, R είναι κάθετα µεταξύ τους αν και µόνο αν u, = 0. Σηµείωση Έχουµε ορίσει την έννοια της γωνίας µεταξύ δυο διανυσµάτων του R. Στην ειδική περίπτωση =, η έννοια αυτή συµπίπτει µε τη συνήθη έννοια της γωνίας στο επίπεδο που γνωρίζουµε από τα µαθητικά χρόνια µας. Αυτό έπεται από το νόµο των συνηµιτόνων που αναφέραµε στην αρχή της παραγράφου αυτής. Πράγµατι, αν u, R, από το νόµο αυτό παίρνουµε

18 Σελίδα 18 από 6 u = u + u cosθ u, u = u + u cosθ uu, u, u, +, = u + ucosθ u u, + = u + u cosθ u, = ucos θ Επεξεργασµένα Παραδείγµατα 1. Για ποια a R, τα διανύσµατα = (1, a, ), u = (,1, 1) είναι κάθετα; Λύση Έχουµε u, = 1 + a 1+ ( 1) = 1+ a. Από την Πρόταση 5..5 έχουµε ότι τα u, είναι κάθετα αν και µόνο αν u, = 0, δηλαδή a = 1.. Να βρεθεί η γωνία των u = (0,5,0), = (,,0) Λύση u, π Έχουµε cos θ = = =. Άρα θ =. u u,. Έστω u, R, u 0. είξτε ότι το διάνυσµα u είναι κάθετο στο u. u Λύση Έχουµε u, u, u, u =, u u, u u u u, u, u, uu, = u, u = 0. u u Σηµείωση Θα είναι χρήσιµο σε επόµενα κεφάλαια να δούµε τη γεωµετρική σηµασία αυτού του παραδείγµατος για =. Από το σχήµα φαίνεται ότι το u, / διάνυσµα u είναι η συνιστώσα του που είναι κάθετη στο u. u = / θ // u Πράγµατι, το διάνυσµα u u έχει µέτρο 1 και είναι παράλληλο µε το u. Αν / // είναι η κάθετη συνιστώσα του στο u και είναι η προβολή του στο u, / // u u, u u, τότε = = ( cos θ ) = ( ) = u. u u u u

19 Σελίδα 19 από 6 π 4. Έστω u, R, τέτοια ώστε u = = 1 και η γωνία τους είναι. 4 η γωνία µεταξύ των u+, u. Λύση Αν θ είναι η ζητούµενη γωνία, τότε u+, u cos θ =. u+ u Για τον αριθµητή έχουµε τις σχέσεις u+, u = u, u u, +, u, u + u, = u, 1 και π u, = ucos =. 4 Για τον παρονοµαστή έχουµε u+ = u+, u+ = = Να βρεθεί uu, + 4 u, + 4, = uu, + 4 u, + 4, = u + 4 u, + 4 = = 5+ και u = u, u = uu, u, +, = u u, + = 1 + 1=. Αντικαθιστώντας στην αρχική εξίσωση βρίσκουµε τελικά ότι cos θ =. Με χρήση αριθµοµηχανής βρίσκουµε ότι θ = µοίρες περίπου. Ορθοκανονικές Βάσεις Στην παράγραφο αυτή µελετήσαµε την έννοια της βάσης στο R, όπως επίσης και τις έννοιες του µήκος και της γωνίας. Θα δούµε τώρα µια διασύνδεση αυτών. e e του R έχει τις εξής Εύκολα διαπιστώνουµε ότι η συνήθης βάση { } 1,..., ιδιότητες. α) Κάθε είναι κάθετα, δηλαδή 5..7 Ορισµός Μια βάση { } 1,..., e έχει µήκος 1, δηλαδή e = 1. β) Κάθε δυο διακεκριµένα e, e j = 0. Μια τέτοια βάση θα λέγεται ορθοκανονική. του R λέγεται ορθοκανονική αν έχει τις ιδιότητες για κάθε, e, e = 1 e, e j

20 Σελίδα 0 από 6 για κάθε j, e, e = Παράδειγµα j Όπως είδαµε πριν, η συνήθης βάση {,..., 1 } Επίσης η βάση { 1, } R e e του R είναι ορθοκανονική. του είναι ορθοκανονική, όπου 1 =,, =,. Πράγµατι, όµοια 1 1 = 1. Επίσης 1, = + = = + = 1και Περισσότερα για ορθοκανονικές βάσεις θα δούµε σε επόµενα κεφάλαια. Για τώρα θα αρκεστούµε σε µια παρατήρηση Παρατήρηση Έστω ότι { } 1,..., είναι µια βάση του R και R. Γνωρίζουµε ότι υπάρχουν µοναδικά a,..., 1 a R τέτοια ώστε = a a, σύµφωνα µε την Πρόταση Αν η βάση αυτή είναι ορθοκανονική, τότε για κάθε έχουµε a =,. Πράγµατι, = a a, = a a, = a, a, a, = a, a. =

21 Σελίδα 1 από 6 Ασκήσεις 5. 1) Έστω u, R, u= (1,0, ), = (,1,1). Να υπολογιστούν τα u,, u,, u, u+ και να βρεθεί η γωνία των u,. ) Με τα δεδοµένα της προηγούµενης άσκησης να βρεθεί το cosθ, όπου θ είναι η γωνία µεταξύ των u, u+ u. ) Να βρεθεί ένα διάνυσµα κάθετο στο u = (1,, 1). Στη συνέχεια να βρεθούν όλα τα διανύσµατα κάθετα στο επίπεδο που περιέχει τα u = (1,, 1), = (,,). 4) Έστω u, R. Αποδείξτε ότι u+ + u = u +. Η ισότητα αυτή ονοµάζεται ο νόµος του παραλληλογράµµου. ώστε µια γεωµετρική ερµηνεία για =. 5) Έστω u, R. Αν έχουµε u, = 0, δείξτε ότι u + = u+ Για =, η ισότητα αυτή εκφράζει το Πυθαγόρειο Θεώρηµα. Εξηγήστε γιατί. 6) Έστω a,..., 1 a R. Αποδείξτε ότι a a ( ) a a a. Απαντήσεις / Υποδείξεις 5. 1) Οι απαντήσεις είναι u = 5, = 6, u, π = 0, θ =. ) Βλ Επεξεργασµένο Παράδειγµα ) Για το δεύτερο ερώτηµα, αρκεί να βρεθούν όλα τα διανύσµατα κάθετα και στα u,. Λύστε το σύστηµα που προκύπτει από τις σχέσεις wu, = w, =0. 4) Σηµειώνουµε ότι η διαγώνιος που ενώνει τα πέρατα των u, έχει µήκος u. u u+ 5) Χρησιµοποιήστε εσωτερικά γινόµενα και πράξεις. 6) Εφαρµόστε την ανισότητα Cauchy Schwarz για κατάλληλα διανύσµατα.

22 Σελίδα από 6 5. Ο Χώρος C Στην προηγούµενη παράγραφο µελετήσαµε το χώρο R. Ειδικά, είδαµε την έννοια της βάσης και την έννοα του εσωτερικού γινοµένου. Θα ασχοληθούµε εδώ συνοπτικά µε τις αντίστοιχες έννοιες στο C. Κάθε στοιχείο του C είναι µια διατεταγµένη άδα ( u,..., 1 u ), όπου u C. Μπορούµε να προσθέσουµε δυο τέτοια στοιχεία σύµφωνα µε τον κανόνα ( u1,..., u) + ( 1,..., ) = ( u1+ 1,..., u + ), και να πολλαπλασιάσουµε ένα τέτοιο στοιχείο µε ένα µιγαδικό αριθµό σύµφωνα µε τον κανόνα au ( 1,..., u) = ( au1,..., au), όπου a C. Τότε ισχύουν οι ιδιότητες της Πρότασης Βάσεις Στο C Στην προηγούµενη παράγραφο µελετήσαµε έννοιες, όπως γραµµικά ανεξάρτητα διανύσµατα, γραµµικός συνδυασµός κλπ και ιδιότητες αυτών. Υπάρχουν και εδώ αντίστοιχες έννοιες που ικανοποιούν ανάλογες ιδιότητες. Για λόγους σαφήνειας ας διατυπώσουµε τους σχετικούς ορισµούς. Έστω 1 m C. Θα λέµε ότι τα στοιχεία αυτά είναι γραµµικά ανεξάρτητα αν από τη σχέση a a = 0, a C, έπεται ότι a1 =... = a m = 0. Κάθε στοιχείο του C της µορφής a a, a C, λέγεται γραµµικός m m συνδυασµός των,...,. 1 m Θα λέµε ότι τα,..., 1 m παράγουν το C, αν κάθε στοιχείο του C είναι γραµµικός συνδυασµός των,...,. 1 m Θα λέµε ότι τα,..., 1 m αποτελούν µια βάση του C, αν τα στοιχεία αυτά είναι γραµµικά ανεξάρτητα και παράγουν το C. Αποδεικνύεται ότι ισχύουν αποτελέσµατα πανοµοιότυπα µε αυτά που είδαµε στην Παράγραφο 5.1. Τα σηµαντικότερα από αυτά είναι τα επόµενα. Οι δε αποδείξεις είναι ακριβώς οι ίδιες και για αυτό παραλείπονται Θεώρηµα Έστω ότι,..., 1 m C. 1. Αν τα,..., 1 m είναι γραµµικά ανεξάρτητα, τότε έχουµε m.. Αν τα,..., 1 m παράγουν το C, τότε έχουµε m.. Αν τα,..., 1 m αποτελούν βάση του C, τότε έχουµε m=. 5.. Πρόταση Έστω { },..., 1 C. Τότε τα ακόλουθα είναι ισοδύναµα

23 Σελίδα από 6 1. Το {,..., 1 } είναι µια βάση του. Το {,..., 1 } παράγει το C C. Το {,..., 1 } είναι γραµµικά ανεξάρτητο. 5.. Πόρισµα Έστω,..., 1 C και έστω Α ο πίνακας του οποίου η στήλη είναι το, = 1,...,. Τότε τα,..., 1 αποτελούν βάση του C αν και µόνο αν det A Παραδείγµατα 1. Εξετάστε αν τα 1+,,4,,(,4+ 5,,5 ),(+,1,6,7) C είναι γραµµικά ανεξάρτητα. Λύση Έστω a, a, a C. Έχουµε 1 ( ) ( ) 4 a 1+,,4, + a (,4+ 5,,5 ) + a (+,1,6,7) = (0,0,0,0) 1 (1+ a ) 1+ a + ( + a ) = 0 a1+ (4+ 5 ) a + (1 ) a = 0 (4 a ) 1+ a + 6a = 0 a1+ (5 ) a + 7a = 0. Για να λύσουµε το σύστηµα αυτό µπορούµε να εφαρµόσουµε την µέθοδο απαλοιφής του Gauss. Ένας ενδεχοµένως πιο οικονοµικός τρόπος για το συγκεκριµένο παράδειγµα είναι να υπολογίσουµε την ορίζουσα των συντελεστών των πρώτων τριών εξισώσεων δηλαδή τη 1+ + det Μετά από µερικές πράξεις, που µπορούν να γίνουν µε ένα πρόγραµµα όπως είναι το MAPLE, βρίσκουµε ότι η ορίζουσα είναι ίση µε 7 11, δηλαδή είναι µη µηδενική. Άρα για τις πρώτες τρεις εξισώσεις η µηδενική λύση είναι η µοναδική λύση. Τελικά όλο το σύστηµα έχει µόνο τη µηδενική λύση. Άρα τα δεδοµένα στοιχεία είναι γραµµικά ανεξάρτητα.,+ 5, 1+,7 αποτελούν µια βάση. Αφού αποδείξετε ότι τα στοιχεία ( ) ( ) του C, να παραστήσετε το (1,1+ ) σαν γραµµικό συνδυασµό αυτών. Λύση 1 Υπολογίζοντας βρίσκουµε det + = Σύµφωνα µε το Πόρισµα 5.., τα δεδοµένα στοιχεία συγκροτούν µια βάση του C. Λύνοντας το σύστηµα που προκύπτει από το a(, + 5 ) + b(1+, 7) = (1,1+ ), δηλαδή το σύστηµα ( a ) + (1 + b ) = 1 ( + 5 a ) + 7b= βρίσκουµε a= +, b=

24 Σελίδα 4 από 6 Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Στο C Υπενθυµίζουµε ότι αν z a b ( a b ) 5..5 Ορισµός = +,, R, τότε ο συζυγής του z είναι ο z = a b. Έστω u, C, u= ( u1,..., u), = ( 1,..., ).. Το εσωτερικό γινόµενο των u, είναι ο µιγαδικός αριθµός u = u+ + u.,... Το µήκος (ή µέτρο) του u είναι ο πραγµατικός αριθµός u = u, u. Παρατηρούµε ότι ο αριθµός uu, είναι πραγµατικός γιατί είναι της µορφής uu, = uu uu και κάθε προσθετέος uu είναι πραγµατικός. Μάλιστα είναι µη αρνητικός. Για παράδειγµα, αν u = (1, 5), = ( +, 6 ) uu, = (1 )(1 ) + 5 5= 9,, τότε ( ) ( ), = (+ )(+ ) = 49 ( ) ( ) u, = (1 )(+ ) = 1+ 5 u, = (+ )(1 ) + 6 5= 1 5. Μερικές απλές ιδιότητες αυτού του εσωτερικού γινοµένου είναι οι εξής. (Καλό είναι να συγκριθεί η επόµενη πρόταση µε την Πρόταση 5..) Πρόταση Έστω uw,, C, a C. Τότε έχουµε 1. u+, w = u, w +, w. u, + w = u, + uw,. au, = a u, = u, a 4. ua, = au, 5. u, = u, 6. uu, 0 7. uu, = 0 u=0. Τονίζουµε στην ιδιότητα 4 την ύπαρξη του συζυγούς του a στο δεξιό µέλος. Όπως στην περίπτωση του R, έχουµε και εδώ τις εξής ανισότητες Θεώρηµα Έστω u C,. Τότε 1. (ανισότητα Cauchy - Schwarz) u,. (τριγωνική ανισότητα) u+ u +. u

25 Σελίδα 5 από 6 Επειδή στο C το u, ενδέχεται να µην είναι πραγµατικός, δεν ορίζεται (τουλάχιστον µε άµεσο τρόπο) η έννοια της γωνίας µέσω του συνήθους εσωτερικού γινοµένου. Όµως µπορούµε να ορίσουµε την έννοια της καθετότητας. υο στοιχεία του C λέγονται κάθετα αν το εσωτερικό τους γινόµενο είναι ίσο µε µηδέν. Παρατηρούµε ότι ενώ δεν ισχύει γενικά η ισότητα u, = u,, ισχύει το εξής u, = 0 u, = 0. Πράγµατι, αυτό έπεται άµεσα από τη σχέση 5 της Πρότασης , αν j Μια βάση {,..., 1 } του C λέγεται ορθοκανονική αν, j = 1, αν = j.

26 Σελίδα 6 από 6 Ασκήσεις Να υπολογιστούν τα u,, u,, όπου 1 1+ u =,,0, =,, Να αποδείξετε ότι για κάθε u C, έχουµε 1 1 u, = u+ u + u+ u Να αποδείξετε ότι για κάθε u, R έχουµε 1 1 u, = u+ u Εξετάστε αν το σύνολο (,0,0 ), 0,,, 0,, είναι µια ορθοκανονική βάση του C. Απαντήσεις / Υποδείξεις u = = 1, u, = 0.. Πραγµατοποιήστε τις πράξεις στο δεξιό µέλος µε βάση τη σχέση u = u, u.. Πραγµατοποιήστε τις πράξεις στο δεξιό µέλος. 4. Είναι ορθοκανονική βάση

Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση

Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση Κεφάλαιο 7: Βάσεις και ιάσταση Σελίδα από 9 Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση n Στο Κεφάλαιο 5 είδαµε την έννοια της βάσης στο και στο Κεφάλαιο 6 µελετήσαµε διανυσµατικούς χώρους. Στο παρόν κεφάλαιο θα ασχοληθούµε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ιανυσµατικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 ιανυσµατικοί Χώροι Κεφάλαιο 4 ιανυσµατικοί Χώροι 4 ιανυσµατικοί χώροι - Βασικοί ορισµοί και ιδιότητες ιανυσµατικοί Χώροι Ένας ιανυσµατικός Χώρος V (δχ) είναι ένα σύνολο από µαθηµατικά αντικείµενα (αριθµούς, διανύσµατα, πίνακες,

Διαβάστε περισσότερα

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0)

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0) Όρια συναρτήσεων 5 Ορισµός Έστω, : Α συνάρτηση συσσώρευσης του Α και b σηµείο Λέµε ότι η έχει ως όριο το διάνυσµα b καθώς το τείνει προς το και συµβολίζουµε li ή b b αν και µόνο αν, για κάθε ε > υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ( 8 µον.) Η άσκηση αυτή αναφέρεται σε διαιρετότητα και ρίζες πολυωνύµων. a. Να λυθεί η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 Πίνακες. χρησιµοποιώντας µόνο την ακόλουθη διάταξη αριθµών 1 1 2 1 2 5 1 0

Κεφάλαιο 3 Πίνακες. χρησιµοποιώντας µόνο την ακόλουθη διάταξη αριθµών 1 1 2 1 2 5 1 0 Σελίδα από 53 Κεφάλαιο 3 Πίνακες Περιεχόµενα 3 Ορισµοί Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 3 3 Πράξεις µε Πίνακες Πρόσθεση Πινάκων Πολλαπλασιασµός Πίνακα µε Αριθµό Πολλαπλασιασµός Πινάκων ιωνυµικό Ανάπτυγµα

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά

Διαβάστε περισσότερα

{ } ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 2 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Απαντήσεις. 1. (15 µονάδες)

{ } ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 2 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Απαντήσεις. 1. (15 µονάδες) Σελίδα από 8 (5 µονάδες) ΠΛΗ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Απαντήσεις i Εξηγείστε γιατί κάθε ένα από τα παρακάτω υποσύνολα του R δεν είναι υπόχωρος του R {[ xyz,, ] T z } {[ xyz,,

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις3 Διαγωνισιμότητα Βασικά σημεία Διαγωνίσιμοι πίνακες: o Ορισμός και παραδείγματα.

Ασκήσεις3 Διαγωνισιμότητα Βασικά σημεία Διαγωνίσιμοι πίνακες: o Ορισμός και παραδείγματα. Ασκήσεις 0 Ασκήσεις Διαγωνισιμότητα Βασικά σημεία Διαγωνίσιμοι πίνακες: o Ορισμός και παραδείγματα o H -στήλη του P P είναι E αν και μόνο αν η -στήλη του P είναι ιδιοδιάνυσμα του που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή

Διαβάστε περισσότερα

5 Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας

5 Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας 5 Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρηµα Κάθε ευθεία έχει εξίσωση της µορφής: Ax + By +Γ= 0, µε Α 0 ηβ 0 () και αντιστρόφως κάθε εξίσωση της µορφής () παριστάνει ευθεία γραµµή.

Διαβάστε περισσότερα

1. Για καθένα από τους ακόλουθους διανυσματικούς χώρους βρείτε μια βάση και τη διάσταση. 3. U x y z x y z x y. {(,, ) } a b. c d

1. Για καθένα από τους ακόλουθους διανυσματικούς χώρους βρείτε μια βάση και τη διάσταση. 3. U x y z x y z x y. {(,, ) } a b. c d Γραμμική Άλγεβρα Ι, 07-8 Ασκήσεις6: Βάση και Διάσταση Βασικά σημεία Βάση διανυσματικού χώρου (ορισμός, παραδείγματα, μοναδικότητα συντελεστών) Θεώρημα (ύπαρξη, πρώτη μορφή) Έστω V K μη μηδενικός με K πεπερασμένο

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα Ι,

Γραμμική Άλγεβρα Ι, Γραμμική Άλγεβρα Ι, 207-8 Ασκήσεις2 και Ασκήσεις3: Γραμμοϊσοδύναμοι Πίνακες και Επίλυση Γραμμικών Συστημάτων Βασικά σημεία Γραμμοϊσοδυναμία πινάκων o Στοιχειώδεις πράξεις γραμμών o Ανηγμένη κλιμακωτή μορφή

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις

Ασκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις Ασκήσεις 5 Βασικά σημεία Ιδιότητες ιδιόχωρων: Έστω,, Ισχύουν τα εξής Ασκήσεις Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις κάποιες διακεκριμένες ιδιοτιμές της γραμμικής απεικόνισης : V V, όπου o Αν v v 0, όπου

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ

ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Άξονας Έστω η ευθεία x x (σχ. 21) και τα σηµεία Ο, Ι πάνω σ αυτή, ώστε ΟΙ= i όπου i το µοναδιαίο διάνυσµα, δηλαδή ένα διάνυσµα που θεωρούµε ότι η φορά του είναι θετική και το µέτρο

Διαβάστε περισσότερα

βαθμού 1 με A 2. Υπολογίστε τα χαρακτηριστικά και ελάχιστα πολυώνυμα των

βαθμού 1 με A 2. Υπολογίστε τα χαρακτηριστικά και ελάχιστα πολυώνυμα των Ασκήσεις 6 Ασκήσεις Ελάχιστο Πολυώνυμο Βασικά σημεία Ορισμός ελαχίστου πολυωνύμου πίνακα και ιδιότητές του Ορισμός ελαχίστου πολυωνύμου γραμμικής απεικόνισης και ιδιότητές του Κριτήριο διαγωνισιμότητας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3 Ασκήσεις 8 Ασκήσεις Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Βασικά σημεία Ορισμός ιδιοτιμων και ιδιοδιανυσμάτων, υπολογισμός τους Σε διακεκριμένες ιδιοτιμές αντιστοιχούν γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα Αν ΑΧ=λΧ,

Διαβάστε περισσότερα

1. a. Έστω b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του A Έστω A και ( x) [ x]

1. a. Έστω b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του A Έστω A και ( x) [ x] σκήσεις Ασκήσεις Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Βασικά σημεία Ορισμός ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων, υπολογισμός τους Ιδιόχωροι, διάσταση ιδιόχωρου, εύρεση βάσης ιδιόχωρου Σε διακεκριμένες ιδιοτιμές αντιστοιχούν

Διαβάστε περισσότερα

11. Η έννοια του διανύσµατος 22. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο

11. Η έννοια του διανύσµατος 22. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο Παραουσίαση βιβλίου αθηµατικών Προσαναταλισµού Β Λυκείου. Η έννοια του διανύσµατος. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο Παραουσίαση βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Ορίζουσα Gram και οι Εφαρµογές της Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 65 11 Η Ορίζουσα Gram και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Διάνυσμα Θέσης ενός σημείου Αν θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε σημείο Ο του επιπέδου ως σημείο αναφοράς (ακόμα

Διαβάστε περισσότερα

Thanasis Kehagias, 2009

Thanasis Kehagias, 2009 Μέρος II Αναλυτικη Γεωµετρια 33 34 Το παρον τευχος περιεχει συντοµη ϑεωρια, λυµενες και αλυτες ασκησεις Αναλυτικης Γεωµετριας. Κατα τη γνωµη µου, για τους περισσοτερους ανθρωπους, ο µονος τροπος εξοικειωσης

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι Είδαµε στο κύριο θεώρηµα του προηγούµενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισµα απλών προτύπων. Εδώ θα χαρακτηρίσουµε όλους

Διαβάστε περισσότερα

,..., v n. W πεπερασμένα παραγόμενοι και dimv. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα f είναι ισομορφιμός. f είναι 1-1. f είναι επί.

,..., v n. W πεπερασμένα παραγόμενοι και dimv. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα f είναι ισομορφιμός. f είναι 1-1. f είναι επί. Γραμμική Άλγεβρα Ι, 07-8 Ασκήσεις7: Γραμμικές Απεικονίσεις Βασικά σημεία Ορισμός και παραδείγματα γραμμικών απεικονίσεων Σύνθεση γραμμικών απεικονίσεων, ισομορφισμοί Κάθε γραμμική απεικόνιση f : V W, όπου

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Οκτωβρίου 2007

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Οκτωβρίου 2007 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 1) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 1 Οκτωβρίου 007 Ηµεροµηνία παράδοσης της Εργασίας: 9 Νοεµβρίου 007. Πριν από την λύση κάθε άσκησης

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: L -σύγκλιση σειρών Fourier Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

( ) 10 ( ) εποµ ένως. π π π π ή γενικότερα: π π. π π. π π. Άσκηση 1 (10 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i.

( ) 10 ( ) εποµ ένως. π π π π ή γενικότερα: π π. π π. π π. Άσκηση 1 (10 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i. http://elern.mths.gr/, mths@mths.gr, Τηλ: 697905 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 00-0: Άσκηση (0 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i. α) (5 µον) Βρείτε την τριγωνοµετρική µορφή του z.

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 17 Οκτωβρίου 2011

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 17 Οκτωβρίου 2011 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Οκτωβρίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 5 Νοεμβρίου 0 Οι ασκήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Κανόνες παραγώγισης ( )

Κανόνες παραγώγισης ( ) 66 Κανόνες παραγώγισης Οι κανόνες παραγώγισης που ισχύουν για συναρτήσεις µιας µεταβλητής, ( παραγώγιση, αθροίσµατος, γινοµένου, πηλίκου και σύνθετων συναρτήσεων ) γενικεύονται και για συναρτήσεις πολλών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας

Σηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας Σηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας Θ. Κεχαγιας Σεπτεµβρης 009, υ.0.96 Περιεχόµενα Εισαγωγη iv Επιπεδα στον Τρισδιαστατο Χωρο. Θεωρια..................................... Λυµενες Ασκησεις..............................

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 8// Γ ΕΡΓΑΣΙΑ Μαθηµατικά για την Πληροφορική Ι (ΘΕ ΠΛΗ Η ύλη της εργασίας είναι παράγραφοι 6 και 6 από τη Γραµµική Άλγεβρα και Ενότητες,,, από τον Λογισµό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ Τα κάτωθι προβλήµατα προέρχονται από τα κεφάλαια, και του συγγράµµατος «Γραµµική Άλγεβρα». Η ηµεροµηνία παράδοσης

Διαβάστε περισσότερα

Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03

Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 Ασκήσεις Μαθηµατικών Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ

ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΕΝΝΟΙ ΤΟΥ ΙΝΥΣΜΤΟΣ Όπως είναι γνωστό από τη φυσική, τα διάφορα µεγέθη διακρίνονται σε βαθµωτά και διανυσµατικά. αθµωτά είναι τα µεγέθη τα οποία χαρακτηρίζονται µόνο από το µέτρο τους. Τέτοια µεγέθη είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι Χρησιµοποιώντας το θεώρηµα του Weddebu για ηµιαπλούς δακτυλίους αναπτύσσουµε εδώ τις πρώτες προτάσεις από τη θεωρία των αναπαραστάσεων και αρακτήρων πεπερασµένων

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους.

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους. Μάθηµα 1 Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα Θεµατικές Ενότητες: A. Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων B. Συστήµατα 3x3 Α. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ορισµοί Κάθε εξίσωση της µορφής α x+β =γ, µε α, β, γ R παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12,

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12, ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ, - Οι παρακάτω λύσεις των ασκήσεων της 6 ης εργασίας που καλύπτει το µεγαλύτερο µέρος της ύλης της θεµατικής ενότητας ΠΛΗ) είναι αρκετά εκτεταµένες καθώς έχει δοθεί αρκετή έµφαση

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii018/laii018html ευτέρα 3 Απριλίου 018 Αν C = x

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις6 Διαγωνοποίηση Ερμιτιανών Πινάκων

Ασκήσεις6 Διαγωνοποίηση Ερμιτιανών Πινάκων 7 Βασικά σημεία Ασκήσεις6 Διαγωνοποίηση Ερμιτιανών Πινάκων Το σύνηθες εσωτερικό γινόμενο στο και Ορθοκανονικές βάσεις και η μέθοδος Gram-Schmidt Ορισμός, Ερμιτιανού πίνακα και μοναδιαίου πίνακα Ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β)

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Κεφάλαιο 3β Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Ο σκοπός µας εδώ είναι να αποδείξουµε το εξής σηµαντικό αποτέλεσµα. 3.3.6 Θεώρηµα Έστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών, F ένα ελεύθερο R-πρότυπο τάξης s < και N F. Τότε

Διαβάστε περισσότερα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα Πανεπιστηµιο Ιωαννινων σχολη θετικων επιστηµων τµηµα µαθηµατικων τοµεας αλγεβρας και γεωµετριας αναλυτικη γεωµετρια διδασκων : χρηστος κ. τατακης υποδειξεις λυσεων των θεµατων της 7.06.016 ΘΕΜΑ 1. µονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις1 Πολυώνυμα. x x c. με το. b. Να βρεθούν όλες οι τιμές των a, Να βρεθεί ο μκδ και το εκπ τους

Ασκήσεις1 Πολυώνυμα. x x c. με το. b. Να βρεθούν όλες οι τιμές των a, Να βρεθεί ο μκδ και το εκπ τους Aσκήσεις1 1 Βασικά σημεία Ευκλείδεια διαίρεση πολυωνύμων Ορισμός και ιδιότητες μκδ και εκπ Ιδιότητες σχετικών πρώτων πολυωνύμων Τα ανάγωγα πολυώνυμα στο [ ] και [ ] Ασκήσεις1 Πολυώνυμα Ανάλυση πολυωνύμου

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές»

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας) α)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Οι πρώτες δύο ασκήσεις αναφέρονται στις έννοιες γραµµική ανεξαρτησία, γραµµικός

Διαβάστε περισσότερα

f (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l. = lim (0) = lim f(x) = f(x) f(0) = xf (ξ x ). = l. Εστω ε > 0. Αφού lim f (x) = l R, υπάρχει δ > 0

f (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l. = lim (0) = lim f(x) = f(x) f(0) = xf (ξ x ). = l. Εστω ε > 0. Αφού lim f (x) = l R, υπάρχει δ > 0 Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 5: Παράγωγος Α Οµάδα. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας). (α) Αν η f είναι παραγωγίσιµη

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

[A I 3 ] [I 3 A 1 ].

[A I 3 ] [I 3 A 1 ]. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΠΕΡΙΟ ΟΥ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 9 (α) Να ϐρεθεί ο αντίστροφος του πίνακα A = 6 4 (ϐ) Εστω b, b, b στο R Να λύθεί το σύστηµα x = b 6x + x + x = b x

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 Επαναληπτικες Ασκησεις

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 Επαναληπτικες Ασκησεις ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β ΠΕΡΙΤΤΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 Επαναληπτικες Ασκησεις ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii8/laii8html Παρασκευή 4 Ιουνίου

Διαβάστε περισσότερα

Κλασικη ιαφορικη Γεωµετρια

Κλασικη ιαφορικη Γεωµετρια Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Σχολη Θετικων Επιστηµων, Τµηµα Μαθηµατικων, Τοµεας Γεωµετριας Κλασικη ιαφορικη Γεωµετρια Πρώτη Εργασία, 2018-19 1 Προαπαιτούµενες γνώσεις και ϐασική προετοιµασία

Διαβάστε περισσότερα

b. Για κάθε θετικό ακέραιο m και για κάθε A. , υπάρχουν άπειρα το πλήθος πολυώνυμα ( x) [ x] m και ( A) 0.

b. Για κάθε θετικό ακέραιο m και για κάθε A. , υπάρχουν άπειρα το πλήθος πολυώνυμα ( x) [ x] m και ( A) 0. Ασκήσεις4 46 Ασκήσεις 4 Τριγωνίσιμες γραμμικές απεικονίσεις, Θεώρημα των Cayley-Hamilton Βασικά σημεία Ορισμός τριγωνίσιμου πίνακα, ορισμός τριγωνίσιμης γραμμικής απεικόνισης Κριτήριο τριγωνισιμότητας

Διαβάστε περισσότερα

Η ιδέα της χρήσης διατεταγµένων Ϲευγών πραγµατικών αριθµών για την περιγραφή

Η ιδέα της χρήσης διατεταγµένων Ϲευγών πραγµατικών αριθµών για την περιγραφή Κεφάλαιο 4 Ευκλείδιοι Χώροι 4 Ευκλείδιοι Χώροι Η ιδέα της χρήσης διατεταγµένων Ϲευγών πραγµατικών αριθµών για την περιγραφή των σηµείων στο επίπεδο και διατεταγµένων τριάδων πραγµατικών αριθµών για την

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai8/lai8html Παρασκευή 6 Οκτωβρίου 8 Υπενθυµίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12)

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Οκτωβρίου 006 Ηµεροµηνία παράδοσης της Εργασίας: 0 Νοεµβρίου 006.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ 12) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 3

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ 12) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 3 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Άσκηση. ( µον.). Έστω z ο µιγαδικός αριθµός z i, µε, R. (α) ίνεται η εξίσωση: z

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάµε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων. Αυτές συνδέονται µεταξύ τους µε την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ. Το εσωτερικό γινόµενο

Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ. Το εσωτερικό γινόµενο Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ Το εσωτερικό γινόµενο Σε πολλές πρακτικές καταστάσεις, η τιµή µιας ποσότητας εξαρτάται από τις τιµές δύο ή περισσότερων άλλων ποσοτήτων. Για παράδειγµα η συνάρτηση V = π r h υπολογίζει

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο 1 Συντεταγμένες στο Επίπεδο Τι εννοούμε με την έννοια άξονας; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία και Ι έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο 1 και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις6 Το σύνηθες εσωτερικό γινόμενο στο

Ασκήσεις6 Το σύνηθες εσωτερικό γινόμενο στο Ασκήσεις6 7 Ασκήσεις6 Το σύνηθες εσωτερικό γινόμενο στο και Βασικά σημεία Το σύνηθες εσωτερικό γινόμενο στο και (ορισμοί και ιδιότητες) Ορθοκανονικές βάσεις και η μέθοδος Gram-Schmidt Ορθογώνιο συμπλήρωμα

Διαβάστε περισσότερα

11. Η έννοια του διανύσµατος 22. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο

11. Η έννοια του διανύσµατος 22. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο Παραουσίαση βιβίου Μαθηµατικών Προσαναταισµού Β Λυκείου. Η έννοια του διανύσµατος. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός ποαπασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο Παραουσίαση βιβίου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο συμβολίζουμε με Σε αυτό το σύνολο γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 6 Νοεµβρίου 005 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ. Το εσωτερικό γινόµενο

Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ. Το εσωτερικό γινόµενο Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ R Το εσωτερικό γινόµενο Σε πολλές πρακτικές καταστάσεις, η τιµή µιας ποσότητας εξαρτάται από τις τιµές δύο ή περισσότερων άλλων ποσοτήτων. Για παράδειγµα η συνάρτηση V = π r h υπολογίζει

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

A, και εξετάστε αν είναι διαγωνίσιμη.

A, και εξετάστε αν είναι διαγωνίσιμη. Ασκήσεις 6 Ασκήσεις Ελάχιστο Πολυώνυμο Βασικά σημεία Ορισμός ελαχίστου πολυωνύμου πίνακα και ιδιότητές του Θεώρημα (Κριτήριο διαγωνισιμότητας) Ένας είναι διαγωνίσιμος αν και μόνο αν ( x) γινόμενο διακεκριμένων

Διαβάστε περισσότερα

1)Βρείτε την εξίσωση για το επίπεδο που περιέχει το σηµείο (1,-1,3) και είναι παράλληλο προς το επίπεδο 3x+y+z=a όπου a ένας αριθµός.

1)Βρείτε την εξίσωση για το επίπεδο που περιέχει το σηµείο (1,-1,3) και είναι παράλληλο προς το επίπεδο 3x+y+z=a όπου a ένας αριθµός. 1)Βρείτε την εξίσωση για το επίπεδο που περιέχει το σηµείο (1,-1,3) και είναι παράλληλο προς το επίπεδο 3x+y+z=a όπου a ένας αριθµός. ( Καρτεσιανή ) επιλέχθηκε για το σχήµα. Ο αριθµός a δεν επιρρεάζει

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα 5 Ανοικτά και κλειστά σύνολα Στην παράγραφο αυτή αναπτύσσεται ο µηχανισµός που θα µας επιτρέψει να µελετήσουµε τις αναλυτικές ιδιότητες των συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. Θα χρειαστούµε τις έννοιες της

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΕ 14 Διανύσματα. 1 Περιγραφή διανυσμάτων στο χώρο Γεωμετρική περιγραφή: Τα διανύσματα περιγράφονται σαν προσανατολισμένα ευθύγραμμα

ΦΥΕ 14 Διανύσματα. 1 Περιγραφή διανυσμάτων στο χώρο Γεωμετρική περιγραφή: Τα διανύσματα περιγράφονται σαν προσανατολισμένα ευθύγραμμα ΦΥΕ 4 Διανύσματα Περιγραφή διανυσμάτων στο χώρο Γεωμετρική περιγραφή: Τα διανύσματα περιγράφονται σαν προσανατολισμένα ευθύγραμμα τμήματα Δύο διανύσματα θα θεωρούμε ότι είναι ίσα, εάν έχουν το ίδιο μήκος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ 6. Βέλτιστες προσεγγίσεις σε ευκλείδειους χώρους Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε προσεγγίσεις που ελαχιστοποιούν αποστάσεις σε διανυσµατικούς χώρους, µε νόρµα που προέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 0 Επαναληπτικες Ασκησεις ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθοι Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laiihtml

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

Όνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 2291

Όνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 2291 ΠΡΩΤΗ ΆΣΚΗΣΗ ΣΤΗΝ ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ Όνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 9 Ηµεροµηνία: 3/5/003 Άσκηση ώστε όλες τις υποοµάδες των Z και Ζ 5 * Προκειµένου να δώσουµε τις υποοµάδες θα πρέπει αρχικά να ορίσουµε τα σύνολα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobso Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι κάθε ηµιαπλός δακτύλιος είναι δακτύλιος του Art. Επειδή υπάρχουν παραδείγµατα δακτυλίων του Art που δεν είναι ηµιαπλοί, πχ Z 2, > 1, τίθεται

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ασκήσεις. Επιµέλεια.: Κάτσιος ηµήτρης. Μεθοδολογία Παραδείγµατα Ασκ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ασκήσεις. Επιµέλεια.: Κάτσιος ηµήτρης. Μεθοδολογία Παραδείγµατα Ασκ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1 εθοδολογία Παραδείγµατα σκ σκήσεις πιµέλεια.: άτσιος ηµήτρης Ρ ια να προσθέσουµε (ή να αφαιρέσουµε) δύο µιγαδικούς, προσθέτουµε (ή αφαιρούµε) τα πραγµατικά και τα φανταστικά τους µέρη, δηλαδή: ± = [Re

Διαβάστε περισσότερα

4 Συνέχεια συνάρτησης

4 Συνέχεια συνάρτησης 4 Συνέχεια συνάρτησης Σε αυτή την ενότητα ϑα µελετήσουµε την έννοια της συνέχειας συνάρτησης. Πιο συγκεκριµένα πότε ϑα λέγεται µια συνάρτηση συνεχής σε ένα σηµείο το οποίο ανήκει στο πεδίο ορισµού της

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Οκτωβρίου 00) Η Εργασία χωρίζεται σε µέρη: Το πρώτο Ασκήσεις - περιλαµβάνει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 7.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των µιγαδικών z, για τους οποίους οι εικόνες των µιγαδικών z, i, iz είναι συνευθειακά σηµεία. Έστω z = x + i,

Διαβάστε περισσότερα

L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier

L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier Κεφάλαιο 7 L -σύγκλιση σειρών Fourier 7.1 Χώροι Hilbert 7.1.1 Χώροι µε εσωτερικό γινόµενο και χώροι Hilbert Ορισµός 7.1.1. Εστω X γραµµικός χώρος πάνω από το K. Μια συνάρτηση, : X X K λέγεται εσωτερικό

Διαβάστε περισσότερα