Επιλογή Χαρτοφυλακίου

Transcript

1 Πανεπιστήμιο Πειραιώς Τμήμα Χρηματοοικονομικής και Τραπεζικής ιοικητικής Πρόγραμμα PhD Αποτίμηση Αξιογράφων και Επιλογή Χαρτοφυλακίου Μάρτιος 0 ημήτρης Μαλλιαρόπουλος Καθηγητής dmalliaropoulos@eurobank.gr

2 Περιεχόμενα: Εισαγωγή: Το DNA των υποδειγμάτων αποτίμησης αξιογράφων...4 Ο καθορισμός του προεξοφλητικού επιτοκίου... Η τιμή του χρόνου και του κινδύνου... Τιμή, απόδοση και προεξοφλητικό επιτόκιο... 5 Η έννοια της μελλοντικής αξίας... 5 Η έννοια της παρούσας αξίας... 7 Αποτίμηση Μετοχών... 3 Σταθερός διαχρονικά συντελεστής προεξόφλησης... 3 Υπόδειγμα Gordon με βάση τα κέρδη... 3 Κυμαινόμενος συντελεστής προεξόφλησης Το υπόδειγμα καταναλωτή και ο στοχαστικός συντελεστής προεξόφλησης Το βασικό υπόδειγμα αποτίμησης Οριακός λόγος υποκατάστασης και στοχαστικός συντελεστής προεξόφλησης Το Υπόδειγμα παρούσας αξίας με στοχαστικό συντελεστή προεξόφλησης... 7 Μαθηματικά εργαλεία Το επιτόκιο μηδενικού κινδύνου ιόρθωση τιμολόγησης για κίνδυνο Στατιστικά δεδομένα και χαρακτηριστικά του στοχαστικού συντελεστή προεξόφλησης Αναμενόμενες αποδόσεις και bea ιαστρωματικοί έλεγχοι του CCAPM Μακροχρόνιοι οικονομικοί κίνδυνοι Το αποδοτικό όριο των επενδυτικών δυνατοτήτων της οικονομίας... 0 Το παζλ του ασφάλιστρου κινδύνου των μετοχών...05 Το παζλ του επιτοκίου μηδενικού κινδύνου...06 Είναι οι αποδόσεις προβλέψιμες;... 3 Γενίκευση του βασικού υποδείγματος αποτίμησης: Άπειρος επενδυτικός ορίζοντας... 6 υναμικός Προγραμματισμός... 8 Το βασικό υπόδειγμα αποτίμησης σε συνεχή χρόνο... Στοχαστικός συντελεστής προεξόφλησης και πολυπαραγοντικά υποδείγματα αποτίμησης...7 Επιλογή παραγόντων Το Υπόδειγμα Αποτίμησης Κεφαλαιακών Στοιχείων CAPM ιαστρωματικοί έλεγχοι του CAPM...40 ιαχρονικό CAPM ICAPM... 44

3 εσμευμένα και αδέσμευτα υποδείγματα αποτίμησης...46 Επιλογή χαρτοφυλακίου Επιλογή αποδοτικού χαρτοφυλακίου...65 Το αποδοτικό όριο...65 Το σφαιρικό χαρτοφυλάκιο ελάχιστου κινδύνου GMV: global minimum variance porfolio Κατασκευή του αποδοτικού συνόρου με συνδυασμό δυο αποδοτικών χαρτοφυλακίων Two fund separaion... 8 Το Υπόδειγμα CAPM To υπόδειγμα στρατηγικού χαρτοφυλακίου..93 Έλεγχος Αποδοτικότητας χαρτοφυλακίου Ι... Inersecion και Spanning I... 4 Inersecion και spanning II... 8 Έλεγχος inersecion και spanning με πολλά αξιόγραφα...3 Εφαρμογή: Επίδοση στρατηγικών γεωγραφικής και κλαδικής διαφοροποίησης μετοχικών χαρτοφυλακίων στην Ευρωζώνη Στατιστικές μέτρησης επίδοσης Δεδομένα Οφέλη γεωγραφικής και κλαδικής διαφοροποίησης Οφέλη διεθνούς διαφοροποίησης για επενδυτές της Ευρωζώνης Εκτίμηση σταθμίσεων αποδοτικού χαρτοφυλακίου μέσω παλινδρόμησης...4 3

4 Εισαγωγή: Το DNA των υποδειγμάτων αποτίμησης αξιογράφων Η αποτίμηση αξιογράφων είναι ένα από τα πιο ενδιαφέροντα αντικείμενα της χρηματοοικονομικής. Ποιοι παράγοντες καθορίζουν τις τιμές και τις αποδόσεις μετοχών, ομολόγων, εντόκων γραμματίων του δημοσίου και άλλων αξιογράφων; Πως αλλάζουν τιμές και αποδόσεις στη διάρκεια του οικονομικού κύκλου; Γιατί κάποια αξιόγραφα δίνουν μεγαλύτερες αποδόσεις από άλλα; Αυτά είναι μερικά από τα ερωτήματα στα οποία η θεωρία αποτίμησης αξιογράφων προσπαθεί να δώσει απαντήσεις. Τα θεωρητικά υποδείγματα αποτίμησης είναι αρκετά και τα εφαρμοσμένα υποδείγματα είναι ακόμη περισσότερα: CAPM, ICAPM, APT και παραγοντικά υποδείγματα είναι μερικά από αυτά. Οι διαφορές μεταξύ των υποδειγμάτων αυτών είναι σημαντικές τόσο όσον αφορά τις βασικές υποθέσεις πάνω στις οποίες στηρίζονται όσο και όσον αφορά τους παράγοντες κινδύνου τους οποίους θεωρούν σημαντικούς για την αποτίμηση αξιογράφων. Πέρα από τις διαφορές τους όμως, ένα από τα κεντρικά συμπεράσματα της βιβλιογραφίας των τελευταίων 0-5 ετών είναι ότι όλα αυτά τα υποδείγματα είναι διαφορετικές εκδόσεις ενός βασικού υποδείγματος αποτίμησης, του υποδείγματος αποτίμησης αξιογράφων του καταναλωτή Consumpion Capial Asse Pricing Model, C- CAPM. Το υπόδειγμα αυτό είναι μια επέκταση του βασικού υποδείγματος της επιλογής κατανάλωσης και αποταμίευσης σε δυο περιόδους της μικροοικονομικής θεωρίας. Στο υπόδειγμα αυτό η αξία ενός τίτλου καθορίζεται από την οριακή χρησιμότητα του καταναλωτή από την κατανάλωση των αναμενόμενων πληρωμών 4

5 του τίτλου. Ο συντελεστής προεξόφλησης των μελλοντικών πληρωμών είναι στοχαστικός καθώς εξαρτάται από την οριακή χρησιμότητα του καταναλωτή η οποία αλλάζει κατά τη διάρκεια του οικονομικού κύκλου. Αρκετά από τα γνωστά υποδείγματα αποτίμησης μπορούν να αναχθούν σε ειδικές περιπτώσεις αυτού του βασικού υποδείγματος. Η σημασία αυτής της πρότασης είναι πολλαπλή. Πρώτον, διότι τα διάφορα υποδείγματα αποτίμησης δένουν μεταξύ τους πάνω σε μια συμπαγή θεωρητική βάση. Ως αποτέλεσμα, η επιλογή των παραγόντων κινδύνου που καθορίζουν τις αποδόσεις δεν είναι αυθαίρετη, αλλά συνδέεται με την οριακή χρησιμότητα, δηλαδή τις προτιμήσεις του καταναλωτή. Πέραν τούτου όμως, η οριακή χρησιμότητα και κατά συνέπεια ο στοχαστικός συντελεστής προεξόφλησης αλλάζει στο χρόνο ως συνάρτηση μιας σειράς παραγόντων που καθορίζονται από την τεχνολογία της οικονομίας και την αβεβαιότητα όσον αφορά το οικονομικό περιβάλλον. Συγκεκριμένα, η τεχνολογία της οικονομίας καθορίζει το μέσο ρυθμό μεταβολής του δυνητικού προϊόντος και της κατανάλωσης στο χρόνο, επομένως και τη μέση μεταβολή της οριακής χρησιμότητας, ενώ η διακύμανση της οικονομικής δραστηριότητας γύρω από το μέσο ρυθμό δυνητικής ανάπτυξης καθορίζει τις διακυμάνσεις της μεταβολής της οριακής χρησιμότητας γύρω από το μέσο της. Τέλος, η αβεβαιότητα όσον αφορά την ένταση των οικονομικών διακυμάνσεων οδηγεί τους επενδυτές στη δημιουργία επιπλέον αποταμιεύσεων για να αντιμετωπίσουν μια πιθανή μελλοντική μείωση του εισοδήματός τους και 5

6 επηρεάζει τις απαιτούμενες αποδόσεις των αξιογράφων. εύτερον, διότι δείχνει ότι όλα τα γνωστά υποδείγματα αποτίμησης έχουν κληρονομήσει το DNA του CCAPM. Κατά συνέπεια, δεν μπορεί κανείς εύκολα να απορρίψει εμπειρικά το CCAPM χωρίς να απορρίψει και όλα τα υποδείγματα που βασίζονται σε αυτό. Αυτό μας οδηγεί σε μια νέα θεώρηση της εμπειρικής έρευνας στα υποδείγματα αποτίμησης. Σύμφωνα με την άποψη αρκετών ερευνητών, το CAPM είναι σε θέση να εξηγήσει καλύτερα τις παρατηρούμενες αποδόσεις μετοχών και μετοχικών χαρτοφυλακίων από το CCAPM. Το συμπέρασμα αυτό είναι προφανώς λανθασμένο καθώς απόρριψη του CCAPM συνεπάγεται αυτόματα και απόρριψη του CAPM ως μια ειδική περίπτωση του CCAPM. Το σωστό συμπέρασμα είναι ότι ένα ειδικό υπόδειγμα αποτίμησης μπορεί να είναι καλύτερο από το CCAPM διότι έχει κληρονομήσει τα καλύτερα χαρακτηριστικά του όπως και τα παιδιά μπορεί να είναι πιο χαρισματικά από τους γονείς τους διότι έχουν κληρονομήσει μόνο τα καλά τους χαρακτηριστικά. Όλη η θεωρία αποτίμησης βασίζεται σε μια κεντρική αρχή: Τιμή προεξοφλημένη αξία μελλοντικών πληρωμών Όλα τα υπόλοιπα είναι υποθέσεις όσον αφορά τον συντελεστή προεξόφλησης και μαθηματικοί μετασχηματισμοί. Μπορούμε να συνοψίσουμε όλη την θεωρία αποτίμησης σε δύο εξισώσεις: P E M M X f δεδομένα, παράμετροι όπου P: τιμή αξιόγραφου, X: πληρωμή, Μ: στοχαστικός συντελεστής προεξόφλησης. 6

7 Κάθε ειδικό υπόδειγμα μπορεί να θεωρηθεί ως μια υπόθεση σχετικά με την συνάρτηση f.. Όπως θα δούμε, όλα τα γνωστά υποδείγματα αποτίμησης είναι γραμμικά: M a bf όπου F είναι ένας παράγοντας ή ένα σετ παραγόντων κινδύνου. Τα επιμέρους υποδείγματα διαφοροποιούνται ως προς το F. Έτσι για παράδειγμα, το CCAPM υποθέτει ότι: F ρυθμός μεταβολής κατανάλωσης, c, το CAPM υποθέτει ότι: F απόδοση χαρτοφυλακίου πλούτου, το ICAPM υποθέτει ότι: F c μεταβλητές κατάστασης. Στις σημειώσεις αυτού του μαθήματος θα βρείτε μια συστηματική παρουσίαση των θεωρητικών βάσεων της αποτίμησης αξιογράφων. Σκοπός της παρουσίασης είναι να συνδεθούν όλα τα γνωστά υποδείγματα αποτίμησης μεταξύ τους για να γίνουν καλύτερα αντιληπτές οι διαφορές τους αλλά και οι περιορισμοί τους. Για το σκοπό αυτό θα ξεκινήσουμε με το απλούστερο υπόδειγμα τιμολόγησης, το γνωστό υπόδειγμα παρούσας αξίας με σταθερούς συντελεστές προεξόφλησης. Μετά θα παρουσιάσουμε το υπόδειγμα παρούσας αξίας με κυμαινόμενους συντελεστές προεξόφλησης και στη συνέχεια στο υπόδειγμα του καταναλωτή με στοχαστικό συντελεστή προεξόφλησης. Με βάση το υπόδειγμα αυτό θα ορίσουμε στη συνέχεια τα πιο γνωστά υποδείγματα αποτίμησης ως ειδικές περιπτώσεις. Η παραπάνω θεώρηση αλλάζει και τον τρόπο παρουσίασης της θεωρίας αποτίμησης και επιλογής χαρτοφυλακίου. Ιστορικά, η χρηματοοικονομική θεωρία ξεκίνησε με το υπόδειγμα χαρτοφυλακίου του Markowiz 95, και εξελίχθηκε 7

8 με το CAPM των Sharpe και Linner 964, 965, το ICAPM του Meron 973 και το CCAPM του Lucas 978. Όμως το υπόδειγμα χαρτοφυλακίου του Markowiz δεν είναι απαραίτητο για να ορίσουμε οποιοδήποτε υπόδειγμα αποτίμησης. Παρά το γεγονός ότι μια από τις κεντρικές υποθέσεις του CAPM είναι ότι οι επενδυτές κρατούν αποδοτικά χαρτοφυλάκια Markowiz, μπορούμε να πούμε ότι αν η αγορά είναι ο μόνος συστηματικός παράγοντας κινδύνου δηλ. ισχύει το CAPM και οι επενδυτές κρατούν χαρτοφυλάκια τα οποία ελαχιστοποιούν τον συστηματικό κίνδυνο, τότε όλοι οι επενδυτές θα κρατούν το χαρτοφυλάκιο αγοράς. Στην περίπτωση αυτή, το χαρτοφυλάκιο της αγοράς θα είναι ένα αποδοτικό χαρτοφυλάκιο όπως ορίζεται στην θεωρία χαρτοφυλακίου του Markowiz. Με άλλα λόγια, το υπόδειγμα χαρτοφυλακίου του Markowiz προκύπτει λογικά από το CAPM, παρότι ιστορικά το υπόδειγμα χαρτοφυλακίου του Markowiz προηγήθηκε του CAPM. Αντίθετα, το ICAPM δεν είναι συμβατό με το υπόδειγμα χαρτοφυλακίου του Markowiz καθώς υποθέτει παράγοντες κινδύνου πέρα από την αγορά. Γενικά, κάθε υπόδειγμα αποτίμησης κρύβει πίσω του ένα υπόδειγμα αποδοτικού χαρτοφυλακίου. Τα τελευταία κεφάλαια αφιερώνονται στην επιλογή και αξιολόγηση αποδοτικών χαρτοφυλακίων με έμφαση σε πρακτικές εφαρμογές. Θα ξεκινήσουμε με την κλασσική θεωρία επιλογής αποδοτικών χαρτοφυλακίων του Markowiz και θα ορίσουμε χαρτοφυλάκια τα οποία χαρακτηρίζουν την επιλογή επενδυτών οι οποίοι ενδιαφέρονται για την απόδοση και τον κίνδυνο ενός χαρτοφυλακίου με 8

9 ορίζοντα επένδυσης μιας περιόδου. Στον κόσμο αυτόν θα συζητήσουμε τις έννοιες της αποδοτικότητας, inersecion και spanning χαρτοφυλακίων και θα γνωρίσουμε στατιστικούς ελέγχους που μας βοηθούν να ξεχωρίσουμε αποδοτικά από μη αποδοτικά χαρτοφυλάκια. Στην συνέχεια θα χαλαρώσουμε τις περιοριστικές υποθέσεις του Markowiz με σκοπό να διατυπώσουμε μια εναλλακτική θεωρία επιλογής χαρτοφυλακίου για μακροχρόνιους στρατηγικούς επενδυτές. Οι επενδυτές αυτοί επιλέγουν χαρτοφυλάκια τα οποία αντισταθμίζουν μακροχρόνιους κινδύνους. Η επιλογή στρατηγικών χαρτοφυλακίων βασίζεται στο διαχρονικό υπόδειγμα αποτίμησης, στο οποίο τα ασφάλιστρα κινδύνου των αξιόγραφων είναι συναρτήσεις της συνδιακύμανσης των αποδόσεων των αξιόγραφων με μεταβλητές κατάστασης, οι οποίες σηματοδοτούν τον κίνδυνο μιας αλλαγής του σετ επενδυτικών δυνατοτήτων στο μέλλον, σύμφωνα με το υπόδειγμα του Meron. Με βάση την λύση του διαχρονικού υποδείγματος του καταναλωτή, θα ορίσουμε το υπόδειγμα επιλογής χαρτοφυλακίου για στρατηγικούς επενδυτές. Στο υπόδειγμα αυτό, το χαρτοφυλάκιο του επενδυτή αποτελείται από δύο μέρη: α το χαρτοφυλάκιο του Markowiz και β την αντισταθμιστική ζήτηση για αξιόγραφα τα οποία προστατεύουν το χαρτοφυλάκιο από μελλοντικούς κινδύνους. Τέλος, θα προτείνουμε μια σύνδεση της θεωρίας χαρτοφυλακίου με τα πολυπαραγοντικά υποδείγματα αποτίμησης, η οποία οδηγεί σε λύσεις που εύκολα μπορούν να εφαρμοστούν στην πράξη. Η σύνδεση αυτή βασίζεται στην απλή ιδέα ότι κάθε θεωρητικό υπόδειγμα αποτίμησης μπορεί να γραφτεί ως ένα παραγοντικό υπόδειγμα. Κατά συνέπεια, τα παραγοντικά χαρτοφυλάκια μπορούν 9

10 να υπολογισθούν εύκολα με δεδομένες τις εκτιμήσεις για τα ασφάλιστρα κινδύνου. ημήτρης Μαλλιαρόπουλος 0

11 Ο καθορισμός του προεξοφλητικού επιτοκίου Η τιμή του χρόνου και του κινδύνου Όταν ένα άτομο κάνει μια επένδυση σε ένα τίτλο, θυσιάζει ένα ποσό σήμερα το οποίο θα μπορούσε να είχε χρησιμοποιήσει για κατανάλωση για ένα συχνά αβέβαιο ποσό στο μέλλον. Γενικά, η επένδυση είναι μια θυσία βέβαιης σημερινής κατανάλωσης για μια συχνά αβέβαιη μελλοντική κατανάλωση. Ο επενδυτής θα απαιτήσει μια αποζημίωση ο ο Για τον χρόνο αναμονής μέχρι την πώληση του τίτλου και Για τον κίνδυνο που υπάρχει κατά τη διάρκεια του χρόνου αυτού. Αν επικεντρώσουμε την προσοχή μας σε επενδύσεις σε τίτλους στην αγορά χρήματος και ομολόγων, μπορούμε να αναλύσουμε το ονομαστικό επιτόκιο καθαρή απόδοση στη λήξη στα εξής συστατικά του: Ονομαστικό επιτόκιο r r ρ π λ z Αναμενόμενο πραγματικό επιτόκιο ρ αναμενόμενος πληθωρισμός π αναμενόμενο ασφάλιστρο ρευστότητας λ αναμενόμενο ασφάλιστρο κινδύνου z Η φόρμουλα αυτή μπορεί να γενικευθεί σε άλλα είδη επενδύσεων π.χ. μετοχές όπου αντί επιτοκίου έχουμε απόδοση.

12 Το αναμενόμενο πραγματικό επιτόκιο Σε μια οικονομία χωρίς πληθωρισμό και κίνδυνο το αναμενόμενο πραγματικό επιτόκιο είναι το επιτόκιο που εξισώνει την προσφορά πόρων ατόμων που επιθυμούν να δανείσουν αποταμίευση με την ζήτηση πόρων ατόμων που επιθυμούν να δανειστούν. Τι καθορίζει ποια άτομα θέλουν να δανείσουν και ποια άτομα θέλουν να δανειστούν; Η απάντηση έγκειται στο γεγονός ότι τα άτομα αξιολογούν διαφορετικά μελλοντική κατανάλωση. Σε πιο τεχνικούς όρους, τα άτομα έχουν διαφορετικό λόγο υποκατάστασης μεταξύ παρούσας και μελλοντικής κατανάλωσης marginal rae of subsiuion MRS ή elasiciy of ineremporal subsiuion EIS ή rae of ime preference. Ο λόγος υποκατάστασης μεταξύ παρούσας και μελλοντικής κατανάλωσης ονομάζεται επίσης υποκειμενικός συντελεστής προεξόφλησης και χρησιμοποιείται για την μετατροπή μελλοντικών εσόδων σε σημερινή αξία. ο Αν ο υποκειμενικός συντελεστής προεξόφλησης ενός ατόμου είναι 0% το χρόνο 0,0, αυτό σημαίνει ότι για να προτρέψουμε αυτό το άτομο να θυσιάσει EUR σήμερα, θα πρέπει να το ανταμείψουμε με ένα 0,0 EUR σε ένα χρόνο. Το πραγματικό επιτόκιο εξισορροπεί την αγορά προσφοράς και ζήτησης αποταμιεύσεων βλέπε ιάγραμμα

13 Individual Individual Period Period I I C Y Y C r r Y C Period C Period Borrowing Lending Figure : Deerminaion of real ineres rae Y Ο αναμενόμενος Πληθωρισμός Το αναμενόμενο πραγματικό επιτόκιο είναι το επιτόκιο που ισχύει σε μια οικονομία χωρίς πληθωρισμό. εδομένου ότι το άτομο ενδιαφέρεται για την πραγματική αξία μιας επένδυσης, δηλαδή για την ποσότητα αγαθών που μπορεί να αγοράσει στο μέλλον με την ονομαστική απόδοση της επένδυσης, απαιτεί μια χρηματική αποζημίωση για τον αναμενόμενο πληθωρισμό π Το ονομαστικό επιτόκιο γίνεται τώρα : r ρ π Το αναμενόμενο ασφάλιστρο ρευστότητας Αν ο επενδυτής επιθυμεί ρευστότητα τότε προτιμά να δανείσει μόνο για μικρά χρονικά διαστήματα. Για να έχει κίνητρο να επενδύσει σε τίτλους μεγάλης διάρκειας, πρέπει να 3

14 αποζημιωθεί με ένα ασφάλιστρο ρευστότητας λ. Το ονομαστικό επιτόκιο γίνεται τώρα : r ρ π λ Βλέπε ιάγραμμα. Nominal ineres rae r Liquidiy premium λ Expeced inflaion π Real ineres rae ρ Term o mauriy Figure : Decomposiion of nominal ineres rae Το αναμενόμενο ασφάλιστρο κινδύνου Το τελευταίο συστατικό του ονομαστικού επιτοκίου είναι το αναμενόμενο ασφάλιστρο κινδύνου. Το ασφάλιστρο κινδύνου διαφέρει μεταξύ διαφόρων επενδύσεων. Ο καθορισμός των παραγόντων που διέπουν το ασφάλιστρο κινδύνου είναι μια από τις πιο βασικές επιδιώξεις της θεωρίας αποτίμησης και των επιμέρους υποδειγμάτων της CAPM, CCAPM, ICAPM, APT κλπ.. ο ο Μετοχές : συστηματικός κίνδυνος Ομόλογα : κίνδυνος αθέτησης πτώχευσης, κίνδυνος αλλαγής επιτοκίων. 4

15 Το ονομαστικό επιτόκιο γίνεται τώρα : r ρ π λ z Βλέπε ιάγραμμα 3. Nominal ineres rae r Risk premium Liquidiy premium λ Expeced inflaion π Real ineres rae ρ Term o mauriy Figure 3: Decomposiion of nominal ineres rae Τιμή, απόδοση και προεξοφλητικό επιτόκιο Η έννοια της μελλοντικής αξίας Η μελλοντική αξία F ενός χρηματικού ποσού P με σταθερή αναμενόμενη απόδοση r είναι συνάρτηση της διάρκειας T και της συχνότητας ανατοκισμού m. Η μελλοντική αξία F με ανατοκισμό μια φορά ανά περίοδο έτος ορίζεται ως: ο F P r T ο Παράδειγμα : Αν P 000 EUR, r 0, 0 0%, T χρόνια F 000 0, 0 EUR 5

16 Η μελλοντική αξία F με ανατοκισμό m φορές ανά περίοδο ορίζεται ως : ο F P r m mt ο Παράδειγμα: r 0, 0 0%, T χρόνια, m F 000 0,/ 4 5,5 EUR Η συχνότητα ανατοκισμού αυξάνει την ετησιοποιημένη απόδοση Η επίδραση της συχνότητας ανατοκισμού στην ετησιοποιημένη απόδοση φαίνεται στο εξής παράδειγμα : r 0, 0% r Ετησιοποιημένος επιτοκιακός συντελεστής m Πίνακας : Συχνότητα ανατοκισμού και μελλοντική αξία m Συχνότητα Επιτοκιακός F ανατοκισμού Συντελεστής Ετήσια r,00000 Εξαμηνιαία r Τριμηνιαία 4,0500 r 4 Μηνιαία,0383 r Ημερήσια 365,0473 r 365,0556 Το όριο της φόρμουλας F r mt P m όταν ο ανατοκισμός είναι συνεχής m είναι 6

17 rt F Pe m / r Όπου lim, 788. e m m / r Στο παραπάνω παράδειγμα, ο ετησιοποιημένος επιτοκιακός συντελεστής με r συνεχή ανατοκισμό είναι e.788 0,, 057 Η έννοια της παρούσας αξίας Αν ένα ποσό F αναμένεται να εισπραχθεί σε T περιόδους, η παρούσα αξία του είναι ίση με ένα ποσό P το οποίο αν επενδυθεί σήμερα θα δώσει ανατοκισμένο ποσό F σε T περιόδους. Η διαδικασία της εύρεσης της παρούσας αξίας μιας μελλοντικής είσπραξης καλείται προεξόφληση και είναι το αντίθετο του ανατοκισμού. Προεξόφληση μια φορά ανά περίοδο έτος Η παρούσα αξία P ενός ποσού F το οποίο αναμένεται να εισπραχθεί σε T χρόνια είναι: P F r F T r T Παράδειγμα : Η παρούσα αξία ενός ομολόγου zero coupon σταθερού επιτοκίου 0% με λήξη 5 έτη και ονομαστική τιμή 000 EUR είναι T P F r 000 0, 5 60,9 EUR Ο συντελεστής r T καλείται συντελεστής προεξόφλησης Το παρακάτω διάγραμμα δείχνει την παρούσα αξία ευρώ που αναμένεται να εισπραχθεί μετά από,, 0 χρόνια. Το επιτόκιο προεξόφλησης είναι 3,6%. 7

18 .00 Συντελεστές Προεξόφλησης /r T Παρούσα αξία ευρώ που θα εισπραχθεί σε Τ χρόνια r3,6% χρόνος Τ Προεξόφληση περισσότερες φορές ανά περίοδο Όταν η προεξόφληση γίνεται m φορές το χρόνο, η παρούσα αξία P ενός ποσού F το οποίο αναμένεται να εισπραχθεί σε T χρόνια είναι : P F F r mt m r mt m Όταν ο ανατοκισμός είναι συνεχής m, το όριο της φόρμουλας P F F r mt m r mt m είναι P Fe Γενικά, όταν αναμένονται εισροές d για τις χρονικές περιόδους rt,..., T, και ο συντελεστής προεξόφλησης είναι σταθερός στο χρόνο, η παρούσα αξία είναι r 8

19 T P 0 r d Αποτίμηση Ομολόγων Η παρούσα αξία ενός ομολόγου διάρκειας Τ περιόδων, το οποίο πληρώνει κουπόνια d για τις περιόδους,..., T, έχει ονομαστική αξία F και επιτόκιο στη λήξη r, είναι: P 0 T T d F r r Το επιτόκιο στη λήξη r είναι το επιτόκιο το οποίο εξισώνει την παρούσα αξία τιμή αγοράς του ομολόγου με το άθροισμα των προεξοφλημένων κουπονιών και την προεξοφλημένη τελική πληρωμή ονομαστική αξία F. Εφαρμογές: Η αποτίμηση των ομολόγων του Ελληνικού ημοσίου πριν και μετά την δημοσιονομική κατάρρευση του Το Ελληνικό ημόσιο εξέδωσε την //006 ένα 0-ετές ομόλογο ΒΒ κωδικός Bloomberg: EF3934 με λήξη στις 0/7/06 και κουπόνι 3,6% 3,6 ευρώ το χρόνο ανά 00 ευρώ ονομαστική αξία. Ποια ήταν η παρούσα αξία του ομολόγου την ημέρα της έκδοσής του; Ο παρακάτω πίνακας δίνει τους συντελεστές προεξόφλησης με επιτόκιο προεξόφλησης 3,6% η στήλη, την αξία των κουπονιών σε ευρώ που πληρώνει το ομόλογο κάθε χρόνο 3 η στήλη και την παρούσα αξία των κουπονιών του ομολόγου 4 η στήλη μέχρι τη λήξη του σε 0 χρόνια. Το άθροισμα των προεξοφλημένων κουπονιών για τα 0 χρόνια μέχρι τη λήξη του είναι 9,80 9

20 ευρώ. Η παρούσα αξία του ομολόγου την ημέρα της έκδοσής του //006 ήταν 00, δηλ. το άθροισμα των προεξοφλημένων κουπονιών 9,80 ευρώ συν την προεξοφλημένη αξία της τελικής πληρωμής των 00 ευρώ στη λήξη του ομολόγου την 0/7/ *00 70,0 ευρώ. Χρόνος T Συντ. Προεξ. /0,036 T Κουπόνι Παρούσα αξία Άθροισμα * Τον Ιανουάριο 0, το επιτόκιο στη λήξη του 5-ετούς πλέον ομολόγου ήταν,3% και η τιμή του στη δευτερογενή αγορά 65,37 ευρώ. Η αγορά ομολόγων προεξοφλεί ότι η Ελληνική ημοκρατία ακόμη και αν καταβάλει το ετήσιο κουπόνι μέχρι τη λήξη δεν θα πληρώσει στο ακέραιο τους κατόχους του ομολόγου, δηλ. οι κάτοχοι του ομολόγου δεν θα εισπράξουν την ονομαστική αξία 00 αλλά θα υπάρξει ένα haicu x%, άρα θα εισπράξουν 00-x. Ποια είναι η αναμενόμενη ονομαστική αξία στη λήξη και κατά συνέπεια το haircu σύμφωνα με τις αποτιμήσεις της αγοράς; Ο παρακάτω πίνακας δίνει τους συντελεστές προεξόφλησης με επιτόκιο προεξόφλησης,3% και την παρούσα αξία των κουπονιών του ομολόγου μέχρι 0

21 τη λήξη του σε 5 χρόνια. Χρόνος Τ Συντελεστές Προεξόφλησης Κουπόνι Παρούσα Αξία Άθροισμα,88 Η τιμή του ομολόγου στην αγορά αντανακλά το άθροισμα των προεξοφλημένων κουπονιών και την προεξοφλημένη ονομαστική αξία του ομολόγου στη λήξη 0,56*F. Καθώς το επιτόκιο στη λήξη αυξήθηκε, μειώθηκε σημαντικά ο συντελεστής προεξόφλησης της 5-ετίας από σε 0.56, με άλλα λόγια, η σημερινή παρούσα αξία ενός ευρώ που θα εισπραχθεί σε 5 χρόνια μειώθηκε από 83,6 λεπτά σε 56 λεπτά. Κατά συνέπεια, τα 00 ευρώ ονομαστικής αξίας του ομολόγου σε 5 χρόνια αξίζουν σήμερα 56 ευρώ. Το άθροισμα των προεξοφλημένων κουπονιών είναι,88 ευρώ. Ποια είναι η αναμενόμενη ονομαστική αξία; P 0 5 r d F r 65,37,88 F * 0,56 65,37,88 F 93,7 0,56 Η αγορά περιμένει ότι στη λήξη θα εισπράξει 93,7 ευρώ αντί 00, δηλ. θα υπάρξει haircu 6,3%. Το haircu θα είναι πολύ υψηλότερο περίπου 30% -- αν γίνει μετά από ένα χρόνο αντί πέντε, καθώς οι ομολογιούχοι πιθανόν να χάσουν τα κουπόνια των επόμενων τεσσάρων ετών Που θα πάει η τιμή του ομολόγου αν η αγορά πειστεί ότι δεν θα υπάρξει

22 haircu και το επιτόκιο στη λήξη πέσει στο 8% από,3%; Η παρούσα αξία των κουπονιών αυξάνεται στα 4,37 ευρώ καθώς τα κουπόνια προεξοφλούνται με χαμηλότερα επιτόκια. Το παρακάτω διάγραμμα δείχνει πως αλλάζουν οι συντελεστές προεξόφλησης όταν το επιτόκιο μειώνεται από,3% στο 8% Συντελεστές Προεξόφλησης /r T Παρούσα αξία ευρώ που θα εισπραχθεί σε Τ χρόνια χρόνος Τ r.30% r8% Η παρούσα αξία του ομολόγου αυξάνει στα 8,4 ευρώ από 65,37 ευρώ, δηλ. αυξάνεται κατά 6%: P P r d F r 5 4,37 00*0,68 8,4

23 Αποτίμηση Μετοχών Ορολογία: P : Τιμή μετοχής D : Μέρισμα r : Αναμενόμενη καθαρή πραγματική απόδοση β : υποκειμενικός συντελεστής προεξόφλησης r Προσοχή: Όλες οι μεταβλητές είναι εκφρασμένες σε πραγματικούς όρους σταθερές τιμές, δηλαδή αποπληθωρισμένες με τον Γενικό είκτη Τιμών Καταναλωτή. Για λόγους απλούστευσης θα ασχοληθούμε κατ αρχήν με τα πιο απλά υποδείγματα με σταθερό συντελεστή προεξόφλησης. Σταθερός διαχρονικά συντελεστής προεξόφλησης Το υπόδειγμα υποθέτει ότι η αναμενόμενη πραγματική απόδοση της μετοχής, Εr, είναι σταθερή διαχρονικά, Εrr. Το r αποτελείται από δύο μέρη: r ρ z, όπου ο ρ : πραγματικό επιτόκιο μηδενικού κινδύνου ο z : ασφάλιστρο κινδύνου Υποθέσεις : Το μέρισμα D καταβάλλεται μια φορά το χρόνο στο τέλος του έτους Το r είναι σταθερό διαχρονικά Ερώτηση: Ποια είναι η τιμή που είναι διατεθειμένος να πληρώσει ο 3

24 επενδυτής σήμερα για την μετοχή fair price; ο Η απάντηση εξαρτάται από τον επενδυτικό ορίζοντα Επενδυτικός ορίζοντας περίοδος έτος Η τιμή fair price την οποία είναι διατεθειμένος να πληρώσει ένας επενδυτής σήμερα για μια μετοχή που σκοπεύει να κρατήσει μια περίοδο είναι: E D E P P0 r r P 0 όταν E P E D r Ο όρος r καλείται συντελεστής προεξόφλησης. Ο ρόλος του έγκειται στο να μεταφράζει μελλοντικά έσοδα σε σημερινές τιμές. Σύμφωνα με την, η τιμή στην οποία ένας επενδυτής είναι διατεθειμένος να πληρώσει σήμερα για μια μετοχή ισούται με το άθροισμα του μερίσματος και της αναμενόμενης τιμής πώλησης, μεταφρασμένα σε σημερινές τιμές με ένα σταθερό συντελεστή προεξόφλησης. Επενδυτικός ορίζοντας περίοδοι έτη Από την P E D E P r r στην E D E D P0 r r E P r 4

25 3 Επενδυτικός ορίζοντας T περίοδοι έτη Αυξάνοντας τον επενδυτικό ορίζοντα μέχρι Τ P 0 T E D r E P r T T 4 Η 4 εκφράζει τη τιμή ισορροπίας ως το άθροισμα των προεξοφλημένων αναμενόμενων μερισμάτων πρώτος όρος και της προεξοφλημένης αναμενόμενης μελλοντικής τιμής της μετοχής δεύτερος όρος. Ο τελευταίος όρος ονομάζεται συχνά κερδοσκοπική φούσκα. Κερδοσκοπική φούσκα : Η τιμή ανεβαίνει σήμερα όταν οι επενδυτές προσδοκούν άνοδο της τιμής στο μέλλον : E PT P αν E P καθώς 0 T r T Παράδειγμα : NASDAQ Για να εξαλείψουμε την κερδοσκοπική φούσκα, αφήνουμε το Τ να πάει στο άπειρο, T. Από την 4 : P 0 E d r E PT lim T T r 5 P 0 E d r 6 5

26 ε άν lim r E PT T 0. T Η κερδοσκοπική φούσκα εξαφανίζεται υπό την προϋπόθεση ότι lim E P <, δηλαδή η αναμενόμενη τιμή δεν τείνει στο άπειρο. T T Προσέξτε ότι ο όρος T r τείνει στο άπειρο όταν, T εφόσον r > 0. Η σχέση 6 εκφράζει την τιμή της μετοχής ως την παρούσα αξία όλων των αναμενόμενων μερισμάτων με προεξοφλητικό επιτόκιο r. Η παρούσα άξια της μετοχής τιμή είναι αρνητική συνάρτηση του επιτοκίου προεξόφλησης. ο Ο λόγος είναι ότι ένα υψηλότερο επιτόκιο προεξόφλησης σηματοδοτεί ότι οι επενδυτές προσδίδουν μικρότερη αξία στα μελλοντικά έσοδα τους σε σύγκρισή με έσοδα σήμερα. Καθώς r ρ z, η τιμή μιας μετοχής είναι τόσο μικρότερη, όσο υψηλότερο είναι το πραγματικό επιτόκιο ρ κι όσο υψηλότερο είναι το ασφάλιστρο κινδύνου z. Σημείωση : Η αξία της μετοχής καθορίζεται αποκλειστικά από την ικανότητα της να πληρώνει μερίσματα. Αν υποθέσουμε στην 5 E 0,,..., τότε P 0 0. D ο Γενικά: Η αξία κάθε τίτλου καθορίζεται αποκλειστικά από την ικανότητά του να δημιουργεί εισόδημα στο μέλλον. Σημείωση : Ο συντελεστής προεξόφλησης r στο παραπάνω υπόδειγμα θεωρείται σταθερός διαχρονικά. ο Η υπόθεση αυτή είναι μη ρεαλιστική καθώς υπάρχουν εμπειρικές ενδείξεις ότι τόσο το πραγματικό επιτόκιο ρ όσο και το ασφάλιστρο κινδύνου αλλάζουν στο χρόνο. 6

27 ο Αργότερα θα γνωρίσουμε υποδείγματα αποτίμησης τα οποία προσπαθούν να εξηγήσουν την μεταβλητότητα του συντελεστή προεξόφλησης στο χρόνο. ο Προς το παρόν, όμως, θα συνεχίσουμε να θεωρούμε το r σταθερό. Πρακτικά η σχέση 6 δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον καθορισμό της σημερινής τιμής ισορροπίας P 0 καθώς περιέχει προσδοκίες μελλοντικών μερισμάτων. Για να καθορίσουμε το P 0, πρέπει να εξαλείψουμε τις προσδοκίες μελλοντικών μερισμάτων. Για το σκοπό αυτό πρέπει να κάνουμε μια υπόθεση σχετικά με την στοχαστική διαδικασία D. Στοχαστική διαδικασία μερίσματος. Τυχαίος περίπατος Ας υποθέσουμε ότι το μέρισμα ακολουθεί την στοχαστική διαδικασία ενός τυχαίου περίπατου random walk: D D ε 7 όπου ε : τυχαία διατάραξη με μαθηματική ελπίδα 0 και σταθερή διακύμανση. Τότε το αναμενόμενο μέρισμα για κάθε μελλοντικό χρόνο δεδομένης της σημερινής πληροφόρησης I 0 είναι ίσο με το σημερινό μέρισμα. Αυτό ισχύει διότι : 7

28 / / D I D E I D E ε / / / D I D E I D E I D E ε ε ε / / / D I D E I D E I D E T T T T ε ε ε ε Καθώς, 0 / 0 I E ε, 0 / 0 I E ε,..., 0 / 0 3 I E ε. 0 / 0 I E T ε Από την 6 και την 7 προκύπτει: r D P 0 0 r D 0 r r D r r r D r r D 0 r r r D 0 8 Καθώς το μέρισμα είναι σταθερό, η τιμή είναι η παρούσα αξία του σημερινού μερίσματος, δηλαδή μια σταθερά. Με άλλα λόγια, η αναμενόμενη απόδοση της μετοχής, r, είναι ίση με τη μερισματική της απόδοση. r D P 0 0

29 Στοχαστική διαδικασία της τιμής της μετοχής Τι προκύπτει από την 7 σχετικά με την στοχαστική διαδικασία που ακολουθεί η τιμή P ; Από E P / I r P E D / I. Αλλά από την 7 E D o D και / I Από την 8 D r. 0 o 0 o 0 P 0 Επομένως : E P o P rp P / I r Γενικά ισχύει E P / I o P0, δηλαδή η τιμή ακολουθεί και αυτή μια στοχαστική διαδικασία τυχαίου περίπατου, όπως και το μέρισμα. Η καλύτερη πρόβλεψη της μελλοντικής τιμής είναι ότι θα μείνει σταθερή στα σημερινά της επίπεδα.. Τυχαίος περίπατος με τάση: το υπόδειγμα Gordon Ας υποθέσουμε ότι ο αναμενόμενος ρυθμός αύξησης του μερίσματος είναι σταθερός και ισούται με g αυτό αντιστοιχεί σε μια στοχαστική διαδικασία τυχαίου περίπατου με τάση -- random walk wih drif-- σε λογαρίθμους, d ln D : E 9 D g D 9

30 E D g D 0 Αντικαθιστώντας στην 6 P 0 D 0 g r D 0 δ g όπου δ. Επομένως, r P 0 D0δ δ δ... D0δ δ D 0 g r g r g P0 D0 0 r g Η σχέση 0 είναι το υπόδειγμα του Gordon. Σύμφωνα με την 0, η τιμή μιας μετοχής είναι θετική συνάρτηση του μερίσματος και του αναμενόμενου ρυθμού αύξησης του μερίσματος και αρνητική συνάρτηση της απαιτούμενης πραγματικής απόδοσης. Η τιμή είναι υψηλή σε σχέση με το σημερινό μέρισμα όταν ο αναμενόμενος ρυθμός μεταβολής του μερίσματος είναι υψηλός ή όταν η αναμενόμενη απόδοση είναι χαμηλή. Μετοχές με αναμενόμενη υψηλή κερδοφορία στο μέλλον g έχουν υψηλά P/D. Παράδειγμα: μετοχές τεχνολογίας. Μεταξύ δυο μετοχών με ίδια κερδοφορία g η μετοχή που έχει υψηλότερο ασφάλιστρο κινδύνου δηλ. υψηλότερο r έχει χαμηλότερο P/D. 30

31 Εφαρμογές Το παρακάτω γράφημα δείχνει τον. S&P 500: αποπληθωρισμένος δείκτης τιμών του χρηματιστηρίου των ΗΠΑ S&P Παρούσα αξία των μελλοντικών μερισμάτων με σταθερό συντελεστή προεξόφλησης. Η αξία αυτή ορίζεται ως P DP/meanR, όπου D το αποπληθωρισμένο μέρισμα και meanrexpmeanlnr η μέση αποπληθωρισμένη λογαριθμική απόδοση του S&P 500. Η αξία του δείκτη το 00 τελική παρατήρηση ορίζεται σύμφωνα με το υπόδειγμα Gordon ως D00*g/r-g, Ως μελλοντικό μέσο ρυθμό μεταβολής των μερισμάτων g και μέση αναμενόμενη απόδοση του S&P 500 r υποθέσαμε g0.0, r Πραγματικές τιμές του S&P 500 και προεξοφλημένη αξία μελλοντικών μερισμάτων S&P Price Προεξοφλημένη αξία μερισμάτων Year 3

32 Υπόδειγμα Gordon με βάση τα κέρδη Συχνά το υπόδειγμα Gordon ορίζεται με βάση τα κέρδη Ε των εταιρειών και όχι με βάση τα μερίσματα. Ο λόγος είναι ότι τα κέρδη αντικατοπτρίζουν καλύτερα την ικανότητα των εταιρειών να προσδίδουν μελλοντική αξία στις μετοχές τους. Το υπόδειγμα 0 μπορεί να μεταφραστεί εύκολα σε όρους Ε, αν υποθέσουμε ότι το μέρισμα είναι ένα σταθερό ποσοστό τ, των κερδών τ : payou raio. D τ E Αντικαθιστώντας την στην 0 : g P0 τ E0 r g Σύμφωνα με την, εταιρείες που έχουν υψηλά P / E πρέπει να έχουν υψηλούς αναμενόμενους ρυθμούς ανόδου των κερδών τους για σταθερό r και τ. Η υπόθεση μιας σταθερής σχέσης μεταξύ μερισμάτων και εταιρικών κερδών είναι αρκετά γενναία. Το παρακάτω διάγραμμα δείχνει ότι ο λόγος αυτός έχει μεγάλες διακυμάνσεις στο χρόνο. Μακροχρόνια, οι εταιρείες φαίνεται να πληρώνουν ένα σχετικά σταθερό ποσοστό των κερδών τους σε μερίσματα. Όμως βραχυχρόνια τείνουν να κρατούν τα μερίσματα σταθερά με αποτέλεσμα να αλλάζει ο λόγος μερίσματος προς κέρδη, ιδιαίτερα σε περιόδους ύφεσης, όταν τα εταιρικά κέρδη μειώνονται σημαντικά βλέπε στο διάγραμμα την μεγάλη ύφεση/αποπληθωρισμό 3

33 της περιόδου και την ύφεση του Λόγος μερίσματος προς κέρδη D/Ε του S&P Στοχαστική διαδικασία της τιμής Τι συνεπάγεται η υπόθεση ενός σταθερού ρυθμού ανόδου των μερισμάτων για την στοχαστική διαδικασία που ακολουθούν οι τιμές των μετοχών ; Από την E P / I r P E D / I. o 0 o Αλλά από την 9 E D / I o g. Επομένως : E P o D / I r P0 g D0 g Από την 0 έχουμε : P D. Επομένως : rg E P / I o r P0 r g P0 g P0. 33

34 Γενικά, E P / I g P. o 0 Η τιμή ακολουθεί επίσης έναν τυχαίο περίπατο με τάση σε λογάριθμους, Eln P / I ln P0 g. o ο Οι τιμές βραχυχρόνια δεν είναι προβλέψιμες. ο Μακροχρόνια όμως αναμένεται να αυξάνονται με ρυθμό g. Κυμαινόμενος συντελεστής προεξόφλησης Τόσο τα επιτόκια μηδενικού κινδύνου όσο και τα ασφάλιστρα κινδύνου κυμαίνονται στο χρόνο. Όταν η οικονομία βρίσκεται σε τροχιά ανάπτυξης, η κεντρική τράπεζα αυξάνει τα επιτόκια παρέμβασης για να τιθασεύσει τον αυξανόμενο πληθωρισμό. Τα πραγματικά επιτόκια αυξάνουν. Όταν, αντίθετα, η οικονομία μπαίνει σε ύφεση, η κεντρική τράπεζα μειώνει τα επιτόκια για να βοηθήσει την πραγματική οικονομία. Τα πραγματικά επιτόκια μειώνονται. Στο παρακάτω διάγραμμα, φαίνεται η πορεία του πραγματικού επιτοκίου στις ΗΠΑ Fed Funds rae Πληθωρισμός ΤΚ. 34

35 0.0 US: Real Ineres Rae Fed Funds rae - CPI inflaion Τα ασφάλιστρα κινδύνου έχουν επίσης μεγάλη διακύμανση στο χρόνο καθώς η διακύμανση των αποδόσεων μεταβάλλεται. Το παρακάτω διάγραμμα δείχνει την πορεία της τυπικής απόκλισης των αποδόσεων του S&P 500 στο χρόνο. Η πετρελαϊκή κρίση του 975, η απότομη διόρθωση της αγοράς το 987 και η πρόσφατη χρηματοοικονομική κρίση του 008 οδήγησαν σε σημαντική αύξηση της διακύμανσης των χρηματιστηρίων. Γενικά, σε περιόδους ανοδικών αγορών η διακύμανση είναι χαμηλή, ενώ σε περιόδους πτωτικών αγορών η διακύμανση αυξάνεται απότομα. 35

36 90 US: Volailiy of S&P monh moving window Κατά συνέπεια, οι αναμενόμενες αποδόσεις των μετοχών μεταβάλλονται στο χρόνο. Ας υποθέσουμε ότι οι επενδυτές απαιτούν μια διαφορετική απόδοση σε κάθε μελλοντικό χρονικό σημείο για να είναι διατεθειμένοι να κρατήσουν μια μετοχή. Τότε, το επιτόκιο προεξόφλησης μελλοντικών μερισμάτων αναμενόμενη απόδοση μεταβάλλεται στο χρόνο: r ρ z β r Αποτίμηση Επενδυτικός ορίζοντας περίοδος έτος. Η τιμή fair value την οποία είναι διατεθειμένος να πληρώσει ένας επενδυτής σήμερα για μια μετοχή που σκοπεύει να κρατήσει μια περίοδο είναι: P E D E P β r r E D E P Επενδυτικός ορίζοντας περίοδοι έτη. 36

37 37 r P E r D E P E D E P β r P E r D E P E D E P β P E D E D E P β β β Άπειρός επενδυτικός ορίζοντας Αυξάνοντας τον επενδυτικό ορίζοντα μέχρι το άπειρο και παραβλέποντας την κερδοσκοπική φούσκα D E D E P β β β D E β β β j i j i j D E P β Για να μπορεί να χρησιμοποιηθεί το υπόδειγμα προεξόφλησης για τον καθορισμό της τιμής, πρέπει να προβλεφθούν τόσο τα μελλοντικά μερίσματα όσο και οι μελλοντικοί συντελεστές προεξόφλησης. Σκοπός των υποδειγμάτων αποτίμησης ''asse pricing models '', όπως CAPM, Ineremporal CAPM, Consumpion CAPM, APT κλπ είναι να «ανακαλύψουν» τους παράγοντες που καθορίζουν τις αναμενόμενες αποδόσεις, δηλ. τους συντελεστές προεξόφλησης τόσο μεταξύ διαφορετικών κεφαλαιακών στοιχείων όσο και στο χρόνο. Η παραπάνω φόρμουλα είναι περίπλοκη καθώς περιλαμβάνει αθροίσματα

38 γινομένων. Για να την απλοποιήσουμε, πρέπει να πάρουμε μια γραμμική προσέγγιση της απόδοσης. Αυτό θα μας δώσει ένα γραμμικό υπόδειγμα προεξόφλησης. 38

39 Γραμμική προσέγγιση του υποδείγματος παρούσας αξίας με κυμαινόμενο συντελεστή προεξόφλησης Οι Campbel και Shiller 989 προτείνουν μια γραμμική προσέγγιση του υποδείγματος παρούσας αξίας με κυμαινόμενους συντελεστές προεξόφλησης, η οποία βασίζεται σε μια γραμμική προσέγγιση της απόδοσης. Η απόδοση μιας μετοχής ορίζεται ως: Χρησιμοποιώντας την ταυτότητα: R P D P R P D R R P και πολλαπλασιάζοντας και τις δυο πλευρές με P D : / P P D D R D D Παίρνουμε λογαρίθμους που συμβολίζονται με μικρά γράμματα: p d r Δd ln e p d Προσεγγίζουμε γραμμικά τον τελευταίο όρο χρησιμοποιώντας μια προσέγγιση Taylor πρώτου βαθμού γύρω από το σημείο P pd / D e. Το σημείο αυτό μπορεί 39

40 να είναι ο δειγματικός μέσος της μερισματικής απόδοσης. Σημείωση: Μια προσέγγιση Taylor μιας συνάρτησης f x γύρω από ένα σημείο x 0 γράφεται: f x f x0 f x0 x x όροι ου βαθμού. 0 x 0 x0 P / D Για f x0 ln e, έχουμε f ' x0 e /. x0 P D e Κατά συνέπεια, η προσέγγιση ου βαθμού γύρω από το μέσο δειγματικό p-d είναι: P/D p d r Δd P/D p d p d r Δd p d k όπου ρ είναι ένας σταθερός συντελεστής προεξόφλησης 0< ρ < και k P / D P / D μια σταθερά. Λύνοντας προς τα εμπρός, παίρνουμε: p d cons. j Δd j r j Υπό την προϋπόθεση ότι η φούσκα εξαφανίζεται μακροπρόθεσμα, δηλαδή lim j p j d j 0. j Αυτή η ταυτότητα ισχύει ex-pos και ex-ane. Η ex-ane εκδοχή είναι: j p d cons. E j Δd j r j j 40

41 Η εξίσωση αυτή είναι το υπόδειγμα παρούσας αξίας με κυμαινόμενους συντελεστές προεξόφλησης πραγματικές αποδόσεις. Πριν προσπαθήσουμε να την επεξηγήσουμε, ας θυμηθούμε ότι η προσέγγιση Taylor έγινε γύρω από το μέσο της μερισματικής απόδοσης. Ο μέσος της μερισματικής απόδοσης περιλαμβάνεται στη σταθερά της τελευταίας εξίσωσης. Επομένως, σύμφωνα με την τελευταία εξίσωση, όταν ο λόγος της τιμής προς μέρισμα είναι πάνω από το μέσο του, η αγορά αναμένει ότι η μετοχή θα έχει στο μέλλον υψηλούς ρυθμούς μεταβολής των μερισμάτων ή χαμηλές αποδόσεις ή και τα δύο. Σύμφωνα με το υπόδειγμα παρούσας αξίας με κυμαινόμενους συντελεστές προεξόφλησης: Αν αποδόσεις και μεταβολές των μερισμάτων είναι μη προβλέψιμες τιμές και μερίσματα είναι τυχαίοι περίπατοι, τότε ο λόγος τιμής προς μέρισμα είναι σταθερός. Αν ο λόγος τιμής προς μέρισμα είναι κυμαινόμενος στο χρόνο, τότε ο ο Ή οι αποδόσεις είναι προβλέψιμες, Ή τα μερίσματα είναι προβλέψιμα. Σημείωση: Μια τρίτη εκδοχή είναι ότι η διακύμανση του λόγου τιμής προς μέρισμα οφείλεται σε κερδοσκοπικές προσδοκίες μελλοντικής αλλαγής της τιμής κερδοσκοπικές φούσκες χωρίς να μεταβάλλονται οι προσδοκίες για μελλοντικές αποδόσεις και μερίσματα. Μια σειρά ερευνητών ισχυρίζονται ότι ο λόγος τιμής προς μέρισμα ή το P/Ε έχουν προβλεπτική ικανότητα για τις μελλοντικές αποδόσεις άρα τιμές των 4

42 μετοχών και όχι για τα μερίσματα. Ο Cochrane 00 ισχυρίζεται ότι η προβλεπτική ικανότητα του λόγου τιμής προς μέρισμα για μελλοντικές αποδόσεις αλλάζει δραματικά τον τρόπο σκέψης στην χρηματοοικονομική. Το παρακάτω διάγραμμα από τον Cochrane 00 δείχνει σχηματικά την αλλαγή στον τρόπο σκέψης. Η κλασσική θεώρηση του υποδείγματος προεξόφλησης με σταθερές αναμενόμενες αποδόσεις είναι ότι όταν η τιμή είναι χαμηλή σε σχέση με το μέρισμα, η αγορά προεξοφλεί ότι τα μελλοντικά μερίσματα θα μειωθούν κόκκινη διακεκομμένη γραμμή στο διάγραμμα ενώ οι τιμές θα μείνουν σταθερές μπλε διακεκομμένη γραμμή. Η νέα θεώρηση της χρηματοοικονομικής σύμφωνα με τον Cochrane είναι το ακριβώς αντίθετο: όταν η τιμή είναι χαμηλή σε σχέση με το μέρισμα, η αγορά προεξοφλεί ότι οι αποδόσεις άρα οι τιμές θα αυξηθούν στο μέλλον πράσινη Βλέπε, μεταξύ άλλων, Rozeff 984, Keim and Sambaugh 986, Fama and French 99, Campbell and Shiller 989, Cochrane

43 διακεκομμένη γραμμή στο διάγραμμα ενώ τα μερίσματα θα μείνουν σταθερά μοβ διακεκομμένη γραμμή. Η προβλεπτική ικανότητα του λόγου τιμής προς μέρισμα. Εμπειρικοί έλεγχοι: Σύμφωνα με το υπόδειγμα παρούσας αξίας με κυμαινόμενους συντελεστές προεξόφλησης, ο λόγος τιμής προς μέρισμα έχει προβλεπτική ικανότητα για τις μελλοντικές αποδόσεις ή/και για τους μελλοντικούς ρυθμούς μεταβολής των μερισμάτων. Το παρακάτω διάγραμμα δείχνει τον λόγο μερίσματος προς τιμή D/P του S&P 500 από το 87 έως το 00 παρόμοια εικόνα προκύπτει χρησιμοποιώντας το Ε/P. Λόγος μερίσματος προς τιμή D/P του S&P 500.0% 0.0% 8.0% 6.0% 4.0%.0% 0.0% Ο λόγος D/P υφίσταται μεγάλες διακυμάνσεις στο χρόνο. Οι διακυμάνσεις αυτές 43

44 έχουν μεγάλη διάρκεια, δηλ. παίρνει αρκετά χρόνια για να επιστρέψει ο λόγος στο μέσο του. Ο ίδιος ο μέσος φαίνεται να μεταβάλλεται διαχρονικά. Μετά τον ο παγκόσμιο πόλεμο ο μέσος είναι χαμηλότερος Λόγος τιμής προς κέρδη P/Ε του S&P Η προβλεπτική ικανότητα του λόγου τιμής προς μέρισμα μπορεί να ελεγχθεί με τις παρακάτω παλινδρομήσεις: k ρ j k j ρ j d a b p d j Δ j d r a b p d j r r d Για k,..., K. Καθώς το ρ είναι λίγο μικρότερο από τη μονάδα αλλά κοντά στη μονάδα, οι ανεξάρτητες μεταβλητές μπορούν να προσεγγιστούν με την 44

45 αλλαγή του μερίσματος και της τιμής μεταξύ και k : k Δd Δd d d, k j j ρ j j j k k r. k j j r j j j ρ Κατά συνέπεια, οι εμπειρικοί έλεγχοι προβλεψιμότητας μπορούν να γίνουν με τις παλινδρομήσεις d k d a d b d p d k r j ar br p d j k Σημείωση: Γενικά δεν ισχύει r p p j j k.το άθροισμα των λογαριθμικών αποδόσεων είναι ίσον με την μεταβολή της τιμής μόνο όταν οι αποδόσεις είναι οι κεφαλαιακές αποδόσεις χωρίς τα μερίσματα. Καθώς η απόδοση έχει ορισθεί ως η ολική απόδοση συμπεριλαμβανομένων των μερισμάτων, η τελευταία εξίσωση δεν ισχύει Βλέπε επόμενο κεφάλαιο για περαιτέρω ανάλυση αυτού του θέματος. Τα αποτελέσματα εμπειρικών ερευνών δείχνουν ότι ο λόγος τιμής προς μέρισμα έχει μακροπρόθεσμα προβλεπτική ικανότητα για τις αποδόσεις και όχι για τα μερίσματα Fama and French 99, Campbell and Shiller 989, Cochrane 008. Παλινδρομήσεις αποδόσεων και μεταβολής μερισμάτων στο δείκτη τιμής προς μερίσματα 45

46 Τα R της παλινδρόμησης των σωρευτικών αποδόσεων αυξάνουν με τον ορίζοντα και τα b r είναι αρνητικά όπως αναμένεται από τη θεωρία και στατιστικά σημαντικά. Τα R της παλινδρόμησης των σωρευτικών μεταβολών των μερισμάτων είναι μικρά, δεν αυξάνουν με τον ορίζοντα και τα b d είναι αρνητικά αντίθετα από τη θεωρία και στατιστικά μη σημαντικά. Ως αποτέλεσμα, καταλήγουμε στον εξής κανόνα, ο οποίος χρησιμοποιείται από τους αναλυτές: όταν ο λόγος τιμής προς μέρισμα ή το P/E είναι μεγαλύτερος από το μακροπρόθεσμο μέσο του, τότε οι τιμές αναμένεται να υποχωρήσουν και αντίθετα. Σημείωση: Οι παραπάνω παλινδρομήσεις παρουσιάζουν σημαντικά στατιστικά προβλήματα καθώς ο λόγος τιμής προς μέρισμα είναι μια μεταβλητή με μεγάλη εμμονή persisence, ή με άλλα λόγια μια μεταβλητή με χαρακτηριστικά τυχαίου περίπατου. Κατά συνέπεια, οι συντελεστές της παλινδρόμησης δεν ακολουθούν κανονική κατανομή και οι συνήθεις έλεγχοι σημαντικότητας δεν μπορούν να εφαρμοσθούν. Ακόμη χειρότερα, οι συνήθεις εκτιμητές ελαχίστων τετραγώνων 46

47 δεν είναι αμερόληπτοι σε μικρά δείγματα καθώς οι διαταραχές των αποδόσεων και του d-p έχουν υψηλή συσχέτιση Sambaugh 986, 999. Συγκεκριμένα, παρουσιάζουν θετική μεροληψία, δηλ. είναι υψηλότεροι από τους πραγματικούς. Επιπλέον, η τυπική απόκλιση των συντελεστών της παλινδρόμησης είναι χαμηλότερη από την πραγματική και το αντίθετο συμβαίνει με το R. Ως αποτέλεσμα, οι συνήθεις εμπειρικοί έλεγχοι μέσω παλινδρομήσεων συχνά δείχνουν ότι οι αποδόσεις είναι προβλέψιμες χωρίς αυτό να ισχύει. Ο Valkanov 003, Journal of Empirical Finance, μεταξύ άλλων, προτείνει διορθωμένες στατιστικές για τον έλεγχο σημαντικότητας αυτών των παλινδρομήσεων. ιορθώνοντας για τα στατιστικά προβλήματα σε μικρά δείγματα, η προβλεπτική ικανότητα του p-d για τις μελλοντικές αποδόσεις είναι πολύ χαμηλή, τουλάχιστον σε βραχυχρόνιους ορίζοντες -5 ετών. Ένα αποτέλεσμα της εμπειρικής βιβλιογραφίας είναι ότι το p-d μπορεί να προβλέψει τις αποδόσεις σε μακροχρόνιους ορίζοντες, 0-0 ετών Cochrane 008. Τα παρακάτω διαγράμματα δείχνουν ότι υπάρχει κάποια αν και αδύναμη σχέση μεταξύ του D/P και των αποδόσεων της επόμενης 0-ετίας και 0-ετίας. 47

48 D/P και απόδοση επόμενης 0-ετίας D/P 0% 9% 8% 7% 6% 5% 4% 3% % % 0% % 50% 00% 50% 0% -50% Απόδοση 0-ετίας D/P Απόδοση επόμενης 0-ετίας D/P και απόδοση επόμενης 0-ετίας D/P 0% 9% 8% 7% 6% 5% 4% 3% % % 0% % 50% 00% 50% 00% 50% 0% Απόδοση 0-ετίας D/P Απόδοση επόμενης 0-ετίας 48

49 Η εικόνα παραμένει η ίδια όταν χρησιμοποιείται το P/E αντί του D/P όπως φαίνεται στα παρακάτω διαγράμματα. P/E και απόδοση επόμενης 0-ετίας P/E % 50% 00% 50% 0% -50% Απόδοση 0-ετίας P/E Απόδοση επόμενης 0-ετίας P/E και απόδοση επόμενης 0-ετίας P/E % 50% 00% 50% 00% 50% 0% Απόδοση 0-ετίας P/E Απόδοση επόμενης 0-ετίας 49

50 Ο Shiller προτείνει τον λόγο τιμής προς τα μέσα κέρδη της προηγούμενης 0-ετίας. Το παρακάτω διάγραμμα δείχνει ότι ο δείκτης αυτός έχει καλύτερη προβλεπτική ικανότητα για τις μακροχρόνιες αποδόσεις. P/E P/E0 και απόδοση επόμενης 0-ετίας E0: μέσος όρος κερδών προγούμενης 0-ετίας % 50% 00% 50% 0% -50% Απόδοση 0-ετίας P/E0 Απόδοση επόμενης 0-ετίας Συνοψίζοντας τα αποτελέσματα της εμπειρικής βιβλιογραφίας, μπορούμε να πούμε ότι Η μεταβλητότητα του λόγου τιμής προς μέρισμα οφείλεται κατά κύριο λόγο σε αλλαγές των προσδοκιών της αγοράς για τις μελλοντικές αποδόσεις. Ο λόγος τιμής προς μέρισμα ή το αντίστροφό του και το P/E έχουν προβλεπτική ικανότητα για τις μακροχρόνιες αποδόσεις, όχι για τις βραχυχρόνιες. Καθώς οι αναμενόμενες πραγματικές αποδόσεις είναι το άθροισμα του 50

51 αναμενόμενου πραγματικού επιτοκίου μηδενικού κινδύνου και του ασφάλιστρου κινδύνου, η διακύμανση του λόγου τιμής προς μέρισμα αντανακλά αλλαγές των προσδοκιών της αγοράς είτε για τα επιτόκια νομισματική πολιτική, πληθωρισμός είτε για τα ασφάλιστρα κινδύνου. Αυτό το ερώτημα έχει μελετηθεί εμπειρικά από μια σειρά αναλυτές [βλέπε, μεταξύ άλλων, Campbell and Ammer 993, EJ για τις ΗΠΑ, Malliaropulos 998, European Financial Managemen για μια σειρά ευρωπαϊκών αγορών]. Τα αποτελέσματα αυτών των μελετών είναι: Το μεγαλύτερο μέρος της διακύμανσης του λόγου τιμής προς μέρισμα οφείλεται σε διακύμανση των αναμενόμενων ασφάλιστρων κινδύνου. Η διακύμανση των αναμενόμενων ασφάλιστρων κινδύνου οφείλεται σε αλλαγές των προσδοκιών της αγοράς για τα ασφάλιστρα αυτά. Η σύνδεση των μη αναμενόμενων αλλαγών στις αποδόσεις με τις αλλαγές στις προσδοκίες της αγοράς γίνεται στο επόμενο κεφάλαιο. Αποδόσεις και προσδοκίες της αγοράς Για να σπάσουμε τις μη προβλέψιμες αλλαγές των αποδόσεων σε αλλαγές προσδοκιών της αγοράς για μελλοντικές αποδόσεις και μερίσματα, γράφουμε το υπόδειγμα παρούσας αξίας μια περίοδο πίσω: p d cons. E j Δd j r j j 0 5

52 Παίρνουμε αλλαγές στις προσδοκίες μεταξύ και - innovaions: E E p d E E j Δd j r j j 0 Η αριστερή πλευρά της εξίσωσης είναι 0. Άρα: 0 E E j Δd j r j j 0 Μεταφέροντας τον όρο E E r στην αριστερή πλευρά, παίρνουμε για τις μη αναμενόμενες αποδόσεις: r j j E r E E ρ Δd j E E ρ r j 0 j j Μη αναμενόμενη απόδοση Νέα πληροφόρηση για μελλοντικά μερίσματα Νέα πληροφόρηση για μελλοντικές αποδόσεις Ένα θετικό σοκ στις αποδόσεις δηλαδή μια πραγματοποίηση πάνω από τις προσδοκίες οφείλεται Είτε σε μια αλλαγή προς τα πάνω των αναμενόμενων ρυθμών μεταβολής των μερισμάτων, Είτε σε μια αλλαγή προς τα κάτω των αναμενόμενων αποδόσεων, είτε και στα δύο. Καθώς η πραγματική απόδοση είναι το άθροισμα του αναμενόμενου πραγματικού επιτοκίου μηδενικού κινδύνου και του ασφάλιστρου κινδύνου, μη αναμενόμενες αλλαγές των αποδόσεων μπορούν να σπάσουν σε 5

53 Νέα πληροφόρηση για μελλοντικά επιτόκια μηδενικού κινδύνου και Νέα πληροφόρηση για μελλοντικά ασφάλιστρα κινδύνου: E E j j r j E E j j f r j E E j j e r j, Όπου r f είναι το επιτόκιο μηδενικού κινδύνου και r e είναι το ασφάλιστρο κινδύνου. Στο προηγούμενο κεφάλαιο υποστηρίξαμε ότι, σύμφωνα με τα εμπειρικά αποτελέσματα της βιβλιογραφίας, το μεγαλύτερο μέρος της διακύμανσης των τιμών οφείλεται στη διακύμανση των αναμενόμενων αποδόσεων. Τώρα μπορούμε να απαντήσουμε στο πιο συγκεκριμένο ερώτημα αν η διακύμανση των τιμών οφείλεται στη διακύμανση των αναμενόμενων επιτοκίων ή στη διακύμανση των αναμενόμενων ασφάλιστρων κινδύνου. Οι Campbell 99 EJ, Campbell και Ammer 993, EJ, και Malliaropulos 998, European Financial Managemen, μεταξύ άλλων, βρίσκουν ότι το μεγαλύτερο μέρος της διακύμανσης του λόγου τιμής προς μέρισμα οφείλεται σε διακύμανση των αναμενόμενων ασφάλιστρων κινδύνου και όχι σε διακύμανση των μερισμάτων ή σε διακύμανση των πραγματικών επιτοκίων. Σημείωση: Τα ευρήματα αυτά της βιβλιογραφίας είναι σε αντίθεση με την πρακτική των αγορών. Στις αγορές ο ρόλος που αποδίδεται στα αναμενόμενα κέρδη και τα επιτόκια είναι σημαντικός. Το πρόβλημα μάλλον βρίσκεται στην αδυναμία των εμπειρικών υποδειγμάτων. Τα αυτοπαλίνδρομα υποδείγματα που χρησιμοποιούνται στην ακαδημαϊκή βιβλιογραφία για την πρόβλεψη των αποδόσεων στηρίζονται στην υπόθεση ότι οι αποδόσεις είναι προβλέψιμες με βάση υπάρχουσα πληροφόρηση. Με βάση τις προβλέψεις του υποδείγματος, οι αναθεωρήσεις των προβλέψεων σχετικά με τα μερίσματα προκύπτουν ως το 53

54 κατάλοιπο. Τιμές, αποδόσεις και μερισματικές αποδόσεις: Η τρίτη άποψη Νεότερες μελέτες Malliaropulos & Priesley 0: Sock prices, reurns and dividend yields, επανεξετάζoυν την προβλεπτική ικανότητα του λόγου μερίσματος προς τιμή για τις μελλοντικές αποδόσεις χρηματιστηριακών δεικτών και συμπεραίνουν ότι ο λόγος μερίσματος προς τιμή δεν έχει προβλεπτική ικανότητα για τις μελλοντικές τιμές των μετοχών παρά μόνο για τις μερισματικές αποδόσεις. Η ανάλυση αυτή βασίζεται σε μια εναλλακτική λογαριθμική προσέγγιση της απόδοσης σε σχέση με την προσέγγιση των Campbell & Shiller 989. Η προτεινόμενη προσέγγιση στηρίζεται στην παρατήρηση ότι η απόδοση αποτελείται από δυο κομμάτια, την κεφαλαιακή απόδοση αλλαγή της τιμής της μετοχής και την μερισματική απόδοση. R P D P P P Απόδοση κεφαλαιακή απόδοση μερισματική απόδοση D P Το παρακάτω διάγραμμα δείχνει την ολική απόδοση του S&P 500 και τα συστατικά της. Σε αντίθεση με την κεφαλαιακή απόδοση, η μερισματική απόδοση έχει πολύ χαμηλή μεταβλητότητα. 54

55 Συστατικά της απόδοσης του S&P % 40.0% 0.0% 0.0% -0.0% % -60.0% Μερισματική απόδοση Ολική απόδοση Κεφαλαιακή απόδοση P D P D Γράφοντας την απόδοση ως R και παίρνοντας P P P λογαρίθμους, έχουμε r Δp d p k ρ Όπου Δp είναι η ποσοστιαία μεταβολή της τιμής κεφαλαιακή απόδοση και ρ d p είναι μια προσέγγιση της μερισματικής απόδοσης. Ο παρακάτω πίνακας δείχνει τα στατιστικά χαρακτηριστικά των αποδόσεων. Η μέση μερισματική απόδοση είναι 60% της συνολικής απόδοσης και έχει την χαμηλότερη τυπική απόκλιση. Η μερισματική απόδοση είναι το κομμάτι της απόδοσης με το χαμηλότερο ρίσκο για τους επενδυτές. Κατά συνέπεια, είναι το 55

56 «πλέον προβλέψιμο» κομμάτι της απόδοσης και έχει αξία για επενδυτές που αποστρέφονται τον κίνδυνο. Ετήσιες αποδόσεις S&P Μέσος Τυπική απόκλιση Min Max Συνολική απόδοση 6.60% 9.80% -49% 44.50% Κεφαλαιακή απόδοση.60% 0% -55% 40.60% Μερισματική απόδοση 4%.40%.0% 6.90% Καθώς μπορούμε να γράψουμε την απόδοση ως r Δp ρ d p k, η μερισματική απόδοση είναι μια γραμμική συνάρτηση του λόγου μερίσματος προς τιμή. Καθώς ο λόγος μερίσματος προς τιμή έχει υψηλή αυτοσυσχέτιση, έχει προβλεπτική ικανότητα για την μερισματική απόδοση. Για παράδειγμα, αν το d-p ακολουθεί ένα αυτοπαλίνδρομο σχήμα d p φ d p ε, η αναμενόμενη απόδοση είναι E r E Δp ρ φ d p k. Κατά συνέπεια, μια παλινδρόμηση της συνολικής απόδοσης πάνω σε παρελθούσες τιμές του λόγου μερίσματος προς τιμή δείχνει προβλεπτική ικανότητα για τις αποδόσεις ακόμη και αν η μεταβολή της τιμής κεφαλαιακή απόδοση είναι μη προβλέψιμη με βάση το d- p, δηλ. E 0, επειδή έχει υψηλή συσχέτιση με την μερισματική απόδοση. Δ p Η στενή συσχέτιση της μερισματικής απόδοσης με το D/P φαίνεται καθαρά στο παρακάτω διάγραμμα. 56