Το υδρογράφηµα και τα χαρακτηριστικά του

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Το υδρογράφηµα και τα χαρακτηριστικά του"

Transcript

1 Το υδρογράφηµα απορροής Το διάγραµµα της παροχής σαν συνάρτηση του χρόνου σε ένα ορισµένο σηµείο της κοίτης ενός υδατορρεύµατος [Q = Q(t)] καλείται υδρογράφηµα και έχει τα γενικά χαρακτηριστικά που φαίνονται στο ακόλουθο σχήµα: Το υδρογράφηµα και τα χαρακτηριστικά του Το νερό που ρέει στα υδατορρεύµατα, προέρχεται από πηγές που έχουν σχετικά σταθερή παροχή στην διάρκεια του χρόνου (υπόγεια ή βασική ροή) και από την άµεση απορροή που οφείλεται στην βροχή. Εάν έχουµε µια περίοδο χωρίς βροχή, η παροχή είναι σχετικά σταθερή, αυξάνει όµως απότοµα µετά από έντονες βροχοπτώσεις ή καταιγίδες, δηµιουργώντας πληµµυρικές αιχµές, δηλαδή µικρές χρονικές περιόδους µε απότοµη αύξηση και κατόπιν µείωση της παροχής. Οι πληµµυρικές αιχµές αντιστοιχούν σε παροχή πολλές φορές µεγαλύτερη από την βασική ροή του ποταµού και µπορούν να δηµιουργήσουν υπερχειλίσεις και πληµµύρα. Η ταχεία αυτή αυξοµείωση της παροχής, που καταγράφεται στα αντίστοιχα πληµµυρικά υδρογραφήµατα, µεταδίδεται από τα ανάντη προς τα κατάντη µε την µορφή κύµατος. Ένα πρώτο µέληµα του Πολιτικού Μηχανικού, στα πλαίσια της αντιπληµµυρικής προστασίας, είναι ο προσδιορισµός του υδρογραφήµατος που θα προκύψει από την βροχή ή την καταιγίδα σε µια περιοχή που τροφοδοτεί ένα υδατόρρευµα, την λεκάνη απορροής. Η µέγιστη παροχή αλλά και το υδρογράφηµα που προσδιορίζει το πώς θα αρχίσει να αυξάνει η παροχή, καθώς θα συγκεντρώνονται στο υδατόρρευµα όλο και µεγαλύτερες ποσότητες νερού (καµπύλη συγκεντρώσεως), σε πόσο χρόνο θα φθάσει το µέγιστο της παροχής (χρόνος συγκεντρώσεως) και τέλος µε ποιο ρυθµό θα εκτονωθεί η παροχή αυτή (καµπύλη εκτονώσεως) και σε πόσο χρόνο θα αποκατασταθεί η κανονική ροή (βασική ροή) στο υδατόρρευµα (χρόνος εκτονώσεως), εξαρτώνται τόσο από τα χαρακτηριστικά της λεκάνης απορροής (επιφάνεια, µορφή, ανάγλυφο, κλίσεις, βλάστηση κλπ), όσο και από την διάρκεια και ένταση της βροχής. Η καταγραφή σε διάγραµµα της µεταβολής της βροχής στον χρόνο [P = P(t)] ονοµάζεται υετόγραµµα. Μ.Βαφειάδης, Σηµειώσεις, «Υδρογραφήµατα», ΤΥΤΠ-ΑΠΘ, 4

2 Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΟΥ ΜΟΝΑ ΙΑΙΟΥ Υ ΡΟΓΡΑΦΗΜΑΤΟΣ Το µοναδιαίο υδρογράφηµα Η αρχή του µοναδιαίου υδρογραφήµατος πρωτοπαρουσιάσθηκε από τον SHERMAN στα 94. Σύµφωνα µε αυτή γίνεται αποδεκτό ότι µία βροχή µε σταθερή µοναδιαία ένταση επάνω σε µία λεκάνη απορροής και µε µοναδιαία διάρκεια, γεννά ένα µοναδιαίο υδρογράφηµα που είναι χαρακτηριστικό για την λεκάνη απορροής. Τα υδρογραφήµατα που προέρχονται από βροχές πολλαπλάσιας εντάσεως ή/και διάρκειας, καθώς και αυτά που προέρχονται από σύνθετες µορφές βροχής µπορούν να υπολογισθούν από το µοναδιαίο υδρογράφηµα, εφαρµόζοντας τις αρχές α) της γραµµικότητας και β) της σταθερότητας στο χρόνο. Το τι θα θεωρηθεί σαν µοναδιαία διάρκεια και ένταση της βροχής το καθορίζουµε ανάλογα µε τα δεδοµένα του συγκεκριµένου προβλήµατος, γενικά όµως προτιµούµε να ορίσουµε σαν διάρκεια την ώρα και σαν ένταση το mm/ώρα. Σε κάθε περίπτωση η διάρκεια και το ύψος του µοναδιαίου υδρογραφήµατος δεν είναι αντιστοίχως ίσα µε ώρα και m /sec, δηλαδή τις µονάδες του χρόνου και της παροχής, αλλά πολλαπλάσια τους, αφού εξαρτώνται από την έκταση και τα χαρακτηριστικά της λεκάνης απορροής P.4 Q Μοναδιαίο υδρογράφηµα Q(t) που αντιστοιχεί σε µια µοναδιαία βροχή P(t), για µια δεδοµένη λεκάνη απορροής Η θεωρία του µοναδιαίου υδρογραφήµατος είναι εφαρµογή της θεωρίας συστηµάτων στην Υδρολογία. Το σύστηµα είναι η λεκάνη απορροής που µετατρέπει την βροχή που δέχεται σε απορροή. Επειδή το µοντέλο αυτό της λεκάνης απορροής δεν περιγράφει µε λεπτοµέρεια τις διεργασίες που µετατρέπουν την βροχή (είσοδος) σε απορροή (έξοδος) το αποκαλούµε µαύρο κουτί. Το στιγµιαίο µοναδιαίο υδρογράφηµα (ΣΜΥ) Μ.Βαφειάδης, Σηµειώσεις, «Υδρογραφήµατα», ΤΥΤΠ-ΑΠΘ, 4

3 3 Ένα βήµα πιο πέρα από την έννοια του µοναδιαίου υδρογραφήµατος είναι η έννοια του στιγµιαίου µοναδιαίου υδρογραφήµατος που προκύπτει εάν η διάρκεια της µοναδιαίας βροχής που παράγει το υδρογράφηµα τείνει προς το µηδέν, τείνει δηλαδή η βροχή να µετατραπεί σε ένα παλµό Dirac (συνάρτηση δ(t), όπου δ +, µε t ). Το Μ.Υ. και τοσ.μ.υ. µπορούν να παρασταθούν µαθηµατικά από ένα συνελικτικό γινόµενο: όπου: Q(t) = P(t) * υ(t) = P(r) υ(t - r)dr (Μ.Υ.) Ο t ) = h( τ)δ(t - τ)dτ = h(t) ( (Σ.Μ.Υ.) Q(t) είναι το υδρογράφηµα απορροής P(t) είναι η βροχή που προκαλεί το υδρογράφηµα υ(t) είναι το µοναδιαίο υδρογράφηµα Ο(t) είναι ή έξοδος του συστήµατος δ(t) παλµός Dirac (είσοδος του συστήµατος) h(t) είναι το στιγµιαίο µοναδιαίο υδρογράφηµα (παλµική απόκριση του συστήµατος (λεκάνη απορροής)) Μ.Β. M.Y. t t t t Σ.Μ.Β. Σ.Μ.Υ t Θεωρία του στιγµιαίου µοναδιαίου υδρογραφήµατος και του µοναδιαίου υδρογραφήµατος. t Μ.Βαφειάδης, Σηµειώσεις, «Υδρογραφήµατα», ΤΥΤΠ-ΑΠΘ, 4

4 4 Σ.Μ.Β. Σ.Μ.Υ t t δ (Παλµός Dirac) t I Σύστηµα O Απόκριση Συστήµατος t Εφαρµογή της θεωρίας συστηµάτων στην λεκάνη απορροής (στιγµιαίο µοναδιαίο υδρογράφηµα) Σύνθετα υδρογραφήµατα Τα υδρογραφήµατα που προέρχονται από βροχές πολλαπλάσιας εντάσεως ή/και διάρκειας, καθώς και αυτά που προέρχονται από σύνθετες µορφές βροχής µπορούν να υπολογισθούν από το µοναδιαίο υδρογράφηµα, εφαρµόζοντας τις αρχές: α) της γραµµικότητας, δηλαδή διπλάσια ένταση βροχής θα δώσει διπλάσια παροχή, τριπλάσια ένταση θα δώσει τριπλάσια παροχή κοκ P P Q Q Υδρογράφηµα από βροχή διπλάσιας έντασης β) της σταθερότητας στον χρόνο, δηλαδή κάθε παράταση της διάρκειας της βροχής θα θεωρηθεί σαν µια νέα βροχή που αρχίζει όταν τελειώνει η προηγούµενη και είναι τελείως Μ.Βαφειάδης, Σηµειώσεις, «Υδρογραφήµατα», ΤΥΤΠ-ΑΠΘ, 4

5 ανεξάρτητη από αυτήν, άρα παράγει ένα δικό της υδρογράφηµα, που αρχίζει όµως όταν αρχίζει η νέα αυτή περίοδος της βροχής. Τα υδρογραφήµατα που προκύπτουν µε αυτόν τον τρόπο παρουσιάζουν αλληλεπικαλύψεις και το πραγµατικό τελικό αποτέλεσµα θα είναι το άθροισµα των τεταγµένων (δηλαδή των παροχών), των υδρογραφηµάτων P P. Q. Q Υδρογράφηµα από βροχή διπλάσιας διάρκειας Η συνηθέστερη βέβαια περίπτωση στην πραγµατικότητα είναι να έχουµε µια βροχή αρκετά µεγάλης διάρκειας µε συνεχώς µεταβαλλόµενη ένταση. Το υδρογράφηµα που θα προκύψει θα είναι ένα σύνθετο υδρογράφηµα και θα το υπολογίσουµε σύµφωνα µε τα παραπάνω, αφού χωρίσουµε την συνολική διάρκεια της βροχής σε περιόδους ίσες µε την διάρκεια της µοναδιαίας βροχής, υπολογίσουµε τα ανεξάρτητα υδρογραφήµατα για κάθε περίοδο, σύµφωνα µε τα παραπάνω, και τελικά συνθέσουµε το τελικό υδρογράφηµα, προσθέτοντας τις τεταγµένες των ανεξάρτητων υδρογραφηµάτων κατά τους ίδιους χρόνους P Q Σύνθετο υδρογράφηµα Μ.Βαφειάδης, Σηµειώσεις, «Υδρογραφήµατα», ΤΥΤΠ-ΑΠΘ, 4

6 Εφαρµογή Γνωρίζοντας το µοναδιαίο υδρογράφηµα διάρκειας µίας ώρας σε µία λεκάνη απορροής, Χρόνος (t) MY ζητείται το υδρογράφηµα απορροής που θα προκύψει από το ακόλουθο υετόγραµµα: Λύση Χρόνος (t) MY Βροχή(mm/h) 4 4 Σύνθετο υδρογράφηµα Υπολογισµός συνθέτου υδρογραφήµατος Παροχή (m 3 /sec) Χρόνος (ώρες) η ώρα βροχής η ώρα βροχής 3η ώρα βροχής 4η ώρα βροχής 5η ώρα βροχής 6η ώρα βροχής Μ.Βαφειάδης, Σηµειώσεις, «Υδρογραφήµατα», ΤΥΤΠ-ΑΠΘ, 4

7 Υπολογισµός του µοναδιαίου υδρογραφήµατος για µικρότερη διάρκεια βροχής. 7 Όταν για µια λεκάνη διατίθεται το µοναδιαίο υδρογράφηµα για µοναδιαία βροχή σχετικά µεγάλης διάρκειας και απαιτείται µοναδιαίο υδρογράφηµα για µοναδιαία βροχή µικρότερης διάρκειας, αυτό µπορεί να προσδιοριστεί µε την εφαρµογή µιας ειδικής αλλά απλής µεθόδου που ονοµάζεται «Μέθοδος της καµπύλης S». Η µέθοδος της καµπύλης S Αν υποτεθεί ότι µια βροχής µοναδιαίας έντασης αρχίζει την χρονική στιγµή και συνεχίζεται για πολύ µεγάλο χρόνο, πολλαπλάσιο της διάρκειας της µοναδιαίας βροχής t, από µια χρονική στιγµή και µετά η καµπύλη του υδρογραφήµατος απορροής θα γίνει µια ευθεία οριζόντια, παράλληλη µε τον άξονα του χρόνου. Αυτό θα συµβεί διότι δεν θα υπάρχουν πλέον φαινόµενα συγκεντρώσεως της παροχής απορροής στην λεκάνη και εφόσον η βροχή είναι σταθερή, και η απορροή θα είναι επίσης σταθερή. Η αρχή αυτού του υδρογραφήµατος µέχρι και την σταθεροποίηση της παροχής έχει την µορφή ενός πεπλατυσµένου γράµµατος S λατινικού και για τον λόγο αυτό καλείται «καµπύλη S» Σχηµατισµός της καµπύλης S Αν τώρα υποθέσουµε ότι µπορεί να υπάρξει µια «αρνητική βροχή» της ιδίας εντάσεως µε την µοναδιαία, τότε προφανώς αυτή θα δώσει µια αντίστοιχη αρνητική παροχή και ένα αντίστοιχο αρνητικό υδρογράφηµα S. Αν η «αρνητική βροχή» αρχίσει σε χρόνο τ µικρότερο από την διάρκεια της µοναδιαίας βροχής και αυτή προστεθεί στην βροχής µεγάλης διάρκειας και µοναδιαίας εντάσεως που έδωσε το υδρογράφηµα S προηγουµένως, τότε το αποτέλεσµα θα είναι µια βροχή µοναδιαίας εντάσεως και διάρκειας µικρότερης από την διάρκεια της αρχικής µοναδιαίας βροχής. Το αντίστοιχο υδρογράφηµα θα προκύψει από την πρόσθεση του αρχικού Μ.Βαφειάδης, Σηµειώσεις, «Υδρογραφήµατα», ΤΥΤΠ-ΑΠΘ, 4

8 υδρογραφήµατος µε το αρνητικό από τη ν «αρνητική βροχή» και το τελικό αποτέλεσµα θα είναι ένα υδρογράφηµα που θα αντιστοιχεί στην βροχής µοναδιαίας εντάσεως και διάρκειας µικρότερης από αυτήν της αρχικής µοναδιαίας βροχής Η καµπύλη S Μετατόπιση της καµπύλης S Στην πράξη, προκειµένου να υπολογισθεί το µοναδιαίο υδρογράφηµα για βροχή µικρότερης διάρκειας, απλά υπολογίζεται η καµπύλη S, κατά τα γνωστά, και στην συνέχεια αφαιρείται η καµπύλη S από τον εαυτό της αφού µετατοπισθεί κατά χρόνο τ, όση είναι η διάρκεια του χρόνου για την νέα µοναδιαία βροχή. Το αποτέλεσµα είναι ένα νέο υδρογράφηµα το οποίο µπορεί να γίνει µοναδιαίο και συγκρίσιµο µε το αρχικό εφόσον οι τεταγµένες του πολλαπλασιαστούν µε τον λόγο t/ τ, ώστε τα δύο υδρογραφήµατα να αντιστοιχούν στον ίδιο όγκο βροχής. Μ.Βαφειάδης, Σηµειώσεις, «Υδρογραφήµατα», ΤΥΤΠ-ΑΠΘ, 4

9 Μοναδιαίο υδρογράφηµα για µικρότερη διάρκεια που υπολογίστηκε µε την µέθοδο της καµπύλης S Υπολογισµός του ΣΜΥ µιας λεκάνης και του ΜΥ για διάρκεια τ από το ΣΜΥ Εάν για µια λεκάνη έχουµε το υδρογράφηµα S της λεκάνης, τότε µπορούµε να υπολογίσουµε το µοναδιαίο υδρογράφηµα για οποιαδήποτε διάρκεια t µικρότερη αυτής του ΜΥ. Ο υπολογισµός γίνεται, κατά τα γνωστά, αφαιρώντας από την αρχική καµπύλη S τον εαυτό της µετατοπισµένο κατά t. S S Q(MY t) = Ι t QiS Q Qi (MY t) is = i =,,..., n Ι t Εάν t τείνει προς το, τότε: Q( ΣMY) = Ι dq dt Και αντίστροφα εάν το ΣΜΥ είναι γνωστό: Q τ τ = Q( ΣMY)Ιdt Μετατροπή του ΣΜΥ σε ΜΥ διάρκειας τ Q t MY διάρκειας τ) = ( Q ΣΜΥ + Q ( t ΣΜΥ t- τ ) Μ.Βαφειάδης, Σηµειώσεις, «Υδρογραφήµατα», ΤΥΤΠ-ΑΠΘ, 4

10 Γ B Β+Γ Γ+ Μ.Υ. ( τ) A Α+Β Σ.Μ.Υ. τ τ Υπολογισµός του ΜΥ διάρκειας τ από το ΣΜΥ Μ.Βαφειάδης, Σηµειώσεις, «Υδρογραφήµατα», ΤΥΤΠ-ΑΠΘ, 4

11 Προσδιορισµός του µοναδιαίου υδρογραφήµατος Το µοναδιαίο υδρογράφηµα (ΜΥ) µιας λεκάνης είναι ένα σηµαντικό χαρακτηριστικό στοιχείο της λεκάνης και επιτρέπει τον άµεσο προσδιορισµό της απορροής για οποιαδήποτε βροχόπτωση. Πως όµως προσδιορίζεται το µοναδιαίο υδρογράφηµα; Υπάρχουν τρεις τρόποι:. Εάν έχουµε ταυτόχρονη καταγραφή της βροχής και της παροχής στην έξοδο της λεκάνης, δηλαδή ένα υετόγραµµα και το αντίστοιχο υδρογράφηµα, λύνουµε το αντίστροφο πρόβληµα και υπολογίζουµε το µοναδιαίο υδρογράφηµα.. Εκτιµούµε το µοναδιαίο υδρογράφηµα από τα γεωµορφολογικά χαρακτηριστικά της λεκάνης (ανάγλυφο, κλίσεις, υδρογραφικό δίκτυο κλπ.) 3. Με βάση τυπικά µοναδιαία υδρογραφήµατα και τον χωρισµό της λεκάνης σε υπολεκάνες. Ο πλέον αξιόπιστος τρόπος είναι προφανώς ο πρώτος, και αυτός πρέπει να εφαρµόζεται πάντα όταν βέβαια υπάρχουν διαθέσιµα τα κατάλληλα δεδοµένα από υδρολογικές µετρήσεις. Προσδιορισµός του ΜΥ από ζεύγος υετογράµµατος-υδρογραφήµατος Στην συνέχεια παρουσιάζεται η διαδικασία βήµα-βήµα για τον προσδιορισµό του ΜΥ από ένα ζεύγος υετογράµµατος-υδρογραφήµατος. Έστω το ακόλουθο υετόγραµµα και το αντίστοιχο υδρογράφηµα: Q P Σχ.7 Ζεύγος ταυτόχρονων καταγραφών της βροχής (υετόγραµµα) και της απορροής (υδρογράφηµα) ιακριτοποιούµε το υετόγραµµα και το υδρογράφηµα, δηλαδή ορίζουµε µια µοναδιάια διάρκεια του χρόνου, πχ. Την ώρα, και χωρίζουµε την συνολική διάρκεια, τόσο του υετογράµµατος, όσο και του υδρογραφήµατος σε ίσες περιόδους. Υπολογίζουµε κατόπιν Μ.Βαφειάδης, Σηµειώσεις, «Υδρογραφήµατα», ΤΥΤΠ-ΑΠΘ, 4

12 για την βροχή την µέση ένταση της στην διάρκεια κάθε χρονικής περιόδου, δηλαδή προσεγγίζουµε τη µεταβλητή ένταση µε µια ισοδύναµη σε όγκο βροχής σταθερή ένταση, στην διάρκεια µιας περιόδου κάθε φορά (Σχήµα 6.8). Q P X X 3 X 4 X 5 P P P 3 X X ιακριτοποίηση του υετογράµµατος και του αντίστοιχου υδρογραφήµατος Με την διακριτοποίηση, η συνεχής βροχή επιµερίζεται σε r περιόδους µε αντίστοιχες σταθερές εντάσεις P, P,..., P r. Το υδρογράφηµα απορροής υποδιαιρείται αντίστοιχα σε m περιόδους και οι τεταγµένες του Χ, Χ,..., Χ m- είναι γνωστές. Θεωρούµε ότι οι τεταγµένες Χ, Χ,..., Χ m- του γνωστού υδρογραφήµατος ι προέκυψαν από επαλληλία τριών υδρογραφηµάτων, που αντιστοιχούν στις τρεις περιόδους της βροχής στην οποία αντιστοιχεί, και που προέκυψαν από ένα µοναδικό µοναδιαίο υδρογράφηµα µε τεταγµένες u i. Το µοναδιαίο υδρογράφηµα θα έχει n περιόδους και n- τεταγµένες u, u,, u n όπου m = n + ( r ) (6.) Στο παράδειγµα (Σχ.6.8) r = 3 και P, P, και P 3, m = 7 και Χ, Χ,..., Χ 6, άρα n = m ( r ) = = 5 Oι τεταγµένες του µοναδιαίου υδρογραφήµατος είναι u, u, u 3, και u 4 Εάν υποθέσουµε οτι το µοναδιαίο υδρογράφηµα της λεκάνης έχει τεταγµένες u τότε το υδρογράφηµα απορροής θα αντιστοιχεί στη σύνθεση τριών υδρογραφηµάτων: Μ.Βαφειάδης, Σηµειώσεις, «Υδρογραφήµατα», ΤΥΤΠ-ΑΠΘ, 4

13 P u P u P u 3 P 3 u 3 P 3 u 4 3 Q Q P 3 u P 3 u P u P u P u 3 X X X 3 X 4 X 5 X 6 P u 4 P u Ανάλυση του σύνθετου υδρογραφήµατος σε απλά υδρογραφήµατα πολλαπλάσια του µοναδιάιου σύµφωνα µε τις αντίστοιχες εντάσεις της βροχής. Από την αντιστοιχία του τελικού υδρογραφήµατος µε την βροχή και το µοναδιαίο υδρογράφηµα (άγνωστο προς το παρόν) Προκύπτει το ακόλουθο σύστηµα εξισώσεων: P u = X P u + P u = X P 3 u + P u + P u 3 = X 3 P 3 u + P u 3 + P u 4 = X 4 P 3 u 3 + P u 4 = X 5 P 3 u 4 = X 6 Έχουµε ένα σύστηµα 6 εξισώσεων µε 4 αγνώστους τα u, u, u 3, και u 4. Το σύστηµα αυτό µπορεί να επιλυθεί µόνο κατά την έννοια των ελάχιστων τετραγωνικών σφαλµάτων (µέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων), δηλαδή επειδή δεν είναι δυνατή η ακριβής επίλυση του συστήµατος, επιδιώκεται να βρεθούν προσεγγιστικές τιµές των αγνώστων που παρουσιάζουν συνολικά τις ελάχιστες αποκλίσεις από τις πραγµατικές τιµές τους. Σε µητρωική µορφή το σύστηµα γράφεται: Pu = X Το τετραγωνικό σφάλµα στην εκτίµηση των Χ είναι: Q = ( Pu X ) ( Pu X ) Όπου µε «Τ» συµβολίζεται ο ανάστροφος ενός πίνακα ή ανύσµατος. Εάν ελαχιστοποιήσουµε αυτό το σφάλµα (παραγωγίζοντας και θέτοντας την παράγωγο ίση µε µηδέν) dq/du = = d[( Pu X ) ( Pu X )]/du Θα προκύψει το αντίστοιχο σύστηµα κανονικών εξισώσεων Μ.Βαφειάδης, Σηµειώσεις, «Υδρογραφήµατα», ΤΥΤΠ-ΑΠΘ, 4

14 P Pu = P X 4 το οποίο είναι ένα σύστηµα 4 εξισώσεων µε 4 αγνώστους και λύνεται κατά τα γνωστά ΕΦΑΡΜΟΓΗ Να προσδιοριστεί το µοναδιαίο υδρογράφηµα λεκάνης απορροής για την οποία διατίθεται το ακόλουθο ζεύγος καταγραφών βροχής και απορροής (υετόγραµµα- υδρογράφηµα): Λύση P =, P =, P 3 = X =9, X =4, X 3 =8, X 4 =7, X 5 =35, X 6 = Η βροχή διαρκεί 3 χρονικές περιόδους, ενώ η απορροή διαρκεί 7 χρονικές περιόδους. Το µοναδιαίο υδρογράφηµα που αναζητούµε θα έχει n περιόδους που θα ικανοποιούν την σχέση: m = n + (r ) ή 7 = n + (3-) και n = 5 άρα θα προσδιορίσουµε 4 τεταγµένες, τις u, u, u 3 και u 4. Γράφουµε το αντίστοιχο σύστηµα των εξισώσεων: Υπολογισµός µοναδιαίου υδρογραφήµατος από ζεύγος υετογράµµατος-υδρογραφήµατος απορροής Υετόγραµµα Υδρογράφηµα απορροής Ύψος βροχής σε mm Χρόνος σε ώρες P u = X P u + P u = X P 3 u + P u + P u 3 = X 3 P 3 u + P u 3 + P u 4 = X 4 P 3 u 3 + P u 4 = X 5 P 3 u 4 = X 6 P Pu = P X Παροχή m3/s Για να επιλύσουµε το πρόβληµα µε την βοήθεια λογιστικού φύλλου, ανοίγουµε το λογιστικό φύλλο και εισάγουµε τα δεδοµένα: Χρόνος 9 4 X= 8 3 u= u u u3 u Μ.Βαφειάδης, Σηµειώσεις, «Υδρογραφήµατα», ΤΥΤΠ-ΑΠΘ, 4

15 5 P= Στην συνέχεια υπολογίζουµε µε την σειρά τους απαραίτητους όρους ώστε να καταλήξουµε στις τιµές του µοναδιαίου υδρογραφήµατος: u= Μ.Βαφειάδης, Σηµειώσεις, «Υδρογραφήµατα», ΤΥΤΠ-ΑΠΘ, 4

16 Το τυπικό υδρογράφηµα της SCS 6 H SCS (Soil Conservation Service, ΗΠΑ) µετά από µελέτη µεγάλου αριθµού λεκανών απορροής όρισε ένα τυπικό αδιάστατο υδρογράφηµα που µπορεί να εφαρµοστεί σε οποιαδήποτε λεκάνη εάν γνωρίζουµε το εµβαδόν και τον χρόνο συγκεντρώσεως της λεκάνης. Προφανώς δεν είναι δυνατόν ένα τέτοιο υδρογράφηµα να έχει την ακρίβεια του υδρογραφήµατος που υπολογίζεται από ένα ζεύγος πραγµατικού υετογράµµατος και αντίστοιχου υδρογραφήµατος. Όµως εάν µια λεκάνη χωριστεί σε αρκετές υπολεκάνες και σε αυτές εφαρµοστεί το τυπικό υδρογράφηµα, το δε τελικό υδρογράφηµα της λεκάνης υπολογιστεί µε σύνθεση των υδρογραφηµάτων των υπολεκανών, τότε το υδρογράφηµα αυτό θα είναι απολύτως ικανοποιητικό. Τιµές του τυπικού υδρογραφήµατος της SCS. (Απλού και αθροιστικού) Μ.Βαφειάδης, Σηµειώσεις, «Υδρογραφήµατα», ΤΥΤΠ-ΑΠΘ, 4

17 ιάγραµµα του τυπικού υδρογραφήµατος της SCS. (Απλού και αθροιστικού) Μ.Βαφειάδης, Σηµειώσεις, «Υδρογραφήµατα», ΤΥΤΠ-ΑΠΘ, 4

18 Εκτίµηση του µοναδιαίου υδρογραφήµατος µιας λεκάνης απορροής µε την µέθοδο των ισοχρόνων. 8 Ισόχρονες καµπύλες είναι οι καµπύλες που προσδιορίζουν σηµεία της λεκάνης από τα οποία το νερό της βροχής φθάνει στην έξοδο της λεκάνης στον ίδιο ακριβώς χρόνο. Ο χρόνος που χρειάζεται το νερό για να φθάσει ως την έξοδο της λεκάνης εξαρτάται από την διαδροµή που θα ακολουθήσει (απόσταση), τις κλίσεις και τα χαρακτηριστικά της επιφάνειας πάνω στην οποία κινείται Λεκάνη χωρισµένη µε ισόχρονες καµπύλες σε ζώνες Εµβαδό (km ) 4 Ιστόγραµµα Χρόνου-Εµβαδών Χρόνος(ώρες) ιόδευση µέσα από ιδεατό γραµµικό ταµιευτήρα Γραµµικός ταµιευτήρας: S = K D και I D = ds / dt Η εξίσωση αποθήκευσης σε πεπερασµένη µορφή: Όπου S = K D, S = K D I + I D + D t t = S S Προκύπτει οτι: D = m I + m I + m D Όπου: Μ.Βαφειάδης, Σηµειώσεις, «Υδρογραφήµατα», ΤΥΤΠ-ΑΠΘ, 4

19 m =.5 t Κ +.5 t, m =.5 t Κ +.5 t, m Κ.5 t = Κ +.5 t 9 Επειδή όµως: Ι = Ι στην αρχή και το τέλος κάθε χρονικού διαστήµατος: όπου m = m + m D = m I + m D Παράδειγµα: Σε µία λεκάνη απορροής έχουν χαραχθεί οι ισόχρονες καµπύλες που την χωρίζουν για t= ώρα σε ζώνες και έχει υπολογισθεί το διάγραµµα χρόνου εµβαδών. Επίσης έχει εκτιµηθεί το Κ=4.5 ώρες. Ζητείται το Σ.Μ.Υ. και το µοναδιαίο υδρογράφηµα διάρκειας µιας ώρας. Λύση: Πρώτα υπολογίζονται οι συντελεστές m = m + m και m, εφόσον τα Κ και t είναι γνωστά. m =. m =. m =.8 m' = m + m =. Στην συνέχεια υπολογίζεται βήµα-βήµα το Σ.Μ.Υ. µε την ακόλουθη διαδικασία: Χρόνοι Εµβαδά M' x I x m x D Σ.Μ.Υ = D = m' x I + m x D x.8 = x.8 = Ο υπολογισµός του Σ.Μ.Υ. και του Μ.Υ. διάρκειας µιας ώρας φαίνονται στον παρακάτω πίνακα, και στο αντίστοιχο διάγραµµα: Μ.Βαφειάδης, Σηµειώσεις, «Υδρογραφήµατα», ΤΥΤΠ-ΑΠΘ, 4

20 Χρόνοι Εµβαδά m' x I x.78 M x D Σ.Μ.Υ = D = m' x I + m x D Μ.Βαφειάδης, Σηµειώσεις, «Υδρογραφήµατα», ΤΥΤΠ-ΑΠΘ, 4

21 Εµβαδά / παροχή Χρόνος Εµβαδά Σ.Μ.Υ Μ.Υ. Μ.Βαφειάδης, Σηµειώσεις, «Υδρογραφήµατα», ΤΥΤΠ-ΑΠΘ, 4

ιόδευση των πληµµυρών

ιόδευση των πληµµυρών ιόδευση των πληµµυρών Με τον όρο διόδευση εννοούµε τον υπολογισµό του πληµµυρικού υδρογραφήµατος σε µια θέση Β στα κατάντη ενός υδατορρεύµατος, όταν αυτό είναι γνωστό σε µια θέση Α στα ανάντη ή αντίστοιχα

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνική Υδρολογία (Ασκήσεις)

Τεχνική Υδρολογία (Ασκήσεις) Τμήμα Δασολογίας & Διαχείρισης Περιβάλλοντος & Φυσικών Πόρων Εργαστήριο Διευθέτησης Ορεινών Υδάτων και Διαχείρισης Κινδύνου Προπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών Τεχνική Υδρολογία (Ασκήσεις) Κεφάλαιο 5 ο : Απορροή

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνική Υδρολογία (Ασκήσεις)

Τεχνική Υδρολογία (Ασκήσεις) Τμήμα Δασολογίας & Διαχείρισης Περιβάλλοντος & Φυσικών Πόρων Εργαστήριο Διευθέτησης Ορεινών Υδάτων και Διαχείρισης Κινδύνου Προπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών Τεχνική Υδρολογία (Ασκήσεις) Κεφάλαιο 7 ο : Διόδευση

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΣΤΑΣΙΟΛΟΓΗΣΗ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΑΠΟ ΟΣΕΩΣ ΤΩΝ ΤΑΜΙΕΥΤΗΡΩΝ

ΙΑΣΤΑΣΙΟΛΟΓΗΣΗ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΑΠΟ ΟΣΕΩΣ ΤΩΝ ΤΑΜΙΕΥΤΗΡΩΝ ΙΑΣΤΑΣΙΟΛΟΓΗΣΗ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΑΠΟ ΟΣΕΩΣ ΤΩΝ ΤΑΜΙΕΥΤΗΡΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οι ταµιευτήρες είναι υδραυλικά έργα που κατασκευάζονται µε σκοπό τον έλεγχο και την ρύθµιση της παροχής των υδατορρευµάτων. Ανάλογα µε το µέγεθός

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 2 Στην έξοδο λεκάνης απορροής µετρήθηκε το παρακάτω καθαρό πληµµυρογράφηµα (έχει αφαιρεθεί η βασική ροή):

ΑΣΚΗΣΗ 2 Στην έξοδο λεκάνης απορροής µετρήθηκε το παρακάτω καθαρό πληµµυρογράφηµα (έχει αφαιρεθεί η βασική ροή): ΑΣΚΗΣΗ 1 Αρδευτικός ταµιευτήρας τροφοδοτείται κυρίως από την απορροή ποταµού που µε βάση δεδοµένα 30 ετών έχει µέση τιµή 10 m 3 /s και τυπική απόκλιση 4 m 3 /s. Ο ταµιευτήρας στην αρχή του υδρολογικού

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ-ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 30 ΛΕΠΤΑ ΜΟΝΑΔΕΣ: 3 ΚΛΕΙΣΤΑ ΒΙΒΛΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ-ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 30 ΛΕΠΤΑ ΜΟΝΑΔΕΣ: 3 ΚΛΕΙΣΤΑ ΒΙΒΛΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΜΠ Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Τεχνική Υδρολογία Διαγώνισμα επαναληπτικής εξέτασης 2012-2013 1 ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ-ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 30 ΛΕΠΤΑ ΜΟΝΑΔΕΣ: 3 ΚΛΕΙΣΤΑ ΒΙΒΛΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Θέμα 1 (μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ. Ενότητα 8:Υδρογραφήματα-ΜοναδιαίοΥδρογράφημα Συνθετικό Μοναδιαίο Υδρογράφημα. Καθ. Αθανάσιος Λουκάς

ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ. Ενότητα 8:Υδρογραφήματα-ΜοναδιαίοΥδρογράφημα Συνθετικό Μοναδιαίο Υδρογράφημα. Καθ. Αθανάσιος Λουκάς Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Ενότητα 8:Υδρογραφήματα-ΜοναδιαίοΥδρογράφημα Συνθετικό Μοναδιαίο Υδρογράφημα Καθ. Αθανάσιος Λουκάς Εργαστήριο Υδρολογίας και Ανάλυσης Υδατικών

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

Περίπου ίση µε την ελάχιστη τιµή του δείγµατος.

Περίπου ίση µε την ελάχιστη τιµή του δείγµατος. 1. Η µέση υπερετήσια τιµή δείγµατος µέσων ετήσιων παροχών Q (m3/s) που ακολουθούν κατανοµή Gauss, ξεπερνιέται κατά µέσο όρο κάθε: 1/0. = 2 έτη. 1/1 = 1 έτος. 0./1 = 0. έτος. 2. Έστω δείγµα 20 ετών µέσων

Διαβάστε περισσότερα

1. Η σπορά νεφών για τη δηµιουργία τεχνητής βροχής έχει στόχο: 2. Το κρίσιµο βήµα για τη δηµιουργία βροχής είναι:

1. Η σπορά νεφών για τη δηµιουργία τεχνητής βροχής έχει στόχο: 2. Το κρίσιµο βήµα για τη δηµιουργία βροχής είναι: 1. Η σπορά νεφών για τη δηµιουργία τεχνητής βροχής έχει στόχο: Τον τεχνητό εµπλουτισµό της ατµόσφαιρας σε υδρατµούς. Την τεχνητή µείωση της θερµοκρασίας για την ψύξη των υδρατµών. Τον τεχνητό εµπλουτισµό

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

2. Η τιµή της εκτιµήσεως της µεταβλητής στα σηµεία όπου υπάρχουν µετρήσεις να είναι η ίδια µε τη

2. Η τιµή της εκτιµήσεως της µεταβλητής στα σηµεία όπου υπάρχουν µετρήσεις να είναι η ίδια µε τη ΜΕΘΟ ΟΙ ΧΩΡΙΚΗΣ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ, ΒΕΛΤΙΣΤΗ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΠΡΟΧΩΡΗΜΕΝΕΣ ΓΕΩΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ Η παρεµβολή στο χώρο αποτελεί ένα σηµαντικό αντικείµενο µελέτης στη χαρτογραφία και σε όσους τοµείς της επιστήµης είναι

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνική Υδρολογία (Ασκήσεις)

Τεχνική Υδρολογία (Ασκήσεις) Τμήμα Δασολογίας & Διαχείρισης Περιβάλλοντος & Φυσικών Πόρων Εργαστήριο Διευθέτησης Ορεινών Υδάτων και Διαχείρισης Κινδύνου Προπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών Τεχνική Υδρολογία (Ασκήσεις) Κεφάλαιο 1 ο : Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνική Υδρολογία (Ασκήσεις)

Τεχνική Υδρολογία (Ασκήσεις) Τμήμα Δασολογίας & Διαχείρισης Περιβάλλοντος & Φυσικών Πόρων Εργαστήριο Διευθέτησης Ορεινών Υδάτων και Διαχείρισης Κινδύνου Προπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών Τεχνική Υδρολογία (Ασκήσεις) Κεφάλαιο 2 ο : Κατακρημνίσματα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M3. Διανύσµατα

Κεφάλαιο M3. Διανύσµατα Κεφάλαιο M3 Διανύσµατα Διανύσµατα Διανυσµατικά µεγέθη Φυσικά µεγέθη που έχουν τόσο αριθµητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούµε µε τις µαθηµατικές πράξεις των

Διαβάστε περισσότερα

, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες.

, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες. Στην περίπτωση της ταλάντωσης µε κρίσιµη απόσβεση οι δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις εκφυλίζονται (καταλήγουν να ταυτίζονται) Στην περιοχή ασθενούς απόσβεσης ( ) δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΜΠ Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Τεχνική Υδρολογία Διαγώνισμα κανονικής εξέτασης

ΕΜΠ Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Τεχνική Υδρολογία Διαγώνισμα κανονικής εξέτασης ΕΜΠ Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Τεχνική Υδρολογία Διαγώνισμα κανονικής εξέτασης 2011-2012 1 ΠΡΩΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ-ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 30 ΛΕΠΤΑ ΜΟΝΑΔΕΣ: 3 ΚΛΕΙΣΤΑ ΒΙΒΛΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΑΡΑΛΛΑΓΗ Α Θέμα 1 (μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Η πλέον γνωστή και περισσότερο χρησιµοποιηµένη µέθοδος για την επίλυση ενός γενικού προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού, είναι η µέθοδος Simplex η οποία αναπτύχθηκε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ ΣΤΑΘΜΟΣ ΚΑΤΑΚΡΗΜΝΙΣΕΙΣ ΕΞΑΤΜΙΣΗ. Μ 1 450 mm 150 mm. Μ 2 560 mm 190 mm. Μ 3 480 mm 165 mm. Μ 4 610 mm 173 mm.

ΑΣΚΗΣΗ ΣΤΑΘΜΟΣ ΚΑΤΑΚΡΗΜΝΙΣΕΙΣ ΕΞΑΤΜΙΣΗ. Μ 1 450 mm 150 mm. Μ 2 560 mm 190 mm. Μ 3 480 mm 165 mm. Μ 4 610 mm 173 mm. Στην περιοχή που φαίνεται στον χάρτη υπάρχουν πέντε µετεωρολογικοί σταθµοί. Ποίος είναι ο µέσος ισοδύναµος όγκος νερού µε τον οποίο τροφοδοτείται ο υπόγειος υδροφορέας από την κατείσδυση στην περιοχή αυτή

Διαβάστε περισσότερα

Φυσικοί και Περιβαλλοντικοί Κίνδυνοι (Εργαστήριο) Ενότητα 7 Πλημμύρες πλημμυρικές απορροές ρ. Θεοχάρης Μενέλαος

Φυσικοί και Περιβαλλοντικοί Κίνδυνοι (Εργαστήριο) Ενότητα 7 Πλημμύρες πλημμυρικές απορροές ρ. Θεοχάρης Μενέλαος Φυσικοί και Περιβαλλοντικοί Κίνδυνοι (Εργαστήριο) Ενότητα 7 Πλημμύρες πλημμυρικές απορροές ρ. Θεοχάρης Μενέλαος 3.4 Πλημμυρικές απορροές Πλημμυρικές απορροές θεωρούνται οι απορροές που ακολουθούν κάποια

Διαβάστε περισσότερα

ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ ΦΥΣΙΚΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Κεφάλαιο 11ο: Πλημμυρικές Απορροές

ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ ΦΥΣΙΚΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Κεφάλαιο 11ο: Πλημμυρικές Απορροές Τμήμα Δασολογίας & Διαχείρισης Περιβάλλοντος & Φυσικών Πόρων Εργαστήριο Διευθέτησης Ορεινών Υδάτων και Διαχείρισης Κινδύνου Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ ΦΥΣΙΚΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Κεφάλαιο 11ο:

Διαβάστε περισσότερα

Κ ε φ. 1 Κ Ι Ν Η Σ Ε Ι Σ

Κ ε φ. 1 Κ Ι Ν Η Σ Ε Ι Σ Κ ε φ. 1 Κ Ι Ν Η Σ Ε Ι Σ Χρήσιμες έννοιες Κίνηση (σχετική κίνηση) ενός αντικειμένου λέγεται η αλλαγή της θέσης του ως προς κάποιο σύστημα αναφοράς. Τροχιά σώματος ονομάζουμε τη νοητή γραμμή που δημιουργεί

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Μ. Τρίτη 3 Απριλίου 3 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Σχολικό βιβλίο,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ http://www.economics.edu.gr 1 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ ( τρόποι επίλυσης παρατηρήσεις σχόλια ) ΑΣΚΗΣΗ 1 Έστω ο πίνακας παραγωγικών δυνατοτήτων µιας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Κίνηση σε µία διάσταση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 2 Κίνηση σε µία διάσταση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο Κίνηση σε µία διάσταση Copyright 9 Pearson Education, Inc. Περιεχόµενα Κεφαλαίου Συστήµατα Αναφοράς και µετατόπιση Μέση Ταχύτητα Στιγµιαία Ταχύτητα Επιτάχυνση Κίνηση µε σταθερή επιτάχυνση Προβλήµατα

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων 57 Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων Έστω F : D R R µια ( τουλάχιστον ) C συνάρτηση ορισµένη στο ανοικτό D x, y D F x, y = Ενδιαφερόµαστε για την ύπαρξη µοναδικής και ώστε διαφορίσιµης συνάρτησης f ορισµένης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 Ηµεροµηνία αποστολής στον φοιτητή: 9 Φεβρουαρίου 5. Τελική ηµεροµηνία αποστολής από τον φοιτητή: Μαρτίου 5.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 015 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση... Error! Bookmark not deined. Σκοποί Μαθήματος (Επικεφαλίδα

Διαβάστε περισσότερα

στατιστική θεωρεία της δειγµατοληψίας

στατιστική θεωρεία της δειγµατοληψίας στατιστική θεωρεία της δειγµατοληψίας ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ : Εισαγωγή δειγµατοληψία Τα στοιχεία που απαιτούνται τόσο για την ανάλυση των µεταφορικών συστηµάτων και όσο και για την ανάπτυξη των συγκοινωνιακών µοντέλων

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος και αποκατάσταση συνέπειας χρονοσειρών βροχόπτωσης Παράδειγµα Η ετήσια βροχόπτωση του σταθµού Κάτω Ζαχλωρού Χ και η αντίστοιχη βροχόπτωση του γειτονικού του σταθµού Τσιβλός Υ δίνονται στον Πίνακα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΔΠΜΣ Επιστήμη & Τεχνολογία Υδατικών Πόρων Κατάρτιση Μεθοδολογικού Πλαισίου για την Εκπόνηση Χαρτών Πλημμύρας Παρουσίαση: Αλέξανδρος Θ. Γκιόκας Πολ. Μηχανικός ΕΜΠ e-mail: al.gkiokas@gmail.com

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 Ο αλγόριθµος Gauss Eστω =,3,, µε τον όρο γραµµικά συστήµατα, εννοούµε συστήµατα εξισώσεων µε αγνώστους της µορφής: a x + + a x = b a x + + a x = b a

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Β Α Λ Α Τ Σ Ο Σ. 4ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΛΑΜΙΑΣ 1. Γιώργος Βαλατσός Φυσικός Msc

Γ. Β Α Λ Α Τ Σ Ο Σ. 4ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΛΑΜΙΑΣ 1. Γιώργος Βαλατσός Φυσικός Msc 4ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΛΑΜΙΑΣ 1 1. Πότε τα σώματα θεωρούνται υλικά σημεία; Αναφέρεται παραδείγματα. Στη φυσική πολλές φορές είναι απαραίτητο να μελετήσουμε τα σώματα χωρίς να λάβουμε υπόψη τις διαστάσεις τους. Αυτό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Εκτίμηση της διακύμανσης της παροχής αιχμής σε λεκάνες της Πελοποννήσου με συγκριτική αξιολόγηση δύο διαδεδομένων

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Π.Σ.Α.Π.Θ. ΤΟΜΕΑΣ Υ ΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΙΚΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑ Υ ΡΟΛΟΓΙΑΣ 7ου εξαµήνου Αν.Καθηγητής Μ.

ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Π.Σ.Α.Π.Θ. ΤΟΜΕΑΣ Υ ΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΙΚΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑ Υ ΡΟΛΟΓΙΑΣ 7ου εξαµήνου Αν.Καθηγητής Μ. ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Π.Σ.Α.Π.Θ. ΤΟΜΕΑΣ Υ ΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΙΚΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑ Υ ΡΟΛΟΓΙΑΣ 7ου εξαµήνου Αν.Καθηγητής Μ.Βαφειάδης Ασκηση: ΙΟ ΕΥΣΗ ΠΛΗΜΜΥΡΑΣ ΣΕ ΤΑΜΙΕΥΤΗΡΑ (Από την Υδρολογία, Wilson)

Διαβάστε περισσότερα

2.4 ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

2.4 ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ . ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ. Κλασµατική εξίσωση : Ονοµάζουµε κλασµατική εξίσωση κάθε εξίσωση η οποία έχει τον άγνωστο σ έναν τουλάχιστον παρονοµαστή. ΣΧΟΛΙΟ ιαδικασία επίλυσης : i) Αναλύουµε τους παρονοµαστές

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ ΠΛΗΜΜΥΡΕΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΠΛΗΜΜΥΡΙΚΑ ΕΡΓΑ

ΜΑΘΗΜΑ ΠΛΗΜΜΥΡΕΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΠΛΗΜΜΥΡΙΚΑ ΕΡΓΑ ΜΑΘΗΜΑ ΠΛΗΜΜΥΡΕΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΠΛΗΜΜΥΡΙΚΑ ΕΡΓΑ Μελέτη χαρτογράφησης πληµµύρας (flood mapping) µε χρήση του υδραυλικού µοντέλου HEC RAS Εργαστήριο Υδρολογίας και Αξιοποίησης Υδατικών Πόρων Μάϊος 2006 1 Εκτίµηση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗΣ. = t. (1) 2 επειδή Δx 1 = Δx 2 = Δ xoλ / 2 Επειδή Δx 1 = u 1 t 1, από την

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗΣ. = t. (1) 2 επειδή Δx 1 = Δx 2 = Δ xoλ / 2 Επειδή Δx 1 = u 1 t 1, από την 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗΣ 1) Δίνεται η διπλανή γραφική παράσταση της ταχύτητας με το χρόνο. Να γίνει το διάγραμμα (θέσης χρόνου ), αν όταν o= είναι o =. Υπόδειξη Βρείτε τα εμβαδά μεταξύ της γραφικής παράστασης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ

ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ Ενότητα: Αναγνώριση Διεργασίας - Προσαρμοστικός Έλεγχος (Process Identification) Αλαφοδήμος Κωνσταντίνος

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΤΕΣ ΦΥΣΙΚΗ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2013-2014 ΔΕΥΤΕΡΑ 12-15 ΑΙΘ.ΖΑ115-116

ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΤΕΣ ΦΥΣΙΚΗ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2013-2014 ΔΕΥΤΕΡΑ 12-15 ΑΙΘ.ΖΑ115-116 ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΤΕΣ ΦΥΣΙΚΗ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2013-2014 ΔΕΥΤΕΡΑ 12-15 ΑΙΘ.ΖΑ115-116 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ Ορισμός παραγώγου συνάρτησης σε σημείο Μια συνάρτηση f (X) λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο του

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ 6. Βέλτιστες προσεγγίσεις σε ευκλείδειους χώρους Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε προσεγγίσεις που ελαχιστοποιούν αποστάσεις σε διανυσµατικούς χώρους, µε νόρµα που προέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό.

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Η ταχύτητα (υ), είναι το πηλίκο της μετατόπισης (Δx)

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Ιαν. 9 Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Είδαµε στο κεφάλαιο της παρεµβολής συναρτήσεων πώς να προσεγγίζουµε µια (συνεχή) συνάρτηση f από ένα πολυώνυµο, όταν γνωρίζουµε + σηµεία του γραφήµατος της συνάρτησης:

Διαβάστε περισσότερα

ΥΔΡΟΛΟΓΙΚΕΣ ΑΠΩΛΕΙΕΣ ΣΤΟ ΕΔΑΦΟΣ

ΥΔΡΟΛΟΓΙΚΕΣ ΑΠΩΛΕΙΕΣ ΣΤΟ ΕΔΑΦΟΣ ΥΔΡΟΛΟΓΙΚΕΣ ΑΠΩΛΕΙΕΣ ΣΤΟ ΕΔΑΦΟΣ Το νερό των κατακρημνισμάτων ακολουθεί διάφορες διαδρομές στη πορεία του προς την επιφάνεια της γης. Αρχικά συναντά επιφάνειες που αναχαιτίζουν την πορεία του όπως είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΠΕΤΡΕΛΑΙΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Μελέτες Περίπτωσης

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΠΕΤΡΕΛΑΙΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Μελέτες Περίπτωσης ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΠΕΤΡΕΛΑΙΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Μελέτες Περίπτωσης Μελέτη Περίπτωσης - Εφαρµογή Μεθόδου Buckley-Leverett στη ευτερογενή Παραγωγή Πετρέλαιο εκτοπίζεται από νερό σε µια παραγωγική ζώνη η οποία είναι οριζόντια.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις

Κεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις Κεφάλαιο M4 Κίνηση σε δύο διαστάσεις Κινηµατική σε δύο διαστάσεις Θα περιγράψουµε τη διανυσµατική φύση της θέσης, της ταχύτητας, και της επιτάχυνσης µε περισσότερες λεπτοµέρειες. Θα µελετήσουµε την κίνηση

Διαβάστε περισσότερα

. Κουζούδης 1 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ

. Κουζούδης 1 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 1 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ Ποια είναι η χρήση των παραγώγων στην Φυσική και τι ακριβώς είναι; Ένα παράδειγµα θα µας διαφωτίσει. Έστω ότι ένα αυτοκίνητο βρίσκεται την χρονική στιγµή t = 0 s στο σηµείο x = 0 m και κινείται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 1 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 014 ΘΕΜΑ Α.1 Α1. Να χαρακτηρίσετε με (Σ) τις σωστές και με (Λ) τις λανθασμένες προτάσεις Στην ευθύγραμμα ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση: Α. Η ταχύτητα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ Υ ΡΟΛΟΓΙΑ. Εισαγωγή στην Υδρολογία (1η Άσκηση)

ΤΕΧΝΙΚΗ Υ ΡΟΛΟΓΙΑ. Εισαγωγή στην Υδρολογία (1η Άσκηση) ΤΕΧΝΙΚΗ Υ ΡΟΛΟΓΙΑ Εισαγωγή στην Υδρολογία (1η Άσκηση) Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Εργαστήριο Υδρολογίας και Αξιοποίησης Υδατικών Πόρων ιάρθρωση του µαθήµατος Εισαγωγή στην Υδρολογία

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 =

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 = ΕΞΙΩΕΙ-ΑΝΙΩΕΙ ου ΒΑΘΜΟΥ - 38 - ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ο Εξισώσεις - Ανισώσεις β βαθµού 5.1. Μορφή και διερεύνηση της εξίσωσης β βαθµού Άθροισµα και γινόµενο των ριζών της Κάθε εξίσωση β βαθµού πριν τη λύσουµε,

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Μοναδιαίο Υδρογράφημα (Unit Hydrograph)

Μοναδιαίο Υδρογράφημα (Unit Hydrograph) Μοναδιαίο Υδρογράφημα (Uni Hydrograh) Το μοναδιαίο υδρογράφημα είναι μια κωδικοποίηση της δυναμικής μιας λεκάνης απορροής θεωρώντας τη ως ένα αυτόνομο γραμμικό σύστημα. Αυτό σημαίνει τα εξής: Υποθέτουμε

Διαβάστε περισσότερα

Πλημμύρες Υδρολογικές εφαρμογές με τη χρήση GIS

Πλημμύρες Υδρολογικές εφαρμογές με τη χρήση GIS Πλημμύρες Υδρολογικές εφαρμογές με τη χρήση GIS Νίκος Μαμάσης Εργαστήριο Υδρολογίας και Αξιοποίησης Υδατικών Πόρων Αθήνα 2014 Υδρολογικές εφαρμογές με τη χρήση GIS Γενικά Η τεχνολογία των Συστημάτων Γεωγραφικής

Διαβάστε περισσότερα

Σύνολα. 1) Με αναγραφή των στοιχείων π.χ. 2) Με περιγραφή των στοιχείων π.χ.

Σύνολα. 1) Με αναγραφή των στοιχείων π.χ. 2) Με περιγραφή των στοιχείων π.χ. Σύνολα Ορισµός συνόλου (κατά Cantor): Σύνολο είναι κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχεται από το µυαλό µας ή την εµπειρία µας, είναι καλά ορισµένο και τα αντικείµενα ξεχωρίζουν το ένα από το άλλο, δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

7.Αριθμητική παράσταση καλείται σειρά αριθμών που συνδέονται με πράξεις μεταξύ τους. Το αποτέλεσμα της αριθμητικής παράστασης ονομάζεται τιμή της.

7.Αριθμητική παράσταση καλείται σειρά αριθμών που συνδέονται με πράξεις μεταξύ τους. Το αποτέλεσμα της αριθμητικής παράστασης ονομάζεται τιμή της. ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Α.1.2 1. Οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών αριθμών είναι οι εξής : Αντιμεταθετική ιδιότητα π.χ. α+β=β+α Προσετεριστική ιδιότητα π.χ. α+β+γ=(α+β)+γ=α+(β+γ) 2.Η πραξη της αφαίρεσης

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Λογάριθµοι ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Λογάριθµοι ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ Παραθέτουµε αρχικά τις βασικές ιδιότητες των δυνάµεων µε βάση έ- ναν θετικό πραγµατικό αριθµό και εκθέτη έναν ρητό αριθµό. α x.α y = α x+y (α.β) x = α x.β x α x :α

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ( , c Ε. Γαλλόπουλος) ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. Ε. Γαλλόπουλος. ΤΜΗΥΠ Πανεπιστήµιο Πατρών. ιαφάνειες διαλέξεων 28/2/12

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ( , c Ε. Γαλλόπουλος) ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. Ε. Γαλλόπουλος. ΤΜΗΥΠ Πανεπιστήµιο Πατρών. ιαφάνειες διαλέξεων 28/2/12 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ε. Γαλλόπουλος ΤΜΗΥΠ Πανεπιστήµιο Πατρών ιαφάνειες διαλέξεων 28/2/12 Μαθηµατική Οµάδα Οµάδα είναι ένα σύνολο F µαζί µε µία πράξη + : F F F έτσι ώστε (Α1) α + (β + γ) = (α + β) + γ για

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε

Κεφάλαιο 2. Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε Κεφάλαιο Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε. Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων διαφορών είναι από τις παλαιότερες και πλέον συνηθισµένες και διαδεδοµένες υπολογιστικές τεχνικές

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ 20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα: Διευθετήσεις Χειμάρρων

Μάθημα: Διευθετήσεις Χειμάρρων ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Δασολογίας και Διαχείρισης Περιβάλλοντος και Φυσικών Πόρων Εργαστήριο Διευθέτησης Ορεινών Υδάτων και Διαχείρισης Κινδύνου Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών: Κατεύθυνση

Διαβάστε περισσότερα

Α. Ροπή δύναµης ως προς άξονα περιστροφής

Α. Ροπή δύναµης ως προς άξονα περιστροφής Μηχανική στερεού σώµατος, Ροπή ΡΟΠΗ ΔΥΝΑΜΗΣ Α. Ροπή δύναµης ως προς άξονα περιστροφής Έστω ένα στερεό που δέχεται στο άκρο F Α δύναµη F όπως στο σχήµα. Στο Ο διέρχεται άξονας περιστροφής κάθετος στο στερεό

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα Α: Γραμμικά Συστήματα Όνομα Καθηγητή: Ραγκούση Μαρία Τμήμα: Ηλεκτρονικών Μηχανικών Τ.Ε. Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Οι ιδιότητες και οι µέθοδοι επίλυσης διαφορικών εξισώσεων παρουσιάζονται σε µία σειρά εγχειριδίων µαθηµατικών

Οι ιδιότητες και οι µέθοδοι επίλυσης διαφορικών εξισώσεων παρουσιάζονται σε µία σειρά εγχειριδίων µαθηµατικών Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 2015 Μαθηµατικό Παράρτηµα 1 Διαφορικές Εξισώσεις Στο µαθηµατικό αυτό παράρτηµα ορίζουµε και αναλύουµε την επίλυση απλών συστηµάτων γραµµικών διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ

ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Άξονας Έστω η ευθεία x x (σχ. 21) και τα σηµεία Ο, Ι πάνω σ αυτή, ώστε ΟΙ= i όπου i το µοναδιαίο διάνυσµα, δηλαδή ένα διάνυσµα που θεωρούµε ότι η φορά του είναι θετική και το µέτρο

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων

Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Καθηγητής κ. Σ. Νατσιάβας Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων Στοιχεία Φοιτητή Ονοματεπώνυμο: Νατσάκης Αναστάσιος Αριθμός Ειδικού Μητρώου:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

Α5. Όταν η ζήτηση για ένα αγαθό είναι ελαστική, τότε πιθανή αύξηση της τιµής του, θα οδηγήσει σε µείωση της καταναλωτικής δαπάνης για αυτό το αγαθό

Α5. Όταν η ζήτηση για ένα αγαθό είναι ελαστική, τότε πιθανή αύξηση της τιµής του, θα οδηγήσει σε µείωση της καταναλωτικής δαπάνης για αυτό το αγαθό ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΕΩΝ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 (για άριστα διαβασµένους) ΟΜΑ Α Α Να απαντήσετε στις επόµενες ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής A1. Σε γραµµική ΚΠ της µορφής Y =

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών διαφορικών εξισώσεων

Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών διαφορικών εξισώσεων Κεφάλαιο 6 Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών παραβολικών διαφορικών εξισώσεων 6.1 Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων όγκων είναι µία ευρέως διαδεδοµένη υπολογιστική µέθοδος επίλυσης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 4 o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Σ 0. Σ 9. Λ. Λ. Σ 40. Σ. Σ. Σ 4. Λ 4. Λ. Σ 4. Σ 5. Σ 4. Σ 4. Λ 6. Σ 5. Λ 44.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ. Εστω f πραγµατική συνάρτηση, της οποίας είναι γνωστές µόνον οι τιµές f(x i ) σε n+1 σηµεία xi

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ. Εστω f πραγµατική συνάρτηση, της οποίας είναι γνωστές µόνον οι τιµές f(x i ) σε n+1 σηµεία xi ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ 5 Πολυωνυµική παρεµβολή Εστω f πραγµατική συνάρτηση της οποίας είναι γνωστές µόνον οι τιµές f(x ) σε + σηµεία x = του πεδίου ορισµού της Το πρόβληµα εύρεσης µιας συνάρτησης φ (από

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων Κεφάλαιο 3 Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων 31 Εισαγωγή Αριθµητική λύση γενικών γραµµικών συστηµάτων n n A n n x n 1 b n 1, όπου a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A [a i j, x a n1 a n2 a nn x n, b b 1 b 2 b n

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα. ΔΙΑΛΕΞΗ 03 Νόμοι κίνησης του Νεύτωνα

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα. ΔΙΑΛΕΞΗ 03 Νόμοι κίνησης του Νεύτωνα Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα ΔΙΑΛΕΞΗ 03 Νόμοι κίνησης του Νεύτωνα ΦΥΣ102 1 Δύναμη είναι: Η αιτία που προκαλεί μεταβολή

Διαβάστε περισσότερα

x=l ηλαδή η ενέργεια είναι µία συνάρτηση της συνάρτησης . Στα µαθηµατικά, η συνάρτηση µίας συνάρτησης ονοµάζεται συναρτησιακό (functional).

x=l ηλαδή η ενέργεια είναι µία συνάρτηση της συνάρτησης . Στα µαθηµατικά, η συνάρτηση µίας συνάρτησης ονοµάζεται συναρτησιακό (functional). 3. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΥΣ Η Μέθοδος των Πεπερασµένων Στοιχείων Σηµειώσεις 3. Ενεργειακή θεώρηση σε συνεχή συστήµατα Έστω η δοκός του σχήµατος, µε τις αντίστοιχες φορτίσεις. + = p() EA = Q Σχήµα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ολοκλήρωση

Αριθµητική Ολοκλήρωση Κεφάλαιο 5 Αριθµητική Ολοκλήρωση 5. Εισαγωγή Για τη συντριπτική πλειοψηφία των συναρτήσεων f (x) δεν υπάρχουν ή είναι πολύ δύσχρηστοι οι τύποι της αντιπαραγώγου της f (x), δηλαδή της F(x) η οποία ικανοποιεί

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ. Εκπαιδευτικό υλικό. Τρόπος βαθµολόγησης. http://www.pi-schools.gr/lessons/physics/ Βαθµολογία Φυσικά.

ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ. Εκπαιδευτικό υλικό. Τρόπος βαθµολόγησης. http://www.pi-schools.gr/lessons/physics/ Βαθµολογία Φυσικά. ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Να έχετε: Τετράδιο εργαστηρίου (Physics book) File για φυλλάδια Απλό υπολογιστή (calculator) Οι σηµειώσεις του µαθήµατος βρίσκονται στην προσωπική µου ιστοσελίδα:http://www.pantelis.net

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Γραµµική Άλγεβρα Εισαγωγικά Υπάρχουν δύο βασικά αριθµητικά προβλήµατα στη Γραµµική Άλγεβρα. Το πρώτο είναι η λύση γραµµικών συστηµάτων Aλγεβρικών εξισώσεων και το δεύτερο είναι η εύρεση των ιδιοτιµών και

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com 1 1.1 Ευθύγραμμη κίνηση 1. Να αναφέρετε ποια από τα σώματα που φαίνονται στην εικόνα κινούνται. Α. Ως προς τη Γη B. Ως προς το αυτοκίνητο. Α. Ως προς τη Γη κινούνται το αυτοκίνητο, το αεροπλάνο και ο γλάρος.

Διαβάστε περισσότερα

α) Η γενική εξίσωση του αρµονικού κύµατος είναι. Συγκρίνοντάς την µε µία από τις δύο εξισώσεις των τρεχόντων κυµάτων, έστω την εξίσωση

α) Η γενική εξίσωση του αρµονικού κύµατος είναι. Συγκρίνοντάς την µε µία από τις δύο εξισώσεις των τρεχόντων κυµάτων, έστω την εξίσωση Λύση ΑΣΚΗΣΗ 1 α) Η γενική εξίσωση του αρµονικού κύµατος είναι. Συγκρίνοντάς την µε µία από τις δύο εξισώσεις των τρεχόντων κυµάτων, έστω την εξίσωση, προκύπτει: και Με αντικατάσταση στη θεµελιώδη εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

1. ** α) Αν η f είναι δυο φορές παραγωγίσιµη συνάρτηση, να αποδείξετε ότι. β α. = [f (x) ηµx] - [f (x) συνx] β α. ( )

1. ** α) Αν η f είναι δυο φορές παραγωγίσιµη συνάρτηση, να αποδείξετε ότι. β α. = [f (x) ηµx] - [f (x) συνx] β α. ( ) Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** α) Αν η f είναι δυο φορές παραγωγίσιµη συνάρτηση, να αποδείξετε ότι β ( f () f () ) + α ηµ d β α = [f () ηµ] - [f () συν] β α. ( ) β) Αν f () = ηµ, να αποδείξετε ότι f () + f ()

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 1 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 ΘΕΜΑ Α.1 Α1. Να χαρακτηρίσετε με (Σ) τις σωστές και με (Λ) τις λανθασμένες προτάσεις Στην ευθύγραμμα ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση: Α. Η ταχύτητα

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΑ ΠΛΑΙΣΙΑ ΜΕ ΣΥΝΔΕΣΜΟΥΣ Υπολογισμός αντιδράσεων και κατασκευή Μ,Ν, Q Γραμμές επιρροής. Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας

ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΑ ΠΛΑΙΣΙΑ ΜΕ ΣΥΝΔΕΣΜΟΥΣ Υπολογισμός αντιδράσεων και κατασκευή Μ,Ν, Q Γραμμές επιρροής. Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΑ ΠΛΑΙΣΙΑ ΜΕ ΣΥΝΔΕΣΜΟΥΣ Υπολογισμός αντιδράσεων και κατασκευή Μ,Ν, Q Γραμμές επιρροής Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας Ισοστατικά πλαίσια με συνδέσμους (α) (β) Στατική επίλυση ισοστατικών πλαισίων

Διαβάστε περισσότερα

1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α. ΜΟΝΑΔΕΣ Β. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΩΝ ΚΡΕΜΑΣΤΑΣ ΙΩΑΝΝΗΣ

1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α. ΜΟΝΑΔΕΣ Β. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΩΝ ΚΡΕΜΑΣΤΑΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΜΟΝΑΔΕΣ Β. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΩΝ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ- ΘΕΩΡΙΑ Μετατόπιση (Δx): Είναι η διαφορά μεταξύ της αρχικής και της τελικής θέσης ενός σώματος και έχει μονάδες τα μέτρα (m).

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΥΤΕΡΟ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΥΤΕΡΟ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΥΤΕΡΟ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ 1. Τι εννοούµε λέγοντας θερµοδυναµικό σύστηµα; Είναι ένα κοµµάτι ύλης που αποµονώνουµε νοητά από το περιβάλλον. Περιβάλλον του συστήµατος είναι το σύνολο των

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις. Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές

Δυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις. Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές Δυναμική Μηχανών I Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις 5 3 Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com

Διαβάστε περισσότερα

Στροβιλισµός πεδίου δυνάµεων

Στροβιλισµός πεδίου δυνάµεων Στροβιλισµός πεδίου δυνάµεων Θεωρείστε ένα απειροστό απλό χωρίο στο χώρο τόσο µικρό ώστε να µπορεί να θεωρηθεί ότι βρίσκεται σε ένα επίπεδο Έστω ότι το χωρίο αυτό περικλείει εµβαδόν µέτρου Το έργο που

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα : Έστω ότι θέλουµε να παραστήσουµε γραφικά την εξίσωση 6χ-ψ=3. Λύση 6χ-ψ=3 ψ=6χ-3. Άρα η εξίσωση παριστάνει ευθεία. Για να τη χαράξουµε

Παραδείγµατα : Έστω ότι θέλουµε να παραστήσουµε γραφικά την εξίσωση 6χ-ψ=3. Λύση 6χ-ψ=3 ψ=6χ-3. Άρα η εξίσωση παριστάνει ευθεία. Για να τη χαράξουµε Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης ΣΣΤΗΜΤ ΜΜΩΝ ΞΣΩΣΩΝ Μ ΝΩΣΤΣ ΣΩΣ ΝΝΣ ρισµός: Μια εξίσωση της µορφής αχ+βψ=γ ονοµάζεται γραµµική εξίσωση µε δυο αγνώστους. ύση της εξίσωσης αυτής ονοµάζεται κάθε διατεταγµένο

Διαβάστε περισσότερα

1.4. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας A ΟΜΑ ΑΣ. Να βρείτε τα ακρότατα των συναρτήσεων i) f(x) = x 2x ii) f(x) = 3 x iii) f(x) = x 2x + 4

1.4. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας A ΟΜΑ ΑΣ. Να βρείτε τα ακρότατα των συναρτήσεων i) f(x) = x 2x ii) f(x) = 3 x iii) f(x) = x 2x + 4 .4 Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 45 47 A ΟΜΑ ΑΣ. Να βρείτε τα ακρότατα των συναρτήσεων i) f() ii) f() + 6 iii) f() i) Πεδίο ορισµού είναι το R f () f () 0 0 f () > 0 > 0 > > + 4 Το πρόσηµο της f και η µονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ. Από το βιβλίο: Κώστογλου, Β. (2015). Επιχειρησιακή Έρευνα. Θεσσαλονίκη: Εκδόσεις Τζιόλα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ. Από το βιβλίο: Κώστογλου, Β. (2015). Επιχειρησιακή Έρευνα. Θεσσαλονίκη: Εκδόσεις Τζιόλα ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ 1 Εισαγωγικά Απόθεμα εννοείται κάθε είδους αγαθό, το οποίο μπορεί να αποθηκευτεί με στόχο την τρέχουσα ή μελλοντική χρησιμοποίησή του. Αποθέματα συναντώνται σε κάθε

Διαβάστε περισσότερα