β) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές για κάθε R. Μονάδες 8 γ) Αν x

Transcript

1 ΡΑΛΛΕΙΟ ΓΕΛ ΘΗΛΕΩΝ ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧ ΕΤΟΣ 06-7 Εξισώσεις Β βαθμού Α Λυκείου Τριών Ιεραρχών την Δευτέρα κι ευκαιρία να τους τιμήσουμε λύνοντας μερικές ασκησούλες άλγεβρας Αρχίστε από τις,,3,4,5,6,8,3,4,5,6,7,8,9,0, μέχρι την Τετάρτη 0/0/07, που θα φέρετε στην τάξη τις απορίες σας Τις υπόλοιπες Δίνεται η εξίσωση x x 4 0, με παράμετρο R α) Να βρείτε τη διακρίνουσα της εξίσωσης β) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές για κάθε R γ) Αν x, x είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης, τότε να βρείτε για ποια τιμή του λ ισχύει: x x x x Μονάδες 9 α) Να λύσετε την εξίσωση x 3 Μονάδες β) Αν α, β με είναι οι ρίζες της εξίσωσης του ερωτήματος (α), τότε να λύσετε την εξίσωση x x 3 0 Μονάδες 3 3 α) Να λύσετε την εξίσωση x 3 β) Να σχηματίσετε εξίσωση δευτέρου βαθμού με ρίζες, τις ρίζες της εξίσωσης του α) ερωτήματος Μονάδες 5 4 Δίνεται η εξίσωση x x 4 0, με παράμετρο R α) Να βρείτε τη διακρίνουσα της εξίσωσης β) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές για κάθε R γ) Αν x, x είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης, τότε να βρείτε για ποια τιμή του λ ισχύει: x x x x 5 0 Μονάδες 9 5 Δίνονται οι παραστάσεις αριθμός x A και B, όπου ο x είναι πραγματικός x x x α Να αποδείξετε ότι για να ορίζονται ταυτόχρονα οι παραστάσεις Α, Β πρέπει: x και x 0 Μονάδες β Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες ισχύει A = B Μονάδες 3 6 α) Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης: β Να λύσετε την εξίσωση: x x 0x x 0x Μονάδες 5 0

2 7 Δίνεται η παράσταση: x 4x 4 x 3x α) Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυμο x 3x β) Για ποιες τιμές του x Rορίζεται η παράσταση K; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας Mονάδες 7 γ) Να απλοποιήσετε την παράσταση K 8 Δίνονται οι αριθμοί: α) Να δείξετε ότι: i) ii) A και 5 5 B 5 5 A B AB 0 β) Να κατασκευάσετε μια εξίσωση ου βαθμού με ρίζες τους αριθμούς Α και Β Μονάδες 9 9 Δίνεται το τριώνυμο x x 5 λ, όπου λ R α) Αν το τριώνυμο αυτό έχει ρίζα τον x0, να προσδιορίσετε την τιμή του λ Μονάδες β) Γιαλ 3, να παραγοντοποιήσετε το τριώνυμο Μονάδες 3 0 Δίνεται το τριώνυμο: x 5x α) Να δείξετε ότι το τριώνυμο έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες, x και x Mονάδες 6 β) Να βρείτε την τιμή των παραστάσεων: x x, x x και Mονάδες 9 x x γ) Να προσδιορίσετε μια εξίσωση ου βαθμού που έχει ρίζες τους αριθμούς x και x x 3 x 3 Δίνεται το τριώνυμο α) Να αποδείξετε ότι η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι: 3 Μονάδες β) Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυμο Μονάδες 3 α) Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυμο 3x x β) Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες έχει νόημα η παράσταση: x A x και στη συνέχεια να την απλοποιήσετε Μονάδες 9 3x x

3 γ) Να λύσετε την εξίσωση: A x 3 Έστω αβπραγματικοί, αριθμοί για τους οποίους ισχύουν: αβ και αβ αβ 30 α) Να αποδείξετε ότι: αβ 5 β) Να κατασκευάσετε εξίσωση δευτέρου βαθμού με ρίζες τους αριθμούς αβκαι, να τους βρείτε Μονάδες 5 4 Δίνεται η εξίσωση x λ x 6 0, () με παράμετρο λ R α) Αν η παραπάνω εξίσωση έχει λύση το,να βρείτε το λ Μονάδες 3 β) Για λ να λύσετε την εξίσωση () Μονάδες 5 Θεωρούμε την εξίσωση x x 0 λ, με παράμετρολ R α) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες β) Στην περίπτωση που η εξίσωση έχει δυο ρίζες x, x, να προσδιορίσετε το λ ώστε x x x x Μονάδες 5 να ισχύει: 6 Δίνεται η εξίσωση: lx - (l -)x -= 0, με παράμετρο λ 0 α) Να βρείτε την τιμή του λ για την οποία η εξίσωση έχει ρίζα τον αριθμό Μονάδες β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες για κάθε λ 0 Μονάδες 3 7 Δίνεται η εξίσωση (l + )x + lx + l -= 0, με παράμετρο λ Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες: α) η εξίσωση έχει δυο ρίζες πραγματικές και άνισες Μονάδες 3 β) το άθροισμα των ριζών της εξίσωσης είναι ίσο με Μονάδες 8 Έστω α, β πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύουν: α β = 4 και a b + ab = 0 α) Να αποδείξετε ότι: α + β = 5 β) Να κατασκευάσετε εξίσωση ου βαθμού με ρίζες τους αριθμούς α, β, και να τους βρείτε Μονάδες 5 9 Έστω α, β πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύουν: α +β = και a 3 b + a b + ab 3 = - α) Να αποδείξετε ότι: = β) Να κατασκευάσετε εξίσωση ου βαθμού με ρίζες τους αριθμούς α, β και να τους βρείτε Μονάδες 5

4 x 0 α) Να βρείτε για ποιες τιμές του x η παράσταση έχει νόημα x x x πραγματικού αριθμού β) Για τις τιμές του x που βρήκατε στο α) ερώτημα, να λύσετε την εξίσωση: Π=0 Μονάδες 5 Δίνεται ορθογώνιο με περίμετρο Π = 0cm και εμβαδόν E = 4cm α) Να κατασκευάσετε μία εξίσωση ου βαθμού που έχει ως ρίζες τα μήκη των πλευρών αυτού του ορθογωνίου Μονάδες 5 β) Να βρείτε τα μήκη των πλευρών του ορθογωνίου Δίνονται δύο πραγματικοί αριθμοί α,β, τέτοιοι ώστε: α + β = και a + b = 7 α) Με τη βοήθεια της ταυτότητας (a + b) = a + ab +b, να δείξετε ότι: αβ = 64 β) Να κατασκευάσετε μια εξίσωση ου βαθμού που έχει ρίζες τους αριθμούς α, β γ) Να προσδιορίσετε τους αριθμούς α,β Μονάδες 7 3 Δίνονται οι αριθμοί: α) Να δείξετε ότι: A+ B = 3 και A B = Μονάδες β) Να κατασκευάσετε μια εξίσωση ου βαθμού που έχει ρίζες τους αριθμούς Α, Β Μονάδες 3 4 Δίνεται η εξίσωση (l + )x + lx + l -= 0, με παράμετρο λ α Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η εξίσωση έχει δυο ρίζες πραγματικές και άνισες Μονάδες β Αν x, x είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης να βρείτε το λ ώστε x x = -3 Μονάδες 3 5 Το πάτωμα του εργαστήριου της πληροφορικής ενός σχολείου είναι σχήματος ορθογωνίου με διαστάσεις (x+) μέτρα και x μέτρα α) Να γράψετε με τη βοήθεια του x την περίμετρο και το εμβαδόν του πατώματος ()

5 β) Αν το εμβαδόν του πατώματος του εργαστηρίου είναι 90 τετραγωνικά μέτρα, να βρείτε τις διαστάσεις του (Μονάδες 5) 6 Δίνεται το τριώνυμο: x - κx -, με κ R α) Να αποδείξετε ότι Δ > 0 για κάθε κ R, όπου Δ η διακρίνουσα του τριωνύμου () β) Αν x, x είναι οι ρίζες της εξίσωσης x - 3x -=0 (), i) να βρείτε το άθροισμα S = x +x και το γινόμενο P = x x των ριζών της () Μονάδες 6 ii) να κατασκευάσετε εξίσωση ου βαθμού που να έχει ρίζες ρ, ρ, όπου ρ = x και ρ = x Μονάδες 9 Παράδοση φυλλαδίου με λυμένες τις παραπάνω ασκήσεις: Δευτέρα, 06/0/07 Καλό τριήμερο και Με αγάπη Μαγδαληνή Κοκκαλιάρη mkokkaliarh@gmailcom (για επείγουσες απορίες )