Εξισώσεις. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. A ΛΥΚΕΙΟΥ κεφάλαιο ασκήσεις. εκδόσεις. Καλό πήξιμο / 8 /

Transcript

1 Εξισώσεις Κώστας Γλυκός ΙΙ Ι δδ ιι ι αα ίί ί ττ εε ρρ αα μμ αα θθ ήή μμ αα ττ αα Kgllykos..gr 7 / 8 / 8 A ΛΥΚΕΙΟΥ κεφάλαιο 5 ασκήσεις και τεχνικές σε 6 σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο

2 Επιλεγμένες ασκήσεις στις εξισώσεις Ασκήσεις εξισώσεων για Α Λυκείου Εξισώσεις ου βαθμού Να λυθούν οι εξισώσεις :

3 Να λυθούν οι πολυωνυμικές εξισώσεις :

4 Να λυθούν οι κλασματικές εξισώσεις :

5

6 Να λύσεις τις παραμετρικές εξισώσεις : 69. Δίνεται η εξίσωση : a 5 a να βρεις το α αν έχει για λύση το χ= Δίνεται η εξίσωση : a να βρεις το α αν έχει για λύση το a a 6. Δίνονται οι εξισώσεις με κοινή λύση να βρεις το α. & 7 6. a aa 6. a a a a a 6. a a a a a 67. a a a a 5

7 68. a a 6a a 69. a 5 6. a a a a a a a 6. a 6. a 5 aa 65. a a 66. a a a a a 67. a a a a a a a a a a 6 a a a a b a a a a a a a a a 6aa a a 66. a a a a b a a a b a b a a b 6. a a a b Έστω εξίσωση aa a Έχει λύση το - Έχει μοναδική λύση το - Είναι αδύνατη Έχει άπειρες λύσεις 6. Έστω εξίσωση a a a Έχει λύση το Έχει μοναδική λύση το Είναι αδύνατη να βρεις για ποιες τιμές του α η εξίσωση : να βρεις για ποιες τιμές του α η εξίσωση : 6 Διερεύνηση a+b= : Φέρνεις την εξίσωση στη μορφή a b Διακρίνεις τις περιπτώσεις : b a M.. a b : ύ a b : ό

8 Έχει άπειρες λύσεις 6. Έστω εξίσωση a a a Έχει λύση το - Έχει μοναδική λύση το - Είναι αδύνατη Έχει άπειρες λύσεις 65. Έστω εξίσωση 5 5 να βρεις για ποιες τιμές του α η εξίσωση : a a a 9a να βρεις για ποιες τιμές του α η εξίσωση : Έχει λύση το Έχει μοναδική λύση το Είναι αδύνατη Έχει άπειρες λύσεις 66. Έστω εξίσωση a a a Έχει λύση το - Έχει μοναδική λύση το - Είναι αδύνατη Έχει άπειρες λύσεις 67. Έστω εξίσωση a 5 b Έχει λύση το Έχει μοναδική λύση το Είναι αδύνατη Έχει άπειρες λύσεις 68. Έστω εξίσωση aa Έχει λύση το Έχει μοναδική λύση το Είναι αδύνατη Έχει άπειρες λύσεις 69. Έστω εξίσωση a b να βρεις για ποιες τιμές του α η εξίσωση : να βρεις για ποιες τιμές του α η εξίσωση : να βρεις για ποιες τιμές του α η εξίσωση : 6 να βρεις για ποιες τιμές των αβ η εξίσωση : Έχει ακριβώς μία λύση Είναι αδύνατη Έχει άπειρες λύσεις 65. Δίνεται η εξίσωση : a 6 a a a η οποία είναι ταυτότητα να αποδείξεις ότι το ίδιο συμβαίνει για την εξίσωση : a a5 65. Να βρεις τα αβ ώστε να είναι αδύνατες οι εξισώσεις : & a b b a a b ab b 65. Να αποδείξεις ότι οι παρακάτω εξισώσεις για οποιαδήποτε τιμή των αβ έχουν τουλάχιστον μία λύση: a a 8a a a b ba 7

9 a a a a a ab b 65. Να λυθεί η εξίσωση : a 65. Να λύσεις την εξίσωση : a a a Εξισώσεις με απόλυτα Να λύσεις τις εξισώσεις : Το νου σου : (απόλυτα) a a a a ύ a a

10

11 y y y y 77. d5 78. d 79. d d 5 7. d d 7. d5 7. d 5 7. d

12

13 d d d d d d Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α=9) η μία κάθετη πλευρά είναι cm ενώ η υποτείνουσα είναι μεγαλύτερη από την άλλη κάθετη κατά 8cm. Να βρεις τις πλευρές του τριγώνου 769. Σε τετράγωνο ΑΒΓΔ μ πλευρά cm. Να βρεις αν υπάρχει σημείο Μ της πλευράς ΑΒ ώστε : (ΑΔΜ)=(ΒΜΓ) (ΒΜΓ)-(ΑΔΜ)=(ΜΔΓ) 77. Αν η εξίσωση 7 a a 9 έχει διαφορετικές ρίζες μεταξύ τους να βρεις το α 77. Αν η εξίσωση a 5 a είναι αδύνατη ν.δ.ο. η εξίσωση aa άπειρες λύσεις 77. Να λυθεί η εξίσωση : 77. Δίνεται η εξίσωση Αδύνατη Ταυτότητα 77. Να λύσεις τις εξισώσεις : a b a b a b 5 a έχει a b ab να βρεις τις τιμές των α β ώστε η εξίσωση να είναι : 6 6

14 775. Σύρμα μήκους μέτρων κόβεται σε κομμάτια. Με το πρώτο κομμάτι σχηματίζεις ορθογώνιο όπου η μία διάστασή του είναι διπλάσια από την άλλη. Με το δεύτερο κομμάτι σχηματίζεις τετράγωνο. Ποιες οι πλευρές των σχημάτων αν E E ώ ί 9 8 Η εξίσωση v a Να λυθούν οι εξισώσεις : a 6a Το νου σου : v v : ά a a v : ό a v a a v : ά ύ a : ό v a Εξισώσεις ου βαθμού Να λυθούν οι εξισώσεις ου βαθμού : b D D a b D a D ύ a b c

15 a a

16 Να λύσεις τις παραμετρικές : 88. a a a a a a a a a ab b a a b a b 8. a b aa b 85. a b 6ab 86. a aa 87. a a a Να βρεις πλήθος ριζών των εξισώσεων : a a a a b a b 8. a a a 8. a a a Να λύσεις τις εξισώσεις :

17 Να βρεις το α ώστε η εξίσωση 866. Αν η εξίσωση ρίζες 867. Αν η εξίσωση a b a 9 a να έχει μία διπλή ρίζα a έχει μία διπλή ρίζα ν.δ.ο. η εξίσωση b έχει πραγματικές έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες ν.δ.ο. η εξίσωση a a δεν έχει πραγματικές ρίζες. b a a b a b a b 868. Να βρει το πλήθος ριζών της εξίσωσης : 869. Ν.δ.ο. αν υπάρχει τουλάχιστο ένα χ ώστε a a 87. Δίνεται η εξίσωση : Να αποδείξεις ότι έχει πάντα λύση Ποιο το α ώστε να έχει ρίζες αντίθετες Ποιο το α ώστε να έχει ρίζες αντίστροφες 87. Να βρεις εξισώσεις που έχουν για ρίζες τους αριθμούς y y 6

18 5 87. Αν η εξίσωση a b a c ac b έχει ρίζες άνισες ν.δ.ο. τι ίδιο ισχύει και για την εξίσωση 87. Να βρεις τις τιμές του α ώστε η εξίσωση τετράγωνο της άλλης Να λυθεί η εξίσωση : a 7 να έχει ρίζες όπου η μία να είναι το 875. Δίνεται η εξίσωση : Να έχει μία ρίζα Να έχει μία ρίζα διπλή Να είναι ου βαθμού Να έχει ρίζες άνισες 876. Δίνεται η εξίσωση : a να βρεις το α ώστε : a να βρεις το α ώστε : Να έχει μία ρίζα Να έχει μία ρίζα διπλή Να είναι ου βαθμού Να έχει ρίζες άνισες a να βρεις το α ώστε : Να έχει μία ρίζα Να έχει μία ρίζα διπλή Να είναι ου βαθμού Να έχει ρίζες άνισες 877. Δίνεται η εξίσωση : 878. Δίνεται η εξίσωση : Να έχει ρίζα τον αριθμό a a να βρεις το α ώστε : Να έχει μία ρίζα διπλή τον αριθμό 879. Δίνεται η εξίσωση : a a να βρεις το α ώστε : Να έχει ρίζα τον αριθμό Δίνεται η εξίσωση : a να βρεις το α ώστε : Να έχει μία ρίζα Να έχει μία ρίζα διπλή Να μην έχει ρίζες Να έχει ρίζες άνισες 88. Δίνεται η εξίσωση : a a a να βρεις το α ώστε : Να έχει λύση Να έχει μία ρίζα διπλή Να είναι αδύνατη 7

19 Να έχει ρίζες άνισες a να βρεις το α ώστε : Να έχει μία ρίζα Να έχει μία ρίζα διπλή Να είναι ου βαθμού Να έχει ρίζες άνισες 88. Δίνεται η εξίσωση : a a a να βρεις το α ώστε : Να έχει λύση Να έχει μία ρίζα διπλή Να είναι αδύνατη Να έχει ρίζες άνισες Δίνεται η εξίσωση : 88. Δίνεται η εξίσωση : 6a 9a : Να λυθεί η εξίσωση Να βρεις το α ώστε οι λύσεις της εξίσωσης να ανήκουν στο διάστημα [) 885. Δίνεται η εξίσωση : a a : Να λυθεί η εξίσωση Να βρεις το α ώστε οι λύσεις της εξίσωσης να ανήκουν στο διάστημα (-] a a : 886. Δίνεται η εξίσωση : Να λυθεί η εξίσωση Να βρεις το α ώστε οι λύσεις της εξίσωσης να ανήκουν στο διάστημα (-5) a b c Τύποι Vieta b S a c P a 887. Δίνεται η εξίσωση : a b c a όπου έχει ρίζες και η μία είναι διπλάσια της άλλης. Ποια σχέση συνδέει τα abc ; 888. Δίνεται η εξίσωση : a b c να συμπληρώσεις τον πίνακα Η εξίσωση έχει : Δ S P ρίζες άνισες ρίζα διπλή ρίζα Αδύνατη ρίζες αντίθετες ρίζες ετερόσημες 8

20 ρίζες ομόσημες ρίζες αντίστροφες Μία τουλάχιστον ρίζα ρίζες θετικές ρίζες αρνητικές ρίζα και μία θετική ρίζα και μία αρνητική Ασκήσεις με τύπους Vieta 889. Αν ρίζες της εξίσωσης 89. Οι ρίζες της εξίσωσης 89. Αν ρίζες της εξίσωσης 89. Οι ρίζες της εξίσωσης να υπολογίσεις τις παραστάσεις : : να βρεις την εξίσωση που έχει ρίζες : να υπολογίσεις τις παραστάσεις : : να βρεις την εξίσωση που έχει ρίζες : 9

21 89. Αν ρίζες της εξίσωσης 89. Οι ρίζες της εξίσωσης 5 να υπολογίσεις τις παραστάσεις : : να βρεις την εξίσωση που έχει ρίζες :

22 895. Αν ρίζες της εξίσωσης να υπολογίσεις τις παραστάσεις : 896. Αν ρίζες της εξίσωσης να υπολογίσεις τις παραστάσεις :

23 897. Να βρεις τα α β για να έχει διπλή ρίζα το η εξίσωση : 898. Να βρεις το α ώστε 899. Να βρεις το α ώστε 9. Να βρεις το α ώστε a a 5 5 a a a 9. Δίνεται η εξίσωση : 9. Να βρεις το α ώστε 9. Δίνεται η εξίσωση : και να βρεις το α ώστε να έχει ρίζες : αντίθετες αντίστροφες 5 5a 5a 6a 9. Δίνεται η εξίσωση : a ομόσημες ετερόσημες a b 9 ν.δ.ο. η διαφορά των ριζών είναι σταθερή a a a a 6 να αποδείξεις ότι έχει πραγματικές ρίζες για κάθε τιμή του α 6 να βρεις το α ώστε να έχει ρίζες : 95. Δίνεται η εξίσωση : a να βρεις το α ώστε να έχει ρίζες : Μία διπλή Δύο ετερόσημες Δύο αρνητικές Δύο θετικές Δύο αντίστροφες 96. Δίνεται η εξίσωση : Δύο ομόσημες Δύο ετερόσημες Δύο αρνητικές Δύο θετικές Μία διπλή Δύο αντίθετες Δύο αντίστροφες a 5 a να βρεις το α ώστε να έχει ρίζες : 97. Δίνεται η εξίσωση : a 6a 8 να βρεις το α ώστε να έχει ρίζες : Δύο πραγματικές Δύο αντίστροφες Δύο ώστε το γινόμενό τους να είναι τετραπλάσιο από το άθροισμά τους 98. Δίνεται η εξίσωση : Δύο ρίζες a a να βρεις το α ώστε να έχει ρίζες : Το άθροισμα των τετραγώνων των ριζών να ισούται με Το άθροισμα των αντιστρόφων των ριζών να ισούται με 8

24 99. Δίνεται η εξίσωση : Δύο a a να βρεις το α ώστε να έχει ρίζες : Το άθροισμα των τετραγώνων των ριζών να ισούται με 9. Δίνεται η εξίσωση : a να βρεις το α ώστε να έχει ρίζες : δύο ώστε ώστε ώστε 8 ώστε ώστε 9. Να βρεις εξίσωση με ρίζες τους αριθμούς : Να βρεις εξίσωση με ρίζες τους αριθμούς : a a a a aa 9. Οι ρίζες της εξίσωσης : 5 : να βρεις την εξίσωση με ρίζες : 9. Οι ρίζες της εξίσωσης : : να βρεις την εξίσωση με ρίζες :

25 95. Οι ρίζες της εξίσωσης : 96. Οι ρίζες της εξίσωσης : 97. Οι ρίζες της εξίσωσης : 98. Οι ρίζες της εξίσωσης : 99. Οι ρίζες της εξίσωσης : να βρεις την εξίσωση με ρίζες : 5 : να βρεις την εξίσωση με ρίζες : 5 : : να βρεις την εξίσωση με ρίζες : να βρεις την εξίσωση με ρίζες : : : να βρεις την εξίσωση με ρίζες :

26 Να λύσεις τις εξισώσεις :

27 Να λύσεις τα προβλήματα : 957. Δύο αδέλφια είναι σήμερα και 7 αντίστοιχα σε πόσα χρόνια το γινόμενο των ηλικιών τους θα είναι ίσο με 6 ; 958. Σε ορθογώνιο τρίγωνο οι πλευρές έχουν μήκος : 5 ; 959. Σε ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με εμβαδό δύο πλευρές του είναι : ; 96. Σε ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με μήκος 8 και πλάτος αυξάνουμε κάθε πλευρά κατά χ ώστε το εμβαδόν του να γίνει. Πόσο το χ; 96. Σε ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με μήκος 8 και πλάτος αυξάνουμε κάθε πλευρά κατά χ ώστε το εμβαδόν του να αυξηθεί κατά 8. Πόσο το χ; 96. Σήμερα η ηλικία ενός πατέρα είναι χ. Ποια η ηλικία τους σήμερα ; ενώ της κόρης του είναι χ. Όταν η κόρη γίνει ο πατέρας θα είναι 96. Να βρεις το είδος του τριγώνου με πλευρές : 68. Αν δεν είναι ορθογώνιο πόσο πρέπει να αυξήσουμε τις 96. πλευρές (όλες το ίδιο) για να γίνει ορθογώνιο; 6