a = f( x ) =. (Μονάδες 8) 2 = =,από όπου προκύπτει ( υψώνοντας στο τετράγωνο ), x =, επομένως x = 0 x = ή Άσκηση 4679 Δίνεται η συνάρτηση:

Transcript

1 Άσκηση 4679 Δίνεται η συνάρτηση: a = + 4 f( x) x x α) Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού α, ώστε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f να είναι το σύνολο. (Μονάδες 0) β) Αν είναι γνωστό ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο A 0,, τότε: i) Να αποδείξετε ότι α = και να γράψετε τον τύπο της χωρίς το σύμβολο της τετραγωνικής ρίζας. (Μονάδες 7) ii) Να λύσετε την εξίσωση f( x ) =. (Μονάδες 8) a α) Θα πρέπει x x+ 0 για κάθε x, επομένως 0. 4 Άρα = a 0 a a β) i) Άρα f ( 0) = =,από όπου προκύπτει ( υψώνοντας στο τετράγωνο ), 4 ότι α = Αν α = τότε f( x) = x x+ = x x 4 = ii) f( x) ή x = = x = x = ή x =, επομένως x = 0 Άσκηση 4680

2 Δίνεται η εξίσωση: x x+ λ λ = 0 με παράμετρο λ ( ) α) Να βρείτε τη διακρίνουσα της εξίσωσης και να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές για κάθε λ (Μονάδες 0) β) Για ποια τιμή του λ η εξίσωση () έχει δύο ρίζες ίσες; (Μονάδες 6) γ) Αν χ, χ είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης (), τότε να βρείτε για ποιες τιμές του λ ισχύει d ( χ, χ) 0< <. (Μονάδες 9) = 4 λ λ = 4λ 4λ + = λ 0. Επομένως αφού 0 η α) ( ) ( ) εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές για κάθε λ. β) Για να έχει η εξίσωση () δύο ρίζες ίσες πρέπει ( λ ) λ = 0 = 0 = γ) Οι ρίζες της εξίσωσης () είναι Επομένως ( λ ) ( λ ) + χ=, χ= + ( λ ) ( λ ) χ χ = = λ 0< d χ χ < 0< χ χ < 0< λ < Όμως (, ) Το λ > 0 ισχύει για κάθε λ Επίσης 3 λ < < λ < < λ < 3 < λ < Άρα 3 λ,, Άσκηση 468

3 Δίνεται η εξίσωση: x x+ λ λ = 0 με παράμετρο λ ( ) α) Να βρείτε τη διακρίνουσα της εξίσωσης και να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές για κάθε λ (Μονάδες 0) β) Για ποια τιμή του λ η εξίσωση () έχει δύο ρίζες ίσες; (Μονάδες 6) γ) Αν λ και χ, χ είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης (), τότε να βρείτε για d χ, χ =. (Μονάδες 9) d χ χ ποιες τιμές του λ ισχύει ( ) (, ) = 4 λ λ = 4λ 4λ + = λ 0. Επομένως αφού 0 η α) ( ) ( ) εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές για κάθε λ. β) Για να έχει η εξίσωση () δύο ρίζες ίσες πρέπει ( λ ) λ = 0 = 0 = γ) Οι ρίζες της εξίσωσης () είναι Επομένως d (, ) Άρα για d ( λ ) ( λ ) + χ=, χ= ( λ ) ( λ ) + χ χ = χ χ = = λ λ έχουμε χ χ =, d χ χ λ = λ λ = λ = ( ) (, ) Επομένως λ = ή λ = Δηλαδή λ = ή λ = 0 Άσκηση 468

4 Δίνεται η εξίσωση: x x+ λ λ = 0 με παράμετρο λ ( ) α) Να βρείτε τη διακρίνουσα της εξίσωσης και να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές για κάθε λ (Μονάδες 0) β) Για ποια τιμή του λ η εξίσωση () έχει δύο ρίζες ίσες; (Μονάδες 6) γ) Να βρείτε το λ, ώστε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f( χ) x x λ λ = + να είναι το σύνολο. (Μονάδες 9) = 4 λ λ = 4λ 4λ + = λ 0. Επομένως αφού 0 η α) ( ) ( ) εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές για κάθε λ. β) Για να έχει η εξίσωση () δύο ρίζες ίσες πρέπει ( λ ) λ = 0 = 0 = γ) Θα πρέπει x x+ λ λ 0 για κάθε x, επομένως 0. = 4 λ λ = λ Όμως ( ) ( ) ( λ ) 0 0 άρα λ = Άσκηση 485 Δίνεται συνάρτηση g ( χ ) {, }. = ( χ )( χ 4) χ + κχ + λ, η οποία έχει πεδίο ορισμού το α) Να βρείτε τις τιμές των κ και λ. (Mονάδες 9) β) Για κ = και λ = : i ) Να απλοποιήσετε τον τύπο της g. (Μονάδες 9) ii) Να δείξετε ότι: g( α 3) g( α) + >, όταν < α < (Μονάδες 7)

5 α) Αφού το πεδίο ορισμού της g είναι το {, } παρονομαστής χ κχ λ συμπεραίνουνε ότι ο + + = 0 για χ = ή χ =. Δηλαδή το τριώνυμο χ + κχ + λ έχει ρίζες χ = και χ = β γ Συνεπώς από τους τύπους Vietta χ+ χ =, χχ = α α + = κ και = λ κ =, λ = β) i) Παραγοντοποιώντας αριθμητή και παρονομαστή : g ( χ ) ( χ )( χ 4) ( χ )( χ + )( χ )( χ + ) ( χ )( χ + ) ( χ )( χ ) = = = + χ + χ g χ = χ + χ = χ χ με ρίζες το και ii) ( ) ( )( ) επομένως για το πρόσημο της g έχουμε g ( χ ) < 0 < x < δηλαδή όταν χ (, ) g ( χ) > 0 χ < ήx> δηλαδή όταν χ ( ) (, + ) Όμως < α < επομένως < α + 3 δηλαδή το α είναι ανάμεσα στις ρίζες και το α + 3 είναι εκτός των ριζών. ( α + 3 (, + ) ) Άρα όταν < α < συμπεραίνουμε g ( α + 3) > 0 και g ( α ) < 0 δηλαδή g α + 3 > g α. ( ) ( ) Άσκηση 489 Δίνεται το τριώνυμο f( χ) x x λ λ = + με λ α) Να βρείτε τη διακρίνουσα του τριωνύμου και να αποδείξετε ότι το τριώνυμο έχει ρίζες πραγματικές για κάθε λ (Μονάδες 0) β) Για ποια τιμή του λ το τριώνυμο έχει δύο ρίζες ίσες; (Μονάδες 6) γ) Αν λ και χ, χ είναι οι ρίζες του παραπάνω τριωνύμου με χ χ χ+ χ χ < < χ. (Μονάδες 4) i) Nα δείξετε ότι <, τότε :

6 ii) Να διατάξετε από τον μικρότερο προς τον μεγαλύτερο τους αριθμούς f f χ + χ f ( χ ),, ( χ + ) α) ( ) ( ) (Μονάδες 5) = 4 λ λ = 4λ 4λ + = λ 0. Επομένως αφού 0 η εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές για κάθε λ. β) Για να έχει η εξίσωση () δύο ρίζες ίσες πρέπει ( λ ) λ = 0 = 0 = γ) i) χ+ χ χ < < χ χ < χ+ χ < χ, που προφανώς ισχύει αφού χ < χ+ χ χ < χ και χ + χ < χ χ < χ ii) Αφού χ, χ είναι δύο άνισες ρίζες, το πρόσημο του τριωνύμου είναι: f( x ) < 0 για κάθε x ( χ, χ) ( Ετερόσημο του α ) f( x ) > 0 για κάθε x (, χ ) ( χ, + ) ( Ομόσημο του α ) και f ( χ ) f ( χ ) Άρα αφού 0 = = (Συγνώμη, Δεν μπορώ να κάνω πίνακα προσήμων) χ + χ χ + χ χ < < < χ f 0 Επίσης χ χ ( χ ) ( χ, ) f ( χ ) + > > 0 χ + χ < = < + Επομένως f f ( χ ) 0 f ( χ ) Άσκηση 488

7 Δίνεται συνάρτηση g ( χ ) {, }. = ( χ )( χ 4) χ κχ λ + +, η οποία έχει πεδίο ορισμού το α) Να βρείτε τις τιμές των κ και λ. (Mονάδες 9) β) Για κ = και λ = : i ) Να απλοποιήσετε τον τύπο της g. (Μονάδες 9) ii) Να δείξετε ότι: g( ) g( ) 0 α α >, όταν < α < και < β < (Μονάδες 7) α) Αφού το πεδίο ορισμού της g είναι το {, } παρονομαστής Δηλαδή το τριώνυμο χ κχ λ + + = 0 για χ = ή χ =. συμπεραίνουνε ότι ο χ + κχ + λ έχει ρίζες χ = και χ = β γ χ + χ =, χχ = α α Συνεπώς από τους τύπους Vietta + = κ και = λ κ =, λ = β) i) Παραγοντοποιώντας αριθμητή και παρονομαστή : g ( χ ) ( χ )( χ 4) ( χ )( χ + )( χ )( χ + ) ( χ )( χ + ) ( χ )( χ ) = = = + χ + χ g χ = χ + χ = χ χ με ρίζες το και ii) ( ) ( )( ) επομένως για το πρόσημο της g έχουμε g ( χ ) < 0 < x < δηλαδή όταν χ (, ) g ( χ) > 0 χ < ήx> δηλαδή όταν χ ( ) (, + ) Όμως < α < και < β < δηλαδή τα, Άρα g ( α ) < 0 και g ( β ) < 0 επομένως g( ) g( ) 0 αβ είναι ανάμεσα στις ρίζες. α β >.

8