Σας εύχομαι καλή μελέτη και επιτυχία.

Transcript

1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το βιβλίο αυτό αποτελεί συνέχεια του Α τεύχους και απευθύνεται κυρίως στους μαθητές της Α Λυκείου, αλλά και στους καθηγητές που διδάσκουν το μάθημα «Άλγεβρα και στοιχεία πιθανοτήτων» της Α Λυκείου. Το βιβλίο αυτό αναφέρεται στα κεφάλαια 4ο, 5ο, 6ο και 7ο που υπάρχουν στο σχολικό βιβλίο. Το βιβλίο χωρίζεται σε δύο μέρη: Στο Α μέρος παρατίθενται όλες οι ασκήσεις από το ο και το 4ο θέμα που περιέχονται στην Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας (Τ.Θ.Δ.Δ.) του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.), καθώς και ασκήσεις που αφορούν στο 1ο και το 3ο θέμα, τα οποία επιλέγονται από τους διδάσκοντες. Όσον αφορά στο 1ο θέμα, υπάρχουν όλες οι αποδείξεις των προτάσεων-ιδιοτήτων του σχολικού βιβλίου που περιέχονται στην εξεταστέα ύλη του μαθήματος, καθώς και ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου. Στο κομμάτι που αφορά στο 3ο θέμα, υπάρχουν θέματα διαβαθμισμένης δυσκολίας που δημιουργήθηκαν από τον συγγραφέα για τις ανάγκες των εξετάσεων, σύμφωνα με τις οδηγίες του Ι.Ε.Π. Στο Β μέρος του βιβλίου παρατίθενται οι αναλυτικές και υποδειγματικές λύσεις όλων των ερωτήσεων και ασκήσεων του Α μέρους. Επιπλέον, περιέχονται όλες οι απαντήσεις στις ερωτήσεις κατανόησης του σχολικού βιβλίου. Τέλος, στο παράρτημά του υπάρχουν όλες οι οδηγίες διδασκαλίας που έχουν δοθεί από το Ι.Ε.Π. και το Υπουργείο Παιδείας, καθώς και μια πρόταση μελέτης. Το βιβλίο γράφτηκε με βάση το νέο σύστημα, την εξεταστέα ύλη και τις επίσημες οδηγίες του Υπουργείου. Ως εκ τούτου, η αρχική σκέψη για τη δημιουργία του γεννήθηκε, κατά κύριο λόγο, από την ανάγκη μιας όσο το δυνατόν πληρέστερης και πιο σφαιρικής προετοιμασίας των μαθητών, οι οποίοι έρχονται αντιμέτωποι με σημαντικές αλλαγές στο σύστημα εξετάσεων. Πιστεύω ότι το βιβλίο αυτό αποτελεί έναν πλήρη οδηγό μελέτης που, μαζί με το Α τεύχος και το σχολικό βιβλίο, μπορεί να καλύψει τις ανάγκες, τις ανα- prot.indd 3 9/1/015 13:6:6

2 ζητήσεις και τις απορίες των μαθητών στο συγκεκριμένο γνωστικό αντικείμενο και, τελικά, να αποδειχθεί πολύ σημαντικό εργαλείο για τις γραπτές προαγωγικές εξετάσεις στο τέλος της σχολικής χρονιάς. Τέλος, ευχαριστώ τον συνάδελφο Δημήτρη Τσάκο για τη γενική επιμέλεια του βιβλίου και τις εύστοχες παρατηρήσεις του. Σας εύχομαι καλή μελέτη και επιτυχία. prot.indd 4 9/1/015 13:6:39

3 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ Α ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο : Α ΝΙΣΩΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α.1. Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου (Σωστού-Λάθους, Πολλαπλής Επιλογής, Αντιστοίχισης) Α.. Αποδείξεις προτάσεων και ιδιοτήτων ΘΕΜΑ Β ΘΕΜΑ Γ ΘΕΜΑ Δ Προσομοιωμένα ανακεφαλαιωτικά διαγωνίσματα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο : Π ΡΟΟΔΟΙ ΘΕΜΑ Α Α.1. Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου (Σωστού-Λάθους, Πολλαπλής Επιλογής, Αντιστοίχισης) Α.. Αποδείξεις προτάσεων και ιδιοτήτων ΘΕΜΑ Β ΘΕΜΑ Γ ΘΕΜΑ Δ Προσομοιωμένα ανακεφαλαιωτικά διαγωνίσματα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6ο : ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΘΕΜΑ Α Α.1. Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου (Σωστού-Λάθους, Πολλαπλής Επιλογής, Αντιστοίχισης) Α.. Αποδείξεις προτάσεων και ιδιοτήτων ΘΕΜΑ Β prot.indd 5 9/1/015 13:6:39

4 ΘΕΜΑ Γ ΘΕΜΑ Δ Προσομοιωμένα ανακεφαλαιωτικά διαγωνίσματα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7ο : ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΘΕΜΑ Α Α.1. Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου (Σωστού-Λάθους, Πολλαπλής Επιλογής, Αντιστοίχισης) Α.. Αποδείξεις προτάσεων και ιδιοτήτων ΘΕΜΑ Γ Προσομοιωμένα ανακεφαλαιωτικά διαγωνίσματα Γενικά επαναληπτικά διαγωνίσματα σε όλη την ύλη ΜΕΡΟΣ B ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο : Α ΝΙΣΩΣΕΙΣ Απαντήσεις στις ερωτήσεις κατανόησης του σχολικού βιβλίου Απαντήσεις στις ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου (Θέμα Α.1.) Λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων και Θεμάτων Γ Απαντήσεις και λύσεις των διαγωνισμάτων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο : Π ΡΟΟΔΟΙ Απαντήσεις στις ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου (Θέμα Α.1.) Λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων και Θεμάτων Γ Απαντήσεις και λύσεις των διαγωνισμάτων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6ο : ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Απαντήσεις στις ερωτήσεις κατανόησης του σχολικού βιβλίου Απαντήσεις στις ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου (Θέμα Α.1.) prot.indd 6 9/1/015 13:6:39

5 Λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων και Θεμάτων Γ Απαντήσεις και λύσεις των διαγωνισμάτων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7ο : ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Απαντήσεις στις ερωτήσεις κατανόησης του σχολικού βιβλίου Απαντήσεις στις ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου (Θέμα Α.1.) Λύσεις των ασκήσεων των Θεμάτων Γ Απαντήσεις και λύσεις των διαγωνισμάτων Απαντήσεις και λύσεις των επαναληπτικών διαγωνισμάτων ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 1: Εξεταστέα ύλη του μαθήματος «ΑΛΓΕΒΡΑ» : Επιλογή, διάρθρωση και αξιολόγηση θεμάτων των γραπτών προαγωγικών εξετάσεων της Α Λυκείου : Οδηγίες διδασκαλίας και διαχείρισης της ύλης Πρόταση μελέτης prot.indd 7 9/1/015 13:6:39

6 prot.indd 8 9/1/015 13:6:39

7 Μ Ε Ρ Ο Σ Α 01.indd 11 9/1/015 13:35:6

8 01.indd 1 9/1/015 13:35:35

9 Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 4ο Ανισώσεις 4.1 Ανισώσεις 1ου βαθμού 4. Ανισώσεις ου βαθμού Η εξεταστέα ύλη για το κεφάλαιο αυτό είναι: Παράγραφος 4.1 Παράγραφος indd 13 9/1/015 13:35:35

10 01.indd 14 9/1/015 13:35:35

11 Άλγεβρα Α Λυκείου B τεύχος ΘΕΜΑ Α Θέμα Α.1-Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Α.1.1. Ερωτήσεις Σωστού Λάθους Στις επόμενες προτάσεις, να γράψετε δίπλα στην κάθε πρόταση το γράμμα Σ, αν η πρόταση είναι σωστή, ή το γράμμα Λ, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. 1. Η ανίσωση αxβ 0 όταν α 0 έχει λύσεις όλα τα x με. Η ανίσωση αxβ 0 όταν α 0 έχει λύσεις όλα τα x με 3. Η ανίσωση αxβ 0 όταν α 0 είναι πάντα αδύνατη. β x. α β x. α 4. Το τριώνυμο αx βx γ, α 0, με Δ β 4αγ 0γράφεται ως: όπου x 1 και x οι ρίζες του. αx βx γ(x x )(x x ) 1 5. Το τριώνυμο αx βx γ, α 0, με Δ β 4αγ 0δεν παραγοντοποιείται. 6. Το τριώνυμο αx βx γ, α 0, με Δ β 4αγ 0γράφεται ως: β αx βxγαx α 7. Το τριώνυμο αx βx γ, α 0, γίνεται ετερόσημο του α, μόνο όταν είναι Δ 0 και για τις τιμές του x που βρίσκονται μεταξύ των ριζών. 8. Το τριώνυμο αx βx γ, α 0, γίνεται ομόσημο του α, για όλες τις τιμές του x, μόνο όταν Δ Το τριώνυμο αx βx γ, α 0, γίνεται ομόσημο του α όταν Δ 0 και για τις τιμές του x που βρίσκονται μεταξύ των ριζών indd 15 9/1/015 13:35:35

12 4 Ανισώσεις 10. Το τριώνυμο αx βx γ, α 0, γίνεται μηδέν, όταν η τιμή του x είναι κάποια από τις ρίζες του. β 11. Η ανίσωση α x β, α 0, έχει λύσεις όλα τα x με x. α 1. Η ανίσωση α x α x0, α 0, αληθεύει για όλες τις τιμές του x Το τριώνυμο x α x α, α 0, έχει θετικό πρόσημο για τις τιμές του x ( α, α ) Το τριώνυμο x α x α, α 0, γράφεται: x α x α 4 (x α )(x α ) 15. Το τριώνυμο α x α x3, α 0, γίνεται θετικό για όλες τις τιμές του x. Α.1.. Ερωτήσεις Πολλαπλής Επιλογής Στις επόμενες προτάσεις η σωστή απάντηση σε κάθε ερώτηση είναι μόνο μία. Να επιλέξετε το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση της κάθε ερώτησης. 1. Η ανίσωση αxβ 0 όταν α 0 έχει λύσεις όλα τα x με: Α. β x Β. α β x Γ. α β x Δ. α β x α. Η ανίσωση αxβ 0 όταν α 0 αληθεύει για κάθε x, αν είναι: Α. β 0 Β. β 0 Γ. β 0 Δ. τίποτα από τα προηγούμενα 3. Αν x,x 1 οι ρίζες του τριωνύμου αx βx γ, α 0, με Δ 0, τότε το τριώνυμο γράφεται: Α. α(x 1 x)(x x) Β. α(x x 1)(x x ) Γ. α(x x 1)(x x ) Δ. τίποτα από τα προηγούμενα indd 16 9/1/015 13:35:36

13 Άλγεβρα Α Λυκείου B τεύχος Θέμα Α.-Αποδείξεις προτάσεων και ιδιοτήτων Στα επόμενα παρατίθενται όλες οι αποδείξεις των προτάσεων και των ιδιοτήτων του 4ου κεφαλαίου που περιέχονται στην εξεταστέα ύλη του μαθήματος «Άλγεβρα και στοιχεία πιθανοτήτων» της Α Λυκείου και θα αποτελέσουν το ο μέρος του 1ου θέματος (το Α.) στις γραπτές προαγωγικές εξετάσεις. Οι αποδείξεις έγιναν σύμφωνα με το περιεχόμενο του σχολικού βιβλίου. 1. Αν α 0, να αποδείξετε ότι η ανίσωση αxβ 0έχει λύσεις όλα τα x β με x. α Απόδειξη Έχουμε: Αν α 0, τότε: αxβ0αxβββαx β αx β β αx β x α α α. Αν α 0, να αποδείξετε ότι η ανίσωση αxβ 0έχει λύσεις όλα τα x β με x. α Απόδειξη Έχουμε: Αν α 0, τότε: αxβ0αxβββαx β αx β β αx β x α α α indd 19 9/1/015 13:35:37

14 4 Ανισώσεις 3. Αν α 0, να αποδείξετε ότι η ανίσωση αxβ 0 αληθεύει για κάθε Απόδειξη x, αν είναι β 0, ενώ είναι αδύνατη, αν είναι β 0. Αν α 0, τότε η ανίσωση γίνεται 0x β, η οποία: αληθεύει για κάθε x, αν είναι β 0, ενώ είναι αδύνατη, αν είναι β Έστω το τριώνυμο αx βx γ, α 0, και Δ β 4αγ. Αν Δ > 0, να αποδείξετε ότι: αx βx γα(x x )(x x ) όπου x,x 1 οι ρίζες του τριωνύμου. Απόδειξη Το τριώνυμο μετασχηματίζεται ως εξής: 1 β γ β β β γ αx βxγαx x α x x α α α α α α β 4αγβ α x α 4α Επομένως: Αν Δ 0, τότε ισχύει β Δ αx βxγαx α 4α Δ Δ, οπότε έχουμε: β Δ β Δ β Δ αx βxγα x α x x α α α α α α β Δ β Δ α x x α α 0 01.indd 0 9/1/015 13:35:38

15 Άλγεβρα Α Λυκείου B τεύχος ΘΕΜΑ B Από την Τράπεζα Θεμάτων του Υπουργείου ΠΑΙ.Θ.(Ι.Ε.Π.). Περιλαμβάνονται 5 θέματα αυτής της κατηγορίας. ΘΕΜΑ Β1 α) Να λυθεί η εξίσωση x x 0. (Μονάδες 8) β) Να λυθεί η ανίσωση x x 0 και να παραστήσετε το σύνολο των λύσεών της στον άξονα των πραγματικών αριθμών. (Μονάδες 1) 4 γ) Να τοποθετήσετε το στον άξονα των πραγματικών αριθμών. Είναι 3 4 το λύση της ανίσωσης του ερωτήματος (β); Να αιτιολογήσετε την 3 απάντησή σας. (Μονάδες 5) ΘΕΜΑ Β Δίνονται οι ανισώσεις x 5x6 0 (1) και x 16 0 (). α) Να βρεθούν οι λύσεις των ανισώσεων (1), (). (Μονάδες 1) β) Να παρασταθούν οι λύσεις των ανισώσεων (1) και () πάνω στον άξονα των πραγματικών αριθμών και να βρεθούν οι κοινές λύσεις των παραπάνω ανισώσεων. (Μονάδες 13) 5 01.indd 5 9/1/015 13:35:41

16 4 Ανισώσεις ΘΕΜΑ Β3 Δίνεται πραγματικός αριθμός x για τον οποίο ισχύει d(x, ) 1. Να δείξετε ότι: α) 3x 1 β) x 4x30 (Mονάδες 10) (Mονάδες 15) ΘΕΜΑ Β4 α) Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυμο 3x x 1. (Μονάδες 8) β) Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες έχει νόημα η παράσταση: A(x) x1 3x x 1 και στη συνέχεια να την απλοποιήσετε. γ) Να λύσετε την εξίσωση A(x) 1. (Μονάδες 9) (Μονάδες 8) ΘΕΜΑ Β5 Δίνεται η εξίσωση x λx ( λ λ1) 0 (1) με παράμετρο λ. α) Να προσδιορίσετε τον πραγματικό αριθμό λ, ώστε η εξίσωση (1) να έχει ρίζες πραγματικές. (Μονάδες 1) β) Να λύσετε την ανίσωση S P 0, όπου S και P είναι αντίστοιχα το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών της (1). (Μονάδες 13) 6 01.indd 6 9/1/015 13:35:41

17 4 Ανισώσεις ΘΕΜΑ Γ Με την εισήγηση των διδασκόντων. Περιλαμβάνονται 15 θέματα αυτής της κατηγορίας. ΘΕΜΑ Γ1 Δίνεται το τριώνυμο A(x) ( λ)x (λ3)x 5λ 6, λ. α) Να βρείτε τις τιμές του λ, ώστε η εξίσωση A(x) 0 να έχει δύο άνισες και πραγματικές ρίζες. (Μονάδες 7) β) Για ποιες τιμές του λ η ανίσωση A(x) 0 αληθεύει για κάθε x ; (Μονάδες 8) γ) Αν η εξίσωση A(x) 0 έχει δύο άνισες ρίζες x 1 και x, να βρείτε τις τιμές του λ, ώστε να ισχύει η σχέση: ΘΕΜΑ Γ x1x x1x (Μονάδες 10) Έστω A και B τα σημεία που παριστάνουν σ έναν άξονα τους αριθμούς 3 και 5 αντίστοιχα και M ένα σημείο στο εσωτερικό του τμήματος AB τέτοιο, ώστε (MA) (MB) (1). α) Να διατυπώσετε αλγεβρικά τη σχέση (1). (Μονάδες 8) β) Ποιοι αριθμοί αντιστοιχούν στο σημείο M; (Μονάδες 7) γ) Να βρείτε τα σημεία N του άξονα των ακέραιων αριθμών που ικανοποιούν τη σχέση (1), στο εσωτερικό του τμήματος AB, ώστε να ισχύει (NA) (NB) 3. (Μονάδες 10) indd 34 9/1/015 13:35:43

18 Άλγεβρα Α Λυκείου B τεύχος ΘΕΜΑ Γ3 α) Να αποδείξετε ότι α 3αβ5β 0 α, β 0. (Μονάδες 1) α 5β β) Να καθορίσετε το πρόσημο της παράστασης A 3. β α (Μονάδες 13) ΘΕΜΑ Γ4 Αν οι ρίζες x,x 1 της εξίσωσης x λ x60 (1), λ, ικανοποιούν την ισότητα: 9x x 3x 9x x 3x 109 () τότε: α) Να αποδείξετε ότι λ 7. β) Να λύσετε την ανίσωση xλ x1x x1x 4. (Μονάδες 13) (Μονάδες 1) ΘΕΜΑ Γ5 Να βρείτε: α) το πρόσημο του τριωνύμου t 3t, β) τις τιμές του x, ώστε να ισχύει (Μονάδες 10) x5 3 x5 0. (Μονάδες 15) ΘΕΜΑ Γ6 Δίνεται η εξίσωση x λx ( λ1) 0 (1), λ. α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (1) έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες. (Μονάδες 9) indd 35 9/1/015 13:35:43

19 Άλγεβρα Α Λυκείου B τεύχος ΘΕΜΑ Δ Από την Τράπεζα Θεμάτων του Υπουργείου ΠΑΙ.Θ.(Ι.Ε.Π.). Περιλαμβάνονται 34 θέματα αυτής της κατηγορίας. ΘΕΜΑ Δ1 Θεωρούμε το τριώνυμο f(x) 3x κx 4με παράμετρο κ. α) Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε τιμή του κ, το τριώνυμο έχει ρίζες πραγματικές και άνισες. (Μονάδες 10) β) Οι ρίζες του τριωνύμου είναι ομόσημες ή ετερόσημες; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 5) γ) Αν x 1 και x είναι οι ρίζες του τριωνύμου και α, β δύο πραγματικοί αριθμοί, ώστε να ισχύει αx1 x β, να προσδιορίσετε το πρόσημο του γινομένου: αf( α) βf( β) Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 10) ΘΕΜΑ Δ α) Να βρείτε το πρόσημο του τριωνύμου x 5x 6για τις διάφορες τιμές του x. (Μονάδες 10) 1 β) Δίνεται η εξίσωση x ( λ )x λ 0 (1) με παράμετρο λ indd 41 9/1/015 13:35:45

20 4 Ανισώσεις i) Να αποδείξετε ότι για κάθε λ (,) (3, ) η εξίσωση (1) έχει δύο ρίζες άνισες. (Μονάδες 10) ii) Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες οι ρίζες της (1) είναι ομόσημοι αριθμοί. (Μονάδες 5) ΘΕΜΑ Δ3 Δίνεται το τριώνυμο f(x) λx ( λ 1)x λ, λ 0. α) Να βρείτε τη διακρίνουσα Δ του τριωνύμου και να αποδείξετε ότι το τριώνυμο έχει ρίζες πραγματικές για κάθε λ 0. (Μονάδες 9) β) Για ποιες τιμές του λ 0 το παραπάνω τριώνυμο έχει δύο ρίζες ίσες; (Μονάδες 6) γ) Να βρείτε την τιμή του λ, ώστε f(x) 0για κάθε x. (Μονάδες 10) ΘΕΜΑ Δ4 α) Να λύσετε την ανίσωση x3 5. (Μονάδες 7) β) Να απεικονίσετε το σύνολο των λύσεων της ανίσωσης αυτής πάνω στον άξονα των πραγματικών αριθμών και να ερμηνεύσετε το αποτέλεσμα με βάση τη γεωμετρική σημασία της παράστασης x 3. (Μονάδες 5) γ) Να βρείτε όλους τους ακέραιους αριθμούς x που ικανοποιούν την ανίσωση x3 5. (Μονάδες 5) 4 01.indd 4 9/1/015 13:35:46

21 4 Ανισώσεις Ακολουθούν προσομοιωμένα ανακεφαλαιωτικά Διαγωνίσματα στο 4ο Κεφάλαιο, σύμφωνα με τις οδηγίες του Ι.Ε.Π. και τη σχετική νομοθεσία για τη δομή, επιλογή και διάρθρωση των θεμάτων. Διαγώνισμα 1 ΘΕΜΑ Α Α1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. β α) Η ανίσωση αxβ 0 όταν α 0 έχει λύσεις όλα τα x με x. α Μονάδες β) Το τριώνυμο αx βx γ, α 0, γίνεται ετερόσημο του α, μόνο όταν είναι Δ 0 και για τις τιμές του x που βρίσκονται μεταξύ των ριζών. Μονάδες γ) Η ανίσωση α x α x0, α 0, αληθεύει για όλες τις τιμές του x. Μονάδες δ) Το τριώνυμο αx βx γ, α 0, με Δ β 4αγ 0γράφεται ως: όπου x 1 και x οι ρίζες του. αx βx γ(x x )(x x ) 1 Μονάδες ε) Το τριώνυμο α x α x3, α 0, γίνεται θετικό για όλες τις τιμές του x. Μονάδες indd 58 9/1/015 13:35:50

22 Άλγεβρα Α Λυκείου B τεύχος Α. Έστω το τριώνυμο αx βx γ, α 0, και Δ β 4αγ. Να αποδείξετε ότι το τριώνυμο γίνεται ετερόσημο του α, μόνο όταν είναι Δ 0 και για τις τιμές του x που βρίσκονται μεταξύ των ριζών. Μονάδες 15 ΘΕΜΑ Β Δίνεται η εξίσωση x λx ( λ λ1) 0 (1) με παράμετρο λ. α) Να προσδιορίσετε τον πραγματικό αριθμό λ, ώστε η εξίσωση (1) να έχει ρίζες πραγματικές. Μονάδες 1 β) Να λύσετε την ανίσωση S P 0, όπου S και P είναι αντίστοιχα το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών της (1). Μονάδες 13 ΘΕΜΑ Γ Έστω A και B τα σημεία που παριστάνουν σ έναν άξονα τους αριθμούς 3 και 5 αντίστοιχα και M ένα σημείο στο εσωτερικό του τμήματος AB τέτοιο, ώστε (MA) (MB) (1). α) Να διατυπώσετε αλγεβρικά τη σχέση (1). Μονάδες 8 β) Ποιοι αριθμοί αντιστοιχούν στο σημείο M; Μονάδες 7 γ) Να βρείτε τα σημεία N του άξονα των ακέραιων αριθμών που ικανοποιούν τη σχέση (1), στο εσωτερικό του τμήματος AB, ώστε να ισχύει (NA) (NB) 3. ΘΕΜΑ Δ Δίνεται το τριώνυμο λx ( λ 1)x λ, λ 0. Μονάδες indd 59 9/1/015 13:35:51

23 4 Ανισώσεις α) Να βρείτε τη διακρίνουσα Δ του τριωνύμου και να αποδείξετε ότι το τριώνυμο έχει ρίζες πραγματικές για κάθε λ 0. Μονάδες 8 β) Αν x,x 1 είναι οι ρίζες του τριωνύμου, να εκφράσετε το άθροισμα S x1 x συναρτήσει του λ 0 και να βρείτε την τιμή του γινομένου P x x των ριζών. 1 Μονάδες 5 γ) Αν λ 0, το παραπάνω τριώνυμο έχει ρίζες θετικές ή αρνητικές; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Μονάδες 6 δ) Αν 0 λ 1 και x,x, 1 με x 1 < x, είναι οι ρίζες του παραπάνω τριωνύμου, τότε να βρείτε το πρόσημο του γινομένου f(0) f( κ) f( μ), όπου κ, μ είναι αριθμοί τέτοιοι, ώστε x κx μ. 1 Μονάδες indd 60 9/1/015 13:35:51