ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ
|
|
- Ὀρέστης Καλαμογδάρτης
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Αν έχω τριώνυμο της μορφής :,. Υπολογίζω την Διακρίνουσα 4 Αν Δ> τότε η εξίσωση έχει άνισες ρίζες έστω Ομόσημο του α Ετερόσημο του α, τότε: Ομόσημο του α Αν Δ= τότε η εξίσωση έχει διπλή ρίζα έστω, τότε: Ομόσημο του α Ομόσημο του α Αν Δ< τότε η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες, τότε: Ομόσημο του α Παράδειγμα: Για τις διάφορες τιμές του να βρείτε το πρόσημο των τριωνύμων: i) 3 ii) 5 6 iii)4 4 Λύση: i)θα λύσω αρχικά την εξίσωση Βρίσκω την Διακρίνουσα Άρα η εξίσωση έχει άνισες ρίζες : 3 3, 3 Άρα Δηλαδή, αν αντικαταστήσω στο χ αριθμό μέχρι το, το αποτέλεσμα των πράξεων θα είναι θετικό, αν αντικαταστήσω αριθμό από μέχρι τότε το αποτέλεσμα θα είναι αρνητικό και αν αντικαταστήσω αριθμό πάνω από το αποτέλεσμα θα είναι θετικό. Φυσικά, αν αντικαταστήσω όπου χ το ή το το αποτέλεσμα θα είναι μηδέν γιατί αυτοί οι αριθμοί είναι ρίζες της εξίσωσης. ii) Βρίσκω την Διακρίνουσα της αντίστοιχης εξίσωσης, οπότε: , οπότε το τριώνυμο δεν έχει ρίζες.άρα
2 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Δηλαδή, οποιοδήποτε πραγματικό αριθμό και αν αντικαταστήσουμε στη θέση του το αποτέλεσμα των πράξεων θα είναι πάντα θετικό. iii) Βρίσκω την Διακρίνουσα Άρα η εξίσωση έχει (διπλή) ρίζα την 8 Οπότε, ΑΣΚΗΣΕΙΣ.Να παραγοντοποιήσετε τα παρακάτω τριώνυμα: i) 3 ii) 5 6 iii)3 5 4 iv) v) 5 3 vi).να παραγοντοποιήσετε τα παρακάτω τριώνυμα: i ) 6 9 ii) iii) Να παραγοντοποιήσετε τα παρακάτω τριώνυμα:, 3 4 a a, a y y 7 5a 5a 3 3 a, a a a 4.Να απλοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις: i) ii) iii) iv) v) vi) Να απλοποιήσετε το κλάσμα: 3 7
3 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ 6.Να βρείτε το πρόσημο των τριωνύμων: i)3 4 ii)- 5 iii) iv )3 6 3 v)3 7 vi) Να βρείτε το πρόσημο των τριωνύμων i)5 3 ii)- iii)- iv ) v)3 6 3 vi) Να λύσετε τις ανισώσεις: ) ii)4 9 iii)9- iv ) 9 v) 7 vi) Να λύσετε τις ανισώσεις: i)5 ii)- 4 iii)- 8 iv ) 7 v)-3 4 vi)-9 6. Να λύσετε τις ανισώσεις: i ) 9 ii) 9 iii) 6 iv) 8 v)4 5 vi) Να λύσετε τις ανισώσεις: i) 3 6 ii) 3-. Να λύσετε τις ανισώσεις: i)3 5 ii)4 7 8 iii) iv ) 3 v) 3 vi) 4 3. Να λύσετε τις ανισώσεις: i) 3 4 ii) iii)-3 iv ) v)- vi) Να λύσετε τις ανισώσεις: i) 6 9 ii) 6 9 iii)4 4 iv )4 9 v)9 6 vi)- 5 73
4 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ 5.Να βρείτε για ποιες τιμές του χ συναληθεύουν οι ανισώσεις: i) 5 4 και - 8 ii ) και 8 iii ) 3 και - iv ) 6 και 6.Για ποιες τιμές του ισχύει Για ποιες τιμές του χ ισχύουν: i)4 7 5 ii ) Να λυθούν οι ανισώσεις: 4 i) 4 3 ii) iii) 7 4 iv) 5 4 v) vi) 5 9.Να λυθούν οι ανισώσεις: i) 3 3 ii) 9 6 iii) 8 8 Να λύσετε τις εξισώσεις: i ) 6 6 ii) 6 6 iii) 9 9 iv) 9 9 v) vi) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση : ρίζες για οποιαδήποτε τιμή του.δίνεται η εξίσωση 3 έχει πραγματικές,λ - Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες Α)η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες Β)το άθροισμα των ριζών της εξίσωσης είναι ίσο με 3.Για ποιες τιμές του η εξίσωση Α)έχει δύο πραγματικές και άνισες ρίζες Β)δεν έχει πραγματικές ρίζες Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η εξίσωση ρίζες. 5.Να αποδείξετε ότι η εξίσωση άνισες για οποιαδήποτε τιμή του έχει 3 έχει ρίζες πραγματικές και 74
5 6.Δίνεται η εξίσωση ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ,λ - Α)Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες. Β)Αν είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης να βρείτε το λ ώστε 3, 7.Να αποδείξετε ότι η εξίσωση : άνισες για κάθε 7 έχει ρίζες πραγματικές και 8. Να βρείτε τις τιμές του ώστε η εξίσωση πραγματικές και άνισες ρίζες 9.Δίνεται η εξίσωση, λ () 3 6 έχει Α)Να λύσετε την εξίσωση όταν λ= Β)Έστω i) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση () έχει ρίζες πραγματικές και άνισες, τις οποίες στη συνέχεια να βρείτε. ii) Αν και είναι οι δύο ρίζες της () να προσδιορίσετε τις τιμές του λ, για τις οποίες ισχύει 3.Για τις διάφορες τιμές του να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης 3.Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες οι παρακάτω εξισώσεις έχουν ρίζες πραγματικές και άνισες: i) 5,λ -5 5 ii) 5λ- 6 3,λ 3. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ρίζες για οποιαδήποτε τιμή του. δεν έχει πραγματικές 33.Για τις διάφορες τιμές του να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η εξίσωση πραγματικές και άνισες. 35. Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η εξίσωση πραγματικές και άνισες. 36. Να βρείτε τις τιμές του ώστε η εξίσωση πραγματικές ρίζες. 4 4 έχει ρίζες 4 έχει ρίζες δεν έχει 75
6 37.Δίνεται η εξίσωση ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ 3,λ - Α)Να δείξετε ότι διακρίνουσα της εξίσωσης είναι Δ=λ+5 Β)Να βρείτε τις τιμές του,ώστε η εξίσωση να έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες Γ)Να εκφράσετε ως συνάρτηση του λ το άθροισμα των ριζών και το γινόμενο των ριζών P Δ)Να εξετάσετε αν υπάρχει τιμή του λ ώστε για τις ρίζες 3, S της εξίσωσης να ισχύει 38. Να αποδείξετε ότι η ανίσωση αριθμό χ αληθεύει για κάθε πραγματικό 39.Να βρείτε για ποιες τιμές του αληθεύει για κάθε 5 8 η ανίσωση 4.Να βρείτε τις τιμές του μ για τις οποίες το τριώνυμο θετικό για κάθε πραγματικό αριθμό είναι 4.Να βρείτε για ποιες τιμές του η ανίσωση αληθεύει για κάθε Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού λ για τις οποίες ισχύει : για κάθε. 43.Αν 3, να δείξετε ότι για κάθε οι τιμές του τριωνύμου είναι αρνητικές Δίνεται η εξίσωση 3,λ Αν, είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης διάφορες του μηδενός Α)Να υπολογιστούν οι παραστάσεις i) ii) Β)Να βρεθούν οι τιμές του λ ώστε να ισχύει η σχέση 45.Δίνεται η εξίσωση :, Α)Να προσδιορίσετε τον πραγματικό αριθμό λ, ώστε η εξίσωση να έχει ρίζες πραγματικές Β) Να λύσετε την ανίσωση : S P, όπου S, P είναι αντίστοιχα το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών 46 α)να λύσετε την εξίσωση :
7 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Β)Να λύσετε την ανίσωση : 3 Γ)Να εξετάσετε αν οι λύσεις της εξίσωσης του (α) ερωτήματος είναι και λύσεις της ανίσωσης του ερωτήματος (β). f ( ), 47.Δίνεται το τριώνυμο Α) Να βρείτε τη διακρίνουσα Δ του τριωνύμου και να αποδείξετε ότι το τριώνυμο έχει ρίζες πραγματικές για κάθε. Β)Για ποια τιμή του λ το τριώνυμο έχει ρίζες ομόσημες; Γ) Αν και, είναι οι ρίζες του παραπάνω τριωνύμου με τότε: i)να αποδείξετε ότι ii)να διατάξετε από τον μικρότερο προς τον μεγαλύτερο τους αριθμούς f, f, f 48.Δίνεται η εξίσωση 3 Α)Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες. Β)Αν, οι πραγματικές ρίζες της εξίσωσης να βρείτε τους λ για τους οποίους ισχύει 49.Δίνεται το τριώνυμο : f 6 3,λ Α)Να υπολογίσετε τη διακρίνουσα Δ του τριωνύμου Β)Να βρείτε τις τιμές λ για τις οποίες το τριώνυμο έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες Γ)Αν 3<λ< τότε: i) Να δείξετε ότι το τριώνυμο έχει δύο άνισες θετικές ρίζες ii)αν, με δύο ρίζες και κ,μ είναι δύο αριθμοί με κ< και f f, να προσδιορίσετε το πρόσημο του 5.Δίνεται η εξίσωση Α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει μοναδική ρίζα για κάθε Β)Να βρείτε για ποιες τιμές του για την διπλή ρίζα της εξίσωσης ισχύει Θεωρούμε την εξίσωση : 4 Α) Να βρείτε για ποιές τιμές του η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες Β) Αν, είναι οι ρίζες της εξίσωσης, να βρείτε για ποιες τιμές του ισχύει 6 5.Θεωρούμε την εξίσωση :
8 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Α)Να βρείτε για ποιες τιμές του η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες Β)Αν είναι οι ρίζες της εξίσωσης, να βρείτε για ποιες τιμές του ισχύει, 4 5.Δίνεται η εξίσωση,λ Α)Να δειχτεί ότι η εξίσωση έχει δύο ρίζες άνισες για κάθε Β)Αν είναι οι ρίζες να υπολογίσετε τις παραστάσεις i) ii), Γ)Να βρεθεί ο λ ώστε 3 53.(Τ.Θ) α. Να λύσετε τις ανισώσεις: 5 3 και Β)Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήματος α). 54.(Τ.Θ). α) Να λύσετε την εξίσωση: Β)Να λύσετε την ανίσωση: () 6 () Γ) Να εξετάσετε αν υπάρχουν τιμές του χ που ικανοποιούν ταυτόχρονα τις σχέσεις () και () (Τ.Θ) α) Να λύσετε την εξίσωση: Β)Να λύσετε την ανίσωση: 3 Γ)Να εξετάσετε αν οι λύσεις της εξίσωσης του (α) ερωτήματος είναι και λύσεις της ανίσωσης του (β) ερωτήματος. 56.(Τ.Θ).Δίνεται πραγματικός αριθμός χ, για τον οποίο ιαχύει d Να δείξετε ότι: ) 3 ) (Τ.Θ).Δίνεται το τριώνυμο : Α)Να βρείτε τις ρίζες του 3 Β) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες Γ) Να εξετάσετε αν οι αριθμοί 3 3 και 3, είναι λύσεις της ανίσωσης : 58.(Τ.Θ). α) Να λυθεί η ανίσωση: 3 4. Β)Αν α,β δύο αριθμοί που είναι λύσεις της παραπάνω ανίσωσης, να αποδείξετε ότι ο αριθμός 3 6 είναι επίσης λύση της ανίσωσης. 9 59(Τ.Θ).Να αποδείξετε ότι 4 5 για κάθε πραγματικό αριθμό χ. Β)Να γράψετε χωρίς απόλυτες τιμές την παράσταση:
9 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ 6.(Τ.Θ). α.να λύσετε την ανίσωση: Β)Να λύσετε την ανίσωση : Γ) Να παραστήσετε τις λύσεις των δύο προηγούμενων ανισώσεων στον ίδιο άξονα των πραγματικών αριθμών. Με τη βοήθεια του άξονα, να προσδιορίσετε το σύνολο των κοινών τους λύσεων και να το αναπαραστήσετε με διάστημα ή με ένωση διαστημάτων. 6.(Τ.Θ).α) Να λύσετε την ανίσωση: Β)Να λύσετε την ανίσωση: Γ)Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων των ερωτημάτων (α) και (β) με χρήση του άξονα των πραγματικών αριθμών και να τις γράψετε με τη μορφή διαστήματος. 6.(Τ.Θ). α) Να λύσετε την εξίσωση : 4 3. Β)Να λύσετε την ανίσωση : 3 5 Γ) Είναι οι λύσεις της εξίσωσης του (α) ερωτήματος και λύσεις της ανίσωσης του (β) ερωτήματος; Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας. 63.(Τ.Θ). Αν ο πραγματικός αριθμός χ ικανοποιεί τη σχέση : Α) να δείξετε ότι 3, Β)να δείξετε ότι η τιμή της παράστασης : ανεξάρτητος του χ. 64.(Τ.Θ). α) Να λύσετε την ανίσωση 5. 3 είναι αριθμός 4 Β)Να βρείτε τους αριθμούς χ που απέχουν από το 5 απόσταση μικρότερη του 3. Γ)Να βρείτε τις κοινές λύσεις των (α) και (β). 65. (Τ.Θ) α) Να λύσετε την ανίσωση : 5 4 Β) Αν κάποιος αριθμός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι: (Τ.Θ) Δίνονται δύο τμήματα,y για τα οποία ισχύουν : 3 και y 6 4 Α) Να δείξετε ότι : 5 και y Β) Να βρεθεί η μικρότερη και η μεγαλύτερη τιμή που μπορεί να πάρει η περίμετρος ενός ορθογωνίου με διαστάσεις και y. 67.(Τ.Θ) α) Να λύσετε την ανίσωση : Β) Δίνεται η παράσταση : Α= 3 Γ)Για 3<χ<7 να δείξετε ότι: 4 3,7 για τις οποίες ισχύει Α=6. Δ)Να βρείτε τις τιμές του 79
10 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ 68.(Τ.Θ) α) Να λύσετε την ανίσωση Β)Αν 4 3 να γράψετε την παράσταση 4 3 Να αιτιολογήσετε το συλλογισμό σας. 69(Τ.Θ).Δίνεται πραγματικός αριθμός χ για τον οποίο ισχύει : Α) Να αποδείξετε ότι : -<χ<5 Β)Να απλοποιήσετε την παράσταση :. a χωρίς απόλυτες τιμές (Τ.Θ) Δίνεται η παράσταση: 3 Α)Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυμο 3 Β)Για ποιες τιμές του ορίζεται η παράσταση Κ ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Γ)Να απλοποιήσετε την παράσταση Κ (Τ.Θ) Δίνεται το τριώνυμο Α) Να αποδείξετε ότι η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι : 3 Β)Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυμο. 7.(Τ.Θ) α)να παραγοντοποιήσετε το τριώνυμο 3 Β)Να βρείτε τις τιμές του χ για τις οποίες έχει νόημα η παράσταση: και στη συνέχεια να την απλοποιήσετε. 3 Γ)Να λύσετε την εξίσωση : 73.(Τ.Θ). Δίνεται η εξίσωση : (),λ Α)Να προσδιορίσετε τον πραγματικό αριθμό λ, ώστε η εξίσωση () να έχει ρίζες πραγματικές. Β)Να λύσετε την ανίσωση : S P όπου S και P είναι αντίστοιχα το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών της (). 74.(Τ.Θ).Δίνονται τα σημεία Α,Β,Μ που παριστάνουν στον άξονα των πραγματικών αριθμών τους -, 7, χ αντίστοιχα, με -<χ<7. Α) Να διατυπώσετε τη γεωμετρική ερμηνεία των παραστάσεων: i) ii) 7 Β)Με τη βοήθεια του άξονα να δώσετε τη γεωμετρική ερμηνεία του αθροίσματος : 7 8
11 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Γ)Να βρείτε την τιμή της παράστασης : 7 γεωμετρικά. Δ)Να επιβεβαιώσετε αλγεβρικά το προηγούμενο συμπέρασμα. 75.(Τ.Θ) Για τους πραγματικούς αριθμούς 3, ισχύει ότι: Α) Να αποδειχθεί ότι: <α<3. Β)Να βρεθεί μεταξύ ποιων αριθμών βρίσκεται ο β. Γ)Να βρεθεί μεταξύ ποιων αριθμών βρίσκεται η παράσταση α-3β. Δ)Να βρεθεί μεταξύ ποιων αριθμών βρίσκεται η παράσταση 76.(Τ.Θ).Δίνονται οι ανισώσεις: Α) Να βρείτε τις λύσεις τους.. 3 και 8. Β)Να δείξετε ότι οι ανισώσεις συναληθεύουν για,4 Γ)Αν οι αριθμοί και ρ ανήκουν στο σύνολο των κοινών λύσεων των δύο ανισώσεων, να δείξετε ότι και ο αριθμός 77.(Τ.Θ).Δίνονται οι ανισώσεις: Α)Να βρείτε τις λύσεις τους. είναι κοινή τους λύση. 3 και 4. Β)Να δείξετε ότι οι ανισώσεις συναληθεύουν για,3 Γ) Αν οι αριθμοί και ρ ανήκουν στο σύνολο των κοινών λύσεων των δύο ανισώσεων, να δείξετε ότι και ο αριθμός είναι κοινή τους λύση. 78.(Τ.Θ).Δίνεται το τριώνυμο : 8 Α)Να βρείτε το πρόσημο του τριωνύμου για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού χ Β)Αν, είναι η τιμή της παράστασης : 8 μηδέν, θετικός ή 4444 αρνητικός αριθμός; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Γ)Αν ισχύει -4<μ<4, τι μπορείτε να πείτε για το πρόσημο της τιμής της παράστασης : 8; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. 79.(Τ.Θ) α).να λύσετε την ανίσωση: Β)Να βρείτε το πρόσημο του αριθμού 5 6 και να αιτιολογήσετε τον συλλογισμό σας. 6,6, να βρείτε το πρόσημο της παράστασης 5 6. Γ) Αν Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. 8
12 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ 8.(Τ.Θ). α)να λύσετε την ανίσωση: () Β)Δίνονται δυο αριθμοί κ,λ οι οποίοι είναι λύσεις της ανίσωσης () και ικανοποιούν επιπλέον τη σχέση : 5 i)να δείξετε ότι το είναι μεταξύ των κ,λ ii) Να δείξετε ότι : 3 8.(Τ.Θ). Δίνεται πραγματικός αριθμός α, που ικανοποιεί τη σχέση : Α) Να γράψετε σε μορφή διαστήματος το σύνολο των δυνατών τιμών του α. a 4 i)να βρείτε τη διακρίνουσα του τριωνύμου και να προσδιορίσετε το πρόσημό της. Β) Θεωρούμε στη συνέχεια το τριώνυμο : ii) Να δείξετε ότι, για κάθε τιμή του a 4, ισχύει 8.(Τ.Θ).α) Να λύσετε την ανίσωση : 6 Β)Να λύσετε την ανίσωση : Γ)Δίνεται το παρακάτω ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με πλευρές α και α+ όπου ο αριθμός α ικανοποιεί τη σχέση. Αν για το εμβαδόν Ε του ορθογωνίου ισχύει Ε<6 τότε: 3 i)να δείξετε ότι: ii)να βρείτε μεταξύ ποιων αριθμών κυμαίνεται η περίμετρος του ορθογωνίου. 83.(Τ.Θ). α)δίνεται το τριώνυμο 3,.Να βρείτε το πρόσημο του τριωνύμου. Β)Θεωρούμε πραγματικούς αριθμούς α,β διαφορετικούς από το με α<β για τους 3 3 οποίους ισχύει Να αποδείξετε ότι ισχύει 84.(Τ.Θ) α)i)να βρείτε τις ρίζες του τριωνύμου : 9 8 ii)να λύσετε την εξίσωση: β)i) Να βρείτε το πρόσημο του τριωνύμου πραγματικού αριθμού χ. ii) Να βρείτε τις τιμές του χ για τις οποίες ισχύει : 85.(Τ.Θ). Δίνεται η εξίσωση : 9 8 για τις διάφορες τιμές του 5 (),λ Α) Να δείξετε ότι η διακρίνουσα της εξίσωσης () είναι :
13 Β)Να βρείτε τις τιμές του άνισες. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Γ)Αν η εξίσωση () έχει ρίζες τους αριθμούς, ώστε η εξίσωση να έχει δυο ρίζες πραγματικές και, d, και είναι η απόσταση των, στον άξονα των πραγματικών αριθμών, να βρείτε για ποιες τιμές του λ ισχύει d, (Τ.Θ). Δίνεται η εξίσωση 3 (),λ -. Α)Να δείξετε ότι η διακρίνουσα της εξίσωσης () είναι 5. Β)Να βρείτε τις τιμές του, ώστε η εξίσωση () να έχει δυο ρίζες πραγματικές και άνισες. Γ)Να εκφράσετε ως συνάρτηση του λ το άθροισμα των ριζών και το γινόμενο των ριζών Δ)Να εξετάσετε αν υπάρχει τιμή του λ ώστε για τις ρίζες ισχύει η σχέση : 3 87.(Τ.Θ).Δίνεται η εξίσωση, (),λ S της εξίσωσης () να Α) Να λύσετε την εξίσωση όταν Β)Έστω i)να αποδείξετε ότι η εξίσωση () έχει ρίζες πραγματικές και άνισες, τις οποίες στη συνέχεια να βρείτε: ii)αν και είναι οι δύο ρίζες της εξίσωσης να προσδιορίσετε τις τιμές του λ, για τις οποίες ισχύει 88.(Τ.Θ). Δίνεται η εξίσωση, λ. Α)Να δείξετε ότι για κάθε η εξίσωση έχει δυο άνισες ρίζες. Β)Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης για κάθε. Γ)Να βρείτε για ποιες τιμές του πραγματικού αριθμού λ, οι δυο άνισες ρίζες της εξίσωσης ανήκουν στο διάστημα (-,4). 89.(Τ.Θ).α)Να βρείτε το πρόσημο του τριωνύμου 5 6 για τις διάφορες τιμές του. Β)Δίνεται η εξίσωση () 4 i)να αποδείξετε ότι για κάθε, 3. η εξίσωση () έχει δυο ρίζες άνισες. ii)να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες οι ρίζες της () είναι ομόσημοι αριθμοί. 9.(Τ.Θ).Δίνεται το τριώνυμο :, λ - Α)Να βρείτε τη διακρίνουσα Δ του τριωνύμου και να αποδείξετε ότι το τριώνυμο έχει ρίζες πραγματικές για κάθε 83
14 Β) Αν, συναρτήσει του ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ είναι οι ρίζες του τριωνύμου, να εκφράσετε το άθροισμα και να βρείτε την τιμή του γινομένου S των ριζών. Γ) Αν λ<, τότε: i)το παραπάνω τριώνυμο έχει ρίζες θετικές ή αρνητικές; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. ii)να αποδείξετε ότι όπου είναι οι ρίζες του παραπάνω τριωνύμου., 9.(Τ.Θ). Δίνεται η εξίσωση : a 5 a α Α)Να αποδείξετε ότι αν 5 που είναι αντίστροφοι μεταξύ τους. Β) Να βρείτε τις λύσεις της εξίσωσης, όταν α=. Γ) Να λύσετε την εξίσωση :, τότε η εξίσωση έχει ρίζες πραγματικούς αριθμούς, 5 9.(Τ.Θ). Δίνεται η εξίσωση : 4 3 λ Α) Να γράψετε την εξίσωση στη μορφή :, α Β)Να βρείτε για ποιες τιμές του λ η εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές και άνισες. Γ)Αν, είναι οι ρίζες της εξίσωσης, στην περίπτωση που έχει ρίζες πραγματικές και άνισες. i)να υπολογίσετε τα S και Ρ= ii) να αποδείξετε ότι η παράσταση δηλαδή σταθερή. 93.(Τ.Θ).Δίνεται η εξίσωση : είναι ανεξάρτητη του λ,,λ Α)Να βρείτε τη διακρίνουσα Δ της εξίσωσης και να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές για κάθε. Β)Για ποια τιμή του λ η εξίσωση () έχει δύο ρίζες ίσες; Γ)Αν, είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης (), τότε να βρείτε για ποιες τιμέςε του λ ισχύει d, 94.(Τ.Θ). Δίνεται η εξίσωση :,λ Α) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ η εξίσωση () έχει ρίζες πραγματικές και άνισες. Β)Να αποδείξετε ότι αν ο αριθμός ρ είναι ρίζα της εξίσωσης (), τότε και ο αριθμός είναι επίσης ρίζα της εξίσωσης. Γ)Για λ> να αποδείξετε ότι: i)οι ρίζες, της εξίσωσης () είναι αριθμοί θετικοί. ii)
15 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ 95.(Τ.Θ).Δίνεται η εξίσωση: αριθμοί. a, όπου α, β δύο θετικοί Α) Να δείξετε ότι η διακρίνουσα Δ της εξίσωσης είναι : Β)Να βρείτε τη σχέση μεταξύ των αριθμών α,β ώστε η εξίσωση να έχει δύο άνισες ρίζες, τις οποίες να προσδιορίσετε ως συνάρτηση των α,β. a Γ)Αν οι ρίζες της εξίσωσης είναι και τότε να αποδείξετε ότι: 4 96.(Τ.Θ).Δίνεται το τριώνυμο:, λ - Α) Να βρείτε τη διακρίνουσα Δ του τριωνύμου και να αποδείξετε ότι το τριώνυμο έχει ρίζες πραγματικές για κάθε. Β)Αν, συναρτήσει του είναι οι ρίζες του τριωνύμου, να εκφράσετε το άθροισμα και να βρείτε την τιμή του γινομένου P S των ριζών. Γ) Αν λ> το παραπάνω τριώνυμο έχει ρίζες θετικές ή αρνητικές; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Δ)Για κάθε λ>, αν ότι:, είναι οι ρίζες του παραπάνω τριωνύμου, να αποδείξετε 97. (Τ.Θ). Οι πλευρές, ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου είναι οι ρίζες της εξίσωσης : 4 6, λ,4 Α)Να βρείτε : i) την περίμετρο Π του ορθογωνίου συναρτήσει του λ. ii)το εμβαδόν Ε του ορθογωνίου. 6,λ, 4 Β)Να αποδείξετε ότι Γ)Για ποια τιμή του λ η περίμετρος Π του ορθογωνίου γίνεται ελάχιστη, δηλαδή ίση με 6; Τι μπορείτε να πείτε τότε για το ορθογωνιο; 98. Δίνεται η παράσταση: με α=. Α.Να υπολογίσετε την παράσταση Α. Β.Να λύσετε την ανίσωση. 85
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Τι ονομάζουμε εξίσωση ου βαθμού; o Εξίσωση ου βαθμού με ένα άγνωστο ονομάζουμε κάθε εξίσωση που γράφεται ή μπορεί να γραφεί στη μορφή με α π.χ 5 6 Τι ονομάζουμε εξίσωση ου βαθμού ελλιπούς
1. Nα λυθούν οι ανισώσεις. 2. Nα λυθούν οι ανισώσεις. 3. Nα βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων: 4. Nα βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων:
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ. Nα λυθούν οι ανισώσεις α) 4 β) 4. Nα λυθούν οι ανισώσεις ( )( ) α) + > - (+) β). Nα βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων: ( ) ( ) 8 4 8 και
7. α) Να λύσετε την ανίσωση x 5 <4. β) Αν κάποιος αριθμός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήματος (α). x 1. Δίνονται οι ανισώσεις: 3x 1
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνονται οι ανισώσεις: 3x και 2 x α) Να βρείτε τις λύσεις τους (Μονάδες 10) β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων (Μονάδες 15) α) Έχουμε 3x 2x x 2
ΘΕΜΑ ΘΕΜΑ ΘΕΜΑ 4
7.0 ΘΕΜΑ 4 Δίνονται τα σημεία Α, Β και Μ που παριστάνουν στον άξονα των πραγματικών αριθμών τους αριθμούς -, 7 και x αντίστοιχα, με - < x < 7. α) Να διατυπώσετε τη γεωμετρική ερμηνεία των παραστάσεων.
ΘΕΜΑ 2 (996) A = x 1 + y 3, με x, y πραγματικούς αριθμούς, για τους οποίους. Δίνεται η παράσταση:
ΘΕΜΑ 2 (996) Δίνεται η παράσταση: A = x 1 + y 3, με x, y πραγματικούς αριθμούς, για τους οποίους ισχύει: 1 < x < 4 και 2 < y < 3. Να αποδείξετε ότι: α) A = x y +2. (Μονάδες 12) β) 0 < A < 4. (Μονάδες 13)
Ανισώσεις. Κώστας Γλυκός. Τράπεζα θεμάτων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. εκδόσεις / 1 0 /
Ανισώσεις Κώστας Γλυκός Τράπεζα θεμάτων ΙΙ Ι δδ ιι ι αα ίί ί ττ εε ρρ αα μμ αα θθ ήή μμ αα ττ αα 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kgllykos..gr 5 / 1 0 / 0 1 6 εκδόσεις τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-300.88.88
1, 2, Β 3, 2,λ. 7, να 2 βρείτε την τιμή του k. x x y y Α)Να βρείτε τις τιμές των x,y για τις οποίες ορίζεται η παράσταση. Β)Να αποδείξετε ότι Α=-1
,, Β,,λ. Δίνονται τα σημεία Β.Αν τα Α,Β είναι συμμετρικά ως προς τον άξονα y y να βρείτε το λ. Β. Βρείτε τις τιμές του λ, ώστε το σημείο Β να βρίσκεται στο ο τεταρτημόριο του ορθοκανονικού συστήματος.
Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα 1+α < 1+ α. α+α
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος (α). x 1. ίνονται οι ανισώσεις: 3x 1
β) Αν κάποιος αριθµός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι 1 1 1 9 < α
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος (α). x 1. ίνονται οι ανισώσεις: 3x 1
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - 2 ου ΒΑΘΜΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 9). Να λυθούν οι εξισώσεις :
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ου ΒΑΘΜΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ). Να λυθούν οι εξισώσεις: α). + ( 3 ) 6 = 0 β). 4 ( 3 ) + 3 = 0 γ). + ( ) = 0 δ). 5 + 5 = 0 ε). 4( 3) + 5 + 6 6 = 0 στ).( + 3 ) ( 3 + ) ( 3 ) = 0 η). + (3 ) + (4 3 ) = 0
ΡΑΛΛΕΙΟ ΓΕΛ ΘΗΛΕΩΝ ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧ. ΕΤΟΣ Απόλυτες τιμές Α Λυκείου. 1. α) Αν, να αποδειχθεί ότι: Μονάδες 15
ΡΑΛΛΕΙΟ ΓΕΛ ΘΗΛΕΩΝ ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧ. ΕΤΟΣ 016-17 Απόλυτες τιμές Α Λυκείου 1. α) Αν, να αποδειχθεί ότι: Μονάδες 15 β) Αν α
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - 2 ο ΘΕΜΑ
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Ένα τηλεοπτικό παιχνίδι παίζεται με ζεύγη αντιπάλων των δυο φύλων. Στο παιχνίδι συμμετέχουν άντρες: ο Δημήτρης (Δ), ο Κώστας (Κ), ο Μιχάλης (Μ) και γυναίκες:
Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 2ο. οι πράξεις και οι ιδιότητές τους
οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Μερικές ακόμη ταυτότητες (επιπλέον από τις αξιοσημείωτες που βρίσκονται στο σχολικό βιβλίο) ) Διαφορά δυνάμεων με ίδιο εκθέτη: ειδικά αν ο εκθέτης ν είναι άρτιος υπάρχει
ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ
3. Δίνεται ο πίνακας: 3 3 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ ο. Ένα κουτί περιέχει άσπρες, μαύρες, κόκκινες και πράσινες μπάλες. Οι άσπρες είναι 5, οι μαύρες είναι 9, ενώ οι κόκκινες και οι πράσινες μαζί είναι 6. Επιλέγουμε
β. Να βρείτε την πιθανότητα πραγματοποίησης καθενός από τα δύο ενδεχόμενα του ερωτήματος α).
1.: Έννοια της Πιθανότητας Κεφάλαιο 1ο: Πιθανότητες ΑΣΚΗΣΗ 1 (_497) Ένα τηλεοπτικό παιχνίδι παίζεται με ζεύγη αντιπάλων των δυο φύλων. Στο παιχνίδι συμμετέχουν 3 άντρες: ο Δημήτρης (Δ), ο Κώστας (Κ), ο
3. α) Να λύσετε την εξίσωση x 2 = 3. β) Να σχηματίσετε εξίσωση δευτέρου βαθμού με ρίζες, τις ρίζες της εξίσωσης του α) ερωτήματος.
. Δίνεται η εξίσωση λ + 4(λ ) = 0, με παράμετρο λ R α) Να βρείτε τη διακρίνουσα της εξίσωσης. β) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές για κάθε λ R. γ) Αν, είναι οι ρίζες της παραπάνω
ii) Να ποια τιμή του ώστε η εξίσωση (1) έχει μία διπλή πραγματική ρίζα; Έπειτα να βρεθεί η ρίζα αυτή. Ασκήσεις Άλγεβρας
. Δίνεται η εξίσωση, (). i) Να βρεθεί ο αριθμός ώστε η εξίσωση () να έχει μία τουλάχιστον πραγματική ρίζα. ii) Να βρεθεί ο αριθμός ώστε η εξίσωση () να έχει δύο ίσες πραγματικές ρίζες. iii) Να βρεθεί ο
Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)
Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΘΕΜΑ 2. βρείτε. (Μονάδες 15) με διαφορά ω.
ΘΕΜΑ ΘΕΜΑ Έστω α, β πραγµατικοί αριθµοί για τους οποίους ισχύουν: α β = 4 και αβ + αβ = 0 α) Να αποδείξετε ότι: α + β = 5. (Μονάδες 0) β) Να κατασκευάσετε εξίσωση ου βαθµού µε ρίζες τους αριθµούς α, β
Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα
Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό
ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,
Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι
12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο
ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Έστω f σύνολο Α, g Α ΒΑΘΜΟΥ είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής πού παίρνει τιμές στο Ανίσωση με έναν άγνωστο λέγεται κάθε σχέση της μορφής f f g g ή, η οποία αληθεύει για ορισμένες
Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 4 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός
Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 4 Θέμα 2 Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Θεωρία ως και την 4.1 Ασκήσεις: 1-12 Θεωρία ως και την 4.2 Ασκήσεις: 13-25 Άσκηση 1 α) Να λύσετε την ανίσωση
Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός
Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Θεωρία ως και την 3. Ασκήσεις: -5 Θεωρία ως και την 3.3 Ασκήσεις: 6-8 Άσκηση Δίνεται η παράσταση: A= 3 5 +
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Τι ονομάζουμε εξίσωση ου βαθμού; o Εξίσωση ου βαθμού με ένα άγνωστο ονομάζουμε κάθε εξίσωση που γράφεται ή μπορεί να γραφεί στη μορφή με α π.χ 5 6 Τι ονομάζουμε εξίσωση ου βαθμού ελλιπούς
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
.α) Να αποδείξετε ότι για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς x,y ισχύει: x y x y x 6y 0 0 Β)Να βρείτε τους αριθμούς x,y ώστε x y x y 6 0 0.Δίνονται οι μη μηδενικοί πραγματικοί αριθμοί α,β με τους οποίους
Άλγεβρα Α Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου
Άλγεβρα Α Λυκείου Στέλιος Μιχαήλογλου wwwaskisopolisgr Άλγεβρα Α Λυκείου Οι πράξεις των πραγματικών αριθμών και οι ιδιότητες τους Αν οι αριθμοί α,β είναι αντίστροφοι, να αποδείξετε ότι: 7 4 : 8 0 7 Να
2 είναι λύσεις της ανίσωσης 2x2 3x+1<0.
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. α) Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης x +0x=. x + 0x β) Να λύσετε την εξίσωση x. ίνεται η εξίσωση: x λx+(λ +λ )=0 (), λ R. α) Να προσδιορίσετε τον πραγµατικό αριθµό λ, ώστε η
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ α + β + γ = 0 α 0 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΙΑΚΡΙΝΟΥΣΑΣ 1. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις ως προς ή y: α) - 4 = 0 β) 3 = 4 γ) + - 15 = 0 δ) 5-18 -
ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο
ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Γ Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον
ΑΛΓΕΒΡΑ. 14ο Λύκειο Περιστερίου
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ 4ο Λύκειο Περιστερίου Εκκφωννήήσσεει ιςς κκααι ι λλύύσσεει ιςς θθεεμμάάττωνν Άλλγγεεββρρααςς Τρράάππεεζζααςς θθεεμμάάττωνν ααννάά εεννόόττηητταα ΑΛΓΕΒΡΑ
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από
Άλγεβρα Α Λυκείου. Επαναληπτικά θέματα από διαγωνίσματα ΟΕΦΕ Πραγματικοί αριθμοί
wwwaskisopolisgr Άλγεβρα Α Λυκείου Επαναληπτικά θέματα από διαγωνίσματα ΟΕΦΕ 006-08 Δίνεται ότι και y Πραγματικοί αριθμοί α) i Να βρεθούν τα όρια μεταξύ των οποίων περιέχεται το ii Να βρεθούν τα όρια μεταξύ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ. i) x 1
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ. Δίνεται το τριώνυμο : 3.Να βρείτε το πρόσημο των τιμών του τριωνύμου για : 3 4 i) 3 i 4 3. Να βρεθεί το πρόσημο των τριωνύμων : i) f ( ) 5 3 g( ) i h( ) 3. Να βρεθεί το
Α Λυκείου ΑΛΓΕΒΡΑ & ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
Α Λυκείου ΑΛΓΕΒΡΑ & ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ τράπεζαθεμάτων θέμαδεύτεροκαιτέταρτο Επιμέλεια: ΕμμανουήλΚ.Σκαλίδης ΑντώνηςΚ.Αποστόλου ΚόμβοςΑτσιποπούλου014-15 1 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1. Ένα κουτί περιέχει 5 άσπρες,
6. α) Να λύσετε την εξίσωση 2x 1 =3. β) Αν α, β με α< β είναι οι ρίζες της εξίσωσης του ερωτήματος (α), τότε να λύσετε την εξίσωση αx 2 +βx+3=0.
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. Δίνεται η εξίσωση λx=x+λ, με λr. α) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση γράφεται ισοδύναμα (λ )x=(λ )(λ+), λr. β) Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η παραπάνω εξίσωση
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Άσκηση 1102 Δίνονται δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω και οι πιθανότητες α) Να υπολογίσετε την (Μονάδες 9) β) i) Να υπολογίσετε με διάγραμμα Venn και να γράψετε στη γλώσσα των συνόλων το ενδεχόμενο:
με Τέλος πάντων, έστω ότι ξεκινάει ένα άλλο υποθετικό σενάριο που απλά δεν διευκρινίζεται. Για το i) θα έχουμε , 2
Άσκηση 75 Σε έναν οργανισμό, αρχικά υπάρχουν 04800 βακτήρια. Μετά από 1 ώρα υπάρχουν 10400 βακτήρια, μετά από ώρες 5100 βακτήρια, και γενικά ο αριθμός των βακτηρίων υποδιπλασιάζεται κάθε μια ώρα. α) Πόσα
Εξισώσεις. Κώστας Γλυκός. Τράπεζα θεμάτων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. εκδόσεις / 1 0 /
Εξισώσεις Κώστας Γλυκός Τράπεζα θεμάτων ΙΙ Ι δδ ιι ι αα ίί ί ττ εε ρρ αα μμ αα θθ ήή μμ αα ττ αα 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kgllykos..gr 5 / 0 / 0 6 εκδόσεις Ασκήσεις Πιθανότητες Τράπεζα θεμάτων. Δίνεται η
ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. 3.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Οι ανισώσεις: αx + β > 0 και αx + β < 0
3 ΝΙΣΩΣΕΙΣ 31 ΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΘΜΟΥ Οι ανισώσεις: α + β > 0 και α + β < 0 Γνωρίσαμε στο Γυμνάσιο τη διαδικασία επίλυσης μιας ανίσωσης της μορφής α β 0 ή της μορφής α β 0, με α και β συγκεκριμένους αριθμούς
ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,
Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι
Εκφωνήσεις θεμάτων Άλγεβρας Τράπεζας θεμάτων ανά ενότητα. 2ο θέμα
.497 Πιιθαννότητεεςς ο θέμα Ένα τηλεοπτικό παιχνίδι παίζεται με ζεύγη αντιπάλων των δυο φύλων. Στο παιχνίδι συμμετέχουν 3 άντρες: ο Δημήτρης (Δ), ο Κώστας (Κ), ο Μιχάλης (Μ) και γυναίκες: η Ειρήνη (Ε)
Στέλιος Μιχαήλογλου - Δημήτρης Πατσιμάς
Μεθοδική Επανάληψη www.askisopolis.gr Στέλιος Μιχαήλογλου - Δημήτρης Πατσιμάς Ε. Σύνολα i. Τι είναι το σύνολο; ii. Ποιοι είναι οι βασικοί τρόποι παράστασης συνόλων και τι γνωρίζετε γι αυτούς; iii. Πότε
Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 ο : Ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς. 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού. 3.2 Η εξίσωση x. 3.3 Εξισώσεις 2 ου Βαθμού. ρωτήσεις αντικειμενικού τύπουθέμα Α1-
3. Εξισώσεις ου Βαθμού 3. Η εξίσωση 3.3 Εξισώσεις ου Βαθμού Διδακτικό υλικό Άλγεβρας Α Λυκείου (Κεφάλαιο 3 ο ) Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 ο : Ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς ρωτήσεις αντικειμενικού τύπουθέμα Α- Εξεταστέα ύλη
Αριθμοί. Κώστας Γλυκός. Τράπεζα θεμάτων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. εκδόσεις / 1 0 /
Αριθμοί Κώστας Γλυκός Τράπεζα θεμάτων ΙΙ Ι δδ ιι ι αα ίί ί ττ εε ρρ αα μμ αα θθ ήή μμ αα ττ αα 6 9 7 0 0 8 8 8 8 Kgllykosgr 5 / 0 / 0 6 εκδόσεις τηλ Οικίας : 0-6078 κινητό : 697-008888 Ασκήσεις Πιθανότητες
ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ
ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: A ΑΛΓΕΒΡΑ ΘΕΜΑ A Α1. Να αποδείξετε ότι: αβ α β (Μονάδες 15) A. Χαρακτηρίστε ως Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ) τις ακόλουθες προτάσεις: 1. Η εξίσωση
Παρατηρήσεις. Προβλήματα είχαν οι ασκήσεις:
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ Στέλιιος Μιιχαήλογλου-Δημήτρης Πατσιιμάς Εκκφωννήήσσεει ιςς κκααι ι λλύύσσεει ιςς θθεεμμάάττωνν Άλλγγεεββρρααςς Τρράάππεεζζααςς θθεεμμάάττωνν
4.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ
4.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 1 : ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ Για να λύσω μια ανίσωση της μορφής : 0 ή 0 1 ος τρόπος : Λειτουργώ όπως και στις εξισώσεις πρώτου βαθμού, δηλαδή χωρίζω γνωστούς από αγνώστους, και
1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο
1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑ 1 ο α) Αν χ 1, χ ρίζες της εξίσωσης αχ +βχ+γ=0, 0 να δείξετε ότι S 1 και P 1 Μον. 10 β) Έστω η συνάρτηση
Οι εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ ανά ενότητα
Οι εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ ανά ενότητα Ιούνιος 04 . Έννοια της πιθανότητας GI_A_ALG 497 Ένα τηλεοπτικό παιχνίδι παίζεται µε ζεύγη αντιπάλων των δυο φύλων. Στο παιχνίδι
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - 4 ο ΘΕΜΑ
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - 4 ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Σε μια ομάδα που αποτελείται από 7 άνδρες και 3 γυναίκες, 4 από τους άνδρες και από τις γυναίκες παίζουν σκάκι. Επιλέγουμε τυχαία ένα από τα άτομα αυτά.
4.2 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 112 114
1. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 11 11 A Ομάδας 1. Να μετατρέψετε σε γινόμενα παραγόντων τα τριώνυμα: x 3x + x 3x Δ ( 3). 1. 9 8 1 > 0 Ρίζες: x Άρα ( 3) 1.1 3 1 3 1 ή 31 x 3x +
Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 2 ο : Ο ι Π ρ α γ μ α τ ι κ ο ί Α ρ ι θ μ ο ί. 2.1 Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους. 2.2 Διάταξη Πραγματικών Αριθμών
Άλγεβρα Α Λυκείου, Κεφάλαιο ο ΘΕΩΡΙΑ-ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΠΡΟΤΑΣΕΩΝ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΥ Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο ο : Ο ι Π ρ α γ μ α τ ι κ ο ί Α ρ ι θ μ ο ί. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές
2018 Φάση 2 ιαγωνίσµατα Επανάληψης ΑΛΓΕΒΡΑ. Α' Γενικού Λυκείου. Σάββατο 21 Απριλίου 2018 ιάρκεια Εξέτασης:3 ώρες ΘΕΜΑΤΑ
ΘΕΜΑ A ΑΛΓΕΒΡΑ Α' Γενικού Λυκείου Σάββατο 1 Απριλίου 018 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΘΕΜΑΤΑ Πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f (x) από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β ονομάζουμε το σύνολο Α, στο οποίο φαίνονται οι
Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν
Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν Α λ γ ε β ρ α Α Λ υ κ ε ι ο υ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς Α λ γ ε β ρ α Α Λ υ κ ε ι ο υ Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς 868 936 064 073 080
Παρατηρήσεις. Προβλήματα είχαν οι ασκήσεις:
1 Παρατηρήσεις Προβλήματα είχαν οι ασκήσεις: Απόλυτες τιμές:.504(δεν χρειάζεται το α
Α ΛYKEIOY ΆΛΓΕΒΡΑ Άλγεβρα. Μίλτος Παπαγρηγοράκης Χανιά
Άλγεβρα Α ΛYKEIOY ΆΛΓΕΒΡΑ 09-00 Μίλτος Παπαγρηγοράκης Χανιά Ταξη: Α Γενικού Λυκείου Άλγεβρα Έκδοση 907 Η συλλογή αυτή διανέμεται δωρεάν σε ψηφιακή μορφή μέσω διαδικτύου προορίζεται για σχολική χρήση και
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. x-1 x+3. ή D 0 τότε x= =1 και y= 2. 2x 3y ή D=D D 0 άρα το σύστημα είναι αόριστο ή
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1.Να λύσετε την εξίσωση: 3 4-1 +3 0 Λύση: 3 4-1 +3 0 3 3 4 1 0 4 5 0 1 ή =5.Να λυθεί το σύστημα : 3 1 5 Λύση: Βρίσκουμε τις ορίζουσες 3-1 3 11 6 1 7 1 1-1 1 51 5 7 5 3 1 35 11 15 1 14
Παρατηρήσεις. Προβλήματα είχαν οι ασκήσεις:
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ Στέλιιος Μιιχαήλογλου-Δημήτρης Πατσιιμάς Εκκφωννήήσσεει ιςς κκααι ι λλύύσσεει ιςς θθεεμμάάττωνν Άλλγγεεββρρααςς Τρράάππεεζζααςς θθεεμμάάττωνν
ΘΕΜΑ 2. 1 x < 4. (Μονάδες 9) 2. α) Να λύσετε την ανίσωση: β) Να λύσετε την ανίσωση: x (Μονάδες 9)
α) Να λύσετε την ανίσωση: 1 x < 4. (Μονάδες 9) 2 β) Να λύσετε την ανίσωση: x+ 5 3. (Μονάδες 9) γ) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων των ερωτημάτων (α) και (β) με χρήση του άξονα των πραγματικών
f (x) = x2 5x + 6 x 3 S 2 P 2 0
Η ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΟ ΘΕΜΑ Β 1. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,... (αʹ) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να
Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ
Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος 013-014, Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 013-014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός
1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση:
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ Ερωτήσεις συµπλήρωσης 1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση: Φυσική γλώσσα Μαθηµατική γλώσσα ύο αριθµοί x, y διαφέρουν κατά και έχουν γινόµενο x (x
Σας εύχομαι καλή μελέτη και επιτυχία.
ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το βιβλίο αυτό αποτελεί συνέχεια του Α τεύχους και απευθύνεται κυρίως στους μαθητές της Α Λυκείου, αλλά και στους καθηγητές που διδάσκουν το μάθημα «Άλγεβρα και στοιχεία πιθανοτήτων» της Α Λυκείου.
ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ
ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1 Ο Δίνεται η συνάρτηση f ( x) x ( 1) x 3 με 0 Γ1. Να λυθεί η εξίσωση f ( x) 0 για λ = -1 Γ. Για λ=3, να λυθεί η ανίσωση f ( x) 0 Γ3. Να αποδείξετε ότι στην
( ) = 2. f x α(x x )(x x ) f x α(x ρ) x1,2. 1, x
ΜΟΡΦΕΣ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ Τριώνυµο λέγεται ένα πολυώνυµο της µορφής : f x = αx + βx+ γ, όπου α, β, γ R µε α. ( ) ιακρίνουσα και ρίζες του τριωνύµου f( x) = αx + βx+ γ λέγεται η διακρίνουσα και
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ 1. Να λυθούν οι ανισώσεις: i) 2x 1 5
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. Να λυθούν οι ανισώσεις: i) ii) iii) iv) 4 9 v) 7 4 vi). Να λυθούν οι ανισώσεις: i) ( ) 4 ii) ( ) ( ) iii) 4( ) ( ) ( ) iv) ( ) ( ) 7( ) v) 4 9 ( ). Να λυθούν οι παρακάτω
Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 4 ο (141)
Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 4 ο (141) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ
β) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές για κάθε R. Μονάδες 8 γ) Αν x
ΡΑΛΛΕΙΟ ΓΕΛ ΘΗΛΕΩΝ ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧ ΕΤΟΣ 06-7 Εξισώσεις Β βαθμού Α Λυκείου Τριών Ιεραρχών την Δευτέρα κι ευκαιρία να τους τιμήσουμε λύνοντας μερικές ασκησούλες άλγεβρας Αρχίστε από τις,,3,4,5,6,8,3,4,5,6,7,8,9,0,
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Γεώργιος Α. Κόλλιας - μαθηματικός. 150 ασκήσεις επανάληψης. και. Θέματα εξετάσεων
Γεώργιος Α. Κόλλιας - μαθηματικός Περιέχονται 50 συνδυαστικές ασκήσεις επανάληψης και θέματα εξετάσεων. Δεν συμπεριλαμβάνεται το κεφάλαιο των πιθανοτήτων, της γεωμετρικής προόδου, της μονοτονίας συνάρτησης,
B =, όπου ο x είναι πραγματικός αριθμός. x x α) Να αποδείξετε ότι για να ορίζονται ταυτόχρονα οι παραστάσεις Α, Β πρέπει: x 1 και x 0.
1 Ένα κουτί περιέχει άσπρες, μαύρες, κόκκινες και πράσινες μπάλες. Οι άσπρες είναι 5, οι μαύρες είναι 9, ενώ οι κόκκινες και οι πράσινες μαζί είναι 16. Επιλέγουμε μια μπάλα στην τύχη. Δίνονται τα παρακάτω
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1
Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Θ έ μ α Α Α. α. Πότε η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 έχει διπλή ρίζα; Ποια είναι η διπλή ρίζα της; 4 μονάδες β. Ποια μορφή παίρνει το τριώνυμο αx + βx + γ, α 0, όταν Δ = 0; 3 μονάδες
a = f( x ) =. (Μονάδες 8) 2 = =,από όπου προκύπτει ( υψώνοντας στο τετράγωνο ), x =, επομένως x = 0 x = ή Άσκηση 4679 Δίνεται η συνάρτηση:
Άσκηση 4679 Δίνεται η συνάρτηση: a = + 4 f( x) x x α) Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού α, ώστε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f να είναι το σύνολο. (Μονάδες 0) β) Αν είναι γνωστό ότι η γραφική
ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού
ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού 97 98 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση: 1 1 1 ( x+ )(x ) = x 3 3 9. Αν η εξίσωση (x - 3) λ + 3 = λ x έχει ρίζα τον αριθμό, να υπολογιστεί
4. Ανισώσεις. 4.1 Ανισώσεις 1 ου Βαθμού
1 Ανισώσεις 1 ου Βαθμού Ανισώσεις 1. Πρωτοάθμιες Ανισώσεις Επιλύονται όπως οι εξισώσεις με την διαφορά ότι, όταν πολλαπλασιάζω ή διαιρώ με αρνητικό αριθμό αλλάζει φορά η ανίσωση.. Υπενθύμιση α), ή, ) ή,
ςεδς ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 3 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ ΔΙΩΝΥΜΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός
014 ςεδς ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ ΔΙΩΝΥΜΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παρόν φυλλάδιο είναι ένα τμήμα μιας προσωπικής
( f( )) ( f( )) 0. f( ) f( ) 0 θέτουμε αντίστοιχα. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ. 2. Μορφή 0 με 0. Λύση: Λύση: 3. Μορφή Λύση: Βρίσκουμε,,
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ. Μορφή 0 με 0. Λύση: 0 ( ) 0 0 ή 0... Μορφή 0 με 0 Λύση: 0.. Μορφή 0 με 0 Λύση: Βρίσκουμε,, και τη διακρίνουσα 4 Αν 0 (ή, ετερόσημοι) η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες
1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.
Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή
4. Ανισώσεις. 4.1 Ανισώσεις 1 ου Βαθμού
Ανισώσεις ου Βαθμού Ανισώσεις. Πρωτοάθμιες Ανισώσεις Επιλύονται όπως οι εξισώσεις με την διαφορά ότι, όταν πολλαπλασιάζω ή διαιρώ με αρνητικό αριθμό αλλάζει φορά η ανίσωση.. Υπενθύμιση α) χ χ, ή χ, ) χ
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άσκηση 1 Από τους µαθητές ενός Λυκείου, το 25% συµµετέχει στη οµάδα, το 30% συµµετέχει στη θεατρική οµάδα ποδοσφαίρου και το 15% των µαθητών
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 =
ΕΞΙΩΕΙ-ΑΝΙΩΕΙ ου ΒΑΘΜΟΥ - 38 - ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ο Εξισώσεις - Ανισώσεις β βαθµού 5.1. Μορφή και διερεύνηση της εξίσωσης β βαθµού Άθροισµα και γινόµενο των ριζών της Κάθε εξίσωση β βαθµού πριν τη λύσουµε,
ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,
Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι
( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και
ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο : f( ) α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. β. Να βρείτε τα σημεία τομής της με τους άξονες αν υπάρχουν. γ. Αν α, β ρίζες της εξίσωσης: ΘΕΜΑ ο f ( ), να δείξετε ότι αβ+=0.
Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46
ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................
ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Λ. ΑΙΔΗΨΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Λ. ΑΙΔΗΨΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 01-013 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 1 ο Α. Έστω a ένας πραγματικός αριθμός. Να δώσετε τον ορισμό της απόλυτης
ΘΕΜΑ 4. . Αν για την τετμημένη x του σημείου M ισχύει:, τότε να δείξετε ότι το σημείο αυτό βρίσκεται κάτω από την. , με παράμετρο α 0.
ΘΕΜΑ 4 ΘΕΜΑ Δίνονται η συνάρτηση f x x x, x α) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f δεν τέμνει τον άξονα xx. β) Να βρείτε τις τετμημένες των σημείων της ευθεία ψ x 3. (Μονάδες 0) γ) Έστω
ΘΕΜΑ 2. Δίνονται οι συναρτήσεις
ΘΕΜΑ 2 Δίνονται οι συναρτήσεις (, x R 3 f ( x) = x και g x) = x α) Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f, g τέμνονται σε τρία σημεία τα οποία και να βρείτε. (Μονάδες 13) β) Αν Α, Ο,
Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 6 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός
Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 6 Θέμα Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Θεωρία ως και την 6.3 Ασκήσεις: όλες Άσκηση 1 Δίνεται η συνάρτηση f, με x 5x+ 6 f ( x) =. x 3 α) Να βρείτε
Άλγεβρα Α Λυκείου Επαναληπτικές ασκήσεις
Άλγεβρα Α Λυκείου Επαναληπτικές ασκήσεις Δημήτρης Πατσιμάς Στέλιος Μιχαήλογλου ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΑ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω βασικό σύνολο Ω = {,,, 4, 5, 6,7,8,9, 0} και τα υποσύνολα του Ω, Α = {,,4,6},
x y z xy yz zx, να αποδείξετε ότι x=y=z.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦ. ο A. Ταυτότητες, ιδιότητες δυνάμεων, διάταξη.1 Να παραγοντοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις: 1. 15a x 15a y 5a x 5a y. a x a x a x a x 3 3 4 3 3 3 3. x 4xy 16 4 y
Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd
1 1) Δίνεται η εξίσωση x 2-2(λ + 2) χ + 2λ 2-17 = 0. Να βρείτε το λ ώστε η εξίσωση να έχει μία ρίζα διπλή. Υπολογίστε τη ρίζα. Aσκήσεις στις εξισώσεις Β βαθμού Για να έχει η εξίσωση μία ρίζα διπλή πρέπει:
ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 1. α) Να λύσετε την εξίσωση : 2 2 2x. β) Αν α είναι η ϑετική εξίσωσης του ερωτήµατος (α), να λύσετε την ανίσωση : 1 x < α.
ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 6 3 α) Να λύσετε την εξίσωση : 3 β) Αν α είναι η ϑετική εξίσωσης του ερωτήµατος (α), να λύσετε την ανίσωση : < α. ΘΕΜΑ α) Να λύσετε την ανίσωση : + < 7. β) Αν ο είναι λύση της ανίσωσης του
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά
3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή : α+β=0 ή α=-β () λέγεται εξίσωση ου βαθμού (ή πρωτοβάθμια εξίσωση), με άγνωστο το, ενώ
εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες
Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο
α έχει μοναδική λύση την x α
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Να εξετάσετε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες είναι λάθος.. H εξίσωση ( α)( β) ( β)( γ) έχει τις ίδιες λύσεις με την εξίσωση α γ για οποιεσδήποτε τιμές των
τριώνυμο Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι:
κεφάλαιο 4 Α τριώνυμο επίλυση της εξίσωσης δευτέρου βαθμού Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι: αx + βx + γ
ΣΥΝΔΙΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. 2 Α)Να βρείτε το ω για το οποίο το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x-ημω είναι ίσο με 2. Β)να λύσετε την εξίσωση Px ( ) (2 )
.Δίνονται οι παραστάσεις: A,B=,Γ=συν i)να δείξετε ότι Α=ημ,Β=σφ,Γ=συν ii)να λύσετε την εξίσωση: Α+Β=log(lne) log iii)να λύσετε την εξίσωση: A00.Δίνεται το πολυώνυμο : P( ) 4, ω, Α)Να βρείτε το ω για το
7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει
8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y