ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ
|
|
- Σώστρατος Αλεβίζος
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Τι ονομάζουμε εξίσωση ου βαθμού; o Εξίσωση ου βαθμού με ένα άγνωστο ονομάζουμε κάθε εξίσωση που γράφεται ή μπορεί να γραφεί στη μορφή με α π.χ 5 6 Τι ονομάζουμε εξίσωση ου βαθμού ελλιπούς μορφής; o Εξίσωση ου βαθμού ελλιπούς μορφής ονομάζεται η εξίσωση με α και β= ή γ= Επίλυση εξισώσεων ου βαθμού. Αν β= τότε. Αν αρνητικό τότε η εξίσωση είναι αδύνατη. Π.χ Αν θετικό τότε η εξίσωση έχει ρίζες(λύσεις) Αδύνατη Αν γ= τότε a ή α+β= Π.χ 9 ( ) ή ( χ-= χ=) 6 6 (6 ) ή += =- Ασκήσεις.Να λυθούν οι εξισώσεις: ) 4 β) γ) -. Να λύσετε τις εξισώσεις: ) 5 β)6 γ)4 8.Να λυθούν οι εξισώσεις: 47
2 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ ) 6 β)4 6 γ) 9 4.Να λύσετε τις εξισώσεις: ) 9 β) 4 γ) 4 5. Να λυθούν οι εξισώσεις: a) β) 6 γ) - 6.Να λυθούν οι εξισώσεις: a) β) + ) 7 δ) - 4 ε) + Αν,, δηλαδή είναι της μορφής α τότε πρώτα υπολογίζουμε την Διακρίνουσα 4 και ανάλογα με το πρόσημο της βρίσκουμε, αν υπάρχουν, τις ρίζες(λύσεις ) της εξίσωσης: 4 Η εξίσωση α Δ> Έχει δύο ρίζες άνισες, Δ= Έχει μία διπλή ρίζα την Δ< Είναι αδύνατη στο Παράδειγμα 5 6 a β=-5 γ=6 Δ=β Άρα η εξίσωση έχει ρίζες (λύσεις) άνισες 48
3 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ , 5 4 Δηλαδή υπάρχουν διαφορετικοί αριθμοί, το χ= και το χ= που αν το αντικαταστήσουμε στη θέση του χ στην εξίσωση, τότε το αποτέλεσμα είναι. Παράδειγμα 7 a β=-7 γ= Δ=β Άρα η εξίσωση έχει ρίζες(λύσεις) άνισες: 7 8 8: :8, : :6 4 Παράδειγμα a β= γ= [Προσέχω ότι δεν κάνω χρήση της ιδιότητας μπορεί η Δ να γραφτεί σαν τέλειο τετράγωνο] Άρα η εξίσωση έχει ρίζες(λύσεις ) άνισες τις:, για να Παράδειγμα
4 a β=-8 γ=8 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Δ=β Άρα η εξίσωση έχει ρίζα (διπλή) την Ασκήσεις.Να λύσετε τις εξισώσεις i) 6 8 ii) 5 iii)5φ 9 iv s s ) 4 v)9 4.Να λύσετε τις εξισώσεις i)9y y 64 y 9 y ii)9 ω iii) 4 9 iv) +4.Να λύσετε τις εξισώσεις i 6 iv ) 9 ii) iii) )5 6 4.Να λύσετε τις εξισώσεις i) 5 6 ii) Παραγοντοποίηση τριωνύμου Τριώνυμο ονομάζεται η παράσταση Αν f ( ) a 4 θετική τότε η εξίσωση f()= έχει ρίζες άνισες, f ( ) a και τότε η f()= γράφεται: [προσέξτε μην ξεχνάτε το α μπροστά από τις παρενθέσεις] Αν 4 = τότε η εξίσωση f()= έχει ρίζα (διπλή) και η f() γράφεται f ( ) a a [προσέξτε μην ξεχνάτε το α μπροστά από τις παρενθέσεις] 5
5 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Αν 4 αρνητική τότε η εξίσωση f()= δεν έχει πραγματικές ρίζες και δεν παραγοντοποιείται. Παράδειγμα Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυμο f ( ) 6 5 a 6 β=-5 γ= Δ=β Άρα το τριώνυμο έχει ρίζες άνισες τις: 5 6 6:6 5 5 :6, : 4 : 4 Επομένως f ( ) Παράδειγμα Να γίνει γινόμενο παραγόντων το παρακάτω τριώνυμο g( ) 4 8 Θα λύσω την αντίστοιχη εξίσωση 7 a β=-4 γ=8 Δ=β Άρα η εξίσωση έχει διπλή ρίζα την f ( ) Ασκήσεις.Να παραγοντοποιήσετε τα τριώνυμα: f ( y) y 8y 5 g( ) Άρα το τριώνυμο γράφεται : h k y y y ( ) 5 ( ) 5. Να παραγοντοποιήσετε τα τριώνυμα: f ( ) 5 g()=9 4 h y y ( ) k(y)=y 4 5
6 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ. Να παραγοντοποιήσετε τα τριώνυμα: f ( ) g()=4 ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να λυθούν οι εξισώσεις i)9 4 ii)- 5 iii) 5 iv ) 4 v) + 6 vi) - 6. Να λυθούν οι εξισώσεις i) 4 ii) iii ) 5 5 iv) 5 v ) 8 vi). Να λυθούν οι εξισώσεις a ) 5 5 β) 6 ) δ) 6 4. Να λυθούν οι εξισώσεις + a) β) ) δ) Να λυθούν οι εξισώσεις i) 5 ii) - 7 iii) Να λυθούν οι εξισώσεις 4 4 a) 5 4 β) 7 4 ) 5 4 δ)-5 6 )6 5 στ)4 7.Να λυθούν οι εξισώσεις: ) 4 9 ) ) 5 i) 6 ii iii iv 5
7 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ 8.Να λυθούν οι εξισώσεις i) k k ii) k k iii k k a ) iv) 9.Να παραγοντοποιήσετε τα παρακάτω τριώνυμα: i) ii) 5 6 iii) 5 iv) 8 v) 5 vi) 4.Να παραγοντοποιήσετε τα παρακάτω τριώνυμα: i ) 6 9 ii) 4 8 iii). Να παραγοντοποιήσετε τα παρακάτω τριώνυμα:, 4 a a, a y y 7 5a 5a a, a a a.να απλοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις: i) ii) iii) iv) v) vi) Να απλοποιήσετε το κλάσμα: 4 4.Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω εξισώσεις έχουν δύο άνισες λύσεις: a) a β)α a, α γ) ( a ) a δ)α a a 5. Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω εξισώσεις έχουν μία τουλάχιστον λύση: a)4 a a β)α a, α γ) a a δ) a 5a 6.Αν η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές, τότε να αποδείξετε ότι και οι παρακάτω εξισώσεις έχουν πραγματικές ρίζες: 5
8 i ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ ) ii ) 7.Δίνεται η εξίσωση 4 α)να βρείτε για ποια τιμή του λ η εξίσωση έχει μία διπλή λύση β)για την τιμή του λ που βρήκατε, να λύσετε την εξίσωση. 8.Δίνεται η εξίσωση 5, λ α)να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η εξίσωση έχει μία διπλή λύση β)για την τιμή του λ που βρήκατε να λύσετε την εξίσωση 9.Για ποιες τιμές του οι εξισώσεις a και a έχουν κοινή ρίζα;.να βρείτε για ποιες τιμές του λ ο αριθμός είναι λύση της εξίσωσης 4.Να αποδειχτεί ότι η εξίσωση έχει πάντοτε δύο ρίζες πραγματικές..δίνεται η εξίσωση 5 8 α)να βρείτε την τιμή του λ για την οποία ο αριθμός είναι λύση της εξίσωσης β)για την τιμή του λ που βρήκατε, να λύσετε την εξίσωση. Αν η εξίσωση έχει διπλή ρίζα δείξτε ότι το ίδιο ισχύει και για την εξίσωση : 4.Δίνεται η εξίσωση Αν η εξίσωση έχει μία διπλή λύση, τότε να αποδείξετε ότι: α)οι αριθμοί λ και μ είναι αντίστροφοι β)η διπλή λύση της εξίσωσης είναι =μ. 5.Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού κ για τις οποίες η 4 6 k k έχει μία ρίζα διπλή. εξίσωση 54
9 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ 6.Αν μία ρίζα της εξίσωσης a 4 είναι ο αριθμός, να βρεθεί η άλλη ρίζα της. 7. Να λύσετε την εξίσωση 4 a 9 αν η εξίσωση αυτή έχει κοινή λύση με τη εξίσωση χ+=. 8.Δίνεται η εξίσωση 6 4. Να βρεθεί για ποιές τιμές του λ η εξίσωση α)έχει διαφορετικές ρίζες β)έχει μία διπλή ρίζα γ)δεν έχει ρίζες 9. Δίνεται η εξίσωση 8 8 Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε η εξίσωση α)να έχει ρίζες άνισες β)να έχει μία ρίζα διπλή γ)να είναι αδύνατη.να βρείτε το λ, ώστε η εξίσωση να έχει διπλή ρίζα και μετά να βρείτε τη διπλή ρίζα.. Να λύσετε την εξίσωση a για τις διάφορες τιμές των α,β..να βρεθεί το πλήθος των ριζών της εξίσωσης 8 για τις διάφορες τιμές του λ. 4. Να βρεθεί το πλήθος των ριζών της εξίσωσης 5 για τις διάφορες τιμές του λ. 4. Να λυθεί η εξίσωση: 5.Να λυθεί η εξίσωση : Η εξίσωση έχει ρίζα τον αριθμό να βρείτε το λ και κατόπιν να βρείτε την άλλη λύση. 55
10 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ 7.Να προσδιοριστεί ο ώστε η εξίσωση να έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες 8.Αν να δείξετε ότι η εξίσωση a είναι αδύνατη. Να εξετάσετε τι γίνεται στην περίπτωση που α=β. 9. Η εξίσωση 4 έχει διπλή ρίζα. Να βρεθεί το μ και μετά να βρείτε τη ρίζα. 4.Δίνεται η εξίσωση. Για ποια τιμή του λ η εξίσωση έχει άνισες ρίζες; ) 4. Να λύσετε τις εξισώσεις: ) 4. Δείξτε ότι οι παρακάτω εξισώσεις έχουν πάντα ρίζα ) a 9, a ) a,α 4. Να βρείτε το πλήθος των ριζών της 9 a a 44.Δίνεται η εξίσωση,λ 4 Για ποια τιμή του λ η εξίσωση i) έχει άνισες ρίζες ii) διπλή iii)δεν έχει ρίζες. 45.(Τ.Θ)α.Να λύσετε την εξίσωση Β.Να σχηματίσετε την εξίσωση δευτέρου βαθμού με ρίζες τις ρίζες της εξίσωσης του α ερωτήματος 46.(Τ.Θ)Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης :. Β)Να λύσετε την εξίσωση : 47.(Τ.Θ)α.Να βρείτε για ποιες τιμές του χ η παράσταση έχει νόημα πραγματικού αριθμού; 56
11 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Β)Για τιμές του χ που βρήκατε στο α ερώτημα να λύσετε την εξίσωση : 48.(Τ.Θ).Δίνεται το τριώνυμο 5 λ Α)Αν μια ρίζα του τριωνύμου είναι ο αριθμός χ= να προσδιορίσετε την τιμή του λ. Β)Για λ=, να παραγοντοποιήσετε το τριώνυμο. 49. (Τ.Θ)Δίνεται η εξίσωση :, λ Α)Να βρείτε την τιμή του λ για την οποία η εξίσωση έχει ρίζα τον αριθμό -. Β)Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες για κάθε 5.(Τ.Θ).Δίνεται η εξίσωση:,λ. Α)Να βρεθούν οι τιμές του για τις οποίες η εξίσωση είναι ου βαθμού. Β)Να αποδείξετε ότι για τις τιμές του λ που βρήκατε στο α ερώτημα η εξίσωση παίρνει τη μορφή: Γ)Να αποδείξετε ότι για τις τιμές του λ που βρήκατε στο α ερώτημα η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες. Δ)Να προσδιορίσετε τις ρίζες της εξίσωσης, αν αυτή είναι ου βαθμού. 5.Δίνεται η εξίσωση: a a,α Α)Να αποδείξετε ότι η διακρίνουσα της εξίσωσης είναι : Β)Να αποδείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης είναι : ρ Γ)Να βρεθούν οι τιμές του α ώστε. 5. A.Να λύσετε τις εξισώσεις : 4 8 () και 8 4 () Β)Ένας μαθητής παρατήρησε ότι οι ρίζες της εξίσωσης () είναι οι αντίστροφοι των ριζών της εξίσωσης () και ισχυρίστηκε ότι το ίδιο θα ισχύει για οποιοδήποτε ζευγάρι εξισώσεων της μορφής : () και γ a (4) αγ Αποδείξτε τον ισχυρισμό του μαθητή, δείχνοντας ότι: Αν ο αριθμός ρ είναι ρίζα της εξίσωσης () και τότε: i) 57
12 ii) o ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ επαληθεύει την εξίσωση (4). 5.(Τ.Θ).α)Να λύσετε την εξίσωση : 4 () β)δίνονται οι ομόσημοι αριθμοί α,β για τους οποίους ισχύει: 4 i) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός είναι λύση της εξίσωσης () ii) Να αιτιολογήσετε γιατί ο α είναι τετραπλάσιος του β. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ου ΒΑΘΜΟΥ. Να λυθούν οι εξισώσεις: 4 4 i)4 ii) iii) 5 6 iv) 4 8. Να λυθούν οι εξισώσεις: i) ii) iii. Να λυθούν οι εξισώσεις: ) 5 6 iv) 4 i) 4 45 ii) - 4 iii 4. Να λυθούν οι εξισώσεις: i) ii) -4 4 ) iv) iii 5. Να λυθούν οι εξισώσεις: ) iv) 5 6 ) ii) i iii) iv) Να λυθούν οι εξισώσεις: i) 7 ii) 4 5 iii)
13 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ ΤΥΠΟΙ VIETA Έστω οι ρίζες της εξίσωσης a, α.αν συμβολίσουμε με S το άθροισμα και με P το γινόμενο των ριζών αυτών τότε θα έχουμε: S και P (τύποι του Vieta ) Οι παραπάνω τύποι ονομάζονται τύποι του Vieta ( από τον Γάλλο μαθηματικό Franciscus Vieta(54-6)) με την βοήθεια των οποίων η εξίσωση a μπορεί να γραφεί στη μορφή, S P Παράδειγμα Αν, είναι ρίζες της εξίσωσης 4 6 να υπολογιστούν οι τιμές των παραστάσεων : i) ii) iii) iv) v) + vi) ) viii) vii Λύση 4 6 ) ii) 4 4 iii) iv) v) 6 vi) vii) viii) 7 59
14 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Παράδειγμα Να βρεθεί η εξίσωση ου βαθμού της οποίας οι ρίζες είναι οι αριθμοί και. Λύση Αφού οι ρίζες είναι οι αριθμοί και άρα S=+=5 και P 6 οπότε η εξίσωση ου βαθμού είναι η S P 5 6 Παράδειγμα Να βρείτε δύο αριθμούς που έχουν άθροισμα 9 και γινόμενο -5 Λύση Έστω α,β οι αριθμοί. Άρα 9 και α β=-5. Οπότε οι αριθμοί α,β είναι οι ρίζες μιας εξίσωσης ου βαθμού με S=9 και Ρ=-5. Δηλαδή είναι οι ρίζες της εξίσωσης S P 9 5 Με την χρήση της διακρίνουσας έχω ότι: , Άρα και β= 4 Ασκήσεις.Να βρείτε το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών στις παρακάτω εξισώσεις: ) β) 4 6 γ)- 7.Η εξίσωση 5 6 έχει ρίζες,. Να υπολογιστούν οι παραστάσεις : ) ii) iii) iv) v).να κατασκευάσετε εξίσωση που να έχει ρίζες τους αριθμούς )4 και β) και γ)-6 και 7 4.Να κατασκευάσετε εξίσωση που να έχει ρίζες τους αριθμούς ) 4, ), ), 5. Να προσδιοριστεί η εξίσωση που έχει ρίζες : i) a, a ii), iii)a, 6
15 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ 6.Δίνεται η εξίσωση 8 με α. Αν το άθροισμα των ριζών είναι 6 να βρείτε το α και το γινόμενο των ριζών. 7.Δίνεται η εξίσωση a a η οποία έχει ρίζες υπολογίσετε το α αν γνωρίζετε ότι,. Να 8.Αν είναι οι ρίζες της εξίσωσης να βρεθεί δευτεροβάθμια εξίσωση που να έχει ρίζες και ρ, 9. Αν είναι οι ρίζες 5, τότε χωρίς να βρεθούν οι ρίζες ι)να υπολογιστούν οι παραστάσεις:, ii)να κατασκευάσετε εξίσωση που να έχει ρίζες τους αριθμούς. Για ποιες τιμές του α η εξίσωση αντίθετες..έστω η εξίσωση:, 4 5a a a έχει ρίζες. Αν, είναι ρίζες της εξίσωσης να υπολογίσετε το λ ώστε να ισχύει 7 7.Δίνεται η εξίσωση 6. Δείξτε ότι η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες για κάθε τιμή του. Βρείτε για ποια τιμή του λ η εξίσωση έχει ρίζες α)αντίθετες β)αντίστροφες.να υπολογίσετε το α ώστε οι ρίζες της εξίσωσης 6a a 4a 7a να είναι α)αντίθετες β)αντίστροφες 4.Δίνεται η εξίσωση λ ώστε να ισχύει, με ρίζες,. Να βρεθεί ο 5.Έστω, οι ρίζες της εξίσωσης 4 a. Να βρείτε το α αν γνωρίζετε ότι 6 6
16 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ 6.Δίνεται η εξίσωση a 7a με ρίζες την τιμή του α ώστε 8,. Να βρείτε 7. Να βρείτε την τιμή του α ώστε η μια ρίζα της εξίσωσης a a να είναι διπλάσια της άλλης 8.Αν είναι ρίζες της 5 να βρεθεί η εξίσωση που έχει ρίζες τους αριθμούς ), ii),, 9.Αν, είναι οι ρίζες της εξίσωσης,, να αποδείξετε ότι.αν μια ρίζα της, είναι διπλάσια της άλλης να δειχτεί ότι. Αν η εξίσωση a έχει ρίζες δύο διαδοχικούς ακεραίους, 4 να αποδειχθεί ότι 4. Αν μια ρίζα της, είναι τριπλάσια της άλλης να δειχτεί ότι 6.Δίνονται οι εξισώσεις, και S P, όπου S και P το άθροισμα και γινόμενο ριζών της (). Να αποδείξετε ότι S 4P 4.Δίνεται η εξίσωση και μ και λ, Α)Να δείξετε ότι έχει ρίζες ετερόσημες. Β)Αν P,S είναι το γινόμενο και το άθροισμα αντίστοιχα των ριζών της παραπάνω εξίσωσης, να βρείτε τις τιμές των λ,μ αν ισχύει P S 5 P S 5.Η εξίσωση 5 a 5 έχει ρίζες,, Να βρεθεί ο α αν 6 6.Να βρείτε για ποιες τιμές του λ η εξίσωση 5 4 έχει 6
17 Α)μία διπλή ρίζα Β) ρίζες αντίστροφες Γ) ρίζες αντίθετες Δ) ρίζες ετερόσημες Ε) θετικές ρίζες στ) αρνητικές ρίζες ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ 7. Ένα ορθογώνιο έχει εμβαδό 6 τ.μ και περίμετρο μ. Να βρεθούν οι διαστάσεις του. 8.Δίνεται η συνάρτηση f ( ),λ Α)Αν η εξίσωση f()= έχει μοναδική ρίζα, να υπολογίσετε την τιμή του λ. Β)Αν i)να αποδείξετε ότι η εξίσωση f()= έχει ρίζες άνισες. ii) Αν είναι οι ρίζες της f()=, να βρείτε το πεδίο, ορισμού της συνάρτησης g ( ) 7 iii)να λύσετε την εξίσωση : g() 84 9.(Τ.Θ)α.Να λύσετε την εξίσωση Β.Να σχηματίσετε την εξίσωση δευτέρου βαθμού με ρίζες τις ρίζες της εξίσωσης του α ερωτήματος.(τ.θ).δίνεται ορθογώνιο με περίμετρο Π= cm και εμβαδό Ε=4. Α)Να κατασκευάσετε μια εξίσωση ου βαθμού που έχει ως ρίζες τα μήκη των πλευρών αυτού του ορθογωνίου Β)Να βρείτε τα μήκη των πλευρών του ορθογωνίου.(τ.θ).δίνονται οι αριθμοί : και Β= 7 7 Α)Να δείξετε ότι Α+Β= και Β)Να κατασκευάσετε μια εξίσωση ου βαθμού που έχει ρίζες τους αριθμούς Α,Β. cm.(τ.θ) Έστω α,β πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύουν : α+β= και α)να αποδείξετε ότι : 5 β)να κατασκευάσετε εξίσωση δευτέρου βαθμού με ρίζες τους αριθμούς α,β και να τους βρείτε. 6
18 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ.(Τ.Θ) Δίνεται το τριώνυμο : 5 Α)Να δείξετε ότι το τριώνυμο έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες και Β)Να βρείτε την τιμή των παραστάσεων :,, Γ)Να προσδιορίσετε μια εξίσωση ου βαθμού που έχει ρίζες τους αριθμούς και. 4.(Τ.Θ).Δίνεται η εξίσωση 4 λ Α)Να βρείτε τη διακρίνουσα της εξίσωσης Β)Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές για κάθε. Γ)Αν είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης, τότε να βρείτε για ποια τιμή του λ ισχύει:, 5.(Τ.Θ).Δίνεται η εξίσωση 4,λ Α)Να βρείτε τη διακρίνουσα της εξίσωσης Β)Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές για κάθε. Γ)Αν, είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης, τότε να βρείτε για ποια τιμή του λ ισχύει: 5 6.(T.Θ) Θεωρούμε την εξίσωση, λ Α)Να βρείτε για ποιες τιμές του λ η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες. Β)Στην περίπτωση που η εξίσωση έχει δύο ρίζες,, να προσδιορίσετε το λ ώστε να ισχύει : 7.(Τ.Θ). Δίνεται η εξίσωση:,λ Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες: Α)η εξίσωση έχει δυο ρίζες πραγματικές και άνισες Β)το άθροισμα των ριζών της εξίσωσης είναι ίσο με. 8.(Τ.Θ).Δίνεται η εξίσωση: 4, λ Α)Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε τιμή του λ η εξίσωση έχει δυο ρίζες άνισες Β)Αν, είναι οι ρίζες της εξίσωσης: i)να βρείτε το S. 64
19 ii)να βρείτε το ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ P ως συνάρτηση του πραγματικού λ. Γ)Αν η μια ρίζα της εξίσωσης είναι ο αριθμός τότε i) να αποδείξετε ότι η άλλη ρίζα της εξίσωσης είναι ο αριθμός ii) να βρείτε το λ. 9.(Τ.Θ).Δίνεται η εξίσωση:,λ Α)Να βρείτε τη διακρίνουσα Δ της εξίσωσης και να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές για κάθε λ. Β)Για ποια τιμή του λ η εξίσωση έχει δυο ρίζες ίσες; Γ)Να αποδείξετε ότι η παράσταση, όπου S,P το άθροισμα S P και το γινόμενο των ριζών της εξίσωσης αντίστοιχα, έχει νόημα πραγματικού αριθμού για κάθε πραγματικό λ. 4.(Τ.Θ).Δίνεται η εξίσωση : 5,λ Α)Να βρείτε τη διακρίνουσα Δ της εξίσωσης Β)Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει δυο ρίζες πραγματικές και άνισες για κάθε λ Γ)Αν, είναι οι ρίζες της εξίσωσης να βρεθούν οι τιμές του λ για τις οποίες ισχύει: 4 4.(Τ.Θ). Δίνεται η εξίσωση :,λ - Α)Να δείξετε ότι η διακρίνουσα Δ είναι ανεξάρτητη του λ. Β)Να προσδιορίσετε τις ρίζες της εξίσωσης συναρτήσει του λ Γ)Να βρείτε για ποιες τιμές του λ, η απόσταση των ριζών της εξίσωσης στον άξονα των πραγματικών αριθμών είναι ίση με μονάδες. 4.(Τ.Θ) Δίνεται η εξίσωση : 6,λ Α)Να δείξετε ότι, για κάθε τιμή του, η εξίσωση έχει δυο ρίζες πραγματικές και άνισες. Β)Υποθέτουμε τώρα ότι μια από τις ρίζες της εξίσωσης είναι ο αριθμός ρ. i)να δείξετε ότι ο αριθμός ρ είναι ρίζα της εξίσωσης 6 ii)να δείξετε ότι: ο αριθμός είναι ρίζα της εξίσωσης 6 65
20 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ 4.(T.Θ).Δίνεται η εξίσωση : 5,λ Α)Να αποδείξετε ότι, για κάθε λ η εξίσωση έχει δυο ρίζες πραγματικές και άνισες. Β)Αν είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης τότε: i)να προσδιορίσετε τις τιμές του λ, για τις οποίες ισχύει: ii)για λ=, να βρείτε την τιμή της παράστασης: 4, 44.(Τ.Θ). Δίνεται η εξίσωση,λ Α)Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει δύο ρίζες, διαφορετικές μεταξύ τους. Β)Να δείξετε ότι: Γ)Αν για τις ρίζες ισχύει επιπλέον, τότε : i) Να δείξετε ότι: 4 ii)να προσδιορίσετε τις ρίζες και την τιμή του λ.,, 45.(Τ.Θ). Δίνεται η εξίσωση με β,γ πραγματικούς αριθμούς. Αν η παραπάνω εξίσωση έχει δύο ρίζες άνισες για τις οποίες ισχύει 4, τότε : Α)Να βρείτε τις δυνατές τιμές του β. Β)Να αποδείξετε ότι γ<4. Γ)Δίνεται επιπλέον η εξίσωση () Να εξετάσετε για ποια από τις τιμές του β που βρήκατε στο (α) ερώτημα, η εξίσωση () δεν έχει πραγματικές ρίζες. 46.(Τ.Θ).Δίνεται το τριώνυμο, α με ρίζες τους αριθμούς και. Α) Χρησιμοποιώντας τους τύπους για το άθροισμα S και P των ριζών του τριωνύμου, να αποδείξετε ότι: γ= α και β=-α. Β)Αν επιπλέον γνωρίζουμε ότι το τριώνυμο παίρνει θετικές τιμές για κάθε, τότε: i)να αποδείξετε ότι α< ii)να λύσετε την ανίσωση a. 47.(Τ.Θ) Τέσσερις αθλητές, ο Αργύρης, ο Βασίλης, ο Γιώργος και ο Δημήτρης τερμάτισαν σε έναν αγώνα δρόμου με αντίστοιχους χρόνους, 66
21 t, t, t, t A B ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ για τους οποίους ισχύουν οι σχέσεις : ta tb ta tb, t, ta t tb t ta tb Α)i)Να δείξετε ότι : t ii)να βρείτε τη σειρά με την οποία τερμάτισαν οι αθλητές. Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας. Β)Δίνεται επιπλέον ότι ισχύει : ta tb 6 και t A tb 8 i)να γράψετε μια εξίσωση ου βαθμού που έχει ρίζες τους αριθμούς t και t. A B Δύο ρίζες πραγματικές και άνισες και α Δύο ρίζες ίσες και α Καμία πραγματική ρίζα Δ< Δύο ρίζες ετερόσημες Ρ< Δύο ρίζες ετερόσημες (θετική η Ρ< και S> μεγαλύτερη κατ απόλυτη τιμή) Δύο ρίζες ετερόσημες (αρνητική η Ρ< και S< μεγαλύτερη κατ απόλυτη τιμή) Δύο ρίζες θετικές και P και S> Δύο ρίζες θετικές και άνισες και P και S> Δύο ρίζες θετικές και ίσες και S> Μία ρίζα θετική και η άλλη και S> μηδέν Δύο ρίζες αρνητικές και Ρ και S< Δύο ρίζες αρνητικές και άνισες και Ρ> και S< Δύο ρίζες αρνητικές και ίσες και S< Μία ρίζα αρνητική και η άλλη και S< μηδέν Μία ρίζα το μηδέν P= Δύο ρίζες ίσες με μηδέν Δ= και Ρ= Δύο ρίζες αντίστροφες και Ρ= Δύο ρίζες αντίθετες Ρ< και S= Δύο ρίζες ομόσημες και Ρ> Δύο ρίζες ομόσημες και και Ρ> διαφορετικές Δύο ρίζες ομόσημες και ίσες Δ= και Ρ> 67
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Τι ονομάζουμε εξίσωση ου βαθμού; o Εξίσωση ου βαθμού με ένα άγνωστο ονομάζουμε κάθε εξίσωση που γράφεται ή μπορεί να γραφεί στη μορφή με α π.χ 5 6 Τι ονομάζουμε εξίσωση ου βαθμού ελλιπούς
ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ
ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Αν έχω τριώνυμο της μορφής :,. Υπολογίζω την Διακρίνουσα 4 Αν Δ> τότε η εξίσωση έχει άνισες ρίζες έστω Ομόσημο του α Ετερόσημο του α, τότε: Ομόσημο του α Αν Δ= τότε η εξίσωση έχει διπλή
3. α) Να λύσετε την εξίσωση x 2 = 3. β) Να σχηματίσετε εξίσωση δευτέρου βαθμού με ρίζες, τις ρίζες της εξίσωσης του α) ερωτήματος.
. Δίνεται η εξίσωση λ + 4(λ ) = 0, με παράμετρο λ R α) Να βρείτε τη διακρίνουσα της εξίσωσης. β) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές για κάθε λ R. γ) Αν, είναι οι ρίζες της παραπάνω
2 είναι λύσεις της ανίσωσης 2x2 3x+1<0.
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. α) Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης x +0x=. x + 0x β) Να λύσετε την εξίσωση x. ίνεται η εξίσωση: x λx+(λ +λ )=0 (), λ R. α) Να προσδιορίσετε τον πραγµατικό αριθµό λ, ώστε η
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - 2 ου ΒΑΘΜΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 9). Να λυθούν οι εξισώσεις :
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ου ΒΑΘΜΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ). Να λυθούν οι εξισώσεις: α). + ( 3 ) 6 = 0 β). 4 ( 3 ) + 3 = 0 γ). + ( ) = 0 δ). 5 + 5 = 0 ε). 4( 3) + 5 + 6 6 = 0 στ).( + 3 ) ( 3 + ) ( 3 ) = 0 η). + (3 ) + (4 3 ) = 0
6. α) Να λύσετε την εξίσωση 2x 1 =3. β) Αν α, β με α< β είναι οι ρίζες της εξίσωσης του ερωτήματος (α), τότε να λύσετε την εξίσωση αx 2 +βx+3=0.
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. Δίνεται η εξίσωση λx=x+λ, με λr. α) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση γράφεται ισοδύναμα (λ )x=(λ )(λ+), λr. β) Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η παραπάνω εξίσωση
Εξισώσεις. Κώστας Γλυκός. Τράπεζα θεμάτων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. εκδόσεις / 1 0 /
Εξισώσεις Κώστας Γλυκός Τράπεζα θεμάτων ΙΙ Ι δδ ιι ι αα ίί ί ττ εε ρρ αα μμ αα θθ ήή μμ αα ττ αα 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kgllykos..gr 5 / 0 / 0 6 εκδόσεις Ασκήσεις Πιθανότητες Τράπεζα θεμάτων. Δίνεται η
( f( )) ( f( )) 0. f( ) f( ) 0 θέτουμε αντίστοιχα. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ. 2. Μορφή 0 με 0. Λύση: Λύση: 3. Μορφή Λύση: Βρίσκουμε,,
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ. Μορφή 0 με 0. Λύση: 0 ( ) 0 0 ή 0... Μορφή 0 με 0 Λύση: 0.. Μορφή 0 με 0 Λύση: Βρίσκουμε,, και τη διακρίνουσα 4 Αν 0 (ή, ετερόσημοι) η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες
) = 0. Λύσεις/Ρίζες της εξίσωσης. Ακριβώς δύο άνισες πραγματικές λύσεις, τις: Η εξίσωση δεν έχει πραγματικές λύσεις
4. Εξισώσεις 2ου βαθμού αx 2 + βx + γ = 0, α 0 α, β, γ παράμετροι και x η μεταβλητή Αν ρ ρίζα/λύση της εξίσωσης, τότε αρ 2 + βρ + γ = 0 Αν ρ 1, ρ 2 ρίζες/λύσεις της εξίσωσης, τότε το τριώνυμο γράφεται
1. Nα λυθούν οι ανισώσεις. 2. Nα λυθούν οι ανισώσεις. 3. Nα βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων: 4. Nα βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων:
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ. Nα λυθούν οι ανισώσεις α) 4 β) 4. Nα λυθούν οι ανισώσεις ( )( ) α) + > - (+) β). Nα βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων: ( ) ( ) 8 4 8 και
Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 ο : Ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς. 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού. 3.2 Η εξίσωση x. 3.3 Εξισώσεις 2 ου Βαθμού. ρωτήσεις αντικειμενικού τύπουθέμα Α1-
3. Εξισώσεις ου Βαθμού 3. Η εξίσωση 3.3 Εξισώσεις ου Βαθμού Διδακτικό υλικό Άλγεβρας Α Λυκείου (Κεφάλαιο 3 ο ) Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 ο : Ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς ρωτήσεις αντικειμενικού τύπουθέμα Α- Εξεταστέα ύλη
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από
Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός
Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Θεωρία ως και την 3. Ασκήσεις: -5 Θεωρία ως και την 3.3 Ασκήσεις: 6-8 Άσκηση Δίνεται η παράσταση: A= 3 5 +
1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο
1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑ 1 ο α) Αν χ 1, χ ρίζες της εξίσωσης αχ +βχ+γ=0, 0 να δείξετε ότι S 1 και P 1 Μον. 10 β) Έστω η συνάρτηση
1, 2, Β 3, 2,λ. 7, να 2 βρείτε την τιμή του k. x x y y Α)Να βρείτε τις τιμές των x,y για τις οποίες ορίζεται η παράσταση. Β)Να αποδείξετε ότι Α=-1
,, Β,,λ. Δίνονται τα σημεία Β.Αν τα Α,Β είναι συμμετρικά ως προς τον άξονα y y να βρείτε το λ. Β. Βρείτε τις τιμές του λ, ώστε το σημείο Β να βρίσκεται στο ο τεταρτημόριο του ορθοκανονικού συστήματος.
12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο
ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Έστω f σύνολο Α, g Α ΒΑΘΜΟΥ είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής πού παίρνει τιμές στο Ανίσωση με έναν άγνωστο λέγεται κάθε σχέση της μορφής f f g g ή, η οποία αληθεύει για ορισμένες
α έχει μοναδική λύση την x α
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Να εξετάσετε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες είναι λάθος.. H εξίσωση ( α)( β) ( β)( γ) έχει τις ίδιες λύσεις με την εξίσωση α γ για οποιεσδήποτε τιμές των
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνονται οι ανισώσεις: 3x και 2 x α) Να βρείτε τις λύσεις τους (Μονάδες 10) β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων (Μονάδες 15) α) Έχουμε 3x 2x x 2
7. α) Να λύσετε την ανίσωση x 5 <4. β) Αν κάποιος αριθμός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήματος (α). x 1. Δίνονται οι ανισώσεις: 3x 1
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Γεώργιος Α. Κόλλιας - μαθηματικός. 150 ασκήσεις επανάληψης. και. Θέματα εξετάσεων
Γεώργιος Α. Κόλλιας - μαθηματικός Περιέχονται 50 συνδυαστικές ασκήσεις επανάληψης και θέματα εξετάσεων. Δεν συμπεριλαμβάνεται το κεφάλαιο των πιθανοτήτων, της γεωμετρικής προόδου, της μονοτονίας συνάρτησης,
ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ
3. Δίνεται ο πίνακας: 3 3 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ ο. Ένα κουτί περιέχει άσπρες, μαύρες, κόκκινες και πράσινες μπάλες. Οι άσπρες είναι 5, οι μαύρες είναι 9, ενώ οι κόκκινες και οι πράσινες μαζί είναι 6. Επιλέγουμε
3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή : α+β=0 ή α=-β () λέγεται εξίσωση ου βαθμού (ή πρωτοβάθμια εξίσωση), με άγνωστο το, ενώ
2018 Φάση 2 ιαγωνίσµατα Επανάληψης ΑΛΓΕΒΡΑ. Α' Γενικού Λυκείου. Σάββατο 21 Απριλίου 2018 ιάρκεια Εξέτασης:3 ώρες ΘΕΜΑΤΑ
ΘΕΜΑ A ΑΛΓΕΒΡΑ Α' Γενικού Λυκείου Σάββατο 1 Απριλίου 018 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΘΕΜΑΤΑ Πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f (x) από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β ονομάζουμε το σύνολο Α, στο οποίο φαίνονται οι
Κεφάλαιο 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 1
Κεφάλαιο 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 1 Εξίσωση πρώτου βαθμού ή πρωτοβάθμια εξίσωση με άγνωστο x ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής
β. Να βρείτε την πιθανότητα πραγματοποίησης καθενός από τα δύο ενδεχόμενα του ερωτήματος α).
1.: Έννοια της Πιθανότητας Κεφάλαιο 1ο: Πιθανότητες ΑΣΚΗΣΗ 1 (_497) Ένα τηλεοπτικό παιχνίδι παίζεται με ζεύγη αντιπάλων των δυο φύλων. Στο παιχνίδι συμμετέχουν 3 άντρες: ο Δημήτρης (Δ), ο Κώστας (Κ), ο
ii) Να ποια τιμή του ώστε η εξίσωση (1) έχει μία διπλή πραγματική ρίζα; Έπειτα να βρεθεί η ρίζα αυτή. Ασκήσεις Άλγεβρας
. Δίνεται η εξίσωση, (). i) Να βρεθεί ο αριθμός ώστε η εξίσωση () να έχει μία τουλάχιστον πραγματική ρίζα. ii) Να βρεθεί ο αριθμός ώστε η εξίσωση () να έχει δύο ίσες πραγματικές ρίζες. iii) Να βρεθεί ο
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Άσκηση 1102 Δίνονται δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω και οι πιθανότητες α) Να υπολογίσετε την (Μονάδες 9) β) i) Να υπολογίσετε με διάγραμμα Venn και να γράψετε στη γλώσσα των συνόλων το ενδεχόμενο:
Ανισώσεις. Κώστας Γλυκός. Τράπεζα θεμάτων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. εκδόσεις / 1 0 /
Ανισώσεις Κώστας Γλυκός Τράπεζα θεμάτων ΙΙ Ι δδ ιι ι αα ίί ί ττ εε ρρ αα μμ αα θθ ήή μμ αα ττ αα 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kgllykos..gr 5 / 1 0 / 0 1 6 εκδόσεις τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-300.88.88
ΘΕΜΑ 2. βρείτε. (Μονάδες 15) με διαφορά ω.
ΘΕΜΑ ΘΕΜΑ Έστω α, β πραγµατικοί αριθµοί για τους οποίους ισχύουν: α β = 4 και αβ + αβ = 0 α) Να αποδείξετε ότι: α + β = 5. (Μονάδες 0) β) Να κατασκευάσετε εξίσωση ου βαθµού µε ρίζες τους αριθµούς α, β
ΑΛΓΕΒΡΑ. 14ο Λύκειο Περιστερίου
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ 4ο Λύκειο Περιστερίου Εκκφωννήήσσεει ιςς κκααι ι λλύύσσεει ιςς θθεεμμάάττωνν Άλλγγεεββρρααςς Τρράάππεεζζααςς θθεεμμάάττωνν ααννάά εεννόόττηητταα ΑΛΓΕΒΡΑ
Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων
ΜΕΡΟΣ Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 69. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Ορισμός Ονομάζουμε εξίσωση ου βαθμού με έναν άγνωστο κάθε ισότητα που έχει την μορφή α +β+ γ = 0 με α 0 (ο είναι ο άγνωστος της εξίσωσης,
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - 4 ο ΘΕΜΑ
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - 4 ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Σε μια ομάδα που αποτελείται από 7 άνδρες και 3 γυναίκες, 4 από τους άνδρες και από τις γυναίκες παίζουν σκάκι. Επιλέγουμε τυχαία ένα από τα άτομα αυτά.
5.ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ
5.ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Για να επιλύσουμε μία παραμετρική εξίσωση ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα: i) Βγάζω παρενθέσεις ii) Κάνω απαλοιφή παρανομαστών iii) Χωρίζω γνωστούς από αγνώστους (άγνωστος είναι
( ) = 2. f x α(x x )(x x ) f x α(x ρ) x1,2. 1, x
ΜΟΡΦΕΣ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ Τριώνυµο λέγεται ένα πολυώνυµο της µορφής : f x = αx + βx+ γ, όπου α, β, γ R µε α. ( ) ιακρίνουσα και ρίζες του τριωνύµου f( x) = αx + βx+ γ λέγεται η διακρίνουσα και
ςεδς ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 3 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ ΔΙΩΝΥΜΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός
014 ςεδς ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ ΔΙΩΝΥΜΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παρόν φυλλάδιο είναι ένα τμήμα μιας προσωπικής
με Τέλος πάντων, έστω ότι ξεκινάει ένα άλλο υποθετικό σενάριο που απλά δεν διευκρινίζεται. Για το i) θα έχουμε , 2
Άσκηση 75 Σε έναν οργανισμό, αρχικά υπάρχουν 04800 βακτήρια. Μετά από 1 ώρα υπάρχουν 10400 βακτήρια, μετά από ώρες 5100 βακτήρια, και γενικά ο αριθμός των βακτηρίων υποδιπλασιάζεται κάθε μια ώρα. α) Πόσα
1. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις : α. 3
. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις : α. 0 6 β. ( + ) + ( ) = ( + ) γ. ( + ) 4 = ( ) δ. ( 7) + = ε. ( ) + ( + 4)( 4) + 8 = ( + ) στ. ( 7) + = ζ. ( ) = ( )( 4) + 9. Ομοίως : α. ( + 5) (9 5) + 6 + 0 = 0 β.
Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα 1+α < 1+ α. α+α
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος (α). x 1. ίνονται οι ανισώσεις: 3x 1
Άλγεβρα Α Λυκείου. Επαναληπτικά θέματα από διαγωνίσματα ΟΕΦΕ Πραγματικοί αριθμοί
wwwaskisopolisgr Άλγεβρα Α Λυκείου Επαναληπτικά θέματα από διαγωνίσματα ΟΕΦΕ 006-08 Δίνεται ότι και y Πραγματικοί αριθμοί α) i Να βρεθούν τα όρια μεταξύ των οποίων περιέχεται το ii Να βρεθούν τα όρια μεταξύ
ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,
Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. x-1 x+3. ή D 0 τότε x= =1 και y= 2. 2x 3y ή D=D D 0 άρα το σύστημα είναι αόριστο ή
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1.Να λύσετε την εξίσωση: 3 4-1 +3 0 Λύση: 3 4-1 +3 0 3 3 4 1 0 4 5 0 1 ή =5.Να λυθεί το σύστημα : 3 1 5 Λύση: Βρίσκουμε τις ορίζουσες 3-1 3 11 6 1 7 1 1-1 1 51 5 7 5 3 1 35 11 15 1 14
4.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ
4.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 1 : ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ Για να λύσω μια ανίσωση της μορφής : 0 ή 0 1 ος τρόπος : Λειτουργώ όπως και στις εξισώσεις πρώτου βαθμού, δηλαδή χωρίζω γνωστούς από αγνώστους, και
Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)
Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ
Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 2ο. οι πράξεις και οι ιδιότητές τους
οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Μερικές ακόμη ταυτότητες (επιπλέον από τις αξιοσημείωτες που βρίσκονται στο σχολικό βιβλίο) ) Διαφορά δυνάμεων με ίδιο εκθέτη: ειδικά αν ο εκθέτης ν είναι άρτιος υπάρχει
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ α + β + γ = 0 α 0 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΙΑΚΡΙΝΟΥΣΑΣ 1. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις ως προς ή y: α) - 4 = 0 β) 3 = 4 γ) + - 15 = 0 δ) 5-18 -
β) Αν κάποιος αριθµός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι 1 1 1 9 < α
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος (α). x 1. ίνονται οι ανισώσεις: 3x 1
εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες
Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο
ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο
ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Γ Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - 2 ο ΘΕΜΑ
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Ένα τηλεοπτικό παιχνίδι παίζεται με ζεύγη αντιπάλων των δυο φύλων. Στο παιχνίδι συμμετέχουν άντρες: ο Δημήτρης (Δ), ο Κώστας (Κ), ο Μιχάλης (Μ) και γυναίκες:
Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα
Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό
ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ
ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1 Ο Δίνεται η συνάρτηση f ( x) x ( 1) x 3 με 0 Γ1. Να λυθεί η εξίσωση f ( x) 0 για λ = -1 Γ. Για λ=3, να λυθεί η ανίσωση f ( x) 0 Γ3. Να αποδείξετε ότι στην
β=0 Η εξίσωση (λ-2)χ=2λ-4 για λ=2 είναι αδύνατη. Σ Λ Αν η εξίσωση αχ+β=0 έχει δύο διαφορετικές λύσεις τότε είναι αόριστη. Σ Λ
3. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ 3. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ α 0 Η εξίσωση έχει μία μοναδική λύση την x= - αx+β=0 α=0 β 0 β=0 Η εξίσωση είναι αδύνατη, δηλαδή δεν έχει λύση. Η εξίσωση είναι αόριστη ή ταυτότητα, δηλαδή επαληθεύεται
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ. i) x 1
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ. Δίνεται το τριώνυμο : 3.Να βρείτε το πρόσημο των τιμών του τριωνύμου για : 3 4 i) 3 i 4 3. Να βρεθεί το πρόσημο των τριωνύμων : i) f ( ) 5 3 g( ) i h( ) 3. Να βρεθεί το
Εκφωνήσεις θεμάτων Άλγεβρας Τράπεζας θεμάτων ανά ενότητα. 2ο θέμα
.497 Πιιθαννότητεεςς ο θέμα Ένα τηλεοπτικό παιχνίδι παίζεται με ζεύγη αντιπάλων των δυο φύλων. Στο παιχνίδι συμμετέχουν 3 άντρες: ο Δημήτρης (Δ), ο Κώστας (Κ), ο Μιχάλης (Μ) και γυναίκες: η Ειρήνη (Ε)
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο : f( x) α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. x x x x β. Να βρείτε τα σημεία τομής της με τους άξονες αν υπάρχουν. γ. Αν α, β ρίζες της εξίσωσης: ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση
β) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές για κάθε R. Μονάδες 8 γ) Αν x
ΡΑΛΛΕΙΟ ΓΕΛ ΘΗΛΕΩΝ ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧ ΕΤΟΣ 06-7 Εξισώσεις Β βαθμού Α Λυκείου Τριών Ιεραρχών την Δευτέρα κι ευκαιρία να τους τιμήσουμε λύνοντας μερικές ασκησούλες άλγεβρας Αρχίστε από τις,,3,4,5,6,8,3,4,5,6,7,8,9,0,
ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού
ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού 97 98 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση: 1 1 1 ( x+ )(x ) = x 3 3 9. Αν η εξίσωση (x - 3) λ + 3 = λ x έχει ρίζα τον αριθμό, να υπολογιστεί
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Α. Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Ποια εξίσωση λέγεται εξίσωση ου βαθμού
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 =
ΕΞΙΩΕΙ-ΑΝΙΩΕΙ ου ΒΑΘΜΟΥ - 38 - ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ο Εξισώσεις - Ανισώσεις β βαθµού 5.1. Μορφή και διερεύνηση της εξίσωσης β βαθµού Άθροισµα και γινόµενο των ριζών της Κάθε εξίσωση β βαθµού πριν τη λύσουµε,
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη
Α ΛYKEIOY ΆΛΓΕΒΡΑ Άλγεβρα. Μίλτος Παπαγρηγοράκης Χανιά
Άλγεβρα Α ΛYKEIOY ΆΛΓΕΒΡΑ 09-00 Μίλτος Παπαγρηγοράκης Χανιά Ταξη: Α Γενικού Λυκείου Άλγεβρα Έκδοση 907 Η συλλογή αυτή διανέμεται δωρεάν σε ψηφιακή μορφή μέσω διαδικτύου προορίζεται για σχολική χρήση και
1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.
Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή
Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ
Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος 013-014, Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 013-014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός
Παρατηρήσεις. Προβλήματα είχαν οι ασκήσεις:
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ Στέλιιος Μιιχαήλογλου-Δημήτρης Πατσιιμάς Εκκφωννήήσσεει ιςς κκααι ι λλύύσσεει ιςς θθεεμμάάττωνν Άλλγγεεββρρααςς Τρράάππεεζζααςς θθεεμμάάττωνν
Παρατηρήσεις. Προβλήματα είχαν οι ασκήσεις:
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ Στέλιιος Μιιχαήλογλου-Δημήτρης Πατσιιμάς Εκκφωννήήσσεει ιςς κκααι ι λλύύσσεει ιςς θθεεμμάάττωνν Άλλγγεεββρρααςς Τρράάππεεζζααςς θθεεμμάάττωνν
ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ A ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ
ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ A ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα. ΔΥΝΑΜΕΙΣ : Ισχύουν οι
ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ
ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ . ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τα σύνολα των αριθμών είναι τα εξής : i. Φυσικοί αριθμοί : 0,,,,......,,,,0,,,,...
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ
3ο κεφάλαιο: Εξισώσεις ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 2014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 2014 Περιεχόµενα 1
Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - -. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους. Αν + y = -, να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων: α A = + y + ( + y β B = ( - y -( y γ Γ = -(
ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,
Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι
2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ρητός ονομάζεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή κλάσματος, όπου, είναι ακέραιοι με 0. Ρητοί αριθμοί : Q /, 0. Έτσι π.χ.
Εξισώσεις πρώτου βαθμού
Εξίσωση ου βαθμού με ένα άγνωστο 0ρισμός Εξισώσεις πρώτου βαθμού Κάθε εξίσωση που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή αχ=β λέγεται εξίσωση ου βαθμού με ένα άγνωστο. Σε μια εξίσωση η μεταβλητή λέγεται άγνωστος.οι
4. Ανισώσεις. 4.1 Ανισώσεις 1 ου Βαθμού
Ανισώσεις ου Βαθμού Ανισώσεις. Πρωτοάθμιες Ανισώσεις Επιλύονται όπως οι εξισώσεις με την διαφορά ότι, όταν πολλαπλασιάζω ή διαιρώ με αρνητικό αριθμό αλλάζει φορά η ανίσωση.. Υπενθύμιση α) χ χ, ή χ, ) χ
ΣΥΝΔΙΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. 2 Α)Να βρείτε το ω για το οποίο το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x-ημω είναι ίσο με 2. Β)να λύσετε την εξίσωση Px ( ) (2 )
.Δίνονται οι παραστάσεις: A,B=,Γ=συν i)να δείξετε ότι Α=ημ,Β=σφ,Γ=συν ii)να λύσετε την εξίσωση: Α+Β=log(lne) log iii)να λύσετε την εξίσωση: A00.Δίνεται το πολυώνυμο : P( ) 4, ω, Α)Να βρείτε το ω για το
ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ
ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: A ΑΛΓΕΒΡΑ ΘΕΜΑ A Α1. Να αποδείξετε ότι: αβ α β (Μονάδες 15) A. Χαρακτηρίστε ως Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ) τις ακόλουθες προτάσεις: 1. Η εξίσωση
τριώνυμο Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι:
κεφάλαιο 4 Α τριώνυμο επίλυση της εξίσωσης δευτέρου βαθμού Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι: αx + βx + γ
Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd
1 1) Δίνεται η εξίσωση x 2-2(λ + 2) χ + 2λ 2-17 = 0. Να βρείτε το λ ώστε η εξίσωση να έχει μία ρίζα διπλή. Υπολογίστε τη ρίζα. Aσκήσεις στις εξισώσεις Β βαθμού Για να έχει η εξίσωση μία ρίζα διπλή πρέπει:
1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση:
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ Ερωτήσεις συµπλήρωσης 1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση: Φυσική γλώσσα Μαθηµατική γλώσσα ύο αριθµοί x, y διαφέρουν κατά και έχουν γινόµενο x (x
Α Λυκείου ΑΛΓΕΒΡΑ & ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
Α Λυκείου ΑΛΓΕΒΡΑ & ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ τράπεζαθεμάτων θέμαδεύτεροκαιτέταρτο Επιμέλεια: ΕμμανουήλΚ.Σκαλίδης ΑντώνηςΚ.Αποστόλου ΚόμβοςΑτσιποπούλου014-15 1 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1. Ένα κουτί περιέχει 5 άσπρες,
Παρατηρήσεις. Προβλήματα είχαν οι ασκήσεις:
1 Παρατηρήσεις Προβλήματα είχαν οι ασκήσεις: Απόλυτες τιμές:.504(δεν χρειάζεται το α
ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 1. α) Να λύσετε την εξίσωση : 2 2 2x. β) Αν α είναι η ϑετική εξίσωσης του ερωτήµατος (α), να λύσετε την ανίσωση : 1 x < α.
ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 6 3 α) Να λύσετε την εξίσωση : 3 β) Αν α είναι η ϑετική εξίσωσης του ερωτήµατος (α), να λύσετε την ανίσωση : < α. ΘΕΜΑ α) Να λύσετε την ανίσωση : + < 7. β) Αν ο είναι λύση της ανίσωσης του
( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και
ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο : f( ) α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. β. Να βρείτε τα σημεία τομής της με τους άξονες αν υπάρχουν. γ. Αν α, β ρίζες της εξίσωσης: ΘΕΜΑ ο f ( ), να δείξετε ότι αβ+=0.
ΘΕΜΑ 2. 1 x < 4. (Μονάδες 9) 2. α) Να λύσετε την ανίσωση: β) Να λύσετε την ανίσωση: x (Μονάδες 9)
α) Να λύσετε την ανίσωση: 1 x < 4. (Μονάδες 9) 2 β) Να λύσετε την ανίσωση: x+ 5 3. (Μονάδες 9) γ) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων των ερωτημάτων (α) και (β) με χρήση του άξονα των πραγματικών
Οι εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ ανά ενότητα
Οι εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ ανά ενότητα Ιούνιος 04 . Έννοια της πιθανότητας GI_A_ALG 497 Ένα τηλεοπτικό παιχνίδι παίζεται µε ζεύγη αντιπάλων των δυο φύλων. Στο παιχνίδι
ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Λ. ΑΙΔΗΨΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Λ. ΑΙΔΗΨΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 01-013 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 1 ο Α. Έστω a ένας πραγματικός αριθμός. Να δώσετε τον ορισμό της απόλυτης
4.2 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 112 114
1. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 11 11 A Ομάδας 1. Να μετατρέψετε σε γινόμενα παραγόντων τα τριώνυμα: x 3x + x 3x Δ ( 3). 1. 9 8 1 > 0 Ρίζες: x Άρα ( 3) 1.1 3 1 3 1 ή 31 x 3x +
Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ
Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.
1. Αν α 3 + β 3 + γ 3 = 3αβγ και α + β + γ 0, δείξτε ότι το πολυώνυµο P (x) = (α - β) x 2 + (β - γ) x + γ - α είναι
_ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Αν α + β + γ = αβγ και α + β + γ 0, δείξτε ότι το πολυώνυµο P () = (α - β) + (β - γ) + γ - α είναι το µηδενικό πολυώνυµο.. Να δειχθεί ότι το πολυώνυµο P () = (κ - ) + (λ + 6) +
Στέλιος Μιχαήλογλου - Δημήτρης Πατσιμάς
Μεθοδική Επανάληψη www.askisopolis.gr Στέλιος Μιχαήλογλου - Δημήτρης Πατσιμάς Ε. Σύνολα i. Τι είναι το σύνολο; ii. Ποιοι είναι οι βασικοί τρόποι παράστασης συνόλων και τι γνωρίζετε γι αυτούς; iii. Πότε
ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΑΞΕΙΣ
ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΑΞΕΙΣ Να δείξετε ότι (x 2) 3 + (3x 4) 3 + (6 4x) 3 = 3(x 2)(3x 4)(6 4x). Λύση Στο 1 0 μέλος βλέπουμε άθροισμα κύβων 3 αριθμών, εξετάζουμε αν έχουν άθροισμα 0, (x 2) + (3x 4) + (6
Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν
Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν Α λ γ ε β ρ α Α Λ υ κ ε ι ο υ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς Α λ γ ε β ρ α Α Λ υ κ ε ι ο υ Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς 868 936 064 073 080
a = f( x ) =. (Μονάδες 8) 2 = =,από όπου προκύπτει ( υψώνοντας στο τετράγωνο ), x =, επομένως x = 0 x = ή Άσκηση 4679 Δίνεται η συνάρτηση:
Άσκηση 4679 Δίνεται η συνάρτηση: a = + 4 f( x) x x α) Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού α, ώστε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f να είναι το σύνολο. (Μονάδες 0) β) Αν είναι γνωστό ότι η γραφική
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
.α) Να αποδείξετε ότι για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς x,y ισχύει: x y x y x 6y 0 0 Β)Να βρείτε τους αριθμούς x,y ώστε x y x y 6 0 0.Δίνονται οι μη μηδενικοί πραγματικοί αριθμοί α,β με τους οποίους
4. Ανισώσεις. 4.1 Ανισώσεις 1 ου Βαθμού
1 Ανισώσεις 1 ου Βαθμού Ανισώσεις 1. Πρωτοάθμιες Ανισώσεις Επιλύονται όπως οι εξισώσεις με την διαφορά ότι, όταν πολλαπλασιάζω ή διαιρώ με αρνητικό αριθμό αλλάζει φορά η ανίσωση.. Υπενθύμιση α), ή, ) ή,
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
1. Να λύσετε τις εξισώσεις ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3 50 3 5 0 0 ή 3 5 0 0 ή 3 5 0 ή 8 50 8 5 αδύνατη 3 60 3 6 6 3 3 4 510, α = 4, β = -5 και γ = 1 Δ = 4 5 4 4 15169 5 9 4 53 8 1 ή 4 410
Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 4 ο (141)
Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 4 ο (141) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ
2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και
ΘΕΜΑ 2 Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α ) = 3Ρ(Α), Ρ(Β ) = 1/3 και () 3()
ΘΕΜΑ 1 Ένα Λύκειο έχει 400 μαθητές από τους οποίους οι 00 είναι μαθητές της Α τάξης Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή, η πιθανότητα να είναι μαθητής της Γ τάξης είναι 0% Να βρείτε: i Το πλήθος των μαθητών
ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις ευτέρου Βαθµού
ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις ευτέρου Βαθµού 108 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση: 1 1 1 ( x+ )(x ) = x 3 3 9. Αν η εξίσωση (x - 3) λ + 3 = λ x έχει ρίζα τον αριθµό, να υπολογιστεί
ΣΥΝΔΙΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. 2 Α)Να βρείτε το ω για το οποίο το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x-ημω είναι ίσο με 2. Β)να λύσετε την εξίσωση Px ( ) (2 )
.Δίνονται οι παραστάσεις: A,B=,Γ=συν i)να δείξετε ότι Α=ημ,Β=σφ,Γ=συν ii)να λύσετε την εξίσωση: Α+Β=log(lne) log iii)να λύσετε την εξίσωση: A00.Δίνεται το πολυώνυμο : P( ) 4, ω, Α)Να βρείτε το ω για το