ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ"

Transcript

1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Τι ονομάζουμε εξίσωση ου βαθμού; o Εξίσωση ου βαθμού με ένα άγνωστο ονομάζουμε κάθε εξίσωση που γράφεται ή μπορεί να γραφεί στη μορφή με α π.χ 5 6 Τι ονομάζουμε εξίσωση ου βαθμού ελλιπούς μορφής; o Εξίσωση ου βαθμού ελλιπούς μορφής ονομάζεται η εξίσωση με α και β= ή γ= Επίλυση εξισώσεων ου βαθμού. Αν β= τότε. Αν αρνητικό τότε η εξίσωση είναι αδύνατη. Π.χ Αν θετικό τότε η εξίσωση έχει ρίζες(λύσεις) Αδύνατη Αν γ= τότε a ή α+β= Π.χ 9 ( ) ή ( χ-= χ=) 6 6 (6 ) ή += =- Ασκήσεις.Να λυθούν οι εξισώσεις: ) 4 β) γ) -. Να λύσετε τις εξισώσεις: ) 5 β)6 γ)4 8.Να λυθούν οι εξισώσεις: 47

2 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ ) 6 β)4 6 γ) 9 4.Να λύσετε τις εξισώσεις: ) 9 β) 4 γ) 4 5. Να λυθούν οι εξισώσεις: a) β) 6 γ) - 6.Να λυθούν οι εξισώσεις: a) β) + ) 7 δ) - 4 ε) + Αν,, δηλαδή είναι της μορφής α τότε πρώτα υπολογίζουμε την Διακρίνουσα 4 και ανάλογα με το πρόσημο της βρίσκουμε, αν υπάρχουν, τις ρίζες(λύσεις ) της εξίσωσης: 4 Η εξίσωση α Δ> Έχει δύο ρίζες άνισες, Δ= Έχει μία διπλή ρίζα την Δ< Είναι αδύνατη στο Παράδειγμα 5 6 a β=-5 γ=6 Δ=β Άρα η εξίσωση έχει ρίζες (λύσεις) άνισες 48

3 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ , 5 4 Δηλαδή υπάρχουν διαφορετικοί αριθμοί, το χ= και το χ= που αν το αντικαταστήσουμε στη θέση του χ στην εξίσωση, τότε το αποτέλεσμα είναι. Παράδειγμα 7 a β=-7 γ= Δ=β Άρα η εξίσωση έχει ρίζες(λύσεις) άνισες: 7 8 8: :8, : :6 4 Παράδειγμα a β= γ= [Προσέχω ότι δεν κάνω χρήση της ιδιότητας μπορεί η Δ να γραφτεί σαν τέλειο τετράγωνο] Άρα η εξίσωση έχει ρίζες(λύσεις ) άνισες τις:, για να Παράδειγμα

4 a β=-8 γ=8 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Δ=β Άρα η εξίσωση έχει ρίζα (διπλή) την Ασκήσεις.Να λύσετε τις εξισώσεις i) 6 8 ii) 5 iii)5φ 9 iv s s ) 4 v)9 4.Να λύσετε τις εξισώσεις i)9y y 64 y 9 y ii)9 ω iii) 4 9 iv) +4.Να λύσετε τις εξισώσεις i 6 iv ) 9 ii) iii) )5 6 4.Να λύσετε τις εξισώσεις i) 5 6 ii) Παραγοντοποίηση τριωνύμου Τριώνυμο ονομάζεται η παράσταση Αν f ( ) a 4 θετική τότε η εξίσωση f()= έχει ρίζες άνισες, f ( ) a και τότε η f()= γράφεται: [προσέξτε μην ξεχνάτε το α μπροστά από τις παρενθέσεις] Αν 4 = τότε η εξίσωση f()= έχει ρίζα (διπλή) και η f() γράφεται f ( ) a a [προσέξτε μην ξεχνάτε το α μπροστά από τις παρενθέσεις] 5

5 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Αν 4 αρνητική τότε η εξίσωση f()= δεν έχει πραγματικές ρίζες και δεν παραγοντοποιείται. Παράδειγμα Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυμο f ( ) 6 5 a 6 β=-5 γ= Δ=β Άρα το τριώνυμο έχει ρίζες άνισες τις: 5 6 6:6 5 5 :6, : 4 : 4 Επομένως f ( ) Παράδειγμα Να γίνει γινόμενο παραγόντων το παρακάτω τριώνυμο g( ) 4 8 Θα λύσω την αντίστοιχη εξίσωση 7 a β=-4 γ=8 Δ=β Άρα η εξίσωση έχει διπλή ρίζα την f ( ) Ασκήσεις.Να παραγοντοποιήσετε τα τριώνυμα: f ( y) y 8y 5 g( ) Άρα το τριώνυμο γράφεται : h k y y y ( ) 5 ( ) 5. Να παραγοντοποιήσετε τα τριώνυμα: f ( ) 5 g()=9 4 h y y ( ) k(y)=y 4 5

6 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ. Να παραγοντοποιήσετε τα τριώνυμα: f ( ) g()=4 ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να λυθούν οι εξισώσεις i)9 4 ii)- 5 iii) 5 iv ) 4 v) + 6 vi) - 6. Να λυθούν οι εξισώσεις i) 4 ii) iii ) 5 5 iv) 5 v ) 8 vi). Να λυθούν οι εξισώσεις a ) 5 5 β) 6 ) δ) 6 4. Να λυθούν οι εξισώσεις + a) β) ) δ) Να λυθούν οι εξισώσεις i) 5 ii) - 7 iii) Να λυθούν οι εξισώσεις 4 4 a) 5 4 β) 7 4 ) 5 4 δ)-5 6 )6 5 στ)4 7.Να λυθούν οι εξισώσεις: ) 4 9 ) ) 5 i) 6 ii iii iv 5

7 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ 8.Να λυθούν οι εξισώσεις i) k k ii) k k iii k k a ) iv) 9.Να παραγοντοποιήσετε τα παρακάτω τριώνυμα: i) ii) 5 6 iii) 5 iv) 8 v) 5 vi) 4.Να παραγοντοποιήσετε τα παρακάτω τριώνυμα: i ) 6 9 ii) 4 8 iii). Να παραγοντοποιήσετε τα παρακάτω τριώνυμα:, 4 a a, a y y 7 5a 5a a, a a a.να απλοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις: i) ii) iii) iv) v) vi) Να απλοποιήσετε το κλάσμα: 4 4.Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω εξισώσεις έχουν δύο άνισες λύσεις: a) a β)α a, α γ) ( a ) a δ)α a a 5. Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω εξισώσεις έχουν μία τουλάχιστον λύση: a)4 a a β)α a, α γ) a a δ) a 5a 6.Αν η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές, τότε να αποδείξετε ότι και οι παρακάτω εξισώσεις έχουν πραγματικές ρίζες: 5

8 i ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ ) ii ) 7.Δίνεται η εξίσωση 4 α)να βρείτε για ποια τιμή του λ η εξίσωση έχει μία διπλή λύση β)για την τιμή του λ που βρήκατε, να λύσετε την εξίσωση. 8.Δίνεται η εξίσωση 5, λ α)να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η εξίσωση έχει μία διπλή λύση β)για την τιμή του λ που βρήκατε να λύσετε την εξίσωση 9.Για ποιες τιμές του οι εξισώσεις a και a έχουν κοινή ρίζα;.να βρείτε για ποιες τιμές του λ ο αριθμός είναι λύση της εξίσωσης 4.Να αποδειχτεί ότι η εξίσωση έχει πάντοτε δύο ρίζες πραγματικές..δίνεται η εξίσωση 5 8 α)να βρείτε την τιμή του λ για την οποία ο αριθμός είναι λύση της εξίσωσης β)για την τιμή του λ που βρήκατε, να λύσετε την εξίσωση. Αν η εξίσωση έχει διπλή ρίζα δείξτε ότι το ίδιο ισχύει και για την εξίσωση : 4.Δίνεται η εξίσωση Αν η εξίσωση έχει μία διπλή λύση, τότε να αποδείξετε ότι: α)οι αριθμοί λ και μ είναι αντίστροφοι β)η διπλή λύση της εξίσωσης είναι =μ. 5.Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού κ για τις οποίες η 4 6 k k έχει μία ρίζα διπλή. εξίσωση 54

9 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ 6.Αν μία ρίζα της εξίσωσης a 4 είναι ο αριθμός, να βρεθεί η άλλη ρίζα της. 7. Να λύσετε την εξίσωση 4 a 9 αν η εξίσωση αυτή έχει κοινή λύση με τη εξίσωση χ+=. 8.Δίνεται η εξίσωση 6 4. Να βρεθεί για ποιές τιμές του λ η εξίσωση α)έχει διαφορετικές ρίζες β)έχει μία διπλή ρίζα γ)δεν έχει ρίζες 9. Δίνεται η εξίσωση 8 8 Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε η εξίσωση α)να έχει ρίζες άνισες β)να έχει μία ρίζα διπλή γ)να είναι αδύνατη.να βρείτε το λ, ώστε η εξίσωση να έχει διπλή ρίζα και μετά να βρείτε τη διπλή ρίζα.. Να λύσετε την εξίσωση a για τις διάφορες τιμές των α,β..να βρεθεί το πλήθος των ριζών της εξίσωσης 8 για τις διάφορες τιμές του λ. 4. Να βρεθεί το πλήθος των ριζών της εξίσωσης 5 για τις διάφορες τιμές του λ. 4. Να λυθεί η εξίσωση: 5.Να λυθεί η εξίσωση : Η εξίσωση έχει ρίζα τον αριθμό να βρείτε το λ και κατόπιν να βρείτε την άλλη λύση. 55

10 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ 7.Να προσδιοριστεί ο ώστε η εξίσωση να έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες 8.Αν να δείξετε ότι η εξίσωση a είναι αδύνατη. Να εξετάσετε τι γίνεται στην περίπτωση που α=β. 9. Η εξίσωση 4 έχει διπλή ρίζα. Να βρεθεί το μ και μετά να βρείτε τη ρίζα. 4.Δίνεται η εξίσωση. Για ποια τιμή του λ η εξίσωση έχει άνισες ρίζες; ) 4. Να λύσετε τις εξισώσεις: ) 4. Δείξτε ότι οι παρακάτω εξισώσεις έχουν πάντα ρίζα ) a 9, a ) a,α 4. Να βρείτε το πλήθος των ριζών της 9 a a 44.Δίνεται η εξίσωση,λ 4 Για ποια τιμή του λ η εξίσωση i) έχει άνισες ρίζες ii) διπλή iii)δεν έχει ρίζες. 45.(Τ.Θ)α.Να λύσετε την εξίσωση Β.Να σχηματίσετε την εξίσωση δευτέρου βαθμού με ρίζες τις ρίζες της εξίσωσης του α ερωτήματος 46.(Τ.Θ)Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης :. Β)Να λύσετε την εξίσωση : 47.(Τ.Θ)α.Να βρείτε για ποιες τιμές του χ η παράσταση έχει νόημα πραγματικού αριθμού; 56

11 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Β)Για τιμές του χ που βρήκατε στο α ερώτημα να λύσετε την εξίσωση : 48.(Τ.Θ).Δίνεται το τριώνυμο 5 λ Α)Αν μια ρίζα του τριωνύμου είναι ο αριθμός χ= να προσδιορίσετε την τιμή του λ. Β)Για λ=, να παραγοντοποιήσετε το τριώνυμο. 49. (Τ.Θ)Δίνεται η εξίσωση :, λ Α)Να βρείτε την τιμή του λ για την οποία η εξίσωση έχει ρίζα τον αριθμό -. Β)Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες για κάθε 5.(Τ.Θ).Δίνεται η εξίσωση:,λ. Α)Να βρεθούν οι τιμές του για τις οποίες η εξίσωση είναι ου βαθμού. Β)Να αποδείξετε ότι για τις τιμές του λ που βρήκατε στο α ερώτημα η εξίσωση παίρνει τη μορφή: Γ)Να αποδείξετε ότι για τις τιμές του λ που βρήκατε στο α ερώτημα η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες. Δ)Να προσδιορίσετε τις ρίζες της εξίσωσης, αν αυτή είναι ου βαθμού. 5.Δίνεται η εξίσωση: a a,α Α)Να αποδείξετε ότι η διακρίνουσα της εξίσωσης είναι : Β)Να αποδείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης είναι : ρ Γ)Να βρεθούν οι τιμές του α ώστε. 5. A.Να λύσετε τις εξισώσεις : 4 8 () και 8 4 () Β)Ένας μαθητής παρατήρησε ότι οι ρίζες της εξίσωσης () είναι οι αντίστροφοι των ριζών της εξίσωσης () και ισχυρίστηκε ότι το ίδιο θα ισχύει για οποιοδήποτε ζευγάρι εξισώσεων της μορφής : () και γ a (4) αγ Αποδείξτε τον ισχυρισμό του μαθητή, δείχνοντας ότι: Αν ο αριθμός ρ είναι ρίζα της εξίσωσης () και τότε: i) 57

12 ii) o ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ επαληθεύει την εξίσωση (4). 5.(Τ.Θ).α)Να λύσετε την εξίσωση : 4 () β)δίνονται οι ομόσημοι αριθμοί α,β για τους οποίους ισχύει: 4 i) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός είναι λύση της εξίσωσης () ii) Να αιτιολογήσετε γιατί ο α είναι τετραπλάσιος του β. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ου ΒΑΘΜΟΥ. Να λυθούν οι εξισώσεις: 4 4 i)4 ii) iii) 5 6 iv) 4 8. Να λυθούν οι εξισώσεις: i) ii) iii. Να λυθούν οι εξισώσεις: ) 5 6 iv) 4 i) 4 45 ii) - 4 iii 4. Να λυθούν οι εξισώσεις: i) ii) -4 4 ) iv) iii 5. Να λυθούν οι εξισώσεις: ) iv) 5 6 ) ii) i iii) iv) Να λυθούν οι εξισώσεις: i) 7 ii) 4 5 iii)

13 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ ΤΥΠΟΙ VIETA Έστω οι ρίζες της εξίσωσης a, α.αν συμβολίσουμε με S το άθροισμα και με P το γινόμενο των ριζών αυτών τότε θα έχουμε: S και P (τύποι του Vieta ) Οι παραπάνω τύποι ονομάζονται τύποι του Vieta ( από τον Γάλλο μαθηματικό Franciscus Vieta(54-6)) με την βοήθεια των οποίων η εξίσωση a μπορεί να γραφεί στη μορφή, S P Παράδειγμα Αν, είναι ρίζες της εξίσωσης 4 6 να υπολογιστούν οι τιμές των παραστάσεων : i) ii) iii) iv) v) + vi) ) viii) vii Λύση 4 6 ) ii) 4 4 iii) iv) v) 6 vi) vii) viii) 7 59

14 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Παράδειγμα Να βρεθεί η εξίσωση ου βαθμού της οποίας οι ρίζες είναι οι αριθμοί και. Λύση Αφού οι ρίζες είναι οι αριθμοί και άρα S=+=5 και P 6 οπότε η εξίσωση ου βαθμού είναι η S P 5 6 Παράδειγμα Να βρείτε δύο αριθμούς που έχουν άθροισμα 9 και γινόμενο -5 Λύση Έστω α,β οι αριθμοί. Άρα 9 και α β=-5. Οπότε οι αριθμοί α,β είναι οι ρίζες μιας εξίσωσης ου βαθμού με S=9 και Ρ=-5. Δηλαδή είναι οι ρίζες της εξίσωσης S P 9 5 Με την χρήση της διακρίνουσας έχω ότι: , Άρα και β= 4 Ασκήσεις.Να βρείτε το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών στις παρακάτω εξισώσεις: ) β) 4 6 γ)- 7.Η εξίσωση 5 6 έχει ρίζες,. Να υπολογιστούν οι παραστάσεις : ) ii) iii) iv) v).να κατασκευάσετε εξίσωση που να έχει ρίζες τους αριθμούς )4 και β) και γ)-6 και 7 4.Να κατασκευάσετε εξίσωση που να έχει ρίζες τους αριθμούς ) 4, ), ), 5. Να προσδιοριστεί η εξίσωση που έχει ρίζες : i) a, a ii), iii)a, 6

15 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ 6.Δίνεται η εξίσωση 8 με α. Αν το άθροισμα των ριζών είναι 6 να βρείτε το α και το γινόμενο των ριζών. 7.Δίνεται η εξίσωση a a η οποία έχει ρίζες υπολογίσετε το α αν γνωρίζετε ότι,. Να 8.Αν είναι οι ρίζες της εξίσωσης να βρεθεί δευτεροβάθμια εξίσωση που να έχει ρίζες και ρ, 9. Αν είναι οι ρίζες 5, τότε χωρίς να βρεθούν οι ρίζες ι)να υπολογιστούν οι παραστάσεις:, ii)να κατασκευάσετε εξίσωση που να έχει ρίζες τους αριθμούς. Για ποιες τιμές του α η εξίσωση αντίθετες..έστω η εξίσωση:, 4 5a a a έχει ρίζες. Αν, είναι ρίζες της εξίσωσης να υπολογίσετε το λ ώστε να ισχύει 7 7.Δίνεται η εξίσωση 6. Δείξτε ότι η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες για κάθε τιμή του. Βρείτε για ποια τιμή του λ η εξίσωση έχει ρίζες α)αντίθετες β)αντίστροφες.να υπολογίσετε το α ώστε οι ρίζες της εξίσωσης 6a a 4a 7a να είναι α)αντίθετες β)αντίστροφες 4.Δίνεται η εξίσωση λ ώστε να ισχύει, με ρίζες,. Να βρεθεί ο 5.Έστω, οι ρίζες της εξίσωσης 4 a. Να βρείτε το α αν γνωρίζετε ότι 6 6

16 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ 6.Δίνεται η εξίσωση a 7a με ρίζες την τιμή του α ώστε 8,. Να βρείτε 7. Να βρείτε την τιμή του α ώστε η μια ρίζα της εξίσωσης a a να είναι διπλάσια της άλλης 8.Αν είναι ρίζες της 5 να βρεθεί η εξίσωση που έχει ρίζες τους αριθμούς ), ii),, 9.Αν, είναι οι ρίζες της εξίσωσης,, να αποδείξετε ότι.αν μια ρίζα της, είναι διπλάσια της άλλης να δειχτεί ότι. Αν η εξίσωση a έχει ρίζες δύο διαδοχικούς ακεραίους, 4 να αποδειχθεί ότι 4. Αν μια ρίζα της, είναι τριπλάσια της άλλης να δειχτεί ότι 6.Δίνονται οι εξισώσεις, και S P, όπου S και P το άθροισμα και γινόμενο ριζών της (). Να αποδείξετε ότι S 4P 4.Δίνεται η εξίσωση και μ και λ, Α)Να δείξετε ότι έχει ρίζες ετερόσημες. Β)Αν P,S είναι το γινόμενο και το άθροισμα αντίστοιχα των ριζών της παραπάνω εξίσωσης, να βρείτε τις τιμές των λ,μ αν ισχύει P S 5 P S 5.Η εξίσωση 5 a 5 έχει ρίζες,, Να βρεθεί ο α αν 6 6.Να βρείτε για ποιες τιμές του λ η εξίσωση 5 4 έχει 6

17 Α)μία διπλή ρίζα Β) ρίζες αντίστροφες Γ) ρίζες αντίθετες Δ) ρίζες ετερόσημες Ε) θετικές ρίζες στ) αρνητικές ρίζες ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ 7. Ένα ορθογώνιο έχει εμβαδό 6 τ.μ και περίμετρο μ. Να βρεθούν οι διαστάσεις του. 8.Δίνεται η συνάρτηση f ( ),λ Α)Αν η εξίσωση f()= έχει μοναδική ρίζα, να υπολογίσετε την τιμή του λ. Β)Αν i)να αποδείξετε ότι η εξίσωση f()= έχει ρίζες άνισες. ii) Αν είναι οι ρίζες της f()=, να βρείτε το πεδίο, ορισμού της συνάρτησης g ( ) 7 iii)να λύσετε την εξίσωση : g() 84 9.(Τ.Θ)α.Να λύσετε την εξίσωση Β.Να σχηματίσετε την εξίσωση δευτέρου βαθμού με ρίζες τις ρίζες της εξίσωσης του α ερωτήματος.(τ.θ).δίνεται ορθογώνιο με περίμετρο Π= cm και εμβαδό Ε=4. Α)Να κατασκευάσετε μια εξίσωση ου βαθμού που έχει ως ρίζες τα μήκη των πλευρών αυτού του ορθογωνίου Β)Να βρείτε τα μήκη των πλευρών του ορθογωνίου.(τ.θ).δίνονται οι αριθμοί : και Β= 7 7 Α)Να δείξετε ότι Α+Β= και Β)Να κατασκευάσετε μια εξίσωση ου βαθμού που έχει ρίζες τους αριθμούς Α,Β. cm.(τ.θ) Έστω α,β πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύουν : α+β= και α)να αποδείξετε ότι : 5 β)να κατασκευάσετε εξίσωση δευτέρου βαθμού με ρίζες τους αριθμούς α,β και να τους βρείτε. 6

18 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ.(Τ.Θ) Δίνεται το τριώνυμο : 5 Α)Να δείξετε ότι το τριώνυμο έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες και Β)Να βρείτε την τιμή των παραστάσεων :,, Γ)Να προσδιορίσετε μια εξίσωση ου βαθμού που έχει ρίζες τους αριθμούς και. 4.(Τ.Θ).Δίνεται η εξίσωση 4 λ Α)Να βρείτε τη διακρίνουσα της εξίσωσης Β)Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές για κάθε. Γ)Αν είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης, τότε να βρείτε για ποια τιμή του λ ισχύει:, 5.(Τ.Θ).Δίνεται η εξίσωση 4,λ Α)Να βρείτε τη διακρίνουσα της εξίσωσης Β)Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές για κάθε. Γ)Αν, είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης, τότε να βρείτε για ποια τιμή του λ ισχύει: 5 6.(T.Θ) Θεωρούμε την εξίσωση, λ Α)Να βρείτε για ποιες τιμές του λ η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες. Β)Στην περίπτωση που η εξίσωση έχει δύο ρίζες,, να προσδιορίσετε το λ ώστε να ισχύει : 7.(Τ.Θ). Δίνεται η εξίσωση:,λ Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες: Α)η εξίσωση έχει δυο ρίζες πραγματικές και άνισες Β)το άθροισμα των ριζών της εξίσωσης είναι ίσο με. 8.(Τ.Θ).Δίνεται η εξίσωση: 4, λ Α)Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε τιμή του λ η εξίσωση έχει δυο ρίζες άνισες Β)Αν, είναι οι ρίζες της εξίσωσης: i)να βρείτε το S. 64

19 ii)να βρείτε το ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ P ως συνάρτηση του πραγματικού λ. Γ)Αν η μια ρίζα της εξίσωσης είναι ο αριθμός τότε i) να αποδείξετε ότι η άλλη ρίζα της εξίσωσης είναι ο αριθμός ii) να βρείτε το λ. 9.(Τ.Θ).Δίνεται η εξίσωση:,λ Α)Να βρείτε τη διακρίνουσα Δ της εξίσωσης και να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές για κάθε λ. Β)Για ποια τιμή του λ η εξίσωση έχει δυο ρίζες ίσες; Γ)Να αποδείξετε ότι η παράσταση, όπου S,P το άθροισμα S P και το γινόμενο των ριζών της εξίσωσης αντίστοιχα, έχει νόημα πραγματικού αριθμού για κάθε πραγματικό λ. 4.(Τ.Θ).Δίνεται η εξίσωση : 5,λ Α)Να βρείτε τη διακρίνουσα Δ της εξίσωσης Β)Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει δυο ρίζες πραγματικές και άνισες για κάθε λ Γ)Αν, είναι οι ρίζες της εξίσωσης να βρεθούν οι τιμές του λ για τις οποίες ισχύει: 4 4.(Τ.Θ). Δίνεται η εξίσωση :,λ - Α)Να δείξετε ότι η διακρίνουσα Δ είναι ανεξάρτητη του λ. Β)Να προσδιορίσετε τις ρίζες της εξίσωσης συναρτήσει του λ Γ)Να βρείτε για ποιες τιμές του λ, η απόσταση των ριζών της εξίσωσης στον άξονα των πραγματικών αριθμών είναι ίση με μονάδες. 4.(Τ.Θ) Δίνεται η εξίσωση : 6,λ Α)Να δείξετε ότι, για κάθε τιμή του, η εξίσωση έχει δυο ρίζες πραγματικές και άνισες. Β)Υποθέτουμε τώρα ότι μια από τις ρίζες της εξίσωσης είναι ο αριθμός ρ. i)να δείξετε ότι ο αριθμός ρ είναι ρίζα της εξίσωσης 6 ii)να δείξετε ότι: ο αριθμός είναι ρίζα της εξίσωσης 6 65

20 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ 4.(T.Θ).Δίνεται η εξίσωση : 5,λ Α)Να αποδείξετε ότι, για κάθε λ η εξίσωση έχει δυο ρίζες πραγματικές και άνισες. Β)Αν είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης τότε: i)να προσδιορίσετε τις τιμές του λ, για τις οποίες ισχύει: ii)για λ=, να βρείτε την τιμή της παράστασης: 4, 44.(Τ.Θ). Δίνεται η εξίσωση,λ Α)Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει δύο ρίζες, διαφορετικές μεταξύ τους. Β)Να δείξετε ότι: Γ)Αν για τις ρίζες ισχύει επιπλέον, τότε : i) Να δείξετε ότι: 4 ii)να προσδιορίσετε τις ρίζες και την τιμή του λ.,, 45.(Τ.Θ). Δίνεται η εξίσωση με β,γ πραγματικούς αριθμούς. Αν η παραπάνω εξίσωση έχει δύο ρίζες άνισες για τις οποίες ισχύει 4, τότε : Α)Να βρείτε τις δυνατές τιμές του β. Β)Να αποδείξετε ότι γ<4. Γ)Δίνεται επιπλέον η εξίσωση () Να εξετάσετε για ποια από τις τιμές του β που βρήκατε στο (α) ερώτημα, η εξίσωση () δεν έχει πραγματικές ρίζες. 46.(Τ.Θ).Δίνεται το τριώνυμο, α με ρίζες τους αριθμούς και. Α) Χρησιμοποιώντας τους τύπους για το άθροισμα S και P των ριζών του τριωνύμου, να αποδείξετε ότι: γ= α και β=-α. Β)Αν επιπλέον γνωρίζουμε ότι το τριώνυμο παίρνει θετικές τιμές για κάθε, τότε: i)να αποδείξετε ότι α< ii)να λύσετε την ανίσωση a. 47.(Τ.Θ) Τέσσερις αθλητές, ο Αργύρης, ο Βασίλης, ο Γιώργος και ο Δημήτρης τερμάτισαν σε έναν αγώνα δρόμου με αντίστοιχους χρόνους, 66

21 t, t, t, t A B ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ για τους οποίους ισχύουν οι σχέσεις : ta tb ta tb, t, ta t tb t ta tb Α)i)Να δείξετε ότι : t ii)να βρείτε τη σειρά με την οποία τερμάτισαν οι αθλητές. Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας. Β)Δίνεται επιπλέον ότι ισχύει : ta tb 6 και t A tb 8 i)να γράψετε μια εξίσωση ου βαθμού που έχει ρίζες τους αριθμούς t και t. A B Δύο ρίζες πραγματικές και άνισες και α Δύο ρίζες ίσες και α Καμία πραγματική ρίζα Δ< Δύο ρίζες ετερόσημες Ρ< Δύο ρίζες ετερόσημες (θετική η Ρ< και S> μεγαλύτερη κατ απόλυτη τιμή) Δύο ρίζες ετερόσημες (αρνητική η Ρ< και S< μεγαλύτερη κατ απόλυτη τιμή) Δύο ρίζες θετικές και P και S> Δύο ρίζες θετικές και άνισες και P και S> Δύο ρίζες θετικές και ίσες και S> Μία ρίζα θετική και η άλλη και S> μηδέν Δύο ρίζες αρνητικές και Ρ και S< Δύο ρίζες αρνητικές και άνισες και Ρ> και S< Δύο ρίζες αρνητικές και ίσες και S< Μία ρίζα αρνητική και η άλλη και S< μηδέν Μία ρίζα το μηδέν P= Δύο ρίζες ίσες με μηδέν Δ= και Ρ= Δύο ρίζες αντίστροφες και Ρ= Δύο ρίζες αντίθετες Ρ< και S= Δύο ρίζες ομόσημες και Ρ> Δύο ρίζες ομόσημες και και Ρ> διαφορετικές Δύο ρίζες ομόσημες και ίσες Δ= και Ρ> 67

Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός

Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Θεωρία ως και την 3. Ασκήσεις: -5 Θεωρία ως και την 3.3 Ασκήσεις: 6-8 Άσκηση Δίνεται η παράσταση: A= 3 5 +

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑ 1 ο α) Αν χ 1, χ ρίζες της εξίσωσης αχ +βχ+γ=0, 0 να δείξετε ότι S 1 και P 1 Μον. 10 β) Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνονται οι ανισώσεις: 3x και 2 x α) Να βρείτε τις λύσεις τους (Μονάδες 10) β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων (Μονάδες 15) α) Έχουμε 3x 2x x 2

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 3. Δίνεται ο πίνακας: 3 3 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ ο. Ένα κουτί περιέχει άσπρες, μαύρες, κόκκινες και πράσινες μπάλες. Οι άσπρες είναι 5, οι μαύρες είναι 9, ενώ οι κόκκινες και οι πράσινες μαζί είναι 6. Επιλέγουμε

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή : α+β=0 ή α=-β () λέγεται εξίσωση ου βαθμού (ή πρωτοβάθμια εξίσωση), με άγνωστο το, ενώ

Διαβάστε περισσότερα

β. Να βρείτε την πιθανότητα πραγματοποίησης καθενός από τα δύο ενδεχόμενα του ερωτήματος α).

β. Να βρείτε την πιθανότητα πραγματοποίησης καθενός από τα δύο ενδεχόμενα του ερωτήματος α). 1.: Έννοια της Πιθανότητας Κεφάλαιο 1ο: Πιθανότητες ΑΣΚΗΣΗ 1 (_497) Ένα τηλεοπτικό παιχνίδι παίζεται με ζεύγη αντιπάλων των δυο φύλων. Στο παιχνίδι συμμετέχουν 3 άντρες: ο Δημήτρης (Δ), ο Κώστας (Κ), ο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ. 14ο Λύκειο Περιστερίου

ΑΛΓΕΒΡΑ. 14ο Λύκειο Περιστερίου ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ 4ο Λύκειο Περιστερίου Εκκφωννήήσσεει ιςς κκααι ι λλύύσσεει ιςς θθεεμμάάττωνν Άλλγγεεββρρααςς Τρράάππεεζζααςς θθεεμμάάττωνν ααννάά εεννόόττηητταα ΑΛΓΕΒΡΑ

Διαβάστε περισσότερα

4.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

4.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 4.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 1 : ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ Για να λύσω μια ανίσωση της μορφής : 0 ή 0 1 ος τρόπος : Λειτουργώ όπως και στις εξισώσεις πρώτου βαθμού, δηλαδή χωρίζω γνωστούς από αγνώστους, και

Διαβάστε περισσότερα

ςεδς ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 3 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ ΔΙΩΝΥΜΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός

ςεδς ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 3 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ ΔΙΩΝΥΜΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός 014 ςεδς ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ ΔΙΩΝΥΜΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παρόν φυλλάδιο είναι ένα τμήμα μιας προσωπικής

Διαβάστε περισσότερα

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Γ Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον

Διαβάστε περισσότερα

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα 1+α < 1+ α. α+α

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα 1+α < 1+ α. α+α ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος (α). x 1. ίνονται οι ανισώσεις: 3x 1

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ. i) x 1

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ. i) x 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ. Δίνεται το τριώνυμο : 3.Να βρείτε το πρόσημο των τιμών του τριωνύμου για : 3 4 i) 3 i 4 3. Να βρεθεί το πρόσημο των τριωνύμων : i) f ( ) 5 3 g( ) i h( ) 3. Να βρεθεί το

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις θεμάτων Άλγεβρας Τράπεζας θεμάτων ανά ενότητα. 2ο θέμα

Εκφωνήσεις θεμάτων Άλγεβρας Τράπεζας θεμάτων ανά ενότητα. 2ο θέμα .497 Πιιθαννότητεεςς ο θέμα Ένα τηλεοπτικό παιχνίδι παίζεται με ζεύγη αντιπάλων των δυο φύλων. Στο παιχνίδι συμμετέχουν 3 άντρες: ο Δημήτρης (Δ), ο Κώστας (Κ), ο Μιχάλης (Μ) και γυναίκες: η Ειρήνη (Ε)

Διαβάστε περισσότερα

β) Αν κάποιος αριθµός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι 1 1 1 9 < α

β) Αν κάποιος αριθµός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι 1 1 1 9 < α ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος (α). x 1. ίνονται οι ανισώσεις: 3x 1

Διαβάστε περισσότερα

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και

( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο : f( ) α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. β. Να βρείτε τα σημεία τομής της με τους άξονες αν υπάρχουν. γ. Αν α, β ρίζες της εξίσωσης: ΘΕΜΑ ο f ( ), να δείξετε ότι αβ+=0.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ α + β + γ = 0 α 0 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΙΑΚΡΙΝΟΥΣΑΣ 1. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις ως προς ή y: α) - 4 = 0 β) 3 = 4 γ) + - 15 = 0 δ) 5-18 -

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού 97 98 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση: 1 1 1 ( x+ )(x ) = x 3 3 9. Αν η εξίσωση (x - 3) λ + 3 = λ x έχει ρίζα τον αριθμό, να υπολογιστεί

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

Παρατηρήσεις. Προβλήματα είχαν οι ασκήσεις:

Παρατηρήσεις. Προβλήματα είχαν οι ασκήσεις: ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ Στέλιιος Μιιχαήλογλου-Δημήτρης Πατσιιμάς Εκκφωννήήσσεει ιςς κκααι ι λλύύσσεει ιςς θθεεμμάάττωνν Άλλγγεεββρρααςς Τρράάππεεζζααςς θθεεμμάάττωνν

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 =

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 = ΕΞΙΩΕΙ-ΑΝΙΩΕΙ ου ΒΑΘΜΟΥ - 38 - ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ο Εξισώσεις - Ανισώσεις β βαθµού 5.1. Μορφή και διερεύνηση της εξίσωσης β βαθµού Άθροισµα και γινόµενο των ριζών της Κάθε εξίσωση β βαθµού πριν τη λύσουµε,

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση:

1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ Ερωτήσεις συµπλήρωσης 1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση: Φυσική γλώσσα Μαθηµατική γλώσσα ύο αριθµοί x, y διαφέρουν κατά και έχουν γινόµενο x (x

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου ΑΛΓΕΒΡΑ & ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Α Λυκείου ΑΛΓΕΒΡΑ & ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α Λυκείου ΑΛΓΕΒΡΑ & ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ τράπεζαθεμάτων θέμαδεύτεροκαιτέταρτο Επιμέλεια: ΕμμανουήλΚ.Σκαλίδης ΑντώνηςΚ.Αποστόλου ΚόμβοςΑτσιποπούλου014-15 1 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1. Ένα κουτί περιέχει 5 άσπρες,

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 1) Δίνεται η εξίσωση x 2-2(λ + 2) χ + 2λ 2-17 = 0. Να βρείτε το λ ώστε η εξίσωση να έχει μία ρίζα διπλή. Υπολογίστε τη ρίζα. Aσκήσεις στις εξισώσεις Β βαθμού Για να έχει η εξίσωση μία ρίζα διπλή πρέπει:

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ρητός ονομάζεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή κλάσματος, όπου, είναι ακέραιοι με 0. Ρητοί αριθμοί : Q /, 0. Έτσι π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

τριώνυμο Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι:

τριώνυμο Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι: κεφάλαιο 4 Α τριώνυμο επίλυση της εξίσωσης δευτέρου βαθμού Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι: αx + βx + γ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Λ. ΑΙΔΗΨΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Λ. ΑΙΔΗΨΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Λ. ΑΙΔΗΨΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 01-013 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 1 ο Α. Έστω a ένας πραγματικός αριθμός. Να δώσετε τον ορισμό της απόλυτης

Διαβάστε περισσότερα

4.2 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 112 114

4.2 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 112 114 1. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 11 11 A Ομάδας 1. Να μετατρέψετε σε γινόμενα παραγόντων τα τριώνυμα: x 3x + x 3x Δ ( 3). 1. 9 8 1 > 0 Ρίζες: x Άρα ( 3) 1.1 3 1 3 1 ή 31 x 3x +

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 4 ο (141)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 4 ο (141) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 4 ο (141) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Α Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου

Άλγεβρα Α Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου Άλγεβρα Α Λυκείου Στέλιος Μιχαήλογλου wwwaskisopolisgr Άλγεβρα Α Λυκείου Οι πράξεις των πραγματικών αριθμών και οι ιδιότητες τους Αν οι αριθμοί α,β είναι αντίστροφοι, να αποδείξετε ότι: 7 4 : 8 0 7 Να

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2 Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α ) = 3Ρ(Α), Ρ(Β ) = 1/3 και () 3()

ΘΕΜΑ 2 Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α ) = 3Ρ(Α), Ρ(Β ) = 1/3 και () 3() ΘΕΜΑ 1 Ένα Λύκειο έχει 400 μαθητές από τους οποίους οι 00 είναι μαθητές της Α τάξης Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή, η πιθανότητα να είναι μαθητής της Γ τάξης είναι 0% Να βρείτε: i Το πλήθος των μαθητών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις ευτέρου Βαθµού

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις ευτέρου Βαθµού ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις ευτέρου Βαθµού 108 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση: 1 1 1 ( x+ )(x ) = x 3 3 9. Αν η εξίσωση (x - 3) λ + 3 = λ x έχει ρίζα τον αριθµό, να υπολογιστεί

Διαβάστε περισσότερα

[ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ] ΤΟ 2 ο ΘΕΜΑ

[ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ] ΤΟ 2 ο ΘΕΜΑ [ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ] ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΤΟ ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Από τους μαθητές ενός Λυκείου, το 5% συμμετέχει στη ομάδα, το 30% συμμετέχει στη θεατρική ομάδα ποδοσφαίρου και το 15%

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ; ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ- ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ- ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ- ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κατηγορίες ασκήσεων στα απόλυτα ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ : Εξισώσεις που περιέχουν απόλυτο μιας παράστασης και όχι παράταση του x έξω από το απόλυτο. α) Λύνουμε ως προς το απόλυτο

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και

( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο : f( x) α Να βρείτε το πεδίο ορισμού της x x x x β Να βρείτε τα σημεία τομής της με τους άξονες αν υπάρχουν γ Αν α, β ρίζες της εξίσωσης: ΘΕΜΑ ο x x f ( x), να δείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός

ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός 01 ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παραπάνω φυλλάδιο φτιάχτηκε για να προσφέρει λίγη βοήθεια κυρίως στους

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο.

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ΣΥΛΛΟΓΟΣ «Η ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ» ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑ 1 Δίνονται τα πολυώνυμα (3x ) (5 x)(3x ) και 5x 9 i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ii). Να βρείτε την τιμή του

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

Φ1: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Φ1: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Φ: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΡΑΣ 0-0 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α - ΘΕΩΡΙΑ - ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ - ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ - ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ-ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΘΕΜΑ Β - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Πεδίο ορισμού. Να βρείτε τα πεδία ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: i) f ( ) 5 6 ii) f ( ) 7 iii) iv) f( ) 4 f( ) 8 v) f ( ) 6 vi) f ( ) 0 5. Να βρείτε τα πεδία ορισμού των παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΩΣ; Το «σωσίβιό» σου στον ωκεανό της Γ Λυκείου! ΕΥΘΥΜΙΟΣ ΛΙΑΤΣΟΣ ΑΝΑΝΕΩΜΕΝΗ ΣΥΜΠΕΠΛΗΡΩΜΕΝΗ ΕΚΔΟΣΗ!

ΠΩΣ; Το «σωσίβιό» σου στον ωκεανό της Γ Λυκείου! ΕΥΘΥΜΙΟΣ ΛΙΑΤΣΟΣ ΑΝΑΝΕΩΜΕΝΗ ΣΥΜΠΕΠΛΗΡΩΜΕΝΗ ΕΚΔΟΣΗ! ΕΥΘΥΜΙΟΣ ΛΙΑΤΣΟΣ Καθηγητής Μαθηµατικών άμιλλα φροντιστήρια ΠΩΣ; Βασικά στοιχεία από την Άλγεβρα της Α και Β Λυκείου, αλλά και από την Κατεύθυνση της Β Λυκείου, που είναι απαραίτητα στα Μαθηµατικά Κατεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης η δεκάδα θεµάτων επανάληψης. Έστω η συνάρτηση f() = 80 αν < < 0 αν 0 αν i ) Να υπολογιστεί η τιµή της παράστασης Α = f( ) + f(0) 5f() f + f( ) Αν Μ(, ) και Ν(, 0) να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ΜΝ i

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Η εξίσωση α + βy = γ 1. Υπάρχουν προβλήματα που η επίλυση τους οδηγεί σε μια γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους, y και η οποία είναι της μορφής

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. 3.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Οι ανισώσεις: αx + β > 0 και αx + β < 0

ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. 3.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Οι ανισώσεις: αx + β > 0 και αx + β < 0 3 ΝΙΣΩΣΕΙΣ 31 ΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΘΜΟΥ Οι ανισώσεις: α + β > 0 και α + β < 0 Γνωρίσαμε στο Γυμνάσιο τη διαδικασία επίλυσης μιας ανίσωσης της μορφής α β 0 ή της μορφής α β 0, με α και β συγκεκριμένους αριθμούς

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άσκηση 1 Από τους µαθητές ενός Λυκείου, το 25% συµµετέχει στη οµάδα, το 30% συµµετέχει στη θεατρική οµάδα ποδοσφαίρου και το 15% των µαθητών

Διαβάστε περισσότερα

8. Να λυθεί η εξίσωση : 10 3 x= Αν ν είναι φυσικός αριθμός, τότε να υπολογίσετε την παράσταση: Α=(-1) ν +3(-1) ν+1-3(-1) 3ν+1.

8. Να λυθεί η εξίσωση : 10 3 x= Αν ν είναι φυσικός αριθμός, τότε να υπολογίσετε την παράσταση: Α=(-1) ν +3(-1) ν+1-3(-1) 3ν+1. Α. ΔΥΝΑΜΕΙΣ. Να γράψετε σε απλούστερη μορφή τις παραστάσεις: α.α.α = 5 : = (-).(-) - = (-0,) 5.(-0,5) 5 = α -.(α ) -.α. Υπολογίστε τις παραστάσεις (i) (ii) (-).(-0,5) - (iii) (0,) : (-0). Να γίνουν οι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΑ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΑ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΑ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω βασικό σύνολο Ω = {, 4, 5, 8, 0} και τα υποσύνολα του Ω, Α = {, 5, 0}, Β = {4, 8, 0} i) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn τα παραπάνω σύνολα ii) Να περιγράψετε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Επαναληπτικές Ασκήσεις (από σχολικό βιβλίο) (από βοήθημα Γ Γυμνασίου Πετσιά-Κάτσιου) Κεφάλαιο 1ο 17,

Διαβάστε περισσότερα

1) Μέθοδος επίλυσης οποιασδήποτε εξίσωσης Β Βαθμού. Έστω η δευτεροβάθμια εξίσωση : = 0 1. Μεταφέρουμε το σταθερό όρο στο δεύτερο μέλος δηλ.

1) Μέθοδος επίλυσης οποιασδήποτε εξίσωσης Β Βαθμού. Έστω η δευτεροβάθμια εξίσωση : = 0 1. Μεταφέρουμε το σταθερό όρο στο δεύτερο μέλος δηλ. 1 Εξισώσεις Β Βαθμού Εξίσωση 2 ου βαθμού μ έναν άγνωστο, είναι η εξίσωση με μορφή : αx²+βx+γ=0 με α, β, γ R και α 0. 1) Μέθοδος επίλυσης οποιασδήποτε εξίσωσης Β Βαθμού Έστω η δευτεροβάθμια εξίσωση : =

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» Email : stvrentzou@gmail.com www.ma8eno.gr

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» Email : stvrentzou@gmail.com www.ma8eno.gr 1 Πρόσημο τριωνύμου - λύση ανίσωσης ου βαθμού Έστω το τριώνυμο f(x) = x - 4x - 1. Θέλουμε να εξετάσουμε για ποιες τιμές της μεταβλητής x το τριώνυμο f(x) γίνεται θετικό, για ποιες τιμές του x γίνεται αρνητικό,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ένα Λύκειο έχει 400 μαθητές από τους οποίους οι 00 είναι μαθητές της Α τάξης. Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή, η πιθανότητα να είναι μαθητής της Γ τάξης είναι 0%. Να βρείτε: i. Το πλήθος των μαθητών

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Εξισώσεις 2 ου βαθμού

Εξισώσεις 2 ου βαθμού Εξισώσεις 2 ου βαθμού Εξισώσεις 2 ου βαθμού Η εξίσωση της μορφής αχ 2 + βχ + γ = 0, α 0 λύνεται σύμφωνα με τον παρακάτω πίνακα. Δ = β 2 4αγ Η εξίσωση αχ 2 + βχ + γ = 0, α 0 αν Δ>0 αν Δ=0 αν Δ

Διαβάστε περισσότερα

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί;

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία Ρητοί και άρρητοι αριθμοί. α) Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; iv) άρρητοι; v) πραγματικοί; β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Δίνονται οι συναρτήσεις

ΘΕΜΑ 2. Δίνονται οι συναρτήσεις ΘΕΜΑ 2 Δίνονται οι συναρτήσεις (, x R 3 f ( x) = x και g x) = x α) Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f, g τέμνονται σε τρία σημεία τα οποία και να βρείτε. (Μονάδες 13) β) Αν Α, Ο,

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) είναι πραγματικός, γ) Το 3 είναι άρρητος,

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) είναι πραγματικός, γ) Το 3 είναι άρρητος, . ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Τηλ 0676-7 /0600 Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους. Να συμπληρωθούν τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη να προκύψει το έτος γέννησης σας : +....= 9.. = ( -

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα απολυτήριων εξετάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Θέματα απολυτήριων εξετάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α. Να συμπληρωθούν οι ισότητες: (α + β) =.., (α β) 3 = και (α + β)(α β) =.. Β. Να αποδείξετε τη δεύτερη. Θέμα ο Να γράψετε τα τρία (3) κριτήρια ισότητας τριγώνων. Να λυθεί η εξίσωση: 3 + 4 = 7 + 1 Άσκηση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Λυμένα Παραδείγματα

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Λυμένα Παραδείγματα ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Λυμένα Παραδείγματα. Να βρεθούν οι τιμές του λ R για τις οποίες το πολυώνυμο Ρ () = (4λ -9) +(λ -λ-) +λ- είναι το μηδενικό. Το Ρ () θα είναι το μηδενικό πολυώνυμο, για εκείνες τις τιμές του λ

Διαβάστε περισσότερα

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; 2. Aν α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = βα + β, Β = α β + αβ

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; 2. Aν α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = βα + β, Β = α β + αβ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 Α ν ι σ ω σ η 1 ο υ β α θ μ ο υ 3. Να δειχτει οτι α + 110 0α. Ποτε ισχυει το ισον; Μορφη: αx + β > 0 με α,β. Aν α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = βα + β, Β = α β + αβ Αν α > 0

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 3. Δίνονται τα σύνολα 2

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 3. Δίνονται τα σύνολα 2 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΑ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω βασικό σύνολο Ω = {, 4, 5, 8, 0} και τα υποσύνολα του Ω, Α = {, 5, 0}, Β = {4, 8, 0} i) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn τα παραπάνω σύνολα ii) Να περιγράψετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 0 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ

4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ 1 4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Εξίσωση µε έναν άγνωστο: Ονοµάζουµε µία ισότητα η οποία περιέχει αριθµούς και ένα γράµµα που είναι ο άγνωστος της εξίσωσης.. Λύση ή ρίζα της εξίσωσης : Είναι ο αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11 2. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. γ)να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος u. δ)αν το διάνυσμα v,

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. γ)να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος u. δ)αν το διάνυσμα v, ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 1. Δίνονται τα διανύσματα a, για τα οποία ισχύουν : 4, 5 και α)να αποδείξετε ότι 10 β)να βρείτε τη γωνία των και. 5. 8 γ)να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος u. δ)αν το διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα ΘΕΜΑ Α Α. Να αποδείξετε ότι ισχύει α + β α + β, για κάθε α, β R. Α. Τι ονομάζουμε νιοστή ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α; Α. Να χαρακτηρίσεις

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές 0 Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Για να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση P(x) 0 (ή μια πολυωνυμική ανίσωση P(x)

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων. Άλγεβρα Α Λυκείου. Το 4 ο Θέμα

Τράπεζα Θεμάτων. Άλγεβρα Α Λυκείου. Το 4 ο Θέμα Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Το 4 ο Θέμα Επιμέλεια: Γιάνναρος Β. Μιχάλης-Μαθηματικός Άσκηση 1 Σε ένα τμήμα της Α Λυκείου κάποιοι μαθητές παρακολουθούν μαθήματα Αγγλικών και κάποιοι Γαλλικών. Η πιθανότητα

Διαβάστε περισσότερα

Θ έ µ α τ α Τ ύ π ο υ Σ ω σ τ ό Λ ά θ ο ς

Θ έ µ α τ α Τ ύ π ο υ Σ ω σ τ ό Λ ά θ ο ς Θ έ µ α τ α Τ ύ π ο υ Σ ω σ τ ό Λ ά θ ο ς Να χαρακτηρίσετε µε Σ (Σωστό) ή Λ (Λάθος) τους παρακάτω ισχυρισµούς:. Για κάθε α R ισχύει ότι : α =α.. Για κάθε α R ισχύει ότι : α = α.. Για κάθε α R ισχύει ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_3.ΜλΑ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α A.. Α.. Α.3. ΘΕΜΑ Β Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή Απριλίου

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ

ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ. Δύο ομάδες Ο, Ο παίζουν μεταξύ τους σε μια σχολική ποδοσφαιρική συνάντηση (οι αγώνες δεν τελειώνουν ποτέ με ισοπαλία). Νικήτρια θεωρείται η ομάδα που θα νικήσει

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Οι Πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι είναι οι πραγματικοί αριθμοί ; Ποιοι είναι οι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1 Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Θ έ μ α Α Α. α. Πότε η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 έχει διπλή ρίζα; Ποια είναι η διπλή ρίζα της; 4 μονάδες β. Ποια μορφή παίρνει το τριώνυμο αx + βx + γ, α 0, όταν Δ = 0; 3 μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ

ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ Θέμα 1 ο α ) Ποια παράσταση καλείται μονώνυμο; Δώστε παράδειγμα. β ) Πότε δυο μονώνυμα είναι όμοια ; Δώστε παράδειγμα όμοιων μονωνύμων. γ ) Για ποιες τιμές των μεταβλητών

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» 1 2.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ιδιότητες των πράξεων Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού και με την οήθειά τους η αφαίρεση και η διαίρεση. Για

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 4. Δίνεται η εξίσωση. α) Να βρείτε την τιμή του λ ώστε η εξίσωση να είναι 1 ου βαθμού. (Μονάδες 5)

ΘΕΜΑ 4. Δίνεται η εξίσωση. α) Να βρείτε την τιμή του λ ώστε η εξίσωση να είναι 1 ου βαθμού. (Μονάδες 5) Δίνεται η εξίσωση (8-λ)x 2-2(λ-2)x+1=0, με παράμετρο λ R. α) Να βρείτε την τιμή του λ ώστε η εξίσωση να είναι 1 ου βαθμού. (Μονάδες 5) β) Αν η εξίσωση είναι 2 ου βαθμού, να βρείτε τις τιμές του λ ώστε

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ

1.1 ΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ . ΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Α. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΠΕΔΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΣ P Q Q v P P ln P P P P, P P, Q P P Ποιο είναι το πεδίο ορισμού των

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 ο. Εξισώσεις-Ανισώσεις.

Κεφάλαιο 1 ο. Εξισώσεις-Ανισώσεις. Μαθηματικά B Γυμνασίου Κεφάλαιο 1 ο. Εξισώσεις-Ανισώσεις. Μέρος Α.- Θεωρία. 1. Τι λέμε αλγεβρική και τι αριθμητική παράσταση; 2. Τι λέμε αναγωγή ομοίων όρων; 3. Τι λέμε εξίσωση α βαθμού; 4. Τι λέμε πρώτο

Διαβάστε περισσότερα

Α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2. f(x) = α x 2 + β x + γ, α 0. f (x) x. Παράδειγμα. Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε.

Α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2. f(x) = α x 2 + β x + γ, α 0. f (x) x. Παράδειγμα. Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (τεύχος 55) Μαθηματικά για την Α τάξη του Λυκείου Το τριώνυμο f(x) = α x + β x + γ, α Κώστα Βακαλόπουλου, Νίκου Ταπεινού Α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) αx βx γ,

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα...

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα... Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β: Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

( ) Άρα το 1 είναι ρίζα του P, οπότε το x 1 είναι παράγοντάς του. Το πηλίκο της διαίρεσης ( x 3x + 5x 3) : ( x 1) είναι:

( ) Άρα το 1 είναι ρίζα του P, οπότε το x 1 είναι παράγοντάς του. Το πηλίκο της διαίρεσης ( x 3x + 5x 3) : ( x 1) είναι: ( x) Άρα το είναι ρίζα του P, οπότε το x είναι παράγοντάς του 4 Το πηλίκο της διαίρεσης ( x 3x + 5x 3) : ( x ) είναι: 3 π ( x) = x + x x + 3 Η ταυτότητα της προηγούμενης διαίρεσης είναι: 4 3 x 3x + 5x

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β. 0και 4 x 3 0.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β. 0και 4 x 3 0. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ Δ.Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ Τελευταία ενημέρωση: 21 Φεβρουαρίου 2015 w w w. c o m m o n m a t h s. w e e b l y. c o m A. Αρχικά θα ασχοληθούμε με τα τριώνυμα 2 ου βαθμού. Η γενική μορφή τους

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Άλγεβρα Α Λυκείου

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Άλγεβρα Α Λυκείου Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων Μάθημα: Άλγεβρα Α Λυκείου Παρουσιάζουμε συνοπτικές λύσεις σε επιλεγμένα Θέματα («Θέμα 4ο») από την Τράπεζα θεμάτων. Το αρχείο αυτό τις επόμενες ημέρες

Διαβάστε περισσότερα

g 0 5 0, των Παναγιώτη Χριστόπουλου Κώστα Βακαλόπουλου

g 0 5 0, των Παναγιώτη Χριστόπουλου Κώστα Βακαλόπουλου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ ή ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ των Παναγιώτη Χριστόπουλου Κώστα Βακαλόπουλου Με τη φράση «πρόσημο τριωνύμου» δηλώνουμε τη μέθοδο με την οποία μπορούμε να γνωρίζουμε ποιο πρόσημο

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα