Ροές Επιτυχιών σε Μαρκοβιανές Αλυσίδες

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ & ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ» ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΤΖΟΛΑ ΕΛΠΙΔΑ Α.Μ. 377 Επιβλέπουσα: E. Μακρή, Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Πάτρα, Απρίλιος 2018

2 2

3 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ & ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ» ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΤΖΟΛΑ ΕΛΠΙΔΑ Α.Μ. 377 Επιβλέπουσα: E. Μακρή, Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Εγκρίθηκε από την τριμελή εξεταστική επιτροπή Φ. Αλεβίζος Ε. Σ. Μακρή Ν. Τσάντας Αναπληρωτής Καθηγητής Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Καθηγητής Πανεπιστήμιο Πατρών Πανεπιστήμιο Πατρών Πανεπιστήμιο Πατρών Πάτρα, Απρίλιος

4 4

5 ... Τζόλα Ελπίδα Πτυχιούχος Μαθηματικός Πανεπιστήμιο Πατρών Copyright Τζόλα Ελπίδα, 2017 Με επιφύλαξη παντός δικαιώματος. All rights reserved. Απαγορεύεται η αντιγραφή, αποθήκευση και διανομή της παρούσας εργασίας, εξ ' ολοκλήρου ή τμήματος αυτής για εμπορικό σκοπό. Επιτρέπεται η ανατύπωση, η αποθήκευση και διανομή για σκοπό μη κερδοσκοπικό, εκπαιδευτικής ή ερευνητικής φύσης, υπό την προϋπόθεση να αναφέρεται η πηγή προέλευσης και να διατηρείται το παρόν μήνυμα. Ερωτήματα που αφορούν τη χρήση της εργασίας για κερδοσκοπικό σκοπό πρέπει να απευθύνονται προς τον συγγραφέα. Οι απόψεις και τα συμπεράσματα που περιέχονται σε αυτό το έγγραφο εκφράζουν τον συγγραφέα και δεν πρέπει να ερμηνευτεί ότι εκφράζουν επίσημες θέσεις του Πανεπιστημίου Πατρών. 5

6 6

7 Ευχαριστίες Η διπλωματική εργασία αυτή έγινε στα πλαίσια του μεταπτυχιακού προγράμματος σπουδών «Μαθηματικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων» υπό την επίβλεψη της Αναπληρώτριας Καθηγήτριας Ευφροσύνης Μακρή. Με την ολοκλήρωση της εργασίας αυτής δεν θα μπορούσα να παραλείψω να αναφερθώ στους ανθρώπους που συντέλεσαν στην εκπόνηση της. Θα ήθελα, λοιπόν, να ευχαριστήσω την κυρία Μακρή που με υπομονή και αφοσίωση στάθηκε δίπλα μου προσφέροντάς μου την πολύτιμη βοήθειά της και συμβάλλοντας στο να κατανοήσω σε βάθος βασικές έννοιες πάνω στον τομέα της θεωρίας ροών. Ακόμα ευχαριστώ τον Αναπληρωτή Καθηγητή Φίλιππο Αλεβίζο και τον Καθηγητή Νικόλαο Τσάντα για τη συμμετοχή τους στην εξεταστική επιτροπή. Αισθάνομαι επίσης την ανάγκη να ευχαριστήσω την οικογένεια μου που με την στήριξη και συμπαράστασή τους όλον αυτό το καιρό επιτάχυναν την διαδικασία ολοκλήρωσής της όπως επίσης και τους αρωγούς μου στο προγραμματιστικό μέρος αυτής κύριο Βλαχόπουλο Γεώργιο και κυρία Σελλά Ήλια. Τέλος, θα ήθελα να αναφερθώ με εκτίμηση στον άνθρωπο που με δίδαξε πως στην ζωή την ευτυχία μας την δημιουργούμε μόνοι μας και πως η εσωτερική μας δύναμη και πίστη στον εαυτό μας είναι αυτή που οδηγεί στην επίτευξη στόχων. 7

8 8

9 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Μεταξύ των σύγχρονων εφαρμογών, μεγάλη σημασία έχει αποκτήσει η μελέτη τυχαίων μεταβλητών οι οποίες σχετίζονται με την εμφάνιση ροών σε μια ακολουθία δυαδικών δοκιμών (επιτυχία-αποτυχία). Σημαντικά αποτελέσματα έχουν δοθεί για τον προσδιορισμό της κατανομής τους καθώς και για τις εφαρμογές τους σε διάφορα επιστημονικά πεδία, όπως είναι η αξιοπιστία μηχανικών συστημάτων, η Στατιστική, η Υδρολογία και η Μοριακή Βιολογία. Στην εργασία αυτή δίνεται ιδιαίτερο ενδιαφέρον στην μελέτη των τυχαίων μεταβλητών αυτών οι οποίες σχετίζονται με την εμφάνιση ροών σε μια ακολουθία Μαρκοβιανά εξαρτημένων δυαδικών πειραμάτων και γίνεται καταγραφή και ανάπτυξη μεθόδων που έχουν εμφανιστεί στη διεθνή πρόσφατη βιβλιογραφία για τον προσδιορισμό της κατανομής τους και χαρακτηριστικών τους. Πιο συγκεκριμένα, αρχικά παρουσιάζονται διάφορες εκφράσεις για την συνάρτηση πιθανότητας της μέγιστης ροής επιτυχιών μιας ακολουθίας που αποτελείται από δυαδικές δοκιμές με Μαρκοβιανή εξάρτηση ενός βήματος και δίνονται άνω και κάτω φράγματα για αυτήν. Στη συνέχεια αναπτύσσεται η μέθοδος εμφύτευσης διακριτής τυχαίας μεταβλητής σε κατάλληλη Μαρκοβιανή αλυσίδα, για την εύρεση της κατανομής της μέγιστης ροής υπό την συνθήκη ότι δίνεται ο αριθμός επιτυχιών και της τυχαίας μεταβλητής που παριστάνει το πλήθος των ροών επιτυχιών δοθέντος του αριθμού επιτυχιών στην ακολουθία. Η μελέτη συνεχίζεται με την ανάλυση της τυχαίας μεταβλητής, η οποία συμβολίζει τον αριθμό των ροών επιτυχιών σταθερού μήκους στις πρώτες δοκιμές μιας Μαρκοβιανής αλυσίδας στην περίπτωση μη επικαλυπτόμενων ροών, με σκοπό τον υπολογισμό της γεννήτριας συνάρτησης και της συνάρτησης πιθανότητάς της. Επιπρόσθετα, η εργασία επεκτείνεται στην μελέτη της συμπεριφοράς της τυχαίας μεταβλητής που παριστάνει τον αριθμό ροών επιτυχιών μήκους τουλάχιστον ίσου με ένα συγκεκριμένο κατώφλι και προσδιορίζεται η συνάρτηση πιθανότητάς της, η μέση τιμή και η διακύμανση αυτής. Τέλος, η μελέτη ολοκληρώνεται με αποτελέσματα στην αξιοπιστία συστημάτων, η δομή των οποίων σχετίζεται με ροές σε Μαρκοβιανή αλυσίδα. ΛΕΞΕΙΣ ΚΛΕΙΔΙΑ Δυαδική ακολουθία, Ροές επιτυχιών, Μέγιστη ροή επιτυχιών, Μαρκοβιανή αλυσίδα, Αξιοπιστία συστημάτων. 9

10 10

11 On success runs in Markovian sequences ABSTRACT Between all current applications, the study of random variables which refers to the appearance of runs in a binary sequence of trials (success-fail) has acquired great importance. Significant results have been given about the derivation of their distribution as well as for their applications in different scientific fields including reliability of mechanical systems, statistics, hydrology and molecular biology. In this dissertation particular interest has been given into the study of these random variables that are related to the appearance of runs in a sequence of Markov dependent binary trials and it is presented a review of methods that have been appeared in the literature for getting results about their distribution and characteristics of them. More specifically, first they are presented expressions for the longest success run statistic of a sequence that is composed of binary one step trials with Markovian dependency and they are given its upper and lower bounds. Next, the finite Markov chain imbedding technique is developed for the evaluation of the distribution of the longest success run given the number of successes and of the random variable, that represents the number of success runs, given the number of successes. The research goes on with the analysis of the random variable, which denotes the number of non-overlapping success runs of fixed length in the first trials of a two-state Markov chain in order to evaluate its generating function and the probability mass function. In addition, the review is extending with the study of the random variable that denotes the number of success runs of length at least equal to a specific length (a threshold). Eventually, some results concerning the reliability of systems, the structure of which is related to runs in a Markov chain are also given. KEY WORDS Binary sequence, Success Runs, Markov chain, Reliability of systems. 11

12 12

13 Περιεχόμενα 1. Μια εισαγωγή στις Mαρκοβιανές αλυσίδες Μερικά Αποτελέσματα που σχετίζονται με την κατανομή της μέγιστης ροής σε μια ακολουθία Mαρκοβιανά εξαρτημένων δοκιμών Η ακριβής κατανομή της μέγιστης ροής Μερικά φράγματα για την κατανομή της μέγιστης ροής Εφαρμογή σε Matlab Αριθμός Ροών και μέγιστη ροή σε Μαρκοβιανή Αλυσίδα: Μια μέθοδος εμφύτευσης τυχαίας μεταβλητής σε πεπερασμένη Μαρκοβιανή αλυσίδα Κατανομή ροών Εφαρμογή σε Μatlab Κατανομή Μέγιστης Ροής Εφαρμογή σε Μatlab Κατανομή του αριθμού των μη επικαλυπτόμενων ροών επιτυχιών σε Μαρκοβιανά εξαρτημένες δοκιμές Υπολογισμός πιθανογεννήτριας της τυχαίας μεταβλητής Υπολογισμός της συνάρτησης πιθανότητας της τυχαίας μεταβλητής Μελέτη της μεταβλητής σε δοκιμές με μη ομογενή Μαρκοβιανή εξάρτηση Υπολογισμός της συνάρτησης πιθανότητας της τυχαίας μεταβλητής Κατανομή Μέγιστης Ροής Μέση Τιμή και Διακύμανση της τυχαίας μεταβλητής Μια Εισαγωγή στα Συνεχόμενα- -από-τα- : F Συστήματα Αξιοπιστία ενός συνεχόμενου- -από-τα- : F Συστήματος για Μαρκοβιανά Εξαρτημένες συνιστώσες Αξιοπιστία συνεχόμενων- -από-τα- : F Συστημάτων με Μαρκοβιανή Εξάρτηση ( )-βημάτων Αναφορές

14 14

15 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Θεωρούμε μια ακολουθία αποτελεσμάτων δυαδικών πειραμάτων διατεταγμένων σε μια γραμμή. Το αποτέλεσμα κάθε πειράματος μπορεί να είναι επιτυχία (S ή 1) ή αποτυχία (F ή 0). Ροή επιτυχιών είναι μια ακολουθία από συνεχόμενες επιτυχίες των οποίων προηγείται και έπεται μια αποτυχία ή τίποτε (αν η ροή επιτυχιών είναι στην αρχή ή στο τέλος της ακολουθίας). Μήκος ροής επιτυχιών είναι ο αριθμός των επιτυχιών που περιλαμβάνονται στη ροή. Η μελέτη των τυχαίων μεταβλητών που σχετίζονται με ροές είναι ιδιαίτερα χρήσιμη σε πολλά επιστημονικά πεδία, όπως είναι η Στατιστική Συμπερασματολογία, η Βιολογία (ακολουθίες DNA), η Οικολογία και η Αξιοπιστία μηχανικών συστημάτων. Πολλοί ήταν εκείνοι που έθεσαν τα θεμέλια για την θεωρητική μελέτη μοντέλων που αναφέρονται σε ακολουθίες δυαδικών πειραμάτων με πρωτοπόρες μελέτες να τοποθετούνται στις αρχές του 17ου αιώνα. Η έννοια της ροής επιτυχιών γεννήθηκε από την προσπάθεια διάσημων μαθηματικών να απαντήσουν σε ερωτήματα σχετικά με τυχερά παιχνίδια. Έτσι, στα τέλη του 19ου αιώνα έπειτα από μελέτες των επιστημόνων de Moivre (1738) και Simpson (1740) σχετικά με το πρόβλημα «ποιά είναι η πιθανότητα σε δοκιμές να έχω μια ροή επιτυχιών μήκους τουλάχιστον» άρχισε η συστηματική μελέτη της έννοιας της ροής επιτυχιών. Αναφερόμενοι στην έννοια της ροής μπορούμε να καταγράψουμε μια σειρά από τυχαίες μεταβλητές που μετρούν τον αριθμό και το μήκος των ροών σε μια ακολουθία δοκιμών. Μεταξύ αυτών είναι οι: a. η οποία παριστάνει το μέγιστο μήκος ροής επιτυχιών. b. η οποία παριστάνει τον αριθμό όλων των ροών επιτυχιών. c. η οποία παριστάνει τον αριθμό των μη επικαλυπτόμενων ροών επιτυχιών μήκους. d. η οποία παριστάνει τον αριθμό των ροών επιτυχιών μήκους τουλάχιστον ίσου με ένα συγκεκριμένο κατώφλι. Για να γίνουν κατανοητές οι έννοιες των παραπάνω τυχαίων μεταβλητών έστω ότι έχουμε μια ακολουθία δυαδικών δοκιμών Τότε έχουμε Σκοπός της εργασίας αυτής είναι να παρουσιάσει μια επισκόπηση αποτελεσμάτων που αφορούν στη μελέτη της κατανομής της τυχαίας μεταβλητής καθώς και τυχαίων μεταβλητών που απαριθμούν το πλήθος των ροών. Η μελέτη αυτή γίνεται για την τυχαία 15

16 μεταβλητή ορισμένη σε ακολουθίες Μαρκοβιανά εξαρτημένων δυαδικών δοκιμών. Αναπτύσσονται μέθοδοι που έχουν χρησιμοποιηθεί για τον προσδιορισμό της κατανομής της μελετούμενης τυχαίας μεταβλητής. Επιπροσθέτως, δίνεται η σύνδεση της αξιοπιστίας ενός γραμμικού συνεχόμενου- -από-τα- συστήματος αποτυχίας με την κατανομή της τυχαίας μεταβλητής και τυχαίων μεταβλητών καταμέτρησης ροών. Αριθμητικά παραδείγματα διευκρινίζουν περαιτέρω την εφαρμογή των μεθόδων που αναλύονται. Πιο συγκεκριμένα, αφού στο πρώτο κεφάλαιο γίνει μια αναφορά στις Μαρκοβιανές αλυσίδες διασαφηνίζοντας έτσι βασικές έννοιες που συντελούν στην κατανόηση της εργασίας, στο δεύτερο κεφάλαιο εξετάζεται η τυχαία μεταβλητή και δίνονται εκφράσεις για την συνάρτηση κατανομής της σύμφωνα με την προσέγγιση του Eryilmaz (2006). Λόγω της πολυπλοκότητας που αναπτύσσεται για μεγάλες τιμές των και δίνονται άνω και κάτω φράγματα που δίνουν λύση στο πρόβλημα αυτό. Αντίστοιχες μαθηματικές εκφράσεις για την συνάρτηση κατανομής της τυχαίας μεταβλητής και της υπό τον περιορισμό ότι δίνεται ο αριθμός των επιτυχιών στην ακολουθίας αποδεικνύονται στο τρίτο κεφάλαιο μέσω της προσέγγισης της Lou (1996), χρησιμοποιώντας την μέθοδο εμφύτευσης μιας τυχαίας μεταβλητής σε Μαρκοβιανή αλυσίδα. Εφαρμογές παραδειγμάτων θα κάνουν ευκολότερη την κατανόηση των θεωρητικών αποτελεσμάτων. Στο τέταρτο κεφάλαιο, μελετάται η τυχαία μεταβλητή που παριστάνει τον αριθμό των ροών επιτυχιών μήκους στις πρώτες δοκιμές μιας Μαρκοβιανής αλυσίδας. Τεχνικές εύρεσης της γεννήτριας συνάρτησης και της συνάρτησης πιθανότητας της τυχαίας μεταβλητής αυτής όπως αναπτύχθηκαν από τους Antzoulakos and Chadjiconstantinidis (1999) προσδιορίζουν την κατανομή της. Στο πέμπτο κεφάλαιο, μελετάται η τυχαία μεταβλητή, σύμφωνα με τη μέθοδο που ανέπτυξαν οι Makri and Psillakis (2011), η οποία συμβολίζει τον αριθμό των ροών επιτυχιών μήκους τουλάχιστον ίσου με ένα κατώφλι,, και δίνεται ακριβής έκφραση για τη συνάρτηση πιθανότητας, τη μέση τιμή και τη διακύμανση αυτής. Επιπρόσθετα, δίνονται οι κατανομές για το μήκος της μέγιστης ροής και τον χρόνο αναμονής μέχρι την -οστή πραγματοποίηση μιας ροής επιτυχιών μήκους τουλάχιστον για δοκιμές γραμμικά διατεταγμένες με μη ομογενή Μαρκοβιανή εξάρτηση. Τέλος, στο έκτο κεφάλαιο γίνεται μια αναφορά στην αξιοπιστία ενός συνεχόμενου- -από-τα- : F συστήματος. Υπολογίζεται η αξιοπιστία ενός τέτοιου συστήματος και γίνεται η συσχέτισή της με την τυχαία μεταβλητή σύμφωνα με τους Papastavridis and Lambiris (1987). 16

17 1. Μια εισαγωγή στις Mαρκοβιανές αλυσίδες Έστω ένα σύστημα που εξελίσσεται τυχαία στο χρόνο, για παράδειγμα οι δείκτες του χρηματιστηρίου, η καταγραφή εμπορευμάτων σε μια αποθήκη, η ουρά πελατών σε ένα σταθμό εξυπηρέτησης, η κατάσταση των μηχανών σε ένα εργοστάσιο και άλλα. Υποθέτοντας ότι παρατηρούμε ένα τέτοιο σύστημα σε διακριτές χρονικές στιγμές όπως κάθε ώρα, κάθε μέρα, κάθε εβδομάδα, θεωρούμε την να είναι η κατάσταση του συστήματος την χρονική στιγμή. Για παράδειγμα, η μπορεί να είναι ο δείκτης Dow-Jones στο τέλος της -οστής εργατομέρας, ο αριθμός των απούλητων αυτοκινήτων στο κατάστημα ενός εμπόρου στην αρχή της -οστής ημέρας, η ένταση του -οστού σεισμού που χτύπησε μια χώρα αυτόν τον αιώνα, ο αριθμός ληστειών σε μια πόλη την - οστή ημέρα. Η παραπάνω μεταβλητή περιγράφεται από μια στοχαστική διαδικασία κάθε φορά. Πιο συγκεκριμένα, μια στοχαστική διαδικασία είναι μια συλλογή τυχαίων μεταβλητών. Η τυχαία μεταβλητή παίρνει τιμές σε ένα σύνολο που είναι ο χώρος καταστάσεων της στοχαστικής διαδικασίας. Για παράδειγμα, στην αξιοπιστία ένα πολύπλοκο σύστημα αποτελείται από πολλές (έστω ) μονάδες, καθεμιά από τις οποίες μπορεί να λειτουργεί ή όχι. Έστω, αν η -οστή συνιστώσα λειτουργεί την χρονική στιγμή και 0 διαφορετικά. Η κατάσταση του συστήματος την χρονική στιγμή δίνεται μέσω του διανύσματος. Η είναι μια στοχαστική διαδικασία συνεχούς χρόνου με χώρο καταστάσεων. Τέλος, η λειτουργικότητα του συστήματος περιγράφεται μέσω της συνάρτησης δομής Φ: με την ακόλουθη ερμηνεία: Το σύστημα λειτουργεί την χρονική στιγμή αν Φ και δεν λειτουργεί αν Φ. Έστω τώρα ένα σύστημα μοντελοποιημένο μέσω μιας διακριτού χρόνου στοχαστικής διαδικασίας με διακριτό-αριθμήσιμο χώρο καταστάσεων, για παράδειγμα. Θεωρώντας μια σταθερή τιμή που παριστάνει το παρόν, τότε ονομάζεται η κατάσταση του παρόντος στο σύστημα, ενώ καλείται το παρελθόν του συστήματος και το μέλλον του. Αν και, θα σημαίνει ότι το σύστημα έχει μεταβεί από την κατάσταση στην κατάσταση μέσα σε χρονικό διάστημα. Μεγάλη σημασία έχουν τα συστήματα που έχουν την εξής ιδιότητα: Αν είναι γνωστή η κατάσταση του συστήματος τη στιγμή του παρόντος, το μέλλον του συστήματος είναι ανεξάρτητο από το παρελθόν του. Η ιδιότητα αυτή καλείται Μαρκοβιανή και για ένα σύστημα που την έχει, η κατάσταση του παρόντος του περιέχει όλες τις σχετικές πληροφορίες που χρειάζονται για την πρόβλεψη του μέλλοντός του σε μια πιθανοθεωρητική 17

18 βάση. Η στοχαστική διαδικασία με χώρο καταστάσεων που χρησιμοποιείται για να περιγράψει ένα σύστημα που έχει τη Μαρκοβιανή ιδιότητα καλείται Mαρκοβιανή αλυσίδα διακριτού χρόνου (DTMC). Ορισμός 1.1 Μια στοχαστική διαδικασία με αριθμήσιμο χώρο καταστάσεων καλείται Mαρκοβιανή αλυσίδα διακριτού χρόνου εάν: i. για κάθε, ii. για κάθε και,. Ορισμός 1.2 Μια Mαρκοβιανή αλυσίδα διακριτού χρόνου με αριθμήσιμο χώρο καταστάσεων λέγεται ομογενής ή ομογενούς χρόνου αν, για κάθε και,. Αναλυτικότερα, μια Μαρκοβιανή αλυσίδα διακριτού χρόνου λέγεται ομογενής όταν στην περίπτωση που βρίσκεται στην κατάσταση την χρονική στιγμή μεταβαίνει στην κατάσταση την χρονική στιγμή με πιθανότητα για κάθε τιμή του. Όταν οι πιθανότητες μετάβασης ενός βήματος δεν έχουν εξάρτηση από το χρόνο έτσι ώστε για κάθε, τότε οι πιθανότητες μετάβασης ενός βήματος ονομάζονται στάσιμες και η Mαρκοβιανή αλυσίδα στάσιμη ή ομογενής χρονικά. Οι πιθανότητες μετάβασης ενός βήματος δίνονται σε έναν πίνακα ο οποίος είναι τετραγωνικός πεπερασμένης διάστασης και το άθροισμα των στοιχείων των γραμμών του έχουν άθροισμα 1. Λήμμα 1.1 (Εξισώσεις Chapman-Kolmogorov) Έστω μια ομογενής Μαρκοβιανή αλυσίδα η οποία έχει πιθανότητες μετάβασης βημάτων. Οι πιθανότητες μετάβασης βημάτων ικανοποιούν τις ακόλουθες εξισώσεις α), ένας ακέραιος όπου β) Αν και τότε, όπου 18

19 γ) Αν τότε Απόδειξη α) (Μαρκοβιανή ιδιότητα) (Ομογενής χρονικά) β) Χρησιμοποιώντας μαθηματική επαγωγή έχουμε Για, Έστω ότι ισχύει για, δηλαδή. Θα δείξουμε ότι ισχύει και για Επομένως, γ). Παραδείγματα: Ένα απλό μοντέλο πρόβλεψης καιρού Έστω μια δείκτρια τυχαία μεταβλητή που δείχνει αν θα βρέξει την οστή ημέρα. Το σύνολο είναι διακριτό και παριστάνει χρόνο. Ο χώρος καταστάσεων είναι διακριτός. Υποθέτουμε ότι αν βρέξει αύριο εξαρτάται από το αν βρέχει σήμερα και όχι από καιρικές συνθήκες προηγούμενων ημερών (Μαρκοβιανή ιδιότητα). Έστω η 19

20 πιθανότητα να βρέξει αύριο δοθέντος ότι βρέχει σήμερα κι έστω β η πιθανότητα να βρέξει αύριο, δοθέντος ότι δεν βρέχει σήμερα. Ο πίνακας πιθανοτήτων μετάβασης είναι: : βρέχει 1: δεν βρέχει Εάν θέσουμε και θα υπολογιστεί η πιθανότητα να βρέξει σε 4 μέρες από σήμερα δοθέντος ότι βρέχει σήμερα. Ο πίνακας μεταβάσεων ενός βήματος δίνεται ως εξής: και η ζητούμενη πιθανότητα είναι: 20

21 2. Μερικά Αποτελέσματα που σχετίζονται με την κατανομή της μέγιστης ροής επιτυχιών σε μια ακολουθία Mαρκοβιανά εξαρτημένων δοκιμών. Στη παράγραφο αυτή παρουσιάζονται αποτελέσματα της μελέτης του Eryilmaz (2006) που σχετίζονται με το μέγιστο μήκος μιας ροής επιτυχιών σε μια ακολουθία. Το μέγιστο μήκος ροής επιτυχιών παριστάνεται μέσω της τυχαίας μεταβλητής. Η ακριβής έκφραση για την συνάρτηση πιθανότητας της τυχαίας μεταβλητής εμφανίσθηκε για μια ακολουθία ανεξάρτητων και ισόνομων δυαδικών δοκιμών Bernoulli με τους Burr και Cane (1961), Lambiris and Papastavridis (1985), Hwang (1986), Philippou and Makri (1985, 1986) να δίνουν σημαντικά αποτελέσματα για αυτήν. Στην πορεία πολλοί ήταν οι επιστήμονες που ασχολήθηκαν με την μελέτη του μέγιστου μήκους ροής επιτυχιών και σε ακολουθίες Μαρκοβιανά εξαρτημένων πειραμάτων. Η πολυπλοκότητα των μαθηματικών τύπων που δόθηκαν για τoν υπολογισμό της ακριβούς τιμής της οδήγησε στην αναζήτηση άνω και κάτω φραγμάτων για την προσέγγιση της. Ο Eryilmaz (2006) παρουσίασε μια απλή μέθοδο για το πρόβλημα αυτό στην περίπτωση όπου. 2.1 Η ακριβής κατανομή της μέγιστης ροής Ο Eryilmaz (2006) μελέτησε την κατανομή της μέγιστης ροής επιτυχιών εισάγοντας μια χρήσιμη τυχαία μεταβλητή, η οποία παριστάνει το μήκος της ροής επιτυχιών στο τέλος του -οστού πειράματος. Έστω μια ακολουθία δυαδικών τυχαίων μεταβλητών. Χωρίς κάποια υπόθεση για την δομή εξάρτησής τους ορίζεται η τυχαία μεταβλητή ως εξής: με την παραδοχή ότι. Σχηματικά

22 Για παράδειγμα η συμβολίζει την παρακάτω ακολουθία αριθμών: Mπορεί να διαπιστωθεί ότι οι συνιστούν μια Μαρκοβιανή αλυσίδα, όταν οι συνιστώσες της δυαδικής ακολουθίας είναι ανεξάρτητες (ισόνομες ή όχι) είτε αποτελούνται από Μαρκοβιανά εξαρτημένες συνιστώσες (ομογενείς ή όχι). Έστω οι πρώτες δοκιμές μιας ομογενούς Μαρκοβιανής αλυσίδας δύο καταστάσεων με πίνακα πιθανοτήτων μετάβασης: με Η είναι μια ομογενής Mαρκοβιανή αλυσίδα με πιθανότητες μετάβασης: Το μέγιστο μήκος μιας ροής επιτυχιών μπορεί να εκφραστεί μέσω των τυχαίων μεταβλητών από την σχέση. Σύμφωνα με την παραπάνω έκφραση η μέγιστη ροή είναι το μέγιστο ενός δείγματος του οποίου τα μέλη είναι αντικείμενα μιας Μαρκοβιανής αλυσίδας. Χρησιμοποιώντας την παραπάνω σχέση ο Eryilmaz (2006) παρήγαγε την ακριβή κατανομή της μέσω της ακόλουθης διαδικασίας: Για 22

23 η οποία σύμφωνα με το πολλαπλασιαστικό θεώρημα γίνεται Για η οποία συναρτήσει των και υπενθυμίζοντας ότι γίνεται η παραδοχή γράφεται, δεδομένου ότι όπως έχει αναφερθεί η ακολουθία ιδιότητα. έχει την Μαρκοβιανή Μια πιο απλή μέθοδος όταν για την εύρεση της δίνεται μέσω του ακόλουθου θεωρήματος. Θεώρημα Για Απόδειξη Αρχικά, δεδομένου ότι έχουμε ότι, από την οποία προκύπτει ότι 23

24 Στη συνέχεια δίνεται μια έκφραση υπολογισμού της κατανομής της τυχαίας μεταβλητής.. Λήμμα Η συνάρτηση πιθανότητας της τυχαίας μεταβλητή δίνεται από την έκφραση: όπου. Απόδειξη Αφού,. και επειδή η ποσότητα που βρίσκεται μέσα στην αγκύλη είναι άθροισμα γεωμετρικής προόδου με πρώτο όρο και λόγο η παραπάνω σχέση γίνεται: 24

25 . όπου. Συνεχίζοντας παρατηρούμε ότι Για Για Για Λήμμα Για η από κοινού συνάρτηση κατανομής των τυχαίων μεταβλητών δίνεται από τις ακόλουθες σχέσεις: 25

26 Αποδεικνύεται ότι για Απόδειξη Για Για. Με πρόσθεση κατά μέλη των σχέσεων (1), (2) έχουμε Επίσης, 26

27 +. Οπότε, = Για. Με τη χρήση του Θεωρήματος προκύπτει μια πιο εύκολη μέθοδος για τον προσδιορισμό της ακριβούς κατανομής της για μια ακολουθία Μαρκοβιανά εξαρτημένων δοκιμών πρώτης τάξης με το ακόλουθο πόρισμα. Πόρισμα Έστω η μέγιστη ροή επιτυχιών ορισμένη σε μια ακολουθία Μαρκοβιανά εξαρτημένων δοκιμών πρώτης τάξης. Τότε για και Απόδειξη Με τη βοήθεια του Θεωρήματος

28 Οι όροι του τελευταίου εσωτερικού αθροίσματος είναι: για για για για από όπου προκύπτει ότι = 28

29 2.2 Μερικά φράγματα για την κατανομή της μέγιστης ροής Στο σημείο αυτό δίνονται μερικά φράγματα για την κατανομή του μέγιστου μήκους ροής επιτυχιών στην περίπτωση που τα στοιχεία μιας δυαδικής ακολουθίας είναι εξαρτημένα με έναν Μαρκοβιανό τρόπο. Το ακόλουθο λήμμα θα βοηθήσει στην εύρεση ενός άνω φράγματος για την Ανάλογα φράγματα έχουν δοθεί για την περίπτωση ανεξάρτητων και ισόνομων πειραμάτων. Λήμμα Έστω η μέγιστη ροή από ''1'' ορισμένη σε μια ακολουθία 1ης τάξης Μαρκοβιανά εξαρτημένων δοκιμών. Τότε για Απόδειξη Αφού και υπάρχουν και τέτοια ώστε και (2.2.1) Για να δειχθεί ότι αρκεί να δειχθεί ότι ή 29

30 ή ή Οπότε αρκεί να δειχθεί ότι. Από το Λήμμα έχουμε ότι (2.2.2) Από τις σχέσεις (2.2.1) και (2.2.2) και χρησιμοποιώντας την σχέση προκύπτει ότι ή Απλοποιώντας την παραπάνω σχέση παίρνουμε από την οποία προκύπτει ότι. (2.2.3) 30

31 Έστω ότι. Σε αυτή την περίπτωση η μπορεί να παίρνει και αρνητικές τιμές πράγμα που έρχεται σε αντίθεση με την ανισότητα της σχέσης (2.2.3). Άρα πρέπει και ολοκληρώνεται η απόδειξη. Θεώρημα Έστω η μέγιστη ροή επιτυχιών ορισμένη σε μια ακολουθία Μαρκοβιανά εξαρτημένων δοκιμών πρώτης τάξης. Για (2.2.4) Απόδειξη Για την απόδειξη θα χρησιμοποιηθεί η μαθηματική επαγωγή. Πρώτα διαπιστώνεται ότι ισχύει για. Πράγματι, που ισχύει. Υποθέτοντας ότι η (2.2.4) ισχύει για θα δειχθεί οτι ισχύει και για. Είναι προφανές ότι για έχουμε ότι. Αφού έχουμε υποθέσει ότι ισχύει για, δηλαδή έπεται ότι 31

32 η οποία με χρήση του Λήμματος γίνεται ή και το θεώρημα αποδείχτηκε. Το Θεώρημα παρέχει το ακόλουθο άνω φράγμα για την κατανομή της μέγιστης ροής σε μια ακολουθία 1ης τάξης Μαρκοβιανά εξαρτημένων δοκιμών: Για την παραγωγή κάτω φραγμάτων χρησιμοποιούνται οι ανισότητες Bonferroni: Πράγματι,. Πιο συγκεκριμένα κάνοντας χρήση της παραλλαγής του Worsley της ανισότητας Bonferroni η οποία δίνεται από. σαφές ότι, αν θέσουμε και αφού είναι τότε βάσει της ανισότητας Worsley έχουμε μέσω της οποίας δεδομένου ότι προκύπτει ότι 32

33 όπου και Συμβολίζοντας με E, LB, UB την ακριβή πιθανότητα, το κάτω φράγμα και το άνω φράγμα για τη συνάρτηση κατανομής της ( P( ) ) αντίστοιχα, παρουσιάζονται στους Πίνακες 1 και 2 μερικά αριθμητικά αποτελέσματα για και αντίστοιχα. Οι αρχικές πιθανότητες έχουν ληφθεί ίσες με. Πίνακας 1 Ακριβείς πιθανότητες και φράγματα για πρώτης τάξης Μαρκοβιανά εξαρτημένες δοκιμές όταν E LB UB E LB UB

34 E LB UB E LB UB Πίνακας 2 Ακριβείς πιθανότητες και φράγματα για πρώτης τάξης Μαρκοβιανά εξαρτημένες δοκιμές όταν E LB UB E LB UB

35 Παρατηρούμε ότι για μικρές τιμές της πιθανότητας μετάβασης τα άνω και κάτω φράγματα έχουν μια καλή συμπεριφορά. Επίσης από τον πρώτο πίνακα βλέπουμε ότι παρόλο που οι πιθανότητες μετάβασης ποικίλλουν στις τιμές τους αυτό δεν επηρεάζει την P( ). 35

36 2.3 Εφαρμογή σε Matlab Στην ενότητα αυτή παρέχονται μερικά αριθμητικά αποτελέσματα για την κατανομή της μέγιστης ροής που αφορούν στον υπολογισμό της ακριβούς τιμής της όταν σύμφωνα με το πόρισμα 2.1.1, τα οποία προήλθαν από την δημιουργία 2 κωδίκων κατασκευασμένων σε Μatlab. Πιο συγκεκριμένα, για πίνακα πιθανοτήτων μετάβασης: και για για για για για 36

37 για για για Ενώ για πίνακα πιθανοτήτων μετάβασης : και για για για 37

38 για για για για Οι κώδικες σε Μatlab φαίνονται παρακάτω: clc; clear all; close all; p00=0.6; p01=0.4; p10=0.7; p11=0.3; p0=0.5; n=10; k=6; s1=0; for j=1:k-1 b(n-j,p0,p00,p10) s1=s1+(p01*(p11^(j-1))*b(n-j,p0,p00,p10)); end s2=0; for i=k:n-1 b(i+1,p0,p00,p10) const=b(i+1,p0,p00,p10)-(p00*b(i,p0,p00,p10)); s3=0; 38

39 for j=1:k-1 s3=s3+(p11^(j-1))*b(i-j,p0,p00,p10); end s2=s2+const-p10*p01*s3; end s=b(n,p0,p00,p10)+s1-s2 function [y] = b(i,p0,p00,p10) % A=(p00-p10)^(n-1); % C=p0*A; % D=1-A; % E=p10*D; % Z=1-p00+p10; % y=c+e/z; y=p0*((p00-p10)^(i-1))+(p10*(1-(p00-p10)^(i-1)))/(1-p00+p10); end Για επαλήθευση των αποτελεσμάτων υπολογίστηκε πρακτικά η πρώτη πιθανότητα για τον πρώτο πίνακα πιθανοτήτων μετάβασης. Το αποτέλεσμα είναι αληθές αφού: : 1. SSSFF 2. SSSFS 3. FSSSF 4. SFSSS 5. FFSSS. 39

40 : 1. SSSSF 2. FSSSS. : 1. SSSSS. 40

41 3. Αριθμός Ροών και μέγιστη ροή σε Μαρκοβιανή αλυσίδα: Μια μέθοδος εμφύτευσης τυχαίας μεταβλητής σε πεπερασμένη Μαρκοβιανή αλυσίδα Η έννοια της εμφύτευσης μη αρνητικής τυχαίας μεταβλητής σε πεπερασμένη Μαρκοβιανή αλυσίδα για τη μελέτη τυχαίων μεταβλητών σχετιζόμενων με ροές εισήχθη από τους Fu and Koutras (1994). Έκτοτε η μέθοδος έχει εφαρμοστεί εκτενώς για τη μελέτη ροών και σχηματισμών σε δυαδικές ακολουθίες. Στη συγκεκριμένη ενότητα αναπτύσσεται η μέθοδος που δόθηκε από την Lou (1996) για τη μελέτη της κατανομής του αριθμού των ροών και του μέγιστου μήκους ροής επιτυχιών σε μια ακολουθία Μαρκοβιανά εξαρτημένων πειραμάτων Bernoulli. Έστω δοκιμές Bernoulli { κάθε μια από τις οποίες έχει ως αποτέλεσμα είτε μια επιτυχία (S) είτε μια αποτυχία (F). Θεωρούμε μια τυχαία μεταβλητή Bernoulli, τέτοια ώστε: 1, αν 0, αν για κάθε Θεωρούνται 2 τύποι δοκιμών Bernoulli: 1. ενός βήματος ομογενείς Μαρκοβιανά εξαρτημένες δοκιμές ο πίνακας πιθανοτήτων μετάβασης των οποίων έχει μη μηδενικές πιθανότητες. 2. ενός βήματος μη ομογενείς Μαρκοβιανά εξαρτημένες δοκιμές ο πίνακας πιθανοτήτων μετάβασης των οποίων έχει μη μηδενικές πιθανότητες για κάθε. Έστω ο αριθμός των επιτυχιών σε δοκιμές Bernoulli και έστω ο αριθμός των αποτυχιών. Όλες οι τυχαίες μεταβλητές που ασχολούνται με ροές μπορούν να αναπαρασταθούν μαθηματικά ως μια τυχαία μεταβλητή ή ως ένα διάνυσμα ορισμένο στο { μέσω της συνάρτησης φ. Ένας από τους κύριους στόχους αυτής της ενότητας είναι η μελέτη της ακριβούς κατανομής τυχαίων μεταβλητών ροών, συγκεκριμένα ροών επιτυχιών και της μέγιστης ροής επιτυχιών δοθέντος του αριθμού των επιτυχιών, όταν οι δοκιμές Bernoulli είναι ενός βήματος ομογενώς Μαρκοβιανά εξαρτημένες. Η ακριβής κατανομή μιας τυχαίας μεταβλητής ροών,, μπορεί να υπολογιστεί με την μέθοδο που θα περιγραφεί. Η μέθοδος αυτή προτάθηκε από τους Fu and Koutras (1994) και είναι μια επέκταση της μελέτης αξιοπιστίας γραμμικά συνδεδεμένων συστημάτων, από τον Fu (1986). 41

42 Για ένα δεδομένο θετικό ακέραιο, έστω ένα πεπερασμένο σύνολο δεικτών και έστω ένας πεπερασμένος χώρος καταστάσεων με καταστάσεις. Ορισμός 3.1 Μια τυχαία μεταβλητή μη αρνητικών ακεραίων τιμών, ορισμένη σε μια ακολουθία δοκιμών Bernoulli, μπορεί να εμφυτευτεί σε μια πεπερασμένη Μαρκοβιανή αλυσίδα αν: i) υπάρχει μια πεπερασμένη Μαρκοβιανή αλυσίδα ορισμένη σε ένα πεπερασμένο χώρο καταστάσεων με πίνακα πιθανοτήτων μετάβασης. ii) υπάρχει μια διαμέριση πάνω σε ένα χώρο καταστάσεων (όπου και μπορεί να εξαρτώνται από το ) και iii) για κάθε, ισχύει Θεώρημα 3.1 (Fu and Koutras, 1994) Αν η μπορεί να εμφυτευτεί σε μια πεπερασμένη Μαρκοβιανή αλυσίδα, τότε:, όπου είναι η αρχική κατανομή της Μαρκοβιανής αλυσίδας, είναι ένα ( 1) διάνυσμα με 1 στην -οστή συνιστώσα και 0 αλλού και το μέγεθος του χώρου καταστάσεων. Με βάση αυτό το θεώρημα θα μπορούσαν να βρεθούν η ακριβής ή από κοινού κατανομή πολλών τυχαίων μεταβλητών ροών αν κάποιος κατασκεύαζε κατάλληλα τις 3 απαραίτητες προϋποθέσεις για την εμφύτευση: έναν κατάλληλο πεπερασμένο χώρο καταστάσεων βασισμένο στη δομή της συγκεκριμένης ροής μια κατάλληλη διαμέριση του χώρου καταστάσεων, για κάθε μια πεπερασμένη Μαρκοβιανή αλυσίδα και τον πίνακα πιθανοτήτων μετάβασής της. 42

43 3.1 Κατανομή ροών Δύο στατιστικές συναρτήσεις που χρησιμοποιούνται συχνά για τον έλεγχο τυχαιότητας είναι ο συνολικός αριθμός ροών και το μήκος της μέγιστης ροής δοθέντος του αριθμού των επιτυχιών και αποτυχιών σε μια ακολουθία. Με τη χρήση της μεθόδου Εμφύτευσης σε Μαρκοβιανή αλυσίδα η Lou (1996) προχώρησε στον υπολογισμό της συνάρτησης πιθανότητας των τυχαίων μεταβλητών και που παριστάνουν τον συνολικό αριθμό των ροών επιτυχιών και το μήκος της μέγιστης ροής επιτυχιών μιας ακολουθίας, δοθέντος του αριθμού των επιτυχιών, αντίστοιχα. Ροές Επιτυχιών Η δεσμευμένη κατανομή του δοθέντος ότι δίνεται έμμεσα μέσω της από κοινού κατανομής του και. Για μια ακολουθία δοκιμών Bernoulli με επιτυχίες, ορίζουμε: 1α. Μια Mαρκοβιανή αλυσίδα με, όπου το πλήθος των επιτυχιών στις πρώτες δοκιμές, το πλήθος των ροών επιτυχιών στις πρώτες δοκιμές και το αποτέλεσμα της -οστής δοκιμής 1β. Τον χώρο καταστάσεων, όπου μια απορροφητική κατάσταση και ο πληθάριθμος του. 1γ. Την διαμέριση που δίνεται από τα και, όπου και. Θεώρημα Έστω μια ακολουθία από ομογενώς Μαρκοβιανά εξαρτημένες δοκιμές Bernoulli. Για δοθέντα και, το τυχαίο διάνυσμα μπορεί να εμφυτευτεί στην αλυσίδα Markov που ορίστηκε προηγουμένως με πίνακες μετάβασης: 43

44 όπου παριστάνει τις πιθανότητες,,. Τότε, δοθείσης της αρχικής συνθήκης έχουμε α) Για και 1, και για, όπου είναι ένα διάνυσμα και ο πληθάριθμος του χώρου καταστάσεων. β) Για,, ( ) όπου και είναι το άθροισμα όλων των διανυσμάτων ως προς. Απόδειξη Για ή 1 το αποτέλεσμα είναι προφανές. Για έπεται οτι οι πιθανότητες μετάβασης της Μαρκοβιανής αλυσίδας δίνονται από 1. Για, 44

45 2. Για 3. Για 4. Διαφορετικά οι πιθανότητες μετάβασης είναι 0. Οι παραπάνω εξισώσεις συνιστούν τον πίνακα μετάβασης. Οι Fu and Koutras (1994) απέδειξαν ότι : Αν τότε: είναι μια τυχαία μεταβλητή εμφυτεύσιμη σε μια πεπερασμένη Μαρκοβιανή αλυσίδα Εφαρμόζοντας την εξίσωση Chapman-Kolmogorov έχουμε:

46 Άρα,,, όπου ένα διάνυσμα, ένα διάνυσμα, και λόγω ομογένειας. Οπότε, Για την κατανόηση του παραπάνω θεωρήματος δίνεται το ακόλουθο παράδειγμα:. Για, ο χώρος καταστάσεων μπορεί να οριστεί ως, όπου είναι η αρχική κατάσταση η οποία παριστάνει τη μη ύπαρξη επιτυχίας και Δ παριστάνει την κατάσταση με. Τότε ορίζεται μια Μαρκοβιανή αλυσίδα. Για παράδειγμα, για μια ακολουθία είναι. η πραγματοποίηση της Μαρκοβιανής αλυσίδας Αν οι δοκιμές Bernoulli είναι ομογενώς Μαρκοβιανά εξαρτημένες, τότε ο πίνακας πιθανοτήτων μετάβασης της εμφυτευμένης Μαρκοβιανής αλυσίδας είναι ο ίδιος για κάθε με διάσταση και μπορεί να γραφεί ως 46

47 Δ Η κατάλληλη διαμέριση του χώρου καταστάσεων για δίνεται από }, Τότε η ακριβής πιθανότητα δίνεται μέσω της σχέσης ( ). Αν, για παράδειγμα, υπολογίζεται η. Επίσης αν ισόνομα τότε, υποθέτοντας ότι τα πειράματα είναι ανεξάρτητα και =, για κάθε. 47

48 3.2 Εφαρμογή σε Μatlab Στην ενότητα αυτή δίνονται αριθμητικά αποτελέσματα που αφορούν στον υπολογισμό της συνάρτησης πιθανότητας της τυχαίας μεταβλητής δοθέντος του αριθμού των επιτυχιών. Τα παρακάτω αποτελέσματα επαληθεύτηκαν και μέσω του προγράμματος Matlab σύμφωνα με τον παραπάνω πίνακα μεταβάσεων. Συγκεκριμένα, κατασκευάζοντας τα διανύσματα-πίνακες: με πιθανότητες μετάβασης M=[ ; ; ; ; ; ; ; ] p=[ ] C21=[0; 0; 0; 1; 1; 0; 0; 0] C2=[0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 0] και πληκτρολογώντας p*(m^5)*c21/p*(m^5)*c2 προκύπτει το ζητούμενο αποτέλεσμα. Ανάλογα αποτελέσματα προκύπτουν και για: : : : : 48

49 : : : Για τον υπολογισμό της χρησιμοποιείται ο τύπος, όπου: M=[ ; ; ; ; ; ; ; ] p=[ ] C22=[0; 0; 0; 0; 0; 1; 1; 0] C2=[0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 0] και πληκτρολογώντας p*(m^5)*c22/p*(m^5)*c2 προκύπτει το ζητούμενο αποτέλεσμα. Ανάλογα αποτελέσματα προκύπτουν και για : : 49

50 : : : : : Στην περίπτωση ανεξάρτητων δοκιμών υπολογίστηκαν οι αντίστοιχες πιθανότητες:, για όπου: Για : M=[ ; ; ; ; ; ; ; ] p=[ ] C21=[0; 0; 0; 1; 1; 0; 0; 0] C2=[0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 0] και πληκτρολογώντας p*(m^5)*c21/p*(m^5)*c2 προκύπτει το αποτέλεσμα. 50

51 Ανάλογα αποτελέσματα προκύπτουν και για: : : : : : : : Για : M=[ ; ; ; ; ; ; ; ] p=[ ] C22=[0; 0; 0; 0; 0; 1; 1; 0] C2=[0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 0] και πληκτρολογώντας p*(m^5)*c22/p*(m^5)*c2 προκύπτει το αποτέλεσμα. 51

52 Ανάλογα αποτελέσματα προκύπτουν και για : : : : : : : 52

53 3.3 Κατανομή Μέγιστης Ροής Μέγιστη Ροή Επιτυχιών Έστω : ο αριθμός των μη επικαλυπτόμενων συνεχόμενων επιτυχιών σε δοκιμές Bernoulli. Ισχύει ότι αν και μόνο αν, όπου υπενθυμίζεται ότι είναι ο αριθμός των επιτυχιών στην ακολουθία. Άρα, (3.3.1) Οπότε η δεσμευμένη συνάρτηση κατανομής της δοθέντος του αριθμού των επιτυχιών δίνεται μέσω της δεσμευμένης κατανομής της δοθέντος ότι. Έστω μια ακολουθία από μη-ομογενείς Μαρκοβιανά εξαρτημένες δοκιμές Bernoulli με επιτυχίες. Ανάλογα με την ανάπτυξη της προηγούμενης ενότητας ορίζεται: 1. Μια Μαρκοβιανή αλυσίδα που δρα πάνω στην :, όπου είναι ο αριθμός των επιτυχιών στις πρώτες δοκιμές, ενώ είναι ο αριθμός των συνεχόμενων επιτυχιών στις τελευταίες δοκιμές που τελειώνουν στο πείραμα αν υπάρχουν συνεχόμενες επιτυχίες, μετρώντας από το τέλος προς την αρχή από το -οστό αποτέλεσμα και αν και το -οστό αποτέλεσμα είναι επιτυχία ( και αν το -οστό αποτέλεσμα είναι αποτυχία ( αν 2. O χώρος καταστάσεων, όπου μια απορροφητική κατάσταση που ορίζεται για τον προορισμό των μεταβάσεων μετά την επιτυχία και το μέγεθος του. 3. Η διαμέριση που ορίζεται από τα, και. 53

54 Θεώρημα Έστω μια ακολουθία από μη ομογενώς ενός βήματος Μαρκοβιανά εξαρτημένες δοκιμές Bernoulli. Για δοθέντα και, το τυχαίο διάνυσμα μπορεί να εμφυτευτεί στην Mαρκοβιανή αλυσίδα που ορίστηκε προηγουμένως με πίνακες μετάβασης που ορίζονται ως εξής 1. Για 2. Για 3. Για Διαφορετικά οι πιθανότητες μετάβασης είναι 0. 54

55 Για δοθείσα αρχική συνθήκη προκύπτει ότι: α) Για, και για β) Για όπου είναι ένα διάνυσμα, ο πληθάριθμος του χώρου καταστάσεων και γ) Για όπου., (3.3.1) Από τη σχέση (3.3.1) και από το παραπάνω θεώρημα απορρέει άμεσα το ακόλουθο πόρισμα που δίνει την δεσμευμένη συνάρτηση κατανομής της δοθέντος του. Πόρισμα Δοθέντος ότι η δεσμευμένη κατανομή της δοθέντος του είναι Παράδειγμα Έστω και Ο χώρος καταστάσεων μπορεί να οριστεί ως εξής και οι διαμερίσεις είναι: και Οι πίνακες πιθανοτήτων μετάβασης για εκφράζονται από τον πίνακα 55

56 Δ Από τις υποθέσεις του παραπάνω θεωρήματος και με τη βοήθεια του πορίσματος υπό την υπόθεση της ανεξαρτησίας για παράδειγμα η δεσμευμένη κατανομή της δοθέντος ότι είναι Αυτό επαληθεύεται εύκολα θεωρώντας μια ακολουθία από 5 ανεξάρτητες και ισόνομες δοκιμές Bernoulli που περιλαμβάνουν 2 επιτυχίες και 3 αποτυχίες. Έτσι δημιουργούνται 10 πιθανές μεταθέσεις:. Από αυτά τα 10 ενδεχόμενα, 6 έχουν μήκος μέγιστης ροής μικρότερο του 2, δίνοντας έτσι πιθανότητα )= Η παραπάνω μέθοδος υλοποιείται και για ομογενείς μαρκοβιανά εξαρτημένες δοκιμές. 56

57 3.4 Εφαρμογή σε Μatlab Το παραπάνω αποτέλεσμα για τον υπολογισμό της πιθανότητας ) επαληθεύτηκε και μέσω του προγράμματος Matlab αφού υπολογίστηκε μέσω του παρακάτω τύπου όπου =[ ; ; ; ; ; ; ; ] p=[ ] C22=[0; 0; 0; 1; 1; 0; 0; 0] C2=[0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 0] και πληκτρολογώντας p*(μ^5)*c22/ p*(μ^5)*c2 προκύπτει το ζητούμενο αποτέλεσμα. Ανάλογα αριθμητικά αποτελέσματα προκύπτουν και για : : : : : 57

58 : : Οι παραπάνω πιθανότητες υπολογίστηκαν και στην περίπτωση Μαρκοβιανά εξαρτημένων δοκιμών όπου προέκυψαν οι τιμές: : : : : : : : 58

59 Τα παραπάνω αποτελέσματα οδήγησαν στο ακόλουθο συμπέρασμα Μέσω του παρακάτω κώδικα γίνεται δυνατή η εύρεση της δεσμευμένης συνάρτησης πιθανότητας της δοθέντος ότι αφού:. function M=createM(n1,d,pff,pfs,pss,psf) s=1+d*(d+1)/2+(n1-d+1)*(d+2); M=zeros(s,s); ch=[0 0]; for b=1:n1 for h=0:d-1 ch=[ch; b h]; end if b>=d %-1 Success kai -2 Fail ch=[ch; b -1; b -2]; end end %D ch=[ch; -3-3]; for b=1:n1 for h=1:d-1 for i=1:s for j=1:s if ch(i,1)==b && ch(i,2)==0 && ch(j,1)==b && ch(j,2)==0 M(i,j)=pff; elseif ch(i,1)==b && ch(i,2)==h && ch(j,1)==b && ch(j,2)==0 M(i,j)=psf; elseif ch(i,1)==b && ch(i,2)==-1 && ch(j,1)==b && ch(j,2)==-2 M(i,j)=psf; elseif ch(i,1)==b && ch(i,2)==-2 && ch(j,1)==b && ch(j,2)==-2 M(i,j)=pff; end end end end end for b=1:n1-1 59

60 for h=1:d-1 for i=1:s for j=1:s if ch(i,1)==b && ch(i,2)==0 && ch(j,1)==b+1 && ch(j,2)==1 M(i,j)=pfs; elseif ch(i,1)==b && ch(i,2)==h && ch(j,1)==b+1 && ch(j,2)==h+1 M(i,j)=pss; elseif ch(i,1)==b && ch(i,2)==-1 && ch(j,1)==b+1 && ch(j,2)==-1 M(i,j)=pss; elseif ch(i,1)==b && ch(i,2)==-2 && ch(j,1)==b+1 && ch(j,2)==-1 M(i,j)=pfs; elseif ch(i,1)==b && ch(i,2)==d-1 && ch(j,1)==b+1 && ch(j,2)==-1 M(i,j)=pss; end end end end end for b=n1:n1 for h=1:d-1 for i=1:s for j=1:s if ch(i,1)==b && ch(i,2)==0 && ch(j,1)==-3 && ch(j,2)==-3 M(i,j)=pfs; elseif ch(i,1)==b && ch(i,2)==h && ch(j,1)==-3 && ch(j,2)==-3 M(i,j)=pss; elseif ch(i,1)==b && ch(i,2)==-2 && ch(j,1)==-3 && ch(j,2)==-3 M(i,j)=pfs; elseif ch(i,1)==b && ch(i,2)==-1 && ch(j,1)==-3 && ch(j,2)==-3 M(i,j)=pss; end end end end end M(1,1)=pff; M(1,3)=pfs; M(s,s)=1; 60

61 function p=test2(n1,d,n,pff,pfs,pss,psf) M=createM(n1,d,pff,pfs,pss,psf) p0=zeros(1,size(m,1)); p0(1)=1; U1=zeros(size(M,1),1); U2=zeros(size(M,1),1); for i=(n1-1)*d+2*(n1-d)+2:(n1-1)*d+2*(n1-d)+2+d-1 U1(i)=1; end for i=(n1-1)*d+2*(n1-d)+2:(n1-1)*d+2*(n1-d)+2+d+1 U2(i)=1; end p=p0*m^n*u1/(p0*m^n*u2); 61

62 4. Κατανομή του αριθμού των μη επικαλυπτόμενων ροών επιτυχιών σε Μαρκοβιανά εξαρτημένες δοκιμές. Η θεωρία ροών εδράζει σε διάφορες περιοχές στατιστικής ανάλυσης. Υπάρχουν διαφορετικοί τρόποι καταμέτρησης ροών ανάλογα με το στατιστικό πρόβλημα που ανακύπτει κάθε φορά. Έστω μια χρονικά ομογενής Μαρκοβιανή αλυσίδα με δύο πιθανά αποτελέσματα επιτυχία (1) και αποτυχία (0). Κάθε ακολουθία από συνεχόμενες επιτυχίες καλείται ροή επιτυχιών μήκους. Το κλασικό σχήμα καταμέτρησης ροών μήκους είναι αυτό που προτάθηκε από τον Feller (1968). Σύμφωνα με αυτό ξεκινάμε να μετράμε από την αρχή κάθε φορά που παρατηρείται μια πραγματοποίηση συνεχόμενων ροών. Για παράδειγμα, στην ακολουθία και για υπάρχουν τέσσερις μη επικαλυπτόμενες ροές μήκους. Έστω η τυχαία μεταβλητή που παριστάνει τον αριθμό των μη επικαλυπτόμενων ροών επιτυχιών μήκους στις πρώτες δοκιμές. Στην παράγραφο αυτή αναπτύσσουμε τη μέθοδο που δόθηκε από τους Antzoulakos and Chadjiconstantinidis (2001) για τον προσδιορισμό της πιθανογεννήτριας συνάρτησης και της συνάρτησης πιθανότητάς της τυχαίας μεταβλητής ορισμένη σε ομογενή Μαρκοβιανή αλυσίδα. Η κατανομή του αριθμού των ροών επιτυχιών μήκους σε σταθερό αριθμό δοκιμών ονομάζεται διωνυμική τάξης. 4.1 Υπολογισμός πιθανογεννήτριας της τυχαίας μεταβλητής Ο χρόνος αναμονής της -οστής πραγματοποίησης μιας ροής επιτυχιών μήκους είναι μια ακολουθία επαναλαμβανόμενων δοκιμών με δύο πιθανά αποτελέσματα, το μήκος της οποίας συμβολίζεται με. Έστω η συνάρτηση πιθανότητας του με όπου η συνάρτηση δέλτα του Kronecker, αν και αν. Ακόμα έστω η πιθανογεννήτρια του. O αριθμός των μη επικαλυπτόμενων ροών επιτυχιών μήκους σε δοκιμές συμβολίζεται με Έστω η συνάρτηση πιθανότητας του με την παραδοχή. 62

63 Έστω (4.1.1) και (4.1.2) η απλή και η διπλή πιθανογεννήτρια, αντίστοιχα. Έστω ότι συνεχόμενες πραγματοποιήσεις ροών επιτυχιών μήκους recurrent event, Feller 1968) και συνεπώς αποτελούν ένα (delayed (4.1.3) όπου και κατάλληλες πιθανογεννήτριες. Σε αυτή την περίπτωση ο Koutras (1997) απέδειξε ότι (4.1.4) Έστω μια χρονικά ομογενής δύο καταστάσεων Mαρκοβιανή αλυσίδα με πιθανότητες μετάβασης και αρχικές πιθανότητες Για υπακούει τη σχέση (4.1.3) με και (4.1.5) όπου:. (4.1.6) 63

64 Μη επικαλυπτόμενο σχήμα - Μαρκοβιανά εξαρτημένες δοκιμές Μέσω των σχέσεων (4.1.3), (4.1.4) οι Antzoulakos and Chadjiconstantinidis (2001) απέδειξαν ότι η διπλή πιθανογεννήτρια της τυχαίας μεταβλητής δίνεται από την σχέση η οποία πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή της και χρησιμοποιώντας τις σχέσεις (4.1.6) μετά από πράξεις γίνεται με όπου. Ο αριθμητής του γράφεται και άρα η παραπάνω σχέση μετατρέπεται στην (4.1.7) Στο ακόλουθο θεώρημα δίνεται ένα αναδρομικό σχήμα για την εύρεση της. Θεώρημα Η πιθανογεννήτρια συνάρτηση της τυχαίας μεταβλητής ικανοποιεί τις ακόλουθες αναδρομικές σχέσεις: για Απόδειξη Προκύπτει από τη σχέση για 64

65 στην οποία εξισώνοντας τους συντελεστές του δίνονται από τη σχέση (4.1.7). και στα δύο μέλη της ισότητας, όπου 65

66 4.2 Υπολογισμός της συνάρτησης πιθανότητας της τυχαίας μεταβλητής Χρησιμοποιώντας το αποτέλεσμα του παραπάνω θεωρήματος οι Antzoulakos and Chadjiconstantinidis (2001) απέδειξαν ένα αναδρομικό σχήμα για τον υπολογισμό της συνάρτησης πιθανότητας της τυχαίας μεταβλητής. Θεώρημα Η συνάρτηση πιθανότητας της τυχαίας μεταβλητής ικανοποιεί τις σχέσεις για ή, για για για για Απόδειξη Η απόδειξη προκύπτει αντικαθιστώντας το, στο Θεώρημα με την επέκτασή του που παρέχεται από τη σχέση (4.1.1) και εξισώνοντας τους συντελεστές του στα 2 μέλη των ισοτήτων που προκύπτουν. Πιο συγκεκριμένα, Για 66

67 Άρα, για. Για Άρα Για =. Άρα Για από όπου προκύπτουν τα αποτελέσματα μετά από πράξεις. 67

68 5. Μελέτη της μεταβλητής σε δοκιμές με μη ομογενή Μαρκοβιανή εξάρτηση Στην ενότητα αυτή εξετάζεται μια τυχαία μεταβλητή επίσης μεγάλης σημαντικότητας με μέθοδο που αναπτύχθηκε από τους Makri and Psillakis (2011). Πιο συγκεκριμένα μελετάται η τυχαία μεταβλητή που παριστάνει τον αριθμό των ροών επιτυχιών με μήκος που υπερβαίνει ένα συγκεκριμένο αριθμό (κατώφλι), ορισμένη σε μια ακολουθία από δοκιμές δύο καταστάσεων με αποτελέσματα διατεταγμένα πάνω σε μια γραμμή, τα στοιχεία της οποίας είναι πρώτης τάξης Μαρκοβιανά εξαρτημένες (ομογενείς είτε μη ομογενείς) δυαδικές τυχαίες μεταβλητές. Ακόμα, δίνεται η κατανομή, η μέση τιμή και η διακύμανσή της τυχαίας αυτής μεταβλητής μέσω ακριβών εκφράσεων, όπως επίσης οι κατανομές και οι μέσες τιμές του χρόνου αναμονής μέχρι την πραγματοποίηση της -οστής ( ροής επιτυχιών μήκους τουλάχιστον και του μήκους της μέγιστης ροής επιτυχιών. Θεωρούμε μια ακολουθία, ( ) δυαδικών δοκιμών με αποτελέσματα επιτυχία (1 ή ''S'') ή αποτυχία (0 ή ''F'') διατεταγμένα σε μία γραμμή. Δοθέντος ενός σταθερού μήκους (κατώφλι),, η τυχαία μεταβλητή του ενδιαφέροντος μας συμβολίζεται. Το σύνολο δυνατών τιμών της είναι το σύνολο. Είναι σαφές ότι η παριστάνει τον αριθμό όλων των ροών επιτυχιών σε μια δυαδική ακολουθία διατεταγμένη σε μια γραμμή, δηλαδή. Η δύναται να εκφραστεί ως ένα άθροισμα δείκτριων τυχαίων μεταβλητών με, με τον ακόλουθο τρόπο, όπου οι τυχαίες μεταβλητές ορίζονται από τις σχέσεις 1, αν 0, διαφορετικά. (Γίνεται η σύμβαση ). 68

69 Οι δείκτριες μεταβλητές που ορίστηκαν παραπάνω είναι χρήσιμες για την εξαγωγή εκφράσεων της μέσης τιμής και της διασποράς της τυχαίας μεταβλητής. Δύο ακόμα τυχαίες μεταβλητές συσχετιζόμενες στενά με την είναι το μήκος της μέγιστης ροής επιτυχιών για γραμμικά διατεταγμένες δοκιμές και ο χρόνος αναμονής μέχρι την -οστή, πραγματοποίηση μιας ροής επιτυχιών μήκους τουλάχιστον για γραμμικά διατεταγμένες δοκιμές, οι οποίες μπορούν να ορισθούν max{ αν 0, διαφορετικά. και Για ανεξάρτητες και ισόνομες δυαδικά δοκιμές η ακολουθεί την γεωμετρική κατανομή τάξης, αφού παριστάνει τον αριθμό των πειραμάτων Bernoulli μέχρι την εμφάνιση συνεχόμενων επιτυχιών. Είναι προφανές ότι για κάθε και και για, οι σχέσεις αν και μόνο αν αν και μόνο αν και αν και μόνο αν ισχύουν πάντα, και προσφέρουν εναλλακτικούς τρόπους υπολογισμού της ακριβούς κατανομής των και. Το ακόλουθο παράδειγμα διευκρινίζει τον ορισμό των τυχαίων μεταβλητών Παράδειγμα Έστω η ακολουθία 10 δυαδικών δοκιμών SSSFSFSSFS. Τότε,, 69

70 5.1 Υπολογισμός της συνάρτησης πιθανότητας της τυχαίας μεταβλητής Κατανομή Μέγιστης Ροής Η ακριβής συνάρτηση πιθανότητας της εξαρτάται από την εσωτερική δομή της δυαδικής ακολουθίας. Θέτουμε, όπου με D συμβολίζεται το αντίστοιχο παραμετρικό σύνολο για την περιγραφή της εσωτερικής δομής της ακολουθίας. Πιο συγκεκριμένα χρησιμοποιείται το για μια μη ομογενή πρώτης τάξης δικατάστατη Μαρκοβιανή αλυσίδα, με πίνακες πιθανοτήτων μετάβασης, με στοιχεία, διάνυσμα αρχικών πιθανοτήτων, όπου Για ομογενείς αλυσίδες ισχύει και, και. Στη συνέχεια δίνεται η ακριβής συνάρτηση πιθανότητας της τυχαίας μεταβλητής,, όταν αυτή ορίζεται σε μη ομογενή Μαρκοβιανή αλυσίδα. Έστω μια τυχαία μεταβλητή που συμβολίζει τον αριθμό των ροών επιτυχιών μήκους τουλάχιστον σε ένα παράθυρο μιας μη ομογενούς δύο καταστάσεων Μαρκοβιανά εξαρτημένης ακολουθίας, Στο ακόλουθο λήμμα το οποίο έδωσαν οι Makri and Psillakis (2011) παρουσιάζεται ένα αναδρομικό σχήμα για την εύρεση της δεσμευμένης συνάρτησης πιθανότητας. Λήμμα Οι δεσμευμένες πιθανότητες ικανοποιούν τις ακόλουθες σχέσεις Για ή. Για και 70

71 και για,,, όπου και αν και διαφορετικά. Απόδειξη Για ή και για το θεώρημα προφανώς ισχύει. Για,, έστω και Τότε, από όπου προκύπτει το αποτέλεσμα., Θεώρημα Η συνάρτηση πιθανότητας της τυχαίας μεταβλητής για δίνεται από τη σχέση 71

72 όπου Απόδειξη Δοθέντων των πρώτων δοκιμών,, μιας μη ομογενούς Μαρκοβιανής αλυσίδας δύο καταστάσεων ορίζουμε τα ενδεχόμενα και Τότε, για. Η κατανομή της τυχαίας μεταβλητής θα δοθεί στη συνέχεια, μέσω της. Από το Θεώρημα μπορούν να προκύψουν ακριβείς εκφράσεις για την συνάρτηση πιθανότητας της. Ακριβής κατανομή της μέγιστης ροής επιτυχιών και του χρόνου αναμονής μέχρι την εμφάνιση της -οστής, ροής επιτυχιών μήκους τουλάχιστον Οι ακριβείς κατανομές των τυχαίων μεταβλητών και είναι:, 72

73 Απόδειξη Για είναι προφανές ότι ισχύει. Για, έχουμε Για,. και αν αν Απόδειξη Για, Για. 73

74 Αφού για είναι προφανές ότι, όπου οι δίνονται παρακάτω. 74

75 5.2 Μέση Τιμή και Διακύμανση της τυχαίας μεταβλητής Πρόταση Για η μέση τιμή και η διακύμανση της δίνονται ως εξής: και όπου: 75

76 Για με., και. Απόδειξη Για. Για 76

77 λόγω της Μαρκοβιανής ιδιότητας. Επίσης, για, και για Ομοίως, και για δεδομένου ότι, και για αποδεικνύεται το ζητούμενο αποτέλεσμα. 77

78 Παρατήρηση Εναλλακτικές εκφράσεις για δίνονται από τις ακόλουθες σχέσεις και όπου και το ανάστροφο διάνυσμα του. Για ομογενείς Μαρκοβιανές Αλυσίδες και για απλουστεύονται περαιτέρω. Πιο συγκεκριμένα έχουμε οι εκφράσεις των και και Στο σημείο αυτό δίνονται εκφράσεις για τις μέσες τιμές των τυχαίων μεταβλητών μέσω της τυχαίας μεταβλητής και και όπου είναι τέτοιο ώστε να ισχύει η σχέση όπου ε ένας προκαθορισμένος μικρός θετικός αριθμός, που ορίζεται από την απαιτούμενη ακρίβεια των αποτελεσμάτων. 78

79 6. Μια Εισαγωγή στα Συνεχόμενα- -από-τα- : F Συστήματα Στη σημερινή εποχή τα διάφορα μηχανικά συστήματα όπως οι ηλεκτρονικοί υπολογιστές, τα αεροπλανοφόρα, τα αυτοκίνητα, τα συστήματα τηλεπικοινωνίας, μεταφοράς πετρελαίου και πολλοί άλλοι μηχανισμοί απαιτείται να έχουν υψηλή αξιοπιστία και αυτό καθιστά την εκτίμησή της πολύ σημαντική. Στην ενότητα αυτή επισημαίνεται πως η τυχαία μεταβλητή που αναφέρθηκε εκτενώς σε προηγούμενα κεφάλαια εφαρμόζεται στην αξιοπιστία μιας κατηγορίας συστημάτων και πιο συγκεκριμένα στα συνεχόμενα- -από-τα- : F Συστήματα. Ορισμός 6.1 Έστω ότι συνιστώσες είναι γραμμικά συνδεδεμένες με τέτοιο τρόπο, ώστε το σύστημα να αποτυγχάνει αν και μόνο αν τουλάχιστον συνεχόμενες συνιστώσες του αποτυγχάνουν. Ένα τέτοιο σύστημα ονομάζεται γραμμικό συνεχόμενο- -από-τα- : F σύστημα. Ορισμός 6.2 Αν σε κάθε μια συνιστώσα του συστήματος αντιστοιχίσουμε μια δυαδική τυχαία μεταβλητή να παριστάνει την κατάσταση της συνιστώσας, όπου 1, αν η συνιστώσα λειτουργεί 0, αν η συνιστώσα δεν λειτουργεί τότε ορίζουμε μια δυαδική μεταβλητή Φ, 1, αν το σύστημα λειτουργεί Φ( 0, αν το σύστημα δεν λειτουργεί η οποία ονομάζεται συνάρτηση δομής του συστήματος, όπου διάνυσμα καταστάσεων των συνιστωσών. το 79

80 Ορισμός 6.3 Αξιοπιστία ενός συστήματος ονομάζεται η πιθανότητα ότι το σύστημα θα λειτουργήσει, δηλαδή ότι θα διεκπεραιώσει το έργο για το οποίο έχει κατασκευαστεί. Η αξιοπιστία ενός συστήματος είναι Φ(. Ο κύριος στόχος αυτού του κεφαλαίου είναι η συσχέτιση της αξιοπιστίας ενός συνεχόμενου- -από-τα- : F συστήματος με τις τυχαίες μεταβλητές, όπου οι ροές ''επιτυχιών'' αφορούν ροές αποτυχημένων συνιστωσών. Η συσχέτιση αυτή είναι προφανής αφού εκ του ορισμού της αξιοπιστίας ισχύει η ισότητα Καθίσταται λοιπόν σαφές ότι ο υπολογισμός της είναι δεδομένος αν γνωρίζουμε τη συνάρτηση κατανομής της ή τη συνάρτηση πιθανότητας των και. Συνεπώς οι αντίστοιχες εκφράσεις που έχουν δοθεί σε προηγούμενες παραγράφους δίνουν και την αξιοπιστία των συστημάτων αυτών. Ωστόσο έχουν γίνει ειδικές μελέτες για τον υπολογισμό της αξιοπιστίας ενός συνεχόμενου- -από-τα- : F συστήματος όταν οι συνιστώσες έχουν Μαρκοβιανή εξάρτηση μεταξύ τους. Σε επόμενη ενότητα αναφορικά με τέτοιου είδους συστήματα αναπτύσσεται η μέθοδος που δόθηκε από τους Papastavridis and Lambiris (1987). Με τα συνεχόμενα- -από-τα- : F Συστήματα έχουν ασχοληθεί πολλοί μελετητές από τις αρχές του Για την απόκτηση μιας πιο σαφούς εικόνας της χρήσης τέτοιων συστημάτων παρακάτω αναφέρονται δύο παραδείγματα όπως δόθηκαν από τους Chiang and Niu (1981). Παράδειγμα 1 Έστω ότι έχουμε μια ακολουθία από σταθμούς μικροκυμάτων οι οποίοι μεταφέρουν πληροφορίες από ένα μέρος σε ένα μέρος. Οι σταθμοί μικροκυμάτων είναι τοποθετημένοι μεταξύ των χωρών και σε ίσες αποστάσεις. Καθένας σταθμός μπορεί να μεταφέρει πληροφορίες σε απόσταση η οποία περιλαμβάνει σταθμούς μικροκυμάτων. Είναι προφανές ότι ένα τέτοιο σύστημα αποτυγχάνει εάν και μόνο αν τουλάχιστον συνεχόμενοι σταθμοί μικροκυμάτων δεν λειτουργούν. Οι αξιοπιστίες των σταθμών ίσως να είναι διαφορετικές επειδή είναι διαφορετικές και οι περιβαλλοντικές συνθήκες. Έτσι οι διαδικασίες λειτουργίας ή όχι των σταθμών θεωρούνται στατιστικά ανεξάρτητες, αλλά όχι κατά ανάγκην ισόνομες.. 80