ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΑΡΩΣΗΣ ΚΑΙ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΑΡΩΣΗΣ ΚΑΙ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΘΕΟΔΩΡΑ ΠΗΤΤΑ Α.Μ. 203 ΠΑΤΡΑ

2 ΕΠΙΒΛΕΠΟΥΣΑ: Ε.Σ. ΜΑΚΡΗ ΕΠΙΚΟΥΡΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ Ευχαριστώ την καθηγήτριά μου Κα. Ευφροσύνη Μακρή για τη συνεχή καθοδήγησή της, τη συμπαράστασή της και για την άψογη συνεργασίας μας. 2

3 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Χρόνος αναμονής & στατιστικές συναρτήσεις σάρωσης Σχέση του χρόνου αναμονής με τις στατιστικές συναρτήσεις σάρωσης Ανεξάρτητες και ισόνομες τυχαίες μεταβλητές Κατανομή του χρόνου αναμονής Συνάρτηση κατανομής & συνάρτηση πιθανότητας του χρόνου αναμονής (όταν ) Υπολογισμός της συνάρτησης κατανομής & της συνάρτησης πιθανότητας μέσω κατάλληλα ορισμένων γεγονότων (όταν ) Μέθοδος εμβάπτισης τυχαίων μεταβλητών σε πεπερασμένη Μαρκοβιανή αλυσίδα Εμβάπτιση της σε Μαρκοβιανή αλυσίδα Εμβάπτιση σε Μαρκοβιανή αλυσίδα για Εμβάπτιση σε Μαρκοβιανή αλυσίδα στη γενική περίπτωση Γεννήτρια συνάρτηση και ροπές της τυχαίας μεταβλητής Ροπές γύρω από το μηδέν της τυχαίας μεταβλητής ΚΕΦΑΛΑΙΟ Εισαγωγή στην αξιοπιστία ενός συνεχόμενου συστήματος Αξιοπιστία ενός συνεχόμενου συστήματος Αξιοπιστία ενός συνεχόμενου συστήματος όταν με Αναδρομικός αλγόριθμος υπολογισμού της αξιοπιστίας ενός συνεχόμενου συστήματος Τα βήματα του αναδρομικού αλγορίθμου ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ολισθαίνον παράθυρο ανίχνευσης σήματος Συστήματα διαμοιρασμού χρόνου Ανάλυση κυκλοφοριακής συμφόρησης σε οδικές αρτηρίες Μοντέλο ουρών αναμονής Έλεγχος ποιότητας

4 Βιβλιογραφία ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σε αυτή τη διπλωματική εργασία χρησιμοποιούμε τη θεωρία που περιβάλλει τις στατιστικές συναρτήσεις σάρωσης για να υπολογίσουμε την αξιοπιστία ενός συστήματος. Συγκεκριμένα, θεωρούμε μια ακολουθία τυχαίων μεταβλητών Bernoulli οι οποίες παίρνουν τιμές 0 ή 1 ανάλογα με το αν έχουμε αποτυχία ή επιτυχία, αντίστοιχα. Ασχολούμαστε με τη σύνδεση της στατιστικής συνάρτησης σάρωσης, που εκφράζει τον μέγιστο αριθμό των επιτυχιών που περιέχονται σε ένα κινούμενο παράθυρο μήκους το οποίο σαρώνει - συνεχόμενες προσπάθειες Bernoulli, με την αξιοπιστία ενός συνεχόμενου συστήματος αποτυχίας ( σύστημα). Στο πρώτο κεφάλαιο ασχολούμαστε με τον υπολογισμό της συνάρτησης κατανομής και της συνάρτησης πιθανότητας της στατιστικής συνάρτησης σάρωσης. Η τυχαία μεταβλητή συνδέεται μέσω μιας δυϊκής σχέσης με την τυχαία μεταβλητή η οποία εκφράζει τον χρόνο αναμονής (αριθμός προσπαθειών Bernoulli) μέχρι να συμβεί μια γενικευμένη ροή ή αλλιώς μέχρι να συμβεί η πρώτη σάρωση σε μια ακολουθία τυχαίων μεταβλητών Bernoulli. Υπολογίζουμε τη συνάρτηση κατανομής και τη συνάρτηση πιθανότητας της είτε με τη μέθοδο της εμβάπτισης σε Μαρκοβιανή αλυσίδα είτε μέσω αναδρομικών τύπων και ακολούθως παίρνουμε τις αντίστοιχες συναρτήσεις για την τυχαία μεταβλητή [Glaz and Balakrishnan (1999), Balakrishnan and Koutras (2002)]. Αναλυτικά παρουσιάζουμε τη θεωρία για τη μέθοδο εμβάπτισης μια τυχαίας μεταβλητής σε Μαρκοβιανή αλυσίδα όπως αυτή παρουσιάστηκε από τους Fu και Koutras (1994). Για τον υπολογισμό των αναδρομικών τύπων θεωρήθηκαν κατάλληλα ορισμένα 4

5 γεγονότα. Στη συνέχεια παρουσιάζουμε συνοπτικά τη γεννήτρια συνάρτηση της τυχαίας μεταβλητής και υπολογίζουμε τις ροπές γύρω από το μηδέν της. Στο δεύτερο κεφάλαιο υπολογίζουμε την αξιοπιστία του συνεχόμενου συστήματος (Griffith, 1986). Ένα τέτοιο σύστημα αποτυγχάνει αν ανάμεσα σε συνεχόμενες συνιστώσες υπάρχουν τουλάχιστον που αποτυγχάνουν. Παρουσιάζουμε ακριβείς τύπους για την αξιοπιστία για καθώς και για (Sfakianakis, Kounias and Hillaris, 1992) και δίνουμε έναν αναδρομικό αλγόριθμο για τον υπολογισμό της (Malinowski and Preuss, 1994). Ο αλγόριθμος αυτός υπολογίζει την αξιοπιστία του συνεχόμενου συστήματος ακόμα και αν οι συνιστώσες του είναι ανεξάρτητες και δεν έχουν κατ ανάγκην ίσες πιθανότητες αποτυχίας. Αναπτύσσοντας μια δυϊκή σχέση ανάμεσα στη συνάρτηση κατανομής της και κατ επέκταση της με την αξιοπιστία, συνδέουμε την αξιοπιστία αυτού του συστήματος με τη στατιστική συνάρτηση σάρωσης. Στο τρίτο και τελευταίο κεφάλαιο παρουσιάζουμε συνοπτικά μερικές από τις εφαρμογές που έχουν οι στατιστικές συναρτήσεις σάρωσης πέραν αυτής του υπολογισμού της αξιοπιστίας ενός συστήματος. Ενδιαφέρουσες είναι οι εφαρμογές στην ανίχνευση σήματος [Dinneen και Reed (1956), Starr και Freedman (1975), Mirstik (1978), Glaz (1983)], στα συστήματα διαμοιρασμού χρόνου [Chu (1970), Fredrikson (1974)], στην ανάλυση του κυκλοφοριακού στις οδικές αρτηρίες [Feller (1968)], στον έλεγχο ποιότητας [Roberts (1958)], στα μοντέλα ουρών αναμονής [Solοv ev (1966), Greenberg (1970) και Saperstein (1972)] και σε πολλούς άλλους τομείς. 5

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΑΝΑΜΟΝΗ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΡΩΤΗ ΣΑΡΩΣΗ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΑΡΩΣΗΣ Στο πρώτο κεφάλαιο θα παρουσιαστούν οι βασικές έννοιες που θα μας απασχολήσουν καθ όλη τη διάρκεια της εργασίας. Αρχικά θα εισάγουμε την έννοια του χρόνου αναμονής μέχρι να συμβεί μια γενικευμένη ροή ή αλλιώς μέχρι να συμβεί η πρώτη σάρωση σε μια σειρά προσπαθειών (δοκιμών) Bernoulli. Αυτός o χρόνος αναμονής είναι μια τυχαία μεταβλητή που θα συμβολίζεται. Ουσιαστικά, θα μελετήσουμε γενικευμένες ροές στις οποίες αντί να παρατηρούμε μια ακολουθία προσπαθειών συγκεκριμένου μήκους που όλες καταλήγουν σε επιτυχία επιτρέπουμε 6

7 την εμφάνιση ενός προκαθορισμένου μεγίστου αριθμού αποτυχιών μέσα σε αυτές. Ως εκ τούτου επικεντρωνόμαστε σε ροές που δεν έχουν καταλήξει όλες οι προσπάθειές τους σε επιτυχία αλλά κάποιες από αυτές τις προσπάθειες (δοκιμές) έχουν αποτύχει. Κατά συνέπεια, θα εστιάσουμε στον υπολογισμό της συνάρτησης κατανομής και της συνάρτησης πιθανότητας της με διάφορες μεθόδους (Balakrishnan and Koutras, 2002). Μία μέθοδος που θα μας απασχολήσει ιδιαίτερα είναι η εμβάπτιση της τυχαίας μεταβλητής Koutras, 1994). σε μια πεπερασμένη Μαρκοβιανή αλυσίδα (Fu and Στη συνέχεια θα συνδέσουμε την τυχαία μεταβλητή με τις στατιστικές συναρτήσεις σάρωσης 1. Γενικά οι στατιστικές συναρτήσεις σάρωσης αποτελούν τυχαίες μεταβλητές. Σε αυτή τη διπλωματική εργασία θα ασχοληθούμε με τη στατιστική συνάρτηση σάρωσης που εκφράζει τον μέγιστο αριθμό των επιτυχιών που περιέχονται σε ένα κινούμενο παράθυρο μήκους το οποίο σαρώνει συνεχόμενες προσπάθειες (δοκιμές). Αυτή την στατιστική συνάρτηση την συμβολίζουμε [Balakrishnan and Koutras (2002), Glaz and Balakrishnan (1999), Chen and Glaz (1997)]. 1 Οι στατιστικές συναρτήσεις σάρωσης συναντώνται στην αγγλική βιβλιογραφία ως Scan Statistics. 7

8 1. Χρόνος αναμονής & στατιστικές συναρτήσεις σάρωσης Σε αυτήν την παράγραφο θα εισάγουμε τις τυχαίες μεταβλητές που θα χρησιμοποιήσουμε καθ όλη τη διάρκεια της εργασίας. Οι τυχαίες μεταβλητές είναι δυαδικές και παίρνουν τιμές 0 ή 1 ανάλογα με το αν έχουμε αποτυχία ή επιτυχία, αντίστοιχα. Θεωρούμε, λοιπόν, μια ακολουθία προσπαθειών (δοκιμών) Bernoulli. Συνεπώς, κάθε προσπάθεια είναι επιτυχημένη ή αποτυχημένη. Με τον όρο σάρωση ή γενικευμένη ροή τύπου k/m 2 θα αναφερόμαστε σε υπακολουθίες της παραπάνω ακολουθίας, μήκους είναι τουλάχιστον ακόλουθο άθροισμα:, τέτοιες ώστε ο αριθμός των επιτυχιών που περιέχουν να (Balakrishnan and Koutras, 2002). Αυτό εκφράζεται με το Με τον συμβολισμό θα αναφερόμαστε στην τυχαία μεταβλητή που δηλώνει τον χρόνο αναμονής μέχρι να συμβεί η πρώτη σάρωση τύπου μεταβλητή εκφράζεται με τον τύπο:. Αυτή η τυχαία 2 Scan or generalized run of type k/m 8

9 Παρατήρηση Στην ειδική περίπτωση η τυχαία μεταβλητή περιγράφει τον χρόνο αναμονής για την πραγματοποίηση της πρώτης ροής επιτυχιών μήκους, δηλαδή μέχρι την εμφάνιση συνεχόμενων επιτυχιών. Σε αυτή την περίπτωση η ακολουθεί την γεωμετρική κατανομή τάξης [Philippou, Georgiou, Philippou (1983)]. Μπορούμε να απλοποιήσουμε την παραπάνω έκφραση για την χρησιμοποιώντας τη σύμβαση για και να καταλήξουμε στην ακόλουθη μορφή: Παρατήρηση Η συνθήκη στον τύπο (1.1) θα μπορούσε ισοδύναμα να γραφτεί:. Μια άλλη τυχαία μεταβλητή με την οποία θα ασχοληθούμε είναι η η οποία συμβολίζει τον μέγιστο αριθμό επιτυχιών που περιέχονται σε ένα κινούμενο παράθυρο μήκους πάνω σε μια ακολουθία. Η έκφραση για αυτήν την τυχαία μεταβλητή είναι η ακόλουθη: Τέτοιες τυχαίες μεταβλητές, σαν την, ονομάζονται στατιστικές συναρτήσεις σάρωσης. Αυτή η τυχαία μεταβλητή χρησιμοποιείται για τον έλεγχο της μηδενικής υπόθεσης ότι για όλες τις προσπάθειες ( ) ισχύει έναντι 9

10 της εναλλακτικής υπόθεσης που λέει ότι υπάρχει τουλάχιστον μια υπακολουθία συνεχόμενων προσπαθειών Bernoulli με δείκτες για τις οποίες ισχύει με ενώ για τις υπόλοιπες ισχύει, όπου και είναι άγνωστα [Chen and Glaz (1997), Glaz and Balakrishnan (1999)]. Έχει αποδειχθεί ότι ο έλεγχος γενικευμένης πιθανοφάνειας απορρίπτει τη μηδενική υπόθεση έναντι της εναλλακτικής όταν, όπου το προσδιορίζεται από το σφάλμα τύπου Ι αυτού του ελέγχου [Glaz and Naus (1991)]. Η μεγαλύτερη έρευνα, όμως, έχει γίνει για μη μηδενικές ακέραιες τυχαίες μεταβλητές και πιο συγκεκριμένα για προσπάθειες Bernoulli. Σε αυτή την εργασία θα θεωρούμε ότι οι προσπάθειες Bernoulli είναι ανεξάρτητες και ισόνομες και παίρνουν τιμές 0 και 1 για την εμφάνιση αποτυχίας και επιτυχίας, αντίστοιχα. Παράδειγμα 1 Για να δούμε πώς λειτουργούν και τι εκφράζουν οι τύποι (1.1) και (1.2) ας θεωρήσουμε την ακολουθία των προσπαθειών: SFSSFFFSFFSSSFS Στην ακολουθία αυτή έχουμε προσπάθειες (δοκιμές). Έστω ότι παίρνουμε ένα παράθυρο μήκους μέσα στο οποίο θέλουμε να έχουμε επιτυχίες. Ο χρόνος αναμονής μέχρι να συμβεί η σάρωση τύπου 2/3 συμβολίζεται. Αυτή η τυχαία μεταβλητή είναι ο ελάχιστος αριθμός των προσπαθειών που χρειάζονται για να εμφανιστούν πρώτη φορά σε παράθυρο μήκους δύο επιτυχίες. Στην παραπάνω περίπτωση με βάση τον τύπο (1.1) έχουμε: 10

11 Ξεκινάμε να ελέγχουμε τα αθροίσματα για όλες τις τιμές του n. Έστω. Τότε το παραπάνω άθροισμα θα είναι ως εξής : Έστω. Τότε έχουμε : Έστω. Τότε έχουμε: Για καταλήξαμε να έχουμε το άθροισμα ίσο με 2. Αυτό σημαίνει ότι το 3 είναι το ελάχιστο για το οποίο για πρώτη φορά σε παράθυρο μήκους 3 έχω 2 επιτυχίες. Συνεπώς,. Ας θεωρήσουμε τώρα ότι για τα ίδια αποτελέσματα θέλουμε να βρούμε το. Στο παράδειγμα, αυτό που θα ψάχνουμε να βρούμε θα είναι η τιμή του. Σύμφωνα με τον τύπο (1.2) αυτή τη τυχαία μεταβλητή θα υπολογιστεί ως εξής: Ξεκινάμε θέτοντας. Το άθροισμά μας παίρνει την μορφή: Συνεχίζουμε την ίδια διαδικασία για όλα τα μέχρι το 13.. Για : 11

12 Για : Για :... Για : Για : Για : Έχοντας υπολογίσει όλα τα αθροίσματα αναζητούμε το μεγαλύτερο. Αυτό θα αποτελεί την τιμή του. Καταλήγουμε, λοιπόν, ότι. Έστω τώρα ότι μεγαλώνουμε το παράθυρο και από παίρνουμε. Σε αυτή την περίπτωση ψάχνουμε το μέγιστο άθροισμα το οποίο δίνεται από τον τύπο, Όπως και πριν ξεκινάμε θέτοντας και παίρνουμε όλα τα αθροίσματα μέχρι. Έτσι έχουμε τα παρακάτω αθροίσματα: Για : Για : Για :... 12

13 Για : Για : Για : Το μεγαλύτερο των αθροισμάτων που υπολογίσαμε αποτελεί και την τιμή του. Τελικά καταλήγουμε ότι. Παρατήρηση Καθώς το αυξάνει για την τυχαία μεταβλητή έχουμε μετακίνηση του παραθύρου μήκους δεξιά. Το που ψάχνουμε είναι η πρώτη φορά που σε ένα παράθυρο μήκους θα έχουμε επιτυχίες. Αντίστοιχα, καθώς το αυξάνει για την τυχαία μεταβλητή το παράθυρο κινείται προς τα δεξιά στην ακολουθία των προσπαθειών. Εμείς αναζητούμε το παράθυρο μήκους με τις περισσότερες επιτυχίες στις καταγράφουμε. προσπάθειες ελέγχοντας όλα τα παράθυρα και τις 1.1. Σχέση του χρόνου αναμονής με τις στατιστικές συναρτήσεις σάρωσης 13

14 Παρατηρώντας αυτές τις δύο τυχαίες μεταβλητές μπορούμε να συμπεράνουμε ότι το γεγονός είναι ισοδύναμο με το γεγονός. Με άλλα λόγια, αν οι ελάχιστες προσπάθειες που χρειάζονται για να συναντήσουμε για πρώτη φορά επιτυχίες σε ένα παράθυρο μήκους είναι μικρότερες ή ίσες του τότε στις προσπάθειες το μέγιστο άθροισμα επιτυχιών σε ένα παράθυρο μήκους είναι μεγαλύτερο ή ίσο του συνεπάγεται ότι: και αντιστρόφως (Balakrishnan and Koutras, 2002). Αυτό Σύμφωνα με την παραπάνω ισότητα μπορούμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα υπολογίζοντας την πιθανότητα και το αντίστροφο. Στην περίπτωση που οι προσπάθειες είναι Bernoulli για τον υπολογισμό της υπάρχουν πολλές προσεγγιστικές μέθοδοι όπως αυτή μέσω της κατανομής Poisson και της σύνθετης Poisson (Chen and Glaz, 1997). Έρευνες για την προσέγγιση Poisson έχουν γίνει από τους Darling and Waterman (1986) και Goldstein and Waterman (1992) Ανεξάρτητες και ισόνομες τυχαίες μεταβλητές Σε αυτό το σημείο θα ασχοληθούμε με τον υπολογισμό της συνάρτησης πιθανότητας και την συνάρτηση κατανομής του χρόνου αναμονής. Οι προσπάθειες θα θεωρούνται ανεξάρτητες και ισόνομες τυχαίες μεταβλητές Bernoulli με πιθανότητα επιτυχίας και πιθανότητα αποτυχίας. Οι μέθοδοι που θα ακολουθήσουμε για τον υπολογισμό αυτών αναφέρονται στο σύγγραμμα των Balakrishnan και Koutras (2002) Κατανομή του χρόνου αναμονής 14

15 Στην παράγραφο αυτή θα υπολογίσουμε την συνάρτηση πιθανότητας και τη συνάρτηση κατανομής του χρόνου αναμονής στην περίπτωση όπου ο αριθμός των προσπαθειών που απαιτούνται είναι μικρότερος ή ίσος του μήκους του παραθύρου της σάρωσης και στην περίπτωση όπου ο αριθμός αυτός είναι μεγαλύτερος του μήκους του παραθύρου. Στην δεύτερη περίπτωση θα περιγράψουμε δύο μεθόδους υπολογισμού της συνάρτησης κατανομής (σ.κ.) και της συνάρτησης πιθανότητας (σ.π.). Η μία εξ αυτών θα γίνει με εμβάπτιση της τυχαίας μεταβλητής σε Μαρκοβιανή αλυσίδα (Fu and Koutras, 1994) και η άλλη θα γίνει με την θεώρηση κατάλληλων γεγονότων (Balakrishnan and Koutras, 2002) που θα δούμε αναλυτικά στη συνέχεια Συνάρτηση κατανομής & συνάρτηση πιθανότητας του χρόνου αναμονής (όταν ) Θα εξετάσουμε την περίπτωση όπου ο αριθμός των προσπαθειών είναι μικρότερος από το μήκος του παραθύρου. Ο χρόνος αναμονής λέγεται ότι ακολουθεί την γεωμετρική κατανομή τάξης. Ουσιαστικά, περιμένουμε μέχρι να εμφανιστούν για πρώτη φορά επιτυχίες σε ένα παράθυρο μήκους στις προσπάθειες που θα εκτελέσουμε. Έστω η συνάρτηση πιθανότητας της τυχαίας μεταβλητής και η συνάρτηση κατανομής της. Προφανώς, στην περίπτωση που έχουμε πιθανότητας είναι αυτή της αρνητικής διωνυμικής κατανομής: η συνάρτηση 15

16 Αντίστοιχα, η συνάρτηση κατανομής της είναι: Παρατηρούμε ότι το γεγονός για δηλώνει ότι η -οστή προσπάθεια κατέληξε σε αποτυχία ενώ οι προηγούμενες προσπάθειες περιέχουν ακριβώς επιτυχίες. Στην περίπτωση είναι προφανές ότι το γεγονός είναι το αδύνατο γεγονός και έχει πιθανότητα μηδέν. Είναι σαν να θέλουμε να έχουμε 5 επιτυχίες σε 3 προσπάθειες, πράγμα που είναι αδύνατο. Σημείωση Έστω ότι θέλουμε να υπολογίσουμε τη συνάρτηση πιθανότητας και τη συνάρτηση κατανομής της. Στην περίπτωση όπου οι παραπάνω τύποι μας δίνουν την κατανομή της τυχαίας μεταβλητής μας. Γνωρίζουμε ότι το των προσπαθειών μέχρι να εμφανισθούν για πρώτη φορά μετράει τον αριθμό επιτυχίες σε παράθυρο «μήκους». Κατά συνέπεια, η θα παίρνει τιμές. Θα πρέπει εμείς, λοιπόν, να υπολογίσουμε τις πιθανότητες: προκειμένου να υπολογίσουμε τη συνάρτηση πιθανότητάς της. Μέχρι και την πιθανότητα οι τύποι που μας δίνουν την συνάρτηση κατανομής και την συνάρτηση πιθανότητας είναι αυτοί της αρνητικής διωνυμικής κατανομής που είδαμε παραπάνω. Για θα μελετήσουμε δύο τρόπους υπολογισμού της κατανομής στις παρακάτω παραγράφους. 16

17 Παράδειγμα 2 Ας θεωρήσουμε και. Συνεπώς, η θα παίρνει τιμές. Θα υπολογίσουμε τις πιθανότητες από μέχρι και. Η συνάρτηση πιθανότητας της παίρνει την ακόλουθη μορφή: Άρα, Αν υποθέσουμε στη συνέχεια ότι και τότε: Αντίστοιχα, για την συνάρτηση κατανομής έχουμε: Έχοντας, λοιπόν, υπολογίσει αντίστοιχες τιμές της συνάρτησης πιθανότητας παραπάνω, για τη συνάρτηση κατανομής προκύπτουν τα ακόλουθα: 17

18 Για τις ίδιες τιμές των και έχουμε: Για να υπολογίσουμε τις καθώς και τις θα χρησιμοποιήσουμε μεθόδους που θα περιγράψουμε παρακάτω Υπολογισμός της συνάρτησης κατανομής & της συνάρτησης πιθανότητας μέσω κατάλληλα ορισμένων γεγονότων (όταν ) Σε αυτή την παράγραφο θα ασχοληθούμε με τον υπολογισμό της συνάρτησης πιθανότητας και της συνάρτησης κατανομής της τυχαίας μεταβλητής στην περίπτωση που ο αριθμός των προσπαθειών είναι μεγαλύτερος από το μήκος του παραθύρου που έχουμε προκαθορίσει. Οι Balakrishnan και Koutras (2002) για να υπολογίσουν αυτές τις συναρτήσεις εισήγαγαν κατάλληλα γεγονότα. Έστω, λοιπόν, τα γεγονότα : {οι προσπάθειες κατέληξαν σε επιτυχία και η προσπάθεια κατέληξε σε αποτυχία }, για. Με άλλα λόγια, οι συνεχόμενες προσπάθειες, το πλήθος, είναι επιτυχίες και η είναι αποτυχία. Συνεπώς, τα γεγονότα για έχουν ως εξής: {η προσπάθεια είναι F} {η προσπάθεια είναι S και η προσπάθεια είναι F}. {οι προσπάθειες είναι S και η προσπάθεια είναι F} 18

19 .. {οι προσπάθειες είναι S και η προσπάθεια είναι F} Για να συνεχίσουμε στον υπολογισμό της συνάρτησης πιθανότητας και της συνάρτησης κατανομής της θεωρούμε την παρακάτω σχέση: Αν τώρα θεωρήσουμε ότι: από το θεώρημα ολικής πιθανότητας προκύπτει: Όμως, για έχουμε την ακόλουθη έκφραση: Με την ίδια λογική που ακολουθήσαμε και παραπάνω μπορούμε να υπολογίσουμε τον ακόλουθο τύπο για : Ο παράγοντας στη σχέση (1.8) οφείλεται στο γεγονός ότι αφού μέχρι τη οστή προσπάθεια δεν έχουν σαρωθεί επιτυχίες σε παράθυρο μήκους, δοθέντος 19

20 ότι οι τελευταίες προσπάθειες είναι επιτυχίες οι προσπάθειες πριν την είναι αποτυχίες. Δυστυχώς οι παραπάνω τύποι δεν είναι αρκετοί για τον υπολογισμό της για την τυχαία μεταβλητή και κατά συνέπεια για τον υπολογισμό της. Σε ειδικές μόνο περιπτώσεις οι συναρτήσεις αυτές μπορούν να δουλέψουν καλά, όπως στην περίπτωση όπου μπορούμε να διαπιστώσουμε ότι η: αποτελεί την συνάρτηση κατανομής της γεωμετρικής τυχαίας μεταβλητής η οποία παριστάνει τον αριθμό των προσπαθειών μέχρι την εμφάνιση της πρώτης επιτυχίας. Στο ακόλουθο θεώρημα δίνονται αναδρομικές σχέσεις για τον υπολογισμό της συνάρτησης πιθανότητας της τυχαίας μεταβλητής : Θεώρημα 1 (Koutras, 1996) Η συνάρτηση πιθανότητας δίνεται από τη σχέση: της τυχαίας μεταβλητής με αρχικές συνθήκες και, όπου. Απόδειξη Ο υπολογισμός των αρχικών συνθηκών είναι προφανής. Αρκεί να θέσουμε και αντίστοιχα στον τύπο (1.4). Για από τον ίδιο τύπο προκύπτει η σχέση: για. Για την απόδειξη της σχέσης θα θεωρήσουμε ότι. Συνεπώς, 20

21 και Ωστόσο το γεγονός είναι ισοδύναμο με το όπου το Α είναι το σύνολο: Κατά συνέπεια, Όμως, ισχύει ότι τη σχέση καταλήγουμε ότι:. Λαμβάνοντας, λοιπόν, υπ όψιν αυτή Τέλος, προσθέτοντας τις σχέσεις (1) και (2) προκύπτει η σχέση (1.9) του θεωρήματος. Συνδυάζοντας όσα είπαμε παραπάνω καταλήγουμε στους εξής τύπους για τον υπολογισμό της συνάρτησης κατανομής και της συνάρτησης πιθανότητας για (Balakrishnan and Koutras, 2002): Ο τύπος για την προκύπτει από την (1.9) θέτοντας. Για και έχουμε: 21

22 Στην περίπτωση όπου η απόδειξη του τύπου για την βρίσκεται σε άρθρο του Roberts (1958) ενώ ο Greenberg (1970) απέδειξε τον παραπάνω τύπο στη γενική περίπτωση. Αν θέσουμε η τυχαία μεταβλητή παριστάνει τον αριθμό των προσπαθειών μέχρι να εμφανιστούν 2 επιτυχίες σε παράθυρο μήκους 2, δηλαδή μέχρι να εμφανιστούν δύο συνεχόμενες επιτυχίες. Προφανώς, η είναι μια τυχαία μεταβλητή που ακολουθεί τη γεωμετρική κατανομή τάξης 2 (Shane, 1973). Η σχέση (1.9) για γίνεται: Οι σχέσεις (1.9) και (1.10) με τις αρχικές συνθήκες: και για, μας διευκολύνουν στον υπολογισμό της κατανομής της γεωμετρικής τυχαίας μεταβλητής τάξης. Παρακάτω παραθέτουμε γραφήματα που δείχνουν την κατανομή της για διάφορες τιμές των και. 22

23 Εικόνα 1 Γραφήματα της κατανομής. 3 Η μέθοδος υπολογισμού των και που παρουσιάσαμε παραπάνω αποτελεί έναν πρώτο τρόπο υπολογισμού αυτών των συναρτήσεων. Στη συνέχεια θα δούμε μια δεύτερη μέθοδο υπολογισμού, αυτή της εμβάπτισης σε Μαρκοβιανή αλυσίδα διακριτών τυχαίων μεταβλητών αφού πρώτα ασχοληθούμε με το επόμενο παράδειγμα. Παράδειγμα 3 Στο παράδειγμα αυτό θα ασχοληθούμε με τον υπολογισμό των και μέσω των γεγονότων για να είναι πιο ξεκάθαρη η χρήση τους. Έστω, όπως και στο παράδειγμα 2, και. Κατά συνέπεια,. Οι τιμές του με τις οποίες θα ασχοληθούμε είναι αφού για τιμές έχουμε ήδη υπολογίσει 3 Είναι σημαντικό να διευκρινίσουμε ότι στην εργασία έχουμε αντικαταστήσει το με το. 23

24 τις τιμές της συνάρτησης στο παράδειγμα 2. Για, : ορίζουμε τα γεγονότα Αφού το μέρος. θα χρησιμοποιήσουμε τις σχέσεις (1.10) που είδαμε στο θεωρητικό Για να υπολογίσουμε την θα πρέπει πρώτα να θέσουμε και συνθήκες. Οπότε, για. Αυτές οι σχέσεις αποτελούν τις αρχικές Για και έχουμε: Η συνάρτηση κατανομής θα υπολογιστεί αφού πρώτα υπολογίσουμε την : Για και έχουμε και συνεπώς: Ακολουθώντας την παραπάνω διαδικασία μπορούμε να υπολογίσουμε την συνάρτηση κατανομής και τη συνάρτηση πιθανότητας για τις υπόλοιπες τιμές του Μέθοδος εμβάπτισης τυχαίων μεταβλητών σε πεπερασμένη Μαρκοβιανή αλυσίδα Σε αυτή την παράγραφο θα ασχοληθούμε με τον υπολογισμό της συνάρτησης πιθανότητας και της συνάρτησης κατανομής εμβαπτίζοντας την τυχαία μεταβλητή 24

25 σε μια Μαρκοβιανή Αλυσίδα (Fu and Koutras, 1994). Για να μπορέσει μια τυχαία μεταβλητή να εμβαπτιστεί σε μια Μαρκοβιανή αλυσίδα θα πρέπει να θεωρήσουμε ένα σύνολο δεικτών για δοσμένο και έναν χώρο καταστάσεων. Για να εμβαπτίσουμε μια τυχαία μεταβλητή σε μια Μαρκοβιανή αλυσίδα πρέπει να ισχύουν οι προϋποθέσεις που δίνονται στον ακόλουθο ορισμό: Ορισμός 1 [Fu and Koutras (1994)] Μια μη αρνητική ακέραια τυχαία μεταβλητή Μαρκοβιανή Αλυσίδα εάν: μπορεί να εμβαπτιστεί σε μια a. Υπάρχει μια πεπερασμένη Μαρκοβιανή Αλυσίδα η οποία ορίζεται στον πεπερασμένο δειγματικό χώρο Ω. b. Υπάρχει μια πεπερασμένη διαμέριση του χώρου καταστάσεων Ω. c. Για κάθε έχουμε. Για την Μαρκοβιανή αλυσίδα θεωρούμε τους πίνακες μετάβασης διάστασης. Το διάνυσμα διάστασης θα είναι το μοναδιαίο διάνυσμα που θα έχει μονάδα στην -οστή συντεταγμένη και μηδέν οπουδήποτε αλλού. Προφανώς, θα είναι το ανάστροφο διάνυσμα του. Τέλος, για κάθε στοιχείο της διαμέρισης,, του Ω ορίζουμε το διάνυσμα: Το παραπάνω διάνυσμα είναι ένα διάνυσμα γραμμή που αποτελείται από μονάδες και μηδενικά. Οι θέσεις που καταλαμβάνουν οι μονάδες εξαρτάται από τα διανύσματα που αθροίζω. Αν για παράδειγμα θεωρήσω το σύνολο του Ω, τότε θα έχω σύμφωνα με τον παραπάνω τύπο για το 25

26 : αφού, και. Ακολούθως θα παρουσιάσουμε ένα γενικό θεώρημα που αφορά τις τυχαίες μεταβλητές που πληρούν τις προϋποθέσεις εμβάπτισης σε πεπερασμένη Μαρκοβιανή αλυσίδα. Θεώρημα 2 [Fu and Koutras (1994)] Αν είναι μια τυχαία μεταβλητή που δύναται να εμβαπτιστεί σε μια πεπερασμένη Μαρκοβιανή αλυσίδα, τότε: όπου πιθανοτήτων της Μαρκοβιανής αλυσίδας. είναι το διάνυσμα των αρχικών Απόδειξη Για να αποδείξουμε την σχέση (1.11) του θεωρήματος, θα πρέπει πρώτα να υπολογίσουμε την ακόλουθη πιθανότητα: Έστω ότι: Αρχικά θέτουμε για να δούμε αναλυτικά τι προκύπτει στην περίπτωση που έχουμε πιθανότητες μετάβασης ενός βήματος. 26

27 = Το τελευταίο διάνυσμα στήλη συμβολίζεται με και τα στοιχεία του είναι μηδενικά εκτός από αυτό που βρίσκεται στην θέση το οποίο είναι μονάδα. Με αυτό τον τρόπο απομονώνουμε το στοιχείο. Με τον ίδιο τρόπο υπολογίζουμε τις πιθανότητες κ.ο.κ. Ο γενικός τρόπος υπολογισμού αυτών των πιθανοτήτων είναι οι εξισώσεις Chapman Kolmogorov για κάθε με. Σύμφωνα με αυτές τις εξισώσεις μπορούμε να υπολογίσουμε την σχέση (1) λαμβάνοντας υπ όψιν και την (2): Στη γενική περίπτωση θεωρούμε ότι η Μαρκοβιανή αλυσίδα δεν είναι ομογενής. Γι αυτό το λόγο ο πίνακας μετάβασης βημάτων που προκύπτει δίνεται αν πολλαπλασιάσουμε όλους τους επιμέρους πίνακες μετάβασης που έχουμε υπολογίσει μέχρι να φτάσουμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα. Επειδή θέλουμε το -οστό στοιχείο του διανύσματος 27

28 πολλαπλασιάζουμε με το διάνυσμα στήλη δείξαμε ότι: που αναφέραμε παραπάνω. Επομένως Στη συνέχεια: όπου είναι ένα διάνυσμα στήλη με μονάδες στις θέσεις που βρίσκονται τα για τα οποία ισχύει και μηδενικά οπουδήποτε αλλού. Παρατήρηση Είναι φανερό πώς στην περίπτωση που εξετάζουμε δεν έχουμε ομογένεια στην Μαρκοβιανή αλυσίδα. Αν η πεπερασμένη Μαρκοβιανή αλυσίδα ήταν ομογενής τότε οι πίνακες πιθανοτήτων μετάβασης θα ήταν όλοι ίσοι με για όλα τα. Σε αυτήν την περίπτωση η κατανομή της τυχαίας μεταβλητής θα δίνεται από τον τύπο: για κάθε Εν κατακλείδι, για να βρούμε την κατανομή μια τυχαίας μεταβλητής που μπορεί να εμβαπτιστεί σε μια πεπερασμένη Μαρκοβιανή αλυσίδα, πρέπει να κατασκευάσουμε τρία πράγματα: α) έναν κατάλληλο χώρο καταστάσεων Ω, β) μια κατάλληλη διαμέριση του Ω και γ) τους πίνακες πιθανοτήτων μετάβασης που σχετίζονται με την τεχνική της εμβάπτισης σε μια Μαρκοβιανή αλυσίδα. 28

29 1.4. Εμβάπτιση της σε Μαρκοβιανή αλυσίδα Η θεμελιώδης ιδέα για την εύρεση της ακριβούς κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής που αναφέρεται σε ροές ή γενικότερα σε πρότυπα είναι να μετασχηματίσουμε τον τρόπο που μετράμε αυτές τις τυχαίες μεταβλητές. Έτσι από μία σειρά δοκιμών Bernoulli περνάμε σε μια πεπερασμένη Μαρκοβιανή αλυσίδα με κατάλληλο χώρο καταστάσεων και πίνακα μετάβασης. Αυτό ακριβώς θα κάνουμε εδώ για την τυχαία μεταβλητή πρώτα θεωρώντας και έπειτα για τη γενική περίπτωση Εμβάπτιση σε Μαρκοβιανή αλυσίδα για Θα ξεκινήσουμε με τον υπολογισμό της συνάρτησης πιθανότητας για την τυχαία μεταβλητή (Balakrishnan and Koutras, 2002). Πρωταρχικό βήμα για τη δημιουργία μιας Μαρκοβιανής αλυσίδας είναι η δημιουργία του χώρου των καταστάσεων. Θα θεωρήσουμε τον χώρο των καταστάσεων. Η βασική ιδέα της Μαρκοβιανής αλυσίδας που θα μελετήσουμε είναι η ακόλουθη: Ξεκινάμε από το μηδέν για και εισερχόμαστε στην κατάσταση 1 αν παρατηρήσουμε επιτυχία στην πρώτη προσπάθεια, αλλιώς παραμένουμε στην κατάσταση μηδέν σε περίπτωση αποτυχίας. Γενικά, μια διαδικασία μπαίνει στη κατάσταση σε χρόνο, αν οι τελευταίες παρατηρήσεις από την μέχρι την ήταν και δεν παρατηρήθηκαν δύο επιτυχίες σε συνεχόμενες προσπάθειες ως ώρας (generalized run of type ). Αν παρατηρήσουμε ροή τάξης σε κάποια τμήματα 29

30 των αποτελεσμάτων που ελέγχουμε τότε αυτές συσσωρεύονται στην κατάσταση η οποία αποτελεί την κατάσταση απορρόφησης της Μαρκοβιανής αλυσίδας. Αφού ορίσουμε τον χώρο καταστάσεων Ω συνεχίζουμε την κατασκευή της Μαρκοβιανής αλυσίδας δημιουργώντας τον πίνακα πιθανοτήτων μετάβασης. Στην περίπτωσή μας αυτός θα είναι ο ακόλουθος: Στον πίνακα πιθανοτήτων μετάβασης είναι γνωστό ότι τα στοιχεία κάθε γραμμής του έχουν άθροισμα ίσο με τη μονάδα (είναι ένας στοχαστικός πίνακας). Κάθε στοιχείο του πίνακα αντιστοιχεί σε μια πιθανότητα μετάβασης από μία κατάσταση σε μία κατάσταση. Τελικά οι τύποι για την συνάρτηση πιθανότητας και τη συνάρτηση κατανομής για την τυχαία μας μεταβλητή όταν είναι οι ακόλουθοι: όπου είναι τα μοναδιαία διανύσματα του χώρου. Παρατήρηση Η γενική ιδέα της Μαρκοβιανής αλυσίδας που περιγράψαμε είναι ότι αρχικά βρισκόμαστε στην κατάσταση 0. Η Μαρκοβιανή αλυσίδα μπαίνει στην κατάσταση 1 αν η πρώτη προσπάθεια είναι επιτυχία, διαφορετικά αν η καταλήξει σε αποτυχία παραμένει στην κατάσταση μηδέν. Με άλλα λόγια, η Μαρκοβιανή αλυσίδα παραμένει στην κατάσταση μηδέν μέχρι να εμφανιστεί το 30

31 πρώτο οπότε και περνάει στην κατάσταση 1. Αν ακολουθούν αποτυχίες η κατάσταση αρχίζει να αυξάνει, δηλαδή γίνεται επιτυχία που βρίσκεται μέσα σε ένα παράθυρο μήκους. Αν στο μεταξύ εμφανιστεί με την προηγούμενη, η Μαρκοβιανή αλυσίδα περνάει στην απορροφητική κατάσταση. Αν όμως εξαντληθεί το παράθυρο μήκους πάλι με κατάσταση 1 κ.ο.κ. και μετά εμφανιστεί η 2 η επιτυχία τότε αρχίζει Εν κατακλείδι, η Μαρκοβιανή αλυσίδα αρχίζει να μετράει το παράθυρο μήκους από την εμφάνιση μιας επιτυχίας και παραμένει μηδέν αν ακολουθούν αποτυχίες ή εισέρχεται στη κατάσταση 1 αν εμφανιστεί επιτυχία. Σε περίπτωση που η 2 η επιτυχία εμφανιστεί μέσα στο παράθυρο μήκους κατάσταση. τότε περνάει στην απορροφητική Παράδειγμα 4 Είμαστε στην περίπτωση και. Θέλουμε να βρούμε την συνάρτηση πιθανότητας και τη συνάρτηση κατανομής για τις τιμές εμβάπτισης σε Μαρκοβιανή αλυσίδα. με τη μέθοδο της Θεωρούμε τον πεπερασμένο χώρο καταστάσεων (μέχρι ). Η Μαρκοβιανή αλυσίδα ορίζεται ακολούθως: ξεκινώντας από την κατάσταση 0 σε χρόνο μπαίνουμε στην κατάσταση 1 αν εμφανιστεί επιτυχία στην πρώτη προσπάθεια ή παραμένουμε στην 0 αν εμφανιστεί αποτυχία. Γενικά, η διαδικασία μπαίνει στην κατάσταση σε χρόνο εάν τα τελευταία αποτελέσματα είναι και δεν έχει προκύψει γενικευμένη ροή τύπου. Ουσιαστικά, μετράμε πόσες αποτυχίες έχουν συμβεί μετά την 1 η επιτυχία χωρίς όμως στο παράθυρο των προσπαθειών να έχει συμβεί γενικευμένη ροή τύπου (δηλαδή να έχουν εμφανιστεί δύο επιτυχίες σε αυτό το παράθυρο μήκους ). Στην 31

32 περίπτωση που έχουμε γενικευμένη ροή τύπου αυτή η Μαρκοβιανή αλυσίδα μεταβαίνει στην απορροφητική κατάσταση. Ο πίνακας μετάβασης που προκύπτει είναι ο εξής: Ο πίνακας αυτός έχει διάσταση. Συνεπώς, η συνάρτηση πιθανότητας της τυχαίας μεταβλητής είναι σύμφωνα με τη σχέση (1.11): Παρατηρούμε ότι το αποτέλεσμα είναι το ίδιο με αυτό που προέκυψε και στο παράδειγμα 3. Για και προκύπτει ότι, όπως αναμενόταν. Αναλόγως υπολογίζεται και η συνάρτηση κατανομής αυτή την περίπτωση θα έχουμε: από τον τύπο (1.12). Σε Για τις ίδιες τιμές των και θα έχουμε ακριβώς το ίδιο αποτέλεσμα όπως στο παράδειγμα 3. Με άλλα λόγια, προκύπτει: 32

33 Εμβάπτιση σε Μαρκοβιανή αλυσίδα στη γενική περίπτωση Αναλόγως με την περίπτωση όπου για να εμβαπτίσουμε την τυχαία μεταβλητή σε μια Μαρκοβιανή αλυσίδα πρέπει να ορίσουμε τον κατάλληλο χώρο καταστάσεων Ω, τις πιθανότητες μετάβασης και τον πίνακα πιθανοτήτων μετάβασης Λ. Ο χώρος των καταστάσεων που θα θεωρήσουμε για τη δημιουργία της Μαρκοβιανής αλυσίδας είναι ο ακόλουθος: Στην περίπτωση που εξετάζουμε οι μεταβλητές που συμβολίζουν τις καταστάσεις έχουν την εξής μορφή: Για τις καταστάσεις μας θα ισχύει αν και μόνο αν για. Στην περίπτωση που θέτουμε για κάθε. Όλες οι υπόλοιπες περιπτώσεις όπου για για τις οποίες ισχύει, συγκεντρώνονται σε μια κατάσταση απορρόφησης που συμβολίζεται με. Παρατήρηση Το πλήθος των στοιχείων του,, καθορίζεται από τη σχέση όπου. Δηλαδή είναι όλα τα με 33

34 ή 1 ή 2 ή ή που είναι σε πλήθος, αντίστοιχα. Προσθέτοντας και την κατάσταση συμπεραίνουμε ότι. Συνεχίζοντας την κατασκευή της Μαρκοβιανής αλυσίδας θα πρέπει να εισάγουμε τις πιθανότητες μετάβασης. Αυτές έχουν ως εξής: a. Αν τότε b. Αν τότε, δηλαδή η Μαρκοβιανή αλυσίδα περνάει σε απορροφητική κατάσταση αφού σε παράθυρο μήκους σαρώνονται επιτυχίες. Δεδομένου τώρα του χώρου των καταστάσεων και των πιθανοτήτων μετάβασης, εφαρμόζοντας το θεώρημα εμβάπτισης τυχαίας μεταβλητής σε Μαρκοβιανή αλυσίδα έχουμε τη συνάρτηση πυκνότητάς της είναι και τη συνάρτηση κατανομής της όπου όπως δόθηκε παραπάνω και είναι το μοναδιαίο διάνυσμα γραμμή του χώρου. Παράδειγμα 5 34

35 Έστω ότι θέλουμε να βρούμε τη συνάρτηση κατανομής και την συνάρτηση πιθανότητας της τυχαίας μεταβλητής. Θέτουμε, δηλαδή, και. Σε αυτή την περίπτωση ο αριθμός των στοιχείων του Ω θα είναι: Ο χώρος των καταστάσεων είναι: Όλες οι υπόλοιπες περιπτώσεις συνοψίζονται στην απορροφητική κατάσταση. Οι πιθανότητες μετάβασης έχουν ως εξής: Μετάβαση από την κατάσταση (0,0,0,0) στις υπόλοιπες καταστάσεις Όλες οι υπόλοιπες πιθανότητες μετάβασης είναι μηδενικές. Μετάβαση από την κατάσταση (0,0,0,1) στις υπόλοιπες καταστάσεις Όλες οι υπόλοιπες πιθανότητες μετάβασης είναι μηδενικές. Μετάβαση από την κατάσταση (0,0,1,0) στις υπόλοιπες καταστάσεις 35

36 ... Όλες οι υπόλοιπες πιθανότητες μετάβασης είναι μηδενικές. Συνεχίζοντας κατά αυτόν τον τρόπο φτάνουμε στις πιθανότητες μετάβασης: Μετάβαση από την κατάσταση (0,1,1,0) στις υπόλοιπες καταστάσεις... Έτσι υπολογίζουμε και τις υπόλοιπες πιθανότητες μετάβασης. Ο πίνακας μετάβασης είναι ο εξής: Έχοντας, λοιπόν, τον πίνακα Λ μπορούμε να παρουσιάσουμε τους τύπους που μας δίνουν τη συνάρτηση πιθανότητας και τη συνάρτηση κατανομής της τυχαίας μεταβλητής : Καθώς το παράθυρο μήκους κινείται παρατηρούμε ότι κάποιες καταστάσεις εκφράζουν το ίδιο αποτέλεσμα. Για παράδειγμα στον πίνακα Λ μπορούμε να ενσωματώσουμε κάποιες καταστάσεις με κάποιες άλλες και έτσι να μειώσουμε την 36

37 διάσταση του πίνακα. Επομένως, κάθε ένα από ζευγάρια {(0,0,0,0),(1,0,0,0)}, {(0,0,0,1),(1,0,0,1)}, {(0,0,1,0),(1,0,1,0)} και {(0,1,0,0),(1,1,0,0)} μπορεί να θεωρηθεί ως μία κατάσταση και κατά συνέπεια η διάσταση του πίνακα να μειωθεί σε αντί για που ήταν πριν. Έτσι οι δυνάμεις του πίνακα που προκύπτουν στον υπολογισμό των συναρτήσεων μπορούν να υπολογιστούν με μεγαλύτερη ευκολία. Έστω ότι και. Τότε προκύπτει: Για έχουμε: Για έχουμε: Για έχουμε: Για έχουμε: Με αυτόν τον τρόπο υπολογίζουμε τις παραπάνω συναρτήσεις για τις υπόλοιπες τιμές του. Παράδειγμα 6 37

38 Έστω ότι θέλουμε να βρούμε τη συνάρτηση πιθανότητας και τη συνάρτηση κατανομής της τυχαίας μεταβλητής που εκφράζει τον χρόνο αναμονής μέχρι με ένα παράθυρο μήκους 3 να σαρώσουμε για πρώτη φορά τρεις επιτυχίες. Δηλαδή μέχρι να συναντήσουμε για πρώτη φορά τρεις συνεχόμενες επιτυχίες. Θέτουμε, λοιπόν, και. Πρωτίστως θα κατασκευάσουμε τον χώρο καταστάσεων,, της Μαρκοβιανής αλυσίδας. Το πλήθος των στοιχείων του θα είναι: Συνεπώς προκύπτει: Όπως αναφέραμε και στο παράδειγμα 5, όλες οι υπόλοιπες καταστάσεις συνοψίζονται στην απορροφητική κατάσταση. Το επόμενο βήμα για την κατασκευή της Μαρκοβιανής αλυσίδας είναι ο υπολογισμός των πιθανοτήτων μετάβασης οι οποίες έχουν ως εξής: Μετάβαση από την κατάσταση (0,0,0) στις υπόλοιπες καταστάσεις Όλες οι υπόλοιπες πιθανότητες μετάβασης είναι μηδενικές. Μετάβαση από την κατάσταση (0,0,1) στις υπόλοιπες καταστάσεις 38

39 Όλες οι υπόλοιπες πιθανότητες μετάβασης είναι μηδενικές. Μετάβαση από την κατάσταση (0,1,0) στις υπόλοιπες καταστάσεις Όλες οι υπόλοιπες πιθανότητες μετάβασης είναι μηδενικές. Μετάβαση από την κατάσταση (1,0,0) στις υπόλοιπες καταστάσεις Όλες οι υπόλοιπες πιθανότητες μετάβασης είναι μηδενικές. Μετάβαση από την κατάσταση (0,1,1) στις υπόλοιπες καταστάσεις Μετάβαση από την κατάσταση (1,0,1) στις υπόλοιπες καταστάσεις 39

40 Μετάβαση από την κατάσταση (1,1,0) στις υπόλοιπες καταστάσεις Όλες οι υπόλοιπες πιθανότητες μετάβασης είναι μηδενικές. Μετάβαση από την κατάσταση (1,1,1) στις υπόλοιπες καταστάσεις Η τελευταία κατάσταση (1,1,1) είναι η απορροφητική κατάσταση που αποτελεί και την τελευταία γραμμή του πίνακα μετάβασης Λ ο οποίος είναι: 40

41 Η συνάρτηση πιθανότητας της σύμφωνα με τον τύπο (1.13) είναι: Ενώ η συνάρτηση κατανομής της σύμφωνα με τον τύπο (1.14) είναι: Όπως στο παράδειγμα 5 έτσι και εδώ θα μπορούσαμε να μειώσουμε τη διάσταση του πίνακα Λ ενσωματώνοντας κάποιες καταστάσεις με κάποιες άλλες. Τα ζευγάρια των καταστάσεων που μπορούν να θεωρηθούν ως μία είναι τα {(0,0,0), (1,0,0)}, {(0,0,1), (1,0,1)} και {(0,1,0), (1,1,0)}. Έτσι η διάσταση του πίνακα Λ από γίνεται. Δίνοντας τώρα διάφορες τιμές στο και θέτοντας και παίρνουμε τιμές για τη συνάρτηση πιθανότητας και τη συνάρτηση κατανομής της τυχαίας μεταβλητής. Για έχουμε: Για έχουμε: 41

42 Για έχουμε: Για έχουμε: Για έχουμε: Με αυτόν τον τρόπο υπολογίζουμε τη συνάρτηση πιθανότητας και τη συνάρτηση κατανομής της και για τις υπόλοιπες τιμές του Γεννήτρια συνάρτηση και ροπές της τυχαίας μεταβλητής Σε αυτή την παράγραφο θα μιλήσουμε για τη γεννήτρια συνάρτηση της τυχαίας μεταβλητής καθώς και για τις ροπές αυτής. Αρχικά, θα ασχοληθούμε με την μεταβλητή της οποίας την γεννήτρια θα την παρουσιάσουμε με τρεις διαφορετικές μορφές. Γνωρίζουμε ότι η πιθανογεννήτρια συνάρτηση δίνεται από τον τύπο: 42

43 Η γεννήτρια συνάρτηση της τυχαίας μεταβλητής είναι: Ο πιο εύκολος τρόπος να υπολογίσουμε την σχέση (1.17) είναι με τη χρήση της (1.19) για τον υπολογισμό της συνάρτησης πιθανότητας και των αρχικών συνθηκών και για. Άρα, Άλλος τρόπος να υπολογίσουμε την (1.17) είναι μέσω Μαρκοβιανής αλυσίδας. Αθροίζουμε για όλα τα παρακάτω: τη σχέση (1.11). Κατά συνέπεια προκύπτουν τα 43

44 Μια τρίτη μέθοδος υπολογισμού της (1.17) μπορεί να προκύψει υπολογίζοντας πρώτα τη γεννήτρια συνάρτηση της από τον τύπο: Έπειτα μπορούμε να υπολογίσουμε την G(z) από τον τύπο: Με τον παραπάνω τρόπο καλούμαστε να υπολογίσουμε τον αντίστροφο πίνακα σε αντίθεση με τους όρους που χρειάζεται να υπολογίσουμε όταν ακολουθούμε τους δύο προηγούμενους τρόπους υπολογισμού της γεννήτριας. 44

45 Ροπές γύρω από το μηδέν της τυχαίας μεταβλητής Οι ροπές της γεωμετρικής κατανομής τάξης τύπο: γύρω από το μηδέν, δίνονται από τον Ο τύπος που αναδρομικά μας δίνει τις ροπές γύρω από το μηδέν είναι ο ακόλουθος [Koutras (1996a)]: Για προκύπτει ότι: όπου. Ο παραπάνω τύπος μετά από πράξεις δίνει: Η διασπορά της τυχαίας μεταβλητής δίνεται από τον τύπο: 45

46 Στην γενική περίπτωση όπου η γεννήτρια της γεωμετρικής κατανομής τάξης δίνεται από την : ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Σε αυτό το κεφάλαιο θα ασχοληθούμε με την αξιοπιστία ενός συνεχόμενου συστήματος αποτυχίας 4 (Griffith, 1986). Το σύστημα που μελετάμε αποτελείται από γραμμικά διατεταγμένες συνιστώσες οι οποίες είναι ανεξάρτητες. Ένα τέτοιο σύστημα αποτυγχάνει αν ανάμεσα σε συνεχόμενες συνιστώσες υπάρχουν τουλάχιστον που αποτυγχάνουν. Τέτοιου είδους συστήματα αποτελούν μαθηματικά μοντέλα για περιπτώσεις όπως αυτή του ποιοτικού ελέγχου και πολλές άλλες. Ο κύριος στόχος σε αυτό το κεφάλαιο είναι να συνδέσουμε τον χρόνο αναμονής,, για να συμβεί η πρώτη σάρωση και τη στατιστική συνάρτηση 4 Consecutive k-within-m-out-of-n: F system 46

47 σάρωσης που μελετήσαμε στο προηγούμενο κεφάλαιο με την αξιοπιστία ενός συνεχόμενου συστήματος αποτυχίας. Μέσα από μία δυική σχέση που θα αναπτύξουμε στις επόμενες παραγράφους θα μπορέσουμε να επαληθεύσουμε το γεγονός ότι η πιθανότητα μπορεί να μας οδηγήσει στον υπολογισμό της αξιοπιστίας ενός συνεχόμενου συστήματος αποτυχίας. Οι τύποι για την αξιοπιστία του παραπάνω συστήματος θα επαληθεύσουν αριθμητικά τις τιμές της συνάρτησης κατανομής του χρόνου αναμονής στατιστικής συνάρτησης σάρωσης. και κατ επέκταση της Εν συνεχεία, θα δώσουμε έναν αλγόριθμο υπολογισμού της αξιοπιστίας αυτού του συστήματος ο οποίος υπολογίζει την αξιοπιστία του συστήματος με ανεξάρτητες συνιστώσες οι οποίες δεν έχουν κατ ανάγκην ίσες πιθανότητες επιτυχίας. 47

48 2. Εισαγωγή στην αξιοπιστία ενός συνεχόμενου συστήματος Σε αυτή την παράγραφο θα υπολογίσουμε την αξιοπιστία ενός συνεχόμενου γραμμικού συστήματος. Ένα τέτοιο σύστημα αποτελείται από γραμμικώς διατεταγμένες συνιστώσες οι οποίες είναι ανεξάρτητες και ισόνομες με κοινή πιθανότητα επιτυχίας και αποτυχίας για κάθε συνιστώσα. Με άλλα λόγια η λειτουργία μιας συνιστώσας του συστήματος εκφράζεται με το γεγονός και η αποτυχία της με το γεγονός. Το σύστημα αποτυγχάνει αν σε ένα παράθυρο συνεχόμενων συνιστωσών υπάρχουν τουλάχιστον συνιστώσες που αποτυγχάνουν (Balakrishnan and Koutras, 2002). Στην περίπτωση όπου το συνεχόμενο σύστημα μετασχηματίζεται σε ένα συνεχόμενο σύστημα το οποίο αποτυγχάνει αν σε συνιστώσες υπάρχουν τουλάχιστον συνεχόμενες συνιστώσες που αποτυγχάνουν. Με την αξιοπιστία αυτών των συστημάτων έχουν ασχοληθεί πολλοί ερευνητές μεταξύ των οποίων αναφέρουμε τους Chiang & Niu (1981), Bollinger (1982), Bollinger & Salvia (1987), Hwang (1986) και πολλοί άλλοι. Αν το σύστημά μας γίνεται ένα σύστημα το οποίο αποτυγχάνει αν στις συνιστώσες εμφανιστούν τουλάχιστον αποτυχημένες. Το σύστημα που μελετάμε στην παρούσα εργασία έχει μελετηθεί ως προς τον υπολογισμό της αξιοπιστίας του από διάφορους επιστήμονες καθένας εκ των οποίων προσπάθησε να προσεγγίσει την αξιοπιστία με διαφορετικό τρόπο. Οι Sfakianakis, Kounias και Hillaris (1992) παρουσίασαν ακριβή έκφραση για την αξιοπιστία του συνεχόμενου όπου συστήματος στην περίπτωση όταν το σύστημα είναι είτε γραμμικό είτε κυκλικό. Για 48

49 υπολόγισαν αυστηρά κάτω και άνω φράγματα για την αξιοπιστία. Ωστόσο, μας δίνουν έναν ακριβή τύπο στην περίπτωση όπου. Ένας αναδρομικός αλγόριθμος που υπολογίζει την αξιοπιστία του συστήματος που μελετάμε παρουσιάστηκε από τους Malinowski και Preuss (1995) ο οποίος υπολογίζει την αξιοπιστία ακόμα και αν οι συνιστώσες του συστήματος είναι ανεξάρτητες και έχουν άνισες πιθανότητες αποτυχίας. Ο Psillakis (1995) παρουσιάζει έναν αλγόριθμο προσομοίωσης για τον υπολογισμό της πιθανότητας αποτυχίας ενός συνεχόμενου συστήματος οι συνιστώσες του οποίου είναι ανεξάρτητες και μπορεί να έχουν άνισες πιθανότητες λειτουργίας. Ο αλγόριθμος αυτός υπολογίζει ταυτόχρονα την πιθανότητα αποτυχίας του συστήματος και το σφάλμα που προκύπτει από τους υπολογισμούς. Οι Papastavridis και Koutras (1993) προσέγγισαν την αξιοπιστία του συστήματος μέσω βελτιωμένων φραγμάτων ενώ ο Sfakianakis (1993) ασχολήθηκε με την βέλτιστη διάταξη των συνιστωσών του συνεχόμενου συστήματος. Εμείς θα ασχοληθούμε με την αξιοπιστία του συνεχόμενου συστήματος και θα δείξουμε ότι αυτή μπορεί να υπολογιστεί μέσω της συνάρτησης κατανομής του χρόνου αναμονής έννοιες επιτυχία και αποτυχία που είχαμε στο πρώτο κεφάλαιο αντιστραφούν. αν οι 49

50 2.1. Αξιοπιστία και Στατιστικές Συναρτήσεις Σάρωσης Στο πρώτο κεφάλαιο ασχοληθήκαμε με τον υπολογισμό της συνάρτησης πυκνότητας και της συνάρτησης κατανομής της στατιστικής συνάρτησης σάρωσης μέσω του χρόνου αναμονής για να συμβεί η πρώτη σάρωση τυχαίες μεταβλητές συνδέονται με τη σχέση (1.3),. Αυτές οι την οποία συναντήσαμε στο πρώτο κεφάλαιο. Θεωρώντας ότι P(αποτυχίας της συνιστώσας και λειτουργίας της συνιστώσας έχουμε ότι η είναι η πιθανότητα αποτυχίας ενός συνεχόμενου συστήματος. Η πιθανότητα λειτουργίας αυτού του συστήματος θα είναι. Η παράμετρος, στο πρώτο κεφάλαιο, εκφράζει τον αριθμό των επιτυχιών που συναντάμε σε ένα παράθυρο μήκους καθώς σαρώνουμε συνεχόμενες συνιστώσες. Σε αυτό το κεφάλαιο η έννοια του θα αντιστραφεί και θα εκφράζει τον αριθμό των αποτυχημένων συνιστωσών που συναντάμε σε ένα παράθυρο συνεχόμενων συνιστωσών του συστήματος. Από εδώ και στο εξής η τυχαία μεταβλητή θα εκφράζει τον χρόνο αναμονής μέχρι να συναντήσω για πρώτη φορά αποτυχημένες συνιστώσες σε ένα παράθυρο συνεχόμενων συνιστωσών. Συνεπώς, προκύπτουν τα ακόλουθα: Η αξιοπιστία του συνεχόμενου συστήματος είναι η η οποία σύμφωνα με τα παραπάνω μπορεί να 50

51 υπολογιστεί μέσω της συνάρτησης κατανομής της τυχαίας μεταβλητής εκφράζεται ως εξής,. Αυτό Η σχέση (2.2) αποτελεί τη δυική σχέση που συνδέει τα αποτελέσματα που προέκυψαν στο πρώτο κεφάλαιο με την αξιοπιστία του συνεχόμενου επόμενες παραγράφους. συστήματος που θα μελετήσουμε στις 2.2. Αξιοπιστία ενός συνεχόμενου συστήματος. Οι Sfakianakis, Kounias και Hillaris (1992) υπολόγισαν την αξιοπιστία του συστήματος για. Το συνεχόμενο σύστημα σταματά να λειτουργεί (αποτυγχάνει) αν σε υπάρχουν τουλάχιστον 2 που δεν λειτουργούν. συνεχόμενες συνιστώσες Για να υπολογίσουμε την αξιοπιστία αυτού του συστήματος θα πρέπει πρώτα να δούμε με πόσους διαφορετικούς τρόπους λειτουργεί ένα τέτοιο σύστημα δεδομένου ότι συνιστώσες του αποτυγχάνουν. Τον αριθμό αυτών των διαφορετικών τρόπων λειτουργίας του συνεχόμενου συστήματος τον συμβολίζουμε με. Αυτός ο αριθμός είναι ισοδύναμος με τον αριθμό των τρόπων που μπορούμε να τοποθετήσουμε σε ένα παράθυρο μήκους τουλάχιστον συνιστώσες που λειτουργούν ανάμεσα σε αποτυχημένες συνιστώσες, δεδομένου ότι συνιστώσες αποτυγχάνουν σε όλο το σύστημα. Στην περίπτωση όπου ο αριθμός αυτός δίνεται από τον τύπο, 51

52 Συνεπώς η αξιοπιστία του συνεχόμενου συστήματος για είναι: όπου (Sfakianakis, Kounias & Hillaris, 1992). Παράδειγμα 7 Σε αυτό το παράδειγμα θα αποδείξουμε και αριθμητικά ότι η στατιστική συνάρτηση σάρωσης που μελετήσαμε στο προηγούμενο κεφάλαιο μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό της αξιοπιστίας ενός συνεχόμενου συστήματος. Στην παράγραφο 2.1 παρουσιάσαμε τη δυϊκή σχέση (2.2) που συνδέει αυτά τα δύο μεγέθη μέσω της συνάρτησης κατανομής του χρόνου αναμονής μέχρι την πρώτη σάρωση. Επίσης, παρουσιάσαμε ακριβή τύπο για την αξιοπιστία ενός συνεχόμενου συστήματος (σχέση 2.4). Συνεπώς θα θέσουμε και εδώ. Έτσι η δυϊκή σχέση (2.2) γίνεται: Ας υπολογίσουμε πρώτα τη συνάρτηση κατανομής θέτοντας και εμβάπτισης σε Μαρκοβιανή αλυσίδα έχουμε,. Ακολουθώντας τη μέθοδο της 52

53 Στον χώρο των καταστάσεων περιέχονται οι καταστάσεις για τις οποίες ισχύει και το πλήθος αυτών που περιέχονται στο είναι. Θα υπολογίσουμε τις πιθανότητες μετάβασης Μετάβαση από την κατάσταση (0,0,0) στις υπόλοιπες καταστάσεις Όλες οι υπόλοιπες πιθανότητες μετάβασης είναι μηδενικές. Μετάβαση από την κατάσταση (0,0,1) στις υπόλοιπες καταστάσεις Μετάβαση από την κατάσταση (0,1,0) στις υπόλοιπες καταστάσεις Μετάβαση από την κατάσταση (1,0,0) στις υπόλοιπες καταστάσεις Όλες οι υπόλοιπες πιθανότητες μετάβασης είναι μηδενικές. 53

54 Μετάβαση από την κατάσταση (1,1,1) στις υπόλοιπες καταστάσεις Συνεπώς ο πίνακας μετάβασης Λ είναι ο εξής : Η συνάρτηση κατανομής του χρόνου αναμονής δίνεται από τον τύπο: Για και έχουμε όπου είναι το μοναδιαίο διάνυσμα γραμμή του χώρου. Άρα η αξιοπιστία του συστήματος είναι Υπενθυμίζουμε ότι το συνεχόμενου σε αυτό το κεφάλαιο είναι η πιθανότητα επιτυχίας του συστήματος. Ας πάρουμε τώρα τη σχέση (2.4) και ας υπολογίσουμε την αξιοπιστία του συνεχόμενου συστήματος. Θέτουμε και. Συνεπώς η σχέση (2.4) γίνεται, 54

55 Πρώτα πρέπει να υπολογίσουμε την τιμή του, Άρα έχουμε, Όπως αναμενόταν εξ άλλου οι δύο μέθοδοι που χρησιμοποιήσαμε για τον υπολογισμό της αξιοπιστίας ενός συνεχόμενου συστήματος μας οδήγησαν στο ίδιο αποτέλεσμα. Συνεπώς αποδείξαμε και αριθμητικά το γεγονός ότι ο χρόνος αναμονής για την πρώτη σάρωση καθώς και η στατιστική συνάρτηση σάρωσης μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τον υπολογισμό της αξιοπιστίας ενός συνεχόμενου συστήματος. 55

56 2.3. Αξιοπιστία ενός συνεχόμενου συστήματος όταν με. Η σχέση (2.4) που είδαμε στην προηγούμενη παράγραφο είναι μια έκφραση για την αξιοπιστία του συνεχόμενου συστήματος. Στην εισαγωγική παράγραφο του δευτέρου κεφαλαίου αναφέραμε ότι οι Sfakianakis, Kounias & Hillaris (1992) έχουν υπολογίσει αυστηρά φράγματα στην περίπτωση όπου. Μας έχουν δώσει όμως ακριβή τύπο της αξιοπιστίας για. Δηλαδή το παράθυρο μήκους που χρησιμοποιούμε για να σαρώσουμε το σύστημά μας πλησιάζει το μήκος συστήματος που μελετάμε ή ακόμα και να είναι ίσο με αυτό. ολόκληρου του Θεώρημα 3 (Sfakianakis, Kounias & Hillaris, 1992) Στην περίπτωση όπου με τότε η αξιοπιστία του συνεχόμενου τύπο, συστήματος δίνεται από τον όπου εάν. Εφαρμόζοντας το Θεώρημα 3 μπορούμε να δώσουμε διάφορες τιμές στο και να υπολογίσουμε την αξιοπιστία του συστήματος. Ουσιαστικά, υπολογίζουμε την αξιοπιστία ενός συστήματος με συνιστώσες έχοντας ένα παράθυρο σάρωσης του οποίου το μήκος πλησιάζει το μήκος του συστήματος. 56

57 Πόρισμα 1 (Sfakianakis, Kounias & Hillaris, 1992) Θέτοντας στην (2.5), η αξιοπιστία ενός συνεχόμενου συστήματος δίνεται από τον τύπο: Για προκύπτει η έκφραση: Για προκύπτει η έκφραση: Απόδειξη 57

58 Για να αποδείξουμε τη σχέση (2.6) θα πρέπει να θέσουμε στη σχέση (2.5). Συνεπώς, από την (2.5) προκύπτουν τα παρακάτω, Όμως ισχύει ότι για (2) και για (3). Άρα η (1) από τις (2) και (3) γίνεται, Ομοίως αποδεικνύονται και οι σχέσεις (2.7) και (2.8) θέτοντας στην (2.5), αντίστοιχα. και Χρησιμοποιώντας το Θεώρημα 3 και το Πόρισμα 1 που αναφέραμε παραπάνω μπορούμε να υπολογίσουμε την τιμή της αξιοπιστίας παίρνοντας διάφορες τιμές για τα και. Έτσι προκύπτει ο παρακάτω πίνακας: A/A Πίνακας 1 Τιμές της αξιοπιστίας για διάφορες τιμές των. 58

59 Εκτός από την εφαρμογή του θεωρήματος 2 και του πορίσματος 1 για τον υπολογισμό της αξιοπιστίας είδαμε στο παράδειγμα 7 ότι η αξιοπιστία μπορεί να υπολογιστεί και με τη μέθοδο της εμβάπτισης σε Μαρκοβιανή αλυσίδα. Η πρώτη γραμμή του πίνακα μας δίνει το αποτέλεσμα του παραδείγματος 7. 59

60 2.4. Αναδρομικός αλγόριθμος υπολογισμού της αξιοπιστίας ενός συνεχόμενου συστήματος Σε αυτή την παράγραφο θα παρουσιάσουμε έναν αναδρομικό αλγόριθμο για τον υπολογισμό της αξιοπιστίας ενός συνεχόμενου συστήματος (Malinowski and Preuss, 1995). Όπως έχουμε αναφέρει, αυτό το σύστημα αποτελείται από συνιστώσες τις οποίες σαρώνουμε με ένα κυλιόμενο παράθυρο μήκους. Αν μέσα σε αυτό το παράθυρο παρατηρηθούν τουλάχιστον αποτυχημένες συνιστώσες τότε το σύστημα σταματά να λειτουργεί. Η συνιστώσα μπορεί να λειτουργεί με πιθανότητα ή να μη λειτουργεί με πιθανότητα,. Πριν παρουσιάσουμε τα βήματα του αλγορίθμου είναι σκόπιμο να εισάγουμε κάποιους συμβολισμούς. Οι μεταβλητές αποτελούν τις παραμέτρους του συστήματός μας με το να συμβολίζει τον μέγιστο αριθμό αποτυχιών που μπορούμε να έχουμε σε ένα παράθυρο μήκους καθώς σαρώνουμε τις συνιστώσες του συστήματος. Με αποτελείται από τις συνιστώσες θα συμβολίζουμε το γεγονός ότι το συνεχόμενο σύστημα (όπου ) που βρίσκεται σε κατάσταση λειτουργίας. Ουσιαστικά, μελετάμε το συνεχόμενο σύστημα διαμερίζοντάς το σε υποσυστήματα και εξετάζοντας αν αυτά βρίσκονται σε κατάσταση λειτουργίας ή όχι. Στη συνέχεια ορίζουμε το σύνολο το οποίο περιέχει όλα τα διάστατα δυαδικά σύνολα τέτοια ώστε να ισχύει. Με θα συμβολίζουμε μια δυαδική τυχαία μεταβλητή η οποία θα χαρακτηρίζει τη συνιστώσα. Επισημαίνουμε ότι η σημασία του 0 και του 1 αλλάζει σε σχέση με αυτή των προηγούμενων παραγράφων προς εφαρμογή του αναδρομικού αλγορίθμου των Malinowski and Preuss (1995). Η πιθανότητα επιτυχίας της συνιστώσας θα είναι ενώ η πιθανότητα αποτυχίας της θα είναι 60

61 , δηλαδή και. Αν θεωρήσουμε ότι οι τυχαίες μεταβλητές είναι ισόνομες τότε και. Με, θα συμβολίζουμε έναν δυαδικό αριθμό. Για το ισχύει. Σύμφωνα με τους συμβολισμούς που περιγράψαμε παραπάνω μπορούμε να δώσουμε μια έκφραση για την αξιοπιστία του συστήματός μέσω του υπολογισμού της πιθανότητας του γεγονότος δηλαδή την πιθανότητα το συνεχόμενο λειτουργίας. σύστημα να βρίσκεται σε κατάσταση Θεώρημα 4 (Malinowski & Preuss, 1995) συστή- Η αξιοπιστία ενός συνεχόμενου ματος δίνεται από την έκφραση: υπολογίζονται αναδρο- όπου οι πιθανότητες μικά σύμφωνα με τις παρακάτω ισότητες: και για. 61

62 Απόδειξη Ας θεωρήσουμε το γεγονός {στο παράθυρο υπάρχουν -αποτυχίες, }. Η αξιοπιστία,, του συνεχόμενου συστήματος μπορεί να υπολογιστεί σύμφωνα με τα παρακάτω: Όμως λόγω ανεξαρτησίας των συνιστωσών προκύπτει: Έτσι δείξαμε ότι η αξιοπιστία του συστήματός δίνεται από τη σχέση (2.9). Παίρνοντας το γεγονός και θέτοντας και προκύπτει το γεγονός ότι το συνεχόμενο σύστημα λειτουργεί. Η πιθανότητα να συμβεί αυτό το γεγονός μας δίνει την αξιοπιστία αυτού του συστήματος το οποίο αποτελεί υποσύστημα του συνεχόμενου συστήματος. Αρχικά, παίρνουμε ένα παράθυρο μήκους το οποίο περιέχει τις πρώτες συνιστώσες και ελέγχουμε αν μέσα σε αυτό υπάρχουν ή περισσότερες αποτυχίες. Στην περίπτωση που συμβαίνει αυτό όλο το σύστημα δε λειτουργεί. Δηλαδή αν τότε το συνεχόμενο 62

63 σύστημα δε λειτουργεί και άρα σταματά να λειτουργεί και όλο το σύστημα. Αν, όμως, στο υποσύστημα δεν παρατηρήσουμε υποσύστημα λειτουργεί ( στην έκφραση, ή και περισσότερες αποτυχίες τότε το. Με αυτή τη λογική καταλήγουμε που αποτελεί τη σχέση (2.10) του θεωρήματος 4. Αν το παράθυρο των πρώτων συνιστωσών λειτουργεί δεν μπορούμε να είμαστε σίγουροι αν το συνεχόμενο σύστημα λειτουργεί ή όχι. Για να το διαπιστώσουμε αυτό κινούμαστε προς τα εμπρός παίρνοντας το επόμενο παράθυρο μήκους και ελέγχοντας αν μέσα σε αυτό περιέχονται περίπτωση όπου ή και περισσότερες αποτυχίες. Προφανώς, βρισκόμαστε στην. Ουσιαστικά θα ελέγξουμε τη λειτουργία του συνεχόμενου ότι: υποσυστήματος. Για έχουμε Όμως το γεγονός είναι το γεγονός να λειτουργεί το συνεχόμενο σύστημα το οποίο είναι ισοδύναμο με το συνεχόμενο σύστημα. Εάν ισχύει ότι και τότε είναι προφανές ότι το είναι ένα βέβαιο γεγονός και σύμφωνα με τη σχέση (1) ισχύει. Κατά συνέπεια προκύπτουν τα εξής: 63